MINISTERUL ADMINISTRAŢIEI ŞI INTERNELOR - IGSU

Pentru determinarea sarcinii electrice, qint. cuprinsă în interiorul sferei de rază
r, se consideră că dispersia este caracterizată de densitatea constantă a sarcinii de
volum ρv:
q
ρ v = = const.,
4 3
⋅π
⋅ R
3
şi deci
4
3
3 r
qint . ρv
⋅ ⋅ π ⋅ r = q ⋅
3 R3
= . (5)
Rezultă, astfel, că:
3
D q r
E = = ⋅ 2 3
ε 4 ⋅π
⋅ε
⋅ r R
ρv
= ⋅ r .
3⋅
ε
(6)
Din relaţia (6) se observă faptul că, în interiorul sferei care modelează
dispersia, intensitatea câmpului electric, creşte proporţional cu distanţa r de la centrul
sferei.
Potenţialul electric într-un punct aflat la distanţa r de centrul sferei rezultă:
r r
r
R r
r
V = − E ⋅ dr
= − E ⋅ dr = − E ⋅ dr − E ⋅ dr . (7)
∫ ∫
∞ ∞
dr
S
∫ ∫
∞
r
R
r
dθ
R
θ ds
O P
dϕ
ϕ
R
r⋅sinθ
M
Figura 1 - Calculul potenţialului electric pe suprafaţa
sferei de rază R.
Dacă în relaţia (7), se introduc expresiile (3) şi (6) ale câmpului electric, în
exteriorul şi respective, în interiorul sferei care modelează dispersia, se obţine:
⎟ R r
2
q
q ⋅ r ⋅ dr 3 q ⎛ r ⎞
V = −∫
⋅ dr −
= ⋅ ⋅ ⎜ −
⋅ ⋅ ⋅ ∫
1 . (8)
2
3
2
⋅ ⋅ ⋅ 2 4 ⋅ ⋅ ⋅
∞ 4 π ε r 4 R
R
R π ε
π ε ⎝ 3⋅
R ⎠
Din relaţia (8), se observă faptul că, în centrul sferei care modelează dispersia
(r = 0), potenţialul electric V0, are expresia:
3 q
V0
= ⋅ , (9)
2 4 ⋅π
⋅ε
⋅ R
iar din relaţia (6) rezultă că, în centrul sferei de rază R, intensitatea câmpului electric
E0 = 0.
173