Cuprins II. FENOMENE ONDULATORII ... - derivat

Cuprins 

II. FENOMENE ONDULATORII ......................................51 

II.1. Unde elastice ....................................................51 

II.1.1. Generalităţi .....................................................51 

II.1.2 Ecuaţia de propagare a undelor elastice .....................53 

II.1.3. Viteza de propagare a undelor elastice......................56 

II.1.4. Soluţia ecuaţiei undelor. Unda armonică plană ............58 

II.1.5. Energia transportată de undele elastice. Intensitatea undei 

............................................................................62 

II.1.6 Interferenţa a două unde ......................................64 

II.1.7. Perturbaţii de durată finită. Grupul de unde ..............66 

II.1.8. Reflexia şi refracţia undelor elastice ........................74 

II.1.9 Unde staţionare.................................................77 

II.1.10.Efectul Doppler – Fizeau ....................................80 

II.1.11 Difracţia undelor..............................................91 

II.1.12. Absorbţia undelor ............................................98 

II.2. Noţiuni de acustică ............................................99 

II.2.1. Calităţile sunetului............................................99 

II.2.2. Unele mărimi acustice şi relaţiile dintre ele .............. 100 

II.3. Ultrasunete ..................................................... 104 

II.3.1. Caracterizare; obţinere; detecţie ........................... 104 

II.3.2. Metode de control cu ultrasunete .......................... 106 

II.3.3 Sonoluminiscenţa ............................................. 109 

II.4. Unde seismice ................................................. 110

Fizica I Eleonora Rodica Bena 

II.1. Unde elastice 

II.1.1. Generalităţi 

II. FENOMENE ONDULATORII 

Presupunem un domeniu din spaţiu în care are loc 

perturbarea (abaterea de la valoarea de echilibru) unei mărimi 

fizice. 

Fenomenul de transmitere din aproape în aproape a 

acestei perturbaţii poartă numele de undă. 

Domeniul în care se produce perturbaţia se numeşte 

sursa undei. 

trei direcţii. 

Sursa poate fi punctiformă sau extinsă pe una, două sau 

După natura fizică a mărimii perturbate avem: 

- unde mecanice (elastice) – în care mărimea perturbată 

este de natură mecanică (elongaţia, viteza, presiunea); 

- unde electromagnetice – în care mărimea perturbată 

este de natură electrică şi/sau magnetică (intensitatea 

perpendiculare, undele sunt transversale. 

51 

→ 

câmpului electric E , inducţia câmpului magnetic 

→ 

B , etc); 

- unde magnetohidrodinamice (mărimile perturbate sunt 

atât de natură mecanică cât şi electromagnetică); 

- unde termice (mărimea perturbată este de natură 

termodinamică, de exemplu temperatura); 

- unde de Broglie asociate microparticulelor cuantice. 

După caracterul scalar, vectorial sau tensorial al mărimii 

perturbate, se cunosc: 

- undele scalare; 

- undele vectoriale; 

- undele tensoriale. 

În cazul undelor vectoriale, dacă direcţia de oscilaţie a 

mărimii perturbate este paralelă cu direcţia de propagare, avem 

de-a face cu unde longitudinale, iar dacă cele două direcţii sunt


În cazul undelor mecanice, propagarea (transmiterea din 

aproape în aproape) se face datorită proprietăţilor elastice ale 

particulelor care alcătuiesc mediul. Undele elastice nu se 

propagă în medii lipsite de interacţii elastice, deci nici în vid. 

Undele electromagnetice se propagă în orice mediu, 

inclusiv în vid. 

Clasificarea mediilor: 

1) mediul în care se propagă undele se consideră liniar dacă 

proprietăţile sale intrinseci (constantele de material) nu depind 

de câmpurile aplicate. În astfel de medii este valabil principiul 

superpoziţiei, adică, dacă într-un punct sosesc mai multe 

perturbaţii, perturbaţia rezultantă este suma perturbaţiilor 

individuale. Dacă mediul nu îndeplineşte această condiţie este 

neliniar; 

2) un mediu este omogen dacă mărimile de material 

caracteristice ( ρ, E, 

ε, 

μ, σ) 

sunt aceleaşi în toate punctele 

mediului (adică valoarea lor nu depinde de coordonatele x,y,z). 

Dacă aceste mărimi diferă de la punct la punct, mediul este 

neomogen; 

3) un mediu este izotrop dacă proprietăţile sale sunt 

aceleaşi pe toate direcţiile (nu are direcţii privilegiate) 

(mărimile de material ρ, E, ε, μ, σ sunt scalare). Dacă în mediu 

există direcţii privilegiate, mărimile de material se exprimă prin 

tensori, iar mediul este anizotrop; 

4) un mediu se numeşte conservativ (nedisipativ) dacă 

fenomenul de propagare a undei este reversibil, deci nu are loc 

generarea de căldură prin propagare. Dacă fenomenul de 

propagare este însoţit de disipare de căldură (propagarea este 

ireversibilă), mediul se numeşte disipativ (neconservativ); 

5) dacă viteza de propagare a undei depinde numai de 

caracteristicile mediului, (densitate ρ, modul de elasticitate E, 

exponent adiabatic γ, etc.) mediul se numeşte nedispersiv. 

Dacă viteza de propagare a undei depinde şi de caracteristicile 

52


undei (frecvenţa undei, de exemplu), mediul se numeşte 

dispersiv; 

6) dacă fenomenele de propagare sunt independente de 

tratamentele aplicate anterior mediului (încălzire, magnetizare 

etc), mediul se numeşte fără memorie (fără histerezis). Dacă nu 

se întâmplă acest lucru, mediul este cu memorie (cu histerezis). 

Un mediu liniar, omogen, izotrop, conservativ, nedispersiv şi 

fără memorie este un mediu ideal şi constituie un model de 

studiu, neexistând în realitate. 

II.1.2 Ecuaţia de propagare a undelor elastice 

Vom găsi în continuare ecuaţia pe care o verifică mărimea 

perturbată în decursul propagării sale în spaţiu, la fiecare 

moment. 

⎛→⎞ Vom considera pentru simplificare că mărimea perturbată 

este elongaţia y, adică abaterea de la poziţia de echilibru a 

unui punct material dintr-un mediu elastic. Dacă un punct 

material dintr-un mediu elastic este scos din poziţia de 

echilibru, datorită forţelor elastice din mediu el antrenează 

după sine şi punctele vecine, care la rândul lor antrenează alte 

puncte vecine, etc. Astfel fiecare punct din mediul elastic va fi 

depărtat la un moment dat de poziţia de echilibru cu o distanţă 

y ⎜ 

r,t ⎟ 

, adică elongaţia sa depinde de depărtarea sa de sursă şi 

⎝ ⎠ 

de timp. 

Vom presupune că perturbaţia la sursă este periodică, 

adică sursa execută oscilaţii armonice; pentru simplificare vom 

presupune un mediu unidimensional, format dintr-un şir de 

puncte materiale legate prin forţe elastice. Modelarea acestui 

mediu poate fi realizată printr-un lanţ de n oscilatori cuplaţi prin 

resorturi elastice (fig.II.1). Fiecare oscilator are masa m şi 

fiecare resort are constanta de elasticitate k. Oscilatorii se 

găsesc iniţial la aceeaşi distanţă Δx unul de altul, iar 

resorturile sunt netensionate. 

53


Dacă se produce o abatere de la poziţia de echilibru a 

oscilatorului n, şi vecinii săi vor începe să oscileze după un 

anumit timp, timp care depinde de poziţia în lanţ a vecinilor faţă 

de oscilatorul n. 

Să notăm cu n y n−1,yn−2 

y , şi y n+ 1,yn+ 2 

F =−k(y − y ); F =−k(y 

−y 

) 

d n n+ 1 s n n−1 + − = 

&& 

n + n − n 1 + n − n 1 

) 

my k y y k y y 0 

(II.1) 

54 

abaterile de la poziţia 

de echilibru ale primilor doi vecini (stânga şi dreapta) ai 

oscilatorului perturbat iniţial (n). 

n-2 

Fig. II.1 

Oscilatorul n va fi supus la două forţe elastice, datorită 

destinderii (respectiv comprimării) resortului din dreapta 

(respectiv stânga) sa. 

Ecuaţia de mişcare pentru oscilatorul n va fi: 

( ) ( 

Trecând acum de la lanţul discret de oscilatori la un 

mediu continuu, unidimensional, cu densitatea liniară μ , vom 

avea: 

σ x 

m =μΔ x; k = ; n = 

Δx Δx 

(adică x = nΔ x) 

( σ are dimensiunile unei forţe) 

2 

Ecuaţia (II.1) devine: 

( ) 

∂ y x,t σ σ 

μΔ x + ⎣⎡y( x,t) − y( x + Δ x,t) ⎦⎤ + ⎡⎣y( 

x,t) − y( x −Δ x,t)⎤ = 

2 

∂t 

Δx Δx 

⎦ 0 

sau 

Δx 

n-1 n 

y n-1 y n y n+1 

n+1 n+2 

x 

x


2 

( ) 1 ( ) ( ) ( ) − ( −Δx,t) 

μ ∂ y x,t ⎡y x +Δx,t −y 

x,t y x,t y x ⎤ 

− ⎢ − 

⎥ = 0 

σ 2 

∂t 

Δx ⎣ Δx Δx 

⎦ 

La limita Δx→0, în paranteză avem derivata I a funcţiei 

y(x,t) în raport cu x în punctele x şi x- Δx, 

2 

( ) 

μ ∂ y x,t 1 

− ⎡D( x,t) −D( 

x −Δ ) ⎤ = 

σ 2 

∂t 

Δx 

⎣ x,t ⎦ 0 

Se observă că cel de-al doilea termen din expresie se 

transformă la limita Δx→0în derivata a doua în raport cu x a 

funcţiei y(x,t), deci: 

( ) y( x,t) 

2 2 

μ ∂ y x,t ∂ 

− = 0 

σ 2 2 

∂t ∂x 

Se constată că 

şi obţinem: 

σ 

μ 

( ) 1 ( x,t) 

2 2 

are dimensiunile unei viteze; notăm 

∂ y x,t ∂ y 

− = 0 


2 2 2 

∂x v ∂t 

care reprezintă ecuaţia propagării undelor elastice 

unidimensionale în direcţia axei Ox. 

Aceasta ecuaţie, deşi obţinută în cazul particular în care 

mărimea perturbată este depărtarea de poziţia de echilibru (y), 

poate fi generalizată oricare ar fi mărimea fizică perturbată. 

Daca notăm generic Ψ(x,t) mărimea perturbată care se propagă 

pe Ox, obţinem: 

2 2 

∂ Ψ(x,t) 1 ∂ Ψ(x,t) 

− = 0 

2 2 2 

∂x v ∂t 

Dacă unda se propagă în toate direcţiile obţinem ecuaţia: 

2 2 2 

∂ Ψ(x,y,z,t) ∂ Ψ(x,y,z,t) ∂ Ψ(x,y,z,t) 1 ∂ Ψ(x, 

y,z,t) 

+ + − 

= 0 

2 2 2 2 2 

∂x ∂y ∂z 

v ∂t 

2 2 2 

∂ Ψ ∂ Ψ ∂ Ψ 2 

Ştiind că + + =∇ Ψ = ΔΨ 

2 2 2 

∂x ∂y ∂z 

( Δ=operatorul 

Laplace, ∇ =operatorul „nabla”), obţinem: 

55 

2 

ν= 

σ 

μ 


(II.4)


2 

1 ∂ Ψ( 

x,y,z,t) 

ΔΨ(x,y,z,t) − 

= 0 (II.5) 

2 2 

v ∂t 

care este ecuaţia de propagare a undelor tridimensionale. 

II.1.3. Viteza de propagare a undelor elastice 

Să considerăm un mediu elastic şi o undă longitudinală în 

acest mediu; separăm în acest mediu un cilindru de înălţime Δx 

şi aria bazei ΔA şi considerăm că unda se propagă pe Ox (fig. 

II.2). 

Δx 

0 x 

x 

y y+Δy 

x+Δx 

Fig.II.2 

Deplasarea particulelor mediului faţă de poziţia de 

echilibru va fi y pentru particulele de la abscisa x şi y+Δy pentru particulele de la abscisa x+ Δx. 

Mărimea Δy 

ne indică alungirea relativă a cilindrului: 

Δx 

Δy ∂y 

ε= lim = 

Δx→0 Δx ∂x 


Din legea Hooke avem: 

1 F 

ε= ⋅ 

E ΔA 

unde E este modulul de elasticitate (Young) al mediului. 

Forţa elastică ce acţionează asupra volumului considerat 

( Δ V = Δx⋅ΔA) este: 

∂y ∂y 

− 

⎡⎛∂y⎞ ⎛∂y⎞ ⎤ 

∂x ∂x 

F =ΔA⋅E⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ = E⋅ΔA⋅Δx ⎝∂x⎠ ⎝∂x⎠ Δx 

⎣ x+Δx x⎦ 

56 

x+Δx x


La limita Δx→ 0, 

fracţia din expresie este chiar derivata a 

doua în raport cu x a funcţiei y(x,t), deci: 

F= E ⋅ 

2 

∂ y 

⋅ΔV 

2 

∂x 

Scriind legea a II-a dinamicii pentru cilindrul considerat 

(ma=F), rezultă: 

2 2 

∂ y ∂ y 

ρΔ V = E ΔV 

( ρ este densitatea mediului) 

2 2 

∂t ∂x 

sau 

2 2 

∂ y ρ ∂ y 

− ⋅ = 0 

2 

∂ E 2 

x ∂t 

Comparând expresia (II.7) cu expresia (II.2) obţinem: 

57 


E 

v l = (II.8) 

ρ 

care este viteza undei elastice longitudinale (se numeşte viteză 

de fază). 

Pentru unde transversale în corzi: 

σ 

v t = (II.9) 

μ 

unde σ este tensiunea la care este supusă coarda şi μ este 

masa unităţii de lungime. 

v 

t 

G 

= 

ρ 

Pentru unde transversale în orice fel de medii: 

unde G este modulul de elasticitate la forfecare. 

În gaze: 


γRT 

v = 


μ 

Cp 

unde γ este exponentul adiabatic al gazului ( γ= ), iar μ este 

C 

masa molară a acestuia. 

v


II.1.4. Soluţia ecuaţiei undelor. Unda armonică plană 

Considerăm ecuaţia (II.3) a undei într-o coardă elastică: 

2 2 

∂ Ψ(x,t) 1 ∂ Ψ(x,t) 

− = 0 

2 2 2 

∂x v ∂t 

Rezolvarea acestei ecuaţii (găsirea dependenţei explicite a lui 

Ψ 

de x şi t) se face prin schimbarea de variabilă 

x x 

X = −t 

;Y = + t şi conduce la soluţia: 

v v 

⎛x ⎞ ⎛x ⎞ 

Ψ (x,t) = f ⎜ −t⎟+ 

g⎜ + t⎟ 

⎝v ⎠ ⎝v ⎠ 


unde f şi g sunt două funcţii arbitrare de cele două variabile X, 

respectiv Y. Se remarcă faptul că Ψ nu depinde individual de x 

şi de t ci de combinaţia acestora 

⎛ x ⎞ 

Funcţia f ⎜ − t ⎟ 

⎝v⎠ 58 

⎛ x ⎞ 

⎜ − t ⎟ 

⎝v⎠ sau 

⎛ ⎞ 

⎜ + ⎟ . 

x 

t 

⎝v⎠ descrie unda progresivă, care se propagă 

⎛ x ⎞ 

de la sursă spre punctele mediului iar funcţia g ⎜ + t ⎟ reprezintă 

⎝v⎠ unda regresivă, care se propagă spre sursa de unde (aflată în 

x=0). 

Considerăm doar unda progresivă 

⎛x⎞ Ψ (x,t) = f ⎜ − t⎟ = F[ A(x −vt)] 

⎝v⎠ unde A este o constantă. 

Expresia: 


ϕ (x,t) = A(x −vt) 


se numeşte faza undei. 

Locul geometric al punctelor de pe coardă în care faza 

are aceeaşi valoare se numeşte suprafaţă echifază (suprafaţă 

de undă) şi are ecuaţia ϕ (x,t) = A(x−vt) =const., care prin 

diferenţiere conduce la


dx-vdt=0, adică 

→ → → 

Ψ (r,t) = F[A (r− vt)] 

= dx 

v . 

dt 

De aici rezultă că viteza v din ecuaţia undelor reprezintă 

viteza cu care se deplasează suprafeţele echifaze, de unde şi 

denumirea de viteză de fază. 

Pentru o undă tridimensională descrisă de ecuaţia (II.5), 

soluţia progresivă este: 

Cum F este o funcţie arbitrară, poate fi în particular şi o 

funcţie armonică. Dacă sursa este punctiformă, în punctele din 

apropierea sursei suprafeţele de undă au o formă sferică şi 

avem de-a face cu o undă sferică; în punctele depărtate de 

sursă, suprafeţele sferice pot fi asimilate prin plane. Se poate 

considera că, în cazul unei unde armonice plane 

unidimensionale pe Ox: 

⎡ 

% 

⎛x⎞⎤ Ψ (x,t) = aexp⎢iω⎜ −t⎟⎥ 

= ae % 

⎣ ⎝v⎠⎦ i(kx −ωt) 

a ~ Aici este amplitudinea complexă a undei, ω este 

pulsaţia oscilaţiei care a produs unda, iar 

modulul vectorului de undă. 

59 


ω 

k = se numeşte 

v 

Vectorul de undă are aceeaşi direcţie şi sens ca şi 

direcţia şi sensul de propagare a undei. Scriind a% = ae ( ϕ - faza 

iniţială), avem: 

Ψ (x,t) = ae 0 

(a) 


sau 

i(kx −ω t +ϕ ) 

Ψ (x,t) = b sin(kx −ω t +ϕ0) sau 

Ψ = −ω +ϕ ' 

(x,t) bcos(kx t 0 ) 

oarecare: 

(b) 

(c) 

Dacă unda armonică plană se propagă pe o direcţie 

iϕ0 

0


→ 

Ψ (r,t) = ae 

→→ 

i( k r −ω t +ϕ0) → ⎛→ → ⎞ 

⎜ −ω t+ϕ0⎟ 

Ψ (r,t) = bsin 

⎜ 

k⋅ r 

⎟ 

⎝ ⎠ 

→ ⎛→ → 

' ⎞ 

⎜ −ω t+ϕ0⎟ 

Ψ (r,t) = bcos 

⎜ 

k⋅ r 

⎟ 

⎝ ⎠ 

→ 

direcţia de propagare ( k ). 

60 


Din oricare din expresiile (II.17) rezultă că suprafeţele 

echifaze (suprafeţele de undă) sunt plane perpendiculare pe 

Să considerăm expresia Ψ (x,t) = asin(kx−ω t +ϕ0). Se 

observă că mărimea perturbată Ψ(x,t) 

Ψ (x 0,t) 

= Ψ (x 0,t+ 

T) , de unde rezultă că 

are o dublă periodicitate: 

în timp şi în spaţiu. Periodicitatea în timp rezultă din 

periodicitatea perturbaţiilor sursei şi este descrisă de perioada 

T, adică timpul după care, într-un punct dat x0, oscilaţia se 

repetă în mod identic: 

2π 

T = 

ω 

Periodicitatea spaţială este descrisă de lungimea de undă 

λ , care reprezintă distanţa dintre două puncte care, la un 

moment dat t0, oscilează identic: 

π 

Ψ (x,t 0) = Ψ (x +λ,t 

0), 

de unde rezultă că λ= 2 

k 

Scriind 

2π 

k = şi introducându-l în ecuaţia (II.16b), pentru 

λ 

o fază ϕ 0 convenabil aleasă, putem scrie: 

⎡ ⎛ t x⎞⎤ 

Ψ (x,t) = asin⎢2 π⎜ − 

λ 

⎟⎥ 


⎣ ⎝T⎠⎦ Dacă Ψ (x,t) 

= y(x,t) , avem: 

⎡ ⎛ t x⎞⎤ 

y(x,t) = asin ⎢2 π⎜ 

− 

λ 

⎟⎥ 


⎣ ⎝T⎠⎦ adică ecuaţia undei armonice plane cunoscută din manualul de 

liceu.


Observaţie: deducerea intuitivă a ecuaţiei (II.19) 

Considerăm o coardă elastică paralelă cu Ox, cu O la un 

capăt al corzii care constituie şi sursa de unde (punctul O este 

supus unei oscilaţii armonice). 

O P(x) 

S 

Ecuaţia oscilaţiei la sursă: y (t) = asinωt s 

Punctul P situat la distanţa x de sursă intră mai târziu în 

oscilaţie, deoarece perturbaţia are nevoie de un timp τ= x 

v 

pentru a ajunge de la S la P. La momentul t punctul P va oscila 

aşa cum oscilase sursa la momentul ( t − τ) 

. (La momentul t −τ s- 

a produs de fapt oscilaţia care ajunge în P la momentul t). 

⎡2π⎛ x⎞⎤ 

y P(t) = y s(t −τ ); y P(t) 

= asin ω(t −τ ) = asin ⎢ ⎜t− ⎟⎥= 

⎣ T ⎝ v⎠⎦ 

⎡ ⎛ t x ⎞⎤ ⎡ ⎛ t x⎞⎤ 

= asin⎢2π⎜ − ⎟⎥ = asin⎢2π⎜ − 

⎣ ⎝T T⋅v⎠⎦ ⎣ ⎝T 

λ 

⎟⎥ (avem λ = T⋅v) ⎠⎦ 

Concluzie: 

Dacă într-un punct din mediu se produce la un moment 

dat o perturbaţie, ea se va propaga în tot spaţiul iar într-un 

→ 

punct situat la distanţa r de sursă, va avea expresia: 

→ 

Ψ (r,t) = ae 

→→ 

i( k r −ω t +ϕ0) 

unde → ω 

k = . Aceasta este unda armonică plană. 

v 

În general vectorul de undă are expresia 

r r r r r r r 

k = kx ⋅ 1x + ky ⋅ 1y + kz ⋅1 

z unde 

1 x,1 y,1z sunt versorii celor trei axe. 

Dacă, în particular unda se propagă de-a lungul axei Ox, 

r r 

k = k⋅1 , deci: 

x 

61 

x


Ψ (x,t) = ae 

sau 

i( kx −ω t +ϕ0) ( x,t ) bcos ( kx t ) b sin ( kx −ω +ϕ ) ' 

0 t 0 

Ψ = −ω +ϕ = 

II.1.5. Energia transportată de undele elastice. Intensitatea 

undei 

Considerăm un mediu elastic în care se propagă, paralel 

cu Ox, o undă plană longitudinală şi un mic volum ΔV în acest 

mediu, astfel încât mărimile ∂ψ 

∂x 

constante în acest volum. 

Δ Ec 

= 

( ∂ψ 

∂t 

62 

∂ψ 

şi 

∂ t 

Energia cinetică a particulelor din ΔV va fi: 

ρ⋅ΔV 

⎛∂ψ⎞ ⋅ 

2 

⎜ 

∂ 

⎟ 

⎝ t ⎠ 

2 

este viteza de oscilaţie nu cea de propagare). 

. 

să poată fi considerate 

Alungirea relativă a elementului de volum ΔV va fi 

volumul ΔV se poate deduce astfel: 


∂ψ 

ε= ∂x 

Energia potenţială elastică (deformaţională) a particulelor din 

- pentru un resort cu constanta de elasticitate k, 

E p 

( Δ ) 

= k l 

2 

2 

- forţa elastică 

, unde 

Δl este alungirea 

E⋅S⋅Δl F = = kΔl, 

deci 

l 

Pentru particulele din ΔV: 

2 

ES( Δl) ESl ⎛Δ ⎞ 

Δ = = 0 l 

Ep 

⎜ ⎟ 

2l0 2 ⎝l0 ⎠ 

2 

ρv⎛∂ψ⎞ Δ Ep= ⎜ ⎟ ⋅ΔV. 

2 ⎝ ∂x 

⎠ 

2 

2 

0 

Δ 

= ⋅ε 2 E V 

2 

E⋅S 

k = 

l 

0 

E 

şi ţinând cont că v l = , 

ρ 

Energia mecanică a particulelor din ΔV va fi: 

.


⎡ 2 2 

1 ⎛∂ψ ⎞ ⎛ ψ ⎞ 

⎤ 

2 ∂ 

Δ E = Δ Ec + Δ Ep = ρ ⎢⎜ ⎟ + v ⎜ ⎟ ⎥⋅ΔV 

2 ⎢ ∂ 

⎣ 

⎝ t ⎠ ⎝ ∂x 

⎠ ⎥⎦ 

iar densitatea de energie va fi: 

⎡ 2 2 

ΔE 1 ⎛∂ψ⎞ ⎛∂ψ⎞ ⎤ 

2 

w = = ρ ⎢⎜ ⎟ + v ⎜ ⎟ ⎥ 

ΔV 2 ⎢ ∂ ⎝ ∂x 

⎣ 

⎝ t ⎠ ⎠ ⎥⎦ 

Ţinând cont că ( ) 

iar 

2 

⎛ω⎞ ψ x,t = a sin ⎜ x −ωt⎟, 

⎝ v ⎠ 

63 

∂ψ ⎛ω⎞ = −aωcos⎜ x −ωt 

∂t ⎟ 

⎝ v ⎠ 

∂ψ ω ⎛ω⎞ = a cos −ω 

∂x 

v 

⎜ x t ⎟, 

expresia (II.21) devine: 

⎝ v ⎠ 

2 2 


w =ρa ω co s (kx−ωt) (II.22) 

Se observă că densitatea de energie variază rapid de la 

punct la punct şi de la moment la moment. Aparatele care 

înregistrează undele se bazează pe efectele energetice ale 

acestora şi au un timp de răspuns τ mult mai mare decât 

perioada T a variaţiei energiei, prin urmare nu pot urmări 

instantaneu aceste variaţii; se poate înregistra doar media 

densităţii de energie pe intervalul τ : 

τ 

1 

w wdt 

= 

τ τ ∫ 

0 

Cum intervalul τ cuprinde foarte multe perioade T, media 

pe acest interval este aceeaşi cu media pe o perioadă T: 

T T 

1 1 2 2 2 

w = ∫w(x,t)dt = ρa ω 

T 

∫cos 

(kx−ωt)dt T T 

0 0 

T 

1 2 2 1+ cos2(kx 

−ωt) 

= ρa ω ∫ 

dt 

T 2 

0 

⎡T T 

1 ⎤ 

2 2 dt 1 

= ρaω ⎢∫ + ∫cos2(kx 

−ωt)dt⎥ 

T ⎢ 2 2 

⎣0 0 

⎥⎦ 

Deoarece 

T 

∫ 

0 

sin2(kx −ωt) 

cos2(kx −ω t)dt = 

−2ω | 

T 

0 

= 0 , rezultă:


1 

w = ρa ω 

2 

2 2 

64 


deci mediul în care se propagă unda elastică posedă o energie 

suplimentară, care este tocmai energia transportată de undă de 

la sursă în mediu. 

Intensitatea undei este energia ce trece în unitatea de 

timp prin unitatea de arie a suprafeţei perpendiculare pe 

direcţia de propagare a undei: 

ΔE 

w ⋅ΔV w ⋅Δx⋅ΔA I= 

= = 

= w ⋅v 


ΔA⋅Δt ΔA⋅Δt ΔA⋅Δt sau 

1 2 2 

I= ρa ω v 

2 


Deci intensitatea undei depinde atât de proprietăţile 

sursei de unde (prin amplitudinea a şi pulsaţia ω ), cât şi de 

proprietăţile mediului elastic (prin densitatea ρ şi viteza v). 

Se defineşte impedanţa acustică a unui mediu: 

kg m 

Z=ρ v; Z = ⋅ = k 

3 

m s 

− − 

[ ] g⋅m ⋅s 

2 1 

Atunci intensitatea undei se scrie: 

1 

I= Zω a 

2 

2 2 

II.1.6 Interferenţa a două unde 


de Ψ , Ψ ,..., Ψ , efectul ondulatoriu global Ψ este consecinţa 

1 2 n 


Într-un punct al unui mediu ideal (deci liniar) în care 

ajung simultan mai multe unde de aceeaşi natură, caracterizate 

suprapunerii undelor: 

Ψ=Ψ 1+Ψ2 + +Ψ ... n 

Ψ 

Să presupunem două unde armonice plane Ψ 

şi de 

1 2 

aceeaşi pulsaţie şi a căror diferenţă de fază nu variază în timp, 

care se întâlnesc în acelaşi punct P. Uzual, aceste unde se


numesc coerente, iar fenomenul suprapunerii lor de numeşte 

interferenţă. 

Cele două unde au expresiile: 

ikx ( 1−ω t+ϕ 

Ψ 01) 

1 = ae 1 

ikx ( 2−ω t+ϕ 

Ψ = ae 

02) 

1 2 

unde x1 şi x2 sunt distanţele de la sursele celor două unde la 

punctul de întâlnire. Se observă că ele au acelaşi 

ω 

k = , 

v 

aceeaşi pulsaţie ω şi fazele iniţiale fixe ϕ01 şi , deci 

diferenţa de fază Δϕ = k(x − x ) + ϕ − ϕ ; 

1 2 

65 

01 02 

Δϕ = kΔ x + Δϕ0 (II.28) 

este constantă în timp (sunt deci coerente). 

Cele două unde vor supune punctul P la două oscilaţii 

paralele, a căror rezultantă este tot o oscilaţie armonică (vezi 

Cap.I. Compunerea oscilaţiilor armonice), cu pulsaţia ω şi 

amplitudinea: 

2 2 

A = a1 + a2 + 2a1a2cos(kΔ x +Δϕ0) (II.29) 

Se observă că amplitudinea rezultantă depinde esenţial 

de diferenţa de fază Δϕ = kΔ x +Δϕ0, care depinde la rândul ei de 

diferenţa de drum Δx a celor două unde. 

Pentru simplificare presupunem Δϕ 0 = 0 şi obţinem următoarele 

cazuri extreme: 

a) Δϕ = 2n π(n ∈ Z);cos 

2nπ = 1;A = a + a = A 

1 2 max 

2π 

2π 

Cum k = , obţinem 

⋅Δ x = 2n π, 

deci 

λ λ 

λ 

Δ x = 2n (II.30) 

2 

Concluzie: dacă între două unde care se suprapun într-un 

punct există o diferenţă de drum egală cu un număr par de λ 

2 , 

ele vor produce un maxim de interferenţă. 

ϕ 02


b) Δϕ = (2n + 1) π;(n ∈ Z);cos(2n 

+ 1) π = − 1;A = a − a = A 

1 2 min 

λ 

Δ x = ( 2n+ 1) (II.31) 

2 

Concluzie: dacă între două unde care se suprapun într-un 

punct există o diferenţă de drum egală cu un număr impar de 

λ 

2 

Δϕ 0 

, ele vor produce un minim de interferenţă. 

Dacă avem de-a face cu două fascicule de unde coerente, 

interferenţa lor se produce într-o regiune din spaţiu, în întreg 

domeniul de intersecţie a fasciculelor. Pe un ecran plasat în 

acest domeniu se obţine o figură de interferenţă, adică o 

anumită distribuţie a intensităţii rezultante, cu maxime şi 

minime alternative (franje de interferenţă). 

Dacă cele două unde care se suprapun nu sunt coerente, 

este funcţie de timp, deci şi amplitudinea rezultantă este 

funcţie de timp. Cum intensitatea depinde de pătratul 

amplitudinii, şi intensitatea va fi funcţie de timp. Se va putea 

înregistra doar media amplitudinii rezultante: 

2 2 2 

1 2 1 2 +Δϕ0 A = a + a + 2a a cos[kΔx (t)] 

Dacă Δϕ0 (t) este o funcţie aleatoare de timp, cos( kΔ x +Δϕ 

) = 0, 

2 2 2 

1 2 

deci A = a + a 

I= I1+ I2 

, adică 

ceea ce arată că prin suprapunerea a două unde necoerente se 

obţine o undă a cărei intensitate este suma celor două 

intensităţi, fără o distribuire în maxime şi minime. 

II.1.7. Perturbaţii de durată finită. Grupul de unde 

Unda armonică plană este un concept idealizat; ea este 

perfect monocromatică, adică are tot timpul aceeaşi frecvenţă. 

Se poate arăta că, pentru a obţine o undă perfect 

monocromatică, o sursă trebuie să emită un timp infinit lung. 

Dacă timpul de emisie este finit, unda nu mai este perfect 

66 

0


monocromatică, existând o abatere Δω de la pulsaţia ω 0 . Între 

intervalul de emisie Δt şi abaterea de la monocromaticitate Δω 

există relaţia: 

ΔωΔt ≈ 2π 

armonică ( Δω → 0) 


din care se observă că pentru a obţine o perturbaţie perfect 

( 

) 

Δt →∞ . 

finită. 

este necesar ca timpul de emisie să fie infinit 

Căutăm modul în care se poate reprezenta o perturbaţie 

Să presupunem o sursă care emite într-o durată finită Δt unde 

cu pulsaţia în intervalul 

⎡ Δω Δω⎤ 

⎢ω − ω 0 + ⎥ 

⎣ 2 2 ⎦ 

0 , , cu Δω


( ) 

Ψ x,t = a e 

Δω ⎡ 

⎛dk ⎞ 

⎤ 

ω 0 + 

2 

ik ⎢ 0x−ω 0t+ ⎜ ( ω−ω 0) 

x+ω 

dω 

⎟ 

0t−ωt⎥ ⎢ 

⎣ 

⎝ ⎠ω 

⎥ 

0 

⎦ ω= 

∫ 

Δω 

ω0− 2 

Δω ⎡ 

⎛ dk ⎞ 

⎤ 

ω + ⎢ ⎥ 

0 

2 

i ⎜ x t ( 0 ) 

ik ( 0x0t) d 

⎟ − ω−ω 

−ω ⎢⎝ ω ⎠ω 

⎥ 

= ae e ⎣ 0 ⎦ dω= 

∫ 

Δω 

ω0− 2 

⎡ 

⎛ dk ⎞ 

⎤ Δω 

sin ⎢⎜ x t 

d 

⎟ − ⎥⋅ 

2 

ik ( 0x−ω0t) ⎢⎝ ω ⎠ω 

⎥ 0 

= 2ae 

⎣ ⎦ 

⎛ dk ⎞ 

⎜ x−t dω 

⎟ 

⎝ ⎠ 

Notăm 

⎣ ω0 

⎦ 

ω0 

⎡ 

⎛ dk ⎞ 

⎤ Δω 

⎢⎜ ⎟ x −t⎥⋅ ⎢⎝dω⎠ ⎥ 2 = α(x,t) (II.35) 

şi obţinem: 

( ) 

Ψ x,t = a ⋅Δω⋅e0 0 

( −ω ) sinα ( x,t ) 

⋅ 

α ( x,t ) 

ik x t 

d 


Relaţia (II.36) exprimă o undă cu pulsaţia ω 0 şi vectorul 

de undă k0, cu amplitudinea: 

sin α(x,t) 

A(x,t) = a Δω 


α(x,t) 

deci o undă modulată în amplitudine de factorul 

sin α(x,t) 

. 

α(x,t) 

Datorită dependenţei amplitudinii de x şi t, unda (II.36) nu mai 

este armonică. 

68


Să analizăm expresia (II.37): 

- dacă 

- dacă 

α 

α→0, 

lim = 

α→0 

α 

sin 

1, amplitudinea A(x,t) 

= A0 = a Δω=maximă; 

sinα 

α→± n π ,n = 1,2,3..., lim = 0,A = 0 ; 

α→± nπ 

α 

- dacă α= tg α, 

se obţin maxime secundare ale funcţiei 

A(x,t) cu amplitudinea mult mai mică decât A0 (fig.II.3) 


69 

A(α) 

A 0 

-3π -2π 

-π π 2π 3π 

Se observă că, pentru un t0 dat, 

nulă într-un punct x0 

= 

se atinge în x0. 

t0 

⎛ dk ⎞ 

⎜ 

dω 

⎟ 

⎝ ⎠ω0 ⎛dk ⎞ 

α (x,t ) = ⎜ 

ω 

⎟ 

α 

0 0 

⎝d⎠ω0 x −t 

va fi 

, deci la t0, maximul amplitudinii 

Mărimea fizică exprimată prin Re Ψ = A(x,t)cos(k x −ω t) se 

0 0 

poate reprezenta grafic în spaţiu (adică în funcţie de x) pentru 

un t0 dat (fig.II.4)


Reψ 

x 0 


A(x,t0) 

cos(k0x-ω 0t0) 

Se observă că perturbaţia este localizată (grupată) doar 

pe un mic interval în jurul lui x0. O astfel de perturbaţie se 

numeşte grup de unde sau pachet de unde sau tren de unde. 

(fig.II.5) 

Să reprezentăm grupul de unde la momente 

Reψ 

x 0 


70 

x 1 

x 2 

t 0 

t 1 

t 2 

x 

t 0,t 1,t 2... 

x 

x 

x


Se observă că maximul grupului se deplasează în spaţiu 

cu o viteză numită viteză de grup. 

Δx 

x − 

vg 

= = 1 x0 

Δt t −t 

1 0 

Această viteză se mai numeşte şi viteza de deplasare a 

suprafeţelor echiamplitudine. Suprafaţa echiamplitudine este 

locul geometric al punctelor care, la un moment dat, oscilează 

cu aceeaşi amplitudine. Ea are ecuaţia A(x,t)=ct, adică: 

⎛ dk ⎞ 

⎜ 

ω 

⎟ x − t = const (II.38) 

⎝d⎠ω0 care prin diferenţiere conduce la: 

v 

g 

dx 1 

= = 

dt ⎛ dk ⎞ 

⎜ 

dω 

⎟ 

⎝ ⎠ω0 ⎛dω⎞ = ⎜ 

dk 

⎟ 

⎝ ⎠ω0 caracterizat prin suprafeţe echifază de ecuaţie k x −ω t = const, 

71 


În concluzie: O sursă care emite o durată finită nu poate 

produce o undă armonică plană ci un grup de unde. Acesta e 

care se deplasează cu viteza de fază 

v 

ω 

= 0 

k 

0 

0 0 

şi prin suprafeţe 

echiamplitudine, care se deplasează cu viteza de grup 

⎛dω⎞ v g = ⎜ 

dk 

⎟ (viteza maximului grupului). 

⎝ ⎠ω0 Relaţia între viteza de grup şi viteza de fază se obţine 

ţinând seama că ω= v⋅k. Atunci, din (II.39): v = ( v⋅k) ⎝ ⎠ω0 g 

d ⎛dv⎞ = v + k⎜ ⎟ sau 

dk 

⎝dk⎠ ⎛ dv ⎞ 

vg= v + ω⎜ dω 

⎟ 


de undă, 

Ţinând seama că v depinde de k prin intermediul lungimii 

dv dv dλ dv ⎛ 2π⎞ 

1 dv 

= = ⎜− dk dλ dk dλ⎝ 2 ⎟ = −λ , 

k ⎠ k d λ 

deci


⎛dv ⎞ 

vg= v −λ⎜ 

dλ 

⎟ 


⎝ ⎠ω0 Relaţia (II.41) se numeşte relaţia lui Rayleigh între viteza 

de grup şi viteza de fază. 

Dacă mediul este nedispersiv, viteza nu depinde de ω 

dv 

(sau λ ), deci = 0 

dω 

, iar vg= v. 

dv 

Dacă însă mediul este dispersiv, ≠ 

dω 

72 

0, deci vg≠v Dacă mediul este puternic dispersiv, fiecare componentă 

a grupului de unde se propagă cu o altă viteză şi grupul se 

destramă rapid. 

Se pune întrebarea care dintre cele două viteze se 

măsoară experimental? Se ştie că detecţia undelor se 

realizează prin măsurarea efectelor lor energetice; se ştie de 

asemenea că fluxul energetic este proporţional cu pătratul 

amplitudinii undei, deci efectele energetice sunt legate de 

suprafeţele echiamplitudine. Se poate spune atunci că viteza de 

grup este viteza de transfer a energiei undelor, prin urmare 

aceasta se poate măsura experimental, iar viteza de fază se 

determină prin calcul din relaţia lui Rayleigh. 

În cele ce urmează vom găsi o relaţie între întinderea 

grupului de unde δx şi abaterea de la k0 a vectorului de undă, 

δk . 

Pentru aceasta vom studia intensitatea undei descrisă de 

funcţia Ψ ( x,t) 

(II.36) (intensitate proporţională cu pătratul 

amplitudinii): 

2 

α ( x,t ) 

( x,t ) 

sin 

Ix,t ( ) = I 0 2 


α 

Această funcţie poate fi reprezentată grafic în raport cu x 

pentru un t0 dat, prezentând un maxim central, minime nule şi 

maxime secundare (fig.II.6.a). 

.



O măsură a întinderii δx a grupului de unde poate fi 

„lărgimea la semiînălţime” a acestei curbe, Δ x = x2 − x 1. 

În punctele x1 şi x2 = 0 I 

I , deci 

2 

aproximative ale acestei ecuaţii sunt 

⎡ 

⎛ dk ⎞ 

⎤ Δω π 

α ( x,t ) = ⎢⎜ ⎟ x −t⎥⋅ 

≅ − 

d 2 2 

1 1 0 1 0 

⎢⎝ ω 

⎣ 

⎠ω 

⎥ 

0 ⎦ 

⎡ 

⎛ dk ⎞ 

⎤ Δω π 

α ( x ,t ) = ⎢⎜ − ⎥⋅ 

≅ 

d 

⎟ x t 

2 2 

2 2 0 2 0 

⎢⎝ ω 

⎣ 

⎠ω 

⎥ 

0 ⎦ 

Prin scăderea relaţiilor obţinem: 

Δω ⎛ dk ⎞ 

2 

⎜ 

dω 

⎟ 

⎝ ⎠ω0 X 1 

Scriind 

δx 

a) 

( x x ) 

− ≅ π 

2 1 

I 

I0 

2 

I(x,t0) 

0 

X2 

dk Δk 

= , obţinem 

dω 

Δω 

73 

α ≅± 

1,2 

2 

sin α 1 

= ; Soluţiile 

2 

α 2 

π 

, adică 

2 


Δk⋅Δx≥2 π sau δk 

⋅δx≥2π (II.44) 

Analog, reprezentând grafic I(x0,t) în raport cu timpul şi 

considerând că o măsură a întinderii temporale a grupului, δt , 

este „lărgimea la semiînălţime” (fig.II.6b) Δ t = t2 

− 

calcul analog cu cel anterior, se obţine relaţia: 

X 

t 1, 

printr-un 

Δω⋅ Δt≥2 π sau δω⋅ 

δt≥2π (II.45) 

t 1 

δt 

I0 

2 

b) 

I(x 0 ,t) 

I 

0 

t2 

t


Relaţiile (II.44) şi (II.45) sunt relaţii de nedeterminare 

pentru grupul de undă şi pot fi interpretate în felul următor: 

- cu cât unda este mai apropiată de monocromaticitate 

( Δω → 0 ) , cu atât întinderea temporală este mai mare ( Δt →∞) 

(şi reciproc). 

- cu cât grupul de unde este mai localizat ( Δx→0 ) , cu atât 

este mai mare dispersia vectorului de undă ( Δk →∞) 

(şi 

reciproc). 

Relaţiile (II.44) şi (II.45) sunt valabile pentru toate tipurile 

de unde, inclusiv pentru undele de Broglie asociate 

microparticulelor. Pentru a găsi relaţii între mărimi specifice 

microparticulelor, putem amplifica relaţia (II.44) cu 

h −34 

h = ( h = 6,62 ⋅10J⋅s este constanta lui 

Planck) 

şi ţinând seama de 

2π 

relaţia p = hk (p este impulsul particulei), obţinem: 

Δp⋅Δx≥h cunoscută ca relaţia de nedeterminare Heisenberg poziţieimpuls. 

Procedând la fel cu relaţia (II.45) şi ţinând seama că 

ε= hω 

este energia particulei căreia i s-a ataşat unda cu 

pulsaţia ω , obţinem: 

Δε ⋅ Δt≥h cunoscută ca relaţia de nedeterminare Heisenberg 

energie-timp. Relaţiile de nedeterminare Heisenberg sunt foarte 

importante în fundamentarea fizicii cuantice. 

II.1.8. Reflexia şi refracţia undelor elastice 

Dacă o undă elastică ajunge la suprafaţa de separare a 

două medii elastice omogene, cu impedanţe acustice Z1 şi Z2 

diferite, unda incidentă de amplitudine Ai se va diviza în: unda 

reflectată (de amplitudine Ar) şi unda refractată (transmisă), (de 

amplitudine At)(fig.II.7). 

74


Z 1 

→ 

k i 

Z 2 i 

→ 

n 

i i’ 

r 


→ 

k t 

Se definesc următoarele noţiuni: 

- Σ - suprafaţă de separare; 

- I – punct de incidenţă; 

→ 

- n - versorul normalei la Σ în I; 

- i – unghi de incidenţă (unghiul dintre vectorul de undă 

75 

→ 

k r 

→ → 

al undei incidente k i şi versorul n ); 

- i’ – unghi de reflexie (unghiul dintre vectorul de undă 

→ → 

- plan de incidenţă – planul format de n şi k i . 

i r 

al undei reflectate şi versorul n ); 

- r – unghi de refracţie (unghiul dintre vectorul de undă 

al undei refractate şi versorul n ); 

Se pot deduce următoarele legi ale fenomenului de 

reflexie/refracţie: 

1) prin reflexie/refracţie frecvenţa undei nu se modifică 

( ω = ω 

= ω = ω) 

t 

→ 

→ 

Σ


2) unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie (i=i ’ ); 

3) 

sini v 

sinr v 

= 1 

2 

unde v1 şi v2 sunt vitezele de fază în cele două medii; 

→ → → 

76 


4) vectorii k,k i r,k t se află în acelaşi plan (planul de incidenţă). 

Se definesc: 

I Z A 

R = = 

I ZA 

a) coeficientul de reflexie 

2 

r 1 r 

i 1 

2 

i 


(arată a câta parte din energia fasciculului incident se 

regăseşte în unda reflectată); 

b) coeficientul de transmisie 

2 

I 

T = t Z 

= 2 A 

⋅ t 


I Z 2 

A 

i 1 i 

(arată a câta parte din energia fasciculului incident se 

regăseşte în unda transmisă). 

Cei doi coeficienţi se calculează din condiţia de 

continuitate şi din condiţia de conservare a energiei la 

suprafaţa de separare. 

Să considerăm cazul simplu al incidenţei normale 

(i=i ’ =r=0) la suprafaţă. Condiţia de continuitate la suprafaţa Σ 

( )se scrie: 

Ψ + Ψ = Ψ 

i r t 

A + A = A (II.49) 

i r t 

iar legea conservării energiei (Ii=Ir+It) se scrie: 

1 1 

Z ω A = Z ω A 

2 2 

sau 

2 2 2 2 

1 i 1 r 

2 2 2 

1 i r 2 t 

1 

+ Z ω A 

2 

2 2 

2 t 


Z(A − A ) = Z A 


Rezolvând sistemul ecuaţiilor (II.49) şi (II.51) se poate 

exprima doar At şi Ar în funcţie de Ai:


2Z 

− 

At = A 1 Z 

i ;Ar 

= 1 Z 

A 2 

i 


Z + Z Z + Z 

deci: 

1 2 

2 

1 2 

(Z − 

= 1 Z 2) 

4Z 

R ; = 1Z T 

2 

(Z + Z ) (Z + Z ) 

1 2 

2 2 

1 2 


Se observă că R+T=1 (consecinţă a legii conservării 

energiei). Examinând expresia lui Ar din (II.52) se constată că, 

dacă Z1>Z2, unda reflectată este în fază cu cea incidentă (Ar şi 

A i au acelaşi semn), iar dacă Z1


amplitudine maximă sau minimă. Să presupunem două cazuri 

particulare: 

a) 

Z1 >> Z2 

Conform relaţiilor (II.52), Ar=Ai=A 

Presupunem că mediul I este o coardă elastică de 

lungime l, într-un capăt al căreia există o sursă S iar celălalt 

capăt este liber în aer. (fig.II.8) 

i r 

S P 

l − x 

x 


Într-un punct P situat la distanţa l − x de S se vor întâlni 

unda incidentă şi unda reflectată în L (capătul liber). 

Pentru unda incidentă: 

( ) 

ψ = ⎡⎣ l − −ω ⎤⎦ 

i A cos k x t (II.54) 

iar pentru cea reflectată: 

( ) 

ψ = ⎡⎣ l + −ω ⎤⎦ 

r A cos k x t (II.55) 

Ψ=Ψ +Ψ = 

Rezultanta: 

( l ) 

i r 2A coskxcos −ω 

(am folosit relaţia 

k t (II.56) 

α +β α−β 

cos α+ cosβ= 2cos cos 

2 2 ) 

Relaţia (II.56) reprezintă ecuaţia unei oscilaţii cu 

amplitudinea 

2π 

Arez = 2A coskx = 2A cos x 

λ 

şi pulsaţia ω ; rezultă că fiecare punct de pe coardă va oscila cu 

pulsaţia ω , dar cu o altă amplitudine, şi anume: 

78 

I 

L 

II 


- dacă punctul P este situat la distanţa xv de capătul liber, 

astfel încât


2π π 

n 

xv = 2n ; (n = 0,1,2...); cosn π = ( − 1) ; Arez = ± 2A = A max 

λ 2 

la orice 

moment. Punctele de acest tip poartă numele de ventre; poziţia 

lor este 

λ λ 

xv= n = 2n 


2 4 

- dacă punctul P este situat la distanţa xn de capătul liber, 

astfel încât 

2π π 

π 

x n = (2n+ 1) ; (n= 0,1,2...); cos(2n+ 1) = 0; Arez = 0 la orice moment. 

λ 

2 2 

lor este: 

Punctele de acest tip poartă numele de noduri şi poziţia 

⎛ 1 ⎞λ 

λ 

xn= ⎜n+ ⎟ = (2n+ 1) 

⎝ 2⎠2 4 

Capătul L este ventru. 

79 


Dacă lungimea corzii este un număr întreg de λ 

, coarda 

2 

are, de exemplu, la orice moment, aspectul din figura (II.9). 

λ 

2 

S L 

5λ 

4 

3λ 

4 


Fenomenul care apare poartă numele de undă staţionară. 

b) Z1


( ) 

ψ i = A cos ⎡⎣kl− x −ωt⎤⎦ 

( ) 

ψ r = −Acos ⎡⎣kl+ x −ωt 

⎤⎦ 

Folosind relaţia 

rezultantă se va scrie: 

( kl −ωt) 

ψ=2Asinkxsin , adică Arez=2Asinkx 

β −α α+β 

cosα−cosβ= 2sin sin , oscilaţia 

2 2 

în acest caz ventrele se obţin pentru si nkx 

= ± 1, 

adică la 

λ 

x = ( 2n+ 1) 4 

v (II.60) 

iar nodurile pentru sinkxn=0, adică la 

λ 

x = 2n (II.61) 

4 

n 

Capătul L fixat este un nod. Dacă lungimea corzii este un 

număr întreg de λ 

2 

(II.10). 

S 

frecvenţa ν0 (perioada T0, pulsaţia ω0 80 

v 

se obţine, de exemplu, aspectul din fig 


Fenomenul de producere a undelor staţionare are o 

aplicabilitate directă în construcţia instrumentelor muzicale. 

II.1.10.Efectul Doppler – Fizeau 

Efectul Doppler – Fizeau constă în recepţionarea unei 

unde cu o altă frecvenţă decât cea cu care a fost emisă, dacă, 

în timpul propagării, emiţătorul şi receptorul se află în mişcare 

relativă (adică se apropie sau se depărtează unul de celălalt). 

Presupunem o sursă emiţătoare de unde elastice cu 

), care se mişcă cu Vs pe 

λ 

2 

x v 

L


direcţia şi în sensul de propagare a undelor şi un observator 

care se mişcă cu V0 în acelaşi fel. 

τ= t2 −t1 


Emisia începe la momentul t1 când sursa se află în S1 şi 

se termină la t2 când sursa se află la S2 (Fig.II.11). 

θ=θ −θ 

2 1 

Durata emisiei este 

Recepţia începe la momentul θ 1 

81 

θ 2 


când receptorul 

(observatorul) se află în O1 şi se termină la momentul când 

receptorul este în O2. Durata recepţiei: 

complete, 

recepţionat, 

( ν ≠ν 

0 ). 

τν = θν 

0 


În timpul de emisie τ sursa efectuează N oscilaţii 

Avem relaţia: 

τ 

N = = τν0; 

acelaşi număr de oscilaţii este şi 

T 

0 

θ 

N = =θν, 

unde ν este frecvenţa de recepţie 

T 


Să găsim mai întâi relaţia între τ şi θ. Presupunem că 

viteza undei este v. Atunci: 

SO 

θ 1 = t1+ 

v 

1 1 

V s 

S 1 S 2 

(momentul primei recepţii este ulterior momentului 

primei emisii cu intervalul Δ t = 

SO 1 1 

ajungă din S1 în O1). La fel θ = + . 2 2 SO 

2 2 

v 

t 

v 

O 1 

V 

0 

O2 

- timpul necesar undei să


SO − 

θ=θ −θ = − + 2 2 SO 1 1 

2 1 t2 t1 

= 

v 

SO + − − 

=τ+ 2 1 OO 1 2 SS 1 2 SO 2 1 O 

=τ+ 1O−SS 

v v 

Dar 

⎛ V ⎞ 

θ⎜ − 0 ⎛ V ⎞ 

1 ⎟ = τ⎜1 s 

− ⎟ 

⎝ v ⎠ ⎝ v ⎠ 

OO 1 2 = V 0θ; 

SS 1 2 = Vsτ 

Din (II.64): 

2 1 2 


τ v − V 

ν=ν ν O 

0 = 0 


θ v − V 

sau 

S 

v − V 

ω= ω O 

0 


v − V 

S 

Dacă vitezele observatorului şi sursei fac unghiurile α 

respectiv β cu direcţia de propagare, se obţine relaţia: 

v − V cosα 

ω=ω O 

0 (II.68) 

v − VScosβ Sunt interesante următoarele cazuri particulare: 

a) 

ω=ω 

0 0 

α=β=180 (cos180 

=−1) 

0 

v + V 

v + V 

O 

S 

0 0 

b) α= 180 

; β= 0 (observatorul şi sursa se apropie) 

ω=ω 

0 

v + V 

v − V 

O 

S 

c) V = 0; β = 0(observatorul 

stă şi sursa se apropie) 

O 

ω=ω 

v 

;( ω>ω ) 

0 0 

v − VS 

0 

d) V = 0; 

β = 180 (observatorul stă şi sursa se 

O 

îndepărtează) 

ω=ω 

v 

v + V 

;( ω〈ω) 

0 0 

S 

82


e) V = 0; β = 0, π (sursa stă şi observatorul se mişcă) 

S 

v ± VO 

ω=ω 0 etc 

v 

0 

f) α= β=90 ; ω=ω (nu rezultă efect Doppler transversal) 

0 

Dacă α sau β se schimbă în cursul propagării, unda va fi 

recepţionată cu o frecvenţă ω variabilă. Observaţie: efectul 

Doppler transversal s-a observat totuşi experimental, însă el nu 

reiese din calculele efectuate anterior. Această neconcordanţă 

a teoriei cu experimentul a fost rezolvată în mecanica 

relativistă, demonstrându-se că ω< ω 0, indiferent dacă 

observatorul şi sursa se apropie sau se îndepărtează. 

Considerăm din nou relaţia (II.68) cu V = 0 , β= 0, π. 

Se obţine ω=ω 

0 

v 

v m V 

s 

83 

0 

((-) pentru apropierea sursei de 

observator, (+) pentru îndepărtarea sursei de observator). 

Se poate scrie: 

1 

ν=ν =ν 

V 

1m 

s 

v 

0 0 

Dacă 

⎛ V ⎞ 

⎜1ms ⎟ 

⎝ v ⎠ 

V


fix din faţa avionului (avionul se apropie) la valoarea ν=ν 

0 

1 

V 

1− 

v 

care tinde la ∞ când V → v. 

Dacă reprezentăm fronturile de 

undă obţinem figura II.12. 

s 


Se observă că toate fronturile de undă sunt tangente la 

vârful avionului, adică sunetul soseşte la acelaşi moment cu 

avionul. 

Dacă V > v, adică avem de-a face cu un avion 

s 

„supersonic”, avionul soseşte într-un punct înaintea sunetului 

(sunetul rămâne în urmă) (fig.II.13). 

84 

V s 

V s 

s



În acest caz sunetul este „confinat” într-un con care are 

în vârf avionul şi se mişcă cu Vs. Se observă că în faţa 

avionului aerul nu este perturbat adică zgomotul avionului nu se 

aude. Conul obţinut se numeşte conul lui Mach şi este generat 

de orice sursă supersonică. 

Deschiderea conului se calculează pe baza fig.II.14. 

v ⋅ τ 

A 


Când avionul se află în punctul A el emite un sunet al 

cărui front de undă are raza v ⋅ τ la un moment dat τ . 

În acest timp τ avionul a parcurs segmentul AB = V s ⋅τ. 

θ v 

sin = 


2 V 

s 

Mişcarea unui supersonic prin aer creează deci o 

perturbare a presiunii aerului care „se propagă” înapoi cu viteza 

sunetului şi formează un con, la fel ca „urma” lăsată de un 

vapor în apă. 

Perturbarea presiunii în punctele de la suprafaţa conului 

e auzită la o intensitate sonoră foarte mare, fenomen cunoscut 

ca „boom sonic”. Pentru un avion mare, cum ar fi Concord SST 

nivelul sonor al boom-ului sonic atinge pragul durerii chiar dacă 

avionul este cu 20km înainte. 

85 

Vs 

Aplicaţii ale efectului Doppler-Fizeau 

1. Dispozitivul „radar” 

Efectul Doppler combinat cu fenomenul de „bătăi” (vezi 

Cap I) are numeroase aplicaţii. Vom da exemplul folosirii 

acestui fenomen în dispozitivul „radar” utilizat de poliţie la 

⋅ τ 

θ 

2 

B


măsurarea vitezelor autovehiculelor. Notăm cu ν 0 frecvenţa 

oscilaţiei emise de dispozitiv. Această oscilaţie se propagă cu 

viteza c spre autovehicul şi va fi „recepţionată” de acesta cu 

frecvenţa: 

v 

1− ν= ν c 

0 (presupunem că autovehiculul se depărtează) 

v 

1+ c 

S ν 0 

S 

ν 

ν’ ν 

86 

v 

→ 

Unde este reflectată pe 

autovehicul şi se întoarce 

înapoi la dispozitivul radar, 

fiind receptată cu frecvenţa 

v v 

1−1− ' 

ν =ν c =ν c 

v 0 v 

1+ 1+ 

c c 

Se observă că ν’ este foarte apropiată de ν 0. Prin 

suprapunerea celor două oscilaţii cu ν’ şi ν 0 ia naştere 

fenomenul de bătăi, bătăile succedându-se la intervale 

2π 

Tb 

= 

' 

ω−ω 

1 

= 

ν− ' ν 

1 

= . Înregistrând perioada bătăilor se poate 

Δν 

0 

1+ x ≅ 1+αx 0 

calcula Δν şi apoi viteza autovehiculului. Deoarece v


fenomenului de bătăi. Dacă perioada bătăilor este Tb=2ms, 

aflaţi viteza autovehiculului. Se dă relaţia dintre viteză şi 

v 

variaţia frecvenţei receptate Δν ≅ 2ν0 

, unde 

c 

Rezolvare: 

T 

b 

2π 

= 

Δω 

Ştiind că Δω = 2πΔν 

, rezultă 

8 2 

1 1 

Δν = = = 500Hz . 

T −3 

2⋅10 Δν ⋅ c 500⋅3⋅10 15⋅10 v = = = m / s ≅ 30m / s ≅108km / h . 

2ν6 2 ⋅2500 ⋅10 

50 

0 

2. Laseraudiometrul 

b 

87 

8 

c = 3⋅10 m/s. 

(1.19’) 

Laseraudiometrul este folosit la studiul vibraţiilor 

membranei timpanului ca răspuns la stimularea acustică. 

Lumina laser de la un laser He-Ne ( λ = 632nm ) este 

focalizată de către un microscop operator pe membrana 

timpanului, obţinându-se un fascicul cu diametrul de 

aproximativ 70μm. Fasciculul este reflectat de membrana în 

vibraţie, obţinându-se o modificare a lungimii de undă prin efect 

Doppler. Din analiza modificărilor Doppler a lungimii de undă a 

luminii laser, corelată cu frecvenţa şi presiunea sonoră a 

stimulului care a produs vibraţiile membranei timpanului, se 

poate studia starea urechii medii şi a cohleei. 

3. Ecografia Doppler 

Ecografia Doppler reprezintă o modalitate de explorare a 

aparatului cardiovascular cu ajutorul ultrasunetelor, folosind şi 

efectul Doppler. 

Un emiţător trimite ultrasunete cu frecvenţa ν − 

0 

( 2 10MHz) 

spre un vas de sânge. Ultrasunetele sunt reflectate de hematiile 

în mişcare şi ajung la receptorul care este situat în acelaşi loc 

cu emiţătorul, cu o frecvenţă modificată ν . 

Diferenţa între frecvenţa undei reflectate şi frecvenţa 

iniţială este numită semnal Doppler şi este dată de relaţia: 

0


Vcosα 

Δν = 2 ν0 

c 

unde V este viteza de deplasare a ţintei (hematiile), c-viteza de 

propagare a ultrasunetelor (pentru mediul apos al organismului 

c=1540m/s) iar α este unghiul dintre direcţia de deplasare a 

ţintei şi direcţia de propagare a ultrasunetelor (figura II.15). 

ν 0 

ν 

α 


Prin analiza semnalului Doppler obţinut se pot obţine 

informaţii despre direcţia şi viteza sângelui în diferite vase. 

Analiza semnalului Doppler se poate realiza în două 

moduri: 

Ascultarea semnalului – este posibilă pentru că 

semnalul Doppler este în domeniul audibil (400-500Hz). Acest 

mod de analiză are doar o valoare orientativă, depinzând de 

experienţa examinatorului şi permite localizarea unor fenomene 

precum şi aprecierea tipului de curgere; curgerea laminară 

produce tonalităţi de tip muzical, de mică intensitate, în timp ce 

curgerea turbulentă produce un zgomot aspru, de intensitate 

mare. 

Înregistrarea grafică a semnalului (pe ecran sau grafic) 

Ecografia Doppler în sistem continuu (CWD = Continuu 

Wave Doppler) utilizează un cristal piezoelectric pentru emisia 

ultrasunetelor şi un altul pentru receptarea lor continuă. 

Aspectul semnalului Doppler înregistrat la nivelul vaselor 

de sânge este redat în figura II.16. 

88 

V


Δ f 

a 

c 

b 


Unde „a” este determinată de pomparea sângelui de către 

ventriculul stâng; unde „b” marchează sfârşitul fazei de pompaj, 

când există o uşoară tendinţă de reflux a sângelui înspre 

ventriculul stâng, iar unde „c” este determinată de elasticitatea 

arterială şi tonusul muscular activ al peretelui vascular care 

permite înmagazinarea în timpul sistolei a unei cantităţi de 

energie, restituită sub forma unei uşoare accelerări în timpul 

diastolei. Dacă în vasele de sânge apare stenoza (îngustarea 

calibrului vascular), conform legilor hemodinamicii, la locul 

stenozei apare o creştere a vitezei de circulaţie, chiar şi o 

turbulenţă iar distal de stenoză se produce o scădere a 

amplitudinii semnalului Doppler. 

Dacă în vasele de sânge apare obstrucţia (întreruperea 

circulaţiei), semnalul Doppler în dreptul locului obstrucţiei este 

absent iar distal de acesta apare cu o amplitudine scăzută 

datorită circulaţiei colaterale. 

Progresele rapide realizate în tehnologia aparatelor de 

explorare cu ultrasunete au făcut posibil ca, prin prelucrarea 

semnalelor cu ajutorul microprocesoarelor, să se realizeze 

imagini color ale curgerii sângelui. În ecografia Doppler color 

afişarea semnalului se face în timp real şi este codificată în 

două culori primare: roşu, pentru fluxul sanguin care vine spre 

89 

t


transductor şi albastru pentru fluxul sanguin care se 

depărtează. Se utilizează o scară semicantitativă cu 16-32 de 

trepte. Dacă viteza creşte, culoarea roşie (sau cea albastră) 

devine mai strălucitoare. 

4. Urmărirea sateliţilor 

Considerăm un satelit cu viteza VS pe o orbită circulară şi 

un receptor fix P (figura II.17). 

S 1 

V S 

θ 1 

V Scosθ 1 

S 2 

P 


Presupunem că din satelit se emite un semnal radio cu 

frecvenţa constantă ν . 

Frecvenţa recepţionată va fi: 

ν=ν 

0 

1 

V θ 

1− 

S cos 

v 

0 

V S 

S 3 

θ 2 V S 

V Scosθ 2 

Se observă că dacă satelitul trece din poziţia S1 în poziţia 

S 2 componenta vitezei în direcţia staţiei VScos θ scade, deci 

frecvenţa recepţionată ν va scădea şi ea. Când satelitul trece 

din poziţia S2 spre S3 componenta vitezei pe direcţia staţiei 

o 

creşte din nou dar în sens contrar ( θ 2 > ) 

recepţionată va creşte. 

90 

90 , deci frecvenţa


II.1.11 Difracţia undelor 

a) Principiul Huygens – Fresnel 

Presupunem o undă care se propagă într-un mediu 

neomogen. Neomogenităţile din mediu provoacă întreruperea 

parţială sau deformarea suprafeţei de undă; aceste fenomene 

au drept consecinţă abaterea de la propagarea rectilinie. 

Prin definiţie se numeşte difracţie orice abatere de la 

propagarea rectilinie a unei unde, datorită neomogenităţilor 

dintr-un mediu. 

În sens comun, prin difracţie se poate înţelege „ocolirea 

aparentă a obstacolelor de dimensiuni comparabile cu lungimea 

de undă”. 

Difracţia este însoţită de o redistribuire a intensităţii 

undei, astfel încât, intersectând fasciculul difractat cu un ecran, 

se obţine o figură de difracţie (maxime şi minime), al cărei 

aspect depinde atât de dimensiunile şi forma obstacolului, cât 

şi de caracteristicile undei (lungimea de undă sau forma 

suprafeţei de undă). 

Încă de la începutul studierii fenomenelor ondulatorii, 

Huygens a explicat mecanismul de propagare a undelor prin 

următorul principiu: 

„Orice punct din mediu la care ajunge oscilaţia la un 

moment dat devine sursă secundară de oscilaţii”. Cunoscând 

suprafaţa de undă la momentul t, se poate construi suprafaţa de 

undă la momentul t +τ ca „înfăşurătoarea” suprafeţelor de undă 

generate de sursele secundare de pe suprafaţa de undă de la 

momentul t (Fig II.18) 

91


S 1 

S 2 

. 

. 

S n 

t 

t+τ 

a) unda plană b) unda 

sferică 


Pe baza principiului lui Huygens, s-au putut explica multe 

fenomene (reflexia şi refracţia de exemplu), dar acest principiu 

are o deficienţă majoră: nu dă informaţii asupra intensităţilor şi 

fazei undelor secundare. Acest principiu a fost completat 

ulterior de către Fresnel prin precizarea faptului că undele 

secundare sunt coerente şi amplitudinile lor pot fi calculate. 

Fresnel dezvoltă o metodă – metoda zonelor Fresnel – 

conform căreia sursa primară poate fi înlocuită printr-o 

distribuţie continuă de surse secundare pe o suprafaţă auxiliară 

(poate fi chiar o suprafaţă de undă a undei primare), divizată în 

mai multe părţi numite zone Fresnel. Forma şi aria unei zone 

Fresnel vor fi astfel alese încât diversele sale porţiuni să fie 

echivalente din punctul de vedere al emisiei undelor secundare, 

deci fiecare zonă Fresnel este sursa unei unde secundare. 

Undele secundare fiind coerente, ele interferă, obţinându-se 

astfel distribuţia intensităţii undei (adică amplitudinea undei 

rezultante). Dacă unda care se difractă este o undă armonică 

plană, avem de-a face cu difracţia Fraunhofer, iar dacă unda 

este sferică, avem de-a face cu difracţia Fresnel. 

92 

S 

S 1 

S n 

S 2 

. 

. 

t t+τ


b) Difracţia Fraunhofer printr-o fantă dreptunghiulară 

Vom ilustra metoda zonelor Fresnel în studiul difracţiei 

unei unde armonice plane printr-o fantă dreptunghiulară 

practicată într-un ecran plan. 

Prezenţa ecranului cu fantă în mediu perturbă 

omogenitatea mediului, producându-se perturbarea suprafeţei 

de undă. 

Conform principiului Huygens – Fresnel, punctele fantei 

devin surse secundare de unde, iar amplitudinea undei din 

spatele ecranului va putea fi calculată ca rezultantă a acestor 

unde secundare. 

Considerăm că fanta dreptunghiulară este îngustă, adică 

are lăţimea l mult mai mică decât lungimea (practic infinită) 

(Fig.II.19.a). 

l 

a 

A 

M 

B 


Considerăm intersecţia ecranului cu planul filei (fig 

II.19b) şi axa Ox paralelă cu această intersecţie. 

Împărţim planul fantei în dreptunghiuri foarte înguste şi 

considerăm punctul M, intersecţia unuia din dreptunghiuri cu 

planul filei. Zonele Fresnel vor fi tocmai aceste mici 

93 

l 

x 

0 

A 

B 

M 

α 

α 

B’ 

b


dreptunghiuri (figurate în fig.II.19b prin puncte) care vor 

reprezenta sursele secundare de unde. 

Vom considera că fasciculul difractat se găseşte în 

acelaşi plan cu cel incident şi normal la fantă şi vom urmări 

undele difractate sub unghiul α faţă de direcţia incidentă. 

Între undele secundare provenite de la extremitatea 

inferioară a fantei (B) şi cele provenite de la extremitatea 

superioară (A), va exista diferenţa de drum AB = l sin α, 

deci 

diferenţa de fază 

π 

Δϕ = α = α 

λ l 

2 

sin klsin . Pentru un punct M cu 

abscisa x din fantă, diferenţa de fază faţă de punctul B va fi: 

Δϕ(x) = kxsinα 


Funcţia ψ după direcţia α va fi o suprapunere a undelor 

secundare provenite de la fiecare zonă Fresnel. 

Conform principiului Huygens – Fresnel, amplitudinea undei 

secundare emise de o zonă Fresnel depinde doar de suprafaţa 

acesteia. Presupunând o lărgime dx a zonei Fresnel, funcţia de 

−i(kx sin α−ωt) 

undă pentru unda secundară va fi dΨ=γd xe 

, cu γ un 

coeficient a cărui dimensiune depinde de natura fizică a mărimii 

perturbate Ψ . 

Unda rezultantă pe direcţia α datorită întregii fante va fi: 

l −ω i t 

i(kx sin α−ωt) 

γe 

ik 

∫ 

Ψα ( ) = γ e dx = e 

ik sinα 

0 

l sin α ( −1) 

Intensitatea undei pe direcţia α va fi: 

iωt γe ( −ik sinα − l α ) 

−ω i t 

γe 

( ik sinα 

l α ) 

( 1 

iklsin α 

e 

−iklsin α 

e 1) 2 

iklsin α ( e 

iklsin 

e ) 

* ik sin ik sin 

I( α ) = Ψ Ψ = e −1 ⋅ e − 1 = 

2 2 

' 


γ 

= 

2 2 

k sin α 

− − + 

γ 

= ⎡ 

2 2 

k sin α 

⎢⎣ − + 

− α ⎤ 

⎥ 

= 

⎦ 

2 2 

2γ 4γ 2 ⎛klsinα⎞ = [ 1−cos(klsin α ) ] = sin 

2 2 2 2 ⎜ ⎟ 

k sin α k sin α ⎝ 2 ⎠ 

(am folosit relaţiile 

iθ −iθ 

2 θ 

e + e = 2cosθ 

şi 1−c osθ = 2sin ) 

2 

94


Dacă α=0 , 

l 

∫ 

−iωt −ω i t −ω i t 

A 

(0) e dx le 

A0e , de unde 0 γ= 

l 

0 

Ψ = γ = γ = 

(A0=amplitudinea fasciculului incident). 

Rezultă: 

2 ⎛klsinα⎞ sin ⎜ ⎟ 

2 ⎝ 2 

I( α ) = A 

⎠ 

0 

2 


⎛klsinα⎞ ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

Cu notaţia 

α 

= l k sin 

ηα ( ) (II.73) 

2 

2 

sin η 

I [ ηα ( ) ] = I0 

2 


η 

Undele difractate pe direcţia α sunt paralele, deci pentru 

a se întâlni trebuie folosită o „lentilă”, care le „strânge” într-un 

punct din planul său focal. 

Dacă în planul său focal vom plasa un ecran, pe acesta 

vor exista puncte de suprapunere a undelor de pe diferite 

direcţii, în care intensitatea va fi diferită. Se obţine aşa-zisa 

figură de difracţie. 

Discuţie: 

2 

sin η 

1. dacă η=0, →1 

, deci I=max 

2 

η 

η=0 conduce la sinα= 0 (maxim central) (principal) 

2. dacă 

η= π =± ± 

sin 

η 

2 

2 

η 

→0 

n,n 1, 2,..., ; ( ) 

În acest caz klsinα= 2nπ, 

deci 

2 

95 

I η = 0 (minime nule) 

λ ⎛ 2π 

⎞ 

sin α= n ; ⎜k= l λ 

⎟ 

⎝ ⎠ 

sin η 

3. dacă η= tgη, 

funcţia atinge maxime secundare, deci şi I 

2 

η 

atinge maxime secundare. 

Aspectul funcţiei I (sin α) 

este redat în fig. II.20


I 


96 

sinα 

Maximele secundare sunt din ce în ce mai mici la 

creşterea valorii η . Pentru o lungime de undă dată, forma figurii 

de difracţie depinde de lărgimea l a fantei şi anume: 

a) dacă l 

1, nu se produce nici un minim; tot 

ecranul din spatele fantei este „atins” de undă. 

b) dacă l =λ, 

primul minim se produce la sinα= 1, adică 

α= 

2λ 

− 

l 

λ 

− 

l 

0 

90 ; înseamnă că întreg spaţiul din spatele fantei 

corespunde maximului principal; 

c) dacă l >λ, 

minimele se apropie, iar maximul central 

este mult mai intens decât celelalte; 

d) dacă l >> λ , practic toată intensitatea undei difractate 

este concentrată în maximul principal, maximele 

secundare fiind foarte dese şi cu intensităţi neglijabile. 

În acest caz (d), difracţia provocată de fantă nu mai este 

esenţială, unda trecând de fantă practic nedeviată, fanta doar 

delimitând fasciculul. 

În concluzie, se poate afirma că efectele de difracţie pot 

fi luate în consideraţie numai în medii în care neomogenităţile 

au dimensiuni comparabile cu lungimea de undă ( l ≤ 100λ 

). 

Observaţie: s-a discutat doar cazul în care unda incidentă este 

monocromatică. Dacă unda incidentă conţine mai multe 

λ 

l 

2λ 3 

λ 

l l


componente, cu diferite lungimi de undă, maximul central va fi 

comun pentru toate componentele, dar maximele secundare şi 

minimele diferă de la componentă la componentă. 

c) Difracţia Fraunhofer pe o reţea unidimensională 

Dacă în ecranul întâlnit de undă există un ansamblu de N 

fante dreptunghiulare, paralele şi echidistante, de lărgime l 

fiecare, separate prin zone de lărgime b, spunem că există o 

reţea de difracţie unidimensională. Mărimea 

a= l +b (II.75) 

se numeşte constanta reţelei de difracţie şi este o 

caracteristică a acesteia. Se poate arăta că intensitatea pe o 

direcţie α este dată de relaţia: 

2 2 

sin η sin Nβ 

I= I 0 ⋅ 

2 2 


η sin β 

α 

unde η= l k sin 

kasin α 

, iar β= 

2 

2 

Figura de difracţie este o succesiune de maxime (cu 

intensităţi diferite) şi minime nule. 

Condiţia de maxim va fi: 

a sinα= pλ, 

p-întreg (II.77) 

I = N 

max 

În acest caz, β= pπ, 

iar 

sin Nβ 

lim = N 

2 

sin β 

β→pπ Maximele vor avea intensităţile: 

2 

2 sin 

I02 

η 

η 

97 

2 

2 

(l’Hospital). 


Deci Imax va scădea pe măsură ce η va creşte. Rezultă că 

maximele vor fi modulate de funcţia 

η 

2 

sin η , deci vor avea 

intensitate apreciabilă doar maximele cuprinse sub maximul 

central al funcţiei modulatoare, adică cele pentru care 

⎛ λ λ⎞ 

sin α∈⎜−, 

⎟. 

⎝ l l ⎠ 

2


λ λ 

În acest caz p < , deci numărul maxim de maxime va fi 

a l 

a 

n = p max = . 

l 

II.1.12. Absorbţia undelor 

Dacă undele se propagă în medii disipative, propagarea 

este un fenomen ireversibil, în mediu se va disipa energie iar 

intensitatea undelor va scădea. 

Considerăm o porţiune dx din mediu şi presupunem că pe 

aceasta porţiune intensitatea scade cu dI. Scăderea intensităţii 

este proporţională atât cu dx cât şi cu intensitatea I a undei, 

deci: 

− dI =αIdx 

sau 

I(x ) = I e 

0 

−αx 


Aici I0 este intensitatea la intrare în mediul disipativ, I(x) 

este intensitatea undei după ce a parcurs distanţa x, iar α este 

coeficientul de absorbţie. 

În medii disipative, ecuaţia undelor nu mai este cea din 

⎛ 2 2 

∂ Ψ 1 ∂ Ψ⎞ 

medii ideale ⎜ = ⎟, 

ci este: 

⎜ 2 2 2 

⎝ ∂x v ∂t 

⎟ 

⎠ 

2 2 

∂ Ψ 1 ∂ Ψ ∂Ψ 

= + γ 

2 2 2 

∂x v ∂t 

∂t 

−ω i t 

Ψ (x,t) = F(x)e 


iar 

F(x ) = ae 

unde 

%2 

k 

Soluţia ecuaţiei (II.80) este de tipul: 

% 

ik x 

2 

ω ⎛ 2 

iv γ ⎞ 

= ⎜1+ ⎟ 

2 

v ⎜ ω ⎟ 

⎝ ⎠ 

98 





se numeşte vectorul de undă complex. Se observă că putem 

scrie: 

k% = k'+ ik 

deci 

'' 

F(x) = ae 

iar 

−k''x ik'x 

e 

−k''x i(k'x−ωt) Ψ (x,t) = ae e 


* 2 −2k''x −αx 

= I0e deci coeficientul de absorbţie este α=2k '' = 2Imk % ; el este redat 

99 


Această funcţie corespunde unei unde armonice plane cu 

amplitudine scăzătoare cu x. 

Intensitatea undei 

I=Ψ Ψ= a e , 

de partea imaginară a vectorului de undă complex, deci depinde 

atât de mediu (prin γ şi v), cât şi de undă, prin ω . 

II.2. Noţiuni de acustică 

Undele elastice cu frecvenţă cuprinsă între 16Hz şi 20kHz 

sunt cunoscute sub numele de sunete, fiind percepute de 

urechea umană. Domeniul undelor elastice cu ν < 16Hz formează 

domeniul infrasunetelor, iar domeniul cu ν > 20kHz reprezintă 

ultrasunetele. 

II.2.1. Calităţile sunetului 

a) Înălţimea unui sunet reprezintă proprietatea de a fi a mai 

profund („gros”) sau mai acut („subţire”) şi se exprimă prin 

frecvenţa vibraţiilor care au produs unda sonoră. 

b) Intensitatea sunetului este, din punct de vedere energetic, 

descrisă de intensitatea undei sonore (acustice)(vezi formula 

II.25): 

2 2 2 

I= 2 π ν A ρv 



c) Timbrul sunetului caracterizează deosebirea calitativă 

dintre sunetele cu aceeaşi înălţime (ω) şi intensitate, dar 

produse de instrumente diferite. După cum am văzut în cazul 

undelor staţionare (fenomen ce stă la baza construcţiei 

instrumentelor muzicale), o coardă de exemplu, poate produce 

o undă staţionară cu o frecvenţă numită frecvenţa fundamentală 

(ω 1) şi mai multe armonici (ω n=nω 1). Numărul şi intensitatea 

armonicelor superioare care însoţesc sunetul fundamental 

determină timbrul sunetului. 

II.2.2. Unele mărimi acustice şi relaţiile dintre ele 

a) Presiunea sonoră 

Considerăm o undă sonoră longitudinală şi elongaţia ψ(x,t) a 

unei particule din mediul în care se propagă sunetul: 

⎛ t x⎞ 

ψ ( x,t ) = A sin 2 π⎜ − 

λ 

⎟ 

⎝T⎠ Viteza de oscilaţie a particulelor mediului: 

∂ψ 2πA ⎛ t x⎞ 

u= = cos2π 

− 

∂t T 

⎜ 

λ 

⎟ 

⎝T ⎠ 

cu 

2πA umax = = 2 πνA 

T 

Intensitatea 

2 2 2 1 2 1 

I= 2π ν A ρ v = u ρv 

= Zu 

2 2 

2 

m m 

100 


deci se poate exprima atât în funcţie de amplitudinea undei cât 

şi în funcţie de viteza de oscilaţie a particulelor mediului. 

La propagarea undei, de-a lungul direcţiei de propagare 

au loc comprimări şi destinderi ale mediului. Comprimarea 

relativă se poate scrie: 

∂ψ 2πA ⎛ t x⎞ 

θ= = cos2π − 

∂x λ 

⎜ 

λ 

⎟ 

⎝T ⎠


În urma comprimării sau destinderii apare o forţă elastică; 

forţa elastică pe unitatea de arie se numeşte presiune sonoră 

instantanee şi este dată de relaţia: 

p= E θ 

(E=modul de elasticitate Young) 

Obţinem pentru presiunea instantanee relaţia 

2πAE ⎛ t x⎞ 

p = cos2π⎜ 

− 

λ λ 

⎟ 

⎝T⎠ care poate fi numită undă de presiune. 

2πAE pmax = = 2πAρv ν 

λ 

deci 

2 

101 


1p = max 1 2 

I = p 


max 

2 ρv 

2Z 

Expresiile (II.86), (II.87) şi (II.89) permit determinarea 

intensităţii sunetului măsurând fie amplitudinea undei sonore, 

fie viteza maximă de oscilaţie a particulelor din mediu, fie 

presiunea sonoră maximă. 

b) Legea Weber-Fechner 

Legea Weber-Fechner este o lege fizico-fiziologică pentru 

că face legătura între intensitatea unei unde sonore (mărime 

fizică energetică) şi senzaţia de audibilitate (mărime 

fiziologică). Senzaţia auditivă este o consecinţă a acţiunii undei 

sonore asupra urechii, fiind o mărime subiectivă. 

O undă sonoră (elastică) produce senzaţia de sunet dacă 

durata excitaţiei sonore este mai mare decât 0,06s (altfel se 

produce senzaţia de pocnet). Pentru unele persoane, cu simţ al 

auzului mai dezvoltat, chiar şi undele cu frecvenţă mai mică de 

16Hz sau mai mare ca 20kHz pot fi auzite; în schimb, pentru 

persoanele mai în vârstă sunetele cu frecvenţe mari se aud mai 

greu. S-a constatat că sunetele sunt audibile dacă au


intensitatea cuprinsă între anumite limite, limite ce depind de 

frecvenţă. 

În figura II.21 este reprezentată curba intensităţii sonore 

minime audibile Imin(ν) şi curba intensităţii maxime audibile 

I max(ν). Intensitatea minimă audibilă la o anumită frecvenţă 

poartă numele de prag de audibilitate iar cea maximă pragul 

durerii. 


Undele sonore care prin frecvenţă şi intensitate sonoră se 

situează sub pragul de audibilitate nu produc senzaţia auditivă 

(deşi au frecvenţa potrivită) iar cele a căror intensitate sonoră 

depăşeşte Imax la frecvenţa dată, produc o senzaţie dureroasă. 

I ( ν) 

( 

min 

1 

- 4 

10 

- 8 

10 

- 12 

10 

I 

10 

100 

1000 

se numeşte pragul de audibilitate iar I ν) 

pragul 

102 

max 

ν(Hz) 

durerii. Pentru sunetul cu frecvenţa de 1000Hz, considerat 

sunet normal, la care se raportează măsurătorile, pragul de 

audibilitate este 10 -12 W/m 2 iar intensitatea sonoră maximă 

(pragul durerii) este aproximativ 1W/m 2 . 

10000 

I max 

I min 

S-a constatat că variaţia intensităţii sonore poate fi 

percepută cu atât mai greu cu cât intensitatea este mai mare.


De asemenea, odată cu creşterea intensităţii sonore creşte şi 

senzaţia de audibilitate. Notând cu dS variaţia senzaţiei de 

audibilitate iar cu dI variaţia intensităţii sonore, putem scrie: 

dI 

dI 

dS sau dS = C 

I 

I 

care prin integrare conduce la 

I 

S2 − S1 = Δ S = Cln 2 

I 

I 

Δ S = Klog 2 

I 

1 

1 

sau 

103 


Ecuaţia (II.90) se numeşte legea Weber-Fechner şi arată 

că senzaţia auditivă variază proporţional cu logaritmul zecimal 

al excitaţiei. 

Nivelul intensităţii sonore N se defineşte prin relaţia: 

I 

N= 10log 

I 

0 


unde I0 reprezintă valoarea de referinţă, I0=10 -12 W/m 2 

(logaritmul este în baza 10). Unitatea de măsură pentru N este 

decibelul (dB). 

De exemplu, un sunet cu intensitatea I=10 -8 W/m 2 are 

nivelul intensităţii sonore 

−8 

10 

N = 10log = 10log10 

−12 

10 

4 

= 40dB 

Observăm că în limitele de audibilitate, când I variază de 

la I0=10 -12 W/m 2 la Imax=1W/m 2 , nivelul intensităţii sonore este 

cuprins între 0 şi 120 dB. Revenind la legea Weber-Fechner, 

putem calcula nivelul de tărie s pentru un sunet oarecare: 

I 

s = 10log 

I 

s 

0 

unde I0 reprezintă intensitatea sonoră la pragul de audibilitate 

pentru sunetul de 1000Hz (I0=10 -12 W/m 2 ) iar Is este intensitatea


sonoră a sunetului cu ν=1000Hz care produce aceeaşi senzaţie 

de tărie ca şi sunetul dat. Nivelul de tărie se măsoară în foni 

([s]=fon) 

II.3. Ultrasunete 

II.3.1. Caracterizare; obţinere; detecţie 

Ultrasunetele sunt vibraţii elastice cu frecvenţe mai mari 

de 20kHz, ajungând la o limită (tehnică) superioară de ordinul a 

10GHz. Ultrasunetele au proprietăţi speciale, care le 

recomandă în aplicaţii tehnice. O proprietate importantă este că 

se pot propaga sub formă de fascicule foarte înguste, deci se 

pot propaga dirijat. Posibilitatea de dirijare a unei unde depinde 

de raportul dintre dimensiunile emiţătorului şi lungimea de undă 

λ. Cu cât λ este mai mică în raport cu dimensiunile emiţătorului, 

cu atât dirijarea undei este mai bună. O altă proprietate 

importantă a ultrasunetelor este aceea că sunt puternic 

reflectate de suprafeţele de separare dintre două medii cu 

densităţi diferite. Pe această proprietate se bazează utilizarea 

lor în defectoscopie. La capitolul „Reflexia şi refracţia undelor” 

s-a găsit formula reflectanţei 

⎛Z1−Z ⎞ 

R = 2 

⎜ ⎟ 

⎝Z1+ Z2 

⎠ 

2 

Din aceasta rezultă că intensitatea fasciculului reflectat 

(Ir=RIi) este maximă şi egală cu a fasciculului incident dacă 

impedanţa acustică a mediului al doilea este nulă (Z2=0). Cum 

Z =ρv 

0 Z 

, rezultă că dacă mediul al doilea este gazos . Pe 

2 → 

de altă parte dacă mediul al II-lea este inclus complet în primul, 

coeficientul de reflexie va depinde şi de frecvenţă şi anume, 

când frecvenţa creşte, R creşte, deci în domeniul ultrasonor 

reflexia este mai puternică. În plus, dacă suprafaţa de separaţie 

104


nu este complet plană ci are rugozităţi (mai mici ca 0,1λ), 

acestea pot fi detectate. 

Metodele de obţinere a ultrasunetelor pot fi: mecanice, 

magnetostrictive şi piezoelectrice. 

a) Fenomenul de magnetostricţiune a fost descoperit în 1847 

de către J.P. Joule, care a observat că un corp feromagnetic 

supus unui câmp magnetic se deformează (efect magnetostrictiv 

direct) şi invers, un corp feromagnetic deformat se 

magnetizează (efect magnetostrictiv invers). 

Dacă se introduce o bară de nichel într-o bobină 

alimentată de la o sursă de curent alternativ ea se va dilata şi 

contracta cu o anumită frecvenţă, producând oscilaţii ale 

mediului înconjurător, deci unde. Frecvenţa de oscilaţie a 

lungimii barei este egală cu frecvenţa curentului alternativ dacă 

bara a fost în prealabil magnetizată şi este dublă faţă de 

frecvenţa curentului alternativ dacă bara nu a fost magnetizată. 

S-a constatat că scurtarea sau alungirea barei nu depind de 

sensul câmpului magnetic ci de: natura barei folosite, de 

temperatură, de lungimea barei şi de intensitatea câmpului 

magnetic. 

Frecvenţa vibraţiilor barei este dată de relaţia 

n 

ν n = 

2l 

E 

ρ 

l - lungimea barei 

E – modulul Young 

ρ - densitatea barei 

n = 1,2,3….. 


De exemplu pentru o bară cu l = 0,252m, din Ni, cu 

11 2 

3 

N/m şi 8880Kg/ m se obţine ν 1 = 10kHz (audibilă) 

E= 2,26⋅10 ρ= 

dar pentru o bară cu l = 6,3cm, ν 1 = 40kHz (ultrasunete). În 

generatoare de ultrasunete prin magnetostricţiune se folosesc 

105


bare de Ni, permalloy (aliaj Fe-Ni), invar iar frecvenţele 

obţinute sunt până la 200kHz. 

b) Efectul piezoelectric constă în proprietatea unor cristale 

de a transforma oscilaţiile câmpului electric în oscilaţii 

mecanice şi invers (Pierre Curie - 1880). Dacă pe două feţe ale 

unei plăcuţe de cuarţ se lipesc două foiţe de argint (electrozi) 

care se conectează la polii unei surse de curent alternativ de 

înaltă frecvenţă, plăcuţa de cuarţ va suferi o serie de dilatări şi 

contracţii succesive, cu o frecvenţă egală cu cea a tensiunii 

aplicate, devenind o sursă de ultrasunete. Dacă frecvenţa 

tensiunii alternative coincide cu frecvenţa proprie de oscilaţie a 

plăcuţei se realizează rezonanţa şi amplitudinea ultrasunetelor 

este maximă. 

Metodele de detecţie a ultrasunetelor se bazează pe 

reversibilitatea efectelor care le produc pe acestea. Astfel, 

dacă o bară feromagnetică este situată într-un câmp ultrasonor 

ea va începe să vibreze şi prin efect magnetostrictiv invers se 

magnetizează. Măsurând magnetizarea se poate caracteriza 

câmpul ultrasonor. În mod asemănător funcţionează şi 

detectoarele bazate pe efectul piezoelectric invers. 

II.3.2. Metode de control cu ultrasunete 

Ultrasunetele au fost folosite pentru prima dată în 

radiolocaţii de către Paul Longevin care a construit un 

hidrolocator (aparat pentru detecţia submarinelor) funcţionând 

după principiul radar-ului. Ulterior s-au construit şi aparate 

numite sonde-ecou ultrasonore care servesc la determinarea 

foarte precisă a reliefului fundului mărilor sau oceanelor. 

În prezent, cea mai importantă aplicaţie a ultrasunetelor 

este defectoscopia cu ultrasunete. 

Metodele principale de control cu ultrasunete sunt: 

106


a) metoda prin transparenţă 

b) metoda prin impulsuri 

c) metoda prin rezonanţă 

d) metoda prin transmisie cu vizualizarea defectelor 

a) Metoda prin transparenţă se foloseşte la controlul 

pieselor metalice afectate de defecte. Defectele atenuează 

intensitatea fasciculului ultrasonor, astfel că semnalul care 

trece prin piesă şi este recepţionat pe partea opusă iradierii va 

fi mai puţin intens în dreptul defectului; în spatele defectului se 

formează o zonă de umbră ultrasonoră, de aceea această 

metodă se mai numeşte şi metoda umbrei. 

Schematic un defectoscop construit pe principiul umbrei 

ultrasonore este prezentat în figura II.22. 

G 

M 

D 

P 1 


P 2 

A 

I 

G – generator de 

înaltă frecvenţă 

P 1, P2 – cristale 

piezoelectrice 

M – piesa metalică 

D – defect 

A – amplificator 

I – indicator 

intensitate fascicul 

Sensibilitatea metodei depinde de gradul de contact între 

cristalele piezoelectrice şi piesa analizată. 

b) Metoda prin impulsuri (prin ecou) – se bazează pe 

principiul radarului (radiolocatorului). De la suprafaţa 

107


piesei studiate se trimite un impuls ultrasonor care este 

reflectat fie pe partea opusă fie pe un defect. Se 

înregistrează intervalul de timp între momentul emisiei şi 

momentul recepţiei undei reflectate şi astfel se poate 

localiza defectul sau măsura grosimea piesei. 

c) Metoda prin rezonanţă se bazează pe producerea de unde 

staţionare în piesa supusă controlului. Frecvenţa de lucru 

se baleiază până la valoarea de rezonanţă, care depinde 

de distanţa dintre punctul de emisie şi cel de reflexie 

⎛ λ ⎞ 

⎜l= 

n 

2 

⎟. 

Cunoscând frecvenţa de rezonanţă şi viteza 

⎝ ⎠ 

ultrasunetelor prin material, cu relaţia 

v 

λ = se poate 

ν 

determina fie grosimea corpului studiat fie distanţa de la 

suprafaţa lui la defect. 

d) Metoda prin transmisie cu vizualizarea defectelor stă la 

baza microscopiei cu ultrasunete. 

Principiul microscopului cu ultrasunete este următorul: un 

cristal piezoelectric emiţător este aşezat pe faţa unui obiect de 

studiat, astfel încât ultrasunetele să traverseze obiectul. 

Plăcuţa piezoelectrică receptoare este situată pe ecranul unui 

tub catodic şi transformă energia elastică a ultrasunetelor în 

energie electrică, încărcându-se într-un punct al său cu o 

sarcină electrică proporţională cu intensitatea ultrasunetelor ce 

ajung în punctul respectiv. Starea de încărcare a acestei plăci 

depinde deci de „imaginea” conţinută în fasciculul ultrasonor. 

Catodul tubului catodic emite un fascicul de electroni care, sub 

acţiunea plăcilor deflectoare mătură continuu ecranul, 

neutralizând de la punct la punct sarcina acumulată pe acesta. 

În acest mod fasciculul de electroni îşi variază intensitatea şi 

pe un tub cinescopic aceste variaţii vor putea fi vizualizate. O 

108


altă modalitate de vizualizare este folosirea unor celule de 

afişaj cu cristal lichid; moleculele acestuia îşi modifică 

orientarea în funcţie de câmpul electric local aplicat şi astfel 

vor transmite diferit lumina de la punct la punct în funcţie de 

starea de încărcare a punctelor; informaţia preluată de la 

fasciculul ultrasonor va fi redată optic prin intermediul efectului 

electro-optic în cristale lichide. 

II.3.3 Sonoluminiscenţa 

Dacă un fascicul de ultrasunete străbate o cuvă cu apă, 

aceasta începe să lumineze. Fenomenul poartă numele de 

sonoluminiscenţă şi se produce şi în alte lichide cum ar fi 

glicerina, acidul sulfuric, etc. Luminiscenţa produsă depinde de 

natura lichidului, de intensitatea şi frecvenţa ultrasunetelor şi 

de temperatura lichidului. În cazul apei luminiscenţa dispare 

când temperatura depăşeşte 40 0 C, în schimb este foarte 

puternică în jurul punctului de îngheţ. 

Sonoluminiscenţa este legată de fenomenul de cavitaţie, 

produs de ultrasunete. Cavitaţia este un proces de formare a 

unor bule gazoase într-un mediu lichid sub acţiunea 

ultrasunetelor dar nu numai (de exemplu cavitaţia hidraulică 

apare la mişcarea elicei unui vapor, la turbinele hidraulice, etc). 

Cavitaţia se datorează comprimărilor şi dilatărilor succesive 

suferite de lichidul dintr-un anumit punct; în acest punct mediul 

„se rupe”, formându-se goluri foarte mici care se umplu cu gaze 

dizolvate în lichid sau cu vapori de lichid. Bulele formate, prin 

mişcarea lor ascensională, transportă la suprafaţa lichidului şi 

vaporii cuprinşi în ele; în acest fel lichidul se degazează. 

Revenind la sonoluminiscenţă se constată că este un 

fenomen care apare şi dispare periodic. Orice cauză care face 

ca bulele de cavitaţie să nu se mai producă (de exemplu 

degazarea prealabilă a lichidului) duce şi la dispariţia 

sonoluminiscenţei. 

109


Utilizându-se fotografierea ultrarapidă s-a constatat că 

sonoluminiscenţa este rezultatul apariţiei unor „microfulgere” în 

faza finală distrugerilor bulelor de cavitaţie. 

Au fost emise mai multe teorii care să explice provenienţa 

acestor microfulgere. O primă teorie, stabilită în 1940 de J. 

Frenkel, presupune că în interiorul bulei de cavitaţie are loc o 

mică descărcare electrică datorată sarcinilor electrice de semne 

contrare ce apar pe pereţii cavităţii. 

O altă teorie, formulată de fizicienii englezi B.E. Noltingk 

şi E.A. Neppiras admite că lumina se produce prin 

incandescenţa gazului sau a vaporilor din bulele de cavitaţie. În 

momentul comprimării bulelor, presiunea devine foarte mare 

într-un interval de timp extrem de scurt iar gazul din bule se 

încălzeşte brusc la câteva mii de grade, devenind incandescent. 

O a treia teorie propusă de L.A. Combers presupune că 

ultrasunetele distrug structura cvasicristalină a lichidului. În 

momentul distrugerii, datorită frecării interne a cristalelor, apar 

fulgerele microscopice, care împreună produc sonoluminiscenţa. 

Datele experimentale recente tind să arate că 

sonoluminiscenţa are o origine termică, deci cea de a doua 

teorie ar fi mai plauzibilă. Sonoluminiscenţa, ca fenomen 

adiacent cavitaţiei, permite studierea fenomenului de cavitaţie 

ultrasonică şi mai poate fi folosită la vizualizarea undei 

ultrasonore. 

II.4. Unde seismice 

Undele seismice sunt vibraţii care se propagă în Pământ, 

datorită elasticităţii straturilor sale. Perturbaţia iniţială care 

generează unda seismică este o ruptură bruscă în scoarţa 

solidă a Pământului. Locul rupturii poate fi situat de la câţiva 

kilometri până la câteva sute de kilometri sub suprafaţă. 

Punctul de pe suprafaţa Pământului, situat pe aceeaşi 

rază cu cel de ruptură se numeşte epicentru. 

Perioada undei seismice este de aproximativ 0,1s, deci 

frecvenţa de aproximativ 10 Hz , mai mică deci decât a sunetului 

(nu se aude!). Amplitudinea undei seismice poate fi de la 10 

110 

-6 m 

până la câţiva metri. Undele care se propagă de la locul rupturii


sunt de două tipuri: unde transversale, numite unde S şi unde 

longitudinale, numite unde P. 

În figura II.23 este reprezentată o secţiune în globul 

terestru, indicându-se intuitiv modul de propagare a diverselor 

unde. 

s 

s 

s 

Q 

p p s 

I.C 

M 

C 


p 

Q=punctul de ruptură lângă 

suprafaţă 

I.C (inner core) 

C (core) 

M (manta) 

Scoarţa terestră şi mantaua sunt solide iar părţile 

interioare (C şi I.C) sunt lichide. 

Undele S se propagă numai în scoarţă şi în manta, în timp 

ce undele P pot penetra şi în părţile lichide. Atât undele P cât 

şi S se pot reflecta pe straturile care separă diferitele învelişuri 

terestre; în timpul reflexiei se pot genera alte unde, numite 

unde de suprafaţă. Energia totală a unei unde seismice 

generată într-un cutremur mare poate fi de 10 − 10 J. 

O 

măsură a acestei energii este magnitudinea unui cutremur, M, 

definită prin relaţia: 

M= 0,67 logE−2,9 (II.93) 

unde E este energia în Joule, iar M se măsoară în „grade 

Richter”. De exemplu, un cutremur cu E=10 17 J are M=8,5 grade 

pe scara Richter. Viteza undelor seismice depinde de 

materialele din învelişurile Pământului. De exemplu, unda P are 

5km/s în scoarţă şi 14km/s în părţile adânci ale mantalei, în 

timp ce unda S are între 3 şi 8km/s. 

Diferenţa vitezelor celor două tipuri de unde arată că 

unda P soseşte prima la suprafaţă; timpul scurs între sosirea 

111 

17 

18


celor două unde permite calcularea distanţei pe care au 

parcurs-o. 

Din analiza propagării undelor seismice se pot trage 

concluzii asupra caracteristicilor materialelor din care este 

alcătuit interiorul Pământului. 

112

Cuprins II. FENOMENE ONDULATORII ... - derivat

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?