81 3.4. Circuite de ordinul doi 3.4.1. Introducere Circuitele ... - derivat

3.4. Circuite de ordinul doi
3.4.1. Introducere
Circuitele care contin doua elemente dinamice ( doua condensatoare, doua bobine sau un
condensator si o bobina) se numesc circuite de ordinul doi. Un circuit liniar de ordinul doi contine
rezistoare liniare, elemente dinamice liniare, surse comandate liniar si surse independente.
x
x =
x
⎡ 1 ⎤
⎣⎢
2 ⎦⎥
Un astfel de circuit poate fi caracterizat prin ecuatia de stare x = Ax + u() t cu
vectorul var iabilelor de stare ( u
C
pentru condensatoare si i
L
pentru bobine)
u () t
ut () = vectorul marimilor de int rare
u () t
⎡ 1 ⎤
−
⎣⎢
2 ⎦⎥
81
a a
A = matricea de stare
a a
⎡ 11 12 ⎤
−
⎣⎢
21 22 ⎦⎥
Ecuatiei de stare x = Ax + u() t ii corespund ecuatii diferentiale scalare de ordinul doi pentru x1si x 2 :
.. .
x = T x − ∆x
+ u ( )
0
1 1 1 a t cuconditiaa
≠
12
.. .
x = T x − ∆x
+ u ( t)
cuconditiaa
≠ 0
2 2 2 b
21
unde: T=a 11 +a 22 se numeste urma matricei A, ∆=a 11 a 22- a 12 a 21 este determinantul matricei A si
.
ua () t =− a
22
u
1
() t + a
12
u
2
() t + u () t
1
.
u () t = a u () t − a u () t + u () t
b 22 1 11 2 2
Daca a 12 =a 21 =0 ecuatia de stare se reduce la doua ecuatii diferentiale de ordinul intai. Pentru a
deduce ecuatiile de ordinul II se considera a12≠0, a21≠0 si se deriveaza in raport cu timpul ecuatia
de stare
.. . . .
x 1 = a x + a x + u1(
t)
11 1 12 2
Se inlocuiesc x .
si x. cu expresiile date de ecuatia de stare si rezulta:
1 2
..
.
x a ( a x a x u ( t)) a ( a x a x u ( t)) u () t
1 11 11 1 12 2 1 12 21 1 22 2 2 1
..
.
x1( a
11
a a ) x ( a a a a ) x a u ( t) a u ( t) u () t
dar a x x a x u () t
2
12 21 1 11 12 12 22 2 11 1 12 2 1 1
= + + + + + +
= + + + + + +
12 2
= −
1 11 1
−
1
..
x ( a a a ) x ( a a )( x a x u t a u t a u t u t
x a a x a a a a x a u t a u t u t
.
.
()) () () ()
..
( ) .
1 11
.
( ) () () ()
2
= +
12 21 1
+
11
+
22
1−
11 1
−
1
+
11 1
+
12 2
+
1
=
1 11
+
22
−
1 11 22
−
12 21 1
−
22 1
+
12 2
+
1

In mod similar se obtine si ecuatia de ordinul doi pentru x 2 .
3.4.2. Scrierea ecuatiilor de stare ale circuitelor liniare
Orice circuit liniar invariant in timp de ordinul doi poate fi considerat ca un cuadripol
diport rezistiv liniar N (care contine rezistoare liniare si surse independente) cu elementele
dinamice conectate la porti. Se urmareste scrierea unui sistem de doua ecuatii diferentiale de
ordinul intai avand ca necunoscute variabilele de stare (tensiunile condensatoarelor si curentii prin
bobine).
Circuitul cu doua condensatoare
Pentru fiecare condensator se poate scrie
. i . i
u =
1
u
2
1 C 2
1
C
2
−
=−
Daca N are o solutie unica pentru orice u 1 , u 2
atunci N are o reprezentare controlata in tensiune (vezi paragraful 2.4.3.3.):
⎡i
g g u is t
1⎤
=
11 12 1 1
i g g u is t
⎣⎢
2⎦⎥
21 22 2 2
⎡ ⎤
⎣⎢
⎦⎥ ⎡ ⎤
+
⎣⎢
⎦⎥ ⎡ () ⎤
⎢⎢
⎥⎥ ()
⎣ ⎦
Se exprima i1 si i2 in functie de u 1,
C1 si , u 2 , C2 si se obtine:
g g
is () t
11 12
1
⎡
.
⎤
u C C u C
⎢⎢
1⎥⎥
1 1 1 1
. g g u i
u
s t
2 21 22
()
⎣ ⎦
2 2
C
2
C
2
C
2
=
⎡ − − ⎤ ⎡ − ⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎥⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢⎢
⎥⎥⎥⎥⎥
⎡ ⎤
+
− −
−
⎣⎢
⎦⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦
ceeace reprezinta ecuatiile de stare pentru acest circuit.
Circuitul cu doua bobine
82

di
di
Pentru fiecare bobina se scrie: u =− L
1
, u =−L
2
1 1 dt 2 2 dt
Daca N are o solutie unica pentru orice i1 , i2 , atunci N are o reprezentare controlata in curent
(vezi
paragraful 2.4.3.3.) si ecuatia de stare este:
⎡ −r r
us t
11
−
12 ⎤ ⎡ − () ⎤
1
⎡ . ⎤ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢i
L L i L
1 ⎥ 1 1 1 1
.
=
⎢
⎥⎡
⎤ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢−r
r i u
i 21
− ⎥⎢
⎥ + ⎢
22
− s () t ⎥
2
⎣⎢
2 ⎦⎥
⎢
⎥⎣
⎦ ⎢ 2 ⎥
⎣⎢
L
2
L
2 ⎦⎥
⎢
⎣
L
⎥
2 ⎦
Circuitul cu o bobina si un condensator
Tensiunea la bornele bobinei este u
2
=− Li
2
.
si curentul prin condensator este i
1
=− Cu
1
.
.
Daca N are o solutie unica pentru orice u1 si i2 atunci N are o reprezentare hibrida corespunzatoare
(vezi capitolul 2) si ecuatia de stare este:
⎡ −h h
is () t
. 11
−
12 ⎤ ⎡ − ⎤
1
⎡
u
⎤ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ C C u
1⎥
1 1 1
C
1
⎢.
⎥
=
⎢
⎥⎡
⎤ ⎢ ⎥
⎢−h
h i u
i 21
− ⎥⎢
⎥ + ⎢
22
− s () t ⎥
2
⎣⎢
2 ⎦⎥
⎢
⎥⎣
⎦ ⎢ 2 ⎥
⎣⎢
L
2
L
2 ⎦⎥
⎢
⎣
L
⎥
2 ⎦
3.4.3. Raspunsul unui circuit liniar la excitatie nula
In cazul excitatiei nule u(t)=0 ecuatia de stare devine
.
x = Ax sau
⎡
.
x
⎤
⎢ ⎥ a a x
⎢ . ⎥
=
a a x
x
⎣⎢
⎦⎥
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎡
1 11 12 1
⎤
⎢ ⎥
21 22 ⎣ 2
⎦
2
83

Primul pas pentru rezolvarea ecuatiei de mai sus este determinarea valorilor proprii λ1 si λ2 ale
matricei A. λ 1 si λ 2 sunt solutiile ecuatiei.
⎡a
det
11
− λ a
12 ⎤
= λ
2
− ( a a ) ( a a a a )
2
T
a
21
a
11
+
22
λ +
11 22
−
12 21
= λ − λ + ∆ = 0
⎣⎢
22
− λ
⎦⎥
s1,
2
T
= ±
2
2
T
− ∆
4
1
s1 si s2 sunt frecventele naturale ale circuitului (vezi capitolul 7). Daca ∆≠ T
2
atunci s1≠s2 4
sunt sau numere reale sau numere complex conjugate. Pasul urmator in rezolvarea ecuatiei de stare
este determinarea unor vectori proprii η1 si η2 unde
η
η
1
=
11
η
12
⎡ ⎤
⎣⎢
⎦⎥
si
η
η
2
=
21
η
22
⎡ ⎤
⎣⎢
⎦⎥
Prin definitie η1 si η2 sunt doi vectori nenuli care satisfac relatiile: Aη 1
= s
1
η
1
siAη 2
= s
2
η
2
.
Daca se cunosc valorile proprii s1≠s2 si vectorii asociati lor η1 si η2 solutia ecuatiei de stare poate
fi scrisa xt k e st s t
() = (
1
) + ( k e )
1
1 2 2
η η
2
unde k1 si k2 sunt constante arbitrare determinate de
conditiile initiale x(0). Intr-adevar
xt ke st s k e s t s k e st A k e s t .
( ) = (
1
) + ( ) = ( ) + ( ) A = Ax.
1
11 2 2
2 2 1 1
1 2 2
η η η η
2
3.4.4. Comportarea calitativa a unui circuit liniar cu excitatie nula
Solutia x(t) are doua componente: x1(t) si x2(t). Evolutia circuitului plecand de la o stare
initiala (x1(0), x2(0)) poate fi reprezentata printr-o curba in planul de coordonate x1, x2 (planul
fazelor). Aceasta curba se numeste traiectorie si se obtine eliminand timpul din expresiile lui x1(t)
si x2(t).
84

Evolutia circuitului corespunzatoare mai multor stari initiale poate fi reprezentata printr-o
multime de traiectorii in planul fazelor. Aceste traiectorii formeaza un portret de faza.
Starea de echilibru este o stare initiala care ramane nemodificata in cursul evolutiei
circuitului. Aceasta stare corespunde unui punct de echilibru x1Q, x2Q din planul fazelor astfel
incat daca x1(0)=x1Q si x2(0)=x2Q atunci x1(t)=x1Q si x2(t)=x2Q. In consecinta, in punctul de
echilibru avem x = 0 si x = 0.
1 2
Punctele de echilibru se pot determina rezolvand sistemul de ecuatii Ax=0 adica
⎡a11
a12⎤⎡x1Q⎤
⎢
0
⎣a21
a
⎥⎢
22 ⎦⎣x
⎥ =
2Q
⎦
Daca ∆≠0 acest sistem admite numai solutia banala si originea este singurul punct de echilibru
adica x1Q = x2Q =0. Daca ∆=0 atunci avem o infinitate de puncte de echilibru care satisfac ecuatia
a11 x1Q +a12 x2Q =0.
In continuare vom arata ca doua traiectorii nu se pot intersecta intre ele intr-un punct care
nu este punct de echilibru. Fie un circuit neliniar de ordinul doi avand ecuatiile de stare
xC = f ( x , x ) si xC = f ( x , x ) . Panta tangentei la traiectorie
1 1 1 2 2 2 1 2
dx
dx
2
1
poate fi calculata ca
x
x
2
1
f2( x1, x2)
= ceea ce reprezinta o valoare unica intr-un punct dat.
f ( x , x )
1 1 2
Intr-un punct de intersectie a doua traiectorii ar exista, in mod evident, doua pante, deci
traiectoriile nu se pot intersecta. De la aceasta regula fac exceptie punctele de echilibru in care
f1( x1, x2) = 0 si f2( x1, x2)
= 0 deci dx2
dx
0
= (nedeterminat) si deci pot exista mai multe pante.
0
1
Asa cum se va vedea in continuare portretul de faza, in care este reprezentata evolutia circuitului
pornind din orice stare initiala, constituie o imagine sintetica a comportarii calitative a circuitului.
s t s t
Fie xt ()= ke
1
+ k e 1
1 2 2 η η
2
solutia ecuatiei de stare Cx = Ax cu valorile proprii s1 si s2
si vectorii proprii η1 si η2. Valorile proprii determina comportarea calitativa a circuitului. In
continuare se discuta toate cazurile posibile pentru s1 si s2.
85

Cazul 1. Matricea A are valori proprii reale si distincte respectiv T
4
T T
2
T T
2
s
1
= + − ∆ si s
2 4 2
= − −∆
. Exista trei posibilitati:
2 4
86
2
> ∆ si ∆ ≠ 0 si
s t s t
a) s2 0 Cu un rationament asemanator rezulta ca daca t →+∞, k
1
e 1
dominant si traiectoriile tind catre ∞ si sunt paralele cu η 1 si daca t k e
η
1
devine
s t
→−∞, 2
2
η
2
devine
dominant si traiectoriile pleaca din origine tangente la η 2 . In acest caz se spune despre origine ca
este un nod instabil.

s t
c) s2

a) pentru α=0 solutia ecuatiei de stare devine
r
xt () = k( rcos( + t) − isin( + t) cu r=
si i
r
⎡ ⎤
⎢ ⎥ =
⎣ ⎦
⎡
η 1 η
2 η ϕ ω η ϕ ω η
η
η
⎢
2 ⎣η
si portretul de faza este o elipsa care are pe η
i
si η r drept directii conjugate. In acest caz
starea de echilibru x=0 se numeste centru si corespunde raspunsului fara pierderi. Cele doua
variabile de stare vor fi: x () t = A cos( ω t + θ ) , x () t = A cos( ω t + θ ) , unde A , A , θ , θ
sunt constante.
1 1 1
88
2 2 2
i1
i2
⎤
⎥
⎦
1 2 1 2
b)daca α 0 x(t) are aceeasi expresie ca la punctul b iar portretul de faza contine spirale
logaritmice care tind spre infinit cand t →∞.
In acest caz, starea de echilibru x=0 este un focar instabil.

3.4.5. Ecuatiile de stare ale circuitelor neliniare
Ecuatiile de stare pentru un circuit neliniar de ordinul doi scrise sub forma
⎧ x1
= f1(
x1,
x2
, t)
x = f ( x,
t)
sau⎨
se numesc ecuatii de stare in forma normala.
⎩x2
= f 2 ( x1,
x2
, t)
Scrierea ecuatiilor de stare in forma normala rezulta pentru orice circuit neliniar corect modelat.
Multe metode numerice de rezolvare a ecuatiilor diferentiale neliniare sunt formulate pentru forma
normala a ecuatiilor.
In cazul in care circuitul contine numai elemente invariante in timp si surse independente
de curent continuu, variabila timp nu mai apare explicit in ecuatii si acestea sunt de forma
⎧ x1
= f1(
x1,
x2
)
x = f ( x)
sau⎨
si se numesc ecuatii de stare autonome, iar circuitul se numeste
⎩x2
= f 2 ( x1,
x2
)
circuit autonom. Un circuit in care parametrii surselor independente sunt functii neconstante de
timp se numeste circuit neautonom.
neliniare:
Pentru scrierea ecuatiilor de stare se iau in considerare cele trei configuratii posibile:
Alegerea variabilelor de stare se face in functie de tipurile condensatoarelor si bobinelor
- pentru condensatoare controlate in tensiune, variabila de stare este tensiunea;
- pentru condensatoare controlate in sarcina, variabila de stare este sarcina;
- pentru bobinele controlate in curent, variabila de stare este curentul;
- pentru bobinele controlate in flux, fluxul magnetic este variabila de stare.
In continuare se procedeaza la fel ca in cazul circuitelor liniare. Daca presupunem ca diportul
rezistiv N are o solutie unica pentru orice valori ale parametrilor surselor independente de la porti
alese corespunzator, atunci exista urmatoarele reprezentari ale lui N:
- reprezentarea controlata in tensiune (circuitul cu doua condensatoare)
i1 = i1( u1, u2, t)
i = i ( u , u , t)
2 2 1 2
89

- reprezentarea controlata in curent (circuitul cu doua bobine)
u1 = u1( i1, i2, t)
u = u ( i , i , t)
2 2 1 2
- o reprezentare hibrida (circuitul cu condensator si bobina)
i1 = i1( u1, i2, t)
u = u ( u , i , t)
2 2 1 2
care se utilizeaza la scrierea ecuatiilor de stare. Iata cateva exemple:
i) Fie un circuit autonom cu doua condensatoare controlate in tensiune avand ecuatiile
constitutive q = q< ( u ) si q = q< ( u ). Exprimam pe i si i in functie de variabilele de stare
u si u
1 2 :
i
i
1
2
1 2 1 2 2 2
90
1 2
dq1
dq1
dq1( u1)
=− =− uC 1 =− C1( u1)C u1 cu C1( u1)
=
dt du du
1
dq2
dq2
dq2( u2)
=− =− uC 2 =− C2( u2)C u2 cu C2( u2)
=
dt du du
2
1
si ecuatiile de stare sunt: C
< 1
u
( , ), C
<
1
=− i u u u
i ( u , u )
C ( u ) 1 1 2 2
=−
1 1
C
2
( u
2
) 2 1 2
ii) Fie un circuit autonom cu doua condensatoare controlate in sarcina avand ecuatiile
constitutive u = u< ( q ) si u = u< ( q ). Variabilele de stare fiind q1 si q2 rezulta
1 1 1 2 2 2
i
1
=− q
1
, i
2
=−q
2
si ecuatiile de stare sunt:
qC =− i< ( u ( q ), u ( q )) sau qC=− ~
i ( q , q ) si qC=− ~
i ( q , q ).
1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2
iii) Fie un circuit autonom cu o bobina controlata in curent de ecuatie constitutiva
φ = φ<
( i ) si o bobina controlata in flux de ecuatie constitutiva i = i ( φ ). Exprimam pe
1 1 1
u si u
1 2
1
2
2 2 2
in functie de variabilele de stare i1 si φ 2 tinand seama ca tensiunea asociata dupa
regula de la receptoare cu curentul din bobina este u
C
( ) < ( ,<
1 1
i
( )) ~
1 =− u1 i1 i2
φ 2 =− u1( i1,
φ 2)
L1 i1 L1( i1) C φ =− u< ( i , i ( φ )) =−u~
( i , φ )
2 2 1 2 2 2 1 2
Celelalte cazuri se trateaza similar.
d
=
dt
φ .
3.4.6. Comportarea calitativa a unui circuit neliniar in jurul unui punct de echilibru
Starea de echilibru este data de solutiile ecuatiilor f ( x , x ) = 0 si f ( x , x ) = 0.
1 1 2 2 1 2
Pentru circuite autonome neliniare curbele corespunzatoare celor doua ecuatii se pot intersecta in

mai multe puncte (puncte de echilibru) si deci exista mai multe stari de echilibru. In continuare se
studiaza com-
portarea unui circuit neliniar autonom in jurul unui punct de echilibru Qx (
1Q , x ).
2Q
Conceptele de traiectorie si portret de faza introduse la studiul circuitelor liniare de ordinul
doi pot fi utilizate si pentru circuitele neliniare. Traiectoria este curba care se obtine in planul
x1 − x2
eliminand pe t din expresiile x1() t si x2(). t Acesata curba se poate vizualiza aplicand
semnalele x1() t si x2() t pe placile de deflexie pe verticala si pe orizontala ale unui osciloscop.
Portretul de faza ofera informatii despre comportarea calitativa a circuitului; de exemplu, o
traiectorie inchisa inseamna ca circuitul oscileaza si o spirala care converge spre punctul de
echilibru inseamna ca oscilatiile sunt amortizate.
Ecuatiile de stare ale circuitului sunt: x = f ( x) sau
⎧x1
= f1( x1, x2)
⎨
⎩x2
= f ( x1, x2)
Se dezvolta f1 si f2
in serie Taylor in jurul punctului de echilibru Qx ( Q, x Q)
∂ f1
x1 = f1( x1Q, x2Q)
+
∂ x1
∂ f1
Q( x1 − x1Q)
+
∂ x2
Q( x2 − x2Q)
+ ...
∂ f 2
x2 = f2( x1Q, x2Q)
+
∂ x
∂ f 2
Q( x1 − x1Q)
+
∂ x
Q( x2 − x2Q)
+ ...
1
2
91
1 2 .
Deoarece Q este punctul de echilibru f ( x , x ) = 0 si f ( x , x ) = 0.
Notam
x
1
= x
1
− x
1Q , x
2
= x
2
− x
2Q
si
a
a
11
21
∂ f
=
∂ x
∂ f
=
∂ x
1 1Q 2Q 2 1Q 2Q
1
1
2
1
Q
Q
si
si
a
a
12
22
∂ f
=
∂ x
1
2
∂ f
=
∂ x
Daca se pot neglija termenii de ordin superior din dezvoltarea Taylor ecuatiile de stare se pot scrie:
x = a x + a x
x = a x + a x
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
Astfel s-a aproximat ecuatia de stare neliniara cu o ecuatie liniara in jurul punctului de echilibru.
2
2
Q
Q

In jurul punctului Q, portretul de faza al circuitului neliniar autonom este similar cu
portretul de faza asociat acestei ecuatii liniare. Deci comportarea calitativa a circuitului neliniar in
jurul unui punct de echilibru se poate studia cu ajutorul circuitului liniar asociat ecuatiei de stare de
mai sus. Daca, de exemplu, pentru circuitul liniar originea este nod stabil sau instabil acelasi lucru
se poate spune si despre punctul de echilibru al circuitului neliniar.Aceeasi afirmatie se poate face
si pentru focare. Atunci cand originea este centru in ecuatiile neliniare intervin termenii de ordin
superior care nu mai pot fi neglijati si nu se mai poate face interpretarea comportarii calitative a
circuitului neliniar in functie de modelul liniarizat.
3.4.7. Oscilatii in circuitele neliniare
Orice raspuns al unui circuit autonom neliniar este determinat atat de starea initiala cat si de
excitatii (sursele independente de curent continuu). Daca intr-un astfel de circuit exista cel putin un
raspuns (tensiune sau curent) care este functie periodica de timp spunem ca circuitul oscileaza (este
un oscilator).
Un oscilator simplu utilizat in multe aplicatii este circuitul RLC serie in care elementele
dinamice sunt liniare cu parametri pozitivi (L>0, C>0) si rezistorul este neliniar. Starea initiala
C 2 L 2
(uC(0) si I2(0)) determina o energie totala W(
0)
= uC
( 0)
+ iL
( 0) ≥ 0 acumulata in elementele
2 2
dinamice la t=0. Daca rezistorul neliniar este strict pasiv (u ⋅I>0) acesta va absorbi o putere
pozitiva care se va transforma ireversibil in caldura. Energia disipata de rezistor provine din W(0)
deci daca rezistorul este strict pasiv lim Wt ( ) = 0 si uC() t ⎯⎯⎯ → 0, i t
t→∞
t L () ⎯⎯⎯ → 0 deci nu
→∞ t→∞
poate exista nici un raspuns periodic. Rezulta ca rezistorul trebuie sa fie activ.
Se poate arata ca daca un rezistor controlat in curent cu ecuatia constitutiva u= u() i
satisface conditiile
i) u

atunci circuitul RLC serie oscileaza. De exemplu caracteristica
se poate obtine cu un circuit cu un amplificator operational (vezi paragraful 2), iar caracteristica
3
i
u = − i are o alura similara.
3
Ecuatiile de stare ale circuitului RLC serie sunt
i
C L
uC
=− = f1( uC, iL)
C
0,
∆=
a11a22− a21a12 = . Deoarece T>0 rezulta ca λ 12 , sunt sau
L
LC
numere reale pozitive sau numere complexe cu partea reala pozitiva. Daca λ 1 > λ 2 > 0 atunci
originea este nod instabil si traiectoriile pornesc toate din origine
2

indepartandu-se de zona din jurul acesteia. Daca λ1, λ 2 ∈C originea este focar instabil si
traiectoriile se indeparteaza de zona din jurul originii cand t →∞. Pe masura ce punctul de
functionare( de coordinate uC(t) si iL(t)) se indeparteaza de origine valorile lui iL cresc si punctul de
functionare pe caracteristica ui 0 ) . Acestui rezistor ii corespund valori proprii cu
partea reala negativa. Ca urmare intr-o zona care nu este in jurul originii traiectoriile nu tind spre
infinit. Deoarece circuitul are un singur punct de echilibru in origine traiectoriile nu pot sa
convearga decat spre acest punct. Rezulta ca, deoarece traiectoriile nu se pot intersecta intre ele
decat in punctul de echilibru, trebuie sa existe o curba limita spre care tind aceste traiectorii.
Aceasta curba este inchisa astfel incat parcurgand-o se obtin forme de unda periodice pentru
iLsiuC . Acest rationament este doar o justificare din considerente fizice fara a fi o demonstratie a
existentei si unicitatii ciclului limita. Aparitia oscilatiilor este ilustrata in continuare prin cateva
exemple.
Exemplul 1 - Oscilatorul liniar este circuitul RLC serie in care rezistorul are R = 0.
iL
uC
2 1
Daca ui () = 0 ecuatiile de stare sunt uC
=− , iL
= si cu notatiile ω 0 = solutia are
C C
LC
forma iL() t = Asin( ω 0t − θ ), uC() t = ω 0LAcos( ω 0 t −θ)
unde A si θ depind de conditiile
initiale. Eliminand timpul, din expresiile iL() t si uC() t rezulta ecuatia traiectoriei
2
L
i
2
uC
+ = A
2
L ω
0 2
2
care este o elipsa.
Portretul de faza contine o multime de elipse. In toate punctele unei elipse energia totala este
C 2 L 2 1 2
aceeasi Wt () = uC () t + iL () t = LA deci oscilatia consta intr-un transfer al energiei
2 2 2
acumulate intre condensator si bobina. Aceste traiectorii de nivel energetic constant se numesc
orbite.
Observatii
94

i) oscilatorul liniar este un model idealizat care nu tine seama nici de pierderile din
condensatoarele si bobinele reale si nici de rezistentele firelor de legatura
ii) spre deosebire de ciclul limita, in orice vecinatate a unei orbite exista traiectorii inchise (orbitele
foarte apropiate).
Exemplul 2 Oscilatorul Van der Pol este un ciruit RLC serie in care ui ()
3 3
i
( / )
stare sunt u ,
C i L uC − iL −iL
C =− L =
. Facem schimbarea de variabila τ =
L
du
dt
du 1 di di 1
= ⋅ , = ⋅ si notand ε =
dτ LC dt dτ LC
C
L
C C L L
du i di ⎡ ⎛ 3
i ⎞ ⎤
C L L
L
=− , = ε ⎢uC
−⎜ −iL
dτ
ε dτ
⎜
⎟ ⎥ .
⎣⎢
⎝ 3 ⎠ ⎦⎥
95
3
i
= −i.
Ecuatiile de
3
t
LC
si rezulta:
ecuatiile de stare devin:
Aceste ecuatii nu au solutie analitica. Pentru anumite valori ale lui ε se pot determina solutii
analitice aproximative.
Daca ε → 0 se pot face urmatoarele aproximatii:
in ecuatia de ordinul 2 pentru iL
2
L
2
d i
dτ
2 diL
=−iL −ε ( iL
−1)
dτ
di ⎡ ⎛ 3
i ⎞⎤
L 2 L
se poate considera ca ε = ε ⎢uC
−⎜−iL dτ
⎜
⎟
⎟⎥
≈ 0 si rezulta
⎣⎢
⎝ 3 ⎠⎦⎥
2
L
2
d i
dτ
=− i .
Aceasta ecuatie are o solutie de forma iL = Acos(
τ −θ
) din care rezulta
u
1 A
=− i dt =− −
C ∫ sin( τ θ ) deci traiectoria este o elipsa.
ε
C L
In solutia ecuatiei simplificate A depinde de conditiile initiale. Se poate arata (de exemplu prin
integrare numerica) ca pentru ε < 01 , solutia ecuatiilor de stare nesimplificate are un ciclu limita
eliptic corespunzator valorii A=2. Pentru valori 03 , < ε < 07 , ciclul limita este o elipsa deformata.
L

Daca ε →∞ rezulta
duC
≈ 0
dτ
deci uC = ct.
In acest caz, daca
uC −u( iL)
≠ 0
diL
→ ∞.
Deci daca uC−u( iL)
≠ 0 traiectoriile vor fi paralele cu axa iL. Sensul
dτ
parcursului dinamic pe aceste traiectorii este:
diL
daca uC > u( iL),
→ +∞ si iL creste
dτ
diL
daca uC < u( iL),
→ −∞
dτ
si iL scade.
Pentru u u i valoarea diL
C ≈ ( L)
→ ∞⋅0
nu se poate determina.
dτ
1 diL
Se poate insa considera ca uC − u( iL)
= → 0
ε dτ
Deci pentru ε →∞ portretul de faza este:
96
deci si caracteristica ui ( L ) este traiectorie.
Acest portret de faza justifica regula de salt de la oscilatorul de relaxare realizat cu un
circuit de ordinul I cu condensator liniar si rezistor cu caracteristica ui () (vezi paragraful 3.3.6.).
Intr-adevar daca L → 0 in oscilatorul Van der Pol rezulta ε →∞ iar circuitul devine de ordinul I.
Saltul lui I se face conform portretului de faza al circuitului de ordinul II. Timpul de salt este
practic nul deoarece variatia in timp a lui iL este foarte rapida di ⎛
⎜
⎝ dt
L →∞
⎞
⎟. Modelul de ordinul I
⎠
care are puncte de impas este un model incorect. Modelul corect este cel de ordinul II in care
intervine si inductivitatea L. In realitate aceasta inductivitate exista fiind un element parazit de
circuit asociat firelor de legatura dintre condensator si rezistorul neliniar.