Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Nicolae Cotfas<br />
ELEMENTE DE<br />
ALGEBRĂ LINIARĂ<br />
EDITURA UNIVERSITĂT¸ II DIN BUCURES¸TI
Introducere<br />
Pe parcursul acestei cărt¸i ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil<br />
not¸iuni si rezultate <strong>de</strong> bază apart¸inând algebrei liniare însot¸ite <strong>de</strong> unele aplicat¸ii.<br />
Pentru ca trecerea <strong>de</strong> la matematica predată în liceu la cea predată în facultate să se<br />
facă cât mai u¸sor, în carte au fost incluse multe not¸iuni ¸si rezultate cu care stu<strong>de</strong>nt¸ii<br />
sunt <strong>de</strong>ja familiarizat¸i din ¸scoală.<br />
Unele <strong>de</strong>monstrat¸ii mai dificile au fost prezentate doar în caz particular sau<br />
înlocuite cu exemple care să scoată în evi<strong>de</strong>nt¸ă doar i<strong>de</strong>ea <strong>de</strong> bază a <strong>de</strong>monstrat¸iei.<br />
In general, prezentarea unei not¸iuni sau a unui rezultat este pregătită prin exemple<br />
a<strong>de</strong>cvate.<br />
De¸si cartea se adresează în primul rând stu<strong>de</strong>nt¸ilor din anul întâi <strong>de</strong> la facultăt¸ile<br />
<strong>de</strong> fizică, consi<strong>de</strong>răm că ea poate fi utilă ¸si stu<strong>de</strong>nt¸ilor <strong>de</strong> la facultăt¸ile tehnice sau<br />
elevilor <strong>de</strong> liceu pasionat¸i <strong>de</strong> matematică.<br />
Bucure¸sti, 2009 Nicolae Cotfas<br />
5
Cuprins<br />
1 Matrice ¸si <strong>de</strong>terminant¸i 9<br />
1.1 Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
1.2 Determinant¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
2 Spat¸ii vectoriale 23<br />
2.1 Definit¸ie ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
2.2 Subspat¸ii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25<br />
2.3 Subspat¸iul generat <strong>de</strong> o mult¸ime <strong>de</strong> vectori . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
2.4 Depen<strong>de</strong>nt¸ă ¸si in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ă liniară . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
2.5 Bază ¸si dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<br />
2.6 Sume <strong>de</strong> subspat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<br />
2.7 Sume directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
2.8 Spat¸ii factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
3 Aplicat¸ii liniare 51<br />
3.1 Definit¸ie ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
3.2 Imaginea ¸si nucleul unei aplicat¸ii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 53<br />
3.3 Izomorfisme liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56<br />
3.4 Dualul unui spat¸iu vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
3.5 Tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<br />
3.6 Matricea unei aplicat¸ii liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
3.7 Vectori ¸si valori proprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
3.8 Forma diagonală a matricei unei aplicat¸ii liniare . . . . . . . . . . . 78<br />
7
8 CUPRINS<br />
4 Spat¸ii vectoriale euclidiene 85<br />
4.1 Definit¸ie ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
4.2 Baze ortonormate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
4.3 Complementul ortogonal al unui subspat¸iu . . . . . . . . . . . . . . . 93<br />
4.4 Adjunctul unui operator liniar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94<br />
4.5 Operatori autoadjunct¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98<br />
4.6 Transformări unitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
4.7 Transformări ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
5 Forme pătratice 111<br />
5.1 Definit¸ie ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
5.2 Reducere la forma canonică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
6 Conice 121<br />
6.1 Definit¸ie ¸si exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<br />
6.2 Reducere la forma canonică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124<br />
7 Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale liniare 129<br />
7.1 Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> ordinul întâi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129<br />
7.2 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> ordin superior . . . . . . . . . . . . . . 135<br />
7.3 Sisteme diferent¸iale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146<br />
8 Grupuri. Reprezentări liniare 159<br />
8.1 Grupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159<br />
8.2 Reprezentări liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160<br />
8.3 Reprezentări ireductibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163<br />
8.4 Reprezentări unitare ¸si ortogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<br />
8.5 Grupul rotat¸iilor. Reprezentări liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . 168<br />
9 Algebre Lie. Reprezentări liniare 177<br />
9.1 Algebre Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177<br />
9.2 Reprezentări liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185<br />
9.3 Reprezentări ireductibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187<br />
9.4 Reprezentările algebrelor sl(2, C), su(2) ¸si o(3) . . . . . . . . . . . . 189
Capitolul 1<br />
Matrice ¸si <strong>de</strong>terminant¸i<br />
1.1 Matrice<br />
Definit¸ia 1.1 Fie K unul dintre corpurile R, C. Prin matrice cu n linii ¸si m<br />
coloane, cu elemente din K, se înt¸elege o aplicat¸ie<br />
A : {1, 2, ..., n} × {1, 2, ..., m} −→ K : (i, j) ↦→ aij<br />
<strong>de</strong>scrisă uzual cu ajutorul tabloului<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 · · · a1m<br />
⎜ a21 a22 · · ·<br />
⎟<br />
a2m ⎟<br />
A = ⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠<br />
an1 an2 · · · anm<br />
care cont¸ine valorile functiei. Vom nota cu Mn×m(K) mult¸imea tuturor matricelor<br />
cu n linii ¸si m coloane, cu elemente din K.<br />
Definit¸ia 1.2 Suma A+B a două matrice A, B ∈Mn×m(K) se <strong>de</strong>fine¸ste prin relat¸ia<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 ... a1m<br />
⎜ a21 a22 ...<br />
⎟<br />
a2m ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ ... ... ... ... ⎠ +<br />
⎛<br />
⎞<br />
b11 b12 ... b1m<br />
⎜ b21 b22 ...<br />
⎟<br />
b2m ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ ... ... ... ... ⎠ =<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11+b11 a12+b12 ... a1m+b1m<br />
⎜ a21+b21 a22+b22 ...<br />
⎟<br />
a2m+b2m ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ ... ... ... ... ⎠<br />
an1 an2 ... anm<br />
bn1 bn2 ... bnm<br />
9<br />
an1+bn1 an2+bn2 ... anm+bnm
10 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
iar produsul dintre un număr λ ∈ K ¸si o matrice A ∈ Mn×m(K) se <strong>de</strong>fine¸ste prin<br />
relat¸ia<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 ... a1m<br />
⎜ a21 a22 ...<br />
⎟<br />
a2m ⎟<br />
λ ⎜<br />
⎟<br />
⎝ ... ... ... ... ⎠ =<br />
⎛<br />
⎞<br />
λa11 λa12 ... λa1m<br />
⎜ λa21 λa22 ...<br />
⎟<br />
λa2m ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ ... ... ... ... ⎠ .<br />
an1 an2 ... anm<br />
λan1 λan2 ... λanm<br />
Propozit¸ia 1.3 Dacă A, B, C ∈ Mn×m(K) ¸si α, β ∈ K atunci<br />
(A+B)+C =A+(B+C), A + B = B + A,<br />
Demonstrat¸ie. Relat¸iile rezultă din<br />
α(A + B) = αA + αB, (α+β)A = αA+βA<br />
1A = A α(βA) = (αβ)A.<br />
(aij +bij)+cij = aij +(bij +bij) aij + bij = bij + aij,<br />
α(aij + bij) = αaij + αbij, (α+β)aij = α aij +β aij<br />
1 aij = aij, α(βaij) = (αβ)aij.<br />
Definit¸ia 1.4 Produsul AB al matricelor A ∈ Mn×m(K) ¸si B ∈ Mm×p(K) se<br />
<strong>de</strong>fine¸ste prin formula<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 ... a1m<br />
⎜ a21 a22 ...<br />
⎟<br />
a2m ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ ... ... ... ... ⎠ ·<br />
⎛<br />
⎞<br />
b11 b12 ... b1p<br />
⎜ b21 b22 ...<br />
⎟<br />
b2p ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ ... ... ... ... ⎠<br />
an1 an2 ... anm<br />
=<br />
bm1 bm2 ... bmp<br />
⎛ mj=1 a1j bj1<br />
⎜<br />
⎝<br />
mj=1 a1j bj2 ... mj=1 a2j bj1<br />
mj=1 a2j bj2 ...<br />
m<br />
j=1 a1j bjp<br />
...<br />
mj=1 anj bj1<br />
...<br />
mj=1 anj bj2<br />
...<br />
...<br />
m<br />
j=1 a2j bjp<br />
...<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
m<br />
j=1 anj bjp<br />
Propozit¸ia 1.5 Dacă A ∈ Mn×m(K), B ∈ Mm×p(K) ¸si C ∈ Mp×q(K) atunci<br />
A(BC) = (AB)C.<br />
.
Matrice ¸si <strong>de</strong>terminant¸i 11<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
m<br />
p ⎛ ⎞<br />
p m<br />
aij bjk ckl = ⎝ aij bjk<br />
⎠ ckl.<br />
j=1 k=1<br />
k=1 j=1<br />
Propozit¸ia 1.6 Dacă A ∈ Mn×m(K) ¸si B, C ∈ Mm×p(K) atunci<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
A(B + C) = AB + AC.<br />
m<br />
m<br />
m<br />
aij(bjk + cjk) = aij bjk + aij cjk.<br />
j=1<br />
j=1<br />
j=1<br />
Propozit¸ia 1.7 Dacă A ∈ Mn×m(K), B ∈ Mm×p(K) ¸si λ ∈ K atunci<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
λ(AB) = (λA)B = A(λB).<br />
m<br />
m<br />
m<br />
λ aij bjk = (λaij)bjk = aij(λbjk).<br />
j=1<br />
j=1<br />
j=1<br />
Observat¸ia 1.1 Dacă A, B ∈ Mn×n(K) atunci există matricele AB ¸si BA, dar în<br />
general<br />
De exemplu,<br />
<br />
0 1<br />
1 0<br />
<br />
1 1<br />
0 0<br />
<br />
=<br />
<br />
0 0<br />
1 1<br />
AB = BA.<br />
<br />
si<br />
<br />
1 1<br />
0 0<br />
<br />
0 1<br />
1 0<br />
<br />
=<br />
<br />
1 1<br />
0 0<br />
Definit¸ia 1.8 Spunem ca matricea pătrată A ∈ Mn×n(K) este inversabilă dacă<br />
există o matrice B ∈ Mn×n(K) astfel încât<br />
un<strong>de</strong><br />
este matricea unitate.<br />
⎛<br />
⎜<br />
I = ⎜<br />
⎝<br />
AB = BA = I<br />
1 0 · · · 0<br />
0 1 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · 1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<br />
.
12 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 1.9 Inversa unei matrice pătratice, dacă există, este unică.<br />
Demonstrat¸ie. Fie A ∈ Mn×n(K). Presupunând că există două matrice B, C ∈<br />
Mn×n(K) astfel încât AB = BA = I ¸si AC = CA = I se obt¸ine că<br />
1.2 Determinant¸i<br />
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.<br />
Observat¸ia 1.2 In cazul α11 α22 − α12 α21 = 0, rezolvând sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii<br />
<br />
α11 x1 + α12 x2 = β1<br />
prin metoda reducerii se obt¸ine solut¸ia<br />
α21 x1 + α22 x2 = β2<br />
x1 = β1 α22 − β2 α12<br />
, x2 =<br />
α11 α22 − α12 α21<br />
β2 α11 − β1 α21<br />
α11 α22 − α12 α21<br />
care poate fi scrisă sub forma<br />
<br />
<br />
β1<br />
<br />
β2<br />
x1 = <br />
<br />
α11<br />
<br />
α21<br />
<br />
<br />
α12 <br />
<br />
α22 <br />
<br />
<br />
,<br />
α12 <br />
<br />
α22 <br />
<br />
<br />
α11<br />
<br />
α21<br />
x2 = <br />
<br />
α11<br />
<br />
α21<br />
<br />
<br />
β1 <br />
<br />
β2 <br />
<br />
<br />
α12 <br />
<br />
α22 <br />
dacă se utilizează notat¸ia <br />
a11 a12<br />
a21 a22<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= a11 a22 − a12 a21.<br />
Definit¸ia 1.10 Fie K unul dintre corpurile R, C ¸si fie matricea pătrată<br />
<br />
Numărul<br />
A =<br />
<br />
<br />
<br />
<strong>de</strong>t A = <br />
<br />
a11 a12<br />
a21 a22<br />
a11 a12<br />
a21 a22<br />
se nume¸ste <strong>de</strong>terminantul matricei A.<br />
∈ M2×2(K).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= a11 a22 − a12 a21<br />
(1.1)
Matrice ¸si <strong>de</strong>terminant¸i 13<br />
Observat¸ia 1.3 In cazul în care sistemul <strong>de</strong> trei ecuat¸ii cu trei necunoscute<br />
⎧<br />
⎪⎨ α11 x1 + α12 x2 + α13 x3 = β1<br />
⎪⎩<br />
α21 x1 + α22 x2 + α23 x3 = β2<br />
α31 x1 + α32 x2 + α33 x3 = β3<br />
are solut¸ie unică, solut¸ia obt¸inută prin metoda reducerii se poate scrie<br />
<br />
<br />
β1<br />
<br />
β2<br />
<br />
β3<br />
x1 = <br />
<br />
α11<br />
<br />
α21<br />
<br />
α31<br />
α12<br />
α22<br />
α32<br />
α12<br />
α22<br />
α32<br />
<br />
<br />
α13 <br />
<br />
α23 <br />
<br />
α33 <br />
<br />
<br />
,<br />
α13 <br />
<br />
α23 <br />
<br />
α33 <br />
<br />
<br />
α11<br />
<br />
α21<br />
<br />
α31<br />
x2 = <br />
<br />
α11<br />
<br />
α21<br />
<br />
α31<br />
β1<br />
β2<br />
β3<br />
α12<br />
α22<br />
α32<br />
<br />
<br />
α13 <br />
<br />
α23 <br />
<br />
α33 <br />
<br />
<br />
,<br />
α13 <br />
<br />
α23 <br />
<br />
α33 <br />
<br />
<br />
α11<br />
<br />
α21<br />
<br />
α31<br />
x3 = <br />
<br />
α11<br />
<br />
α21<br />
<br />
α31<br />
α12<br />
α22<br />
α32<br />
α12<br />
α22<br />
α32<br />
<br />
<br />
β1 <br />
<br />
β2 <br />
<br />
β3 <br />
<br />
<br />
α13 <br />
<br />
α23 <br />
<br />
α33 <br />
dacă se utilizează notat¸ia<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13 <br />
<br />
<br />
a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32<br />
<br />
<br />
a31 a32 a33 <br />
−a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33.<br />
Definit¸ia 1.11 Fie K unul dintre corpurile R, C ¸si fie matricea pătrată<br />
⎛<br />
⎞<br />
Numărul<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong>de</strong>t A = <br />
<br />
<br />
A =<br />
⎜<br />
⎝<br />
a11 a12 a13<br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
a11 a12 a13<br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
se nume¸ste <strong>de</strong>terminantul matricei A.<br />
⎟<br />
⎠ ∈ M3×3(K).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32<br />
<br />
<br />
−a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33<br />
Definit¸ia 1.12 Prin permutare <strong>de</strong> grad n se înt¸elege o funct¸ie bijectivă<br />
σ : {1, 2, ..., n} −→ {1, 2, ..., n}.<br />
(1.2)
14 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Observat¸ia 1.4 O permutare <strong>de</strong> grad n poate fi <strong>de</strong>scrisă cu ajutorul unui tablou<br />
σ =<br />
<br />
1 2 · · · n<br />
σ(1) σ(2) · · · σ(n)<br />
Vom nota cu Sn mult¸imea tuturor permutărilor <strong>de</strong> grad n.<br />
Definit¸ia 1.13 Prin signatura permutării<br />
se înt¸elege numărul<br />
σ : {1, 2, ..., n} −→ {1, 2, ..., n}<br />
ε(σ) = <br />
1≤i
Matrice ¸si <strong>de</strong>terminant¸i 15<br />
Definit¸ia 1.14 Fie matricea pătrată<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ a21<br />
A = ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟ ∈ Mn×n(K).<br />
⎠<br />
an1 an2 · · · ann<br />
Numărul<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
a21<br />
<strong>de</strong>t A = <br />
· · ·<br />
<br />
an1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
ann<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ε(σ) a1σ(1) a2σ(2) · · · anσ(n) σ∈Sn<br />
se nume¸ste <strong>de</strong>terminantul matricei A.<br />
(1.3)<br />
Observat¸ia 1.6 Din <strong>de</strong>finit¸ia (1.3) rezultă că <strong>de</strong>t A este o sumă <strong>de</strong> produse <strong>de</strong> câte<br />
n elemente ale matricei A, fiecare produs cont¸inând un singur element <strong>de</strong> pe fiecare<br />
linie ¸si un singur element <strong>de</strong> pe fiecare coloană.<br />
Observat¸ia 1.7 Din relat¸ia (1.2) rezultă<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
a12<br />
a22<br />
a13<br />
a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= <br />
<br />
<br />
a31 a32 a33<br />
a11 a21 a31<br />
a12 a22 a32<br />
a13 a23 a33<br />
(<strong>de</strong>terminantul unei matrice coinci<strong>de</strong> cu <strong>de</strong>terminantul transpusei). Se poate <strong>de</strong>mon-<br />
stra ca o astfel <strong>de</strong> relat¸ie are loc pentru orice matrice pătrată.<br />
Propozit¸ia 1.15 Dacă A ∈ Mn×n(K) atunci<br />
<strong>de</strong>t A = <strong>de</strong>t t A.<br />
Observat¸ia 1.8 Din (1.2) rezultă relat¸iile<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
a31<br />
a12<br />
a22<br />
a32<br />
a13<br />
a23<br />
a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a21<br />
a11<br />
a31<br />
a22<br />
a12<br />
a32<br />
a23<br />
a13<br />
a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a31<br />
a21<br />
a12<br />
a32<br />
a22<br />
a13<br />
a33<br />
a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a31<br />
a21<br />
a11<br />
a32<br />
a22<br />
a12<br />
a33<br />
a23<br />
a13<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(dacă schimbăm între ele două linii semnul <strong>de</strong>terminantului se schimbă)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
a12<br />
a22<br />
a13<br />
a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a12<br />
a22<br />
a11<br />
a21<br />
a13<br />
a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
a13<br />
a23<br />
a12<br />
a22<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=−<br />
<br />
<br />
<br />
a31 a32 a33<br />
a32 a31 a33<br />
a31 a33 a32<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a13 a12 a11 <br />
<br />
a23 a22 a21 <br />
<br />
a33 a32 a31
16 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
(dacă schimbăm între ele două coloane semnul <strong>de</strong>terminantului se schimbă). Se<br />
poate <strong>de</strong>monstra ca un astfel <strong>de</strong> rezultat este valabil pentru orice matrice pătrată.<br />
Propozit¸ia 1.16 Dacă se schimbă între ele două linii (sau două coloane) ale unei<br />
matrice pătrate atunci se obt¸ine o matrice care are <strong>de</strong>terminantul egal cu opusul<br />
<strong>de</strong>terminantului matricei init¸iale.<br />
Propozit¸ia 1.17 Dacă în matricea A ∈ Mn×n(K) toate elementele unei linii (sau<br />
coloane) sunt nule atunci <strong>de</strong>t A = 0.<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă direct din <strong>de</strong>finit¸ia (1.3).<br />
Observat¸ia 1.9 Din (1.2) rezultă că<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
α1 α2 α3 <br />
<br />
<br />
α1 α2 α3 = 0,<br />
<br />
<br />
a31 a32 a33 <br />
Se poate <strong>de</strong>monstra următorul rezultat mai general.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
α1 α1 a13 <br />
<br />
<br />
α2 α2 a23 = 0.<br />
<br />
<br />
α3 α3 a33 <br />
Propozit¸ia 1.18 Determinantul unei matrice pătrate cu două linii (sau coloane)<br />
i<strong>de</strong>ntice este nul.<br />
Propozit¸ia 1.19 Pentru orice k ∈ {1, 2, ..., n} avem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 · · · a1n<br />
<br />
a11 a12 · · · a1n<br />
<br />
<br />
<br />
· · · · · · · · · · · · <br />
· · · · · · · · · · · · <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
λ ak1 λ ak2 · · · λ akn = λ ak1 ak2 · · · akn <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
· · · · · · · · · · · · <br />
<br />
· · · · · · · · · · · · <br />
<br />
an1 an2 · · · ann<br />
an1 an2 · · · ann<br />
<br />
¸si <br />
<br />
a11 · · · λ a1k · · · a1n<br />
<br />
a11 · · · a1k · · · a1n<br />
<br />
<br />
a21 · · · λ a2k · · ·<br />
<br />
a2n a21 · · · a2k · · ·<br />
<br />
a2n <br />
= λ <br />
.<br />
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · <br />
<br />
<br />
an1 · · · λ ank · · · ann an1 · · · ank · · · ann <br />
Demonstrat¸ie. Relat¸iile rezultă direct din <strong>de</strong>finit¸ia (1.3).
Matrice ¸si <strong>de</strong>terminant¸i 17<br />
Propozit¸ia 1.20 Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt<br />
proport¸ionale atunci <strong>de</strong>terminantul matricei este nul.<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din propozit¸iile 1.18 ¸si 1.19.<br />
Propozit¸ia 1.21 Avem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
¸si<br />
a11 a12 ... a1n<br />
... ... ... ...<br />
ak1+bk1 ak2+bk2 ... akn+bkn<br />
... ... ... ...<br />
an1 an2 ... ann<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 ... a1n<br />
<br />
a11 a12 ... a1n<br />
<br />
<br />
<br />
... ... ... ... <br />
... ... ... ... <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
ak1 ak2 ... akn +<br />
bk1 bk2 ... bkn <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
... ... ... ... <br />
<br />
... ... ... ... <br />
<br />
an1 an2 ... ann<br />
an1 an2 ... ann<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 ... a1k+b1k ... a1n<br />
<br />
a11 ... a1k ... a1n<br />
<br />
a11 ... b1k ... a1n<br />
<br />
<br />
<br />
a21 ... a2k+b2k ...<br />
<br />
a2n a21 ... a2k ...<br />
<br />
a2n a21 ... b2k ...<br />
<br />
a2n <br />
<br />
=<br />
<br />
+<br />
<br />
.<br />
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
an1 ... ank+bnk ... ann an1 ... ank ... ann an1 ... bnk ... ann <br />
Demonstrat¸ie. Relat¸iile rezultă direct din <strong>de</strong>finit¸ia (1.3).<br />
Propozit¸ia 1.22 Dacă o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice este o combinat¸ie<br />
liniară <strong>de</strong> celelalte linii (respectiv coloane) atunci <strong>de</strong>terminantul matricei este nul.<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din propozit¸iile 1.20 ¸si 1.21.<br />
Propozit¸ia 1.23 Dacă la o linie (sau coloană) a unei matrice pătratice adunăm el-<br />
ementele unei alte linii (respectiv coloane) înmult¸ite cu acela¸si număr <strong>de</strong>terminantul<br />
matricei rezultate coinci<strong>de</strong> cu <strong>de</strong>terminantul matricei init¸iale.<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din propozit¸iile 1.20 ¸si 1.21.<br />
Observat¸ia 1.10 Relat¸ia (1.2) se poate scrie sub formele<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13 <br />
<br />
<br />
a21 a22 a23 <br />
<br />
<br />
a31 a32 a33 <br />
= (−1) 1+1 <br />
<br />
a22 a23 <br />
a11 <br />
a32 a33 <br />
+(−1) 1+2 <br />
<br />
a21 a23 <br />
a12 <br />
a31 a33<br />
+ (−1)1+3 <br />
<br />
<br />
a13 <br />
<br />
<br />
<br />
a21 a22 <br />
<br />
a31 a32
18 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
(<strong>de</strong>zvoltare după prima linie)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13 <br />
<br />
<br />
a21 a22 a23 <br />
<br />
<br />
a31 a32 a33 <br />
(<strong>de</strong>zvoltare după linia a doua)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13 <br />
<br />
<br />
a21 a22 a23 <br />
<br />
<br />
a31 a32 a33 <br />
(<strong>de</strong>zvoltare după linia a treia)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13 <br />
<br />
<br />
a21 a22 a23 <br />
<br />
<br />
a31 a32 a33 <br />
(<strong>de</strong>zvoltare după prima coloană)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13 <br />
<br />
<br />
a21 a22 a23 <br />
<br />
<br />
a31 a32 a33 <br />
(<strong>de</strong>zvoltare după coloana a doua)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13 <br />
<br />
<br />
a21 a22 a23 <br />
<br />
<br />
a31 a32 a33 <br />
= (−1) 2+1 <br />
<br />
a12 a13 <br />
a21 <br />
a32 a33 <br />
+(−1) 2+2 <br />
<br />
a11 a13 <br />
a22 <br />
a31 a33<br />
= (−1) 3+1 <br />
<br />
a12 a13 <br />
a31 <br />
a22 a23 <br />
+(−1) 3+2 <br />
<br />
a11 a13 <br />
a32 <br />
a21 a23<br />
= (−1) 1+1 <br />
<br />
a22 a23 <br />
a11 <br />
a32 a33 <br />
+(−1) 2+1 <br />
<br />
a12 a13 <br />
a21 <br />
a32 a33<br />
= (−1) 1+2 <br />
<br />
a21 a23 <br />
a12 <br />
a31 a33 <br />
+(−1) 2+2 <br />
<br />
a11 a13 <br />
a22 <br />
a31 a33<br />
= (−1) 1+3 <br />
<br />
a21 a22 <br />
a13 <br />
a31 a32 <br />
+(−1) 2+3 <br />
<br />
a11 a12 <br />
a23 <br />
a31 a32<br />
+ (−1)2+3 <br />
<br />
<br />
a23 <br />
<br />
+ (−1)3+3 <br />
<br />
<br />
a33 <br />
<br />
+ (−1)3+1 <br />
<br />
<br />
a31 <br />
<br />
+ (−1)3+2 <br />
<br />
<br />
a32 <br />
<br />
+ (−1)3+3 <br />
<br />
<br />
a33 <br />
<br />
a11 a12<br />
a31 a32<br />
a11 a12<br />
a21 a22<br />
a12 a13<br />
a22 a23<br />
a11 a13<br />
a21 a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 <br />
<br />
a21 a22
Matrice ¸si <strong>de</strong>terminant¸i 19<br />
(<strong>de</strong>zvoltare după coloana a treia).<br />
Observat¸ia 1.11 Relat¸iile anterioare pot fi generalizate ¸si utilizate în calculul<br />
<strong>de</strong>terminant¸ilor.<br />
Propozit¸ia 1.24 Fie K unul dintre corpurile R, C. Dacă<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ a21<br />
A = ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
an1 an2 · · · ann<br />
∈ Mn×n(K).<br />
atunci<br />
n<br />
<strong>de</strong>t A = (−1)<br />
i=1<br />
i+j n<br />
aij <strong>de</strong>t Aij = (−1)<br />
j=1<br />
i+j aij <strong>de</strong>t Aij<br />
un<strong>de</strong> Aij este matricea care se obt¸ine din A eliminând linia i ¸si coloana j.<br />
Propozit¸ia 1.25 Oricare ar fi i, k ∈ {1, 2, ..., n} avem<br />
n<br />
aij (−1) k+j <br />
0<br />
<strong>de</strong>t Akj =<br />
<strong>de</strong>t A<br />
daca<br />
daca<br />
i = k<br />
i = k<br />
j=1<br />
notat¸iile fiind cele din propozit¸ia anterioară.<br />
(1.4)<br />
(1.5)<br />
Demonstrat¸ie. In cazul i = k afirmat¸ia rezultă din propozit¸ia anterioară. In cazul<br />
i = k relat¸ia rezultă <strong>de</strong>zvoltând după linia k <strong>de</strong>terminantul cu două linii i<strong>de</strong>ntice<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
· · ·<br />
ai1<br />
· · ·<br />
ai1<br />
· · ·<br />
an1<br />
a12<br />
· · ·<br />
ai2<br />
· · ·<br />
ai2<br />
· · ·<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
· · ·<br />
ain<br />
· · ·<br />
ain<br />
· · ·<br />
ann<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
rezultat înlocuind în <br />
a11 a12 · · · a1n<br />
<br />
<br />
<br />
· · · · · · · · · · · · <br />
<br />
ai1 ai2 · · · ain <br />
<br />
· · · · · · · · · · · · <br />
<br />
ak1 ak2 · · · <br />
akn <br />
<br />
· · · · · · · · · · · · <br />
<br />
an1 an2 · · · ann
20 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
linia k cu linia i.<br />
Teorema 1.26 Matricea<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 · · · a1n<br />
⎜ a21 a22 · · ·<br />
⎟<br />
a2n ⎟<br />
A = ⎜<br />
⎟ ∈ Mn×n(K)<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠<br />
an1 an2 · · · ann<br />
este inversabilă dacă ¸si numai dacă <strong>de</strong>t A = 0 ¸si inversa ei este<br />
A −1 = 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
<strong>de</strong>tA ⎜<br />
⎝<br />
(−1) 1+1A11 (−1) 2+1A21 · · · (−1) n+1 (−1)<br />
An1<br />
1+2A12 (−1) 2+2A22 · · · (−1) n+2 · · · · · · · · ·<br />
An2<br />
· · ·<br />
(−1) 1+nA1n (−1) 2+nA2n · · · (−1) n+n ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Ann<br />
notat¸iile fiind cele din propozit¸iile anterioare.<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din propozit¸ia anterioară.<br />
Observat¸ia 1.12 Sistemul <strong>de</strong> n ecuat¸ii liniare cu n necunoscute<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
se poate scrie sub forma<br />
dacă se utilizează notat¸iile<br />
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1<br />
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2<br />
....................................................<br />
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn<br />
Ax = b<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
a11 a12 · · · a1n<br />
x1<br />
b1<br />
⎜ a21 a22 · · ·<br />
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
a2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟<br />
A = ⎜<br />
⎟ , x = ⎜ ⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ ⎜ ⎟ , b = ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠<br />
an1 an2 · · · ann<br />
xn<br />
bn<br />
.<br />
(1.6)
Matrice ¸si <strong>de</strong>terminant¸i 21<br />
Teorema 1.27 (Cramer) Dacă<br />
atunci sistemul ⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 · · · a1n<br />
<br />
<br />
<br />
a21 a22 · · ·<br />
<br />
a2n <br />
<br />
= 0<br />
· · · · · · · · · · · · <br />
<br />
<br />
an1 an2 · · · ann <br />
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1<br />
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2<br />
....................................................<br />
an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn<br />
are solut¸ia unică<br />
<br />
<br />
b1<br />
<br />
b2<br />
<br />
· · ·<br />
<br />
bn<br />
x1 = <br />
<br />
a11<br />
<br />
a21<br />
<br />
· · ·<br />
<br />
an1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
an2<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
<br />
a1n<br />
<br />
<br />
<br />
a2n <br />
<br />
· · · <br />
<br />
ann <br />
<br />
a1n<br />
<br />
,<br />
<br />
<br />
a2n <br />
<br />
· · · <br />
<br />
ann <br />
· · ·<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
a21<br />
<br />
· · ·<br />
<br />
an1<br />
xn = <br />
<br />
a11<br />
<br />
a21<br />
<br />
· · ·<br />
<br />
an1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
an2<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
<br />
b1<br />
<br />
<br />
<br />
b2 <br />
<br />
· · · <br />
<br />
bn <br />
<br />
a1n<br />
<br />
.<br />
<br />
<br />
a2n <br />
<br />
· · · <br />
<br />
ann <br />
Demonstrat¸ie. Scriind sistemul sub forma matriceală<br />
rezultă ca el are solut¸ia<br />
Din relat¸iile (1.4) ¸si (1.6) rezultă<br />
Ax = b<br />
x = A −1 b.<br />
x1 = 1 nj=1 <strong>de</strong>tA<br />
bj (−1) j+1 Aj1 = 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong>de</strong>tA <br />
<br />
<br />
<br />
b1<br />
b2<br />
· · ·<br />
bn<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
ann<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
<br />
<br />
<br />
· · · ,<br />
xn = 1 nj=1 <strong>de</strong>tA<br />
bj (−1) j+n Ajn = 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong>de</strong>tA <br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
· · ·<br />
an1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
<br />
b1<br />
<br />
<br />
<br />
b2 <br />
.<br />
· · · <br />
<br />
bn
22 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Exercit¸iul 1.2 Să se verifice prin calcul direct că în cazul a două matrice<br />
avem<br />
A =<br />
a11 a12<br />
a21 a22<br />
<br />
, B =<br />
<strong>de</strong>t(AB) = <strong>de</strong>tA · <strong>de</strong>tB.<br />
b11 b12<br />
b21 b22<br />
Observat¸ia 1.13 Se poate arăta că relat¸ia <strong>de</strong>t(AB) = <strong>de</strong>tA ·<strong>de</strong>tB are loc oricare ar<br />
fi matricele A ¸si B <strong>de</strong> acela¸si ordin.<br />
În particular, în cazul unei matrice inversabile<br />
<strong>de</strong>t A −1 = 1<br />
<strong>de</strong>t A .<br />
Definit¸ia 1.28 Fie K unul dintre corpurile R, C ¸si fie matricea<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ a21<br />
A = ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1m<br />
a2m<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟ ∈ Mn×m(K).<br />
⎠<br />
an1 an2 · · · anm<br />
Prin minor <strong>de</strong> ordin k al lui A se înt¸elege un <strong>de</strong>terminant <strong>de</strong> forma<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ai1j1 ai1j2<br />
ai2j1<br />
· · · ai1jk<br />
ai2j2<br />
· · ·<br />
aikj1<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
ai2jk<br />
· · ·<br />
aikj2 · · · aikjk<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
un<strong>de</strong><br />
1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n si 1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ m.<br />
Definit¸ia 1.29 Spunem că matricea A ∈ Mn×m(K) are rangul r ¸si scriem<br />
rang A = r<br />
dacă A are un minor <strong>de</strong> ordinul r nenul ¸si tot¸i minorii <strong>de</strong> ordin mai mare sunt nuli.<br />
Propozit¸ia 1.30 Matricea A ∈ Mn×m(K) are rangul r dacă are un minor <strong>de</strong><br />
ordinul r nenul ¸si tot¸i minorii <strong>de</strong> ordin r + 1 sunt nuli.<br />
Demonstrat¸ie. Conform relat¸iei (1.4), orice minor <strong>de</strong> ordinul r + 2 (sau mai mare)<br />
se poate exprima ca o combinat¸ie liniară <strong>de</strong> minori <strong>de</strong> ordinul r + 1.
Capitolul 2<br />
Spat¸ii vectoriale<br />
2.1 Definit¸ie ¸si exemple<br />
Definit¸ia 2.1 Fie K unul dintre corpurile R sau C. Un spat¸iu vectorial peste K<br />
este un triplet (V, +, ·) format dintr-o mult¸ime V ¸si două operat¸ii<br />
+ : V × V −→ V : (x, y) ↦→ x+y (adunarea)<br />
· : K × V −→ V : (α, x) ↦→ αx (inmultirea cu scalari)<br />
astfel încât sunt satisfăcute următoarele condit¸ii:<br />
1. (x + y) + z = x + (y + z), ∀x, y, z ∈ V<br />
2. există un element 0 ∈ V astfel încât 0 + x = x + 0 = x, ∀x ∈ V<br />
3. pentru fiecare x ∈ V există −x ∈ V astfel încât x + (−x) = (−x) + x = 0<br />
4. x + y = y + x, ∀x, y ∈ V<br />
5. α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V<br />
6. (α + β)x = αx + βx, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V<br />
7. α(βx) = (αβ)x, ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V<br />
8. 1x = x, x ∈ V<br />
23
24 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
<strong>Elemente</strong>le lui V se numesc vectori iar elementele lui K se numesc scalari. Un spat¸iu<br />
vectorial peste R este numit spatiu vectorial real iar un spat¸iu vectorial peste C este<br />
numit spat¸iu vectorial complex. In loc <strong>de</strong> x + (−y) scriem x − y.<br />
Propozit¸ia 2.2 Dacă V este un spat¸iu vectorial atunci:<br />
a) αx = 0 ⇐⇒ α = 0 sau x = 0<br />
b) α(−x) = (−α)x = −αx<br />
c) α(x − y) = αx − αy<br />
d) (α − β)x = αx − βx.<br />
Demonstrat¸ie. a)<br />
b)<br />
c)<br />
d)<br />
αx = 0<br />
α = 0<br />
<br />
=⇒ x = 1<br />
0 = 0<br />
α<br />
0x = (0 + 0)x = 0x + 0x =⇒ 0x = 0<br />
α(0 + 0) = α0 + α0 =⇒ α0 = 0.<br />
0 = α0 = α(x + (−x)) = αx + α(−x) =⇒ α(−x) = −αx<br />
0 = 0x = (α + (−α))x = αx + (−α)x =⇒ (−α)x = −αx.<br />
α(x − y) = α(x + (−y)) = αx + α(−y) = αx − αy.<br />
(α − β)x = (α + (−β))x = αx + (−β)x = αx − βx.<br />
Exemplul 2.1 (R 3 , +, ·), un<strong>de</strong><br />
este un spat¸iu vectorial real.<br />
Exemplul 2.2 Mult¸imea<br />
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)<br />
α(x1, x2, x3) = (αx1, αx2, αx3)<br />
M2×3(R) =<br />
<br />
x11 x12 x13<br />
x21 x22 x23<br />
xij ∈ R
Spat¸ii vectoriale 25<br />
are o structură <strong>de</strong> spat¸iu vectorial real <strong>de</strong>finită prin<br />
<br />
x11<br />
x21<br />
x12<br />
x22<br />
x13<br />
x23<br />
<br />
y11<br />
+<br />
y21<br />
y12<br />
y22<br />
y13<br />
y23<br />
<br />
x11 + y11<br />
=<br />
x21 + y21<br />
x12 + y12<br />
x22 + y22<br />
x13 + y13<br />
x23 + y23<br />
<br />
<br />
x11<br />
α<br />
x21<br />
x12<br />
x22<br />
x13<br />
x23<br />
<br />
αx11<br />
=<br />
αx21<br />
αx12<br />
αx22<br />
αx13<br />
αx23<br />
<br />
.<br />
Exemplul 2.3 Mult¸imea F(R, C) a tuturor funct¸iilor ϕ : R −→ C are o structură<br />
<strong>de</strong> spat¸iu vectorial complex <strong>de</strong>finită <strong>de</strong><br />
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x)<br />
(α ϕ)(x) = α ϕ(x), ∀α ∈ C.<br />
Exemplul 2.4 R are o structura <strong>de</strong> spat¸iu vectorial real în raport cu adunarea ¸si<br />
înmult¸irea uzuală.<br />
Exemplul 2.5 (C, +, ·), un<strong>de</strong><br />
este un spat¸iu vectorial real.<br />
(x1 + y1i) + (x2 + y2i) = x1 + x2 + (y1 + y2)i<br />
α(x + yi) = αx + αyi, ∀α ∈ R<br />
Exemplul 2.6 C are o structura <strong>de</strong> spat¸iu vectorial complex în raport cu adunarea<br />
¸si înmult¸irea numerelor complexe.<br />
2.2 Subspat¸ii vectoriale<br />
Definit¸ia 2.3 Fie V un spat¸iu vectorial peste K. Prin subspat¸iu vectorial al lui<br />
V se int¸elege orice submult¸ime W ⊆ V cu proprietatea<br />
x, y ∈ W<br />
α, β ∈ K<br />
<br />
=⇒ αx + βy ∈ W. (2.1)
26 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 2.4 Submult¸imea W ⊆ V este subspat¸iu vectorial dacă ¸si numai dacă<br />
următoarele condit¸ii sunt în<strong>de</strong>plinite:<br />
a)<br />
b)<br />
x ∈ W<br />
y ∈ W<br />
x ∈ W<br />
α ∈ K<br />
Demonstrat¸ie. (2.1) ⇒ (2.2): Alegem α = β = 1.<br />
(2.1) ⇒ (2.3): Alegem β = 0.<br />
(2.2) & (2.3) ⇒ (2.1):<br />
x, y ∈ W<br />
α, β ∈ K<br />
<br />
(2.3)<br />
=⇒<br />
<br />
<br />
αx ∈ W<br />
βy ∈ W<br />
=⇒ x + y ∈ W (2.2)<br />
=⇒ αx ∈ W. (2.3)<br />
<br />
(2.2)<br />
=⇒ αx + βy ∈ W.<br />
Observat¸ia 2.1 Orice subspat¸iu W ⊆ V are o structura <strong>de</strong> spat¸iu vectorial, operat¸iile<br />
fiind cele induse din V .<br />
Exemplul 2.7 W = {x = (x1, x2, x3) ∈ R 3 | x1 + x2 + x3 = 0 } este un subspat¸iu<br />
vectorial al spat¸iului V = R 3 .<br />
Verificare. Fie x = (x1, x2, x3) ∈ W , y = (y1, y2, y3) ∈ W ¸si α, β ∈ R. Avem<br />
x ∈ W =⇒ x1 + x2 + x3 = 0<br />
y ∈ W =⇒ y1 + y2 + y3 = 0<br />
<br />
=⇒ αx1 + βy1 + αx2 + βy2 + αx3 + βy3 = 0<br />
ceea ce arată că αx + βy = (αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3) ∈ W.<br />
<br />
Exemplul 2.8 W = x = (x1, x2, x3) ∈ R3 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x1 + 2x2 − x3 = 0<br />
x1 − x2 + x3 = 0<br />
<br />
este un subspat¸iu<br />
vectorial al spat¸iului V = R 3 .<br />
Exemplul 2.9 Mult¸imea solut¸iilor unui sistem liniar omogen<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
W = x = (x1, x2, ..., xn) ∈ R<br />
⎪⎩<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11x1 + a12x2 + a1nxn = 0<br />
a21x1 + a22x2 + a2nxn = 0<br />
............................<br />
ak1x1 + ak2x2 + aknxn = 0<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului V = R n .
Spat¸ii vectoriale 27<br />
Exemplul 2.10 R ≡ {x = x + 0i | x ∈ R } ⊂ C este un subspat¸iu vectorial al<br />
spat¸iului C consi<strong>de</strong>rat ca spat¸iu vectorial real.<br />
Exemplul 2.11 W = { f : R −→ R | f<strong>de</strong>rivabila } este un subspat¸iu vectorial al<br />
spat¸iului V = { f : R −→ R | fcontinua }.<br />
Exemplul 2.12 Mult¸imea matricelor simetrice<br />
W =<br />
este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului<br />
⎧ ⎛<br />
⎪⎨<br />
⎜<br />
M3×3(R) = A = ⎝<br />
⎪⎩<br />
<br />
A ∈ M3×3(R) | A t <br />
= A<br />
a11 a12 a13<br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
al tuturor matricelor cu trei linii ¸si trei coloane.<br />
⎞<br />
<br />
<br />
⎟<br />
⎠<br />
<br />
<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
aij ∈ R<br />
⎪⎭<br />
2.3 Subspat¸iul generat <strong>de</strong> o mult¸ime <strong>de</strong> vectori<br />
Propozit¸ia 2.5 Dacă V este un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si<br />
este o submult¸ime a lui V atunci<br />
M = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V<br />
〈M〉 = { α1v1 + α2v2 + ... + αnvn | α1, α2, ..., αn ∈ K }<br />
este un subspat¸iu vectorial al lui V .<br />
Demonstrat¸ie. Oricare ar fi λ, µ ∈ K ¸si<br />
avem<br />
x = α1v1 + α2v2 + ... + αnvn ∈ 〈M〉,<br />
y = β1v1 + β2v2 + ... + βnvn ∈ 〈M〉<br />
λx + µy = (λα1 + µβ1)v1 + (λα2 + µβ2)v2 + (λαn + µβn)vn ∈ 〈M〉.
28 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Definit¸ia 2.6 Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si fie M = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V .<br />
Subspat¸iul vectorial<br />
〈M〉 = { α1v1 + α2v2 + ... + αnvn | α1, α2, ..., αn ∈ K }<br />
se nume¸ste subspat¸iul generat <strong>de</strong> M ¸si se mai notează cu span{v1, v2, ..., vn} sau<br />
〈v1, v2, ..., vn〉, adică<br />
〈v1, v2, ..., vn〉 = { α1v1 + α2v2 + ... + αnvn | α1, α2, ..., αn ∈ K }.<br />
Definit¸ia 2.7 Spunem că {v1, v2, ..., vn} este un sistem <strong>de</strong> generatori pentru V<br />
dacă<br />
V = 〈v1, v2, ..., vn〉.<br />
Exemplul 2.13 Vectorii v1 = (1, 1) ¸si v2 = (1, −1) formează un sistem <strong>de</strong> generatori<br />
pentru spat¸iul vectorial R 2 .<br />
Verificare. Avem <strong>de</strong> aratat că R 2 = span{v1, v2} adică<br />
R 2 = {α1(1, 1) + α2(1, −1) | α1, α2 ∈ R}.<br />
Evi<strong>de</strong>nt, {α1(1, 1) + α2(1, −1) | α1, α2 ∈ R} ⊆ R 2 . Rămâne <strong>de</strong> arătat incluziunea<br />
inversă. Fie x = (x1, x2) ∈ R 2 . Avem <strong>de</strong> arătat că există α1, α2 ∈ R încât<br />
adică<br />
ceea ce este echivalent cu<br />
Această relat¸ie se mai poate scrie<br />
<br />
¸si conduce la<br />
x = α1v1 + α2v2<br />
(x1, x2) = α1(1, 1) + α2(1, −1)<br />
(x1, x2) = (α1 + α2, α1 − α2).<br />
α1 = x1 + x2<br />
2<br />
α1 + α2 = x1<br />
α1 − α2 = x2<br />
, α2 = x1 − x2<br />
.<br />
2
Spat¸ii vectoriale 29<br />
Exercit¸iul 2.14 Să se arate că în R 3 avem<br />
span{(1, 2, 3), (−1, 1, 0)} = span{(1, 2, 3), (−1, 1, 0), (0, 3, 3)}.<br />
Indicat¸ie. Avem (0, 3, 3) = (1, 2, 3) + (−1, 1, 0).<br />
Propozit¸ia 2.8 Dacă {v1, v2, ..., vn} este un sistem <strong>de</strong> generatori pentru V astfel<br />
încât există k ∈ {1, 2, ..., n} cu<br />
vk = <br />
i=k<br />
λi vi<br />
atunci {v1, v2, ..., vn}\{vk} este sistem <strong>de</strong> generatori pentru V .<br />
Demonstrat¸ie. Orice vector x ∈ V este o combinat¸ie liniară <strong>de</strong> v1, v2, ..., vn. Dar<br />
n<br />
x = αi vi =⇒ x =<br />
i=1<br />
<br />
<br />
αi vi + αk λi vi =<br />
i=k<br />
i=k<br />
<br />
(αi + αkλi)vi.<br />
i=k<br />
Definit¸ia 2.9 Spunem că spat¸iul vectorial V este finit generat dacă admite un<br />
sistem <strong>de</strong> generatori finit.<br />
Convent¸ie. Dacă nu se ment¸ionează contrariul, spat¸iile vectoriale consi<strong>de</strong>rate în<br />
continuare vor fi presupuse finit generate.<br />
2.4 Depen<strong>de</strong>nt¸ă ¸si in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸ă liniară<br />
Propozit¸ia 2.10 Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si v1, v2, ..., vn vectori apart¸inând<br />
lui V . Următoarele afirmat¸ii sunt echivalente:<br />
a) Nici unul dintre vectorii v1, v2, ..., vn nu se poate scrie ca o combinat¸ie liniară<br />
<strong>de</strong> ceilalt¸i vectori<br />
b) relat¸ia<br />
este posibilă numai dacă<br />
α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0<br />
α1 = α2 = · · · = αn = 0
30 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
adică<br />
α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0.<br />
Demonstrat¸ie. a)⇒b) Prin reducere la absurd, presupunând, <strong>de</strong> exemplu, ca relat¸ia<br />
α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0 este posibilă ¸si pentru αn = 0 se obt¸ine<br />
vn = − α1<br />
αn<br />
v1 − α2<br />
αn<br />
v2 − · · · − αn−1<br />
αn<br />
vn−1.<br />
b)⇒a) Dacă, <strong>de</strong> exemplu, am avea vn = β1v1 + β2v2 + · · · + βn−1vn−1 atunci<br />
β1v1 + β2v2 + · · · + βn−1vn−1 − vn = 0<br />
adică relat¸ia α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0 ar fi posibilă ¸si în alte cazuri <strong>de</strong>cât<br />
α1 = α2 = · · · = αn = 0.<br />
Definit¸ia 2.11 Spunem că {v1, v2, ..., vn} este un sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i<br />
dacă<br />
α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0.<br />
Observat¸ia 2.2 In cazul unui sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i nici unul dintre<br />
vectori nu se poate scrie ca o combinat¸ie liniară <strong>de</strong> ceilalt¸i vectori.<br />
Exercit¸iul 2.15 Să se arate că vectorii v1 = (1, 2) ¸si v2 = (−1, 3) din R 2 sunt liniar<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i.<br />
Rezolvare. Fie α1v1 + α2v2 = 0, adică<br />
α1(1, 2) + α2(−1, 3) = (0, 0)<br />
(α1, 2α1) + (−α2, 3α2) = (0, 0)<br />
(α1 − α2, 2α1 + 3α2) = (0, 0).<br />
Ultima relat¸ie este echivalenta cu sistemul<br />
care conduce la α1 = α2 = 0.<br />
<br />
α1 − α2 = 0<br />
2α1 + 3α2 = 0
Spat¸ii vectoriale 31<br />
Exercit¸iul 2.16 Un sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i nu poate cont¸ine vectorul<br />
nul.<br />
Rezolvare. Admit¸ând că {v1, v2, ..., vn} este un sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i<br />
si că vn = 0 avem<br />
0v1 + 0v2 + · · · + 0vn−1 + 1vn = 0.<br />
Observat¸ia 2.3 Orice subsistem al unui sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i este<br />
un sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i.<br />
Propozit¸ia 2.12 Dacă {v1, v2, ..., vn} este un sistem <strong>de</strong> vectori astfel incât nici unul<br />
dintre ei nu este combinat¸ie liniară <strong>de</strong> cei scri¸si în fat¸a lui atunci {v1, v2, ..., vn} este<br />
un sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i.<br />
Demonstrat¸ie. Fie<br />
Trebuie ca αn = 0 <strong>de</strong>oarece în caz contrar<br />
α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn = 0. (2.4)<br />
vn = − α1<br />
αn<br />
v1 − α2<br />
αn<br />
v2 − · · · − αn−1<br />
αn<br />
vn−1.<br />
adică vn este combinat¸ie liniară <strong>de</strong> vectorii scri¸si în fat¸a lui. Având în ve<strong>de</strong>re că<br />
0vn = 0, relat¸ia (2.4) se mai scrie<br />
α1v1 + α2v2 + · · · + αn−1vn−1 = 0.<br />
La fel ca mai sus se arată că αn−1 = 0, apoi αn−2 = 0, ... , α1 = 0.<br />
Observat¸ia 2.4 Din orice sistem <strong>de</strong> generatori ai unui spat¸iu vectorial V se poate<br />
obt¸ine un sistem <strong>de</strong> generatori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i eliminând succesiv vectorii care<br />
se pot scrie ca o combinat¸ie liniară <strong>de</strong> vectorii aflat¸i înaintea lor. Mai exact, plecăm<br />
<strong>de</strong> la sistemul <strong>de</strong> generatori {v1, v2, ..., vn} ¸si aplicăm următoarele operat¸ii sistemului<br />
rezultat în etapa anterioară:<br />
a) eliminăm primul vector dacă acesta este nul<br />
b) eliminăm al doilea vector dacă acesta se obt¸ine din primul prin înmult¸irea cu<br />
un scalar
32 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
c) eliminăm al treilea vector dacă acesta este combinat¸ie liniară <strong>de</strong> primii doi<br />
d) eliminăm al patrulea vector dacă acesta este combinat¸ie liniară <strong>de</strong> vectorii<br />
prece<strong>de</strong>nt¸i, etc.<br />
Exercit¸iul 2.17 Să se obt¸ină un sistem liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt plecând <strong>de</strong> la sistemul<br />
<strong>de</strong> vectori {v1, v2, v3, v4, v5} ⊂ R 4 , un<strong>de</strong> v1 = (0, 0, 0, 0), v2 = (1, 0, −1, 1), v3 =<br />
(2, 0, −2, 2), v4 = (1, 1, 1, 1), v5 = (2, 1, 0, 2).<br />
Răspuns. {v2, v4}.<br />
2.5 Bază ¸si dimensiune<br />
Definit¸ia 2.13 Prin bază a unui spat¸iu vectorial se int¸elege un sistem <strong>de</strong> generatori<br />
format din vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i.<br />
Observat¸ia 2.5 Pentru a arăta că un sistem <strong>de</strong> vectori B = {e1, e2, ..., en} este bază<br />
lui V avem <strong>de</strong> arătat că:<br />
a) V = 〈e1, e2, ..., en〉<br />
b) α1 e1 + α2 e2 + · · · + αn en = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0.<br />
Exercit¸iul 2.18 Să se arate că B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} este bază a spat¸iului<br />
vectorial R 2 .<br />
Rezolvare. B este sistem <strong>de</strong> generatori: oricare ar fi (x1, x2) din R 2 avem<br />
(x1, x2) = x1e1 + x2e2.<br />
B este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i: din relat¸ia<br />
rezultă<br />
α1e1 + α2e2 = 0<br />
α1(1, 0) + α2(0, 1) = (0, 0)
Spat¸ii vectoriale 33<br />
adică<br />
ceea ce conduce la α1 = α2 = 0.<br />
(α1, α2) = (0, 0)<br />
Propozit¸ia 2.14 Dacă B = {e1, e2, ..., en} este bază lui V atunci orice vector x ∈ V<br />
se poate scrie în mod unic sub forma<br />
x = α1e1 + α2e2 + · · · + αnen.<br />
Demonstrat¸ie. B fiind sistem <strong>de</strong> generatori rezultă că există scalarii α1, α2, ..., αn ∈<br />
K încât x = α1e1 + α2e2 + · · · + αnen. Presupunând că ar mai exista reprezentarea<br />
ar rezulta că<br />
adică<br />
x = β1e1 + β2e2 + · · · + βnen<br />
α1e1 + α2e2 + · · · + αnen = β1e1 + β2e2 + · · · + βnen<br />
(α1 − β1)e1 + (α2 − β2)e2 + · · · + (αn − βn)en = 0.<br />
Deoarece B este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i, din această relat¸ie rezultă că<br />
α1 − β1 = 0, α2 − β2 = 0, ... , αn − βn = 0, adică α1 = β1, α2 = β2, ... , αn = βn.<br />
Definit¸ia 2.15 Fie B = {e1, e2, ..., en} o bază a spat¸iului vectorial V ¸si x ∈ V .<br />
Numerele unic <strong>de</strong>terminate α1, α2, ... , αn din <strong>de</strong>zvoltarea<br />
x = α1e1 + α2e2 + · · · + αnen<br />
se numesc coordonatele lui x in raport cu baza B.<br />
Propozit¸ia 2.16 Dacă V este un spat¸iu vectorial,<br />
M = {v1, v2, ..., vn}<br />
este un sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i ¸si<br />
S = {w1, w2, ..., wk}<br />
este un sistem <strong>de</strong> generatori ai lui V atunci
34 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
a) n ≤ k<br />
b) sistemul <strong>de</strong> vectori M se poate completa pâna la o bază a lui V adăugând<br />
vectori din S.<br />
Demonstrat¸ie. a) Vectorul vn este nenul <strong>de</strong>oarece sistemul <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i<br />
M nu poate cont¸ine vectorul nul. Acest vector este o combinat¸ie liniară <strong>de</strong> w1, w2, ..., wk.<br />
Deoarece cel put¸in unul dintre coeficient¸ii acestei combinat¸ii liniare este nenul, din<br />
sistemul <strong>de</strong> generatori {vn, w1, w2, ..., wk} se poate elimina un vector astfel incât el<br />
să rămână în continuare sistem <strong>de</strong> generatori. Vom elimina primul vector care este<br />
combinat¸ie liniară <strong>de</strong> cei aflat¸i înaintea lui. Vectorul eliminat este unul dintre vec-<br />
torii w1, w2, ..., wk ¸si-l notăm cu wi1 . Consi<strong>de</strong>răm în continuare sistemul <strong>de</strong> vectori<br />
liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i<br />
sistemul <strong>de</strong> generatori<br />
M1 = {v1, v2, ..., vn−1}<br />
S1 = {vn, w1, w2, ..., wk}\{wi1 }<br />
¸si facem acelea¸si operat¸ii, adică luăm vn−1 din M1, îl adăugăm la S1 ¸si eliminăm<br />
primul vector wi2 care este combinat¸ie liniară <strong>de</strong> cei aflat¸i în fat¸a lui. Rezultă astfel<br />
sistemul <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i<br />
¸si sistemul <strong>de</strong> generatori<br />
M2 = {v1, v2, ..., vn−2}<br />
S2 = {vn−1, vn, w1, w2, ..., wk}\{wi1 , wi2 }.<br />
Procesul poate fi continuat până introducem tot¸i vectorii sistemului <strong>de</strong> vectori liniar<br />
in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i M în sistemul <strong>de</strong> generatori, ceea ce arată că n ≤ k.<br />
b) După introducerea tuturor vectorilor din M în sistemul <strong>de</strong> generatori se obt¸ine<br />
un sistem <strong>de</strong> generatori<br />
Sn = {v1, v2, ..., vn, w1, w2, ..., wk}\{wi1 , wi2 , ..., win}.<br />
Eliminând vectorii care sunt combinat¸ii liniare <strong>de</strong> cei aflat¸i în fat¸a lor rezultă o bază<br />
care cont¸ine vectorii din M.
Spat¸ii vectoriale 35<br />
Teorema 2.17 Oricare două baze ale unui spat¸iu vectorial au acela¸si număr <strong>de</strong><br />
vectori.<br />
Demonstrat¸ie. Fie<br />
B = {e1, e2, ..., en}, B ′ = {e ′ 1, e ′ 2, ..., e ′ k}<br />
două baze ale lui V . Fiecare dintre ele este atât sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i<br />
cât ¸si sistem <strong>de</strong> generatori pentru V . Conform propozit¸iei prece<strong>de</strong>nte trebuie sa avem<br />
simultan n ≤ k ¸si k ≤ n.<br />
Definit¸ia 2.18 Spunem că spat¸iul vectorial V are dimensiune n ¸si scriem<br />
dim V = n<br />
dacă V admite o bază formată din n vectori.<br />
Notat¸ie. Pentru a indica corpul peste care este consi<strong>de</strong>rat V , in loc <strong>de</strong> dim V vom<br />
scrie uneori dimKV .<br />
Exercit¸iul 2.19 Să se arate că<br />
a) dimRR 2 = 2<br />
b) dimR{(x1, x2, x3) ∈ R 3 | x1 + x2 + x3 = 0 } = 2<br />
c) dimRC = 2<br />
d) dimCC = 1.<br />
Rezolvare. a) {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} este bază a lui R 2 .<br />
b) Relat¸ia<br />
{(x1, x2, x3) ∈ R 3 | x1 + x2 + x3 = 0 } = {(x1, x2, −x1 − x2) | x1, x2 ∈ R}<br />
= {x1(1, 0, −1) + x2(0, 1, −1) | x1, x2 ∈ R}<br />
arată că {(1, 0, −1), (0, 1, −1)} este sistem <strong>de</strong> generatori. Deoarece relat¸ia<br />
x1(1, 0, −1) + x2(0, 1, −1) = (0, 0, 0)<br />
conduce la x1 = x2 = 0, sistemul <strong>de</strong> generatori {(1, 0, −1), (0, 1, −1)} este un sistem<br />
<strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i ¸si <strong>de</strong>ci o bază.<br />
c) C = {x + yi | x, y ∈ R } consi<strong>de</strong>rat ca spat¸iu vectorial real admite baza {1, i}.<br />
d) O bază a lui C peste C este B = {1}.
36 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 2.19 Pe orice spat¸iu vectorial complex V se obt¸ine o structură naturală<br />
<strong>de</strong> spat¸iu vectorial real prin restrict¸ia scalarilor ¸si<br />
dimRV = 2 dimCV.<br />
Demonstrat¸ie. Fie {v1, v2, ..., vn} o bază a spat¸iului vectorial complex V . Oricare ar<br />
fi x ∈ V există numerele complexe α1 + β1i, α2 + β2i, ... , αn + βni astfel încât<br />
x = (α1 + β1i)v1 + (α2 + β2i)v2 + · · · + (αn + βni)vn.<br />
Scriind această relat¸ie sub forma<br />
<strong>de</strong>ducem că<br />
x = α1 v1 + β1 iv1 + α2 v2 + β2 iv2 + · · · + αn vn + βn ivn<br />
B = { v1, iv1, v2, iv2, ... , vn, ivn }<br />
este sistem <strong>de</strong> generatori pentru spat¸iul vectorial real V . Arătăm că vectorii care<br />
formează sistemul B sunt liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i peste R. Relat¸ia<br />
se poate scrie<br />
α1 v1 + β1 iv1 + α2 v2 + β2 iv2 + · · · + αn vn + βn ivn = 0<br />
(α1 + β1i)v1 + (α2 + β2i)v2 + · · · + (αn + βni)vn = 0<br />
¸si conduce la α1 + β1i = α2 + β2i = · · · = αn + βni = 0, adică la<br />
α1 = β1 = α2 = β2 = · · · = αn = βn = 0.<br />
Propozit¸ia 2.20 Dacă V este un spat¸iu vectorial real atunci spat¸iul<br />
V × V = { (x1, x2) | x1, x2 ∈ V }<br />
consi<strong>de</strong>rat împreună cu adunarea pe componente<br />
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
Spat¸ii vectoriale 37<br />
¸si înmult¸irea cu numere complexe<br />
(α + βi)(x1, x2) = (αx1 − βx2, αx2 + βx1)<br />
este un spat¸iu vectorial complex notat cu C V (numit complexificatul lui V ) ¸si<br />
dimC C V = dimRV.<br />
Demonstrat¸ie. Fie {v1, v2, ..., vn} o bază a spat¸iului vectorial real V . Arătăm că<br />
B = { (v1, 0), (v2, 0), ... , (vn, 0) }<br />
este bază a spat¸iului vectorial complex C V . Oricare ar fi x1, x2 ∈ V există numerele<br />
reale α1, α2, ... , αn ¸si β1, β2 , ... , βn astfel încât<br />
x1 = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn, x2 = β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn.<br />
Deoarece i(vj, 0) = (0, vj) avem<br />
Dacă<br />
atunci<br />
(x1, x2) = (α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn, 0) + (0, β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn)<br />
= (α1 + β1i)(v1, 0) + (α2 + β2i)(v2, 0) + · · · + (αn + βni)(vn, 0).<br />
(α1 + β1i)(v1, 0) + (α2 + β2i)(v2, 0) + · · · + (αn + βni)(vn, 0) = (0, 0)<br />
(α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn, β1 v1 + β2 v2 + · · · + βn vn) = 0<br />
ceea ce conduce la α1 = α2 = · · · = αn = 0 ¸si β1 = β2 = · · · = βn = 0.<br />
Observat¸ia 2.6 Scriind x1 + x2i în loc <strong>de</strong> (x1, x2) obt¸inem<br />
¸si înmult¸irea cu scalari<br />
C V = { x1 + x2i | x1, x2 ∈ V }<br />
(α + βi)(x1 + x2i) = (αx1 − βx2) + (αx2 + βx1)i<br />
coinci<strong>de</strong> formal cu înmult¸irea uzuală a numerelor complexe.
38 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Teorema 2.21 (Kronecker) Dacă<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ a21<br />
A = ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1m<br />
a2m<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟ ∈ Mn×m(K)<br />
⎠<br />
¸si<br />
atunci<br />
an1 an2 · · · anm<br />
Ai = (ai1 ai2 ... aim) ∈ M1×m(K), A j ⎛ ⎞<br />
a1j<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ a2j ⎟<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ∈ Mn×1(K)<br />
⎝ . ⎠<br />
anj<br />
rang A = dim〈A1, A2, ..., An〉 = dim〈A 1 , A 2 , ..., A m 〉.<br />
Demonstrat¸ie. Fie r = rang A. Deoarece rangul lui A nu se schimbă prin permutarea<br />
liniilor (sau coloanelor) putem presupune că<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
a21<br />
d = <br />
· · ·<br />
<br />
ar1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
ar2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1r<br />
a2r<br />
· · ·<br />
arr<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0.<br />
<br />
<br />
<br />
Arătăm că {A 1 , A 2 , ..., A r } este sistem liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt ¸si că matricele A r+1 ,...,A m<br />
din Mn×1(K) sunt combinat¸ii liniare <strong>de</strong> A 1 , A 2 , ... , A r . Din relat¸ia<br />
rezultă că ⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
α1A 1 + α2A 2 + · · · + αrA r = 0<br />
a11α1 + a12α2 + · · · + a1rαr = 0<br />
a21α1 + a22α2 + · · · + a2rαr = 0<br />
..................................................<br />
ar1α1 + ar2α2 + · · · + arrαr = 0<br />
Acesta este un sistem Cramer cu solut¸ia α1 = α2 = · · · = αr = 0. Oricare ar fi<br />
i ∈ {1, 2, ..., n} ¸si j ∈ {1, 2, ..., m} avem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
· · ·<br />
ar1<br />
ai1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
ar2<br />
ai2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1r<br />
a2r<br />
· · ·<br />
arr<br />
air<br />
a1j<br />
a2j<br />
· · ·<br />
arj<br />
aij<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0.
Spat¸ii vectoriale 39<br />
Dezvoltând acest <strong>de</strong>terminant după ultima linie obt¸inem relat¸ia<br />
un<strong>de</strong><br />
(−1) i+1 ai1λ1 + (−1) i+2 ai2λ2 + · · · + (−1) i+r airλr + (−1) i+r+1 aij d = 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a12 · · · a1r a1j<br />
<br />
<br />
<br />
a11 · · · a1r−1 a1j<br />
<br />
<br />
<br />
a22 · · ·<br />
<br />
<br />
a2r a2j <br />
a21 · · ·<br />
<br />
a2r−1 a2j <br />
λ1 = <br />
, · · · λr = <br />
<br />
· · · · · · · · · · · · <br />
· · · · · · · · · · · · <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ar2 · · · arr arj <br />
ar1 · · · arr−1 arj <br />
nu <strong>de</strong>pind <strong>de</strong> i. Rezultă<br />
i+1 λ1<br />
aij = −(−1)<br />
d ai1<br />
i+2 λ2<br />
− (−1)<br />
d ai2<br />
i+r λr<br />
− · · · − (−1)<br />
d air<br />
oricare ar fi i ∈ {1, 2, ..., n}, adică<br />
A j i+1 λ1<br />
= −(−1)<br />
d A1 i+2 λ2<br />
− (−1)<br />
d A2 i+r λr<br />
− · · · − (−1)<br />
d Ar .<br />
Am arătat astfel că dim〈A 1 , A 2 , ..., A m 〉 = rang A. Deoarece rang A = rang t A <strong>de</strong>-<br />
ducem că dim〈A1, A2, ..., An〉 = rang A.<br />
Exercit¸iul 2.20 Să se arate că vectorii<br />
v1 = (v11, v12, v13), v2 = (v21, v22, v23), v3 = (v31, v32, v33)<br />
din R 3 sunt liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i dacă ¸si numai dacă<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
v11 v12 v13 <br />
<br />
<br />
v21 v22 v23 = 0.<br />
<br />
<br />
v31 v32 v33 <br />
Teorema 2.22 Sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii liniare<br />
⎧<br />
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = b1<br />
⎪⎨<br />
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = b2<br />
....................................................<br />
⎪⎩<br />
an1 x1 + an2 x2 + · · · + anm xm = bn
40 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
admite solut¸ie dacă ¸si numai dacă<br />
⎛<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 · · · a1m<br />
a11 a12 · · · a1m b1<br />
⎜ a21 a22 · · ·<br />
⎟ ⎜<br />
a2m ⎟ ⎜ a21 a22 · · ·<br />
⎟<br />
a2m b2 ⎟<br />
rang ⎜<br />
⎟ = rang ⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ ⎝ · · · · · · · · · · · · · · · ⎠<br />
an1 an2 · · · anm<br />
an1 an2 · · · anm bn<br />
(rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse).<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din teorema anterioară t¸inând seama <strong>de</strong> faptul că<br />
sistemul consi<strong>de</strong>rat se mai poate scrie<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
a11<br />
a12<br />
⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ a21 ⎟ ⎜ a22 ⎟<br />
x1 ⎜ ⎟ + x2 ⎜ ⎟<br />
⎝ · · · ⎠ ⎝ · · · ⎠<br />
an1<br />
Observat¸ia 2.7 Fie<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
an2<br />
⎛<br />
⎜<br />
+ · · · + xm ⎜<br />
⎝<br />
a1m<br />
a2m<br />
· · ·<br />
anm<br />
⎞<br />
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = b1<br />
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = b2<br />
....................................................<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎜<br />
⎝<br />
an1 x1 + an2 x2 + · · · + anm xm = bn<br />
un sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii liniare compatibil (adică, care admite solut¸ie) ¸si fie r rangul ma-<br />
tricei sistemului. Schimbând eventual ordinea ecuat¸iilor ¸si in<strong>de</strong>xarea necunoscutelor<br />
putem presupune că<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 · · · a1r<br />
<br />
<br />
<br />
a21 a22 · · ·<br />
<br />
a2r <br />
<br />
= 0.<br />
· · · · · · · · · · · · <br />
<br />
<br />
ar1 ar2 · · · arr <br />
In cazul în care r < n este suficient să luăm în consi<strong>de</strong>rare doar primele r ecuat¸ii<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1m xm = b1<br />
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2m xm = b2<br />
....................................................<br />
ar1 x1 + ar2 x2 + · · · + arm xm = br<br />
(numite ecuat¸ii principale) <strong>de</strong>oarece restul <strong>de</strong> ecuat¸ii vor fi combinat¸ii liniare <strong>de</strong><br />
b1<br />
b2<br />
· · ·<br />
bn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
Spat¸ii vectoriale 41<br />
acestea. Acesta poate fi privit ca un sistem Cramer<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1r xr = b1 − a1r+1 xr+1 − · · · − a1m xm<br />
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2r xr = b2 − a2r+1 xr+1 − · · · − a2m xm<br />
............................................................................<br />
ar1 x1 + ar2 x2 + · · · + arr xr = br − arr+1 xr+1 − · · · − arm xm<br />
cu necunoscutele x1, x2, ..., xr (numite necunoscute principale) consi<strong>de</strong>rând xr+1,<br />
... , xm ca parametri care pot lua valori arbitrare. In cazul in care b1 = b2 =<br />
· · · = bn = 0 (sistem omogen), spat¸iul solut¸iilor sistemului este un spat¸iu vectorial<br />
<strong>de</strong> dimensiune m − r.<br />
Observat¸ia 2.8 Dacă<br />
B = {e1, e2, ..., en}, B ′ = {e ′ 1, e ′ 2, ..., e ′ n}<br />
sunt două baze ale lui V atunci fiecare vector e ′ i din baza “nouă” B′ se poate scrie<br />
ca o combinat¸ie liniară <strong>de</strong> vectorii bazei “vechi” B.<br />
Definit¸ia 2.23 Fie<br />
două baze ale spat¸iului V ¸si fie<br />
Matricea<br />
B = {e1, e2, ..., en}, B ′ = {e ′ 1, e ′ 2, ..., e ′ n}<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
e ′ 1 = α11e1 + α21e2 + · · · + αn1en<br />
e ′ 2 = α12e1 + α22e2 + · · · + αn2en<br />
.................................................<br />
e ′ n = α1ne1 + α2ne2 + · · · + αnnen.<br />
⎛<br />
⎜<br />
S = ⎜<br />
⎝<br />
α11 α12 ... α1n<br />
α21 α22 ... α2n<br />
... ... ... ...<br />
αn1 αn2 ... αnn<br />
se nume¸ste matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la baza B la baza B ′ .<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(2.5)
42 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Observat¸ia 2.9 Relat¸iile (2.5) se pot scrie comprimat<br />
e ′ n<br />
i = αjiej<br />
j=1<br />
¸si orice vector x ∈ V poate fi <strong>de</strong>zvoltat în raport cu cele două baze<br />
n<br />
n<br />
x = xjej = x<br />
j=1 i=1<br />
′ ie ′ i.<br />
Propozit¸ia 2.24 In cazul schimbării <strong>de</strong> bază<br />
e ′ i = n j=1 αjiej<br />
x = n j=1 xjej = n i=1 x ′ ie′ i<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭ =⇒ xj<br />
n<br />
= αjix<br />
i=1<br />
′ i<br />
Demonstrat¸ie. Având în ve<strong>de</strong>re că <strong>de</strong>zvoltarea în raport cu o bază este unică, din<br />
n<br />
n<br />
xjej = x ′ i e ′ n<br />
i =<br />
n<br />
n<br />
<br />
n<br />
αji ej =<br />
<br />
j=1<br />
i=1<br />
rezultă că xj = n i=1 αji x ′ i .<br />
2.6 Sume <strong>de</strong> subspat¸ii<br />
x<br />
i=1<br />
′ i<br />
j=1<br />
j=1<br />
i=1<br />
αji x ′ i<br />
Propozit¸ia 2.25 a) Dacă W ⊆ V este subspat¸iu vectorial atunci dim W ≤ dim V .<br />
b) Dacă W ⊆ V este subspat¸iu vectorial ¸si dim W = dim V atunci W = V .<br />
Demonstrat¸ie. a) Fie {v1, v2, ..., vn} bază în V ¸si {w1, w2, ..., wk} bază în W .<br />
Deoarece {w1, w2, ..., wk} este sistem liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt în V ¸si {v1, v2, ..., vn} este<br />
sistem <strong>de</strong> generatori rezultă că k ≤ n.<br />
b) Orice bază a lui W poate fi extinsă pâna la o bază a lui V . Deoarece dim W =<br />
dim V rezultă că orice bază a lui W este în acela¸si timp bază a lui V.<br />
Propozit¸ia 2.26 Dacă W1 ⊆ V ¸si W2 ⊆ V sunt subspat¸ii vectoriale atunci<br />
este subspat¸iu vectorial al lui V .<br />
W = W1 ∩ W2<br />
ej
Spat¸ii vectoriale 43<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
x, y ∈ W<br />
α, β ∈ K<br />
<br />
=⇒<br />
x, y ∈ W1<br />
x, y ∈ W2<br />
α, β ∈ K<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
=⇒ αx + βy ∈ W1<br />
αx + βy ∈ W2<br />
<br />
=⇒ αx + βy ∈ W.<br />
Observat¸ia 2.10 In general, reuniunea a două subspat¸ii vectoriale ale unui spat¸iu<br />
vectorial V nu este un subspat¸iu vectorial. De exemplu,<br />
W1 = {(x, 0) | x ∈ R} si W2 = {(0, y) | y ∈ R}<br />
sunt subspat¸ii vectoriale ale lui R 2 , dar W = W1 ∪ W2 nu este subspat¸iu vectorial al<br />
lui R 2 . Intr-a<strong>de</strong>văr, (1, 0) ∈ W ¸si (0, 1) ∈ W dar (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) ∈ W .<br />
Propozit¸ia 2.27 Dacă W1 ⊆ V ¸si W2 ⊆ V sunt subspat¸ii vectoriale atunci<br />
este subspat¸iu vectorial al lui V .<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
w1 + w2 ∈ W1 + W2<br />
w ′ 1 + w′ 2 ∈ W1 + W2<br />
α, β ∈ K<br />
W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭ =⇒<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
α(w1 + w2) + β(w ′ 1 + w′ 2 )<br />
= (αw1 + βw ′ 1 ) + (αw2 + βw ′ 2 ) ∈ W1 + W2.<br />
Definit¸ia 2.28 Fie W1, W2 două subspat¸ii vectoriale ale lui V . Subspat¸iul vectorial<br />
W1 + W2 = {w1 + w2 | w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}<br />
se nume¸ste suma subspat¸iilor W1 ¸si W2.<br />
Exercit¸iul 2.21 Să se arate că:<br />
a) W1 = {(x, 0) | x ∈ R} este subspat¸iu vectorial al lui R 2 .<br />
b) W1 = {(0, y) | y ∈ R} este subspat¸iu vectorial al lui R 2 .<br />
c) W1 + W2 = R 2 .<br />
Teorema 2.29 (a dimensiunii) Dacă W1 ¸si W2 sunt subspat¸ii ale lui V atunci<br />
dim (W1 + W2) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩ W2).
44 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. Fie<br />
B0 = {u1, u2, ..., un}<br />
o bază a spat¸iului vectorial W1 ∩ W2 pe care o completăm până la o bază<br />
a spat¸iului vectorial W1 ¸si până la o bază<br />
a spat¸iului vectorial W2, un<strong>de</strong><br />
B1 = {u1, u2, ..., un, v1, v2, ..., vk}<br />
B2 = {u1, u2, ..., un, w1, w2, ..., wm}<br />
n = dim (W1 ∩ W2), n + k = dim W1, n + m = dim W2.<br />
Este suficient să arătăm că<br />
este o bază a lui W1 + W2.<br />
B = {u1, u2, ..., un, v1, v2, ..., vk, w1, w2, ..., wm}<br />
B este sistem <strong>de</strong> generatori. Orice vector <strong>de</strong> forma x1 + x2 cu x1 ∈ W1 si x2 ∈ W2<br />
este o combinatie <strong>liniara</strong> <strong>de</strong> vectorii lui B.<br />
B este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i. Relat¸ia<br />
α1u1 + ... + αnun + β1v1 + ... + βkvk + γ1w1 + ... + γmwm = 0 (2.6)<br />
se poate scrie sub forma<br />
α1u1 + ... + αnun + β1v1 + ... + βkvk = −γ1w1 − ... − γmwm.<br />
Egalitatea dintre vectorul α1u1 + ... + αnun + β1v1 + ... + βkvk apart¸inând lui W1 si<br />
vectorul −γ1w1 − ... − γmwm apart¸inând lui W2 este posibilă numai dacă −γ1w1 −<br />
... − γmwm ∈ W1 ∩ W2, adică dacă există δ1, δ2, ..., δ1 ∈ K încât<br />
−γ1w1 − γ2w2 − ... − γmwm = δ1u1 + δ2u2 + ... + δnun.<br />
Scriind ultima relat¸ie sub forma<br />
δ1u1 + δ2u2 + ... + δnun + γ1w1 + γ2w2 + ... + γmwm = 0
Spat¸ii vectoriale 45<br />
¸si t¸inând seama <strong>de</strong> faptul că B2 este bază în W2 rezultă<br />
Relat¸ia (2.6) <strong>de</strong>vine<br />
δ1 = δ2 = ... = δn = γ1 = γ2 = ... = γm = 0.<br />
α1u1 + ... + αnun + β1v1 + ... + βkvk = 0.<br />
Tinând seama <strong>de</strong> faptul că B1 este bază în W1 obt¸inem<br />
α1 = α2 = ... = αn = β1 = β2 = ... = βk = 0.<br />
Prin urmare B este bază a lui W1 + W2 ¸si<br />
dim(W1 + W2) = n + k + m = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩ W2).<br />
2.7 Sume directe<br />
Definit¸ia 2.30 Fie W1, W2 două subspat¸ii vectoriale ale unui spat¸iu vectorial V .<br />
Spunem că suma W1 + W2 este sumă directă si utilizăm notat¸ia W1 ⊕ W2 dacă<br />
scrierea oricărui vector w ∈ W1+W2 ca suma w = w1+w2 dintre un vector w1 ∈ W1<br />
¸si un vector w2 ∈ W2 este unică.<br />
Propozit¸ia 2.31 Fie W1, W2 două subspat¸ii vectoriale ale unui spat¸iu vectorial V .<br />
Suma W1 + W2 este sumă directă dacă ¸si numai dacă<br />
W1 ∩ W2 = {0}.<br />
Demonstrat¸ie. “=⇒” Dacă W1 ∩ W2 = {0} atunci există x ∈ W1 ∩ W2 nenul care<br />
admite reprezentările x = x + 0 ¸si x = 0 + x, ceea ce arată că suma nu este directă.<br />
“⇐=” Fie subspat¸iile W1 ¸si W2 cu W1 ∩ W2 = {0}. Dacă v ∈ W1 + W2 admite<br />
reprezentările<br />
v = w1 + w2 cu w1 ∈ W1 si w2 ∈ W2<br />
v = w ′ 1 + w′ 2 cu w ′ 1 ∈ W1 si w ′ 2 ∈ W2
46 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
atunci<br />
Scriind această relat¸ie sub forma<br />
w1 + w2 = w ′ 1 + w ′ 2.<br />
w1 − w ′ 1 = w2 − w ′ 2<br />
din w1 − w ′ 1 ∈ W1, w2 − w ′ 2 ∈ W2 ¸si W1 ∩ W2 = {0} <strong>de</strong>ducem că w1 − w ′ 1<br />
w2 − w ′ 2 = 0, adică w1 = w ′ 1 ¸si w2 = w ′ 2 , ceea ce arată că suma este directă.<br />
Exercit¸iul 2.22 Să se arate că<br />
Rezolvare. Avem<br />
Exercit¸iul 2.23 Să se arate că<br />
dar suma nu este directă.<br />
R 2 = {(x, 0) | x ∈ R} ⊕ {(0, y) | y ∈ R}.<br />
{(x, 0) | x ∈ R} + {(0, y) | y ∈ R} = R 2<br />
{(x, 0) | x ∈ R} ∩ {(0, y) | y ∈ R} = {(0, 0)}.<br />
R 3 = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} + {(x, 0, z) | x, z ∈ R}<br />
Rezolvare. Orice vector (α, β, γ) ∈ R 3 admite reprezentarea<br />
(α, β, γ) = (α, β, 0) + (0, 0, γ)<br />
cu (α, β, 0) ∈ {(x, y, 0) | x, y ∈ R} ¸si (0, 0, γ) ∈ {(x, 0, z) | x, z ∈ R}, dar<br />
{(x, y, 0) | x, y ∈ R} ∩ {(x, 0, z) | x, z ∈ R} = {(x, 0, 0) | x ∈ R}.<br />
Exercit¸iul 2.24 Să se arate că<br />
R 2 = {(α, α) | α ∈ R} ⊕ {(0, β) | β ∈ R}.<br />
Rezolvare. Orice vector (x, y) ∈ R 2 admite reprezentarea<br />
(x, y) = (x, x) + (0, y − x)<br />
= 0,
Spat¸ii vectoriale 47<br />
cu (x, x) ∈ {(α, α) | α ∈ R} ¸si (0, y − x) ∈ {(0, β) | β ∈ R}.<br />
Exercit¸iul 2.25 Să se arate că<br />
În plus<br />
{(α, α) | α ∈ R} ∩ {(0, β) | β ∈ R} = {(0, 0)}.<br />
M3×3(R) = {A ∈ M3×3(R) | A t = A } ⊕ {A ∈ M3×3(R) | A t = −A }<br />
un<strong>de</strong> A t este transpusa matricei A.<br />
Indicat¸ie. Orice matrice A ∈ M3×3(R) admite reprezentarea<br />
A = 1<br />
2 (A + At ) + 1<br />
2 (A − At )<br />
cu (A + A t ) t = A + A t ¸si (A − A t ) t = −(A − A t ).<br />
Propozit¸ia 2.32 Dacă V ¸si W sunt spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K atunci<br />
consi<strong>de</strong>rat împreună cu adunarea<br />
¸si înmult¸irea cu scalari<br />
V × W = { (x, y) | x ∈ V, y ∈ W }<br />
(x, y) + (x ′ , y ′ ) = (x + x ′ , y + y ′ )<br />
α(x, y) = (αx, αy)<br />
este spat¸iu vectorial, notat cu V ⊕ W (numit produsul direct al lui V cu W ) ¸si<br />
dim(V ⊕ W ) = dim V + dim W.<br />
Demonstrat¸ie. Dacă {v1, v2, ..., vn} ¸si {w1, w2, ..., wk} sunt baze în V ¸si W atunci<br />
este bază în V × W.<br />
{ (v1, 0), (v2, 0), ..., (vn, 0), (0, w1), (0, w2), ..., (0, wk) }<br />
Observat¸ia 2.11 Spat¸ile V ¸si W pot fi i<strong>de</strong>ntificate cu subspat¸iile<br />
{ (x, 0) | x ∈ V }, { (0, y) | y ∈ W }
48 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
ale lui V ⊕ W ¸si avem<br />
ceea ce justifică notat¸ia V ⊕ W .<br />
2.8 Spat¸ii factor<br />
{ (x, 0) | x ∈ V } ∩ { (0, y) | y ∈ W } = {(0, 0)}<br />
{ (x, 0) | x ∈ V } + { (0, y) | y ∈ W } = V ⊕ W<br />
Definit¸ia 2.33 Prin relat¸ie <strong>de</strong> echivalent¸ă pe o mult¸ime M se înt¸elege o submult¸ime<br />
R ⊆ M × M cu proprietăt¸ile:<br />
1) (x, x) ∈ R, ∀x ∈ M (reflexivitate)<br />
2)<br />
3)<br />
(x, y) ∈ R =⇒ (y, x) ∈ R<br />
(x, y) ∈ R<br />
=⇒ (x, z) ∈ R<br />
(y, z) ∈ R<br />
(simetrie)<br />
(tranzitivitate)<br />
In loc <strong>de</strong> (x, y) ∈ R se preferă să se scrie x R y sau x ∼ y.<br />
Definit¸ia 2.34 Prin partit¸ie a unei mult¸imi M se înt¸elege o familie {Mi}i∈I <strong>de</strong><br />
submult¸imi ale lui M cu proprietăt¸ile:<br />
1) Mi = ∅, ∀i ∈ I<br />
2) Mi ∩ Mj = ∅, ∀i, j ∈ I cu i = j<br />
3) <br />
i∈I Mi = M.<br />
Propozit¸ia 2.35 a) Dacă ∼ este o relat¸ie <strong>de</strong> echivalent¸ă pe M atunci mult¸imile<br />
distincte <strong>de</strong> forma<br />
ˆx = { y | y ∼ x } (clasa <strong>de</strong> echivalenta a lui x)<br />
formează o partit¸ie a lui M (se notează cu M/∼ ¸si este numită mult¸imea factor<br />
corespunzătoare relat¸iei ∼).<br />
b) Invers, dacă {Mi}i∈I este o partit¸ie a lui M atunci relat¸ia ∼ <strong>de</strong>finită prin<br />
x ∼ y daca exista i ∈ I astfel incat x, y ∈ Mi<br />
este o relat¸ie <strong>de</strong> echivalent¸ă pe M.
Spat¸ii vectoriale 49<br />
Demonstrat¸ie. a) Reunind toate clasele <strong>de</strong> echivalent¸ă obt¸inem mult¸imea M ¸si ˆx = ∅<br />
<strong>de</strong>oarece x ∈ ˆx. In plus,<br />
x ∈ ˆy ∩ ˆz =⇒<br />
<br />
x ∼ y<br />
x ∼ z<br />
=⇒ y ∼ z =⇒ ˆy = ˆz.<br />
b) Evi<strong>de</strong>nt, relat¸ia ∼ este reflexivă ¸si simetrică. Dacă x ∼ y ¸si y ∼ z atunci există<br />
i, j ∈ I astfel încât x, y ∈ Mi ¸si y, z ∈ Mj. Mult¸imile partit¸iei fiind disjuncte rezultă<br />
că Mi = Mj ¸si prin urmare x ∼ z.<br />
Propozit¸ia 2.36 Dacă V este un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si W ⊆ V este un<br />
subspat¸iu vectorial atunci relat¸ia<br />
x ∼ y daca x − y ∈ W<br />
este o relat¸ie <strong>de</strong> echivalent¸ă pe V . Pe mult¸imea factor V/∼ formată din toate clasele<br />
<strong>de</strong> echivalent¸ă<br />
relat¸iile<br />
ˆx = x + W = { x + y | y ∈ W }<br />
ˆx + ˆy = xy, αˆx = αx<br />
<strong>de</strong>finesc o structură <strong>de</strong> spat¸iu vectorial (numit spat¸iu factor ¸si notat cu V/W ).<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
x − x = 0 ∈ W =⇒ x ∼ x<br />
x ∼ y =⇒ x − y ∈ W =⇒ y − x ∈ W =⇒ y ∼ x<br />
<br />
x ∼ y<br />
=⇒<br />
y ∼ z<br />
x − y ∈ W<br />
y − z ∈ W<br />
<br />
=⇒ x − z = (x − y) + (y − z) ∈ W =⇒ x ∼ z.<br />
Deoarece W + W = { x + y | x, y ∈ W } = W ¸si αW = { αx | x ∈ W } = W avem<br />
(x + W ) + (y + W ) = x + y + W, α(x + W ) = αx + W<br />
ceea ce arata că operat¸iile cu clase <strong>de</strong> echivalent¸a sunt bine <strong>de</strong>finite (nu <strong>de</strong>pind <strong>de</strong><br />
reprezentantul ales). Elementul neutru este ˆ0 = 0 + W = W iar opusul lui ˆx este<br />
−ˆx = −x = −x + W.
50 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Exercit¸iul 2.26 Descriet¸i spat¸iul vectorial factor R 2 /W în cazul<br />
Rezolvare. In acest caz<br />
Rezultă că<br />
¸si prin urmare,<br />
W = { (x, 0) | x ∈ R }.<br />
(x, y) ∼ (x ′ , y ′ ) ⇐⇒ (x, y) − (x ′ , y ′ ) ∈ W ⇐⇒ y = y ′ .<br />
(x, y) = (x, y) + W = { (x ′ , y) | x ′ ∈ R }<br />
R 2 /W = { (0, y) | y ∈ R }.<br />
Observat¸ia 2.12 Trecerea <strong>de</strong> la R 2 la R 2 /W se realizează “ignorând” coordonata<br />
x, adică i<strong>de</strong>ntificând vectorii (x, y) din R 2 cu acela¸si y.<br />
Teorema 2.37 Dacă W este subspat¸iu vectorial al lui V atunci<br />
dim V/W = dim V − dim W.<br />
Demonstrat¸ie. Fie {v1, v2, ..., vk} o bază a lui W pe care o completăm până la o<br />
bază {v1, v2, ..., vk, vk+1, ..., vn} a lui V . Arătăm că {ˆvk+1, ˆvk+2, ... , ˆvn} este bază a<br />
lui V/W . Dacă<br />
atunci<br />
x = α1v1 + ... + αkvk + αk+1vk+1 + ... + αnvn ∈ V<br />
ˆx = α1ˆv1 + ... + αkˆvk + αk=1ˆvk+1 + ... + αnˆvn = αk+1ˆvk+1 + ... + αnˆvn.<br />
Pe <strong>de</strong> altă parte dacă<br />
atunci<br />
αk+1ˆvk+1 + αk+2ˆvk+2 + ... + αnˆvn = 0<br />
αk+1vk+1 + αk+2vk+2 + ... + αnvn ∈ W<br />
¸si <strong>de</strong>ci există α1, α2, ... , αk ∈ K astfel încât<br />
αk+1vk+1 + αk+2vk+2 + ... + αnvn = α1v1 + α2v2 + ... + αkvk<br />
relat¸ie care conduce la αk+1 = αk+2 = ... = αn = 0.
Capitolul 3<br />
Aplicat¸ii liniare<br />
3.1 Definit¸ie ¸si exemple<br />
Definit¸ia 3.1 Fie V ¸si W spat¸ii vectoriale peste acela¸si corp K (un<strong>de</strong> K = R sau<br />
K = C). O aplicat¸ie<br />
A : V −→ W : x ↦→ Ax<br />
este numită aplicat¸ie liniară (sau aplicat¸ie K-liniară, sau transformare liniară)<br />
dacă<br />
A(αx + βy) = αAx + βAy, ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K.<br />
Observat¸ia 3.1 Vom utiliza notat¸ia<br />
L(V, W )={ A : V −→ W | A(αx+βy)=αAx+βAy, ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K }.<br />
În cazul în care V = W , adică în cazul în care aplicat¸ia este <strong>de</strong> forma<br />
A : V −→ V<br />
în loc <strong>de</strong> aplicat¸ie liniară se mai utilizează termenul <strong>de</strong> operator liniar. Vom nota<br />
cu L(V ) mult¸imea operatorilor liniari <strong>de</strong>finit¸i pe V , adică<br />
L(V ) = L(V, V ).<br />
Exercit¸iul 3.1 Dacă A ∈ L(V, W ) atunci A0 = 0.<br />
51
52 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Exercit¸iul 3.2 Să se arate că<br />
este aplicat¸ie liniară.<br />
A : R 3 −→ R 2 , A(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, x1 + x3)<br />
Rezolvare. Fie α, β ∈ K ¸si x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) vectori din R 3 . Avem<br />
A(αx + βy) = A(α(x1, x2, x3) + β(y1, y2, y3))<br />
= A((αx1, αx2, αx3) + (βy1, βy2, βy3))<br />
= A(αx1 + βy1, αx2 + βy2, αx3 + βy3)<br />
= (αx1 + βy1 + 2(αx2 + βy2) − (αx3 + βy3), αx1 + βy1 + αx3 + βy3)<br />
= (αx1 + 2αx2 − αx3, αx1 + αx3) + (βy1 + 2βy2 − βy3, βy1 + βy3)<br />
= α(x1 + 2x2 − x3, x1 + x3) + β(y1 + 2y2 − y3, y1 + y3)<br />
= αA(x1, x2, x3) + βA(y1, y2, y3) = αAx + βAy.<br />
Exercit¸iul 3.3 Să se arate că<br />
este operator liniar.<br />
A : R 3 −→ R 3 , A(x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2)<br />
Exercit¸iul 3.4 Să se arate că rotat¸ia planului <strong>de</strong> unghi α este un operator liniar.<br />
Indicat¸ie. I<strong>de</strong>ntificăm planul cu spat¸iul vectorial R 2 .
Aplicat¸ii liniare 53<br />
Expresia în coordonate a rotat¸iei <strong>de</strong> unghi α este<br />
un<strong>de</strong> (a se ve<strong>de</strong>a figura)<br />
adică<br />
Rα : R 2 −→ R 2 : (x, y) ↦→ (x ′ , y ′ )<br />
x ′ = r cos(β + α) = r cos β cos α − r sin β sin α = x cos α − y sin α<br />
x ′ = r sin(β + α) = r cos β sin α + r sin β cos α = x sin α + y cos α<br />
Exercit¸iul 3.5 Fie<br />
Rα(x, y) = (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α).<br />
V = { a0x 2 + a1x + a2 | a0, a1, a2 ∈ R }<br />
spat¸iul vectorial al polinoamelor <strong>de</strong> grad cel mult 2. Să se arate că operatorul <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>rivare<br />
d<br />
: V −→ V,<br />
dx<br />
este un operator liniar.<br />
d<br />
dx (a0x 2 + a1x + a2) = 2a0x + a1<br />
Exercit¸iul 3.6 Aplicat¸ia rezultată în urma compunerii a două aplicat¸ii liniare este<br />
o aplicat¸ie liniară.<br />
3.2 Imaginea ¸si nucleul unei aplicat¸ii liniare<br />
Propozit¸ia 3.2 Dacă A : V −→ W este o aplicat¸ie liniară atunci<br />
este subspat¸iu vectorial al lui V , iar<br />
este subspat¸iu vectorial al lui W .<br />
Ker A = { x ∈ V | Ax = 0 }<br />
Im A = { Ax | x ∈ V }
54 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
x, y ∈ KerA<br />
α, β ∈ K<br />
<br />
=⇒ A(αx + βy) = αAx + βAy = 0 =⇒ αx + βy ∈ Ker A.<br />
Dacă v, w ∈ Im A atunci există x, y ∈ V încât v = Ax ¸si w = Ay. Oricare ar fi<br />
α, β ∈ K avem<br />
ceea ce arată că αv + βw ∈ Im A.<br />
αv + βw = αAx + βAy = A(αx + βy)<br />
Definit¸ia 3.3 Fie A : V −→ W o aplicat¸ie liniară. Subspat¸iul vectorial<br />
este numit nucleul lui A, iar<br />
imaginea lui A.<br />
Ker A = { x ∈ V | Ax = 0 }<br />
Im A = { Ax | x ∈ V }<br />
Teorema 3.4 Dacă V este un spat¸iu vectorial finit-dimensional ¸si A : V −→ W o<br />
aplicat¸ie liniară atunci<br />
dim V = dim Ker A + dim Im A.<br />
Demonstrat¸ie. Fie B0 = {v1, v2, ..., vk} o bază a subspat¸iului Ker A, un<strong>de</strong> k =<br />
dim Ker A. Acest sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i îl prelungim până la o bază<br />
a lui V<br />
un<strong>de</strong> n = dim V. Vom arăta că<br />
este o bază a subspat¸iului Im A.<br />
B = {v1, v2, ..., vk, vk+1, vk+2, ..., vn}<br />
B ′ = {Avk+1, Avk+2, ..., Avn}<br />
B ′ este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i. Din<br />
αk+1 Avk+1 + αk+2 Avk+2 + · · · + αn Avn = 0
Aplicat¸ii liniare 55<br />
rezultă<br />
A(αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + · · · + αn vn) = 0<br />
ceea ce arată că αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + · · · + αn vn ∈ Ker A. Sistemul <strong>de</strong> vectori B0<br />
fiind o bază in Ker A, rezultă că există α1, α2, ..., αk ∈ K astfel incât<br />
adică<br />
αk+1 vk+1 + αk+2 vk+2 + · · · + αn vn = α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk<br />
α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk − αk+1 vk+1 − αk+2 vk+2 − · · · − αn vn = 0.<br />
Deoarece B este bază în V , acestă relat¸ie este posibilă doar în cazul<br />
α1 = α2 = · · · = αk = αk+1 = αk+2 = · · · = αn = 0<br />
ceea ce arată că B ′ este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i.<br />
B ′ este sistem <strong>de</strong> generatori. Oricare ar fi y ∈ Im A există x ∈ V astfel încât y = Ax.<br />
Plecând <strong>de</strong> la reprezentarea x = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn a lui x în baza B se obt¸ine<br />
y = Ax = λ1Av1 + λ2Av2 + · · · + λkAvk + λk+1Avk+1 + · · · + λnAvn<br />
= 0 + 0 + · · · + 0 + λkAvk + λk+1Avk+1 + · · · + λnAvn<br />
ceea ce arată că B ′ este sistem <strong>de</strong> generatori pentru Im A.<br />
Exercit¸iul 3.7 Fie aplicat¸ia liniară<br />
A : R 3 −→ R 4 , A(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 − x3, 2x1 + x2, x2 − 2x3)<br />
Descriet¸i Ker A ¸si Im A indicând baze în aceste subspat¸ii.<br />
Rezolvare. Avem<br />
⎧<br />
<br />
<br />
⎪⎨<br />
<br />
<br />
<br />
Ker A = (x1, x2, x3) <br />
<br />
⎪⎩<br />
<br />
<br />
x1 + x2 + x3 = 0<br />
x1 − x3 = 0<br />
2x1 + x2 = 0<br />
x2 − 2x3 = 0<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
= { α(1, −2, 1) | α ∈ R }<br />
⎪⎭<br />
Rezultă că {(1, −2, 1)} este bază în Ker A. Completăm această bază până la baza<br />
{(1, −2, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} a lui R 3 . Din <strong>de</strong>monstrat¸ia teoremei prece<strong>de</strong>nte rezultă
56 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
că {A(0, 1, 0), A(0, 0, 1)} = {(1, 0, 1, 1), (1, −1, 0, −2)} este bază a subspat¸iului vec-<br />
torial Im A.<br />
Exercit¸iul 3.8 Fie<br />
P : R 2 −→ R 2 , A(x1, x2) = (x1, 0)<br />
Descriet¸i Ker P ¸si Im P indicând baze în aceste subspat¸ii.<br />
3.3 Izomorfisme liniare<br />
Propozit¸ia 3.5 Fie A : V −→ W o aplicat¸ie liniară.<br />
a) Aplicat¸ia A este injectivă dacă ¸si numai dacă Ker A = {0}.<br />
b) Aplicat¸ia A este surjectivă dacă ¸si numai dacă Im A = W .<br />
Demonstrat¸ie. a) S¸tim că A0 = 0. Dacă A este injectivă atunci Ax = 0 implică<br />
x = 0 ¸si <strong>de</strong>ci Ker A = {0}. Invers, dacă Ker A = {0} atunci<br />
Ax = Ay =⇒ Ax − Ay = 0 =⇒ A(x − y) = 0 =⇒ x − y = 0 =⇒ x = y.<br />
b) Afirmat¸ia rezultă din <strong>de</strong>finit¸ia subspat¸iului Im A.<br />
Exercit¸iul 3.9 Dacă A : V −→ W este o aplicat¸ie liniară injectivă atunci {v1, v2, ..., vn}<br />
este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i în V dacă ¸si numai dacă {Av1, Av2, ..., Avn}<br />
este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i în W .<br />
Rezolvare. Fie {v1, v2, ..., vn} un sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i. Relat¸ia<br />
care se mai poate scrie<br />
α1 Av1 + α2 Av2 + ... + αn Avn = 0<br />
A(α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn) = 0
Aplicat¸ii liniare 57<br />
conduce la relat¸ia<br />
α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn = 0<br />
din care rezultă α1 = α2 = ... = αn = 0. Invers, presupunând că {Av1, Av2, ..., Avn}<br />
este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i, relat¸ia<br />
implică<br />
α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn = 0<br />
α1 Av1 + α2 Av2 + ... + αn Avn = 0<br />
relat¸ie care conduce la α1 = α2 = ... = αn = 0.<br />
Propozit¸ia 3.6 Inversa unei aplicat¸ii liniare bijective este o aplicatie liniară.<br />
Demonstrat¸ie. Fie A : V −→ W o aplicat¸ie liniară bijectivă. Oricare ar fi x, y ∈ W<br />
¸si α, β ∈ K are loc relat¸ia<br />
αx + βy = αA(A −1 x) + βA(A −1 y) = A(αA −1 x + βA −1 y)<br />
¸si prin urmare A −1 (αx + βy) = αA −1 x + βA −1 y.<br />
Definit¸ia 3.7 Prin izomorfism liniar se înt¸elege o aplicat¸ie liniară bijectivă.<br />
Observat¸ia 3.2 O aplicat¸ie liniară A : V −→ W este izomorfism liniar dacă ¸si<br />
numai dacă Ker A = {0} ¸si Im A = W .<br />
Definit¸ia 3.8 Spunem că spat¸iile vectoriale V ¸si W sunt izomorfe dacă există un<br />
izomorfism liniar A : V −→ W .<br />
Teorema 3.9 Două spat¸ii vectoriale (finit dimensionale) peste acela¸si corp K sunt<br />
izomorfe dacă ¸si numai dacă au aceea¸si dimensiune<br />
Demonstrat¸ie. Fie V ¸si W spat¸ii vectoriale peste K izomorfe ¸si fie A : V −→ W un<br />
izomorfism liniar. Din relat¸iile<br />
Ker A = {0}, Im A = W, dim V = dim Ker A + dim Im A
58 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
rezultă că dim V =dim W . Invers, dacă dim V =dim W = n alegând o bază {v1, v2, ..., vn}<br />
în V ¸si o bază {w1, w2, ..., wn} în W putem <strong>de</strong>fini izomorfismul liniar<br />
A : V −→ W, A(α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn) = α1w1 + α2w2 + · · · + αnwn.<br />
Teorema 3.10 Dacă V este un spat¸iu vectorial peste K atunci orice bază B =<br />
{v1, v2, ..., vn} a lui V (cu ordinea vectorilor fixată) <strong>de</strong>fine¸ste izomorfismul<br />
A : V −→ K n , A(α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn) = (α1, α2, · · · , αn)<br />
care permite i<strong>de</strong>ntificarea lui V cu K n .<br />
Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia A este liniară, Ker A = {0} ¸si Im A = K n .<br />
Exercit¸iul 3.10 Să se arate că aplicat¸ia<br />
este un izomorfism liniar.<br />
A : R 4 −→ M2×2(R), A(x1, x2, x3, x4) =<br />
x1 x2<br />
x3 x4<br />
Exercit¸iul 3.11 Să se arate că spat¸iile vectoriale reale C ¸si R 2 sunt izomorfe.<br />
Indicat¸ie. Aplicat¸ia A : C −→ R 2 , A(x + yi) = (x, y) este un izomorfism liniar.<br />
3.4 Dualul unui spat¸iu vectorial<br />
Propozit¸ia 3.11 Dacă V este un spat¸iu vectorial peste corpul K atunci<br />
V ∗ = { ϕ : V −→ K | ϕ(αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y), ∀x, y ∈ V, ∀α, β ∈ K }<br />
înzestrat cu operat¸iile <strong>de</strong> adunare<br />
V ∗ × V ∗ −→ V ∗ : (ϕ, ψ) ↦→ ϕ + ψ un<strong>de</strong><br />
<br />
ϕ + ψ : V −→ K<br />
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x)
Aplicat¸ii liniare 59<br />
¸si înmult¸ire cu scalari<br />
K × V ∗ −→ V ∗ : (λ, ϕ) ↦→ λϕ un<strong>de</strong><br />
este spat¸iu vectorial (numit dualul lui V ).<br />
Demonstrat¸ie. Relat¸iile<br />
¸si<br />
(ϕ + ψ)(αx + βy) = ϕ(αx + βy) + ψ(αx + βy)<br />
λϕ : V −→ K<br />
(λϕ)(x) = λ ϕ(x)<br />
= αϕ(x) + βϕ(y) + αψ(x) + βψ(y) = α(ϕ + ψ)(x) + β(ϕ + ψ)(y)<br />
(λϕ)(αx + βy) = λ ϕ(αx + βy) = λ(αϕ(x) + βϕ(y)) = α(λϕ)(x) + β(λϕ)(y)<br />
arată că operat¸iile <strong>de</strong> adunare ¸si înmult¸ire cu scalari sunt bine <strong>de</strong>finite. Din relat¸ia<br />
((ϕ + ψ) + η)(x) = (ϕ + ψ)(x) + η(x) = (ϕ(x) + ψ(x)) + η(x)<br />
= ϕ(x) + (ψ(x) + η(x)) = ϕ(x) + (ψ + η)(x) = (ϕ + (ψ + η))(x)<br />
verificată oricare ar fi x ∈ V rezultă că adunarea din V ∗ este asociativă<br />
iar din relat¸ia<br />
(ϕ + ψ) + η = ϕ + (ψ + η)<br />
(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) = ψ(x) + ϕ(x) = (ψ + ϕ)(x)<br />
rezultă că adunarea din V ∗ este comutativă<br />
ϕ + ψ = ψ + ϕ.<br />
Aplicat¸ia 0 : V −→ K : x ↦→ 0 apart¸ine lui V ∗ ¸si (0 + ϕ)(x) = ϕ(x), oricare ar fi<br />
x ∈ V , adică 0 + ϕ = ϕ. Oricare ar fi ϕ ∈ V ∗ , aplicat¸ia<br />
apart¸ine lui V ¸si ϕ + (−ϕ) = 0. Avem<br />
−ϕ : V −→ K, (−ϕ)(x) = −ϕ(x)<br />
(λ(ϕ + ψ))(x) = λ (ϕ + ψ)(x) = λϕ(x) + λψ(x) = (λϕ + λψ)(x)
60 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
oricare ar fi x ∈ V , adică λ(ϕ + ψ) = λϕ + λψ. Similar se arată că<br />
(λ + µ)ϕ = λϕ + µϕ, λ(µϕ) = (λµ)ϕ, 1ϕ = ϕ.<br />
Notat¸ie. Pentru a simplifica scrierea unor expresii vom utiliza uneori indici superiori<br />
pentru a in<strong>de</strong>xa coordonatele vectorilor. Dezvoltarea<br />
x = x 1 e1 + x 2 e2 + · · · + x n en<br />
a unui vector x ∈ V în raport cu baza B = {e1, e2, ..., en} se scrie comprimat folosind<br />
convent¸ia <strong>de</strong> sumare a lui Einstein<br />
x = x i ei<br />
(indicele i care apare în produsul x i ei o dată ca indice superior ¸si o dată ca indice<br />
inferior este indice <strong>de</strong> sumare).<br />
Teorema 3.12 Oricare ar fi spat¸iul vectorial V avem<br />
dim V ∗ = dim V.<br />
Demonstrat¸ie. Fie B = {e1, e2, ..., en} o bază a lui V . Arătăm că B ∗ = {e 1 , e 2 , ..., e n },<br />
un<strong>de</strong><br />
adică<br />
e i : V −→ K, e i (ej) = δ i j =<br />
<br />
1 daca i = j<br />
0 daca i = j<br />
e i : V −→ K, e i (x 1 e1 + x 2 e2 + · · · + x n en) = x i<br />
este o bază a lui V ∗ , numită duala bazei B.<br />
B ∗ este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i. Fie<br />
adică<br />
ceea ce se mai scrie<br />
α1e 1 + α2e 2 + · · · + αne n = 0<br />
(α1e 1 + α2e 2 + · · · + αne n )(x) = 0, ∀x ∈ V<br />
α1e 1 (x) + α2e 2 (x) + · · · + αne n (x) = 0, ∀x ∈ V.
Aplicat¸ii liniare 61<br />
Alegând x = e1 obt¸inem α1 = 0, alegând x = e2 obt¸inem α2 = 0, etc.<br />
B ∗ este sistem <strong>de</strong> generatori. Dacă ϕ ∈ V ∗ atunci notând ϕi = ϕ(ei) obtinem<br />
ϕ(x) = ϕ(x 1 e1 + x 2 e2 + · · · + x n en) = x 1 ϕ(e1) + x 2 ϕ(e2) + · · · + x n ϕ(en)<br />
= e 1 (x) ϕ1 + e 2 (x) ϕ2 + · · · + e n (x) ϕn = (ϕ1e 1 + ϕ2e 2 + · · · + ϕne n )(x)<br />
oricare ar fi x ∈ V , adică<br />
3.5 Tensori<br />
ϕ = ϕ1e 1 + ϕ2e 2 + · · · + ϕne n = ϕie i .<br />
Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K ¸si fie două baze ale lui V<br />
¸si<br />
B = {e1, e2, ..., en} (baza veche)<br />
B ′ = {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n} (baza noua)<br />
B ∗ = {e 1 , e 2 , ..., e n }<br />
B ′∗ = {e ′1 , e ′2 , ..., e ′n }<br />
dualele lor. Fiecare vector x ∈ V se poate <strong>de</strong>zvolta în raport cu cele două baze<br />
¸si am arătat că<br />
x = x i ei = x ′j e ′ j<br />
x i = e i (x), x ′j = e ′j (x).<br />
Similar, fiecare element ϕ ∈ V ∗ admite <strong>de</strong>zvoltările<br />
¸si<br />
ϕ = ϕi e i = ϕ ′ j e ′j<br />
ϕi = ϕ(ei), ϕ ′ j = ϕ(e ′ j).
62 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Utilizând un indice inferior si unul superior pentru elementele matricei <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong><br />
la baza B la baza B ′ relat¸iile<br />
se scriu comprimat<br />
iar matricea <strong>de</strong> trecere este<br />
e ′ 1 = α1 1 e1 + α 2 1 e2 + · · · + α n 1 en = α i 1 ei<br />
e ′ 2 = α1 2 e1 + α 2 2 e2 + · · · + α n 2 en = α i 2 ei<br />
.......................................................<br />
e ′ n = α 1 ne1 + α 2 ne2 + · · · + α n nen = α i nei<br />
e ′ i = α j<br />
i ej<br />
⎛<br />
α<br />
⎜<br />
S = ⎜<br />
⎝<br />
1 1 α1 2 · · · α1 α<br />
n<br />
2 1 α2 2 · · · α2 · · · · · · · · ·<br />
n<br />
· · ·<br />
αn 1 αn 2 · · · αn ⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
Propozit¸ia 3.13 Matricea S este inversabilă ¸si inversa ei<br />
este matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la B ′ la B.<br />
S −1 ⎛<br />
β<br />
⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
1 1 β1 2 · · · β1 β<br />
n<br />
2 1 β2 2 · · · β2 · · · · · · · · ·<br />
n<br />
· · ·<br />
βn 1 βn 2 · · · βn ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
Demonstrat¸ie. Fie ej = βk j e′ k . Din relat¸iile<br />
ej = β k j e ′ k = β k j α i k ei, e ′ i = α j<br />
i ej = α j<br />
i βk j e ′ k<br />
rezultă t¸inând seama <strong>de</strong> unicitatea reprezentării unui vector în raport cu o bază că<br />
β k j α i k = δ i j, α j<br />
i βk j = δ k i . (3.1)
Aplicat¸ii liniare 63<br />
Teorema 3.14 Cu notat¸iile <strong>de</strong> mai sus<br />
e ′ i<br />
Demonstrat¸ie. Din relat¸ia<br />
rezultă<br />
¸si t¸inând seama <strong>de</strong> (3.1)<br />
adică<br />
= αj<br />
i ej<br />
x = x j ej = x ′i e ′ i<br />
ϕ = ϕj e j = ϕ ′ i e′i<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭<br />
=⇒<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x j ej = x ′i e ′ i = x ′i α j<br />
i ej<br />
x j = α j<br />
i x′i<br />
x ′i = β i j xj<br />
e ′i = β i j ej<br />
ϕ ′ i<br />
β k j x j = β k j α j<br />
i x′i = δ k i x ′i = x ′k<br />
x ′k = β k j x j .<br />
= αj<br />
i ϕj<br />
Deoarece x ′k = e ′k (x) ¸si x j = e j (x) relat¸ia anterioară se poate scrie sub forma<br />
sau<br />
e ′k (x) = β k j e j (x)<br />
e ′k (x) = (β k j e j )(x).<br />
Relat¸ia având loc pentru oricare x ∈ V rezultă<br />
Folosind liniaritatea lui ϕ obt¸inem<br />
e ′k = β k j ej.<br />
ϕ ′ i = ϕ(e ′ i) = ϕ(α j<br />
i ej) = α j<br />
i ϕ(ej) = α j<br />
i ϕj.<br />
Observat¸ia 3.3 Coordonatele noi x ′i ale unui vector x ∈ V se exprimă cu ajutorul<br />
coordonatelor vechi x j prin formula x ′i = β i j xj similară cu formula e ′i = β i j ej <strong>de</strong><br />
schimbare a bazei duale. Formula ϕ ′ i<br />
= αj i ϕj este similară cu e ′ i = αj i ej.
64 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Observat¸ia 3.4 Vectorii x ∈ V sunt obiecte matematice care în raport cu fiecare<br />
bază B a lui V sunt <strong>de</strong>scrise prin coordonatele x 1 , x 2 , ..., x n ¸si care la o schimbare<br />
<strong>de</strong> bază e ′ i<br />
= αj<br />
i ej se schimbă după formula<br />
x ′i = β i j x j .<br />
Similar, elementele ϕ ∈ V ∗ (numite forme liniare sau 1-forme) sunt obiecte<br />
matematice care in raport cu fiecare bază B ∗ sunt <strong>de</strong>scrise prin coordonatele ϕ1, ϕ2, ..., ϕn<br />
¸si care la o schimbare <strong>de</strong> bază e ′ i<br />
= αj<br />
i ej se schimbă după formula<br />
ϕ ′ i = α j<br />
i ϕj.<br />
Definit¸ia 3.15 Prin tensor <strong>de</strong> tip (p, q) (adică, tensor <strong>de</strong> p ori contravariant ¸si<br />
<strong>de</strong> q ori covariant) se înt¸elege un obiect matematic T <strong>de</strong>scris în raport cu fiecare<br />
bază B a lui V prin coordonatele T i1i2...ip<br />
j1j2...jq ¸si care la o schimbare <strong>de</strong> bază e′ i = αj i ej<br />
se schimbă după formula<br />
T ′i1i2...ip<br />
= βi1<br />
j1j2...jq k1 βi2<br />
k2<br />
· · · βip<br />
kp αm1<br />
j1 αm2 · · · α j2 mq k1k2...kp T jq m1m2...mq .<br />
Observat¸ia 3.5 <strong>Elemente</strong>le spat¸iului vectorial V sunt tensori <strong>de</strong> tip (1, 0), iar ele-<br />
mentele lui V ∗ sunt tensori <strong>de</strong> tip (0, 1).<br />
Observat¸ia 3.6 Un tensor <strong>de</strong> tip (1, 1) este <strong>de</strong>scris prin coordonatele T i j<br />
schimbarea bazei se schimbă după formula<br />
T ′i<br />
j = β i k α m j T k m.<br />
În cazul unui tensor <strong>de</strong> două ori contravariant formula <strong>de</strong>vine<br />
T ′ij = β i k β j m T km<br />
iar in cazul unui tensor <strong>de</strong> două ori covariant<br />
T ′<br />
ij = α k i α m j Tkm.<br />
care la<br />
Observat¸ia 3.7 Un tensor este complet <strong>de</strong>terminat dacă i se cunosc coordonatele<br />
într-o bază fixată.
Aplicat¸ii liniare 65<br />
Propozit¸ia 3.16 (Suma a doi tensori). Dacă A i1i2...ip<br />
¸si Bi1i2...ip sunt coordonatele<br />
j1j2...jq j1j2...jq<br />
a doi tensori A ¸si B <strong>de</strong> tip (p, q) atunci<br />
T i1i2...ip<br />
= Ai1i2...ip + Bi1i2...ip<br />
j1j2...jq j1j2...jq j1j2...jq<br />
sunt coordonatele unui tensor <strong>de</strong> tip (p, q) notat cu A + B, adică<br />
Demonstrat¸ie (cazul p = q = 1). Avem<br />
(A + B) i1i2...ip<br />
= Ai1i2...ip + Bi1i2...ip<br />
j1j2...jq j1j2...jq j1j2...jq .<br />
T ′i<br />
j = A ′i<br />
j + B ′i<br />
j = β i k α m j A k m + β i k α m j B k m = β i k α m j (A k m + B k m) = β i k α m j T k m.<br />
Propozit¸ia 3.17 ( Înmult¸irea unui tensor cu un scalar). Dacă λ ∈ K ¸si Ai1i2...ip j1j2...jq<br />
sunt coordonatele unui tensor A <strong>de</strong> tip (p, q) atunci<br />
T i1i2...ip<br />
= λAi1i2...ip<br />
j1j2...jq j1j2...jq<br />
sunt coordonatele unui tensor <strong>de</strong> tip (p, q) notat cu λA, adică<br />
Demonstrat¸ie (cazul p = q = 1). Avem<br />
(λA) i1i2...ip<br />
= λAi1i2...ip<br />
j1j2...jq j1j2...jq .<br />
T ′i<br />
j = λA ′i<br />
j = λβ i k α m j A k m = β i k α m j T k m.<br />
Propozit¸ia 3.18 ( Produsul tensorial a doi tensori, într-un caz particular). Dacă<br />
A i jk sunt coordonatele unui tensor A <strong>de</strong> tip (1, 2) ¸si Bl m sunt coordonatele unui tensor<br />
B <strong>de</strong> tip (1, 1) atunci<br />
T il<br />
jkm = A i jk · B l m<br />
sunt coordonatele unui tensor <strong>de</strong> tip (2, 3) notat cu A ⊗ B, adică<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
(A ⊗ B) il<br />
jkm = A i jk · B l m.<br />
T ′il<br />
jkm = A ′i<br />
jk · B ′l<br />
m = β i a α b j α c k A a bc β l r α s m B r s = β i a β l r α b j α c k α s m T ar<br />
bcs.
66 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Observat¸ia 3.8 Generalizarea <strong>de</strong>finit¸iei produsului tensorial la tensori <strong>de</strong> orice tip<br />
este imediată. Produsul tensorial x ⊗ ϕ dintre un vector x ∈ V si o 1-formă ϕ ∈ V ∗<br />
are coordonatele<br />
(x ⊗ ϕ) i j = x i ϕj<br />
iar produsul tensorial x ⊗ y a doi vectori coordonatele<br />
(x ⊗ y) ij = x i y j .<br />
Propozit¸ia 3.19 ( Contract¸ia unui tensor, într-un caz particular). Fie A ij<br />
klm coordonatele<br />
unui tensor A <strong>de</strong> tip (2, 3). Numerele<br />
T j<br />
km =<br />
n<br />
i=1<br />
A ij<br />
kim<br />
sunt coordonatele unui tensor <strong>de</strong> tip (1, 2) obt¸inut prin contract¸ia lui A în raport cu<br />
primul indice <strong>de</strong> contravariant¸ă ¸si al doilea indice <strong>de</strong> covariant¸ă.<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
T ′j<br />
km = n i=1 A ′ij<br />
kim<br />
= n i=1 β i aβ j<br />
= β j<br />
b αc k αr m<br />
bαc kαd i αr mAab <br />
δd aAab <br />
cdr = β j<br />
bαc kαr m<br />
<br />
β j<br />
cdr =<br />
ni=1 βi aαd i<br />
na=1 Aab car<br />
bαc kαr mAab <br />
cdr = δd aβ j<br />
= β j<br />
b αc k αr mT b cr.<br />
bαc kαr mAab cdr<br />
Observat¸ia 3.9 Operat¸ia <strong>de</strong> contract¸ie se poate face în raport cu orice pereche <strong>de</strong><br />
indici formată dintr-un indice <strong>de</strong> contravariant¸ă (superior) ¸si un indice <strong>de</strong> covariant¸ă<br />
(inferior).<br />
Exercit¸iul 3.12 Să se arate că dacă x ∈ V ¸si ϕ ∈ V ∗ atunci numărul<br />
este un tensor <strong>de</strong> tip (0, 0), numit scalar.<br />
γ = x i ϕi<br />
Rezolvare. Numărul γ se obt¸ine prin contract¸ie din x ⊗ ϕ ¸si nu <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> baza<br />
aleasă<br />
γ ′ n<br />
= x<br />
i=1<br />
′i ϕ ′ n<br />
i = β<br />
i=1<br />
i jα k i x j ϕk = δ k j x j ϕk = x j ϕj = γ.
Aplicat¸ii liniare 67<br />
Exercit¸iul 3.13 Să se arate că obiectul matematic care are coordonatele<br />
T i j = δ i j =<br />
1 daca i = j<br />
0 daca i = j<br />
indiferent <strong>de</strong> baza utilizată, este un tensor <strong>de</strong> tip (1, 1).<br />
Rezolvare. Avem<br />
T ′i<br />
j = δ i j = β i kα k j = β i kα m j δ k m = β i kα m j T k m.<br />
Propozit¸ia 3.20 Orice operator liniar A : V −→ V este un tensor <strong>de</strong> tip (1, 1) ale<br />
cărui coordonate într-o bază B = {e1, e2, ..., en} sunt coeficient¸ii A j<br />
i<br />
Demonstrat¸ie. Din relat¸ia Ae ′ i<br />
relat¸ie care scrisă sub forma<br />
conduce la<br />
adică<br />
Din această relat¸ie obt¸inem<br />
relat¸ie echivalentă cu<br />
<strong>de</strong>oarece β s mα m j A′j<br />
i = δs j A′j<br />
i = A′s i .<br />
Aei = A j<br />
i ej.<br />
= A′j<br />
i e′ j rezultă<br />
A(α k i ek) = A ′j<br />
i α m j em<br />
α k i Aek = α m j A ′j<br />
i em<br />
α k i A m k em = α m j A ′j<br />
i em<br />
α k i A m k = α m j A ′j<br />
i .<br />
β s m α k i A m k = β s m α m j A ′j<br />
i<br />
A ′s<br />
i = β s m α k i A m k<br />
din <strong>de</strong>zvoltarea
68 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Definit¸ia 3.21 Spunem că aplicat¸ia g : V ×V −→ K este o aplicat¸ie biliniară dacă<br />
oricare ar fi x, y, z ∈ V ¸si α, β ∈ K.<br />
g(αx + βy, z) = αg(x, z) + βg(y, z)<br />
g(x, αy + βz) = αg(x, y) + βg(x, z)<br />
Propozit¸ia 3.22 Orice aplicat¸ie biliniară g : V × V −→ K este un tensor <strong>de</strong> tip<br />
(0, 2) ale cărui coordonate în baza B = {e1, e2, ..., en} sunt numerele gij = g(ei, ej).<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
g ′ ij = g(e ′ i, e ′ j) = g(α k i ek, α m j em) = α k i α m j g(ek, em) = α k i α m j gkm.<br />
Definit¸ia 3.23 Aplicat¸ia g : V ∗ × V −→ K este numită aplicat¸ie biliniară dacă<br />
este liniară în fiecare argument, adică<br />
g(αϕ + βψ, x) = αg(ϕ, x) + βg(ψ, x)<br />
g(ϕ, αx + βy) = αg(ϕ, x) + βg(ϕ, y)<br />
oricare ar fi ϕ, ψ ∈ V ∗ , x, y ∈ V ¸si α, β ∈ K.<br />
Propozit¸ia 3.24 Orice aplicat¸ie biliniară g : V ∗ × V −→ K este un tensor <strong>de</strong> tip<br />
(1, 1) ale cărui coordonate intr-o bază B = {e1, e2, ..., en} cu duala B ∗ = {e 1 , e 2 , ..., e n }<br />
sunt g i j = g(ei , ej).<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
g ′i<br />
j = g(e ′i , e ′ j) = g(β i k e k , α m j em) = β i k α m j g(e k , em) = β i k α m j g k m.<br />
Propozit¸ia 3.25 Orice tensor <strong>de</strong> tip (1, 1) poate fi i<strong>de</strong>ntificat cu o aplicat¸ie biliniară<br />
g : V ∗ × V −→ K.<br />
Demonstrat¸ie. Folosind coordonatele T i j<br />
fixată B = {e1, e2, ..., en} cu duala B∗ = {e1 , e2 , ..., en } <strong>de</strong>finim aplicatia biliniară<br />
ale tensorului T <strong>de</strong> tip (1, 1) într-o bază<br />
g : V ∗ × V −→ K, g(ϕ, x) = g(ϕi e i , x j ej) = T i j ϕi x j .
Aplicat¸ii liniare 69<br />
Aplicat¸ia g astfel <strong>de</strong>finită nu <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> alegerea bazei B utilizate <strong>de</strong>oarece alegând<br />
altă bază B ′ obt¸inem<br />
g(ϕ ′ k e′k , x ′m e ′ m) = T ′k m ϕ ′ k x′m = β k a α b m T a b αi k ϕi β m j xj<br />
= δ i a δ b j T a b ϕi x j = T i j ϕi x j .<br />
Observat¸ia 3.10 Rezultatele prezentate mai sus pot fi generalizate în mod natural.<br />
Orice aplicat¸ie (p + q)-liniară<br />
T : V ∗ × V ∗ × · · · × V ∗<br />
<br />
p ori<br />
× V × V × · · · × V −→ K<br />
<br />
q ori<br />
este un tensor <strong>de</strong> tip (p, q) ale cărui coordonate într-o bază B = {e1, e2, ..., en} cu<br />
duala B ∗ = {e 1 , e 2 , ..., e n } sunt<br />
T i1i2...ip<br />
j1j2...jq = T (ei1 i2 ip , e , ..., e , ej1 , ej2 , ..., ejq)<br />
¸si fiecărui tensor <strong>de</strong> tip (p, q) îi corespun<strong>de</strong> în mod natural o astfel <strong>de</strong> aplicat¸ie<br />
(p + q)-liniară.<br />
Observat¸ia 3.11 Plecând <strong>de</strong> la dualul V ∗ al lui V se poate <strong>de</strong>fini dualul dualului<br />
lui V<br />
V ∗∗ = (V ∗ ) ∗<br />
numit bidualul lui V . Se poate arăta că V ∗∗ se poate i<strong>de</strong>ntifica în mod natural cu<br />
V asociind lui x ∈ V aplicat¸ia liniară<br />
apart¸inând bidualului lui V .<br />
V ∗ −→ K : ϕ ↦→ ϕ(x)<br />
Observat¸ia 3.12 Dacă ϕ : V −→ K ¸si ψ : W −→ K sunt aplicat¸ii liniare atunci<br />
g : V × W −→ K, g(v, w) = ϕ(v) · ψ(w)<br />
este o aplicat¸ie biliniară numită produsul tensorial al lui ϕ cu ψ ¸si notată cu ϕ ⊗ ψ.
70 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
3.6 Matricea unei aplicat¸ii liniare<br />
Fie V ¸si W spat¸ii vectoriale peste K,<br />
aplicat¸ie liniară<br />
baze în V , respectiv W ¸si fie<br />
relat¸ii care se pot scrie comprimat<br />
A : V −→ W<br />
BV = {v1, v2, ..., vn}, BW = {w1, w2, ..., wk}<br />
Av1 = a11w1 + a21w2 + · · · + ak1wk<br />
Av2 = a12w1 + a22w2 + · · · + ak2wk<br />
.........................................<br />
Avn = a1nw1 + a2nw2 + · · · + aknwk<br />
Avi =<br />
n<br />
ajiwj.<br />
Deoarece orice vector se poate reprezenta în mod unic sub forma<br />
j=1<br />
n<br />
x = x1v1 + x2v2 + · · · + xnvn = xivi<br />
i=1<br />
rezultă că<br />
<br />
n<br />
<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
n<br />
n n<br />
n n<br />
Ax = A xivi = xi Avi = xi ⎝ aji wj⎠<br />
= ⎝ aji xi⎠<br />
wj<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1 j=1<br />
i=1 j=1<br />
ceea ce arată că aplicat¸ia liniară A este complet <strong>de</strong>terminată <strong>de</strong> matricea<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ a21<br />
⎜<br />
A = ⎜ .<br />
⎝<br />
a12<br />
a22<br />
.<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
.<br />
a1n<br />
a2n<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ak1 ak2 · · · akn
Aplicat¸ii liniare 71<br />
numită matricea lui A în raport cu bazele BV ¸si BW .<br />
Observat¸ia 3.13 Punând<br />
x = x1v1 + x2v2 + · · · + xnvn, y = Ax = y1w1 + y2w2 + · · · + ykwk<br />
coordonatele lui x ¸si y = Ax verifică relat¸ia matriceală<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
y1 a11 a12 · · · a1n x1<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ y2 ⎟ ⎜ a21 a22 · · · a2n ⎟ ⎜ x2 ⎟<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ = ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟ .<br />
⎜ ⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ . ⎟ ⎜ . . . . ⎟ ⎜ . ⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝<br />
⎠ ⎝ ⎠<br />
yk<br />
ak1 ak2 · · · akn<br />
Exercit¸iul 3.14 Să se <strong>de</strong>termine matricea aplicat¸iei<br />
în raport cu bazele<br />
în R 2 ¸si<br />
în R 3 .<br />
A : R 2 −→ R 3 , A(x1, x2) = (2x1 − 3x2, x1 + 2x2, x1 − x2)<br />
Rezolvare. Din relat¸iile<br />
rezultă că matricea căutată este<br />
{v1 = (1, 1), v2 = (1, −1)}<br />
xn<br />
{w1 = (1, 0, 0), w2 = (0, 1, 0), w3 = (0, 0, 1)}<br />
Av1 = A(1, 1) = (−1, 3, 0) = −1 w1 + 3 w2 + 0 w3<br />
Av2 = A(1, −1) = (5, −1, 2) = 5 w1 − 1 w2 + 2 w3<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
−1 5<br />
3 −1<br />
0 2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
72 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 3.26 Fie A : U −→ V , B : V −→ W două aplicat¸ii liniare¸si fie BU,<br />
BV ¸si BW baze în spat¸iile vectoriale U, V ¸si W respectiv. Matricea aplicat¸iei<br />
BA : U −→ W, (BA)x = B(Ax)<br />
în raport cu bazele BU, BW este produsul dintre matricea aplicat¸iei B în raport cu<br />
bazele BV , BW ¸si matricea aplicat¸iei A în raport cu bazele BU, BV .<br />
Demonstrat¸ie. Fie BU ={u1, u2, ..., un}, BV ={v1, v2, ..., vm} ¸si BW ={w1, w2, ..., wp}.<br />
Dacă<br />
atunci<br />
Aui =<br />
m<br />
aji vj, Bvj =<br />
j=1<br />
p<br />
bkj wk<br />
k=1<br />
(BA)ui = B(Aui) = B m j=1 aji vj = m j=1 aji Bvj<br />
= m j=1 aji<br />
p k=1 bkj wk = <br />
p mj=1 <br />
k=1<br />
bkjaji wk.<br />
Observat¸ia 3.14 În cazul unei aplicat¸ii A : V −→ V alegem, în general, o singură<br />
bază.<br />
Teorema 3.27 La o schimbare <strong>de</strong> bază matricea unei aplicat¸ii liniare se schimbă<br />
după formula<br />
A ′ = S −1 AS<br />
un<strong>de</strong> S este matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la baza veche la baza nouă.<br />
Demonstrat¸ie. Fie bazele B = {e1, e2, ..., en}, B ′ = {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n},<br />
⎛<br />
α11<br />
⎜ α21<br />
S = ⎜ · · ·<br />
⎝<br />
α12<br />
α22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
α1n<br />
α2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
un<strong>de</strong> e ′ n<br />
i = αji ej<br />
j=1<br />
αn1 αn2 · · · αnn<br />
matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la B la B ′ ¸si fie<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ a21<br />
A = ⎜ · · ·<br />
⎝<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ak1 ak2 · · · akn<br />
un<strong>de</strong> Aei =<br />
n<br />
aki ek<br />
k=1
Aplicat¸ii liniare 73<br />
¸si<br />
A ′ ⎛<br />
a<br />
⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
′ 11 a′ 12 · · · a ′ a<br />
1n<br />
′ 21 a′ 22 · · · a ′ · · · · · · · · ·<br />
2n<br />
· · ·<br />
a ′ k1 a′ k2 · · · a ′ ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
kn<br />
matricele lui A în raport cu B ¸si respectiv B ′ . Din relat¸iile<br />
rezultă<br />
Ae ′ i<br />
nj=1 <br />
= A αji ej<br />
Ae ′ i = n j=1 a ′ ji e′ j = n j=1 a ′ nk=1 ji αkj ek<br />
un<strong>de</strong> Ae ′ n<br />
i = aki e<br />
k=1<br />
′ k<br />
= n j=1 αji Aej = n nk=1 j=1 αji akj ek<br />
n<br />
αkj a<br />
j=1<br />
′ n<br />
ji = akjαji<br />
j=1<br />
adică relat¸ia SA ′ = AS care implică A ′ = S −1 AS.<br />
3.7 Vectori ¸si valori proprii<br />
Definit¸ia 3.28 Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si A : V −→ V un operator liniar.<br />
Spunem că numărul λ ∈ K este valoare proprie a lui A dacă există un vector v = 0,<br />
numit vector propriu corespunzător valorii λ, astfel încât<br />
Av = λv.<br />
Propozit¸ia 3.29 Dacă λ este valoare proprie a operatorului A : V −→ V atunci<br />
Vλ = {x ∈ V | Ax = λx}<br />
este subspat¸iu vectorial al lui V (numit subspat¸iul propriu corespunzător lui λ).<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
x, y ∈ Vλ<br />
α, β ∈ K<br />
<br />
=⇒ A(αx + βy) = αAx + βAy = αλx + βλy = λ(αx + βy).
74 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Exercit¸iul 3.15 Să se afle valorile proprii ale operatorului<br />
A : R 3 −→ R 3 , A(x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2)<br />
¸si să se <strong>de</strong>termine subspat¸iile proprii corespunzătoare.<br />
Rezolvare. Fie λ valoare proprie a lui A. Rezultă că există x = (x1, x2, x3) = (0, 0, 0)<br />
încât<br />
adică<br />
A(x1, x2, x3) = λ(x1, x2, x3)<br />
(x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2) = (λx1, λx2, λx3)<br />
ceea ce este echivalent cu faptul că sistemul omogen<br />
adică<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x2 + x3 = λx1<br />
x1 + x3 = λx2<br />
x1 + x2 = λx3<br />
−λx1 + x2 + x3 = 0<br />
x1 − λx2 + x3 = 0<br />
x1 + x2 − λx3 = 0<br />
admite ¸si alte solut¸ii în afară <strong>de</strong> (x1, x2, x3) = (0, 0, 0). S¸tim că acest lucru se<br />
întâmplă dacă ¸si numai dacă λ este astfel incât<br />
adică<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
−λ 1 1 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 −λ 1 <br />
= 0 (3.2)<br />
<br />
<br />
1 1 −λ <br />
λ 3 − 3λ − 2 = 0
Aplicat¸ii liniare 75<br />
relat¸ie care conduce la valorile proprii λ1 = λ2 = −1 ¸si λ3 = 2. Avem<br />
¸si<br />
V−1 = { x ∈ R 3 | Ax = −x }<br />
= { (x1, x2, x3) | (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2) = (−x1, −x2, −x3) }<br />
= { (x1, x2, x3) | x1 + x2 + x3 = 0 } = { (α, β, −α − β) | α, β ∈ R }<br />
= { α(1, 0, −1) + β(0, 1, −1) | α, β ∈ R }<br />
V2 = { x ∈ R 3 | Ax = 2x } = {(x1, x2, x3) | x1 = x2 = x3 } = {α(1, 1, 1) | α ∈ R }.<br />
Observat¸ia 3.15 În raport cu baza canonică {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, matricea<br />
lui A este<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 1 1<br />
1 0 1<br />
1 1 0<br />
iar ecuat¸ia (3.2) s-a obt¸inut scăzând λ din fiecare element situat pe diagonala prin-<br />
cipală. Ecuat¸ia (3.2) se mai poate scrie<br />
un<strong>de</strong><br />
este matricea unitate.<br />
<strong>de</strong>t(A − λI) = 0<br />
I =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 1<br />
Propozit¸ia 3.30 Polinomul (numit polinomul caracteristic)<br />
<br />
<br />
a11 − λ<br />
<br />
<br />
a21<br />
P (λ) = <strong>de</strong>t(A − λI) = <br />
<br />
· · ·<br />
<br />
<br />
an1<br />
a12<br />
a22 − λ<br />
· · ·<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
ann − λ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
asociat unui operator liniar A : V −→ V folosind matricea într-o bază fixată nu<br />
<strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> baza aleasă.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
76 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
<strong>de</strong>t(A ′ − λI) = <strong>de</strong>t(S −1 AS − λI) = <strong>de</strong>t(S −1 (A − λI)S)<br />
= <strong>de</strong>tS−1 <strong>de</strong>t(A − λI) <strong>de</strong>tS = 1<br />
<strong>de</strong>tS <strong>de</strong>t(A − λI) <strong>de</strong>tS = <strong>de</strong>t(A − λI).<br />
Observat¸ia 3.16 Deoarece<br />
P (λ) = (−1) n λ n + (−1) n−1 (a11 + a22 + ... + ann)λ n−1 + ... + <strong>de</strong>t A<br />
rezultă că în cazul unui operator liniar A : V −→ V , parametrii<br />
tr A = a11 + a22 + ... + ann<br />
(urma operatorului) ¸si <strong>de</strong>t A <strong>de</strong>finit¸i cu ajutorul unei baze nu <strong>de</strong>pind <strong>de</strong> baza aleasă.<br />
Teorema 3.31 Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si fie A : V −→ V un operator<br />
liniar. Numărul λ ∈ K este valoare proprie a lui A dacă ¸si numai dacă este rădăcină<br />
a polinomului caracteristic, adică dacă P (λ) = 0.<br />
Demonstrat¸ie. Conform <strong>de</strong>finit¸iei, λ ∈ K este valoare proprie dacă ¸si numai dacă<br />
există x = 0 cu Ax = λx.<br />
sistemul ⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
Într-o bază fixată, acest lucru este echivalent cu faptul că<br />
(a11 − λ)x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0<br />
a21x1 + (a22 − λ)x2 + · · · + a2nxn = 0<br />
...................................................<br />
an1x1 + an2x2 + · · · + (ann − λ)xn = 0<br />
are ¸si alte solut¸ii în afară <strong>de</strong> (0, 0, ..., 0), ceea ce are loc dacă ¸si numai dacă<br />
<br />
<br />
<br />
a11 − λ a12 · · · a1n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a21 a22 − λ · · · a2n <br />
<br />
<br />
<br />
= 0.<br />
· · · · · · · · · · · · <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
an1 an2 · · · ann − λ <br />
În cazul în care V este spat¸iu vectorial real numai rădăcinile reale ale polinomului<br />
caracteristic sunt valori proprii ale lui A.
Aplicat¸ii liniare 77<br />
Definit¸ia 3.32 Fie A : V −→ V un operator liniar. Spunem că subspat¸iul W ⊆ V<br />
este subspat¸iu invariant dacă<br />
adică dacă<br />
A(W ) ⊆ W<br />
w ∈ W =⇒ Aw ∈ W.<br />
Propozit¸ia 3.33 Subspat¸iile proprii ale unui operator liniar sunt subspat¸ii invari-<br />
ante.<br />
Demonstrat¸ie. Fie A : V −→ V un operator liniar, λ o valoare proprie a lui A ¸si fie<br />
Vλ subspat¸iul propriu corespunzător. Dacă w ∈ Vλ atunci Aw = λw ∈ Vλ.<br />
Exercit¸iul 3.16 Arătat¸i că în cazul rotat¸iei <strong>de</strong> unghi α în jurul axei Oz<br />
Rα : R 3 −→ R 3 , Rα(x, y, z) = (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α, z)<br />
subspat¸iile<br />
sunt subspat¸ii invariante.<br />
W1 = { (0, 0, z) | z ∈ R } (axa Oz)<br />
W2 = { (x, y, 0) | x, y ∈ R } (planul xOy)
78 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 3.34 Dacă subspat¸iul W ⊂ V <strong>de</strong> dimensiune m este subspat¸iu invariant<br />
al operatorului A : V −→ V atunci există o bază B = {e1, e2, ..., en} a lui V în raport<br />
cu care matricea lui A are forma<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 · · · a1m a1m+1 · · · a1n<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ a21 a22 · · · a2m a2m+1 · · · a2n<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ am1 am2 · · · amm amm+1 · · · amn ⎟<br />
A = ⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟ .<br />
⎜ 0 0 · · · 0 am+1,m+1 · · · am+1,n ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ 0 0 · · · 0 am+2,m+1 · · · am+2,n ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ⎟<br />
⎠<br />
0 0 · · · 0 an,m+1 · · · an,n<br />
Demonstrat¸ie. Baza B se poate obt¸ine completând o bază {e1, e2, ..., em} a lui W<br />
până la o bază a lui V.<br />
3.8 Forma diagonală a matricei unei aplicat¸ii liniare<br />
Am arătat că valorile proprii ale operatorului<br />
A : R 3 −→ R 3 , A(x1, x2, x3) = (x2 + x3, x1 + x3, x1 + x2)<br />
sunt λ1 = λ2 = −1, λ3 = 2 ¸si că subspat¸iile proprii corespunzătoare sunt<br />
¸si<br />
Matricea lui A în raport cu baza<br />
V−1 = { α(1, 0, −1) + β(0, 1, −1) | α, β ∈ R }<br />
V2 = {α(1, 1, 1) | α ∈ R }.<br />
{v1 = (1, 0, −1), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 1, 1)}
Aplicat¸ii liniare 79<br />
a lui R 3 formată din vectori proprii ai lui A are forma diagonală<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
−1 0 0<br />
0 −1 0<br />
0 0 2<br />
Propozit¸ia 3.35 Matricea unui operator liniar A : V −→ V în raport cu o bază B<br />
este o matrice diagonală dacă ¸si numai dacă B este formată doar din vectori proprii<br />
ai lui A.<br />
Demonstrat¸ie. Dacă B = {v1, v2, ..., vn} este o bază a lui V formată din vectori<br />
proprii ai lui A<br />
Avi = λivi<br />
(unele dintre numerele λ1, λ2, ..., λn putând fi egale) atunci matricea lui A în această<br />
bază este<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎛<br />
λ1<br />
⎜ 0<br />
⎜<br />
A = ⎜ 0<br />
⎜ · · ·<br />
⎝<br />
0<br />
λ2<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
λ3<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
0<br />
⎟<br />
0 ⎟ .<br />
⎟<br />
· · · ⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 0 · · · λn<br />
Invers, dacă matricea lui A în raport cu o bază B = {w1, w2, ..., wn} are forma<br />
diagonală<br />
atunci<br />
⎛<br />
⎜<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
α1<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
α2<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
α3<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
0<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
· · · ⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 0 · · · αn<br />
Awi = αi wi<br />
oricare ar fi i ∈ {1, 2, ..., n}. Deoarece o bază nu poate cont¸ine vectorul nul rezultă<br />
că w1, w2, ..., wn sunt vectori proprii ai lui A ¸si α1, α2, ..., αn valorile proprii core-<br />
spunzătoare.
80 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Exercit¸iul 3.17 Să se arate că nu există o bază în raport cu care matricea opera-<br />
torului<br />
să fie matrice diagonală.<br />
A : R 2 −→ R 2 , A(x1, x2) = (2x1 + x2, 2x2)<br />
Rezolvare. Este suficient să arătăm că nu există o bază a lui R 2 formată din vectori<br />
proprii ai lui A. În raport cu baza canonică {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} matricea lui A<br />
este<br />
Polinomul caracteristic<br />
A =<br />
2 1<br />
0 2<br />
<br />
<br />
<br />
2 − λ 1 <br />
<br />
P (λ) = <br />
= (2 − λ)2<br />
0 2 − λ <br />
admite rădăcinile λ1 = λ2 = 2. Singura valoare proprie este λ = 2 ¸si subspat¸iul<br />
propriu corespunzător este<br />
V2 = {(x1, x2) ∈ R 2 | A(x1, x2) = 2(x1, x2) }<br />
= {(x1, x2) ∈ R 2 | (2x1 + x2, 2x2) = (2x1, 2x2) }<br />
= {(α, 0) | α ∈ R} = {α(1, 0) | α ∈ R}<br />
ceea ce arată că tot¸i vectorii proprii ai lui A sunt <strong>de</strong> forma α(1, 0). Nu există doi<br />
vectori proprii liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i care să formeze o bază a lui R 2 .<br />
Exercit¸iul 3.18 Rotat¸ia <strong>de</strong> unghi α a planului<br />
Rα : R 2 −→ R 2 , Rα(x, y) = (x cos α − y sin α, x sin α + y cos α)<br />
admite valori proprii numai în cazul în care α ∈ Zπ.<br />
Observat¸ia 3.17 Studiul unui operator liniar <strong>de</strong>vine mai u¸sor <strong>de</strong> realizat prin uti-<br />
lizarea unei baze în raport cu care matricea lui este diagonală. O astfel <strong>de</strong> bază nu<br />
există în toate cazurile.<br />
<br />
.
Aplicat¸ii liniare 81<br />
Observat¸ia 3.18 Dacă există o bază în raport cu care matricea lui A este diagonală<br />
⎛<br />
⎜<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
α1<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
α2<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
α3<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
⎞<br />
0<br />
⎟<br />
0<br />
⎟<br />
0 ⎟<br />
· · · ⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 0 · · · αn<br />
atunci rădăcinile polinomului caracteristic<br />
<br />
<br />
α1 − λ<br />
<br />
<br />
0<br />
<br />
<br />
P (λ) = 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
· · ·<br />
<br />
0<br />
0<br />
α2 − λ<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
0<br />
α3 − λ<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
αn − λ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= (α1−λ)(α2−λ) · · · (αn−λ)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sunt α1, α2, ..., αn, ¸si apart¸in toate lui K (numărul lor, t¸inând seama <strong>de</strong> multiplicităt¸i<br />
este dim V ).<br />
Definit¸ia 3.36 Fie A : V −→ V un operator liniar ¸si λ o valoare proprie a lui<br />
A. Spunem că λ are multiplicitatea algebrică k dacă este rădăcină <strong>de</strong> ordinul<br />
k a polinomului caracteristic. Prin multiplicitate geometrică a lui λ se înt¸elege<br />
dimensiunea subspat¸iului propriu Vλ corespunzător lui λ.<br />
Propozit¸ia 3.37 Dacă v1, v2, ..., vk sunt vectori proprii ai operatorului A : V −→<br />
V corespunzători la valori proprii distincte λ1, λ2, ..., λk<br />
Avi = λivi<br />
atunci {v1, v2, ..., vk} este sistem <strong>de</strong> vectori liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i.<br />
Demonstrat¸ie (cazul n = 3). Din<br />
rezultă<br />
α1v1 + α2v2 + α3v3 = 0 (3.3)<br />
A(α1v1 + α2v2 + α3v3) = 0
82 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
adică relat¸ia<br />
care se mai scrie<br />
α1 Av1 + α2 Av2 + α3 Av3 = 0<br />
α1λ1v1 + α2λ2v2 + α3λ3v3 = 0. (3.4)<br />
Adunând relat¸ia (3.4) cu relat¸ia (3.3) înmult¸ită cu (−λ3) se obt¸ine<br />
Aplicând operatorul A relat¸iei (3.5) obt¸inem<br />
α1(λ1 − λ3)v1 + α2(λ2 − λ3)v2 = 0. (3.5)<br />
α1(λ1 − λ3)λ1v1 + α2(λ2 − λ3)λ2v2 = 0. (3.6)<br />
Adunând relat¸ia (3.6) cu relat¸ia (3.5) înmult¸ită cu (−λ2) rezultă<br />
α1(λ1 − λ3)(λ1 − λ2)v1 = 0.<br />
Deoarece λ1, λ2, λ3 sunt distincte ¸si v1 = 0 rezultă α1 = 0 ¸si apoi din (3.5) obt¸inem<br />
α2 = 0. Înlocuind în (3.3) pe α1 ¸si α2 cu 0 <strong>de</strong>ducem că α3 = 0.<br />
Observat¸ia 3.19 Din propozit¸ia anterioară rezultă existent¸a formei diagonale în<br />
cazul în care rădăcinile polinomului caracteristic apart¸in toate corpului K peste care<br />
este consi<strong>de</strong>rat V ¸si sunt toate distincte.<br />
Teorema 3.38 Fie V un spat¸iu vectorial peste K ¸si fie A : V −→ V un operator<br />
liniar. Există o bază a lui V în raport cu care matricea lui A este diagonală dacă ¸si<br />
numai dacă toate rădăcinile polinomului caracteristic apart¸in lui K ¸si pentru fiecare<br />
dintre ele multiplicitatea algebrică este egală cu cea geometrică.<br />
Demonstrat¸ie. (în cazul a două rădăcini λ1 = λ2 cu multiplicităt¸ile 2 ¸si respectiv 3).<br />
În cazul consi<strong>de</strong>rat dim V = 2 + 3 = 5, dim Vλ1 = 2 ¸si dim Vλ2 = 3. Fie {v1, v2} bază<br />
în<br />
¸si {w1, w2, w3} bază în<br />
Vλ1 = { x ∈ V | Ax = λ1x }<br />
Vλ2 = { x ∈ V | Ax = λ2x }.
Aplicat¸ii liniare 83<br />
Este suficient să arătăm că {v1, v2, w1, w2, w3} este bază în V . Fie<br />
Aplicând A obt¸inem<br />
α1v1 + α2v2 + α3w1 + α4w2 + α5w3 = 0. (3.7)<br />
λ1(α1v1 + α2v2) + λ2(α3w1 + α4w2 + α5w3) = 0.<br />
Adunând această relat¸ie cu relat¸ia (3.7) înmult¸ită cu (−λ2) obt¸inem<br />
(λ1 − λ2)(α1v1 + α2v2) = 0<br />
<strong>de</strong> un<strong>de</strong> α1 = α2 = 0. Înlocuind în (3.7) rezultă α3 = α4 = α5 = 0.<br />
Observat¸ia 3.20 Orice matrice<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
a11<br />
a21<br />
· · ·<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟ ∈ Mn×n(K)<br />
⎟<br />
⎠<br />
an1 an2 · · · ann<br />
este matricea în raport cu baza canonică<br />
B = {e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ... , en = (0, 0, ..., 0, 1)}<br />
a operatorului liniar<br />
A : K n −→ K n ,<br />
⎛<br />
x1<br />
⎜ x2<br />
⎜<br />
A ⎜ .<br />
⎝<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ = ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
a11<br />
a21<br />
.<br />
a12<br />
a22<br />
.<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
.<br />
a1n<br />
a2n<br />
.<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
x1<br />
x2<br />
.<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
xn<br />
an1 an2 · · · ann<br />
Definit¸ia 3.39 Prin valoare proprie a unei matrice (respectiv vector propriu<br />
al unei matrice) A ∈ Mn×n(K) se înt¸elege o valoare proprie (respectiv vector<br />
propriu) al operatorului liniar asociat A : K n −→ K n .<br />
Definit¸ia 3.40 Spunem că matricea A ∈ Mn×n(K) este diagonalizabilă dacă op-<br />
eratorului liniar asociat A : K n −→ K n este diagonalizabil.<br />
xn
Capitolul 4<br />
Spat¸ii vectoriale euclidiene<br />
4.1 Definit¸ie ¸si exemple<br />
Definit¸ia 4.1 Fie V un spat¸iu vectorial real (adică K = R). Prin produs scalar<br />
pe V se int¸elege o aplicat¸ie<br />
astfel incât<br />
〈, 〉 : V × V −→ R<br />
a) 〈αx + βy, z〉 = α〈x, z〉 + β〈y, z〉, ∀x, y ∈ V ¸si ∀α, β ∈ R<br />
b) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V<br />
c) 〈x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ V ¸si<br />
〈x, x〉 = 0 dacă ¸si numai dacă x = 0.<br />
Un spat¸iu vectorial real consi<strong>de</strong>rat împreună cu un produs scalar fixat este numit<br />
spat¸iu vectorial euclidian real.<br />
Definit¸ia 4.2 Fie V un spat¸iu vectorial complex (adică K = C). Prin produs<br />
scalar pe V se int¸elege o aplicat¸ie<br />
astfel incât<br />
〈, 〉 : V × V −→ C<br />
a) 〈αx + βy, z〉 = α〈x, z〉 + β〈y, z〉, ∀x, y ∈ V ¸si ∀α, β ∈ C<br />
b) 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V<br />
85
86 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
c) 〈x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ V ¸si<br />
〈x, x〉 = 0 dacă ¸si numai dacă x = 0.<br />
Un spat¸iu vectorial complex consi<strong>de</strong>rat împreună cu un produs scalar fixat este numit<br />
spat¸iu vectorial euclidian complex.<br />
Observat¸ia 4.1 In cazul produsului scalar <strong>de</strong>finit pe un spat¸iu vectorial complex,<br />
Intr-a<strong>de</strong>var,<br />
〈x, αy + βz〉 = ¯α〈x, y〉 + ¯ β〈x, z〉, ∀x, y ∈ V si ∀α, β ∈ C.<br />
〈x, αy + βz〉 = 〈αy + βz, x〉 = ¯α 〈y, x〉 + ¯ β 〈z, x〉 = ¯α〈x, y〉 + ¯ β〈x, z〉.<br />
Exercit¸iul 4.1 Relat¸ia<br />
n<br />
〈(x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn)〉 = xj yj<br />
j=1<br />
<strong>de</strong>fine¸ste produsul scalar “uzual” pe spat¸iul vectorial real R n , iar relat¸ia<br />
n<br />
〈(x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn)〉 = xj ¯yj<br />
j=1<br />
<strong>de</strong>fine¸ste produsul scalar “uzual” pe spat¸iul vectorial complex C n .<br />
Teorema 4.3 (Inegalitatea Cauchy). Dacă 〈, 〉 : V × V −→ K este produs scalar<br />
atunci<br />
oricare ar fi x, y ∈ V .<br />
|〈x, y〉| 2 ≤ 〈x, x〉 〈y, y〉<br />
Demonstrat¸ie. Relat¸ia este evi<strong>de</strong>nt verificată în cazul y = 0. Dacă y = 0 atunci<br />
adică<br />
Alegând<br />
〈x + λy, x + λy〉 ≥ 0, ∀λ ∈ K<br />
〈x, x〉 + λ〈y, x〉 + ¯ λ〈x, y〉 + λ ¯ λ〈y, y〉 ≥ 0, ∀λ ∈ K.<br />
λ = − 〈x, y〉<br />
〈y, y〉
Spat¸ii vectoriale euclidiene 87<br />
relat¸ia <strong>de</strong>vine<br />
〈x, x〉 −<br />
adică 〈x, x〉 〈y, y〉 ≥ |〈x, y〉| 2 .<br />
|〈x, y〉|2<br />
〈y, y〉<br />
− |〈x, y〉|2<br />
〈y, y〉<br />
+ |〈x, y〉|2<br />
〈y, y〉<br />
≥ 0.<br />
Definit¸ia 4.4 Fie V un spat¸iu vectorial peste K. Prin normă pe V se înt¸elege o<br />
aplicatie<br />
astfel încât<br />
a) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ V ¸si<br />
||.|| : V −→ R<br />
||x|| = 0 dacă ¸si numai dacă x = 0<br />
b) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ V<br />
c) ||αx|| = |α| · ||x||, ∀x ∈ V ¸si ∀α ∈ K.<br />
Propozit¸ia 4.5 Dacă 〈, 〉 : V × V −→ K este produs scalar atunci<br />
este o normă pe V .<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
|| · || : V −→ R, ||x|| =<br />
<br />
〈x, x〉<br />
||x|| = 〈x, x〉 ≥ 0 si ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0<br />
||αx|| = 〈αx, αx〉 = α¯α〈x, x〉 = |α| ||x||<br />
||x + y|| 2 = 〈x + y, x + y〉<br />
= 〈x, x〉 + 〈x, y〉 + 〈y, x〉 + 〈y, y〉<br />
= ||x|| 2 + 2 Re〈x, y〉 + ||y|| 2<br />
≤ ||x|| 2 + 2 |Re〈x, y〉| + ||y|| 2<br />
≤ ||x|| 2 + 2 |〈x, y〉| + ||y|| 2<br />
≤ ||x|| 2 + 2 ||x|| ||y|| + ||y|| 2<br />
= (||x|| + ||y||) 2
88 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
<strong>de</strong>oarece<br />
|Re(a + ib)| = |a| = √ a 2 ≤ <br />
a 2 + b 2 = |a + ib|<br />
¸si conform inegalităt¸ii Cauchy |〈x, y〉| ≤ 〈x, x〉 〈y, y〉 = ||x|| ||y||.<br />
4.2 Baze ortonormate<br />
Observat¸ia 4.2 Folosind norma<br />
|| · || : V −→ R, ||x|| =<br />
asociată produsului scalar, inegalitatea Cauchy<br />
se poate scrie<br />
|〈x, y〉| 2 ≤ 〈x, x〉 〈y, y〉<br />
|〈x, y〉| ≤ ||x|| ||y||.<br />
In particular, din această relat¸ie rezultă că<br />
0 ≤<br />
|〈x, y〉|<br />
≤ 1<br />
||x|| · ||y||<br />
<br />
〈x, x〉<br />
pentru x = 0 ¸si y = 0. In cazul unui spat¸iu vectorial real<br />
−1 ≤<br />
Numărul ϕ ∈ [0, π] cu proprietatea<br />
cos ϕ =<br />
〈x, y〉<br />
≤ 1.<br />
||x|| · ||y||<br />
〈x, y〉<br />
||x|| · ||y||<br />
este numit unghiul dintre x ¸si y. Relat¸ia anterioară se mai poate scrie<br />
〈x, y〉 = ||x|| ||y|| cos ϕ.
Spat¸ii vectoriale euclidiene 89<br />
Definit¸ia 4.6 Spunem că vectorii x, y ∈ V sunt ortogonali ¸si scriem x ⊥ y dacă<br />
〈x, y〉 = 0.<br />
Definit¸ia 4.7 Spunem că vectorul x ∈ V este ortogonal pe submult¸imea M ⊆<br />
V ¸si scriem x ⊥ M dacă<br />
x ⊥ y, ∀y ∈ M.<br />
Definit¸ia 4.8 Spunem că {v1, v2, ..., vk} ⊂ V este un sistem ortogonal (sau sis-<br />
tem <strong>de</strong> vectori ortogonali) dacă<br />
oricare ar fi i = j din {1, 2, ..., k}.<br />
〈vi, vj〉 = 0<br />
Propozit¸ia 4.9 Orice sistem <strong>de</strong> vectori ortogonali nenuli este un sistem liniar in-<br />
<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt.<br />
Demonstrat¸ie. Fie {v1, v2, ..., vk} un sistem ortogonal <strong>de</strong> vectori nenuli. Din<br />
rezultă că<br />
α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk = 0<br />
0 = 〈α1v1 + α2v2 + · · · + αkvk, v1〉<br />
= α1〈v1, v1〉 + α2〈v2, v1〉 + · · · + αk〈vk, v1〉<br />
= α1 · ||v1|| 2 + α2 · 0 + · · · + αk · 0.<br />
Deoarece v1 =0 se obt¸ine α1 =0. Similar se arată că α2 =0, ... , αk =0.<br />
Exercit¸iul 4.2 Să se arate că<br />
{v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, −1, 0), v3 = (0, 0, 1)} ⊂ R 3<br />
este un sistem ortogonal în raport cu produsul scalar uzual<br />
〈(x1, x2, x3), (y1, y2, y3)〉 =<br />
3<br />
xj yj.<br />
j=1
90 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Rezolvare. Avem<br />
〈v1, v2〉 = 〈(1, 1, 0), (1, −1, 0)〉 = 1 · 1 + 1 · (−1) + 0 · 0 = 0<br />
〈v1, v3〉 = 〈(1, 1, 0), (0, 0, 1)〉 = 1 · 0 + 1 · 0 + 0 · 1 = 0<br />
〈v2, v3〉 = 〈(1, −1, 0), (0, 0, 1)〉 = 1 · 0 + (−1) · 0 + 0 · 1 = 0.<br />
Propozit¸ia 4.10 Proiect¸ia ortogonală a vectorului x pe vectorul u = 0 este vectorul<br />
Pux =<br />
〈x, u〉<br />
〈u, u〉 u.<br />
Demonstrat¸ie. Proiect¸ia lui x pe u este un vector <strong>de</strong> forma λu. Impunând ca<br />
proiect¸ia să fie ortogonală , adică<br />
obt¸inem relat¸ia<br />
care conduce la λ = 〈x,u〉<br />
〈u,u〉 .<br />
(x − λu) ⊥ u<br />
〈x − λu, u〉 = 0<br />
Observat¸ia 4.3 Dacă vectorul u este un vector unitar (versor), adică<br />
atunci proiect¸ia lui x pe u este vectorul<br />
||u|| = 1<br />
Pux = 〈x, u〉 u.
Spat¸ii vectoriale euclidiene 91<br />
Teorema 4.11 (Metoda <strong>de</strong> ortogonalizare Gram-Schmidt). Dacă {v1, v2, v3, ... }<br />
este un sistem liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt (finit sau infinit) atunci {w1, w2, w3, ... }, un<strong>de</strong><br />
w1 = v1<br />
w2 = v2 − 〈v2,w1〉<br />
〈w1,w1〉 w1<br />
este un sistem ortogonal astfel incât<br />
oricare ar fi k ∈ {1, 2, 3, ...}.<br />
w3 = v3 − 〈v3,w1〉<br />
〈w1,w1〉 w1 − 〈v3,w2〉<br />
〈w2,w2〉 w2<br />
..........................................................<br />
〈v1, v2, ... , vk〉 = 〈w1, w2, ... , wk〉<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
<br />
〈w2, w1〉 = v2 − 〈v2, w1〉<br />
〈w1, w1〉 w1,<br />
<br />
w1<br />
= 〈v2, w1〉 − 〈v2, w1〉<br />
〈w1, w1〉 〈w1, w1〉 = 0.<br />
Similar se arată că oricare vector wk este ortogonal pe vectorii w1, w2, ... , wk−1.<br />
Definit¸ia 4.12 Spunem că {e1, e2, ... , ek} este un sistem ortonormat dacă<br />
<br />
1 daca i = j<br />
〈ei, ej〉 = δij =<br />
0 daca i = j<br />
Teorema 4.13 (Metoda <strong>de</strong> ortonormalizare Gram-Schmidt). Dacă {v1, v2, v3, ... }<br />
este un sistem liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt (finit sau infinit) atunci {e1, e2, e3, ... }, un<strong>de</strong><br />
e1 = v1<br />
||v1||<br />
e2 = v2−〈v2,e1〉 e1<br />
||v2−〈v2,e1〉 e1||<br />
e3 = v3−〈v3,e1〉 e1−〈v3,e2〉 e2<br />
||v3−〈v3,e1〉 e1−〈v3,e2〉 e2||<br />
este un sistem ortonormat astfel incât<br />
oricare ar fi k ∈ {1, 2, 3, ...}.<br />
..........................................................<br />
〈v1, v2, ... , vk〉 = 〈e1, e2, ... , ek〉
92 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. Prin calcul direct se arată că e2 ⊥e1, apoi e3 ⊥e1 ¸si e3 ⊥e2, etc.<br />
Observat¸ia 4.4 Un sistem ortonormat {e1, e2, ... , ek} este format din vectori uni-<br />
tari<br />
si ortogonali.<br />
||ej|| =<br />
<br />
〈ej, ej〉 = 1<br />
Definit¸ia 4.14 Prin bază ortonormată se înt¸elege o bază {e1, e2, ... , en} cu<br />
〈ei, ej〉 = δij<br />
adică o bază care este în acela¸si timp sistem ortonormat.<br />
Teorema 4.15 Dacă B = {e1, e2, ... , en} este o bază ortonormată atunci<br />
n<br />
x = 〈x, ei〉ei, ∀x ∈ V<br />
i=1<br />
n<br />
〈x, y〉 = 〈x, ei〉 〈ei, y〉, ∀x, y ∈ V<br />
i=1<br />
<br />
<br />
<br />
||x|| = n <br />
|〈x, ei〉|<br />
i=1<br />
2 , ∀x ∈ V.<br />
Demonstrat¸ie. Orice vector x ∈ V se poate scrie ca o combinat¸ie liniară<br />
¸si avem<br />
n<br />
x = xi ei<br />
i=1<br />
<br />
n<br />
<br />
n<br />
n<br />
〈x, ek〉 = xi ei, ek = xi〈ei, ek〉 = xiδik = xk<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
<br />
n<br />
<br />
n<br />
〈x, y〉 = 〈x, ei〉ei, y = 〈x, ei〉 〈ei, y〉<br />
i=1<br />
i=1<br />
||x|| 2 n<br />
n<br />
= 〈x, x〉 = 〈x, ei〉 〈ei, x〉 = |〈x, ei〉|<br />
i=1<br />
i=1<br />
2 .
Spat¸ii vectoriale euclidiene 93<br />
Exercit¸iul 4.3 Să se indice o bază ortonormată pentru spat¸iul vectorial<br />
Rezolvare. Deoarece<br />
V = { x = (x1, x2, x3) ∈ R 3 | x1 + x2 + x3 = 0 }.<br />
V = { (x1, x2, −x1 − x2) | x1, x2 ∈ R } = { x1(1, 0, −1) + x2(0, 1, −1) | x1, x2 ∈ R }<br />
vectorii liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i v1 = (1, 0, −1) ¸si v2 = (0, 1, −1) formează o bază a<br />
lui V . Ortonormalizăm această bază prin metoda Gram-Schmidt ¸si obt¸inem baza<br />
ortonormată {e1, e2}, un<strong>de</strong><br />
e1 = v1<br />
||v1|| =<br />
e2 = v2−〈v2,e1〉 e1<br />
||v2−〈v2,e1〉 e1||<br />
(1,0,−1)<br />
√ 1 2 +0 2 +(−1) 2<br />
1<br />
(0,1,−1)−<br />
= <br />
<br />
(0,1,−1)−<br />
1<br />
(1,0,−1)<br />
= √ =<br />
2<br />
<br />
√ √2<br />
1<br />
,0,−<br />
2<br />
1<br />
<br />
√<br />
2<br />
<br />
√ √2<br />
1<br />
,0,−<br />
2<br />
1<br />
√<br />
2<br />
<br />
√2 1 , 0, − 1<br />
<br />
√<br />
2<br />
<br />
=<br />
<br />
− 1 √ ,<br />
6 2 √ , −<br />
6 1<br />
<br />
√ .<br />
6<br />
4.3 Complementul ortogonal al unui subspat¸iu<br />
Propozit¸ia 4.16 Fie V un spat¸iu cu produs scalar. Mult¸imea vectorilor ortogonali<br />
pe o submult¸ime M a lui V<br />
este un spat¸iu vectorial.<br />
Demonstrat¸ie. Oricare ar fi x ∈ M avem<br />
v, w ∈ M ⊥<br />
α, β ∈ K<br />
<br />
¸si prin urmare αv + βw ∈ M ⊥ .<br />
M ⊥ = { v ∈ V | v ⊥ x, ∀x ∈ M }<br />
=⇒ 〈αv + βw, x〉 = α〈v, x〉 + β〈w, x〉 = α · 0 + β · 0 = 0<br />
Exercit¸iul 4.4 Indicat¸i o bază a spat¸iului M ⊥ în cazul M = {(1, 2, 3)} ⊂ R 3 .
94 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Rezolvare. Avem<br />
M ⊥ = { (x1, x2, x3) ∈ R 3 | 〈(x1, x2, x3), (1, 2, 3)〉 = 0 }<br />
= { (x1, x2, x3) ∈ R 3 | x1 + 2x2 + 3x3 = 0 }<br />
= { (−2x2 − 3x3, x2, x3) | x2, x3 ∈ R }<br />
= { x2(−2, 1, 0) + x3(−3, 0, 1) | x2, x3 ∈ R }.<br />
Vectorii liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i (−2, 1, 0) ¸si (−3, 0, 1) formează o bază a spat¸iului M ⊥ .<br />
Teorema 4.17 Dacă W este un subspat¸iu al spat¸iului (finit-dimensional) V atunci<br />
V = W ⊕ W ⊥ .<br />
Demonstrat¸ie. Dacă x ∈ W ∩ W ⊥ atunci ||x|| = 〈x, x〉 = 0, ceea ce conduce la<br />
W ∩ W ⊥ = {0}. Este suficient să mai arătăm că dim W +dim W ⊥ =dim V . Plecăm<br />
<strong>de</strong> la o bază ortonormată {e1, e2, ..., ek} a lui W pe care apoi o completăm până<br />
la o bază {e1, e2, ..., ek, v1, v2, ..., vn−k} a lui V . Ortonormalizând acestă bază prin<br />
metoda Gram-Schmidt obt¸inem o bază ortonormată {e1, e2, ..., ek, ek+1, ek+2, ..., en}<br />
a lui V . Se constată imediat că {ek+1, ek+2, ..., en} est bază a lui W ⊥ si prin urmare<br />
dim W +dim W ⊥ =dim V.<br />
4.4 Adjunctul unui operator liniar<br />
Propozit¸ia 4.18 Dacă vectorii x, y ∈ V sunt astfel incât<br />
atunci x = y.<br />
Demonstrat¸ie. Din relat¸ia (4.1) rezultă<br />
〈x, v〉 = 〈y, v〉, ∀v ∈ V (4.1)<br />
〈x − y, v〉 = 0, ∀v ∈ V.
Spat¸ii vectoriale euclidiene 95<br />
In particular, alegând v = x − y obtinem<br />
adică<br />
relat¸ie care conduce la x = y.<br />
〈x − y, x − y〉 = 0<br />
||x − y|| 2 = 0<br />
Propozit¸ia 4.19 Dacă A : V −→ V este un operator liniar atunci există un oper-<br />
ator liniar A ∗ : V −→ V unic <strong>de</strong>terminat astfel incât<br />
〈A ∗ x, y〉 = 〈x, Ay〉, ∀x, y ∈ V. (4.2)<br />
Demonstrat¸ie. Fie B = {e1, e2, ..., en} o bază ortonormată a lui V . S¸tim că oricare<br />
ar fi v ∈ V avem<br />
n<br />
v = 〈v, ei〉ei.<br />
i=1<br />
În particular, operatorul pe care-l căutăm trebuie să verifice relat¸ia<br />
A ∗ n<br />
x = 〈A<br />
i=1<br />
∗ n<br />
x, ei〉ei = 〈x, Aei〉ei<br />
i=1<br />
(4.3)<br />
pe care o vom alege drept <strong>de</strong>finit¸ie a operatorului A ∗ . Relat¸ia (4.3) <strong>de</strong>fine¸ste un<br />
operator liniar<br />
A ∗ n<br />
n<br />
n<br />
(αx+βy) = 〈αx+βy, Aei〉ei = α 〈x, Aei〉ei+β 〈y, Aei〉ei = αA<br />
i=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
∗ x+βA ∗ y.<br />
Operatorul <strong>de</strong>finit cu ajutorul relat¸iei (4.3) verifică relat¸ia (4.2)<br />
〈A ∗ x, y〉 = 〈 n i=1 〈x, Aei〉ei, y〉 = n i=1 〈x, Aei〉〈ei, y〉<br />
= n i=1 〈x, 〈y, ei〉Aei〉 = 〈x, A ( n i=1 〈y, ei〉ei)〉 = 〈x, Ay〉.<br />
Presupunând că B : V −→ V este un alt operator liniar astfel încât<br />
rezultă că pentru orice x<br />
relat¸ie care conduce la A ∗ x = Bx.<br />
〈Bx, y〉 = 〈x, Ay〉, ∀x, y ∈ V. (4.4)<br />
〈A ∗ x, y〉 = 〈Bx, y〉, ∀y ∈ V
96 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Definit¸ia 4.20 Fie A : V −→ V un operator liniar. Operatorul liniar A ∗ : V −→ V<br />
care verifică relat¸ia<br />
se nume¸ste adjunctul lui A.<br />
〈A ∗ x, y〉 = 〈x, Ay〉, ∀x, y ∈ V. (4.5)<br />
Propozit¸ia 4.21 Dacă A, B : V −→ V sunt operatori liniari ¸si λ ∈ K atunci<br />
sunt operatori liniari ¸si<br />
A + B : V −→ V, (A + B)x = Ax + Bx<br />
λA : V −→ V, (λA)x = λ Ax<br />
AB : V −→ V, (AB)x = A(Bx)<br />
(A ∗ ) ∗ =A, (A+B) ∗ =A ∗ +B ∗ , (λA) ∗ = ¯ λ A ∗ , (AB) ∗ =B ∗ A ∗ .<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
(A + B)(αx + βy) = A(αx + βy) + B(αx + βy) = αAx + βAy + αBx + βBy<br />
= α(A + B)x + β(A + B)y<br />
(λA)(αx + βy) = λ A(αx + βy) = λαAx + λβAy = α(λA)x + β(λA)y<br />
(AB)(αx + βy) = A(B(αx + βy)) = A(αBx + βBy) = αA(Bx) + βA(By)<br />
Relat¸ia (A ∗ ) ∗ = A rezultă din<br />
Avem<br />
adică pentru orice x ∈ V<br />
= α(AB)x + β(AB)y.<br />
〈(A ∗ ) ∗ x, y〉 = 〈x, A ∗ y〉 = 〈Ax, y〉, ∀x, y ∈ V.<br />
〈(A + B) ∗ x, y〉 =〈x, (A + B)y〉=〈x, Ay〉 + 〈x, By〉<br />
=〈A ∗ x, y〉 + 〈B ∗ x, y〉=〈(A ∗ + B ∗ )x, y〉<br />
〈(A + B) ∗ x, y〉=〈(A ∗ + B ∗ )x, y〉, ∀y ∈ V
Spat¸ii vectoriale euclidiene 97<br />
ceea ce conduce la (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗ . Similar, pentru orice x ∈ V avem<br />
〈(λA) ∗ x, y〉 = 〈x, (λA)y〉 = 〈x, λ Ay〉 = ¯ λ 〈x, Ay〉<br />
¸si acestă relat¸ie conduce la<br />
= ¯ λ〈A ∗ x, y〉 = 〈 ¯ λ A ∗ x, y〉 = 〈( ¯ λA ∗ )x, y〉, ∀y ∈ V<br />
(λA) ∗ x = ( ¯ λA ∗ )x, ∀x ∈ V<br />
adică (λA) ∗ = ¯ λA ∗ . Oricare ar fi x ∈ V avem relat¸ia<br />
〈(AB) ∗ x, y〉 = 〈x, (AB)y〉 = 〈x, A(By)〉 = 〈A ∗ x, By〉<br />
care conduce la (AB) ∗ = B ∗ A ∗ .<br />
= 〈B ∗ (A ∗ x), y〉 = 〈(B ∗ A ∗ )x, y〉, ∀y ∈ V<br />
Propozit¸ia 4.22 Matricea adjunctului A ∗ al unui operator liniar A ∈ L(V ) în<br />
raport cu o bază ortonormată este complex conjugata transpusei matricei A a oper-<br />
atorului A in raport cu aceea¸si bază.<br />
Demonstrat¸ie. Fie<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 · · · a1n<br />
⎜ a21 a22 · · ·<br />
⎟<br />
a2n ⎟<br />
A= ⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ , A∗ ⎛<br />
⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
an1 an2 · · · ann<br />
a ∗ 11 a∗ 12 · · · a ∗ 1n<br />
a ∗ 21 a∗ 22 · · · a ∗ 2n<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
a ∗ n1 a∗ n2 · · · a ∗ nn<br />
matricele lui A ¸si A ∗ în raport cu baza ortonormată {e1, e2, ..., en}, adică<br />
n<br />
Aej = aij ei, A<br />
i=1<br />
∗ n<br />
ej = a<br />
i=1<br />
∗ ij ei. (4.6)<br />
Conform formulei <strong>de</strong> reprezentare a unui vector în raport cu o bază ortonormată<br />
avem<br />
n<br />
v = 〈v, ei〉ei<br />
i=1<br />
n<br />
Aej = 〈Aej, ei〉ei, A<br />
i=1<br />
∗ n<br />
ej = 〈A<br />
i=1<br />
∗ ej, ei〉ei<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(4.7)
98 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Din relat¸iile (4.6) ¸si (4.7) rezultă<br />
ceea ce conduce la<br />
aij = 〈Aej, ei〉, a ∗ ij = 〈A ∗ ej, ei〉<br />
a ∗ ij = 〈A ∗ ej, ei〉 = 〈ej, Aei〉 = 〈Aei, ej〉 = āji.<br />
4.5 Operatori autoadjunct¸i<br />
Definit¸ia 4.23 Prin operator autoadjunct (sau hermitian)se înt¸elege un oper-<br />
ator liniar A : V −→ V astfel incât A ∗ = A, adică un operator astfel încât<br />
〈Ax, y〉 = 〈x, Ay〉, ∀x, y ∈ V. (4.8)<br />
Notat¸ie. Vom nota cu A(V ) mult¸imea operatorilor autoadjunct¸i <strong>de</strong>finit¸i pe V , adică<br />
Propozit¸ia 4.24<br />
A(V ) = { A ∈ L(V ) | A ∗ = A }<br />
= { A ∈ L(V ) | 〈Ax, y〉 = 〈x, Ay〉, ∀x, y ∈ V }.<br />
a) A, B ∈ A(V ) =⇒ A + B ∈ A(V )<br />
b)<br />
A ∈ A(V )<br />
α ∈ R<br />
<br />
=⇒ αA ∈ A(V )<br />
c) Daca A, B ∈ A(V ) atunci :<br />
AB ∈ A(V ) ⇐⇒ AB = BA<br />
d) Daca operatorul A ∈ A(V ) este inversabil atunci A −1 ∈ A(V ).<br />
Demonstrat¸ie. Vom utiliza propozitia 4.21.<br />
a) Avem (A + B) ∗ = A ∗ + B ∗ = A + B<br />
b) Avem (αA) ∗ = ¯αA ∗ = αA.<br />
c) Dacă AB ∈ A(V ) atunci AB = (AB) ∗ = B ∗ A ∗ = BA.<br />
Dacă AB = BA atunci (AB) ∗ = B ∗ A ∗ = BA = AB ¸si <strong>de</strong>ci AB ∈ A(V ).<br />
d) Avem 〈A −1 x, y〉 = 〈A −1 x, A(A −1 y)〉 = 〈A(A −1 x), A −1 y〉 = 〈x, A −1 y〉.
Spat¸ii vectoriale euclidiene 99<br />
Definit¸ia 4.25 Spunem că<br />
este o matrice hermitică dacă<br />
adică dacă<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 · · · a1n<br />
⎜ a21 a22 · · ·<br />
⎟<br />
a2n ⎟<br />
A = ⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠<br />
an1 an2 · · · ann<br />
t Ā = A<br />
aij = āji, ∀i, j ∈ {1, 2, ..., n}.<br />
Propozit¸ia 4.26 Un operator liniar A : V −→ V este operator autoadjunct dacă ¸si<br />
numai dacă matricea lui în raport cu o bază ortonormată este o matrice hermitică.<br />
Demonstrat¸ie. Afirmt¸ia rezultă din propozit¸ia 4.22.<br />
Teorema 4.27 Dacă A : V −→ V este un operator autoadjunct atunci:<br />
a) toate valorile proprii sunt reale<br />
b) vectorii proprii corespunzători la valori proprii distincte sunt ortogonali.<br />
Demonstrat¸ie. a) Fie λ o valoare proprie a lui A ¸si v = 0 un vector propriu core-<br />
spunzător<br />
In cazul x = y = v relat¸ia<br />
Av = λv.<br />
verificată <strong>de</strong> A oricare ar fi x, y ∈ V <strong>de</strong>vine succesiv<br />
〈Ax, y〉 = 〈x, Ay〉 (4.9)<br />
〈Av, v〉 = 〈v, Av〉<br />
〈λv, v〉 = 〈v, λv〉<br />
λ〈v, v〉 = ¯ λ〈v, v〉<br />
λ||v|| 2 = ¯ λ||v|| 2<br />
λ = ¯ λ.
100 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
b) Fie λ1 = λ2 două valori proprii distincte ¸si v1, v2 vectori proprii corespunzători<br />
Av1 = λ1v1, Av2 = λ2v2.<br />
In cazul x = v1, y = v2 relat¸ia (4.9) se poate scrie succesiv<br />
〈Av1, v2〉 = 〈v1, Av2〉<br />
〈λ1v1, v2〉 = 〈v1, λ2v2〉<br />
λ1〈v1, v2〉 = λ2〈v1, v2〉<br />
(λ1 − λ2)〈v1, v2〉 = 0<br />
〈v1, v2〉 = 0.<br />
Propozit¸ia 4.28 In cazul unui operator autoadjunct rădăcinile polinomului carac-<br />
teristic sunt reale.<br />
Demonstrat¸ie. Fie A ∈ A(V ),<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜ a21<br />
A = ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
an1 an2 · · · ann<br />
matricea lui A în raport cu o bază ortonormată ¸si fie λ1 ∈ C o rădăcină a polinomului<br />
caracteristic <br />
a11 − λ1 a12 · · · a1n<br />
a21 a22 − λ1 · · · a2n<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
an1 an2 · · · ann − λ1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0.<br />
<br />
<br />
<br />
In aceste condit¸ii sistemul <strong>de</strong> ecuat¸ii<br />
⎧<br />
(a11 − λ1)x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0<br />
⎪⎨<br />
a21x1 + (a22 − λ1)x2 + · · · + a2nxn = 0<br />
..................................................<br />
⎪⎩<br />
an1x1 + an2x2 + · · · + (ann − λ1)xn = 0<br />
admite în C n o solut¸ie (x1, x2, ..., xn) = (0, 0, ..., 0). Adunând ecuat¸iile sistemului<br />
înmult¸ite respectiv cu ¯x1, ¯x2, ..., ¯xn obt¸inem relat¸ia<br />
n<br />
n<br />
ajkxk ¯xj = λ1<br />
j,k=1<br />
j=1<br />
xj ¯xj.
Spat¸ii vectoriale euclidiene 101<br />
Deoarece matricea A este hermitică , adică ajk = ākj, rezultă<br />
λ1 =<br />
nj,k=1 ajkxk ¯xj<br />
nj=1 |xj| 2<br />
=<br />
nj,k=1 ākjxk ¯xj<br />
nj=1 |xj| 2<br />
= ¯ λ1.<br />
Observat¸ia 4.5 Valorile proprii ale unui operator liniar A : V −→ V sunt radacinile<br />
polinomului caracteristic care apart¸in corpului K peste care este consi<strong>de</strong>rat V . In<br />
particular, rezultatul anterior ne arată că orice operator autoadjunct admite cel<br />
putin o valoare proprie, indiferent dacă K = R sau K = C. Vom arăta în continuare<br />
că orice operator autoadjunct este diagonalizabil.<br />
Teorema 4.29 Dacă A : V −→ V este un operator autoadjunct atunci există o<br />
bază ortonormată în raport cu care matricea lui A este o matrice diagonală.<br />
Demonstrat¸ie. Utilizăm metoda induct¸iei matematice. Afirmat¸ia este, evi<strong>de</strong>nt,<br />
a<strong>de</strong>vărată în cazul dim V = 1. Presupunând că afirmat¸ia este este a<strong>de</strong>varată în<br />
cazul spat¸iilor <strong>de</strong> dimensiune n − 1 aratăm că ea este a<strong>de</strong>vărată ¸si pentru spat¸iile <strong>de</strong><br />
dimensiune n. Fie V un spat¸iu vectorial <strong>de</strong> dimensiune n ¸si fie A ∈ A(V ). S¸tim că<br />
A admite cel put¸in o valoare proprie λ1. Fie v1 = 0 un vector propriu corespunzător<br />
Vectorul unitar e1 = v1<br />
||v1||<br />
Subspat¸iul vectorilor ortogonali pe e1<br />
Av1 = λ1 v1.<br />
este ¸si el vector propriu corespunzător valorii proprii λ1<br />
<br />
v1<br />
Ae1 = A =<br />
||v1||<br />
1<br />
||v1|| Av1 = λ1e1.<br />
W = {e1} ⊥ = { x ∈ V | 〈x, e1〉 = 0 }<br />
este un spat¸iu vectorial <strong>de</strong> dimensiune n − 1 ¸si span{e1} ⊕ W = V . El este un<br />
subspat¸iu invariant al lui A<br />
Relat¸ia<br />
x ∈ W =⇒ 〈Ax, e1〉 = 〈x, Ae1〉 = λ1〈x, e1〉 = 0 =⇒ Ax ∈ W.<br />
〈Ax, y〉 = 〈x, Ay〉
102 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
fiind verificată oricare ar fi x, y ∈ V rezultă ca restrict¸ia lui A la W<br />
verifică relat¸ia<br />
A|W : W −→ W<br />
〈A|W x, y〉 = 〈x, A|W y〉<br />
oricare ar fi x, y ∈ W , adică este un operator autoadjunct. Conform ipotezei <strong>de</strong><br />
induct¸ie exista o bază ortonormată {e2, e3, ..., en} a lui W în raport cu care matricea<br />
lui A|W este diagonală<br />
⎛<br />
⎜<br />
A|W = ⎜<br />
⎝<br />
λ2 0 · · · 0<br />
0 λ3 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · λn<br />
Sistemul <strong>de</strong> vectori {e1, e2, e3, ..., en} este o bază ortonormată a lui V în raport cu<br />
care matricea lui A este<br />
⎛<br />
⎜<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
4.6 Transformări unitare<br />
λ1 0 0 · · · 0<br />
0 λ2 0 · · · 0<br />
0 0 λ3 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 0 · · · λn<br />
Definit¸ia 4.30 Fie (V, 〈, 〉) un spat¸iu vectorial euclidian complex (finit-dimensional).<br />
Prin transformare unitară (numită ¸si operator unitar) se înt¸elege o aplicat¸ie<br />
liniară A : V −→ V cu proprietatea<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V.<br />
Observat¸ia 4.6 Transformările unitare pastrează nemodificat produsul scalar a doi<br />
vectori si norma unui vector<br />
||Ax|| =<br />
<br />
〈Ax, Ax〉 =<br />
<br />
〈x, x〉 = ||x||, ∀x ∈ V.
Spat¸ii vectoriale euclidiene 103<br />
Propozit¸ia 4.31 Dacă A, B ∈ L(V ) sunt transformări unitare atunci AB este<br />
transformare unitară. Orice transformare unitară A este bijectivă ¸si A −1 este trans-<br />
formare unitară.<br />
Demonstrat¸ie. Dacă A ¸si B sunt transformări unitare atunci<br />
〈(AB)x, (AB)y〉 = 〈A(Bx), A(By)〉 = 〈Bx, By〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V.<br />
Dacă A este transformare unitară atunci ker A = {0}<br />
Conform teoremei 3.4 rezultă că<br />
Ax = 0 =⇒ ||x|| = ||Ax|| = 0 =⇒ x = 0.<br />
dim Im A = dim V − dim Ker A = dim V<br />
ceea ce arată că A este surjectivă. Transformarea A −1 este unitară<br />
〈x, y〉 = 〈A(A −1 x), A(A −1 y)〉 = 〈A −1 x, A −1 y〉.<br />
Observat¸ia 4.7 Deoarece transformarea i<strong>de</strong>ntică<br />
I : V −→ V : x ↦→ x<br />
este o transformare unitară ¸si compunerea aplicat¸iilor este o operat¸ie asociativă<br />
(A(BC))x = A((BC)x) = A(B(Cx)) = (AB)(Cx) = ((AB)C)x, ∀x ∈ V<br />
din propozit¸ia anterioară rezultă că pe mult¸imea transformărilor unitare<br />
{ A : V −→ V | 〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V }<br />
există o structură naturală <strong>de</strong> grup (numit grupul transformărilor unitare ale lui V ).<br />
Propozit¸ia 4.32 Fie A ∈ L(V ). Următoarele afirmat¸ii sunt echivalente:<br />
a) A este transformare unitară<br />
b) A ∗ A = I<br />
c) transformarea A este bijectivă ¸si A −1 = A ∗ .
104 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. Arătăm că a) ⇒ b) ⇒ c) ⇒ a). Dacă A este transformare unitară,<br />
adică<br />
atunci<br />
〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V<br />
〈A ∗ Ax, y〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V<br />
relat¸ie care conduce la A ∗ A = I. Dacă A ∗ A = I atunci A ∗ AA −1 = A −1 , adică<br />
A ∗ = A −1 . Dacă A este bijectivă ¸si A −1 = A ∗ atunci<br />
〈Ax, Ay〉 = 〈A ∗ Ax, y〉 = 〈A −1 Ax, y〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V.<br />
Propozit¸ia 4.33 Fie A ∈ Mn×n(C) o matrice cu n linii ¸si n coloane cu elemente<br />
numere complexe ¸si fie A ∗ = t Ā adjuncta ei. Relat¸iile<br />
A A ∗ = I, A ∗ A = I, A −1 = A ∗ .<br />
un<strong>de</strong> I ∈ Mn×n(C) este matricea unitate, sunt echivalente.<br />
Demonstrat¸ie. Dacă A A ∗ = I atunci A este inversabilă<br />
A A ∗ = I =⇒ <strong>de</strong>tA <strong>de</strong>tA ∗ = <strong>de</strong>tI = 1 =⇒ <strong>de</strong>tA = 0<br />
¸si înmult¸ind relat¸ia A A ∗ = I cu A −1 la stânga rezultă A −1 = A ∗ . Similar, dacă<br />
A ∗ A = I atunci A este inversabilă<br />
A ∗ A = I =⇒ <strong>de</strong>tA ∗ <strong>de</strong>tA = <strong>de</strong>tI = 1 =⇒ <strong>de</strong>tA = 0<br />
¸si înmult¸ind relat¸ia A ∗ A = I cu A −1 la dreapta rezultă A −1 = A ∗ . Evi<strong>de</strong>nt, relat¸ia<br />
A −1 = A ∗ implică celelalte două relat¸ii.<br />
Definit¸ia 4.34 Matricea A∈Mn×n(C) este numită matrice unitară dacă<br />
A ∗ A=I<br />
(condit¸ie echivalentă cu A −1 =A ∗ ¸si A A ∗ = I).<br />
Observat¸ia 4.8 Dacă A este o matrice unitară atunci |<strong>de</strong>tA| = 1. Intr-a<strong>de</strong>văr<br />
A ∗ A=I =⇒ <strong>de</strong>tA <strong>de</strong>tA ∗ = 1 =⇒ |<strong>de</strong>tA| 2 = 1.
Spat¸ii vectoriale euclidiene 105<br />
Teorema 4.35 Matricea <strong>de</strong> trecere între două baze ortonormate este o matrice uni-<br />
tară.<br />
Demonstrat¸ie. Fie {e1, e2, ..., en} ¸si {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n} două baze ortonormate ¸si fie<br />
⎛<br />
α11<br />
⎜ α21<br />
S = ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
α12<br />
α22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
α1n<br />
α2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ , S∗ ⎛<br />
¯α11<br />
⎜ ¯α12<br />
= ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
¯α21<br />
¯α22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
¯αn1<br />
¯αn2<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
αn1 αn2 · · · αnn<br />
matricea <strong>de</strong> trecere între cele două baze si adjuncta ei, adică<br />
e ′ n<br />
j = αijei.<br />
i=1<br />
¯α1n ¯α2n · · · ¯αnn<br />
Avem<br />
δij = 〈e ′ i , e′ j 〉 = 〈 n<br />
k=1 αkiek, n m=1 αmjem〉 = n nm=1 k=1 αki ¯αmj〈ek, em〉<br />
= n nm=1 k=1 αki ¯αmjδkm = n k=1 αki ¯αkj<br />
relat¸ie echivalentă cu S ∗ S = I.<br />
Propozit¸ia 4.36 O aplicat¸ie liniară A : V −→ V este transformare unitară dacă<br />
¸si numai dacă matricea ei în raport cu o bază ortonormată este o matrice unitară.<br />
Demonstrat¸ie. Dacă {e1, e2, ..., en} este o bază ortonormată ¸si Aei = n j=1 ajiej<br />
atunci<br />
〈Aei, Aej〉 = 〈 n k=1 akiek, n m=1 amjem〉<br />
= n nm=1 k=1 akiāmj〈ek, em〉 = n k=1 akiākj = n k=1 a∗ jkaki. Dacă A este transformare unitară atunci<br />
n<br />
a ∗ jkaki = 〈Aei, Aej〉 = 〈ei, ej〉 = δij<br />
k=1<br />
relat¸ie echivalentă cu A∗ A = I. Invers, dacă A∗ A = I atunci<br />
<br />
〈Ax, Ay〉 = A ( <br />
n nj=1 <br />
i=1 xiei) , A yjej = n nj=1 i=1 xi¯yj〈Aei, Aej〉<br />
= n nj=1 i=1 xi¯yjδij = n i=1 xi¯yi = 〈x, y〉.
106 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Teorema 4.37 Dacă A : V −→ V este transformare unitară atunci:<br />
a) orice valoare proprie λ este astfel încât |λ| = 1<br />
b) vectorii proprii corespunzători la valori proprii distincte sunt ortogonali.<br />
Demonstrat¸ie. a) Fie λ o valoare proprie a lui A ¸si v = 0 un vector propriu core-<br />
spunzător<br />
In cazul x = y = v relat¸ia<br />
Av = λv.<br />
verificată <strong>de</strong> A oricare ar fi x, y ∈ V <strong>de</strong>vine succesiv<br />
〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉 (4.10)<br />
〈Av, Av〉 = 〈v, v〉<br />
〈λv, λv〉 = 〈v, v〉<br />
λ ¯ λ〈v, v〉 = 〈v, v〉<br />
|λ| 2 ||v|| 2 = ||v|| 2<br />
|λ| = 1.<br />
b) Fie λ1 = λ2 două valori proprii distincte ¸si v1, v2 vectori proprii corespunzători<br />
Av1 = λ1v1, Av2 = λ2v2.<br />
Deoarece λ2 ¯ λ2 =|λ2| 2 =1, în cazul x=v1, y =v2 relat¸ia (4.10) se poate scrie succesiv<br />
〈Av1, Av2〉 = 〈v1, v2〉<br />
〈λ1v1, λ2v2〉 = 〈v1, v2〉<br />
λ1 ¯ λ2〈v1, v2〉 = 〈v1, v2〉<br />
λ1<br />
λ2 〈v1, v2〉 = 〈v1, v2〉<br />
(λ1 − λ2)〈v1, v2〉 = 0<br />
〈v1, v2〉 = 0.<br />
Teorema 4.38 Dacă A : V −→ V este o transformare unitară atunci există o bază<br />
a lui V în raport cu care matricea lui A este o matrice diagonală.
Spat¸ii vectoriale euclidiene 107<br />
Demonstrat¸ie. Utilizăm metoda induct¸iei matematice. Afirmat¸ia este, evi<strong>de</strong>nt,<br />
a<strong>de</strong>vărată în cazul dim V = 1. Presupunând că afirmat¸ia este este a<strong>de</strong>varată în<br />
cazul spat¸iilor <strong>de</strong> dimensiune n − 1 aratăm că ea este a<strong>de</strong>vărată ¸si pentru spat¸iile<br />
<strong>de</strong> dimensiune n. Fie V un spat¸iu vectorial <strong>de</strong> dimensiune n ¸si A : V −→ V o<br />
transformare unitară. Fie λ1 ∈ C o valoare proprie ¸si v1 = 0 un vector propriu<br />
corespunzător<br />
Vectorul unitar e1 = v1<br />
||v1||<br />
Subspat¸iul vectorilor ortogonali pe e1<br />
Av1 = λ1 v1.<br />
este ¸si el vector propriu corespunzător valorii proprii λ1<br />
<br />
v1<br />
Ae1 = A =<br />
||v1||<br />
1<br />
||v1|| Av1 = λ1e1.<br />
W = {e1} ⊥ = { x ∈ V | 〈x, e1〉 = 0 }<br />
este un spat¸iu vectorial <strong>de</strong> dimensiune n − 1 ¸si span{e1} ⊕ W = V . El este un<br />
subspat¸iu invariant al lui A<br />
x ∈ W =⇒ 〈Ax, e1〉 = λ1〈Ax, λ1e1〉=λ1〈Ax, Ae1〉=λ1〈x, e1〉=0 =⇒ Ax ∈ W.<br />
Relat¸ia<br />
〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉<br />
fiind verificată oricare ar fi x, y ∈ V rezultă ca restrict¸ia lui A la W<br />
verifică relat¸ia<br />
A|W : W −→ W<br />
〈A|W x, A|W y〉 = 〈x, y〉<br />
oricare ar fi x, y ∈ W , adică este transformare unitară. Conform ipotezei <strong>de</strong> induct¸ie<br />
exista o bază ortonormată {e2, e3, ..., en} a lui W în raport cu care matricea lui A|W<br />
este diagonală<br />
⎛<br />
⎜<br />
A|W = ⎜<br />
⎝<br />
λ2<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
λ3<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
⎞<br />
0<br />
0<br />
⎟<br />
· · · ⎠<br />
0 0 · · · λn
108 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Sistemul <strong>de</strong> vectori {e1, e2, e3, ..., en} este o bază ortonormată a lui V în raport cu<br />
care matricea lui A este<br />
⎛<br />
⎜<br />
A = ⎜<br />
⎝<br />
λ1 0 0 · · · 0<br />
0 λ2 0 · · · 0<br />
0 0 λ3 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 0 · · · λn<br />
4.7 Transformări ortogonale<br />
Definit¸ia 4.39 Fie (V, 〈, 〉) un spat¸iu vectorial euclidian real (finit-dimensional).<br />
Prin transformare ortogonală (numită ¸si operator ortogonal) se înt¸elege o<br />
aplicat¸ie liniară A : V −→ V cu proprietatea<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V.<br />
Propozit¸ia 4.40 Aplicat¸ia liniară A : V −→ V este transformare ortogonală dacă<br />
¸si numai dacă<br />
||Ax|| = ||x||, ∀x ∈ V.<br />
Demonstrat¸ie. Dacă A : V −→ V este transformare ortogonală atunci<br />
||Ax|| =<br />
<br />
<br />
〈Ax, Ax〉 = 〈x, x〉 = ||x||, ∀x ∈ V.<br />
Invers, dacă ||Ax|| = ||x|| oricare ar fi x ∈ V , atunci<br />
〈Ax, Ay〉 = 1<br />
4<br />
= 1<br />
4<br />
(〈Ax + Ay, Ax + Ay〉 − 〈Ax − Ay, Ax − Ay〉)<br />
||A(x + y)|| 2 − ||A(x − y)|| 2 〉 = 1<br />
4<br />
= 1<br />
4 (〈x + y, x + y〉 − 〈x − y, x − y〉〉) = 〈x, y〉.<br />
||x + y|| 2 − ||x − y|| 2 〉 <br />
Propozit¸ia 4.41 Dacă A, B ∈ L(V ) sunt transformări ortogonale atunci AB este<br />
transformare ortogonală. Orice transformare ortogonală A este bijectivă ¸si A −1 este<br />
transformare ortogonală.
Spat¸ii vectoriale euclidiene 109<br />
Demonstrat¸ie. A se ve<strong>de</strong>a <strong>de</strong>monstrat¸ia propozit¸iei 4.31 .<br />
Propozit¸ia 4.42 Fie A ∈ L(V ). Următoarele afirmat¸ii sunt echivalente:<br />
a) A este transformare ortogonală<br />
b) A ∗ A = I<br />
c) A este bijectivă ¸si A −1 = A ∗ .<br />
Demonstrat¸ie. A se ve<strong>de</strong>a <strong>de</strong>monstrat¸ia propozit¸iei 4.32.<br />
Propozit¸ia 4.43 Fie A ∈ Mn×n(R) o matrice cu n linii ¸si n coloane cu elemente<br />
numere reale ¸si fie t A transpusa ei. Relat¸iile<br />
A t A = I,<br />
t A A = I, A −1 = t A.<br />
un<strong>de</strong> I ∈ Mn×n(C) este matricea unitate, sunt echivalente.<br />
Demonstrat¸ie. A se ve<strong>de</strong>a <strong>de</strong>monstrat¸ia propozit¸iei 4.33.<br />
Definit¸ia 4.44 Matricea A∈Mn×n(C) este numită matrice ortogonală dacă<br />
t A A=I<br />
(condit¸ie echivalentă cu A −1 = t A ¸si A t A = I).<br />
Observat¸ia 4.9 Dacă A este o matrice ortogonală atunci <strong>de</strong>tA ∈ {−1, 1}.<br />
Teorema 4.45 Matricea <strong>de</strong> trecere între două baze ortonormate ale unui spat¸iu<br />
vectorial eucli<strong>de</strong>an real este o matrice ortogonală.<br />
Demonstrat¸ie. A se ve<strong>de</strong>a <strong>de</strong>monstrat¸ia teoremei 4.35.<br />
Propozit¸ia 4.46 O transformare liniară este transformare ortogonală dacă ¸si nu-<br />
mai dacă matricea ei în raport cu o bază ortonormată este o matrice ortogonală.<br />
Demonstrat¸ie. A se ve<strong>de</strong>a <strong>de</strong>monstrat¸ia propozit¸iei 4.36.<br />
Teorema 4.47 Dacă A : V −→ V este o transformare ortogonală atunci:<br />
a) orice valoare proprie λ este egală cu 1 sau −1.<br />
b) vectorii proprii corespunzători la valori proprii distincte sunt ortogonali.
110 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. A se ve<strong>de</strong>a <strong>de</strong>monstrat¸ia teoremei 4.37.<br />
Observat¸ia 4.10 In general, în cazul unei transformări ortogonale A : V −→ V nu<br />
există o bază a lui V în raport cu care matricea lui A să fie o matrice diagonală.<br />
Exercit¸iul 4.5 Să se arate că<br />
A : R 3 −→ R 3 , A(x, y, z) =<br />
este transformare ortogonală.<br />
<br />
2x + 2y − z<br />
,<br />
3<br />
−x + 2y + 2z<br />
,<br />
3<br />
2x − y + 2z<br />
<br />
3
Capitolul 5<br />
Forme pătratice<br />
5.1 Definit¸ie ¸si exemple<br />
Definit¸ia 5.1 Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K, un<strong>de</strong> K = R sau K = C.<br />
Prin formă biliniară se înt¸elege o aplicat¸ie<br />
astfel încât<br />
g : V × V −→ K<br />
g(αx + βy, z) = α g(x, z) + β g(y, z)<br />
g(x, αy + βz) = α g(x, y) + β g(x, z)<br />
∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ K.<br />
Observat¸ia 5.1 Alegând o bază {e1, e2, ..., en} si utilizând reprezentările<br />
n<br />
x = xiei,<br />
n<br />
y = yjej<br />
i=1<br />
j=1<br />
ale vectorilor x ¸si y obt¸inem<br />
ni=1 g(x, y) = g xiei , <br />
n<br />
j=1 yjej<br />
= n nj=1 i=1 xi yj g(ei, ej)<br />
⎛<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
g11 g12 · · · g1n<br />
y1<br />
⎜ g21 g22 · · ·<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
g2n ⎟ ⎜ y2 ⎟<br />
= (x1 x2 ... xn) ⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ ⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠<br />
gn1 gn2 · · · gnn yn<br />
111
112 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
un<strong>de</strong> gij = g(ei, ej).<br />
Definit¸ia 5.2 Fie g : V × V −→ K o formă biliniară ¸si B = {e1, e2, ..., en} o bază a<br />
lui V . Matricea<br />
⎛<br />
g11<br />
⎜ g21<br />
G = ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
g12<br />
g22<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
g1n<br />
g2n<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
gn1 gn2 · · · gnn<br />
se nume¸ste matricea lui g in raport cu baza B.<br />
g(e1, e1) g(e1, e2) · · · g(e1, en)<br />
g(e2, e1) g(e2, e2) · · · g(e2, en)<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
g(en, e1) g(en, e2) · · · g(en, en)<br />
Propozit¸ia 5.3 Fie g : V × V −→ K o formă biliniară, B, B ′ două baze ale lui V<br />
¸si S matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la B la B ′ . Dacă G este matricea lui g în raport cu B ¸si<br />
G ′ este matricea lui g în raport cu baza B ′ atunci<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
G ′ = t S G S. (5.1)<br />
Demonstrat¸ie. Fie B = {e1, e2, ..., en}, B ′ = {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n}, e ′ i = n j=1 αji ej, adică<br />
⎛<br />
⎞<br />
α11 α12 · · · α1n<br />
⎜ α21 α22 · · ·<br />
⎟<br />
α2n ⎟<br />
S = ⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠<br />
¸si fie gij = g(ei, ej), g ′ ij = g(e′ i , e′ j ). Avem<br />
αn1 αn2 · · · αnn<br />
g ′ ij = g(e′ i , e′ j ) = g ( n<br />
k=1 αki ek, n m=1 αmj em)<br />
= n nm=1 k=1 αki αmj g(ek, em) = n nm=1 k=1 αki gkm αmj<br />
relat¸ie echivalentă cu (5.1).<br />
Observat¸ia 5.2 Expresia in coordonate<br />
g ′ n n<br />
ij = αki αmj gkm<br />
k=1 m=1<br />
a relat¸iei G ′ = t S G S obt¸inută în <strong>de</strong>monstrat¸ia propozit¸iei ne arată că orice formă<br />
biliniară este un tensor <strong>de</strong> tip (0, 2).
Forme pătratice 113<br />
Definit¸ia 5.4 Spunem că forma biliniară<br />
este o formă biliniară simetrică dacă<br />
Definit¸ia 5.5 O aplicat¸ie<br />
g : V × V −→ K<br />
g(x, y) = g(y, x), ∀x, y ∈ V.<br />
Q : V −→ K<br />
este numită formă pătratică dacă există o formă biliniară simetrică<br />
astfel încât<br />
g : V × V −→ K<br />
Q(x) = g(x, x), ∀x ∈ V.<br />
Propozit¸ia 5.6 Fiecărei forme pătratice Q : V −→ K îi corespun<strong>de</strong> o singură formă<br />
biliniară simetrică g : V × V −→ K astfel încât<br />
Demonstrat¸ie. Din relat¸ia<br />
Q(x) = g(x, x), ∀x ∈ V.<br />
Q(x + y) = g(x + y, x + y)<br />
= g(x, x) + g(x, y) + g(y, x) + g(y, y)<br />
= Q(x) + Q(y) + 2 g(x, y)<br />
rezultă<br />
g(x, y) = 1<br />
<br />
<br />
Q(x + y) − Q(x) − Q(y) ,<br />
2<br />
∀x, y ∈ V.<br />
Observat¸ia 5.3 Dacă Q : V −→ K este o formă pătratică ¸si g : V × V −→ K forma<br />
biliniară simetrică asociată atunci alegând o bază {e1, e2, ..., en} obt¸inem relat¸ia<br />
n<br />
Q(x) = gijxixj = (x1<br />
i,j=1<br />
x2<br />
⎛<br />
g11<br />
⎜ g21<br />
... xn) ⎜<br />
⎝ · · ·<br />
gn1<br />
g12<br />
g22<br />
· · ·<br />
gn2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
g1n<br />
g2n<br />
· · ·<br />
gnn<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎜<br />
⎝<br />
x1<br />
x2<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
un<strong>de</strong> gij = g(ei, ej) ¸si x1, x2, ... , xn sunt coordonatele lui x în baza aleasă.<br />
xn
114 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Definit¸ia 5.7 Prin <strong>de</strong>finit¸ie, matricea unei forme pătratice în raport cu o bază<br />
este matricea formei biliniare simetrice asociate în raport cu acea bază.<br />
Exemplul 5.1 Aplicat¸ia<br />
Q : R 3 −→ R, Q(x1, x2, x3) = x 2 1 + 3x 2 2 + x 2 3 − 2x1x2 − 4x1x3<br />
este o formă pătratică <strong>de</strong>oarece există forma biliniară simetrică<br />
g : R 3 × R 3 −→ R,<br />
g((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) = x1 y1 + 3 x2 y2 + x3 y3<br />
astfel încât Q(x1, x2, x3) = g((x1, x2, x3), (x1, x2, x3)).<br />
5.2 Reducere la forma canonică<br />
−x1 y2 − x2 y1 − 2x1 y3 − 2x3 y1<br />
Observat¸ia 5.4 Matricea unei forme pătratice <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> baza aleasă. In aplicat¸ii<br />
este avantajoasă utilizarea unei baze în raport cu care expresia în coordonate a<br />
formei pătratice să fie cât mai simplă.<br />
Definit¸ia 5.8 Spunem că forma pătratică Q : V −→ K are în raport cu baza<br />
{e1, e2, ..., en} forma canonică dacă matricea lui Q în raport cu această bază este<br />
o matrice diagonală<br />
⎛<br />
⎜<br />
G = ⎜<br />
⎝<br />
λ1 0 · · · 0<br />
0 λ2 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · λn<br />
adică, expresia în coordonate a formei Q în raport cu acestă bază este <strong>de</strong> forma<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Q(x) = λ1 x 2 1 + λ2 x 2 2 + · · · + λn x 2 n.<br />
Observat¸ia 5.5 Expresia “forma pătratică Q : V −→ K are în raport cu baza<br />
{e1, e2, ..., en} forma canonică” trebuie înt¸eleasă în sensul “funct¸ia Q : V −→ K are<br />
în raport cu baza {e1, e2, ..., en} expresia cea mai simplă.”
Forme pătratice 115<br />
Teorema 5.9 (Gauss) Orice formă pătratică poate fi redusă la forma canonică,<br />
adică, pentru orice formă pătratică Q : V −→ K există o bază în raport cu care<br />
expresia lui Q are forma Q(x) = λ1 x 2 1 + λ2 x 2 2 + · · · + λn x 2 n.<br />
Demonstrat¸ie. Baza căutată poate fi obt¸inută în toate cazurile utilizând metoda<br />
prezentată în rezolvările următoarelor două exercit¸ii.<br />
Exercit¸iul 5.2 Să se reducă la forma canonică forma pătratică<br />
Q : R 3 −→ R, Q(x1, x2, x3) = x 2 1 + 3x 2 2 + x 2 3 − 2x1x2 − 4x1x3<br />
indicând ¸si baza utilizată.<br />
Rezolvare. Deoarece<br />
x = (x1, x2, x3) = x1(1, 0, 0) + x2(0, 1, 0) + x3(0, 0, 1)<br />
numerele x1, x2, x3 pot fi privite ca fiind coordonatele vectorului x ∈ R 3 în raport<br />
cu baza canonică B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)}. Grupând într-un<br />
pătrat termenii care cont¸in pe x1 ¸si apoi pe cei care cont¸in pe x2 obt¸inem relat¸ia<br />
Q(x) = (x1 − x2 − 2x3) 2 + 2x 2 2 − 3x2 3<br />
− 4x2x3<br />
= (x1 − x2 − 2x3) 2 + 2(x2 − x3) 2 − 5x 2 3<br />
= x ′ 2<br />
1 + 2x ′ 2<br />
2 − 5x ′ 2<br />
3<br />
care ne sugerează necesitatea <strong>de</strong> a căuta o bază B ′ = {e ′ 1 , e′ 2 , e′ 3 } astfel încât coordonatele<br />
x ′ 1 , x′ 2 , x′ 3 în raport cu baza căutată B′ să se exprime cu ajutorul coordonatelor<br />
x1, x2, x3 în raport cu baza canonică B prin relat¸iile<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x ′ 1 = x1 − x2 − 2x3<br />
x ′ 2 = x2 − x3<br />
x ′ 3 = x3<br />
Determinarea bazei B ′ este echivalentă cu găsirea matricei<br />
⎛<br />
⎞<br />
S =<br />
⎜<br />
⎝<br />
α11 α12 α13<br />
α21 α22 α23<br />
α31 α32 α33<br />
⎟<br />
⎠<br />
(5.2)
116 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
<strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la B la B ′ . Relat¸iile e ′ j = 3 i=1 αijei ¸si x= 3 i=1 xiei = 3 j=1 x ′ j e′ j conduc<br />
la relat¸ia<br />
3 3<br />
xiei = x<br />
i=1 j=1<br />
′ je ′ 3<br />
j = x<br />
j=1<br />
′ ⎛<br />
3<br />
3 3<br />
j αijei = ⎝ αijx<br />
i=1 i=1 j=1<br />
′ ⎞<br />
⎠<br />
j ei<br />
echivalentă cu ⎧ ⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x1 = α11 x ′ 1 + α12 x ′ 2 + α13 x ′ 3<br />
x2 = α21 x ′ 1 + α22 x ′ 2 + α23 x ′ 3<br />
x1 = α31 x ′ 1 + α32 x ′ 2 + α33 x ′ 3 .<br />
Numerele αij pot fi imediat i<strong>de</strong>ntificate dacă folosind relat¸iile (5.2) exprimăm x1,<br />
x2, x3 cu ajutorul coordonatelor x ′ 1 , x′ 2 , x′ 3<br />
⎧<br />
⎪⎨ x1 = x ′ 1 + x′ 2 + 3x′ 3<br />
Se obt¸ine<br />
⎪⎩<br />
x2 = x ′ 2 + x′ 3<br />
x3 = x ′ 3<br />
S =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 3<br />
0 1 1<br />
0 0 1<br />
ceea ce conduce la B ′ = {e ′ 1 = (1, 0, 0), e′ 2 = (1, 1, 0), e′ 3<br />
această bază Q are forma canonică<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Q(x) = x ′ 2 ′ 2 ′ 2<br />
1 + 2x 2 − 5x 3 .<br />
Exercit¸iul 5.3 Să se reducă la forma canonică forma pătratică<br />
indicând ¸si baza utilizată.<br />
Q : R 3 −→ R, Q(x1, x2, x3) = x1x2 + x1x3 + x2x3<br />
Rezolvare. Efectuăm mai întâi schimbarea <strong>de</strong> coordonate<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
care conduce la<br />
⎪⎩<br />
x1 = x ′ 1 + x′ 2<br />
x2 = x ′ 1 − x′ 2<br />
x3 = x ′ 3<br />
Q(x) = x ′ 2 ′ 2 ′<br />
1 − x 2 + 2x 1x ′ 3<br />
= (3, 1, 1)}. In raport cu
Forme pătratice 117<br />
¸si apoi utilizăm metoda folosită în exercit¸iul anterior. Se obt¸ine<br />
un<strong>de</strong><br />
Q(x) = (x ′ 1 + x ′ 3) 2 − x ′ 2 ′ 2 ′′ 2 ′′ 2 ′′ 2<br />
2 − x 3 = x 1 − x 2 − x 3<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x ′′<br />
1 = x′ 1 + x′ 3<br />
x ′′<br />
2 = x′ 2<br />
x ′′<br />
3 = x′ 3 .<br />
Exprimând coordonatele init¸iale x1, x2, x3 în funct¸ie <strong>de</strong> cele finale x ′′<br />
1 , x′′ 2 , x′′ 3<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
x1 = x ′′<br />
1<br />
x2 = x ′′<br />
1<br />
x3 = x ′′<br />
3<br />
+ x′′<br />
2<br />
− x′′<br />
2<br />
− x′′<br />
3<br />
− x′′<br />
3<br />
rezultă ca matricea <strong>de</strong> trecere între baza init¸ială {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 =<br />
(0, 0, 1)} ¸si baza finală B ′′ = {e ′′<br />
1<br />
, e′′<br />
2<br />
S =<br />
, e′′ 3 } este<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 −1<br />
1 −1 −1<br />
0 0 1<br />
ceea ce conduce la B ′′ = {e ′′<br />
1 = (1, 1, 0), e′′ 2 = (1, −1, 0), e′′ 3 = (−1, −1, 1)}. In raport<br />
cu această bază Q are forma canonică<br />
Q(x) = x ′′<br />
1<br />
2 − x ′′<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 ′′ 2<br />
− x 3 .<br />
Teorema 5.10 (Jacobi) Fie Q : V −→ K o formă pătratică ¸si fie<br />
⎛<br />
⎞<br />
g11 g12 · · · g1n<br />
⎜ g21 g22 · · ·<br />
⎟<br />
g2n ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠<br />
gn1 gn2 · · · gnn
118 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
matricea ei în raport cu o bază B. Dacă<br />
∆1 = g11 = 0<br />
<br />
<br />
g11 g12 <br />
∆2 = = 0<br />
g21 g22 <br />
...................................<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∆n = <br />
<br />
<br />
<br />
g11 g12 · · · g1n<br />
g21 g22 · · · g2n<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
gn1 gn2 · · · gnn<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
<br />
<br />
atunci există o bază B ′ în raport cu care Q are expresia<br />
Q(x) = 1<br />
x<br />
∆1<br />
′ 2 ∆1<br />
1 + x<br />
∆2<br />
′ 2 ∆n−1<br />
2 + · · · + x<br />
∆n<br />
′ 2<br />
n .<br />
Demonstrat¸ie. Fie B = {e1, e2, ..., en} ¸si fie g : V ×V −→ K forma biliniară simetrică<br />
corespunzătoare lui Q. Arătăm că există o bază B ′ formată din vectori <strong>de</strong> forma<br />
e ′ 1 = α11e1<br />
e ′ 2 = α12e1 + α22e2<br />
........................<br />
e ′ n = α1ne1 + α2ne2 + · · · + αnnen<br />
satisfăcând pentru orice j ∈ {1, 2, ..., n} relat¸iile<br />
adică ⎧⎪ ⎨<br />
⎪⎩<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
g(e ′ j , e1) = 0<br />
g(e ′ j , e2) = 0<br />
......................<br />
g(e ′ j , ej−1) = 0<br />
g(e ′ j , ej) = 1<br />
g11α1j + g21α2j + · · · + gj1αjj = 0<br />
.............................................................<br />
g1j−1α1j +g2j−1α2j +· · ·+gjj−1αjj = 0<br />
g1jα1j + g2jα2j + · · · + gjjαjj = 1<br />
(5.3)
Forme pătratice 119<br />
¸si că în raport cu astfel <strong>de</strong> bază Q are expresia indicată. Deoarece<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∆j = <br />
<br />
<br />
<br />
g11 g12 · · · g1j<br />
g21 g22 · · · g2j<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
gj1 gj2 · · · gjj<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
<br />
<br />
sistemul (5.3) este un sistem Cramer care permite <strong>de</strong>terminarea coeficient¸ilor α1j,<br />
α2j, ... , αjj ai lui e ′ j . In particular,<br />
¸si<br />
αjj = ∆j−1<br />
∆j<br />
g ′ jj = g(e′ j , e′ j ) = g(e′ j , α1ke1 + α2ke2 + · · · + αjjej)<br />
=α1j g(e ′ j , e1)+α2j g(e ′ j , e2)+· · ·+αj−1j g(e ′ j , ej−1)+αjj g(e ′ j , ej)=αjj = ∆j−1<br />
. ∆j<br />
Dacă k < j atunci<br />
g ′ jk = g(e′ j , e′ k ) = g(e′ j , α1ke1 + α2ke2 + · · · + αkkek)<br />
= α1k g(e ′ j , e1) + α2k g(e ′ j , e2) + · · · + αkk g(e ′ j , ek) = 0.<br />
Teorema 5.11 Dacă V este un spat¸iu vectorial euclidian real,<br />
Q : V −→ R<br />
este o formă pătratică a cărei matrice în raport cu o bază ortonormată B este<br />
⎛<br />
⎞<br />
g11 g12 · · · g1n<br />
⎜ g21 g22 · · ·<br />
⎟<br />
g2n ⎟<br />
G = ⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠<br />
gn1 gn2 · · · gnn<br />
atunci există o bază ortonormată B ′ în raport cu care Q are forma<br />
Q(x) = λ1 x ′ 2<br />
1 + λ2 x ′ 2<br />
2 + · · · + λn x ′ 2<br />
n<br />
un<strong>de</strong> λ1, λ2, ... , λn sunt valorile proprii ale matricei G.
120 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. Fie B = {e1, e2, ..., en}. Relat¸ia<br />
n<br />
A : V −→ V, Aei = gji ej<br />
j=1<br />
<strong>de</strong>fine¸ste un operator autoadjunct a cărui matrice în raport cu baza B coinci<strong>de</strong> cu<br />
matricea G a lui Q în raport cu aceea¸si bază. Deoarece A este diagonalizabil există o<br />
bază ortonormată B ′ = {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n} formată din vectori proprii ai lui A în raport<br />
cu care matricea lui A este<br />
⎛<br />
A ′ ⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
λ1 0 · · · 0<br />
0 λ2 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · λn<br />
Notând cu S matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la B la B ′ avem<br />
A ′ = S −1 GS.<br />
Pe <strong>de</strong> altă parte ¸stim că matricea G ′ a formei pătratice Q în raport cu baza B ′ este<br />
G ′ = t SGS.<br />
Deoarece matricea <strong>de</strong> trecere între două baze ortonormate este o matrice ortogonală<br />
avem S −1 = t S ¸si<br />
⎛<br />
G ′ = t SGS = S −1 GS = A ′ ⎜<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
λ1 0 · · · 0<br />
0 λ2 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · λn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
Capitolul 6<br />
Conice<br />
6.1 Definit¸ie ¸si exemple<br />
Vom prezenta în continuare unele aplicat¸ii ale algebrei liniare în geometrie.<br />
Definit¸ia 6.1 Prin conică se înt¸elege mult¸imea solut¸iilor unei ecuat¸ii <strong>de</strong> forma<br />
a11 x 2 + 2 a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 (6.1)<br />
având cel put¸in unul dintre coeficient¸ii a11, a12, a22 nenul.<br />
Exemplul 6.1 Ecuat¸ia<br />
este ecuat¸ia unui cerc,<br />
este ecuat¸ia unei elipse,<br />
este ecuat¸ia unei hiperbole,<br />
este ecuat¸ia unei parabole, iar<br />
x 2 + y 2 − 1 = 0<br />
1<br />
9 x2 + 1<br />
4 y2 − 1 = 0<br />
1<br />
9 x2 − 1<br />
4 y2 − 1 = 0<br />
y 2 − 2x = 0<br />
x 2 − y 2 = 0<br />
121
122 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
reprezintă ecuat¸ia a două drepte concurente.<br />
Observat¸ia 6.1 In cazul unei translat¸ii <strong>de</strong> vector (x0, y0) a reperului urmate <strong>de</strong><br />
o rotat¸ie <strong>de</strong> unghi α legătura între coodonatele (x, y) ale unui punct în raport cu<br />
reperul init¸ial R ¸si coordonatele (x ′ , y ′ ) ale aceluia¸si punct în raport cu reperul final<br />
R ′ este <br />
x = x0 + x ′ cos α − y ′ sin α<br />
y = y0 + x ′ sin α + y ′ cos α<br />
Teorema 6.2 La o schimbare <strong>de</strong> reper ecuat¸ia unei conice<br />
a11 x 2 + 2 a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0<br />
se transformă într-o ecuat¸ie <strong>de</strong> aceea¸si formă<br />
a ′ 11 x 2 + 2 a ′ 12 xy + a ′ 22 y 2 + 2a ′ 13 x + 2a ′ 23 y + a ′ 33 = 0
Conice 123<br />
iar parametrii<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13 <br />
a11 a12 <br />
<br />
<br />
I = a11 + a22, δ = , ∆ = a12 a22 a23 <br />
a12 a22 <br />
<br />
a13 a23 a33 <br />
rămân invariant¸i, adică a11 + a22 = a ′ 11 + a′ 22 ,<br />
<br />
<br />
a11 a12 <br />
<br />
a12 a22 =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Demonstrat¸ie. Relat¸ia<br />
a ′ 11 a′ 12<br />
a ′ 12 a′ 22<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
,<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 a12 a13 <br />
<br />
<br />
a12 a22 a23 = <br />
<br />
<br />
a13 a23 a33 <br />
a ′ 11 a′ 12 a′ 13<br />
a ′ 12 a′ 22 a′ 23<br />
a ′ 13 a′ 23 a′ 33<br />
f(x, y) = a11 x 2 + 2 a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33<br />
se poate scrie în formă matriceală<br />
⎛<br />
⎜<br />
f(x, y) = ( x y 1 ) ⎝<br />
utilizând notat¸iile<br />
X =<br />
<br />
x<br />
y<br />
<br />
Relat¸ia <br />
se poate scrie sub forma<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
x<br />
y<br />
1<br />
a11 a12 a13<br />
a12 a22 a23<br />
a13 a23 a33<br />
, B =<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ =<br />
sau <br />
<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
a13<br />
a23<br />
<br />
x<br />
y<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = ( t X 1 )<br />
, A =<br />
x = x0 + x ′ cos α − y ′ sin α<br />
y = y0 + x ′ sin α + y ′ cos α<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
X<br />
1<br />
cos α − sin α x0<br />
sin α cos α y0<br />
0 0 1<br />
<br />
=<br />
<br />
R T<br />
0 1<br />
<br />
<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ ⎝<br />
X ′<br />
1<br />
<br />
<br />
a11 a12<br />
a12 a22<br />
x ′<br />
y ′<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
A B<br />
t B a33<br />
<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
<br />
<br />
X<br />
1
124 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
utilizând notat¸iile<br />
<br />
Din relat¸ia<br />
X ′ =<br />
x ′<br />
y ′<br />
<br />
f(x, y) = ( t X 1 )<br />
, T =<br />
= ( t X ′ 1 )<br />
= ( t X ′ 1 )<br />
<br />
<br />
x0<br />
y0<br />
A B<br />
t B a33<br />
tR 0<br />
t T 1<br />
<br />
<br />
, R =<br />
<br />
<br />
A ′ B ′<br />
t B ′ a ′ 33<br />
X<br />
1<br />
<br />
A B<br />
t B a33<br />
<br />
<br />
<br />
cos α − sin α<br />
sin α cos α<br />
R T<br />
0 1<br />
rezultă că în urma schimbării <strong>de</strong> reper, f(x, y) se transformă într-un polinom <strong>de</strong><br />
aceea¸si formă,<br />
∆ ′ = <strong>de</strong>t<br />
¸si A ′ = tRAR, adică<br />
<br />
a ′ 11 a′ a<br />
12<br />
′ 12 a′ 22<br />
<br />
= <strong>de</strong>t<br />
= <strong>de</strong>t<br />
=<br />
<br />
<br />
A ′ B ′<br />
t B ′ a ′ 33<br />
tR 0<br />
t T 1<br />
<br />
<br />
A B<br />
t B a33<br />
<br />
<strong>de</strong>t<br />
<br />
cos α sin α<br />
− sin α cos α<br />
relat¸ie care conduce la δ ′ = δ ¸si I ′ = I.<br />
<br />
= ∆<br />
X ′<br />
1<br />
<br />
A B<br />
t B a33<br />
<br />
6.2 Reducere la forma canonică<br />
<br />
a11 a12<br />
a12 a22<br />
Observat¸ia 6.2 In cazul unei translat¸ii a reperului<br />
<br />
x = x0 + x ′<br />
y = y0 + x ′<br />
<strong>de</strong>t<br />
<br />
<br />
<br />
R T<br />
0 1<br />
<br />
<br />
X ′<br />
1<br />
.<br />
<br />
cos α − sin α<br />
sin α cos α
Conice 125<br />
polinomul<br />
se transformă în<br />
f(x, y) = a11 x 2 + 2 a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33<br />
˜f(x ′ , y ′ ) = a11 x ′2 + 2a12 x ′ y ′ + a22 y ′2 + 2(a11 x0 + a12 y0 + a13)x ′<br />
+ 2(a12 x0 + a22 y0 + a23)y ′ + f(x0, y0).<br />
(6.2)<br />
Definit¸ia 6.3 Spunem că punctul (x0, y0) este un centru al conicei (6.1) dacă în<br />
raport cu reperul translatat cu (x0, y0)<br />
˜f(x ′ , y ′ ) = 0 ⇐⇒ ˜ f(−x ′ , −y ′ ) = 0. (6.3)<br />
Propozit¸ia 6.4 Punctul (x0, y0) este un centru al conicei (6.1) dacă ¸si numai dacă<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
a11 x0 + a12 y0 + a13 = 0<br />
a12 x0 + a22 y0 + a23 = 0<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din (6.2) ¸si (6.3).<br />
Teorema 6.5 a) Dacă δ = 0 atunci conica (6.1) are un singur centru ¸si anume<br />
<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
−a13 a12 1 <br />
<br />
a11 −a13 <br />
(x0, y0) = <br />
, <br />
.<br />
δ −a23 a22 δ a12 −a23 <br />
b) In reperul rezultat in urma translat¸iei cu (x0, y0) ecuat¸ia conicei este<br />
a11 x ′2 + 2 a12 x ′ y ′ + a22 y ′2 + ∆<br />
δ<br />
c) Există un reper în raport cu care ecuat¸ia conicei este<br />
λ1 X 2 + λ2 Y 2 + ∆<br />
δ<br />
= 0<br />
= 0.<br />
un<strong>de</strong> λ1 ¸si λ2 sunt rădăcinile ecuat¸iei<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11 − λ a12<br />
a22 − λ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0 adica λ2 − I λ + δ = 0.<br />
a12<br />
(6.4)
126 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. a) In cazul δ = 0 sistemul (6.4) are solut¸ia unică (x0, y0).<br />
b) Din relat¸ia (6.2) rezultă că ecuat¸ia conicei în reperul rezultat în urma translat¸iei<br />
cu (x0, y0) este<br />
a11 x ′2 + 2 a12 x ′ y ′ + a22 y ′2 + f(x0, y0) = 0.<br />
Deoarece valoarea parametrului ∆ nu <strong>de</strong>pin<strong>de</strong> <strong>de</strong> reperul utilizat<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∆ = <br />
<br />
<br />
a11 a12 0<br />
a12 a22 0<br />
0 0 f(x0, y0)<br />
relat¸ie care conduce la f(x0, y0) = ∆<br />
δ .<br />
c) Conform teoremei 4.37 în cazul formei pătratice<br />
Q : R 2 −→ R, Q(x ′ , y ′ ) = a11 x ′2 + 2 a12 x ′ y ′ + a22 y ′2<br />
există o bază ortonormată a lui R 2 formată din vectori proprii ai matricei<br />
în raport cu care Q are forma canonică<br />
<br />
a11 a12<br />
a12 a22<br />
Q : R 2 −→ R, Q(X, Y ) = λ1X 2 + λ2Y 2 .<br />
Rotind reperul rezultat în urma translat¸iei cu (x0, y0) astfel încât axele să fie dirijate<br />
<strong>de</strong>-a lungul vectorilor proprii ai matricei<br />
ecuat¸ia conicei <strong>de</strong>vine λ1 X 2 + λ2 Y 2 + ∆<br />
δ<br />
<br />
a11 a12<br />
a12 a22<br />
Observat¸ia 6.3 Dacă δ = a11a22 − a2 12<br />
a11, a22 este nenul <strong>de</strong>oarece în caz contrar am avea a11 = a12 = a22 = 0. Vom<br />
= 0.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0 atunci cel put¸in unul dintre coeficient¸ii<br />
analiza cazul a11 = 0, <strong>de</strong>oarece cazul a22 = 0 conduce la rezultate similare.
Conice 127<br />
Teorema 6.6 a) In cazul în care δ = 0, a11 = 0 ¸si ∆ = 0 există un reper în raport<br />
cu care ecuat¸ia conicei este<br />
a ′ 22y ′2 + 2a ′ 23 y ′ + a ′ 33 = 0.<br />
a) In cazul în care δ = 0, a11 = 0 ¸si ∆ = 0 există un reper în raport cu care ecuat¸ia<br />
conicei este<br />
Y 2 = 2pX, un<strong>de</strong> p =<br />
<br />
− ∆<br />
.<br />
I3 Demonstrat¸ie. Efectuând o rotat¸ie <strong>de</strong> unghi α a reperului<br />
<br />
x = x ′ cos α − y ′ sin α<br />
y = x ′ sin α + y ′ cos α<br />
ecuat¸ia conicei <strong>de</strong>vine<br />
cu<br />
a ′ 11 x 2 + 2 a ′ 12 xy + a ′ 22 y 2 + 2a ′ 13 x + 2a ′ 23 y + a ′ 33 = 0<br />
a ′ 11 = 1<br />
(a11 cos α + a12 sin α)<br />
a11<br />
2 .<br />
Alegând α astfel încât ctg α = − a12<br />
a11 rezultă a′ 11 = 0. Având în ve<strong>de</strong>re invariant¸a lui<br />
δ rezultă că a ′ 11a′ 22 − a′ 2<br />
12 = 0, relat¸ie care conduce la a ′<br />
12 = 0.<br />
a) Din relat¸ia<br />
rezultă a ′ 13<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∆ = <br />
<br />
<br />
0 0 a ′ 13<br />
0 a ′ 22 a′ 23<br />
a ′ 13 a′ 23 a′ 33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= a ′ 2 ′<br />
13 a 22 = 0<br />
= 0. In urma rotat¸iei consi<strong>de</strong>rate ecuat¸ia conicei este<br />
b) Dacă ∆ = 0 atunci a ′ 13<br />
se poate scrie succesiv<br />
a ′ 22 y ′2 + 2a ′ 23 y ′ + a ′ 33 = 0.<br />
= 0 ¸si ecuat¸ia conicei<br />
a ′ 22 y ′2 + 2a ′ 13 x ′ + 2a ′ 23 y ′ + a ′ 33 = 0<br />
a ′ 22<br />
<br />
y ′2 + 2a ′ 23<br />
a ′ 22<br />
y ′<br />
<br />
+ 2a ′ 13x ′ + a ′ 33 = 0
128 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
a ′ 22<br />
<br />
y ′ + a′ 23<br />
a ′ 2<br />
22<br />
Efectuând translat¸ia ⎧⎪ ⎨<br />
ecuat¸ia conicei <strong>de</strong>vine<br />
⎪⎩<br />
Deoarece ∆ = a ′ 2<br />
13 a ′<br />
22 ¸si I = a ′ 22<br />
+ 2a ′ <br />
13 x ′ + a′ 22a′ 33 − a′ 2<br />
23<br />
2a ′ 13 a′ <br />
22<br />
X = x ′ + a′ 22a′ 33−a′ 2<br />
23<br />
2a ′ 13 a′ 22<br />
Y = y ′ + a′ 23<br />
a ′ 22<br />
Y 2 = −2 a′ 13<br />
a ′ 22<br />
Y 2 =<br />
X.<br />
ecuat¸ia se mai poate scrie<br />
<br />
− ∆<br />
X.<br />
I3 = 0.<br />
Observat¸ia 6.4 Tinând seama că rădăcinile ecuat¸iei λ 2 −I λ+δ = 0 verifică relat¸iile<br />
λ1 + λ2 = I, λ1 λ2 = δ<br />
din teoremele anterioare rezultă că există următoarele cazuri<br />
Cazul Ce reprezintă conica<br />
δ < 0 ¸si ∆ = 0 hiperbolă<br />
δ > 0 ¸si I∆ < 0 elipsă<br />
δ > 0 ¸si I∆ > 0 mult¸imea vidă<br />
δ > 0 ¸si ∆ = 0 un punct<br />
δ < 0 ¸si ∆ = 0 două drepte concurente<br />
δ = 0 ¸si ∆ = 0 două drepte paralele, o dreaptă sau mult¸imea vidă<br />
δ = 0 ¸si ∆ = 0 o parabolă
Capitolul 7<br />
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuat¸ii<br />
diferent¸iale liniare<br />
Vom prezenta unele aplicat¸ii ale algebrei liniare la rezolvarea ecuat¸iilor diferent¸iale<br />
liniare ¸si a sistemelor <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale liniare.<br />
7.1 Ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> ordinul întâi<br />
Definit¸ia 7.1 O ecuat¸ie diferent¸ială <strong>de</strong> ordinul întâi este o ecuat¸ie <strong>de</strong> forma<br />
F (x, y, y ′ ) = 0 (7.1)<br />
un<strong>de</strong> x este variabila in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntă, y funct¸ia necunoscută, y ′ <strong>de</strong>rivata funct¸iei ne-<br />
cunoscute ¸si F : I × R × R −→ R este o funct¸ie continuă, I ⊆ R fiind un interval.<br />
Prin solut¸ie a ecuat¸iei (7.1) se înt¸elege o funct¸ie <strong>de</strong>rivabilă<br />
cu (a, b) ⊆ I ¸si astfel încât<br />
ϕ : (a, b) −→ R<br />
F (x, ϕ(x), ϕ ′ (x)) = 0, ∀x ∈ (a, b).<br />
129
130 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Definit¸ia 7.2 Spunem că ecuat¸ia diferent¸ială<br />
y ′ = f(x, y) un<strong>de</strong> f : D ⊆ R 2 −→ R (7.2)<br />
este o ecuat¸ie diferent¸ială scrisă sub formă normală.<br />
Prin solut¸ie a ecuat¸iei (7.2) se înt¸elege o funct¸ie <strong>de</strong>rivabilă<br />
astfel încât<br />
1) (x, ϕ(x)) ∈ D, ∀x ∈ (a, b)<br />
ϕ : (a, b) −→ R<br />
2) ϕ ′ (x) = f(x, ϕ(x)), ∀x ∈ (a, b).<br />
Observat¸ia 7.1 Ecuat¸ia (7.2) se mai poate scrie<br />
sau sub forma<br />
dy<br />
= f(x, y) (7.3)<br />
dx<br />
dy = f(x, y) dx (7.4)<br />
numită formă simetrică. Solut¸ia ecuat¸iei (7.4) se poate căuta sub forma<br />
sau<br />
y = y(x)<br />
x = x(y)<br />
sau, mai general, sub formă parametrică<br />
<br />
x = x(t)<br />
y = y(t).<br />
Ecuat¸ia (7.4) este caz particular pentru ecuat¸ia<br />
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, un<strong>de</strong> P, Q : D ⊆ R 2 −→ R (7.5)<br />
care este forma generală a unei ecuat¸ii simetrice.<br />
Prin solut¸ie a ecuat¸iei (7.5) se înt¸elege o pereche <strong>de</strong> aplicat¸ii <strong>de</strong>rivabile<br />
ϕ, ψ : (a, b) −→ R
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 131<br />
astfel încât<br />
1) (ϕ(t), ψ(t)) ∈ D, ∀t ∈ (a, b)<br />
2) P (ϕ(t), ψ(t)) ϕ ′ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t)) ψ ′ (t) = 0, ∀t ∈ (a, b).<br />
Observat¸ia 7.2 S¸tim din liceu că dacă<br />
este o funct¸ie continuă atunci funct¸ia<br />
f : (a, b) −→ R<br />
F : (a, b) −→ R, F (x) =<br />
x<br />
x0<br />
f(t) dt<br />
este o primitivă a lui f oricare ar fi x0 ∈ (a, b), adică avem<br />
<br />
d x <br />
f(t) dt = f(x), ∀x ∈ (a, b).<br />
dx x0<br />
Teorema 7.3 Fie ecuat¸ia cu variabile separabile<br />
y ′ = f(x) g(y) (7.6)<br />
un<strong>de</strong> f : I −→ R ¸si g : J −→ R sunt funct¸ii continue <strong>de</strong>finite pe intervalele I ¸si J.<br />
a) Dacă y0 ∈ J este astfel încât g(y0) = 0 atunci funct¸ia constantă<br />
este o solut¸ie a ecuat¸iei (7.6).<br />
ϕ : I −→ R, ϕ(x) = y0<br />
b) Dacă y0 ∈ J este astfel încât g(y0) = 0 atunci relat¸ia<br />
y<br />
y0<br />
<br />
1<br />
x<br />
du = f(v) dv + C (7.7)<br />
g(u) x0<br />
un<strong>de</strong> x0 ∈ I ¸si C este o constantă, <strong>de</strong>fine¸ste implicit o solut¸ie locală y = y(x)<br />
a ecuat¸iei (7.6).<br />
Demonstrat¸ie. a) Deoarece ϕ ′ (x) = 0 ¸si g(ϕ(x)) = g(y0) = 0 rezultă că<br />
ϕ ′ (x) = f(x) g(ϕ(x)), ∀x ∈ I.
132 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
b) Derivând relat¸ia (7.7) în raport cu x consi<strong>de</strong>rând y = y(x) rezultă<br />
adică<br />
1<br />
g(y(x)) y′ (x) = f(x)<br />
y ′ (x) = f(x) g(y(x)).<br />
Observat¸ia 7.3 Ecuat¸ia (7.6) poate fi scrisă sub forma<br />
sau forma simetrică<br />
dy<br />
= f(x) g(y)<br />
dx<br />
f(x) g(y) dx − dy = 0.<br />
Forma diferent¸ială f(x) g(y) dx−dy nu este diferent¸iala totală a unei funct¸ii. Inmult¸ind<br />
ecuat¸ia anterioară cu factorul integrant 1<br />
g(y)<br />
se obt¸ine ecuat¸ia<br />
al cărei membru stâng este o diferent¸ială totală <strong>de</strong>oarece<br />
Ecuat¸ia (7.8) se poate scrie sub forma<br />
un<strong>de</strong><br />
f(x) dx − 1<br />
dy = 0 (7.8)<br />
g(y)<br />
<br />
∂ ∂<br />
(f(x)) = −<br />
∂y ∂x<br />
1<br />
<br />
.<br />
g(y)<br />
F (x, y) =<br />
x<br />
Rezultă că relat¸ia F (x, y) = C, adică<br />
x<br />
x0<br />
x0<br />
dF = 0<br />
y 1<br />
f(t)dt −<br />
y0 g(t) dt.<br />
y 1<br />
f(u)du − dv = C<br />
y0 g(v)<br />
<strong>de</strong>fine¸ste implicit o solut¸ie a ecuat¸iei (7.6) dacă alegem y0 astfel încât g(y0) = 0.
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 133<br />
Propozit¸ia 7.4 Ecuat¸ia omogenă<br />
y ′ = f<br />
<br />
y<br />
x<br />
se reduce la o ecuat¸ie cu variabile separabile dacă se utilizează schimbarea <strong>de</strong> variabilă<br />
y(x) = x z(x), un<strong>de</strong> z(x) este noua funct¸ie necunoscută.<br />
Demonstrat¸ie. Derivând y(x) = x z(x) obt¸inem relat¸ia y ′ (x) = z(x) + x z ′ (x) care<br />
ne permite să scriem ecuat¸ia sub forma<br />
z ′ = 1<br />
(f(z) − z).<br />
x<br />
Propozit¸ia 7.5 Ecuat¸ia liniară omogenă<br />
are solut¸ia generală<br />
un<strong>de</strong> C este o constantă arbitrară.<br />
y ′ = f(x) y<br />
x<br />
f(t)dt<br />
y(x) = C e x0 Demonstrat¸ie. T¸ inând seama <strong>de</strong> teorema 7.3 rezolvarea ecuat¸iei poate fi prezentată<br />
dupa cum urmează<br />
dy<br />
dx = f(x) y<br />
dy<br />
y<br />
= f(x) dx<br />
y du<br />
y0 u = x<br />
f(t) dt<br />
x0<br />
ln |y| − ln |y0| = x<br />
f(t) dt<br />
x0<br />
x<br />
f(t) dt<br />
y(x) = y0 e x0 .<br />
Propozit¸ia 7.6 Solut¸ia generală a ecuat¸iei liniare neomogene<br />
y ′ = f(x) y + g(x) (7.9)<br />
se obt¸ine adunând solut¸ia generală a ecuat¸iei liniare omogene asociate<br />
cu o solut¸ie particulară ˜y a ecuat¸iei (7.9).<br />
y ′ = f(x) y (7.10)
134 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. Dacă y verifică (7.10) ¸si ˜y verifică (7.9) atunci<br />
(y+˜y) ′ (x)=f(x) y(x)+f(x) y(x)+g(x)=f(x) (y+˜y)(x)+g(x).<br />
Dacă y ¸si ˜y verifică (7.9) atunci y − ˜y verifică (7.10)<br />
(y−˜y) ′ (x)=f(x) y(x)+g(x)−f(x) ˜y(x)−g(x)=f(x) (y−˜y)(x).<br />
Propozit¸ia 7.7 O solut¸ie particulară ˜y a ecuat¸iei liniare neomogene<br />
y ′ = f(x) y + g(x)<br />
poate fi găsită folosind metoda variat¸iei constantei cautând-o <strong>de</strong> forma<br />
x<br />
f(t)dt<br />
˜y(x) = C(x) e x0 .<br />
Demonstrat¸ie. Inlocuind in ecuat¸ie obt¸inem relat¸ia<br />
care permite <strong>de</strong>terminarea funct¸iei C(x).<br />
Propozit¸ia 7.8 Ecuat¸ia Bernoulli<br />
C ′ (x) = g(x) e − x<br />
x 0 f(t)dt<br />
y ′ = f(x) y + g(x) y α<br />
se reduce la o ecuat¸ie liniară dacă se utilizează schimbarea <strong>de</strong> variabilă z = y 1−α .<br />
Demonstrat¸ie. Dacă α = 1 atunci ecuat¸ia este <strong>de</strong>ja o ecuat¸ie liniară. In cazul α = 1,<br />
împărt¸ind cu y α obt¸inem ecuat¸ia<br />
care se poate scrie<br />
y −α y ′ = f(x) y 1−α + g(x)<br />
1<br />
1 − α (y1−α ) ′ = f(x) y 1−α + g(x).
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 135<br />
Propozit¸ia 7.9 Ecuat¸ia Riccati<br />
y ′ = f(x) y 2 + g(x) y + h(x)<br />
se poate rezolva utilizând schimbarea <strong>de</strong> variabilă<br />
y = yp + 1<br />
z<br />
în cazul în care se cunoa¸ste o solut¸ie particulară yp.<br />
Demonstrat¸ie. In urma schimbării <strong>de</strong> variabilă indicate ecuat¸ia <strong>de</strong>vine<br />
adică o ecuat¸ie liniară.<br />
z ′ = −(2f(x) yp(x) − g(x)) z − f(x)<br />
7.2 Ecuat¸ii diferent¸iale liniare <strong>de</strong> ordin superior<br />
Definit¸ia 7.10 O ecuat¸ie diferent¸ială liniară <strong>de</strong> ordinul n este o ecuat¸ie <strong>de</strong><br />
forma<br />
un<strong>de</strong><br />
a0(x) y (n) + a1(x) y (n−1) + · · · + an−1(x) y ′ + an(x) y = f(x) (7.11)<br />
a0, a1, ..., an, f : I −→ R<br />
sunt funct¸ii continue <strong>de</strong>finite pe un interval I ⊆ R ¸si a0(x) = 0, oricare ar fi x ∈ I.<br />
Prin solut¸ie a ecuat¸iei (7.11) se înt¸elege o funct¸ie<br />
astfel încât:<br />
ϕ : I −→ R<br />
1) ϕ admite <strong>de</strong>rivate continue până la ordinul n<br />
2) a0(x) ϕ (n) (x) + a1(x) ϕ (n−1) (x) + · · · + an(x) ϕ(x)=f(x), ∀x∈(a, b).
136 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Teorema 7.11 (<strong>de</strong> existent¸ă ¸si unicitate). Dacă<br />
sunt funct¸ii continue ¸si<br />
atunci ecuat¸ia diferent¸ială<br />
a0, a1, ..., an, f : I −→ R<br />
a0(x) = 0 ∀x ∈ I<br />
a0(x) y (n) + a1(x) y (n−1) + · · · + an−1(x) y ′ + an(x) y = f(x)<br />
admite pentru fiecare (x0, y00, y01, ..., y0n−1) ∈ I × R n o unică solut¸ie<br />
astfel încât<br />
ϕ : I −→ R<br />
ϕ(x0) = y00, ϕ ′ (x0) = y01, ... , ϕ (n−1) (x0) = y0n−1.<br />
Observat¸ia 7.4 Utilizând operatorul diferent¸ial<br />
un<strong>de</strong><br />
ecuat¸ia (7.11) se scrie<br />
Operatorul linar<br />
un<strong>de</strong><br />
L = a0(x) D n + a1(x) D n−1 + · · · + an−1(x) D + an(x)<br />
D = d<br />
dx , D2 = d2<br />
dx2 , ... , Dn = dn<br />
Ly = f.<br />
L : C n (I) −→ C 0 (I)<br />
dx n<br />
C n (I) = { ϕ : I −→ R | ϕ admite <strong>de</strong>rivate continue pana la ordinul n }<br />
C 0 (I) = { ϕ : I −→ R | ϕ este functie continua }<br />
este un operator liniar<br />
L(α ϕ + β ψ) = α Lϕ + β Lψ ∀α, β ∈ R, ∀ϕ, ψ ∈ C n (I).
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 137<br />
Teorema 7.12 Spat¸iul<br />
V = { ϕ : I −→ R | Lϕ = 0 }<br />
al tuturor solut¸iilor ecuat¸iei liniare omogene<br />
este un spat¸iu vectorial <strong>de</strong> dimensiune n.<br />
Demonstrat¸ie. Dacă ϕ, ψ ∈ V atunci<br />
Ly = 0<br />
L(αϕ + βψ) = αLϕ + βLψ = 0<br />
oricare ar fi α, β ∈ R. Conform teoremei <strong>de</strong> existent¸ă ¸si unicitate, pentru x0 ∈ I<br />
fixat aplicat¸ia<br />
A : V −→ R n , Aϕ = (ϕ(x0), ϕ ′ (x0), ..., ϕ (n−1) (x0))<br />
este un izomorfism liniar. Rezultă că spat¸iile vectoriale V ¸si R n sunt izomorfe ¸si prin<br />
urmare dim V = dim R n = n.<br />
Observat¸ia 7.5 Rezolvarea ecuat¸iei<br />
Ly = 0<br />
înseamnă <strong>de</strong>terminarea spat¸iului vectorial V = { ϕ : I −→ R | Lϕ = 0 } al tuturor<br />
solut¸iilor, ceea ce se poate realiza indicând o bază {y1, y2, ... , yn}, caz în care<br />
Funct¸iile<br />
V = { c1y1 + c2y2 + · · · + cnyn | c1, c2, ... , cn ∈ R }.<br />
y1, y2, ... , yn : I −→ R<br />
din V formează o bază a lui V dacă sunt liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte, adică dacă<br />
α1 y1 + α2 y2 + · · · + αn yn = 0 =⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0.
138 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 7.13 Funct¸iile<br />
y1, y2, ... , yn : I −→ R<br />
din V sunt liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte dacă ¸si numai dacă într-un punct fixat x0 ∈ I avem<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Demonstrat¸ie. Deoarece<br />
y1(x0)<br />
y<br />
y2(x0) · · · yn(x0)<br />
′ 1 (x0) y ′ 2 (x0) · · · y ′ · · · · · · · · ·<br />
n(x0)<br />
· · ·<br />
y (n−1)<br />
1 (x0) y (n−1)<br />
2 (x0) · · · y (n−1)<br />
n<br />
(x0)<br />
A : V −→ R n , Aϕ = (ϕ(x0), ϕ ′ (x0), ..., ϕ (n−1) (x0))<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0. (7.12)<br />
<br />
<br />
<br />
este un izomorfism liniar funct¸iile y1, y2, ... , yn : I −→ R sunt liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte<br />
dacă ¸si numai dacă vectorii corespunzători<br />
Ay1 = ( y1(x0), y ′ 1 (x0), ... , y (n−1)<br />
1 (x0) )<br />
Ay2 = ( y2(x0), y ′ 2 (x0), ... , y (n−1)<br />
2 (x0) )<br />
.......................................................<br />
Ayn = ( yn(x0), y ′ n(x0), ... , y (n−1)<br />
n (x0) )<br />
sunt liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i, ceea ce este echivalent cu (7.12).<br />
Teorema 7.14 (Abel-Liouville) Dacă<br />
sunt n solut¸ii ale ecuat¸iei<br />
atunci funct¸ia (numită wronskian)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
W : I −→ R W (x) = <br />
<br />
<br />
<br />
y1, y2, ... , yn : I −→ R<br />
Ly = 0<br />
y1(x)<br />
y<br />
y2(x) · · · yn(x)<br />
′ 1 (x) y′ 2 (x) · · · y′ · · · · · · · · ·<br />
n(x)<br />
· · ·<br />
y (n−1)<br />
1 (x) y (n−1)<br />
2 (x) · · · y (n−1)<br />
n<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(x)
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 139<br />
verifică relat¸ia<br />
un<strong>de</strong> x0 ∈ I este un punct fixat.<br />
W (x) = W (x0) e − x a1 (t)<br />
x0 a0 (t) dt<br />
Demonstrat¸ie (cazul n = 2.) Arătăm că W verifică ecuat¸ia liniară<br />
In cazul n = 2 ecuat¸ia Ly = 0, adică<br />
conduce la<br />
¸si<br />
W ′ (x) = − a1(x)<br />
W (x).<br />
a0(x)<br />
a0(x) y ′′ + a1(x) y ′ + a2 y = 0<br />
y ′′ = − a1(x)<br />
a0(x) y′ − a2(x)<br />
a0(x) y<br />
W ′ (x) = d<br />
<br />
<br />
y1(x) y2(x)<br />
dx <br />
y ′ 1 (x) y′ 2 (x)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y<br />
= <br />
<br />
′ 1 (x) y′ 2 (x)<br />
y ′ 1 (x) y′ 2 (x)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
+<br />
<br />
<br />
y1(x) y2(x)<br />
<br />
y ′′<br />
1 (x) y′′ 2 (x)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a1(x)<br />
= − a0(x) W (x).<br />
(7.13)<br />
Observat¸ia 7.6 Din relat¸ia (7.13) rezultă că dacă W se anulează într-un punct din<br />
I atunci se anulează în toate punctele.<br />
Propozit¸ia 7.15 Solut¸ia generală a ecuat¸iei liniare neomogene<br />
Ly = f<br />
se obt¸ine adunând la solut¸ia generală a ecuat¸iei omogene asociate<br />
Ly = 0<br />
o solut¸ie particulară ˜y a ecuat¸iei neomogene.<br />
Demonstrat¸ie. Deoarece L˜y = f obt¸inem<br />
Ly =0 =⇒ L(y + ˜y)=f si Ly =f =⇒ L(y − ˜y)=0.
140 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Teorema 7.16 (Metoda variat¸iei constantelor.) Dacă<br />
y(x) =<br />
este solut¸ia generală a ecuat¸iei omogene<br />
n<br />
ck yk(x)<br />
k=1<br />
Ly = 0<br />
atunci o solut¸ie particulară a ecuat¸iei neomogene<br />
poate fi găsită căutând-o <strong>de</strong> forma<br />
˜y(x) =<br />
Ly = f<br />
n<br />
ck(x) yk(x)<br />
k=1<br />
cu c1(x), c2(x), ... , cn(x) solut¸ie a sistemului<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
nk=1 c ′ k (x) yk(x) = 0<br />
nk=1 c ′ k (x) y′ k (x) = 0<br />
..........................................<br />
nk=1 c ′ k<br />
nk=1 c ′ k<br />
(x) y(n−2)<br />
k (x) = 0<br />
(x) y(n−1)<br />
k (x) = f(x)<br />
a0(x) .<br />
Demonstrat¸ie. T¸ inând sema <strong>de</strong> (7.14) obt¸inem relat¸iile<br />
˜y(x) = n k=1 ck(x) yk(x)<br />
˜y ′ (x) = n k=1 ck(x) y ′ k (x)<br />
............................................<br />
˜y (n−1) (x) = n k=1 ck(x) y (n−1)<br />
k (x)<br />
˜y (n) (x) = n k=1 ck(x) y (n) f(x)<br />
k (x) + a0(x) .<br />
(7.14)
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 141<br />
care conduc la<br />
L˜y = a0(x) ˜y (n) + a1(x) ˜y (n−1) + · · · + an−1(x) ˜y ′ + an(x) ˜y<br />
= n k=1 ck(x)<br />
<br />
a0(x) y (n)<br />
k +a1(x) y (n−1)<br />
k +· · · + an−1(x) y ′ k +an(x) yk<br />
<br />
+f(x)=f(x).<br />
Definit¸ia 7.17 Prin ecuat¸ie diferent¸ială liniară <strong>de</strong> ordinul n cu coeficient¸i<br />
constant¸i se înt¸elege o ecuat¸ie <strong>de</strong> forma<br />
a0y (n) + a1y (n−1) + · · · + an−1y ′ + any = f(x) (7.15)<br />
un<strong>de</strong> a0, a1, ..., an sunt numere reale ¸si f : I −→ R este o funct¸ie continuă <strong>de</strong>finită<br />
pe un interval I ⊆ R.<br />
Observat¸ia 7.7 Ecuat¸ia (7.15) este un caz particular pentru ecuat¸ia (7.11) ¸si anume<br />
cel în care funct¸iile a0(x), a1(x), ... , an(x) sunt funct¸ii constante. Ecuat¸ia (7.15) se<br />
poate scrie sub forma<br />
un<strong>de</strong> P este polinomul<br />
P (D)y = f<br />
P (r) = a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an<br />
numit polinomul caracteristic asociat ecuat¸iei consi<strong>de</strong>rate.<br />
Observat¸ia 7.8 Folosind notat¸ia lui Euler<br />
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ<br />
<strong>de</strong>finim pentru fiecare număr complex r = α + iβ funct¸ia complexă<br />
cu proprietăt¸ile<br />
R −→ C : x ↦→ e rx = e (α+iβ)x = e αx cos(βx) + i e αx sin(βx)<br />
D e (α+iβ)x = (α + iβ) e (α+iβ)x<br />
Re (D e rx ) = D( Re e rx )<br />
Im (D e rx ) = D( Im e rx )<br />
un<strong>de</strong> Re z ¸si Im z reprezintă partea reală ¸si repectiv imaginară a numărului z.
142 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 7.18 Funct¸ia<br />
este solut¸ie a ecuat¸iei omogene<br />
y : R −→ C, y(x) = e rx<br />
P (D)y = 0<br />
dacă ¸si numai dacă r este rădăcină a polinomului caracteristic, adică dacă<br />
Demonstrat¸ie. Deoarece D k e rx = r k e rx ¸si<br />
avem<br />
a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an = 0.<br />
P (D) e rx = ( a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an )e rx<br />
P (D) e rx = 0 ⇐⇒ P (r) = 0.<br />
Propozit¸ia 7.19 Dacă polinomul caracteristic P (r) are rădăcinile r1, r2, ... , rk<br />
cu multiplicităt¸ile m1, m2, ... , mk , adică<br />
atunci P (D) admite factorizarea<br />
P (r) = a0 (r − r1) m1 (r − r2) m2 · · · (r − rk) mk<br />
P (D) = a0 (D − r1) m1 (D − r2) m2 · · · (D − rk) mk<br />
ordinea factorilor putând fi schimbată fără a afecta rezultatul.<br />
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă din linearitatea lui D ¸si din relat¸ia D p D q =D p+q .<br />
Propozit¸ia 7.20 Dacă Q(r) este un polinom ¸si ϕ(x) este o funct¸ie atunci<br />
oricare ar fi r ∈ C.<br />
Q(D) (e rx ϕ) = e rx Q(D + r)ϕ
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 143<br />
Demonstrat¸ie. Arătăm mai întâi prin induct¸ie că<br />
Avem<br />
D k (e rx ϕ) = e rx (D + r) k ϕ.<br />
D (e rx ϕ) = e rx Dϕ + re rx ϕ = e rx (D + r)ϕ.<br />
Presupunând că D k (e rx ϕ) = e rx (D + r) k ϕ obt¸inem<br />
D k+1 (e rx ϕ) = D(e rx (D + r) k ϕ) = e rx (D + r)(D + r) k ϕ = e rx (D + r) k+1 ϕ.<br />
Dacă Q(r) = α0 r m + α1 r m−1 + · · · + αm−1r + αm atunci<br />
Q(D) (e rx ϕ) =α0 D m (e rx ϕ)+α1 D m−1 (e rx ϕ)+ · · · +αm−1 D(e rx ϕ)+αme rx ϕ<br />
=e rx [α0 (D+r) m +α1 (D+r) m−1 + · · · +αm−1 (D+r)+αm]ϕ<br />
= e rx Q(D + r)ϕ.<br />
Propozit¸ia 7.21 Solut¸ia generală a ecuat¸iei<br />
este<br />
(D − r) k y = 0<br />
y(x) = c0 e rx + c1 x e rx + · · · + ck−1 x k−1 e rx .<br />
Demonstrat¸ie. Conform propozit¸iei anterioare avem relat¸a<br />
D k (e −rx y) = e −rx (D − r) k y<br />
care arată că ecuat¸ia (D − r) k y = 0 este echivalentă cu ecuat¸ia<br />
care implică<br />
adică<br />
D k (e −rx y) = 0<br />
e −rx y(x) = c0 + c1 x + · · · + ck−1 x k−1<br />
y(x) = c0 e rx + c1 x e rx + · · · + ck−1 x k−1 e rx .
144 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 7.22 Fie ecuat¸ia diferent¸ială liniară omogenă cu coeficient¸i reali<br />
P (D)y = 0<br />
un<strong>de</strong> P (r) = a0 r n + a1 r n−1 + · · · + an−1 r + an este polinomul caracteristic.<br />
a) Dacă rj este rădăcină reală a lui P cu multiplicitatea mj atunci funct¸iile<br />
e rjx , x e rjx , · · · , x mj−1 e rjx<br />
sunt solut¸ii particulare ale ecuat¸iei P (D)y = 0.<br />
b) Dacă rj = αj +iβj este rădăcină complexă a lui P cu multiplicitatea mj atunci<br />
e αjx cos(βj x), x e αjx cos(βj x), · · · , x mj−1 e αjx cos(βj x),<br />
e αjx sin(βj x), x e αjx sin(βj x), · · · , x mj−1 e αjx sin(βj x)<br />
sunt solut¸ii particulare ale ecuat¸iei P (D)y = 0.<br />
Demonstrat¸ie. Conform prop. 7.19 ecuat¸ia P (D)y = 0 admite o factorizare <strong>de</strong> forma<br />
Q(D) (D − rj) mj y = 0<br />
¸si (D−rj) mj y =0 implică P (D)y =0. Deoarece ec. P (D)y =0 are coeficient¸i reali<br />
⎧<br />
⎨ P (D) (Re y) = Re ( P (D)y ) = 0<br />
P (D)y = 0 =⇒<br />
⎩<br />
P (D) (Im y) = Im ( P (D)y ) = 0<br />
adică în cazul în care rj este rădăcină complexă cu multiplicitatea mj funct¸iile<br />
¸si<br />
<br />
y : R −→ R, y(x) = Re c0 e rjx<br />
+ c1 x e rjx<br />
+ · · · + cmj−1 x mj−1 rjx<br />
e <br />
<br />
y : R −→ R, y(x) = Im c0 e rjx<br />
+ c1 x e rjx<br />
+ · · · + cmj−1 x mj−1 rjx<br />
e <br />
sunt solut¸ii ale ecuat¸iei P (D)y = 0 oricare ar fi constantele reale c0, c1, ... , cmj−1.<br />
Observat¸ia 7.9 Se poate <strong>de</strong>monstra că în toate cazurile în spat¸iul solut¸iilor există o<br />
bază formată din solut¸ii particulare <strong>de</strong> tipul celor prezentate in propozit¸ia anterioară.
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 145<br />
Exercit¸iul 7.1 Să se <strong>de</strong>termine solut¸ia generală a ecuat¸iilor<br />
Răspuns.<br />
a) y(x) = c1 e 2x + c2 e 3x<br />
a) y ′′ − 5y ′ + 6y = 0<br />
b) y ′′′ − 6y ′′ + 12y ′ − 8y = 0<br />
c) y ′′ + y ′ + y = 0<br />
d) (D 2 − D + 1) 3 y = 0<br />
e) (D − 3) 4 (D 2 + 2) 2 y = 0.<br />
b) y(x) = c1 e 2x + c2 x e 2x + c3 x 2 e 2x<br />
1<br />
− c) y(x) = c1 e 2 x √<br />
3 cos(<br />
2 x) + c2 e<br />
− 1<br />
2 x sin(<br />
d) y(x) = c1 e 1<br />
2 x √<br />
3 cos( 2 x) + c2 e 1<br />
2 x √<br />
3 sin(<br />
1<br />
− +c3 x e 2 x √<br />
1<br />
3<br />
− cos(<br />
2 x) + c4 x e<br />
√ 3<br />
2 x)<br />
2 x)<br />
2 x sin(<br />
√ 3<br />
2 x)<br />
+c5 x2 1<br />
− e 2 x √<br />
3 cos( 2 x) + c6 x2 1<br />
− e 2 x √<br />
3 sin( 2 x)<br />
e) y(x) = c1 e 3x + c2 x e 3x + c3 x 2 e 3x + c4 x 3 e 3x<br />
+c5 cos( √ 2x) + c6 sin( √ 2x) + c7 x cos( √ 2x) + c8 x sin( √ 2x).<br />
Propozit¸ia 7.23 Ecuat¸ia Euler<br />
a0 x n y (n) + a1 x n−1 y (n−1) + · · · + an−1 x y ′ + an y = 0<br />
se reduce la o ecuat¸ie diferent¸ială liniară cu coeficient¸i constant¸i prin schimbarea <strong>de</strong><br />
variabilă x = e t , un<strong>de</strong> t este noua variabilă in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntă.<br />
Demonstrat¸ie (cazul n = 3). Notând cu z(t) noua funct¸ie necunoscută avem relat¸ia<br />
care prin <strong>de</strong>rivări succesive conduce la<br />
y ′ (x) = 1<br />
x z′ (ln x) = e −t z ′ (t)<br />
y(x) = z(ln x)<br />
y ′′ (x) = 1<br />
x 2 z ′′ (ln x) − 1<br />
x 2 z ′ (ln x) = e −2t ( z ′′ (t) − z ′ (t) )<br />
y ′′′ (x) = 1<br />
x 3 z ′′′ (ln x) − 3<br />
x 3 z ′′ (ln x) − 2<br />
x 3 z ′ (ln x) = e −3t ( z ′′′ (t) − 3z ′′ (t) + 2z ′ (t) )
146 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
In urma schimbării <strong>de</strong> variabilă, ecuat¸ia Euler<br />
<strong>de</strong>vine<br />
a0 x 3 y ′′′ + a1 x 2 y ′′ + a2 x y ′ + a3 y = 0<br />
a0 z ′′′ + (−3a0 + a1)z ′′ + (2a0 − a1 + a2)z ′ + a3z = 0.<br />
Observat¸ia 7.10 Relat¸ia x = e t , echivalentă cu t = ln x, conduce la<br />
Ecuat¸ia Euler se poate scrie<br />
<br />
d dt<br />
=<br />
dx dx<br />
d 1<br />
=<br />
dt x<br />
d d<br />
= e−t<br />
dt dt .<br />
n dn<br />
a0 x<br />
dxn + a1<br />
n−1 dn−1<br />
x<br />
dxn−1 + · · · + an−1 x d<br />
<br />
+ an<br />
dx<br />
y = 0<br />
¸si formal, schimbarea <strong>de</strong> variabilă x = e t în ecuat¸ia Euler se poate realiza înlocuind<br />
x cu e t ¸si operatorul <strong>de</strong> <strong>de</strong>rivare d<br />
dx<br />
2 −t d −t d<br />
e = e<br />
dt dt<br />
d cu e−t<br />
dt . De remarcat că<br />
<br />
−t d<br />
e<br />
dt<br />
7.3 Sisteme diferent¸iale liniare<br />
<br />
−2t d2 d<br />
= e − e−2t<br />
dt2 dt .<br />
Definit¸ia 7.24 Prin sistem diferent¸ial liniar <strong>de</strong> ordinul întâi se înt¸elege un<br />
sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii diferent¸iale <strong>de</strong> forma<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
y ′ 1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · · + a1n(x)yn + f1(x)<br />
y ′ 2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + · · · + a2n(x)yn + f2(x)<br />
.............................................................<br />
y ′ n = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · · + ann(x)yn + fn(x)<br />
un<strong>de</strong> x este variabila in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ntă, y1, y2, ... , yn sunt funct¸iile necunoscute ¸si<br />
aij : I −→ R<br />
fi : I −→ R<br />
un<strong>de</strong> i, j ∈ {1, 2, ..., n}<br />
sunt funct¸ii continue <strong>de</strong>finite pe un interval I ⊆ R.<br />
(7.16)
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 147<br />
Observat¸ia 7.11 Sistemul diferent¸ial liniar (7.16) se poate scrie sub forma ma-<br />
triceală<br />
utilizând notat¸iile<br />
Y ′ = A(x)Y + F (x)<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11(x) a12(x) · · · a1n(x)<br />
⎛ ⎞<br />
⎛<br />
y1<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ a21(x) a22(x) · · · a2n(x) ⎟<br />
⎜<br />
⎜ y2 ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
Y = ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ , A(x) = ⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎝ . ⎠ ⎜ · · · · · · · · · · · · ⎟ , F (x) = ⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎟<br />
yn<br />
⎝<br />
⎠<br />
an1(x) an2(x) · · · ann(x)<br />
Teorema 7.25 (<strong>de</strong> existent¸ă ¸si unicitate). Dacă<br />
aij : I −→ R<br />
fi : I −→ R<br />
un<strong>de</strong> i, j ∈ {1, 2, ..., n}<br />
f1(x)<br />
f2(x)<br />
.<br />
fn(x)<br />
sunt funct¸ii continue atunci oricare ar fi (x0, y10, y20, ..., yn0) ∈ I × R n există o unică<br />
solut¸ie Y (x) încât<br />
Y ′ ⎜<br />
= A(x) Y + F (x) si Y (x0) = ⎜<br />
⎝<br />
Teorema 7.26 Spat¸iul V al tuturor solut¸iilor sistemului diferent¸ial liniar omogen<br />
este un spat¸iu vectorial <strong>de</strong> dimensiune n.<br />
Y ′ = A(x) Y<br />
Demonstrat¸ie. Pentru x0 ∈ I fixat, din teorema <strong>de</strong> existent¸ă ¸si unicitate rezultă că<br />
aplicat¸ia liniară<br />
este un izomorfism liniar.<br />
V −→ R n : Y ↦→ Y (x0)<br />
Observat¸ia 7.12 Rezolvarea sistemului omogen Y ′ = AY este echivalentă cu găsirea<br />
unei baze al lui V, adică cu găsirea a n solut¸ii liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte.<br />
⎛<br />
y10<br />
y20<br />
.<br />
yn0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .
148 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Definit¸ia 7.27 Plecând <strong>de</strong> la n solut¸ii ale sistemului omogen Y ′ = A(x)Y<br />
⎛ ⎞<br />
y11<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y21 ⎟<br />
Y1 = ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ , Y2<br />
⎛ ⎞<br />
y12<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y22 ⎟<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ , ... , Yn<br />
⎛ ⎞<br />
y1n<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ y2n ⎟<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠<br />
yn1<br />
construim matricea Wronski<br />
¸si wronskianul<br />
yn2<br />
⎛<br />
⎞<br />
y11 y12 · · · y1n<br />
⎜ y21 y22 · · ·<br />
⎟<br />
y2n ⎟<br />
W = ⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠<br />
yn1 yn2 · · · ynn<br />
w = <strong>de</strong>t W.<br />
Teorema 7.28 Solut¸iile Y1, Y2, ... , Yn formează o bază a spat¸iului vectorial V<br />
dacă ¸si numai dacă wronskianul lor este nenul într-un punct fixat x0 ∈ I, adică<br />
Demonstrat¸ie. Deoarece<br />
w(x0) = 0.<br />
V −→ R n : Y ↦→ Y (x0)<br />
este un izomorfism liniar, solut¸iile Y1, Y2, ... , Yn sunt liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nte dacă ¸si<br />
numai dacă vectorii Y1(x0), Y2(x0), ... , Yn(x0) din R n sunt liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i, ceea<br />
ce este echivalent cu w(x0) = 0.<br />
Teorema 7.29 Wronskianul solut¸iilor Y1, Y2, ... , Yn verifică relat¸ia<br />
x<br />
tr A(t) dt<br />
w(x) = w(x0) e x0 un<strong>de</strong> tr A(t) = a11(t) + a22(t) + · · · + ann(t) este urma matricei A(t).<br />
ynn<br />
(7.17)
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 149<br />
Demonstrat¸ie (cazul n = 2.) Avem<br />
w ′ (x) = d<br />
<br />
<br />
<br />
y11(x) y12(x) <br />
<br />
dx <br />
<br />
y21(x) y22(x) =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y ′ 11 (x) y12(x)<br />
y ′ 21 (x) y22(x)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
+<br />
<br />
<br />
y11(x) y<br />
<br />
<br />
′ 12 (x)<br />
y21(x) y ′ 22 (x)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11(x) y11(x)+a12(x) y21(x) y12(x) <br />
<br />
= <br />
<br />
a21(x) y11(x)+a22(x) y21(x) y22(x) +<br />
<br />
<br />
<br />
y11(x) a11(x) y12(x)+a12(x) y22(x) <br />
<br />
<br />
<br />
y21(x) a21(x) y12(x)+a22(x) y22(x) <br />
= (a11(x) + a22(x)) w(x)<br />
adică w verifică ecuat¸ia diferent¸ială liniară<br />
w ′ = tr A(x) w.<br />
Observat¸ia 7.13 Din relat¸ia (7.13) rezultă că dacă wronskianul se anulează într-un<br />
punct x0 ∈ I atunci el se anulează în toate punctele x ∈ I.<br />
Propozit¸ia 7.30 Solut¸ia generală a sistemului liniar neomogen<br />
Y ′ = A(x) Y + F (x)<br />
se obt¸ine adunând la solut¸ia generală a sistemului liniar omogen asociat<br />
Y ′ = A(x) Y<br />
o solut¸ie particulară ˜ Y a sistemului neomogen.<br />
Demonstrat¸ie. Deoarece ˜ Y ′ = A(x) Y + F (x) obt¸inem<br />
Y ′ = A(x) Y =⇒ (Y + ˜ Y ) ′ = A(x) (Y + ˜ Y ) + F (x)<br />
Y ′ =A(x) Y + F (x) =⇒ (Y − ˜ Y ) ′ = A(x) (Y − ˜ Y ).<br />
Observat¸ia 7.14 Folosind matricea Wronski W asociată unei baze {Y1, Y2, ... , Yn}<br />
a lui V solut¸ia generală<br />
Y = c1 Y1 + c2 Y2 + · · · + cn Yn
150 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
a ecuat¸iei liniare omogene Y ′ = A(x) Y se poate scrie sub forma<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
Y (x) = W (x) C un<strong>de</strong> C = ⎜<br />
⎝<br />
c1<br />
c2<br />
.<br />
cn<br />
⎟<br />
⎠ ∈ Rn .<br />
Teorema 7.31 (Metoda variat¸iei constantelor). Dacă solut¸ia generală a sistemului<br />
Y ′ = A(x) Y<br />
este Y (x) = W (x) C atunci o solut¸ie particulară sistemului neomogen<br />
se poate obt¸ine căutând-o <strong>de</strong> forma<br />
un<strong>de</strong> C(x) este o solut¸ie a sistemului<br />
Y ′ = A(x) Y + F (x)<br />
˜Y (x) = W (x) C(x)<br />
C ′ (x) = W −1 (x) F (x).<br />
Demonstrat¸ie. Deoarece W ′ = A(x)W ¸si ˜ Y ′ (x) = W ′ (x) C(x) + W (x) C ′ (x) avem<br />
dacă ¸si numai dacă W (x) C ′ (x) = F (x)<br />
˜Y ′ = A(x) ˜ Y + F (x)<br />
Definit¸ia 7.32 Prin sistem diferent¸ial liniar omogen cu coeficient¸i constant¸i<br />
se înt¸elege un sistem <strong>de</strong> ecuat¸ii <strong>de</strong> forma<br />
Y ′ = AY un<strong>de</strong> A ∈ Mn×n(R).<br />
Propozit¸ia 7.33 Funct¸ia vectorială Y : R −→ Cn , Y (x) = w eλx , un<strong>de</strong><br />
⎛ ⎞<br />
w1<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ w2 ⎟<br />
w = ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟ ∈ Cn<br />
⎝ ⎠<br />
.<br />
wn
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 151<br />
verifică relat¸ia<br />
dacă ¸si numai dacă<br />
Y ′ = AY<br />
Aw = λw.<br />
Demonstrat¸ie. Deoarece Y ′ (x)=λw e λx înlocuind în Y ′ =AY obt¸inem Aw =λw.<br />
Observat¸ia 7.15 Fie λ o rădăcină a polinomului caracteristic<br />
<strong>de</strong>t (A − λI) = 0.<br />
Dacă λ ∈ R atunci λ este valoare proprie a matricei A ¸si alegând un vector propriu<br />
corespunzător w ∈ R n obt¸inem solut¸ia netrivială Y (x) = w e λx a sistemului Y ′ =<br />
AY . Dacă λ ∈ R atunci există w ∈ C n astfel încât Aw = λw ¸si<br />
sunt solut¸ii ale sistemului Y ′ = AY .<br />
<br />
Y1(x) = Re w e λx<br />
<br />
, Y2(x) = Im w e λx<br />
Exercit¸iul 7.2 Să se <strong>de</strong>termine solut¸ia generală a sistemului<br />
Rezolvare. Ecuat¸ia<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y ′ 1 = y1 + y2<br />
y ′ 2 = −y1 + y2.<br />
1 − λ 1<br />
−1 1 − λ<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
are rădăcinile λ1 = 1 + i ¸si λ2 = 1 − i. O solut¸ie particulară a ecuat¸iei Av = (1 + i)v,<br />
adică<br />
<br />
1 1<br />
−1 1<br />
<br />
v1<br />
v2<br />
<br />
= (1 + i)<br />
<br />
<br />
v1<br />
v2
152 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
este v =<br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
Y (x) = c1 Re<br />
= c1 Re<br />
= c1<br />
<br />
. Rezultă că solut¸ia generală a sistemului este<br />
<br />
<br />
1<br />
i<br />
1<br />
i<br />
cos x<br />
− sin x<br />
<br />
<br />
<br />
e (1+i)x<br />
<br />
+ c2 Im<br />
e x (cos x + i sin x)<br />
e x + c2<br />
<br />
sin x<br />
cos x<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
+ c2 Im<br />
e x .<br />
e (1+i)x<br />
<br />
<br />
1<br />
i<br />
<br />
e x (cos x + i sin x)<br />
Observat¸ia 7.16 Dacă matricea A∈Mn×n(R) este diagonalizabilă ¸si {v1, v2, ..., vn}<br />
un<strong>de</strong><br />
⎛ ⎞<br />
v11<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ v21 ⎟<br />
v1 = ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ , v2<br />
⎛ ⎞<br />
v12<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ v22 ⎟<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ , · · · vn<br />
⎛ ⎞<br />
v1n<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ v2n ⎟<br />
= ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠<br />
vn1<br />
vn2<br />
este o bază a lui R n formată din vectori proprii ai lui A corespunzători valorilor<br />
proprii λ1, λ2, ... , λn (distincte sau nu) atunci solut¸ia generală a sistemului Y ′ = AY<br />
este<br />
⎛ ⎞<br />
v11<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ v21 ⎟<br />
Y (x) = c1<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ eλ1x ⎛ ⎞<br />
v12<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ v22 ⎟<br />
+ c2<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ eλ2x ⎛ ⎞<br />
v1n<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ v2n ⎟<br />
+ · · · + cn<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ . ⎠ eλnx .<br />
vn1<br />
vn2<br />
Exercit¸iul 7.3 Să se <strong>de</strong>termine solut¸ia generală a sistemului<br />
Rezolvare. Rezolvând ecuat¸ia<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
y ′ 1 = y2 + y3<br />
y ′ 2 = y1 + y3<br />
y ′ 3 = y1 + y2<br />
−λ 1 1<br />
1 −λ 1<br />
1 1 −λ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
<br />
obt¸inem λ1 = 2, ¸si λ2 = λ3 = −1. Deoarece subspat¸iile proprii corespunzătoare sunt<br />
V2 = { α(1, 1, 1) | α ∈ R }, V−1 = { α(1, 0, −1) + β(0, 1, −1) | α, β ∈ R }.<br />
vnn<br />
vnn
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 153<br />
rezultă că solut¸ia generală a sistemului este<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
⎜ ⎟<br />
Y (x) = c1 ⎝ 1 ⎠ e<br />
1<br />
2x ⎛<br />
1<br />
⎜<br />
+ c2 ⎝ 0<br />
−1<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ e −x ⎜<br />
+ c3 ⎝<br />
0<br />
1<br />
−1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ e −x .<br />
Observat¸ia 7.17 S¸tim că, în general, o matrice A ∈ Mn×n(R) nu este diagonal-<br />
izabilă. Dacă λ este o rădăcină reală (respectiv, complexă) cu multiplicitatea m a<br />
polinomului caracteristic atunci partea din solut¸ia generală corespunzătoare lui λ<br />
poate fi găsită căutând-o <strong>de</strong> forma<br />
⎛<br />
⎜<br />
Y (x) = ⎜<br />
⎝<br />
α11x m−1 + α12x m−2 + · · · + α1m−1x + α1m<br />
α21x m−1 + α22x m−2 + · · · + α2m−1x + α2m<br />
...................................................................<br />
αn1x m−1 + αn2x m−2 + · · · + αnm−1x + α1m<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ eλx<br />
un<strong>de</strong> coeficient¸ii αjk sunt reali (respectiv, complec¸si). In cazul complex, în final se<br />
separă părt¸ile reală ¸si imaginară ale a solut¸iei gasite.<br />
Exercit¸iul 7.4 Să se <strong>de</strong>termine solut¸ia generală a sistemului<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
y ′ 1 = −y1 + y2<br />
y ′ 2 = −y2 + 4y3<br />
y ′ 3 = y1 − 4y3<br />
Rezolvare. Valorile proprii sunt λ1 = 0 ¸si λ2 = λ3 = −3, iar subspat¸iile proprii<br />
corespunzătoare<br />
V0 = { α(4, 4, 1) | α ∈ R }, V−3 = { α(1, −2, 1) | α ∈ R }.<br />
Deoarece dimV−3 = 1 rezultă că matricea sistemului nu este diagonalizabilă. Căutând<br />
partea din solut¸ia generală referitoare la λ2 = λ3 = −3 <strong>de</strong> forma<br />
⎛<br />
⎞<br />
α1x + β1<br />
⎜<br />
⎟<br />
Y (x) = ⎝ α2x + β2 ⎠ e<br />
α3x + β3<br />
−3x<br />
găsim<br />
⎛<br />
⎜<br />
Y (x) = α1 ⎝<br />
x<br />
−2x + 1<br />
x − 1<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ e −3x ⎜<br />
+ β1 ⎝<br />
1<br />
−2<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ e −3x .
154 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Solut¸ia generală a sistemului este<br />
⎛<br />
⎜<br />
Y (x) = c1 ⎝<br />
4<br />
4<br />
1<br />
⎞ ⎛<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ + c2 ⎝<br />
x<br />
−2x + 1<br />
x − 1<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ e −3x ⎜<br />
+ c3 ⎝<br />
1<br />
−2<br />
1<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ e −3x .<br />
Observat¸ia 7.18 O altă metodă <strong>de</strong> rezolvare a sistemelor liniare omogene cu<br />
coeficient¸i constant¸i, numită metoda eliminării, se bazează pe faptul că fiecare dintre<br />
funct¸iile necunoscute yj verifică o ecuat¸ie diferent¸ială liniară.<br />
Exercit¸iul 7.5 Să se rezolve sistemul<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
y ′ 1<br />
y ′ 2<br />
y ′ 3<br />
= y2<br />
= y3<br />
= y1.<br />
Rezolvare. Funct¸ia necunoscută y1 verifică ecuat¸ia liniară<br />
y ′′′<br />
1 − y1 = 0.<br />
Deoarece P (r) = r 3 − 1 are rădăcinile r1 = 1 ¸si r2,3 = − 1<br />
2<br />
± i<br />
y1(x) = c1 e x 1<br />
−<br />
+ c2 e 2 x √<br />
3<br />
cos<br />
2 x + c3<br />
1<br />
−<br />
e 2 x √<br />
3<br />
sin<br />
2 x.<br />
Prin <strong>de</strong>rivarea lui y1 se obt¸in y2 ¸si y3.<br />
Observat¸ia 7.19 Deoarece izomorfismul <strong>de</strong> spat¸ii vectoriale<br />
Mn×n(K) −→ Kn2 :<br />
an1 an2 · · · ann<br />
√ 3<br />
2<br />
, rezultă că<br />
⎛<br />
⎞<br />
a11 a12 · · · a1n<br />
⎜ a21 a22 · · ·<br />
⎟<br />
a2n ⎟<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ · · · · · · · · · · · · ⎠ ↦→ (a11, a12, ..., a1n, a21, a22, ..., a2n, ..., an1, an2, ..., ann)<br />
permite i<strong>de</strong>ntificarea spat¸iului vectorial Mn×n(K) cu Kn2, aplicat¸ia<br />
|| · || : Mn×n(K) −→ R,<br />
⎛<br />
<br />
<br />
a11<br />
⎜<br />
⎜<br />
a21<br />
⎜<br />
⎝<br />
· · ·<br />
<br />
<br />
an1<br />
a12<br />
a22<br />
· · ·<br />
an2<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
a1n<br />
a2n<br />
· · ·<br />
ann<br />
⎞<br />
<br />
<br />
<br />
⎟<br />
<br />
⎟<br />
<br />
⎟<br />
= <br />
⎠<br />
<br />
<br />
n<br />
|aij| 2<br />
i,j=1
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 155<br />
este o normă pe Mn×n(K). In particular, o serie <strong>de</strong> matrice<br />
este convergentă dacă există limita<br />
∞<br />
ak A k<br />
k=0<br />
m<br />
lim ak A<br />
m→∞<br />
k=0<br />
k<br />
adică dacă există B ∈ Mn×n(K) astfel încât<br />
Propozit¸ia 7.34 Dacă seria <strong>de</strong> puteri<br />
<br />
<br />
m<br />
<br />
lim <br />
ak A<br />
m→∞ <br />
k=0<br />
k <br />
<br />
<br />
− B<br />
<br />
∞<br />
ak x k<br />
k=0<br />
= 0.<br />
are raza <strong>de</strong> convergent¸ă R > 0 ¸si dacă A ∈ Mn×n(K) este astfel încât ||A|| < R<br />
atunci seria <strong>de</strong> matrice<br />
este convergentă.<br />
∞<br />
ak A k<br />
Demonstrat¸ie. Alegând r astfel încât ||A|| < r < R obt¸inem relat¸ia<br />
k=0<br />
<br />
<br />
ak<br />
A k <br />
<br />
<br />
= |ak| A<br />
k <br />
<br />
≤ |ak| ||A|| k < |ak| r k .<br />
Seria ∞ k=0 ak r k fiind absolut convergentă, din criteriul comparat¸iei rezultă că seria<br />
∞k=0 ||ak A k || este convergentă, ceea ce implică convergent¸a seriei ∞ k=0 ak A k .<br />
Observat¸ia 7.20 Deoarece seria exponent¸ială<br />
e x =<br />
∞<br />
k=0<br />
x k<br />
k!<br />
x x2<br />
= 1 + + + · · ·<br />
1! 2!
156 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
are raza <strong>de</strong> convergent¸ă r = ∞ rezultă că pentru orice matrice A ∈ Mn×n(K) putem<br />
<strong>de</strong>fini matricea<br />
e A =<br />
∞<br />
k=0<br />
A k<br />
k!<br />
A A2<br />
= 1 + + + · · ·<br />
1! 2!<br />
numită exponent¸iala matricei A. Se poate arăta că funct¸ia matriceală<br />
este <strong>de</strong>rivabilă ¸si că (e tA ) ′ = A e tA adică<br />
R −→ Mn×n(K) : t ↦→ e tA<br />
Y (t) = e tA C<br />
este solut¸ie a sistemului liniar Y ′ = AY , oricare ar fi C ∈ R n .<br />
Exercit¸iul 7.6 Să se <strong>de</strong>termine solut¸ia sistemului<br />
Rezolvare. Matricea sistemului<br />
este diagonalizabilă<br />
⎛<br />
Deoarece<br />
obt¸inem<br />
S −1 AS =<br />
⎛<br />
A k ⎜<br />
= S ⎝<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
2 0 0<br />
0 −1 0<br />
0 0 −1<br />
A =<br />
y ′ 1 = y2 + y3<br />
y ′ 2 = y1 + y3<br />
y ′ 3 = y1 + y2.<br />
⎞<br />
⎜<br />
A = S ⎝<br />
2 0 0<br />
0 −1 0<br />
0 0 −1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 1 1<br />
1 0 1<br />
1 1 0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎟<br />
⎠ un<strong>de</strong> S =<br />
⎛<br />
⎞k<br />
⎟<br />
⎠<br />
2 0 0<br />
0 −1 0<br />
0 0 −1<br />
⎛<br />
S −1 ⎜<br />
= S ⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ S −1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 1 0<br />
1 0 1<br />
1 −1 −1<br />
2 k 0 0<br />
0 (−1) k 0<br />
0 0 (−1) k<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎟<br />
⎠ S −1
Ecuat¸ii ¸si sisteme <strong>de</strong> ecuatii diferent¸iale liniare 157<br />
¸si<br />
e tA =<br />
∞<br />
k=0<br />
(tA) k<br />
k! =<br />
∞ t<br />
k=0<br />
k<br />
k! S<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
2 k 0 0<br />
0 (−1) k 0<br />
0 0 (−1) k<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ S −1 ⎜<br />
= S ⎝<br />
relat¸ie care permite scrierea explicită a solut¸iei generale.<br />
e 2t 0 0<br />
0 e −t 0<br />
0 0 e −t<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ S −1
158
Capitolul 8<br />
Grupuri. Reprezentări liniare<br />
8.1 Grupuri<br />
Vom prezenta câteva elemente referitoare la grupuri ¸si reprezentările lor liniare.<br />
Definit¸ia 8.1 Prin grup se înt¸elege o mult¸ime G pe care este <strong>de</strong>finită o lege <strong>de</strong><br />
compozit¸ie internă<br />
satisfăcând condit¸iile:<br />
G × G −→ G : (x, y) ↦→ x y<br />
1) (g1g2)g3 = g1(g2g3), ∀g1, g2, g3 ∈ G;<br />
2) există e ∈ G astfel încât ge = eg = g, ∀g ∈ G;<br />
3) oricare ar fi g ∈ G există g −1 ∈ G astfel încât gg −1 = g −1 g = e.<br />
Grupul este numit grup comutativ (sau abelian) dacă, în plus,<br />
4) g1g2 = g2g1 ∀g1, g2 ∈ G.<br />
Propozit¸ia 8.2 a) Elementul e cu proprietatea<br />
ge = eg = g, ∀g ∈ G<br />
este unic în G ¸si se nume¸ste element neutru.<br />
b) Pentru orice g ∈ G elementul g −1 cu proprietatea<br />
gg −1 = g −1 g = e<br />
este unic în G ¸si se nume¸ste inversul lui g.<br />
159
160 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
¸si<br />
gg −1 = g −1 g = e<br />
gh = hg = e<br />
ge = eg = g, ∀g ∈ G<br />
ge ′ = e ′ g = g, ∀g ∈ G<br />
<br />
<br />
=⇒ e = ee ′ = e ′<br />
=⇒ h = he = h(gg −1 ) = (hg)g −1 = eg −1 = g −1 .<br />
Observat¸ia 8.1 In cazul în care în locul notat¸iei multiplicative g1g2 se utilizează<br />
notat¸ia aditivă g1+g2 elementul neutru este notat cu 0. Elementul h cu proprietatea<br />
h + g = g + h = 0 este notat cu −g ¸si numit opusul lui g.<br />
8.2 Reprezentări liniare<br />
Definit¸ia 8.3 Fie G ¸si G ′ două grupuri. O aplicat¸ie<br />
este numită morfism <strong>de</strong> grupuri dacă<br />
f : G −→ G ′<br />
f(g1g2) = f(g1) f(g2), ∀g1, g2 ∈ G.<br />
Exercit¸iul 8.1 Mult¸imea tuturor automorfismelor unui spat¸iu vectorial V<br />
GL(V ) = { A : V −→ V | A este <strong>liniara</strong> si bijectiva }<br />
împreună cu operat¸ia <strong>de</strong> compunere este un grup (grupul automorfismelor lui V ).<br />
Definit¸ia 8.4 Prin reprezentare liniară a grupului G în spat¸iul vectorial V peste<br />
corpul K (numită ¸si reprezentare K-liniară) se înt¸elege un morfism <strong>de</strong> grupuri<br />
adică o aplicat¸ie astfel încât<br />
T : G −→ GL(V ) : g ↦→ T (g)<br />
T (g1g2) = T (g1) T (g2), ∀g1, g2 ∈ G.<br />
Dimensiunea reprezentării este prin <strong>de</strong>finit¸ie dimensiunea spat¸iului vectorial V .
Grupuri. Reprezentări liniare 161<br />
Exercit¸iul 8.2 Mult¸imea matricelor inversabile <strong>de</strong> ordinul n cu elemente din K<br />
GL(n, K) = { A ∈ Mn×n(K) | <strong>de</strong>t A = 0 }<br />
împreună cu înmult¸irea matricelor este grup (se nume¸ste grupul general linear).<br />
Definit¸ia 8.5 Prin reprezentare matriceală n-dimensională a unui grup G se<br />
înt¸elege un morfism <strong>de</strong> grupuri <strong>de</strong> forma<br />
T : G −→ GL(n, K) : g ↦→ T (g).<br />
Reprezentarea este numită reală în cazul K = R ¸si complexă în cazul K = C.<br />
Propozit¸ia 8.6 Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K. Dacă {e1, e2, ..., en} este<br />
o bază a lui V ¸si<br />
T : G −→ GL(V ) : g ↦→ T (g)<br />
o reprezentare liniară a unui grup G în V atunci aplicat¸ia<br />
⎛<br />
t11(g)<br />
⎜ t21(g)<br />
⎜<br />
T : G −→ GL(n, K) : g ↦→ T (g) = ⎜ · · ·<br />
⎜<br />
⎝<br />
tn1(g)<br />
t12(g)<br />
t22(g)<br />
· · ·<br />
tn2(g)<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
⎞<br />
t1n(g)<br />
⎟<br />
t2n(g) ⎟<br />
· · · ⎟<br />
⎠<br />
tnn(g)<br />
un<strong>de</strong> elementele tij(g) sunt astfel încât<br />
n<br />
T (g)ej = tij(g)ei,<br />
i=1<br />
∀g ∈ G, ∀j ∈ {1, 2, ..., n}<br />
este o reprezentare matriceală n-dimensională a lui G.<br />
Demonstrat¸ie. Deoarece T (g1g2) = T (g1) T (g2), din relat¸iile<br />
T (g1g2)ej = n i=1 tij(g1g2)ei<br />
T (g1) T (g2)ej = T (g1) n k=1 tkj(g2)ek = n k=1 tkj(g2)T (g1)ek<br />
= n k=1 tkj(g2) n i=1 tik(g1)ei<br />
= n i=1 ( n k=1 tik(g1)tkj(g2)) ei
162 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
rezultă că<br />
tij(g1g2) =<br />
n<br />
tik(g1) tkj(g2), ∀i, j ∈ {1, 2, ..., n}<br />
k=1<br />
adică T (g1g2) = T (g1) T (g2).<br />
Observat¸ia 8.2 Matricea T (g) este matricea transformării liniare T (g) : V −→ V<br />
în raport cu baza consi<strong>de</strong>rată. Alegând o altă bază {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n} se poate <strong>de</strong>fini în<br />
mod similar reprezentarea<br />
T ′ : G −→ GL(n, K) : g ↦→ T ′ (g).<br />
S¸tim însă că cele două reprezentări matriceale sunt legate prin relat¸ia<br />
T ′ (g) = S −1 T (g) S, ∀g ∈ G<br />
un<strong>de</strong> S este matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la baza {e1, e2, ..., en} la {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n}.<br />
Definit¸ia 8.7 Două reprezentări matriceale n-dimensionale peste K ale unui grup<br />
T1 : G −→ GL(n, K) si T2 : G −→ GL(n, K)<br />
sunt numite echivalente dacă există S ∈ GL(n, K) astfel încât<br />
T2(g) = S −1 T1(g) S, ∀g ∈ G.<br />
Exercit¸iul 8.3 Aplicat¸ia R : R −→ GL(R 2 ) : t ↦→ R(t) un<strong>de</strong><br />
R(t) : R 2 −→ R 2 , R(t)(x, y) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t)<br />
este o reprezentare liniară a grupului aditiv (R, +) în spat¸iul vectorial R 2 .<br />
Alegând în R 2 baza {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} obt¸inem reprezentarea matriceală<br />
R : R −→ GL(2, R) : t ↦→ R(t) =<br />
Rezolvare. Avem R(t + s) = R(t) R(s).<br />
<br />
cos t − sin t<br />
sin t cos t<br />
<br />
.
Grupuri. Reprezentări liniare 163<br />
8.3 Reprezentări ireductibile<br />
Definit¸ia 8.8 Două reprezentări liniare n-dimensionale peste K ale unui grup G<br />
T1 : G −→ GL(V1) si T2 : G −→ GL(V2)<br />
sunt numite echivalente dacă există un izomorfism liniar S : V1 −→ V2 astfel încât<br />
adică astfel încât diagrama<br />
este comutativă.<br />
T1(g) = S −1 T2(g) S, ∀g ∈ G<br />
V1<br />
T1(g)<br />
S S<br />
❄<br />
T2(g) ✲<br />
❄<br />
V2<br />
Definit¸ia 8.9 Fie T : G −→ GL(V ) o reprezentare liniară a grupului G în V .<br />
Spunem că subspat¸iul vectorial W ⊆ V este invariant fat¸ă <strong>de</strong> T dacă<br />
✲<br />
V1<br />
V2<br />
T (g)(W ) ⊆ W, ∀g ∈ G.<br />
Definit¸ia 8.10 Spunem că reprezentarea liniară<br />
T : G −→ GL(V )<br />
este o reprezentare ireductibilă dacă singurele subspat¸ii invariante sunt {0} ¸si<br />
V . In caz contrar, reprezentarea este numită reductibilă.<br />
Exercit¸iul 8.4 Reprezentarea liniară T : R −→ GL(R 3 ) : t ↦→ T (t) un<strong>de</strong><br />
T (t) : R 3 −→ R 3 , T (t)(x, y, z) = (x cos t − y sin t, x sin t + y cos t, z)<br />
este o reprezentare liniară reductibilă a grupului aditiv (R, +) în R 3 .<br />
Rezolvare. Subspat¸iul W = { (x, y, 0) | x, y ∈ R } ⊂ R 3 este subspat¸iu invariant.
164 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 8.11 Dacă<br />
T1 : G −→ GL(V1) si T2 : G −→ GL(V2)<br />
sunt două reprezentări K-liniare atunci aplicat¸ia<br />
T : G −→ GL(V1 ⊕ V2), T (g)(x1, x2) = (T1(g)x1, T2(g)x2)<br />
este o reprezentare K-liniară a grupului G în spat¸iul produs direct V1 ⊕ V2, numită<br />
suma reprezentărilor T1 ¸si T2, notată cu T1 ⊕ T2.<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
T (g1g2)(x1, x2) = (T1(g1g2)x1, T2(g1g2)x2)<br />
Propozit¸ia 8.12 Dacă<br />
= (T1(g1) T1(g2)x1, T2(g1) T2(g2)x2)<br />
= T (g1)(T1(g2)x1, T2(g2)x2) = T (g1)T (g2)(x1, x2).<br />
T : G −→ GL(n, K) : g ↦→ T (g) =<br />
R : G −→ GL(k, K) : g ↦→ R(g) =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
t11(g) · · · t1n(g)<br />
· · · · · · · · ·<br />
tn1(g) · · · tnn(g)<br />
r11(g) · · · r1k(g)<br />
· · · · · · · · ·<br />
rk1(g) · · · rkk(g)<br />
sunt două reprezentări matriceale atunci<br />
⎛<br />
t11(g)<br />
⎜ · · ·<br />
⎜ tn1(g)<br />
T ⊕ R : G −→ GL(n+k, K) : g ↦→ ⎜ 0<br />
⎜<br />
⎝ 0<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
0<br />
0<br />
t1n(g)<br />
· · ·<br />
tnn(g)<br />
0<br />
0<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
r11(g)<br />
· · ·<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
· · ·<br />
· · ·<br />
0<br />
· · ·<br />
0<br />
r1k(g)<br />
· · ·<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 0 0 rk1(g) · · · rkk(g)<br />
este o reprezentare matriceală a lui G, numită suma reprezentărilor T ¸si R.
Grupuri. Reprezentări liniare 165<br />
8.4 Reprezentări unitare ¸si ortogonale<br />
Definit¸ia 8.13 O submult¸ime H ⊆ G este numită subgrup al grupului G dacă<br />
<br />
g1 ∈ H<br />
=⇒ g1g<br />
g2 ∈ H<br />
−1<br />
2 ∈ H.<br />
Exercit¸iul 8.5 Fie V un spat¸iu vectorial euclidian complex. Mult¸imea trans-<br />
formărilor unitare<br />
U(V ) = { A : V −→ V | 〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V }<br />
este un subgrup al grupului GL(V ) al tuturor automorfismelor lui V .<br />
Definit¸ia 8.14 Prin reprezentare unitară a grupului G în spat¸iul vectorial eu-<br />
clidian complex V se înt¸elege un morfism <strong>de</strong> grupuri<br />
T : G −→ U(V ).<br />
Observat¸ia 8.3 Dacă T : G −→ U(V ) este o reprezentare unitară atunci<br />
〈T (g)x, T (g)y〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V, ∀g ∈ G.<br />
Exercit¸iul 8.6 Fie A ∈ Mn×n(C) o matrice cu n linii ¸si n coloane cu elemente<br />
numere complexe ¸si fie A ∗ = t Ā adjuncta ei. Relat¸iile<br />
A A ∗ = I, A ∗ A = I, A −1 = A ∗ .<br />
un<strong>de</strong> I ∈ Mn×n(C) este matricea unitate, sunt echivalente.<br />
Definit¸ia 8.15 Matricea A∈Mn×n(C) este numită matrice unitară dacă<br />
A ∗ A=I<br />
(condit¸ie echivalentă cu A −1 =A ∗ ¸si A A ∗ = I).<br />
Observat¸ia 8.4 Dacă A este o matrice unitară atunci |<strong>de</strong>tA| = 1. Intr-a<strong>de</strong>văr<br />
A ∗ A=I =⇒ <strong>de</strong>tA <strong>de</strong>tA ∗ = 1 =⇒ |<strong>de</strong>tA| 2 = 1.
166 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Teorema 8.16 Mult¸imea matricelor unitare <strong>de</strong> ordinul n<br />
U(n) = { A ∈ Mn×n(C) | A ∗ A=I }<br />
are o structură <strong>de</strong> grup în raport cu înmult¸irea matricelor, iar<br />
este un subgrup al lui U(n).<br />
SU(n) = { A ∈ U(n) | <strong>de</strong>t A=1 }<br />
Demonstrat¸ie. a) Produsul a două matrice unitare A ¸si B este o matrice unitară<br />
(AB) ∗ (AB) = B ∗ A ∗ AB = B ∗ B = I<br />
¸si inversa unei matrice unitare A este o matrice unitară<br />
A −1 = A ∗ =⇒ (A −1 ) ∗ = (A ∗ ) ∗ = A = (A −1 ) −1 .<br />
b) Afirmat¸ia rezultă din relat¸iile<br />
<strong>de</strong>t(AB) = <strong>de</strong>tA <strong>de</strong>tB, <strong>de</strong>t(A −1 ) = (<strong>de</strong>tA) −1 .<br />
Definit¸ia 8.17 Prin reprezentare matriceală unitară a grupului G se înt¸elege<br />
un morfism <strong>de</strong> grupuri<br />
T : G −→ U(n).<br />
Exercit¸iul 8.7 Fie V un spat¸iu vectorial euclidian real. Mult¸imea transformărilor<br />
ortogonale<br />
O(V ) = { A : V −→ V | 〈Ax, Ay〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V }<br />
este un subgrup al grupului GL(V ) al tuturor automorfismelor lui V .<br />
Definit¸ia 8.18 Prin reprezentare ortogonală a grupului G în spat¸iul vectorial<br />
euclidian real V se înt¸elege un morfism <strong>de</strong> grupuri<br />
T : G −→ O(V ).
Grupuri. Reprezentări liniare 167<br />
Observat¸ia 8.5 Dacă T : G −→ O(V ) este o reprezentare ortogonală atunci<br />
〈T (g)x, T (g)y〉 = 〈x, y〉, ∀x, y ∈ V, ∀g ∈ G.<br />
Exercit¸iul 8.8 Fie A ∈ Mn×n(R) o matrice cu n linii ¸si n coloane cu elemente<br />
numere reale ¸si fie t A transpusa ei. Relat¸iile<br />
A t A = I,<br />
t A A = I, A −1 = t A.<br />
un<strong>de</strong> I ∈ Mn×n(C) este matricea unitate, sunt echivalente.<br />
Definit¸ia 8.19 Matricea A∈Mn×n(C) este numită matrice ortogonală dacă<br />
t A A=I<br />
(condit¸ie echivalentă cu A −1 = t A ¸si A t A = I).<br />
Observat¸ia 8.6 Dacă A este o matrice ortogonală atunci <strong>de</strong>tA ∈ {−1, 1}.<br />
Teorema 8.20 Mult¸imea matricelor ortogonale <strong>de</strong> ordinul n<br />
O(n) =<br />
<br />
A ∈ Mn×n(R) |<br />
t A A=I<br />
are o structură <strong>de</strong> grup în raport cu înmult¸irea matricelor, iar<br />
este un subgrup al lui U(n).<br />
SO(n) = { A ∈ O(n) | <strong>de</strong>t A=1 }<br />
Demonstrat¸ie. A se ve<strong>de</strong>a <strong>de</strong>monstrat¸ia teoremei 8.16.<br />
Definit¸ia 8.21 Prin reprezentare matriceală ortogonală a grupului G se înt¸elege<br />
un morfism <strong>de</strong> grupuri<br />
T : G −→ O(n).
168 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
8.5 Grupul rotat¸iilor. Reprezentări liniare<br />
Propozit¸ia 8.22<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
¸si<br />
<br />
SO(2) =<br />
cos t − sin t<br />
sin t cos t<br />
<br />
α β<br />
γ δ<br />
<br />
−1 <br />
=<br />
<br />
cos t − sin t<br />
sin t cos t<br />
cos t sin t<br />
− sin t cos t<br />
∈ SO(2) =⇒<br />
<br />
<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
,<br />
t ∈ [0, 2π)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
cos t − sin t<br />
sin t cos t<br />
α 2 + γ 2 = 1<br />
β 2 + δ 2 = 1<br />
αβ + γδ = 0<br />
αδ − βγ = 1.<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
= 1<br />
<br />
Din relat¸iile α 2 + γ 2 = 1 ¸si β 2 + δ 2 = 1 rezultă că există t, s ∈ [0, 2π) încât<br />
dar<br />
αβ + γδ = 0<br />
αδ − βγ = 1.<br />
<br />
<br />
=⇒<br />
α β<br />
γ δ<br />
<br />
=<br />
<br />
cos t sin s<br />
sin t cos s<br />
sin(t + s) = 0<br />
cos(t + s) = 1.<br />
<br />
<br />
=⇒<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
s = −t<br />
sau<br />
s = 2π − t.<br />
Exercit¸iul 8.9 Dacă A ∈ SO(3) atunci există t ∈ [0, 2π) ¸si o matrice S ∈ O(3)<br />
astfel încât<br />
Rezolvare. Fie<br />
S −1 AS =<br />
A =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0<br />
0 cos t − sin t<br />
0 sin t cos t<br />
a11 a12 a13<br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
⎟<br />
⎠ ∈ SO(3).
Grupuri. Reprezentări liniare 169<br />
Matricea A este matricea în raport cu baza canonică a unei transformări ortogonale<br />
A : R3 −→ R3 . Ecuat¸ia caracteristică corespunzătoare este<br />
−λ 3 +(a11 + a22 + a33)λ 2 <br />
<br />
a22<br />
−<br />
a32<br />
a23<br />
a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
+<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a31<br />
a13<br />
a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
+<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
a21<br />
a12<br />
a22<br />
<br />
<br />
<br />
λ − <strong>de</strong>t A=0<br />
<br />
Deoarece tA = A−1 , adică<br />
⎛<br />
a11<br />
⎜<br />
⎝ a12<br />
a13<br />
a21<br />
a22<br />
a23<br />
a31<br />
a32<br />
a33<br />
⎛ <br />
<br />
<br />
⎜ <br />
⎜ <br />
⎞ ⎜<br />
⎟ ⎜<br />
⎠ = ⎜<br />
⎝<br />
a22<br />
a32<br />
a23<br />
a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
−<br />
<br />
<br />
<br />
− <br />
<br />
a21<br />
a23<br />
a31<br />
a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a12<br />
<br />
a13<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
a13<br />
a32<br />
a33<br />
a31<br />
a33<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a12<br />
<br />
a13<br />
a22<br />
a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
−<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a21<br />
a22<br />
a31<br />
a32<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
a13<br />
a21<br />
a23<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
−<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
a12<br />
a31<br />
a32<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
a11<br />
<br />
a12<br />
a21<br />
a22<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
¸si <strong>de</strong>t A = 1 rezultă că λ = 1 este valoare proprie a lui A. Fie e1 un vector propriu<br />
corespunzător cu ||e1|| = 1, adică Ae1 = e1. Subspat¸iul vectorilor ortogonali pe e1<br />
este un subspat¸iu invariant<br />
V = {x ∈ R 3 | 〈x, e1〉 = 0 }<br />
x ∈ V =⇒ 〈Ax, e1〉 = 〈Ax, Ae1〉 = 〈x, e1〉 = 0.<br />
Dacă {e2, e3} este o bază ortonormată în V atunci B = {e1, e2, e3} este o bază<br />
ortonormată a lui R3 în raport cu care matricea lui A are forma<br />
A ′ ⎛<br />
1<br />
⎜<br />
= ⎝ 0<br />
0<br />
α<br />
0<br />
β<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
0 γ δ<br />
<br />
α<br />
un<strong>de</strong><br />
γ<br />
β<br />
δ<br />
<br />
este o matrice ortogonală. Notând cu S matricea <strong>de</strong> trecere <strong>de</strong> la<br />
baza canonică la baza B avem relat¸ia<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
0<br />
0<br />
α<br />
0<br />
β<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ = S<br />
0 γ δ<br />
−1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
a11<br />
a12<br />
a21<br />
a22<br />
a31<br />
a32<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ S<br />
a13 a23 a33
170 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
din care rezultă <br />
ceea ce arată că<br />
<br />
α β<br />
γ δ<br />
<br />
încât <br />
α β<br />
γ δ<br />
<br />
<br />
<br />
= 1<br />
<br />
∈ SO(2). Conform exercit¸iului anterior există t ∈ [0, 2π)<br />
α β<br />
γ δ<br />
Observat¸ia 8.7 Matricea ⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
<br />
=<br />
<br />
cos t − sin t<br />
sin t cos t<br />
1 0 0<br />
0 cos t − sin t<br />
0 sin t cos t<br />
este matricea unei rotat¸ii în jurul vectorului e1 (vectorul propriu corespunzător val-<br />
orii proprii λ = 1). Grupul SO(3) este grupul rotat¸iilor spat¸iului tridimensional.<br />
Exercit¸iul 8.10 Aplicat¸ia SO(3) −→ O(R 3 ) prin care matricei<br />
g =<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
a11 a12 a13<br />
a21 a22 a23<br />
a31 a32 a33<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<br />
.<br />
⎟<br />
⎠ ∈ SO(3)<br />
i se asociază transformarea ortogonală g : R 3 −→ R 3 ,<br />
g(x1, x2, x3) = (a11x1+a12x2+a13x3, a21x1+a22x2+a23x3, a31x1+a32x2+a33x3)<br />
este o reprezentare ortogonală a grupului SO(3) în R 3 .<br />
Exercit¸iul 8.11 Aplicat¸ia<br />
un<strong>de</strong><br />
T : SO(3) −→ GL(F(R 3 , C)) : g ↦→ T (g)<br />
T (g) : F(R 3 , C) −→ F(R 3 , C), (T (g)f)(x) = f(g −1 x)<br />
este o reprezentare liniară în spat¸iul vectorial complex F(R 3 , C) al tuturor funct¸iilor<br />
f : R 3 −→ C.
Grupuri. Reprezentări liniare 171<br />
Rezolvare. Avem<br />
(T (g1g2)f)(x) = f((g1g2) −1 x) = f(g −1<br />
2 g−1<br />
1 x)<br />
= f(g −1<br />
2 (g−1 1<br />
−1<br />
x)) = (T (g2)f)(g1 x)<br />
= (T (g1)(T (g2)f))(x) = (T (g1)T (g2)f)(x).<br />
Exercit¸iul 8.12 Mult¸imea <strong>de</strong> matrice<br />
<br />
O(1, 3) = A ∈ GL(4, R) | A I1,3 t <br />
A = I1,3<br />
un<strong>de</strong><br />
⎛<br />
⎜<br />
I1,3 = ⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
0 −1 0 0<br />
0 0 −1 0<br />
0 0 0 −1<br />
consi<strong>de</strong>rată împreună cu înmult¸irea este grup (se nume¸ste grupul Lorentz).<br />
Exercit¸iul 8.13<br />
Rezolvare. Avem<br />
<br />
α β<br />
γ δ<br />
SU(2)=<br />
<br />
<br />
∈SU(2) =⇒<br />
α β<br />
− ¯ β ¯α<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
α, β ∈ C, |α| 2 + |β| 2 = 1<br />
¯α γ + ¯ β δ = 0<br />
−βγ + αδ = 1<br />
|α| 2 + |β| 2 = 1<br />
=⇒<br />
Observat¸ia 8.8 Grupul SU(2) admite parametrizarea<br />
⎧ ⎛<br />
⎪⎨<br />
SU(2) = ⎝<br />
⎪⎩<br />
ei(ϕ+ψ)/2 cos 1<br />
2θ i ei(ϕ−ψ)/2 sin 1<br />
2θ ⎞ <br />
<br />
<br />
⎠ <br />
<br />
<br />
cu proprietatea<br />
⎛<br />
i e −i(ϕ−ψ)/2 sin 1<br />
2 θ e−i(ϕ+ψ)/2 cos 1<br />
2 θ<br />
⎝ ei(ϕ+ψ)/2 cos 1<br />
2θ i ei(ϕ−ψ)/2 sin 1<br />
2θ i e−i(ϕ−ψ)/2 sin 1<br />
2θ e−i(ϕ+ψ)/2 cos 1<br />
2θ =<br />
⎛<br />
⎝ eiϕ/2 0<br />
0 e −iϕ/2<br />
⎞ ⎛<br />
⎠ ⎝<br />
⎞<br />
⎠<br />
1 1<br />
cos 2θ i sin 2θ i sin 1 1<br />
2θ cos 2θ ⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
γ = − ¯ β<br />
δ = ¯α<br />
<br />
|α| 2 + |β| 2 = 1.<br />
0 ≤ ϕ < 2π<br />
0 ≤ θ ≤ π<br />
−2π ≤ ψ ≤ 2π<br />
⎞ ⎛<br />
⎠ ⎝ eiψ/2 0<br />
0 e−iψ/2 ⎞<br />
⎠<br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
⎪⎭
172 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
parametrii ϕ, θ, ψ fiind numit¸i unghiurile lui Euler.<br />
Exercit¸iul 8.14 Dacă a, b ∈ Mn×n(K) atunci<br />
Rezolvare. Avem<br />
tr (ab) = tr (ba).<br />
n<br />
n n<br />
n n<br />
n<br />
tr (ab) = (ab)ii = aij bji = bji aij = (ba)jj = tr (ba).<br />
i=1<br />
i=1 j=1<br />
j=1 i=1<br />
j=1<br />
Observat¸ia 8.9 Folosind baza canonică a lui R 3 , putem i<strong>de</strong>ntifica grupul SO(3) cu<br />
grupul <strong>de</strong> transformări<br />
{ A : R 3 −→ R 3 | <strong>de</strong>tA = 1, ||Ax|| = ||x||, ∀x ∈ R 3 }.<br />
Propozit¸ia 8.23 a) Spat¸iul matricelor antihermitice <strong>de</strong> urmă nulă <strong>de</strong> ordinul doi<br />
W = { u ∈ M2×2(C) | u ∗ = −u, tr u = 0 }<br />
este un spat¸iu vectorial real <strong>de</strong> dimensiune 3 ¸si<br />
h : R 3 −→ W, h(x1, x2, x3) =<br />
este un izomorfism cu proprietatea<br />
b) Aplicat¸ia<br />
un<strong>de</strong><br />
este un morfism <strong>de</strong> grupuri cu nucleul<br />
Ker η =<br />
<br />
g ∈SU(2)<br />
<br />
ix3<br />
x2 + ix1<br />
||x|| 2 = <strong>de</strong>t h(x), ∀x ∈ R 3 .<br />
η : SU(2) −→ SO(3) : g ↦→ η(g)<br />
−x2 + ix1<br />
−ix3<br />
η(g) : R 3 −→ R 3 , η(g)x = h −1 (g h(x) g ∗ )<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
η(g)=<br />
<br />
1 0<br />
0 1<br />
<br />
=<br />
<br />
1 0<br />
0 1<br />
<br />
,<br />
<br />
<br />
−1 0<br />
0 −1<br />
<br />
.
Grupuri. Reprezentări liniare 173<br />
Demonstrat¸ie. a) Avem<br />
u =<br />
<br />
α11 + iβ11 α12 + iβ12<br />
α21 + iβ21 α22 + iβ22<br />
b) Din <strong>de</strong>finit¸ia lui η rezultă că<br />
<br />
∈ W =⇒ u =<br />
<br />
iβ11<br />
−α12 + iβ12<br />
η(g1 g2)x = h −1 ((g1 g2) h(x) (g1 g2) ∗ ) = h −1 (g1 g2 h(x) g ∗ 2 g∗ 1 )<br />
α12 + iβ12<br />
−iβ11<br />
= h −1 (g1 h(h −1 (g2 h(x) g ∗ 2 ))g∗ 1 ) = η(g1)(η(g2)x) = (η(g1) η(g2))x.<br />
Utilizând baza canonică a lui R 3 obt¸inem relat¸iile<br />
η<br />
⎛<br />
⎛<br />
η ⎝<br />
⎝ eiϕ/2 0<br />
0 e −iϕ/2<br />
⎞<br />
1 1<br />
cos 2θ i sin 2θ i sin 1 1<br />
2θ cos 2θ ⎠ =<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎠ =<br />
din care <strong>de</strong>ducem că <strong>de</strong>t η(g) = 1. Deoarece<br />
cos ϕ − sin ϕ 0<br />
sin ϕ cos ϕ 0<br />
0 0 1<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0<br />
0 cos θ − sin θ<br />
0 sin θ cos θ<br />
(g h(x) g ∗ ) ∗ = g (h(x)) ∗ g ∗ = −g h(x) g ∗ ) ∗ = g<br />
tr(g h(x) g ∗ ) = tr(g g ∗ h(x)) = tr h(x) = 0<br />
||η(g)x|| 2 = <strong>de</strong>t (g h(x) g ∗ ) = <strong>de</strong>t h(x) = ||x|| 2<br />
rezultă că η este un morfism <strong>de</strong> grupuri bine <strong>de</strong>finit. Elementul g ∈ SU(2) apart¸ine<br />
nucleului lui η dacă ¸si numai dacă η(g)x = x oricare ar fi x ∈ R 3 . Din relat¸iile<br />
η(g)(1, 0, 0) = (1, 0, 0), η(g)(0, 1, 0) = (0, 1, 0), η(g)(0, 0, 1) = (0, 0, 1)<br />
se <strong>de</strong>duce că g ∈<br />
<br />
1 0<br />
0 1<br />
<br />
,<br />
<br />
−1 0<br />
0 −1<br />
Observat¸ia 8.10 Prin morfismul η : SU(2) −→ SO(3) fiecare element al lui SO(3)<br />
corespun<strong>de</strong> la două elemente din SU(2) care diferă doar prin semn, η(g) = η(−g).<br />
Orice reprezentare liniară<br />
<br />
T : SU(2) −→ GL(V )<br />
.<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
<br />
.
174 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
cu proprietatea T (g) = T (−g) <strong>de</strong>fine¸ste o reprezentare liniară a grupului SO(3).<br />
Exercit¸iul 8.15 Aplicat¸ia SU(2) −→ GL(C2 ) obt¸inută asociind fiecarui element<br />
<br />
α β<br />
g =<br />
− ¯ <br />
∈ SU(2)<br />
β ¯α<br />
transformarea<br />
g : C 2 −→ C 2 , g(z1, z2) = (αz1 + βz2, − ¯ βz1 + ¯αz2)<br />
este o reprezentare unitară bidimensională a lui SU(2).<br />
Rezolvare. Avem (g1 g2)(z1, z2) = g1 (g2(z1, z2)).<br />
Exercit¸iul 8.16 Aplicat¸ia T : SU(2) −→ GL(F(C 2 , C)) obt¸inută asociind fiecarui<br />
element g ∈ SU(2) transformarea<br />
T (g) : F(C 2 , C) −→ F(C 2 , C), (T (g)f)(z1, z2) = f(g −1 (z1, z2))<br />
este o reprezentare liniară a grupului SU(2) in spat¸iul vectorial complex al tuturor<br />
funct¸iilor f : C 2 −→ C.<br />
b) Pentru orice n ∈ N subspat¸iul vectorial al polinoamelor omogene <strong>de</strong> grad n<br />
<br />
En = f : C 2 −→ C,<br />
n<br />
f(z1, z2) =<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
k=0<br />
akz k 1 z n−k<br />
2<br />
ak ∈ C<br />
este un subspat¸iu invariant al reprezentării <strong>de</strong>finite la punctul a).<br />
Rezolvare. Inversul elemntului<br />
este<br />
¸si în cazul<br />
g =<br />
<br />
g −1 =<br />
α β<br />
− ¯ β ¯α<br />
<br />
f(z1, z2) =<br />
<br />
¯α −β<br />
¯β α<br />
n<br />
k=0<br />
∈ SU(2)<br />
<br />
ak z k 1 z n−k<br />
2
Grupuri. Reprezentări liniare 175<br />
obt¸inem<br />
(T (g)f)(z1, z2) = f(g −1 (z1, z2)) =<br />
n<br />
ak(¯αz1 − βz2) k ( ¯ βz1 + αz2) n−k .<br />
k=0<br />
Observat¸ia 8.11 Se poate arăta că reprezentările lui SU(2) induse în subspat¸iile En<br />
sunt reprezentări ireductibile ¸si că ele sunt până la o echivalent¸ă toate reprezentările<br />
ireductibile ale grupului SU(2). Notând j = (n − 1)/2, adică n = 2j + 1, obt¸inem<br />
¸si<br />
f(z1, z2) =<br />
n<br />
k=0<br />
ak z k 1 z n−k<br />
2<br />
=<br />
j<br />
m=−j<br />
aj+m z j+m<br />
1<br />
z j−m<br />
2 .<br />
(T (g)f)(z1, z2) =<br />
j<br />
m=−j<br />
aj+m(¯αz1 − βz2) j+m ( ¯ βz1 + αz2) j−m .<br />
Pentru fiecare element a ∈ SO(3) există exact două elemente ga ¸si −ga în SU(2)<br />
încât a = η(ga) = η(−ga). Deoarece<br />
in cazul in care j este intreg, relat¸ia<br />
(T (−g)f)(z1, z2) = (−1) 2j (T (g)f)(z1, z2)<br />
SO(3) −→ GL(E2j+1) : a ↦→ T (ga)<br />
este o reprezentare ireductibilă (2j + 1)-dimensională a grupului SO(3) în spat¸iul<br />
vectorial E2j+1.
176
Capitolul 9<br />
Algebre Lie. Reprezentări<br />
liniare<br />
9.1 Algebre Lie<br />
Vom prezenta câteva elemente referitoare la algebre Lie ¸si reprezentările lor liniare.<br />
Definit¸ia 9.1 Fie K unul dintre corpurile R ¸si C. Prin algebră asociativă peste<br />
corpul K se înt¸elege o mult¸ime A consi<strong>de</strong>rată împreună cu trei operat¸ii<br />
A × A :−→ A : (a, b) ↦→ a + b (adunarea)<br />
K × A :−→ A : (α, a) ↦→ αa (inmultirea cu scalari)<br />
A × A :−→ A : (a, b) ↦→ ab (inmultirea interna)<br />
astfel încât A împreună cu primele două operat¸ii este spat¸iu vectorial ¸si<br />
1) a(b + c) = ab + ac, ∀a, b, c ∈ A;<br />
2) (a + b)c = ac + bc, ∀a, b, c ∈ A;<br />
3) a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ A;<br />
4) α(ab) = (αa)b = a(αb), ∀a, b ∈ A, ∀α ∈ K.<br />
Prin dimensiunea algebrei A se înt¸elege dimensiunea spat¸iului vectorial corespunzător.<br />
Exercit¸iul 9.1 a) Mult¸imea Mn×n(K) a tuturor matricelor pătrate <strong>de</strong> ordinul n<br />
consi<strong>de</strong>rată împreună cu operat¸iile <strong>de</strong> adunare a matricelor, înmult¸ire cu scalari ¸si<br />
produsul matricelor este o algebră asociativă peste K.<br />
177
178 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
b) Dacă V este un spat¸iu vectorial peste K atunci mult¸imea L(V ) a tuturor operato-<br />
rilor liniari A : V −→ V consi<strong>de</strong>rată împreună cu adunarea operatorilor, înmult¸irea<br />
cu scalari ¸si compunerea operatorilor este o algebră asociativă peste K.<br />
Definit¸ia 9.2 Fie K unul dintre corpurile R ¸si C. Prin algebră Lie peste corpul<br />
K se înt¸elege o mult¸ime L consi<strong>de</strong>rată împreună cu trei operat¸ii<br />
L × L :−→ L : (a, b) ↦→ a + b (adunarea)<br />
K × L :−→ L : (α, a) ↦→ αa (inmultirea cu scalari)<br />
L × L :−→ L : (a, b) ↦→ [a, b] (crosetul)<br />
astfel încât L împreună cu primele două operat¸ii este spat¸iu vectorial ¸si<br />
1) [αa + βb, c] = α[a, c] + β[b, c], ∀a, b, c ∈ L, ∀α, β ∈ K;<br />
2) [a, b] + [b, a] = 0, ∀a, b ∈ L;<br />
3) [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0, ∀a, b, c ∈ A (i<strong>de</strong>ntitatea Jacobi).<br />
Prin dimensiunea algebrei Lie se înt¸elege dimensiunea spat¸iului vectorial corespunzător.<br />
Observat¸ia 9.1 O algebră Lie L poate fi privită ca un spat¸iu vectorial L pe care<br />
s-a <strong>de</strong>finit o lege <strong>de</strong> compozit¸ie internă suplimentară<br />
L × L :−→ L : (a, b) ↦→ [a, b]<br />
compatibilă cu structura <strong>de</strong> spat¸iu vectorial.<br />
Propozit¸ia 9.3 a) Plecând <strong>de</strong> la orice algebră asociativă A se obt¸ine o structură<br />
<strong>de</strong> algebră Lie pe A <strong>de</strong>finind cro¸setul prin<br />
[a, b] = ab − ba.<br />
b) Algebra Lie peste K obt¸inută plecând <strong>de</strong> la Mn×n(K) se notează cu gl(n, K).<br />
c) Algebra Lie peste K obt¸inută plecând <strong>de</strong> la L(V ) se notează cu gl(V ).<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
[αa+βb, c] = (αa + βb)c−c(αa + βb)=α(ac − ca)+β(bc − cb) = α[a, c]+β[b, c]<br />
[a, b] = ab − ba = −(ba − ab) = −[b, a]<br />
[[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = [(ab − ba), c] + [(bc − cb), a] + [(ca − ac), b]<br />
=(ab−ba)c−c(ab−ba)+(bc−cb)a−a(bc−cb)+(ca−ac)b−b(ca−ac)=0.
Algebre Lie. Reprezentări liniare 179<br />
Definit¸ia 9.4 Prin bază a algebrei Lie L se înt¸elege o bază {v1, v2, ... , vn} a<br />
spat¸iului L privit ca spat¸iu vectorial. Coeficient¸ii c k ij<br />
n<br />
[vi, vj] = c<br />
k=1<br />
k ij vk<br />
∈ K din relat¸iile<br />
se numesc constantele <strong>de</strong> structură ale algebrei L referitoare la baza aleasă.<br />
Observat¸ia 9.2 Notând<br />
⎛<br />
e i ⎜<br />
j = ⎜<br />
⎝<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0<br />
0 · · · 0 1 0 · · · 0<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0<br />
(singurul element nenul este la intersect¸a dintre coloana i ¸si linia j), orice matrice<br />
admite reprezentarea<br />
In cazul n = 2<br />
a 1 1 a 1 2<br />
a 2 1 a2 2<br />
<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
a1 1 a1 2 · · · a1 a<br />
n<br />
2 1 a2 2 · · · a2 · · · · · · · · ·<br />
n<br />
· · ·<br />
an 1 an 2 · · · an ⎞<br />
⎟ n<br />
⎟ = a<br />
⎟<br />
⎠ i,j=1<br />
n<br />
j<br />
i eij = a j<br />
i eij. = a 1 1<br />
1 0<br />
0 0<br />
<br />
+ a 1 2<br />
0 1<br />
0 0<br />
<br />
= a 1 1 e1 1 + a1 2 e2 1 + a2 1 e1 2 + a2 2 e2 2 .<br />
+ a 2 1<br />
0 0<br />
1 0<br />
<br />
+ a 2 2<br />
Propozit¸ia 9.5 Algebra Lie gl(n, K), <strong>de</strong> dimensiune n 2 , admite baza<br />
{ e i j | i, j ∈{1, 2, ..., n} } cu [e i j, e k m] = δ i m e k j − δ k j e i m.<br />
Demonstrat¸ie. Avem e i j ek m = δ i m e k j .<br />
0 0<br />
0 1
180 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Definit¸ia 9.6 Prin subalgebră Lie a algebrei L se înt¸elege un subspat¸iu vectorial<br />
astfel încât<br />
a ∈ L1<br />
b ∈ L1<br />
<br />
L1 ⊆ L<br />
=⇒ [a, b] ∈ L1.<br />
Observat¸ia 9.3 Fiecare subalgebră Lie a unei algebre L are o structură <strong>de</strong> algebră<br />
Lie.<br />
Exercit¸iul 9.2 a) Mult¸imea matricelor <strong>de</strong> urmă nulă<br />
sl(n, K)={ g ∈gl(n, K) | tr g =g 1 1 +g 2 2 + · · · +g n n =0 }<br />
este o subalgebră Lie <strong>de</strong> dimensiune n 2 −1 a algebrei gl(n, K).<br />
b) Mult¸imea matricelor antihermitice<br />
u(n) = { g ∈ gl(n, C) |<br />
t ¯g = −g }<br />
are o structură naturală <strong>de</strong> algebră Lie reală <strong>de</strong> dimensiune n 2 .<br />
c) Mult¸imea matricelor antihermitice <strong>de</strong> urmă nulă<br />
su(n) = u(n) ∩ sl(n, C) = { g ∈ u(n) | tr g = 0 }<br />
are o structură naturală <strong>de</strong> algebră Lie reală <strong>de</strong> dimensiune n 2 − 1.<br />
d) Mult¸imea matricelor strâmb simetrice<br />
o(n) = { g ∈ gl(n, R) |<br />
t g = −g }<br />
are o structură naturală <strong>de</strong> algebră Lie reală <strong>de</strong> dimensiune n(n−1)<br />
2 .<br />
e) Mult¸imea <strong>de</strong> matrice<br />
⎧<br />
<br />
<br />
⎪⎨<br />
<br />
<br />
<br />
o(1, 3)= g ∈gl(4, R) <br />
<br />
⎪⎩<br />
<br />
<br />
⎛<br />
⎜<br />
g ⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
0 −1 0 0<br />
0 0 −1 0<br />
0 0 0 −1<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎟<br />
⎠ =−<br />
⎜<br />
⎝<br />
1 0 0 0<br />
0 −1 0 0<br />
0 0 −1 0<br />
0 0 0 −1<br />
⎞<br />
⎫<br />
⎟ ⎪⎬<br />
⎟ t<br />
⎟ g<br />
⎠<br />
⎪⎭
Algebre Lie. Reprezentări liniare 181<br />
are o structură naturală <strong>de</strong> algebră Lie reală <strong>de</strong> dimensiune 6 (numită <strong>algebra</strong> Lie a<br />
grupului Lorentz).<br />
Rezolvare. a) Avem tr(a + b) = tr a + tr b, tr(αa) = α tr a,<br />
n<br />
tr ab = (ab)<br />
k=1<br />
k n n<br />
k = a<br />
k=1 j=1<br />
k j b j<br />
k =<br />
n n<br />
b<br />
j=1 k=1<br />
j<br />
k ak n<br />
j = (ba)<br />
j=1<br />
j<br />
j = tr ba<br />
¸si prin urmare, tr [a, b]=tr(ab−ba)=0, oricare ar fi a, b∈gl(n, K). O bază a algebrei<br />
Lie sl(n, K) este<br />
b) Dacă α ∈ R ¸si a, b ∈ u(n) atunci<br />
{ e j<br />
k | k = j } ∪ { ek k−e n n | k ∈{1, 2, ..., n−1} }.<br />
t (αa) = ¯α t ā = −(αa),<br />
t (a + b) = t ā + t¯ b = −a − b = −(a + b),<br />
t [a, b] = t (ab − ba) = t¯ b t ā − t ā t¯ b = ba − ab = −[a, b].<br />
O bază a algebrei Lie u(n) este<br />
{ e j<br />
k −ek j | k < j } ∪ { i(e j<br />
k +ek j ) | k < j } ∪ { i e k k | k ∈ {1, 2, ..., n} }.<br />
c) O bază a algebrei Lie su(n) este<br />
{ e j<br />
k −ek j | k < j } ∪ { i(e j<br />
k +ek j ) | k < j } ∪ { i (e k k − e n n) | k ∈ {1, 2, ..., n−1} }.<br />
d) O bază a algebrei Lie o(n) este<br />
e) Se obt¸ine<br />
{ e j<br />
k −ek j | k < j }.<br />
⎧ ⎛<br />
⎞ <br />
0 α1 α2 α3<br />
<br />
⎪⎨<br />
<br />
⎜ α1 0<br />
⎟ <br />
α4 α5 ⎟ <br />
o(1, 3) = ⎜<br />
⎟ <br />
⎝ α2 −α4 0 α6 ⎠ <br />
⎪⎩<br />
<br />
α3 −α5 −α6 0 <br />
⎫<br />
⎪⎬<br />
α1, α2, ... , α6 ∈ R<br />
⎪⎭<br />
O bază a algebrei Lie o(1, 3) este { e 2 1 +e1 2 , e3 1 +e1 3 , e4 1 +e1 4 , e3 1 −e1 3 , e2 4 −e4 2 , e3 4 −e4 3 }.<br />
.
182 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Definit¸ia 9.7 Fie G ⊆ GL(n, K) un subgrup. Prin subgrup cu un parametru<br />
al grupului G se înt¸elege un morfism <strong>de</strong> grupuri<br />
adică o aplicat¸ie astfel încât<br />
g : R −→ G<br />
g(t + s) = g(t) g(s), ∀t, s ∈ R.<br />
Exercit¸iul 9.3 Oricare ar fi matricea a ∈ gl(n, K) aplicat¸ia<br />
g : R −→ GL(n, K), g(t) = e ta<br />
este un subgrup cu un parametru al lui GL(n, K) astfel încât<br />
dg<br />
(0) = a<br />
dt<br />
(a poate fi privit ca fiind “generatorul infinitezimal” al subgrupului consi<strong>de</strong>rat).<br />
Rezolvare. T¸ inând seama <strong>de</strong> <strong>de</strong>finit¸ia exponent¸ialei unei matrice obtinem<br />
g(t + s) = e (t+s)a = e ta e sa = g(t) g(s),<br />
d<br />
dt eta = ae ta .<br />
Observat¸ia 9.4 Dacă matricea A ∈ Mn×n(K) este diagonalizabilă atunci există o<br />
matrice inversabilă S ∈ Mn×n(K) ¸si λ1, λ2, ... , λn astfel încât<br />
⎛<br />
A = S −1<br />
⎜<br />
⎝<br />
λ1 0 · · · 0<br />
0 λ2 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · λn<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ S<br />
relat¸ie din care rezultă tr A = λ1 + λ2 + ... + λn ¸si egalitatea<br />
⎛<br />
⎞<br />
care conduce la<br />
e A = S −1<br />
⎜<br />
⎝<br />
e λ1 0 · · · 0<br />
0 e λ2 · · · 0<br />
· · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · e λn<br />
<strong>de</strong>t e A = e λ1+λ2+...+λn = e tr A .<br />
⎟<br />
⎠ S
Algebre Lie. Reprezentări liniare 183<br />
Se poate arăta că relat¸ia <strong>de</strong>t e A = e tr A are loc pentru orice matrice A.<br />
Exercit¸iul 9.4 a) Dacă<br />
g : R −→ SL(n, K)<br />
este un subgrup cu un parametru, atunci dg<br />
dt (0) ∈ sl(n, K).<br />
b) Dacă a ∈ sl(n, K) atunci eta ∈ SL(n, K), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia<br />
g : R −→ SL(n, K), g(t) = e ta<br />
este un subgrup cu un parametru al lui SL(n, K) astfel încât dg<br />
dt (0) = a.<br />
Rezolvare (cazul n=2). Dacă<br />
g : R −→ SL(n, K), g(t) =<br />
este un subgrup cu un parametru atunci<br />
⎛<br />
⎝ g11(t) g12(t)<br />
g21(t) g22(t)<br />
<br />
<br />
<br />
g11(t) g12(t) <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 1, ∀t ∈ R.<br />
g21(t) g22(t) <br />
Derivând această relat¸ie obt¸inem egalitatea<br />
<br />
<br />
g<br />
<br />
<br />
<br />
′ 11 (t) g′ 12 (t)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
g21(t) g22(t) +<br />
<br />
<br />
g11(t) g12(t)<br />
<br />
<br />
g ′ 21 (t) g′ 22 (t)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0, ∀t ∈ R<br />
<br />
care în cazul t = 0 <strong>de</strong>vine<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
g ′ 11 (0) g′ 12 (0)<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 +<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
g<br />
0<br />
′ 21 (0) g′ 22 (0)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= 0<br />
<br />
adică<br />
Exercit¸iul 9.5 a) Dacă<br />
tr dg<br />
dt (0) = g′ 11(0) + g ′ 22(0) = 0.<br />
g : R −→ U(n)<br />
⎞<br />
⎠
184 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
este un subgrup cu un parametru, atunci dg<br />
dt (0) ∈ u(n).<br />
b) Dacă a ∈ u(n) atunci eta ∈ U(n), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia<br />
g : R −→ U(n), g(t) = e ta<br />
este un subgrup cu un parametru al lui U(n) astfel încât dg<br />
dt (0) = a.<br />
Rezolvare. Dacă g : R −→ U(n) este un subgrup cu un parametru atunci<br />
g(t) t g(t) = I ∀t ∈ R.<br />
Derivând această relat¸ie obt¸inem egalitatea<br />
care în cazul t = 0 <strong>de</strong>vine<br />
Exercit¸iul 9.6 a) Dacă<br />
d<br />
dt g(t) t g(t) + g(t) d t<br />
g(t) = 0<br />
dt<br />
d d t<br />
g(0) + g(0) = 0.<br />
dt dt<br />
g : R −→ SU(n)<br />
este un subgrup cu un parametru, atunci dg<br />
dt (0) ∈ su(n).<br />
b) Dacă a ∈ su(n) atunci eta ∈ SU(n), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia<br />
g : R −→ SU(n), g(t) = e ta<br />
este un subgrup cu un parametru al lui SU(n) astfel încât dg<br />
dt (0) = a.<br />
Exercit¸iul 9.7 a) Dacă<br />
g : R −→ O(n)<br />
este un subgrup cu un parametru, atunci dg<br />
dt (0) ∈ o(n).<br />
b) Dacă a ∈ o(n) atunci eta ∈ O(n), oricare ar fi t ∈ R ¸si aplicat¸ia<br />
g : R −→ O(n), g(t) = e ta<br />
este un subgrup cu un parametru al lui O(n) astfel încât dg<br />
dt (0) = a.
Algebre Lie. Reprezentări liniare 185<br />
9.2 Reprezentări liniare<br />
Definit¸ia 9.8 Fie L o algebră Lie peste K ¸si L ′ o algebră Lie peste K ′ , un<strong>de</strong> cor-<br />
purile K ¸si K ′ apart¸inând lui {R, C} sunt astfel încât K ⊆ K ′ . Prin morfism <strong>de</strong><br />
algebre Lie <strong>de</strong> la L la L ′ se înt¸elege o aplicat¸ie liniară A : L −→ L ′ cu proprietatea<br />
A([a, b]) = [Aa, Ab], ∀a, b ∈ L.<br />
Definit¸ia 9.9 Spunem ca algebrele Lie L ¸si L ′ peste acela¸si corp K sunt izomorfe<br />
dacă există un morfism bijectiv <strong>de</strong> algebre Lie (numit izomorfism) A : L −→ L ′ .<br />
Propozit¸ia 9.10 Dacă algebrele Lie L ¸si L ′ peste acela¸si corp K ¸si <strong>de</strong> aceea¸si di-<br />
mensiune au în raport cu două baze {e1, e2, ..., en} ¸si respectiv {e ′ 1 , e′ 2 , ..., e′ n} acelea¸si<br />
constante <strong>de</strong> structură<br />
atunci ele sunt izomorfe.<br />
n<br />
[ei, ej] = c<br />
k=1<br />
k ij ek, [e ′ i, e ′ n<br />
j] = c<br />
k=1<br />
k ij e ′ k<br />
Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia A : L −→ L ′ , Aej = e ′ j , adică<br />
n<br />
n<br />
A( ai ei) = ai e<br />
i=1<br />
i=1<br />
′ i<br />
este un izomorfism <strong>de</strong> algebre Lie. Ea este, evi<strong>de</strong>nt, liniară, bijectivă ¸si<br />
A[a, b]<br />
ni=1 = A ai ei, <br />
n<br />
j=1 bj ej = n i,j=1 ai bj A[ei, ej]<br />
= n i,j=1 ai bj<br />
nk=1 ck ijAek = n i,j=1 ai bj<br />
nk=1 ck ije′ k<br />
= n i,j=1 ai bj [e ′ i , e′ j ] = n i,j=1 ai bj [Aei, Aej] = [Aa, Ab].<br />
Propozit¸ia 9.11 Algebrele Lie reale o(3) ¸si su(2) sunt izomorfe.<br />
Demonstrat¸ie. Algebra Lie o(3) admite baza<br />
{ o1 = e 2 3 − e 3 2, o2 = e 3 1 − e 1 3, o3 = e 1 2 − e 2 1 }
186 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
cu<br />
iar <strong>algebra</strong> Lie su(2) baza<br />
cu<br />
[o1, o2] = o3, [o2, o3] = o1, [o3, o1] = o2<br />
{ u1 = − i<br />
2 (e1 1 − e 2 2), u2 = − 1<br />
2 (e1 2 − e 2 1), u3 = − i<br />
2 (e1 2 + e 2 1) }<br />
[u1, u2] = u3, [u2, u3] = u1, [u3, u1] = u2.<br />
Definit¸ia 9.12 Prin reprezentare liniară a algebrei Lie L în spat¸iul vectorial<br />
complex V (numită ¸si reprezentare C-liniară) se înt¸elege un morfism <strong>de</strong> algebre<br />
adică o aplicat¸ie liniară cu proprietatea<br />
ϱ : L −→ gl(V ),<br />
ϱ([a, b]) = ϱ(a) ϱ(b) − ϱ(b) ϱ(a), ∀a, b ∈ L.<br />
Exercit¸iul 9.8 Dacă L este o algebră Lie complexă atunci aplicat¸ia<br />
un<strong>de</strong><br />
ϱ : L −→ gl(L) : a ↦→ ϱ(a)<br />
ϱ(a) : L −→ L, ϱ(a)x = [a, x]<br />
este o reprezentare liniară a algebrei L în spat¸iul L, numită reprezentarea adjunctă.<br />
Rezolvare. Aplicat¸ia ϱ este bine <strong>de</strong>finită<br />
liniară<br />
ϱ(a)(αx + βy) = [a, αx + βy] = α[a, x] + β[a, y] = α ϱ(a)x + β ϱ(a)y<br />
ϱ(αa + βb)x = [αa + βb, x] = α[a, x] + β[b, x] = (α ϱ(a) + β ϱ(b))x<br />
¸si din i<strong>de</strong>ntitatea Jacobi rezultă<br />
ϱ([a, b])x = [[a, b], x] = −[[b, x], a] − [[x, a], b] = [a, [b, x]] − [b, [a, x]]<br />
= ϱ(a)(ϱ(b)x) − ϱ(b)(ϱ(a)x) = (ϱ(a)ϱ(b) − ϱ(b)ϱ(a))x = [ϱ(a), ϱ(b)]x.
Algebre Lie. Reprezentări liniare 187<br />
9.3 Reprezentări ireductibile<br />
Definit¸ia 9.13 Fie ϱ : L −→ gl(V ) o reprezentare liniară a algebrei Lie L în V .<br />
Spunem că subspat¸iul vectorial W ⊆ V este invariant fat¸ă <strong>de</strong> ϱ dacă<br />
adică dacă<br />
ϱ(a)(W ) ⊆ W, ∀a ∈ L<br />
x ∈ W<br />
a ∈ L<br />
<br />
=⇒ ϱ(a)x ∈ W.<br />
Definit¸ia 9.14 Spunem că reprezentarea liniară ϱ : L −→ gl(V ) este o reprezentare<br />
ireductibilă dacă singurele subspat¸ii invariante sunt {0} ¸si V . In caz contrar,<br />
reprezentarea este numită reductibilă.<br />
Propozit¸ia 9.15 Fie L1, L2 două algebre Lie izomorfe, ϕ : L1 −→ L2 un izomor-<br />
fism <strong>de</strong> algebre Lie. Dacă<br />
ϱ2 : L2 −→ gl(V )<br />
este o reprezentare liniară a algebrei L2 atunci<br />
ϱ1 : L1 −→ gl(V ), ϱ1(a) = ϱ2(ϕ(a))<br />
este o reprezentare liniară a algebrei Lie L1 în V . Reprezentarea ϱ1 este ireductibilă<br />
dacă ¸si numai dacă reprezentarea ϱ2 este ireductibilă.<br />
Demonstrat¸ie. Avem<br />
ϱ1(αa + βb) = ϱ2(ϕ(αa + βb)) = ϱ2(α ϕ(a) + β ϕ(b))<br />
= αϱ2(ϕ(a)) − βϱ2(ϕ(b)) = αϱ1(a) − βϱ1(b)<br />
ϱ1([a, b]) = ϱ2(ϕ([a, b])) = ϱ2([ϕ(a), ϕ(b)]))<br />
= [ϱ2(ϕ(a)), ϱ2(ϕ(b))] = [ϱ1(a), ϱ1(b)].<br />
Dacă W ⊂ V este un subspat¸iu vectorial atunci avem<br />
x ∈ W =⇒ ϱ2(a)x ∈ W, ∀a ∈ L2
188 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
dacă ¸si numai dacă<br />
x ∈ W =⇒ ϱ1(a)x = ϱ2(ϕ(a)) ∈ W, ∀a ∈ L1.<br />
Observat¸ia 9.5 Cunoa¸sterea reprezentărilor ireductibile ale algebrei Lie o(3) este<br />
echivalentă cu cunoa¸sterea reprezentărilor ireductibile ale algebrei Lie su(2).<br />
Exercit¸iul 9.9 Dacă S : V1 −→ V2 este un izomorfism <strong>de</strong> spat¸ii vectoriale ¸si<br />
ϱ2 : L −→ gl(V2)<br />
este o reprezentare liniară a algebrei Lie L în spat¸iul vectorial V2 atunci<br />
ϱ1 : L −→ gl(V1), ϱ1(a) = S −1 ϱ2(a) S<br />
este o reprezentare liniară a algebrei Lie L în spat¸iul vectorial V1.<br />
Reprezentarea ϱ1 este ireductibilă dacă ¸si numai dacă ϱ2 este ireductibilă.<br />
Rezolvare. Avem<br />
ϱ1(αa + βb) = S −1 ϱ2(αa + βb) S<br />
= α S −1 ϱ2(a) S + β S −1 ϱ2(b) S = α ϱ1(a) + β ϱ1(b)<br />
ϱ1 ([a, b]) = S −1 ϱ2([a, b]) S = S −1 (ϱ1(a) ϱ1(b) − ϱ1(b) ϱ1(a)) S −1<br />
= S ϱ2(a) S S −1 ϱ2(b) S − S −1 ϱ2(b) S S −1 ϱ2(a)) S<br />
= ϱ1(a) ϱ1(b) − ϱ1(b) ϱ1(a) = [ϱ1(a), ϱ1(b)].<br />
Subspat¸iul W ⊂V1 este invariant dacă ¸si numai dacă S(W )⊂V2 este invariant. Dacă<br />
subspat¸iul S(W ) este invariant, adică<br />
atunci<br />
y ∈ S(W ) =⇒ ϱ2(a)y ∈ S(W ), ∀a ∈ L<br />
x ∈ W =⇒ ϱ1(a)x = S −1 ϱ2(a) Sx ∈ W, ∀a ∈ L.<br />
Deoarece ϱ2(a) = Sϱ1(a)S −1 , din<br />
x ∈ W =⇒ ϱ1(a)x ∈ W, ∀a ∈ L
Algebre Lie. Reprezentări liniare 189<br />
rezultă<br />
Sx ∈ S(W ) =⇒ ϱ2(a)Sx = Sϱ1(a)x ∈ S(W ), ∀a ∈ L.<br />
Definit¸ia 9.16 Spunem că reprezentările liniare<br />
ϱ1 : L −→ gl(V1) si ϱ2 : L −→ gl(V2)<br />
sunt echivalente dacă există un izomorfism liniar S : V1 −→ V2 astfel încât<br />
adică dacă diagrama<br />
V1<br />
ϱ1(a) = S −1 ϱ2(a) S (9.1)<br />
ϱ1(a)<br />
S S<br />
❄<br />
ϱ2(a)<br />
✲<br />
❄<br />
V2<br />
este comutativă oricare ar fi a ∈ L.<br />
9.4 Reprezentările algebrelor sl(2, C), su(2) ¸si o(3)<br />
Exercit¸iul 9.10 Să se arate că matricele<br />
a3 = 1<br />
<br />
1<br />
2 0<br />
<br />
0<br />
,<br />
−1<br />
<br />
0<br />
a+ =<br />
0<br />
<br />
1<br />
,<br />
0<br />
<br />
0<br />
a− =<br />
1<br />
<br />
0<br />
0<br />
formează o bază a algebrei Lie complexe sl(2, C) ¸si<br />
Dacă<br />
✲<br />
V1<br />
V2<br />
[a3, a±] = ±a±, [a+, a−] = 2 a3.<br />
ϱ : sl(2, C) −→ gl(V )<br />
este o reprezentare a algebrei Lie sl(2, C) în spat¸iul V atunci operatorii liniari<br />
A3 = ϱ(a3), A+ = ϱ(a+), A− = ϱ(a−)
190 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
verifică relat¸iile<br />
Rezolvare. Matricea α11 α12<br />
[A3, A±] = ±A±, [A+, A−] = 2 A3.<br />
α21 α22<br />
<br />
∈ M2×2(C)<br />
apartine algebrei Lie sl(2, C) dacă ¸si numai dacă α11 + α22 = 0. Dar în acest caz<br />
α11 α12<br />
α21 −α11<br />
Deoarece ϱ este morfism <strong>de</strong> algebre Lie obt¸inem<br />
<br />
= 2α11 a3 + α12 a+ + α21 a− .<br />
[A3, A±] = [ϱ(a3), ϱ(a±)] = ϱ([a3, a±]) = ϱ(±a±) = ±ϱ(a±) = ±A±<br />
[A+, A−] = [ϱ(a+), ϱ(a−)] = ϱ([a+, a−]) = ϱ(2 a3) = 2ϱ(a3) = 2 A3.<br />
Propozit¸ia 9.17 Dacă<br />
ϱ : sl(2, C) −→ gl(V )<br />
este reprezentare ireductibilă <strong>de</strong> dimensiune n=2j+1 atunci există v =0 astfel încât<br />
un<strong>de</strong> A3 = ϱ(a3), A+ = ϱ(a+).<br />
A3v = jv si A+v = 0<br />
Demonstrat¸ie. Operatorul liniar A3 : V −→ V admite cel put¸in o valoare proprie<br />
λ ∈ C. Fie x0 ∈ V un vector propriu corespunzător, adică A3x0 = λx0. Deoarece<br />
A3(A+x0) = (A3A+)x0 = (A+A3 + A+)x0 = A+A3x0 + A+x0 = (λ + 1)A+x0<br />
rezultă că vectorul x1 = A+x0 verifică relat¸ia<br />
Similar, din<br />
A3x1 = (λ + 1)x1.<br />
A3(A+x1) = (A3A+)x1 = (A+A3 + A+)x1 = A+A3x1 + A+x1 = (λ + 2)A+x1
Algebre Lie. Reprezentări liniare 191<br />
rezultă că vectorul x2 = A+x1 = (A+) 2 x0 verifică relat¸ia<br />
A3x2 = (λ + 2)x2.<br />
Se poate astfel arăta că tot¸i vectorii din ¸sirul<br />
verifică relat¸ia<br />
x0, x1 = A+x0, x2 = (A+) 2 x0, x3 = (A+) 3 x0, ...<br />
A3xk = (λ + k)xk.<br />
Vectorii nenuli din acest ¸sir sunt vectori proprii ai lui A3 ¸si <strong>de</strong>oarece corespund la<br />
valori proprii distincte ei sunt liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i. Spat¸iul V fiind finit dimensional,<br />
rezultă ca ¸sirul x0, x1, x2, ... poate cont¸ine doar un număr finit <strong>de</strong> vectori nenuli,<br />
adică există xl = 0 cu xl+1 = A+xl = 0. Alegând v = xl avem A+v = 0. Fie ¸sirul<br />
<strong>de</strong> vectori<br />
Avem<br />
¸si în general<br />
A3w0 = (λ + l)w0<br />
w0 = v, w1 = A−w0, w2 = (A−) 2 w0, ...<br />
A3w1 = A3(A−w0) = (A3A−)w0 = (A−A3 − A−)w0 = (λ + l − 1)w1<br />
A3w2 = A3(A−w1) = (A3A−)w1 = (A−A3 − A−)w1 = (λ + l − 2)w2<br />
A3wk = (λ + l − k)wk.
192 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
La fel ca mai sus se arată că ¸sirul w0, w1, w2, ... cont¸ine un număr finit <strong>de</strong> termeni<br />
nenuli, că există wm = 0 cu wm+1 = A−wm = 0. Deoarece<br />
¸si în general<br />
subspat¸iul<br />
A+w1 = A+(A−w0) = (A+A−)w0 = ([A+, A−] + A−A+)w0<br />
= 2 A3w0 = (2λ + 2l)w0<br />
A+w2 = A+(A−w1) = (A+A−)w1 = ([A+, A−] + A−A+)w1<br />
= (2 A3 + A−A+)w1 = 2(λ + l − 1)w1 + (2λ + 2l)A−w0<br />
= 2(2λ + 2l − 1)w1<br />
A+w3 = A+(A−w2) = (A+A−)w2 = ([A+, A−] + A−A+)w2<br />
= (2 A3 + A−A+)w2 = 2(λ + l − 2)w2 + 2(2λ + 2l − 1)A−w1<br />
= 3(2λ + 2l − 2)w2<br />
A+wk = k(2λ + 2l − k)wk−1<br />
W = 〈w0, w1, ... , wm〉<br />
generat <strong>de</strong> vectorii liniar in<strong>de</strong>pen<strong>de</strong>nt¸i w0, w1, ... , wm este invariant fat¸ă <strong>de</strong> act¸iunea<br />
operatorilor A3, A+ ¸si A−. Reprezentarea ϱ fiind ireductibilă trebuie ca W = V ¸si<br />
<strong>de</strong>ci n = m + 1. Matricea operatorului A3 în raport cu baza {w0, w1, ... , wm} este<br />
matricea diagonală<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
λ + l 0 · · · 0 0<br />
0 λ + l − 1 · · · 0 0<br />
· · · · · · · · · · · · · · ·<br />
0 0 · · · λ + l − m + 1 0<br />
0 0 · · · 0 λ + l − m<br />
Pe <strong>de</strong> altă parte din relat¸ia [A+, A−] = 2 A3 rezultă că<br />
Deducem că<br />
⎞<br />
⎟ .<br />
⎟<br />
⎠<br />
trA3 = 1<br />
2 tr([A+, A−]) = 1<br />
2 (tr(A+, A−) − tr(A−A+)) = 0.<br />
(λ + l) + (λ + l − 1) + · · · (λ + l − m) = 0
Algebre Lie. Reprezentări liniare 193<br />
adică<br />
Deoarece n = m + 1, rezultă că<br />
(m + 1)(λ + l) −<br />
λ + l = m<br />
2<br />
¸si notând j = (n − 1)/2 obt¸inem A3v = j v.<br />
Propozit¸ia 9.18 Dacă<br />
m(m + 1)<br />
2<br />
= n − 1<br />
2<br />
ϱ : sl(2, C) −→ gl(V )<br />
= 0.<br />
este reprezentare ireductibilă <strong>de</strong> dimensiune n=2j+1 si v = 0 este astfel încât<br />
atunci sistemul <strong>de</strong> vectori<br />
<strong>de</strong>finit prin relat¸iile<br />
vj = v, A−vk =<br />
este o bază a lui V astfel încât<br />
Demonstrat¸ie. Deoarece<br />
A3vk = k vk, A+vk =<br />
A3v = j v, A+v = 0<br />
{ v−j, v−j+1, ... , vj }<br />
<br />
j(j + 1) − k(k − 1) vk−1<br />
<br />
j(j + 1) − k(k + 1) vk+1.<br />
j(j + 1) − k(k − 1) = 0 =⇒ k = −j sau k = j + 1<br />
rezultă că există constantele nenule c1, c2, ... , c2j astfel încât<br />
vj = w0, vj−1 = c1 w1, vj−2 = c2 w2, ... v−j = c2jw2j<br />
un<strong>de</strong> {w0, w1, ..., w2j} este baza lui V obtinută în <strong>de</strong>monstrat¸ia propozit¸iei prece-<br />
<strong>de</strong>nte. Deoarece A3wk = (j − k)wk rezultă că A3vk = k vk. Din relat¸ia<br />
A−vj =<br />
<br />
j(j+1) − j(j−1) vj−1 = 2j vj−1
194 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
rezultă<br />
A+vj−1 = 1<br />
√ 2j A+A−vj = 1<br />
√ 2j (A−A+ + 2A3)vj<br />
= 1<br />
√ 2j 2j vj = √ 2j vj = j(j+1) − (j−1)j vj.<br />
Presupunând că A+vk = j(j + 1) − k(k + 1) vk+1 obt¸inem<br />
1<br />
A+vk−1 = √ A+A−vk =<br />
j(j+1)−k(k−1)<br />
=<br />
=<br />
√ 1<br />
j(j+1)−k(k−1)<br />
√ 1 (A−A+ + 2A3)vk<br />
j(j+1)−k(k−1)<br />
j(j + 1) − k(k + 1)A−vk+1 + 2A3vk<br />
√ 1 ( (j(j + 1) − k(k + 1)) + 2k ) vk<br />
j(j+1)−k(k−1)<br />
= j(j + 1) − (k − 1)k vk.<br />
Teorema 9.19 a) Oricare ar fi n∈{0, 1, 2, ...}, oricare ar fi spat¸iul vectorial complex<br />
V <strong>de</strong> dimensiune n=2j+1 ¸si oricare ar fi baza {v−j, v−j+1, ... , vj } a lui V aplicat¸ia<br />
<strong>de</strong>finită prin relat¸iile<br />
A3 vk = k vk, A± vk =<br />
ϱ : sl(2, C) −→ gl(V )<br />
<br />
j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1<br />
<br />
(9.2)<br />
un<strong>de</strong> A3 =ϱ(a3) ¸si A± =ϱ(a±), este o reprezentare ireductibilă a algebrei Lie sl(2, C).<br />
b) Reprezentările (9.2) care au aceea¸si dimensiune sunt echivalente.<br />
c) Reprezentările (9.2) sunt până la o echivalent¸ă toate reprezentările ireductibile<br />
finit dimensionale ale algebrei Lie sl(2, C).<br />
Demonstrat¸ie. a) Avem<br />
[A3, A±] vk = (A3A± − A±A3)vk<br />
= (k ± 1) j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 − k j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1<br />
= ± j(j + 1) − k(k ± 1) vk±1 = ±A±vk<br />
[A+, A−] vk = (A+A− − A−A+)vk<br />
= j(j + 1) − k(k − 1) A+vk−1 − j(j + 1) − k(k + 1) A−vk+1<br />
=(j(j + 1) − k(k − 1))vk − (j(j + 1) − k(k + 1))vk =2k vk =2A3vk
Algebre Lie. Reprezentări liniare 195<br />
ceea ce arată că relat¸iile (9.2) <strong>de</strong>finesc o reprezentare a algebrei Lie sl(2, C). Fie<br />
W = {0} un subspat¸iu invariant ¸si fie<br />
x = x−j v−j + x−j+1 v−j+1 + · · · + xj vj ∈ W<br />
un vector nenul fixat. Cel put¸in unul dintre coeficient¸ii lui x este nenul. Fie<br />
Din (9.2) rezultă că<br />
k = min{ l | xl = 0 }<br />
(A+) j−l x = c vj<br />
un<strong>de</strong> c este o constantă nenulă. Deoarece W este invariant, din relat¸ia prece<strong>de</strong>ntă<br />
rezultă că vj ∈ W ¸si apoi că vectorii<br />
A−vj, (A−) 2 vj, (A−) 3 vj, ... , (A−) 2j vj<br />
care coincid până la înmult¸irea cu anumite constante nenule cu vectorii<br />
vj−1, vj−2, ... , v−j<br />
apart¸in lui W . Rezultă astfel că orice subspat¸iu invariant nenul W coinci<strong>de</strong> cu V .<br />
b) Dacă<br />
ϱ : sl(2, C) −→ gl(V ), ϱ ′ : sl(2, C) −→ gl(V ′ )<br />
sunt două reprezentări liniare <strong>de</strong> dimensiune n = 2j + 1 ¸si<br />
bazele corespunzătoare atunci<br />
este un izomorfism liniar ¸si<br />
{v−j, v−j+1, ... , vj }, {v ′ −j, v ′ −j+1, ... , v ′ j }<br />
S : V −→ V ′ , Svk = v ′ k<br />
ϱ(a) = S −1 ϱ ′ (a) S, ∀a ∈ sl(2, C).<br />
c) Afirmat¸ia rezultă din propozit¸iile 9.17 ¸si 9.18.
196 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Propozit¸ia 9.20 Dacă<br />
ϱ1 : L −→ gl(V1), ϱ2 : L −→ gl(V2)<br />
sunt reprezentări liniare ale algebrei Lie L, atunci aplicat¸ia<br />
<strong>de</strong>finită prin relat¸ia<br />
ϱ1 ⊕ ϱ2 : L −→ gl(V1 ⊕ V2)<br />
(ϱ1 ⊕ ϱ2)(a)(x1, x2) = (ϱ1(a)x1, ϱ2(a)x2)<br />
este o reprezentare liniară (numită suma directă a reprezentărilor ϱ1 ¸si ϱ2) în<br />
V1 ⊕ V2 = { (x1, x2) | x1 ∈ V1, x2 ∈ V2 }.<br />
Demonstrat¸ie. Aplicat¸ia ϱ1 ⊕ ϱ2 este liniară<br />
¸si<br />
(ϱ1 ⊕ ϱ2)(αa + βb) = α(ϱ1 ⊕ ϱ2)(a) + β(ϱ1 ⊕ ϱ2)(b)<br />
(ϱ1 ⊕ ϱ2)([a, b])(x1, x2) = (ϱ1([a, b])x1, ϱ2([a, b])x2)<br />
= ([ϱ1(a), ϱ1(b)]x1, [ϱ2(a), ϱ2(b)]x2)<br />
= (ϱ1(a)ϱ1(b)x1 − ϱ1(b)ϱ1(a)x1, ϱ2(a)ϱ2(b)x2 − ϱ2(b)ϱ2(a)x2)<br />
= (ϱ1 ⊕ ϱ2)(a) (ϱ1(b)x1, ϱ2(b)x2) − (ϱ1 ⊕ ϱ2)(b) (ϱ1(a)x1, ϱ2(a)x2)<br />
= [(ϱ1 ⊕ ϱ2)(a), (ϱ1 ⊕ ϱ2)(b)](x1, x2).<br />
Observat¸ia 9.6 In teorema 9.19 am <strong>de</strong>scris reprezentările ireductibile ale algebrei<br />
Lie sl(2, C). Se poate arăta că orice reprezentare liniară finit dimensională a algebrei<br />
Lie sl(2, C) este o sumă directă <strong>de</strong> astfel <strong>de</strong> reprezentări.<br />
Propozit¸ia 9.21 Fie L o algebră Lie reală. Definind pe complexificatul spat¸iului<br />
vectorial L<br />
cro¸setul<br />
C L = { a + i a ′ | a, a ′ ∈ L }<br />
[a + i a ′ , b + i b ′ ] = [a, b] − [a ′ , b ′ ] + i ([a, b ′ ] + [a ′ , b])<br />
obt¸inem o algebră Lie complexă numită complexificata algebrei Lie reale L.
Algebre Lie. Reprezentări liniare 197<br />
Demonstrat¸ie. Prin calcul direct se arată că<br />
[(α + iα ′ )(a + ia ′ ) +(β + iβ ′ )(b + ib ′ ), c + ic ′ ]<br />
= (α + iα ′ )[a + ia ′ , c + ic ′ ] + (β + iβ ′ )[b + ib ′ , c + ic ′ ]<br />
[a + ia ′ , b + ib ′ ] = −[b + ib ′ , a + ia ′ ]<br />
[[a + ia ′ , b + ib ′ ], c + ic ′ ] +[[b + ib ′ , c + ic ′ ], a + ia ′ ]<br />
+[[c + ic ′ , a + ia ′ ], b + ib ′ ] = 0.<br />
Propozit¸ia 9.22 a) Dacă L este o algebră Lie reală ¸si dacă<br />
ϱ : L −→ gl(V )<br />
este o reprezentare liniară (în spat¸iul vectorial complex V ) atunci<br />
este o reprezentare liniară.<br />
˜ϱ : C L −→ gl(V ), ˜ϱ(a + ia ′ )x = ϱ(a)x + i ϱ(a ′ )x<br />
b) Reprezentarea ˜ϱ este ireductibilă dacă ¸si numai dacă ϱ este ireductibilă.<br />
Demonstrat¸ie. a) Se arată prin calcul direct că ˜ϱ este aplicat¸ie C-liniară<br />
¸si că<br />
b) Dacă W ⊂ V este astfel încât<br />
oricare ar fi a ∈ L, atunci<br />
˜ϱ( (a + ia ′ ) + (b + ib ′ ) ) = ˜ϱ(a + ia ′ ) + ˜ϱ(b + ib ′ )<br />
˜ϱ( (α + iβ)(a + ia ′ ) ) = (α + iβ) ˜ϱ(a + ia ′ )<br />
˜ϱ( [a + ia ′ , b + ib ′ ]) = [˜ϱ(a + ia ′ ), ˜ϱ(b + ib ′ )].<br />
x ∈ W =⇒ ϱ(a)x ∈ W<br />
x ∈ W =⇒ ˜ϱ(a + ia ′ )x = ϱ(a)x + i ϱ(a ′ )x ∈ W<br />
oricare ar fi a + ia ′ ∈ C L. Invers, dacă<br />
x ∈ W =⇒ ˜ϱ(a + ia ′ )x ∈ W
198 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
oricare ar fi a + ia ′ ∈ C L, atunci<br />
oricare ar fi a ∈ L.<br />
x ∈ W =⇒ ϱ(a)x = ˜ϱ(a + i0)x ∈ W<br />
Observat¸ia 9.7 L poate fi i<strong>de</strong>ntificată cu o submult¸ime a lui C L folosind aplicat¸ia<br />
Mai mult,<br />
L −→ C L : a ↦→ a + i 0.<br />
[a, b] = [a + i0, b + i0], ∀a, b ∈ L.<br />
Dacă {b1, b2, ..., bn} este o bază a algebrei Lie reale L,<br />
L = { α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn | αj ∈ R }<br />
atunci {b1, b2, ..., bn} este în acela¸si timp bază a algebrei Lie complexe C L,<br />
Propozit¸ia 9.23 a) Dacă<br />
C L = { α1 b1 + α2 b2 + · · · + αn bn | αj ∈ C }.<br />
ϱ : C L −→ gl(V )<br />
este o reprezentare liniară a complexificatei algebrei Lie reale L atunci<br />
este o reprezentare liniară a lui L.<br />
ϱ|L : L −→ gl(V ), ϱ|L(a)x = ϱ(a + i0)x<br />
b) Reprezentarea ϱ|L este ireductibilă dacă ¸si numai dacă ϱ este ireductibilă.<br />
Demonstrat¸ie. a) Aplicat¸ia ϱ|L este R-liniară<br />
¸si<br />
ϱ|L(a + b) = ϱ(a + b + i0) = ϱ(a + i0) + ϱ(b + i0) = ϱ|L(a) + ϱ|L(b)<br />
ϱ|L(αa) = ϱ(αa + i0) = αϱ(a + i0) = αϱ|L(a)<br />
ϱ|L([a, b]) = ϱ([a, b] + i0) = ϱ([a + i0, b + i0])<br />
= [ϱ(a + i0), ϱ(b + i0)] = [ϱ|L(a), ϱ|L(b)].
Algebre Lie. Reprezentări liniare 199<br />
b) Dacă W ⊂ V este astfel încât<br />
oricare ar fi a + ia ′ ∈ C L, atunci<br />
oricare ar fi a ∈ L. Invers, dacă<br />
oricare ar fi a ∈ L, atunci<br />
x ∈ W =⇒ ϱ(a + ia ′ )x ∈ W<br />
x ∈ W =⇒ ϱ|L(a)x = ϱ(αa + i0)x ∈ W<br />
x ∈ W =⇒ ϱ|L(a)x ∈ W<br />
x ∈ W =⇒ ϱ(a + ia ′ )x = ϱ(a + i0)x<br />
oricare ar fi a + ia ′ ∈ C L.<br />
= ϱ( (a + i0) + (0 + i) (a ′ + i0) )x<br />
= ϱ(a + i0)x + iϱ(a ′ + i0)x<br />
= ϱ|L(a)x + iϱ|L(a ′ )x ∈ W<br />
Propozit¸ia 9.24 Complexificata C su(2) a algebrei su(2) este izomorfă cu sl(2, C).<br />
Demonstrat¸ie. Algebra Lie reală su(2) admite baza<br />
cu<br />
{ u1 = − i<br />
2 (e1 1 − e 2 2), u2 = − 1<br />
2 (e1 2 − e 2 1), u3 = − i<br />
2 (e1 2 + e 2 1) }<br />
[u1, u2] = u3, [u2, u3] = u1, [u3, u1] = u2<br />
iar <strong>algebra</strong> Lie complexă sl(2, C) baza<br />
cu<br />
<br />
a3 = 1<br />
2 (e11 − e 2 2), a+ = e 2 1, a− = e 1 <br />
2<br />
[a3, a±] = ±a±, [a+, a−] = 2 a3.
200 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
Aplicat¸ia C-liniară A : C su(2) −→ sl(2, C) <strong>de</strong>finită prin<br />
Au1 = −i a3, Au2 = 1<br />
2 (a+ − a−), Au3 = − i<br />
2 (a+ + a−)<br />
este un izomorfism <strong>de</strong> algebre Lie <strong>de</strong>oarece<br />
[Au1, Au2] =<br />
[Au2, Au3] =<br />
[Au3, Au1] =<br />
<br />
−i a3, 1<br />
2 (a+<br />
<br />
− a−) = − i<br />
2 [a3, a+] + i<br />
2 [a3, a−]<br />
= − i<br />
2 (a+ + a−) = A u3 = A [u1, u2]<br />
<br />
1<br />
2 (a+ − a−), − i<br />
2 (a+<br />
<br />
+ a−) = − i<br />
4 ([a+, a−] − [a−, a+])<br />
= − i<br />
2 [a+, a−] = −i a3 = Au1 = A [u2, u3]<br />
<br />
− i<br />
2 (a+<br />
<br />
+ a−), −i a3 = − 1<br />
2 [a+, a3] − 1<br />
2 [a−, a3]<br />
= − 1<br />
2 a+ − 1<br />
2 a− = Au2 = A [u3, u1].<br />
Observat¸ia 9.8 Din propozit¸ia 9.23 rezultă că <strong>de</strong>scrierea reprezentarilor ireductibile<br />
ale algebrelor Lie izomorfe o(3) ¸si su(2) este echivalentă cu <strong>de</strong>scrierea reprezentarilor<br />
ireductibile ale algebrei Lie complexe C su(2).<br />
Pe <strong>de</strong> altă parte, din propozit¸iile 9.15 ¸si 9.24 rezultă că <strong>de</strong>scrierea reprezentărilor ire-<br />
ductibile ale algebrei C su(2) este echivalentă cu <strong>de</strong>scrierea reprezentărilor ireductibile<br />
ale algebrei sl(2, C), reprezentări <strong>de</strong>scrise în teorema 9.19.<br />
Propozit¸ia 9.25 Plecând <strong>de</strong> la orice algebră Lie complexă L se poate obt¸ine o al-<br />
gebră Lie reală L0 prin restrict¸ia scalarilor ¸si<br />
dimRL0 = 2 dimCL.<br />
Observat¸ia 9.9 Alegând baze a<strong>de</strong>cvate, se poate arăta că <strong>algebra</strong> Lie reală sl(2, C)0<br />
obt¸inută din sl(2, C) prin restrict¸ia scalarilor este izomorfă cu <strong>algebra</strong> Lie o(1, 3) a<br />
grupului Lorentz.
Bibliografie<br />
[1] I. Armeanu, Analiză Funct¸ională, Editura Universităt¸ii din Bucure¸sti, 1998.<br />
[2] D. Beklémichev, Cours <strong>de</strong> Géométrie Analytique et d’Algèbre Linéaire, Éditions<br />
Mir, Moscou, 1988.<br />
[3] V. Brînzănescu, O. Stănă¸silă, Matematici Speciale. Teorie, Exemple, Aplicat¸ii,<br />
Editura ALL EDUCATIONAL S. A., 1998.<br />
[4] L. V. Kantorovich, G. P. Akilov, Analiză Funct¸ională, Editura S¸tiint¸ifică ¸si<br />
Enciclopedică, Bucure¸sti, 1986.<br />
[5] W. Miller, Jr., Lie Theory and Special Functions, Aca<strong>de</strong>mic Press, New York,<br />
1968.<br />
[6] M. Naïmark, A. Stern, Théorie <strong>de</strong>s Représentations <strong>de</strong>s Groupes, Éditions Mir,<br />
Moscou, 1979.<br />
[7] C. Năstăsescu, C. Nit¸ă, C. Vraciu, Bazele Algebrei, vol I, Editura Aca<strong>de</strong>miei,<br />
Bucure¸sti, 1986.<br />
[8] M.-E. Piticu, M. Vraciu, C. Timofte, G. Pop, Ecuat¸ii Diferent¸iale. Culegere <strong>de</strong><br />
Probleme, Editura Universităt¸ii Bucure¸sti, 1995.<br />
[9] R. Richtmyer, Principles of Advanced Mathematical Physics, Springer-Verlag,<br />
1978.<br />
[10] J.D. Talman, Special Functions. A Group Theoretical Approach, Benjamin, New<br />
York, 1968.<br />
201
202 <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> algebră liniară<br />
[11] C. Teleman, M. Teleman, <strong>Elemente</strong> <strong>de</strong> teoria grupurilor cu aplicat¸ii în topologie<br />
¸si fizică, Editura S¸tiint¸ifică, Bucure¸sti, 1973.<br />
[12] C. Udri¸ste, C. Radu, C. Dicu, O. Mălăncioiu, Algebră, Geometrie ¸si Ecuat¸ii<br />
Diferent¸iale, Editura Didactică ¸si Pedagogică, Bucure¸sti, 1982.<br />
[13] N. Ja. Vilenkin, Fonctions Spéciales et Théorie <strong>de</strong> la Représentation <strong>de</strong>s<br />
Groupes, Dunod, Paris, 1969.<br />
[14] V. S. Vladimirov, Ecuat¸iile Fizicii Matematice, Editura S¸tiint¸ifică ¸si Enciclo-<br />
pedică, Bucure¸sti, 1980.