1. S˘a se studieze pozitiile reciproce a dou˘a plane ıntr-un spatiu ...

a) B1B2 = B4B3.
b) CD = (1 − λ)A1A3 + λA2A4, unde punctele C, D ∈ A sunt definite prin A1C = λA1A2 ¸si A3D = λA3A4.
16. Fie A un K-spat¸iu afin, cu car K = 2. Fie P1, P2, P3, P4, P ′ 1, P ′ 2, P ′ 3, P ′ 4 ∈ A, astfel încât P1P2 = P4P3,
P ′ 1P ′ 2 = P ′ 4P ′ 3 ¸si Pi = P ′ ′′
i , i = 1, 4. Fie P i un punct care împarte segmentul orientat (Pi, P ′ i ) în raportul λ ∈ K,
i = 1, 4. Să se demonstreze că:
a) P ′′
1 P ′′
2 = P ′′
4 P ′′
3 ;
b) Dacă O = 1
2 P1 + 1
2 P3 ¸si O ′ = 1
(O, O ′ ) tot în raportul λ.
2 P ′ 1 + 1
2 P ′ 3, atunci punctul O ′′ = 1
2
′′ P 1 + 1 ′′ P 3 împarte segmentul orientat
2
17. Teorema lui Thales: Fie A, B, C trei puncte afin independente din spat¸iul afin A ( dim A ≥ 2). Să se arate
că :
a) Dacă punctele P ¸si Q împart, respectiv, segmentele orientate (A, B) ¸si (A, C) în acela¸si raport, atunci
vectorii P Q ¸si BC sunt coliniari.
b) Dacă P este un punct coliniar cu A ¸si B, P = B, iar Q este un punct coliniar cu A ¸si C, Q = C, astfel
încât vectorii P Q ¸si BC să fie coliniari, atunci P ¸si Q împart, respectiv, segmentele orientate (A, B) ¸si (A, C)
în acela¸si raport.
18. Teorema lui Pappus: a) Dacă A, B, C sunt trei puncte distincte dintr-un spat¸iu afin real A, iar M, N,
P sunt puncte care împart, respectiv, segmentele orientate (B, C), (C, A), (A, B) în acela¸si raport, atunci
1 1 1 1 1 1
A + B + C = M + N + P .
3 3 3 3 3 3
b) Reciproc, dacă A, B, C sunt trei puncte afin independente dintr-un spat¸iu afin real A ( dim A ≥ 2), M
coliniar cu B ¸si C, N coliniar cu C ¸si A, P coliniar cu A ¸si B, iar 1 1 1 1 1 1
A + B + C = M + N + P , atunci
3 3 3 3 3 3
punctele M, N, P împart, respectiv, segmentele orientate (B, C), (C, A), (A, B) în acela¸si raport.
19. Dreapta Newton-Gauss: Fie A, B ¸si C puncte afin independente din planul afin A, peste un corp K de
caracteristică diferită de 2, E un punct coliniar cu A ¸si C, distinct de acestea, iar F un punct coliniar cu A ¸si
B, distinct de acestea, astfel încât dreptele afine (B, E) ¸si (C, F ) să aibă un punct comun D. Să se arate că
punctele 1 1 1 1 1 1
A + D, E + F ¸si B + C sunt afin dependente.
2 2 2 2 2 2
20. În R3 , cu structura canonică de spat¸iu afin, se consideră sistemele de puncte
S1 = {A0 = (2, 2, 2), A1 = (1, 0, 2), A2 = (2, 1, 0), A3 = (0, 2, 1)},
S2 = {B0 = (1, 1, 4), B1 = (3, −1, 1), B2 = (5, −3, −2), B3 = (−1, 3, 7)}.
a) Să se arate că S1 este afin independent ¸si că S2 este afin dependent.
b) Să se determine S1 ¸si S2.
c) Să se determine ponderile punctelor B2 ¸si B3 fat¸ă de sistemul {B0, B1}.
d) Să se determine ponderile punctelor B0, B1, B2, B3 fat¸ă de S1.
21. Fie spat¸iul vectorial real R 4 , dotat cu structura afină canonică.
a) Să se verifice că sistemul de puncte
S1 = {A1 = (1, 1, −1, −1), A2 = (2, 2, 0, −1), A3 = (3, 1, −1, 0), A4 = (2, 0, −2, 1), A5 = (−2, 3, 3, −2)}
este afin independent.
b) Să se arate că sistemul de puncte
S2 = {P1 = (1, −1, 2, 3), P2 = (2, 1, 1, 0), P3 = (−1, 0, 6, 8), P4 = (0, 7, 7, 4)}
este afin dependent ¸si să se determine ponderile lui P2 în raport cu sistemul de puncte {P1, P3, P4}.
c) Să se verifice că
{M1 = (1, −1, 2, 1), M2 = (2, 1, −1, −1), M3 = (0, −3, 5, 3), M4 = (3, 3, −4, −3)}
este un sistem de puncte coliniare ¸si să se calculeze raportul în care M3 împarte segmentul orientat
(M2, M4).
2