rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

Teoreme de punct fix pentru operatori univoci 36
i) (X, d) este un spat¸iu metric complet;
ii) ∃c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y) , ∀ x, y ∈ X.
Fie x0 ∈ X, r > 0 ¸si ϕ : X → R+ o funct¸ie a.î. ϕ(x0) < r. Considerăm
f : ¯ B d d ′(x0; r) → X a.î. d ′ (x, f(x)) ≤ ϕ(x) − ϕ(f(x)), ∀ x ∈ ¯ B d d ′(x0; r). Dacă
Graff este o mult¸ime închisă în X × X în raport cu metrica d sau dacă funct¸ia
x ↦→ d(x, f(x)), x ∈ ¯ B d d ′(x0; r) este s.c.i., atunci F ix(f) = ∅.
Următoarele trei rezultate sunt aplicat¸ii ale teoremei locale de tip Caristi demon-
strată mai sus.
Teorema 4.1.4 (T.A. Lazăr [63]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici definite pe X.
Presupunem că:
i) (X, d) este un spat¸iu metric complet;
ii) ∃ c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y) , ∀ x, y ∈ X;
Fie f : X → X, un operator ¸si fie x0 ∈ X. Presupunem că ∃ a ∈]0, 1[ a.î.:
a) d ′ (f(x), f 2 (x)) ≤ a · d ′ (x, f(x)), ∀ x ∈ ¯ B d d ′(x0; r)
b) d ′ (x0, f(x0)) < (1 − a)r.
Dacă Graff este o mult¸ime închisă în X × X în raport cu metrica d sau dacă
funct¸ia x ↦→ d(x, f(x)), x ∈ ¯ B d d ′(x0; r) este s.c.i., atunci F ix(f) = ∅.
O altă consecint¸ă a teoremei Caristi pentru operatorii definit¸i pe o bilă va fi
studiată în cele ce urmează.
Teorema 4.1.5 (T.A. Lazăr [63]) Fie X = ∅ ¸si d, d ′ două metrici definite pe X.
Presupunem că:
i) (X, d) este un spat¸iu metric complet;
ii) ∃ c > 0 a.î. d(x, y) ≤ cd ′ (x, y) , ∀ x, y ∈ X.