Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

- 123 -
Înlocuind (3.82) în (3.81) obţinem:
0
H r , r
0
2 E k
0
r , r
ˆ Ψ
r r
= Ψ
r r
(3.83)
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
1
Presupunem acum că cei doi electroni interacţionează între ei . Pentru a determina
energia minimă a acestei perechi vom exprima funcţia de undă ca o combinaţie liniară a
funcţiilor de undă neperturbate de forma (3.80) corespunzătoare tuturor perechilor de
electroni care s-ar afla în afara sferei Fermi din spaţiul impulsurilor de rază F k h :
r
r r
1
r
( r , r ) a e
i k′
r
1 2 =
⋅ ⋅
⋅
r r k′
(3.84)
Ω
Ψ ∑
k′
> k
F
unde coeficienţii a
k′
se determină din condiţia ca această funcţie de undă să verifice ecuaţia
cu valori proprii:
( 1 2 ) ( H 0 Vee
) ( r1
, r2
) E ( r1
, r2
)
ˆ
H r , r ˆ r r
r r r r
Ψ = + Ψ = Ψ
(3.85)
unde 0 Hˆ este hamiltonianul neperturbat care corespunde energiei cinetice a electronilor
independenţi, iar V ee este energia potenţială de interacţiune dintre cei doi electroni care
formează o pereche Cooper. Înlocuind funcţia de undă (3.84) în ecuaţia (3.85) şi folosind
relaţia (3.83) obţinem:
1
1
1
H e
i k r
E a e
i k r
a V e
i k r
k
k ee
ˆ
r r
r r
r r
⎛ ′ ⎞
′
′
− a
⋅
⋅
⋅
∑ k′
0 ⎜ ⎟ + ∑ ′
⋅ = ∑ ′
⋅
k′
> kF
⎝ Ω ⎠ k′
> k Ω
F
k′
> k Ω
F
r
( ) 1
r
r
[ ( ) ] ′ ⋅
1
r
0
′
− ′ + ⋅ =
⋅
i k ⋅ r
∑ a
′
2 E k E e
i k r
∑ a
′
Vee
e ⇒
k 1
Ω
k Ω
k′
> kF
∑
k′
> kF
a
k
′
( 0)
[ E − 2 E ( k′
) ]
1
r r
e
i k′
⋅ r
=
∑
k′
> kF
k′
> kF
a
k
1
2
V e
i
ee
′
r r
k′
⋅ r
(3.86)
Înmulţind această ecuaţie cu funcţia complex conjugată neperturbată:
( 0)
∗ r r
Ψ ( r1 , r2
) =
r
1
r
⋅ e
− i k⋅
r
Ω
(3.87)
şi integrând peste întreg spaţiul obţinem:
1
∑
r r r
( 0)
i r
[ ( ) ] ( k′
− k)
a E 2 E k′
e dv dv
k′
− 1 ∫
1 2 =
1
Ω ∑
r r r
i r(
k′
− k)
a e Vee
dv dv
k′
∫
1 2
Ω k′
> kF
k′
> kF
rezultă:
Deoarece:
L L
x y Lz
∫ dx1
∫ dy1
∫ dz1
⋅
0 0 0
r
1
r
e
− i k ⋅ r
⋅
Ω
r
1
r
e
i k′
⋅ r
Ω
= δ
k,
k′
L L
x y Lz
∫ dx 2 ∫ dy 2 ∫ dz 2 ⋅
0 0 0
r
1
r
e
− i k ⋅ r
⋅
Ω
r
1
r
e
i k′
⋅ r
Ω
= δ
k,
k′
∫
r
i r
e
r r
( k′
− k)
dv dv
=
Ω
2
δ
k,
k
2
1 2
′