Capitolul 2 - Elemente de mecanică cuantică [pdf] - Andrei

- 35 -
⎡ ∂ ⎤
⎢
i h , t = i h ⇒ Ĉ = h
⎣ ∂t
⎥
⎦
Max Born a arătat că fizicienii au ajuns la concluzia că există nişte limite privind
cunoaşterea mişcării microparticulelor, limite determinate de relaţia generală de incertitudine
a lui Heisenberg şi a sugerat biologilor şi psihologilor să caute limitele fireşti de cunoaştere în
domeniile lor.
2.8. Aplicaţii ale ecuaţiei Schrödinger
2.8.1. Particula în groapa de potenţial cu pereţii infiniţi
Considerăm o particulă care se poate deplasa pe o porţiune a axei x de lungime a ,
neputând părăsi acest domeniu.
Potenţialul acestei gropi se defineşte astfel:
unde:
⎧0
, 0 ≤ x ≤ a
V ( x)
= ⎨
(2.44)
⎩∞
, rest
În exteriorul intervalului [0, a] potenţialul fiind
infinit, funcţia de undă este nulă (probabilitatea de a
găsi particula la infinit şi în exteriorul acestui interval
este nulă).
În interiorul intervalului [0, a] ecuaţia lui Schrödinger atemporală este:
2
2
d Ψ 2m
d Ψ 2
+ EΨ
= 0 ⇒ + k Ψ =
2 2
2
dx h
dx
0
(2.45)
2
k =
2mE
2
h
(2.46)
Soluţia ecuaţiei (2.45) este de forma:
Ψ = A sin kx + B cos kx
(2.47)
Din condiţiile de continuitate ale funcţiei de undă la capetele intervalului [0, a]
obţinem:
Ψ ( 0 ) = 0 ⇒ A sin 0 + B cos 0 = 0 ⇒ B = 0
Ψ a = 0 ⇒ A sin ka = 0 ⇒ ka = n π , n = 1 , 2 , . . . (2.48)
( )
Din (2.48) pentru n = 0 rezultă k = 0 , iar din (2.46) rezultă E = 0. În acest caz
soluţia ecuaţiei (2.45) devine Ψ = cx + d , iar din condiţiile la limită Ψ ( 0 ) = d = 0 ,
Ψ ( a ) = ca = 0 ⇒ c = 0 , adică obţinem soluţia banală ( Ψ
∗
Ψ = 0 , ca şi cum particula
nu ar fi în groapă). Deci E = 0 nu aparţine spectrului de energii.
Nu luăm n < 0 pentru că funcţiile de undă nu ar fi liniar independente faţă de cele cu
n > 0 (funcţia de undă îşi schimbă semnul la trecerea de la n > 0 la n < 0 ).
Nu putem avea valori proprii negative (E < 0), deoarece şi în acest caz obţinem soluţia
banală:
2
d Ψ 2m E
− k1x
k
2m E
1x
− Ψ = 0 ⇒ Ψ(
x)
= C e + D e , k
2
2
1 = 2
dx h
h
− k1
a k1a
k1a
− k1a
Ψ 0 = 0 ⇒ C + D = 0 , Ψ a = 0 ⇒ C e + D e = 0 ⇒ D ( e − e ) = 0
( ) ( ) ⇒