Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 37 -
2
d Ψ3
2
dx
+
2m
E Ψ 2 3
h
= 0
(2.55)
Soluţiile acestor ecuaţii sunt:
Ψ = a
ik1x
e + b
− ik1x
e
(2.56)
1
1
1
ik2x
− ik2x
Ψ = a e + b e
(2.57)
2
2
ik1x
− ik1x
Ψ 3 = a 3 e + b3
e
(2.58)
unde:
2mE
2m(
E − V0
)
k1
= , k
2
2 =
(2.59)
2
h
h
ik1x
− ik1x
a1
e reprezintă unda progresivă incidentă pe barieră, b1
e este unda regresivă
ik2x
− ik2x
reflectată de barieră, a 2 e este unda progresivă în interiorul barierei, b 2 e este
ik1x
unda regresivă în interiorul barierei, a 3 e este unda progresivă în mediul din dreapta
− ik1x
barierei, iar b3
e este unda regresivă din mediul 3 , însă b3 = 0 deoarece în partea
dreaptă a barierei nu există un perete care să reflecte unda.
În cazul efectului tunel E < V 0 , deci putem scrie (2.54) şi (2.57) astfel:
2
d Ψ2
2
dx
2m
− ( V0
− E)
Ψ
2
2
h
= 0
Ψ 2 = a e
− kx
2 + b e
kx
2
(2.60)
unde:
k 2 = ik , k =
2m(
V0
− E)
2
h
(2.61)
Din condiţiile de continuitate ale funcţiei de undă şi ale derivatei acestei funcţii în
punctele de abscisă 0 şi l obţinem:
1
( 0 ) = Ψ2
( 0)
⇒ a1
+ b1
= a 2 + b 2
Ψ (2.62)
⎛ dΨ1
⎞ ⎛ dΨ2
⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ dx ⎠0
⎝ dx ⎠0
⇒ ik1a
1 − ik1b1
= − ka 2 + kb 2
(2.63)
Ψ ⇒
kl ik l
a e
−kl
1
+ b e = a e
(2.64)
() l = Ψ () l
2
3
2
2
3
d 2 ⎞ ⎛ dΨ3
⎞
⎟ = ⎜ ⎟
dx ⎠l
⎝ dx ⎠l
⇒
kl kl ik1
− k a 2e
−
+ kb 2e
= i k1a
3e
⎛ Ψ
⎜
⎝
Eliminând b 1 din relaţiile (2.62) şi (2.63) obţinem:
b1 = a 2 + b 2 − a1
⇒ ik1a
1 − ik1a
2 − ik1b
2 + ik1a
1 = − ka 2 + kb 2
2ik
1
a
1
2
1
l
1
⇒
(2.65)
ik1
− k ik1
+ k
= ( ik1
− k)
a 2 + ( ik1
+ k)
b 2 ⇒ a1
= a 2 + b 2 (2.66)
2ik
2ik
Din relaţiile (2.64) şi (2.65) exprimăm 2 a şi 2 b în funcţie de a 3 :