Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

- 109 -
Energia cinetică a particulei de ordin n este T =
1 2
mx&
n , iar energia sa potenţială
2
datorită forţelor elastice care apar este ( ) ( ) 2
U =
Lagrange este:
1
2
β x n − x n − 1
2
+
1
β x n + 1 − x n . Funcţia lui
2
1 2
L = T − U = mx&
n − ( )
2
( ) 2
1
2
β x n − x n − 1
2
Ecuaţia lui Lagrange:
−
1
β x n + 1 − x n
2
d ⎛ ∂L
⎞
dt ⎜
x ⎟ =
⎝ ∂&
n ⎠
∂L
∂x
n
devine:
m& x&
n = − β ( x n
sau:
− x n −1
) + β ( x n + 1 − x n ) ⇒ Fn
= − β ( x n − x n + 1 ) − β ( x n − x n −1
) (3.5)
& x&
β x + x − 2x
(3.6)
( )
m n = n + 1 n −1
n
Relaţia (3.5) putea fi scrisă direct, întrucât F n reprezintă forţa elastică rezultantă.
Soluţia ecuaţiei (3.6) este:
i ( ωt
− kna)
x n = A e
(3.7)
unde na reprezintă distanţa particulei de ordin n faţă de particula considerată în origine, iar
k reprezintă modulul vectorului de undă. Astfel vibraţiile termice ale atomilor din reţeaua
cristalină ideală considerată pot fi descrise de o undă plană progresivă, care se propagă în
lungul lanţului de atomi. Impunând soluţiei (3.7) să verifice ecuaţia (3.6) obţinem:
2
&
− ω x , x = e
− i ka
⋅ x , x = e
i ka
⋅ x ⇒
x n = n n + 1
n n −1
n
− mω
mω
2
2
= β
= 2β
( i ka
+
− i ka
2
e e − 2 ) ⇒ − mω
= β ( 2 cos ka − 2)
⇒
ka
2
2
( 1−
cos ka)
= 4β
⋅ sin ⇒
β ka
ω = 2 sin
(3.8)
m 2
Formula (3.8) care leagă pulsaţia ω de numărul de undă k constituie relaţia de
dispersie. Deoarece pulsaţia nu este dependentă de ordinul n al atomului, rezultă că toţi
atomii din lanţul considerat vibrează cu aceeaşi pulsaţie. Valorile pozitive ale lui k
corespund undelor progresive, iar valorile negative ale lui k corespund undelor regresive.
Datorită naturii periodice a relaţiei de dispersie, rezultă că valorile distincte ale lui k sunt
cuprinse în intervalul:
π π
− ≤ k <
(3.9)
a a
numit prima zonă Brillouin pentru un lanţ liniar de atomi. Pentru a arăta acest lucru luăm o
valoare a lui k în afara intervalului considerat. Dacă la acest k adăugăm sau scădem un
multiplu întreg de 2π / a atunci vom obţine o valoare k’ care este cuprinsă în intervalul
considerat. Într-adevăr din (3.8) rezultă:
β k′
a β ⎛ 2π
⎞ a β ⎛ ka ⎞ β ka
ω = 2 ⋅ sin = 2 ⋅sin
k s 2 sin s = 2 ⋅ sin = ω
k
⎜ ± ⎟ = ⋅ ⎜ ± π
′
⎟
m 2 m ⎝ a ⎠ 2 m ⎝ 2 ⎠ m 2 k
s = 1 , 2 , 3 , . . .