Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

- 122 -
impulsul 2 kr h conduce la o atracţie efectivă între aceşti doi electroni. La temperaturi foarte
joase această interacţiune depăşeşte repulsia electrostatică dintre electroni, dacă aceşti
electroni schimbă între ei fononi cât mai des. Această interacţiune electron-electron realizată
prin intermediul schimbului virtual de fononi conduce la o stare legată a celor doi electroni,
numită pereche Cooper. Astfel la temperatura critică apare o corelaţie puternică între toţi
electronii de conducţie. Probabilitatea de formare a perechilor Cooper este maximă (energia
perechii este minimă) atunci când impulsurile electronilor ce interacţionează sunt egale şi de
semn opus ( k1 r
h = − k 2
r
r r
h ) şi când spinii electronilor sunt antiparaleli ( s1
= − s2
), în acord cu
principiul de excluziune al lui Pauli. Într-un metal normal, la 0 K sunt ocupate toate stările
energetice până la limita nivelului Fermi. Într-un metal supraconductor trebuie să admitem
însă că există sub nivelul Fermi şi unele stări energetice libere, deoarece în caz contrar nu ar fi
posibilă tranziţia electronilor de la starea iniţială (dată de vectorii de undă k1 r şi k 2
r ) la starea
finală caracterizată de vectorii k′ 1
r şi 2 k′
r . O pereche Cooper cu energia minimă, fiind
caracterizată de un impuls total nul ( k1 r
h + k 2
r
h = 0) şi de un spin total nul ( s1 + s2
= 0
r r
) se
comportă ca un bozon (numărul de bozoni dintr-o stare nu este fix). Se spune că perechea
Cooper se comportă ca o cvaziparticulă.
În starea normală ( C T T > ) a unui metal, toate nivelele de energie cu
2 2
E < E F = h k F / 2m
sunt ocupate. Presupunem că ar exista doi electroni independenţi (care
nu interacţionează între ei) în afara sferei Fermi de rază F k h . Energia minimă a acestei
( 0)
perechi de electroni este E min = E F + E F = 2E F . Funcţia de undă ( r1 , r2
)
r r
Ψ care
caracterizează starea normală a celor doi electroni independenţi se exprimă ca un produs al
funcţiilor proprii unielectronice de forma (3.30):
r r r r
( 0)
r r
( 0)
r ( 0)
r 1 i k1⋅
r 1 1 i k2⋅
r2
Ψ ( r1
, r2
) = Ψ1
( r1
) ⋅ Ψ2
( r2
) = e ⋅ e
(3.79)
Ω Ω
r r
Punând k 2 = − k1
(deoarece k1 r
h + k 2
r
h = 0) rezultă:
r r r r r r r
( 0)
r r 1 i k ⋅ r − i k ⋅ r 1 i k
( ) ( r1
− r2
) r r r
1 1 1 2
1
Ψ r1 , r2
= ⋅ e ⋅ e = ⋅ e
, r = r1
− r ⇒
Ω
Ω
r r
( 0)
r r 1 i k1⋅
r
Ψ ( r1
, r2
) = ⋅ e
(3.80)
Ω
Ecuaţia cu valori proprii pentru acest sistem se exprimă astfel:
( 0)
( 0)
( 0)
H 0 ( r1
, r2
) E ( r1
, r2
)
ˆ r r
r r
Ψ = Ψ
(3.81)
unde:
Hˆ Hˆ Hˆ = +
H ˆ
H ˆ
0
01
0 2
Ψ
01
0 2
( 0)
( 0)
( 0)
( r ) = E Ψ ( r )
1
Ψ
r
1
1
( 0)
( 0)
( 0)
( r ) = E Ψ ( r )
2
r
2
2
1
2
r
1
r
2 2
2 2 2 2
h k
h k h k
E E1
E 2 , E1
k1
, E 2 k 2
1 1
2m
2m
2m
2
( 0)
( 0)
( 0)
( 0)
1 ( 0)
2
1 ( 0)
= + ( ) =
( ) = = = E ( k ) ⇒
( 0)
( 0)
( k ) 2 E ( k )
E = (3.82)
1
1
1