Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

- 112 -
m / m
∗
este de 0,69 la Li, de 1,20 la Cs şi de 1,07 la Na. În cazul sodiului, electronii de
valenţă pot fi consideraţi liberi. Pentru un electron liber, dependenţa energiei de vectorul de
undă k r al undei de Broglie asociate mişcării electronului este de forma:
r r
2 2 2
p h k
E = =
(3.22)
2m 0 2m 0
În acest caz, din relaţiile (3.21) şi (3.22) rezultă 0 m m
∗
= .
3.5. Energia Fermi a electronilor dintr-un metal
Electronii de valenţă dintr-un metal au o mare mobilitate şi de aceea putem considera
că aceştia se mişcă liber în interiorul metalului, ca într-o groapă de potenţial tridimensională
cu pereţii infiniţi. Deoarece energia potenţială de interacţiune dintre electroni şi reţea este
neglijabilă, ecuaţia lui Schrödinger este de forma:
∆Ψ
+
2m
2
h
( E − V)
Ψ = 0 ⇒
(3.23)
2
∆Ψ + k Ψ = 0
(3.24)
unde:
2 2 2 2 2mE
k = k x + k y + k z =
(3.25)
2
h
Ecuaţia (3.24) poate fi rezolvată prin metoda separării variabilelor. Se exprimă
soluţia ecuaţiei ca un produs de trei funcţii dependente fiecare numai de câte o singură
variabilă:
Ψ x, y, z = Ψ x Ψ y Ψ z
(3.26)
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
Impunând soluţiei (3.26) să verifice ecuaţia (3.24) , rezultă trei ecuaţii:
2
d Ψ1
2
dx
2
+ k x Ψ1
= 0 ;
2
d Ψ2
2
dy
2
+ k y Ψ2
= 0 ;
2
d Ψ3
2
dz
2
+ k z Ψ3
= 0
Aceste ecuaţii admit soluţiile:
i kxx
Ψ 1 = C1
e ,
i kyy
Ψ2
= C 2 e ,
i kzz
Ψ3
= C3
e
(3.27)
Aplicând condiţiile la limită periodice pentru un paralelipiped de laturi L x , L y , L z
obţinem:
Ψ x = Ψ x + L , Ψ y = Ψ y + L , Ψ z = Ψ z + L
3
( ) 1 ( x ) 2 ( ) 2 ( y ) 3 ( ) 3 ( z ) ⇒
i kxx
e
i kx
( x + L x ) = C1
e
⇒
i kxL
x e = 1 ⇒ k xL
x = 2πn
x , n = 0, 1, 2, . . .
i kyy
e = C
i k y(
y + L y ) e
⇒
i k yLy
e = 1 ⇒ k L = 2πn
, n = 0, 1, 2, . . .
1
C1 x
C 2
2
y y
y y
( z + L z ) i kzLz
⇒ e = 1 ⇒ k L = 2πn
, n = 0, 1, 2, . . .
i k z i k
z
z
C3 e = C3
e
z z
z z
k x
2
n x
L
, k y
2
n y
L
, k z
2
⋅ n z
L
π
=
π
⋅ =
π
⋅ =
(3.28)
Constantele 1 2 3
x
y
C , C , C din (3.27) se determină din condiţia de normare:
z