MINISTERUL ADMINISTRAŢIEI ŞI INTERNELOR - IGSU
MINISTERUL ADMINISTRAŢIEI ŞI INTERNELOR - IGSU
MINISTERUL ADMINISTRAŢIEI ŞI INTERNELOR - IGSU
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
174<br />
Densitatea de energie w a câmpului electric, se poate calcula din relaţia:<br />
2<br />
dW 1 2 1 1 D<br />
w = = ⋅ ε ⋅ E = ⋅ D ⋅ E = ⋅ .<br />
dv 2 2 2 ε<br />
Pe baza relaţiilor (3) şi (6) rezultă:<br />
(10)<br />
– în exteriorul sferei de rază R energia totală We în câmpul electric este:<br />
∞<br />
1<br />
We<br />
= ∫w⋅dv = ∫ ⋅ ε ⋅ E<br />
2<br />
V R<br />
1 q2<br />
⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ dr = ⋅<br />
2 4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ R<br />
2 ; (11)<br />
– în interiorul sferei de rază R, energia totală Wi în câmpul electric este:<br />
W<br />
i<br />
=<br />
2 2<br />
∫w⋅dv = ∫ ⋅ε<br />
⋅ E ⋅ 4 ⋅π<br />
⋅ r ⋅ dr =<br />
V<br />
R<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
10<br />
2<br />
q<br />
⋅ . (12)<br />
4 ⋅π<br />
⋅ε<br />
⋅ R<br />
Energia totală W acumulată în câmpul electric determinat de dispersia<br />
încărcată cu sarcina electrică totală q, admite expresia: [4]<br />
2 5<br />
2<br />
4 π ⋅ ρv<br />
⋅ R 3 q<br />
W = We<br />
+ Wi<br />
= ⋅ = ⋅ . (13)<br />
15 ε 5 4 ⋅π<br />
⋅ε<br />
⋅ R<br />
Acelaşi rezultat se obţine dacă se calculează energia totală W pe baza relaţiei:<br />
1<br />
W = ⋅∫<br />
V ⋅ dq . (14)<br />
2<br />
Sarcina electrică dq poate fi calculată din relaţia:<br />
2<br />
dq = ρ v ⋅ dv = ρ v ⋅ 4 ⋅π<br />
⋅ r ⋅ dr , (15)<br />
în care s-a luat în consideraţie o coajă sferică de rază r (r < R) şi de grosime dr.<br />
Având în vedere expresia (8) a potenţialului electric în interiorul sferei de rază<br />
R, precum şi expresia (15) a sarcinii electrice dq, energia totală W rezultă din relaţia<br />
(14):<br />
R<br />
2<br />
2<br />
1 3 q ⎛ r ⎞<br />
2 3 q<br />
W = ⋅ ∫ ⋅ ⋅ ⎜<br />
⎜1<br />
− ⎟ ⋅ ρ v ⋅ 4 ⋅π<br />
⋅ r ⋅ dr = ⋅ , (16)<br />
2<br />
2 2 4 ⋅π<br />
⋅ ε ⋅ R ⎝ ⋅ R ⎠<br />
5 4 ⋅ ⋅ ⋅ R<br />
0<br />
3<br />
π ε<br />
expresie identică cu relaţia (13).<br />
Pentru stabilirea unei relaţii de forma (4), pentru calculul potenţialului VR pe<br />
suprafaţa sferei de rază R, se poate utiliza relaţia [1]:<br />
1 ρv<br />
⋅ dv<br />
VR<br />
= ⋅<br />
4 ⋅π<br />
⋅ε<br />
∫ , (17)<br />
d<br />
V<br />
în care d este distanţa dintre punctul P şi punctul M de pe suprafaţa sferei încărcată cu<br />
sarcină electrică de densitate de volum ρv; elementul de volum dv, în coordonate<br />
sferice, are expresia:<br />
2<br />
dv = ds ⋅ dr = r ⋅ sinθ<br />
⋅ dr ⋅ dθ<br />
⋅ dϕ<br />
. (18)<br />
În relaţia (4), r este raza unei sfere concentrice cu sfera de rază R (r < R), θ –<br />
unghiul azimutal, ϕ – unghiul ecuatorial, iar aria ds a dreptunghiului curbiliniu pe<br />
suprafaţa sferei de rază r are valoarea:<br />
2<br />
ds = r ⋅ sinθ<br />
⋅ dθ<br />
⋅ dϕ<br />
. (19)<br />
Distanţa d dintre punctul P şi punctul M aflat în centrul elementului de volum<br />
dv. rezultă din triunghiul OMP:<br />
2 2<br />
d = r + R − 2 ⋅ R ⋅ r ⋅ cosθ<br />
. (20)