rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

Teoreme de punct fix pentru operatori multivoci 38
4.2 Teoreme de punct fix pentru operatori multivoci
4.2.1 Cazul operatorilor de tip ϕ-contract¸ie
Pornind de la cunoscutul rezultat al lui W¸egrzyk ([144]), Teorema 3.2.3, s-a
obt¸inut următorul rezultat local, pe o mult¸ime înzestrată cu două metrici.
Teorema 4.2.1 ( T.A. Lazăr ¸si V.L. Lazăr [66]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici
definite pe X. Fie x0 ∈ X, ¸si r > 0. Presupunem că au loc următoarele condit¸ii:
i) (X, d) este un spat¸iu metric complet;
ii) ∃ c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y) , ∀ x, y ∈ X;
iii) ϕ : R+ → R+ o funct¸ie de comparat¸ie strictă a.î. funct¸ia ψ : R+ →
∞
R+, ψ(t) := t − ϕ(t) este strict crescătoare ¸si continuă cu ϕ n (ψ(r)) ≤ ϕ(r). Fie
F : ¯ B d d ′(x0; r) → Pcl(X) o ϕ-contract¸ie multivocă a.î. Dd ′(x0, F (x0)) < r − ϕ(r).
Presupunem că operatorul F : ¯ B d d ′(x0; r) → P ((X, d)) are graficul o mult¸ime
închisă în X × X. Atunci F ix(F ) = ∅.
n=0
Ca ¸si consecint¸ă avem următorul rezultat pe o bilă deschisă.
Teorema 4.2.2 ( T.A. Lazăr ¸si V.L. Lazăr [66]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici
pe X, x0 ∈ X,r > 0. Presupunem că:
i) (X, d) spat¸iu metric complet;
ii) ∃ c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y) , ∀x, y ∈ X;
iii) ϕ : R+ → R+ o funct¸ie de comparat¸ie strictă a.î. funct¸ia ψ : R+ →
R+, ψ(t) := t − ϕ(t) este strict crescătoare ¸si continuă în r,
∞
cu ϕ n (ψ(s)) ≤ ϕ(s), ∀s ∈]0, r[.
n=0
Fie F : Bd ′(x0; r) → Pcl(X) o ϕ-contract¸ie multivocă în raport cu metrica d ′ a.î.
Dd ′(x0, F (x0)) < r − ϕ(r).
Atunci F ix(F ) = ∅.