rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

Teoreme de punct fix pentru operatori univoci 37
Fie f : X → X un operator cu orbitele mărginite. Presupunem că ∃ a ∈ [0, 1[
a.î. diamO d′
f
(f(x)) ≤ a · diamOd′ f (x), ∀x ∈ X. Dacă Graff este o mult¸ime închisă
în X × X în raport cu metrica d sau dacă funct¸ionala x ↦→ diamOd f (x) este s.c.i.,
atunci F ix(f) = ∅.
Următorul rezultat este de asemenea unul local:
Teorema 4.1.6 (T.A. Lazăr [63]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici definite pe X.
Presupunem că:
i) (X, d) este un spat¸iu metric complet;
ii) ∃ c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y) , ∀x, y ∈ X.
Fie x0 ∈ X ¸si r > 0, f : X → X un operator cu orbitele mărginite. Presupunem
că ∃ a ∈ [0, 1[ a.î. diamOd′ f (f(x)) ≤ a · diamOd′ f (x), , ∀ x ∈ ¯ Bd d ′(x0; r) ∩ Of (x0) ¸si
diamO d′
f (x0) < (1 − a)r. Dacă Graff este o mult¸ime închisă în X × X în raport
cu metrica d sau dacă funct¸ionala x ↦→ diamO d f (x), x ∈ ¯ B d d ′(x0; r) este s.c.i., atunci
F ix(f) = ∅.