ecuatiile perpendicularei comune a doua drepte, proiectii, simetrii
ecuatiile perpendicularei comune a doua drepte, proiectii, simetrii
ecuatiile perpendicularei comune a doua drepte, proiectii, simetrii
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Perpendicularitate (<strong>ecuatiile</strong> <strong>perpendicularei</strong><br />
<strong>comune</strong> a <strong>doua</strong> <strong>drepte</strong>, <strong>proiectii</strong>, <strong>simetrii</strong>)<br />
1) Pentru ce valori ale coeficientilor A si B planul π : Ax + By + 6z − 7 = 0 va<br />
fi perpendicular pe dreapta d : x−2<br />
2<br />
= y+5<br />
−4<br />
= z+1<br />
3 ?<br />
Rezolvare: din conditia ca vectorul normal planului N(A, B, 6) sa fie coliniar cu<br />
⇒ A = 4, B = −8.<br />
vectorul director al <strong>drepte</strong>i ā(2, −4, 3), se obtine: A<br />
2<br />
= B<br />
−4<br />
2) Sa se scrie ecuatia unui plan care trece prin origine si este perpendicular pe<br />
dreapta x+2 y−3 z−1<br />
4 = 5 = −2 .<br />
Rezolvare: vectorul director al <strong>drepte</strong>i ā(4, 5, 2) este normal planului, deci ecuatia<br />
acestuia este 4x + 5y + 2z = 0.<br />
3) Scrieti acuatia planului determinat de perpendicularele coborate din punctul<br />
A(-3,2,5) pe planul α : 4x + y − 3z + 13 = 0 si pe planul β : x − 2y + z − 11 = 0.<br />
Rezolvare: Vectorii care genereaza planul sunt vectorii directori ai celor <strong>doua</strong><br />
<strong>drepte</strong>, deci vectorii normali celor <strong>doua</strong> plane, N1(4, 1, −3) si N2(1, −2, 1). Scriind<br />
ecuatia planului sub forma de determinant se obtine −5x − 7y − 9z + 44 = 0.<br />
4) Se dau varfurile unui triunghi A(4,1,-2), B(2,0,0), C(-2,3,-5). a) Sa se scrie<br />
ecuatia inaltimii din B a triunghiului. b) Prin latura AB a triunghiului sa se duca<br />
un plan perpendicular pe planul triunghiului.<br />
Rezolvare: a) de fapt ni se cer <strong>ecuatiile</strong> <strong>perpendicularei</strong> din B pe dreapta<br />
AC. Aceasta se obtine ca intersectia dintre planul prin B perpendicular pe AC<br />
si planul triunghiului ABC. Ecuatia celui din urma se poate scrie sub forma de<br />
determinant cunoscand 3 puncte ale sale sau un punct si doi vectori directori, de<br />
exemplu (A, −→ −→<br />
AB, AC). Se obtine<br />
−6x + 2y − 3z + 12 = 0,<br />
x + 18y + 10z − 2 = 0.<br />
b) Planul cautat va fi unic determinat de B, −→<br />
AB(−2, −1, 2) si vectorul normal<br />
planului (ABC), N(1, 18, 10). Se obtine ecuatia 46x − 22y + 35z − 92 = 0.<br />
5) Scrieti <strong>ecuatiile</strong> <strong>perpendicularei</strong> duse din A(3,-2,5) pe planul π : 4x + 3y −<br />
z + 5 = 0.<br />
= 6<br />
3<br />
Rezolvare: vectorul director al <strong>perpendicularei</strong> este coliniar cu vectorul normal<br />
planului dat, astfel se obtin <strong>ecuatiile</strong> x−3<br />
4<br />
= y+2<br />
3<br />
= z−5<br />
−1 .<br />
6) Scrieti <strong>ecuatiile</strong> <strong>perpendicularei</strong> din A(3,1,2) pe dreapta d : x−1 y z+1<br />
3 = −2 = 4 .<br />
Rezolvare: piciorul <strong>perpendicularei</strong> din A pe d este intersectia dintre planul<br />
prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica B( 77 35<br />
29 , −32<br />
29 , 29 ). Acelasi punct se poate<br />
obtine folosind <strong>ecuatiile</strong> parametrice ale <strong>drepte</strong>i d si punand conditia ca −→ −→<br />
AB ⊥ d .<br />
Perpendiculara din A pe d este dreapta AB, ale carei ecuatii canonice se scriu imediat,<br />
cunoscand ambele puncte A, B.<br />
1
7) Care din urmatoarele plane sunt perpendiculare?<br />
(P) 2x+3y-z+5=0, (Q) 2x+y+7z-1=0, (R) 4x-2y+2z-3=0.<br />
Rezolvare: <strong>doua</strong> plane sunt perpendiculare daca si numai daca vectorii normali<br />
lor sunt ortogonali. Se verifica P⊥Q si P⊥R.<br />
8) Scrieti <strong>ecuatiile</strong> <strong>perpendicularei</strong> <strong>comune</strong> a <strong>drepte</strong>lor a) (d1) x−7<br />
1<br />
si (d2) x−3 y−1<br />
−7 = 2<br />
(d2) : x = 4 + s, y = −2 − 4s, z = 9 + 2s; c)<br />
si<br />
= y−3<br />
2<br />
= z−9<br />
−1<br />
= z−1<br />
3 ; b) (d1) : x = 1 + 2t, y = 3 + t, z = −2 + t si<br />
x + 4z + 1 = 0,<br />
x − 4y + 9 = 0<br />
y = 0,<br />
x + 2z + 4 = 0.<br />
Rezolvare: Verificam initial ca cele <strong>doua</strong> <strong>drepte</strong> sunt necoplanare.<br />
Metoda 1: Determinam picioarele <strong>perpendicularei</strong> <strong>comune</strong> folosind <strong>ecuatiile</strong><br />
parametrice ale celor <strong>doua</strong> <strong>drepte</strong> si impunand ca vectorul director al <strong>drepte</strong>i cautate<br />
sa fie perpendicular pe ambii vectori directori ai celor <strong>doua</strong> <strong>drepte</strong> date.<br />
Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre <strong>doua</strong> plane π1<br />
si π2, π1 fiind planul proiector al <strong>drepte</strong>i (d1) pe planul ce contine (d2) si este paralel<br />
cu (d1), iar π2 este planul proiector al <strong>drepte</strong>i (d2) pe planul ce contine (d1) si este<br />
paralel cu (d2). Se obtin <strong>ecuatiile</strong>:<br />
a) x−1<br />
2<br />
= y<br />
1<br />
= z+3<br />
4<br />
; b) x+1<br />
2<br />
= y−6<br />
−1<br />
z−5 = −3 ; c)<br />
y + z − 2 = 0,<br />
2x + 5y + 4z + 8 = 0.<br />
9) Sa se gaseasca proiectia punctului A pe planul π pentru cazurile: a) A(4,-3,1)<br />
si π : x + 2y − z − 3 = 0; b) A(2,1,1) si π : x + y + 3z + 5 = 0; c) A(-1,3,3) si<br />
π : x + y + z + 1 = 0.<br />
z−1<br />
−1<br />
Rezolvare: a) Ecuatiile <strong>perpendicularei</strong> din A pe planul dat sunt x−4 y+3<br />
1 = 2 =<br />
iar intersectia dintre aceasta si plan este A’(5,-1,0); b) A’(1,0,-2); c) A’(-3,1,1).<br />
10) Stiind ca M(3,4,2) este piciorul <strong>perpendicularei</strong> coborate din origine pe un<br />
plan π, sa se scrie ecuatia acestui plan.<br />
Rezolvare: dreapta OM este perpendiculara pe plan, deci un vector normal<br />
planului este −−→<br />
OM(3, 4, 2). Planul π este unic determinat de punctul M si de vectorul<br />
normal calculat anterior si se obtine 3x + 4y + 2z − 29 = 0.<br />
11) Sa se determine proiectia <strong>drepte</strong>i d pe planul π, in situatiile urmatoare:<br />
a) d : x y−4 z+1<br />
x−4 y+2<br />
4 = 3 = −2 , π : x − y + 3z + 8 = 0; b) d : 2 = 3<br />
π : x + 6y − z − 2 = 0; c)<br />
x − y − 3z = 0,<br />
2x − y + 2z − 3 = 0,<br />
= z+1<br />
4 ,<br />
si π : x + 6y − z − 2 = 0.<br />
Rezolvare: a) Se verifica faptul ca dreapta d nu este perpendiculara pe planul<br />
π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur punct, proiectia oricarui punct<br />
2
al <strong>drepte</strong>i pe planul dat). Proiectia <strong>drepte</strong>i se obtine ca intersectia dintre planul ce<br />
contine dreapa d, perpendicular pe planul π (numit plan proiector al <strong>drepte</strong>i d) si<br />
planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al <strong>drepte</strong>i, de vectorul<br />
director al <strong>drepte</strong>i si de vectorul normal planului π. Se obtin <strong>ecuatiile</strong><br />
b) In mod analog se obtin <strong>ecuatiile</strong><br />
x − 2y − z + 8 = 0,<br />
x − y + 3z + 8 = 0.<br />
9x − 2y − 3z − 43 = 0,<br />
x + 6y − z − 2 = 0.<br />
c) pentru cazul in care drepta este data ca intersectie de <strong>doua</strong> plane, metoda<br />
cea mai potrivita este aceea de a folosi fasciculele de plane. Fasciculul de plane care<br />
trece prin dreapta d are ecuatia x −y −3z +λ(2x −y+2z −3) = 0. Din conditia ca<br />
π sa fie perpendicular pe un plan din fascicul (deci vectorii normali celor <strong>doua</strong> plane<br />
. Atunci <strong>ecuatiile</strong> proiectiei cautate sunt<br />
sunt perpendiculari) se obtine λ = − 1<br />
3<br />
y−1<br />
2<br />
x + 6y − z − 2 = 0,<br />
x − 2y − 11z + 9 = 0.<br />
Bineinteles problema se poate rezolva analog cu a).<br />
12) Determinati proiectia punctului A pe dreapta d: a) A(3,2,1) si d : x−2<br />
3 =<br />
= z−3<br />
4<br />
; b)A(2,-1,1) si d:<br />
x − 2y + z − 2 = 0,<br />
2x − 6y + z − 1 = 0.<br />
c) A(-1,-1,2) si d : x = t + 2; y = 2t − 1, z = 3t + 1.<br />
Rezolvare: proiectia unui punct A pe o dreapta este intersectia <strong>drepte</strong>i cu<br />
planul dus prin A perpendicular pe dreapta. a) ecuatia planului prin A perpendicular<br />
pe d este 3x+2y+4z-17=0 si rezolvand sistemul format din <strong>ecuatiile</strong> <strong>drepte</strong>i d<br />
si ecuatia planului anterior se obtine A ′ ( 49 23 75<br />
29 , 29 , 29 ). b) vectorul director al <strong>drepte</strong>i d<br />
este egal cu produsul vectorial al vectorilor normali planelor a caror intersectie este<br />
dreapta d. Astfel se obtine ca directia <strong>drepte</strong>i d este ā(−2, −1 , 1). Ecuatia planului<br />
prin A, perpendicular pe ā este: (x − 2)(−2)+(y + 1)(−1 2 ) + (z − 1)1 = 0.In sfarsit<br />
); c) A’(2,-1,1).<br />
A ′ ( 55<br />
21<br />
, 19<br />
21<br />
, 25<br />
21<br />
13) Aflati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π, respectiv<br />
dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0), π : x + 2y − z = 0; b) A(-<br />
1,2,0), d : x+2 y+1 z−1<br />
x−2 y z+1<br />
1 = 0 = −1 ; c) A(3,1,2) si d : 2 = 2 = 1 ; d) A(1,2,3) si<br />
π : 2x + y + z − 1 = 0.<br />
Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A0, piciorul <strong>perpendicularei</strong><br />
din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele simetricului A’ se calculeaza<br />
din conditia ca A0 este mijlocul segmentului (AA’). a) (−7 4<br />
3 , −2<br />
3 , 3 ); b) (−1, −4, 0);<br />
); d) (-3,0,1).<br />
c) ( 37<br />
9<br />
, 19<br />
9<br />
, −22<br />
9<br />
14) Se dau planul π : x − y + 2z + 2 = 0 si punctele A(2,3,1), B(1,2,4). Scrieti<br />
<strong>ecuatiile</strong> <strong>drepte</strong>i ce trece prin simetricele punctelor A si B in raport cu planul π.<br />
Rezolvare: notam cu A’ si B’ simetricele punctelor A si B fata de planul π.<br />
Perpendiculara din A pe π are <strong>ecuatiile</strong> x−2 y−3 z+1<br />
1 = −1 = 2 . Intersectia dintre aceasta<br />
si π<br />
3<br />
2
este A0( 13<br />
6<br />
sunt:<br />
17 , 6 , −2<br />
3 ) iar A′ ( 7 8<br />
3 , 3 , −1<br />
3 ). Analog B’(-2,5,-2). Ecuatiile <strong>drepte</strong>i A’B’<br />
x − 7<br />
3<br />
13<br />
= y − 8<br />
3<br />
−7<br />
1 z + 3 = .<br />
5<br />
15) Sa se gaseasca <strong>ecuatiile</strong> simetricei <strong>drepte</strong>i x−1<br />
z<br />
2 = 1 fata de planul<br />
x+2y+z+3=0.<br />
Rezolvare: se determina simetricele a <strong>doua</strong> puncte arbitrare ale <strong>drepte</strong>i fata de<br />
= y+1<br />
3<br />
planul dat. De exemplu pentru A(1,-1,0) si B(3,2,1) se obtin simetricele A ′ ( 1<br />
3 , −7<br />
3 , −2<br />
3 )<br />
si B ′ (−2 3 , −16<br />
3 , −8<br />
3 ). Se scriu apoi <strong>ecuatiile</strong> <strong>drepte</strong>i A’B’.<br />
= y−2<br />
2<br />
= z−3<br />
3 fata de planele de<br />
16) Sa se gaseasca simetricele <strong>drepte</strong>i x−1<br />
1<br />
coordonate.<br />
Rezolvare: vom determina simetrica fata de planul (xOy): z=0. Dreapta data<br />
intersecteaza planul (xOy) in A( 2<br />
3 , 0, 0). Simetricul punctului B(1,2,3) al <strong>drepte</strong>i fata<br />
de planul (xOy) este B’(1,2,-3). Atunci simetrica este dreapta AB’ si are <strong>ecuatiile</strong>:<br />
. Analog se obtin, pentru simetrica <strong>drepte</strong>i fata de planul (yOz),<br />
x−1<br />
1<br />
= y−2<br />
2<br />
<strong>ecuatiile</strong> x+1<br />
−1<br />
= z+3<br />
−3<br />
= y−2<br />
2<br />
z−3<br />
x−1 y+2 z−3<br />
= 3 , iar pentru simetrica fata de (xOz): 1 = −2 = 3 .<br />
17) Sa se gaseasca simetricul planului π : 3x + 2y + z − 6 = 0 fata de planul<br />
α : 2x − 5y + 2z + 4 = 0.<br />
Rezolvare: daca A este un punct al planului π si A’ simetricul lui A fata de<br />
planul α, atunci planul π∗, simetricul lui π fata de α, trece prin A’ si prin intersectia<br />
planelor π si α. Luand A(1,1,1) obtinem A ′ ( 7 21 7<br />
11 , 11 , 11 ). Ecuatia fasciculului de plane<br />
care trec prin intersectia planelor π si α este: 3x+2y+z−6+λ(2x−5y+2z+4) = 0.<br />
Punand conditia ca un plan din fascicul sa contina punctul A’ se determina λ = 64<br />
73 .<br />
Ecuatia planului cautat se obtine inlocuind pe λ = 64<br />
73 in ecuatia fasciculului de<br />
plane.<br />
18) Determinati simmetricele planului π : a(x − x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0<br />
fata de planele de coordonate.<br />
Rezolvare: aplicand metoda anterioara, se obtin <strong>ecuatiile</strong>: pentru simetricul<br />
fata de (xOy): a(x −x1)+b(y −y1) −c(z +z1) = 0. Analog in celelalte <strong>doua</strong> cazuri.<br />
4