Cuprins II. FENOMENE ONDULATORII ... - derivat
Cuprins II. FENOMENE ONDULATORII ... - derivat
Cuprins II. FENOMENE ONDULATORII ... - derivat
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Fizica I Eleonora Rodica Bena<br />
2<br />
( ) 1 ( ) ( ) ( ) − ( −Δx,t)<br />
μ ∂ y x,t ⎡y x +Δx,t −y<br />
x,t y x,t y x ⎤<br />
− ⎢ −<br />
⎥ = 0<br />
σ 2<br />
∂t<br />
Δx ⎣ Δx Δx<br />
⎦<br />
La limita Δx→0, în paranteză avem <strong>derivat</strong>a I a funcţiei<br />
y(x,t) în raport cu x în punctele x şi x- Δx,<br />
2<br />
( )<br />
μ ∂ y x,t 1<br />
− ⎡D( x,t) −D(<br />
x −Δ ) ⎤ =<br />
σ 2<br />
∂t<br />
Δx<br />
⎣ x,t ⎦ 0<br />
Se observă că cel de-al doilea termen din expresie se<br />
transformă la limita Δx→0în <strong>derivat</strong>a a doua în raport cu x a<br />
funcţiei y(x,t), deci:<br />
( ) y( x,t)<br />
2 2<br />
μ ∂ y x,t ∂<br />
− = 0<br />
σ 2 2<br />
∂t ∂x<br />
Se constată că<br />
şi obţinem:<br />
σ<br />
μ<br />
( ) 1 ( x,t)<br />
2 2<br />
are dimensiunile unei viteze; notăm<br />
∂ y x,t ∂ y<br />
− = 0<br />
(<strong>II</strong>.2)<br />
2 2 2<br />
∂x v ∂t<br />
care reprezintă ecuaţia propagării undelor elastice<br />
unidimensionale în direcţia axei Ox.<br />
Aceasta ecuaţie, deşi obţinută în cazul particular în care<br />
mărimea perturbată este depărtarea de poziţia de echilibru (y),<br />
poate fi generalizată oricare ar fi mărimea fizică perturbată.<br />
Daca notăm generic Ψ(x,t) mărimea perturbată care se propagă<br />
pe Ox, obţinem:<br />
2 2<br />
∂ Ψ(x,t) 1 ∂ Ψ(x,t)<br />
− = 0<br />
2 2 2<br />
∂x v ∂t<br />
Dacă unda se propagă în toate direcţiile obţinem ecuaţia:<br />
2 2 2<br />
∂ Ψ(x,y,z,t) ∂ Ψ(x,y,z,t) ∂ Ψ(x,y,z,t) 1 ∂ Ψ(x,<br />
y,z,t)<br />
+ + −<br />
= 0<br />
2 2 2 2 2<br />
∂x ∂y ∂z<br />
v ∂t<br />
2 2 2<br />
∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ 2<br />
Ştiind că + + =∇ Ψ = ΔΨ<br />
2 2 2<br />
∂x ∂y ∂z<br />
( Δ=operatorul<br />
Laplace, ∇ =operatorul „nabla”), obţinem:<br />
55<br />
2<br />
ν=<br />
σ<br />
μ<br />
(<strong>II</strong>.3)<br />
(<strong>II</strong>.4)