MINISTERUL ADMINISTRAŢIEI ŞI INTERNELOR - IGSU

174
Densitatea de energie w a câmpului electric, se poate calcula din relaţia:
2
dW 1 2 1 1 D
w = = ⋅ ε ⋅ E = ⋅ D ⋅ E = ⋅ .
dv 2 2 2 ε
Pe baza relaţiilor (3) şi (6) rezultă:
(10)
– în exteriorul sferei de rază R energia totală We în câmpul electric este:
∞
1
We
= ∫w⋅dv = ∫ ⋅ ε ⋅ E
2
V R
1 q2
⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ dr = ⋅
2 4 ⋅ π ⋅ ε ⋅ R
2 ; (11)
– în interiorul sferei de rază R, energia totală Wi în câmpul electric este:
W
i
=
2 2
∫w⋅dv = ∫ ⋅ε
⋅ E ⋅ 4 ⋅π
⋅ r ⋅ dr =
V
R
0
1
2
1
10
2
q
⋅ . (12)
4 ⋅π
⋅ε
⋅ R
Energia totală W acumulată în câmpul electric determinat de dispersia
încărcată cu sarcina electrică totală q, admite expresia: [4]
2 5
2
4 π ⋅ ρv
⋅ R 3 q
W = We
+ Wi
= ⋅ = ⋅ . (13)
15 ε 5 4 ⋅π
⋅ε
⋅ R
Acelaşi rezultat se obţine dacă se calculează energia totală W pe baza relaţiei:
1
W = ⋅∫
V ⋅ dq . (14)
2
Sarcina electrică dq poate fi calculată din relaţia:
2
dq = ρ v ⋅ dv = ρ v ⋅ 4 ⋅π
⋅ r ⋅ dr , (15)
în care s-a luat în consideraţie o coajă sferică de rază r (r < R) şi de grosime dr.
Având în vedere expresia (8) a potenţialului electric în interiorul sferei de rază
R, precum şi expresia (15) a sarcinii electrice dq, energia totală W rezultă din relaţia
(14):
R
2
2
1 3 q ⎛ r ⎞
2 3 q
W = ⋅ ∫ ⋅ ⋅ ⎜
⎜1
− ⎟ ⋅ ρ v ⋅ 4 ⋅π
⋅ r ⋅ dr = ⋅ , (16)
2
2 2 4 ⋅π
⋅ ε ⋅ R ⎝ ⋅ R ⎠
5 4 ⋅ ⋅ ⋅ R
0
3
π ε
expresie identică cu relaţia (13).
Pentru stabilirea unei relaţii de forma (4), pentru calculul potenţialului VR pe
suprafaţa sferei de rază R, se poate utiliza relaţia [1]:
1 ρv
⋅ dv
VR
= ⋅
4 ⋅π
⋅ε
∫ , (17)
d
V
în care d este distanţa dintre punctul P şi punctul M de pe suprafaţa sferei încărcată cu
sarcină electrică de densitate de volum ρv; elementul de volum dv, în coordonate
sferice, are expresia:
2
dv = ds ⋅ dr = r ⋅ sinθ
⋅ dr ⋅ dθ
⋅ dϕ
. (18)
În relaţia (4), r este raza unei sfere concentrice cu sfera de rază R (r < R), θ –
unghiul azimutal, ϕ – unghiul ecuatorial, iar aria ds a dreptunghiului curbiliniu pe
suprafaţa sferei de rază r are valoarea:
2
ds = r ⋅ sinθ
⋅ dθ
⋅ dϕ
. (19)
Distanţa d dintre punctul P şi punctul M aflat în centrul elementului de volum
dv. rezultă din triunghiul OMP:
2 2
d = r + R − 2 ⋅ R ⋅ r ⋅ cosθ
. (20)