Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

More documents

Recommendations

Info

L x x 2 Ψ ∗ 1 ⋅ Ψ1 dx = 1 ⇒ C1 ⋅ ∫ ∫ 0 La fel se arată că: C 2 = 1 L , y L 0 - 113 - dx = 1 C = Înlocuind C 1, C 2 , C3 şi x y z 3 1 L z ⇒ C 2 1 L x = 1 ⇒ k , k , k din (3.28) în (3.27) obţinem: 2πn 2πn x y i y 2πn z i ⋅ x ⋅ i ⋅ z 1 L 1 L 1 x y L z Ψ 1 = e , Ψ2 = e , Ψ3 = e (3.29) L L L x y Înlocuind Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 în (3.26) rezultă: r 1 i ( k xx + k yy + k z ) 1 r z Ψ = e = e i k ⋅ r (3.30) L L L Ω x y z unde: Ω = L xL yL z (3.31) este volumul paralelipipedului. Din relaţiile (3.26) şi (3.28) rezultă energia electronului: 2 ⎛ 2 2 2 h ⎞ 2 ⎜ n n x y n z E = ⋅ 4π + + ⎟ (3.32) ⎜ 2 2 2 2m ⎟ ⎝ L x L y L z ⎠ La studiul radiaţiei corpului negru am arătat că numărul de oscilaţii proprii care au numărul de undă mai mic decât k este egal cu numărul de puncte interioare sferei de rază k (într-o optime de sferă, deoarece n i sunt pozitivi). Acest număr este dat de relaţia (1.29): 3 2 k V z = ⋅ (3.33) 6π Înlocuind k din (3.25) în (3.33) obţinem: 3 / 2 V ⎛ 2mE ⎞ z = 2 ⎜ 2 ⎟ 6π h ⎠ (3.34) ⎝ Deoarece energia Fermi E F este energia maximă a electronilor din groapa de potenţial la T = 0 K, fiecare nivel de energie fiind ocupat de doi electroni cu spinii opuşi, în conformitate cu principiul lui Pauli, numărul de nivele complet ocupate la T = 0 K este: 3 / 2 N V ⎛ 2mE F ⎞ z F = = ⎜ ⎟ 2 2 2 6π h ⎠ (3.35) ⎝ Din relaţia (3.35) rezultă: 2mE F 2 h 2 2 / 3 ⎛ 6π N ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ 2V ⎠ ⇒ (3.36) ( ) 3 / 2 2 2 E F = 3π n 2m h (3.37) unde n = N este concentraţia electronilor (N este numărul total de electrono din cristal, iar V V este volumul cristalului). z C 1 = 1 L x
- 114 - 3.6. Teorema lui Bloch În aproximaţia unielectronică se consideră că fiecare electron din cristal se mişcă întrun potenţial efectiv V(r) creat de restul electronilor şi de ionii cristalului. Teorema lui Bloch afirmă că soluţia generală a ecuaţiei lui Schrödinger în aproximaţia unielectronică: 2 h r r r r − ∆Ψk () r + V () r Ψk () r = E Ψk () r (3.38) 2me pentru electronul din reţeaua cristalină r are forma: r r () r e i k r r Ψ k = ⋅ ⋅ u k () r (3.39) unde energia potenţială efectivă V( r) r este o funcţie periodică având perioada spaţială egală cu constanta reţelei a r : r r r V() r = V( r + a) (3.40) Astfel în locul unei soluţii de forma undei plane (3.30) de amplitudine constantă, obţinută în cazul în care s-a neglijat potenţialul de interacţiune dintre electroni şi reţea, în r cazul în care V () r este diferit de zero apare factorul modulator u k ( r ) cu aceeaşi periodicitate spaţială ca şi V() r : r r r u k () r = u k ( r + a) (3.41) De asemenea, energia electronului nu va fi dată de relaţia (3.32) , ci se vor obţine benzi de energie permise (în care energia electronului este o funcţie aproape continuă într-un interval mare de valori ale lui k ) şi benzi de energie interzise. Pentru a demonstra teorema lui Bloch vom folosi un operator de translaţie Tˆ având următoarea proprietate: T f () r f ( r a) ˆ r r r ⋅ = + (3.42) unde f () r este o funcţie oarecare, dependentă de r . Vom considera cazul particular al unui cristal unidimensional pentru care r este coliniar cu a r . Ecuaţia cu valori proprii a operatorului hamiltonian este: H r E r ˆ r r Ψ = Ψ (3.43) () ( ) r unde H ( r ) = − 2 h r ∆ + V ( r ) ˆ 2me este invariant la translaţia pe o distanţă egală cu constanta reţelei: () H( r a) ˆ H r ˆ r r r = + (3.44) Aplicând operatorul Tˆ relaţiei (3.43) rezultă: ( () Ψ () ) = ( + ) Ψ( + ) = ( ) Ψ( + ) = Ψ() = TΨ() r = EΨ( r + a)⇒ ˆ TE r E ˆ H r r a ˆ (3.44) H r a r a ˆ H r r ˆ Tˆ r r r r r r r r r r r r r H() r ( r a) E ( r a) ˆ r r r r r Ψ + = Ψ + (3.45) r r r Din relaţiile (3.43) şi (3.45) se constată că Ψ ( r) şi Ψ ( r + a) sunt funcţii proprii ale lui H care corespund aceleiaşi valori proprii E. Rezultă că pentru un sistem nedegenerat (toate nivelele de energie ale spectrului discret al unui sistem unidimensional sunt nedegenerate) r r r Ψ () r şi Ψ ( r + a) trebuie să difere printr-o constantă multiplicativă C: r r Ψ r + a r = CΨ r (3.46) ( ) ( ) Relaţia (3.46) poate fi generalizată:
Page 1 and 2: - 106 - 3. Elemente de fizica solid
Page 3 and 4: C V 2 - 108 - ⎛ hν ⎞ ⎛ hν
Page 5 and 6: - 110 - La acelaşi rezultat se aju
Page 7: - 112 - m / m ∗ este de 0,69 la L
Page 11 and 12: - 116 - a ionului cu un electron. E
Page 13 and 14: Pentru β → ∞ sh 2 b 0 lim 2 β
Page 15 and 16: - 120 - Astfel fiecare nivel de ene
Page 17 and 18: - 122 - impulsul 2 kr h conduce la
Page 19 and 20: - 124 - ( 0) 1 a [ E − 2 E1 ( k)
Page 21: - 126 - Am folosit faptul că / v N

Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?