Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

Pentru β → ∞
sh
2
b 0
lim
2
β
⋅
αβ
→ ∞ → β
- 118 -
2 2 2
şi b → 0 rezultă β − α → β , αc
→ αa
, c + b = a ,
( βb)
=
1
a α
( βb)
ab sh
2 b
b 0
lim
2
β
⋅
β
→ ∞ → β
=
1
a α
ab
2
b 0
lim
2
β
→ ∞ → β
( 3.
74)
=
deoarece
sh(
βb)
lim = 1
b → 0 βb
În relaţiile de mai sus se consideră mai întâi limita pentru b → 0 şi apoi limita pentru
β → ∞ . În aceste condiţii limită relaţia (3.73) devine:
( αa)
C
αa
sin
C ⋅ + cos ( αa)
= cos ( ka)
(3.75)
αa
Dacă C este foarte mic, atunci putem neglija primul termen din membrul stâng al
relaţiei (3.75). Din (3.75) şi (3.63) rezultă:
2 2 2 2
⎡ π π⎤
h α h k
cos α a = cos ka ⇒ α = k (pentru k ∈
⎢
− , ) ⇒ E = =
⎣ a a ⎥
⎦
2m
2m
Am obţinut cazul limită al unui electron liber care poate lua orice energie. Desigur,
2π
⎛ 2π
⎞
pentru α′ = k + obţinem cos α′ a = cos ⎜k
+ ⎟ a = cos ( ka)
.
a
⎝ a ⎠
Dacă C este foarte mare, deoarece cos ( ka)
din (3.75) este cuprins între − 1 şi 1 ,
sin ( α a)
rezultă că trebuie să fie foarte mic. La limită, pentru C → ∞ trebuie ca:
αa
sin ( αa)
→ 0 ⇒ αa
= nπ
, n = ± 1,
± 2 , . . . (3.76)
αa
Din (3.63) şi (3.76) rezultă:
2 2 2 2 2
h α n π h
E = = , n = 1,
2 , . . .
(3.77)
2
2m
2ma
Am obţinut cazul limită al unui electron aflat într-o groapă de potenţial cu pereţii
infiniţi. În acest caz energia electronului poate lua numai anumite valori (determinate de
condiţia (3.76) ).
Valorile lui α a pentru care:
sin ( αa)
C ⋅ + cos ( αa)
≤ 1
(3.78)
αa
definesc valorile permise pentru energia electronului. Valorile lui α a pentru care valoarea
absolută a membrului stâng al relaţiei (3.75) este mai mare ca 1 (valoarea maximă a
membrului drept) definesc intervalele (benzile) de energie interzise. Se constată că benzile de
energie interzise apar şi pentru valori ale energiei 0 V E > .
Pentru a evidenţia alternanţa benzilor de energie permise cu aceea a benzilor de
energie interzise, membrul stâng al relaţiei (3.75) este reprezentat grafic pentru o valoare
oarecare a mărimii C.
Pentru o valoare finită a lui C şi pentru αa = ± nπ
rezultă:
sin ( αa)
C ⋅ + cos ( αa)
= cos ( ± nπ)
, n = 1,
2 , 3 , . . .
αa
α
a = π ⇒ cos π = −1
, αa
= 2π
⇒ cos 2π
= 1 , αa
= − π ⇒ cos − π = −1
( ) ( )