Cuprins II. FENOMENE ONDULATORII ... - derivat

Fizica I Eleonora Rodica Bena
2
( ) 1 ( ) ( ) ( ) − ( −Δx,t)
μ ∂ y x,t ⎡y x +Δx,t −y
x,t y x,t y x ⎤
− ⎢ −
⎥ = 0
σ 2
∂t
Δx ⎣ Δx Δx
⎦
La limita Δx→0, în paranteză avem derivata I a funcţiei
y(x,t) în raport cu x în punctele x şi x- Δx,
2
( )
μ ∂ y x,t 1
− ⎡D( x,t) −D(
x −Δ ) ⎤ =
σ 2
∂t
Δx
⎣ x,t ⎦ 0
Se observă că cel de-al doilea termen din expresie se
transformă la limita Δx→0în derivata a doua în raport cu x a
funcţiei y(x,t), deci:
( ) y( x,t)
2 2
μ ∂ y x,t ∂
− = 0
σ 2 2
∂t ∂x
Se constată că
şi obţinem:
σ
μ
( ) 1 ( x,t)
2 2
are dimensiunile unei viteze; notăm
∂ y x,t ∂ y
− = 0
(II.2)
2 2 2
∂x v ∂t
care reprezintă ecuaţia propagării undelor elastice
unidimensionale în direcţia axei Ox.
Aceasta ecuaţie, deşi obţinută în cazul particular în care
mărimea perturbată este depărtarea de poziţia de echilibru (y),
poate fi generalizată oricare ar fi mărimea fizică perturbată.
Daca notăm generic Ψ(x,t) mărimea perturbată care se propagă
pe Ox, obţinem:
2 2
∂ Ψ(x,t) 1 ∂ Ψ(x,t)
− = 0
2 2 2
∂x v ∂t
Dacă unda se propagă în toate direcţiile obţinem ecuaţia:
2 2 2
∂ Ψ(x,y,z,t) ∂ Ψ(x,y,z,t) ∂ Ψ(x,y,z,t) 1 ∂ Ψ(x,
y,z,t)
+ + −
= 0
2 2 2 2 2
∂x ∂y ∂z
v ∂t
2 2 2
∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ 2
Ştiind că + + =∇ Ψ = ΔΨ
2 2 2
∂x ∂y ∂z
( Δ=operatorul
Laplace, ∇ =operatorul „nabla”), obţinem:
55
2
ν=
σ
μ
(II.3)
(II.4)