Laborator 7

Toolbox-ul OPTIMIZATION
Lucrarea nr. 7
Toolbox-ul OPTIMIZATION al MATLAB conţine o serie de funcţii care realizează
minimizarea (sau maximizarea) unor funcţii neliniare generale. In Tabelul 1 sunt prezentate
cîteva dintre funcţiile disponibile în acest Toolbox pentru rezolvarea problemelor de
minimizare.
Tip
problemă
Minimizare
scalară
Minimizare
fără
restricţii
Minimizare
cu restricţii
Tabelul 1
Formularea problemei Funcţia
f ( x)
| x x x
min
fminbnd
1
f ( x)
2
min fminunc,
fminsearch
f
( x)
| c(
x)
0,
ceq(
x)
0
min
A
x b,
Aeq x beq,
l x u
fmincon
Majoritatea rutinelor de optimizare necesită definirea unui fişier M-file care conţine funcţia ce
urmează să fie minimizată. Sunt tratate separat problemele de dimensiuni mari (Large Scale) şi
problemele de dimensiune medie.
In continuare sunt descrise funcţii din Tabelul 1.
fminbnd
Scopul
Determină minimul unei funcţii de o variabilă într-un interval fixat
min f ( x)
| x x x
1
Sintaxa
x = fminbnd(fun,x1,x2)
x = fminbnd(fun,x1,x2,options)
[x,fval] = fminbnd(...)
[x,fval,exitflag] = fminbnd(...)
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...)
2
Descriere
x = fminbnd(fun,x1,x2) returnează o valoare x care este un minim local al funcţiei
descrisă în fun (de obicei un M-file) în intervalul x1

[x,fval,exitflag] = fminbnd(...) returnează o valoare exitflag care
descrie condiţia de ieşire a funcţiei fminbnd.
Lucrarea nr. 7
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(...) returnează o structură output
care conţine informaţii despre optimizare .
Argumente
fun funcţia de minimizat
options opţiuni ale parametrilor de optimizare; fminbnd utilizează următoarele
structuri:
Display - nivelul de afişare. ‘off’ nu afişează ieşirea; ‘iter’ afişează ieşirea după
fiecare iteraţie; ‘final’ afişează numai ieşirea finală;
MaxFunEvals - numărul maxim de evaluări ale funcţiei;
MaxIter - numărul maxim de iteraţii;
TolX - toleranţa de terminare pentru x;
exitflag descrie condiţia de ieşire:
> 0 funcţia a convers la soluţia x;
0 numărul maxim de evaluări ale funcţiei sau iteraţii a fost atins;
< 0 funcţia nu a convers la o soluţie;
output o structură ale cărei cîmpuri conţine informaţii despre optimizare:
output.iterations - numărul de iteraţii efectuate;
output.algorithm - algoritmul utilizat;
output.funcCount - numărul de evaluări ale funcţiei.
Algortitmul
Se bazează pe metoda de căutarea a secţiunii de aur şi pe interpolarea parabolică.
Limitări
Funcţia de minimizat trebuie să fie continuă;
Rezultatul este un minim local;
fminbnd tratează variabile reale.
Exemplu
Determinarea minimului functiei f(x) = (x-3) 2 -1 in intervalul (0, 5)
Pasul 1: Se scrie un fisier M
function f = objfun2(x)
f = (x-3).^2-1;
Pasul 2: Se apeleaza rutina de optimizare
x=fminbnd('objfun2',0,5)
Rezulta solutia
x = 3
2

fminunc
Scopul
Determină minimul unei funcţii de mai multe variabile, fără restricţii
min f ( x)
Sintaxa
x = fminunc(fun,x0)
x = fminunc(fun,x0,options)
x = fminunc(fun,x0,options,P1,P2,...)
[x,fval] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(...)
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(...)
Lucrarea nr. 7
Descriere
fminunc determină minimul unei funcţii scalare de mai multe variabile, pornind de la o
estimare iniţială.
x = fminunc(fun,x0) porneşte de la punctul x0 şi determină un minim local x al
funcţiei descrisă în fun. x0 poate fi un scalar, un vector sau o matrice.
x = fminunc(fun,x0,options) realizează minimizarea cu parametrii de optimizare
specificaţi în structura options.
Parametrii de optimizare pot fi Display, TolX, TolFun, DerivativeCheck,
Diagnostics, GradObj, HessPattern, LineSearchType, Hessian,
HessUpdate, MaxFunEvals, MaxIter, DiffMinChange, DiffMaxChange,
LargeScale, MaxPCGIter, PrecondBandWidth, TolPCG, TypicalX.
Se utilizează opţiunea GradObj pentru ca fun să poată returna două argumente de ieşire, unde
al doilea argument, este derivata parţială de ordinul I a funcţiei în x.
Se utilizează opţiunea Hessian pentru ca fun să poată returna trei argumente de ieşire,
unde al doilea argument este derivata parţială a funcţiei, în x, iar al treilea argument este
derivata parţială de ordinul 2 a funcţiei (hessianul) în x.
x = fminunc(fun,x0,options,P1,P2,...) trece parametrii P1, P2, etc. direct
în funcţia fun.
[x,fval] = fminunc(...) returnează valoarea funcţiei obiectiv, fval, pentru soluţia
x.
[x,fval,exitflag] = fminunc(...) returnează o valoare exitflag care
descrie condiţia de ieşire.
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(...) returnează o structură output
care conţine informaţii despre optimizare .
[x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(...) returnează în grad
valoarea gradientului funcţiei fun pentru soluţia x.
[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(...)
returnează în hessian valoarea hessianului funcţiei fun pentru soluţia x.
3

Argumente
fun funcţia de minimizat
Lucrarea nr. 7
options opţiuni ai parametrilor de optimizare. Valorile acestor parametri pot fi atribuite
sau modificate utilizînd funcţia optimset. Unii parametri sunt aplicabili pentru toţi
algoritmii, iar unii sunt relevanţi numai cînd se utilizează tehnici de optimizare pentru probleme
de dimensiuni mari:
LargeScale - se utilizează (dacă este posibil) tehnici de optimizare pentru probleme
de dimensiuni mari cînd este 'on'.
Parametrii utilizaţi de tehnicile de optimizare pentru problemele de dimensiuni medii şi pentru
cele de dimensiuni mari sunt:
Diagnostics – tipăreşte informaţii despre funcţia de minimizat t;
Display - nivelul de afişare. 'off' nu afişează ieşirea; 'iter' afişează ieşirea
după fiecare iteraţie; 'final' afişează numai ieşirea finală;
GradObj – gradientul funcţiei obiectiv definit de utilizator. Gradientul trebuie să fie
furnizat pentru tehnicile de optimizare ale problemelor de dimensiuni mari. Este opţional
pentru celelalte probleme;
MaxFunEvals - numărul maxim de evaluări ale funcţiei;
MaxIter - numărul maxim de iteraţii;
TolFun - toleranţa de terminare pentru valoarea funcţiei;
TolX - toleranţa de terminare pentru x.
Parametrii utilizaţi numai de tehnicile de optimizare pentru problemele de dimensiuni mari sunt:
Hessian – Hessianul funcţiei obiectiv, definit de utilizator;
HessPattern – Modelul de matrice rară al Hessianului pentru diferenţe finite;
MaxPCGIter – Numărul maxim de iteraţii PCG (gradient conjugat cu
precondiţionare);
PrecondBandWidth – Lăţimea benzii superioare de precondiţionare pentru PCG.
Implicit se foloseşte precondiţionare diagonală (lăţimea benzii superioare este 0);
TolPCG – Toleranţa de terminare pentru iteraţia PCG;
TypicalX –Valori x tipice .
Parametrii utilizaţi numai de tehnicile de optimizare pentru problemele de dimensiuni medii
sunt:
DerivativeCheck – Comparaţia valorilor gradientului introdus de utilizator cu
derivatele obţinute;
DiffMaxChange – Modificarea maximă a variabilelor pentru gradienţii obţinuţi prin
diferenţe finite;
DiffMinChange – Modificarea minimă a variabilelor pentru gradienţii obţinuţi prin
diferenţe finite;
LineSearchType – Alegerea algoritmului de căutare liniară.
exitflag descrie condiţia de ieşire:
> 0 funcţia a convers la soluţia x;
0 numărul maxim de evaluări ale funcţiei sau iteraţii a fost atins;
< 0 funcţia nu a convers la o soluţie.
output o structură ale cărei cîmpuri conţine informaţii despre optimizare:
output.iterations - numărul de iteraţii efectuate;
output.algorithm - algoritmul utilizat;
4

output.funcCount - numărul de evaluări ale funcţiei;
output.cgiterations – numărul de iteraţii pentru PCG;
output.stepsize – mărimea pasului final;
output.firstorderopt – norma gradientului pentru
soluţia x.
Lucrarea nr. 7
Algortitmul
Pentru probleme de dimensiuni mari se utilizează procedura regiunii de încredere. Fiecare
iteraţie implică aproximarea soluţiei unui sistem liniar mare folosind gradienţi conjugaţi cu
precondiţionare.
Pentru probleme de dimensiuni medii se foloseşte metoda BFGS. Formula DFP, care
aproximează inversa hessianului este utilizată cînd opţiunea HessUpdate este setată
'dfp'. O metodă a pasului descendent este utilizată cînd opţiunea HessUpdate este setată
'steepdesc'.
Limitări
Funcţia de minimizat trebuie să fie continuă.
Rezultatul este un minim local.
Exemplu
x1 2 2
Determinarea minimului functiei ( x)
e 4x 2x
4x
x 2x
1
Pasul 1: Se scrie un fişier M
f 1 2 1 2 2
function f=objfun1(x)
f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
Pasul 2: Se apeleaza rutina de optimizare
x0=[-1 1]; %estimarea initiala
options=optimset('LargeScale','off');
[x,fval,exitflag,output]=fminunc('objfun1',x0,options);
Rezulta solutia
x = 0.5000 -1.0000
output =
iterations: 7
funcCount: 40
stepsize: 1
firstorderopt: 8.199477441775223e-004
algorithm: 'medium-scale: Quasi-Newton line search'
5

fmincon
Scopul
Determină minimul unei funcţii de mai multe variabile, în prezenţa restricţiilor:
f
( x)
| c(
x)
0,
ceq(
x)
0
min
A
x b,
Aeq x beq,
l x u
Lucrarea nr. 7
Sintaxa
x = fmincon(fun,x0,A,b)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon, options)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon, options, P1,P2,)
[x,fval] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(...)
Descriere
x = fmincon(fun,x0,A,b) porneşte de la punctul x0 şi determină un minim x al
funcţiei descrisă în fun supusă la restricţiile de inegalitate A*x

Lucrarea nr. 7
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...) returnează în
grad valoarea gradientului funcţiei fun pentru soluţia x.
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]= fmincon(...)
returnează în hessian valoarea hessianului funcţiei fun pentru soluţia x.
Argumente
fun funcţia de minimizat.
Se utilizează opţiunea GradObj 'on' pentru ca fun să poată returna două argumente de ieşire,
unde al doilea argument, este derivata parţială de ordinul I a funcţiei în x.
Se utilizează opţiunea Hessian 'on' pentru ca fun să poată returna trei argumente de
ieşire, unde al doilea argument este derivata parţială a funcţiei, în x, iar al treilea argument este
derivata parţială de ordinul 2 al funcţiei (hessianul) in x.
nonlcon Funcţia care calculează restricţiile de inegalitate neliniare c(x)

Lucrarea nr. 7
DerivativeCheck – Compară valorile gradientului introdus de utilizator cu
derivatele obţinute;
DiffMaxChange – Modificarea maximă a variabilelor pentru gradienţii obţinuţi prin
diferenţe finite;
DiffMinChange – Modificarea minimă a variabilelor pentru gradienţii obţinuţi prin
diferenţe finite;
LineSearchType – Alegerea algoritmului de căutare liniară.
exitflag descrie condiţia de ieşire:
> 0 funcţia a convers la soluţia x;
0 numărul maxim de evaluări ale funcţiei sau iteraţii a fost atins;
< 0 funcţia nu a convers la o soluţie.
lambda o structură care conţine multiplicatorii Lagrange pentru soluţia x:
lambda.lower pentru limitele inferioare lb;
lambda.upper pentru limitele superiore ub;
lambda.ineqlin pentru inegalităţi liniare;
lambda.eqlin pentru egalităţi liniare;
lambda.ineqnonlin pentru inegalităţi neliniare;
lambda.eqnonlin pentru egalităţi neliniare.
output o structură ale cărei cîmpuri conţine informaţii despre optimizare:
output.iterations - numărul de iteraţii efectuate;
output.algorithm - algoritmul utilizat;
output.funcCount - numărul de evaluări ale funcţiei;
output.cgiterations – numărul de iteraţii pentru PCG;
output.stepsize – mărimea pasului final;
output.firstorderopt – norma gradientului pentru
soluţia x.
Algortitmul
Pentru probleme de dimensiuni mari se utilizează procedura regiunii de încredere. Fiecare
iteraţie implică aproximarea soluţiei unui sistem linear mare folosind metoda gradientului
conjugat cu precondiţionare.
Pentru probleme de dimensiuni medii se foloseşte metoda programării pătratice secvenţiale. La
fiecare iteraţie se rezolvă o subproblemă de programare pătratică. O estimare a hessianului
lagrangeanului este actualizată la fiecare iteraţie folosind formula BFGS.
Limitări
Funcţia de minimizat şi restricţiile trebuie să fie continue.
Rezultatul este un minim local.
Funcţia obiectiv şi restricţiile trebuie să returneze valori reale.
Exemplu
x1 2 2
Determinarea minimului functiei ( x)
e 4x 2x
4x
x 2x
1
supusă la restricţiile:
x
1
x
x
1
2
x
x
2
1
f 1 2 1 2 2
x
2
10
0
Pasul 1: Se scrie un M-file pentru restricţii:
1.
5
8

function [c, ceq]=confun1(x)
% restrictii neliniare de inegalitate
c=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];
% restrictii neliniare de egalitate
ceq=[];
Pasul 2: Se apeleaza rutina de optimizare:
Lucrarea nr. 7
x0=[-1 1]; %estimarea initiala
options=optimset('LargeScale','off');
[x,fval]=fmincon('objfun1',x0,[],[],[],[],[],[],'confun1',options);
Rezulta soluţia:
x =
fval =
-9.547405025104272e+000 1.047405025104273e+000
2.355037962417515e-002
Aplicaţie: Problemă de sinteză optimală a unei bobine
Se consideră o bobină multistrat cu secţiune transversală rectangulară şi miez din aer.
Geometria acestui dispozitiv simplu este descrisă prin raza a, lungimea b, adîncimea c şi
numărul de spire N; aceste patru variabile constituie vectorul parametrilor de proiectare x. Se
consideră o repartiţie uniformă a curentului în secţiunea transversală (model la joasă frecvenţă)
şi se neglijează distanţa de izolaţie dintre spire şi dintre straturi.
a
b
Fig. 1 Modelul bobinei
Parametrul global care identifică bobina este inductanţa L. Există o serie de formule de
calcul aproximativ al inductanţei L, cea mai simplă fiind formula lui Middendorf:
2 2
0.
8a
N / b
L
9 6a
/ b 10c
/ b
c
unde L este exprimat în H şi parametrii geometrici sunt exprimaţi în inch (1 inch = 25.4mm).
Pentru determinarea formei optime a unei astfel de bobine pot fi formulate o serie de
probleme dependente de funcţia obiectiv şi de restricţii. Problema clasică ce a fost prima dată
formulată de Maxwell este următoarea: să se determine vectorul x = (a,b,c,N) astfel încît L(x)
să fie maxim pentru o lungime l şi o secţiune S ale conductorului de bobinaj date. Deoarece L, l
= 2Na şi S =bc/N sunt funcţii neliniare de x, aceasta este o problemă de optimizare neliniară.
9

Aplicaţie numerică: l = 10 m şi S = 1 mm 2 .
Lucrarea nr. 7
Cazul 1. Impunînd lungimea l şi secţiunea S, se pot exprima c şi N ca funcţii de a şi b. Astfel,
problema poate fi redusă la maximizarea fără restricţii a inductanţei L ca funcţie de două
variabile. Funcţia L are un maxim pentru 2a = 3b şi b = c; valorile optime pentru parametrii
de proiectare sunt prezentate în tabelul 1.
Cazul 2. Se rezolvă problema ca fiind o problemă de maximizare cu restricţii a funcţiei L de
patru variabile. Se utilizează funcţia Matlab fmincon. Valorile optime pentru parametrii de
proiectare sunt prezentate în tabelul 1.
Caz L[H] a[mm] b[mm] c[mm] N[spire]
1 279.91 15.85 10.566 10.566 101
2 279.7 15.84 10.564 9.508 100
Tabelul 1
O altă problemă de sinteză poate fi formulată astfel: să se determine x = (a,b,c,N) astfel
încît lungimea conductorului de bobinaj l să fie minimă pentru valori prescrise ale inductanţei
L(x) şi ale secţiunii S a conductorului de bobinaj.
Sursa MATLAB bob_obj.m (funcția obiectiv)
function f=bob_obj(x)
% functia obiectiv
f=-0.8/2.54*(x(1)^2*(x(4)^2)/x(2))/(9+6*x(1)/x(2)+10*x(3)/x(2));
Sursa MATLAB bob_restr.m (restricțiile problemei)
function [c, ceq]=bob_restr(x)
% restrictii neliniare de inegalitate
c=[];
% restrictii neliniare de egalitate
ceq=[2*pi*x(4)*x(1)-1e3;x(2)*x(3)/x(4)-1e-2];
Sursa MATLAB (m-file)
% Programul principal
x0=[1 1 1 10]; %estimarea initiala
options=optimset('LargeScale','off');
ub=[2 2 2 200];
[x,fval,exitflag,output]=fmincon('bob_obj',x0,[],[],[],[],[],ub,'bob_restr',option
s)
10

Aplicaţie: Sinteza optimală a unui inductor cu flux magnetic transversal
Lucrarea nr. 7
Pentru obţinerea unui randament electric ridicat al unui sistem de încălzire în flux
magnetic transversal trebuie luaţi în considerare o serie de parametri. Este necesară analizarea
efectului întrefierului, Fig. 2, dimensiunilor crestăturii, pasului polar, grosimii benzii şi a
frecvenţei asupra randamentului.
Fig. 2. Geometria unui inductor cu flux transversal
Se propune o problemă de sinteză optimală a unui inductor cu flux magnetic transversal care
urmăreşte obţinerea unui randament electric maxim. Funcţia obiectiv este reciproca
randamentului electric al sistemului definit astfel:
P
P
b
b
p
unde Pb este puterea indusă în bandă şi p sunt pierderile de putere activă, respectiv puterea
activă în inductor.
Variabilele de proiectare sunt frecvenţa de alimentare şi următorii parametri geometrici
ai sistemului de încălzire în flux magnetic transversal: distanţa dintre crestături, lăţimea
întrefierului, lăţimea crestăturii, înălţimea crestăturii
Restricţiile impuse se referă la:
- limitele superioare şi inferioare ale parametrilor geometrici;
- limita superioară a frecvenţei de alimentare;
- valoarea densităţii de curent în crestătură.
Această problemă de optimizare cu restricţii se transformă într-o problemă echivalentă
de optimizare fără restricţii prin metoda penalizării interioare. În acest sens, se construieşte o
nouă funcţie obiectiv, numită pseudo-funcţie obiectiv, care are următoarea expresie:
'
( x, r , r ) F(
x)
P(
x)
p
'
unde: ( x,
r , r ) este pseudo-funcţia obiectiv;
p
p
p
rp, rp’ - factori de penalizare (scalari);
P(x) - funcţia de penalizare, care are forma:
11

l
j
p
m
1/
g ( x)
r h ( )
'
P( x ) r
x
p
j1
k1
Schema logică a metodei penalizării interioare este prezentată în figura 3.
Fig. 3 - Schema logică a metodei penalizării interioare
k
2
Lucrarea nr. 7
În problema considerată nu există restricţii de egalitate, deci nu se utilizează parametrul
de penalizare rp. Parametrul de penalizare rp’ ia valori pozitive, mari la început, ca apoi să
'
x,
r se află în domeniul
descrească cu fiecare iteraţie. Minimul pseudo-funcţiei obiectiv
admisibil şi converge către minimul lui F(x) pe măsură ce parametrul rp’ descreşte.
Pentru minimizarea funcţiei obiectiv se foloseşte funcţia fminsearch.
p
12

Lucrarea nr. 7
Funcţia obiectiv este calculată prin metoda elementului finit. Programul este scris în
MATLAB utilizând facilităţi ale Toolboxului PDE. S-a scris o funcţie EVALUARE.M care are
ca parametri de intrare vectorul x al variabilelor de proiectare (dimensiunile geometrice ale
inductorului, frecvenţa de alimentare şi densitatea de curent în crestătură) şi ca parametri de
ieşire randamentul sistemului şi pseudo-funcţia obiectiv. Randamentul este determinat în urma
calculului de câmp prin metoda elementului finit. La fiecare modificare a variabilelor de
proiectare care reprezintă dimensiuni geometrice ale inductorului se generează o nouă reţea de
discretizare. Pentru ca funcţia EVALUARE.M să poată fi inclusă în procedura automată de
optimizare s-a procedat astfel:
- în Toolboxul PDE s-a reprezentat geometria sistemului TFIH pentru dimensiuni geometrice
arbitrar alese, s-au stabilit condiţiile pe frontiere şi in meniul Boundary s-a ales submeniul
Export Decomposed Geometry, Boundary Cond’s, operaţie prin care s-a exportat
matricea geometriei şi matricea condiţiilor pe frontiere în spaţiul de lucru MATLAB;
- pe structura matriceală existentă s-a geometria parametrizată şi cu funcţia wbound se
crează fişierul de tip M al condiţiilor de frontieră, apelate ulterior de funcţiile initmesh
şi assempde.
Această procedură expusă simplificat permite regenerarea automată a reţelei de discretizare la
fiecare modificare a parametrilor geometrici şi apoi rezolvarea problemei prin MEF.
Configuraţia din Fig.2 a fost folosită ca un prim test pentru procedura de optimizare.
Variabilele problemei de optimizare şi restricţiile sunt:
x1=distanţa dintre crestături
x2 = lăţimea crestăturii
x3 = înălţimea crestăturii
x4 = frecvenţa de alimentare
- 25 x1 700 mm
- 20 x3 300 mm
- 10 x4 50
- x5 1000 Hz
Rezultatele procedurii de optimizare aplicate pentru o bandă din aluminiu cu grosime de 1 mm
( = 0,034064 mm 2 /m) sunt prezentate în Tabelul 2.
Tabelul 2
Rezultatele optimizării
Sursa MATLAB (m-file)
x1 x2 x3 x4
[mm] [mm] [mm] [Hz]
Iniţial 30 50 30 50 0.08
Optim 138 288 36 236 0.94
options=optimset('MaxIter',25)
X=fminsearch(@evaluare,[30e-3 50e-3 30e-3 50],options)
Numărul de iteraţii depinde de punctul iniţial ales arbitrar dar situat în domeniul
admisibil definit de restricţii. Pentru verificarea rezultatului obţinut în urma optimizării se
13

Lucrarea nr. 7
consideră diferite puncte de pornire a algoritmului. Minimul obţinut este unul local dar care din
punct de vedere ingineresc este acceptabil pentru problema studiată.
Sursa MATLAB (function m-file )
function [cost,eta]=evaluare(x)
% Functia obiectiv
x
if x(4)>1000
x(4)=1000;
end
x2=20e-3;
x1i=25e-3; x1s=700e-3; x2i=20e-3; x2s=300e-3;
x3i=10e-3; x3s=50e-3; x4s=1000;
strip2=0.5e-3;
miu0=4*pi*1e-7;
ndx=100;
ro=0.034064e-6;
dc=2e6; %densitatea de curent
c1=1/miu0;
c2=1/miu0;
c3=1/miu0;
c4=1/miu0;
c=strcat(num2str(c1),'!',num2str(c2),'!',num2str(c3),'!',num2str(c4));
y11=0;
x5=20e-3;
%restrictii
sumt=1e-7;
eps=2e-3;
%Coordonate puncte geometrie parametrizata
xa=0; ya=0;
xb=2*x(1)+2*x(2); yb=0;
xc=xb; yc=strip2;
xd=0; yd=yc;
xe=0;ye=strip2+x2+x(3)+x5;
xf=xb; yf=ye;
xg=x(1)/2; yg=strip2+x2+x(3);
xh=x(1)/2+x(2); yh=yg;
xi=xh; yi=strip2+x2;
xj=xg;yj=yi;
xk=3*x(1)/2+x(2); yk=yg;
xl=3*x(1)/2+2*x(2); yl=yg;
xm=xl; ym=yi;
xn=xk; yn=yi;
%Matrice geometrie
g(1,1:15)=2;
g(2,1)=xe; g(3,1)=xf;g(4,1)=ye;g(5,1)=yf;g(6,1)=0;g(7,1)=1;
g(2,2)=xi; g(3,2)=xj;g(4,2)=yi;g(5,2)=yj;g(6,2)=1;g(7,2)=2;
g(2,3)=xl; g(3,3)=xm;g(4,3)=yl;g(5,3)=ym;g(6,3)=1;g(7,3)=3;
g(2,4)=xm; g(3,4)=xn;g(4,4)=ym;g(5,4)=yn;g(6,4)=1;g(7,4)=3;
g(2,5)=xa; g(3,5)=xd;g(4,5)=ya;g(5,5)=yd;g(6,5)=0;g(7,5)=4;
g(2,6)=xd; g(3,6)=xe;g(4,6)=yd;g(5,6)=ye;g(6,6)=0;g(7,6)=1;
g(2,7)=xj; g(3,7)=xg;g(4,7)=yj;g(5,7)=yg;g(6,7)=1;g(7,7)=2;
g(2,8)=xg; g(3,8)=xh;g(4,8)=yg;g(5,8)=yh;g(6,8)=1;g(7,8)=2;
g(2,9)=xa; g(3,9)=xb;g(4,9)=ya;g(5,9)=yb;g(6,9)=4;g(7,9)=0;
g(2,10)=xn; g(3,10)=xk;g(4,10)=yn;g(5,10)=yk;g(6,10)=1;g(7,10)=3;
g(2,11)=xk; g(3,11)=xl;g(4,11)=yk;g(5,11)=yl;g(6,11)=1;g(7,11)=3;
g(2,12)=xb; g(3,12)=xc;g(4,12)=yb;g(5,12)=yc;g(6,12)=4;g(7,12)=0;
g(2,13)=xc; g(3,13)=xf;g(4,13)=yc;g(5,13)=yf;g(6,13)=1;g(7,13)=0;
g(2,14)=xh; g(3,14)=xi;g(4,14)=yh;g(5,14)=yi;g(6,14)=1;g(7,14)=2;
g(2,15)=xd; g(3,15)=xc;g(4,15)=yd;g(5,15)=yc;g(6,15)=1;g(7,15)=4;
14

% Initializare retea de discretizare
[pp,e,t]=initmesh(g);
%[pp,e,t]=refinemesh(g,pp,e,t);
xel=pp(1,:);
tau=max(xel);
hx=tau/ndx;
vol=x(2)*x(3);
pbob=ro*dc^2*vol*0.7;
Lucrarea nr. 7
a2=0;a3=0;a1=0; a4=2*pi*x(4)/ro*sqrt(-1);
a=strcat(num2str(a1),'!',num2str(a2),'!',num2str(a3),'!',num2str(a4));
f1=0; f2=dc; f3=-dc; f4=0;
f=strcat(num2str(f1),'!',num2str(f2),'!',num2str(f3),'!',num2str(f4));
% cf reprezinta matricea conditiilor pe frontiera
u=assempde('cftfih',pp,e,t,c,a,f);
% u reprezinta potentialul magnetic vector
x11=0:hx:tau;
uxy=tri2grid(pp,t,u,x11,y11);
dens=abs((-sqrt(-1)*2*pi*x(4)/ro.*uxy));
dpind=ro.*(abs(dens)).^2;
puters=trapz(x11,dpind);
puterea=puters*strip2;
% Randamentul electric
eta=puterea*2/(2*puterea+4*pbob)
% Pseudo-Functia obiectiv
cost=-eta+sumt*(1/(x(1)-x1i)+1/(x1s-x(1))+1/(x(2)-x2i)+1/(x2s-x(2))+1/(x(3)x3i)+1/(x3s-x(3)))+1e-4*1/(x4s-x(4))
15