Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

- 111 -
3.4. Masa efectivă a electronului în cristal
Viteza de grup a undei asociate mişcării electronului din cristal este:
( hω)
r
v g =
dω
r =
dk
d
r
d(
hk)
=
1 dE
r
h dk
(3.15)
Forţa cu care un câmp electric exterior acţionează asupra electronului din cristal este:
r
( hk)
r
r
r
dp
d dk
F = = = h
(3.16)
dt dt dt
Sub acţiunea acestei forţe electronul capătă acceleraţia:
r
r
r
2
r dv
g 1 d ⎛ dE ⎞ 1 d ⎛ dE ⎞ dk
1 d E dk
a = = ⋅ ⎜ r ⎟ = ⋅ r ⎜ r ⎟ = ⋅ r ⋅
(3.17)
2
dt h dt ⎝ dk
⎠ h dk
⎝ dk
⎠ dt h dk
dt
Din relaţiile (3.16) şi (3.17) rezultă:
r 2
h r
F = ⋅ a
(3.18)
2
d E
r
2
dk
r r
Prin analogie cu legea a doua a lui Newton F = m
∗
a , rezultă masa efectivă a
electronului în cristal:
2
−1
2 d E
m
∗ ⎛ ⎞
= h ⎜ r
2
dk
⎟
(3.19)
⎝ ⎠
Deosebirea între masa electronului liber şi masa efectivă a electronului din cristal se
datorează interacţiunii dintre electron şi reţea.
Noţiunea de masă efectivă poate fi introdusă într-un mod diferit, prin dezvoltarea în
serie Taylor a energiei E(k) în jurul valorii corespunzătoare echilibrului:
2
⎛ ∂E
⎞
1 ⎛ ∂ E ⎞
2
E ( k)
= E ( k 0 ) + ⎜ ⎟ ( k − k 0 ) +
( k − k 0 ) + . . .
2
k k k 2 ⎜
k
⎟
⎝ ∂ ⎠ = 0
⎝ ∂ ⎠k
= k0
⎛ ∂E
⎞
Al doilea termen este nul datorită condiţiei de echilibru ⎜ ⎟ = 0. ( 0
⎝ ∂k
⎠k
= k0
k
corespunde minimului funcţiei E(k) . Rezultă:
2
h
2
E ( k)
≈ E ( k 0 ) + ( k − k 0 )
2m
∗
(3.20)
unde:
2
m
∗ h
=
(3.21)
2 ⎛ d E ⎞
⎜ r
2
dk
⎟
⎝ ⎠k
= k0
este masa efectivă a electronului.
Masa efectivă a unui electron din banda de conducţie a semiconductorului GaAs este
m
∗
− 31
= 0,07 m 0 , unde m 0 este masa electronului liber ( m = 9,108 ⋅10
kg ). Raportul
0