rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca
rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca
rezumat - Universitatea Babes - Bolyai, Cluj - Napoca
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Teoreme de punct fix pentru operatori univoci 27<br />
c) Teorema 3.1.5 se poate compara cu T.10 a lui Jachymski-Jó´zwik din lucrarea<br />
[58], unde spat¸iul E nu e nevoie să fie complet, mult¸imea U nu e nevoie să fie<br />
deschisă, însă funct¸ia ψ(t) := t − ϕ(t), t ∈ R+ este crescătoare.<br />
Prezentăm acum câteva rezultate de dependent¸ă continuă de date pentru ϕ-<br />
contract¸ii ce nu invariază domeniul de definit¸ie. Rezultatele prezentate mai jos sunt<br />
exemplificări ale unor rezultate mai generale (dar apărute ulterior) în A. Chis-Novac,<br />
R. Precup, I.A. Rus [29].<br />
Teorema 3.1.6 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) Fie (X, d) un spat¸iu<br />
metric complet, cu x0 ∈ X ¸si r > 0. Fie ϕ : R+ → R+ a.î. funct¸ia ψ : R+ →<br />
R+ definită prin ψ(t) = t − ϕ(t), este strict crescătoare ¸si surjectivă. Fie f, g :<br />
B(x0; r) → X. Presupunem că:<br />
T.3.1.4);<br />
i) d(x0, f(x0)) < r − ϕ(r);<br />
ii) operatorul f este ϕ-contract¸ie ( x ∗ f<br />
iii) există x ∗ g ∈ F ix(g);<br />
iv) d(f(x), g(x)) ≤ η, ∀ x ∈ B(x0; r).<br />
reprezentând unicul punct fix, conform<br />
Atunci avem d(x ∗ f , x∗ g) ≤ ψ −1 (η). Mai mult ψ −1 (η) → 0 când η → 0.<br />
Observat¸ia 3.1.2 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) În particular, dacă<br />
ϕ este o funct¸ie de comparat¸ie continuă ¸si lim ψ(t) = +∞, atunci ψ este o biject¸ie<br />
t→+∞<br />
de la R+ la R+.<br />
Teorema 3.1.7 (T.A. Lazăr, A. Petru¸sel ¸si N. Shazhad [65]) Fie (X, d) un spat¸iu<br />
metric complet, x0 ∈ X ¸si r > 0. Fie ϕ : R+ → R+ a.î. funct¸ia ψ : R+ → R+,<br />
definită prin ψ(t) = t − ϕ(t), este crescătoare. Fie funct¸iile f, fn : B(x0; r) → X,<br />
n ∈ N a.î. (fn)n∈N converge uniform către f, când n → +∞.<br />
Presupunem că:<br />
i) d(x0, f(x0)) < r − ϕ(r);