Teza doctorat (pdf) - Universitatea Tehnică

Dacă notăm
sau, explicitând suma:
a
a
a
1
2
n
p1 , p 2 , …, p n , atunci relaţia (4.82) devine:
b1
b2
bn
139
2
Cap. 4. Analiza semnalului vocal
1
E(
a,
b,
r)
p
ir
(4.83)
i1 , n
pi
r
2 2
2 2 1 1 1 1
E(
a,
b,
r)
( p1
p
2 ...
p
n ) r (
...
) 2
n (4.84)
2 2
2 2
p p p r
dE
Punând condiţia ca E să fie minimă, avem 0
, adică:
dr
2 2
2 1 1 1 1
2( p1
p
2 ...
p
n ) r 2
( ...
) 0
2 2
2 3
p p p r
Rezultă valoarea lui r care minimizează distanţa E:
Sau dacă notăm
r
4
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
n
2
n
2
n
n
(4.85)
1 1 1
...
p p p
(4.86)
p p
...
p
1 1 1
I ...
şi
p p p
2
1
2
2
r
I
S
2
n
S p p
p
, atunci:
2 2
2
1 2 ... n
2 (4.87)
Din (4.87), expresia lui E devine:
2 1
E ( a , b,
r ) Sr I
2
n
(4.88)
2
r
Înlocuind pe (4.87) în (4.88), obţinem distanţa minimă dintre a şi b în funcţie de r:
E r ( a , b ) 2 ( IS n
)
(4.89)
min,
Astfel putem alege expresia distanţei dintre a şi b:
E ( a,
b)
IS n
1
expresie ce are proprietatea: ( E ( a,
b))
0
, sau:
min 1
a,
b
(4.90)
E2 ( a,
b)
IS , cu min( E2
( a,
b))
n
. (4.91)
a,
b
De aici obţinem valoarea distanţei pătratice minime în raport cu r dintre vectorii a şi b:
2
IS , unde min(
E(
a,
b))
0
a,
b
E ( a , b ) n
. (4.92)