rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

Teoreme de punct fix pentru operatori multivoci 41
Definit¸ia 4.2.1 (I.A. Rus-A. Petru¸sel [96], [97]) Fie (X, d) un spat¸iu metric, Y ⊆
X ¸si T : Y → Pcl(X) un operator multivoc. Spunem că problema de punct fix este
bine pusă în sens generalizat
a) relativ la Dd: dacă F ix(T ) = ∅ ¸si oricare ar fi un ¸sir (xn)n∈N ⊂ Y a.î.
Dd(xn, T (xn)) → 0, n → +∞, rezultă că xn d → x ∈ F ix(T ), n → +∞
b) relativ la Hd: dacă SF ix(T ) = ∅ ¸si oricare ar fi un ¸sir (xn)n∈N ⊂ Y a.î.
Hd(xn, T (xn)) → 0, n → +∞, rezultă că xn d → x ∈ SF ix(T ), n → +∞
Teorema 4.2.7 (T.A. Lazăr, D. O’Regan ¸si A. Petru¸sel [64]) Fie X = ∅, x0 ∈ X
¸si r > 0. Presupunem că d, d ′ sunt două metrici definite pe X iar T : B d
d ′(x0, r) →
P (X) un operator multivoc. Presupunem că:
i) (X, d) este un spat¸iu metric complet;
ii) ∃ c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y), ∀ x, y ∈ X;
iii) dacă d = d ′ atunci operatorul T : B d
d ′(x0, r) → P (X d ) are graficul o
mult¸ime închisă în X × X, în timp ce
dacă d = d ′ atunci T : B d
d(x0, r) → Pcl(X d );
iv) ∃ α ∈ [0, 1[ a.î. Hd ′(T (x), T (y)) ≤ αM T d ′(x, y), ∀ x, y ∈ B d
d ′(x0, r);
v) Dd ′(x0, T (x0)) < (1 − α)r.
Atunci:
(A) există x ∗ ∈ B d
d ′(x0, r) a.î. x ∗ ∈ T (x ∗ );
(B) dacă SF ix(T ) = ∅ ¸si (xn)n∈N ⊂ B d
d ′(x0, r) este a.î.
Hd ′(xn, T (xn)) → 0 când n → +∞,
atunci xn d′
→ x ∈ SF ix(T ) când n → +∞ (adică problema de punc fix pentru
operatorul T este bine pusă în sensul generalizat în raport cu Hd ′).
Observat¸ia 4.2.1 (T.A. Lazăr, D. O’Regan ¸si A. Petru¸sel [64]) Teorema 4.2.7 are
loc ¸si dacă înlocuim condit¸ia (ii) prin: