rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca

Teoreme de punct fix pentru operatori univoci 27
c) Teorema 3.1.5 se poate compara cu T.10 a lui Jachymski-Jó´zwik din lucrarea
[58], unde spat¸iul E nu e nevoie să fie complet, mult¸imea U nu e nevoie să fie
deschisă, însă funct¸ia ψ(t) := t − ϕ(t), t ∈ R+ este crescătoare.
Prezentăm acum câteva rezultate de dependent¸ă continuă de date pentru ϕ-
contract¸ii ce nu invariază domeniul de definit¸ie. Rezultatele prezentate mai jos sunt
exemplificări ale unor rezultate mai generale (dar apărute ulterior) în A. Chis-Novac,
R. Precup, I.A. Rus [29].
Teorema 3.1.6 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) Fie (X, d) un spat¸iu
metric complet, cu x0 ∈ X ¸si r > 0. Fie ϕ : R+ → R+ a.î. funct¸ia ψ : R+ →
R+ definită prin ψ(t) = t − ϕ(t), este strict crescătoare ¸si surjectivă. Fie f, g :
B(x0; r) → X. Presupunem că:
T.3.1.4);
i) d(x0, f(x0)) < r − ϕ(r);
ii) operatorul f este ϕ-contract¸ie ( x ∗ f
iii) există x ∗ g ∈ F ix(g);
iv) d(f(x), g(x)) ≤ η, ∀ x ∈ B(x0; r).
reprezentând unicul punct fix, conform
Atunci avem d(x ∗ f , x∗ g) ≤ ψ −1 (η). Mai mult ψ −1 (η) → 0 când η → 0.
Observat¸ia 3.1.2 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) În particular, dacă
ϕ este o funct¸ie de comparat¸ie continuă ¸si lim ψ(t) = +∞, atunci ψ este o biject¸ie
t→+∞
de la R+ la R+.
Teorema 3.1.7 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) Fie (X, d) un spat¸iu
metric complet, x0 ∈ X ¸si r > 0. Fie ϕ : R+ → R+ a.î. funct¸ia ψ : R+ → R+,
definită prin ψ(t) = t − ϕ(t), este crescătoare. Fie funct¸iile f, fn : B(x0; r) → X,
n ∈ N a.î. (fn)n∈N converge uniform către f, când n → +∞.
Presupunem că:
i) d(x0, f(x0)) < r − ϕ(r);