Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei
Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei
n ( r + na) = C Ψ( r ) - 115 - r r r Ψ (3.47) În cazul unui cristal real atomii de la capete au o influenţă neglijabilă, astfel că pentru un N destul de mare putem scrie: r r r Ψ ( r + Na) = Ψ( r ) ≡ condiţia de ciclicitate (3.48) r r Ψ ( r + Na) = (3.47) = N r C Ψ( r) (3.49) Din aceste două relaţii rezultă: C = 1 ⇒ N (3.50) i 2πl C = e N i 2πla = e Na = e i ka r r = e i k ⋅ a (3.51) unde: k = 2πl Na = 2πl L (3.52) l = 0 , 1, 2 , . . . , N −1 (3.53) ≡ (3.14) 2πil Din relaţiile (3.46) şi (3.51) rezultă: ). r r r r Ψ ( + ) = i k ⋅ a r r a e Ψk ( r) ⇒ r r r r r r r − () ( ) ( + ) Ψ = − i k ⋅ a r r r ⋅ Ψ + = i k ⋅ r i k r a r r k r e r a e ⋅ e ⋅ Ψ( r + a) 14442 r 44443 uk () r ⇒ (3.54) Ψ r r r = e i k ⋅ r ⋅ u r (3.55) (Se verifică faptul că C e cos ( 2 ) i sin ( 2 ) 1 N = = πl + πl = k () () r k unde: r r r r − ( ) ( + + (3.54) r r r r r r r ik r a a) r r r − ik ( ) ( r + a + a r ) u r + a = e Ψ r + a + a ⋅ ik ⋅ a r r k = e e ⋅ Ψk ( r + a) = r r r − ik( r + a) r r r = e ⋅ Ψk ( r + a) = u k ( r) (3.56) = (3.41) r Funcţia Ψ k () r este numită funcţia Bloch. În cazul tridimensional relaţiile au aceeaşi formă. Din (3.54) se constată că densitatea de probabilitate are aceeaşi periodicitate spaţială ca şi potenţialul efectiv din relaţia (3.40). Într-adevăr: r r r r r r 2 i k a i k a r 2 r Ψ r + a = e − ⋅ ⋅ e ⋅ ⋅ Ψ r = Ψ r ( ) () () 2 3.7. Benzile de energie. Modelul Kronig-Penney Experimental s-a stabilit că potenţialul unui ion dintr-o reţea metalică este diferit de un potenţial de tip coulombian ( Ze / 4πε 0r ) (deoarece electronii de valenţă ecranează ionul metalic). Debye a propus o formulă pentru energia potenţială de interacţiune dintre ionul 2 − r / r Ze / r e r este raza efectivă de interacţiune metalic şi un electron, de forma ( ) D − 0 unde D k k
- 116 - a ionului cu un electron. Energia potenţială scade foarte repede cu distanţa, din cauza factorului exponenţial. De aceea, pentru distanţe mari faţă de ion, energia potenţială este aproximată cu o constantă. Întrucât cele mai importante rezultate nu depind de forma potenţialului, vom aproxima energia potenţială cu un şir de gropi de potenţial de lăţime c intercalate de bariere de potenţial de lăţime b şi înălţime V 0 . V ( ) ⎨ ⎩ ⎧ x = Modelul Kronig-Penney ( V0 → ∞ , b → 0 , V0b = finit) b = 0 ⇒ c = a 0 , n (c + b) ≤ x ≤ n ( c + b) + c V , n (c + b) + c ≤ x ≤ n ( c + b) + c + b = (n + 1) (c + b) 0 Fiecărui ion din nodurile reţelei cristaline i se asociază o groapă de potenţial unidimensională. În acest caz relaţiile (3.40) , (3.48) , (3.55) şi (3.56) devin: unde: ( x) V( x a) V = + (3.57) ( x ) = Ψ( x + Na) Ψ (3.58) Ψ i k x (3.59) k ( ) = e ⋅ u ( x) x k ( x) u ( x + a) u k k = (3.60) Pentru regiunile I şi II ecuaţia Schrödinger este ( 0 V E 0 < < ): d 2 2 dx 2 d Ψ dx Ψ 1 2 2 2m + ⋅ EΨ 2 1 = h 2m + 2 h 0 (regiunea I) d 2 2m 2 h 2 ( E − V ) Ψ = 0 ⇒ − ( V − E) Ψ = 0 (regiunea II) Soluţiile acestor ecuaţii sunt: 0 2 dx Ψ 2 Ψ = A e i α x + B e − i α x (3.61) 1 1 1 − β x β x Ψ = A e + B e (3.62) 2 2 2 2mE α = (3.63) 2 h ( V − E) 2m 0 β = (3.64) 2 h Pentru a pune în evidenţă funcţiile de undă de tip Bloch (3.59) vom scrie soluţiile sub forma: 0 2
- Page 1 and 2: - 106 - 3. Elemente de fizica solid
- Page 3 and 4: C V 2 - 108 - ⎛ hν ⎞ ⎛ hν
- Page 5 and 6: - 110 - La acelaşi rezultat se aju
- Page 7 and 8: - 112 - m / m ∗ este de 0,69 la L
- Page 9: - 114 - 3.6. Teorema lui Bloch În
- Page 13 and 14: Pentru β → ∞ sh 2 b 0 lim 2 β
- Page 15 and 16: - 120 - Astfel fiecare nivel de ene
- Page 17 and 18: - 122 - impulsul 2 kr h conduce la
- Page 19 and 20: - 124 - ( 0) 1 a [ E − 2 E1 ( k)
- Page 21: - 126 - Am folosit faptul că / v N
- 116 -<br />
a ionului cu un electron. Energia potenţială sca<strong>de</strong> foarte repe<strong>de</strong> cu distanţa, din cauza<br />
factorului exponenţial. De aceea, pentru distanţe mari faţă <strong>de</strong> ion, energia potenţială este<br />
aproximată cu o constantă. Întrucât cele mai importante rezultate nu <strong>de</strong>pind <strong>de</strong> forma<br />
potenţialului, vom aproxima energia potenţială cu un şir <strong>de</strong> gropi <strong>de</strong> potenţial <strong>de</strong> lăţime c<br />
intercalate <strong>de</strong> bariere <strong>de</strong> potenţial <strong>de</strong> lăţime b şi înălţime V 0 .<br />
V<br />
( ) ⎨<br />
⎩ ⎧<br />
x =<br />
Mo<strong>de</strong>lul Kronig-Penney<br />
( V0 → ∞ , b → 0 , V0b<br />
= finit)<br />
b = 0 ⇒ c = a<br />
0 , n (c + b) ≤ x ≤ n ( c + b) + c<br />
V , n (c + b) + c ≤ x ≤ n ( c + b) + c + b = (n + 1) (c + b)<br />
0<br />
Fiecărui ion din nodurile reţelei <strong>cristalin</strong>e i se asociază o groapă <strong>de</strong> potenţial<br />
unidimensională. În acest caz relaţiile (3.40) , (3.48) , (3.55) şi (3.56) <strong>de</strong>vin:<br />
un<strong>de</strong>:<br />
( x)<br />
V(<br />
x a)<br />
V = +<br />
(3.57)<br />
( x ) = Ψ(<br />
x + Na)<br />
Ψ (3.58)<br />
Ψ<br />
i k x<br />
(3.59)<br />
k<br />
( ) = e ⋅ u ( x)<br />
x k<br />
( x)<br />
u ( x + a)<br />
u k<br />
k<br />
= (3.60)<br />
Pentru regiunile I şi II ecuaţia Schrödinger este ( 0 V E 0 < < ):<br />
d<br />
2<br />
2<br />
dx<br />
2<br />
d Ψ<br />
dx<br />
Ψ<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2m<br />
+ ⋅ EΨ<br />
2 1 =<br />
h<br />
2m<br />
+ 2<br />
h<br />
0<br />
(regiunea I)<br />
d<br />
2<br />
2m<br />
2<br />
h<br />
2<br />
( E − V ) Ψ = 0 ⇒ − ( V − E)<br />
Ψ = 0 (regiunea II)<br />
Soluţiile acestor ecuaţii sunt:<br />
0<br />
2<br />
dx<br />
Ψ<br />
2<br />
Ψ = A e<br />
i α x<br />
+ B e<br />
− i α x<br />
(3.61)<br />
1<br />
1<br />
1<br />
− β x β x<br />
Ψ = A e + B e<br />
(3.62)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2mE<br />
α =<br />
(3.63)<br />
2<br />
h<br />
( V − E)<br />
2m 0<br />
β =<br />
(3.64)<br />
2<br />
h<br />
Pentru a pune în evi<strong>de</strong>nţă funcţiile <strong>de</strong> undă <strong>de</strong> tip Bloch (3.59) vom scrie soluţiile sub<br />
forma:<br />
0<br />
2
Change language