Numere complexe

Numere complexe
Numere complexe
Forma algebrică a numărului complex z este z = a + bi , unde a şi b sunt numere reale.
Numărul a se numeşte partea reală a numărului complex z şi se scrie a = Re z , iar numărul b
se numeşte partea imaginară a numărului complex z şi se scrie b = Im z . Simbolul i se
2
numeşte unitate imaginară şi i = −1
.
Numerele complexe z1 b = b .
= a1
+ b1i
şi z2 a2
+ b2i
1
2
= sunt egale, dacă şi numai dacă 1 a2
1
a = ,
Numărul complex z = a − bi se numeşte număr conjugat numărului z = a + bi , iar
numărul − z = −a
− bi se numeşte număr opus lui z = a + bi .
Fie z1=a1+b1i şi z2=a2+b2i două numere complexe. Suma z 1 + z 2 , diferenŃa z1 − z2
,
produsul 1 2 z z ⋅ şi câtul ) 0 ( z1
z2
≠ a numerelor complexe 1
z2
z şi z 2 se calculează conform
formulelor:
z + z = a + a ) + ( b + b ) i , (1)
1
2
( 1 2 1 2
z − z = a − a ) + ( b − b ) i , (2)
1
2
( 1 2 1 2
z ⋅ z = a a − b b ) + ( a b + b a ) i , (3)
1
z
z
1
2
2
( 1 2 1 2 1 2 1 2
z1
⋅ z2
( a1
+ b1i)(
a2
− b2i)
a1a2
+ b1b2
a2b1
− a1b2
= =
= + i
(4)
2 2
2 2
2 2
z ⋅ z a + b a + b a + b
2
2
2
2
OperaŃiile de adunare şi înmulŃire a numerelor complexe sunt comutative şi asociative,
înmulŃirea este distributivă faŃă de adunare.
Modulul numărului complex z = a + bi este numărul
egalităŃile | z | = | z | şi z =
2
⋅ z | z | . Se va folosi notaŃia z | = r
2
2
| .
2
2
z +
2 2
= a + bi = a b . Au loc
Argumentul numărului complex z = a + bi este numărul ϕ determinat din egalităŃile
a a
cosϕ
= = ,
r 2 2
a + b
Argumentul numărului complex z se notează arg z .
Din egalităŃile (5) rezultă
b b
sinϕ
= = . (5)
r 2 2
a + b
a = r cosϕ
, b = r sinϕ
(6)
şi obŃinem forma trigonometrică a numărului complex z = a + bi :
z = r(cosϕ
+ i sinϕ
) . (7)
Argumentul principal arg z al numărului complex z este acea valoare a lui ϕ care
aparŃine intervalului ( − π , π ] .

Numere complexe
Între mulŃimea numerelor complexe C şi mulŃimea punctelor (razelor-vectoare) ale
planului înzestrat cu un sistem de axe ortogonale xOy se stabileşte o bijecŃie astfel:
z = a + bi ⇔ M ( a,
b)
⇔ OM = { a,
b}
.
Această bijecŃie permite ca numerele complexe să fie interpretate ca puncte ale planului
de coordonate sau ca raze-vectoare OM (vezi figura).
Modulul r al numărului complex z = a + bi se interpretează ca lungimea segmentului
OM (lungimea vectorului OM ), unde M ( a,
b)
, iar argumentul numărului complex z ≠ 0 este
egal cu mărimea unghiului dintre direcŃia pozitivă a axei absciselor şi semidreapta OM.
Modulul şi argumentul determină numărul complex în mod univoc. Numărul complex
z = 0 nu are argument, dar are modulul egal cu zero.
Orice două argumente ale numărului complex diferă printr-un număr multiplu al lui 2 π .
Pentru orice numere complexe z , z1,
z2
≠ 0 , z = r(cosϕ
+ i sinϕ
) ,
z = r ϕ + isin
ϕ ) , z = r ϕ + isin
ϕ ) au loc relaŃiile:
1
1(cos
1
1
z
1
= z
2
2
⎧r1
= r2
,
⇔ ⎨
⎩ϕ1
= ϕ 2 + 2kπ
,
2 (cos 2
2
k ∈ Z,
z ⋅ z = r ⋅ r ϕ + ϕ ) + isin(
ϕ + ϕ )),
(9)
z
z
z
1
2
r
1
2 (cos( 1 2
1 2
( ϕ −ϕ
) + sin( ϕ − ) )
1 1
= cos( 1 2 i 1 ϕ 2
2 r2
n
(8)
, (10)
n
= r (cos nϕ
+ i sin nϕ)
(formula lui Moivre), (11).
Rădăcina de ordinul n , n ∈ N*,
n ≥ 2 a numărului complex z este numărul complex
u cu proprietatea u z
n = .
Axa imaginară
ϕ
M ( a,
b)
O Axa reală
Toate rădăcinile ecuaŃiei u z
n = se notează prin n z .
r
a
Dacă z = r(cosϕ
+ i sinϕ
) , atunci fiecare din cele n rădăcini n z se obŃin din formula:
b
2

Numere complexe
n
z =
pentru k = 0, 1,
2,
..., n −1.
n
⎛ ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
⎞
r ⎜cos
+ isin
⎟
(12)
⎝ n
n ⎠
ExerciŃii rezolvate
1. Să se calculeze suma, diferenŃa, produsul şi câtul numerelor complexe 1 z şi 2
a) z = 2 − 5i
, z = 1−
6i
;
1
b) z = 3 + 4i
, z = 3 − 4i
;
1
c) z = −3
+ 2i
, z = 13 − i .
1
SoluŃii
2
2
2
Aplicând formulele (1)-(4) avem:
a) z + z = ( 2 − 5i)
+ ( 1−
6i)
= ( 2 + 1)
+ ( −5
− 6)
i = 3 −11i
;
1
2
z − z = ( 2 − 5i)
− ( 1−
6i)
= ( 2 −1)
+ ( −5
− ( −6))
i = 1+
i ;
1
2
z ⋅ z = ( 2 − 5i)
⋅ ( 1−
6i)
= ( 2 ⋅1
− ( −5)(
−6))
+ ( 2 ⋅ ( −6)
+ ( −5)
⋅1)
i = −28
−17i
;
1
z
z
1
2
2
2 − 5i
2 − 5i
1+
6i
( 2 ⋅1
− ( −5)
⋅ 6)
+ ( 2 ⋅ 6 + ( −5)
⋅1)
i 32 + 7i
32 7
= = ⋅ =
= = + i .
2 2
1−
6i
1−
6i
1+
6i
1 + 6
37 37 37
z1
7 24
b) z 1 + z2
= 6 ; z1 − z2
= 8i
; z 1 ⋅ z2
= 25 ; = − + i.
z 25 25
z1
41 23
c) z1+z2 = 10+i; z1-z2 = -16+3i; z1·z2 = -37+29i; = − + i.
z 170 170
4 − 2i
2 + 5i
2. Să se calculeze: a) + ;
1+
i 1−
i
1+
i 1−
i
d) + .
2
2
( 1−
i)
( 1+
i)
SoluŃii
2
2
2 + 3i
1−
3i
b) − ;
4 − 2i
2i
4 − 2i
2 + 5i
( 4 − 2i)(
1−
i)
+ ( 2 + 5i)(
1+
i)
2 − 6i
− 3 + 7i
1 1
a) + =
=
= − + i.
1+
i 1−
i ( 1+
i)(
1−
i)
2 2 2
2 + 3i
1−
3i
2i(
2 + 3i)
− ( 4 − 2i)(
1−
3i)
− 6 + 4i
+ 2 + 14i
− 4 + 18i
b) − =
=
= =
4 − 2i
2i
2i(
4 − 2i)
4 + 8i
4(
1+
2i)
( −4
+ 18i)(
1−
2i)
32 + 26i
8 13
=
= = + i.
4(
1+
2i)(
1−
2i)
4⋅
5 5 10
z .
3
1+
i
c) ;
( 3 + i)(
1+
i 3)

Numere complexe
SoluŃii
1+
i 1+
i ( 1+
i)
⋅ i −1
+ i 1 1
c) = = = = − i.
( 3 + i)(
1+
i 3)
4i
4i
⋅ i − 4 4 4
3
3
1+
i 1−
i ( 1+
i)
+ ( 1−
i)
2 − 6
d) + =
= = −1.
2
2
2
( 1−
i)
( 1+
i)
[( 1−
i)(
1+
i)]
4
3. Să se simplifice fiecare din expresiile: a) 41
i ; b) 62
i ; c) 79
i ; d) 84
i .
1
2
3 2
4 2 2
5 4
Avem i = i,
i = −i,
i = i ⋅i
= −i,
i = i ⋅ i = ( −1)
⋅ ( −1)
= 1,
i = i ⋅ i = i,
1 1,
2
2 4 6
i
7
= i ⋅i
= ⋅ i = − i
4 3
8
= i ⋅ i = −i,
i
4 2
= ( i ) = 1,
prin urmare, puterile naturale ale lui i
sunt egale ciclic cu i, 1,
− i şi 1.
4 n 4 1
Astfel, pentru ∀ n ∈ N , i = 1,
i i,
n +
=
41 40+
1 40
a) i = i = i ⋅ i = i;
b) 1 1;
2
2 15 4 62
= ⋅ = ⋅ = −
⋅
i i i i
79 4⋅19+
3
c) i = i = −i;
84 4 21
d) = = 1.
⋅
i i
4n+
2
4 3
i = −1,
i i.
n+
= − De aici:
4. Să se determine numerele reale x şi y astfel încât au loc egalităŃile:
3
6
a) i − 4i
+ 4 = −i
+ − 2y;
x
x
b) ( 2 + 3i)(
x −1)
+ ( 2 − 3i)(
x − y + 1)
= 8 − 3i;
c) ( 3x
+ 4yi)(
3x
− 4yi)
+ 2yi
= 73 + 4i;
3 2
3
2
d) x + xy i = 65 − y + ( 20 − x y)
i.
SoluŃii
Utilizând definiŃia egalităŃii a două numere complexe, în fiecare caz se obŃine şi se rezolvă
un sistem de două ecuaŃii cu două necunoscute.
În cazul a) avem
Răspuns: x=1, y=1.
⎧3
⎧ 3
⎪
− 4 = −1,
x ⎪ = 3,
⎨ ⇔ x
6
⎨
6
⎪ − 2y
= 4 ⎪−
2y
= 4 −
⎩ x
⎩ x
În cazul b), efectuând operaŃiile, avem
⇔
⎧x
= 1,
⎨
⎩y
= 1.
⎧ 5
⎧2x
− 2 + 2x
− 2y
+ 2 = 8,
⎪x
= ,
⎨
⇔ ⎨ 2
⎩3x
− 3 − 3x
+ 3y
− 3 = −3
⎪
⎩y
= 1.
4

Numere complexe
Răspuns: x=2,5; y=1.
În cazul c) similar b) se obŃine
Răspuns: x = 1 , y = 2 sau x = −1
, y = 2 .
În cazul d) avem
2 ⎧9x
+ 16y
⎨
⎩2y
= 4
2
=
73,
⎡⎧x
= 1
⎢⎨
2 ⎧9x
= 9 ⎢⎩y
= 2
⇔ ⎨ ⇔ .
⎢
⎩y
= 2 ⎧x
= −1
⎢⎨
⎢⎣
⎩y
= 2
3
3
3 3
3 3
3
⎪⎧
x = 65 − y , ⎪⎧
x + y = 65,
⎪⎧
x + y = 65,
⎧(
x + y)
= 125,
⎧x
+ y = 5,
⎨
⇔ ⎨
⇔ ⎨
⇔ ⎨
⇔ ⎨
⇔
2
2
2 2
2 2
⎪⎩ xy = 20 − x y ⎪⎩ xy + x y = 20 ⎪⎩ 3xy
+ 3x
y = 60 ⎩xy(
x + y)
= 20 ⎩xy(
x + y)
= 20
⎧x
+ y = 5,
⇔ ⎨
⎩xy
= 4
⎡⎧x
= 1
⎢⎨
⎢⎩y
= 4
⇔ .
⎢⎧x
= 4
⎢⎨
⎢⎣
⎩y
= 1
Răspuns: x = 1 , y = 4 sau x = 4 , y = 1.
5. Să se rezolve în C ecuaŃia:
2
a) z − ( 4 + 3i)
z + 1+
5i
= 0;
2
b) iz + ( 2 − 2i)
z − 6 + 3i
= 0;
2
c) z + ( 2 − i)
z −1
− 7i
= 0;
2
d) ( 2 − i ) z − ( 5 + i)
z + 2 + 2i
= 0.
SoluŃii
2
EcuaŃia de gradul al doilea az + bz + c = 0 , unde a , b,
c sunt numere complexe are
2
2
− b − b − 4ac
− b + b − 4ac
2
rădăcinile z1
= , z2
= , unde b − 4ac
= Δ şi
2a
2a
2
− b − 4ac
= −
În cazul a)
Δ
2
sunt rădăcinile pătrate ale numărului complex Δ = b − 4ac.
2
2
Δ = ( 4 + 3i
) − 4(
1+
5i)
= 7 + 24i
− 4 − 20i
= 3 + 4i
= ( 2 + i)
, = + i
Δ 2 şi
4 + 3i
− 2 − i
z 1 = = 1+
i,
z 2
2
4 + 3i
+ 2 + i
= = 3 + 2i.
Deci, S = { 1+ i,
3 + 2i}
.
2
2
În cazul b) Δ = ( 4 + 2i)
şi z = 3i
, z = 2 − i S = { 3 i,
2 − i .
2
În cazul c) Δ = ( 4 + 3i)
, z = −3
− i,
z 1+
2i.
1
1
2 . Deci, }
2
= Deci, S { − 3 − i,
1+
2i}
= .
5

Numere complexe
2 + i
.
1−
i
SoluŃii
2
În cazul d) Δ = 2i
= ( 1+
i)
, z = 0,
8 + 0,
4i,
z = 1+
i.
Deci, S = { 0 , 8 + 0,
4i;
i + 1}.
1
6. Să se determine opusul, conjugatul şi inversul numărului complex: a) 3 + 2i;
b) i ; c)
Fie numărul complex z = a + bi ≠ 0.
Cum opusul lui z este − z = −a
− bi,
conjugatul lui
1 1 a − bi
z este z = a − bi şi inversul lui z este = = avem:
2 2
z a + bi a + b
3 − 2i
.
13
a) opusul lui 3 + 2i
este − 3 − 2i,
conjugatul lui 3 + 2i
este 3 − 2i,
inversul lui 3 + 2i
este
b) opusul lui i este − i,
conjugatul lui i este − i,
inversul lui i este − i.
2 + i ( 2 + i)(
1+
i)
1+
3i
c) avem =
=
1−
i 2 2
−1
− 3i
respectiv ,
2
1−
3i
,
2
1−
3i
.
5
2
şi astfel opusul, conjugatul şi inversul lui
2 + i
1−
i
7. Să se determine valorile reale ale lui a şi b, astfel încât numerele complexe
2
2 2
z1 = a + 4b
− bi şi z2
= 4 + b − − a i să fie: a) opuse; b) egale; c) conjugate.
i
SoluŃii
Scriem numărul z 2 sub forma algebrică . ) 2 ( 4
2
z = b + + − a i De aici rezultă:
a)
⎧ 2 7
2
⎪
=
⎪⎧
a
a + 4b
= −b
− 4 2
z 1 = −z
2 ⇔ ⎨
⇔ ⎨ .
2
⎪⎩ b = 2 − a ⎪ 3
⎪
b = −
⎩ 2
Răspuns: Numerele 1 z şi 7
z 2 sunt opuse pentru a = ± ,
2
b)
⎧ 2 5
2
⎪
=
⎪⎧
a
a + 4b
= b + 4 2
z 1 = z2
⇔ ⎨
⇔ ⎨ .
2
⎪⎩ − a + 2 = −b
⎪ 1
⎪
b =
⎩ 2
2
3
b = − .
2
Răspuns: Numerele 1 z şi 5 1
z 2 sunt egale pentru a = ± , b = .
2 2
6
sunt

Numere complexe
c)
2
2
⎪⎧
a + 4b
= b + 4 ⎧a
= 1
z 1 = z2
⇔ ⎨
⇔
2
⎨ .
⎪⎩ a − 2 = −b
⎩b
= 1
Răspuns: Numerele 1 z şi z 2 sânt conjugate pentru . 1 , 1 = ± = b a
8. Să se scrie sub formă trigonometrică numărul: a) z = 2i;
b) z = 3 + i;
c)
⎛ 3π
⎞
z = 2 − 3 + i;
d) z = 1− cos 2α
− isin
2α
⎜ < α < 2π
⎟ .
⎝ 2 ⎠
SoluŃii
r = | z | =
cosϕ
=
⎛ π π ⎞
a) z = 2i = 0 + 2i
= 2⎜cos
+ isin
⎟. ⎝ 2 2 ⎠
⎛ 3 1 ⎞ ⎛ π π ⎞
b) z = 3 + i = 2⎜
⎟
⎜
+ i = 2⎜cos
+ sin ⎟. 2 2 ⎟
i
⎝ ⎠ ⎝ 6 6 ⎠
c) Calculăm modulul numărului z:
2
2
2
( 2 − 3)
+ 1 = 8 − 4 3 = 2(
4 − 2 3)
= 2(
3 −1)
= 2(
3 −1).
Găsim arg z conform egalităŃilor (5):
2 −
2
3
( 3 −1)
De aici obŃinem
SoluŃii
avem:
d)
z =
r = | z | =
=
6 −
4
2
,
sinϕ
=
2
1
( 3 −1)
=
6 +
4
o
ϕ = 75 . Prin urmare, conform formulei (7) z = ( 3 −1)
cos + i sin .
2sin
2
2 |
2
.
⎛ 5π
5π
⎞
2 ⎜
⎟
⎝ 12 12 ⎠
α − isin
2α
= 2sin
α(sin
α − i cosα
)
⎛ 3π
⎞
, deoarece α ∈ ⎜ , 2π
⎟.
sinα
| = −2sin
α,
⎝ 2 ⎠
⎛ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎞
De aici z = −2sin
α( −sin
α + i cosα
) = −2sin
α⎜
cos⎜
+ α ⎟ + i sin⎜
+ α ⎟⎟.
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎠
33 + 56i
3 + 4i
9. Să se calculeze: a) 80 + 18i;
b) − 1− 4 3i;
c) ; d) .
− 3 + 4i
5 + 12i
Fie 0 z şi 1
z rădăcinile pătrate ale numărului complex . bi a z = + Dacă 0 > b , atunci
7

Numere complexe
z
z
0
1
=
= −z
a+
| z |
+ i
2
0
= −
Dacă b < 0 , atunci avem:
z
0
− a+
| z |
,
2
a+
| z |
− i
2
− a+
| z |
.
2
(13)
a+
| z | − a+
| z |
= − i , z1 = −z
0 . (14)
2 2
80 + 82 − 80 + 82
În cazul a) avem z 0 = + i = 81 + i = 9 + i,
z1 = −9
− i.
2 2
−1
+ 7 1+
7
În cazul b) avem z0 = − i = 3 − 2i,
z 1 = − 3 + 2i.
2 2
33 + 56i
( 33 + 56i)(
−3
− 4i)
125 − 300i
În cazul c) avem =
=
= 5 −12i
şi
− 3 + 4i
( −3
+ 4i)(
−3
− 4i)
25
5 + 13 − 5 + 13
z0 = − i = 3 − 2i,
z1 = −3
+ 2i
.
2 2
În cazul d)
3 + 4i
( 3 + 4i)(
5 −12i)
63 −16i
=
=
5 + 12i
169
13
1 ⎛ 63 + 65 − 63 + 65 ⎞ 1
1
z0 = ⎜ i ⎟ = ( 8 − i),
13 ⎜
−
2 2 ⎟
z1 = − ( 8 − i).
⎝
⎠ 13
13
SoluŃii
3 10. Să se calculeze: a) i;
4
− b) 1+
i 3;
c) 3
2 + 11i
.
a) Scriem numărul complex − i = 0 + ( −1)
⋅i
în forma trigonometrică. Avem | −i | = 1 şi
π
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
arg( −i ) = − . De aici − i = cos⎜ − ⎟ + isin⎜
− ⎟. În conformitate cu formula (12)
2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
3 ⎛ π 2kπ
⎞ ⎛ π 2kπ
⎞
− i = cos⎜−
+ ⎟ + isin⎜
− + ⎟,
unde k = 0,
1,
2.
⎝ 6 3 ⎠ ⎝ 6 3 ⎠
Notând aceste rădăcini prin z k avem:
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 3 1
z0 = cos⎜−
⎟ + i sin⎜
− ⎟ = − i,
⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 2 2
⎛ π
2π
⎞ ⎛ π 2π
⎞ π π
z 1 = cos⎜
− + ⎟ + isin⎜
− + ⎟ = cos + i sin = i,
⎝ 6 3 ⎠ ⎝ 6 3 ⎠ 2 2
8
şi

Numere complexe
⎛ π 4π
⎞ ⎛ π 4π
⎞ 7π
7π
3 1
z2 = cos⎜
− + ⎟ + i sin⎜
− + ⎟ = cos + isin
= − − i.
⎝ 6 3 ⎠ ⎝ 6 3 ⎠ 6 6 2 2
Răspuns:
4
z
=
z
⎧ 3 1 3 1 ⎫
S = ⎨ − i,
i,
− − i⎬
.
⎩ 2 2 2 2 ⎭
b) Analog 1+
i
⎛ 1
3 = 2⎜
⎜
+ i
⎝ 2
3 ⎞
⎟
⎛ π π ⎞
⎟
= 2⎜cos
+ isin
⎟ şi
2 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠
conform formulei (12)
1+
i 4 ⎛ ⎛ π 2kπ
⎞ ⎛ π 2kπ
⎞⎞
3 = 2⎜
cos⎜
+ ⎟ + isin⎜
+ ⎟⎟,
unde k = 0,
1,
2,
3.
⎝ ⎝12
4 ⎠ ⎝12
4 ⎠⎠
0
1
4
=
=
4
2 ⋅
4
4
Pentru k = 0 obŃinem
⎛ π π ⎞
2⎜
cos + isin
⎟ =
⎝ 12 12 ⎠
2
( 3 + 1)
+ i(
3 −1)
).
Pentru k = 1 obŃinem
⎛ 7π
7π
⎞
2⎜
cos + i sin ⎟ =
⎝ 12 12 ⎠
( 1−
3)
+ ( 1+
3)
).
4 2 ⋅ 2
= i
4
z
=
3
4
=
4
Pentru k = 2 obŃinem
4
⎛ ⎛ π π ⎞ ⎛ π π ⎞⎞
2⎜
cos⎜
− ⎟ + isin⎜
− ⎟⎟
=
⎝ ⎝ 4 6 ⎠ ⎝ 4 6 ⎠⎠
4
⎛ ⎛ π π ⎞ ⎛ π π ⎞⎞
2⎜
cos⎜
+ ⎟ + i sin⎜
+ ⎟⎟
=
⎝ ⎝ 4 3 ⎠ ⎝ 4 3 ⎠⎠
4
⎛ 6 + 2 6 −
2⎜
⎜
+ i
⎝ 4 4
4
⎛ 2 − 6 2 +
2⎜
⎜
+ i
⎝ 4 4
4 ⎛ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞⎞
4 ⎛ π π ⎞
z2 = ⎜cos⎜
+ π ⎟ + isin⎜
+ π ⎟⎟
= 2⎜
− cos − i sin ⎟ = −z
⎝ ⎝12
⎠ ⎝12
⎠⎠
⎝ 12 12 ⎠
Pentru k = 3 obŃinem
2 0
⎛ ⎛ π 3π
⎞ ⎛ π 3π
⎞⎞
2⎜
cos⎜
+ ⎟ + isin⎜
+ ⎟⎟
=
⎝ ⎝12
2 ⎠ ⎝12
2 ⎠⎠
⎛ 7π
7π
⎞
⎜−
cos − isin ⎟ = −z
.
⎝ 12 12 ⎠
2 1
4
⎛ ⎛ 7π
⎞ ⎛ 7π
⎞⎞
2⎜
cos⎜π
+ ⎟ + isin⎜
π + ⎟⎟
=
⎝ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 12 ⎠⎠
.
2 ⎞
⎟
=
⎠
6 ⎞
⎟
=
⎠
Deci cele patru rădăcini de ordinul patru ale numărului complex z = 1+ i 3 sunt
8 (
4
3 + 1+
( 3 −1)
),
4 8
± ( 1−
4
3 + i 1+
3 ).
4
± i ( )
Imaginile numerelor z 0 , z1,
z2
, z3
sunt punctele M 0 , M 1,
M 2,
M 3 din figura alăturată.
9

Numere complexe
Ele sunt vârfurile pătratului înscris în cercul de raza 4 2 şi centrul O. MenŃionăm că
π
m ( ∠AOM 0 ) = .
12
4
ObservaŃie. Cele patru rădăcini 0 , z1,
z2
, z3
1+
i 3 = 1+
i
1
(
2
1
= ±
4
2 2
3 .
10
z se pot obŃine şi astfel:
⎛ 3 1 ⎞ 1
Conform formulelor (13), 1+ i 3 = ± ⎜ i ⎟
⎜
+ = ± ( 3 + i).
2 2 ⎟
⎝ ⎠ 2
Conform aceleaşi formule (13),
3 + i)
= ±
( 3 + 1+
i(
3 −1)
).
4
1 ⎛ 3 2 3 2 ⎞
⎜ + − +
+ i ⎟ = ±
2 ⎜ 2 2 ⎟
⎝
⎠
Conform formulelor (14),
M 2
4
⎛
1 ⎜
2 ⎜
⎝
(
3 + 1)
4
2
+ i
(
3 −1)
4
−
1
(
2
1
3 + i)
=
4
2
−
1 ⎛
3 − i = ± ⎜
4
2 ⎜
⎝
− 3 + 2
− i
2
3 + 2 ⎞ 1 ⎛
⎟ = ± ⎜
4 2 ⎟ 2 ⎜
⎠ ⎝
(
2
3 −1)
4
− i
( 3 + 1)
4
1
= ± ( 4
2 2
3 −1
− i(
1+
3)
).
c) Forma trigonometrică a numărului z = 2 + 11i
este z =
⎛
125⎜ ⎝
2
+ i
125
11 ⎞
⎟. 125 ⎠
2
11
⎛ π ⎞
Deci, cos ϕ = , sin ϕ = . De aici rezultă că arg z ∈ ⎜0,
⎟. 125 125
⎝ 2 ⎠
M 1
O
y
M 3
Deoarece, conform formulei (12), cele trei rădăcini de ordinul trei ale lui z = 2 + 11i
se
obŃin din formula
M 0
4 2
x
2
⎞
⎟
=
⎟
⎠
2
⎞
⎟ =
⎟
⎠

Numere complexe
trebuie să calculăm
3
3 ⎛ ⎛ ϕ 2kπ
⎞ ⎛ ϕ 2kπ
⎞⎞
2 + 11i
= 125 ⎜cos⎜
+ ⎟ + isin⎜
+ ⎟⎟,
pentru k = 0,
1,
2.
⎝ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠⎠
cos
3
ϕ şi
Folosim formula lui Moivre şi scriem
sin
3
ϕ având valorile lui cos ϕ şi sin ϕ .
3
⎛ ϕ ϕ ⎞ ϕ ϕ
⎜cos
+ i sin ⎟ = cos3
⋅ + i sin 3⋅
= cosϕ
+ i sinϕ.
⎝ 3 3 ⎠ 3 3
Explicităm partea stângă, utilizăm definiŃia egalităŃii a două numere complexe şi obŃinem
sistemul:
⎧ 3 ϕ ϕ 2 ϕ
⎪
cos − 3cos
sin = cosϕ
3 3 3
⎨
⎪ 2 ϕ ϕ 3 ϕ
3cos
sin − sin = sinϕ
⎪⎩
3 3 3
ÎmpărŃim ecuaŃia a doua, parte cu parte, la prima şi obŃinem ecuaŃia
2 ϕ ϕ 3 ϕ
3cos
sin − sin
3 3 3 11
= .
3 ϕ ϕ 2 ϕ 2
cos − 3cos
sin
3 3 3
Aceasta se reduce la o ecuaŃie omogenă de gradul trei care se reduce la ecuaŃia
3 ϕ
2 ϕ ϕ
1
2tg
− 33tg
− 6tg
+ 11 = 0.
Dintre rădăcinile ,
3 3 3
3 2
=
ϕ ϕ
tg tg = 8 −
3
1
ale acestei ecuaŃii doar
3 2
ϕ
75 şi tg = 8 +
3
75
=
ϕ
ϕ ⎛ π ⎞
tg verifică condiŃia ∈ ⎜0,
⎟.
3 ⎝ 6 ⎠
1
Din
3 2
=
ϕ
tg rezultă
ϕ
cos =
3
2
5
ϕ 1
şi sin = .
3 5
În fine revenim la formula pentru calcularea 3
⎛ ϕ ϕ ⎞ ⎛ 2 i ⎞
z 0 = 5⎜
cos + i sin ⎟ = 5⎜
+ ⎟ = 2 + i,
⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 5 5 ⎠
z
1
=
= −1−
⎛ ⎛ ϕ
2π
⎞ ⎛ ϕ 2π
⎞⎞
5⎜
cos⎜
+ ⎟ + isin⎜
+ ⎟⎟
=
⎝ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠⎠
3
2
⎛
+ i⎜
−
⎝
1
2
+
⎞
3 ⎟,
⎠
⎛
5⎜
−
⎜
⎝
1
2
⋅
2 + 11i
şi obŃinem:
2
−
5
3
2
⋅
1 ⎛
+ i⎜
5
⎜
−
⎝
1
2
⋅
1
+
5
3
2
⋅
2 ⎞⎞
⎟⎟
=
5
⎟⎟
⎠⎠
11

Numere complexe
z
2
=
⎛
5⎜
−
⎜
⎝
⎛ ⎛ ϕ 4π
⎞ ⎛ ϕ 4π
⎞⎞
5⎜
cos⎜
+ ⎟ + i sin⎜
+ ⎟⎟
=
⎝ ⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠⎠
1
2
⋅
2
+
5
3
2
⋅
1 ⎛
+ i⎜
5
⎜
−
⎝
1
2
⋅
1
−
5
3
2
⋅
2 ⎞⎞
⎟⎟
= −1+
5
⎟⎟
⎠⎠
3 ⎛ 1
− i⎜
+
2 ⎝ 2
Imaginile numerelor z 0 , z1,
z2
respectiv punctele M 0 , M 1,
M 2 sunt vârfurile triunghiului
echilateral 0 1 2 M M
M înscris în cercul de rază 5 şi centru O.
ExerciŃii propuse
1. Fiind dat numărul complex z = 1+ i 3 să se determine:
a) opusul lui; b) inversul lui; c) conjugatul lui; d) Re z ; e) Im z ; f) | z | ; g) arg z .
2
2. Să se calculeze: a) 3 − i + ( −2
+ 2i)
− ( 6 − 3i);
b) ( 3 + 2i)(
5 − i);
c) ( 1+
i )( 2 + i)
( 3 + i);
3 14 21 31 93 100 ( 6 − i)(
3 + i)
1 1 1
d) i + i + i + i + i + i ; e) ; f) + + .
( 2 − i)(
1+
i)
1−
2i
1+
i 1−
7i
3. Să se determine a, b ∈ R astfel încât au loc relaŃiile:
2 2 5i
10
a) a + b − ( a − b + 2)
i = 0;
b) a − bi = a − b − 4i;
c) − ib + 2 = 6i
+ − b.
a
a
2
3
3
4. Să se rezolve în C ecuaŃiile: a) z + 2 = 0;
b) z + 8 = 0;
c) z − 27 = 0;
d)
2
2
2
z + z + 1 = 0;
e) z + 2z
+ 3 = 0;
f) z + 6z = 7 − 5i;
g) z + ( 1−
i)
z + i = 0;
h)
3 2
2
2
2
2
z − ( 1+
2i)
z + 1−
i = 0;
i) z + 3 + i = 0;
j) | z | +z = 0;
k) z + z = 0;
l) z + iz −1
= 0.
5. Să se scrie în formă trigonometrică numerele: a) 1− i;
b) 3 + i;
c) − 2i;
d) 3 ; e)
5 3 − 5i;
f) 3 + 4i.
M 1
O
M 2
8 1 1
6. Să se calculeze z + , ştiind că z + = 0.
8
z
z
y
7. Să se determine mulŃimea punctelor planului complex care sunt imagini ale numerelor
complexe z = x + iy ce verifică relaŃiile:
M 0
5
x
⎞
3 ⎟.
⎠
12

Numere complexe
a) | z | = 2;
b) z = | z |; c)
π
arg z = ; d)
4
1 < | z | < 9;
e) | 2z
+ 1|
≥ 2;
f) | z + i | < | z |; g)
1 ≤| z −1
− i | ≤ 4.
3
−
100
⎛ 1 ⎞
8. Să se calculeze: a) ⎜ ⎟ ;
⎝1
+ i ⎠
3 + 1.
2006
⎛ 1 3 ⎞
b) ⎜ ⎟
⎜
+ i ;
2 2 ⎟
c) ;
⎝ ⎠
4 4
i d) 2 2i
3;
13
− e) 3 − 1;
f)
9. Un triunghi echilateral are două vârfuri în punctele z 1
al treilea vârf.
= −1
şi z 2 = −2
+ i 3.
Să se afle
10. Să se determine numărul complex z de modul maximal astfel încât are loc relaŃia:
| z
− 3 − i | = 10.