Transformari liniare

No¸tiunea de transformare liniară 

Transformări liniare între spa¸tii finit dimensionale 

Valori ¸si vectori proprii 

Transformări 

1 No¸tiunea de transformare liniară 

Proprietă¸ti. Opera¸tii 

Nucleul ¸si imagine 

Rangul ¸si defectul unei transformări 

2 Transformări liniare între spa¸tii finit dimensionale 

Matricea unei transformări 

Rela¸tia dintre rang ¸si defect 

Schimbarea matricei unei transformări liniare 

3 Valori ¸si vectori proprii 

Diagonalizarea matricei unei transformări 

Polinom caracteristic 

Transformări liniare








Fie V ¸si W spa¸tii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexe 

Γ = C. 

Defini¸tie 

Se nume¸ste transformare (operator) liniară func¸tia f : V → W 

dacă satisface 

1 f (u + v) = f (u) + f (v), ∀u, v ∈ V 

2 f (α · u) = α · f (u), ∀u ∈ V , α ∈ Γ. 





Proprietă¸ti 

Propozi¸tie 




Dacă f este o transformare liniară, atunci au loc 

1. f (0V ) = 0W 

2. f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V . 

Demonstra¸tie. 1. f (0V ) = f (0 · 0V ) = 0 · f (0V ) = 0W . 

2. Din u + (−u) = 0V deducem f (u) + f (−u) = 0W , adică 

f (−u) = −f (u). 





Spa¸tiul transformărilor liniare 




Fie V ¸si W spa¸tii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexe 

Γ = C. Notăm 

Teoremă 

L(V , W ) = {f : V → W , f transformare liniară}. 

L(V , W ) este spa¸tiu liniar peste Γ. 

Demonstra¸tie. 

Definim opera¸tiile 

f , g ∈ L(V , W ) (f + g)(u) = f (u) + g(u), ∀u ∈ V . 

f ∈ L(V , W ), α ∈ Γ, (α · f )(u) = α · f (u). 





Alte opera¸tii cu transformări 

Teoremă 




Fie U, V , W spa¸tii liniare peste Γ ¸si f ∈ L(U, V ), g ∈ L(V , W ). 

Atunci g ◦ f ∈ L(U, W ) 

Teoremă 

Fie f ∈ L(U, V ) o transformare liniară bijectivă. Atunci există 

f −1 ¸si f −1 ∈ L(V , U). 






Defini¸tie 




Numim nucleu al transformării liniare f : V → W mul¸timea 

Defini¸tie 

Ker f = {u ∈ V | f (u) = 0W .} 

Numim imagine a transformării liniare f : V → W mul¸timea 

Im f = {v ∈ W | ∃u ∈ V , f (u) = v}. 





Proprietă¸ti 

Propozi¸tie 

Fie f : V → W o transformare liniară atunci 

1. Ker f este subspa¸tiu liniar în V . 

2. Im f este subspa¸tiu liniar în W . 

Propozi¸tie 




Fie f : V → W o transformare liniară atunci 

1. f este injectivă dacă ¸si numai dacă Ker f = {0V } 

2. f este surjectivă dacă ¸si numai dacă Im f = W . 





Teoremă 




1. Dacă f ∈ L(V , W ) atunci f transformă un sistem de vectori 

liniar dependen¸ti într-un sistem de vectori liniar dependen¸ti. 

2. Dacă f ∈ L(V , W ) este injectivă atunci f transformă un 

sistem de vectori liniar independen¸ti într-un sistem de vectori 

liniar independen¸ti. 








Demonstra¸tie. 1. Presupunem că u1, u2, · · · , un sunt liniar 

dependen¸ti; există αi ∈ Γ nu to¸ti nuli astfel ca 

n 

Aplicăm f ¸si avem 

f ( 

i=1 

n 

αiui) = 

i=1 

αiui = 0V . 

n 

αif (ui) = 0W . 

2. Presupunem că u1, u2, ·, un sunt liniar independen¸ti. Fie 

n 

αif (ui) = 0W , 

care implică 

n 

i=1 

f ( 

i=1 

n 

αiui) = 0W , 

i=1 


Morfisme 




Defini¸tie 




Fie f : V → W o transformare liniară atunci f se nume¸ste 

izomorfism dacă f este bijectivă. 

Dacă V = W , atunci f se nume¸ste endomorfism. Notam L(V ) 

mul¸timea tuturor endomorfismelor. 

Endomorfismul liniar f : V → V se nume¸ste automorfism, dacă 

f este bijectivă. 









Defini¸tie 

Numim rangul transformării f : V → W liniare dimensiunea 

subspa¸tiului Im f . 

Defini¸tie 

Numim defectul transformării f : V → W liniare dimensiunea 

subspa¸tiului Ker f . 









Fie V , W două spa¸tii liniare finit dimensionale, astfel ca 

dim V = n, dim W = m, m, n ∈ N. 

Fie B1 = {e1, e2, · · · , en} o bază în V ¸si B2 = {g1, g2, · · · , gm} o 

bază în W . Au loc 

f (e1) = a11f1 + a21f2 + · · · + am1fm 

f (e2) = a12f1 + a22f2 + · · · + am2fm 

· · · 

f (en) = a1nf1 + a2nf2 + · · · + amnfm 

Rela¸tiile sunt echivalente cu: 

f (ei) = 

m 

ajigj, ∀i = 1, · · · , n. (1) 

j=1 

Transformări liniare 

.




Defini¸tie 

Matricea 

A = A B 1,B 2 

f 




= (aji), j = 1, · · · m, i = 1, · · · , n 

se nume¸ste matricea transformării în perechea de baze B1, B2. 

Observa¸tie. Matricea are pe coloane coordonatele vectorilor 

f (ei) în baza din W . 





Teoremă 




Între mul¸timea transformărilor liniare L(V , W ) ¸si mul¸timea 

matricelor Mm,n(Γ) există o coresponden¸tă bijectivă. 

Demonstra¸tie.⇒ Fie f ∈ L(V , W ), unde 

dim(V ) = n, dim(W ) = m. Dacă folosim nota¸tiile predente, 

avem pentru orice u ∈ V , w ∈ W 

u = 

n 

xiei w = 

i=1 

m 

yjfj. (2) 

j=1 






Au loc 

Deducem 

w = f (u) = f ( 

= 

n 

m 

n 

xiei) = 

i=1 

xi ajifj = 

i=1 j=1 j=1 

yj = 




n 

xif (ei) = 

i=1 

m n 

( ajixi)fj 

i=1 

n 

ajixi, j = 1, · · · , m (3) 

i=1 





Dacă notăm Y = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

y1 

y2 

· · · 

ym 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

X = 




⎛ 

⎜ 

⎝ 

x1 

x2 

· · · 

xn 

⎞ 

⎟ 

⎠ , rela¸tia (3) devine 

Y = A · X. (4) 

⇐ Oricare ar fi matricele 

A ∈ Mm,n(Γ), X ∈ Mn,1(Γ), Y ∈ Mm,1(Γ), rela¸tia (4) 

define¸ste o transformare liniară. 





Consecin¸te 




1. Tranformarea identic nulă, f : V → W , f (u) = 0W , are 

matricea Om,n 

2. Transformarea identică f : V → V , f (u) = u are matricea 

A = In. 

3. Dacă f , g ∈ L(V , W ) au matricele A, B ∈ Mm,n(Γ) atunci 

f + g are matricea A + B ∈ Mm,n(Γ). 

4. Dacă α ∈ Γ, f ∈∈ L(V , W ), iar f are matricea A ∈ Mm,n(Γ), 

atunci transformarea α · f are matricea α · A ∈ Mm,n(Γ). 





Compunerea transformărilor 




5. Fie U, V , W spa¸tii liniare peste Γ cu 

dim(U) = n, dim(V ) = m, dim(W ) = p, m, n, p ∈ N. 

Fie f ∈ L(U, V ), g ∈ L(V , W ). Are sens compunerea 

g ◦ f ∈ L(U, W ). 

f g 

U → V → W 

↓ ↓ 

A ∈ Mm,n(Γ) B ∈ Mp,m(Γ) 

Atunci transformării g ◦ f îi corespunde matricea 

B · A ∈ Mp,n(Γ). 


.




Inversarea unei transfromări 




6. Dacă V = W ¸si f ∈ L(V ) cu matricea A ∈ Mn(Γ) este o 

transformare inversabilă, atunci transformării f −1 îi corespunde 

matricea A −1 . 









Fie V , W spa¸tii liniare peste Γ cu dim(U) = n ¸si dim(W ) = m. 

Teoremă 

Fie f ∈ L(U, W ) atunci are loc 

dim(Im(f )) + dim(ker f ) = n. 

Demonstra¸tie. Fie A ∈ Mm,n(Γ) matricea lui f într-o pereche 

de baze. Atunci f (u) = w înseamnă 

A · X = Y . 

Dacă w ∈ Im(f ) atunci sistemul de mai jos este compatibil 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

a11x1 + · · · + a1n = y1 

a21x1 + · · · + a2n = y2 

· · · 

am1x1 + · · · + amn = ym 


.




Sistemul este echivalent cu 




C1x1 + · · · + Cnxn = Y , (5) 

unde C1, · · · , Cn sunt coloanele matricei A. 

Rela¸tia (5) exprimă faptul că Y ∈ Sp{C1, · · · , Cn}. 

¸Stim că rang(A) = dim(Sp{C1, · · · , Cn}), deci 

rang(A) = dim(Im(f )). 

Pe de altă parte ker f reprezintă mul¸timea solu¸tiilor unui sistem 

liniar omogen, cu dimensiunea n − rang(A), de unde concluzia. 





Teoremă 




Fie f ∈ L(V ) cu dim(V ) = n ¸si B = {ei, · · · , en} o bază în V , în 

care f are matricea A ∈ Mn(Γ). 

Fie B ′ = {e ′ i , · · · , e′ n} o altă bază în V , în care f are matricea 

A ′ ∈ Mn(Γ). 

Fie C matricea de schimbare de la baza B la B ′ . 

Are loc 

A ′ = C −1 · A · C. (6) 






Calculăm în două moduri f (e ′ j ). 

Rezultă 

f (e ′ j ) = 

= 

f (e ′ j 

n 

) = f ( 

n 

n 

i=1 

cijei) = 




n 

cijf (ei) = 

i=1 

cij akiek = 

i=1 k=1 

k=1 i=1 

n 

n 

n 

n n 

( akicij)ek. 

n n 

( 

a 

i=1 

′ ije′ i = a 

i=1 

′ ij ckiek = ckia 

k=1 

k=1 i=1 

′ ij )ek. 

A · C = C · A ′ . 






Defini¸tie 



Fie V un spa¸tiu liniar peste Γ, unde Γ = R sau C ¸si f ∈ L(V ). 

λ ∈ Γ se nume¸ste valoare proprie dacă există u ∈ V , u = 0V 

astfel ca 

f (u) = λu. (7) 

Vectorul u se nume¸ste vector propriu. 

Mul¸timea tuturor vectorilor proprii se nume¸ste spectrul 

operatorului ¸si se notează cu σ(f ). 







Teoremă 

Fie λ ∈ Γ o valoare proprie. 

1. Mul¸timea Vλ = {u ∈ V |f (u) = λu} este subspa¸tiu liniar în V . 

2. Oricare ar fi u ∈ Vλ are loc f (u) ∈ Vλ. 

Demonstra¸tie. 1. Dacă u, u ′ ∈ Vλ rezultă că u + u ′ ∈ Vλ. Dacă 

α ∈ Vλ, u ∈ Vλ atunci αu ∈ Vλ. 

2. Fie u ∈ V astfel ca f (u) = λu. Rezultă f (f (u)) = λf (u). 

Vλ se nume¸ste subspa¸tiu propriu. 





Teoremă 



Dacă λ, λ ′ ∈ Γ sunt valori proprii distincte, iar u, u ′ sunt vectorii 

proprii corespunzatori, atunci u ¸si u ′ sunt liniar independen¸ti. 

Demonstra¸tie. Dacă u, u ′ ar fi liniar dependen¸ti, ar exista 

α ∈ Γ, α = 0 astfel ca u ′ = αu, Aplicând f deducem : 

De unde 

λ ′ αu = λ ′ u ′ = f (u ′ ) = f (αu) = αf (u) = αλu 

α(λ ′ − λ)u = 0V 

ceea ce antrenează , prin absurd, λ = λ ′ . 





Teoremă 



Dacă V este spa¸tiu liniar n-dimensional peste Γ, atunci orice 

f ∈ L(V ) are cel pu¸tin o valoare proprie în Γ. 

Demonstra¸tie. Fie A ∈ Mn(Γ) matricea transformării într-o 

bază fixată B = {e1, · · · , en}. Dacă u = x1e1 + · · · + xnen din 

condi¸tia f (u) = λu găsim 

⎛ 

⎜ 

A ⎜ 

⎝ 

x1 

x2 

· · · 

xn 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎛ 

⎜ 

= λ ⎜ 

⎝ 

x1 

x2 

· · · 

xn 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 





Ecua¸tia caracteristică 

Se ob¸tine 

⎛ 

a11 − λ 

⎜ a21 ⎜ 

⎝ · · · 

a12 

a22 − λ 

· · · 

· · · 

a1n 

a2n 

an1 an2 · · · ann − λ 



⎞ ⎛ 

⎟ ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 

x1 

x2 

· · · 

xn 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

0 

0 

· · · 

0 

⎞ 

⎟ 

⎠ . 

Sistemul are solu¸tie nebanală dacă 

 

a11 

− λ 

a21 

 

· · · 

an1 

a12 

a22 − λ 

an2 

· · · 

· · · 

· · · 

 

a1n 

 

a2n 

 

 

= 0 

 

ann − λ 

(8) 

Ecua¸tia (8) se nume¸ste ecua¸tie caracteristică. 





Forma diagonală 

Defini¸tie 



Spunem că o transformare liniară admite forma diagonală, 

dacă există o bază în care matricea este diagonală. 

Teoremă 

Dacă spa¸tiul liniar V admite o bază de vectori proprii, atunci în 

această bază transformarea liniară admite formă diagonală. 

Demonstra¸tie. Fie λi ∈ Γ valori proprii ¸si {u1, · · · , un} o bază 

de vectori proprii. Atunci f (ui) = λiui, adică matricea are pe 

diagonală valorile proprii λi, iar în rest 0. 





Lema lui Gersgorin 

Lemă 

Fie A ∈ Mn(C). Pentru orice i = 1, · · · , n fie 

Are loc 

ri = 

n 

j=1,j=i 



|aij| Di = {z ∈ C | |z − aii| ≤ ri}. 

σ(A) ⊂ 

n 

Di, 

unde σ(A) este spectrul transformării liniare de matrice A. 

i=1 







Demonstra¸tie. Fie λ o valoare proprie, astfel ca există 

xi, i = 1, · · · , n nu to¸ti nuli astfel ca 

⎛ 

A ⎝ 

x1 

· · · 

xn 

⎞ 

⎛ 

⎠ = λ ⎝ 

x1 

· · · 

xn 

⎞ 

⎠ . 







Fie i astfel ca |xi| = max(|x1|, · · · , |xn|) de unde xi = 0. Ecua¸tia 

i este 

ai1x1 + · · · + (aii − λ)xi + · · · + ain = 0. 

Deducem 

de unde 

Urmează 

(aii − λ)xi = − 

|aii − λ||xi| ≤ 

|aii − λ| ≤ 

n 

j=1,j=i 

n 

j=1,j=i 

n 

j=1,j=i 

aijxj, 

|aij||xj|. 

|aij| |xj| 

≤ ri. 

|xi| 






Defini¸tie 

Fie A ∈ Mn(Γ). Polinomul 

se nume¸ste polinom caracteristic. 

Teoremă 



P(λ) = det(A − λIn) (9) 

Fie A ∈ Mn(Γ) ¸si P(λ) polinomul caracteristic. Atunci au loc: 

1. A ¸si A t au acela¸si polinom carateristic. 

2. 

P(λ) = (−1) n λ n + (−1) n−1 λ n−1 (a11 + a22 + · · · + ann) + · · · + an 

unde an = det(A). 

3. Date A, B ∈ Mn(Γ) ¸si C ∈ Mn(Γ) nesingulară astfel ca 

B = C −1 AC atunci A ¸si B au acela¸si polinom caracteristic. 





Demonstra¸tie 



P(λ) = (a11−λ)(a22−λ) · · · (ann−λ)+polinom de grad ≤ n−2 = 

(−1) n λ n + (−1) n−1 (a11 + a22 + · · · + ann)λ n−1 + · · · + an. 

Dacă λ = 0 deducem an = det(A). 

Consecin¸te. 

1 λ1 + λ2 + · · · + λn = Tr(A) 

2. λ1 · λ2 · · · λn = det(A). 





Teorema Cayley-Hamilton 

Teoremă 



Fie A ∈ Mn(Γ) ¸si P polinomul caracteristic. Atunci 

P(A) = 0.

Transformari liniare

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?