1 Elemente de geometrie analitica Cum aflam ecuatia unei drepte ...

Cum aflam ecuatia unei drepte ?
Elemente de geometrie analitica
• daca cunoastem doua puncte de pe dreapta A(xA, yA) si B(xB, yB) atunci ecuatia dreptei
va fi :
d :
x − xA
= y − yA
xB − xA
yB − yA
Exemplu : dreapta care contine punctele A(2, 3) si B(2, 6) are ecuatia
AB :
x − 2
2 − 2
= y − 3
6 − 3
⇔ x − 2 = 0
daca unul dintre numitori se anuleaza atunci vom anula si numaratorul !
• daca cunoastem un punct de pe dreapta A(xA, yA) si panta m atunci ecuatia dreptei va
fi :
Cum aflam panta unei drepte ?
d : y − yA = m(x − xA)
• daca cunoastem doua puncte de pe dreapta A(xA, yA) si B(xB, yB) atunci panta dreptei
va fi :
mAB = yB − yA
xB − xA
• daca cunoastem ecuatia dreptei , de exemplu :
atunci panta va fi : md = − b
a
d : ax + by + c = 0
• cel mai adesea extragem panta din relatii de paralelism si perpendicularitate intre drepte:
daca d1 d2 atunci md1 = md2, daca d1 ⊥ d2 atunci md1 ·md2 = −1
Cum aflam coordonatele unui punct ?
• daca e punctul de intersectie a doua drepte (sau a unei drepte cu un cerc, de ex) se
rezolva sistemul format cu ecuatiile celor doua drepte ( a dreptei si a cercului)
• daca stim raportul care-l determina pe un segment cu extremitatile cunoscute A(xA, yA)
si B(xB, yB) avem doua situatii posibile :
daca MA
MB
= k si M este in interiorul segmentului, atunci :
xM = xA+k·xB
1+k
yM = yA+k·yB
1+k
1

2
daca MA
MB
= k si M este in exteriorul segmentului, atunci :
xM = xA−k·xB
1−k
yM = yA−k·yB
1−k
Apartenenta : un punct apartine unei drepte ( unei conice) daca ale sale coordonate
verifica ecuatia dreptei (conicei)
Formule utile :
• distanta de la un punct M(xM, yM) la o dreapta d : ax + by + c = 0 este :
dist(M, d) = |axM + byM + c|
√ a 2 + b 2
• aria triunghiului determinat de A(xA, yA), B(xB, yB) si C(xC, yC) :
S∆ABC = |D|
2
unde D =
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
• coordonatele mijlocului M a unui segment [AB] : xM = xA+xB
2
• coordonatele centrului de greutate G al unui triunghi ∆ABC :
xG = xA+xB+xC
3
si yG = yA+yB+yC
3
• trei puncte A, B, C sunt coliniare daca si numai daca :
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
= 0
• ecuatia cercului care trece prin trei puncte A,B si C necoliniare :
cerc :
x 2 + y 2 x y 1
x 2 A + y2 A xA yA 1
x 2 B + y2 B xB yB 1
x 2 C + y2 C xC yC 1
= 0
si yM = yA+yB
2
• ecuatia tangentei la cercul x 2 + y 2 + mx + ny + p = 0 in punctul A(xA, yA) se obtine
prin dedublare :
x · xA + y · yA + m
2 (x + xA) + n
2 (y + yA) + p = 0
• restul formulelor necesare pentru aplicatiile de la cursul de recuperare se gasesc in Ghid
de recapitulare matematica-C. Lazureanu sau in orice manual de clasa a 11-a de geometrie
analitica.