rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

Teoreme de punct fix pentru operatori univoci 28
ii) f este ϕ-contract¸ie;
iii) F ix(fn) = ∅ , ∀ n ∈ N.
Atunci, pentru xn ∈ F ix(fn), n ∈ N avem xn → x ∗ , când n → +∞ (unde
{x ∗ } = B(x0; r) ∩ F ix(f)).
În cele ce urmează am luat în calcul operatori de tip Caristi. Rezultatul obt¸inut
porne¸ste de la o versiune a teoremei lui Caristi, dată de Bollenbacher ¸si Hicks în
[19].
Teorema 3.1.8 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) Fie (X, d) un spat¸iu
metric complet, cu x0 ∈ X ¸si r > 0. Fie ϕ : X → R+ o funct¸ională, a.î. ϕ(x0) < r.
Consider f : B(x0; r) → X a.î. d(x, f(x)) ≤ ϕ(x)−ϕ(f(x)), ∀ x ∈ B(x0; r)∩Of (x0).
Dacă f este un operator cu grafic închis, sau funct¸ia x ↦→ d(x, f(x)), x ∈ B(x0; r)
este s.c.i., atunci F ix(f) = ∅.
Corolar 3.1.1 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) Fie (X, d) un spat¸iu
metric complet, cu f : X → X, x0 ∈ X ¸si r > 0. Presupunem că ∃ a ∈]0, 1[ a.î.
d(f(x), f 2 (x)) ≤ a · d(x, f(x)), ∀x ∈ B(x0; r) ∩ Of (x0) ¸si d(x0, f(x0)) < (1 − a)r.
Dacă Graff este o mult¸ime închisă în X × X sau funct¸ia x ↦→ d(x, f(x)),
x ∈ B(x0; r) este s.c.i., atunci F ix(f) = ∅.
O altă consecint¸ă a teoremei lui Caristi pentru operatori definit¸i pe bilă este
rezultatul ce urmează.
Teorema 3.1.9 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) Fie (X, d) un spat¸iu
metric complet ¸si f : X → X un operator cu orbita mărginită. Presupunem că
∃ a ∈ [0, 1[ a.î. diamOf (f(x)) ≤ a · diamOf (x), ∀x ∈ X. Dacă Graff este o
mult¸ime închisă în X × X, sau funct¸ia x ↦→ diamOf (x) este s.c.i., atunci avem că
F ix(f) = ∅.
Un nou rezultat local este următoarea teoremă: