8. Logica vaga - Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi

Inteligenţă artificială 

8. Logica vagă (fuzzy) 

Florin Leon 

Universitatea Tehnică „Gh. Asachi” Iaşi 

Facultatea de Automatică şi Calculatoare 

http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm 

Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm

Logica vagă 

1. Logica clasică şi logica vagă 

2. Operaţii cu mulţimi vagi 

3. Tipuri de inferenţă 

4. Sistem expert fuzzy 

5. Controlere fuzzy 

6. Concluzii 

Florin Leon, Inteligenta artificiala, http://florinleon.byethost24.com/curs_ia.htm 

2







6. Concluzii 


3

Incompletitudinea 

Logica clasică consideră valoarea de adevăr a 

propoziţiilor în termeni de adevărat sau fals 

Legea terţului exclus 

Viaţa de zi cu zi: „cerul este albastru” 

Câţiva nori? 

Oamenii gândesc mai flexibil, în condiţii de 

incompletitudine 


4

Incertitudine şi imprecizie 

Incompletitudinea unei informaţii se exprimă 

pe două scări: 

Scara incertitudinii 

Încrederea care i se acordă informaţiei (informaţie certă) 

Scara impreciziei 

Conţinutul informaţional (informaţie precisă, 

cu o singură valoare) 


5

Exemplu: opinii despre rezultatele 

recensământului din 2011 

„Institutul Naţional de Statistică a precizat că la 20 octombrie 

2011, populaţia stabilă a României era de 19.043.767 locuitori.” 

Ştire sigură şi precisă (completă) 

„Populaţia României este în mod sigur sub 20 milioane de 

locuitori.” 

Informaţie certă, dar imprecisă (valoarea aparţine intervalului 

0 – 20.000.000) 

„Cred că populaţia României este de 19.000.000 locuitori.” 

Informaţie incertă, dar precisă (chiar dacă este incorectă) 

„Am impresia că rezultatul era în jur de 19 de milioane.” 

Informaţie incertă şi imprecisă 

„N-am nici cea mai vagă idee.” 

Non-informaţie, toate valorile sunt egal probabile 

Grad maxim de incertitudine şi imprecizie 


6

Logica clasică şi „bunul simţ” 

Logica clasică – praguri stricte 

Limită de înălţime 1,80 m 

Ion are 1,81 m este înalt 

Vasile are 1,79 m nu este înalt 

Nuanţe lingvistice – greu de reprezentat 

Chiar dacă transformatorul este uşor 

supraîncărcat, mai putem menţine puţin 

această încărcare 

Iaşul este un oraş destul de mare 

Maşinile electrice nu sunt foarte rapide 


7

Limitări 

Filosoful cretan spune că toţi cretanii mint 

Frizerul satului îi tunde pe toţi cei care nu se 

tund singuri 

În logica clasică acestea sunt paradoxuri sau 

contradicţii 

Ar putea fi considerate însă parţial adevărate 


8

Scurt istoric 

Jan Łukasiewicz (1930): teoria posibilităţii 

De exemplu, posibilitatea ca un om de 1,81 m 

să fie foarte înalt este 0,86 

Max Black (1937): imprecizia este o formă de 

probabilitate 

Când un scaun nu mai este considerat scaun ci buturugă 

Procentul de persoane care ar denumi obiectul „scaun” 

Definirea unei mulţimi vagi simple şi a unor operaţii 

Lotfi Zadeh (1965): “Fuzzy Sets” (Mulţimi vagi) 

Sistem formal de logică matematică 

Includerea termenilor din limbajul natural 


9

Exemplu 

Name Height, cm 

Chris 

Mark 

John 

Tom 

David 

Mike 

Bob 

Steven 

Bill 

Peter 

208 

205 

198 

181 

179 

172 

167 

158 

155 

152 

Degree of Membership 

Crisp 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

Fuzzy 

1.00 

1.00 

0.98 

0.82 

0.78 

0.24 

0.15 

0.06 

0.01 

0.00 


10

Comparaţie 

0 0 1 1 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 

(a) Boolean Logic. (b) Multi-valued Logic. 


0 

11







6. Concluzii 


12

Noţiuni de bază 

Universul de discurs 

Axa X: domeniul tuturor valorilor posibile 

aplicabile unei variabile 

În exemplul anterior: înălţimea 

Gradul de apartenenţă 

Axa Y 

Valori în intervalul [0,1] 


13

Formalizare 


14

Mulţimi multiple 

Degree of 

Membership 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

150 160 170 180 190 200 210 

Degree of 

Membership 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Short Average Short Tall 

Tall Men 

Short Average 

Crisp Sets 

Fuzzy Sets 

Height, cm 

0.0 

150 160 170 180 190 200 210 

Tall 

Tall 


15

Suport 


16

Înălţimea 


17

Nucleu 


18

Incluziuni. Egalitate 


19

Numere fuzzy 

De multe ori, oamenii nu pot caracteriza precis 

informaţiile numerice, folosind formulări precum 

„aproape 0”, „în jur de 100” etc. 

În teoria mulţimilor fuzzy, aceste numere pot fi 

reprezentate ca submulţimi fuzzy ale mulţimii 

numerelor reale 

Un număr fuzzy A este o mulţime fuzzy a 

mulţimii numerelor reale, cu o funcţie de 

apartenenţă convexă şi continuă şi suport 

mărginit 


20

Număr fuzzy triunghiular 


21

Număr fuzzy triunghiular 


22

Număr fuzzy trapezoidal 


23

Număr fuzzy trapezoidal 


24

Funcţia gaussiană 

„cvasi-număr fuzzy” 


25

Funcţia Bell generalizată 


26

Funcţia S 


27

Funcţia Π (simetrică) 


28

Funcţia Π (asimetrică) 


29

Tăietura alfa 


30

Funcţii aritmetice fuzzy 

Pentru 2 numere interval fuzzy [a,b] şi [d,e]: 

Adunarea 

[a,b] + [d,e] = [a+d, b+e] 

Scăderea 

[a,b] - [d,e] = [a-e, b-d] 

Înmulţirea 

[a,b] · [d,e] = [min(a·d,a·e,b·d,b·e), max(a·d,a·e,b·d,b·e)] 

Împărţirea 

[a, b] / [c, d] = [a, b] · [1/d, 1/c] = 

[min(a/c, a/d, b/c, b/d), max(a/c, a/d, b/c, b/d)] 


31

Restrictori 

engl. “hedge”, gard viu 

Mulţimile fuzzy pot reprezenta în mod cantitativ 

termeni lingvistici vagi 

În vorbirea curentă, oamenii folosesc o serie de 

adverbe pentru nuanţarea acestora, precum 

„foarte”, „aproape”, „oarecum” etc. 

Teoria mulţimilor fuzzy face posibilă 

reprezentarea lor cu ajutorul unor restrictori care 

modifică matematic funcţia de apartenenţă a 

mulţimii fuzzy considerate 


32

Concentrarea 

Concentrarea („foarte”) are ca efect 

reducerea valorilor de apartenenţă ale 

elementelor cu grad de apartenenţă mici 


33

Puterea 

Puterea („foarte foarte”) este o extensie a 

concentraţiei 


34

Dilatarea 

Dilatarea („oarecum”) dilată elementele fuzzy 

prin mărirea valorilor de apartenenţă ale 

elementelor cu grade de apartenenţă mici 


35

Intensificarea 

Intensificarea („într-adevăr”) are ca efect 

mărirea gradelor de apartenenţă de peste 0,5 

şi micşorarea celor sub 0,5 


36

Operaţii cu mulţimi fuzzy 

Operaţiile cu mulţimile fuzzy sunt o extindere 

a celor din logica clasică 

Dacă mulţimile fuzzy implicate au grade de 

apartenenţă 0 şi 1, semnificaţia operaţiilor 

este aceeaşi ca în teoria clasică a mulţimilor, 

de aceea şi simbolurile utilizate sunt aceleaşi 


37

Norme triunghiulare 

Aceste operaţii pot fi definite cu ajutorul unor funcţii numite 

t-normă (T) şi t-conormă (S) 


38

Exemple 

Există foarte multe familii de norme ! 


39

Intersecţia 


40

Reuniunea 


41

Complementul 


42

Exemple Mulţimi cu doar 2 elemente 


43







6. Concluzii 


44

Reguli fuzzy 

Lotfi Zadeh (1973) 

Reprezentarea cunoştinţelor umane sub formă de 

reguli fuzzy 

DACĂ x este A ATUNCI y este B 

x şi y sunt variabile lingvistice 

A şi B sunt valori lingvistice determinate de 

mulţimile fuzzy în universurile de discurs X şi Y 


45

Exemplu 

Regula 1 

DACĂ Viteza este Rapidă 

ATUNCI Distanţa-de-oprire este Mare 

Regula 2 

DACĂ Viteza este Înceată 

ATUNCI Distanţa-de-oprire este Mică 

Universuri de discurs 

Viteza (în km/h) 

Distanţa-de-oprire (în m) 

Mulţimi fuzzy 

Viteză Înceată, Viteză Rapidă 

Distanţă Mică, Distanţă Mare 


46

Degree of 

Membership 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

160 

Selecţia monotonă 

IF Height is Tall THEN Weight is Heavy 

180 

Tall men 

Height, cm 

Degree of 

Membership 

1.0 

Heavy men 

0.0 

190 200 70 80 100 


0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

Weight, kg 

120 

47

Antecedenţi şi consecvenţi 

multipli 


48

Modus Ponens generalizat 


49

Tipuri de implicaţie 


50

Inferenţa Mamdani (max-min) 


51

Inferenţa Mamdani (II) 


52

Inferenţa Mamdani (III) 


53

Inferenţa Larsen (max-produs) 


54

Inferenţa Larsen (II) 


55

Inferenţa Larsen (III) 


56

Defuzzificarea 

Reprezintă obţinerea unei valori stricte dintr-o 

mulţime fuzzy, ca valoare reprezentativă 

Există mai multe metode: 

Centrul de greutate 

Media maximului 

Cel mai mic maxim 

Cel mai mare maxim 


57

Centrul de greutate 

Numit şi centroid 


58

Inferenţa Mamdani cu 

reguli multiple 

Inferenţa presupune 4 paşi: 

Fuzzificarea variabilelor de intrare 

Evaluarea regulilor 

Agregarea ieşirilor regulilor 

Defuzzificarea 


59

Exemplu 

O problemă cu 2 intrări şi 1 ieşire, 3 reguli 

Regula 1 Regula 1 

IF x is A3 IF project-funding is adequate 

OR y is B1 OR project-staffing is small 

THEN z is C1 THEN risk is low 


IF x is A2 IF project-funding is marginal 

AND y is B2 AND project-staffing is large 

THEN z is C2 THEN risk is normal 


IF x is A1 IF project-funding is inadequate 

THEN z is C3 THEN risk is high 


60

Pasul 1. Fuzzificarea 

Pentru intrările stricte date x1 şi y1 (project 

funding şi project staffing) se determină gradele 

de apartenenţă în mulţimile corespunzătoare 


61

Pasul 2. Evaluarea regulilor 

Intrările fuzzificate se aplică 

antecedenţilor (premiselor) regulilor 

Dacă o regulă are antecedenţi multipli, 

se aplică operatorii fuzzy de intersecţie 

sau reuniune 


62

Evaluarea de tip Mamdani 


63

Pasul 3. Agregarea ieşirilor 

Agregarea presupune reunirea ieşirilor tuturor 

regulilor, rezultând câte o mulţime fuzzy 

pentru fiecare variabilă de ieşire 


64

Pasul 4. Defuzzificarea 

Mulţimile fuzzy agregate sunt transformate în 

valori stricte după o metodă de defuzzificare 

(de exemplu metoda centrului de greutate) 


65

Inferenţa TSK 

Inferenţele de tip Mamdani sau Larsen presupun 

integrarea funcţiilor de apartenenţă pentru 

defuzzificare, ceea ce nu este foarte eficient din 

punct de vedere computaţional 

Inferenţa de tip Takagi-Sugeno-Kang este de forma: 

DACĂ x este A ŞI y este B ATUNCI z este f(x,y) 

f este o funcţie matematică 


66

Inferenţa Sugeno 


67

Exemplu 

Presupunem nişte funcţii 

de apartenenţă oarecare 


68

Exemplu 


69

Modelul de ordin zero 

Cel mai utilizat model de inferenţă TSK 

este modelul Sugeno de ordin zero, în 

care ieşirea fiecărei reguli fuzzy este o 

constantă 

DACĂ x este A ŞI y este B ATUNCI z este k 


70

Evaluarea de tip 

Sugeno de ordin zero 


71

Media ponderată 

Agregarea ieşirilor şi 

defuzzificarea 


72

Mamdani sau Sugeno? 

Metoda Mamdani 

Utilizată pe scară largă pentru reprezentarea cunoştinţelor 

expert 

Permite descrierea mai intuitivă a cunoştinţelor 

Are însă dezavantajul unui efort de calcul mai mare 

Metoda Sugeno 

Eficientă computaţional 

Rezultate bune în probleme de optimizare şi tehnici adaptive 

Mai potrivită pentru probleme de control, în special pentru 

sisteme neliniare dinamice 


73







6. Concluzii 


74

Studiu de caz 

Un centru de service păstrează componente de 

schimb şi repară componente defecte 

Clienţii aduc un component defect şi primesc o 

piesă de schimb de acelaşi tip 

Componentele defecte sunt reparate şi repuse în 

circuit 

Obiectivul sistemului expert este de a ajuta 

managerul în luarea deciziilor astfel încât clienţii 

să rămână mulţumiţi 


75

Procesul de dezvoltare al unui 

sistem expert fuzzy 

Specificarea problemei şi definirea variabilelor 

lingvistice 

Determinarea mulţimilor fuzzy 

Construirea regulilor fuzzy 

Codarea mulţimilor, regulilor şi procedurilor 

de inferenţă 

Evaluarea şi rafinarea sistemului 


76

Specificarea problemei şi 

definirea variabilelor lingvistice 

Există 4 variabile lingvistice: 

Timpul mediu de aşteptare (întârzierea 

medie) m 

Factorul de utilizare a reparaţiilor 

= nr. clienţi veniţi / nr. clienţi plecaţi 

Numărul de angajaţi s 

Numărul iniţial de piese de schimb n 

Aceasta este ieşirea sistemului, trebuie 

determinat: n = f(m, , s) 


77


78

Determinarea mulţimilor fuzzy 

De obicei se utilizează numere fuzzy 

triunghiulare sau trapezoidale pentru 

cunoştinţele expert 

În general sunt reprezentări adecvate şi suficiente 

pentru cunoştinţe 

Se simplifică şi procesul de calcul: formule simple 

pentru determinarea gradelor de apartenenţă 


79

Întârzierea medie m 

O întârziere mai mare nu este acceptabilă 


80

Numărul de angajaţi s 


81

Factorul de utilizare a 

reparaţiilor 


82

Numărul de piese de schimb n 


83

Construirea regulilor fuzzy 

Expertul trebuie să furnizeze cunoştinţele 

privind regulile 

„Expertul” poate fi orice sursă de cunoaştere: 

cărţi, baze de date, scheme logice, 

comportamente umane observate etc. 


84

Reprezentarea regulilor prin 

memorii asociative fuzzy 

s 

L 

M 

S 

M 

RL 

VL 

S 

RS 

L 

VS 

S 

M 

VS S M 


m 

Valorile lui n 

85

Baza de reguli 1 

1. If (utilisation_factor is L) then (number_of_spares is S) 

2. If (utilisation_factor is M) then (number_of_spares is M) 

3. If (utilisation_factor is H) then (number_of_spares is L) 

4. If (mean_delay is VS) and (number_of_servers is S) then (number_of_spares is VL) 

5. If (mean_delay is S) and (number_of_servers is S) then (number_of_spares is L) 

6. If (mean_delay is M) and (number_of_servers is S) then (number_of_spares is M) 

7. If (mean_delay is VS) and (number_of_servers is M) then (number_of_spares is RL) 

8. If (mean_delay is S) and (number_of_servers is M) then (number_of_spares is RS) 

9. If (mean_delay is M) and (number_of_servers is M) then (number_of_spares is S) 

10.If (mean_delay is VS) and (number_of_servers is L) then (number_of_spares is M) 

11.If (mean_delay is S) and (number_of_servers is L) then (number_of_spares is S) 

12.If (mean_delay is M) and (number_of_servers is L) then (number_of_spares is VS) 


86

Baza de reguli 2: tabela de reguli 

Rule m s n Rule m s n Rule m s n 

1 VS S L VS 10 VS S M S 19 VS S H VL 

2 S S L VS 11 S S M VS 20 S S H L 

3 M S L VS 12 M S M VS 21 M S H M 

4 VS M L VS 13 VS M M RS 22 VS M H M 

5 S M L VS 14 S M M S 23 S M H M 

6 M M L VS 15 M M M VS 24 M M H S 

7 VS L L S 16 VS L M M 25 VS L H RL 

8 S L L S 17 S L M RS 26 S L H M 

9 M L L VS 18 M L M S 27 M L H RS 


87

s 

L 

M 

S 

VS VS VS 

VS VS VS 

S S VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS S M 

m 

s 

L 

M 

S 

M 

L 

H 

S S VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS S M 

m 

 

L 

s 

L 

M 

S 

M RS S 

RS S VS 

S VS VS 

VS S M 

m 

Baza de reguli 2: memoria asociativă fuzzy 

M 

M 

S 

RL M RS 

M M S 

VL L M 

VS S M 

m 


s 

L 

H 

 

88

Implementarea sistemului 

Folosind un limbaj de programare 

De exemplu: C#, Java, C++ etc. 

Folosind un instrument de dezvoltare 

specializat 

De exemplu: Matlab Fuzzy Toolbox, 

Fuzzy Knowledge Builder etc. 


89

Evaluare şi rafinare 

Este cea mai laborioasă fază 

Reprezintă validarea sistemului în raport cu 

cerinţele specificate 

Unele instrumente pot genera suprafeţe de 

decizie care ajută la analizarea 

performanţelor sistemului 


90

number_of_spares 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0 

0.2 


0.4 

mean_delay 

0.6 

0 

0.2 

0.4 

0.6 

0.8 

number_of_servers 


1 

91


0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0 

0.2 


0.4 

mean_delay 

0.6 

0 

0.2 

0.4 

0.6 

utilisation_factor 


0.8 

1 

92


0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0 

0.2 


0.4 

mean_delay 

0.6 

0 

0.2 

0.4 

0.6 

0.8 



1 

93


0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0 

0.2 


0.4 

mean_delay 

0.6 

0 

0.2 

0.4 

0.6 



0.8 

1 

94

Rafinarea 

Dacă performanţele nu sunt 

satisfăcătoare, se pot include în 

model mulţimi suplimentare 

De exemplu Rather Small şi Rather Large 

pe universul de discurs al numărului de 

angajaţi s 

Se extinde şi baza de reguli 


95

Mulţimile modificate pentru s 


96

Baza de reguli 3: memoria asociativă fuzzy 

s 

L 

RL 

M 

RS 

S 

VS VS VS 

VS VS VS 

S S VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

S S VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

M 

L 

VS S M 

m 

H 

s 

L 

RL 

M 

RS 

S 

S S VS 

S S VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS VS VS 

VS S 

m 

M 

 

L 

s 

L 

RL 

M 

RS 

S 

M RS S 

M RS S 

RS S VS 

S VS VS 

S VS VS 

VS S M 

m 

M 

L M RS 

RL M RS 

M M S 

VL RL RS 

VL L M 

VS S M 

m 


s 

L 

RL 

M 

RS 

S 

H 

 

97


0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0 

0.2 


0.4 

mean_delay 

0.6 

0 

0.2 

0.4 

0.6 

0.8 



1 

98


0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0 

0.2 


0.4 

mean_delay 

0.6 

0 

0.2 

0.4 

0.6 



0.8 

1 

99

Rafinarea sistemelor fuzzy (I) 

Se analizează variabilele de intrare şi ieşire şi dacă 

este nevoie se redefinesc domeniile de definiţie 

Se analizează mulţimile fuzzy şi dacă este nevoie 

se adaugă mulţimi suplimentare pe universul de 

discurs 

Mulţimile „mari” conduc la un comportament nenuanţat al 

sistemului 

Trebuie să existe o suprapunere suficientă în 

mulţimile vecine 

Se recomandă o suprapunere de 25%-50% din baze 

(pentru numerele triunghiulare şi trapezoidale) 


100

Rafinarea sistemelor fuzzy (II) 

Se analizează regulile existente şi dacă este nevoie 

se adaugă noi reguli în baza de reguli 

Se examinează baza de reguli în vederea aplicării de 

restrictori pentru anumite cazuri 

Se pot modifica formele unor mulţimi 

De obicei, sistemele fuzzy sunt tolerante la aproximările de 

formă 


101







6. Concluzii 


102

Exemple 

Sistem de control fuzzy pentru stabilizarea 

pendulului inversat 

Sistem de control fuzzy pentru simularea 

funcţionării unei macarale 

Sistem de control fuzzy pentru conducerea 

unei maşinuţe de golf 


103

Pendulul inversat 


Pentru detalii, 

vezi suportul de curs 

104

Pendulul inversat 

Intrări 

Unghiul θ 

Viteza unghiulară dθ/dt 

Ieşire 

Viteza bazei u 


Mulţimile fuzzy 

θ dθ/dt 

u 


θ 

dθ/dt 

Abordarea fuzzy 

Mulţimea minimă de reguli pentru stabilizarea 

pendulului inversat (Yamakawa, 1989) 


107

Exemplu: fuzzificare 

(cu o altă mulţime de reguli) 

θ = 1 (x 1) 

dθ/dt = -4 (x 2) 


Consecvenţii fuzzy şi 

reuniunea lor 

Centroidul reuniunii (-2) 

este ieşirea strictă 



110

Alt exemplu de implementare 

http://www.erudit.de/erudit/demos/cartball/index.htm 


111

Macaraua 

http://www.intelligent-systems.info/neural_fuzzy/loadsway/LoadSway.htm 


112

Macaraua - reguli 


113

Maşinuţa de golf 


Pentru detalii, 

vezi suportul de curs 

114

Alte aplicaţii din „lumea reală” 

Subsisteme de 

autovehicule, transmisie 

automată, ABS 

Control automat al 

trenului monorail din 

Tokyo 

Aparate de aer condiţionat 

Motorul de animaţie 

Massive 

Aparate de fotografiat 

Prelucrarea imaginilor 

(de ex. detecţia muchiilor) 

Recunoaşterea modelelor 

Lifturi 

Maşini de spălat vase 

Maşini de spălat, alte 

electrocasnice 

Filtre de limbaj pe 

forumuri şi camere de 

discuţii 

Jocuri video 

Microcontrolere şi 

microprocesoare 

(de ex. Freescale 68HC12) 


115

Mulţimile fuzzy şi probabilităţile 

Probabilităţile se ocupă de situaţii care ar putea să 

apară 

Mulţimile fuzzy modelează situaţii care există sigur, 

însă nu pot fi încadrate exact într-o categorie 

O sticlă conţine o otravă mortală cu probabilitatea 10% 

Altă sticlă are otravă cu o concentraţie de 10% 

Concentraţia maximă admisă de otravă, care poate fi 

băută fără probleme, este de 20% 

Din care sticlă aţi bea? 


116

Concluzii 

Logica fuzzy oferă posibilitatea de a reprezenta şi 

raţiona cu cunoştinţe comune, formulate în mod 

obişnuit şi de aceea şi-a găsit aplicabilitatea în 

numeroase domenii 

Logica fuzzy are o valoare deosebită şi în aplicaţiile 

de control automat unde este dificil sau imposibil de 

dezvoltat un sistem de control tradiţional 

Dificultăţile apar la determinarea funcţiilor de 

apartenenţă şi la reglarea parametrilor 


117

8. Logica vaga - Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?