Elemente de fizica solidului cristalin [pdf - Andrei

n
( r + na)
= C Ψ(
r )
- 115 -
r r r
Ψ (3.47)
În cazul unui cristal real atomii de la capete au o influenţă neglijabilă, astfel că pentru
un N destul de mare putem scrie:
r r r
Ψ ( r + Na)
= Ψ(
r ) ≡ condiţia de ciclicitate (3.48)
r r
Ψ ( r + Na)
=
(3.47)
=
N r
C Ψ(
r)
(3.49)
Din aceste două relaţii rezultă:
C = 1 ⇒
N
(3.50)
i 2πl
C = e N
i 2πla
= e Na = e
i ka
r r
= e
i k ⋅ a
(3.51)
unde:
k =
2πl
Na
=
2πl
L
(3.52)
l = 0 , 1,
2 , . . . , N −1
(3.53) ≡ (3.14)
2πil
Din relaţiile (3.46) şi (3.51) rezultă:
).
r
r r
r
Ψ ( + ) =
i k ⋅ a r
r a e Ψk
( r)
⇒
r
r r r r
r
r
−
() ( ) ( + ) Ψ =
− i k ⋅ a r r
r
⋅ Ψ + =
i k ⋅ r i k r a r r
k r e r a e ⋅ e ⋅ Ψ(
r + a)
14442
r
44443 uk
() r
⇒
(3.54)
Ψ
r
r r
= e
i k ⋅ r
⋅ u
r
(3.55)
(Se verifică faptul că C e cos ( 2 ) i sin ( 2 ) 1
N
= = πl
+ πl
=
k
() ()
r k
unde:
r r r r
−
( ) ( + +
(3.54)
r r r r r
r r ik
r a a)
r r r − ik
( ) ( r + a + a
r ) u r + a = e
Ψ r + a + a
⋅
ik
⋅ a r r
k
= e
e ⋅ Ψk
( r + a)
=
r r r
− ik(
r + a)
r r r
= e ⋅ Ψk
( r + a)
= u k ( r)
(3.56) = (3.41)
r
Funcţia Ψ k () r este numită funcţia Bloch. În cazul tridimensional relaţiile au aceeaşi
formă.
Din (3.54) se constată că densitatea de probabilitate are aceeaşi periodicitate spaţială
ca şi potenţialul efectiv din relaţia (3.40). Într-adevăr:
r r
r r
r r
2 i k a i k a r 2 r
Ψ r + a = e
− ⋅
⋅ e
⋅
⋅ Ψ r = Ψ r
( ) () () 2
3.7. Benzile de energie. Modelul Kronig-Penney
Experimental s-a stabilit că potenţialul unui ion dintr-o reţea metalică este diferit de un
potenţial de tip coulombian ( Ze / 4πε
0r
) (deoarece electronii de valenţă ecranează ionul
metalic). Debye a propus o formulă pentru energia potenţială de interacţiune dintre ionul
2 − r / r
Ze / r e
r este raza efectivă de interacţiune
metalic şi un electron, de forma ( ) D
− 0
unde D
k
k