Fisa de seminar - Analiza matematica. MPT

Diferentiala de ordinul 2 :
Seminarul 10
◦ peste tot in continuare vom considera ca functia f este de doua ori derivabila partial si
are derivatele partiale continue.
• pentru o functie de doua variabile reale f : R 2 → R :
d 2 f(a, b) = ∂2 f
∂x 2 (a, b)dx2 + 2 ∂2 f
• pentru o functie de trei variabile reale f : R 3 → R :
∂x∂y (a, b)dxdy + ∂2f (a, b)dy2
∂y2 d 2 f(a, b, c) = ∂2 f
∂x 2 (a, b, c)dx2 + ∂2 f
∂y 2 (a, b, c)dy2 + ∂2 f
∂z 2 (a, b, c)dz2 +
+2 ∂2f ∂x∂y (a, b, c)dxdy + 2 ∂2f ∂x∂z (a, b, c)dxdz + 2 ∂2f (a, b, c)dydz
∂y∂z
Probleme de extrem local :
Vom considera o multime deschisa D ⊆ R 2 → R si o functie f : D → R, spunem ca
functia are un minim local (respectiv un maxim local) in punctul (x0, y0) din D daca
exista o vecinatate V(x0,y0) a punctului (x0, y0) astfel incat pentru orice (x, y) ∈ V(x0,y0) ∩D
sa avem :
f(x, y) ≥ f(x0, y0) (respectiv f(x, y) ≤ f(x0, y0) )
Punctele in care f ia valori maxime sau minime se numesc puncte de extrem local
ale functiei f.
• Aflarea punctelor de extrem local pentru o functie f : D ⊆ R 2 → R :
Determinarea punctelor stationare :
• se rezolva sistemul :
∂f
∂x
∂f
∂y
(x, y) = 0,
(x, y) = 0,
si solutiile sistemului Mi(xi, yi) , se numesc puncte stationare
Determinarea punctelor de extrem local din multimea punctelor stationare
• se calculeaza expresia :
∆(x, y) = ∂2f ∂x2 (x, y) · ∂2f (x, y) −
∂y2 2 2
∂ f
(x, y)
∂x∂y
1

2
◦ daca pentru un punct stationar M(a, b) avem ∆(a, b) > 0 si :
◦ ∂2 f
∂x 2 (a, b) > 0 atunci M(a, b) este un punct de minim local.
◦ ∂2 f
∂x 2 (a, b) < 0 atunci M(a, b) este un punct de maxim local.
◦ daca pentru un punct stationar M(a, b) avem ∆(a, b) < 0 atunci punctul se numeste
punct ¸sa.
◦ daca pentru un punct stationar M(a, b) avem ∆(a, b) = 0 atunci nu putem afirma nimic
despre acest punct.
• Aflarea punctelor de extrem local ale unei functii cu p variabile reale
f : D ⊆ R p → R :
◦ se determina punctele stationare rezolvand sistemul :
⎧
∂f
= 0
⎪⎨
∂x
∂f
= 0
⎪⎩
∂x
∂f
∂z
= 0
...........
◦ pentru fiecare punct stationar M se calculeaza determinantii :
∆2 =
∆1 =
∂
2f ∂x2
∂2f ∂x2 ∂2f ∂y∂x
∂2f ∂x∂y
∂2f ∂y2 ..........................................................
∆p =
∂2f ∂x2 ∂2f ∂y∂x
∂2f ∂z∂x
.
∂2f ∂x∂y
∂2f ∂y2 ∂2f ∂z∂y
.
∂2f . . .
∂x∂z
∂2f . . .
∂y∂z
∂2f ∂z2
. . .
.
.. .
• daca ∆1 > 0 , ∆2 > 0, ...., ∆p > 0 atunci punctul M este un punct de minim
local.
• daca ∆1 < 0 , ∆2 > 0, ∆3 < 0 , .... , (−1) p ∆p > 0 atunci punctul M este un punct
de maxim local.
Aplicatii : 1. Aflati punctele de extrem local ale functiei f : R 2 → R
f(x, y) = x 2 + y 2 − 2x − 6y + 14
2. Calculati derivatele partiale si diferentiala de ordinul 2 in punctul A(π, −π, 0) pentru
functia :
f(x, y, z) = y sin x + z sin(y 2 ) + z 3 cos x