MINISTERUL ADMINISTRAŢIEI ŞI INTERNELOR - IGSU

Potenţialul VP al punctului P aflat pe sfera de rază R, plecând de la relaţia (17)
şi relaţiile (18) şi (20), rezultă din expresia:
R π 2⋅π
2
ρ v r ⋅ sinθ
⋅ dr ⋅ dθ
⋅ dϕ
VP
= ⋅
⋅ ⋅ ∫∫ ∫
.
4 π ε
2 2
0 0 0 r + R − 2 ⋅ R ⋅ r ⋅ cosθ
Calculul integralei (21) conduce la rezultatele:
(21)
respectiv:
2⋅π
∫
0
π
∫
0
d ϕ = 2 ⋅π
(22)
r
2
sinθ
⋅ dθ 2
=
2
+ R − 2 ⋅ R ⋅ r ⋅ cosθ
R
. (23)
Pentru rezolvarea integralei (23) a fost utilizată notaţia:
2 2
x = r + R − 2 ⋅ R ⋅ r ⋅ cosθ
. (24)
Prin derivarea relaţiei (24) în raport cu unghiul θ, se obţine:
dx = 2 ⋅ R ⋅ r ⋅ sinθ
⋅ dθ
,
sau
dx
sinθ ⋅ dθ
= . (25)
2 ⋅ R ⋅ r
Utilizând notaţia (24) şi expresia (25), integrala (23), devine:
2
( R+
r)
2
1 dx 1
( R+
r)
2
⋅ = ⋅ 2 x = 2
2 ⋅ R ⋅ r ∫
,
x 2 R r ( R r)
2 ⋅ ⋅
− R
( R−r
)
rezultat care este indicat în relaţia (23).
Având în vedere rezultatele (22) şi (23), integrala (21) devine:
R 2
2 ⋅π
⋅ ρv
2 ⋅ r ρ v 2
VP
= ⋅ dr = ⋅ R
4 ⋅ ⋅ ∫ . (26)
π ε R 3⋅
ε
0
Dacă se are în vedere faptul că, sarcina electrică totală q cuprinsă în sfera de
rază R admite expresia:
3
4 ⋅π
⋅ R
q = ⋅ ρv
, (27)
3
relaţia (26), poate fi scrisă şi sub forma:
q
VP = . (28)
4 ⋅π
⋅ ε ⋅ R
Intensitatea câmpului electric EP, pe suprafaţa sferei de rază R, valoare care se
ia în calculul riscului/pericolului de apariţie a unei descărcări electrice la marginea
norului de dispersie şi care ar putea iniţia aprinderea/inflamarea amestecului, admite
expresia:
q ρ v
EP
= −grad
VP
=
= ⋅ R . (29)
2
4 ⋅π
⋅ε
⋅ R 3⋅
ε
Din relaţia (28) se poate calcula capacitatea electrică C a dispersiei:
q
C = = 4 ⋅π
⋅ε
⋅ R . (30)
V
P
175