TEZ˘A DE DOCTORAT - Mihail-Iulian ANDREI

UNIVERSITATEA ”POLITEHNICA” din BUCURES¸TI
FACULTATEA DE INGINERIE ELECTRICĂ
DEPARTAMENTUL DE ELECTROTEHNICĂ
Nr. Decizie Senat 219 din 28.09.2012
TEZĂ DE DOCTORAT
MODELAREA ELECTROMAGNETICĂ A INDUCTOARELOR
INTEGRATE PE SISTEME MULTIPROCESOR
ELECTROMAGNETIC MODELLING OF INTEGRATED
INDUCTORS USING MULTIPROCESSOR SYSTEMS
Autor: Ing. Mihail-Iulian ANDREI
Conducător de doctorat: Prof. dr. ing. Daniel IOAN
COMISIA DE DOCTORAT
Pres¸edinte Prof. dr. ing. Alexandru MOREGA UPB
Conducător de doctorat Prof. dr. ing. Daniel IOAN UPB
Referent Conf. dr. ing. Gabriela CIUPRINA UPB
Referent Prof. dr. Raimond Grimberg NIRDTP
Referent Prof. dr. ing. Dan Zlatanovici ICEMENERG
BUCURES¸TI
2012

Această pagină este lăsată goală în mod intent¸ionat.

Mult¸umiri
Încep prin a mult¸umi domnului prof. dr. ing. Daniel IOAN, conducătorul s¸tiint¸ific
al prezentei lucrări, pentru profesionalismul cu care m-a ghidat către obt¸inerea titlului de
doctor, pentru îndurmarea s¸tiint¸ifică, pentru sprijinul acordat pe întreaga perioadă a doctoratului
s¸i a elaborării tezei de doctorat.
De asemenea, doresc să multumesc doamnei conf. dr. ing. Gabriela CIUPRINA pentru
tot suportul acordat pe întreaga perioadă pe care mi-am petrecut-o în Laboratorul de Metode
Numerice.
Le mult¸umesc colaboratorilor din Polonia, prof. dr. ing. Mariusz KACZMAREK s¸i dr.
ing. Sebastian KULA de la Universitatea ”Kazimierz Wielki” din Bydgoszcz, care au făcut
posibil stagiul de pregătire doctorală.
Doresc să mult¸umesc colegilor s¸i profesorilor ce fac parte din echipa din cadrul Departamentului
de Electrotehnică.
As¸ vrea să mult¸umesc Emei care mi-a fost colegă de birou s¸i alături de care am petrecut
multe momente frumoase, dar s¸i tuturor colegilor cu care am avut deosebita plăcere să
colaborez: Radu, Alex, Bogdan, Dan, Iulia, Cerasela, Carmen, S¸tefan. Nu în ultimul rând
mult¸umesc Dianei MIHALACHE care m-a îndrumat sa aleg aceast drum spre o teză de
doctorat.
Mult¸umesc familiei, în special mamei mele, pentru tot sprijinul acordat pe parcursul
acestor ani.
Rezultatele prezentate în acestă teză au fost obt¸inute cu sprijinul Ministerului Muncii,
Familiei s¸i Protect¸iei Sociale prin Programul Operational Sectorial Dezvoltarea Resurselor
Umane 2007-2013, Contract nr. POSDRU/88/1.5/S/61178, s¸i Comisiei Europene care a
finant¸at proiectele Codestar, Chameleon, Tok4nEDA. Tot legat de rezultatele prezentate în
teză, doresc să mult¸umesc companiilor AustriaMicroSistems (Graz, Austria), IMEC (Leuven
Belgia) s¸i Philips (Eidhoven, Olanda) pentru că au proiectat, realizat practic s¸i măsurat
structurile de test, ce au permis validarea experimentală a programelor dezvoltate în cadrul
LMN.
iii

Această pagină este lăsată goală în mod intent¸ionat.

Cuprins
Cuprins vi
Listă figuri ix
Listă tabele xi
Listă abrevieri xv
1 Introducere 1
1.1 Important¸a s¸i actualitatea temei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Structura lucrării . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate 5
2.1 Modele cu parametri concentrat¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Modele cu parametri distribuit¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Modelarea inductoarelor spiralate integrate 33
3.1 Modelarea fizică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Modelarea matematică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Modelarea numerică (FIT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Reducerea ordinului modelului prin es¸antionarea adaptivă a frecvent¸elor cu
procedura Vector Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1 Procedura Vector Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Algoritmul AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4 Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate 57
4.1 Arhitectura hardware s¸i software a sistemelor multiprocesor . . . . . . . . 57
4.1.1 Sistemul de calcul multiprocesor ATLAS . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Rezolvarea directă s¸i iterativă, în paralel, a sistemelor lineare mari . . . . . 60
4.2.1 Rezolvarea directă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 Rezolvarea iterativă paralelă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.3 Rezolvarea iterativă cu precondit¸ionare . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.4 Rezolvarea, în paralel, a mai multor sisteme liniare . . . . . . . . . 70
v

CUPRINS
4.3 Paralelizarea Es¸ationării Adaptive a Frecvent¸elor cu Vector Fitting(AFS-
VF paralel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală 77
5.1 Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 Modelarea aproximativă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.2 Modelarea numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.3 Performant¸ele procedurii de extract¸ie a modelului . . . . . . . . . . 96
5.2 Inductorul spiralat hexagonal - CHRF217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.1 Modelarea aproximativă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.2 Modelarea numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.3 Performant¸ele procedurii de extract¸ie a modelului . . . . . . . . . . 102
5.3 Inductoare spiralate cuplate - CHRF201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3.1 Modelarea aproximativă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.2 Modelarea numerică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.3 Performant¸ele procedurii de extract¸ie a modelului . . . . . . . . . . 110
5.4 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 Concluzii finale s¸i contribut¸ii originale 113
Listă lucrărilor publicate de autor 115
A Definire schedulere 117
A.1 Definire scheduler JobManager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.2 Definire scheduler Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
B AFS-VF paralel 119
B.1 Cod pm sys2snp vf3 v*.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B.2 Cod compute list frequencies v*.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B.3 Funct¸ie profilare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
C Solver iterativ paralel GPU 133
C.1 Readme file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.2 Installation file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.3 Example file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
C.4 Solver call file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
C.5 CSC to COO convert procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
C.6 Complex solvers file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
C.7 Real solvers file . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
D Save state space function 163
Bibliografie 178
vi

Listă de figuri
1.1 Legea lui Moore - Numărul de tranzistoare dintr-un procesor. . . . . . . . . 3
2.1 Forme inductoare: (a) pătratică, (b) octogonală, (c) hexagonală, (d) circulară 7
2.2 Modelul cu parametri concentrat¸i pentru inductorul spiralat . . . . . . . . . 8
2.3 Modelul cu parametri concentrat¸i pentru inductorul spiralat cu adăugarea
unui grup LskRsk paralel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Modelul cu parametri concentrat¸i pentru inductorul spiralat. . . . . . . . . 10
2.5 Modelul cu parametri concentrat¸i pentru inductorul spiralat 2π. . . . . . . . 10
2.6 Forma elementelor finite. (a) unidimensionale. (b) bidimensionale. (c)
tridimensionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Ret¸ea de discretizare adaptiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Placă conductoare în domeniu 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9 Distribut¸ia potent¸ialului în placă conductoare . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.10 Captură din ANSYS HFSS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.11 Captură din SONNET. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.12 Captură din ADS-Momentum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.13 Captură din ASITIC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.14 Captură din COMSOL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1 Geometria tipică a unui inductor spiralat integrat . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Efectele câmpului electromagnetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Domeniu de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Domeniu de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Sistemul de modelat (MIMO). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Elementul Electromagnetic de Circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Modelul continuu, modelul discret s¸i modelul compact . . . . . . . . . . . 43
3.8 Ret¸eaua de discretizare duală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.9 Circuitele echivalente FIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.10 Structura sistemului de stare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.11 Reducerea efortului de calcul folosind algoritmul AFS-VF . . . . . . . . . 54
3.12 Algoritm AFS-VF - schema logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1 Calculatoare MIMD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Structura clusterului ATLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Problemă de test Ucoupled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
vii

LISTĂ DE FIGURI
4.4 Matricea FIT înainte s¸i după factorizarea LU. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5 Pseudocod algoritm GMRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Pseudocod algoritm BiCGSTAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7 Structura suitei de programe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.8 Problema Ushape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.9 Structura matricelor problemei Ushape pentru diferite griduri de discretizare 66
4.10 Problema cu bobina spiralată . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.11 Performant¸e metode de rezolvare directe vs iterative . . . . . . . . . . . . . 71
4.12 Abordări paralele ale AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1 Dispunerea straturilor în tehnologia folosită pentru problemele CODES-
TAR s¸i CHAMELEON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Problema CDST-SP-MIDLLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Materialele inductorului spiralat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Dimensiunile inductorului spiralat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Modelul cu parametri concentrat¸i pentru inductorul spiralat . . . . . . . . . 81
5.6 Circuitul echivalent pentru inductorul integrat (LTSpice) . . . . . . . . . . 83
5.7 Simularea 1 - Y11 s¸i Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.8 Simularea 1 s¸i 2 - Y11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.9 Simularea 1 s¸i 2 - Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.10 Simularea 1 s¸i 3 - Y11 s¸i Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.11 Simularea 1 s¸i 4 - Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.12 Simularea 1 s¸i 5 - Y11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.13 Simularea 1 s¸i 5 - Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.14 Simularea 1 s¸i 6 - Y11 s¸i Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.15 Simularea 1 s¸i 7 - Y11 s¸i Y21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.16 Inductorul integrat CDST-SP-MIDDLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.17 Ret¸ea de discretizare pe axa Oy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.18 Caracteristicile de frecvent¸ă pentru diferite distribut¸ii ale nodurilor pe Oy . 92
5.19 Ret¸ea de discretizare pe axa xz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.20 Caracteristicile de frecvent¸ă pentru diferite ret¸ele în planul xOz . . . . . . 93
5.21 Caracteristicile de frecvent¸ă pentru diferite ret¸ele în planul xOz . . . . . . 94
5.22 Efectul tehnicii FredHo asupra caracteristicii de frecvent¸ă . . . . . . . . . . 94
5.23 Caracteristicile de frecvent¸ă Y11: măsurate, simulate ale modelului cu parametri
concentrat¸i s¸i distribuit¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.24 Caracteristicile de frecvent¸ă Y12: măsurate, simulate ale modelului cu parametri
concentrat¸i s¸i distribuit¸i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.25 Problema CHRF217 - Inductor spiralat hexagonal . . . . . . . . . . . . . . 97
5.26 Modelarea geometrică 3D a structurii CHRF217 . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.27 Dimensiunile inductorului spiralat hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.28 Simularea modelului aproximativ 1 s¸i 2 - Y11 . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.29 Geometria Manhattan a problemei CHRF217 - Vedere în planul xOz . . . . 101
5.30 Problema CHRF217 - Ret¸eaua de discretizare adaptată . . . . . . . . . . . 101
5.31 Simularea SPICE s¸i Chamy - Y11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.32 Problema CHRF201 - Inductoare spiralate cuplate . . . . . . . . . . . . . . 103
5.33 Pozit¸ionarea conductoarelor paralele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
viii

LISTĂ DE FIGURI
5.34 Problema CHRF201 echivalentă cu inductoare medii . . . . . . . . . . . . 104
5.35 Circuitul echivalent pentru inductoare integrate cuplate (LTSpice) . . . . . 106
5.36 Simularea modelului aproximativ 1 s¸i 2 - Y11 s¸i Y12 . . . . . . . . . . . . . 108
5.37 Problema CHRF201 - Ret¸eaua de discretizare adaptată . . . . . . . . . . . 108
5.38 Rezultate Chamy s¸i SPICE - Y11 s¸i Y12 - pentru CHRF201 . . . . . . . . . . 109
5.39 Rezultate Chamy s¸i Fredho - Y11 - pentru CHRF201 . . . . . . . . . . . . . 109
5.40 Rezultate Chamy s¸i Fredho - Y12 - pentru CHRF201 . . . . . . . . . . . . . 110
ix

Această pagină este lăsată goală în mod intent¸ionat.

Listă de tabele
4.1 Timpii de rezolvare pentru număr diferit de core-uri . . . . . . . . . . . . . 62
4.2 Timpii de rezolvare pentru diferite griduri de discretizare . . . . . . . . . . 62
4.3 Rezultatele testelor pentru diferite griduri de discretizare . . . . . . . . . . 67
4.4 Rezultatele testelor pentru diferite griduri de discretizare . . . . . . . . . . 67
4.5 Rezulte numerice obt¸inute cu metode iterative cu precondit¸ionare . . . . . . 70
4.6 Rezultatele numerice pentru cele două versiuni . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.7 Convergent¸a algoritmului AFS-VF3 pentru problema Ucoupled . . . . . . . 75
4.8 Timpii de execut¸ie ai algortimului AFS-VF pentru problema Ucoupled . . . 76
5.1 Parametri geometrici ai straturilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Materialele problemelor CODESTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Adâncimea de pătrundere la diferite frecvent¸e pentru tronsoanele inductorului 83
5.4 Raportul dintre semilăt¸imea t
2
a conductorului s¸i adâncimea de pătrundere
pentru tronsoanele inductorului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.5 Valorile parametrilor concentrat¸i pentru fiecare simulare . . . . . . . . . . 84
5.6 Valorile admitant¸elor pentru simularea nr.1 la diferite frecvent¸e . . . . . . . 86
5.7 Strategii de alegerea ret¸elei de discretizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.8 Strategii de alegerea ret¸elei de discretizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.9 Valorile admitant¸elor la diferite frecvent¸e s¸i abaterile lor . . . . . . . . . . 96
5.10 Convergent¸a algoritmului AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.11 Materialele problemelor CHAMELEON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.12 Valorile parametrilor concentrat¸i pentru fiecare simulare . . . . . . . . . . 100
5.13 Convergent¸a algoritmului AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.14 Calculul inductivităt¸ii mutuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.15 Valorile parametrilor concentrat¸i pentru fiecare simulare . . . . . . . . . . 107
5.16 Convergent¸a algoritmului AFS-VF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
xi

Această pagină este lăsată goală în mod intent¸ionat.

Listă abrevieri
ADS Advanced Design System
AFS Adaptive Frequency Sampling
BEM Boundary Element Method
BiCGSTAB BiConjugate Gradient Stabilized
BiCMOS Bipolar Complementary Metal Oxide Semiconductor
BLAS Basic Linear Algebra Supprograms
CAD Computer Aided Design
CIF Common Intermediate Format
CMOS Complementary Metal Oxide Semiconductor
CPU Central Processing Unit
DAE Differential Algebraic Equations
DCS Distribted Computing Toolbox
DDM Domain Decomposition Method
DoFs Degrees of Freedom
DSO Distributed Solve Option
ED Electrodynamic
EDA Electronic Design Automation
EMCE Electro-Magnetic Circuit Element
EMCE ElectroMagnetic Circuit Element
ENIAC European Nanoelectronics Initiative Advisory Council
EQS Electro Quasi Static
xiii

LISTĂ DE TABELE
ES Electro Static
ETP European Technology Platform
FDM Finite Difference Method
FDTD Finite-Difference Time-Domain
FEM Finite Element Method
FFT Fast Fourier Transfrom
FIT Finite Integration Technique
FMM Fast Multipole Method
FSB Front-Side Bus
FW Full Wave
GMRES Generalized Minimum Residual
GPU Graphic Processing Unit
HPC High Performance Computing
HPS High Performance Solver
IC Integrated Circuit
ILU Incomplete LU
ITRS International Technology Roadmap for Semiconductors
KCL Kirchhoff’s Current Law
KVL Kirchhoff’s Voltage Law
LAPACK Linear Algebra Package
MCAD Mechanical Computer Aided Design
MG Magneto Static
MGE Maxwell Grid Equations
MIMD Multiple Instruction Multiple Data
MISD Multiple Instruction Single Data
MoM Method of Moments
MP MultiProcessing
xiv

MPI Message Passing Interface
MQS Magneto Quasi Static
MtM More than Moore
MUMPS MUltifrontal Massively Parallel Sparse
NUMA Non-Uniform Memory Access
ODE Ordinary Differential Equation
PCT Parallel Computin Toolbox
PDAE Partial Differential Algebraic Equations
PDE Partial Differential Equations
PEEC Partial Element Equivalent Circuit
RAM Random Access Memory
RFICs Radio Frequency Integrated Circuits
SDM Spectral Decomposition Method
SIMD Single Instruction Multiple Data
SISD Single Instruction Single Data
spmd Single Program Multiple Data
SRA Strategic Research Agenda
UMFPack Unsymmetric MultiFrontal Package
VF Vector Fitting
xv
LISTĂ DE TABELE

LISTĂ DE TABELE
Pagina goala
xvi

Introducere
1.1 Important¸a s¸i actualitatea temei
CAPITOLUL 1
Deoarece costurile pentru fabricarea componentelor de circuit integrat sunt ridicate atât
din punct de vedere financiar, necesitând mas¸ini s¸i instrumente de măsură costisitoare, cât
s¸i din punct de vedere al timpului de fabricat¸ie, procesul de fabricat¸ie durând între 6 s¸i 8
săptămâni, se alege ca solut¸ie alternativă modelarea. Fat¸ă de fabricarea prototipului, pentru
verificarea unui proiect, simularea are un cost mai scăzut fiind necesare doar un sistem de
calcul (hardware) s¸i un program de modelare s¸i simulare a componentelor de circuit integrat
(software). Modelarea s¸i simularea circuitelor integrate a devenit o tehnică obligatorie în
proiectarea elctronică. Ea este baza unei tehnologii de proiectare ”automată” a circuitelor
integrate micro- s¸i nano-electronice numită EDA (Electronic Design Automation).
Tranzit¸ia de la microelectronică la nanoelectronică a deschis drumul spre noi descoperiri.
Evolut¸ia circuitelor integrate stă la baza dezvoltării multor domenii complementare
(industrie, medicină, securitate, telecomunicat¸ii, etc.), deoarece perfomant¸ele circuitelor
integrate se reflectă în toată instrumentat¸ia folosită în aceste domenii.
În anul 2004, Comisia Europeană a publicat un document [1], prin care s-a înfiint¸at
Platforma Tehnologică Europeană (ETP) s¸i prin care s-a creat Agenda de Cercetare Stategică
(SRA), ambele urmând să promoveze s¸i să sust¸ină dezvoltarea nanoelectronicii. Cele
două proiecte s-au desfăs¸urat sub sigla Consiliului Consultativ Init¸iativa Europeană pentru
Nanoelectronică (ENIAC). ENIAC a avut s¸i încă mai are ca obiectiv crearea unei comunităt¸i
formată din parteneri din toate domeniile (industriali, reprezentant¸i ai cercetării,
universităti, organizat¸ii financiare), care să asigure transferul de informat¸ie, diseminarea
de viziuni, accesul la resurse, într-un cuvânt, să asigure dezvoltarea nanoelectronică în
Uniunea Europeană. Comunitatea creată de ENIAC îs¸i desfăs¸oară activitatea doar la nivel
european, însă există o comunitate s¸i la nivel global. Harta Internat¸ională a Tehnologiilor
Semiconductoarelor (ITRS) [2] are acelas¸i rol de a crea o legătură la nivel global, însă între
industrie s¸i comunităt¸ile ce se ocupă de cercetare.
Dezvoltarea tehnicilor de modelare s¸i simulare cu calculatorul în proiectarea electronică
automată a fost identificată ca una din priorităt¸ile, atât ENIAC, cât s¸i ITRS. Fără simulări
costurile ar cres¸te s¸i mai mult, din cauza necesităt¸ii realizării mai multor iterat¸ii, până când
sunt îndeplinite specificat¸iile de proiect. Nivelul nano poate fi abordat doar folosind sisteme
1

1. Introducere
de calcul de înaltă performant¸ă s¸i tehnici speciale de programare. Pentru ca tranzit¸ia de la
nivelul micro la nivelul nano să se poată face mai us¸or, supercalculatoarele s¸i tehnicile
speciale de programare trebuie implementate încă de la nivelul micro.
Marea majoritate a programelor folosite de proiectant¸i pot simula componente de circuit
integrat doar în banda de frecvent¸e 1-10GHz. Aplicat¸iile zilelor noastre solicită frecvent¸e
de până la 60-80GHZ, iar în ultimii ani au apărut aplicat¸ii până la 300GHz [3]. Pachetele
de programe care au la bază rezolvarea câmpului electromagnetic pornind de la ecuat¸iile
lui Maxwell, sunt cele care pot răspunde acestei provocări, deoarece cu ajutorul lor se pot
obt¸ine modele după o singură iterat¸ie, spre deosebire de instrumentele bazate pe analiza
circuitelor electrice care pornind de la ecuat¸iile Kirchhoff, au nevoie de iterat¸ii suplimentare
pentru a obt¸ine aceste modele.
Un aspect important al proiectării eficiente a componentelor de circuit integrat, se referă
la efectele câmpului electromagnetic. Proiectarea acestor componente, t¸inând cont de
efectele câmpului electromagnetic, conduce la modele ce pot cont¸ine milioane de grade de
libertate. Din acest motiv, se impune aplicarea unor tehnici de reducere a ordinului modelelelor
extrase, care transformă modelul init¸ial într-unul echivalent din punct de vederea al
comportării pe la terminale, dar de ordin redus.
Pentru a avea timpi rezonabili de obt¸inere a modelelor, tehnicile de reducere a ordinului
modelelor trebuie completate cu folosirea supercalculatoarelor s¸i a tehnicilor de calcul de
înaltă performant¸ă.
Evolut¸ia circuitelor integrate digitale este guvernată de ”Legea lui Moore” [4], care
spune că numărul de tranzistoare pe unitatea de suprafat¸ă se dublează la fiecare 2 ani. Acest
lucru a permis dezvoltarea industriei electronice la cote foarte mari, circuitele integrate
fiind omniprezente în toate domeniile. Totodată, această cres¸tere exponent¸ială aduce cu
ea s¸i o complexitate ridicată a circuitelor, dar s¸i un pret¸ mai scăzut. Până în anul 2020,
strategia ”More Moore”, strategie ce se încadrează în SRA, va încerca să sustină dezvotarea
circuitelor integrate ment¸inând costurile la acelas¸i nivel scăzut, pentru ca evolut¸ia să îs¸i
continue ritmul de cres¸tere exponent¸ial, ment¸ionat de ”Legea lui Moore”.
Conceptul ”More than Moore” (MtM)[5] se referă la tehnologii hibride, ce dau posibilitatea
circuitelor integrate de a avea funct¸ii non-digitale. Dispozitivele MtM oferă conversia
informat¸iilor non-digitale s¸i non-electronice (mecanice, termice, chimice, acustice,
funct¸ii optice, biomedicale) în date digitale s¸i invers [6]. Tehnologiile s¸i produsele MtM
cresc numărul de funct¸ii esent¸iale ale unui dispozitiv cu circuite integrate. Dacă strategia
”More Moore” continuă miniaturizarea circuitelor integrate, atunci MtM aduce diversificarea
funct¸iilor acestor circuite integrate.
Una din funct¸iile analogice, care se integreaza pe acelasi cip cu blocurile digitale, este
cea de radiofrecvent¸ă (comunicare fără fir - wireless). Spre deosebire de blocurile digitale,
care cont¸in doar port¸i logice s¸i interconexiuni, cele de rafiofrecvent¸ă cont¸in pe lângă
tranzistoare, s¸i multe componente pasive: rezistoare, condensatoare s¸i inductoare. Iată, de
ce modelarea cu acuratet¸e s¸i eficient¸ă a inductoarelor din circuitele integrate la frecvent¸e
tot mai înalte, subiectul prezentei teze, este de interes tot mai sporit.
Revenind la infulent¸a ”Legii lui Moore” asupra sistemelor de calul (Figura 1.1), scăderea
dimensiunii tranzistoarelor duce la imposibilitatea cres¸terii frecvent¸ei procesoarelor (CPU)
supercalculatoarelor, din cauza puterii disipate foarte mari s¸i a imposibilităt¸ii degajării
căldurii. Alternativa o reprezintă procesoarele cu mai multe core-uri (nuclee), care au
2

1.1. Important¸a s¸i actualitatea temei
Figura 1.1: Legea lui Moore - Numărul de tranzistoare dintr-un procesor.
performant¸e mai scăzute decât un procesor cu o frecvent¸ă foarte mare, însă această performant¸ă
poate fi îmbunătăt¸ită dacă se exploatează în mod eficient arhitectura multicore a procesorului.
Exploatarea, în mod eficient, se referă la folosirea paralelismului, în conceperea
algoritmilor. Acest tip de sisteme multiprocesor pe care se pot rula programe paralele sunt
reprezentate, fie printr-un calculator cu unul sau mai multe procesoare (multicore sau nu),
fie prin sisteme tip cluster de calculatoare. O alternativă multicore, diferită de cea CPU,
o reprezintă tehnologia cu procesoare grafice (GPU). Această tehnologie poate să apară în
ambele sisteme multiprocesor ment¸ionate anterior.
Toate sistemele de calcul de înaltă performat¸ă (IBM Sequoia [7], K computer [8] - Top
500 Supercomputer [9]), indiferent de tehnologie, CPU sau GPU, au în comun un concept
care stă la baza viitoarelor programe: paralelismul. Folosirea algoritmilor paraleli are un rol
foarte important în reducerea timpului de extragere a modelelor de ordin redus, devenind
o necesitate în proiectarea electronică automată a viitorului, care va avea ca obiect circuite
integrate de complexitate tot mai mare.
Din punct de vedere al compatibilităt¸ii, programul de modelare trebuie să genereze
modelul într-un format standard, compatibil cu alte programe. Majoritatea proiectant¸ilor
de componente de circuit integrat preferă ca format standard modelul SPICE.
Teza de doctorat, ”Modelarea electromagnetică a inductoarelor integrate pe sisteme
de calcul multiprocesor”, are ca principal obiectiv folosirea acestor instrumente de
calcul paralel, pentru îmbunătăt¸irea tehnologiei de modelare electromagnetică a componentelor
pasive de circuit integrat, urmărind atât scăderea timpului s¸i a efortului de calcul,
cât si obt¸inerea unei precizii acceptabile pentru modelele obt¸inute. Tema tezei este de ac-
3

1. Introducere
tualitate s¸i prezintă o important¸ă ridicată datorită faptului că pe de o parte tot mai multe
circuite integrate cont¸in inductoare sau au efecte inductive relevante, iar, pe de alta parte,
foarte multe probleme de complexitate industrială nu pot fi abordate cu tehnicile clasice
secvent¸iale, din cauza timpului foarte mare de execut¸ie [10].
1.2 Structura lucrării
Teza este alcătuită din s¸ase capitole. Primul capitol reprezintă o intoducere în care sunt
prezentate important¸a s¸i actualitatea temei de cercetare, structura tezei de doctorat.
Capitolul doi prezintă stadiul actual al modelării inductoarelor integrate. Sunt tratate
atât modelelele cu parametri concentrat¸i, cât s¸i modelele cu parmetri distribuit¸i, care presupun
rezolvarea numerică ecuat¸iilor câmpului electromagnetic în regimuri dinamice.
Capitolul trei prezintă descrierea s¸i analiza procesului de modelare al inductoarelor
integrate, ales pentru a fi studiat în vederea paralelizării. Sunt prezentate toate etapele
procesului de modelare: modelarea fizică, modelarea matematică, modelarea numerică s¸i
metoda de reducerea ordinului modelului.
Capitolul patru prezintă avantajele folosirii sistemelor multiprocesor, în modelarea inductoarelor
spiralate. In prima parte a acestui capitol, sunt introduse arhitecturile calculatoarelor
paralele folosite, atât din punct de vedere hardware, cât s¸i software. În a doua
parte, sunt prezentate metodele de rezolvare directă s¸i iterativă a sistemelor liniare rezultate
folosind tehnici de calcul paralel. În finalul acestui capitol, sunt propuse două abordări
paralele ale algoritmului de reducere a ordinului modelului, pentru care sunt prezentate s¸i
rezultatele obt¸inute pe probleme de test.
Capitoul cinci prezintă un studiu de caz pe trei probleme reale, în care se prezintă procesul
de modelare electromagnetică, validarea lui experimentală s¸i perfomant¸ele abordărilor
paralele propuse în capitolul anterior.
Ultimul capitol, face o sinteza a concluziilor întregii lucrări, pune în evident¸ă principalele
contribut¸ii originale ale tezei s¸i se încheie cu lista de lucrări publicate de autor.
Teza cont¸ine în anexe codurile programelor dezvoltate de autor. Acestea împreună
cu sursele acestui document s¸i modelele dezvoltate de autor au fost arhivate pe pagina
personală a autorului din intranetul LMN:
http://ro.wiki.lmn.pub.ro/index.php/Utilizator:Iulian
4

Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate
integrate
CAPITOLUL 2
Stimulată de cererea mare de aplicat¸ii fără fir, dezvoltarea circuitelor integrate de înaltă
frecvent¸ă a devenit un subiect de cercetare foarte important al zilelor noastre. Există o mare
varietate de circuite integrate, clasificate în două categorii: circuite analogice s¸i circuite
digitale. Din punct de vedere tehnologic, circuitele integrate pot fi realizate sub formă
hibridă sau sub formă monolitică.
Circuitele integrate hibride sunt circuite electronice în miniatură alcătuite din dipozitive
individuale (tranzistoare, diode, rezistoare, inductoare, condensatoare) [11].
Circuitele integrate monolitice se obt¸in integral pe aceeas¸i plăcut¸ă de material semiconductor
(cip sau ”chip”) [11]. Cipul este alcătuit dintr-o combinat¸ie de mai multe straturi
(straturi de difuzie, straturi de contact, straturi izolatoare), fiecare strat fiind realizat prin
fotolitografie.
Acest studiu se va concentra pe cea mai importantă componentă pasivă integrată de
înaltă frecvent¸ă: inductorul spiralat.
În general, cea mai întâlnită tehnologie de fabricat¸ie a circuitelor integrate este tehnologia
CMOS [12] [10]. Principalele avantaje ale acestei tehnologii sunt consumul redus
de putere, us¸urint¸a în procesul de proiectare s¸i performant¸ele din ce în ce mai bune
obt¸inute odată cu scalarea dispozitivelor (Legea lui Moore). Consumul redus de putere
s¸i performant¸ele bune se datorează tranzistoarelor din dispozitivul CMOS, care comută
mult mai repede între starea pornit/oprit, deoarece componentele sunt foarte mici s¸i foarte
aproape una de cealaltă. Tehnologia BiCMOS [13] adaugă noi avantaje, cum ar fi imunitatea
la zgomot, liniaritatea, buna conectivitate cu alte dispozitive, capacitate de stocare
mare, o mai bună optimizare a performant¸elor s¸i un grad de integrare mai ridicat. Procesul
de fabricat¸ie este unul complex, ce implică sute de pas¸i care trebuie executat¸i într-o
secvent¸ă bine definită, cu un control foarte riguros al parametrilor tehnologici. Pentru a
obt¸ine un randament bun, adică un pret¸ nu foarte ridicat, însă cu păstrarea performant¸elor,
procesul de fabricat¸ie trebuie să fie foarte bine planificat.
De-a lungul anilor tehnologiile de fabricat¸ie a inductoarelor spiralate au evoluat, însă
din cauza costului ridicat al realizării de prototipuri, s-au dezvoltat diferite tehnici de modelare
a acestor inductoare. Tehnicile de modelare au rolul de a extrage modele ce permit
studierea comportamentului componentei modelate în diferite situat¸ii (conectarea într-un
5

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
circuit), înainte ca aceasta să fie realizată practic. În prezent, se evident¸iză două tehnici de
a inductoarelor:
1. modelul de circuit cu parametri concentrat¸i;
2. modelul de circuit cu parametri distribuit¸i.
Pentru a putea face o comparat¸ie din care să rezulte avantajele s¸i dezavantajele folosirii
lor, în continuare, se vor prezenta tehnici de modelare pentru inductoarele integrate, atât cu
parametri concentrat¸i, cât s¸i cu parametri distribuit¸i.
2.1 Modele cu parametri concentrat¸i
Circuitele care cont¸in un număr finit de elemente ideale simple, caracterizate de parametrii
lor rezistivi, capacitivi sau inductivi, sunt numite circuite cu parametri concentrat¸i.
Elementele pot fi pasive (rezistoare, inductoare, condensatoare) sau active (surse, generatoare).
Acest studiu se va concentra asupra avantajelor s¸i dezavantajelor folosirii modelelor
cu parametri concentrat¸i pentru inductoarelor spiralate.
Modelul pentru un inductor spiralat cont¸ine o serie de paramtetri, ce sunt într-o strânsă
legătură cu proprietăt¸ile geometrice ale spirei. În funct¸ie de cerint¸ele aplicat¸iei forma spiralei
poate fi [14]: rectangulară (Figura 2.1a), octogonală (Figura 2.1b), hexagonală (Figura
2.1c) s¸i circulară (Figura 2.1d).
Din punct de vedere tehnologic, bobinele cu formă rectangulară sunt cel mai simplu de
realizat, însă, dezavantajul vine din faptul că adaugă un cont¸inut mare de zgomot din cauza
unghiurilor drepte. Forma circulară oferă cele mai bune performant¸e, dar, îngreunează
procesul de fabricat¸ie, fapt pentru care nu se foloses¸te decât pentru realizarea inductoarelor
mari. Compromisul între dificultatea procesului de fabricat¸ie s¸i performant¸e îl oferă
bobinele cu formă octogonală s¸i hexagonală.
Teoria circuitelor electrice cu parametrii concentrat¸i se elaborează prin particularizarea
teoriei câmpului electromagnetic, în anumite ipoteze simplificatoare [15]:
1. fenomenul de propagare nu se manifestă, condit¸ie îndeplinită dacă frecvent¸a este
destul de mică, astfel încât lungimea undei electromagnetice λ, să fie mult mai mare
decât lungimea circuitului L:
L ≪ λ = c · T = c
f
; (2.1)
2. energia câmpului electric este localizată numai în dielectricul condensatoarelor, iar
energia câmpului magnetic este localizată numai în miezul bobinelor, ceea ce presupune
că se neglijează atât induct¸ia electrică, implicit curentul de deplasare, peste tot
în circuit cu except¸ia condensatoarelor, cât si induct¸ia magnetică, cu except¸ia bobinelor;
3. se neglijează repartit¸ia neuniformă a curentului variabil în timp pe sect¸iunea conductoarelor.
La viteze mari de variat¸ie în timp a curentului electric electric de conduct¸ie
s¸i la valori mari ale conductivităt¸ii σ, permeabilităt¸ii µ s¸i a celei mai mici dimensiunii
6

2.1. Modele cu parametri concentrat¸i
Figura 2.1: Forme inductoare: (a) pătratică, (b) octogonală, (c) hexagonală, (d) circulară
d a sect¸iunii transversale a unui conductor izolat, densitatea de curent este mai mare
la suprafat¸a conductorului. Acest efect, numit pelicular, este neglijabil dacă e satisfăcută
condit¸ia, ca diametrul conductorului d să fie mult mai mic decât adâncimea
de pătrundere δ:
d
δ
≪ 1; δ =
1
√ πfµσ . (2.2)
Practic, modelarea se rezumă la găsirea unui circuit echivalent, care pentru a avea o
acuratet¸e ridicată trebuie să modeleze principalele efecte parazite, într-o gamă de frecvent¸e
cât mai extinsă.
În anul 1996, Yue propune unul din primele modele cu parametri concetrat¸i pentru
inductorul spiralat [16]. Acesta se dores¸te a fi un model cu acuratet¸e ridicată, care să t¸ină
cont de principalele efecte ale câmpului electromagnetic: curent¸ii turbionari din spirala
conductoare s¸i capacităt¸ile parazite aparute între spire, dar s¸i cele apărute între spirală s¸i
substraturile inductorului. Cât¸iva ani mai târziu, în anul 2000, autorul publică în lucrarea
[17], întreg procesul de dezvoltare al modelului propus în lucrarea precedentă [16] (Figura
2.2).
Parametri concentrat¸i ai modelului din Figura 2.2 sunt definit¸i astfel:
• rezistent¸a serie Rs:
Rs =
ρ · l
w · δ · (1 − e−t/δ , (2.3)
)
unde ρ rezistivitatea metalului, l lungimea totală a spiralei, w lăt¸imea liniei (Figura
7

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
Figura 2.2: Modelul cu parametri concentrat¸i pentru inductorul spiralat
2.1 (a)), adâncimea de pătrundere δ, t grosimea metalului (se constată, deci, că se
încearcă modelrea efectului pelicular, chiar s¸i pe un model cu parametri concentrat¸i);
• inductivitatea serie Ls, calculată folosind algoritmul Greenhouse [18], care a devenit
o metodă de referint¸ă pentru calculul inductant¸ei proprii;
• capacitatea serie Cs:
Cs = (N − 1) · w 2 ·
εOx
tOx M1−M2
, (2.4)
unde N numărul de spire, tOx M1−M2 grosimea stratului de oxid dintre stratul de
metal al spiralei s¸i metalul folosit pentru legături;
• capacitatea stratului de oxid COx:
COx = 1 εOx
· l · w ·
2 tOx
unde tOx grosimea stratului de oxid dintre spirală s¸i substrat;
• capacitatea stratului de Si CSi:
, (2.5)
CSi = 1
2 · l · w · CSub , (2.6)
unde CSub capacitarea substratului pe unitatea de suprafat¸ă;
• rezistent¸a stratului de Si RSi:
RSi =
2
l · w · GSub
unde GSub conductant¸a substratului pe unitatea de suprafat¸ă.
, (2.7)
Parametrii parazit¸i sunt aproximat¸i folosind modele simple de câmp uniform. Aparit¸ia
adâncimii de pătrundere, care depinde de frecvent¸ă, face ca modelul să nu fie riguros cu
parametri concentrat¸i.
8

Factorul de calitate Q este calculat cu formula:
Q =
ω · Ls
·
Rs
Rp +
ω·Ls
Rs
Rp
2 ×
+ 1 · Rs
2.1. Modele cu parametri concentrat¸i
1 − R2 S · Co
− ω
LS
2 · LS · Co
, (2.8)
unde Co = Cp + Cs. În relat¸ia factorului de calitate Q (2.8) primul termen cont¸ine
informat¸ia referitoare la energia magnetică stocată s¸i pierderile rezistive în spirala conductoare.
Al doilea termen este factorul de pierderi în substrat reprezentând energia disipată în
stratul semiconductor de Si. Ultimul termen este factorul de rezonant¸ă.
Desigur, principalul neajuns al acestui model este acela că este valabil numai pentru
frecvent¸e de maxim 1GHz.
O analiză comparativă a metodelor, pentru calculul inductivităt¸ilor bobinelor spiralate
plane, este prezentată în [19]. Rezultatele acestei lucrări sunt implementate într-un calculator
on-line de inductivităt¸i [20]. În anul 2001, raportul [21] prezintă analiza formulelor
de calcul a inductivităt¸ilor proprii s¸i mutuale, dintre tronsoanele conductoare.
În 2002, este adusă o îmbunătăt¸ire a modelului pentru inductorul spiralat de lucrarea
[22], care propune un nou model cu parametri concentrat¸i (Figura 2.3), numit circuitul π.
O schemă mai exactă de modelare a efectul pelicular s¸i a curent¸ilor turbionari, se obt¸ine
prin adăugarea unui grup LskRsk paralel (Figura 2.3). Banda de frecvent¸e cres¸te până la
3GHz.
Grupul LskRsk paralel modelează aproximativ dependent¸a adâncimii de pătrundere în
funct¸ie de frecvent¸ă, iar acest lucru se reflectă în factorul de calitate, care are valori imprecise
la frecvent¸e de ordinul gigahertzilor.
Figura 2.3: Modelul cu parametri concentrat¸i pentru inductorul spiralat cu adăugarea unui
grup LskRsk paralel.
În 2003, lucrarea [23] prezintă un studiu privind cercetările ultimilor ani în domeniul
proiectării s¸i modelării inductoarelor spiralate. Circuitul echivalent propus de autori (Figura
2.4), prezintă, pe lângă elementele cunoscute, s¸i un circuit cuplat mutual, care modelează
curent¸ii indus¸i în substrat.
Acest studiu demonstrează că forma cea mai bună pentru inductoarele spiralate este
cea circulară, iar frecvent¸a maximă, în care factorul de calitate are valori acceptabile, este
9

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
Figura 2.4: Modelul cu parametri concentrat¸i pentru inductorul spiralat.
de 2.4GHz. Acestea nu reprezintă o solut¸ie, deoarece forma circulară implică procese
tehnologice destul de complicate.
Tot în acelas¸i an, lucrarea [24] introduce un nou model pentru inductorul spiralat, denumit
s¸i circuitul 2π (Figura 2.5). Modelul înlătură dependent¸a de frecvent¸ă, calculând
valorile elementelor de circuit cu ajutorul unor fomule derivate din teoria circuitelor s¸i teoria
câmpului, formule ce au la bază forma geometrică a inductorului. Folosirea a două
modele π înlant¸uite, care cont¸in elemente de circuit independente de frecvent¸ă permit analiza
tranzitorie s¸i lărgesc banda de frecvent¸e până la 4GHz.
Figura 2.5: Modelul cu parametri concentrat¸i pentru inductorul spiralat 2π.
Un an mai târziu, mergând pe aceeas¸i idee de a folosi circuitul echivalent 2π cu elemente
de circuit independente de frecvent¸ă, lucrarea [25] prezintă o metodă de modelare
a caracterului distribuit al sistemului, prin extract¸ia valorilor elementelor de circuit din
măsurătorile paramentrilor de împrăs¸tiere S pentru circuitul cu două sect¸iuni. Modelele
extrase cu ajutorul acestei metode sunt valabile în banda de frecvent¸e 0.1-10GHz. Chiar
dacă metoda de modelare este una empirică, ea demonstrează că există modele cu un număr
relativ redus de parametri concentrat¸i, pentru o plajă de frecvent¸e destul de largă.
În 2005, lucrarea [26] propune extragerea elementelor circuitului echivalent folosind
teoria liniei de transmisie. Folosind serii Taylor s¸i aproximări rat¸ionale se demostrează că
10

2.2. Modele cu parametri distribuit¸i
se pot obt¸ine valori foarte acceptabile pentru elementele de circuit, în banda de frecvent¸ă
0.1-25GHz. O analiza a scalabilităt¸ii modelelor cu parametri concentrat¸i este prezentată în
[27].
În 2008, lucrarea [28] continuă ideea de a extrage valorile elementelor circuitului de
circuit din măsurătorile parametrilor ret¸elei (S sau Y). Cu toate acestea banda de frecvent¸e
rămâne destul de îngustă pentru aplicat¸iile actuale. Acest studiu demonstrează, că ipotezele
simplificatoare, ale teoriei circuitelor cu parametri concentrat¸i, sunt prea restrictive pentru
situat¸iile practice: de exemplu, conform ipotezei 3, la frecvent¸e de 60GHz, doar circuitele
cu lungimi mult mai mici de 500µm se pot trata folosind teoria cu parametri concentrat¸i.
Această limitare nu poate fi satisfăcută, deoarece există aplicat¸ii în care inductoarele integrate
au dimensiuni mai mari de 500µm [29], iar lungimea de undă scade odată cu cres¸terea
frecvent¸ei.
În concluzie, se constată, că ipotezele simplificatoare ale teoriei circuitelor cu parametri
concentrat¸i, nu mai pot fi satisfăcute de circuitele integrate actuale, deoarece aplicat¸iile
implică frecvent¸e mari de lucru, astfel încât nu se mai poate neglija nici un efect al vreuneia
din componentele câmpului electromagnetic. Prin urmare, teoria cu parametri concetrat¸i
nu poate răspunde cerint¸elor circuitelor integrate de înaltă frecvent¸ă, astfel încât, în acest
context, o nouă teorie trebuie abordată, teorie care să ia în calcul toate efectele câmpului
electromagnetic sau să fie mai put¸in restrictivă decât teoria cu parametri concentrat¸i.
2.2 Modele cu parametri distribuit¸i
Teoria liniilor de transmisie furnizează un model tipic cu parametri distribuit¸i [30].
Prin parametri distribuit¸i ai unui circuit electric, se înt¸elege, că proprietăt¸ile circuitului
(rezistent¸e, inductivităt¸i, capacităt¸i) sunt distribuite, în mod continuu în spat¸iul circuitul sau
pe o parte a acestuia. În general, teoria liniilor de transmisie este folosită pentru aplicat¸ii
cu frecvent¸e de lucru foarte mari, însă ea poate fi folosită s¸i la frecvent¸e joase, pentru linii
lungi (de exemplu, liniile de transport de energie electrică). Principala condit¸ie a acestei
teorii, este ca lungimea de undă λ (2.1) să fie comparabilă cu lungimea circuitului L sau mai
mică decât aceasta. Astfel, la 60GHz, având o lungime de undă de 500µm, se pot aborda
circuite cu lungimi comparabile cu această valoare [29][31], spre deosebire de teoria cu
parametri concentrat¸i, ce impune o lungime a circuitului mult mai mică decât lungimea de
undă.
Modelul cu parametri distribuit¸i oferă o acuratet¸e mai mare decât modelul cu parametri
concentrat¸i, însă complexitatea modelului este mult mai mare. Acuratet¸ea modelului provine
din faptul că se ia în considerare interact¸iunea reciprocă a efectelor câmpului electromagnetic,
iar complexitatea provine din faptul că modelul este descris de ecuat¸ii cu derivate
part¸iale. Modelul cu parametri distribuit¸i, descris de ecuat¸iile lui Maxwell, completat cu
relat¸iile consitutive de material s¸i cu condit¸iile pe frontieră, este un model continuu, infinit
dimensional. Pentru a obt¸ine un model discret, cu o dimensiune finită, se foloses¸te o
metodă numerică pentru a discretiza ecuat¸iile lui Maxwell, dintre care cele mai importante
sunt: FEM (metoda elementului finit), FDM (metoda diferent¸elor finite) s¸i BEM (metoda
elmentelor de frontieră), numită s¸i MoM (metoda momentelor).
Metoda elementului finit (FEM) reprezintă unul din cele mai populare instrumente
pentru rezolvarea ecuat¸iilor diferent¸iale în diferite domenii, printre care s¸i electromagnetis-
11

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
mul. În continuare, se va prezenta principiul general al metodei, după care va fi prezentat
un exemplu de problemă, având ca scop prezentarea modului de discretizare a ecuat¸iilor lui
Maxwell, care sunt un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale cu derivate part¸iale.
Principalul avantaj al acestei metode este că poate trata probleme cu o complexitate ridicată
a geometriei. Acest lucru se datorează folosirii ret¸elelor de discretizare nestructurate
(unstructured meshes), care pot fi alcătuite, în funct¸ie de tipul problemei 1D, 2D, 3D, din
diferite elemente geometrice simple, respectiv segmente, triunghiuri sau patrulatere, tetraerdre,
prisme, piramide sau hexaedre (triunghiulare sau patrulatere) (Figura 2.6). Folosirea
ret¸elelor de discretizare nestructurate permite modelarea obiectelor ce prezintă curbe, în
timp ce alte metode, cum ar fi metoda diferent¸elor finite (FDM), nu pot aborda astfel de
obiecte, decât introducând mari aproximări, din cauza restrict¸iei ret¸elei de discretizare, care
trebuie sa fie cartezian.
Figura 2.6: Forma elementelor finite. (a) unidimensionale. (b) bidimensionale. (c) tridimensionale.
În plus, folosirea formei triunghiulare pentru elementul finit, permite rafinarea ret¸elei de
discretizare pe anumite port¸iuni, rezultând o ret¸ea adaptivă (Figura 2.7) [32]. Prin utilizarea
ret¸elei adaptive se îmbunătăt¸es¸te acuratet¸ea solut¸iei, dar cres¸te s¸i dimensiunea modelului,
lucru ce impune folosirea unor sisteme de calcul de înaltă performant¸ă. Algoritmii de generare
a ret¸elelor de disctretizare adaptive se bazează pe estimarea erorii, folosind indicatori
de eroare [33][34], astfel încât, iterează următoarea secvent¸ă de pas¸i:
1. calculeză solut¸ia numerică pentru ret¸eaua actuală;
2. calculează indicatorii de eroare pentru fiecare element;
3. rafinează ret¸eua, prin divizarea elementelor care au cel mai mare indicator de eroare.
Metoda elementului finit are mai multe avantaje, totus¸i, dezavantajul metodei este pus
în evident¸ă la rezolvarea problemelor tranzitorii în domeniul timpului. După discretizarea
spat¸ială cu FEM se obt¸ine un sistem de ecuat¸ii diferent¸iale ordinare, care trebuie integrate
numeric. Din păcate, acest sistem are o formă, care impune folosirea metodelor implicite de
integrare, deci, la fiecare pas de timp trebuie rezolvat un sistem liniar de mari dimensiuni,
lucru ce este inadmisibil de costisitor, din punct de vedere al resurselor computat¸ionale.
În schimb, discretizarea directă a ecuat¸iilor lui Maxwell prin diferent¸e finite sau tehnica
12

Figura 2.7: Ret¸ea de discretizare adaptiv
2.2. Modele cu parametri distribuit¸i
integralelor finite (FIT), conduce la metoda FDTD, care are caracter explicit, astfel, efortul
de calcul la fiecare iterat¸ie fiind mult mai mic. Deci, pentru un acelas¸i model, metoda elementului
finit va avea nevoie de mai multe resurse, atât din punct de vedere al procesorului,
cât s¸i din punct de vedere al memoriei.
Algoritmul de rezolvare al ecuat¸iilor cu derivate part¸iale cu metoda elementului finit,
presupune execut¸ia unei serii de pas¸i. Se consideră ecuat¸ia în domeniul Ω de forma
Lφ = f , (2.9)
unde L este un operator diferent¸ial (de regulă liniar de ordinul doi, de tip eliptic, cum este
de exemplu operatorului Lapalce), f este sursa câmpului s¸i φ câmpul necunoscut, de regulă,
un potent¸ial.
În electromagnetism, acestă formă apare în rezolvarea problemelor din regimurile statice,
stat¸ionare sau MQS, EQS, ED, cu variat¸ie armonică în timp, după reprezentarea în
complex. În aceste situat¸ii, problema este descrisă de ecuat¸ii de tip scalar sau vectorial,
eliptic (Poisson, Lapalce, Helmhotz), parabolic (cum este ecuat¸ia difuziei câmpului în regim
MQS) sau hiperbolic (cum este ecuat¸ia de propagare a undelor electromagnetice). Necunoscutele
pot fi potent¸ialele scalar s¸i/sau vectorial sau componenetele câmpului electric
s¸i/sau magnetic.
Metoda elementelor finite înlocuies¸te domeniul continuu cu un număr finit de subdomenii
de formă geometrică foarte simplă, în interiorul cărora solut¸ia are variat¸ie spat¸ială
polinomială.
Primul pas al analizei cu elemente finite constă în discretizarea domeniului, care presupune
descompunerea domeniului Ω în elemente, care se vor nota cu e. Gradul de discretizare
reprezintă un factor foarte important al metodei, deoarece o discretizare densă poate
conduce la un timp de rezolvare foarte mare sau chiar imposibilitatea rezolvării, din motive
de insuficinent¸ă a memoriei. În schimb, discretizarea insuficient de fină duce la o solut¸ie
13

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
numerică lipsită de acuratet¸e. Fiecare element este caracterizat de parametri geometrici,
ce indică pozit¸ia nodurilor, dar s¸i parametri topologici, care indică nodurile ce definesc o
latură. Solut¸ia numerică a problemei este descrisă de gradele de libertate, care indică, de
regulă, valoarea solut¸iei în noduri sau circulat¸ia ei de-a lungul muchiilor.
Pornind de la valorile gradelor de libertate se interpoleaza solut¸ia în intregul domeniu de
calcul, folosind un set de funct¸ii de bază, cu carcater polinomial. Acest set este definitoriu
pentru metoda de elemente finite folosită. Cu cât gradul polinoamelor este mai mare, cu
atât ordinul metodei aplicate este mai mare [35]. Acest al doilea pas constă în alegerea
funct¸iilor de interpolare, numite s¸i funct¸ii de formă [36]. Expresia solut¸iei numerice din
elementul e are forma:
φ e n
= N e j φ e j = [N e ] T [φ e ] , (2.10)
j=1
unde n este numărul de noduri ale elementului, φ e j reprezintă gradele de libertate, adică
valoarea solut¸iei φ e în nodul j al elementului, iar N e j (x) funct¸ia de interpolare a nodului j,
numită s¸i funct¸ia de bază.
Pasul al treilea îl reprezintă generarea sistemului de ecuat¸ii algebrice liniare [37], pentru
care se foloses¸te forma slabă a ecuat¸iei obt¸inută fie prin metoda reziduurilor ponderate
(metodă de proiect¸ie), fie prin metoda variat¸ională (minimizarea funct¸ionalei de energie).
Metoda Rayleigh-Ritz se aplică atunci când există o funct¸ională de energie, al cărui minim
corespunde solut¸iei, cum se întâmplă în problemele stat¸ionare de câmp electromagnetic.
Metoda Galerkin face parte din familia metodelor de proiect¸ie s¸i este cea mai des folosită
abordare în analiza cu elemente finite. În cazul problemelor stat¸ionare, descrise de ecuat¸ii
de tip eliptic, cele două metode sunt perfect echivalente, generând acelas¸i sistem de ecuat¸ii
liniare.
Se consideră ˜ φ aproximarea solut¸iei φ, pentru care reziduul are forma
r = L ˜ φ − f . (2.11)
Metoda reziduului ponderat impune condit¸ia
Ri = wir dΩ = 0 i = 1, n, (2.12)
Ω
unde Ri reziduul ponderat al integralei s¸i wi reprezintă funct¸iile pondere ”de test”, care în
cazul metodei Galerkin se aleg identice cu funct¸iile de bază. Înlocuind r s¸i wi în formula
(2.13), se obt¸ine reziduul ponderat al elementului e
R e
i = N e i (L ˜ φ e − f) dΩ i = 1, n. (2.13)
Ω e
În relat¸ia reziduului ponderat (2.13) se înlocuies¸te expresia elmentului e (2.10)
R e
i = N e i L[N e ] T dΩ [φ e
] − fN e i dΩ i = 1, n. (2.14)
Ω e
Această relat¸ie este de forma a(u, w) = f(w) pentru orice w apartine unui spat¸iu liniar H
(de tip Hilbert). Această ultimă relat¸ie se numes¸te forma slabă a ecuat¸iei s¸i este descrisă de
14
Ω e

2.2. Modele cu parametri distribuit¸i
funct¸ionala biliniara a(u, w), simetrică s¸i pozitivă, s¸i de funct¸ionala liniara f(w). Dacă se
considera spat¸iul liniar H, ca unul finit dimensional, de exemplu, cel generat de funct¸iile
de bază, atunci forma slabă poate fi scrisă matriceal:
[R e ] = [K e ][φ e ] − [b e ] (2.15)
unde [Re ] vector n × 1, [Ke ] matrice n × n, unde Ke i,j sunt definit¸i de relat¸ia (2.16), s¸i [be ]
vector n × 1, cu elemente be i definite de relat¸ia (2.17):
K e
i,j = N e i LN e j dΩ , (2.16)
Ω e
b e
i =
Ωe fN e i dΩ , (2.17)
Matricea [K e ] poartă numele de matrice de rigiditate, datorită faptului că această metodă a
fost aplicată prima dată în mecanică.
Folosind valorile elementului e, se poate extinde relat¸ia (2.15) ca o sumă a tuturor
elementelor
R =
M
[R e ] =
e=1
M
[K e ][φ e ] − [b e ] . (2.18)
e=1
Egalând cu zero fiecare proiect¸ie a reziduului din relat¸ia (2.18) se obt¸ine sistemul de ecuat¸ii
M
[K e ][φ e ] − [b e ] = [0] , (2.19)
e=1
care poate fi scris sub formă compactă ca
[K][φ] = [b] . (2.20)
Aces¸ti pas¸i, de generare a sistemului de ecuat¸ii (2.20), reprezintă etapa de preprocesare
a analizei cu elemente finite. Următoarea etapă constă în rezolvarea sistemului de
ecuat¸ii (2.20) folosind fie metode directe, fie metode iterative de rezolvare. Ultima etapă o
reprezintă interpretarea rezultatelor, s¸i anume calcularea s¸i vizualizarea diferitelor mărimi
derivate asociate problemei, această etapă fiind postprocesarea.
Prezentarea metodei elementului finit, făcută anterior, are un caracter principial s¸i relativ
superficial, deoarece nu tratează în detaliu problema condit¸iilor de frontieră. Pentru a
lămuri acest aspect vor fi prezentate câteva exemple preluate din [32], care detaliază aplicarea
metodei elementului finit. Un exemplu de analiză cu elemente finite în domeniu 2D
este calculul rezistent¸ei unei plăci conductoare (Figura 2.8).
În regim electrocinetic, potent¸ialul scalar satisface o ecuat¸ie Laplace generalizată, relatia
(2.9) căpătând, în domeniul bidimenional S al plăcii, forma unei ecuat¸ii cu derivate
part¸iale de ordinul doi, de tipul:
− ∂
∂x (αx
∂φ ∂
)
∂x ∂y (αy
∂φ
) + βφ = f (x, y) ∈ S (2.21)
∂y
15

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
care poate fi rescrisă ca
Figura 2.8: Placă conductoare în domeniu 2D.
− ∇ · (α∇φ) + βφ = f pe S (2.22)
s¸i completată cu condit¸ii pe frontieră Dirichlet (2.23) s¸i Neumann (2.24):
φ = p pe L1 , (2.23)
ˆn · (α∇φ) + γφ = q pe L2 . (2.24)
Reziduul ponderat, ”funct¸ia de test” wi (2.13), scris pentru domeniul S, devine
wi[−∇ · (α∇φ) + βφ − f]dS = 0 , (2.25)
care se rescrie ca
S
S
wi[−∇ · (α∇φ) + βφ]dS =
S
wifdS . (2.26)
Întegrând prin părt¸i folosind identitatea lui Green, relat¸ia anterioară devine
∇ · [wi(α∇φ)] = α∇wi · ∇φ + wi∇ · (α∇φ) . (2.27)
Folosind teorema lui Gauss pentru domeniu 2D
∇ · FdS =
S
L1+L2
ˆn · Fdl (2.28)
cu F = wiα∇φ, se obt¸ine forma slabă a ecuat¸iilor (2.22), (2.23) s¸i (2.24)
(α∇wi · ∇φ + βwiφ)dS = wi(q − γφ)dl + wifdS . (2.29)
S
S
L2
16

2.2. Modele cu parametri distribuit¸i
Această etapă mai poate fi numită, s¸i trecerea de la forma tare (2.22), (2.23) s¸i (2.24),
la forma slabă (2.29), ecuat¸ie integral-diferent¸ială ce cont¸ine s¸i condit¸iile pe frontieră. În
metoda Galerkin se aleg funct¸iile de interpolare identice cu funct¸iile de bază. Deci, folosind
relat¸ia (2.10) ce descrie elementul, s¸i înlocuind wi în forma slabă se obt¸ine:
(α∇N e i · ∇N e j + βN e i N e
j )dS − N e i (q − γN e
j )dl = N e i fdS . (2.30)
S
În relat¸ia 2.31, se separă cunoscutele de necunoscute
(α∇N
S
e i · ∇N e j + βN e i N e
j )dS + N
L2
e i γN e
j dl =
N e
i qdl + N e i fdS ,
L2
L2
S
S
(2.31)
unde în membrul stâng se vede funct¸ionala biliniară, iar, în membrul drept funct¸ionala
liniară. Relat¸ia (2.31), matriceal devine
unde
S
[K e ][φ e ] = [b e ] (2.32)
K e
i,j = (α∇N e i · ∇N e j + βN e i N e
j )dS +
b e
i =
L2
N e
i qdl +
L2
N e i γN e j dl , (2.33)
N
S
e i fdS . (2.34)
Scriind relat¸ia (2.19), pentru toate elementele, se obt¸ine sistemul liniar Kφ = b. Indicele j
parcurge toate nodurile, însă indicele i parcurge doar nodurile în care φ e i nu este cunnoscut
(nodurile de pe curba L2, cele de pe curba L1 fiind cunoscute din condit¸ia Dirichlet). Deci,
o parte din vectorul φ se cunoas¸te, astfel că sistemul liniar se poate rescrie
[KD | Ke][φD φe] T = KDφD + Keφe = b . (2.35)
KD s¸i φD sunt cunoscute, datorită condit¸iiei Dirichlet, s¸i, în consecint¸ă, sistemul de rezolvat
se rescrie
Keφe = b − KDφD . (2.36)
Dimensiunea sistemului liniar ce trebuie rezolvat (numărul de necunoscute - grade de
libertate) este egal cu numărul nodurilor interioare plus numărul nodurilor de pe frontieră
Neumann. Nodurile de pe frontiera Dirichlet având potent¸ial fix, nu generează grade de
libertate. În solut¸ia numerică aceste condit¸ii vor fi îndeplinite exact, în timp ce condit¸iile
Neumann sunt îndeplinite aproximativ, pe cât de bine posibil.
Condit¸iile de frontieră de tip Neumann intervin în ecuat¸ia rezolvată, motiv pentru care
ele se numesc ”naturale”, în schimb condit¸iile Dirichlet trebuie satisfăcute de funct¸iile de
forma, motiv pentru care ele se numesc ”esent¸iale”. Această separare este esent¸ială pentru
17

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
Figura 2.9: Distribut¸ia potent¸ialului în placă conductoare
metoda elmentului finit. În lucrarea [35], sunt date expresii ale funct¸iilor de bază pentru
diferite grade ale polinoamelor de interpolare. Folosind coordonatele baricentrice, în
cazul triunghiurilor s¸i tetraedrelor, contribut¸iile elementelor la matricea sistemului capătă
expresii analitice compacte.
Revenind la problema init¸ială, rezistent¸a plăcii conductoare, se poate calcula în etapa
de postprocesare prin aproximarea potent¸ialului electrocinetic (Figura 2.9), ca solut¸ie a
ecuat¸iilor (2.22)-(2.24), în care α este conductivitatea σ, β = 0, γ =0 si q = 0, în două
moduri:
• integrând componenta normală a densităt¸ii de curent pe o sect¸iune a plăcii, pentru a
obt¸ine curentul:
I = J · ndS . (2.37)
S
Resistent¸a se obt¸ine din legea lui Ohm R = U/I, unde U e definit ca diferent¸ă
de potent¸ial între potent¸ialele plăcii conductoare (Figura 2.8, linie continuă s¸i linie
întreruptă).
• calculând puterea totală disipată în placă
P = J · EdV, (2.38)
apoi rezistent¸a se calculează ca R = U 2 /P .
V
Folosirea potent¸ialului scalar, reprezintă modul tipic de rezolvare a problemelor statice,
însă pentru probleme de câmp, din regimurile magnetic stat¸ionar, MQS s¸i general variabil,
este necesară folosirea potent¸ialului vector s¸i a ecuat¸iilor vectoriale pentru câmpuri.
Modelele cu elemente nodale dau, în aceste cazuri, rezultate eronate. Cea mai bună metodă
de aproximare a câmpului electromagnetic, în acest caz, foloses¸te elemente de muchie
[38]. Funct¸iile de bază pentru elementele de muchie sunt construite astfel încât componenta
tangent¸ială este continuă pe frontiera elementelor, în timp ce componenta normală poate
avea s¸i discontinuităt¸i. Din acest punct de vedere, principala diferent¸ă între problemele
18

2.2. Modele cu parametri distribuit¸i
scalare s¸i cele vectoriale, constă în alegerea funct¸iei de bază (wi). Expresii ale funct¸iilor de
bază vectoriale cu elemente de muchie, de diferite ordine, sunt prezentate lucrarea în [35].
Un exemplu de utilizare a elementelor de muchie este rezolvarea ecuat¸iei vectoriale
Helmholtz de tip rot − rot pentru E, în regim general variabil, cu variat¸ie armonică în
funct¸ie de timp:
∇ × (µ −1 ∇ × E) − (ω 2 ε − jωσ)E = −jωJ S pe S, (2.39)
ˆn × E = P pe L1, (2.40)
ˆn × (µ −1 ∇ × E) + γˆn × ˆn × E = Q pe L2, (2.41)
unde relat¸ia (2.40) reprezintă o condit¸ie Dirichlet s¸i relat¸ia (2.41) o condit¸ie Robin, iar J S
este sursă de curent.
La fel ca în cazul problemei statice (2.22)-(2.24), folosind identitatea lui Green, se
rescrie ecuat¸ia (2.39) cu ajutorul reziduului ponderat (”funt¸ia de test”) wi:
∇ · [wi × (µ −1 ∇ × E)] = µ −1 (∇ × wi) · (∇ × E)
−wi · ∇ × (µ −1 ∇ × E)
(2.42)
Termenul divergent¸ă din relat¸ia (2.42) este integrat folosind teorema lui Gauss pentru domenii
2D (2.28), rezultând forma slabă:
S
[µ −1 (∇ × wi) · (∇ × E) − (ω 2
ε − jωσ)wi · E]dS
+ wi · (Q − γˆn × ˆn × E)dl = −jω wi · J S dS .
L2
S
(2.43)
Principala diferent¸ă, fat¸ă de problema statică constă în alegerea funct¸iilor de bază, care în
cazul anterior erau funct¸ii nodale, iar în acest caz, funct¸ia wi = N e i (x) este de element
de muchie. Elementele de muchie vor reprezentă gradele de libertate. Solut¸ia E e (x) se
dezvoltă pentru toate elementele de pe muchie (analog relat¸iei 2.10):
E e =
n
j=1
N e j E e j , (2.44)
Se aplică metoda Galerkin, alegând funct¸iile de test wi(x) = N e i (x), apoi se înlocuies¸te
în (2.43), s¸i, separând cunoscutele de necunoscute, se obt¸ine:
+
L2
care matriceal poate fi scris
[µ
S
−1 (∇ × N e i ) · (∇ × N e j ) − (ω 2 ε − jωσ)N e i · N e j ]dS
γ(ˆn × N e i ) · ˆn × N e
j )dl = −jω N e i · J S
dS − N e i · Qdl ,
S
L2
(2.45)
[K e ][φ e ] = [b e ] . (2.46)
19

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
Rezolvarea problemei se reduce la rezolvarea acestui sistem complex de ecuat¸ii algebrice
liniare. Elementele matricei [Ke ] pot fi scrise sub forma
K e
ij = [µ
S
−1 (∇ × N e i ) · (∇ × N e j ) − (ω 2 ε − jωσ)N e i · N e j ]dS
+ γ(ˆn × N e i ) · ˆn × N e (2.47)
j )dl ,
termenii liberi
iar necunoscutele
L2
b e
i = −jω N
S
e i · J S
dS − N
L2
e i · Qdl , (2.48)
φ e j = E e j . (2.49)
Indexul j merge până la numărul total de muchii din ret¸eaua de discretizare n, iar indexul
i, reprezintă elementele în care E este cunoscut, din condit¸ia Dirichlet (2.40) pe L1.
Un alt exemplu este o problemă variabilă în timp pentru ecuat¸ia undei electromagnetice
[32] într-o zonă fără pierderi, cu condit¸ii de frontieră nule, având ca sursă, condit¸ia init¸ială:
∇ ×
1
µ ∇ × E
+ ε ∂2E = 0
∂t2 pe S, (2.50)
ˆn × E = 0 pe L1, (2.51)
E(r, t = 0) = E0(r) pe S, (2.52)
∂E(r, t)
|t=0 = 0
∂t
pe S. (2.53)
Pe lângă condit¸ia pe frontieră (2.51), apar s¸i condit¸iile init¸iale (2.52) s¸i (2.53), deoarece
avem o ecuat¸ie de ordinul doi variabilă în timp (2.50). Câmpul electric se dezvoltă în
elementele de muchie. Discretizarea trebuie făcută s¸i în timp, spre deosebire de cazul
anterior, în care ea s-a facut doar în spat¸iu. Sistemul rezultat este un sistem cu ecuat¸ii
diferent¸iale ordinare (ODE):
Sφ(t) + c −2
0 M ∂2 φ(t)
∂t
= 0, (2.54)
unde S este matricea de rigiditate, iar M matricea de masă. Pentru a rezova acest sistem
pot fi folosite diferent¸e finite centrate:
M(φ n+1 − 2φ n + φ n−1 ) = −(c0∆t) 2 Sφ n
(2.55)
s¸i trebuie specificate condit¸iile init¸iale φ 1 s¸i φ 2 , însă principalul dezavantaj al acestei metode
este acela că la fiecare pas de timp trebuie calculată inversa matricei M (2.56), operat¸ie ce
poate fi costisitoare atât din punct de vedere al timpului, cât s¸i din punct de vedere al
resurselor sistemului de calcul:
φ n+1 = 2φ n − φ n−1 − (c0∆t) 2 M −1 Sφ n . (2.56)
20

2.2. Modele cu parametri distribuit¸i
În concluzie, indiferent de tipul aplicat¸iei, analiza cu elemente finite conduce la rezolvarea
unui sistem liniar care, de regulă, are matricea rară, simetrică s¸i pozitiv definită, bine
condit¸ionată, ceea ce garantează o rezolvare ce implică un consum mai redus de resurse de
calcul.
O altă metodă de discretizare a ecuat¸iilor lui Maxwell, este metoda momentelor (MoM)
[39], cunoscută s¸i ca metoda elementului de frontieră (BEM). Din punct de vedere al memoriei
s¸i efortului de calcul, metoda momentelor este mai eficientă decât metoda elementului
finit, deoarece implică calculul valorilor, doar pentru elementele aflate pe frontiera
domeniului de calcul s¸i pe interfet¸ele dintre subdomeniile omogene.
Făcând o analogie cu metoda elementului finit, rezolvarea unei probleme de electromagnetism
cu metoda momentelor, implică aproape aceeas¸i secvent¸ă de pas¸i. Se consideră
ecuat¸ia în domeniul Ω:
Lφ = f , (2.57)
unde L este un operator, de această dată, integral, f este sursa câmpului s¸i φ câmpul necunoscut.
Aceasta este deosebirea fundamentală între cele două metode. Dacă în FEM
se pornes¸te de la ecuat¸iile diferent¸iale, care se reformulează în forma slabă, în BEM se
folosesc ecuat¸iile integrale ale câmpului electromagnetic. Aceste ecuat¸ii se scriu folosind
funct¸ia Green a domeniului de calcul, pentru un operator specific problemei. Această etapă
presupune, deci, inversarea operatorului difernt¸ial. Solut¸ia φ problemei (2.57) se dezvoltă
ca în metoda elementului finit:
φ =
n
cjvj , (2.58)
j=1
unde cj coeficient¸i necunoscut¸i, iar vj funct¸ii de bază. Înlocuind (2.58) în (2.57), se obt¸ine:
n
cjLvj = f . (2.59)
j=1
Pentru a determina necunoscutele cj, se alege, ca solut¸ie a unui sistem matriceal, un set de
funct¸ii de test (pondere) wi. Considerând produsul scalar al relat¸iei (2.59) cu wi, rezultă
n
cj〈wi, Lvj〉 = f i = 1, m . (2.60)
j=1
Cele mai folosite funct¸ii de test, pentru metoda momentelor, sunt:
• funct¸ia Dirac
wi(x) = δ(x − xi) , (2.61)
cu xi reprezentând un set de puncte în domeniul solut¸iei. Relat¸ia (2.61) reprezintă
satisfacerea ecuat¸iei integrale pe un anumit set de puncte. Formularea este cunoscută
sub numele de ”potrivirea punctului”.
21

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
• funct¸ia
wi(x) =
1 x în Ωi
0 în afară
(2.62)
unde Ωi subdomeniul i. Relat¸ia (2.62) reprezintă satisfacerea ecuat¸iei integrale pe
fiecare subdomeniu. Formularea este cunoscută sub numele de ”colocarea subdomeniului”.
• funct¸ia de test aceeas¸i cu funct¸ia de bază
cunsocută sub numele de formularea Galerkin.
• funct¸ie de test Lvi
cunoscută ca formularea celor mai mici pătrate.
wi(x) = vi(x) , (2.63)
wi(x) = Lvi(x) , (2.64)
Folosind funct¸iile de test se trece la forma matriceală a relat¸iei (2.60):
unde S matricea sistemului cu elemente
b coloana termenilor liberi cu elemente
[S][c] = [b] , (2.65)
Sij = 〈wi, Lvj〉 , (2.66)
bi = 〈wi, f〉 , (2.67)
iar c vectorul necunoscutelor.
Pentru a arăta modul de implementare al metodei MoM, se va prezenta un exemplu de
calcul al potent¸ialului electric, preluat din [32].
În electrostatică, potent¸ialul electrostatic φ este determinat în vid de densitatea de sarcina
ρ, care este sursă de câmp electric, conform ecuat¸iei lui Poisson:
∇ 2 φ = − ρ
ε0
(2.68)
această fiind forma difierent¸ială de ordinul doi, a ecut¸iei fundamentale a electrostaticii.
q
Solut¸ia ecuat¸iei Poisson este superpozit¸ia contribut¸iilor φ = 4πε0|x−x ′ , sarcinilor elemen-
|
tare q = ρvdV în x ′ :
φ(x) =
V
ρ(x ′ )dV ′
4πε0|x − x ′ . (2.69)
|
expresie numită integrala coulombiană a potent¸ialului. Potent¸ialul produs de o sarcină
punctiformă este chiar funct¸ia Green.
22

2.2. Modele cu parametri distribuit¸i
Dacă potent¸ialul φ este cunoscut, relat¸ia (2.69) poate fi privită ca o ecuat¸ie integrală
de variabilă ρ. Această formulare integrală este potrivită pentru probleme de calcul de
capacităt¸i, unde potent¸ialul este cunoscut pe frontierele conductoare, iar sarcina există doar
pe aceste frontiere s¸i distribut¸ia sa este necunoscută. Potent¸ialul, notat cu φS, va avea,
valori egale cu 0 pe o armatura conductoare s¸i valori egale cu 1 pe cealaltă. Ca alternativă
la rezolvarea ecuat¸iei Laplace, pentru potent¸ialul în vid, se poate calcula densitatea de
sarcină ρS pe S, rezolvând ecuat¸ia integrală
S
ρs(x ′ )
4πε0|x − x ′ | dS′ = φS(x) . (2.70)
Pentru un condesator 2D, integrala pe suprafat¸ă se reduce la o integrală pe linie s¸i se
foloses¸te, ca pondere, potent¸ialul logaritmic, care are expresia potentialului coulombian,
din problemele plan-paralele, produs de o sarcină distribuită lineic:
− 1
2πε0
ρl(x
S
′ )ln|x − x ′ |dl ′ = φS(x) . (2.71)
În electrostatică, funct¸ia Green G(x, x ′ ) reprezintă potent¸ialul electric în punctul x produs
de o sarcină din punctul x ′ . Într-un domeniu 3D, ea este
G(x, x ′ ) = 1
|x − x
4πε0
′ | . (2.72)
Aplicând principiul superpozit¸iei, se obt¸ine solut¸ia, în formă integrală, a ecuat¸iei (2.57),
pentru domeniu 3D
φ(x) = G(x, x ′ )ρs(x ′ )dV ′ . (2.73)
În general, problema diferent¸ială (2.57) se poate rescrie în formă integrală ca
φ(x) =
G(x, x ′ )f(x ′ )dV ′ . (2.74)
După aplicarea algoritmului metodei momentelor, sistemul Sc = b, ce caracterizează
această problemă, va avea elemente de forma
Sij = wi(x)φk(x)dS = wi(x)G(x, x ′ )f(x ′ )dS dS ′ ,
(2.75)
bi = wi(x) ¯ (φ)(x)dS , (2.76)
unde ¯ φ(x) este cunoscut, el fiind potent¸ialul pe suprafet¸ele conductoare.
În concluzie, algoritmul MoM discretizează nu forma slabă a ecuat¸iilor diferent¸iale,
cum se întâmplă în cazul FEM, ci ecuat¸iile integrale ale câmpului. Aceasta este s¸i principala
sa dificultate, deoarece, pentru obt¸inerea ecuat¸iilor integrale, este necesară cunoas¸terea
funct¸iei Green a operatorului problemei rezolvate. Un alt dezavantaj, este acela că matricea
sistemului liniar, rezultat în urmă aplicării MoM, este densă (plină), ceea ce implică
un necesar mai mare de memorie, spre deosebire de FEM, la care matricea este rară, dar
23

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
de dimensiuni mai mari. De asemenea, s¸i rezolvarea sistemului dens necesită o cantitate
de memorie mai mare decât rezolvarea unui sistem cu matrice rare. Mai mult, matricea
sistemului nu este nici măcar garantat simetrică, în toate cazurile. Pentru a reduce atât consumul
de resurse, cât s¸i timpul de rezolvare s-au dezovltat metode rapide de rezolvare: FFT
sau FMM, ambele folosite ca metode iterative de rezolvare.
Metoda diferent¸elor finite, cu varianta ei diferent¸e finite în domeniul timpului (FDTD),
este o metodă numerică de rezolvare a ecuat¸iilor câmpului bazată pe discretizarea ecuat¸iilor
cu derivate part¸iale prin diferent¸e finite. Restrict¸ia fundamentală a acestei metode constă în
faptul că solut¸ia este calculată într-o ret¸ea de discretizare structurată, obt¸inută prin produsul
cartezian al unor ret¸ele unidimensionale după directiile x, y s¸i z. O restrict¸ie asemănătoare
este impusă s¸i de metoda Integrătilor Finite (FIT), care poate fi aplicată atât în domeniul
timpului (FIT-TD), cât s¸i în cel al frecvent¸ei (FIT-FD). Principiul acestei metode va fi prezentat
în capitolul următor.
Ca s¸i concluzie generală, indiferent de metoda numerică folosită pentru discretizarea
ecuat¸iilor lui Maxwell (MoM [39], FDTD [40], FEM [41], FIT [42]), problema se va reduce,
tot timpul, la rezolvarea unui sistem liniar. De aceea, tipul matricei sistemului (rară,
plină, simetrică, nesimetrică, complexă, reală, pozitiv definită, diagonal dominantă, etc),
rezultată în urma aplicării metodei numerice, este foarte important în alegerea unei metode
”adecvate” de rezolvare, directă sau iterativă.
Modelarea efectelor inductive reprezintă un aspect important al obt¸inerii modelului
de ordin redus, sub forma unui circuit cu parametri concentrat¸i, pentru un dispozitiv de circuit
integrat. Istoric, prima metoda de modelare inductivă a fost propusa de Ruehli, care a
introdus prin metoda PEEC [43] [44], conceptul de inductivitate part¸ială pentru modelarea
3D a dispozitivelor din circuitele integrate. Această metodă: discretizează conductoarele în
segmente elementare (de formă paralelipipedică) s¸i forma integrală a ecuat¸iilor câmpului,
evaluează elementele part¸iale de circuit ce descriu cuplajele electrice s¸i magnetice s¸i asamblează
sistemul provenit din ecuact¸iile Kirchhoff pentru curent¸i s¸i tensiuni. Modelul rezultat
este descris de matrice pline ce cont¸in inductivităt¸ile part¸iale, proprii s¸i mutuale.
Principalele dezavantaje ale acestei metode sunt matricele pline (a căror aproximare rară
nu este pasivă, deci nici stabilă), s¸i inductivitatea part¸ială care este doar o mărime de calcul,
nu s¸i o mărime fizică riguros definită, care să poată fi măsurată pentru o comparat¸ie cu date
experimentale.
FastHenry [45] este o tehnică de accelerare a extragerii matricei inductant¸elor part¸iale
din PEEC, bazată pe dezvoltarea în multipoli, care s-a dovedit foarte eficientă în cazurile
practice.
În lucrarea [46] este introdus modelul K, model caracterizat de matricea K a reluctantelor
magnetice (numită gres¸it s¸i a susceptant¸elor), definită ca inversa matrice inductivităt¸ilor
part¸iale H = L −1 . În lucrarea [47], acest subiect a fost reluat s¸i s-a demonstrat că
matricea K poate fi aproximată robust (fără pierderea pasivităt¸ii) cu o matrice rară s¸i că ea
este matrice simetrică de tip M (cu termenii nediagonali negativi s¸i cu cei diagonali pozitivi
s¸i dominant¸i) s¸i în consecint¸ă ea este diagonal dominantă. Principalul dezavantaj este că
matricele K nu pot fi direct simulate în SPICE. Lucrarea [48] demonstrează instabilitatea
numerică a metodei K propuse în lucrările citate anterior (instabilitatea provine din anularea
unor termeni negativi de pe diagonală care face ca matricea K să fie pozitiv definită) s¸i
propune un nou algoritm care are la bază tot metoda K, prin care se obt¸in matrice K rare,
24

2.2. Modele cu parametri distribuit¸i
dar care în acelas¸i timp păstrează s¸i stabilitatea numerică.
Init¸ial metoda VPEC este propusă în lucrarea [49] pentru a două conductoare, însă
Hao Yu preia acest subiect s¸i propune o metodă VPEC [50], metodă care are la bază tot
varianta K a metodei PEEC, pentru N conductoare. Această metodă exprimă parametrii
K folosind potent¸ialul magnetic vector s¸i înlocuiet¸e inductant¸ele cu reluctant¸e magnetice.
În final, modelul obt¸inut este caracterizat de matrice rare s¸i permite simularea în SPICE.
Practic se pornes¸te de la modelul PEEC, se calculează inversa matricei L, se obt¸ine modelul
cu matrice pline VPEC, se generează modelul VPEC cu matrice rare, pentru ca în final să
se facă simularea în SPICE.
În concluzie, metoda PEEC are ca principale dezavantaje folosirea inductivităt¸ii part¸iale,
discretizarea conductorului s¸i cunoas¸terea funct¸iei Green (vezi prezentarea MoM), în timp
ce metoda VPEC are ca principal dezavantaj calculul inversei matricei inductivităt¸ilor
part¸iale L −1 .
Metoda circuitelor echivalente Magneto-Electrice (MEEC) [51] [52] reprezintă o alternativă
ce evită dezavantajele metodelor PEEC s¸i VPEC. Această metodă foloses¸te conceptul
de element electromagnetic de circuit [53] s¸i tehnica de descompunere în subdomenii
[54]. În cazul tipic al unui inductor integrat (Figura 3.1), domeniul de calcul este alcătuit
din trei subdomenii care conform metodei MEEC pot fi simulate în regimuri diferite (stratul
de oxid de siliciu în FW, EQS+MS pentru stratul de siliciu s¸i ES+MS pentru stratul de
aer). Avantajele acestei metode sunt: conceptul de inductivitate part¸ială este eliminat, conductorul
nu este discretizat în segmente (de fapt el este discretizat într-un sistem de bucle
fundamentale, fiecare dintre acestea satisfăcând conservarea curentului), nu este necesară
calcularea inversei matricei inductivităt¸ilor, scrierea cu matrice rare este robustă, permite
folosirea calculului paralel pentru descompunerea în subdomenii s¸i permite simularea directă
în SPICE. Prin folosirea discretizării în bucle, complexitatea problemei este redusă s¸i
este mics¸orat corespunzător atât efortul de calcul cât s¸i necesarul de memorie.
De cele mai multe ori, metodele de discretizare numerică s¸i de modelare prezentate mai
sus se găsesc în programe comerciale sau open-source, care cont¸in la rândul lor metode de
rezolvare corespunzătoare sistemelor liniare de rezolvat, generate în urma dicretizării. În
continuare se vor prezenta pe scurt câteva din cele mai importante programe de modelare
pentru inductoarele integrate, evident¸iind folosirea sistemelor multiprocesor.
ANSYS HFSS
ANSYS HFSS (High Frequency Structural Simulator) [55] este un program al firmei americane
Agilent, ce foloses¸te pentru simularea câmpului electromagnetic în domeniu 3D,
special conceput pentru modelarea componentelor din circuitele integrate (Figura 2.10
[56]). Programul cont¸ine o suită de metode de rezolvare, proprii, pentru rezolvarea sistemelor
liniare rezultate în urma discretizării ecuat¸iilor lui Maxwell cu metoda elementelor
finite, metode de rezolvare ce pot fi selectate manual în funct¸ie de tipul de simulare executat.
HFSS a fost dezvoltat sub îndurmarea profesorului Zoltan Cendes în Universitatea
Carnegie Mellon în colaborare cu firma ANOSOFT, însă, ulterior, a fost vândut, în final
ajugând sub tutela companiei ANSYS.
Date de intrare: geometria poate fi importată prin programul AnsoftLinks dintr-un
fis¸ier schemă (layout file generat cu Cadence, Mentor Graphics, Synopsys, Zuken, Altium
- AnsoftLinks for ECAD [57]) sau dintr-un fis¸ier CAD (generat cu ProE, STEP, IGES -
25

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
Figura 2.10: Captură din ANSYS HFSS.
AnsoftLinks for MCAD [58]). Ret¸eaua de discretizare este generat în mod automat, având
s¸i posibilitatea de a-l specifica manual.
Date de ies¸ire: în afara vizualizării câmpului electromagnetic, se mai pot extrage două
tipuri de date:
• sub forma unor fis¸iere ce cont¸in funct¸ii de circuit s¸i parametri de împăs¸tiere (S, Y ,
Z);
• sub formă unui fis¸ier ce cont¸ine descrierea, în limbaj SPICE, a circuitului echivalent
pentru dispozit modelat.
HFSS poate accelera modelarea, obt¸inând timpi de execut¸ie mai mici, prin folosirea
calculului de înaltă performant¸ă (HPC) astfel:
• pe sisteme cu unul sau mai multe procesoare multicore, programul dispune de multiprocesare
(MP - multiprocessing), aceasta constând în apelarea operat¸iilor de algebră
liniară paralele, în procesul de factorizare, discretizare sau de calcul al câmpului;
• pe sisteme tip cluster, programul dispune de următoarele tehnici:
– descompunerea domeniului (DDM - domain decomposition method) îmaparte
o problemă mare ce nu poate încapea în memoria unui singur sistem de calcul,
accesând memoria fiecărui nod din cluster ca o memorie globală (memorie
comună distribuită - distributed shared memory - subcapitolul 4.1). Această
metodă poate fi privită mai mult ca o metodă de abordare a problemelor foarte
mari, s¸i mai put¸in ca o metodă de accelerare;
– descompunerea spectrală (SDM - spectral decomposition method) distribuie
subseturi din seria de frecvent¸e, fiecare nod din cluster rezolvând sistemul liniar
doar pentru subsetul primit. În funct¸ie de numărul de frecvent¸e, dar s¸i
de configurat¸ia hardware a nodurilor clusterului, timpul de simulare se reduce
foarte mult;
26

SONNET
2.2. Modele cu parametri distribuit¸i
– metoda de rezolvare distribuită (DSO - distributed solve option) constă în împărt¸irea
sarcinii de rezolvare în sarcini indepente (împărt¸irea pe subdomenii a problemei),
mai mici, ce pot fi executate în paralel pe noduri diferite. Această metodă
poate fi folosită în combinat¸ie cu medoda DDM.
Figura 2.11: Captură din SONNET.
SONNET [59] este un program de modelare electromagnetică, ce îs¸i propune să răspundă
cerint¸elor ridicate de simularea componentelor din circuitele integrate de înaltă frecvent¸ă
(Figura 2.11 [60]). Teoria de la baza acestui program [61] constă în rezolvarea ecuat¸iilor
lui Maxwell cu ajutorul metodei momentelor.
Date de intrare: geometria poate fi desenată în mediul grafic oferit de SONNET, însă,
geometriile pot fi importate din fis¸iere în format .DXF [62] sau .GDSII [63], precum s¸i
formatul Gerber [64]. Ret¸eaua de discretizare se generează automat, având s¸i posibilitatea
de a-l specifica s¸i manual.
Date de ies¸ire: se pot vizualiza răspunsul, câmpul electromagnetic, densitatea de curent,
dar se poate extrage s¸i circuitul echivalent SPICE al dispozitivului modelat. În plus,
aceste date se pot exporta în fis¸iere compatibile cu CADENCE, SPECTRE etc.
Din punct de vedere al folosirii resurselor hardware, SONNET foloses¸te procesarea pe
64 de bit¸i. Din punct de vedere al calculului de înaltă performant¸ă (HPC), SONNET poate
exploata arhitectura sistemelor multiprocesor astfel:
• pe sisteme cu unul sau mai multe procesoare multicore, programul perimte procesarea
paralelă pentru a rezolva părt¸i individuale ale matrice momentelor (solver distribuit),
la fiecare frecvent¸ă. Folosind instrumentul SONNET Desktop Solver (DST) se
pot folosi până la maxim 3 core-uri, în timp ce instrumentul SONNET High Performance
Solver (HPS) poate folosi până la 12 core-uri.
27

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
• pe sisteme de tip cluster se poate folosi Sonnet emCluster. Cu ajutorul acestui instrument,
fiecare nod al clusterului va rezolva simultan o serie de sisteme liniare,
corespunzătoare unui subset de frecvent¸e din banda de frecvent¸ă setată pentru simulare.
Programul ce administrează transferul de date în cluster se numes¸te Sonnet
Networking, însă se poate folosi s¸i unul extern Platform LSF [65].
Momentum
Advanced Design System (ADS) [66], de la Agilent, este un program de proiectare s¸i simulare
a circuitelor electronice pentru aplicat¸ii de înaltă frevent¸ă, cu microunde s¸i digitale de
mare viteză. Momentum 3D Planar EM Simulator [67] reprezintă o extensie a programului
ADS, extensie cu ajutorul căreia se pot modela componentele pasive din circuitele
integrate, printre care s¸i inductoare spiralate (Figura 2.12 [68]). Programul foloses¸te metoda
momentelor, pentru a discretiza ecuat¸iile lui Maxwell, în acest fel, obt¸inându-se un
model ce include efectele câmpului magnetic.
Figura 2.12: Captură din ADS-Momentum.
Date de intrare: geometria poate fi desenată sau importată (fis¸iere ODB++ [69][70],
Gerber, .GDSII) în interfat¸a grafică a programului ADS. Ret¸eaua de discretizare este generat
automat, dar poate fi specificat s¸i manual.
Date de ies¸ire: se pot vizualiza parametri de împrăs¸tiere S. În plus, după ce componenta
a fost simulată, ea poate fi salvată s¸i utilizată în circuitele simulate cu ADS.
Pentru sistemele cu unul sau mai multe procesoare, metodele de rezolvare folosesc
procesarea pe 64 bit¸i s¸i procesarea paralelă pentru operat¸iile de algebră liniară. În ceea ce
prives¸te sistemele tip cluster, instrumentul Momentum Turbo Element distribuie un subset
de frecvent¸e, fiecare nod rezolvând simultan sistemul liniar pentru subsetul de frecvent¸e
primit. Managerul ce se ocupă de distribut¸ia sarcinilor (în acest caz a frecvent¸elor), în
cluster, este un instrument adit¸ional Platform LSF sau SunGrid.
ASITIC
ASITIC(Analysis and Simulation of Spiral Inductors and Transformers for ICs) [71] [72]
este un program CAD folosit pentru optimizarea s¸i modelarea componentelor pasive din
28

2.2. Modele cu parametri distribuit¸i
circuitele integrate de înaltă frecvent¸ă: inductoare spiralate (Figura 2.13 [73]), transformatoare,
condensatoare. În procesul de modelare sunt incluse efecte ale câmpului electromagnetic:
pierderi s¸i cuplaje inductive, pierderi prin curent¸i turbionari, efectul pelicular, efectul
de proximitate. Programul, dezvoltat de Ali M. Nicknejad, de la Universitatea Berckley,
poate rula pe toate platformele existente (Linux, Windows, SunOS) s¸i este legat de câteva
biblioteci externe: operat¸ii de algebra liniară BLAS [74] s¸i LAPACK [75], Fastest FFT in
the West FFTW [76] s¸i pachetul de integrare numerică QUADPACK [77].
Figura 2.13: Captură din ASITIC.
Date de intrare: geometria dispozitivului de modelat, folosind comenzi specifice ASI-
TIC, s¸i, opt¸ional, se poate specifica fis¸ierul tehnologic de fabricat¸ie, fis¸ier ce descrie dispunerea
straturilor dispozitivului.
Date de ies¸ire: datele de ies¸ire pot fi de trei tipuri:
• date rezultate în urma analizei: factorul de calitate Q al inductorului spiralat, vizualizarea
grafică a curetului în inductor, frevent¸a de rezonant¸ă a inductorului, parametrii
admitant¸ă Y s¸i impedant¸ă Z, pentru un dispozitiv cu două porturi, calculat¸i la o
frecvent¸ă sau pentru o serie de frecvent¸e;
• date rezultate în urma optimizării: geometria optimă a inductorului spiralat cu sau
fără constrângeri;
• date de export: geometria inductorului modelat în format CIF sau format Sonet.
Programul ASITIC foloses¸te formularea PEEC pentru a asambla sistemul liniar echivalent
ecuat¸iilor lui Maxwell [78]. Pentru sisteme mici, se foloses¸te metoda directă de
rezolvare, eliminarea lui Gauss, însă pentru sisteme mari, autorul recomandă folosirea metodelor
iterative de rezolvare. Din punct de vedere al calculului de înaltă performant¸ă
(HPC), programul ASITIC foloses¸te biblioteca LAPACK ca instrument paralel de calcul,
pentru a executa operat¸ii de algebră liniară.
29

2. Stadiul actual al modelării inductoarelor spiralate integrate
COMSOL
COMSOL Multiphysics [79] este un program de modelare aplicabil în mai multe domenii
ale ingineriei, în particular, s¸i pentru modelarea electromagnetică, având la bază metoda
elementului finit.
Figura 2.14: Captură din COMSOL.
Date de intrare: geometria dispozitivului poate fi desenată, cu un editor grafic încorporat,
dar, poate fi s¸i importată din diferite formate. Tot ca date de intrare pot fi considerate toate
etapele preprocesării, repsectiv ret¸eaua de discretizare, stabilirea regimului câmpului, sursele
acestuia, valoarea constantelor de material, condit¸iile de frontieră s¸i alegerea ordinului
elementelor finite.
Date de ies¸ire: datele de ies¸ire se obt¸in în etapa de postprocesare a metodei elementului
finit, în care se pot calcula s¸i afis¸a, grafic s¸i numeric, diferite mărimi derivate, asociate
problemei analizate (Figure 2.14 [80]).
Programul COMSOL dispune de o bogată bibliotecă de metode de rezolvare atât directe,
cât s¸i iterative. Pentru utilizarea tehnicilor de calcul paralel [81], programul are nevoie
de o licent¸ă suplimentară Floating Network Licenses. Calculul paralel este folosit în
cazul solverului paralel PARDISO (solver direct), iar calculul distribuit în cazul solverului
distribuit MUMPS (solver direct).
Chamy
Chamy este un program de modelare electromagnetică a componentelor pasive din circuitele
integrate de înaltă frecvent¸ă s¸i extragerea modelelor parametrice de ordin redus
corespunzătoare. El este dezvoltat în cadrul Laboratorului de Metode numerice din UPB,
în cadrul mai multor programe europene [82][83][84][85][86].
Pentru discretizarea ecuat¸iilor lui Maxwell s¸i obt¸inerea sistemului matriceal, este folosită
metoda numerică FIT [42][87][88]. Extragerea modelului de ordin redus, folosind
sistemul matriceal rezultat, se face cu ajutorul algoritmului AFS-VF, un algoritm ce reduce
30

2.3. Concluzii
la minimum efortul de calcul. Caracteristica definitorie a acestui program este că admite
condit¸ii de frontiera de tip EMCE, care permit cuplarea dispozitivului analizat cu circuite
electrice s¸i magnetice exterioare. Ideea s¸i teoriile folosite de acest program vor fi dezvoltate
în capitolul următor.
Date de intrare: geometria dispozitivului se defines¸te într-un limbaj specific programului.
Ret¸eaua de discretizare poate fi generat automat, sau poate fi specificat manual. De
asemenea, există posibilitatea de a crea o ret¸ea adaptivă, mai dens în zonele de interes.
Date de ies¸ire: parametri de împrăs¸tiere (S, Y , Z) se pot vizuliza, dar se pot salva în
format Touchstone, cunoscut s¸i ca formatul SnP. De asemenea, programul generează un
fis¸ier ce cont¸ine circuitul echivalent SPICE al dispozitivului analizat.
Pentru sistemele cu unul sau mai multe procesoare, metoda de rezolvare (UMFPack
[89] foloses¸te procesarea paralelă apelând operat¸ii de algebră liniară paralele, din biblioteca
LAPACK.
Implementarea unui mod de rezolvare, ce foloses¸te procesarea paralelă s¸i distribuită s¸i
exploatează eficient un sistem multiprocesor tip cluster a fost una din sarcinile autorului s¸i
reprezintă subiectul central al acestei teze de doctorat.
2.3 Concluzii
Acest capitol a prezentat stadiul actual atât al metodelor de modelare, cât s¸i celor mai
importante programe de modelare existente. Prima parte a acestui capitol a prezentat metoda
de modelare cu parametri concentrat¸i, concluzionân că ipotezele simplificatoare ale
acestei teorii sunt prea restrictive pentru modelarea componentelor din circuitele integrate
de înaltă frecvent¸ă, implicit s¸i a inductoarelor spiralate. S-a stabilit că pentru inductoarele
spiralate, cea mai bună metodă de modelare, este metoda ce foloses¸te modele cu parametri
distribuit¸i. În acest sens au fost prezentate principalele metode de discretizare a ecuat¸iilor
lui Maxwell.
Partea finală a acestui capitol a prezentat câteva din programele de modelare electromagnetică,
programe ce urmăresc fluxul de proiectare EDA (design flow EDA). As¸a cum
s-a putut observa majoritatea programelor existente folosesc tehnici de calul paralel s¸i distribuit
pe diferite sisteme multiprocesor. Majoritatea programelor prezentate, au raportat
un timp de 6 ori mai mic la rularea pe un cluster cu 8 noduri, decât la rularea pe un singur
nod.
Prin prezentarea caracteristicilor de multiprocesare a programelor de modelare electromagnetică,
se demonstrează încă o dată că tema acestei teze este de actualitate s¸i prezintă
un interes ridicat din partea cercetătorilor.
31

Această pagină este lăsată goală în mod intent¸ionat.

Modelarea inductoarelor spiralate integrate
CAPITOLUL 3
Modelarea electromagnetică a componentelor pasive din circuitele integrate de înaltă
frecvent¸ă, presupune extragerea unui circuit electric liniar cu parametri concentrat¸i (alcătuit
din elementele ideale R, L, C, surse comandate liniar, cu parametri independent¸i de frecvent¸ă),
care să aibă o comportare pe la borne cât mai apropiată de comportamentul componentei
reale. Pentru a realiza acest lucru, este necesară modelarea aproximativă a tuturor efectelor
câmpului electromagnetic de înaltă frecvent¸ă, cum sunt: efectul pelicular, curent¸ii turbionari,
întarzierea prin propagare, etc. Acest lucru necesită rezolvarea numerică ecuat¸iilor
lui Maxwell care descriu toate aceste efecte ale câmpului elctromagnetic. Prin modelare
nu se urmăres¸te doar obt¸inerea solut¸iei numerice, ci extragerea modelului de ordin redus.
În cazul de fat¸ă nu are relevant¸ă variat¸ia sptială a solut¸iei, ci doar comportarea sistemului
pe la bornele sale. Pentru a atinge acest obiectiv, sunt parcurse mai multe etape ale modelării
electromagnetice [90]: modelarea fizică, matematică, analitcă, numerică, iar în final
reducerea ordinului [91]. Tehnologia de extragerea modelelor electromagnetice de ordin
redus folosită în prezenta teză, a fost dezvoltat pe parcursul mai multor ani în Laboratorul
de Metode Numerice (LMN) din UPB, de colective internat¸ionale conduse de prof. Daniel
Ioan [52] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [54] [98] [99].
3.1 Modelarea fizică
Modelele descrise de ecuat¸iile lui Maxwell, în formă generală, pot fi foarte complexe
pentru probleme care nu necesită tratarea tuturor aspectelor câmpului electromagnetic
(ecuat¸iile în formă generală cont¸in s¸i aspecte mecanice [90], aspecte ce nu interesează
pentru modelarea bobinelor integrate), astfel încât pentru o modelare eficientă se adoptă
ipoteze simplificatoare. Aplicărea acestor ipoteze înseamnă stabilirea regimurilor câmpului
electromagnetic. Regimurile ce interesează din punct de vedere al modelării inductoarelor
spiralate considerând medii liniare din punct de vedere dielectric magnetic s¸i conductiv,
sunt descrise în cele ce urmează.
33

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
Regimul general variabil (FW sau ED)
Regimul general variabil al câmpului electromagnetic este descris de ecuat¸iile lui Maxwell
pentru medii imobile (v = 0), astfel fiind considerat¸i atât curent¸ii de deplasare, cât s¸i
fenomenul de indut¸ie electromagnetică:
rotE = − ∂B
∂t
(3.1)
rotH = J + ∂D
∂t
(3.2)
divD = ρ (3.3)
divB = 0 (3.4)
B = µH (3.5)
D = εE (3.6)
J = σE (3.7)
divJ = − ∂ρ
.
dt
(3.8)
unde relat¸ia (3.8) reprezintă consecint¸a relat¸iilor (3.3) s¸i (3.2). Acest regim este utilizat
pentru problemele, ce nu pot fi analizate separat, din punct de vedere electric s¸i magnetic.
Impunând anumite valori particulare, degenerate, ale constanteleor de material, ecuat¸iilor
acestui regim, se obt¸in celelate regimuri ale câmpului electromagnetic.
Regimul electric cvasistat¸ionar (EQS)
În regim electric cvasistat¸ionar (în literatura de specialitate mai este numit s¸i amagnetic
sau capacitiv), câmpul magnetic este neglijat, fiind considerat doar câmpul electric. Deci,
considerând câmpul magnetic nul, ecuat¸iile lui Maxwell corespunzătoare acestui regim
sunt (formal µ = 0) :
rotE = 0 (3.9)
divD = ρ (3.10)
D = εE (3.11)
J = σE (3.12)
divJ = − ∂ρ
.
dt
(3.13)
Aceste ecuat¸ii descriu efectele capacitive s¸i de conduct¸ie. În modelarea componentelor
din circuitele integrate, acest regim poate fi folosit pentru a obt¸ine un model ce nu cont¸ine
efecte inductive.
Regimul magnetic cvasistat¸ionar (MQS)
Spre deosebire de regimul electric cvasistat¸ionar, regimul magnetic cvasistat¸ionar (în
literatura de specialitate numit s¸i anelectric sau inductiv), neglijează câmpul electric, considerând
doar câmpul magnetic. Ecuat¸iile, în acord cu ipoteza anterior amintită, cores-
34

punzătoare acestui regim sunt (formal ε = 0):
3.1. Modelarea fizică
rotE = − ∂B
∂t
(3.14)
rotH = J (3.15)
divB = 0 (3.16)
B = µH (3.17)
J = σE (3.18)
divJ = 0 . (3.19)
unde relat¸ia (3.19) reprezintă consecint¸a relat¸iei (3.15). Acest regim descrie toate efectele
inductive (efectul pelicular, curet¸i turbionari) s¸i de conduct¸ie, însă, singur, nu prezintă
interes pentru modelarea componentelor de circuit integrat, deoarece neglijează efectele
capacitive, care sunt foarte importante pentru acest gen de aplicat¸ii. În combinat¸ie cu regimul
EQS, rezultă un regim hibrid numit regimul electro-magneto-cvasistat¸ionar (EMQS),
regim în care părt¸ile conductoareale domeniului (conductoarele metalice) sunt studiate în
regim MQS, iar restul domeniului (dielectrici) în regim EQS. Această abordare este foarte
folosită în programele de modelare a compomentelor de circuit integrat [100][101], deoarece
modelul obt¸inut în acest regim este echivalent celui obt¸inut in regim FW, însă are o
dimensiune mai mică [102].
Regimul electrostatic (ES)
Regimul electrostatic reprezintă o particularizare a regimului EQS, în care, pe lângă
faptul că nu există mis¸care s¸i mărimile sunt constante în timp, se adaugă s¸i ipoteza că nu
au loc transformări energetice. În acest caz, ecuat¸iile ce carcaterizează acest regim sunt (se
obt¸in considerând, în ecuat¸iile lui Maxwell, µ = 0, σ = 0):
Acest regim descrie doar efectele capacitive.
Regimul electrocinetic (EC)
rotE = 0 (3.20)
divD = ρ (3.21)
D = εE . (3.22)
Regimul electrocinetic descrie doar efectele de conduct¸ie, el fiind caracterizat de ecuat¸iile:
obt¸inute considerând formal, µ = 0 s¸i ε = 0.
rotE = 0 (3.23)
divJ = 0 (3.24)
J = σE . (3.25)
35

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
Regimul magneto-stat¸ionar (MG)
Acest regim reprezintă o particularizare a regimului MQS, în ipotezele: nu există
mis¸care, mărimile sunt constante în timp. În acest caz, ecuat¸iile devin:
rotH = J (3.26)
divB = 0 (3.27)
B = µH (3.28)
(3.29)
Acest regim descrie doar efectele inductive s¸i se obt¸ine din ecuat¸iile lui Maxwell, considerand
ε = 0. Dacă nu au loc transformări energetice, J = 0, regimul devine magnetostatic
(MS).
Regimurile EC, MG s¸i ES sunt utile pentru extragerea parametrilor concentrat¸i de circuit
RLC. Mai mult, prin combinat¸ii pe subdomenii cu regimurile variabile se obt¸in modele
de ordin mai redus, a căror analiză numerică necesită resurse mai mici de calcul.
Regimul general variabil armonic în timp. În circuitele de radiofrecvent¸ă, semnalele
electrice au o variat¸ie sinusoidală în timp. Dacă se reprezintă în complex toate componetele
câmpului elctromagnetic, atunci ecuat¸iile lui Maxwell capătă forma compelxă:
rotE = −jωB (3.30)
rotH = J + jωD (3.31)
divD = ρ (3.32)
divB = 0 (3.33)
B = µH (3.34)
D = εE (3.35)
J = σE (3.36)
divJ = −jωρ . (3.37)
obt¸inute, înlocuind în (3.1)-(3.8) ∂ cu jω.
∂t
Problemele analizate constau din unul sau două inductoare spiralate, plasate într-un
circuit integrat cu substrat de siliciu (tehnologia BiCMOS). Deci, fiecare problemă va avea
trei subdomenii rectangulare: Si, SiO2 s¸i Aer, conductoarele din Al, aflându-se în stratul
de oxid (Figura 3.1). După numele proiectelor, pentru care au fost proiectate, problemele
vor fi numite fie CHRF [86], fie CDST [82].
Domeniului de calcul, care este alcătuit din trei straturi, din materiale diferite, i se impun
condit¸iile de interfat¸ă [103], ele asigurând conservarea componentelor câmpului, care
se conservă la trecerea de la un strat la altul. Forma locală, pe suprafet¸ele de discontinuitate,
a legilor generale, ale elctromagnetismului, exprimă condit¸iile de interfat¸ă pentru două
straturi, din materiale diferite:
n × (H2 − H1) = Jinterfata = 0, (3.38)
n × (E2 − E1) = 0, (3.39)
n · (D2 − D1) = ρinterfata, (3.40)
n · (B2 − B1) = 0. (3.41)
36
(3.42)

Figura 3.1: Geometria tipică a unui inductor spiralat integrat
3.1. Modelarea fizică
Curentul poate exista doar în conductoare, as¸a că densitatea de curent pe suprafat¸ă Jinterfata
este de zero, la fel si ρinterfata, care este neglijabilă. Folosind relat¸ia 3.40, se constată că pe
interfat¸a dintre două straturi dielectrice, potet¸ialul electric trebuie să fie acelas¸i, adică vor fi
satisfăcute relat¸iile:
dV2
V1 = V2; ε2
dn
dV1
= ε1
dn
. (3.43)
As¸a cum se întamplă la câmpul electric, în plus, la trecerea dintr-un mediu în altul, se conservă
s¸i componenta tangent¸ială a intensităt¸ii câmpului magentic s¸i componenta normală a
induct¸iei magnetice.
Problemele vor fi analizate în gama de frecvent¸e 1-60GHz, deci alegerea regimului de
funct¸ionare, trebuie să tină cont de frecvent¸ă, astfel încât modelul să cont¸ină toate efectele
relevante ale câmpului electromagnetic atât la frecvent¸e joase, cât s¸i la frecvent¸e înalte.
La frecvent¸e joase, de maxim 1GHz, comportarea substratului de siliciu s¸i a aerului
poate fi descrisă prin combinarea regimurilor statice. În acest caz, efectele capacitive pot
fi neglijate, însă câmpul magnetic trebuie luat în considerare, deoarece nu pot fi neglijate
efectele inductive ale coductoarelor aflate deasupra (inductoarele). Deci, regimul cel mai
potrivit pentru substratul semiconductor de rezistivitate mică, la frecvent¸e joase, reprezintă
combinat¸ia dintre regimurile EC s¸i MS, ce descriu efectele conductive, respectiv inductive.
În schimb, dacă substratul semiconductor are rezistivitate mare, cea mai portivită este
combinat¸ia ES+EC, sau, s¸i mai bine EQS, pentru a descrie efectele capacitive s¸i conductive.
Aerul, având conductivitate foarte mică, este modelat cel mai bine în regimurile ES+MS,
pentru a descrie efectele capcitive s¸i cele inductive care au loc prin intermediul lui.
Potrivit tezei de doctorat [104], la frecvent¸e de peste 5GHz, efectele capacitive nu mai
37

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
pot fi neglijate, deci, trebuie considerat s¸i câmpul electrostatic. Efectele capacitive din substratul
semiconductor, mai ales când acesta are rezistivitate mare, s¸i cele rezistive pot fi
descrise de combinat¸ia între regimurile ES s¸i EC, însă, conform lucrării [105] considerarea
ES+EC prezintă avantaje doar la frecvent¸e sub 1GHz, totus¸i, pentru a descrie aceste efecte,
poate fi folosit regimul EQS. Pentru substrat omogen, modelul generat de regimul EQS
este perfect echivalent cu modelul generat de ES+EC, însă pentru substrat neomogen trebuie
considerat regimul EQS. Considerând s¸i efectele inductive, regimul electromagnetic
potrivit, reprezintă combinat¸ia dintre regimurile EC+ES+MS, pentru substrat omogen, s¸i
EQS+MS pentru substrat neomogen.
În lucrarea [106], se demonstrează că, la frecvent¸e de peste 20GHz, regimul EQS este
invalid, pentru substrat de siliciu cu rezistivitate mare. Deci, pentru a descrie toate efectele
câmpului electromagnetic din substratul de siliciu, la frecvent¸e de 60GHz, trebuie considerat
regimul FW. Tot regim FW trebuie folosit s¸i în modelarea starului de oxid SiO2,
însă, pentru modelarea conductoarelor, cel mai potrivit model este MQS, deoarece, în Al,
curent¸ii de deplasare au densitatea (JD = ωεE) mult mai mică decât cei de conduct¸ie
Jc = σE. De exemplu, la 60 GHz, ωε(≈ 10 −3 ) ≪ σ(≈ 10 7 ). În consecint¸ă, se neglijează
curent¸ii de deplasare, ceeea ce înseamnă regim MQS.
Figura 3.2: Efectele câmpului electromagnetic
Procedând astfel, vor fi modelate următoarele efecte ale câmpului de înalta s¸i joasă
frecvent¸ă [107] (Figura 3.2 [78]):
• efectul pelicular din interiorul conductoarelor;
• efectul de proximitate între conductoare;
• efectul de pierderi prin curent¸i turbionari în substratul semiconductor;
• efectul inductiv al bobinei;
• efectul capacitiv dintre spire;
38

3.1. Modelarea fizică
• efectul rezistiv din conductoare, afectat la frecvent¸e înalte de efectul pelicular;
• efectul de propagare de-a lungul conductorului;
• radiat¸ia spre exterior.
Figura 3.3: Domeniu de calcul
Domeniul de calcul, care cont¸ine inductorul de modelat, se descompune în subdomenii
(Figura 3.3), fiecare având propriul regim al câmpului electromagnetic. Pentru a extrage
modelul inductorului, care să considere toate efectele câmpului electromagnetic de
frecvent¸ă înaltă, trebuie rezolvată o problemă de câmp electromagnetic, bine formulată s¸i
cuplată cu o problemă de circuit electric exterior. Orice problemă de câmp are ca date
cunoscute: domeniul de calcul, proprietăt¸ile de material s¸i sursele de câmp, care satisfac
condit¸iile de unicitate.
Figura 3.4: Domeniu de calcul
Domeniul de calcul DΣ (Figura 3.4) are formă paralelipipedică s¸i este construit prin
reuniunea ”cărămizilor” omogene DΣj . Materialele ”cărămizilor” se consideră a fi liniare
39

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
s¸i izotrope, caracterizate de conductivitatea electrică σ, permeabilitatea electrică ε s¸i permitivitatea
magnetică µ, constante de material cunoscute pentru fiecare DΣj . Câmpul electromagnetic
din circuitele integrate nu are surse interne de câmp, în consecint¸ă, condit¸iile
de frontieră s¸i condit¸iile init¸iale, altfel spus condit¸iile de unicitate, completează formularea
corectă a problemei de câmp. Prin intermediul condit¸iilor de frontieră, se asigura cuplajul
cu exteriorul, care se face prin suprafat¸a terminalelor fizice ale dispozitivului Sk. Deoarece,
dispozitiviele (inductoarele) sunt componente pasive de circuit, realizate din materiale liniare,
se admit ipotezele că nu există surse interne de câmp s¸i că nu există câmp init¸ial, adică
problema nu necesită condit¸ii init¸iale.
Necunoscutele problemei sunt componentele câmpului electromagnetic, descris de
ecuat¸iile lui Maxwell în regim general variabil (FW), respectiv: E, D, B, H, J, ρ.
Pentru proiectantul de circuite integrate, componetele câmpului electromagnetic s¸i modul
cum variază ele în spat¸iu sau timp, nu are o prea mare relevant¸ă. Ce prezintă interes,
este modul în care o componetă interactionează cu exteriorul. Mai exact, care sunt relat¸iile
constitutive între curent¸ii s¸i tensiunile componentei respective.
Figura 3.5: Sistemul de modelat (MIMO).
Se vor considera primele m terminale, din cele n terminale ale dispozitivului, alimentate
în tensiune, iar restul de (n − m − 1) alimentate în curent, astfel că se pot defini
semnalele de intrare, acestea reprezentând s¸i sursele de câmp, ca fiind:
vk(t) = Edr, k = 1, m (3.44)
CK⊂∂DΣ
ik(t) = Hdr, k = m + 1, n − 1 , (3.45)
s¸i semnalele de ies¸ire
vk(t) =
∂SK
CK⊂∂DΣ
ik(t) =
∂SK
Hdr, k = 1, m (3.46)
Edr, k = m + 1, n − 1 . (3.47)
40

3.2. Modelarea matematică
Vectorul intrărilor s¸i vectorul ies¸irilor sistemului modelat (Figura 3.5), vor avea componentele:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢
u = ⎢
⎣
v1
.
vm
im+1
.
in−1
3.2 Modelarea matematică
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ , y = ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
i1
.
im
vm+1
.
vn−1
⎥ .
⎥
⎦
Modelul dispozitivului (inductorului), obt¸inut în urma procesului de modelare, trebuie
să fie compatibil cu alte componente de circuite. Acest lucru se realizează prin condit¸ii
de frontieră care trebuie să asigure, în mod consistent, cuplajul dintre problema internă de
câmp s¸i problema externă de circuit electric. Aceste condit¸ii de frontieră sunt introduse
prin Elementul Electromagnetic de Circuit.
Al. Timotin a introdus conceptul de Elementul Electromagnetic de Circuit în [108], ca
o generalizare a elementului multipolar de circuit. Acest concept a fost readus în atent¸ia
cercetătorilor s¸i folosit pentru a simula cuplajele electromagnetice în [109].
Definit¸ia 1 Elementul electromagnetic de circuit (EMCE - Figura 3.6) este un domeniu
simplu conex mărginit de o suprafat¸ă Σ alcătuită din n ′ părt¸i disjuncte S ′ 1, S ′ 2, . . . , S ′ n
numite terminale electrice, s¸i n ′′ părt¸i disjuncte S ′′
1 , S ′′
2 , . . . , S ′′
n numite terminale magnetice
pe care sunt îndeplinite următoarele condit¸ii de frontieră:
n · rotE(P, t) = 0, pentru ∀ P ∈ Σ − ∪S ′′
k, (3.48)
n · rotH(P, t) = 0, pentru ∀ P ∈ Σ − ∪S ′ k, (3.49)
n × E(P, t) = 0, pentru ∀ P ∈ ∪S ′ k, (3.50)
n × H(P, t) = 0, pentru ∀ P ∈ ∪S ′′
k, (3.51)
unde n este vectorul normal la suprafat¸a Σ în punctul P .
Condit¸ia (3.48) interzice cuplajul magnetic, prin suprafat¸a dintre interiorul s¸i exteriorul
domeniului, exceptând suprafet¸ele terminalelor magnetice. Condit¸ia (3.49) interzice
cuplajele galvanice s¸i capacitive prin suprafat¸a externă elementului, exceptând suprafet¸ele
terminalelor electrice. Condit¸iile (3.50) s¸i (3.51) interzic variat¸iile potent¸ialului electric,
respectiv magnetic pe orice terminal electric, respectiv magnetic.
Condit¸iile (3.48), (3.49), (3.50), (3.51) sunt mai put¸in restrictive decât ipotezele simplificatoare
folosite în teoria circuitelor. Cu ajutorul acestor condit¸ii este descrisă interact¸iunea
dintre elementul electromagnetic de circuit s¸i exteriorul său. Trebuie ment¸ionat faptul ca
interact¸iunea are loc numai prin terminalele electrice s¸i cele magnetice.
Terminalele electrice sunt de două tipuri: excitate în curent s¸i excitate în tensiune.
Acelas¸i lucru se întâmplă s¸i în cazul terminalelor magnetice, care sunt excitate în flux
magnetic s¸i tensiune magnetică.
41

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
Figura 3.6: Elementul Electromagnetic de Circuit
Pentru fiecare terminal electric k, intensitatea curentului electric este definit de relat¸ia
ik(t) = Hdr pentru k = 1, 2, . . . , n, (3.52)
Γ ′ k
unde Γ ′ k este curba închisă orientată ce mărgines¸te suprafat¸a terminalului electric S′ k .
Pentru fiecare terminal electric k, potent¸ialul electric este definit de relat¸ia
vk(t) = Edr pentru k = 1, 2, . . . , n, (3.53)
C ′ k
unde C ′ k este o curbă arbitrară plasată pe frontiera domeniului ce unes¸te terminalul S′ k de
terminalul de referint¸ă S ′ n.
Pentru fiecare terminal magnetic k, fluxul magnetic este definit de relat¸ia
˙ϕk(t) = Edr pentru k = 1, 2, . . . , n, (3.54)
unde Γ ′′
k
Γ ′′
k
este curba închisă orientată ce mărgines¸te suprafat¸a terminalului magnetic S′′
k .
Pentru fiecare terminal magnetic k, potet¸ialul magnetic este definită de relat¸ia (3.55).
uk(t) = Hdr pentru k = 1, 2, . . . , n, (3.55)
unde C ′′
k
C ′′
k
este o curbă arbitrară plasată pe frontiera domeniului, ce unes¸te terminalul S′′
k de
terminalul de referint¸ă S ′′
n.
Puterea transferată prin terminale de un element electromagnetic de circuite este dată de
Teorema lui Timotin (Teorema transferului de putere printr-o suprafat¸ă de separat¸ie) [108]:
P =
n ′ −1
k=1
n
vk · ik +
′′
dϕk
uk
dt
42
k=1
(3.56)

3.3. Modelarea numerică (FIT)
Teorema lui Timotin completează formularea corectă a problemei de câmp electromagnetic
cu condit¸ii de frontieră adecvate. În concluzie, problema de câmp asociată unui
element electromagnetic de circuit descris de ecuat¸iile lui Maxwell, condit¸ii pe frontieră
(3.53)(3.52)(3.54)(3.55), condit¸ii init¸iale nule, cu terminalele excitate în tensiune s¸i curent
sau flux are solut¸ie unică.
În concluzie, semnalele de ies¸ire ale terminalelor sunt univoc determinate de evolut¸ia în
timp a semnalelor de intrare. Fiind o problemă liniară, operatorii de impedant¸ă, admitant¸ă
s¸i hibrizi, care leagă semnalele de intrare de cele de ies¸ire, vor fi operatori liniari. Dacă
elemenul funct¸ionează în regim armonic, atunci aces¸ti operatori se reprezintă în complex,
ca matrice de impedant¸e sau admitant¸e complexe, dependente de frecvent¸ă.
Obiectivul final al modelării inductoarelor nu constă în rezolvarea problemei de câmp,
formulată anterior, ci în extragerea din solut¸ia ei a unui model compact de ordin redus.
Pentru a obt¸ine modelul compact de ordin redus, se aplica tehnici de reducerea ordinului
modelelor (Figura 3.7). În procesul de modelare, descris anterior, primul pas de reducere
a ordinului modelelor, trece de la modelul infinit continuu, la un model finit discret, dar
de dimensiune foarte mare, prin discretizarea ecuat¸iilor lui Maxwell folosind o metoda
numerică. Se impune, deci, aplicarea unei noi metode de reducerea ordinului modelelor,
care are ca rezultat, modelul compact, care are un ordin foarte mic în comparat¸ie cu ordinul
modelului discret. Modelul compact este un circuit echivalent SPICE, care cont¸ine toate
efectele câmpului electromagnetic, dar care se poate conecta într-un circuit cu parametri
concentrat¸i.
Practic, problema obt¸inerii modelului de ordin redus, are ca date de intrare geometria
dispozitivului de modelat, iar ca date de ies¸ire modelul compact.
Figura 3.7: Modelul continuu, modelul discret s¸i modelul compact
3.3 Modelarea numerică (FIT)
Modelarea numerică are ca scop discretizarea problemei de câmp formulată în subcapitolele
anterioare. Cuplajul dispozitivului cu un circuit exterior se face prin terminalele
aflate pe suprafat¸a frontierei domeniului elementului electromagnetic de circuit, în interiror
comportamentul fiind descris de ecuat¸iile lui Maxwell în regim general variabil. Această
problemă conduce la un model continuu ce are un număr infinit de grade de libertate, astfel
încât se impune aplicarea unei metode numerice în scopul obt¸inerii unui model discret cu
număr finit de grade de libertate.
43

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
În capitolul precedent, au fost prezentate astfel de metode numerice mai put¸in s¸i Tehnica
Integrărilor Finite (FIT) [42]. În teza de doctorat [110], a fost prezentată aplicarea metodei
FIT pentru modelarea interconexiunilor din circuitele integrate de înaltă frecvent¸ă. Designul
(layout-ul) dispozitivelor de circuit integrat este carcaterizat de geometria Manhattan,
iar metoda FIT este adecvată pentru calcului câmpului electromagnetic în astfel de structuri.
FIT este o metodă numerică destinată problemelor de câmp bazate pe discretizarea
spat¸ială fără funct¸ii de formă. Ret¸eaua de discretizare este format din două ret¸ele ortogonale
decalate de tip Yee [111] în care centrele celulelor primare sunt noduri ale celulelor
secundare. Gradele de libertate sunt variabilele globale - tensiuni electrice s¸i magnetice,
fluxuri electrice s¸i magnetice - corespunzătoare muchiilor s¸i, respectiv, fet¸elor ret¸elei de
discretizare.
Figura 3.8: Ret¸eaua de discretizare duală
Obiectivul folosirii metodei FIT este acela de a obt¸ine sistemul de ecuat¸ii de stare al
dispozitivului, pentru ca apoi acest sistem să poată fi folosit pentru extragerea modelului de
ordin redus. Pentru obt¸inerea ecuat¸iilor lui Maxwell, în formă discretă, se aplică forma globală
a legilor generale ale câmpului electromagnetic pe elementele ret¸elei de discretizare,
fet¸e, respectiv frontiere ale acestora, iar, legile fluxului pe celulele elementare:
⎧
rotE = −
⎪⎨
⎪⎩
∂B
∂t
divB = 0
rotH = J + ∂D
∂t
divD = ρ
=> divJ = − ∂ρ
⎧
∂B
Edr = − ∂t
⎪⎨
=⇒
⎪⎩
dt
dA
BdA =
0
∂D
Hdr = (J + ∂t )dA
DdA = ρdv
=> JdA = − ∂ρ
dt dv
⎧
Cv = −
⎪⎨
=⇒
⎪⎩
dϕ
dt
D ′ ϕ = 0
C ′ u = i + dψ
dt
Dψ = q
=> Di = − dq
(3.57)
dt
s¸i relat¸iile consitutive, care sunt descrise cu ajutorul operatorilor Hodge:
⎧
⎨
⎩
B = µH
D = εE
J = σE
=⇒
⎧
⎨
⎩
ϕ = Mµu = M −1
v u
ψ = Mεv
i = Mσv
44
(3.58)

3.3. Modelarea numerică (FIT)
Relat¸iile (3.57) formează sistemul de ecuat¸ii ale lui Maxwell pe griduri (MGE). Completând
sistemul MGE cu relat¸iile constitutive (3.58), se va putea sintetiza un circuit electric
echivalent s¸i un circuit magnetic echivalent, pentru fiecare celulă a ret¸elei de discretizare
(Figura 3.9)
(a) Graful circuitului electric (b) Graful circuitului magnetic
Figura 3.9: Circuitele echivalente FIT
Principalul avantaj al metodei FIT este acela că nu introduce erori în procesul discretizare
a ecut¸iilor lui Maxwell, toate erorile fiind date doar de aproximările operatorilor
Hodge. Din punct de vedere numeric, sistemul MGE are următoarele caracteristici:
1. matricele de coeficient¸i sunt rare, având cel mult 6 elemente nenule pe linie;
2. matricele C s¸i D, corespunzătoare operatorilor discret¸i rot s¸i div, sunt topologice,
având doar valorile 0, 1, -1;
3. sunt ecuat¸ii mimetice, în sensul că în ecuat¸iile lui Maxwell, operatorii rot s¸i div sunt
înlocuit¸i cu matricle C s¸i D, care reprezintă forma discretă a operatorilor de derivare
spat¸ială;
4. conservative, în sensul că forma discretă a ecuat¸iei care descrie conservarea sarcinii
(dar s¸i a energiei), este o consecint¸ă directă a ecuat¸iilor discretizate.
Aceste caracteristici asigură ca problema nu are solut¸ii numerice false, ceea ce face ca
impementările pe calculator, să fie robuste s¸i stabile.
În ceea ce prives¸te gradele de libertate, se observă imediat că:
• numărul tensiunilor electrice (dimensiunea lui v) este egal cu numărul de laturi din
ret¸eaua primară Nb;
• numărul tensiunilor magnetice (dimensiunea lui u) este egal cu numărul de laturi din
ret¸eaua secundară N ′ b ;
45

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
• numărul fluxurilor magnetice (dimensiunea lui ϕ) este egal cu numărul de fet¸e din
ret¸eaua primară Nf;
• numărul fluxurilor electrice (dimensiunea lui ψ) este egal cu numărul de fet¸e din
ret¸eaua secundară N ′ f .
Generarea sistemului matriceal de stare
Pentru a evita confuzia dintre operatorul discret C s¸i matricea capacităt¸ilor, acesta se va
nota cu B. Elementele operatorilor Hodge Mσ, Mv, Mε reprezintă conductant¸a electrică,
reluctant¸a magnetică s¸i capacitatea electrică. Notându-le Ge, Rm = G−1 m , Ce, relat¸iile
constitutive se vor scrie sub forma:
ceea ce permite scrierea sistemului MGE sub forma
ϕ = Gmu, (3.59)
ψ = Cev, (3.60)
i = Gev. (3.61)
dψ
dt + i − B′ u = 0 , (3.62)
dϕ
+ Bv
dt
= 0 . (3.63)
Eliminând vectorii de flux din ecuat¸iile (3.63) s¸i (3.63), se ajunge la sistem de ecuat¸ii,
similiar cu cel al unui circuit electric
dv
Ce
dt + Gev − B ′ u = 0, (3.64)
Gm
care scrise sub formă matriceală devin
Ce
0
0 d v Ge
+
Gm dt u
−B ′
B
v
0 u
Notând
se obt¸ine forma compactă
Ce 0
C =
0 Gm
du
dt
+ Bv = 0 . (3.65)
Ge −B
G =
′
B 0
= 0 . (3.66)
x =
v
u
(3.67)
C dx
+ Gx = 0 . (3.68)
dt
Acest sistem are o structură foarte rară deoarece fiecare rând al matricei C cont¸ine cel
mult un element nenul ce reprezintă o capacitate sau o reluctant¸ă magnetică, iar fiecare rând
al matricei G cont¸ine cel mult 5 elemente nenule, dintre care patru cu valori întregi din matricele
topologice s¸i unul real pozitiv care reprezintă o conductant¸ă electrică ce poate fi zero
într-un izolator s¸i este întotdeauna 0 în ret¸eaua de discretizare magnetică. Printr-o ordonare
potrivită se pot plasa toate elementele nenule din matricea C pe diagonala ei păstrând nule
46

3.3. Modelarea numerică (FIT)
restul elementelor. Această structură permite o reprezentare compactă foarte eficientă a
matricelor C s¸i G. Trebuie remarcat s¸i că această abordare are avantajul de a permite o
modelare us¸oară a regimurilor ES, MS, EQS s¸i MQS, anulând blocurile corespunzătoare
din matricele C s¸i G.
Se observă că ecuat¸ia (3.64) este legea lui Kirchhoff în tensiuni aplicată tuturor nodurilor
circuitului magnetic având ca graf ret¸eaua secundară, iar ecuat¸ia (3.65) este legea lui
Kirchhoff în tensiuni aplicată nodurilor unui circuit electric având ca graf ret¸eaua primară.
Acest sistem pare incomplet deoarece lipses¸te ecuat¸ia Kirchhoff în curent¸i s¸i incorect deoarece
setul de noduri al ret¸elei de discretizare nu este un sistem de bucle independente.
Aceste aspecte nu reprezintă însă o problemă deoarece ecuat¸iile în curent¸i, des¸i neformulate
explicit, sunt o consecint¸ă a ecuat¸iilor (3.66) în regimuri dinamice. Deci, în cazurile particulare
stat¸ionare s¸i cvasistat¸ionare ecuat¸iile pot să nu aibă solut¸ie unică. La acest moment,
sistemul de ecuat¸ii algebrice diferent¸iale nu este complet, deoarece numărul de ecuat¸ii nu
este egal cu numărul de necunoscute. Ecuat¸iile adit¸ionale, care completează sistemul, provin
din forma discretă a condit¸iilor de frontieră.
Efectul condit¸iilor de frontieră asupra ecuat¸iilor de stare
Condit¸iile de frontieră sunt cele care completează formularea corectă a problemei de
câmp. În subcapitolul precendent, s-a arătat faptul că elementul electromagnetic de circuit
asigură compatibilitatea între problema de câmp s¸i cea de circuit. Tot elelementul
electromagnetic de circuit este cel care impune condit¸iile de frontieră, dar în acelas¸i timp
completează s¸i sistemul de ecuat¸ii.
În prima parte se va considera un dispozitiv excitat în curent neglijând efectele parazite,
după care se va studia excitarea în tensiune s¸i modul în care se introduc efectele parazite
adăugând o condit¸ie de frontieră suplimentară pentru terminalele magnetice. As¸adar, se
consideră un sistem cu 2n terminale, primele n fiind terminale de intrare, iar ultimele n fiind
terminale de ies¸ire. Pentru terminalele 1...k, se cunoas¸te excitat¸ia în curent ik = jk(t), în
timp ce al n-lea terminal este conectat la masă având vn = 0. Se ignoră cuplajele parazite,
deci, toate terminalele sunt excitate în curent, iar toate mărimile de ies¸ire sunt mărimi
electrice.
Condit¸ia de frontieră (3.48) este satisfăcută în mod natural, deoarece nici o latură a
ret¸elei de discretizare magnetice nu traversează frontiera domeniului, deci componenta normală
a densităt¸ii fluxului magnetic pe suprafat¸a de frontieră este întotdeauna nulă. Condit¸ia
de frontieră (3.49) este satifăcută atunci când componenta normală a curentului este zero
pe orice punct al frontierei necuprins în interiorul suprafet¸ei terminalelor, ceea ce duce la:
ik = 0, pentru ∀ k ∈ Σ − ∪S ′′
k
(3.69)
Trebuie remarcat faptul că această condit¸ie fixează ca nul doar curentul de conduct¸ie, ci s¸i
curentul de deplasare astfel încât cuplajul electric prin suprafat¸a exterioară necuprinsă în
terminale nu se poate face nici galvanic, nici prin polarizare, nici prin efecte capacitive,
nici prin induct¸ie.
A treia condit¸ie de frontieră (3.50) fort¸ează echipotent¸ialitatea terminalelor se poate
vedea că ea este satisfăcută dacă între orice două puncte de pe un terminal, tensiunea electrică
este nulă. Aceasta se reduce de fapt la a asigura că toate nodurile unui terminal au
47

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
acelas¸i potent¸ial electric sau că pe orice latură din terminal, căderea de tensiune este nulă:
vb = 0, pentru ∀ b ∈ S1...n
(3.70)
Pentru terminalele excitate în curent, condit¸ia neomogenă de frontieră se poate scrie
folosind elementele operatorilor Hodge sub forma:
jk(t) =
im =
dvm
Cem + Gemvm , (3.71)
dt
m∈Sk
m∈Sk
care exprimă curentul total injectat în fiecare terminal k prin suma curent¸ilor corespunzători
tuturor laturilor electrice conectate direct la terminalul k s¸i care sunt fie pe frontieră, fie
ortogonale pe ea. Matriceal, relat¸ia (3.71) se poate scrie sub forma
dv
Sc
dt + SGv = j, (3.72)
unde j este vectorul curent¸ilor de excitat¸ie injectat¸i în terminale.
Se defines¸te matricea de conexiune latură-terminal, S, ale cărei elemente sij sunt +1 sau
-1, dacă există o conexiune între latura j s¸i terminalul k, se poate scrie termenii matriceali
ai relat¸iei (3.72) ca fiind:
SC = SC ′ e, SG = SG ′ e. (3.73)
unde termenii C ′ e s¸i G ′ e sunt matrice pătrate ale operatorilor Hodge, cu aceeas¸i dimensiune
ca s¸i v.
Relat¸ia (3.69) se poate scrie în aceias¸i termeni, punând jk(t) = 0 în (3.71), ceea ce, de
fapt, se reduce la a extinde matricea S, prin adăugarea câte unui rând pentru fiecare nod
de pe suprafat¸a frontierei, cu except¸ia terminalelor, iar vectorul j este extins cu valori nule.
În acest fel, se impune legea lui Kirchhoff în curent¸i, pe toate nodurile frontierei. Prin
adăugarea condit¸iilor de frontieră exprimate de relat¸ia (3.72), se obt¸ine sistemul de stare:
unde
⎡
Ce 0
⎤
C dx
dt
C = ⎣ 0 Gm⎦
, G = ⎣ B 0
SC 0
0
care în formă extinsă devine
⎡ ⎤
Ce 0
⎣ 0 Gm⎦
SC 0
d
dt
v
+
u
+ Gx = y, (3.74)
⎡
⎡
Ge −B ′
SG
Ge −B ′
⎣ B 0
0
SG
⎤
⎦
⎤ ⎡ ⎤
0
⎦ , y = ⎣0⎦
,
j
(3.75)
⎡ ⎤
0
v
= ⎣0⎦
. (3.76)
u
j
Această formă cuprinde relat¸iile constitutive ale tuturor laturilor electrice s¸i magnetice,
legile Faraday s¸i Ampere-Maxwell aplicate pe ret¸eaua de discretizare, legile lui Kirchhoff
în tensiuni s¸i în curent¸i în toate nodurile s¸i condit¸iile de excitare a terminalelor. Dacă terminalele
sunt excitate în curent, mărimile de ies¸ire sunt tensiunile electrice de la terminalele
de ies¸ire
vk(t) =
(3.77)
48
m∈Ct
vm

3.3. Modelarea numerică (FIT)
unde Ck este mult¸imea de laturi care formează calea de la terminalul de curent k la terminalul
de referint¸ă. Scrisă matriceal, relat¸ia (3.77) devine
v ′ = SEv, (3.78)
unde SE reprezintă matricea de conexiune cale-latură. Adăugând relat¸ia (3.74), se poate
defini complet sistemul liniar, invariabil în timp al dispozitivului excitat în curent, fără
cuplaje parazite, pe baza sistemului de stare:
dx C + Gx = y
dt
v ′ (3.79)
= SEv,
unde
⎡
Ce 0
0 Gm
⎤
⎢
C = ⎢
⎣S
′ ⎥ ⎢
⎥
C 0 ⎦ , G = ⎢ B 0
⎣S
0 0
′ G 0
0
⎡
Ge −B ′
SE
⎤
⎥
⎦ ,
⎡ ⎤
0
⎢
y = ⎢0
⎥
⎣0⎦
.
e
(3.80)
Dacă dispozitivul este excitat în tensiune, mărimile de ies¸ire vor fi curent¸ii prin terminalele
de ies¸ire, definit¸i pe baza legii lui Ampere:
ik(t) = H · dr , (3.81)
relat¸ie care se poate scrie în formă discretă ca
ik(t) =
Γk
m∈Γk
um
(3.82)
unde Γk este o mult¸ime de laturi ce cuprinde conturul terminalului k. În acest caz, relat¸ia
(3.74) se completeză cu
i ′ = SJu, (3.83)
în care SJ este matricea de conexiuni laturi-contur. În acest caz, sistemul este descris de
ecuat¸iile de stare
dx C + Gx = y
dt
i ′ = SJu
. (3.84)
Pentru a lua în calcul s¸i cuplajele parazite, se introduce a condit¸ia de frontieră (3.51).
Condit¸ia ce garantează satisfacerea acestei relat¸ii este ca terminalele magnetice să fie echipotent¸iale,
adică între oricare două noduri ale unui terminal, tensiunea magnetică să fie nulă
ub = 0, pentru ∀ b ∈ S ′′
k . (3.85)
Această condit¸ie se poate îndeplini elegant dacă, în structura ret¸elei de discretizare, se
asigură în circuitul magnetic, pentru fiecare terminal k, un nod conectat la nodurile magnetice
de sub suprafat¸a corespunzătoare acestuia. Pentru a găsi o relat¸ie care să completeze
ecuat¸iile de stare, se exprima condit¸ia de frontieră neomogenă pe baza operatorilor Hodge.
Presupunând că terminalele magnetice sunt excitate în flux, relat¸ia (3.85) se poate exprima,
pentru fiecare terminal k, sub forma
fk(t) =
ϕm =
Gmum, (3.86)
m∈S ′ k
49
m∈Sk”

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
pentru toate laturile magnetice conectate direct la terminalul k. În formă matriceală, această
relat¸ie este:
SM = S”G ′ m , (3.87)
unde G ′ m este matricea operatorilor magnetici Hodge.
Mărimile de ies¸ire ale unui astfel de sistem sunt potent¸ialele magnetice ale terminalelor,
cuprinse în vectorul de potent¸iale magnetice w ale terminalelor de ies¸ire care se poate
exprima sub forma
w = S”Mu , (3.88)
unde matricea S ′ M este matricea de conexiune dintre laturile magnetice s¸i calea terminalelor
C”k. Prin urmare, ecuat¸iile de stare în acest caz devin
dx C + Gx = y
dt (3.89)
z = Dx,
în care
⎡
Ce 0
0 Gm
S ′ C 0
⎢
C = ⎢
⎣ 0 0
0 0
este vectorul semnalelor de intrare,
⎤
⎡
Ge −B ′
⎥ ⎢
⎥ ⎢ B 0
⎥ , G = ⎢
⎢S
⎦ ⎣
′ G 0
0
este vectorul semnalelor de ies¸ire s¸i
S ′ E
0 SM
⎡
0
⎢
⎢0
y = ⎢
⎢j
⎣
′
e ′
⎤
⎥
⎦
f
⎡
v ′
z = ⎣ i ′ ⎦
w
x =
⎤
⎥ ,
⎦
⎡
SE
D = ⎣ 0
0
⎤
0
SJ ⎦ ,
SM”
(3.90)
⎤
v
u
este vectorul variabilelor de stare.
Nu este obligatoriu ca excitat¸ia să fie făcută de acelas¸i tip de mărimi. În cazul dispozitivelor
cu excitat¸ie hibridă (de exemplu cu terminale excitate s¸i în tensiune, s¸i în curent),
ecuat¸iile de semistare se ajustează în mod corespunzător pe baza relat¸iilor caracteristice a
fiecărui tip de ecuat¸ie.
Relat¸iile de mai sus sunt suficiente pentru generarea matricelor, însă ele trebuie postprocesate
pentru a asigura tensiunile nule pe terminale. Dacă, pentru fiecare terminal k,
sunt Nntk noduri s¸i Nbtk laturi, terminalul k va avea Nftk = Nbtk − Nntk + 1, ceea ce
corespunde la Nbtk = Nftk + Nntk − 1 tensiuni nule. Astfel, postprocesarea presupune
eliminarea a Nbtk mărimi de stare s¸i a celor Nbtk ecuat¸ii de stare corespunzătoare lor pentru
fiecare terminal k.
50

3.4. Reducerea ordinului modelului prin es¸antionarea adaptivă a frecvent¸elor cu procedura Vector Fitting
În domeniu frecvent¸ă, sistemul de stare (3.89) devine un sistem liniar complex
(sC + G)x = Bu
y = Lx + Du
, (3.91)
având structura bloc din Figura 3.10.
Solut¸ia sistemului (3.91), caracterizează complet distribut¸ia câmpului electromagnetic
în domeniul de calcul, astfel încât ea furnizează un model complet al comportamentului
dispozitivului modelat pentru frecvent¸a considerată.
Figura 3.10: Structura sistemului de stare
Primul bloc serves¸te la caracterizarea componentelor câmpului electric de-a lungul
fiecărei laturi a ret¸elei de discretizare, iar al doilea bloc permite caracterizarea componentelor
câmpului magnetic. În primele ecuat¸ii N ′ f , sunt cuprinse ecuat¸iile Ampere-Maxwel
aplicate pe fet¸ele ret¸elei de discretizare magnetice. Următoarele Nf ecuat¸ii sunt corespunzătoare
legii lui Faraday aplicată pe toate fet¸ele ret¸elei de discretizare primare. Ultimul
bloc caracterizează conservarea curentului (sarcinilor) în toate nodurile din interiorul
ret¸elei de discretizare primare. O variantă îmbunătăt¸ită de generare a ecuat¸iilor de stare cu
FIT pentru EMCE, este prezentată în [97].
Deoarece matricele sistemului pot ajunge s¸i la dimensiuni de peste 1.000.000, rezolvarea
unui astfel de sistem fiind foarte costisitioare atât din punct de vedere al puterii de
calcul, cât s¸i a memoriei sistemului de calcul, se impune aplicarea unei noi metode de
reducere a ordinului modelelor.
3.4 Reducerea ordinului modelului prin es¸antionarea adaptivă
a frecvent¸elor cu procedura Vector Fitting
Algoritmul care va fi folosit în teză pentru reducerea ordinului modelului se numes¸te
Es¸antionarea Adaptivă a Frecvent¸elor cu Vector Fitting (AFS-VF) [95], algoritm ce îs¸i propune
să extragă modelul de ordin redus, pentru componente pasive ale unui circuit integrat,
cu un efort minim de calcul. Efortul de calcul se reduce aducând la minimum numărul de
sisteme de rezolvat. Un efort mic de calcul duce la un timp de executie mic s¸i, în final, la
o modelare mai rapidă componentei pasive de circuit integrat. Cele două părt¸i importante
ale algoritmului sunt:
51

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
• procedura Vector Fitting (VF);
• procedura de Es¸antionare Adaptivă a Frecvent¸elor (AFS).
3.4.1 Procedura Vector Fitting
Init¸ial, procedura VF a fost propusă în lucrarea [112], ca o metodă de interpolare a
răspunsurilor în frecvent¸ă prin îmbunătăt¸irea iterativă a unei aproximat¸ii rat¸ionale.
Pornind de la o funct¸ie g(s) complexă, de variabilă complexă s, se caută aproximarea
ratională:
f(s) = a0 + a1 · s + · · · + aN · s N
b0 + b1 · s + · · · + bN · s N
(3.92)
astfel încât astfel încât f(s) să aproximeze funct¸ia g(s) în sensul celor mai mici pătrate.
Funct¸ia f(s) poate fi rescrisă sub forma:
f(s) =
N cn
+ d + sh (3.93)
s − an
n=1
unde an polii, cn reziduurile s¸i iar termenii d s¸i h sunt numere reale.
Procedura VF implică două etape: o etapă de identificare a polilor s¸i o etapă de identificare
a reziduurilor.
În relat¸ia (3.93) se înmult¸esc ambii membri cu forma rat¸ională a unei funt¸ie necunoscute
σ(s), rezultând :
σ(s) · f(s)
σ(s)
⎡
⎢
= ⎢
⎣
N
n=1
cn + d + sh
s−ān
N
n=1
¯cn + 1
s−ān
⎤
⎥
⎦ . (3.94)
În lucrarea [112] se demonstrează că polii an ai lui f(s) sunt egali cu zerourile lui σ(s).
Înmult¸ind al doilea rând al relat¸iei (3.94) cu f(s) rezultă relat¸ia:
N
N
cn
¯cn
+ d + sh =
+ 1 · f(s). (3.95)
s − ān
s − ān
n=1
scrisă simbolic devine:
n=1
(σf)fit(s) = σfit(s)f(s). (3.96)
Ecuat¸ia neliniară (3.95), are ca necunoscute cn, d, h, ¯cn. Cu ajutorul acestei ecuat¸ii,
scrisă pentru un set de frecvent¸e, se poate formula o problemă liniară supradeterminată de
tipul A · x = b.
52

3.4. Reducerea ordinului modelului prin es¸antionarea adaptivă a frecvent¸elor cu procedura Vector Fitting
Aproximarea rat¸ională pentru funct¸ia f(s) se poate obt¸ine dacă se rescrie relat¸ia (3.95):
rezultând:
N+1
(s − zn)
N+1
(s − ¯zn)
n=1
n=1
(σf)fit(s) = h ·
N
, (σ)fit(s) =
,
N+1
(s − ān)
(s − ān)
(3.97)
n=1
f(s) = (σf)fit(s)
(σ)fit(s)
= h ·
N+1
n=1
(s − zn)
N
. (3.98)
(s − ¯zn)
Astfel polii lui f(s) sunt egali cu zerourile lui σfit(s), pentru că polii init¸iali s-au simplificat.
Calculând zerourile funct¸iei σfit(s) se obt¸ine un set de poli pentru funct¸ia f(s).
Etapa a doua are ca obiectiv obt¸inerea reziduurilor. Reziduurile pot fi calculate direct
din relat¸ia (3.97), însă pentru o acuratet¸e mai bună se pornes¸te de la aproximarea rat¸ională
a lui f(s) (3.93), în care se înlocuiesc polii f(s) cu zerourile lui σ(s). Analog, se obt¸ine o
problema liniară supradeterminată având ca necunoscute cn, d, h.
Lucrarea [113] prezintă o metodă îmbunatăt¸ită de relocare a polilor pentru o convergent¸ă
mai rapidă a procedurii. Lucrarea [114] prezintă o implementare mai eficientă a procedurii
VF, implementare ce exploateză raritatea sistemului de ecuat¸ii rezultat în urma aplicării
metodei celor mai mici pătrate, prin aplicarea directă a decompunerii QR. A treia versiune
a procedurii VF cont¸ine o funct¸ie care fort¸ează pasivitatea modelului obt¸inut, pasivitate ce
asigură stabilitatea modelelului rat¸ional. În [115], [116], [117] s¸i [118] sunt propuse astfel
de metode care să fort¸eze pasivitatea modelului rat¸ional, dar care să s¸i accelereze execut¸ia
procedurii VF.
3.4.2 Algoritmul AFS-VF
Algoritmul AFS cu VF propus în [95] îs¸i propune să obt¸ină caracteristica în frecvent¸ă
cu efort minim de calcul (Figura 3.11). Practic, algoritmul AFS-VF constă în alegerea unui
număr optim de es¸antioane pe baza cărora se va extrage o aproximare rat¸ională a formei
semnalului prin Vector Fitting.
În [119] se analizează eficient¸a algoritmului AFS cu VF, ajungându-se la concluzia că
trebuie folosit un set suplimentar de puncte de test, pentru a controla eroarea pe intervalele
definite de punctele din setul de es¸antioane. Controlând eroarea pe aceste intervale,
numărul total de frecvent¸e este cel mai mic posibil, obt¸inându-se astfel, un timp de calcul
mai mic pentru extragerea caracteristicii în frecvent¸ă.
Pornind de la sistemul de stare:
dx(t)
C + Gx(t) = Bu(t)
dt , (3.99)
y(t) = Lx + Du(t)
se obt¸ine relat¸ia dintre reprezentările complexe ale semnalelor de intrare/ies¸ire, numită
matrice de transfer (3.100)
n=1
n=1
Y(ω) = HF IT (ω) = L(G + jωC) −1 B . (3.100)
53

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
(a) Calcul în 64 puncte (b) Calcul în 15 puncte (AFS-VF)
Figura 3.11: Reducerea efortului de calcul folosind algoritmul AFS-VF
Deci, pentru a calcula matricea de transfer, trebuie rezolvat un sistem liniar de ecuat¸ii
de tipul Ax = b, având A = G + jωC matricea sistemului, iar b = B termenii liberi,
pentru fiecare frecvent¸ă.
Algoritmul poate fi descris prin următorii pas¸i (Figura 4.2):
1. Având ca dată de intrare, sistemul de stare, obt¸inut în urma procesului de discretizare
a ecuat¸iilor cu derivate part¸iale ale elmentului multipolar, alege setul init¸ial de
frecvent¸e de es¸antionare S. Marchează toate intervalele ca necesitând a fi rafinate.
2. Rezolvă sistemele de ecuat¸ii liniare pentru setul init¸ial de frecvent¸e (calculul lui
HF IT (S)).
3. Aplică VF pentru HF IT (S). Se evaluează HV F (S). Ordinul modelului redus este
.
căutat astfel încât εV F > HF IT (S)−HV F (S)
HF IT (S)
4. Alege frecvent¸e de test ce constituie mult¸imea S ′ , câte una în fiecare interval ce
trebuie rafinat.
5. Rezolvă sistemele de ecuat¸ii liniare pentru setul de test S ′ .
6. Calculează HF IT (S ′ ) s¸i evaluează eroarea (Pasul 3) pentru fiecare frecvent¸ă de test.
Dacă această eroare este mai mare decât valoarea impusă, atunci marchează frecvent¸a
de test ca fiind imprecisă.
7. Actualizează S prin mutarea frecvent¸elor de test în mult¸imea frecvent¸elor de es¸antionare.
Marchează ca intervale ce necesită rafinare numai intervalele, care au unul din capete
o fostă frecvent¸ă de test imprecisă.
8. Dacă există intervale de rafinat s¸i numărul de frecvent¸e din lista actualizată nu a
depăs¸it numarul maxim impus, reia de la pasul 4, altfel, opres¸te iterat¸iile.
9. Aplică VF final, pentru mult¸imea de frecvent¸e din S.
54

3.4. Reducerea ordinului modelului prin es¸antionarea adaptivă a frecvent¸elor cu procedura Vector Fitting
Figura 3.12: Algoritm AFS-VF - schema logica
Analizând algoritmul AFS-VF, se constată ca pas¸i critici, din punct de vedere al timpului
de calcul, pas¸ii, în cadrul cărora se rezolvă sistemele de ecuat¸ii liniare, sunt paralelizat¸i.
Abordări paralele ale acestor pas¸i vor fi prezentate în capitolul următor. De asemenea, la
primul pas al algoritmului, se cunosc atât frecvent¸ele de es¸antionare S, cât s¸i frecvent¸ele de
test S ′ . Deci, pentru a îmbunătăt¸i performant¸ele algoritmului paralel, doar la primul pas, se
pot rezolva ambele seturi de frecvent¸e.
În lucrarea [120], este propusă o variantă paralelă a procedurii VF. Analiza algoritmului
a arătat că procedura VF are un timp de execut¸ie mic, iar acest lucru se datorează faptului
că problemele abordate în această teză au 2, maxim 4 porturi. Procedura VF paralelă se
adresează problemelor cu un număr mai mare de porturi, în cazul unei probleme cu număr
mic de porturi, această procedura putând fi chiar mai lentă decât procedura secvent¸ială.
Experimentele numerice au aratat, că cele mai bune rezulate se obt¸in pentru valori ale
tolerant¸elor: εV F = 10 −4 , respectiv εAF S = 10 −2 sau εV F = 10 −5 , respectiv εAF S = 10 −3 .
55

3. Modelarea inductoarelor spiralate integrate
3.5 Concluzii
În cadrul acestui capitol, a fost prezentat întreg procesul dezvoltat de echipa de cercetare
LMN din UPB pentru modelarea componentelor pasive ale circuitelor integrate de
înalta frecvent¸ă. Prima etapă a procesului de modelare furnizează sistemul matriceal de
stare. Acest sistem matriceal este considerat dată de intrare pentru a doua etapă a procesului
de modelare, etapă ce constă în extragerea modelului de ordin redus cu ajutorul algortimului
AFS-VF. Rezultatul final al întregului proces de modelare este un model rat¸ional
pe baza căruia este sintetizat un model echivalent SPICE cu parametri concentrat¸i [121]
ce poate fi conectat într-un circuit exterior s¸i simulate împreună folosind un program de
simulare a circuitelor.
Acest proces de modelare a fost studiat, de autor, în vederea paralelizării. Procedura de
extragere a modelului de ordin redus, pentru componente pasive de circuit integrat, a fost
identificată ca fiind partea cea mai costisitoare din punct de vedere al timpului de execut¸ie.
Tocmai de aceea în capitolul următor vor fi prezentate noi abordări ale acestui algoritm,
abordări care au rolul de a reduce timpul de obt¸inere al modelului de ordin redus.
56

Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea
inductoarelor spiralate
CAPITOLUL 4
Prima parte a acestui capitol cont¸ine o scurtă prezentare a arhitecturii sistemelor multiprocesor
s¸i a tehnicilor de programare paralelă, corespunzătoare lor. În a doua parte se
prezintă metode de rezolvare, directe s¸i iterative, a sistemelor liniare mari generate pe parcursul
procesului de modelare electromagnetică, folosind calculul paralel. Ultima parte
prezintă abordările paralele, propuse de autor, pentru algoritmul de extragerea modelului
de ordin redus (AFS-VF).
4.1 Arhitectura hardware s¸i software a sistemelor multiprocesor
În 1972, Michael Flynn a introdus o clasificare generală a sistemelor de calcul din
punct de vedere al fluxurilor de instruct¸iuni s¸i de date, numită ”Taxonomia lui Flynn” [122].
Această clasificare identifică patru clase de sisteme de calcul:
• SISD - flux unic de instruct¸iuni s¸i de date;
• MISD - fluxuri multiple de instruct¸iuni, flux unic de date;
• SIMD - flux unic de instruct¸iuni, fluxuri multiple de date;
• MIMD - fluxuri multiple de instruct¸iuni, fluxuri multiple de date.
În prezent, sistemul MIMD este cel mai des întalnit pentru calculul paralel. În funct¸ie
de arhitectura memoriei se pot distinge două tipuri de sisteme MIMD (Figura 4.1):
• memorie comună [123] (shared memory - Figura 4.1a) - un sistem de calcul multiprocesor,
în care mai multe unităt¸i de procesare (multi-core CPUs) au acces la o
memorie globală. Interconexiunea dintre procesor s¸i memorie se face printr-o magistrală
(FSB) cu viteză foarte mare de transfer;
57

4. Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate
(a) Memorie comună (b) Memorie distribuită
Figura 4.1: Calculatoare MIMD
• memorie distribuită [123] (distributed memory - Figura 4.1b) - un sistem de calcul
tip cluster, alcătuit din mai multe sisteme de calcul (noduri) interconectate printr-o
ret¸ea de mare viteză.
Combinat¸ia celor două concepte, ment¸ionate anterior, se numes¸te memorie comună distribuită
(distributed shared memory) [124]. Memoria comună distribuită prezintă s¸i ea două
aspecte. Primul aspect încearcă să ascundă partea de memorie distribuită, prezentând memoria
ca o memorie comună globală. Acest aspect este cunoscut sub numele memorie cu
acces neuniform (NUMA) [124]. Celălalt aspect, cunoscut sub numele de cluster cu multiprocesoare
simetrice (symmetric multiprocessor - SMP) [124], scoate în evident¸ă faptul că
memoria distribuită este alcătuită din memoria comună a fiecărui nod.
Datorită evolut¸iei arhitecturii sistemelor de calcul paralelismul s-a dezvoltat s¸i în partea
de programe. Marea majoritatea a programelor pot fi îmbunătăt¸ite cu ajutorul unei forme
de paralelism, divizându-l, până la un anumit nivel, în părt¸i independente ce pot fi rulate
simultan. În urma procesului de divizare, numit descompunere [123], se identifică două
tipuri de paralelism:
• descompunerea domeniului, în literatura de specialitate fiind cunoscut ca paralelismul
datelor (data parallelism) - fiecare proces execută acelas¸i cod având date de
intrare diferite. Acest tip de paralelism este întâlnit, cel mai adesea, sub numele de
paradigma Single Program Multiple Data (SPMD);
• descompunerea funct¸ională, în literatura de specialitate fiind cunoscut ca paralelismul
sarcinilor (task parallelism) - părt¸i independente de cod sunt rulate simultan,
însă fiecare parte are o funct¸ie bine definită. De asemenea, s¸i acest tip de paralelism
este atribuit unei paradigme, paradigma Master/Slave.
Folosirea combinată, a celor două tipuri de paralelism, poate duce la o mai buna exploatare
a resurselor hardware, rezultând programe cu mai multe nivele de paralelism. Caracteristica
ce măsoară gradul de paralelism (gradul de descompunere), se numes¸te granularitate.
În funct¸ie de gradul de granularitate, putem avea programe cu granularitate:
• grosieră - descompunere cu un număr mic de sarcini independente;
• fină - descompunere cu un număr mare de sarcini de executat.
As¸adar, combinând tipurile de paralelism, programele paralele vor putea avea unul sau
mai multe nivele de granularitate.
58

4.1.1 Sistemul de calcul multiprocesor ATLAS
4.1. Arhitectura hardware s¸i software a sistemelor multiprocesor
Laboratorul de Modelare Numerică (LMN din cadrul UPB) dispune de un astfel de sistem
de calcul multiprocesor, clusterul ATLAS [125]. Toate simulările, testele s¸i programele
paralele acestei lucrări, au fost executate pe acest sistem multiprocesor, ce se încadreaza în
clasa de sisteme MIMD, pe care, în funct¸ie de software-ul folosit, pot fi implementate toate
tipurile de paralelism ment¸ionate anterior.
Din punct de vedere al resurselor hardware, clusterul ATLAS este alcătuit din 14 noduri,
dintre care 6 cu câte două procesoare INTEL s¸i 8 cu câte două procesoare AMD, conectate
printr-o ret¸ea de mare transfer InfiniBand. Configurat¸ia nodurilor este:
• 2 x CPU INTEL Xeon Nehalem 2.66GHz 8MB cache, 24GB RAM;
• 2 x CPU AMD Opteron Barcelona 2.3GHz 2MB cache and 16GB.
Sistemul de operare folosit este Linux Fedora, iar, mediul folosit pentru dezvoltarea
programeleor paralele din această teză a fost MATLAB [126], însot¸it de cele două toolboxuri:
Parallel Computing Toolbox [127] s¸i Distributed Computing Server [128]. Mai sunt
disponibile s¸i licent¸e pentru pachetul COMSOL Multiphysics, AC/DC s¸i RF. Toate resursele
software folosite sunt pe 64 bit¸i.
Figura 4.2: Structura clusterului ATLAS
Cele 14 noduri ale clusterului au funt¸ii diferite:
1. 8 noduri, 4 cu procesoare INTEL, 4 cu procesoare AMD, sunt folosite ca noduri de
calcul pentru programele paralele;
2. 3 noduri de acces MATLAB;
3. 2 noduri de test, unde sunt rulate s¸i testate programele paralele, înainte de a fi rulate
pe întreg clusterul;
59

4. Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate
4. 1 nod folosit ca server de fis¸iere, server MATLAB DCS.
În totalitate, clusterul ATLAS dispune de:
• 112 core-uri CPU s¸i 240 core-uri GPU;
• 272GB memorie RAM;
• 10TB memorie HDD.
Modul de funct¸ionare al clusterului depinde de mediul de programare s¸i bibliotecile
folosite. Pentru calcul paralel, în cadrul unui singur nod poate fi folosit, se poate folosi
OpenMP [129], pentru paralelizarea ciclurilor for (concept cunoscut sub numele de embarrassingly
parallel), sau biblioteca LAPACK [130] pentru a accesa operat¸ii BLAS paralele.
Ambele metode pot fi regăsite s¸i în mediul MATLAB, prin toolbox-ul PCT, prima sub numele
parfor, iar a doua metodă este folosită implicit, putând fi modificat numărul de coreuri,
cu ajutorul funct¸iei maxNumCompThreads. Calculul distribuit este folosit pe întreg
clusterul (în cazul de fat¸ă doar pe nodurile dedicate calculului) prin intermediul standardului
Message Passing Interface (MPI) [131]. În cazul MATLAB, serverul DCS este cel care
se ocupă de comunicarea între nodurile de calcul, însă sunt oferite funct¸ii preimplementate
ce au la bază standardul MPI.
Combinat¸ia calculului paralel cu cel distribuit, reprezintă gama de programe hibride,
care pot avea unul sau mai multe nivele de paralelism.
Clusterul ATLAS, mai dispune de o altă componentă de calcul paralel, s¸i anume o
placă cu unităt¸i de procesare grafică (GPU).Placă cu GPU se numet¸e NVIDIA Tesla C1060
([132]) s¸i are următoarele specificat¸ii:
• 240 core-uri (unităt¸i de procesare);
• 1.296 GHz frecvent¸a de lucru a fiecărui core;
• 4GB memorie RAM.
Conform ”Taxonomiei lui Flynn”, placa cu GPU se încadrează în clasa de sisteme cu
arhitectură SIMD, s¸i este destinată a fi folosită cu paradigma paralelismul datelor. Placa cu
GPU poate fi programată cu ajutorul limbajulu CUDA, însă există s¸i posibilitatea de apela
funct¸ii preimplementate din biblioteci CUDA.
4.2 Rezolvarea directă s¸i iterativă, în paralel, a sistemelor
lineare mari
În capitolul precedent, partea de rezolvare a sistemelor de ecuat¸ii, a fost identificată
ca parte critică a algoritmul de modelare magnetică. În acest subcapitol, se va prezenta
un studiu referitor la metodele de rezolvare pentru sistemele de ecuat¸ii liniare cu matrice
rare de mari dimensiuni, generate prin discretizarea ecuat¸iilor câmpului elctromagnetic.
Deoarece în partea critică trebuie rezolvate mai multe sisteme Aix = bi, provenite din
60

4.2. Rezolvarea directă s¸i iterativă, în paralel, a sistemelor lineare mari
(a) Domeniu problemă (b) Bobine în formă ”U”
Figura 4.3: Problemă de test Ucoupled
sistemul de stare pentru o listă de frecvent¸e S = n
i=1 fi, se vor studia în primă fază
posibilităt¸ile de a rezolva mai multe sisteme în paralel.
Pentru testele efectuate în cadul acestui subcapitol, s-a considerat o problemă de test
cu două inductoare simple plasate într-un domeniu alcătuit din 3 straturi (Aer, SiO2, Si -
Figura 4.3a). Problemă considerată se va numi Ucoupled [133], s¸i are două conductoare în
formă ”U” (Figura 4.3b) plasate în stratul de SiO2.
Există două moduri de rezolvarea a unui sistem liniar Ax = b: cu metode directe sau
cu metode iterative. Alegerea uneia sau a alteia diferă de tipul matricei sistemului A care
poate fi: reală sau complexă, simetrică sau nesimetrică, pătrată sau dreptunghiulară, rară
sau densă, pozitiv definită sau nu, structurată sau nu.
4.2.1 Rezolvarea directă
Majoritatea metodelor directe de rezolvare ale unui sistem liniar, execută factorizarea
LU a matricei A s¸i încearcă reducerea costurilor, memorie s¸i timp de calcul, minimizând
umplerea cu elemente nenule a factorilor triunghiulari L s¸i U, în procesul de eliminare.
Practic, o metodă directă este alcătuită din patru pas¸i [134]:
1. preordonare, aplicată pentru a reduce umplerea cu elemente nenule;
2. factorizare simbolică, determină structura elementelor nenule din factorii L s¸i U, fără
valori numerice;
3. factorizarea numerică, calcularea efectivă cu valori numerice a factorilor L s¸i U;
4. rezolvarea sistemelor triunghiulare rezultate:
y = L\b
A · x = b ⇒
x = U\y
61
(4.1)

4. Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate
Pentru simulări, a fost folosită o metodă directă, ce respectă tiparul de mai sus, s¸i anume
solverul UMFPack [89] dezvoltat de Tim Davis. Implementarea din MATLAB a acestui
solver poate fi considerată o implementare paralelă, deoarece, prin intermediul bibliotecii
LAPACK [130], solverul are acces la operat¸ii BLAS paralele, ce se folosesc de faptul că
procesorul sistemului de calcul are două sau mai multe core-uri. Se va executa, ca test,
rezolvarea unor sisteme liniare de mai multe dimensiuni, generate cu FIT, folosind de la 1
la 8 core-uri.
Nr. DoFs Tip nod
1 2 3
Nr. core-uri
4 5 6 7 8
6317
INTEL
AMD
0.4
0.87
0.33
0.7
0.33
0.62
0.28
0.61
0.27
0.58
0.27
0.6
0.27
0.62
0.28
0.53
17069
INTEL
AMD
3.3
6.21
2.25
4.21
2.24
3.67
1.61
3.28
1.61
3.11
1.47
2.95
1.45
3.25
1.32
2.85
42269
INTEL 26.61 16.57 16.54 10.22 10.23 8.37 8.6 7.56
56927
AMD 49.19 30.3 23.92 20.02 18.87 17.18 18.58 15.6
INTEL 53.61 30.29 30.95 18.83 19.24 15.39 15.44 14.37
AMD 93.38 55.02 43.3 35.65 32.19 30.24 30.62 26.73
Tabelul 4.1: Timpii de rezolvare pentru număr diferit de core-uri
În Tabelul 4.1 se găsesc timpii corespunzători rezolvării unui singur sistem, pentru
număr diferit de core-uri. Se poate conclude, că numărul optim de threads-uri pentru rezolvarea
unui sistem este 8, s¸i că timpul de rezolvare pentru un core este de aproximativ 4 ori
mai mic decât timpul de rezolvare pentru 8 core-uri, T8 core = 4 · T1 core
Următorul test, care va consta tot în rezolvarea unui sistem liniar, însă, de această dată
se va urmări performant¸ele solverului, din punct de vedere al timpului de execut¸ie s¸i al
consumului de memorie.
Test 1 2 3 4 5
Grid 15x15x15 25x25x25 37x37x37 38x38x38 39x39x39
Nr. DoFs 6317 84719 283907 308111 333653
INTEL
Timp [s] 0.26 31.68 430.80 494.31 3108
AMD
Mem. [MB] 24 3414 22280 22365 swap
Timp [s] 0.48 63.16 - - -
Mem. [MB] 23 3442 mem. err. mem. err. mem. err.
Tabelul 4.2: Timpii de rezolvare pentru diferite griduri de discretizare
Privind rezultatele numerice (Tabelul 4.2) pentru problema Ucoupled, se poate observa,
că pe configurat¸ia cu procesor AMD, nu au putut fi rezolvate sistemele mari, cu mai mult de
283907 grade de libertate, din cauza necesarului mare de memorie, care a depăs¸it memoria
fizică instalată (configurat¸ia AMD dispune de 16GB memorie RAM). Din cauza structurii
matricei s¸i a umplerilor cu elemente nenule a factorilor L s¸i U (Figura 4.4), de pe parcurs,
solverul UMFPack necesită o cantiate mare de memorie pentru rezolvare.
62

4.2. Rezolvarea directă s¸i iterativă, în paralel, a sistemelor lineare mari
(a) Înainte de factorizare (b) Umplerea după factorizare
Figura 4.4: Matricea FIT înainte s¸i după factorizarea LU.
Pentru rezolvarea sistemului cu 333653 grade de libertate (DoFs), a fost folosită s¸i o
parte din memoria swap, iar acest lucru se vede în timpul mare de rezolvare. Zona de
memorie swap este rezervată pe hard disk-ul respectivului nod, iar viteza de citire/scriere
din această zonă de memorie este mult mai mică decât viteza de citire/scriere din memoria
RAM. Acest lucru face ca s¸i timpul de rezolvare pentru sistemul 333653 grade de libertate,
executat pe configurat¸ia cu procesor INTEL, să fie de aproximativ 6 ori mai mare decât
timpul de rezolvare al sistemului cu 308111 grade de libertate. Pentru configurat¸ia cu
procesor INTEL, intrarea în swap a fost de maxim 1GB, în timp ce configurat¸ia cu procesor
AMD, ar fi avut nevoie 6GB din memoria swap, pentru a rezolva sistemul cu 283907 grade
de libertate, lucru care ar fi dus la un timp de rezolvare foarte mare. Deci, intrarea în zona
de memorie swap este un caz care trebuie evitat.
4.2.2 Rezolvarea iterativă paralelă
Principalul motiv pentru care s-a decis investigarea metodelor iterative, a fost acela că
ele au nevoie, în principiu datorită absent¸ei umplerilor, de o cantitate mai mică de memorie
decât metodele directe, pentru rezolvarea unui sistem de ecuat¸ii liniare, lucru care ar
permite rezolvarea unor sisteme cu mai multe grade de libertate s¸i, implicit, folosirea unor
griduri de discretizare mai dense.
Au fost studiate două metode iterative, destinate rezolvării sistemelor nesimetrice: metoda
reziduului minimal generalizat (Generalized Minimum Residual - GMRES) [135] s¸i
o metodă îmbunătăt¸ită a gradient¸ilor conjugat¸i (BiConjugate Gradient Stabilized - BiCGS-
TAB) [136]. Deoarece sistemele sunt foarte mari s¸i numărul de iterat¸ii, pe care trebuie să
le parcurgă fiecare metodă, este mare, se impune folosirea unei tehnici de calcul paralel,
pentru a reduce timpul de execut¸ie.
Principala condit¸ie a paralelismului, este ca iterat¸iile de executat să fie independente,
ceea ce nu se întâmplă în cazul metodelor iterative, unde iterat¸iile depind una de cealaltă s¸i
nu pot fi executate în paralel (simultan). As¸adar, trebuie găsită o altă solut¸ie de aplicare a
tehnicilor de calcul paralel.
63

4. Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate
Fie solut¸ia init¸ială x(0), calculează vectorul reziduu r = bAx(0)
ρ0 = r, v(1) = r/ρ, β = ρ
for k=1 to n număr maxim de iterat¸ii do
for j=1 to k do
h(j) = (Av(k)) ′ v(j))
end
v(k + 1) = Av(k) − k
h(j, k)v(j)
j−1
ortogonalizare Gram-Schmidt
h(k + 1, k) = v(k + 1)
v(k + 1, k) = v(k + 1)/h(k + 1, k)
end
Figura 4.5: Pseudocod algoritm GMRES
Fie solut¸ia init¸ială x(0), calculează vectorul reziduu r = bAx(0)
ρ0 = 1, ρ1 = r(0) ′ r(0), α = 1, ω = 1, p = 0, v = 0
for k=1 to n număr maxim de iterat¸ii do
β = (ρk/ρk−1)(α/ω)
p = r + β(p − ωv)
v = Ap
α = ρk/((r(0) ′ v)
s = r − αv
t = As
ω = (t ′ s)(t ′ t)
x(k) = x(k − 1) + αp + ωs
r = s − ωt
end
Figura 4.6: Pseudocod algoritm BiCGSTAB
Analizând algoritmii celor două metode, GMRES (Figura 4.5) s¸i BiCGSTAB (Figura
4.6), se observă faptul că la fiecare iterat¸ie, se folosesc operat¸ii de algebră liniară: operat¸ii
vector-vector (BLAS 1) s¸i operat¸ii matrice-vector (BLAS 2), operat¸ii ce se găsesc, ca instrumente
de programare, în biblioteca Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) [74].
În funct¸ie de dotările sistemului de calcul, se pot folosi diferite biblioteci, ce utilizează
o formă de paralelism, pentru a apela operat¸ii BLAS paralele:
• pentru sistemele cu mai multe procesoare, se poate folosi biblioteca BLAS multithreaded
(ATLAS [137], Goto BLAS , LAPACK [75]);
• pentru sistemele cu placa GPU, cele mai cunoscute sunt bibliotecile CUBLAS [138]
(pentru matrice dense) sau CUSPARSE [139](pentru matrice rare).
Pentru testele realizate în această lucrare, s-au folosit implementările GMRES s¸i Bi-
CGSTAB din MATLAB, respectiv din biblioteca CUSP. Pentru a putea accesa metodele
iterative din biblioteca CUSP [140], paralelizate cu tehnologia da calcul paralel GPU, au
64

4.2. Rezolvarea directă s¸i iterativă, în paralel, a sistemelor lineare mari
fost scrise programe, ce asigură rezolvărea unui sistem, dar s¸i etapele premergătoare rezolvării:
transferul s¸i compatibilitatea datelor, între MATLAB s¸i formatul acceptat pentru
procesarea GPU.
Mai exact, contribut¸ia autorului este realizarea fis¸ierelor ce cont¸in funct¸ii mex s¸i funct¸ii
MATLAB, ce fac posibilă apelarea metodelor iterative din biblioteca CUSP.
|-- cuda_programs
| |-- iterative_solver.m
| |-- matrix_conv
| | ‘-- csc2coo_matrix.m
| ‘-- solvers
| |-- solver_complex_mex.cu
| ‘-- solver_real_mex.cu
|-- main_test_script.m
|-- make_install.m
|-- matrices
| ‘-- matrices.mat
‘-- read_me_first.txt
Figura 4.7: Structura suitei de programe
Aceste fis¸iere au fost organizate într-o suită de programe (Figura 4.7). Cu ajutorul acestor
programe, se pot rezolva atât sisteme liniare reale rare, cât s¸i sisteme liniare complexe
rare.
Fiecăre funct¸ie a suitei de programe are un rol bine definit:
1. read me first.txt - cont¸ine informat¸ii referitoare la instalarea s¸i utilizarea suitei
de programe (Anexa C.1);
2. make install.m - fis¸ierul de instalare (Anexa C.2);
3. main test script.m - fis¸ier model de apelarea solverelor iterative (Anexa C.3);
4. iterative solver.m - funct¸ie MATLAB, ce apelează funct¸ia de conversie a
matricei (funct¸ie MATLAB), din format CSC în format COO, s¸i funct¸ia de rezolvare
a sistemului (funct¸ie mex) (Anexa C.4);
5. csc2coo matrix.m - funct¸ie MATLAB, ce convertes¸te o matrice în format CSC
în format COO (vezi [141] pentru formate matrice rare - CSC, COO, CSR) (Anexa
C.5);
6. solver complex mex.cu (Anexa C.6)s¸i solver real mex.cu (Anexa C.7)
sunt funct¸ii mex, ce contin codul, care calculează rezultatul sistemului, dar, realizează
s¸i transferul de informat¸ii din mediul MATLAB către placa GPU s¸i invers.
Rezultatele obt¸inute cu metodele iterative paralele GMRES s¸i BiCGSTAB, în cazul sistemului
generat cu metoda FIT pentru problema Ucoupled, sunt inexacte, principala cauză fiind
condit¸ionărea slabă a sistemului. De aceea, în subcapitolul următor se vor testa metode
65

4. Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate
iterative cu precondit¸ionare. Totus¸i, pentru a ilustra utilitatea metodelor iterative paralele,
ele au fost aplicate rezolvării unor sisteme de ecuat¸ii liniare generate de programul profesional
COMSOL, care foloseste metoda elementelor finite, deci, în funct¸ie de complexitatea
modelului, poate genera matrice rare, simetrice, pozitiv definite, diagonal dominante.
Figura 4.8: Problema Ushape
Pentru problemă de test (Problema Ushape - Figura 4.8), a fost considerat un domeniu,
similar cu cel definit pentru celelalte probleme, respectiv trei straturi Aer, SiO2, Si, s¸i o
bobină în formă ”U”, aflată în stratul de SiO2. Matricele rezultate din acest model sunt rare,
pătrate s¸i diagonal dominante (Figura 4.9). Pentru a putea ”aduce” sistemul matriceal în
mediul MATLAB, a fost folosit toolbox-ul COMSOL Live Link for MATLAB. Contribut¸ia
autorului, constă în scrierea unei funct¸ii (Anexa D, care să exporte sistemul de stare din
mediul COMSOL în mediul MATLAB.
(a) FEM1 (b) FEM2 test (c) FEM3 test
Figura 4.9: Structura matricelor problemei Ushape pentru diferite griduri de discretizare
A fost aleasă forma sistemului de stare, în care matricele sunt rare:
MC dx(t)
dt = MAx(t) + MBu(t)
, (4.2)
y(t) = Cx + Du(t)
unde matricele MC s¸i MA sunt mai rare decât în alte forme ale sistemului de stare oferite
de Comsol [142]. Astfel, folosind sistemul de stare rezultat, ca dată de intrare pentru algoritmul
AFS-VF, se poate obt¸ine modelul SPICE (modelul de ordin redus) pentru problema
66

4.2. Rezolvarea directă s¸i iterativă, în paralel, a sistemelor lineare mari
modelată. În prima variantă, modelul cont¸ine efectele câmpului electromagnetic modelate
cu metoda FIT, în schimb, acest model va cont¸ine efectele modelate cu metoda FEM.
Au fost executate teste, pe două tipuri de platformă de calcul:
• CPU - folosind nodul Psi, având configurat¸ia 2 x Intel Xeon i7 CPUs, 2.66 GHz cu 8
MB memorie cache, un total de 8 cores per nod, s¸i 24 GB memorie RAM;
• GPU - folosind NVIDIA Tesla C1060 [132], 240 cores, 1.296 GHz per core, 4GB
memorie RAM.
Testul a constat în rezolvarea unui sistem complex A · x = b, folosind solverul GMRES
cu restart, pentru care a fost calculat norma reziduului rezultatului final, R = norm(b−A∗x)
,
norm(b)
s¸i accelerarea, S = TCP U . Pentru GPU, testul a fost rezolvat pentru două valori de restart
TGP U
50 (GPU1), respectiv 5000 (GPU2), iar pentru CPU valoarea de restart a fost setată la 50.
Problemă FEM1 FEM2 FEM3
No. of DoFs 7196 11568 19486
Results Timp [s] R Timp [s] R Timp [s] R
GMRES
CPU
GPU1
5086
62
7.6e-2
9.1e-2
11860
161
7.4e-2
4.0e-2
26766
452
2.8e-2
3.8e-2
GPU2 3165 7.3e-6 476 2.98e-5 15875 3.73e-6
Speedup1 82 73 59
Speedup2 1.6 24 1.7
Tabelul 4.3: Rezultatele testelor pentru diferite griduri de discretizare
Rezultatele obt¸inute pentru CPU s¸i GPU1 arată o accelerare foarte bună, în condit¸iile
în care acuratet¸ea este aproximativ aceeas¸i. În mod normal, în aceleas¸i condit¸ii de rulare,
rezultatele ar fi trebuit să fie identice, însuă, din cauza implementării algoritmului GMRES,
pot apărea mici diferent¸e. Testul GPU2 arată că se pot obt¸ine rezultate cu o acuratet¸e mai
bună, însă, după cum se poate vedea s¸i în Tabelul 4.3, costurile, din punct de vedere al
timpului de execut¸ie, sunt destul de ridicate.
Acelas¸i test a fost executat pentru o alta problemă, din colect¸ia de exemple COMSOL,
ce constă într-o bobina spiralată aflată într-un domeniu cu Aer (Figura 4.10).
Problem FEM1 FEM2 FEM3
No. of DoFs 9874 10452 14569
Results Time [s] Norm Time [s] Norm Time [s] Norm
GMRES
CPU
GPU
2652
1694
1.3e-6
4.2e-4
2646
1081
1.0e-6
5.4e-4
28213
2127
3.9e-2
4.9e-4
Speedup 1.57 2.45 13.26
Tabelul 4.4: Rezultatele testelor pentru diferite griduri de discretizare
S¸i în cazul acestei probleme (Tabelul 4.4), s-a observat, că pe GPU obt¸in performant¸e
mai bune decât pe CPU. Un alt lucru, de asemnea important, este acela, că pentru ambele
67

4. Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate
Figura 4.10: Problema cu bobina spiralată
probleme, Ushape s¸i Bobină Spiralată, discretizate cu gridul FEM3, s-a consumat o cantitate
mai mare de 4GB memorie. Concluzia imediată este, că pe GPU a fost consumată o
cantitate mai mică sau cel put¸in egală cu 4GB, placa GPU având o memorie fizică de doar
4GB.
După o investigat¸ie a codului s-a descoperit că în realitate solverul GMRES din biblioteca
CUSP foloses¸te nu doar memoria plăcii GPU, ci s¸i memoria RAM a calculatorului
pentru a executa anumite operat¸ii ale algortimului de rezolvare - norma s¸i produsul scalar
(dot product). Aceste operat¸ii ret¸in doar o valoare as¸a că folosirea procesării GPU nu este
eficientă, ele fiind mai potrivit de executat pe CPU folosind memoria RAM. În acest fel solverul
implementat pe GPU reus¸es¸te să rezolve sisteme care necesită o cantitate de memorie
mai mare decât cea fizic instalată.
În concluzie, s-a demonstrat că solverele GPU sunt mai performante din punct de vedere
al timpului de execut¸ie decât solverele seriale CPU. Pe parcursul cercetărilor s-a observat că
perfomant¸ele s¸i acuratet¸ea solverelor GPU depind puternic de: tolerant¸ă impusă, numărul
maxim de iterat¸ii s¸i valorea de restart a metodei iterative. De asemenea, s-a observat că solverele
GPU nu reus¸esc să obt¸ină rezultate exacte pentru sistemele generate cu metoda FIT,
una din principalele cauze fiind condit¸ionarea slabă a matricei sistemului. Următorul pas
în investigarea metodelor iterative reprezintă investigarea metodelor de precondit¸ionare.
4.2.3 Rezolvarea iterativă cu precondit¸ionare
Spre deosebire de metodele directe, metodele iterative nu aduc modificări matricei A,
ci ele caută, succesiv, cea mai bună aproximare a solut¸iei x. Vectorul reziduurilor
rk = b − A · xk, (4.3)
indică cât de aproape este solut¸ia de la iterat¸ia k, de solut¸ia reală x. Solut¸ia de la iteratia
k + 1 se calculează adăugând solut¸iei anterioare o corect¸ie ce depinde de acest reziduu, de
exemplu, în cazul cel mai simplu (metoda iterativă Richardson):
xk+1 = xk + rk = xk + b − A · xk . (4.4)
68

4.2. Rezolvarea directă s¸i iterativă, în paralel, a sistemelor lineare mari
Se constată că la fiecare iterat¸ie efortul de calcul este mic s¸i se reduce practic la o
înmult¸ire matrice-vector. Deoarece, în cazul unui sistem mare, metodele iterative au nevoie
de un număr mare de iterat¸ii pentru a obt¸ine solut¸ia, se pot folosi, pentru îmbunătăt¸irea
convergent¸ei, metode de precondit¸ionare. Metodele de precondit¸ionare folosesc o matrice
M ce aproximează inversa matricei A [143], cu ajutorul căreia se obt¸ine un sistem a cărui
rezolvare necesită mai put¸ine iterat¸ii:
M · A · x = M · b. (4.5)
Cu cât matricea M este mai aproape de inversa matricei A, cu atât numărul de iterat¸ii
este mai mic. La limită, este suficientă o singura iterat¸ie, dar acesta este de fapt cazul
metodeleor directe.
Matricea M trebuie să fie la rândul ei rară s¸i să poată fi calculată fără efort prea mare
de calcul. Folosind precondit¸ionarea, relat¸ia (4.4) devine:
M · A · x = M · b. (4.6)
Matricea noului sistem A1 = M · A, are proprietăt¸i mai bune decât matricea A, în cazul
matricelor FIT, un număr de condit¸ionare mai mic [143]. Numărul de condit¸ionare poate fi
calculat cu formula:
ncond = A −1 · A, (4.7)
s¸i el furnizează informat¸ii referitoare la cât de bine sau cât slab condit¸ionată este matricea
A. În mediul Matlab, numărul de condit¸ionare poate fi calculat cu ajutorul comenzii
condest(A), dar, este evident că acest calcul cere un efort mare pentru matrice de mari
dimensiuni.
După mai multe teste, ca metodă de precondit¸ionare, a fost folosită factorizarea incompletă
ilu [144], iar pentru rezolvare metoda reziduului minimal generalizat (Generalized
Minimum Residual - GMRES) [135]:
• GMRES cu precondit¸ionare ilu, apelate din MATLAB[126] (iluMAT );
• GMRES cu precondit¸ionare ilu, apelate din toolbox-ul pentru MATLAB, ILUPACK
[145] (iluP ACK).
Factorizarea incompletă aproximează, până la un anumit punct indicat printr-o limită
setată manual, factorii L s¸i U. Factorii L s¸i U sunt folosit¸i ca matrice de precondit¸ionare
pentru apelul funt¸iei GMRES (în Matlab: x = gmres(A, b, [], tol, no it,
L, U);).
ILUPACK execută următorii pas¸i:
1. preordonarea matricei sistemului folosind AMD, METIS, RCM, MMD, AMF (pentru
detalii vezi site http://www.icm.tu-bs.de/˜bolle/ilupack/doc/
matlab.html);
2. calculul inversei matricei preordonate, folosind factorizarea incompletă cu pivotare
diagonală;
69

4. Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate
3. aplicarea unei strategii recursive, ce aplică in mod repetat pas¸ii 1s¸i 2, pentru calculul
complementului Schur, ce are ca rezultat factorii incomplet¸i L s¸i U;
4. rezolvarea sistemului folosind factorii L s¸i U rezultat¸i la pasul 4.
Pentru testele executate în cadrul acestei etape, au fost utilizate matricele FIT pentru
problema Ucoupled.În Tabelul 4.5, se găsesc rezultatele, pentru rezolvarea unui sistem liniar,
obt¸inute pentru cele două metode iterative cu precondit¸ionare: iluP ACK s¸i iluMAT .
Grid 10x10x10 15x15x15 20x20x20 25x25x25 30x30x30
DoFs 4631 17069 42269 84719 148895
mem. [GB] 0.32 1.3 8 14 mem err
iluP ACK Timp [s] 2.82 37.15 427.25 7638 -
R 3.8e-12 2.1e-11 6.4e-12 4.2e-12 -
mem. [GB] 0.4 2 mem err - -
iluMAT Timp [s] 2.1 44.5 - - -
R 7.68e-13 3.15e-12 - - -
Tabelul 4.5: Rezulte numerice obt¸inute cu metode iterative cu precondit¸ionare
Consumul mare de memorie în cazul metodelor iterative cu precondit¸ionare, se datorează
condit¸iilor impuse metodei de precondit¸ionare, anume factorizarea incompletă.
Condit¸iile restrictive ale factorizării incomplete au dus la umplerea, cu valori nenule, a
matricei de precondit¸ionare, lucru care se traduce în consum mare de memorie. Deci, folosirea
unor condit¸ii mai slabe pentru precondit¸ionare ar duce la un consum mai mic de
memorie, însă timpul de execut¸ie al precondit¸ionării rămâne acelas¸i, deci, s¸i timpul total de
rezolvare rămâne ridicat.
În Tabelul 4.5, timpii prezentat¸i pentru rezolvarea sistemului, reprezintă suma timpului
pentru obt¸inerea matricei de precondit¸ionare adunat cu timpul pentru rezolvarea efectivă
a sistemului folosind metoda iterativă. Trebuie ment¸ionat faptul că timpul de rezolvare
al sistemului a fost mult mai mic decât timpul de calcul al matricei de precondit¸ionare,
metoda iterativă reus¸ind să ajungă la rezultatul final după 3-4 iterat¸ii.
În Figura 4.11 sunt centralizate performant¸ele metodelor de rezolvare prezentate în
acest subcapitol. Concluzia acestui subcapitol este că metoda directă (solverul UMFPack),
obt¸ine cele mai bune rezultate, pentru matricele generate folosind metoda FIT. Găsirea unei
tehnici competitive de precondit¸ionare, pentru aceste matrice, necesită studii suplimentare,
această problemă rămânˆnd deschisă. Drept urmare, acest solver va fi folosit pentru simulările
din subcapitolele ce urmează.
4.2.4 Rezolvarea, în paralel, a mai multor sisteme liniare
Rezolvarea, în paralel, a mai multor sisteme liniare reprezintă etapa premergătoare
paralelizării algoritmului AFS-VF. Pentru această sect¸iune, se consideră ca test rezolvarea
sistemului pentru problema Ucoupled pentru o listă de frecvent¸e. Din problema Ucoupled
discretizată cu un grid 22 × 22 × 22, rezultă un sistem cu 56927 grade de libertate. Acest
sistem trebuie rezolvat pentru un număr de frecvent¸e nfrec, din banda 1 − 60GHz. Pentru
70

4.2. Rezolvarea directă s¸i iterativă, în paralel, a sistemelor lineare mari
(a) Memorie (b) Timp
Figura 4.11: Performant¸e metode de rezolvare directe vs iterative
rezolvarea unui sistem, a fost nevoie de 1.7GB memorie, însă, deoarece configurat¸ia cu
procesoare INTEL s-a dovedit a fi mai rapidă, testul următor, va fi executat folosind numai
nodurile cu acest tip de procesor.
Se vor rula testele folosind cele două versiuni paralele:
• abordarea cu un singur nivel de granularitate, unde 1 worker (unitate de lucru) = 1
core (notată cu 1LvlGr);
• abordarea cu două nivele de granularitate, unde 1 worker = 1 nod cu 8 core-uri al
cluster-ului (notată cu 2LvlGr). Primul nivel reprezintă rezolvarea simultană a sistemelor,
iar al doilea nivel reprezintă rezolvarea cu UMFPACK, folosind 8 core-uri.
Speedup-ul (accelererea) este calculat după formula:
S = Ts
=
Tp
nfreq ∗ T1
, (4.8)
Tp
unde Ts reprezintă timpul serial, T1 timpul de rezolvare al unui sistem pentru o frecvent¸ă,
nfrec numărul de frecvent¸e, iar Tp timpul paralel.
Pentru un singur sistem cu 56927 grade de libertate, timpul de rezolvare obt¸inut este
T1 = 13.41. Timpii paraleli (Tabelul 4.6) au fost obt¸inut¸i rulând cele două versiuni pe 4 noduri
din cluster-ul Atlas, rezultând 32 workersi pentru versiunea cu un nivel de granularitate
s¸i 4 workersi pentru versiunea cu două nivele de granularitate.
Din punct de vedere al speedup-ului (Tabelul 4.6), se poate spune că abordarea cu un
singur nivel de granularitate (1LvlGr) obt¸ine performant¸e mai bune fat¸ă de abordarea cu
două nivele de granularitate (2LvlGr), doar atunci când avem un număr mic de sisteme de
rezolvat (sub 10).
Pentru a avea o imagine mai clară asupra perfomant¸elor celor două versiuni, vom face
o analiză a eficient¸iei acestora.
Analiza eficient¸ei folosirii versiunilor paralele
Se consideră notat¸iile:
71

4. Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate
Timp [s]
Speedup
nfrec 10 20 30 40 59
Ts 134.1 268.2 402.3 536.4 791.19
Tp 1LvlGr 67.57 67.87 69.33 122.13 123.02
Tp 2LvlGr 40.57 68.30 105.73 132.18 196.20
S1LvlGr 1.98 3.95 5.80 4.39 6.43
S2LvlGr 3.31 3.93 3.80 4.06 4.03
Tabelul 4.6: Rezultatele numerice pentru cele două versiuni
• [n] - partea întreagă lui n;
• {n} - parte fract¸ionară a lui n;
• nfrec - numărul de frecvent¸e;
• nworker - numărul de workersi pentru versiunea 1LvlGr;
• 8 ∗ nworker - numărul de workersi pentru versiunea 2LvlGr;
⎧
1 dacă nfrec < nworker
⎪⎨
• nit =
⎪⎩
nfrec
nworker
nfrec
nworker
dacă
nfrec
nworker
+ 1 dacă
= 0
nfrec
nworker
= 0
- numărul de iterat¸ii.
Din testele efectuate pe durata cercetării, a rezultat că timpul de rezolvare al unui sistem
cu 1 core este de aproximativ 4 ori mai mare decât timpul de rezolvare al unui sistem cu 8
core-uri: T1 = 4 ∗ T8.
Făcând un simplu calcul, se poate aproxima, ce implementare va fi mai rapidă. Acest
lucru se poate face comparând timpii de execut¸ie obt¸inut¸i pentru fiecare implementare,
timpi ce se vor numi timpi paraleli Tp. Timpul paralel se calculează după formula: Tp =
nit ∗ Ti, unde nit se obt¸ine după definit¸ia de mai sus, iar Ti reprezintă timpul de rezolvare
al unui sistem.
În concluzie, vom avea număr de iterat¸ii diferit, s¸i, implcit, timpi paraleli diferit¸i pentru
fiecare versiune. Pentru versiunea 1LvlGr, timpul paralel devine:
iar pentru versiunea 2LvlGr, timpul paralel este:
Exemplul 1
nfrec = 10
Tp1 = nit1 ∗ T1, (4.9)
Tp2 = nit2 ∗ T8. (4.10)
nworker = 4 workersi pentru 2LvlGr
8 ∗ nworker = 32 workersi pentru 1LvlGr
T1 este timpul de rezolvare al unui sistem pentru 1LvlGr, iar timpul T8 este timpul de rezolvare
al unui sistem pentru 2LvlGr
72

4.3. Paralelizarea Es¸ationării Adaptive a Frecvent¸elor cu Vector Fitting(AFS-VF paralel)
T1 = 4 ∗ T8
Tp1 = nit1 ∗ T1 = 1 ∗ T1 = 1 ∗ 4 ∗ T8 pentru 1LvlGr
Tp2 = nit2 ∗ T8 = 3 ∗ T8 pentru 2LvlGr
În acest caz timpul paralel pentru 2LvlGr este mai mic decât timpul paralel pentru
1LvlGr (se verifică, vezi Tabelul 4.6).
În ceea ce prives¸te rezolvarea sistemelor pentru o listă de frecvent¸e, au fost propuse
două abordări. Rezultatele testelor au arătat, că înainte de a utiliza una din abordările
paralele, poate fi făcut un calcul prin care să se aproximeze timpul de execut¸ie, pentru a
vedea, care din cele două versiuni este mai portrivită pentru a rezolva respectivul caz.
Un alt lucru foarte important, pentru decizia utilizării uneia dintre versiunile propuse,
este acela că pentru versiunea 1LvlGr (1 worker = 1 core), 1 worker va avea la dispozit¸ie
doar 1
24
din memoria totală a nodului respectiv, adică, în cazul nodurilor INTEL, = 3GB
8 8
memorie RAM. Această limitare reprezintă un important dezavantaj, deoarece folosind
această versiune, se vor putea rezolva doar sisteme care necesită o cantitate de maxim 3 GB
memorie (aproximativ 85000 grade de libertate), ceea ce înseamnă că gridul de discretizare
nu poate fi foarte dens, rezultând simulări cu erori mai mari.
De asemenea, s-a observat faptul că, pentru un număr mic de frecvent¸e (mai mic de 10),
versiunea cu două nivele de granularitate obt¸ine performant¸e mai bune decât versiunea cu
un singur nivel de granularitate.
4.3 Paralelizarea Es¸ationării Adaptive a Frecvent¸elor cu
Vector Fitting(AFS-VF paralel)
As¸a cum a fost prezentat în Capitolul 3, pasul critic al algoritmului AFS-VF, implică
rezolvarea unui sistem liniar de ecuat¸ii, de tip A · x = b, pentru o serie de frecvent¸e. Acest
lucru se întâmplă, din cauza sistemelor de rezolvat, care au o dimensiune foarte mare (pot
depăs¸i 10 6 grade de libertate), ceea ce implică timpi de rezolvare foarte mari.
Folosind tehnici de calcul paralel s¸i distribuit, autorul propune două versiuni paralele
ale algoritmului AFS-VF [146], obiectivul folosirii lor, fiind acela de a reduce la minimum
timpul de modelare. Practic, cele două versiuni propuse urmăresc algoritmul serial, însă,
pasul critic este executat folosind abordările paralele ment¸ionate în subcapitolul anterior.
Rezultă, două abordări, cu un nivel de granularitate, respectiv cu două nivele de granularitate,
ambele cont¸inând aceeas¸i succesiune de pas¸i:
1. citirea datelor de intrare - încărcarea sistemului matriceal în memoria fiecarui worker
(unitate de lucru);
2. distribuirea listei de frecvent¸e - fiecare worker primes¸te un set de frecvent¸e, pentru
care sistemul trebuie rezolvat;
3. rezolvarea simultană pentru fiecare set de frecvent¸e primit;
4. asamblarea răspunsului - pregătirea datelor de ies¸ire într-un format compatibil cu
restul programului.
73

4. Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate
Diferent¸a dintre cele două versiuni constă în abordarea hardware-ului s¸i software-ului
sistemului de calcul, din punct de vedere al granularităt¸ii. Nivelul de granularitate are o
mare influent¸ă asupra performant¸elor algoritmului paralel, deoarece un nivel de granularitate
prea mare ar încetini execut¸ia programului (din cauza timpilor de comunicare), iar un
nivel de granularitate prea mic, nu ar exploata la maxim resursele de calcul.
Prima abordare, propusă de autor, este construită cu un singur nivel de granularitate, iar,
dacă se ia în calcul numărul de sarcini în care este împart¸it pasul de executat, se poate spune
că se foloses¸te granularitate grosieră. A doua abordare, propusă, este construită cu două
nivele de granularitate: primul nivel cu granularitate mare, constând in rezolvarea simultană
a mai multor sisteme, iar cel de-al doilea, cu granularitate fină, constând în rezolvarea
sistemului folosind procesarea multicore.
Altfel spus, prima abordare (Figura 4.12a) foloses¸te, ca unitate de lucru (worker), coreurile
fiecărui nod din cluster, iar a doua abordare (Figura 4.12b) foloses¸te ca unitate de
lucru la primul nivel nodurile cluster-ului, iar la al doilea nivel core-urile procesoarelor.
(a) Un nivel de granularitate (b) Două nivele de granularitate
Figura 4.12: Abordări paralele ale AFS-VF
Performat¸a algoritmului AFS-VF paralel poate fi s¸i ea calculată, pornind de la analiza
făcută în subcapitolul anterior. Timpul de execut¸ie al algoritmului AFS-VF paralel poate fi
aproximat cu formula:
Tp AF S =
nit AF
S
i=1
Tpi
(4.11)
unde Tp AF S, reprezintă timpul paralel de execut¸ie al algoritmului AFS-VF, Tpi reprezintă
timpul paralel pentru fiecare iterat¸ie (calculat folosind formulele 4.9 s¸i 4.10, prezentate mai
sus), iar nit numărul de iterat¸ii.
Exemplul 2 Presupunem cazul prezentat în Tabelul 4.7, pentru 4 puncte de start. Avem ca
date de intrare:
nitAF = 2 S
nworker = 4 workersi pentru 2LvlGr
74

4.3. Paralelizarea Es¸ationării Adaptive a Frecvent¸elor cu Vector Fitting(AFS-VF paralel)
8 ∗ nworker = 32 workersi pentru 1LvlGr
T1 este timpul de rezolvare al unui sistem pentru 1LvlGr, iar timpul T8 este timpul de
rezolvare al unui sistem pentru 2LvlGr, T1 = 4 ∗ T8
Observat¸ia 1 Trebuie ment¸ionat faptul că implementările paralele rezolvă la prima iterat¸ie
un număr de sisteme egal cu suma dintre numărul punctelor de start s¸i numărul de sisteme
S ′ de rezolvat pentru prima iterat¸ie din tabelul de convergent¸ă.
Pentru 1LvlGr avem nitAF S
= 2 timpi paraleli de calculat:
Tp1 = nit1 ∗ T1 = 1 ∗ T1 = 1 ∗ 4 ∗ T8
(numărul de frecvent¸e, pentru iterat¸ia 1, este 4+3=7, vezi Tabelul 4.7)
Tp2 = nit2 ∗ T1 = 1 ∗ T1 = 1 ∗ 4 ∗ T8
(numărul de frecvent¸e, pentru iterat¸ia 2, este 6, vezi Tabelul 4.7)
Tp AF S 1LvlGr = 2
i=1
Pentru 2LvlGr avem nitAF S
Tpi = Tp1 + Tp2 = 4 ∗ T8 + 4 ∗ T8 = 8 ∗ T8
= 2 timpi paraleli de calculat:
Tp1 = nit1 ∗ T8 = 2 ∗ T8
(numărul de frecvent¸e, pentru iterat¸ia 1, este 4+3=7, vezi Tabelul 4.7)
Tp2 = nit2 ∗ T8 = 2 ∗ T8
(numărul de frecvent¸e, pentru iterat¸ia 2, este 6, vezi Tabelul 4.7)
Tp AF S 2LvlGr = 2
i=1
Tpi = Tp1 + Tp2 = 2 ∗ T8 + 2 ∗ T8 = 4 ∗ T8
În acest caz timpul paralel pentru 2LvlGr este mai mic decât timpul paralel pentru
1LvlGr.
εAF S εV F Nr. pct. Convergent¸a
1e-3 1e-5 4
1e-3 1e-5 8
iterat¸ie 1 2
S ′ 3 6
S + S ′ 7 13
iterat¸ie 1
S ′ 7
S + S ′ 15
Tabelul 4.7: Convergent¸a algoritmului AFS-VF3 pentru problema Ucoupled
În Tabelul 4.7 este prezentată convergent¸a algoritmului AFS-VF3 pentru problema Ucoupled,
cu grid 20 × 20 × 20, 56927 grade de libertate, s¸i parametri diferit¸i (εAF S, εV F ,
numărul punctelor de start). Se poate observa, că numărul de sisteme S ′ , care trebuie rezolvat
pentru fiecare iterat¸ie, este mai mic de 10 pentru primul caz, cu 4 puncte de start, s¸i
mai mare 10 pentru al doilea caz, cu 8 puncte de start.
În Tabelul 4.8 sunt prezentat¸i timpii de execut¸ie, în cazul mai sus ment¸ionat, ai algoritmului
AFS-VF pentru problema Ucoupled. Se poate observa, că aproximările făcute, sunt
adevărate, implementarea cu două nivele de granularitate obt¸inând timpi mai mici în cazul
cu 4 pucte de start (unde avem sub 10 puncte per iterat¸ie) s¸i timpi mai mari în cazul cu 8
puncte de start (unde avem peste 10 puncte per iterat¸ie).
75

4. Folosirea sistemelor multiprocesor în modelarea inductoarelor spiralate
U coupled
Grid 20 × 20 × 20
DoFs 42269
Nr. in/out 2
Nr. pct. Timp [s]
Ts 141.8
4 Tp 1LvlGr 90.39
Tp 2LvlGr 60.27
Ts 157.64
8 Tp 1LvlGr 47.76
59.27
Tp 2LvlGr
Tabelul 4.8: Timpii de execut¸ie ai algortimului AFS-VF pentru problema Ucoupled
De asemenea, abordările paralele ale algoritmului AFS-VF, păstrează limitările rezolvării,
în paralel, a mai multor sisteme, respectiv implementarea cu un singur nivel de
granularitate poate folosi doar 1 din memoria totală pentru rezolvarea unui sistem. Din
8
punct de vedere al abordării problemelor de dimensiuni mari, abordarea cu două nivele de
granularitate este superioară, deoarece oferă o cantitate de memorie mai mare pentru rezolvarea
unui sistem. Însă, pentru sisteme mici, poate fi folosită metoda de calcul a accelerării,
pentru a determina alegerea optimă între cele două aborda˘ri.
4.4 Concluzii
În introducerea acestui articol au introduse câteva not¸iuni legate de sistemele multiprocesor
actuale, dar s¸i tehnici de programare paralelă a acestor sisteme. Studiu referitor
la metodele de rezolvare a oferit informat¸ii pret¸ioase legate de tipul solverului ce trebuie
ales pentru o rezolvare cu acuratet¸e ridicată a sistemelor cu matrice rare generate cu ajutorul
Chamy. În finalul acestui capitol au fost propuse doă implementări paralele ale algoritmului
AFS-VF, cu un nivle de granularitate, respectiv cu două nivele de granularitate, prezentând
atât avantajele cât s¸i dezavantajele folosirii lor. De asemenea, a fost prezentat s¸i o metodă
de calcul a eficient¸ei acestor implementări.
Despre eficient¸a folosirii implementărilor paralele, se va vorbi s¸i în capitolul următor
pentru fiecare strutură de test modelată.
76

Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor
experimentală
CAPITOLUL 5
Pentru validarea perfomant¸elor implementărilor paralele ale AFS-VF au fost analizate
trei structuri de test: CDST-SP-MIDDLE, CHRF217 s¸i CHRF201. Acestea au fost concepute
s¸i realizate în tehnologia CMOS, de parteneri industriali ai CHAMELEON RF s¸i
CODESTAR, s¸i caracterizate experimental de aces¸tia.
Prima etapă a procesului de modelare electromagnetică constă în modelarea geometrică.
Geometria dispozitivelor se extrage din fis¸ierele .gds, care descriu prin coordonate
din planul orizontal xOy măs¸tile prin care se realizează acele dispozitive. Coordonatele
pe axa y se obt¸in din fis¸ierul de tehnologie, fis¸ier ce cont¸ine dimensiunea s¸i dispunerea
straturilor în dispozitiv (Figura 5.1 s¸i Tabelul 5.1). Aceste date sunt asamblate în fis¸ierul de
geometrie folosit în Chamy.
Următoarea etapă constă în modelarea fizică, prezentată în Capitolul 3, în care au fost
identificate principalele fenomene fizice care apar în funct¸ionarea dispozitivului s¸i sursele
câmpului electromagnetic, în regimul cel mai potrivit pentru analiza dispozitivului. Tot
în acelas¸i capitol a fost prezentată s¸i modelarea matematică, în care au fost prezentate
ecuat¸iile ce descriu fenomenele fizice, condit¸iile de frontieră, s¸i a fost formulată corect
problema ce va fi rezolvată, identificându-se datele s¸i rezultatele ei.
Modelarea aproximativă este cea de-a treia etapă procesului de modelare electromagnetică
s¸i ea constă în rezolvarea analitică a problemei, pentru a extrage modelul cu parametri
concentrat¸i al dispozitivului analizat. Modelarea numerică presupune rezolvarea
problemei de câmp electromagnetic folosind modelul discretizat. Validarea se face prin
compararea celor două solut¸ii (analitică s¸i numerică), dar verificarea cea mai puternică se
realizează prin comparat¸ia cu rezultatele experimentale.
Modelarea numerică va fi făcută cu ajutorul programului Chamy, bazat pe tehnica integrărilor
finite (FIT), prezentată anterior. Chamy generează în mod automat o ret¸ea de
discretizare minimală, însă pentru a obt¸ine rezultate cât mai exacte, va fi folosită o ret¸ea de
discretizare adaptată. Datele de ies¸iere ale acestui program, în care a fost încorporată procedura
paralelă AFS-VF, constau în: modelul de ordin redus sub forma unui circuit SPICE
s¸i caracteristica în frecvent¸ă a dispozitivului modelat. Scopul acestui capitol este de a valida
s¸i evalua cantitativ versiunea Chamy+AFS-VF paralel prin comparat¸ie cu versiunea
secvent¸ială a programului Chamy-VF.
77

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
Figura 5.1: Dispunerea straturilor în tehnologia folosită pentru problemele CODESTAR s¸i
CHAMELEON
Strat Grosime [µm] Material
aer 725 Aer
prot2 1 Nitride
prot1 0.9 Oxide1
met4 3.1 alum1 în Oxide2
via3 1 tun1 în Oxide2
met3 0.64 alum2 în Oxide2
met1-met2 3.305 Oxide2
nwell 3 SUB5 în SUB1
substrat 725 SUB1
Tabelul 5.1: Parametri geometrici ai straturilor
78

5.1. Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE
5.1 Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE
Problema CDST-SP-MIDDLE se referă la un inductor spiralat pătrat ce are amble terminale
excitate în tensiune, iar substratul de Si conectat la GND. Geometria 2D, în coordonate
xOz, a dispozitivului provine din fis¸ierul .gds (Figura 5.2a - vedere din Layouteditor
[63]). Coordonata pe axa Oy provine din fis¸ierul de tehnologie, obtinându-se astfel geometria
3D (Figura 5.2b - vedere din COMSOL) a dispozitivului de modelat.
(a) Layout (b) Vedere 3D
Figura 5.2: Problema CDST-SP-MIDLLE
Caracteristicile materialelor folosite pentru clasa de probleme CODESTAR sunt prezentate
în Tabelul 5.2.
Material Tip µr εr σ [S/m]
alum1 Al-conductor 1 1 6.60 · 10 7
alum2 Al-conductor 1 1 1.25 · 10 7
tun1 W-conductor 1 1 3.33 · 10 6
SUB1 (Si) semi-conductor 1 11.7 5
SUB5 (Si) semi-conductor 1 11.7 3.33 · 10 3
Oxide1 izolator 1 3.9 0
Oxide2 izolator 1 4.1 0
Nitride izolator 1 7.5 0
Tabelul 5.2: Materialele problemelor CODESTAR
Conform tehnologiei de fabricat¸ie (Figura 5.1) inductorul cont¸ine materialele prezentate
în Figura 5.3.
Dimensiunile inductorului spiralat (Figura 5.4) sunt: s = 3µm, w = 20µm, dout =
200µm, din = 114µm, p1 = 69.80µm s¸i p2 = 112.8µm. Inductorul se află în stratul met4
iar conductoarele de aduct¸ie în stratul met3.
79

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
5.1.1 Modelarea aproximativă
Figura 5.3: Materialele inductorului spiralat
Figura 5.4: Dimensiunile inductorului spiralat
Pentru obt¸inerea solut¸iei analitice se va folosi modelul cu parametri concentrat¸i (Figura
5.5) propus în lucrările [17] s¸i [16].
Parametri concentrat¸i ai modelului sunt definit¸i astfel:
• rezistent¸a serie de curent continuu:
Rs =
ρ · l
w · t =
1
6.6·107 · 1122 · 10−6 20 · 10−6 +
· 3.1 · 10−6 1
1.25·107 · (69.8 + 112.8) · 10−6 +
20 · 10 −6 · 0.64 · 10 −6
+2 ·
1
3.33·10 6 · 1 · 10 −6
20 · 10 −6 · 19.8 · 10 −6
= 0.274 + 1.141 + 2 · 0.00075 = 1.42Ω ,
80
(5.1)

5.1. Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE
Figura 5.5: Modelul cu parametri concentrat¸i pentru inductorul spiralat
unde ρ rezistivitatea metalului, l lungimea conductorului, w lăt¸imea liniei, t grosimea
metalului. Inductorul este cont¸inut în 3 straturi: 42 care cont¸ine înfăs¸urarea cu
lungimea de 1122µm s¸i grosimea 3.1µm (grosimea stratului met4), 39 care cont¸ine
conductoarele de aduct¸ie ale inductorului cu lungime p1 + p2 (69.8µm + 112.8µm)
s¸i grosimea 0.64µm (grosimea stratului met3). Pentru stratul 42 via3 grosimea va
fi de 19.8µm, deoarece suprafat¸a perpendiculară a conductorului care este străbătută
de curent are dimensiunile 20 × 19.8µm 2 .
• inductivitatea serie este calculată folosind calculatorul on-line [147], ce are la bază
formula Wheeler modificată [148]:
Ls = 1.053nH (5.2)
Această valoare este credibilă deoarece acest calcualtor indică valori calculate s¸i cu
alte două metode care se abat de la aceasta doar cu +/-1%, respectiv 1.043nH s¸i
1.061nH. La frecvent¸e mari, datorită efectului pelicular, valoarea inductant¸ei scade,
dar nu cu mai mult de 5%, cât reprezintă inductant¸a internă a conductorului, care se
anulează la efect pelicular net. La frecvent¸e foarte mari câmpul magnetic pătrunde
doar part¸ial în substratul semiconductor, iar acest efect poate scadea inductant¸a cu
până la 20-30%.
• capacitatea serie:
Cs = (N − 1) · w 2 ·
= (2 − 1) · (20 · 10 −6 ) 2 ·
εOx
tOx M3 M4
=
3.9 · 8.85 · 10−12
1 · 10 −6
= 13.81 · fF ,
(5.3)
unde N este numărul de spire, iar tOx M3 M4 grosimea stratului de oxid dintre stratul
met4 s¸i met3. Formula ar trebui să t¸ină cont de efectele capacitive parazite apărute
81

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
între spirele inductorului:
Cs = (N − 1) · εOx · (dout + 2 · dout) · t
4 · s
= (2 − 1) · 3.9 · 8.85 · 10−12 · (200 + 2 · 200) · 3.1 · 10 −12
4 · 3 · 10 −6
=
= 5.35 · fF ,
(5.4)
unde t grosimea stratului de metal al spiralei, s distant¸a dintre spire. Probabil, capacitatea
reală este cuprinsă între aceste două valori limită.
• capacitatea stratului de oxid:
COx = 1 εOx
· l · w ·
2 tOx
= 1
2 · 1305.6 · 10−6 · 20 · 10 −6 ·
3.9 · 8.85 · 10
·
−12
(1 + 0.64 + 3.305) · 10−6 = 91.13fF ,
(5.5)
unde tOx este grosimea stratului de oxid dintre spirală s¸i substrat (calculată presupunând
câmpul electric uniform sub conductor s¸i nul în rest) sau
COx = 1
2 · d2out · εOx
=
tOx
1
2 · (200 · 10−6 ) 2 ·
3.9 · 8.85 · 10
·
−12
(1 + 0.64 + 3.305) · 10−6 = 139.60fF ,
(5.6)
calculată presupunând câmpul electric uniform în stratul de oxid de sub toata aria
inductrului. Capacitatea reală este probabil cuprinsă între aceste două valori extreme.
• capacitatea stratului de Si(nwell):
CSi = 1
2 · d2 out · CSub = 1
2 · (200 · 10−6 ) 2 · 34.52 · 10 −6
= 690.40fF ,
unde capacitatea substratului pe unitatea de suprafat¸ă CSub = ε
tNwell
34.52µF/m2 ;
• rezistent¸a stratului de Si(nwell):
RSi =
2
d 2 out · GSub
=
= 11.7·8.85·10−12
3·10 −6
(5.7)
2
(200 · 10−6 ) 2 · 1.11 · 109 (5.8)
= 45.05mΩ , (5.9)
unde conductant¸a substratului de Nwell pe unitatea de suprafat¸ă GSub = σNwell
tNwell =
3.33·10 3
3·10 −6 = 1.11 · 10 9 S/m 2 . Dacă se neglijează efectul structurilor V din stratul nwell
(Figura 5.2a), atunci Csub = ε
tSi = 178.820nF/m2 , Gsub = σ
tSi = 6.8 · 103 S/m 2 .
Cu aceste valori CSi = 3.58fF s¸i RSi = 7.353kΩ. Probabil că în realitate valorile
acestor doi parametri sunt cuprinse între aceste limite.
82
=

5.1. Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE
Pentru a modela influent¸a efectului pelicular asupra rezistent¸ei Rs se calculează adâncimea
1
de pătrundere δ = πfµσ
portul dintre semilăt¸imea t
2
care are valori dependente de frecvent¸ă ca în Tabelul 5.3. Ra-
a conductorului s¸i adâncimea de pătrundere are valorile din
Tabelul 5.4 (valorile supraunitare indică de câte ori cres¸te rezistent¸a în c.c.). În concluzie
pentru frecvent¸e mai mari decât 1.6GHz, la care t = δ trebuie luat în considerare efectul
2
pelicular.
Frecvent¸a 1GHz 10GHz 40GHz 60GHz
Material δ [µm]
alum1 1.96 0.62 0.31 0.25
Tabelul 5.3: Adâncimea de pătrundere la diferite frecvent¸e pentru tronsoanele inductorului
Frecvent¸a 1GHz 10GHz 40GHz 60GHz
Material t/2δ
alum1 0.80 2.50 5.00 6.13
Tabelul 5.4: Raportul dintre semilăt¸imea t a conductorului s¸i adâncimea de pătrundere
2
pentru tronsoanele inductorului
Figura 5.6: Circuitul echivalent pentru inductorul integrat (LTSpice)
Pasul următor reprezintă simularea circuitului din Figura (5.6) în SPICE . Ecuat¸iile ce
caracterizează circuitul liniar sunt:
I1 = Y11V1 + Y12V2
I2 = Y21V1 + Y22V2 .
83
(5.10)

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
Pentru obt¸inerea caracteristicii în frecvent¸ă din SPICE, circuitul trebuie simulat de două ori
astfel:
1. cu V2 = 0 se obt¸ine I1 = Y11V1 s¸i I2 = Y21V1, adică Y11 s¸i Y21;
2. cu V1 = 0 se obt¸ine I1 = Y12V1 s¸i I2 = Y22V1, adică Y12 s¸i Y22.
Pentru a se studia efectul diferitelor variat¸ii parametrice asupra caracteristicii de frecvent¸ă,
au fost efectuate mai multe simulari, pentru diferite valori ale parametrilor circuitului (Tabelul
5.5). În acest tabel au fost marcate cu bold valorile modificate la fiecare simulare fat¸ă
de cea de referint¸ă (nr. 1).
Nr. Rs [Ω] Ls [nH] Cs [fF] COx [fF] CSi [fF] RSi [Ω]
1 1.42 1.053 5.35 139.60 690.40 45.05·10 −3
2 8.705 1.053 5.35 139.60 690.40 45.05·10 −3
3 1.42 1.000 5.35 139.60 690.40 45.05·10 −3
4 1.42 1.053 13.81 139.60 690.40 45.05·10 −3
5 1.42 1.053 5.35 91.13 690.40 45.05·10 −3
6 1.42 1.053 5.35 139.60 3.58 7.353 ·10 3
7 3.5 1.053 5.35 139.60 690.40 45.05·10 −3
8 3.5 1.053 5.35 139.60 3.58 7.353·10 3
Tabelul 5.5: Valorile parametrilor concentrat¸i pentru fiecare simulare
Rezultatele simulărilor au fost comparate cu simularea de referint¸ă numărul 1 s¸i cu
măsurătorile.
Simularea 1
Interesează doar Y11 = Y22 s¸i Y 12 = Y21 care din circuit rezultă:
Dacă ω ≈ 0 atunci
1
Y11 ≈ jω(Cs + Cox) +
Rs + jωLs
= −ω2Ls(Cs + COx) + jω(Cs + COx)Rs + 1
,
Rs + jωLs
1
Y12 ≈ jωCs +
Rs + jωLs
= −ω2LsCs + jωCsRs + 1
.
Rs + jωLs
Y11 ≈ Y12 ≈ 1
Pulsat¸iile teoretice de rezonant¸ă au expresiile:
Y11 : ωr =
Rs
(5.11)
(5.12)
, (5.13)
(5.14)
1
, (5.15)
Ls(Cs + COx)
Y12 : ωr =
84
1
√ LsCs
. (5.16)

5.1. Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE
Din caracteristica de frecvent¸ă rezultă că frecvent¸a de rezonant¸ă este la 450MHz pentru
măsurători s¸i la 250MHz pentru simularea nr. 1 (Figura 5.7).
(a) Y11 Real (b) Y11 Imaginar
(c) Y21 Real (d) Y21 Imaginar
Figura 5.7: Simularea 1 - Y11 s¸i Y21
La frecvent¸a minimă de 50MHz, Re(Y11) = 1
Rs
= 1
1.42
= 0.704 este aproximativ egală
cu valoarea simulată SPICE 0.667, însă aceste valori sunt de aproximativ 2 ori mai mari
decât valaorea măsurată 0.329. Asta înseamnă că rezistent¸a Rs din modelul cu parametri
concentrat¸i ar trebui să fie de două ori mai mare. Explicat¸ii posibile: efectul pelicular
s¸i de pierderi prin curent¸i turbionari, neomogenitatea trecerii via3, abateri geometrice ale
conductivităt¸ii sau erori de procesarea rezultatelor experimentale, inclusiv rezistent¸a de
contact.
La frecvent¸a maximă de 40GHz, Re(Y11) = Rs
(ωLs) 2 = 5.37e-3 valoarea simulată SPICE
fiind 7.57e-5, iar valoarea măsurată 5.511e-3. O explicat¸ie posibilă a acestor discrepant¸e
este efectul pelicular (creste rezistent¸a de 6.13 ori), iar datorită frecvent¸ei foarte mari s¸i
efectul pierderilor prin curent¸i turbionari în substrat.
Frecvent¸ele de rezonant¸ă teoretice sunt:
Y11 : fr = ωr
2 · π =
1
1
·
1.053 · 10−9 · (5.35 + 139.6) · 10−15 2π
Y12 : fr = ωr
2 · π =
1
1
√ ·
1.053 · 10−9 · 5.35 · 10−15 2π
= 67GHz , (5.17)
= 13GHz . (5.18)
Rezultatele simulărilor sunt mai apropiate de măsurători decât aceste estimări teoretice,
85

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
însă tot există o diferent¸ă de circa 2 ori. Pentru a avea o concordant¸ă mai bună a frecvent¸ei
de rezonant¸ă ar trebui ca teoretic valorile capacităt¸ilor să fie de circa 4 ori mai mici. Nu este
prea clară nici influent¸a subsratului de Si s¸i dacă parametrii RSi s¸i CSi trebuie calculat¸i cu
caracteristicile stratului de nwell.
Pentru a identifica mai exact care este parametrul care generează inadvertent¸ele fată de
măsurători au fost efectuate mai multe simulări, conform Tabelului 5.6.
f [Hz]
Măsurat Simulat SPICE
Y11 Y12 Y11 Y12
Re Im Re Im Re Im Re Im
5e7 3.299e-1 -3.966e-2 3.297e-1 4.058e-2 6.675e-1 -1.553e-1 -6.675e-1 1.554e-1
5e8 1.340e-1 -1.670e-1 -1.130e-1 1.680e-1 1.096e-1 -2.547e-1 -1.096e-1 2.551e-1
40e9 5.511e-3 6.077e-3 5.551e-4 3.984e-3 7.573e-5 3.265e-2 -2.028e-5 2.433e-3
Tabelul 5.6: Valorile admitant¸elor pentru simularea nr.1 la diferite frecvent¸e
Simularea 2: a fost considerată rezistent¸a ce t¸ine cont de efectul pelicular de la frecvent¸a
maximă de 40GHz:Rs2 = 6.13Rs. Din cauza efectului pelicular, Rs are valori variabile
între (1 ÷ 6.13)Rs. Surpriza pozitivă constă în faptul că graficele simulărilor 1 s¸i 2 (Figurile
5.8 s¸i 5.9) încadrează la frecvent¸e mici caracteristica de frecvent¸ă măsurată s¸i că are loc
o cres¸tere a frecvent¸ei de ”rezonant¸ă” de la 250Mz la 1050Mhz, depăs¸ind chiar s¸i valoarea
măsurată de 450MHz. Pentru o valoare mai bună a acestei frecvent¸e ar trebui ca Rs să fie
între limitele de 1.4 s¸i 8.73 Ω, de exemplu să aibă valoarea Rs = 3.5 Ω, corespunzătoare
mediei lor geometrice. Cu această valoare s-ar îmbunătăt¸i foarte mult comportarea de la
frecvent¸e mici.
(a) Real (b) Imaginar
Figura 5.8: Simularea 1 s¸i 2 - Y11
Simularea 3: studiază scăderea inductivităt¸ii Ls cu aproximativ 5%. Se constată din
Figura 5.10 că această modificare nu influent¸ează sensibil carcteristica de frecvent¸ă.
86

5.1. Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE
(a) Real (b) Imaginar
Figura 5.9: Simularea 1 s¸i 2 - Y21
(a) Y11 Real (b) Y11 Imaginar
(c) Y21 Real (d) Y21 Imaginar
Figura 5.10: Simularea 1 s¸i 3 - Y11 s¸i Y21
87

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
Simularea 4: se studiază influent¸a modificării capacităt¸ii Cs. Se constat din Figura 5.11
că modificarea acestui parametru (cres¸terea lui de 2.5 ori) nu aduce schimbări relevante în
caracteristica de frecvent¸ă.
(a) Y11 Real (b) Y11 Imaginar
(c) Y21 Real (d) Y21 Imaginar
Figura 5.11: Simularea 1 s¸i 4 - Y21
(a) Real (b) Imaginar
Figura 5.12: Simularea 1 s¸i 5 - Y11
Simularea 5: se studiază influent¸a modificării capacităt¸ii COx. Se constată din Figurile
5.12 s¸i 5.13 că acestui parametru cu circa 50% nu modifică sensibil caracteristica de
frecvent¸ă. La frecvent¸e mari se ameliorează parte imaginară a admitant¸ei Y11.
88

5.1. Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE
(a) Real (b) Imaginar
Figura 5.13: Simularea 1 s¸i 5 - Y21
Simularea 6: se studiază influent¸a stratului de Si (simulările precedente au considerat
doar partea se Si − nwell) care duce la modificării capacităt¸ii CSi s¸i a rezitent¸ei RSi.
Din Figura 5.14 se constată că modificarea parametrilor CSi s¸i RSi aduce o îmbunătăt¸ire a
caracteristicii părt¸ii imaginare a lui Y11 la frecvent¸e înalte.
(a) Y11 Real (b) Y11 Imaginar
(c) Y21 Real (d) Y21 Imaginar
Figura 5.14: Simularea 1 s¸i 6 - Y11 s¸i Y21
89

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
Simularea 7 s¸i 8: Pentru aceste două simulări se va studia modificarea rezistent¸ei Rs
folosind parametrii simulărilor 1, respectiv 6. Din Figura 5.15 se constată că modificare
modificare a rezistent¸ei Rs aduce o îmbunătăt¸ire a caracteristicii lor de frecvent¸ă atât la
frecvent¸e joase s¸i medii, cât s¸i la fecvent¸e înalte (în cazul Im(Y11). Eroarea relativa globala
în normă euclidiană fat¸ă de măsurători este de 4% pentru simularea 7 s¸i 2% pentru
simularea 8.
(a) Y11 Real (b) Y11 Imaginar
(c) Y21 Real (d) Y21 Imaginar
Figura 5.15: Simularea 1 s¸i 7 - Y11 s¸i Y21
Concluzia generală a acestui studiu este că valorile parametrilor Rs, RSi s¸i CSi sunt
esent¸iale pentru modelarea corectă a inductorului. Rezistent¸a Rs este dependentă de frecvent¸ă
s¸i puternic afectată de efectele câmpului electromagnetic la frecvent¸e înalte, deci valoarea
ei influent¸ează caracteristica în toata gama de frecvent¸e. Din simulările efectuate s-a putut
observa că rezistet¸a RSi s¸i capacitatea CSi substratului influent¸ează comportamentul dispozitivului
la frecvent¸e înalte. În consecint¸ă, modelul cu parametri concentrat¸i independent¸i
de frecvent¸ă nu poate da rezultate foarte precise pe o gamă largă de frecvent¸e.
5.1.2 Modelarea numerică
Modelarea numerică este următoarea etapă în procesul de modelare electromagnetică a
inductorului CDST-SP-MIDDLE (Figura 5.16a), care va fi făcută cu ajutorul programului
Chamy, bazat pe metoda FIT. Această etapă presupune obt¸inerea modelului discretizat pentru
câmpul electrodinamic din domeniului de calcul de tip EMCE, domeniu care cont¸ine
90

5.1. Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE
(a) Geometria dispozitivului în Chamy (b) Ret¸ea de discretizare minimală (planul xy)
Figura 5.16: Inductorul integrat CDST-SP-MIDDLE
inductorul s¸i are dimensiunile de 400 microni dupa axele Ox, Oz, s¸i 10+2×725 microni
dupa axa Oy.
În funct¸ie de elementele cont¸inute de dispozitivul modelat, respectiv conductoare s¸i
straturi, programul generează în mod automat o ret¸ea de discretizare minimală (Figura
5.16b), care trebuie îndesită, în limita resurselor hardware, pentru a obt¸ine rezultate cât mai
exacte. Se impune, deci, dezvoltarea unei strategii de alegere a ret¸elei de discretizare (ret¸ea
adaptată).
În primă fază se va studia discretizarea de-a lungul axei Oy. Ret¸eaua minimală, cu
10 × 11 × 11, are majoritatea nodurilor de pe axa Oy concentrate în stratul de oxid (Figura
5.16b). Se vor evalua două strategii de îndesire a ret¸elei, prin adăugare de noduri în straturile
de Si s¸i Aer (Tabel 5.7). Prima strategie este de a adăuga noduri uniform distribuite,
iar a doua constă în adăugarea unor noduri distribuite neuniform, în progresie geometrică.
Aceste noduri sunt mai dese în apropierea planului inductorului, unde câmpul este mai
intens s¸i mai neuniform, dar mai rare în zona îndepărtată de inductor (Figura 5.17b).
Nr. Tip discretizare
Ret¸ea de discretizare
x y z
1 minimal 10 11 11
2 uniform pe y 10 29 11
3 uniform pe y 10 89 11
4 neuniform pe y 10 29 11
Tabelul 5.7: Strategii de alegerea ret¸elei de discretizare
Din Figura 5.18 se observă că rezultatele sunt mai bune pentru ret¸ele de discretizare cu
mai multe noduri (ceea ce era de as¸teptat). O a doua concluzie este că distribut¸ia neuniformă
cu 29 de noduri dă rezulate la fel de bune ca distribut¸ia uniformă cu 89 de noduri.
Suplimentar, s-a testat cres¸terea numărului de noduri, distribuite în mod neuniform,
de la 29 la 49, însă rezultatele nu s-au modificat sensibil, deci adăugarea de noi noduri
91

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
(a) Uniform distribuite (b) Neuniform distribuite
(a) Partea reală Y11
Figura 5.17: Ret¸ea de discretizare pe axa Oy
(b) Partea imaginară Y11
Figura 5.18: Caracteristicile de frecvent¸ă pentru diferite distribut¸ii ale nodurilor pe Oy
nu aduce îmbunătăt¸iri relevante. Din acest motiv, în continuare va fi folosită discretizarea
neuniformă cu 29 noduri pe axa Oy, fără a specifica explicit acest lucru.
Pentru discretizarea în planul xOz se vor testa, pe lângă ret¸eaua minimală, două strategii
cu ret¸ea aproximativ uniformă s¸i una neuniformă, mai exact adaptată, confom Tabelului
5.8 (în care cazurile vor fi numerotate în continuarea Tabelului 5.7).
Nr. Tip discretizare
Ret¸ea de discretizare
x y z
4 minimal pe xz 10 29 11
5 uniform pe xz 27 29 27
6 adaptat pe xz 23 29 22
Tabelul 5.8: Strategii de alegerea ret¸elei de discretizare
92

5.1. Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE
(a) Minimal (b) Uniform distribuit
(a) Partea reală Y11
(c) Adaptat
Figura 5.19: Ret¸ea de discretizare pe axa xz
(b) Partea imaginară Y11
Figura 5.20: Caracteristicile de frecvent¸ă pentru diferite ret¸ele în planul xOz
93

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
Din rezultate (Figura 5.20), se observă că discretizarea uniformă în planul xOz nu reprezintă
o solut¸ie acceptabilă. Principala cauză a acestor rezultate foarte slabe o reprezintă
modificarea nodurilor ret¸elei minimale, care trec prin puncte cheie ale dispozitivului, respectiv
extremităt¸ile inductorului. Prima concluzie este că orice ret¸ea de discretizare adaptată,
trebuie să pornească de la distribut¸ia minimală a nodurilor de discretizare. Cazul 6
t¸ine cont de acestă observat¸ie (Figura 5.19c) s¸i după cum se poate observa în Figura 5.20
rezultatele pentru această ret¸ea adaptată sunt cele mai bune de până acum, în comparat¸ie cu
măsurătorile. Ca s¸i în cazul axei Oy, noile noduri din ret¸eaua adaptată au fost adăugate la
ret¸eaua minimală, mai ales în apropierea inductorului: în progresie geometrică, pe măsura
depărtării de conductor. Sect¸iunea conductorului a fost împartită în patru celule, de un nod
plasat în mijlocul acestuia. Un nod intermediar a fost plasat s¸i în mijlocului interstit¸iului
dintre spire. În continuare, pentru simulările din cazurile 7 s¸i 8 va fi folosită ret¸eaua neu-
(a) Partea reală Y11
(b) Partea imaginară Y11
Figura 5.21: Caracteristicile de frecvent¸ă pentru diferite ret¸ele în planul xOz
niformă, adaptată cu 23 × 29 × 22 noduri. Cazul numărul 8 t¸ine cont de neomogenizarea
conductivităt¸ii materialului tun1 (stratul via3), considerând conductivitatea sa echivalentă
de valoare σtun1 = 6e3 S/m. Rezulatele sunt prezentate în Figura 5.21. Se constată o
îmbunătăt¸ire a caracteristicii de frecvent¸ă, mai ales la frecvent¸e mici s¸i medii, atunci când
se t¸ie cont de neomogenizarea materialului tun1.
(a) Partea reală Y11
(b) Partea imaginară Y11
Figura 5.22: Efectul tehnicii FredHo asupra caracteristicii de frecvent¸ă
94

5.1. Inductorul spiralat pătrat - CDST-SP-MIDDLE
Cazul numărul 9 ia în considerare efectul pelicular din conductor, folosind metoda FredHo
[149]. Rezultatele sunt prezentate în Figura 5.22. Se constată că rezulatele nu sunt
îmbunătăt¸ite sensibil.
În Figura 5.23 sunt prezentate comparativ caracteristicile de frecvent¸ă rezultate în urma
măsurătorilor s¸i cele rezultate în urma simulărilor modelului cu parametri distribuit¸i (Chamy
nr. 8) s¸i concentrat¸i (SPICE nr. 8). Eroarea medie pătratică relativă, calculată folosind
, este de circa 2% pentru ambele simulări, SPICE
norma Frobenius rmsYi simulat−Yi masurat
maxYi..n masurat
s¸i Chamy, însă se poate observa că modelul cu parametri distribuit¸i are o comportare mai
apropiată de măsurători decât modelul cu parametri concentrat¸i, mai ales în pozit¸ia minimului/maximului
părt¸ilor imaginare Y11 s¸i Y12. Partea imaginară are mare iportant¸ă pracatică
pentru proiectant, deoarece ea descrie fenomenul de rezonant¸ă s¸i factorul de calitate
al dispozitivului.Partea imaginară are mare iportant¸ă pracatică pentru proiectant, deoarece
ea descrie fenomenul de rezonant¸ă s¸i factorul de calitate al dispozitivului. Acest lucru este
evident¸iat s¸i de Tabelul 5.9 care cont¸ine valorile simulate s¸i cele măsurate pentru diferite
frecvent¸e s¸i abaterile dintre ele (cu bold erorile cele mai mici).
(a) Partea reală Y11
(b) Partea imaginară Y11
Figura 5.23: Caracteristicile de frecvent¸ă Y11: măsurate, simulate ale modelului cu parametri
concentrat¸i s¸i distribuit¸i
Studiul prezentat în acest capitol validează procedura de modelare cu parametri distribuit¸i
propusă de autor în această teză de doctorat. Rezulatele simulării modelului extras se abat
doar cu 2% fat¸ă de rezulatatele experimentale, ceea ce este pe deplin satisfăcător, conform
cerint¸elor industriale s¸i preciziei solicitate de proiectant¸ii de circuite integrate. O astfel
de acuratet¸e este net superioară celei obt¸inută în cadrul proiectelor europene Codestar s¸i
Chameleon RF. Progresele se datorează atât evolut¸iei performant¸elor componentelor hardware
ale sistemeleor de calcul (viteză s¸i memorie), dar s¸i dezvoltării unor noi metode de
modelare s¸i a algoritmilor, precum s¸i programelor (paralele s¸i distribuite) asociate.
Chiar dacă modelul cu parametri concentrat¸i propus de autor are un ordin de mărime
al erorii tot de 2%, totus¸i procedura de extract¸ie a sa este mai put¸in robustă. După cum s-a
văzut, s¸i fundamentarea sa teoretică nu este la fel de solidă ca a modelului cu parametri
distribuit¸i.
95

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
Măsurat
SPICE
Chamy
Frecvent¸a 50MHz 450MHz 40GHz
Y11 M 0.32999-0.03966j 0.14743-0.17131j 0.0055114+0.00607j
Y12 M -0.32972+0.04058j -0.14713+0.17165j 0.0005551+0.00398j
Y11 S 0.28311-0.02670j 0.16602-0.14087j 0.0000179-0.00155j
Y12 S -0.28310+0.02674j -0.16591+0.14092j -0.0000499+0.00243j
Y11 C 0.36724-0.04045j 0.19816-0.17535j 0.0009145+0.00716j
Y12 C -0.36724+0.04047j -0.19805+0.17564j -0.0000624-0.00245j
Abateri Y11 S − Y11 M -0.0469+0.0130j 0.0186+0.0304j -0.0055-0.0076j
SPICE Y12 S − Y12 M 0.0466-0.0138j -0.0188-0.0307j -0.0006- 0.0016j
Abateri Y11 C − Y11 M 0.0373-0.0008j 0.0507-0.0040j -0.0046+0.0011j
Chamy Y12 C − Y12 M -0.0375-0.0001j -0.0509+ 0.0040j -0.0006-0.0064j
Tabelul 5.9: Valorile admitant¸elor la diferite frecvent¸e s¸i abaterile lor
(a) Partea reală Y12
(b) Partea imaginară Y12
Figura 5.24: Caracteristicile de frecvent¸ă Y12: măsurate, simulate ale modelului cu parametri
concentrat¸i s¸i distribuit¸i
5.1.3 Performant¸ele procedurii de extract¸ie a modelului
Pe lângă acuratet¸e, un alt aspect important al modelării numerice îl reprezintă timpul
de calcul consumat pentru extract¸ia modelului s¸i necesarul de memorie. În cazul de test
CDST-SP-MIDDLE, ret¸eaua adaptată cu 23×29×22 noduri a dus la obt¸inerea unui model
discretizat cu 78363 grade de libertate (DoFs). Timpul de rezolvare pentru un singur sistem
liniar cu aceste necunoscute complexe a fost este de 34s pe un nod din clusterul ATLAS,
iar cantitatea de memorie necesară a fost de 3.3GB.
Algoritmul de rezolvare AFS-VF a avut nevoie de 3 iterat¸ii (Tabelul 5.10) pentru a
obt¸ine modelul final, care are ordinul q = 7. Implementarea serială a obt¸inut modelul de
ordin redus în 580s, pe când implementarea paralelă cu două nivele de granularitate a avut
nevoie doar de 194s, adică s-a obt¸inut cu o accelerare de 3. Implementarea cu un nivel
de granularitate nu a putut executa acest test deoarece necesarul de memorie (3.3 · 8 =
96

εAF S εV F Nr. pct. Convergent¸a
iterat¸ie 1 2 3
1e-2 1e-4 4
ordin
S
3 6 7
′ 3 6 4
S + S ′ 7 13 17
Tabelul 5.10: Convergent¸a algoritmului AFS-VF
5.2. Inductorul spiralat hexagonal - CHRF217
26.4GB) depăs¸este memoria fizic instalată (24GB). Pentru execut¸ia implementării paralele
au fost folosite 4 noduri din clusterul Atlas, ceea ce înseamnă că ideal se poate obt¸ine o
accelerare maximă de valoare 4. Având în vedere accelerarea obt¸inută, se poate spune
că implementarea paralelă exploatează eficient resursele de calcul. Desigur, accelerarea
depinde foarte mult de convergent¸a algoritmului respectiv numărul de iterat¸ii s¸i numărul de
sisteme de rezolvat la fiecare iterat¸ie.
Concluzia acestei analize este că paralelizarea calculului reduce timpul de execut¸ie s¸i
permite în consecint¸ă extragerea unor modele mai precise. Dacă timpul de extract¸ie necesar
pentru procedura paralelă AFS-VF este comparat cu cel init¸ial solicitat de algoritmul VF
secvential (fără AFS) se constată o scădere a acestui timp de circa 16 ori, atunci când
se foloses¸te un cluster alcătuit din patru noduri interconectate [150]. Această observat¸ie
evident¸iază cres¸terea performant¸elor procedurii de modelare electromagnetică.
5.2 Inductorul spiralat hexagonal - CHRF217
Problema CHRF217 cont¸ine un inductor spiralat hexagonal ce are un terminal excitat
în tensiune, iar celălat conectat la masă. Geometria 2D, în coordonate xOz, a dispozitivului
care provine din fis¸ierul .GDS este prezentată în Figura 5.25 s¸i 5.26. Dispunerea
straturilor pe axa Oy (Figura 5.1 s¸i Tabelul 5.1) provine din fis¸ierul de tehnologie. Pentru
(a) Layout (b) Vedere 3D
Figura 5.25: Problema CHRF217 - Inductor spiralat hexagonal
97

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
clasa de probleme CHRF sunt folosite aproape aceleas¸i materiale ca în cazul problemelor
CODESTAR, în Tabelul 5.11 se găsesc materialele ale căror proprietăt¸i sunt diferite. Dimensiunile
inductorului spiralat (Figura 5.27) sunt: s = 2µm, w = 13µm, dout = 186µm,
din = 100µm, p1 = 50µm s¸i p2 = 69µm. Inductorul se află în stratul met4.
Material Tip µr εr σ [S/m]
alum1 Al-conductor 1 1 3.23 · 10 7
alum2 Al-conductor 1 1 2.15 · 10 7
tun1 W-conductor 1 1 5.21 · 10 6
SUB2 (Si) semi-conductor 1 11.7 2.38 · 10 6
SUB5 (Si) semi-conductor 1 11.7 3.33 · 10 3
Tabelul 5.11: Materialele problemelor CHAMELEON
Figura 5.26: Modelarea geometrică 3D a structurii CHRF217
Figura 5.27: Dimensiunile inductorului spiralat hexagonal
98

5.2.1 Modelarea aproximativă
5.2. Inductorul spiralat hexagonal - CHRF217
Modelarea aproximativă se va face folosind acelas¸i model propus in subcapitolul anterior.
Parametri concentrat¸i ai modelului sunt definit¸i astfel:
• rezistent¸a serie de curent continuu:
1
3.23·107 · 1019 · 10−6 13 · 10−6 1
2.15·10 +
· 3.1 · 10−6 7 · 315 · 10−6 13 · 10−6 +
· 0.64 · 10−6 1
5.21·10 +4 ·
6 · 1 · 10−6 13 · 10−6 1
5.21·10 + 2 ·
· 13 · 10−6 6 · 1 · 10−6 13 · 10−6 · 20 · 10−6 = 0.782 + 1.76 + 0.0044 + 0.0015 = 2.55Ω
Rs =
(5.19)
• inductivitatea serie este calculată folosind calculatorul on-line [147], ce are la bază
formula Wheeler modificată [148]:
• capacitatea serie:
• capacitatea stratului de oxid:
• capacitatea stratului de Si:
Cs = (3 − 1) · (13 · 10 −6 ) 2 ·
Ls = 1.754nH (5.20)
4.1 · 8.85 · 10−12
4 · 10 −6
= 3.066fF ,
COx = 1
2 · 1338 · 10−6 · 13 · 10 −6 ·
· 4.1 · 8.85 · 10−12
5 · 10 −6
= 63.11fF ,
CSi = 1
2 · (186 · 10−6 ) 2 · 178.820 · 10 −9
= 3.093fF ,
unde capacitatea substratului pe unitatea de suprafat¸ă Csub = 178.820nF/m 2 ;
• rezistent¸a stratului de Si(nwell):
RSi =
2
(186 · 10 −6 ) 2 · 6.8 · 10 3
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
= 8.5kΩ , (5.25)
unde conductant¸a substratului de Si pe unitatea de suprafat¸ă Gsub = 6.8 · 10 3 S/m 2
99

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
Nr. Rs [Ω] Ls [nH] Cs [fF] COx [fF] CSi [fF] RSi [kΩ]
1 2.55 1.754 3.066 63.11 3.093 8.5
2 5.89 1.754 3.066 63.11 3.093 8.5
Tabelul 5.12: Valorile parametrilor concentrat¸i pentru fiecare simulare
Adâncimea de pătrundere la 60GHz este δ = 0.11µm, astfel că există efect pelicular.
Raportul dintre semilăt¸imea conductorului s¸i adâncimea de pătrundere este t/2δ = 13.63,
deci rezistent¸a Rs cres¸te de aproximativ 13 ori la frecvent¸e înalte. Conform procedurii
aplicate în cazul inductorului pătrat, se adoptă într-una din simulări rezistent¸ă inductorului
egală cu media geometrică a valorilor limită, adică Rs = 5.89Ω.
Au fost făcute două teste folosind datele din Tabelul 5.12. Din dispozitivul modelat în
problema CHRF217, interesează doar bobina hexagonală, element dipolar caracterizat de
admitant¸a complexă Y11. Se constată din rezultatele simulărilor SPICE (Figura 5.28), ca s¸i
în cazul inductorului spiralat pătrat, că pentru rezistent¸a Rs nou calculată se obt¸in rezultate
mai bune, ea fiind mai apropiată de rezistent¸a reală a inductorului de circa 12.5 Ω obt¸inută
când se t¸ine cont de nomogenitatea trecerii via3.
(a) Real (b) Imaginar
Figura 5.28: Simularea modelului aproximativ 1 s¸i 2 - Y11
5.2.2 Modelarea numerică
Deoarece metoda FIT folosita de Chamy se aplică problemelor cu geometrie rectangulară
de tip Manhattan, forma conductorului a fost aproximată cu structură de blocuri
rectangulare prezentată în Figura 5.26 s¸i 5.29. Pentru discretizarea problemei CHRF217
au fost folosite strategiile dezvoltate în subcapitolul anterior, în final fiind folosită o ret¸ea
adaptată cu 47 × 21 × 39 noduri (Figura 5.30).
100

5.2. Inductorul spiralat hexagonal - CHRF217
Figura 5.29: Geometria Manhattan a problemei CHRF217 - Vedere în planul xOz
(a) Planul xOy (b) Planul xOz
Figura 5.30: Problema CHRF217 - Ret¸eaua de discretizare adaptată
(a) Real (b) Imaginar
Figura 5.31: Simularea SPICE s¸i Chamy - Y11
101

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
Pentru o modelare numerică corectă, trebuie să se t¸ină cont de neomogenitatea conductivităt¸ii
trecerii via3, considerând conductivitatea sa echivalentă de valoare σtun1 =
3e3S/m. În Figura 5.31 sunt prezentate comparativ caracteristicile de frecvent¸ă rezultate în
urma simulărilor modelului cu parametri distribuit¸i (Chamy) s¸i concentrat¸i (SPICE).
Se constată, as¸a cum era de as¸teptat, că modelul Chamy obt¸ine rezultate mai bune decât
modelul SPICE. Concluzia finală a acestui studiu este că modelul cu parametri concentrat¸i
nu poate modela cu acuratet¸e efectele de înaltă frecvent¸ă, una din principalele cauze fiind
faptul că nu se t¸ine cont de stratul de nwell care apare în substrat. Eroarea medie părtatică
globală este de 22% la modelul cu parametri concentrat¸i s¸i 15% la modelul cu parametri
distribuit¸i, însă modelul cu parametri distribuit¸i mai poate fi îmbunătăt¸it, îndesind ret¸eaua
de discretizare.
5.2.3 Performant¸ele procedurii de extract¸ie a modelului
Modelul discretizat cu ret¸eaua adaptată cu 47 × 21 × 39 noduri, a generat un sistem cu
209346 grade de libertate. Timpul de rezolvare pentru un astfel de sistem liniar cu necunoscute
complexe a fost de 198s pe un nod din clusterul ATLAS, iar cantitatea de memorie
necesară a fost de 12GB. Algoritmul de rezolvare AFS-VF a avut nevoie de 3 iterat¸ii (Ta-
εAF S εV F Nr. pct. Convergent¸a
iterat¸ie 1 2 3
1e-3 1e-5 4
ordin
S
3 6 10
′ 3 6 10
S + S ′ 7 13 23
Tabelul 5.13: Convergent¸a algoritmului AFS-VF
belul 5.13) pentru a obt¸ine modelul final, care are ordinul q = 10. Implementarea serială a
obt¸inut modelul de ordin redus în 4554s. Implementărea cu un singur nivel de granularitate
nu a putut rezolva această problemă din cauza limitării memoriei. Implementarea paralelă
cu două nivele de granularitate a avut nevoie doar de 1386s, obt¸inându-se o accelerare de
3.3. La fel ca în cazul precedent, pentru execut¸ia implementării paralele au fost folosite 4
noduri din clusterul Atlas. Accelerarea obt¸inută se apropie de accelerarea maximă teoretică,
deci, se poate spune că implementarea paralelă exploatează s¸i de această dată eficient
resursele de calcul.
5.3 Inductoare spiralate cuplate - CHRF201
Problema CHRF201 cont¸ine două inductoare spiralate pătrate cuplate aflate la distant¸a
de 14µm. Fiecare inductor are un terminal excitat în tensiune iar celălalt conectat la masă,
rezultând un element diport de circuit electric. Geometria dispozitiviului este reprezentată
în Figurile 5.32a) s¸i 5.32b.
Straturile de material ale dispozitivului sunt dispuse în mod similar cu cele ale inductorului
hexagonal CHRF217. Cele două inductoare sunt identice, cu câte cinci spire, s¸i
dimensiunile: s = 3µm, w = 5µm, dout = 300µm, din = 226µm, p1 = 51µm s¸i
102

5.3. Inductoare spiralate cuplate - CHRF201
(a) Layout (b) Vedere 3D
Figura 5.32: Problema CHRF201 - Inductoare spiralate cuplate
p2 = 91µm, grosimea t = 3.1µm, iar distant¸a dintre inductoare este de h = 14µm. Inductoarele
se află în stratul met4, iar conductoarele de aduct¸ie în stratul met3.
5.3.1 Modelarea aproximativă
Pentru modelarea aproximativă a problemei CHRF201 se vor folosi două modele cu
parametri concentrat¸i de tip Pi, pentru fiecare inductor, la care se adaugă două elemente:
un condensator C12, care modelează efectele capacitive apărute între cele două inductoare,
s¸i o inductivitate mutuală, care modelează cuplajul între cele două inductoare. În cazul
câmpului electric uniform, capacitatea condensatorului este egală cu C12 = εOx∗S
, unde
h
A = t · dout aria comună spirelor s¸i h distant¸a dintre spire.
În literatura de specialitate sunt prezentate mai multe metode pentru calculul inductivităt¸ii
mutuale [21]:
• formula lui Neumann - inductivitatea mutuală între două conductoare filiforme cu
m1, respectiv m2 segmente înfăs¸urate în n1 s¸i respectiv n2 spire, se calculează cu
formula:
m1 m2
Mij = n1n2 Lij
i=1
j=1
(5.26)
unde Lij este inductivitatea part¸ială între segmentele Ci s¸i Cj, calculată astfel: Lij =
µ
4π
Ci
Cj
dri·drj
|dRij| ;
• formularea lui Grover - inductivitatea part¸ială mutuală între două fire paralele are
expresia:
Lij = mu
4π [αsinh−1
α
− βsinh
d
−1
β
− γsinh
d
−1
γ
+ δsinh
d
−1
δ
d
− √ α2 − d2 + β2 − d2 + γ2 − d2 − √ δ2 − d2 (5.27)
]
considerând sinh −1 = ln(x + √ x 2 + 1), α = l + m + δ, β = l + δ s¸i γ = m + δ,
unde l s¸i m lungimile conductoarelor, d distant¸a între conductoare s¸i δ spat¸iul dintre
conductoare (Figura 5.33);
103

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
Figura 5.33: Pozit¸ionarea conductoarelor paralele
• formularea Kalantarov [151] reduce expresia anterioară la inductivitatea dintre două
conductoare paralele, identice, de lungime l aflate la distant¸a h = d (Figura 5.33),
care are expresia:
M = µl
2π
ln l + √ l 2 + h 2
h
−
√ l 2 + h 2
l
+ h
l
. (5.28)
În [151] este prezentată o metodă mai simplă de calcul a inductivităt¸ii mutuale între
doă inductoare dreptunghiulare, bazată pe teorema celor patru dreptunghiuri. Pentru a
putea aplica această metodă, în primă fază, se aproximează fiecare bobină cu o înfăs¸urare
mediană cu dimensiunile:
• latura medie spirei echivalente
a = dout + din
2
• noua distant¸a între inductoarele mediate
b = h + dout − din
2
= 300 + 226
2
300 − 226
= 14
2
= 263µm ; (5.29)
= 51µm . (5.30)
Figura 5.34: Problema CHRF201 echivalentă cu inductoare medii
Problema se va reduce la două inductoare pătrate de latură a aflate la distant¸a b (Figura
5.34). Conform acestei metode inductivitatea mutuală se calculează ca:
Mki = Nki − Gki . (5.31)
104

5.3. Inductoare spiralate cuplate - CHRF201
Dacă circuitele dreptunghiulare considerate k s¸i i nu au port¸iuni care se suprapun, as¸a cum
este cazul problemei CHRF201, atunci valorile Gki sunt egale cu zero. Mărimea Nki se
calculează ca sume algebrice de termeni de forma:
Nk = µlk
2π (ln2Sk
lk
− ϕk) , (5.32)
unde lk este perimetrul dreptunghiului k, Sk aria sa, iar ϕ mărime ce se determină pe baza
raportului dintre lungimea s¸i lăt¸imea dreptunghiului (α = L
l ).
Astfel, pentru problema CHRF201 avem
N13 = 1
[N(123) + N(2) − N(12) − N(23)] . (5.33)
2
În Tabelul 5.14 se găsesc valorile calculate ale celor 4 termeni Nki, iar în final inductivitatea
mutuală dintre cele două înfăs¸urări este M = n1n2N13 = 25 · (−0.04085) =
1.02125nH.
ki l [µm] S [µm 2 ] α ϕ N [nH]
123 1680 151751 2.19 0.0689 -2.9191
2 628 13413 5.15 0.0438 -1.2691
12 1154 82582 1.19 0.0739 -2.0532
23 1154 82582 1.19 0.0802 -2.0532
Tabelul 5.14: Calculul inductivităt¸ii mutuale
Revenind la problema init¸ială, inductivitatea mutuală satisface relat¸ia
M = k Ls1Ls2 . (5.34)
unde k este coeficientul de cuplaj inductiv. Având inductoarele identice, acest coeficient
este determinat ca raportul dintre inductivitatea mutuală M s¸i cea proprie Ls (k = M
Ls )
Circuitul echivalent SPICE al inductoarelor cuplate este prezentat în Figura 5.35, iar
parametri lui se calculează folosind formulele adoptate în subcapitolul anterior:
• rezistent¸a serie de curent continuu:
Rs =
1
3.23·107 · 5034 · 10−6 5 · 10−6 +
· 3.1 · 10−6 1
2.15·107 · 142 · 10−6 5 · 10−6 1
5.21·10 + 2 ·
· 0.64 · 10−6 6 · 1 · 10−6 5 · 10−6 · 4.5 · 10−6(5.35) = 6.93 + 2.06 + 0.0044 + 0.017 = 9Ω
• inductivitatea serie este calculată folosind calculatorul on-line [147], ce are la bază
formula Wheeler modificată [148]:
iar factorul de cuplaj inductiv este k = 1.02125
13.94
Ls = 13.94nH (5.36)
105
= 0.0732;

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
Figura 5.35: Circuitul echivalent pentru inductoare integrate cuplate (LTSpice)
• capacitatea serie:
• capacitatea stratului de oxid:
• capacitatea stratului de Si:
Cs = (5 − 1) · (5 · 10 −6 ) 2 ·
4.1 · 8.85 · 10−12
4 · 10 −6
= 0.907fF ,
COx = 1
2 · 5178 · 10−6 · 5 · 10 −6 ·
· 4.1 · 8.85 · 10−12
5 · 10 −6
= 93.941fF ,
CSi = 1
2 · (300 · 10−6 ) 2 · 178.820 · 10 −9
= 8.047fF ,
unde capacitatea substratului pe unitatea de suprafat¸ă Csub = 178.820nF/m 2 ;
• rezistent¸a stratului de Si(nwell):
RSi =
(5.37)
(5.38)
(5.39)
2
(300 · 10−6 ) 2 · 6.8 · 103 (5.40)
= 3.268kΩ , (5.41)
unde conductant¸a substratului de Si pe unitatea de suprafat¸ă Gsub = 6.8 · 10 3 S/m 2 ;
106

• capacitatea condensatorului adăugat între inductoare:
C12 = 4.1 · 8.85 · 10−12 · 3.1 · 10 −6 · 30010 −6 ·
14 · 10 −6
= 2.410fF .
5.3. Inductoare spiralate cuplate - CHRF201
(5.42)
Adâncimea de pătrundere la 60GHz este δ = 0.11µm, astfel că există efect pelicular.
Raportul dintre semilăt¸imea conductorului s¸i adâncimea de pătrundere este t/2δ = 13.63,
deci rezistent¸a Rs cres¸te de aproximativ 13 ori la frecvent¸e înalte. Conform procedurii
aplicate în cazul inductorului pătrat, se adoptă într-una din simulări rezistent¸ă inductorului
Rs = 12Ω.
Nr. Rs [Ω] Ls [nH] Cs [fF] COx [fF] CSi [fF] RSi [kΩ] k C12 fF
1 9 13.94 0.907 93.941 8.047 3.268 0.0732 2.410
2 12 13.94 0.907 93.941 8.047 3.268 0.0732 2.410
Tabelul 5.15: Valorile parametrilor concentrat¸i pentru fiecare simulare
Folosind datele din Tabelul 5.15 s¸i circuitul SPICE din Figura 5.35, au fost făcute două
simulări. Din rezultatele simulărilor (Figura 5.36), se constată că în cazul rezistent¸ei Rs
nou calculate se obt¸in rezultate mai bune. De asemenea, se mai observă că modelul cu parametri
concentrat¸i nu poate modela efectele de înaltă frecvent¸ă datorate efectului pelicular,
curent¸ilor turbionari sau neomogenităt¸ii substratului sau distribuirii spat¸iale a fenomenelor
inductive, capacitive s¸i rezistive.
5.3.2 Modelarea numerică
Pentru discretizarea problemei CHRF201 a fost folosită o ret¸ea adaptată cu 62×22×38
noduri (Figura 5.37).
Modelarea numerică a t¸inut cont de neomogenitatea materialului trecerii via3, considerând
conductivitatea σtun1 = 6e3S/m. Rezultatele simulărilor, prezentate în Figura 5.38,
arată clar superioritatea modelului Chamy, mai ales la frecvent¸e înalte, unde surprinde
comportarea specifică a caracteristicii de frecvent¸ă a dispozitivului. Modelul cu parametri
concentrat¸i nu reus¸es¸te să faca acest lucru, nici măcar din punct de vedere calitativ. Eroarea
medie pătratică globală pentru modelul SPICE este de 20%, pe când modelul Chamy are
o eroare de 14%. Concluzia este că, în acest caz, numai, un model cu parametri distribuit¸i
poate modela cu acuratet¸e efectele de înaltă frecvent¸ă. Rezulatatele obt¸inute cu Chamy ar
fi s¸i mai bune la frecvente mici, dacă s-ar adăuga la model rezistenta de contact, care ar
face ca Re(Y11) = 1 să coincidă cu cea măsurată la frecvent¸a minimă de 50MHz.
Rs
107

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
(a) Y11 Real (b) Y11 Imaginar
(c) Y12 Real (d) Y12 Imaginar
Figura 5.36: Simularea modelului aproximativ 1 s¸i 2 - Y11 s¸i Y12
(a) Planul xOy (b) Planul xOz
Figura 5.37: Problema CHRF201 - Ret¸eaua de discretizare adaptată
108

5.3. Inductoare spiralate cuplate - CHRF201
(a) Y11 Real (b) Y11 Imaginar
(c) Y12 Real (d) Y12 Imaginar
Figura 5.38: Rezultate Chamy s¸i SPICE - Y11 s¸i Y12 - pentru CHRF201
(a) Y11 Real (b) Y11 Imaginar
Figura 5.39: Rezultate Chamy s¸i Fredho - Y11 - pentru CHRF201
109

5. Studii de caz - rezultate numerice s¸i validarea lor experimentală
În Figurile 5.39 s¸i 5.40 sunt prezentate rezultatele obt¸inute, folosind în Chamy metoda
Fredho. Se observă că aceeas¸i ret¸ea de discretizare adaptivă, ce generează un sistem linear
cu acelas¸i număr de grade de libertate, reduce eroarea medie pătratică globală de la 14% la
10%. Cel mai probabil, rezultatele mai pot fi îmbunătăt¸ite îndesind gridul în planul xOz,
însă această tehnică este limitată de memoria RAM avută la dispozit¸ie în sistemul de calcul
pe care se face modelarea.
(a) Y12 Real (b) Y12 Imaginar
Figura 5.40: Rezultate Chamy s¸i Fredho - Y12 - pentru CHRF201
5.3.3 Performant¸ele procedurii de extract¸ie a modelului
Folosind ret¸eaua adaptată cu 62 × 22 × 38 noduri, a fost obt¸inut modelul discretizat, un
sistem cu 283733 grade de libertate. Timpul de rezolvare pentru un astfel de sistem liniar
cu necunoscute complexe a fost de 324s pe un nod din clusterul ATLAS, iar cantitatea de
memorie necesară a fost de 16GB.
εAF S εV F Nr. pct. Convergent¸a
iterat¸ie 1 2 3 4
1e-2 1e-4 4
ordin
S
3 6 12 15
′ 3 6 12 4
S + S ′ 7 13 25 29
Tabelul 5.16: Convergent¸a algoritmului AFS-VF
Algoritmul de rezolvare AFS-VF a avut nevoie de 4 iterat¸ii (Tabelul 5.16) pentru a
obt¸ine modelul final, care are ordinul q = 15. Implementarea serială a obt¸inut modelul de
ordin redus în 9399s. Implementarea paralelă cu două nivele de granularitate a avut nevoie
doar de 2598s, obt¸inându-se o accelerare de 3.61. Pentru acest test au fost folosite 4 noduri
din clusterul Atlas. Accelerarea obt¸inută se apropie de accelerarea maximă teoretică, deci,
se poate spune că implementarea paralelă exploatează s¸i de această dată eficient resursele
de calcul.
110

5.4 Concluzii
5.4. Concluzii
Studiul celor trei probleme de test reprezintă validarea experimentală a procedurii de
modelare cu parametri distribuit¸i prezentată în teză, dar, în acelas¸i timp, demonstrează
eficient¸a folosirii implementărilor paralele propuse de autor. În ceea ce prives¸te modelarea
cu parametri concentrat¸i, au fost propuse îmbunătăt¸iri pentru un model al inductoarelor
integrate existent în literatura de specialitate. El a fost validat pentru inductoare pătrate
s¸i hexagonale. Totus¸i acest model cu parametri concentrat¸i nu reus¸es¸te să modeleze cu
acuratet¸e efectele de înaltă frecvent¸ă, as¸a cum s-a văzut mai ales la ultima structură de test.
În schimb, procedura de modelare electromagnetică bazată pe rezolvarea ecuat¸iilor lui
Maxwell cu FIT permite extragerea în mod robust a unor modele de ordin redus, care au o
acuratet¸e acceptabilă din punct de vedere industrial, t¸inând cont s¸i de abaterile geoemetriei
s¸i parametrilor de material, inerente în tehnologiile micro- s¸i nano- electronice s¸i care au
ordine de mărime de circa 10%.
111

Această pagină este lăsată goală în mod intent¸ionat.

Concluzii finale s¸i contribut¸ii originale
CAPITOLUL 6
Modelarea electromagnetică a componentelor pasive din circuitele integrate de înaltă
frecvent¸ă (până la 60GHz), folosind metode numerice, se reduce în final la rezolvarea unor
sisteme de ecuat¸ii algebrice liniare de foarte mari dimensiuni. În bibliotecile matematice
disponibile, comercial sau în domeniul public, există sute chiar s¸i mii de rutine pentru
rezolvarea unor astfel de sisteme. Acestea au fost dezvoltate de persoane sau colective cu
cele mai avansate competente în domeniul matematic s¸i/sau al calculatoarelor. Fiecare din
aceste rutine este potrivită pentru o anumită clasă de matrice.
Observând aceasta realitate, obiectivul tezei nu a constat în dezvoltarea unei rutine suplimenatre,
fat¸ă de cele disponibile, ci a fost acela de a pune la punct o tehnologie eficientă
de modelare s¸i simulare a bobinelor spiralate din circuitele integrate, care sa poată fi executată
pe sisteme de calcul multiprocesor cu arhitecturi ierarhice, hibride (cluster, CPU,
GPU). O astfel de tehnologie este solicitată de proiectant¸ii de circuite integrate de foarte
înalta frecvent¸ă, angajat¸i de partenerii nos¸tri industriali.
Eficient¸a diverselor metodele de rezolvare a sistemelor liniare depinde de caracteristicile
s¸i proprietăt¸ile matricei sistemului. Încercarea de a alege rutinele fără studierea acestor
caracteristici, ca s¸i paralelizarea automată, fără întelegerea granulat¸iei intrinseci a algoritmului
de modelare, s-a dovedit a fi sortita es¸ecului. Trebuie să mai remarcam, că proprietăt¸ile
matricelor obtinut¸e prin discretizarea ecuat¸iilor câmpului electromagnetic sunt în
strânsă legătură cu modul în care este formulată problema, condit¸iile ei de frontieră s¸i metodele
numerice folosite pentru discretizare. De regulă, se obtin matrice rare cu aproape 1
milion de necunoscute.
Dacă toate acestea au fost stabilite anterior, atunci trebuie, în principiu, identificate din
bibliotecile matematice, acele rutine potrivite pentru proprietăt¸ile concrete. În perspectivă
inversă, dacă se alege o metoda directă sau iterativa s¸i de precondit¸ionare recunoscută ca
fiind foarte eficientă, ar trebui ca atunci când se formulează problema de câmp s¸i se decide
metoda de discretizare, să se urmarească obt¸inerea proprietăt¸ilor cerute de metoda de
rezolvare aleasă. Această corelat¸ie între formularea problemei de câmp electromagnetic
s¸i tehnica de rezolvare numerică de rezolvare a ei, în paralel, presupune cunos¸tint¸e de inginerie
electrică ce nu sunt la îndemana matematicienilor sau a informaticienilor, care au
dezvoltat rutinele de rezolvare. Pe de altă parte inginerul, care se ocupă de modelarea electromagnetică,
trebuie să înteleagă nu doar aspectele fizice s¸i ingineres¸ti, să poată identifica
113

6. Concluzii finale s¸i contribut¸ii originale
ipotezele simplificatoare acceptabil, ci să aibă cunos¸tint¸ele de matematică s¸i informatică,
necesare întelegerii modului de funct¸ionare s¸i utilizare a acestor rutine de rezolvare.
Tehnologia de modelare electromagnetică a bobineleor spiralate din circuitele integrate
de înaltă frecvent¸ă, prezentată în teză, a fost pusă la punct s¸i validată experimental folosind
rezultatele măsurătorilor puse la dispozit¸ie de partenerii nos¸tri industriali, pentru structuri
de test proiectate s¸i realizate de aces¸tia. Dintre toate alternativele evaluate, în final, s-a
dovedit a fi cea mai eficientă s¸i precisă, tehnologia care se bazează pe rezolvarea numerică
a ecuat¸iilor lui Maxwell, cu condit¸ii de frontieră de tip EMCE, folosind metoda FIT
în domeniul frecvent¸ei s¸i extragând modelul de ordin redus cu tehnica Es¸antionării Adaptive
a Frecvent¸ei AFS-VF. Ea a fost impelementată pe sistemul hibrid ATLAS, folosind
tehnicile de paralelizare cele mai potrivite pentru etapele acestei tehnologii. Pentru acesta
s-au folosit paradigme de programare, adecvate arhitecturii sistemului de calcul: progrmare
distribuita (MPI pentru cluster), programare paralelă (Open MP, LAPACK pentru
CPU multicore), dar s¸i programare masiv paralela (CUDA, Open CL pentru GPU).
Procedurile de modelare electromagnetică dezvoltate în LMN s¸i prezentate în teză au
condus la accelerarea procesului de 5-10 s¸i chiar de 100 ori, fat¸ă de situat¸ia existentă înainte
de a începe aceste cercetări. În concluzie, putem afirma fără dubiu, că obiectivele tezei au
fost pe deplin realizate.
Principalele contribut¸ii originale aduse prin teza de doctorat:
1. Realizarea unui studiu critic asupra metodelor de modelare elctromagnetică a inductoarelor
din circuitelele integrate de înaltă frecvent¸ă.
2. Modelarea folosind un program dezvoltat în cadrul LMN (Chamy) s¸i un program
comercial (COMSOL) a unui set de structuri inductive de test, virtuale s¸i reale, în
vederea identificarii celei mai eficiente tehnologii TCAD de modelare electromagnetică.
Pe nivelul inferior, cele două programe au fost folosite doar pentru generarea
matricelor sistemului liniar, care au fost rezolvate apoi cu diverse metode, pe sisteme
de calcul multiprocesor. Pe nivelul cel mai înalt, frecvent¸ele, pentru care se
realizează simularea, au fost generate de un algoritm adaptiv distribuit implementat
de autor. S-au identificat s¸i caracterizat subdomeniile omogene ale problemei de
câmp s¸i condit¸iile ei de frontieră, de tip EMCE, rezultând terminalele electrice s¸i
cele magnetice (hooks), prin care dispozitivele analizate interactionează cu mediul
electromagnetic zgomotos.
3. S-a studiat eficient¸a diferitelor metode directe s¸i iterative cu s¸i fără preconditionare,
pentru rezolvarea în paralel (pe sisteme cu arhitecturi ierarhice hibride: cluster, CPU,
GPU) a sistemelor de mari dimensiuni, cu matrice rare generate prin discretizarea
ecuat¸iilor câmpului elctromagnetic s¸i s-au identificat solut.iile cele mai eficiente pentru
tehnologia de modelare propusă. Acestea au fost incluse în programul TCAD
numit Chamy, dezvoltat în cadrul LMN. Testele efectuate pe sistemul de calcul multiprocesor
ATLAS au dovedit o o accelerare substant¸iala¸ a procesului de modelare.
4. A fost dezvoltat, în MATLAB, un program distribuit de extragerea a modelului de
ordin redus. Metoda cea mai eficientă s-a dovedit a fi AFS-VF - Es¸antionarea Adaptivă
a Frecvent¸elor cu Vector Fitting - AFS-VF. Acestea au fost incluse în programul
114

TCAD Chamy, dezvoltat de echipa LMN. Chiar dacă numărul de terminale ale componenetelor
inductive este redus (3 -10), modelul original are sute de mii de grade de
libertate, ceea ce evidentiază complexitatea fenomenelor interne (nu numai inductive
ci s¸i rezistive s¸i capacitive distribuite), dar face ca acest model să fie de neutilizat fără
proiectant¸i. Metoda AFS-VF a reusit să reducă numarul variabilelor de stare la 5-20,
ceea ce evidentază eficient¸a sa extraordinară.
5. A fost modelată structura de test CDST-SP-MIDDLE, constând dintr-o bobină spiralată
cu spire pătrate, realizată în tehnologia CMOS. Rezultatele au fost validate prin
comparat¸ie cu rezultatele măsurătorilor efectuate de partenerii nos¸tri industriali. Fat¸ă
de rularea secvent¸ială, folosind 4 noduri din cluster, s-a obt¸inut o accelerare de 3.
6. A fost modelată structura de test CHRF217, constând dintr-o bobină spiralată cu
spire hexagonale realizată în tehnologia CMOS. Rezultatele au fost validate prin
comparat¸ie cu rezultatele măsurătorilor efectuate de partenerii nos¸tri industriali.
7. A fost modelată structura de test CHRF201, constând dintr-o pereche de bobine cuplate,
realizate în tehnologia CMOS. Rezultatele au fost validate prin comparat¸ie cu
rezultatele măsurătorilor efectuate de partenerii nos¸tri industriali. Rezultatele numerice
au acuratet¸e mai mare decât cele obtinut¸e init¸ial, în cadrul proiecteleor, s¸i sunt
obt¸inute mult mai rapid.
Contribut¸iile orginale aduse de autor au fost comunicate în lucrări publicate împreună
cu alt¸i membri ai echipei de cercetare LMN.
Lista lucrărilor publicate de autor
1. I. Andrei, E. Căciulan, D. Dan, G. Ciuprina and D. Ioan, ”Matlab Based Parallel
Deterministic Optimization of the Loneys Solenoid”, Acta Electrotehnica – Special
Issue – Selected papers from the 3 rd International Conference of Modern Power Systems
(MPS 2010), Vol. 51, No. 5, pp. 9-14, Mediamira Science Publisher, Cluj-
Napoca, Romania, 2010, ISSN 1841-3323.
2. I. Andrei, E. Căciulan and D. Dan, ”Parallel and Distributed Computations Applied
to the Deterministic Optimization of the Loney’s Solenoid”, Proceedings of the 11 th
International Workshop on Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism
(OIPE 2010), pp:90-91, September 14-18, 2010, Sofia, Bulgaria, ISBN 978-954-
438-855-3.
3. G. Ciuprina, D. Ioan, I.A. Lazăr, M.I. Andrei, ”Adaptive Frequency Sampling for the
Effective Extraction of Reduced Models for HF-ICs Passive Components”, Proceedings
of National Symposium of Theoretical Electrical Engineering (SNET 2010),
Bucharest, 2010, ISSN 2067-4147.
4. I.A. Lazăr, M.I. Andrei, E. Căciulan, G. Ciuprina and D. Ioan, ”Parallel algorithms
for the efficient extraction of fitting based reduced order models”, Proceedings of the
7 th International Symposium on Advanced Topics in Electrical Engineering (ATEE
2011), pp:1-6, 12-14 May, Bucharest, 2011, ISSN: 2068-7966
115

6. Concluzii finale s¸i contribut¸ii originale
5. D. Ioan, G. Ciuprina, C.B. Dit¸ă and M.I. Andrei, ”Electromagnetic Models of Integrated
Circuits with Coupled Magnetic Circuits”, Proceedings of the International
Conference on Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA 2012), September
2-7, 2012, Cape Town, South Africa.
6. G. Ciuprina, D. Ioan, C.B. Dit¸ă and M.I. Andrei, ”Frequency Dependent Models for
Planar On-Chip Inductors”, Book of Abstracts, Scientific Computing in Electrical
Engineering (SCEE 2012), 11-14 September, 2012, Zurich, Switzerland.
7. G. Ciuprina, D. Ioan, C.B. Dit¸ă and M.I. Andrei, ” Optimal terminals identification
for domain partitioning of electro-magnetic circuit elements”, Proceedings of 12 th
International Workshop on Optimization and Inverse Problems in Electromagnetism
(OIPE 2012), 19-21 September, 2012, Ghent, Belgium.
Lucrări trimise pentru publicare:
1. G. Ciuprina, C.B. Dit¸ă, M.I. Andrei and D. Ioan, ”Hierarchical Sparse Circuits for
the Modeling of Homogeneous Domains in High Frequency ICs”, în curs de publicare
la Editura Politehnica Press
2. M.I. Andrei and C.B. Dit¸ă, ”Using Multiprocessors Systems for Electromagnetic
Modelling of Spiral Inductors”, lucrare trimisă pentru Buletinul UPB, ID 1698.
Lucrări în pregătire:
1. Parallel extraction of reduced order models for integrated inductors by AFS-VF
2. Parallel iterative electromagnetic modeling of spiral inductors
116

Definire schedulere
ANEXA A
În această anexă se prezintă modul în care se pot defini schedulere pentru folosirea MATLAB
paralel (versiunea 2012a). Scheduler-ul ”local” este predefinit s¸i permite folosirea calculului paralel
prin MATLAB PCT. ”JobManager”-ul este cel livrat cu MATLAB DCS, iar ”Torque” este un
scheduler open-source [152].
Observat¸ia 2 Înainte de a defini schedulere trebuie pornit¸i workersii din Control Center (cc.lmn.pub.ro).
A.1 Definire scheduler JobManager
Pentru a defini un Job Manager (1 worker = 1 core) merget¸i la meniul Parallel −→ Manage
Cluster Profiles −→ New −→ MATLAB Job Scheduler (MJS). Putet¸i redenumi numele schedulerului
(click dreapta −→ Rename). Butonul Edit permite accesul la modificarea scheduler-ului nou
definit. Modificat¸i câmpurile astfel:
• Hostname of the machine where MJS is running:
tau-ib:28000
• The name of MJS:
Greeks
• Range of number of workers to run job:
[1 32]
Numărul maxim de workersi poate fi cel mult 64 sau numărul de workers¸i pornit¸i, altfel primit¸i
eroare la Validare. Done, apoi revenit¸i s¸i selectat¸i scheduler-ul nou definit s¸i validati-l (click dreapta
Validate).
117

A. Definire schedulere
A.2 Definire scheduler Torque
Pentru a defini un Torque (1 worker = 1 nod) merget¸i la meniul Parallel −→ Manage Cluster
Profiles −→ New-¿ Torque. Putet¸i redenumi numele scheduler-ului (click dreapta −→ Rename).
Butonul Edit permite accesul la modificarea scheduler-ului nou definit. Modificat¸i câmpurile astfel:
• Number of workers available on cluster:
4 (num\u arul de noduri pornite)
• Root of MATLAB installation for wrokers:
/usr/local/matlab
• Range of number of workers to run job:
[1 32] sau puteti lasa necompletat
• Remote shell command to call UNIX:
ssh
• Remote copy command:
scp
Administrarea scheduler-ului Torque se poate face executaând comenzi numai pe nodul Tau.
Comanda:
pbsnodes
listează toate nodurile. Interesează doar opt¸iunea STATE, care poate fi DOWN (atunci când schedulerul
Torque nu îl consideră worker), FREE (starea normală) sau OFFLINE.
Pentru a scoate un nod din grupul celor care primesc joburi Torque trebuie marcat ca OFFLINE:
sudo pbsnodes -o nume_nod.lmn.pub.ro
unde nume nod se înlocuies¸te cu numele nodului (Beta, Delta, ...).
Pentru a activa un nod ca worker (FREE) se execută comanda:
sudo pbsnodes -c nume_nod.lmn.pub.ro
118

AFS-VF paralel
În această anexă sunt prezentate funct¸iile ce formează algoritmul AFS-VF paralel.
B.1 Cod pm sys2snp vf3 v*.m
ANEXA B
%% ============================
% Aceasta este versiunea paralela a functiei "sys2snp_vf3"
%scrisa de dna. prof. Gabriela Ciuprina
% Mihail-Iulian ANDREI
% iulian@lmn.pub.ro
% Ultima verificare 18 Iul 2012
%% ============================
function [frequency_response,frequency_data,trfct] = pm_sys2snp_vf3_v3 ...
(matrices, frequency_data, method, snp_info, avfitParams, sched, ...
sched_type, nr_workers, solver_used);
%% No of terminals
B = matrices.nominal.B;
trfct = [];
m = size(B,2);
nofreq = length(frequency_data.frequency_points); % no of frequency points
% check is the frequencies are in rad/sec
switch lower(frequency_data.frequency_unit)
case ’hz’
omega = 2*pi*frequency_data.frequency_points;
case ’khz’
omega = 2*pi*frequency_data.frequency_points*1e3;
case ’mhz’
omega = 2*pi*frequency_data.frequency_points*1e6;
case ’ghz’
omega = 2*pi*frequency_data.frequency_points*1e9;
otherwise % rad/sec
119

B. AFS-VF paralel
end
omega = frequency_data.frequency_points;
%% ====================Matlapool=================================
matlabpool (’open’, sched, nr_workers, ’FileDependencies’,...
{’compute_list_frequencies_v2.m’ ’compute_list_frequencies_v3.m’});
sourcespath = genpath(’/home/iulian/library_sol/taux2’);
addpath(sourcespath);
% matlabpool (’open’, sched, nr_workers);
tic;
tt = cputime;
%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMPUTE THE ANSWER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
disp(’Compute the answer ...... wait’);
if frequency_data.AFS.flag
doafs = 1;
else
doafs = 0;
end
if isempty(frequency_data.AFS.max)
doafs = 0;
elseif frequency_data.AFS.max == 0
doafs = 0;
end
if ˜doafs
disp(’Compute the answer for exactly the frequencies’);
% compute the answer for exactly the frequencies that are in
% frequency_data.frequency_points
if m == 1
frequency_response = zeros(nofreq,1); %SISO
else
frequency_response = zeros(m,m,nofreq); %MIMO
end
for k = 1:nofreq
y = compute_one_frequency(matrices,method,omega(k));
if m == 1 % SISO
if ˜isempty(y)
frequency_response(k) = y;
else
frequency_response(k) = 0;
end
else % MIMO
if ˜isempty(y)
frequency_response(:,:,k) = y;
else
120

B.1. Cod pm sys2snp vf3 v*.m
frequency_response(:,:,k) = 0;
end
end
end
else
disp(’Adaptive Frequency Sampling (AFS) is used. Iulian’);
listf = sort(omega);
%==============Crearea listei de frevente===========================
listf_new = frequency_list(omega);
if strcmp(solver_used,’umfpack’)
fprintf(’=======>umfpack used \n’);
yf = compute_list_frequencies_v2(matrices, listf_new,...
m, nr_workers, sched_type);
elseif strcmp(solver_used,’taucs’)
fprintf(’=======>taucs used \n’);
yf = compute_list_frequencies_v3(matrices, listf_new, m,...
nr_workers, sched_type);
else
fprintf(’=======>ERROR Unknown solver \n’);
end
matrices.nominal
if m ==1
i_2 = 0;
for i_1=1:2:length(yf)
i_2=i_2+1;
yf_1(i_2) = yf(i_1);
end
i_2 = 0;
for i_1=2:2:length(yf)
i_2=i_2+1;
yf_2(i_2) = yf(i_1);
end
resp = yf_1;
resp_rest = yf_2;
else
i_2 = 0;
for i_1=1:2:length(yf)
i_2=i_2+1;
yf_1(:,:,i_2) = yf(:,:,i_1);
end
i_2 = 0;
for i_1=2:2:length(yf)
i_2=i_2+1;
yf_2(:,:,i_2) = yf(:,:,i_1);
121

B. AFS-VF paralel
end
end
resp = yf_1;
resp_rest = yf_2;
[listf,listy,trfct] = do_afs_nerecursiv(omega, resp, ...
frequency_data.AFS, matrices, method, snp_info, avfitParams, ...
nr_workers, resp_rest, sched_type, solver_used);
nop = length(listf);
frequency_response = listy;
if m == 1
frequency_response = conj(frequency_response’);
end
frequency_data.frequency_points = listf/(2*pi)*1e-9;
frequency_data.frequency_unit = ’GHz’;
if nop >= frequency_data.AFS.max
fprintf(’************** WARNING **************: ...
afs - max no of iterations = %d reached \n’, frequency_data.AFS.max);
fprintf(’No of computed points = %d \n’,nop);
end
nofreq = length(listf);
end
t2=toc;
tt2 = cputime;
fprintf(’Time for computing frequency response = %e \n’, t2);
fprintf(’Time for computing frequency response = %e \n’, tt2-tt);
fprintf(’Number of computed frequencies = %d \n’, nofreq);
disp(’sys2snp - FINISHED’);
matlabpool close;
end
%% do_afs_nerecursiv Function
function [listx,listy,trfct] = do_afs_nerecursiv(listx, listy,...
AFSinfo, matrices, method, snp_info, avfitParams, nr_workers, ...
resp_rest, sched_type, solver_used);
lx = length(listx);
interval_flags = ones(1,lx-1);
% 1 inseamna interval "verde", trebuie pus
% in interiorul lui un punct
no_test = nnz(interval_flags);
idx_iter = 0;
flag_ordin = 0;
mm = size(matrices.nominal.B,2);
iteratie = 0;
122

while and(lx 1
old_poles = poles;
old_residues = residues;
old_kinf = kinf;
old_prop = prop;
end
frequency_data.frequency_unit = freq_unit;
frequency_data.frequency_points = frequency_points;
123

B. AFS-VF paralel
response = value;
avfitParams.idx = idx_iter;
transferFunction = auto_vfit3_fromfreqdata(frequency_data,...
response,snp_info,avfitParams);
ordin(idx_iter) = transferFunction.order;
poles = transferFunction.poles;
residues = transferFunction.residues;
kinf = transferFunction.kinf;
prop = transferFunction.prop;
if idx_iter > 1
if ordin(idx_iter) == ordin(idx_iter - 1)
flag_ordin = 1;
end
end
end
%% =======================Partea paralela======
idx_2 = 0;
test_yinterpp = [];
for idx_1=1:lx-1
if interval_flags(idx_1) ˜= 0
idx_2 = idx_2+1;
x1 = listx(idx_1);
x2 = listx(idx_1+1);
if mm == 1 % SISO
y1 = listy(idx_1);
y2 = listy(idx_1+1);
else
y1 = listy(:,:,idx_1);
y2 = listy(:,:,idx_1+1);
end
if strcmpi(AFSinfo.type,’vfitlinf’)%
test_omega(idx_2) = (x1+x2)/2;
if mm == 1 %SISO
yinterp = 0;
omega_crt = test_omega(idx_2);
for k2 = 1:transferFunction.order
yinterp = yinterp + residues(k2)/...
(1i*omega_crt - poles(k2));
end
yinterp = yinterp + kinf + 1i*omega_crt*prop;
test_yinterpp(idx_2) = yinterp;
else
yinterp = zeros(mm,mm);
omega_crt = test_omega(idx_2);
for k2 = 1:transferFunction.order
124

end
end
end
end
B.1. Cod pm sys2snp vf3 v*.m
yinterp = yinterp + residues(:,:,k2)./...
(1i*omega_crt - poles(k2));
end
yinterp = yinterp + kinf + 1i*omega_crt*prop;
%yinterp = reshape(yinterp,mm,mm);
test_yinterpp = [test_yinterpp yinterp];
if mm == 1
test_yinterp = test_yinterpp;
else
idx_2 = 0;
for idx_1=1:2:length(test_yinterpp)
idx_2 = idx_2+1;
test_yinterp(:,1,idx_2) = test_yinterpp(:,idx_1);
test_yinterp(:,2,idx_2) = test_yinterpp(:,idx_1+1);
end
end
if iteratie == 1
test_resp = resp_rest
else
if strcmp(solver_used,’umfpack’)
fprintf(’=======>umfpack used \n’);
test_resp = compute_list_frequencies_v2 (matrices,...
test_omega, mm, nr_workers, sched_type);
elseif strcmp(solver_used,’taucs’)
fprintf(’=======>taucs used \n’);
test_resp = compute_list_frequencies_v3 (matrices,...
test_omega, mm, nr_workers, sched_type);
else
fprintf(’=======>ERROR Unknown solver \n’);
end
end
for idx_1=1:length(test_resp)
if interval_flags(idx_1) ˜= 0
if mm == 1
norm1 = norm(test_resp(idx_1)-test_yinterp...
(idx_1),’fro’);
norm2 = norm(test_resp(idx_1),’fro’);
if ˜and(AFSinfo.err*norm2 < eps, norm1 < eps)
if norm1 > AFSinfo.err*norm2
flag_test(idx_1) = 1;
125

B. AFS-VF paralel
end
end
end
else
norm1 = norm(test_resp(:,:,idx_1)-test_yinterp...
(:,:,idx_1),’fro’);
norm2 = norm(test_resp(:,:,idx_1),’fro’);
if ˜and(AFSinfo.err*norm2 < eps, norm1 < eps)
if norm1 > AFSinfo.err*norm2
flag_test(idx_1) = 1;
end
end
end
end
listx_test = test_omega;
listy_test = test_resp;
%=======================Sfarsit Partea paralela======
%%
% asambleaza noua lista de frecventa si flagurile intervalelor
lx_new = lx + no_test;
listx_new = zeros(1,lx_new);
if mm == 1 % SISO
listy_new = zeros(1, lx_new);
else
listy_new = zeros(mm,mm,lx_new);
end
interval_flags_new = zeros(1,lx_new - 1);
idx = 0;
idx_test = 0;
for k = 1:lx-1
if interval_flags(k) == 1
% adauga capatul din stanga si pct intermediar
idx_test = idx_test + 1;
idx = idx + 1;
listx_new(idx) = listx(k);
if mm == 1 % SISO
listy_new(idx) = listy(k);
else
listy_new(:,:,idx) = listy(:,:,k);
end
interval_flags_new(idx) = flag_test(idx_test);
% flagul acestui noi interval depinde de flagul pct de test
idx = idx + 1;
listx_new(idx) = listx_test(idx_test);
if mm == 1 % SISO
listy_new(idx) = listy_test(idx_test);
126

end
B.1. Cod pm sys2snp vf3 v*.m
else
listy_new(:,:,idx) = listy_test(:,:,idx_test);
end
interval_flags_new(idx) = flag_test(idx_test);
else % pastreaza doar capatul din stanga
idx = idx + 1;
listx_new(idx) = listx(k);
if mm == 1 % SISO
listy_new(idx) = listy(k);
else
listy_new(:,:,idx) = listy(:,:,k);
end
interval_flags_new(idx) = 0;
% acest interval nu a fost si nu va mai fi divizat
end
% adauga ultimul punct
idx = idx + 1;
listx_new(idx) = listx(lx);
if mm == 1 % SISO
listy_new(idx) = listy(lx);
else
listy_new(:,:,idx) = listy(:,:,lx);
end
lx = lx_new;
listx = listx_new;
listy = listy_new;
interval_flags = interval_flags_new;
no_test = nnz(interval_flags);
if flag_ordin == 1
if no_test ˜= 0
er_poles = norm(old_poles - poles)/norm(poles);
er_tf = snp_info.tol_poles;
if er_poles < er_tf
no_test = 0;
% se va opri, atentie ultimul vfit e...
% facut pe penultimul set de puncte
disp(’ =============================...
=========================================================
disp(’ - STOP DUE TO THE UNCHANGE OF...
THE REDUCED ORDER MODEL FOR TWO CONSECUTIVE ITERATIONS -
disp(’ - and relative difference of ...
the poles vector less than 1 % - ’);
disp(’ =============================...
=========================================================
else
127

B. AFS-VF paralel
end
end
end
end
flag_ordin = 0;
%%%% vector fit final + sinteza
frequency_data.frequency_unit = ’rad/s’;
frequency_data.frequency_points = listx;
response = listy;
avfitParams.idx = idx_iter+1;
if mm == 1
response = conj(response’);
end
%avfitParams.minOrder = 1;
trfct = auto_vfit3_fromfreqdata(...
frequency_data,response,snp_info,avfitParams);
if or(strcmpi(AFSinfo.type,’vfit’),strcmpi(AFSinfo.type,’vfitlinf’))
disp(’ordin’);
disp(ordin);
end
disp(’nr puncte noi evaluate’);
disp(nr_pct_noi_testate);
disp(’nr total puncte’);
disp(nr_pct_testate);
disp(’Polii functiei de transfer pentru modelul final’);
disp(trfct.poles);
end
B.2 Cod compute list frequencies v*.m
%% ============================
% Mihail-Iulian ANDREI
% iulian@lmn.pub.ro
% Ultima verificare 22 Sep 2011
% testat pe Matlab 2011
% solver folosit umfpack
%% ============================
function [y] = compute_list_frequencies_v2(matrices, list_test, mm, ...
nr_workers, sched_type)
% y - vectorul ce retine raspunsul obtinut in urma rezolvarii sistemelor
% matrices - contine matricele sistemului de semi-stare (C,G,B,L,D)
% list_test - contine lista frecventelor pentru care trebuie rezolvat
128

% sistemul (de fapt lista contine 2*pi*f)
% mm - numarul de intrari
% nr_workers - numarul de workersi
B.2. Cod compute list frequencies v*.m
fprintf(’---------------compute_list_frequencies_v2--------------------’);
% matricele sistemului de semi-stare
n = length(list_test);
C = matrices.nominal.C;
G = matrices.nominal.G;
B = matrices.nominal.B;
L = matrices.nominal.L;
D = matrices.nominal.D;
tic;
%% Partea paralela
spmd
res =[];
res_frec =[];
% In cazul folosirii scheduler-ului "Torque" numarul
% de threads-uri se seteaza pe numarul de core-uri disponibile (8),
% in cazul scheduler-ului "Jobmanager" numarul de threads-uri
% ramane setat pe 1.
sched_type_lab = sched_type
if strcmp(sched_type_lab,’Torque’)
maxNumCompThreads(8);
maxNumCompThreads(8);
else
maxNumCompThreads(1);
maxNumCompThreads(1);
end
maxNumCompThreads
%% Distributia frecventelor
list_testt = list_test; %aduce lista de frecvente in memoria workersilor
dist = codistributor1d(); % stabilirea schemei de distributie
% distributia frecventelor
list_test_distributed = codistributed (list_testt);
% crearea unui vector local pe fiecare worker, care contine
% una sau mai multe frecvente primite in urma distributiei frecventelor
list_test_local = getLocalPart(list_test_distributed);
%% Rezolvarea sistemelor
for i=1:1:length(list_test_local)
K = 1i*list_test_local(i)*C+G;
tic
129

B. AFS-VF paralel
end
toc
end
x = K\B;
toc
xx = L*x+D;
res = [res xx];
res_frec = [res_frec list_test_local(i)];
%% Asamblarea raspunsului
end
% Aducerea raspunsului in spatiul local
ff=[];
fff=[];
for i=1:nr_workers
ff = [ff res{i}];
fff = [fff res_frec{i}];
end
% Asamblarea raspunsului sub forma de vector de matrice
y= [];
k=0;
if mm == 1
for i=1:n
y(i) = ff(1,i);
end
else
for i=1:2:2*n
k=k+1;
y(1,1,k) = ff(1,i);
y(1,2,k) = ff(1,i+1);
y(2,1,k) = ff(2,i);
y(2,2,k) = ff(2,i+1);
end
end
fprintf(’---------------END compute_list_frequencies_v2---------’);
%% Eliberarea memoriei
% Stergerea tuturor variabilelor folosite in aceasta functie
clear functions
B.3 Funct¸ie profilare
Cu ajutorul acestei funct¸ii se pot măsura timpii de execut¸ie ai unei alte funt¸ii atât cei paraleli, cât s¸i
cei secvent¸iali, folosind profiler-ul MATLAB.
130

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Mihail-Iulian ANDREI
% iulian@lmn.pub.ro
% 28 Jun 2011
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
B.3. Funct¸ie profilare
%% Instructions
% Step 1: put ’profile on -timer real’ before profiled function.
% Step 2: put ’profile off’
% ’profiled_info = profile(’info’);’
% after profiled function.
% Step 3: assign the name of profiled function ’func_name = ’name_of_your_fun
% Step 4: call this function ’t = profile_function(func_name, profiled_info);
% WARNING: If the following message is received ’The profiler has already
% been started. TIMER cannot be changed.’ call ’profile off’ in command
% line of MATLAB.
function [t_profile] = profile_function (func_name, profiled_info);
for i=1:length(profiled_info.FunctionTable)
if strcmpi(profiled_info.FunctionTable(i).FunctionName, func_name)
t_profile = profiled_info.FunctionTable(i).TotalTime;
end
end
clear functions;
end
131

Această pagină este lăsată goală în mod intent¸ionat.

Solver iterativ paralel GPU
ANEXA C
Această anexă cont¸ine suita de programe ce ofera accesul la solvere iterative paralele cu GPU.
C.1 Readme file
CUDA Programs
1. Requirements
- Matlab
- CUDA Driver (and additional software)
- CUDA (tested on 4.1 version) along with Thrust 1.5
- CUSP library
- gcc ver. 3.6 (see specifications for Matlab Mex if you want to use other
version
and modify "make_install.m" file)
2. Install
In the "make_install.m" file, specify the path of "nvcc" compiler for
every command and the path for CUDA libraries. Then, execute
"make_install.m" file.
3. Using CUDA Programs
Include the CUDA Programs folder to your Matlab sources, by adding
the following code to your programs:
sourcespath = genpath(’specify you PATH to cuda_programs’);
addpath(sourcespath);
You can call iterative solvers by this command:
x = iterative_solver (A, b, no_it, rel_tol, solver_used);
where
x - solution
A - Coefficient matrix A (A must be sparse real or complex)
b - right hand side b
133

C. Solver iterativ paralel GPU
no_it - number of iterations
rel_tol - tolerance
solver_used - choose solver:
1 - GMRES
2 - GMRES with PRECONDITIONER
3 - BiCGstab
4 - CG
OBS: For GMRES and GMRES with PRECONDITIONER you can modify the
restart value and after run "make_install.m" file. See cuda files
for more details about monitor.
4. Uninstall
Remove all files.
C.2 Installation file
%============================
%Mihail-Iulian ANDREI
% iulian@lmn.pub.ro
% Last check 24 Feb 2012
%============================
%% Run this m-file to install all functions
current_path = pwd;
%% Complie solver files
install_folder = strcat(current_path, ’/cuda_programs/solvers’);
chdir(install_folder);
%%Matlab 2011
%system(sprintf(’/home/iulian/cuda_local/cuda/bin/nvcc ...
--compiler-bindir /usr/lib64/ccache/gcc34 -I"%s/extern/include"...
--cuda "solver_complex_mex.cu" --output-file "solver_complex_mex.cpp"’...
, matlabroot));
%mex -I/home/iulian/cuda_local/cuda/include/
-L/home/iulian/cuda_local/cuda/lib64 -lcudart -lcusparse
-largeArrayDims solver_complex_mex.cpp
%%Matlab 2012
% system(sprintf(’/home/iulian/cuda_41/cuda/bin/nvcc
-I"%s/extern/include" --cuda "solver_complex_mex.cu"
--output-file "solver_complex_mex.cpp"’, matlabroot));
%mex -I/home/iulian/cuda_41/cuda/include/
-L/home/iulian/cuda_41/cuda/lib64 -lcudart -lcusparse
-largeArrayDims solver_complex_mex.cpp
%%Matlab 2012, Cuda 4.1, Cusp 0.3.0
134

C.2. Installation file
system(sprintf(’/usr/local/cuda/bin/nvcc -I"%s/extern/include"
--cuda "solver_complex_mex.cu" --output-file "solver_complex_mex.cpp"’
, matlabroot));
mex -I/usr/local/cuda/include/ -L/usr/local/cuda/lib64 -lcudart
-lcusparse -largeArrayDims solver_complex_mex.cpp
fprintf(’----------->Complex solver DONEreal solver DONEsolvers DONE

C. Solver iterativ paralel GPU
C.3 Example file
clear all;
clc;
%% Add source programs path
sourcespath = genpath(’/home/iulian/cuda_solvers_poland/cuda_programs’);
addpath(sourcespath);
%% Load matrices from a file
chdir(’/home/iulian/cuda_solvers_poland/matrices’);
load ’utm300.mat’;
chdir(’..’);
%% Data
% Coefficient matrix A and right hand side b (Ax=b)
A=Problem.A;
b = Problem.b;
%% Choosing solver
% 1 - GMRES
% 2 - GMRES with PRECONDITIONER
% 3 - BiCGstab
% 4 - CG
n=length(A);
solver_used = 1;
k=1;
no_it = n*k;
rel_tol = 1e-11;
%% Solver from MATLAB
tic
%x0= bicgstab(A,b, rel_tol, no_it);
%x0= gmres(A,b, [], rel_tol, no_it);
toc
%% GMRES solver with CUDA
x1 = iterative_solver (A, b, no_it, rel_tol, solver_used);
%% Compute norm
%norm(b-A*x0)/norm(b)
norm(b-A*x1)/norm(b)
C.4 Solver call file
%% ============================
136

% Mihail-Iulian ANDREI
% iulian@lmn.pub.ro
% Last check 02 July 2012
%% ============================
C.4. Solver call file
function [x] = iterative_solver (A, b, no_it, rel_tol, solver_used, M)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% solves Ax=b
%%Input data
% A - coeffcient matrix
% b - vector
% no_it - number of iterations
% rel_tol - tolerance
% solver_used - 1 GMRES with restart
% 2 Preconditioned GMRES with restart
% 3 BiCGSTAB
% 4 Conjugate Gradients
% OBS. GMRES and BiCGSTAB for unsymmetric A matrix and CG for symmetric
% M - preconditioner matrix (if M is missing identity matrix is used)
%% Output data
% x - solution vector
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% check the preconditioner
if (nargin < 6) || isempty(M)
M = sparse([0]);
end
[i, j, x, no_nonzeros_A, no_cols_A, no_rows_A] = csc2coo_matrix(A);
[i_M, j_M, x_M, no_nonzeros_M, no_cols_M, no_rows_M] = csc2coo_matrix(M);
% Check conversion only
%%TO FIX if the last line is zero you will get an error
% ver = sparse(i_M,j_M,x_M);
% ver=full(ver)
% if ver==M
% 1
% else
% 2
% end
if isreal(A)
%Call real solver
% rows and cols vectors from 0 index
tic
x = solver_real_mex(i-1, j-1, x, no_nonzeros_A, b, no_it,...
rel_tol, solver_used, i_M-1, j_M-1, x_M, no_nonzeros_M);
toc
137

C. Solver iterativ paralel GPU
else
% Call complex solver
% rwos and cols vectors from 0 index
tic
[x_re, x_im] = solver_complex_mex(i-1, j-1, x, no_nonzeros_A, b,...
no_it, rel_tol, solver_used, i_M-1, j_M-1, x_M, no_nonzeros_M);
toc
% assembly solution
x = x_re+1i*x_im;
end;
clear functions
end
C.5 CSC to COO convert procedure
function [j, i, x, no_nonzeros_A, no_cols_A, no_rows_A] = csc2coo_matrix(A)
if ˜issparse(A)
error(’A matrix must be sparse’);
end;
A = A’;
[i, j, x] = find(A);
no_nonzeros_A = nnz(A);
no_cols_A = size(A(1,:),2);
no_rows_A = size(A(:,1),1);
if ˜isreal(A)
x = x’;
end
clear functions;
end
C.6 Complex solvers file
/*============================
Mihail-Iulian ANDREI
iulian@lmn.pub.ro
Last check 02 July 2012
============================ */
/* This mex-file was written in order to call Cusp based on
CUDA solvers. Cusp is a library which contains real and
complex sparse solvers (GMRES, BiCGSTAB and CG) based on
CUDA computations (http://code.google.com/p/cusp-library/). */
138

#include "mex.h"
#include "matrix.h"
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
// where to perform the computation
typedef cusp::host_memory host_MemorySpace;
typedef cusp::host_memory gpu_MemorySpace;
// which ing point type to use
typedef double ValueType_real;
typedef cusp::complex ValueType_complex;
//sparse_matrix
typedef struct sparse_matrix {
int *row;
int *col;
double *val_re; //Real Part
double *val_im; //Imaginary Part
int* csr_row;
int nnz;
} sparse_matrix;
//global variable
sparse_matrix A_gpu;
/*C code*/
void print_sparse_complex_matrix(sparse_matrix x){
int i;
139
C.6. Complex solvers file

C. Solver iterativ paralel GPU
for (i=0; i

C.6. Complex solvers file
/* solve system */
// set stopping criteria:
// iteration limit "no_it"
// relative tolerance "rel_tol"
// default_monitor - no information
// verbose_monitor - display information
cusp::default_monitor monitor(b, no_it, rel_tol);
int restart = 50;
mexPrintf("restart =%d\n",restart);
// solve the linear system A*x=b with the GMRES
cusp::krylov::gmres(A, x, b,restart, monitor);
/* default_monitor */
// if (monitor.converged()){
// std::cout

C. Solver iterativ paralel GPU
cusp::coo_matrix
C(dimension, dimension, AA.nnz);
for (i=0;i

}
//cusp::print(D);
C.6. Complex solvers file
// conver matrix from COO to CSR or HYB
cusp::csr_matrix M = D;
//cusp::print(M);
mexPrintf("Custom M PRECONDITIONER.\n");
// solve the linear system A*x=b with the GMRES
cusp::krylov::gmres(A, x, b,restart, monitor, M);
/* save solution */
//cusp::print(x);
for (i=0;i

C. Solver iterativ paralel GPU

C.6. Complex solvers file
/* solve system */
// set stopping criteria:
// iteration limit "no_it"
// relative tolerance "rel_tol"
// default_monitor - basic information
// verbose_monitor - display information
cusp::default_monitor monitor(b, no_it, rel_tol);
// set preconditioner (identity)
cusp::identity_operator
M(A.num_rows, A.num_rows);
// cusp::precond::diagonal M(A);
// solve the linear system A*x=b with BiCGstab
cusp::krylov::bicgstab(A, x, b, monitor, M);
/* default_monitor */
// if (monitor.converged()){
// std::cout

C. Solver iterativ paralel GPU
/* create Ax=b data */
// create an empty sparse matrix structure (COO format)
cusp::coo_matrix
C(dimension, dimension, AA.nnz);
for (i=0;i

C.6. Complex solvers file
// std::cout

C. Solver iterativ paralel GPU
//cusp::print(b);
// allocate storage for solution "x"
cusp::array1d x(dimension,
ValueType_complex(0,0));
//cusp::print(x);
//TO DO return 0
/*save solution*/
for (i=0;i A matrix
v1 = mxGetPr(prhs[0]);
v2 = mxGetPr(prhs[1]);
148

A_host.val_re = mxGetPr(prhs[2]);
A_host.val_im = mxGetPi(prhs[2]);
A_host.nnz = (int)mxGetScalar(prhs[3]);
// mem alloc
A_host.row = (int *)malloc(A_host.nnz*sizeof(int));
A_host.col = (int *)malloc(A_host.nnz*sizeof(int));
// convert vector from double to int
for (i=0; i M matrix
v3 = mxGetPr(prhs[8]);
v4 = mxGetPr(prhs[9]);
M_host.val_re = mxGetPr(prhs[10]);
M_host.val_im = mxGetPi(prhs[10]);
M_host.nnz = (int)mxGetScalar(prhs[11]);
// mem alloc
M_host.row = (int *)malloc(M_host.nnz*sizeof(int));
M_host.col = (int *)malloc(M_host.nnz*sizeof(int));
// convert vector from double to int
for (i=0; i

C. Solver iterativ paralel GPU
/* Choosing solver */
// 1 - GMRES
// 2 - GMRES with PRECONDITIONER
// 3 - BiCGstab
// 4 - CG
// 5 - CG_m not ready yet
if (solver_used==1) {
mexPrintf("GMRES complex solver.\n");
if (M_host.nnz != 0){
mexPrintf("Solver without preconditioner.\n");
}
solve_gmres(A_host, b_host, b_length, no_it_r, rel_tol_r,
result_re, result_im);
}
else if (solver_used==2){
mexPrintf("GMRES with PRECONDITIONER complex solver.\n");
solve_gmres_pre(A_host, b_host, b_length, no_it_r, rel_tol_r,
result_re, result_im, M_host);
}
else if (solver_used==3){
mexPrintf("BiCGstab complex solver.\n");
solve_bicgstab(A_host, b_host, b_length, no_it_r, rel_tol_r,
result_re, result_im);
}
else if (solver_used==4){
mexPrintf("CG complex solver.\n");
solve_cg(A_host, b_host, b_length, no_it_r, rel_tol_r,
result_re, result_im);
}
else if (solver_used==5){
mexPrintf("WARNING CG-M complex solver is not ready yet.\n");
solve_cg_m(A_host, b_host, b_length, no_it_r, rel_tol_r,
result_re, result_im);
}
else {
mexPrintf("Invalid solver.");
}
}
C.7 Real solvers file
/*============================
Mihail-Iulian ANDREI
iulian@lmn.pub.ro
Last check 02 July 2012
============================ */
/* This mex-file was written in order to call Cusp based
on CUDA solvers. Cusp is a library which contains real and
150

C.7. Real solvers file
complex sparse solvers (GMRES, BiCGSTAB and CG) based on CUDA
computations (http://code.google.com/p/cusp-library/). */
#include "mex.h"
#include "matrix.h"
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
// where to perform the computation
typedef cusp::host_memory host_MemorySpace;
typedef cusp::host_memory gpu_MemorySpace;
// which ing point type to use
typedef double ValueType;
//sparse_matrix
typedef struct sparse_matrix {
int *row;
int *col;
double *val;
int* csr_row;
int nnz;
} sparse_matrix;
//global variable
sparse_matrix A_gpu;
/*C code*/
void print_sparse_matrix(sparse_matrix x){
int i;
for (i=0; i

C. Solver iterativ paralel GPU
}
}
void print_full_vector(double *x, int n){
int i;
for (i=0; i Option 1
void solve_gmres(sparse_matrix AA, double *bb, int dimension,
int no_it, double rel_tol, double *x_res) {
int i;
/* create Ax=b data */
// create an empty sparse matrix structure (COO format)
cusp::coo_matrix
C(dimension, dimension, AA.nnz);
for (i=0;i

(see Examples for more infos)
cusp::default_monitor monitor(b, no_it, rel_tol);
int restart = 200;
// solve the linear system A*x=b with the GMRES
cusp::krylov::gmres(A, x, b,restart, monitor);
// print info - convergenge_monitor and default_monitor
// convergenge_monitor
//monitor.print();
/* default_monitor */
if (monitor.converged()){
std::cout

C. Solver iterativ paralel GPU
C.row_indices[i] = AA.row[i];
C.column_indices[i] = AA.col[i];
C.values[i] = AA.val[i];
}
cusp::csr_matrix A = C;
// cusp::print(C);
cusp::array1d
b(dimension, ValueType(0));
for (i=0;i

solve the linear system A*x=b with the GMRES
cusp::krylov::gmres(A, x, b,restart, monitor, M);
//save solution
//cusp::print(x);
for (i=0;i

C. Solver iterativ paralel GPU
}
}
// BiCGstab solver ====> Option 3
void solve_bicgstab(sparse_matrix AA, double *bb,
int dimension, int no_it, double rel_tol, double *x_res) {
int i;
/* create Ax=b data */
// create an empty sparse matrix structure (COO format)
cusp::coo_matrix
C(dimension, dimension, AA.nnz);
for (i=0;i

gpu_MemorySpace> M(A, .1);
// cusp::precond::smoothed_aggregation M(A);
// solve the linear system A*x=b with BiCGstab
cusp::krylov::bicgstab(A, x, b, monitor, M);
// print info - convergenge_monitor and default_monitor
// convergenge_monitor
//monitor.print();
// default_monitor
if (monitor.converged()){
std::cout

C. Solver iterativ paralel GPU
for (i=0;i

std::cout

C. Solver iterativ paralel GPU
cusp::array1d
x(dimension, ValueType(0));
//TO DO return 0
/*save solution*/
for (i=0;i A matrix
v1 = mxGetPr(prhs[0]);
v2 = mxGetPr(prhs[1]);
A_host.val = mxGetPr(prhs[2]);
160

A_host.nnz = (int)mxGetScalar(prhs[3]);
/*mem alloc*/
A_host.row = (int *)malloc(A_host.nnz*sizeof(int));
A_host.col = (int *)malloc(A_host.nnz*sizeof(int));
/*convert vector from double to int*/
for (i=0; i M matrix
v3 = mxGetPr(prhs[8]);
v4 = mxGetPr(prhs[9]);
M_host.val = mxGetPr(prhs[10]);
M_host.nnz = (int)mxGetScalar(prhs[11]);
// mem alloc
M_host.row = (int *)malloc(M_host.nnz*sizeof(int));
M_host.col = (int *)malloc(M_host.nnz*sizeof(int));
// convert vector from double to int
for (i=0; i

C. Solver iterativ paralel GPU
// 5 - CG_m not ready yet
if (solver_used==1) {
mexPrintf("GMRES real solver.\n");
solve_gmres(A_host, b_host, b_length, no_it_r, rel_tol_r,result);
}
else if (solver_used==2){
mexPrintf("GMRES with PRECONDITIONER real solver.\n");
solve_gmres_pre(A_host, b_host, b_length, no_it_r,
rel_tol_r,result, M_host);
}
else if (solver_used==3){
mexPrintf("BiCGstab real solver.\n");
solve_bicgstab(A_host, b_host, b_length, no_it_r,
rel_tol_r,result);
}
else if (solver_used==4){
mexPrintf("CG real solver.\n");
solve_cg(A_host, b_host, b_length, no_it_r, rel_tol_r,
result);
}
else if (solver_used==5){
mexPrintf("CG-M real solver is not ready yet.\n");
solve_cg_m(A_host, b_host, b_length, no_it_r, rel_tol_r
,result);
}
else {
mexPrintf("Invalid solver.");
}
}
162

Save state space function
ANEXA D
Cu ajutorul acestei funct¸ii se exportă sistemul matriceal de stare din modelul COMSOL, în mediul
MATLAB.
%%============================
%Mihail-Iulian ANDREI
% iulian@lmn.pub.ro
% Last check 02 July 2012
%%============================
%% 1 - Add State Space to your Comsol model.
% Open Study tree, open Solver Configuration, right click on Solver -> Othe
% State Space parameters: Input parameters V0
% Output parameters mod1.V
% Check MA, MB, C, D, Static Off, and Mc
% then right click on Study and choose Compute
% Save model as m-file: File -> Save as m-file
% 2 - Start Comsol server on the same machine with Matlab (consol server -ckl
% 3 - Start MATLAB and go to your folder (be sure that you have a copy of thi
% 4 - Write the name of your model and run the save_state_v*.m file.
clear all;
clc;
% Add to sources Matlab-Comsol interface files.
sourcespath = genpath(’/usr/local/comsol/mli/’);
addpath(sourcespath);
% Connect to Comsol Server.
mphstart(2036);
% Put your m-file name here.
model = test
%% MA
x_MA = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixVal(’MA’);
163

D. Save state space function
i_MA = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixRow(’MA’);
j_MA = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixCol(’MA’);
M_MA = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getM(’MA’);
N_MA = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getN(’MA’);
nnz_MA = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getNnz(’MA’);
x_MA = double(x_MA);
i_MA = double(i_MA);
% indicii i si j sunt indexati de la 0 iar Matlabul lucreaza cu indici pornind d
i_MA =i_MA+1;
j_MA = double(j_MA);
j_MA = j_MA+1;
MA_res = sparse(i_MA, j_MA, x_MA, M_MA, N_MA, nnz_MA);
%% MB
x_MB = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixVal(’MB’);
i_MB = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixRow(’MB’);
j_MB = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixCol(’MB’);
M_MB = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getM(’MB’);
N_MB = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getN(’MB’);
nnz_MB = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getNnz(’MB’);
x_MB = double(x_MB);
i_MB = double(i_MB);
i_MB =i_MB+1;
j_MB = double(j_MB);
j_MB = j_MB+1;
MB_res = sparse(i_MB, j_MB, x_MB, M_MB, N_MB, nnz_MB);
%% Mc
x_Mc = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixVal(’Mc’);
i_Mc = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixRow(’Mc’);
j_Mc = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixCol(’Mc’);
M_Mc = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getM(’Mc’);
N_Mc = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getN(’Mc’);
nnz_Mc = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getNnz(’Mc’);
x_Mc = double(x_Mc);
i_Mc = double(i_Mc);
i_Mc =i_Mc+1;
j_Mc = double(j_Mc);
j_Mc = j_Mc+1;
Mc_res = sparse(i_Mc, j_Mc, x_Mc, M_Mc, N_Mc, nnz_Mc);
%% C
x_C = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixVal(’C’);
i_C = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixRow(’C’);
j_C = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixCol(’C’);
M_C = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getM(’C’);
164

N_C = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getN(’C’);
nnz_C = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getNnz(’C’);
x_C = double(x_C);
i_C = double(i_C);
i_C =i_C+1;
j_C = double(j_C);
j_C = j_C+1;
C_res = sparse(i_C, j_C, x_C, M_C, N_C, nnz_C);
%% D
x_D = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixVal(’D’);
i_D = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixRow(’D’);
j_D = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getSparseMatrixCol(’D’);
M_D = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getM(’D’);
N_D = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getN(’D’);
nnz_D = model.sol(’sol1’).feature(’sp1’).getNnz(’D’);
x_D = double(x_D);
i_D = double(i_D);
i_D =i_D+1;
j_D = double(j_D);
j_D = j_D+1;
D_res = sparse(i_D, j_D, x_D, M_D, N_D, nnz_D);
C = Mc_res;
G = -MA_res;
B = MB_res;
L = C_res;
D = D_res; %% D=0
%% Save the matrices into a file
save(’state_space_matrices.mat’, ’C’, ’G’,’B’, ’L’, ’D’);
%% Disconnect from Comsol Server
import com.comsol.model.*
import com.comsol.model.util.*
ModelUtil.disconnect;
165

Această pagină este lăsată goală în mod intent¸ionat.

Bibliografie
[1] E. Commission, “Vision 2020 - Nanoelectronics at the Centre of Change,”
2004. ftp://ftp.cordis.europa.eu/pub/nanotechnology/docs/
e-vision-2020.pdf.
[2] ITRS, “International technology roadmap for semiconductors.” http://www.itrs.
net/.
[3] Leibniz-Institut for innovative Microelectronics, “Innovations for High Perfommance Microelectronics
- Annual report,” 2011. http://www.ihp-microelectronics.com/
downloads/94/IHP_AR_2011.pdf.
[4] G. E. Moore, “Cramming more components onto integrated circuits,” Electronics, vol. 38,
April 1965. Reprinted 10.1109/N-SSC.2006.4785860.
[5] W. Arden, M. Brillouet, P. Cogez, M. Graef, B. Huizing, and R. Mahnkopf,
“More than Moore - white paper.” http://www.itrs.net/Links/2010ITRS/
IRC-ITRS-MtM-v2%203.pdf.
[6] E. Commission, “Vision 2020 - Nanoelectronics at the Centre of Change,”
2004. ftp://ftp.cordis.europa.eu/pub/nanotechnology/docs/
e-vision-2020.pdf.
[7] IBM, “Sequoia - Bluegene/Q.” http://en.wikipedia.org/wiki/IBM_Sequoia.
[8] Fujitsu, “K computer- SPARC64.” http://en.wikipedia.org/wiki/K_
computer.
[9] TOP500.Org, “TOP 500 Supercomter sites.” http://http://top500.org/.
[10] A. M. Niknejad, Electromagnetics for High-Speed Analog and Digital Communication Circuits.
Cambridge University Press, 2007.
[11] A. Manolescu, A. Manolescu, T. Muresan, L. Turic, and I. Mihut, Circuite liniare integrate.
Editura Didactica si Pedagogica, 1983. http://www.scribd.com/doc/45193777/
Circuite-Integrate-Liniare.
[12] R. J. Baker, CMOS Circuit Design, Layout, and Simulation, 3rd Edition. Wiley-IEEE Press,
2010. http://books.google.ro/books?id=kxYhNrOKuJQC&printsec=
frontcover&hl=ro&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=
false.
167

BIBLIOGRAFIE
[13] A. R. Alvarez, BiCMOS Technology and Applications. Kluwer Academic Publishers,
1993. http://books.google.ro/books?id=jrQhYxzZ0gwC&printsec=
frontcover&hl=ro&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=
false.
[14] X. Huo, P. C. H. Chan, K. J. Chen, and H. C. Luong, “The design of CMOS radio-frequency
integrated circuits,” Communications Engineer, vol. 2, Aug.-Sep 2004. http://lmn.
pub.ro/˜iulian/files/bibliografie/1_1_Yue.pdf.
[15] C. Mocanu, Teoria Circuitelor Electrice. Editura Didactica si Pedagogica, 1979.
[16] C. P. Yue, C. Ryu, J. L. T. H. Lee, and S. S. Wong, “A physical model for planar spiral
inductors on silicon,” International Electron Devices Meeting, 1996. http://iulian.
lmn.pub.ro/wiki_iulian/bibliografie/1996_Yue.pdf.
[17] C. P. Yue and S. Simon, “Physical modeling of spiral inductors on silicon,” IEEE Transactions
on Electron Devices, vol. 47, March 2000. http://iulian.lmn.pub.ro/
wiki_iulian/bibliografie/2000_Yue200_ED.pdf.
[18] H. Greenhouse, “Design of planar rectangular microelectronic inductors,” IEEE Transactions
on Parts, Hybrids and Packaging, vol. 10, no. 2, pp. 101–109, 1974. http:
//ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?tp=&arnumber=
1134841&contentType=Journals+%26+Magazines&queryText%
3DDesign+of+Planar+Rectangular+Microelectronic+Inductors.
[19] S. Mohan, M. Hershenson, S. Boyd, and T. Lee, “Simple Accurate Expressions for Planar
Spiral Inductances,” IEEE Journal of Solid-State Circuits, vol. 34, no. 10, pp. 1419–1424,
1999. http://smirc.stanford.edu/papers/JSSC99OCT-mohan.pdf.
[20] S. University, “Integrated Spiral Inductor Calculator.” http://www-smirc.
stanford.edu/spiralCalc.html.
[21] H. Kim and C. C.-P. Chen, “Be Careful of Self and Mutual Inductance Formulae,” 2001.
http://ccf.ee.ntu.edu.tw/˜cchen/research/CompInduct9.pdf.
[22] C.-J. Chao, S.-C. Wong, C.-H. Kao, M.-J. Chen, L.-Y. Leu, and K.-Y. Chiu, “Characterization
and modeling of on-chip spiral inductors for Si RFICs,” IEEE Transactions on Semiconductor
Manufacturing, vol. 15, February 2002. http://iulian.lmn.pub.ro/wiki_
iulian/bibliografie/2002_Chao2002_SM.pdf.
[23] J. N. Burghartz and B. Rejaei, “On the design of RF spiral inductors on silicon,” IEEE Transactions
on Electron Devices, vol. 50, March 2003. http://iulian.lmn.pub.ro/
wiki_iulian/bibliografie/2003_Burghartz2003_ED.pdf.
[24] Y. Cao, R. A. Groves, X. Huang, N. D. Zamdmer, J.-O. Plouchart, R. A. Wachnik,
T.-J. King, and C. Hu, “Frequency-independent equivalent-circuit model for
on-chip spiral inductors,” IEEE Journal of Solid-State Circuits, vol. 38, March
2003. http://iulian.lmn.pub.ro/wiki_iulian/bibliografie/2003_
Cao2003_IEEESolidStateCircuits.pdf.
[25] A. C. Watson, D. Melendy, P. Francis, K. Hwang, and A. Weisshaar, “A comprehensive
compact-modeling methodology for spiral inductors in silicon-based RFICs,” IEEE Transactions
on Microwave Theory and Techniques, vol. 52, March 2004. http://iulian.lmn.
pub.ro/wiki_iulian/bibliografie/2004_Watson2004_IEEEMTT.pdf.
168

BIBLIOGRAFIE
[26] K.-Y. Lee, S. Mohammadi, P. Bhattacharya, and L. Katehi, “Scalable compact models for
embedded passives,” European Microwave Conference, vol. 1, Oct. 2005. http://lmn.
pub.ro/˜iulian/files/bibliografie/2005_Lee-CC38.pdf.
[27] I. Lai and M. Fujishima, “A New On-Chip Substrate-Coupled Inductor Model Implemented
With Scalable Expressions,” IEEE Journal of Solid-State Circuits, vol. 41, no. 11,
pp. 2491–2499, 2006. http://mmw.dsl.hiroshima-u.ac.jp/files/activ_
lit/2006/01717672.pdf.
[28] H.-H. Chen, H.-W. Zhang, S.-J. Chung, J.-T. Kuo, and T.-C. Wu, “Accurate systematic
model-parameter extraction for on-chip spiral inductors,” IEEE TRANSACTIONS ON
ELECTRON DEVICES, vol. 55, Nov. 2008. http://iulian.lmn.pub.ro/wiki_
iulian/bibliografie/1_Yue200_ED.pdf.
[29] B.-J. Huang, C.-H. Wang, C.-C. Chen, M.-F. Lei, P.-C. Huang, K.-Y. Lin, and H. Wang,
“Design and Analysis for a 60-GHz Low-Noise Amplifier with RF ESD Protection,”
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 57, no. 2, pp. 298–305,
2009. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=
4738429&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%2Fabs_
all.jsp%3Farnumber%3D4738429.
[30] A. K. Goel, High-Speed VLSI Interconnections. Wiley-IEEE Press, 2007.
http://www.google.ro/books?id=A4VB1aH2-LEC&dq=High+Speed+
VLSI+Interconnections.+Wiley+Series&lr=&hl=ro&source=gbs_
navlinks_s.
[31] J.-W. Kim1, H. Takao, K. Sawada, and M. Ishida, “Integrated Inductors for RF Transmitters
in CMOS/MEMS Smart Microsensor Systems,” Sensors, vol. 7, pp. 1387–1398, 2007.
http://www.mdpi.com/1424-8220/7/8/1387.
[32] A. Bondeson, T. Rylander, and P. Ingelstrom, Computational Electromagnetics. Springer,
2005. http://read.pudn.com/downloads163/sourcecode/math/740254/
Computational%20Electromagnetics.pdf.
[33] M. Salazar-Palma, T. K. Sarkar, L.-E. Garcia-Costillo, and T. Roy,
Iterative and Self-Adaptive Finite-Elements in Electromagnetic Modeling.
Arctech House, 1998. http://www.amazon.com/
Iterative-Self-Adaptive-Finite-Elements-Electromagnetic-Modeling/
dp/089006895X.
[34] P. Monk, Finite Element Methods for Maxwells Equations. Oxford:
Clarendon Press, 2003. http://www.amazon.de/
Maxwells-Equations-Numerical-Scientific-Computation/dp/
0198508883.
[35] S. Zaglmayr, “High Order Finite Element Methods for Electromagnetic
Field Computation.” http://www.amazon.de/
Maxwells-Equations-Numerical-Scientific-Computation/dp/
0198508883.
[36] I. Munteanu, G. Ciuprina, and F. Tomescu, Modelarea numerica a campului electromagnetic
prin programe Scilab. Printhech Bucuresti, 2000.
169

BIBLIOGRAFIE
[37] J.-M. Jin, The Finite Element Method in Electromagnetics. John Wiley
and Sons. New York, 2002. http://www.amazon.com/
The-Finite-Element-Method-Electromagnetics/dp/0471438189.
[38] Nedelec, J., “Mixed finite element in 3D in H(div) and H(curl),” vol. 1192, pp. 321–325,
1986. http://www.springerlink.com/content/q2345243722w3g22/.
[39] R. F. Harrington, Field Computation by Moment Methods. Wiley-IEEE Press, April 2007.
http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0780310144.
html.
[40] A. H. Mohammadian, V. Shankar, and W. F. Hall, “Computation of electromagnetic scattering
and radiation using a time-domain finite-volume discretization procedure,” Computer
Physics Communications, vol. 68, no. 13, pp. 175–196, 1991. http://www.
sciencedirect.com/science/article/pii/001046559190199U.
[41] G. Pelosi, “The finite-element method, Part I: R. L. Courant - Historical Corner,” IEEE
Antennas and Propagation Magazine, vol. 49, no. 2, pp. 180–182, 2007. http://
ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=4263187.
[42] T. Weiland, “A discretization method for the solution of Maxwells equations for sixcomponent
fields,” Electronics and Communications, vol. 31, no. 3, 1977.
[43] A. Ruehli, T. J. Watson, and Y. Heights, “Inductance Calculations in a Complex Integrated
Circuit Environment,” IBM Journal of Research and Development, vol. 16,
no. 5, pp. 470 – 481, 1972. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?
tp=&arnumber=1128204&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%
2Fxpls%2Fabs_all.jsp%3Farnumber%3D1128204.
[44] A. Ruehli, “Equivalent Circuit Models for Three-Dimensional Multiconductor Systems,”
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 22, no. 3, pp. 216 – 221,
1974. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=
1128204&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%2Fabs_
all.jsp%3Farnumber%3D1128204.
[45] M. Kamon, M. J. Tsuk, and J. White, “FastHenry: A Multipole-Accelerated
3-D Inductance Extraction Program,” 30th Conference on Design Automation,
pp. 678 – 683, 14-18 June, 1993. http://ieeexplore.ieee.org/
xpl/articleDetails.jsp?tp=&arnumber=1600305&contentType=
Conference+Publications&queryText%3DA+multipole-accelerated+
3-d+inductance+extraction+program.
[46] A. Devgan, H. Ji, and W. Dai, “How to efficiently capture on-chip inductance effects:
introducing a new circuit element K,” IEEE/ACM International Conference on Computer
Aided Design ICCAD-2000, pp. 150 – 155, 2000. http://ieeexplore.ieee.
org/xpl/articleDetails.jsp?tp=&arnumber=896465&contentType=
Conference+Publications&queryText%3DHow+to+Efficiently+
Capture+On-Chip+Inductance+Effects%3A+Introducing+a+New+
Circuit+Element+K.
[47] H. Ji, A. Devgan, and W. Dai, “KSim: a stable and efficient RKC simulator for capturing
on-chip inductance effect,” IBM Journal of Research and Development, vol. 16, no. 5,
170

BIBLIOGRAFIE
pp. 470 – 481, 1972. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=
&arnumber=913336&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%
2Fabs_all.jsp%3Farnumber%3D913336.
[48] T.-H. Chen, C. Luk, H. Kim, and C. C.-P. Chen, “INDUCTWISE: Inductance-
Wise Interconnect Simulator and Extractor,” IEEE/ACM International Conference
on Computer Aided Design ICCAD 2002. , pp. 215 – 220, 10-14 Nov.,
2002. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=
913336&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%2Fabs_all.
jsp%3Farnumber%3D913336.
[49] A. Pacelli, “A local circuit topology for inductive parasitics,” IEEE/ACM International Conference
on Computer Aided Design ICCAD 2002. , pp. 208 – 214, 10-14 Nov., 2002. http:
//ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?tp=&arnumber=
905676&contentType=Journals+%26+Magazines&queryText%
3DEquipotential+shells++for+efficient+inductance+extraction.
[50] H. Yu and L. He, “Vector potential equivalent circuit based on PEEC inversion,” Proceedings
Design Automation Conference, pp. 718 – 723, 2003. http://ieeexplore.ieee.
org/xpl/articleDetails.jsp?tp=&arnumber=1219113&contentType=
Conference+Publications&queryText%3DVector+Potential+
Equivalent+Circuit++Based+on+PEEC+Inversion.
[51] D. Ioan, G. Ciuprina, C. B. Dita, and Mihail-Iulian Andrei, “Electromagnetic Models of Integrated
Circuits with Coupled Magnetic Circuits,” Proceedings of International Conference
on Electromagnetics in Advanced Applications ICEEA 2012, pp. 768 – 771, 2-7 September
2012.
[52] D. Ioan, G. Ciuprina, and M. Radulescu, “Algebraic Sparsefied Partial Equivalent Electric
Circuit (aspeec),” Scientific Computing in Electrical Engineering, vol. 9, no. 1, 2006.
[53] G. Ciuprina, D. Ioan, D. Mihalache, and A. Stefanescu, “The Electromagnetic Circuit Element
- Key of Modelling EM Coupled Integrated Components,” Revue Roumaine de sciences
techniques - electrotechnique et energetique, vol. 54, no. 1, pp. 37 – 46, 2009.
[54] D. Ioan, G. Ciuprina, and L. M. Silveira, “Effective Domain Partitioning With
Electric and Magnetic Hooks,” IEEE Transactions on Magnetics, vol. 45, no. 3,
2009. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=
4787316&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fiel5%2F20%
2F4787272%2F04787316.pdf%3Farnumber%3D4787316.
[55] ANSYS, “ANSYS HFSS.” http://www.ansys.com/Products/Simulation+
Technology/Electromagnetics/High-Performance+Electronic+
Design/ANSYS+HFSS.
[56] ANSYS, “Getting Started with HFSS: A Silicon Spiral Inductor.” http:
//www.egr.uh.edu/courses/ECE/ECE6351-5317/SectionJackson/
5113/HFSS%20spiral%20inductor.pdf.
[57] Ansoft, “AnsoftLinks for EDA CAD.” http://www.ansys.com/Products/
Simulation+Technology/Electromagnetics/Product+options/
AnsoftLinks+for+ECAD.
171

BIBLIOGRAFIE
[58] Ansoft, “AnsoftLinks for Mechanical CAD.” http://www.ansys.com/Products/
Simulation+Technology/Electromagnetics/Product+options/
AnsoftLinks+for+MCAD.
[59] S. S. Inc, “Sonnet - high frequency electromagnetic software.” http://www.
sonnetsoftware.com/.
[60] SONNET, “SONNET Tutorial.” http://www.rit.edu/˜w-eta/docs/
Project-2-SONNET-tutorial-Planar%20Inductor.pdf.
[61] J. C. Rautio and R. F. Harrington, “An Electromagnetic Time-Harmonic Analysis of Shielded
Microstrip Circuits,” IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 35,
pp. 726–730, 1987. http://www.sonnetsoftware.com/products/em/pdf/
sonnet_theory.pdf.
[62] Autodesk, “Drawing eXchange Format.” http://www.faqs.org/faqs/graphics/
fileformats-faq/part3/section-45.html.
[63] Juspertor, “Graphic Database System ii.” http://www.layouteditor.net/.
[64] Ucamco, “Gerber Format Specification,” 2012. http://www.ucamco.com/
downloads.aspx.
[65] I. P. Computing, “Platform LSF.” http://www.platform.com/
workload-management/high-performance-computing.
[66] A. EEsof EDA Design Software, “Advanced Design System ADS.” http://www.home.
agilent.com/agilent/product.jspx?nid=-34346.0.00&cc=RO&lc=eng.
[67] A. EEsof EDA Design Software, “Momentum 3D Planar EM Simulator for ADS.”
http://www.home.agilent.com/agilent/product.jspx?nid=-33748.
0.00&cc=RO&lc=eng.
[68] “Spiral Inductor Design.” http://bmf.ece.queensu.ca/mediawiki/index.
php/Spiral_Inductor_Design.
[69] A. C. S. INC, “Translators and Processors for ODB++.” http://www.artwork.com/
odb++/odb++_overview.htm.
[70] EE Times, “ODB++ spec tapped for CAD-to-CAM data exchang.”
http://www.eetimes.com/electronics-news/4042914/
ODB--spec-tapped-for-CAD-to-CAM-data-exchange.
[71] A. M. Nicknejad, “Asitic: Analysis and simulation of spiral inductors and transformers for
ics.” http://rfic.eecs.berkeley.edu/˜niknejad/asitic.html.
[72] A. M. Nicknejad and R. G. Meyer, “Analysis, Design, and Optimization of Spiral Inductors
and Transformers for Si RF ICs,” IEEE Journal of Solid-State Circuits, vol. 33, no. 10, 1998.
http://rfic.eecs.berkeley.edu/files/jssc_oct98.pdf.
[73] A. M. Niknejad, “Sample ASITIC Sessions.” http://rfic.eecs.berkeley.edu/
˜niknejad/doc-05-28-01/sample.html.
[74] Netlib, “BLAS: Basic Linear Algebra Subprograms).” http://www.netlib.org/
blas/.
172

BIBLIOGRAFIE
[75] Netlib, “LAPACK - Parallel Basic Linear Algebra Subprograms.” http://www.netlib.
org/scalapack/pblas_qref.html.
[76] M. Frigo and S. G. Johnson, “FFTW: an adaptive software architecture for the
FFT,” IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing,
vol. 3, pp. 1381–1384, 1998. http://ieeexplore.ieee.org/
xpl/articleDetails.jsp?tp=&arnumber=681704&contentType=
Conference+Publications&queryText%3DFftw%3A+an+adaptive+
software+architecture+for+the+%EF%AC%80t.
[77] R. Piessens, “Quadpack: A Subroutine Package for Automatic Integration,” Springer Series
in Computational Mathematics, 1983.
[78] A. M. Nicknejad, “PhD thesys Analysis, Simulation and Applications of Passive Devices on
Conductive Substrates.” http://rfic.eecs.berkeley.edu/˜niknejad/pdf/
NiknejadPhD.pdf.
[79] “COMSOL Multiphysics.” http://www.comsol.com/.
[80] COMSOL Model Gallery, “Integrated Square-Shaped Spiral Inductor.” http://www.
comsol.com/showroom/gallery/129/.
[81] K. Juethner, “White paper: Dramatically Improve Compute-Intense Applications in the Supercomputing
Cloud,” 2011.
[82] CODESTAR, “Compact modelling of on-chip passive structures at high frequencies.”
http://magwel.com/codestar/.
[83] EST3, “Early Stage Research Training at an EaSTern European Site with Tradition in Computational
Science and Engineering.” http://est3.lmn.pub.ro/.
[84] ToK4nEDA, “Transfer of Knowledge for nano-Electronic Design Automationy.” http:
//tok.lmn.pub.ro/.
[85] COMSON, “COupled Multiscale Simulation and Optimization in Nanoelectronics.” http:
//comson.org/.
[86] “Comprehensive high-accuracy modeling of electromagnetic effects in complete nanoscale
rf blocks.” http://www.hitech-projects.com/euprojects/chameleon%
20RF/.
[87] T. Weiland, “Time domain electromagnetic field computation with finite difference methods,”
International Journal of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields,
vol. 9, 1996.
[88] O. Podabrad, M. Clemens, and T. Weiland, “New flexible subgridding scheme for the finite
integration technique,” IEEE Transactions on Magnetics, vol. 39, May 2003.
[89] T. A. Davis, “Algorithm 832: UMFPACK, an unsymmetric-pattern multifrontal method,”
ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 30, no. 2, pp. 196–199, 2004.
[90] D. Ioan, Modelarea dispozitivelor electromagnetice. http://www.lmn.pub.ro/
˜daniel/cursmde.pdf.
173

BIBLIOGRAFIE
[91] D. Ioan, G. Ciuprina, M. Radulescu, and M. Piper, “All Levels Strategy to Reduce the
Model Order of On-chip Passive Components,” IEEE Conference on Electromagnetic Field
Computation - CEFC 2004, June 6-9 Seoul, Korea, 2004. http://www.lmn.pub.
ro/˜gabriela/BookMOR/MORbook_draft_25ian2008_IoanCiuprina.pdf.
[92] G. Ciuprina, D. Ioan, and D. Mihalache, “Reduced Order Electromagnetic Models based
on dual Finite Integrals Technique,” Mathematics in Industry, vol. 11, no. 3, 2007. http:
//www.springerlink.com/content/w7877p3776778735/.
[93] Fernández Villena, Jorge and Ciuprina, Gabriela and Ioan, Daniel and Silveira, Luis Miguel,
“On the efficient reduction of complete EM based parametric models,” pp. 1172–1177, Nice,
France 2009.
[94] A. Stefanescu, D. Ioan, and G. Ciuprina, “Parametric Models of Transmission Lines Based
on First Order Sensitivities,” Mathematics in Industry, vol. 14, no. 1, 2008. http://www.
springerlink.com/content/j5m5852775350123/.
[95] I. A. Lazar, G. Ciuprina, and D. Ioan, “Effective extraction of accurate reduced order models
for hf-ic using multi-CPU arhitectures,” Inverse Problems in Science and Engineering,
vol. 20, no. 1, 2010.
[96] G. Ciuprina, D. Ioan, I.-A. Lazar, and C. B. Dita, “Vector Fitting Based Adaptive Frequency
Sampling for Compact Model Extraction on HPC Systems,” IEEE Transactions on Magnetics,
vol. 48, no. 2, 2012. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?
tp=&arnumber=6136613&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%
2Fiel5%2F20%2F6136479%2F06136613.pdf%3Farnumber%3D6136613.
[97] G. Ciuprina, D. Ioan, D. Mihalache, and E. Seebacher, “Domain Partitioning Based Parametric
Models for Passive On-Chip Components,” Mathematics in Industry, vol. 14, no. 1,
2008. http://www.springerlink.com/content/u752673865q282h5/.
[98] D. Ioan, W. Schilders, G. Ciuprina, N. van der Meijs, and W. Schoenmaker, “Models for
integrated components coupled with their EM environment,” COMPEL: The International
Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, vol. 27,
no. 4, 2008. http://www.emeraldinsight.com/journals.htm?articleid=
1733474&show=html.
[99] D. Ioan, M. Radulescu, and G. Ciuprina, “Fast Extraction of Static Electric Parameters with
Accuracy Control,” MATHEMATICS IN INDUSTRY, vol. 4, 2004. http://direct.bl.
uk/bld/PlaceOrder.do?UIN=188206874&ETOC=RN&from=searchengine.
[100] FastImp, “A Fast Impedance Extraction Tool.” http://www.mit.edu/people/
zhzhu/fastImp.html.
[101] Zhenhai Zhu and Ben Song and Jacob White, “Algorithms in FastImp: A fast and wideband
impedance extraction program for complicated 3-D geometries,” IEEE Transaction on
Computer Aided Design of Integrated Circuits and Systems, vol. 24, no. 4, pp. 981–998,
2005. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=
1458927&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%2Fabs_
all.jsp%3Farnumber%3D1458927.
174

BIBLIOGRAFIE
[102] D. Ioan and G. Ciuprina and M. Rdulescu, “Algebraic Sparsefied Partial Equivalent
Electric Circuit (ASPEEC),” vol. 9, pp. 45–50, 2006. http://www.springer.
com/mathematics/computational+science+%26+engineering/book/
978-3-540-32861-2?cm_mmc=Google-_-Book%20Search-_-Springer-_
-0.
[103] J. R. Reitz and F. J. Milford, “Foundations of Electromagnetic theory,” 1960. http:
//books.google.ro/books/about/Foundations_of_electromagnetic_
theory.html?id=Au8Y9Dcw4VgC&redir_esc=y.
[104] Ranjit Gharpurey, “PhD thesis: Modeling and Analysis of Substrate Coupling in Integrated
Circuits,” 1995. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=
10.1.1.22.453.
[105] T. Smedes and N. P. Van Der Meijs and A.J. van Genderen, “Boundary Element Methods
for Capacitance and Substrate Resistance Calculations in a VLSI Layout Verification Package,”
International Conference on Software for Electrical Engineering Analysis and Design,
pp. 337–344, 1993.
[106] G. Veronis, Y.-C. Lu, and R. Dutton, “Modeling of wave behavior of substrate noise coupling
for mixed-signal ic design,” Proceedings of the 5th International Symposium on Quality
Electronic Design, pp. 303–308, 2004. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/
login.jsp?tp=&arnumber=1283690&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.
ieee.org%2Fxpls%2Fabs_all.jsp%3Farnumber%3D1283690.
[107] C. Mocanu, Bazele electrotehnicii - Teoria câmpului electromagnetic. Editura Didactica si
Pedagogica, Bucuresti, 1991.
[108] A. Timotin, “Elementul electromagnetic pasiv de circuit,” Revue Roumaine des sciences techniques,
vol. 21, no. 2, 1971.
[109] D. Ioan and I. Munteanu, “Missing link rediscovered: The electromagnetic circuit element
concept,” JSAEM Studies in Applied Electromagnetics and Mechanics, vol. 8, Oct. 1999.
http://lmn.pub.ro/˜iulian/files/bibliografie/IoanJSAEM99.pdf.
[110] A. R. Stefanescu, “Teza de doctorat: modele parametrice pentru interconexiunile din circuitele
analogice de inalta frecventa.”
[111] M. Clemens and T. Weiland, “Discrete Electromagnetism with the Finite Integration Technique,”
Progress In Electromagnetics Research, vol. 32, pp. 65–87, 2001. http:
//www.jpier.org/PIER/pier.php?citedby=00080103.
[112] B. Gustavsen and A. Semlyen, “Rational approximation of frequency domain responses by
vector fitting,” IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 14, July 1999. http://lmn.
pub.ro/˜iulian/files/bibliografie/vector_fitting1.pdf.
[113] B. Gustavsen, “Improving the pole relocating properties of vector fitting,” IEEE Transactions
on Power Delivery, vol. 21, July 2006. http://lmn.pub.ro/˜iulian/files/
bibliografie/vector_fitting2.pdf.
[114] D. Deschrijver, M. Mrozowski, T. Dhaene, and D. D. Zutter, “Macromodeling of multiport
systems using a fast implementation of the vector fitting method,” IEEE Microwave and
Wireless Components Letters, vol. 18, June 2008. http://lmn.pub.ro/˜iulian/
files/bibliografie/vector_fitting3.pdf.
175

BIBLIOGRAFIE
[115] A. Semlyen and B. Gustavsen, “A half-size singularity test matrix for fast and reliable passivity
assessment of rational models,” IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 24, Jan
2009.
[116] B. Gustavsen, “Fast passivity enforcement for pole-residue models by perturbation of residue
matrix eigenvalues,” IEEE Transactions on Power Delivery, vol. 23, Oct. 2008. http:
//lmn.pub.ro/˜iulian/files/bibliografie/vector_fitting5.pdf.
[117] B. Gustavsen and A. Semlyen, “Fast passivity assessment for s-parameter rational models via
a half-size test matrix,” IEEE Transactions on Microwave Theory And Techniques, vol. 56,
Dec. 2008. http://lmn.pub.ro/˜iulian/files/bibliografie/vector_
fitting6.
[118] B. Gustavsen, “Fast passivity enforcement for s-parameter models by perturbation of residue
matrix eigenvalues,” IEEE Transactions on Advanced Packaging, vol. 39, May 2003. http:
//lmn.pub.ro/˜iulian/files/bibliografie/vector_fitting7.
[119] G. Ciuprina, D. Ioan, I.-A. Lazar, and Mihai-Iulian Andrei, “Adaptive frequency sampling
for the effective extraction of reduced models for hf-ics passive components,” Lucrarile
Simpozionului National de Electrotehnica Teoretica, Dec 2010. http://lmn.pub.ro/
˜iulian/files/bibliografie/SNET2010_LMN_final_v2.pdf.
[120] A. Chinea, “A parallel Vector Fitting implementation for fast macromodeling of highly complex
interconnects,” IEEE 19th Conference on Electrical Performance of Electronic Packaging
and Systems (EPEPS), 25-27 Oct. 2010. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/
login.jsp?tp=&arnumber=5642556&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.
ieee.org%2Fxpls%2Fabs_all.jsp%3Farnumber%3D5642556.
[121] T. Palenius and J. Roos, “Comparison of reduced-order interconnect macromodels for timedomain
simulation,” IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, vol. 52,
no. 9, pp. 2240 – 2250, 2004. http://direct.bl.uk/bld/PlaceOrder.do?UIN=
188206874&ETOC=RN&from=searchengine.
[122] M. J. Flynn, “Some computer organizations and their effectiveness,” IEEE Transactions on
Computers, vol. C-21, Sept. 1972.
[123] U. of Illinois, “Introduction to MPI.” http://www.citutor.org.
[124] U. of Illinois, “Multilevel Parallel Programming.” http://www.citutor.org.
[125] “ATLAS Cluster.” http://atlas.lmn.pub.ro/index.php/Main_Page.
[126] MathWorks, “Matlab.” http://www.mathworks.com.
[127] MathWorks, “Matlab Parallel Computing Toolbox.” http://www.mathworks.com/
products/parallel-computing/?s_cid=HP_FP_ML_parallel.
[128] MathWorks, “Matlab Distributed Computing Server.” http://www.mathworks.com/
products/parallel-computing/?s_cid=HP_FP_ML_parallel.
[129] ARB, “The OpenMP - API specification for parallel programming.” http://openmp.
org/wp/.
[130] Netlib, “LAPACK - Linear Algebra PACKage.” http://www.netlib.org/lapack/.
176

BIBLIOGRAFIE
[131] MPI, “The Message Passing Interface standard.” http://www.mcs.anl.gov/
research/projects/mpi/.
[132] NVIDIA, “Tesla C1060.” http://www.nvidia.co.uk/object/tesla_c1060_
uk.html.
[133] A. Stefanescu, R. Popescu, and G. Ciuprina, “Evaluation of LMN solving capabilities for
sparse complex linear systems of equations, arising from the modeling of passive on-chip
components,” tech. rep., 2009. internal report.
[134] T. Davis, Direct Methods for Sparse Linear Systems. SIAM, 2006.
[135] Y. Saad and M. H. Schultz, “GMRES: A Generalized Minimal Residual Algorithm for Solving
Nonsymmetric Linear Systems,” SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing,
vol. 7, July 1986. http://dx.doi.org/10.1137/0907058.
[136] H. A. van der Vorst, “Bi-CGSTAB: A Fast and Smoothly Converging Variant of Bi-CG for
the Solution of Nonsymmetric Linear Systems,” SIAM Journal on Scientific and Statistical
Computing, vol. 13, no. 2, 1992. http://dx.doi.org/10.1137/0913035.
[137] ATLAS, “Automatically Tuned Linear Algebra Software.” http://math-atlas.
sourceforge.net/.
[138] NVIDIA, “CUBLAS: CUDA Basic Linear Algebra Subroutines.” http://developer.
nvidia.com/cublas.
[139] NVIDIA, “CUSPARSE: CUDA Sparse Matrix library.” http://developer.nvidia.
com/cusparse.
[140] N. Bell and M. Garland, “Cusp: Generic parallel algorithms for sparse matrix and graph
computations,” 2012. Version 0.3.0, http://cusp-library.googlecode.com.
[141] D. B. Kirk and W. mei W. Hwu, Programming Massively Parallel Processors: A Hands-on
Approach. Morgan Kaufmann Publishers, 2010.
[142] MathWorks, “Livelink for matlab, user’s guide,” 2011. Version 4.2.
[143] K. Chen, Matrix Preconditioning Techniques and Applications. Cambridge University Press,
2005.
[144] T. C. Henk, T. F. Chan, Henk, A. Van, and D. Vorst, Approximate And Incomplete Factorizations.
1994. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.
1.1.45.946.
[145] M. Bollhfer and Y. Saad, “Multilevel preconditioners constructed from inverse-based ILUs,”
Journal of Scientific Computing, vol. 27, pp. 1627–1650, 2006. http://www.icm.
tu-bs.de/˜bolle/ilupack/.
[146] I.-A. Lazar, Mihail-Iulian Andrei, E. Caciulan, G. Ciuprina, and D. Ioan, “Parallel algorithms
for the efficient extraction of fitting based reduced order models,” Proceedings of the
7th International Symposium on ADVANCED TOPICS IN ELECTRICAL ENGINEERING,
vol. 7, May 2011.
[147] S. University, “Integrated Spiral Inductor Calculator.” http://www-smirc.
stanford.edu/spiralCalc.html.
177

BIBLIOGRAFIE
[148] S. S. Mohan, M. del Mar Hershenson, S. P. Boyd, and T. H. Lee, “Simple Accurate Expressions
for Planar Spiral Inductances,” IEEE Journal of Solid-State Circuits, vol. 34, no. 10,
1999. http://smirc.stanford.edu/papers/JSSC99OCT-mohan.pdf.
[149] G. Ciuprina, D. Ioan, C. Dita, and M.I. Andrei, “Frequency Parametrized Dependent Models
for Planar On-Chip Inductors,” Book of Abstracts, Scientific Computing in Electrical
Engineering (SCEE 2012), 11- 14 Sept., 2012, Zurich, Switzerland.
[150] M.I. Andrei and C. Dita, “Using Multiprocessor Systems for Electromagnetic Modelling of
Spiral Inductors,” Buletinul Stiintific, Seria C, Inginerie Electrica si Stiina Calculatoarelor.
trimis pentru publicare.
[151] P. Kalantarov and L. Teitlin, Calculul inductant¸elor- Indreptar. Printhech Tehnica, Bucuresti,
1958.
[152] Adaptive Computing, “TORQUE Resource Manager.” http://www.
adaptivecomputing.com/products/open-source/torque/.
178