Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

- 124 -
( 0)
1
a [ E − 2 E1
( k)
] =
k
2
Ω ∑
k′
> kF
r r r
i r(
k′
− k)
a e Vee
dx1dy1dz1
dx 2dy
2dz
k′
∫
2
Presupunem că potenţialul V ee are o formă simplă care să ne permită să scriem
integrala din membrul drept sub forma unui produs:
r r r
1
i r(
k′
− k)
a e Vee
dx dy dz dx dy dz
2 ∑ k
1 1 1 2 2 2
Ω ′ ∫
k′
> kF
= βv
v
k k′
unde constanta β corespunde la o atracţie ( β < 0 ) sau la o respingere ( β > 0 ) a electronilor. În
acest caz obţinem:
( 0)
a [ E − 2 E ( k)
] v
k
1 = β
k ∑
k′
> kF
a v
k′
k′
(3.88)
unde suma din membrul drept nu depinde de k şi de aceea o notăm cu o constantă A:
A = ∑
k′
> kF
a v
k′
k′
(3.89)
Din relaţia (3.88) rezultă:
a
k
βAv
=
k
( 0)
E − 2 E1
( k)
(3.90)
Înlocuind (3.90) în (3.89) pentru a elimina a
k′
obţinem:
A
= ∑
k′
> kF
∑
k′
> kF
βAv
k′
E − 2 E
( 0)
( k′
)
1
( 0)
( k′
)
v
k′
⇒
(3.91)
2
v
1 = β
k′
(3.92)
E − 2 E
( ) ( )
1
0
Deoarece E > 2 E1
k′
conduce la inegalitatea F E 2 E > rezultă că relaţia (3.92)
cere β > 0 (o respingere între electroni), pentru că membrul stâng este pozitiv. Dar acest
proces de respingere între electroni este mai nefavorabil faţă de procesul de atracţie dintre
electroni ( β < 0 ) , deoarece în ultimul caz energia este minimă ( F E 2 E < ). Rezultă că în
cazul unei atracţii între electroni se obţine o stare coerentă specială a cărei energie minimă
este mai mică decât energia minimă a stării normale ( E min = 2 E F ). Pentru a estima energia de
legătură a unei perechi de electroni Cooper vom presupune că:
v
k
⎪⎧
v
′
= ⎨
⎪⎩ 0
0
,
,
E
E
( 0)
≤ E ( k′
1 )
( 0)
( k′
) > E
F
1
≤
max
E
max
(3.93)
unde v 0 este o constantă pozitivă. Introducem densitatea stărilor bielectronice N ( E1
) pe
unitatea intervalului de energie şi presupunem că în (3.92) sumarea se face peste un interval
de valori ale lui k′ suficient de mic lângă suprafaţa Fermi, care să ne permită să trecem de la
sumă la integrală:
Emax
βv
0
1 =
2 ∫
E
N(
E1
) dE1
E − 2 E1
(3.94)
F