Relaţia între parametrii dreptelor reciproce - Revista Română de ...

Relaţia între parametrii dreptelor reciproce
Conf.univ.dr. Elena BUGUDUI
Conf.univ.dr. Aurel DIACONU
Universitatea Artifex - București
Drd. Andreea Gabriela BALTAC
Drd. Lorand KRALIK
Academia de Studii Economice – Bucuresti
Drd. Cătălina Claudia SAVA
Universitatea Lucian Blaga – Sibiu
Abstract
The authors analyze the relationships existing between the parameters of
the reciprocal lines, defining, determining and interpreting the notions of
estimators, regression line slope quotient, free terms of the regression line.
Key words: regression, parameters, estimators, regression line slope,
factorial variable
Dacă vom considera dreapta funcţiei de regresie definită pe baza relaţiei:
d1 : y i = b + axi,
atunci putem defini dreapta de regresie reciprocă d2 pe baza relaţiei:
xi = b’ + a’yi .
Estimatorul coeficientului pantei dreptei de regresie rezultă din relaţia:
cov( x,
y)
a
var( x)
Din relaţia de mai sus, rezultă că estimatorul şi covarianţa calculată pentru
cele două variabile au acelaşi semn, considerând că între parametrii pantelor de
regresie există relaţia:
a var( y)
a'
var( x)
, iar cele două drepte (în acelaşi plan) se intersectează în
centrul de concentrare al norului de puncte, şi trec prin punctul
G x, y
.
Demonstraţia acestei afirmaţii pleacă de la faptul că dacă vom ţine seama
că pentru fiecare model de regresie sunt valabile egalităţile:
- pentru modelul de regresie definit de d1 :
Revista Română de Statistică Trim III/2012- Supliment 149
n
i1
( y
i
b axi
) 0
;

150
- pentru al doilea model de regresie, definit prin d1
n
i1
( xi
b'a'
yi
) 0
.
Împărţind cele două egalităţi la n termeni, ce trec prin punctul
G x, y
,
rezultă:
ax
b y ( d1)
a'
y b'
x ( d 2 )
Prin unghiul format de cele două drepte se evidenţiază intensitatea legăturii
dintre variabile. Cu cât mărimea unghiului dintre acestea este mai mică, cu atât
legătura liniară reciprocă dintre cele două caracteristici este mai puternică 1 .
În continuare vom determina formulele de calcul pentru termenii liberi ai
celor două drepte (trebuie să cunoaştem cei doi coeficienţi ai pantelor de regresie,
respectiv
b y ax
şi
b' x a'
y
).
Din ecuaţiile dreptelor considerate şi din relaţiile scrise obţinem formulele
pentru cele două drepte de regresie, adică:
cov( x,
y)
yi y ( xi
x)
var( x)
şi
cov( x,
y)
xi x ( yi
y)
var( y)
.
Pornind de la ecuaţia dreptei d2, x = b’ + a’y, evidenţiem ecuaţia
1 b'
y x
a'
a'
. Aceasta defineşte dreapta care situată în acelaşi plan cu dreapta d1.
Intersecţia dreptelor formează un unghi situat în acelaşi plan, cu tangenta
calculată din relaţia:
1
a
a 1
aa'
tg
'
1 a'a
1
a
a'
Constatăm că semnul coeficienţilor pantelor din modelul de regresie şi
modelul reciproc de regresie coincid.
În funcţie de semnul estimatorului parametrului a, rezultă:
- atunci când â >0, dependenţa între variabile este directă;
1 Constantin Anghelache, Radu Titus Marinescu, Alexandru Manole „Unele aspecte teoretice
referitoare la modelul de regresie liniară simplă utilizat în analizele macroeconomice”, Scientific
Research Themes/Studies Communications at the National Seminary „Octav Onicescu”, Romanian
Statistical Review Trim. 2/2011, pp. 40-54
Revista Română de Statistică Trim. III/2012 - Supliment
:

- când estimaţia parametrului a este egală cu zero, între variabile nu
există o legătură (dependenţă) liniară;
- când coeficientul pantei de regresie â

ezultativă, fiind valabilă egalitatea:
i i y a a * ˆ
pentru orice indice i, obţinem:
y
. Deoarece i b axi
i ,
aˆ * b
ai
ai
xi
ai
i
i
i
Cum restricţia estimatorului * â este nedeplasată, rezultă două proprietăţi ce
sunt satisfăcute de sistemul de ponderi
( a i ) i
1,
n , respectiv
ai i
0
şi
ai xi
i
0
.
Rezultă că estimatorul se obţine din relaţia:
aˆ * a ai
i
i .
Prin comparare constatăm că între seriile de ponderi ale celor doi
estimatori sunt verificate relaţiile ai = wi + di pentru orice i. Înlocuind apoi ai,
obţinem relaţia:
2 2
2
var( aˆ * ) ( wi
d i 2
wi
d i )
i
i
i .
Demonstrăm că a treia sumă din ultima relaţie este nulă, ţinând seama de
proprietăţile sistemului de ponderi ale primului estimator şi de restricţiile impuse
sistemului de ponderi pentru cel de-al doilea estimator. Se obţine rezultatul
următor:
xia
i
i
wid
i wi
( ai
wi
)
2
i
i (
xi
x)
i
1
0 2
(
xi
x)
i
.
Din acest rezultat derivă inegalitatea între varianţele celor doi estimatori:
aˆ
)
2
2 2
w ( a
2
w ) var( aˆ
)
var( * i i i
*
i
i
Dacă variabila reziduală urmează repartiţia normală, estimatorul urmează
1
şi el o repartiţie normală, de medie a şi abatere standard n x .
x
reprezintă abaterea standard a variabilei factoriale, iar reprezintă abaterea
standard a variabilei reziduale.
Indicatorul se poate scrie sub forma transformată:
1
aˆ
n x .
Constatăm că abaterea standard este direct proporţională cu dispersia
observaţiilor yi în jurul dreptei de regresie şi invers proporţională cu numărul de
observaţii şi dispersia valorilor xi.
152
Revista Română de Statistică Trim. III/2012 - Supliment

Cu cât valorile variabilei factoriale sunt mai dispersate, cu atât precizia
estimării este mai mare 4 (gradul de dispersare a seriei valorilor caracteristicii
exogene este măsurat prin abaterea medie standard a seriei).
Estimatorul termenului liber al dreptei de regresie obţinut prin aplicarea metodei
celor mai mici pătrate este un estimator nedeplasat şi de dispersie minimă
Dacă definim relaţiile:
2 2
ˆ
x
var( b)
E( bˆ
) b
1
2
n
şi
x , prin prezentarea norului de puncte
apare posibilitatea de a evidenţia egalităţile:
bˆ 1
1
1
y aˆ
x yi
aˆ
x (
b axi
i ) aˆ
x b aaˆxi n i n i
n i
Rezultă că abaterea dintre parametru şi estimator se exprimă ca o
combinaţie liniară de variabile reziduale; de forma:
b bˆ
1
1
x
wi
i iwixiCii i n i i n i
1
Ci wi
x
Ponderile combinaţiei liniare sunt n .
Vom demonstra proprietăţile estimatorului termenului liber considerând
( C i )
proprietăţile seriei de valori i
1,
n , după cum urmează:
C
i x
wi
1
1
- i
i
;
1
E( Ci
)
- n ;
2
x n 1
C i 2
i
n
-
x ;
cov( C , ) 0
- i i .
Bibliografie selectivă
Anghelache, C. şi alţii (2012) – „Elemente de econometrie teoretică şi aplicată”,
Editura Artifex, Bucureşti
Anghelache, C. şi alţii (2011) – “Econometrie”, Editura Artifex, Bucureşti
Bardsen, G., Nymagen, R., Jansen, E. (2005) – „The Econometrics of
Macroeconomic Modelling”, Oxford University Press
4 Florin Paul Costel, Lilea (2010) ”Analiza statistică a repartiţiei regionale a întreprinderilor mici şi
mijlocii în România”, Editura Ideea Europeană, Bucureşti
Revista Română de Statistică Trim III/2012- Supliment 153

Gourieroux, C., Jasiak, J. (2001) – „Financial econometrics: problems, models and
methods”, Princeton University Press, Princeton
Hendry, D.F., Richard, J.-F. (1982) – „On the formulation of empirical models in
dynamic econometrics”. Journal of Econometrics, 20
Hendry, D.F. (2002) – „Applied econometrics without sinning”, Journal of
Economic Surveys, 16
Klein, L. R. (1983) – „Lectures in econometrics”, Amsterdam, North-Holland
Mitruţ, C. (2008) – „Basic econometrics for business administration”, Editura
ASE, Bucureşti
154
Revista Română de Statistică Trim. III/2012 - Supliment