Soluționare matematică a problemelor economice - Silvestru ...

UNIVERSITATEA LIBERĂ INTERNAȚIONALĂ DIN MOLDOVA
Maximilian Silvestru
Soluționare matematică a problemelor
economice
CHIȘINĂU – 2012
1

„În fiecare știință este numai atîta
știință cîtă matematică conține.‖
Emanuil Kant
Procesele economice expuse
în limbaj matematic constituie
modelare matematică a proceselor
economice.
Totalitatea indicatorilor și a
metodelor de gestionare a
economiei constituie proces economic.
Modelarea matematică permite
utilizarea în programarea economică a potențialelor
uriașe ale științelor matematice;
permite utilizarea în programarea
economică a calculatoarelor.
2

CUPRINS:
Introducere………………………………………………………………………........... 8
1. Modelarea matematică a problemelor de optimizare…................................................... 11
1.1.Metode clasice de optimizare………………………………………........................ 11
1.1.1. Cazul unei singure variabile…………………………….................................... 11
1.1.2. Cazul mai multor variabile………………………………….............................. 14
1.2.Exemple de probleme, care conduc la programe liniare…………………................ 16
1.2.1. Folosirea eficientă a resurselor limitate……………………………................... 16
1.2.2. O problemă de transport……………………...................................................... 18
1.2.3. Un program de producţie şi stocaj………………………………....................... 20
1.2.4. Probleme de amestec………………………………………............................... 20
1.2.5. Utilizarea optimă a capacităţii maşinilor………………………………............. 20
1.2.6. O problemă de investiţii……………………………………………….............. 21
1.2.7. Reducerea pierderilor la tăierea materialelor…………………………............... 21
1.2.8. Probleme de ordonanţare………………………………………......................... 22
1.3.Elemente ale programării liniare…………………………………............................ 22
1.3.1. Forma generală a proramelor liniareInterpretarea geometrică a unei probleme
de programare liniară………............................................................................... 22
1.3.2. Programe de bază……………………………………………............................. 25
1.3.3. O metodă de rezolvare a problemelor de programare liniară………………...... 27
1.3.4. O metodă de rezolvare a problemelor de programare liniară………………...... 30
Bibliografie………………………………………………………….............................. 31
2. Modele tipice de programare………………………………………………................... 32
2.1.Problema itinerarului închis…………………………………………………........... 32
2.2.Problema de transport…………………………………………………………........ 35
2.3.Problema de transport a lui Koopmans……………………………………….......... 39
2.4.Probleme de repartiție…………………………………………………………........ 42
2.5.Probleme de amestec…………………………………………………………......... 45
2.6.O prblemă dinamică: desfășurarea producției și stocurile……………………......... 47
2.7.O altă problemă dinamică: depozitarea mărfurilor……………………………........ 51
2.8.Prgramarea investițiilor: alegerea variantelor……………………………................ 53
2.9.Programarea investițiilor: alegerea orientării………………………….................... 55
2.10. Programarea investițiilor: repartiția investițiilor în timp……………………...... 59
2.11. Exemple de aplicare a analizei activității…………………………….................. 61
Bibliografie…………………………………………………………………….............. 64
3. Elemente de teoria așteptării………………………………………………………........ 65
3.1.Definiții și notații……………………………………………………………........... 65
3.2.Un model matematic………………………………………………………….......... 66
3.3.Modele cu o singură stație de serviciu………………………………………........... 68
3.3.1. Un model cu sosiri aleatoare și repartiția timpului de serviciu oarecare……..... 68
3.3.2. Alte modele cu o singură stație……………………………………………….... 69
3.4.Modele cu mai multe stații…………………………………………………............. 70
3.4.1. Unități solicitante provenind dintr-o populație infinită…………………........... 71
3

3.4.2. Unități solicitante provenind dintr-o populație finită…………………….......... 71
3.5.Aplicații economice ale teoriei așteptării……………………………….….............. 72
3.5.1. Domenii în care este aplicabilă teoria așteptării……………………….............. 72
3.5.2. Un exemplu numeric………………………………………..……..................... 73
Bibliografie………………………………………………………………….…............. 75
4. Elemente de teoria stocurilor………………………………………............................... 76
4.1.Modele stochastice de gestiune a stocurilor……………………………….…......... 77
4.1.1. Modele stochastice cu cost de penurie………………………………….……... 77
4.1.2. Modele cu probabilitate de penurie …………………........................................ 78
4.2.Exemple numerice…………………………………………………………............. 80
4.2.1. Exemple numerice în cazul cercetării deterministe………………………......... 80
4.2.2. Exemple numerice în cazul cererii aleatoare…………………….…….............. 81
Bibliografie……………………………………………………….…………................. 82
5. Programarea dinamică a aprovizionărilor și stocurilor în condiții de certitudine…........ 83
5.1.Mărimea optimă a unui lot achiziționat…………………………………................. 83
5.2.Prima variantă a formei generale a problemei de programare a aprivizionărilor și
stocurilor………………………………………………………………………........
88
5.3.Cazul în care loturile achiziționate nu sunt neapărat egale între ele……………...... 89
5.4.Cazul în care capacitatea depozitului este limitată……………………………........ 91
5.5.Cazul utilizării neuniforme a stocului în timp…………………………………....... 93
Bibliografie…………………………………………………………………………...... 98
6. Programarea dinamică a aprovizionărilor și stocurilor în condiții de incertitudine…....
6.1.Cazul în care probabilitatea ca stocul de rezervă să fie insuficient (coeficientul de
99
risc) este egală cu o mărime dată. Repartiția normală a probabilității…................... 99
6.2.Varianta în care repartiția probabilității necesarului este o repartiție Poisson.
6.3.Varianta în care repartiția probabilității necesarului este „rectangulară‖
104
(uniformă)………………… …………………………….........................................
6.4.Stabilirea mărimii optime a coeficientului de risc și a rezervei optime în funcție de
105
cheltuielile pe care le comportă deficitul, precum și depozitarea stocurilor………....... 107
Bibliografie…………………………………………………………………………...... 113
7. Funcții de producție, regula de aur a acumulării…………………………………….....
7.1.Factorii de producţie - Forţa de muncă şi fondurile - ca elemente de calcul în
114
modele de creştere…………………………………………………..……………... 114
7.1.1. Neluarea în considerare a substituției factorilor……………………………...... 116
7.1.2. Relaxarea lipsei de situație a factorilor prin programarea liniară........................ 117
7.1.3. Modalități de luare în considerare a caracterului continuu variabil și
substituibil al factorilor........................................................................................ 119
7.2.Funcții și factori de producție în exprimarea ,,per capita‖......................................... 120
7.3.Determinatea cantitativă a contribuției factorilor la realizarea producției…..…......
7.4.Rata marginală de substituire a factorilor şi elasticitatea de substituţie a
123
acestora...................................................................................................................... 126
4

7.5.Relaţii cantitative dintre modificările factorilor şi cele ale producţiei studiate cu
ajutorul funcţiilor de producţie..................................................................................
7.5.1. Ipoteza 1: Elasticitatea de substituţie a factorilor egală cu zero; elasticitatea
producţiei în raport cu fondurile şi cu forţa de muncă egală cu 1 (deci
129
randamentul factorilor constant)..........................................................................
7.5.2. Ipoteza 2: Elasticitatea de substituţie a factorilor egală cu 1; elasticitatea
producţiei în raport cu fondurile şi cu forţa de muncă egală cu 1 (deci
130
randamentul factorilor constant).......................................................................... 130
7.5.2.1. Randamentul factorilor.................................................................................. 130
7.5.2.2. Analiza privind conţinutul parametrilor funcţiei Cobb-Douglas................... 131
7.5.2.3. Folosirea funcţiei Cobb-Douglas, exprimată în mărimi per capita, la
determinarea ratei de substituţie şi a ratei de elasticitate a
factorilor........................................................................................................ 135
7.5.3. Ipoteza 3: Elasticitatea de substituţie a factorilor cuprinsă între 0 şi + ∞;
randamentul factorilor constant...........................................................................
7.5.4. Ipoteza 4: Elasticitatea de substituţie a factorilor cuprinsă între 0 şi ∞;
136
randamentul factorilor crescător sau descrescător...............................................
7.6.Starea de creştere echilibrată cu factori nesubstituibili; Modelul Harrod-
137
Domar........................................................................................................................ 138
7.6.1. Cîteva precizări preliminare privind unele relaţii cantitative
macroeconomice..................................................................................................
7.6.2. Relaţiile fundamentale privind echilibrul dinamic în domeniul
138
producţiei.............................................................................................................
7.6.3. Luarea în considerare a utilizării forţei de muncă în cadrul echilibrului
139
dinamic cu factori nesubstuibili........................................................................... 143
7.7.Modele neoclasice de creștere economică fără progres tehnic……………….......... 147
7.7.1. Modelul de creştere al lui Solow......................................................................... 148
7.7.1.1. Analiza calitativă a soluţiilor......................................................................... 149
7.7.1.2. Analiza cantitativă a soluţiilor....................................................................... 155
7.7.2. Noţiuni preliminare privind regula de aur a acumulării.................................... 158
7.8.Progresul tehnic şi modele neoclasice....................................................................... 161
7.8.1. Cîteva consideraţii privind sporirea contribuţiei progresului tehnico-ştiinţific
la creşterea economică.........................................................................................
7.8.2. Influenţa progresului tehnic asupra proporţiilor resurselor utilizate şi asupra
161
outputului………………………………………………………………………. 163
7.8.2.1. Tipuri de progres tehnic................................................................................. 165
7.8.2.2. Forme de exprimare a progresului tehnic neutru........................................... 168
7.8.3. Modele neoclasice cu progres tehnic neîncorporat…………………………….. 175
7.8.3.1. Modele cu funcții de producție cu coeficienți fixi……………………......... 175
7.8.3.2. Modele cu funcții de producție în care factorii sînt continuu
substituibili……………………………………………………………….... 178
7.8.3.2.1. Proiectarea pe termen lung a traiectoriei producției……………………... 178
7.8.3.2.2. Analiza cantitativă a stabilității traiectoriei pe termen lung a
producției……………………………………………................................
180
7.8.3.2.3. Proiectarea traiectoriei pe termen lung a fondurilor de producție per 186
5

capita ..........................................................................................................
7.8.3.3. Luarea în considerare a deprecierii fizice și morale a fondurilor………...... 189
7.9.Regula de aur a acumulării……………………………………………………........ 190
7.9.1. Definirea unor noțiuni specifice…………………………………….................. 191
7.9.2. Descrierea cazului particular al regulii de aur a acumulării……….................... 192
7.10. Prezentarea regulii de aur în forma genralizată……………………………….... 197
Bibliografie…………………………………………………………………………...... 201
8. Dinamica proceselor de reglare………………………………....................................... 202
8.1.Interpretarea dinamică a multiplicatorului lui Keynes și a schemei
reproducției………………………………………………………………………… 202
8.2.Condiția de convergență a matricei ………………………………………......... 204
8.3.Interpretarea dinamică a formulei fundamentale a teoriei reglării……………........ 206
8.4.Un exemplu de desfășurare în timp a unui proces de reglare…………………........ 210
8.5.Dinamica procesului reproducției………………………………………………...... 213
8.6.Schemele bloc ale proceselor dinamice………………………………………......... 215
8.7.Dinamica formării prețului de piață……………………………………………....... 218
8.8.Teoria stabilității sistemelor de reglare…………………………………………...... 221
8.8.1. Analiza generală a dinamicii proceselor de reglare…………………................. 221
8.8.2. Dinamica proceselor de reglare continui………………………………............. 223
8.8.3. Probleme practice de reglare…………………………………………............... 227
8.8.4. Un exemplu: problema reacției la stimulente………………………………...... 230
Bibliografie…………………………………………………………………………...... 236
9. Balanța legăturilor dintre ramuri…………………………….......................................... 237
9.1.Sistemul de balanțe al economiei naționale și conducerea planificată a
economiei……………………………………………………………………...........
9.2.Balanța legăturilor dintre ramuri – parte componentă a balanței economiei
237
naționale……………………………………………………………………………. 239
9.3.Balanța legăturilor dintre ramuri și conturile economiei naționale……………....... 241
9.4.Prezentarea modelului. Model deschis și model închis………………………......... 244
9.5.Modelul balanței legăturilor dintre ramuri în expresie naturală……………............ 247
9.6.Modelul balanței legăturilor dintre ramuri în expresie valorică……………............ 253
9.6.1. Schema și modelul matematic…………………………………......................... 253
9.6.2. Cazuri particulare………………………………………………........................ 260
9.6.3. Ajustarea coeficienților tehnologici………………………………..................... 263
9.7.Coeficienții repartizării producției……………………………………..................... 265
9.8.Analiza și interpretarea matricei ……….………………………….............. 268
9.9.Determinarea coeficienților cheltuielilor totale pe baza coeficienților de cheltuieli
directe și indirecte………………………………………………………….............. 279
9.10. Calculul coeficienților cheltuielilor totale prin iterații………………………….. 289
9.11. Legătura dintre balanța în expresie naturală și cea în expresie valorică………... 297
9.12. Metode de caracterizare a ansamblului economiei naționale………………….... 300
9.12.1. Schema lui Fr. Quesnay…………………………………………....................... 301
9.12.2. Prezentarea schemelor de reproducție ale lui Carl Marx, cu ajutorul balanței
6

legăturilor dintre ramuri………………………………………………………... 303
9.12.3. Modelul lui L. Walras………………………………………………………….. 308
9.12.4. Balanța economiei naționale a U.R.S.S. pentru anul 1923/1924……………..... 310
9.12.5. Metoda input – output………………………………………………………….. 312
9.13. Interpretarea cibernetică a balanței legăturilor dintre ramuri………………….... 314
Bibliografie…………………………………………………………………………...... 322
10. Analiza dinamică a legăturilor dintre ramuri……………………………………........... 323
10.1.Modelul dinamic al lui W. Leontief……………………………………………..... 323
10.2.Modelul dinamic al lui O. Lange………………………………………………..... 327
10.3.Influența structurii materiale a investițiilor asupra creșterii producției sociale…... 334
Bibliografie…………………………………………………………………………...... 339
Anexă………………………………………………………………………………....... 340
Elemente de calcul matricial……………………………………………………............ 340
A.1. Vectori și operații cu vectori……………………………………………............. 340
A.2. Algebra matricelor…………………………………………………………….... 350
A.3. Folosirea calculului matricial în descrierea procesului de fabricație………….... 381
A.4. Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu ajutorul calculului matricial………. 385
A.5. Ecuații caracteristice. Rădăcini caracteristice și vectori caracteristici………….. 390
Bibliografie…………………………………………………………………………...... 390
7

INTRODUCERE
Obiectul lucrării de față este analiza proceselor economice în limbajul simbolurilor, în
limbajul matematic. Mulți factori contribuie la dezvoltarea foarte lentă a teoriei economice. În
viziunea noastră știința economică ar fi avut soarta fizicii în dezvoltarea sa, dacă mai puțin ar fi
fost influențată de factorii politici și mai mult apela la un limbaj de expunere a conținutului, la
limbajul matematicii. Matematica pune într-o lumină nouă problemele economice, oferă un
instrument eficient și în aplicările practice, și în elaborările teoretice.
Una dintre cele mai tinere ramuri ale matematicii aplicative o constituie metodele
matematice în economie, numite metode economico-matematice.
Pînă la ce de al doilea război mondial au existat preocupări de a crea modele și metode
matematice în economie. Războiul a pus însă cu insistență problema mobilizării totale a tuturor
resurselor în bătălie încît toate ramurile matematicii care puteau oferi instrumente utile de calcul
în căutarea răspunsului la întrebarea: „care este modul optim de acțiune?‖, au fost solicitate să-și
dea contribuția. Rezultatul a fost o colecție de metode de optimizare, un început puternic de
dezvoltare a economiei bazat pe alte principii, concepte și modalități. După război s-a produs un
transfer util și rapid al metodelor matematice în domeniul economic. Metodele matematice stau
la baza gestiunii întreprinderilor, la studiul balanțelor economice, la elaborarea programelor de
dezvoltare economică a ramurilor, a economiei naționale. Metodele matematice cu succes pot fi
utilizate: în domeniul de natură economică, financiară, comercială, de organizare a producției, a
comportamentului uman etc.
În situația, cînd numărul populației este în creștere, iar volumul resurselor naturale
antrenate în circuitul economic în descreștere, problemele ecologice devin tot mai acute,
metodele matematice au încă „o ocazie‖ de dezvoltare considerabilă. Metodele matematice nu au
tendința de a se constitui într-o disciplină matematică distinctă, n-au obiectul său bine definit –
ele constau din aparate și procedee de o mare diversitate – pentru mulți cercetători ele continuă
să rămînă o simplă colecție fără nume și statut definitiv, o listă de simple procedee convenabile
în aplicații. În pofida caracterului eteroclit, metodele matematice, care au atîtea definiții cîți
autori se ocupă de ele, au remarcabile puncte comune. Toate se referă la probleme care au un
număr mare de soluții admisibile. Metodele matematice oferă procedee de selecție din spațiul
soluțiilor a unei singure soluții, care satisface una sau mai multe condiții. Aceasta este soluția
optimă.
Lucrarea de față cuprinde cele mai diverse procese economice expuse în limbajul
matematic.
Prin proces economic vom înțelege totalitatea indicatorilor și a metodelor de gestionare
economică.
Metodele economico-matematice, algoritmii pentru soluționarea problemelor examinate,
diversitatea domeniilor economice de unde sunt preluate problemele, pot servi un suport
bibliografic pentru efectuarea celor mai diferite lucrări.
Noțiunea de „model‖ provine de la cuvîntul latin „modulus‖, ceea ce înseamnă: mostră,
măsură. În prezent această noțiune are un sens mai larg și reprezintă un obiect, care cuprinde un
domeniu larg de metode utilizate pentru cunoașterea practică și științifică a diverselor obiecte de
studiu.
Prin model vom înțelege un proces sau fenomen reprezentat material sau imaginar care
înlocuiește obiectul originar.
Modelul poate fi considerat ca o reprezentare izomorfă a realității. Modelul, oferind o
imagine intuitivă și riguroasă în sensul structurii logice a fenomenului studiat, facilitează
descoperirea unor legități și legături imposibile sau greu de găsit pe alte căi.
După felul lor modelele pot fi:
8

modele matematice utilizate pentru rezolvarea unor modele fizice (reproducerea
fizică a situației reale);
modele verbale – descriptive (utilizate în toate disciplinile nematimatizate);
modele conceptual-matematice care reproduc realitatea obiectivă prin simbolica
riguroasă matematică, respectînd legitățile impuse de aceasta.
Situațiile economice pot fi exprimate prin modele economico-matematice. Gruparea
acestor modele poate fi făcută după următoarele criterii:
A. În funcție de sfera de reflectare a problematicii economice:
modele microeconomice – aplicate la nivel de întreprindere, trust, companie;
modele mezoeconomice – aplicate la nivel regional, teritorial;
modele macroeconomice – modele de ansamblu ale economiei.
B. În funcție de domeniul de proveniență și concepție:
modele cibernetico-economice (de reglare);
modele econometrice (de explicare a unor tendințe);
modele ale cercetării operaționale (permit obținerea soluțiilor optime pentru
fenomenul studiat);
modele de decizie (luînd în considerare mai multe criterii se determină soluția
eficientă);
modele de simulare (stabilesc modul de funcționare a obiectului studiat).
C. În funcție de caracterul variabilelor:
modele deterministe (mărimi cunoscute);
modele stochastice (mărimi care intervin cu o anumită probabilitate).
D. În funcție de factorul de timp:
modele statice (valabile pentru o anumită perioadă);
modele dinamice (utile pentru o perioadă de timp).
E. În funcție de proprietatea continuității:
modele discrete, secvențiale;
modele continue.
F. În funcție de sfera și structura proceselor de reflectare:
modele cu profil tehnologic;
modele informațional-decizionale;
modele ale relațiilor umane;
modele informatice.
Pentru elaborarea modelului matematic a unui proces concret studiat se parcurg
următoarele etape:
elaborarea modelului;
studierea modelului;
îmbunătățirea modelului inițial;
implementarea modelului.
9

Modelarea este o componentă a tratării cibernetice a proceselor economice și invers o
tratare sistemică este imposibilă fără formalizarea proceselor în limbaj matematic.
Modelarea matematică a unor procese economice în condiții de incertitudine, de totală
incertitudine, ne impune necesitatea de măsurare a incertitudinii. Modelarea matematică a
proceselor economice contribuie la integrarea cunoștințelor economice, la clasificarea și
sistematizarea acestora. Modelarea devine un fel de totalizare a cunoștințelor din economia
generală, macroeconomie, microeconomie, statistică, analiza matematică, algebră, teoria
probabilităților, programării matematice, statisticii etc.
Modelarea proceselor economice are un loc deosebit și foarte important în soluționarea
problemelor economice, în cercetările științifice.
10

CAPITOLUL I: MODELAREA MATEMATICĂ A PROBLEMELOR DE OPTIMIZARE
§ 1.1. METODE CLASICE DE OPTIMIZARE
Matematica clasică are ca instrumente principale de rezolvare a problemelor de extrem
calculul diferenţial şi calculul variaţiilor. Din păcate, aceste metode se dovedesc în foarte multe
cazuri inaplicabile; chiar în cazurile în care se pot aplica, ele oferă mai degrabă procedee
teoretice pentru obţinerea de soluţii analitice, decît procedee de calcul pentru aflarea soluţiilor
numerice dorite. Din acest motiv a fost necesar să se găsească procedee iterative de calcul
(algoritmi); datorită existenţei potenţialului de calcul al calculatoarelor electronice moderne,
aceşti algoritmi permit rezolvarea unor importante clase de probleme practice. Este instructiv să
arătăm în cîteva cuvinte care sînt dificultăţile pe care le întîmpinăm în rezolvarea problemelor de
extrem liber sau legat cu metodele clasice.
Problema
§ 1.1.1. CAZUL UNEI SINGURE VARIABILE
(1.1) ,
(1.2) ,
unde este derivabilă pentru orice , se rezolvă calculînd rădăcinile reale ale
ecuaţiei
care se numesc puncte staţionare ale funcţiei . Punctele de extrem (de maxim sau minim) se
află printre aceste rădăcini. Pentru a testa dacă un punct staţionar este punct de extrem, se
presupune că funcţia are derivate de ordinul al doilea în acest punct şi se trage concluzia că
este un punct de maxim sau minim relativ după cum , sau . Dacă ,
este posibil ca punctul să nu fie punct de extrem. Mai precis, dacă presupunem că
,
, , …, , , ,
atunci avem rezultatul următor: dacă este număr par, este punct de maxim sau de minim
după cum sau ; dacă este număr impar, atunci nu este punct de
extrem.
În fig. 1.1 este redat graficul unei funcţii pentru . Punctele staţionare
sînt , , …, . Dintre acestea, punctele de maxim relativ sînt , , ,
punctele de minim relativ sînt , , , , iar punctul nu este punct de extrem.
11

Punctul de maxim absolut este , iar punctul de minim absolut este . Prin urmare,
problema (1.1), (1.2) are singura soluţie optimă
f(x)
( ) x
0 α x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 β
Fig. 1.1
Dacă în locul condiţiei (1.2) impunem condiţia
(1.2ˊ) ,
problema (1.1), (1.2ˊ) se complică. Într-adevăr, în acest caz, punctele de extrem pot să
nu fie puncte staţionare, cum se vede în fig. 1.2, unde punctele staţionare sînt și
(respectiv maxim şi minim relativ), iar punctele și sînt respectiv minimul şi
maximul absolut, fără să fie puncte staţionare. Problema (1.1), (1.2ˊ) are în acest caz
singura soluţie optimă
. Prin urmare, rezolvarea problemei (1.1), (1.2ˊ) cere
compararea valorilor funcţiei nu numai în punctele de maxim (sau minim) relativ,
aflate prin anularea derivatei întîi, dar şi în punctele de la extremităţile intervalului
închis . Această dificultate este din ce în ce mai evidentă odată cu creşterea
numărului variabilelor şi devine un obstacol aproape imposibil de trecut cînd numărul
variabilelor este mare.
Există un caz simplu, în care anularea derivatei nu dă nici o informaţie despre
punctele de extrem, şi anume cazul în care este o funcţie liniară:
.
12

f(x)
[ ] x
0 α x1 x2 β
Fig. 1.2
Derivata este în acest caz , iar mulţimea punctelor staţionare este intervalul
închis dacă şi mulţimea vidă dacă . Înlăturînd deci cazul banal
, observăm că funcţia liniară nu are puncte staţionare,
f(x)
[ ] x
0 α β
Fig. 1.3
punctele sale de extrem aflîndu-se la extremităţile intervalului . În fig. 1.3 (pentru
cazul unei funcţii liniare crescătoare) punctul de minim absolut este , iar punctul de
maxim absolut este .
Proprietatea aceasta se menţine cînd numărul variabilelor este mai mare ca 1, iar
intervalul închis este înlocuit cu un poliedru convex.
Dacă funcţia nu este derivabilă, metoda expusă este evident inaplicabilă. Din păcate, în
13

multe probleme concrete apar funcţii nederivabile; acest fapt, pe lîngă multe altele, face necesară
cunoaşterea altor metode de optimizare.
Să considerăm problema
§ 1.1.2. CAZUL MAI MULTOR VARIABILE
(1.3) ,
unde este o funcţie diferenţiabilă pe o mulţime deschisă . Punctele staţionare ale
funcţiei se obţin ca soluţii ale sistemului
, ,
care este în general greu de rezolvat, chiar numeric. Punctele de extrem se află printre
punctele staţionare ale funcţiei ; pentru a testa dacă un punct staţionar este sau nu
punct de extrem, este necesar să se presupună că funcţia are derivate de ordinul doi
continue în vecinătatea punctului şi să se analizeze, dacă forma pătratică
este definită sau nedefinită. În primul caz punctul este punct de maxim sau de minim,
după cum sau ; în al doilea caz punctul nu este punct de extrem.
Dacă forma este degenerată, se ridică probleme deosebit de dificile. Dacă
funcţia nu are derivate parţiale continue în vecinătatea punctelor staţionare, testarea
optimalităţii punctelor staţionare devine un obstacol aproape imposibil de trecut, cînd
numărul variabilelor este mare. Este evidentă inaplicabilitatea acestei metode în cazul
unei funcţii nediferenţiabile, caz care se întîlneşte frecvent în practică. Încă şi mai
complicată devine rezolvarea problemei
(1.4) ,
(1.5) , .
Orice punct care este soluţie a sistemului de ecuaţii 1 :
(1.6) , ,
(1.7)
1 Se presupune că rangul matricei
este egal cu .
, ,
14

este numit punct staţionar condiţionat al funcţiei . Numerele reale , , care
apar în ecuaţia (1.7) sînt numite multiplicatori Lagrange. Dacă şi , , sînt
diferenţiabile în vecinătatea unui punct de extremum condiţionat, atunci punctul
este punct staţionar condiţionat, reciproca fiind în general falsă.
(1.5):
Dacă introducem funcţia lui Lagrange (lagrangianul) asociată problemei (1.4),
atunci sistemul de ecuaţii (1.1.1.6), (1.1.1.7) devine
(1.8)
(1.9)
, ,
, .
Printre punctele staţionare condiţionate obţinute din (1.8), (1.9) se află punctele
de extrem condiţionat. Verificarea optimalităţii se face tot cu ajutorul unei forme
pătratice în ipoteza că funcţiile şi au derivate parţiale continue de ordinul al doilea
în vecinătatea punctelor staţionare condiţionate.
În afara dificultăţilor deja semnalate privind presupunerile asupra proprietăţilor
de regularitate ale funcţiilor şi , trebuie să precizăm aici că unele restricţii sînt
destul de rar întîlnite în formularea problemelor cu caracter economic; în mod obişnuit
aceste restricţii sînt inecuaţii. În acest caz metodele clasice devin aproape imposibil de
aplicat. Într-adevăr, punctele de extrem pot să se afle în acest caz pe frontiera
domeniului închis
,
şi nu numai printre punctele staţionare aflate în interiorul domeniului , verificarea
optimalităţii fiind în acest caz foarte dificilă.
În cazul unei probleme de programare liniară, de exemplu, informaţia pe care o
căpătăm anulînd derivatele parţiale este nulă, toate punctele de extrem aflîndu-se pe
frontiera domeniului închis .
Metodele calculului diferenţial nu se pot aplica problemelor de un anumit tip,
întrucît acolo nu există posibilitatea variaţiei continue a variabilelor independente, cu
excepţia unor cazuri izolate, cînd această variaţie poate fi introdusă prin anumite
artificii. Observaţii asemănătoare se pot face şi în privinţa aplicabilităţii metodei
calculului variaţional clasic la probleme cu caracter economic.
Din cele remarcate mai sus în legătură cu posibilităţile şi limitele calculului
diferenţial clasic se pune în evidenţă necesitatea noilor metode de optimizare, metode
care reuşesc să suplinească, uneori în parte, alteori în totalitate deficienţele semnalate.
15
,

În cele ce urmează se va putea urmări modul în care diferite metode de optimizare
reuşesc această performanţă, limitele lor, precum şi necesitatea unor cercetări care să
permită abordarea unor noi clase de probleme nerezolvate.
§ 1.2. EXEMPLE DE PROBLEME,
CARE CONDUC LA PROGRAME LINIARE
§ 1.2.1. FOLOSIREA EFICIENTĂ A RESURSELOR LIMITATE
O problemă practică ce se pune deseori unui conducător de întreprindere este următoarea.
Avem la dispoziţie mai multe resurse (materie primă, forţă de muncă, maşini-unelte, resurse
financiare etc.) care ne sînt date în cantităţi limitate. Vom nota cu numărul de ordine al resursei
şi cu cantităţile disponibile din aceste resurse. Cu ajutorul acestor resurse se pot desfăşura mai
multe activităţi (de exemplu, procese de producţie). Vom nota cu numărul de ordine al
activităţii desfăşurate şi cu nivelul (necunoscut) la care trebuie să se desfăşoare această
activitate. De exemplu, dacă considerăm procesul de producţie care constă în fabricarea unui
anumit produs, vom nota cu cantitatea ce va fi produsă. Vom nota prin cantitatea din
resursa necesară pentru producerea unei unităţi din produsul (din activitatea în general).
Presupunem aici că nu depinde decît de tipul resursei ( ) şi de tipul produsului realizat ( ) şi
nu de cantităţile produse, ceea ce constituie evident o simplificare a situaţiei reale.
anume:
produse:
Cu aceste notaţii putem exprima acum cîteva mărimi care ne interesează foarte mult, şi
– cantitatea din resursa folosită pentru producerea cantităţii , care este ;
– cantitatea totală din resursa folosită pentru producţia totală formată din
Deoarece nu putem consuma din resursa mai mult decît cantitatea pe care o avem la
dispoziţie, trebuie să fie respectată condiţia
pentru fiecare resursă din cele resurse pe care le avem la dispoziţie, adică
(1.10)
Deoarece reprezintă cantitatea ce trebuie produsă din sortimentul , ea nu poate fi un număr
negative
(1.11) ,
.
.
16

adică poate fi numai un număr pozitiv sau nul (nenegativ).
Inecuaţiile (1.10) se numesc restricţiile problemei, iar (1.11) sînt condiţiile de
nenegativitate.
Sistemul de inecuaţii liniare (1.10), (1.11) poate avea o infinitate de soluţii, o soluţie
unică sau nici o soluţie (sistem contradictoriu sau incompatibil), cum se va vedea ulterior. Cazul
cel mai frecvent pentru problemele practice corect puse este cazul în care sistemul (1.10), (1.11)
are o infinitate de soluţii. Prin urmare, este posibil să organizăm procesele de producţie pentru
fabricarea sortimentelor j (1 ≤ j ≤ n) într-o infinitate de feluri, respectînd condiţiile de folosire a
resurselor limitate (1.10). Acest fapt face evidentă imposibilitatea practică a conducătorului de
întreprindere de a compara toate variantele de plan posibile pentru adoptarea unei decizii
adecvate.
Adoptarea unei variante de plan (lucrarea deciziei) se face pe baza unui criteriu
economic, ca, de exemplu, venitul sau beneficiul maxim. Dacă notăm prin cj preţul de vînzare al
unei unităţi din procesul j şi prin dj preţul de cost unitar pentru acelaşi produs 2 , atunci venitul
total realizat va fi
obținut va fi
sau
(1.12)
, iar cheltuielile de producție vor fi
, deci beneficiul
Problema care se pune este de a afla acea (acele) variantă de plan, adică acea (acele)
soluţie a sistemului de inegalităţi (1.10), (1.11), care dă beneficiului (1.12) valoarea maximă.
Această problemă economică devine în acest moment o problemă matematică:
(1.13)
(1.14)
(1.15) ,
care este o problemă de programare liniară sau un program liniar.
§ 1.2.2. O PROBLEMĂ DE TRANSPORT
2 Presupunem evident că atît preţul de vînzare, cît şi preţul de cost nu depind de cantitatea produsă, ceea ce
reprezintă o simplificare care în multe cazuri este prea departe de realitate.
,
,
17

Avem m centre de aprovizionare (depozite) şi n centre de consum (uzine, magazine etc.).
Dorim să determinăm un plan de transport pentru un produs omogen care se află în cantitatea ai
la depozitul i (1 ≤ i ≤ m) şi este cerut în cantitatea bj la depozitul j (1 ≤ j ≤ n). Să notăm prin xij
cantitatea (necuscută) ce va fi transportată de la depozitul i la centrul de consum j şi prin cij
preţul 3 transportului unei unităţi din produsul considerat de la depozitul i la centrul de consum j.
Se pot examina atunci următoarele mărimi:
(1.16)
– cantitatea transportată de la depozitul i la toate cele n centre de consum este
xi1 + xi2 + ... + xin;
– cantitatea transportată de la toate cele m depozite la centrul de consum j este
x1j + x2j + ... + xmj;
– costul transportului de la depozitul i la centrul de consum j este cijxij.
Prin cantitatea calculată mai sus reprezintă chiar cantitatea ai aflată la depozitul i şi deci
A doua cantitate necesarul la centrul de consum j:
(1.17)
O condiţie evidentă este
(1.18) xij ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Costul total al transportului de la toate depozitele la toate centrele de consum este
.
Pentru ca să se poată efectua transportul este necesar ca
Sistemul de ecuaţii liniare (1.16), (1.17) are în aceste condiţii o infinitate de soluţii.
Dintre acestea trebuie alese acelea care dau costului total de transport valoarea minimă. Obţinem
din nou un program liniar
(1.19)
(1.20)
(1.21)
.
(1.22) xij ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
care se numeşte program de transport.
Programe liniare de acelaşi tip să apară şi în alte ecuaţii. Dacă, de exemplu, este vorba de
aprovizionarea unui grup de uzine dirijate de un centru comun, atunci există m centre de
aprovizionare şi n puncte pe consum şi se cere determinarea unui plan de transport (xij), 1 ≤ i ≤
3 Se presupune deci implicit că acest cost unitar nu depinde de cantitatea transportată pe ruta respectivă.
.
.
;
.
.
18

m, 1 ≤ j ≤ n, care să minimizeze cheltuielile totale de transport
(1.23)
în condiţiile
(1.24)
(1.25)
(1.26) xij ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,
unde ai, 1 ≤ i ≤ m, sînt capacităţile centrelor de depozitare, bj, 1 ≤ j ≤ n, sînt cantităţile necesare
uzinelor, iar cij este costul unitar de transport de la depozitul i la uzina j. Condiţiile (1.24), (1.25)
au interpretări economice evidente. Pentru a exista soluţii, este necesar ca
Problema se poate pune şi invers, considerînd problema unui plan de transport de la mai
multe uzine i, 1 ≤ i ≤ m, la punctele de desfacere j, 1 ≤ j ≤ n. Dacă ai, 1 ≤ i ≤ m, reprezintă acum
capacităţile de producţie ale uzinelor, iar bj, 1 ≤ j ≤ n, reprezintă capacităţile de depozitare ale
punctelor de desfacere, se obţine un model similar în care grupurile de inecuaţii (1.24) şi (1.25)
se transformă prin schimbarea sensului inegalităţilor.
În sfîrşit, se poate include, în acest din urmă caz, şi cheltuielile de producţie, urmărind
minimizarea costului total de producţie şi transport; problema poate fi încă complicată acceptînd
centre intermediare de transport şi considerînd şi cheltuielile provenite din stocaj în aceste centre
şi în punctele de desfacere.
§ 1.2.3. UN PROGRAM DE PRODUCŢIE ŞI STOCAJ
În cursul a n luni trebuie produse ri, 1 ≤ j ≤ n, unităţi dintr-o anumită categorie. Un orar
normal permite un volum de producţie de i,, 1 ≤ j ≤ n, unităţi pe lună. Se poate prevedea o
producţie suplimentară de i, 1 ≤ j ≤ n, unităţi lunare.
Costurile unitare de producţie sînt ci, c'i lunar, respectiv în primul şi în al doilea caz.
Costul unitar de stocaj pe lună este d. Se cere să se afle cantităţile xi, , si, 1 ≤ i ≤ n, ce trebuie
produse în orar normal, în ore suplimentare, respectiv cantităţile stocate, astfel încît să fie
respectate condiţiile
(1.27)
(1.28) 0 ≤ xi ≤ i; 1 ≤ i ≤ n,
(1.29) 0 ≤ ≤ ; 1 ≤ i ≤ n,
(1.30) si ≥ 0; 1 ≤ i ≤ n,
şi să se obţină minimul cheltuielilor de producţie şi stocaj:
(1.31)
,
,
,
.
,
.
19

§ 1.2.4. PROBLEME DE AMESTEC
Una dintre primele probleme practice, formulată şi rezolvată ca problemă de programare
liniară, este aşa-numita problemă a dietei. Ea constă în aflarea unei diete dintr-un număr dat de
alimente, care să satisfacă anumite cerinţe biologice şi să fie în acelaşi timp cea mai ieftină.
Mai precis, fie aij cantitatea din principiu nutritiv i, 1 ≤ i ≤ m, conţinută într-o unitate din
alimentul j, 1 ≤ j ≤ n. Este necesar ca dieta să conţină cel puţin bi unităţi din principiul nutritiv i,
1 ≤ i ≤ m. Dacă cj, 1 ≤ j ≤ n, sînt costurile unei unităţi din alimentul j, problema constă în aflarea
cantităţilor xj, 1 ≤ j ≤ n, de alimente pe care trebuie să le cuprindă dieta, astfel încît să obţinem
minimul costului total
(1.32)
şi să fie respectate restricţiile
(1.33)
(1.34) xj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n.
Problemele de acelaşi tip apar atunci cînd se urmăreşte formarea unor amestecuri de
ingrediente, care să aibă anumite proprietăţi (specificate în fiecare caz concret) şi astfel o
caracteristică a amestecului să fie optimă dintr-un anumit punct de vedere. Probleme de dietă
apar, de exemplu, în alcătuirea raţiilor pentru animale în yootehnie, pentru calcularea
amestecului optim de îngrăşăminte în agricultură, în industria chimică pentru diverse amestecuri,
în industria petrolieră pentru amestecuri de benzină etc.
§ 1.2.5. UTILIZAREA OPTIMĂ A CAPACITĂŢII MAŞINILOR
Se pune următoarea problemă: o întreprindere produce mai multe produse care pot fi
fabricate pe aceeaşi maşină a cărei capacitate de producţie pe o perioadă este limitată; se cere un
program de producţie care să asigure utilizarea optimă a maşinilor.
Mai precis, uzina produce n produse distincte, care pot fi produse cu ajutorul a m maşini
(sau secţii de producţie) care au capacităţi limitate. Notăm aij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, procentul din
capacitatea maşinii i pe perioada considerată necesar pentru producerea unei unităţi din produsul
j, iar prin xj, 1 ≤ j ≤ n, numărul unităţilor din produsul j fabricate în cursul perioadei. Avem
restricţii de capacitatea de forma
(1.35)
şi problema se completează adăugînd la (1.35)
,
,
20

(1.36) xj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n,
(1.37)
unde cj sînt beneficiile unitare.
§ 1.2.6. O PROBLEMĂ DE INVESTIŢII
Avem la dispoziţie o sumă totală S care poate fi investită în diverse activităţi j, 1 ≤ j ≤ n,
fiecare producînd un anumit beneficiu unitar aj, 1 ≤ j ≤ n. Dacă xj, 1 ≤ j ≤ n, este suma investită
pentru activitatea j, problema este
(1.38)
(1.39)
(1.40) xj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n.
;
;
Problema poate fi complicată incă dînd anumite reguli suplimentare în legătură cu
posibilitatea de investiţie, cu existenţa unui risc al investiţiilor şi cu neliniaritatea beneficiului
total.
§ 1.2.7. REDUCEREA PIERDERILOR LA TĂIEREA MATERIALELOR
Vom considera o problemă simplă, care apare în activitatea de tăiere a hîrtiei la o fabrică
de celuloză, care produce rulouri de hîrtie de lăţime dată, depinzînd de caracteristicile maşinii.
Aceste ruoluri trebuie tăiate pentru a satisface comenzile beneficiarilor, ceea ce generează
anumite pierderi; problema este să se minimizeze aceste piederi. Să notăm prin ai, 1 ≤ i ≤ m, bi,
1 ≤ i ≤ m, respectiv lăţimea şi lungimea celor m rulouri comandate, iar prin l lăţimea ruloului
standart produs de maşină. Se determină toate combinaţiile posibile k, 1 ≤ k ≤ N, în care poate fi
tăiat ruloul standart pentru a obţine dik, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ N, rulouri de lăţime ai (evident 0 ≤ dik ≤
unde prin [x] se notează partea întreagă a lui x). Dacă se notează cu xk, 1 ≤ k ≤ N, lungimea
ruloului standart în cazul în care se aplică tăierea de tipul k, avem condiţiile
sau în forma standard*
(1.41)
xk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ N,
(1.42) xk ≥ 0, 1 ≤ k ≤ N;
(1.43) ≥ 0, 1 ≤ i ≤ m.
Dacă notăm cu ck, 1 ≤ k ≤ N, pierderea prin tăiere în cazul procedeului de tip k, pierderea
,
,
;
21

totală care trebuie minimizată va fi:
(1.44)
Formularea (1.41) – (1.44) presupune existenţa unei singure maşini; cazul mai multor
maşini este mai dificil.
§ 1.2.8. PROBLEME DE ORDONANŢARE
Pentru realizarea unei lucrări complexe este necesar să se execute activităţile parţiale i, 1
≤ i ≤ n, ale căror durate di, 1 ≤ i ≤ n, sănt cunoscute. Problema care se pune este să se afle
momentele ti, 1 ≤ i ≤ n, la care trebuie să înceapă realizarea activităţilor parţiale i,astfel încît să se
minimizeze timpul în care toate activităţile sînt terminate.
mai jos.
Să presupunem, de exemplu, că trebuie să avem îndeplinite condiţiile date în tabelul de
Activităţile
parţiale (i)
Cerinţele care trebuie satisfăcute
la începerea activităţii i
.
Durata în zile a
activităţii i
1 începe după 2 zile de la debutul lucrării 10
2 începe după 3 zile de la debutul lucrării 12
3 începe după 4 zile de la debutul lucrării 8
4 activităţile 1 şi 3 terminate 5
5 75% din activitatea 2 şi 20% din activitatea 4 terminate 15
6 Activităţile 2, 4 şi 5 terminate 14
Dacă notăm cu t0 momentul de debut al lucrării şi cu tf momentul în care se termină toate
activităţile, problema se poate scrie sub forma
adică este un program liniar.
t1 - t0 ≥ 2; t2 - t0 ≥ 3; t3 - t0 ≥ 4;
t4 – t1 ≥ 10; t4 – t3 ≥ 8; t5 – t2 ≥ 9;
t5 – t4 ≥ 1; t6 – t2 ≥ 12; t6 – t4 ≥ 5;
t6 – t5 ≥ 15; tf – t6 ≥ 14;
ti ≥ 0, 1 ≤ i ≤ 6;
min tf,
§ 1.3. ELEMENTE ALE PROGRAMĂRII LINIARE
§ 1.3.1. FORMA GENERALĂ A PRORAMELOR LINIARE
Din exemplele considerate rezultă că restricţiile unui program liniar pot fi inegalităţi de
22

forma ≤, inegalităţi de forma ≥ sau egalităţi. Variabilele care intervin într-un program liniar sînt
în mod obişnuit supuse condiţiei de nenegativitate, deşi pot exista cazuri în care trebuie să fie
nepozitive sau oarecare. În sfîrşit, funcţia obiectiv poate fi minimizată sau maximizată. Forma
generală a unui program liniar este deci următoarea:
(1.45) min (max) [ x 1 + x 2 + x 3 ],
A11x 1 + A12x 2 + A13x 3 ≥ b1,
A21x 1 + A22x 2 + A23x 3 ≥ b2,
A31x 1 + A32x 2 + A33x 3 ≥ b3,
x 1 ≥ 0, x 2 ≤ 0, x 3 oarecare,
unde x¹ şi x² sînt vectori ale căror componente sînt supuse condiţiilor de nenegativitate şi
nepozivitate respectiv, iar x³ este vectorul ale cărui componente sînt numere reale oarecare.
Un program liniar în care toate restricţiile sînt ecuaţii şi toate variabilele sînt supuse
condiţiei de nenegativitate se numeşte program liniar în forma standart. Un astfel de program
liniar are deci forma
min (max) (c'x),
(1.46) Ax = b, x ≥ 0.
Un program liniar are forma canonică atunci cînd este scris sub forma
min c'x, max c'x
sau
(1.47) Ax ≥ b, Ax ≤ b,
x ≥ 0, x ≥ 0.
O restricţie a unui program liniar este numită concordantă dacă este o inegalitate de tipul
≥ într-o problemă de minimizare sau o inegalitate de tipul ≤ într-o problemă de maximizare. Un
program liniar are deci forma canonică dacă toate restricţiile sînt concordante şi toate variabilele
sînt supuse condiţiei de nenegativitate.
Programele liniare în forma standard sau în forma canonică sînt aparent mai puţin
generale decît forma (1.45). Vom arăta în cele ce urmează că, în realitate, toate formele indicate
sînt echivalente în sensul că orice program liniar se poate aduce la forma standart sau la forma
canonică, folosind următoarele transformări echivalente:
(a) sensul unei inegalităţi se schimbă prin înmulţire cu – 1;
(b) transformarea inecuaţiilor în ecuaţii: o inecuaţiei de forma a'x ≤ b poate fi scrisă
ca o ecuaţie a'x + y = b, introducînd o variabilă (numită variabilă ecart, variabilă abatere sau
variabilă de compensare) y ≥ 0; o inecuaţie de forma a'x ≥ b se transformă în ecuaţia a'x - y = b
prin scăderea variabilei ecart y ≥ 0; variabilele ecart nu apar în funcţia obiectiv (adică apar cu
coeficienţi nuli);
23

a'x ≥ b;
(c) o ecuaţie a'x b este echivalentă cu două inegalităţi de sens contrar: a'x ≤ b şi
(d) o variabilă supusă condiţiei de nepozivitate (adică x ≤ 0) se transformă într-o
variabilă nenegativă prin substituţia x' = - x;
(e) o variabilă oarecare x (adică o variabilă căreia nu i se impune restricţie de semn)
se poate înlocui cu două variabile nenegative x' şi x'' legate prin relaţia x = x' - x'';
(f) deoarece
o problemă de minimizare se poate transforma într-o problemă de maximizare şi invers,
schimbînd semnele coeficienţilor din fucţia obiectiv.
Exemplu. Să se aducă la forma standart şi la forma canonică următorul program liniar:
min (2x1 – x2 + 4x3),
2x1 – x2 = 10,
x1 + 2x2 ≥ 1,
2x1 – x2 – 3x3 ≤ - 2,
x1 ≥ 0, x2 oarecare, x3 ≤ 0.
Înlocuid variabila oarecare x2 cu diferenţa a două variabile nenegative x2 = x4 – x5, făcînd
substituţia x3 = - x6 şi introducînd variabilele ecart x7 şi x8 în cele două inecuaţiiale problemei,
obţinem forma standard
min (2x1 – x4 + x5 - 4x6),
2x1 – x4 + x5 = 10,
x1 +2x4 - 2x5 – x7 = 1,
2x1 – x4 + x5 +3x6 + x8 = - 2,
x1, x4, x5, x6, x7, x8 ≥ 0.
Pentru a aduce problema la foma canonică vom transforma prima ecuaţie în două
ineciuaţii de sens contrar; pentru ca toate inecuaţiile problemei să fie concordante vom înmulţi
cu -1 toate inecuaţiile de forma ≤ deoarece problema este de minimizare. Făcînd aceleaşi
înlocuiri ale variabilelor x2 şi x3, obţinem forma canonică
min (2x1 – x4 + x5 - 4x6),
2x1 – x4 + x5 ≥ 10,
-2x1 + x4 - x5 ≥ -10,
x1 + 2x4 - 2x5 ≥ 1,
-2x1 + x4 - x5 – 3x6 ≥ 2,
x1, x4, x5, x6 ≥ 0.
,
24

§ 1.3.2. INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A UNEI PROBLEME
DE PROGRAMARE LINIARĂ
O interpretare geometrică a unei probleme de programare se poate obţine simplu în cazul
cînd problema are numai două variabile şi se prezintă sub forma canonică. Orice problemă de
programare liniară care conţine numai două variabile se poate rezoşva „grafic‖; deşi lipsită de
importanţă practică, o astfel de rezolvare este foarte instrucivă şi permite utilizarea unui şimbaj
intuitiv comod, care se poate extinde destul de uşor la cazul general a n variabile.
Exemplu. Să considerăm problema sub forma canonică:
(1.48) max (0,5x1 + x2)
x1≤ 2
(1.49) x1 + x2 ≤ 3
-x1 + x2 ≤ 1
x1, x2 ≥ 0
Ecuaţiile x1 = 2, x1 + x2 = 3, -x1 + x2=1 sînt drepte în planul cu axele de coordonate Ox1,
Ox2 fig.(4) şi împart planul în semiplane. Semiplanul x1 ≤ 2 determinat de dreapta (CD): x1 = 2
este cel în care se află originea O (0, 0). Toate punctele situate pe figură la dreapta dreptei CD
(adică semiplanul x1 > 2) au drept coordonate numerele (x1, x2) care nu pot fi soluţii ale
sistemului (1.49). înzr-o manieră analoagă sîntem conduşi la concluzia că toate punctele (x1, x2)
care aparţin semiplanelor –x1 + x2 > 1 sau x1 + x2 > 3 nu pot fi soluţii ale sistemului (1.49).
condiţiile de nenegativitate x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 sînt reprezentate prin semiplanele care conţin sensurile
pozitive ale axelor Ox1 şi respectiv Ox2. Punctele care aparţin poligonului OABCD au deci drept
coordonate soluţiile sistemului (1.49).
Mai general, mulţimea soluţiilor sistemului
xj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n,
poate fi considerată ca intersecţia celor m + n semispaţii determinate de hiperplanele
corespunzătoare:
xj ≥ 0, 1 ≤ j ≤ n.
,
,
25

A(0, 1)
O(0, 0)
δ
B(1, 2)
x1 + x2 =d
x1 + x2 = max (
C(2, 1)
D(2, 0)
Fig. 1.4
Este clar că o interpretare grafică este în general imposibilă, dar limbajul geometric poate
fi extins în mod natural.
Dreapta
(1.50) 0,5x1 + x2 = d
va fi numită curbă de nivel a fucţiei obiectiv. Distanţa dintre origine şi dreapta (2.41) este
. Evident, valoarea maximă a lui d (adică a funcţiei obiectiv) este obţinută atunci
cînd δ are valoarea maximă. Cum soluţia optimă (x1, x2) satisface atît sistemul (2.40) cît şi
ecuaţia (2.41), este clar că dreapta (2.41) trebuie să aibă un punct în comun cu poligonul OABCD
astfel încît δ să fie maxim. Aceste condiţii sînt satisfăcute evident de coordonatele punctului B;
deci, 1 = 1, 2 = 2.
Se observă din acest exemplu că soluţia optimă a unei probleme de programare liniară
este unul din vîrfurile tronsonului soluţiilor, proprietatea care, aşa cum vom vedea ulterior, este
generală. Pentru exemplul considerat aici, tronsonul soluţiilor este poligonul OABCD din fig.4.
Dacă schimbăm funcţia obiectiv (2.39) cu alta este posibil ca soluţia optimă a problemei să fie un
vîrf al poligonului. În acest caz cînd curbele de nivel ale funcţiei obiectiv sînt drepte paralele cu
una dintre laturile poligonului, soluţiile optime sînt în număr infinit, corespunzînd punctelor de
pe latura poligonului paralelă cu curba de nivel a funcţiei obiectiv. De exemplu, pentru problema
maximizării funcţiei obiectiv
)
26

(1.51) max (x1 + x2)
în condiţiile (1.49), curbele de nivel
(1.52) x1 + x2 = d
sînt drepte paralele cu latura (BC) şi deci soluţiile optime sînt vîrfurile B(1,2), C(2,1) sau orice
punct (x1, x2)interior segmentului BC.
Exemplul 2. Pentru problema de programare liniară
(1.53) max (x1 + x2), x1 - x2 ≥ 0,
(1.54) 0,5x1 + x2 ≥ 0
x2
x1, x2 ≥ 0,
x1 + x2 = d
O (0,0) x1
Fig. 1.5
mulţimea soluţiilor este reprezentată în fig.5; curbele de nivel ale funcţiei obiectiv (1.53) sînt
drepte care au în comun cu tronsonul definit de (1.54) un segment, oricît de mare ar fi distanţa de
la aceste drepte la origină. Prin urmare, funcţia obiectiv poate lua valori oricît de mari, adică are
valoare optimă infinită.
Exemplul 3. Este uşor de văzut că, dacă la restricţiile problemei de programare liniară
(1,48), (1.49) adăugăm restricţia
x1 + x2 ≥ 4,
problema obţinută nu are nici o soluţie admisibilă.
Din cele trei exemple date rezultă că o problemă de programare liniară are un program
optim (şi deci valoarea optimă a funcţiei obiectiv este finită), sau valoarea funcţiei obiectiv este
infinită, sau nu are programe.
§ 1.3.3. PROGRAME DE BAZĂ
Să considerăm un program liniar în forma standard:
,
27

(1.55) min c'x,
Ax = b,
x ≥ 0,
unde matricea A cu m linii şi n coloane are rangul egal cu m, adică vectorii ai = (ai1, ..., ain)', 1 ≤ i
≤ m, sînt liniar independenţi. Presupunem în plus că m < n deoarece, în caz contrar, ar exista o
singură soluţie admisibilă a sistemului (1.55) şi optimizarea este banală.
DEFINIŢIA 1. Vectorul x = (x1, ..., xn)' este numit soluţie de bază a problemei (1.55)
dacă sînt îndeplinite următoarele condiţii:
1. vectorul x este soluţie a sistemului Ax = b;
2. coloanele matricei A care corespund componentelor nenule ale vectorului x sînt
vectori liniar independenţi.
DEFINIŢIA 2. Soluţia de bază x este numită admisibilă dacă toate componentele
vectorului x sînt nenegative 4 .
DEFINIŢIA 3. Soluţia (admisibilă) de bază x este numită nedegenerată dacă are exact
m componente nenule şi degenerată în caz contrar.
DEFINIŢIA 4. O matrice pătrată nesingulară B formată cu m coloane ale matricei A
este numită bază.
Fie x B vectorul format cu variabilele asociate coloanelor unei baze B extrasă din matricea
A; componentele vectorului x B sînt numite variabile de bază. Fie x S vectorul care conţine
variabilele nebazice şi fie S matricea formată cu coloanele rămase din matricea A după
extragerea bazei B. Sistemul de ecuaţii Ax = b poate fi scris de asemenea sub forma următoare:
(1.56) Bx B + Sx S = b.
Este clar că fiecărei baze B îi corespunde soluţia de bază x B = B -1 b, x S = 0. Înmulţind (1.61) la
stînga cu inversa matricei B, obţinem
(1.57) x B = B -1 b - B -1 Sx S .
Prin urmare, soluţia de bază x B = B -1 b, x S = 0 care corespunde bazei B se poate obţine din relaţia
(1.57) punînd x S = 0.
Dacă soluţia de bază x este nedegenerată, atunci coloanele matricei A corespunzătoare
celor m componente nenule ale lui x formează evident o bază. Dacă soluţia de bază x este
degenerată, atunci există în general mai multe baze cărora le corespunde această soluţie de bază.
4 O soluţie admisibilă va fi numită de asemenea program.
28

Importanţa programelor de bază în programarea liniară va fi pusă în evidenţă de cele
două teoreme care urmează.
TEOREMA 1. Dacă programul liniar (1.55) are un program, atunci el are cel puţin un
program de bază.
Demonstraţie. Fie x un program al problemei (1.55). Să notăm prin p numărul
componentelor pozitive ale vectorului x. Fără a restrоnge generalitatea, putem presupune că cele
p componente diferite de zero ale vectorului x sînt chiar primele p componente, adică x = (x1
. . . , xp, 0 , . . . , 0)'.
Dacă p = 0, atunci x = 0. Deoarece x = 0 este în mod evident o soluţie admisibilă de bază,
teorema este demonstrată în acest caz.
Dacă p > 0, sînt două posibilităţi:
a) Coloanele a 1 , . . . , a p ale matricei A, care corespund celor p componente nenule ale
vectorului x, sînt liniar independente. Prin urmare, x este program de bază pentru (2.46) şi
teorema este demonstrată şi în acest caz.
b) Vectorii a 1 , ..., a p sînt liniar dependenţi. În acest caz, conform definiţiei, există
numerele y 1 , y 2,…,yp, nu toate nule, astfel încît să avem satisfăcută relaţia
(1.58) a¹y + … + a p yp = 0.
Dacă notăm prin y vectorul cu primele p componente y 1 , y 2 , ..., y p, iar următoarele n — p
componente nule, adică y = (y1 , y 2 , . . . , y p , 0 , . . . , 0)', relaţia (1.58) se mai poate scrie sub
forma Ay = 0 cu y ≠ 0. Este clar că avem atunci
(1.59) A(x+λy) = Ax + λAz = b
pentru orice număr real λ; cu alte cuvine x+λy este soluţie a sstemului de ecuaţii Ax = b pentru
orice număr λ ϵ R . Putem acum determina valori ale lui λ pentru x +λy ≥ 0. Să notăm pentru
aceasta prin I1 mulţimea indicilor i,1 ≤ i ≤ m, pentru care yi > 0 şi I2 mulţimea indicilor i, 1 ≤ i ≤
m, pentru care yi < 0. Fie
(1.60)
(1.61)
-∞, dacă ,
+∞, dacă .
Este atunci clar că pentru orice λ pentru care
≤ min ( - λ1, λ2)
avem îndeplinită şi condiţia x + λy ≥ 0. Putem alege acum o valoare λ0 pentru care vectorul x +
,
,
29

λ0y să aibă cel mult p – 1 componente pozitive. Într-adevăr, putem lua λ0 = - λ1 dacă λ2 = + ∞ şi
λ0 = λ2 dacă λ1 = - ∞.
Coloanele corspunzătoare componentelor pozitive ( în nmăr de cel mult p – 1) ale
programului x + λ0y pot fi sau liniar independente ( cazul (a) studiat mai sus) sau liniar
dependente. Înultimul caz se reia raţionamentul de mai sus; într-un număr finit de etape vom
ajnge la caul (a) şi vom obţine deci un program de bază.
TEOREMA 2. Dacă problema de programare liniară (1.55) are un program optim,
atunci are un program optim de bază.
Demostraţie. Fie x un program optim care are primele p component positive. Ca şi în
teorema precedent, pentru p = 0 rezultatul se obţine imediat. Dacă p > 0, atunci avem de
considerat două cazuri:
(a) Vectorii a 1 , a 2 , …, a p sînt dependenţi. În acest caz demostraţia este determinată
deoarece x este chiar program de bază.
(b) Vetorii a 1 , a 2 , …, a p sînt liniar dependenţi. Ca şi în demonstraţia teoremei
precedente, rezultă că există un vector y = (y1, y2, …, yp, 0, …, 0)', astfel încît să avem
îndeplinită condiţia Ay = 0 cu y ≠ 0 şi deci x + λy este soluţie a sistemului de ecuaţii Ax = b
pentru orice număr real . Dacă în plus alegem λ sufficient de mic, adică, mai precis, ≤ min (-
λ1, λ2), rezultă că x + λy este chiar program; λ1 şi λ2 sînt numerele definite mai sus, în
demostraţia teoremei precedente, de (1.60) şi (1.61).
Deoarece x este program optim şi x + λy este program, rezultă
c'x ≤ c'x + λ c'y,
de unde obţinem λ c'y ≥ 0. Nu putem avea c'y ≠ 0, deoarece, alegînd λ de semn contrar lui c'y,
am obţine λ c'y < 0. Rezultă atunci că c'y = 0, ceea ce arată că x + λy este de asemenea cu o
unitate numrul componentelor positive ale programului optim x + λy, alegînd în mod convenabil
valoarea lui λ(λ = λ0). Dacă un număr finit de etape ajungem la cazul (a), adică obţinem un
program de bază optim.
§ 1.3.4. O METODĂ DE REZOLVARE A PROBLEMELOR
DE PROGRAMARE LINIARĂ
Din rezultatele obţinute mai sus rezultă că pentru aflarea programelor optime putem
proceda în modul următor:
(a) Determinăm toate soluţiile de bază ale sistemului de m ecuaţii cu n necunoscute
(m ≤ n), dintre care unele sînt admisibile, adică sînt programe de bază.
30

(b) Comparăm valorile funcţiei obiectiv pentru aceste programe de bază şi
determinăm soluţia (sau soluţiile) optimă.
Exemplu. Să rezolvăm prin metoda expusă mai sus problema de programare liniară:
max (x1 + x2),
4x1 + x2 ≤ 16,
x1 + 3x2 ≤ 15,
x1, x2 ≥ 0.
Introducînd variabilele ecart y1, y2 ≥ 0, obţinem forma standart a acesteio probleme de
programare liniară
max (x1 + x2),
4x1 + x2 + y1 = 16,
x1 + 3x2 + y2 = 15,
x1, x2, y1, y2 ≥ 0.
Numărul maxim al bazelor corespunzătoare matricei probleme de programare liniară este
şi corespunde numărului combinărilor de m = 2 coloane ale matricei A care pot fi selectate
pentru formarea unei baze. Soluţiile de bază ale problemei noastre sînt date în tabelul de mai jos.
Acest tabel conţine de asemenea valorile funcţiei obiectiv care corespund acestor soluţii de bază.
Valoarea maximă a funcţiei obiectiv este egală cu 7 şi programul optim este x1 = 3, x2 = 4.
Variabilele de bază Soluţia de bază Valoarea funcţiei obiectiv
(x1, x2) (3, 4) 7
(x1, y1) (15, -44) -
(x1, y2) (4, 11) 4
(x2, y1) (5, 11) 5
(x2, y2) (16, -33) -
(y1, y2) (16, 15) 0
Trebuie să observăm aici că numărul maxim al soluţiilor de bază (adică n!/m!(n - m)!)
creşte foarte repede odată cu creşterea lui m şi n, ceea ce face dificilă aplicarea acestei metode.
BIBLIOGRAFIE:
Mircea Malița, Corneliu Zidăroiu, Matematica organizării, ediția a doua, Editura
Tehnică, București, 1975.
31

CAPITOLUL II : MODELE TIPICE DE PROGRAMARE
Vom începe expunerea sistematică a teoriei programării cu examinarea unei serii de
scheme (modele) tipice pe care le utilizează această teorie pentru rezolvarea unor probleme din
domeniul economiei. Cu acest prilej, ne vom limita numai la formularea problemelor, fără a
prezenta metodele de rezolvare numerică a lor. Scopul pe care vi-l propun aici este de a înfățișa
domeniul de aplicare a teoriei programării, fără a intra în tehnica utilizării ei.
§ 2.1. PROBLEMA INTINERARULUI ÎNCHIS 5
Să presupunem că pe o hartă sînt notate patru oraşe: , , și . În oraşul se află
sediul unei firme comerciale, de unde aceasta trimite un voiajor comercial cu sarcina de a vizita
oraşele , și şi de a se reîntoarce în oraşul . Traseul voiajorului poate fi diferit, dar întrucît
numărul oraşelor este egal cu 4, numărul de ,,ordini‖ (moduri de succesiune) în care acestea pot
fi vizitate 6 este egal cu . Este lesne de arătat că în cazul în care numărul de
oraşe este egal cu , numărul de trasee diferite reprezintă .
Problema constă în alegerea dintre toate traseele posibile a acelui traseu care face să fie
minime cheltuielile de transport ale voiajorului comercial. Cu acest prilej se presupune că
cheltuielile de transport , între două localităţi luate în mod arbitrar, sînt
cunoscute. Fără a micşora gradul de generalitate a problemei, se poate considera că cheltuielile
de transport dintr-o localitate în alta sînt proporţionale cu distanţa dintre ele. În acest caz,
problema se reduce la aflarea celui mai scurt traseu al voiajorului comercial.
Cel mai simplu, această problemă poate fi rezolvată prin ,,metoda încercărilor şi eroilor‖,
bazată în cazul de faţă pe calcularea cheltuielilor voiajorului comercial pentru transportul pe
fiecare traseu posibil. Să încercăm să soluţionăm problema pentru patru oraşe; să admitem că
cheltuielile de trasport (exprimate, de pildă, în zloţi) între două oraşe oarecare – proporţionale cu
distanţele dintre aceste oraşe – sînt egale cu numerele înscrise pe schiţa şi în tabelul (matricea)
cheltuielilor, pe care le prezentăm mai jos:
5
În literatura americană, această problemă poartă denumirea de problema voiajorului comercial (the travelling
salesman problem).
6
În cazul nostru, ,,ordinile‖ de vizitare a oraşelor pot fi următoarele: ; ; ; ;
şi .
32

A
B
C
D
A C D
0
12
14
23
12
0
17
25
14
17
0
30
23
25
30
0
B
25 12 17
23
D 30 C
Fig. 2.1
Cheltuielile de transport pe diferite trasee sînt următoarele:
,
,
.
Este lesne de înţeles că cheltuielile de trasport în sens contrar, adică pe celelalte trei
trasee: , și sînt de asemenea egale, respectiv cu 82, 81 și 79.
Aceasta se explică prin faptul că în exemplul nostru tabelul cheltuielilor este simetric în raport cu
diagonala sa principală. Aceasta înseamnă că, de pildă, cheltuielile de trasport pe traseul sînt
egale cu cheltuielile de trasport în sens contrar, adică pe traseul .
Din calculul pe care l-am prezentat rezultă că traseele şi sînt trasee
optime deoarece cu acest prilej scopul propus se realizează cu cheltuieli minime de mijloace.
Dar utilizarea acestei metode de soluţionare a problemei itinerariului închis este posibilă
numai în cazul în care numărul de oraşe pe care trebuie să le viziteze voiajorul comercial este
mic. Într-adevăr, dacă avem, de pildă 12 oraşe, numărul itinerarelor posibile reprezintă
şi deci chiar în condiţiile matricei simetrice a cheltuielilor ar trebui să se efectueze
, adică aproape 20 de milioane de calcule. Este limpede că utilizarea metodei ,,încercărilor şi
eroilor‖ pe care am înfăţişat-o mai înainte devine în asemenea cazuri practic imposibilă. De
aceea este necesar să se găsească metode care să permită să se soluţioneze această problemă în
mod simplificat 7 .
Să încercăm acum să formulăm problema itinerarului închis, în limbaj matematic.
7
Problema voiajorului comercial în forma sa generală nu a fost rezolvată pînă în prezent. Există metode de
rezolvare a ei pentru cazurile în care matricea cheltuielilor este simetrică ( , pentru ) și
metode aproximative de rezolvare, pentru cazurile în care matricea cheltuielilor este nesimetrică. Unii autori care sau
ocupat de această problemă au emis ipoteza că nu există o metodă universală de rezolvare a problemei voiajorului
comercial în formă generală.
A
14
33

Să admitem că s-au stabilit oraşe pe care trebuie să le viziteze un voiajor comercial şi
că cheltuielile de transport din oraşul în oraşul sînt prezentate în matricea:
Problema constă în determinarea traseului optim al voiajorului comercial, adică a unui
traseu în care cheltuielile de transport din oraşul numărul 1 prin toate celelalte oraşe şi cu
reîntoarcerea în oraşul numărul 1 să fie minim.
Să notăm cheltuielile pentru etapele succesive ale călătoriei dintr-un punct în altul cu .
Din condiţiile problemei rezultă că indicele poate lua succesiv valorile: , iar
indicele – valorile . Indicii pot reprezenta permutări ale
numerelor .
Cheltuielile totale ale voiajorului comercial pentru călătoria pe un anumit traseu pot fi
notate în forma următoare:
,
unde indici şi ai elementelor acestei sume formează una din grupele de numere posibile,
stabilite mai sus:
și .
Dacă, de pildă, şi traseul trece succesiv prin oraşele notate cu , atunci
cheltuielile totale ale voiajorului comercial sînt:
Problema se reduce la aflarea acelei permutări de numere , pentru
care:
Din această formulare matematică a problemei rezultă în mod limpede că este foarte
dificil să se găsească o metodă generală de rezolvare a ei.
Încă din acest prim exemplu de problemă – problema voiajorului comercial – se
conturează o anumită schemă după care se formulează problemele de teorie a programării.
Înainte de toate, observăm că datele problemei (în exemplu nostru – cheltuielile de trasport dintr-
un oraş în altul) sînt prezentate sub formă matricială. În afară de aceasta, există o anumită funcţie
obiectiv , care trebuie făcută minimă sau maximă cu ajutorul unei alegeri corespunzătoare a
variabilelor din problemă.
În problema voiajorului comercial, variabilele au un caracter specific. Ele sînt diverse
.
.
.
.
34

permutări ale numerelor , care repezintă numerele oraşelor pe care trebuie să le
viziteze voiajorul comercial. În afară de aceasta, variabilele trebuie să întrunească unele condiţii
suplimentare (aşa-numitele condiţii auxiliare); în cazul nostru, permutările indicelui al
elementelor funcţiei obiectiv încep cu , iar permutările indicelui se termină cu .
În sfîrşit, trebuie să remarcăm că schema problemei voiajorului comercial (lucru valabil şi
pentru alte probleme pe care le vom examina în continuare) se aplică şi în alte domenii ale
programării, care aparent nu au nimic comun cu schema care a servit la construirea modelului
examinat.
1 2 3 4 5
TRANSPORT
§ 2.2. PROBLEMA DE
În literatura referitoare la teoria programării, problema de transport este prezentată în
diverse variante; una dintre variantele cele mai simple o vom examina în paragraful de faţă.
Să admitem că există trei întreprinderi producătoare (de pildă, de maşini agricole), care
aprovizionează cinci puncte de desfacere (de pildă, cooperative săteşti).
Întreprinderi
producătoare :
Puncte de
desfacere
200 500 300
150 50
1
100 400
Fig. 2.2
100 200
Fiecare întreprindere are un anumit volum al producţiei, să presupunem 200, 500 şi 300 de
unităţi şi există o anumită regulă de repartiţie a producţiei totale (1 000 de unităţi) între punctele
de desfacere (vezi schema). Se pune problema cum trebuie expediată producţia diferitelor
întreprinderi la punctele de desfacere, în aşa fel încît cheltuielile de transport să fie minime. Dacă
admitem cu acest prilej că cheltuielile de transport sînt proporţionale cu distanţa dintre
întreprindere şi punctele de desfacere, atunci problema constă în minimizarea volumului
transporturilor, în tone-kilometri 8 .
1 2 3
2 3 4 5
8 Această problemă poate fi formulată şi în alt mod. Poate fi vorba nu de determinarea numărului minim de tone-
35

Uneori rezolvarea problemei poate fi simplă, bazîndu-se pe metoda ,,încercărilor şi
eroilor‖, îndeosebi etunci cînd intră în joc un număr mic de producători şi puncte de desfacere.
Pe măsură ce numărul acestora se măreşte, problema se complică.
matematic.
Să examinăm această problemă în forma sa generală şi s-o formulăm în limbaj
Să presupunem că numărul de întreprinderi care fabrică produsele respective reprezintă
, iar numărul punctelor de desfacere a acestor produse este egal cu . Să notăm cu
cantitatea de produse în tone, expediată în decurs, să zicem, de un an
din întreprinderea , în punctul de desfacere . Mărimile formează matricea repartizării
producţiei
...
...
.....................................
...
Să admitem pentru simplificare că . Aceasta înseamnă că transporturile de
produse merg într-un singur sens (de la întreprindere spre punctele de desfacere), adică nu există
restituiri ale unei părţi a produselor de la punctele de desfacere la întreprindere.
Să observăm că rîndurile matricei repartiţiei reprezintă producţia expediată din
întreprinderea respectivă spre diferitele puncte de desfacere, iar coloanele matricei reprezintă
cantitatea de produse obţinute de punctul de desfacere respectiv de la diferitele întreprinderi.
Unele elemente ale matricei repartiţiei pot fi, evident, egale cu zero. Dacă, de pildă, ,
aceasta înseamnă că întreprinderea în general nu-şi expediază producţia sa spre punctul de
desfacere .
Să admitem mai departe că cheltuielile unitare pentru transportul producţiei de la
întreprinderi la punctele de desfacere sînt cunoscute. Să presupunem că aceste cheltuieli
formează următoarea matrice a cheltuielilor:
kilometri, ci de minimizarea numărului de vagoane de cale ferată angajate pentru transport, a numărului de
autocamioane ş.a.m.d.
...
...
.....................................
...
36

Mărimea reprezintă cheltuielile de transport al unei tone de produse de la
întreprinderea la punctul de desfacere . Dacă presupunem că cheltuielile de transport sînt
proporţionale cu distanţa pe care se efectuează transportul, atunci – după cum s-a arătat mai
înainte, se poate admite că elementele matricei cheltuielilor exprimă distanţele dintre punctele
respective. Din condiţiile problemei rezultă în mod evident că toate elementele matricei
cheltuielilor satisfac condiţia .
Să admitem mai departe că fiecare întreprindere are o anumită capacitate de producţie, de
pildă anuală, şi că necesităţile anuale ale diferitelor puncte de desfacere
reprezintă . Atunci, după cum lesne ne putem convinge, obţinem următoarele
ecuaţii 9 :
(2.1)
(2.2)
Să observăm că numărul de ecuaţii (2.1) şi (2.2) reprezintă . Dar dacă avem în
vedere faptul că producţia totală a tuturor întreprinderilor este egală cu cantitatea totală de
produse, obţinută de punctele de desfacere, adică
.
, atunci printre cele ecuaţii
(2.1) şi (2.2), numai sînt independente. Aceasta înseamnă că dacă sînt date
ecuaţii ale sistemelor (2.1) şi (2.2), atunci ecuaţia a acestui sistem poate fi aflată ca o
combinaţie a celor ecuaţii date.
Deoarece cheltuielile de transport ale produselor de la întreprinderea la punctele de
desfacere reprezintă , cheltuielile totale pentru transportul produselor de la întreprinderi
la punctele de desfacere reprezintă:
Problema constă în determinarea necunoscutelor (a elementelor matricei repartiţiei),
care să satisfacă condiţia:
(2.3) ,
pentru care cheltuielile sînt minime, adică:
(2.4)
fiind totodată satisfăcute condiţiile suplimentare exprimate prin ecuaţiile (2.3) şi (2.4).
Să examinăm mai amănunţit schema matematică prezentată a problemei de transport. Pe
baza acestui exemplu observăm în primul rînd că problemele de programare se reduc la
maximizarea sau minimizarea unei anumite funcţii, numită funcţie obictiv şi că pentru fiecare
program care urmăreşte minimizarea funcţiei obiectiv se poate întocmi un aşa-numit program
9 Simbolul
înseamnă că însumarea se extinde asupra tuturor elementelor cu indicele . Aceasta este forma
prescurtată a simbolului .
.
,
37

dual, care maximizează o altă funcţie; invers, pentru programul care maximizează funcţia
obiectiv se poate întocmi un program dual care minimizează o altă funcţie.
Înlocuirea unui program dat printr-un program dual se efectuează prin transformarea
corespunzătoare a funcţiei obiectiv. Dacă, de pildă, în problema de repartiţie pe care o examinăm
introducem calculul profitului unui trust care se ocupă cu producţia şi distribuţia unui produs dat,
atunci profitul total al acestui trust – dacă admitem că preţurile şi cheltuielile specifice de
producţie, de transport etc. sînt constante –, ar depinde de programul de repartiţie a producţiei
diferitelor întreprinderi între diferitele puncte de desfacere. Nivelul maxim al profitului se atinge,
în aceste condiţii, prin minimizarea cheltuielilor de transport. Minimizarea acestor cheltuieli este
echivalentă cu maximizarea profitului.
Această propritate a programării, numită dualitate este o proprietate generală a schemelor
de programare. Ea decurge din existenţa a două variante de aplicare a principiilor economicităţii.
Acum să examinăm mai îndeaproape condiţiile (2.1), (2.2) şi (2.3) care creează anumite
restricţii pentru variabilele . Să remarcăm în primul rînd
faptul că condiţiile (2.1) şi (2.2), prezentate în formă de egalitate, pot fi înlocuite prin inegalităţi.
Atunci condiţia
ar însemna, de pildă, că nu este obligatoriu ca întreaga producţie a
întreprinderii să fie expediată spre punctele de desfacere. În acest caz, ar fi vorba de problema
,,stocurilor‖ pe care am evitat-o pentru a nu complica problema pe care o examinăm. În mod
analog, condiţia înseamnă că la punctele de desfacere se pot crea stocuri.
Condiţiile (2.1) şi (2.2), sub formă de egalităţi sau inegalităţi, prin caracterul şi sensul lor
sînt definite, de obicei, ca nişte condiţii (relaţii) de echilibru 10 , iar restricţiile de tipul (2.3) se
numesc condiţii de nenegativitate (de extrem) 11 . Acest ultim termen este legat de reprezentarea
grafică a modelelor de programare de care ne vom ocupa mai jos.
În orice problemă de programare joacă un rol deosebit condiţiile de echiliru, prezentate
sub formă de ecuaţii, deoarece ele limitează numărul necunoscutelor pe care le putem liber alege.
Rezolvînd, de pildă, o problemă de repartiţie oarecare, trebuie să aflăm necunoscute
. Dar întrucît aceste necunoscute trebuie să satisfacă
ecuaţii de echilibru, de aici ar rezulta că avem libertatea de a alege numai
necunoscute. Dar calculînd gradele de libertate în acest exemplu concret trebuie să introducem o
anumită corecţie. Într-adevăr, după cum s-a arătat mai sus, din însăși formularea problemei
10 În original, warunki bilansowe – N.T.
11 În original, warunki brzegowe – condiţii de delimitare, de extrem; am preferat însă expresia mai directă „condiţii
de nenegativitate‖ – N.T.
38

ezultă că dintre cele ecuaţii de echilibru (2.1) şi (2.2), sînt independente numai
. De aceea, în ultimă analiză, putem alege numai necunoscute,
ceea ce exprimăm atunci cînd spunem că avem grade de libertate.
Ecuaţiile de echilibru (2.1) şi (2.2), precum şi condiţiile de nenegativitate determină, ca să
ne exprimăm în limbaj geometric, domeniul soluţiilor admisibile, care are
grade de libertate. Dintre aceste soluţii admisibile se aleg acele soluţii care fac minimă (sau
maximă) funcţia obiectiv.
Vom remarca în continuare că, în exemplul examinat, atît ecuaţiile de echilibru (2.1) şi
(2.2), cît şi funcţia obiectiv (2.4) sînt relaţii liniare în raport cu necunoscutele . În asemenea
cazuri, problema cercetată face parte din programarea liniară. Dacă funcţia obiectiv sau relaţiile
de echilibru sînt neliniare, atunci problema face parte din programarea neliniară.
La prima vedere s-ar părea că problemele de programare liniară se rezolvă mai uşor decît
problemele de programare neliniară. Dar această părere nu corespunde realităţii. Este adevărat că
în programarea liniară este mai uşor să se formuleze matematic problema, însă calculele de
rezolvare sînt, de regulă, mai dificile decît în cazul problemelor de programare neliniară. Aceasta
se datoreşte mai ales faptului că în programarea liniară nu este cu putinţă să se aplice calculul
diferenţial pentru aflarea valorilor extreme ale funcţiei obiectiv.
§ 2.3. PROBLEMA DE TRANSPORT A LUI KOOPMANS
Să examinăm o altă variantă, istoriceşte mai veche, a problemei de transport, de care,
pentru prima dată, s-a ocupat cunoscutul economist T. C. Koopmans 12 . Problema studiată de
Koopmans se referă la trasporturile de materiale de război, efectuate în periada celui de-al doilea
război mondial, din S.U.A. în Anglia şi retur. Dar întrucît cantităţile de produse transportate în
cele două sensuri erau diferite, navele circulau de multe ori goale sau incomplet încărcate. Avînd
în vedere şi faptul că transporturile pe mare ale aliaţilor se aflau sub ameninţara submarinelor şi
a aviaţiei germane se punea problema asigurării unei asemenea utilizări a mijloacelor de
transport încît să se reducă la minimum capacitatea de transport neutilizată (în tone-kilometri) şi
implicit să se reducă pierderile de nave.
Deşi istoriceşte problema de transport a lui Koopmans a avut un caracter tactico-militar,
12 T. C. Koopmans, Optimum Utilization of the Transportation System, în „Econometrica‖, 1949 (Supplement).
Vezi, de asemenea, T. C. Koopmans, S. Reiter, A Model of Transportation, în culegerea Activity Analysis of
Production and Allocation, New York, 1951. Problema de transport a lui Koopmans este examinată, de asemenea,
în cartea O. Lange, Wstep do ekonometrii, Varşovia, 1961, p. 284 și urm.
39

ea poate fi considerată – după cum a făcut mai tîrziu însuşi Koopmans – şi ca o problemă
economică. Fapt este că reducerea capacităţii de transport neutilizate a navelor măreşte
rentabilitatea transporturilor maritime. Fireşte că soluţia optimă a acestei probleme pe plan
mondial ar fi posibilă numai în cazul în care ar exista o formă oarecare de administrare
internaţională a navelor şi de dirijare a transporturilor maritime. În sfîrșit, trebuie să adăugăm că
modelul lui Koopmans poate să-şi găsească aplicare nu numai în transportul maritim, dar şi în
transportul feroviar, în cel auto, precum şi în alte domenii similare.
Vom da formularea matematică a acestei probleme.
Să presupunem că există porturi din care se expediază şi în care sosesc încărcături. Să
notăm cu un volum dat de mărfuri expediate (exprimate, de pildă, în tone), iar cu – un
volum dat de mărfuri care se aduc în decursul unei anumite perioade în portul .
Să admitem că se cunosc şi distanţele și dintre porturi (exprimate, de pildă, în kilometri). Aceste
porturi pot fi notate sub forma unei matrice
Să notăm cu volumul efectiv de mărfuri care urmează să fie transportate din portul
în portul , iar cu – capacitatea de încărcare a vaselor care circulă din portul în portul .
Mărimile şi (pentru ) se pot nota, de asemenea, sub forma unor matrice:
...
...
……………………….
...
Necunoscutele din problemă sînt mărimile , adică capacitatea de
încărcare a navelor ce vor fi trimise din portul în portul .
Funcţia obiectiv va stabili mărimea ,,transporturilor goale‖, adică mărimea tonajului
neutilizat al navelor. Mărimea tonajului neutilizat pe traseul dintre portul şi portul va
reprezenta ; ca atare, mărimea capacităţii de transport neutilizate pe toate traseele (în
tone-kilometri) va reprezenta:
...
...
……………………….
...
.
...
...
……………………….
...
40

Problema examinată constă în a face ca
Condiţiile auxiliare pe care trebuie să le satisfacă necunoscutele pot fi notate sub
forma următoarelor ecuaţii:
(2.5)
şi
(2.6)
Ecuaţia (2.5) ne arată că tonajul total al navelor trimise dintr-un port oarecare în toate
celelalte porturi trebuie să fie egală cu . În mod analog, ecuaţia (2.6) arată că tonajul total al
navelor sosite într-un port oarecare din toate celelalte porturi trebuie să fie egală cu .
Trebuie să menţionăm că – întocmai ca în problema de repartiţie (§ 4) – dintre cele
ecuaţii de echilibru (2.5) şi (2.6), numai ecuaţii sînt independente. Aceasta se explică
prin faptul că
, adică tonajul total al navelor care pleacă din toate porturile este egal
cu tonajul total al navelor care sosesc în toate porturile. Întrucît problema are ,
necunoscute , 13 dar există ecuaţii de echilibru independente,
numărul gradelor de libertate reprezintă .
În afară de relaţiile de echilibru există de asemenea condiţii de nenegativitate ce pot fi
notate sub forma următoare:
(2.7) ,
în care condiţia înseamnă că tonajul vaselor care pleacă din portul spre portul
trebuie să fie mai mare sau egal cu cantitatea de mărfuri care urmează a fi transportată pe acest
traseu.
Aceasta este formularea matematică a modelului lui Koopmans. Din această formulare se
vede că modelul lui Koopmans este o problemă de programare liniară, deoarece atît funcţia
obiectiv , cît şi ecuaţiile de echilibru (2.5) şi (2.6) sînt relaţii liniare în raport cu necunoscutele
. Dar această problemă poate fi uşor transformată într-un model de programare neliniară dacă,
de pildă, în locul distanţei între porturi, introducem cheltuielile de transport cu menţiunea că
aceste cheltuieli nu cresc direct proporţional, ci mai lent decît distanţele. Această problemă poate
13 Numărul de necunoscute în cazul general este egal cu , însă este egal cu zero, dacă
, adică dacă mărimile se află pe diagonala matricei tonajului navelor.
.
.
41

fi uşor înlocuită printr-o problemă duală, luînd ca funcţie obiectiv rentabilitatea totală a tuturor
transporturilor pe plan mondial. În acest caz, problema de minimizare a tonajului neutilizat al
navelor ar fi înlocuită printr-o problemă de maximizare a rentabilităţii totale a transporturilor.
§ 2.4. PROBLEME DE REPARTIŢIE
Problema de transport intră în clasa vastă a problemelor de programare, care se numesc
probleme de repartiţie. Vom elucida caracterul general al acestor probleme luînd ca exemplu
repartizarea unor maşini-unelte în vederea executării unor anumite operaţii elementare de
prelucrare a unor piese.
Să presupunem că avem la dispoziţie maşini-unelte pentru aşchierea metalelor care pot
executa operaţii diferite (strunjire, găurire, şlefuire etc.) şi că cu ajutorul acestor maşini-unelte
trebuie să prelucrăm o serie de piese (de pildă, să executăm anumite piese de maşini). Problema
constă în a repartiza aceste piese la diferite maşini-unelte în aşa fel încît efectul total al
prelucrării să fie maxim.
Să notăm productivitatea maşinii-unelte pentru executarea operaţiei cu . Această
productivitate trebuie într-un fel măsurată, de pildă în unităţi băneşti şi atunci reprezintă
mărimea, în expresie bănească, a efectului funcţionării maşinii-unelte pentru executarea
operaţiei , de pildă în decursul unei ore. Mărimile pot fi
prezentate sub forma unei matrice a productivităţii
de produsul dintre timpul de funcţionare al acestei maşini-unelte şi productivitatea ei: .
42
...
...
.....................................
...
Necunoscute în această problemă sînt mărimile , care
stabilesc cît timp trebuie să execute maşina-unealtă operaţia . Aceste necunoscute, al căror
număr se ridică la mn pot fi prezentate sub forma matricei repartizării pe operaţii:
...
...
.....................................
...
Mărimea efectului funcţionării maşinii-unelte la executarea operaţiei este determinată

Prin urmare, mărimea totală a efectului funcţionării tuturor maşinilor-unelte va reprezenta
. Problema constă tocmai în a face maximă funcţia obiectiv astfel determinată:
Să precizăm condiţiile auxiliare ale problemei. Vom menţiona în primul rînd faptul că
fiecare maşină-unealtă , în decursul perioadei în care examinăm întregul
proces (o zi, o săptămînă ş.a.m.d.) are un anumit timp maxim de funcţionare . De aceea, timpul
total de funcţionare al maşinii-unelte, pentru executarea unei operaţii oarecare
problemei
(2.8)
(2.8´)
, trebuie să reprezinte . În felul acesta vom obţine primele ecuaţii de echilibru ale
Ecuaţia de echilibru (2.8) poate fi înlocuită cu inegalitatea de forma
dacă admitem posibilitatea utilizării incomplete a timpului maxim de funcţionare a maşinilor-
unelte.
(2.9)
Un alt grup de condiţii auxiliare se notează sub forma ecuaţiei de echilibru
care arată că fiecare operaţiei poate fi executată la oricare dintre maşinile-unelte, însă după un
anumit timp, dinainte stabilit, egal cu .
Aşadar, funcţia obiectiv trebuie să fie maximizată cu respectarea condiţiilor (2.8) şi
(2.9), care în total sînt în număr de . Este lesne să constatăm că, şi în acest caz, numărul
ecuaţiilor de echilibru independente este mai mic cu o unitate şi reprezintă . Într-
adevăr, din condiţiile problemei rezultă că timpul total de funcţionare a tuturor maşinilor-unelte,
pentru executarea tuturor operaţiilor, trebuie să fie egal cu:
1) suma timpului maxim de funcţionare a tuturor maşinilor-unelte, adică
și
2) suma timpului necesar pentru executarea tuturor operaţiilor, adică
Din ultimile două ecuaţii rezultă că
Aşadar, dacă se dau ecuaţii de echilibru (2.8) şi (2.9), atunci din ele se poate
determina şi ecuaţia de echilibru .
Întrucît în problema examinată există necunoscute şi ecuaţii de echilibru
independente, problema are grade de libertate.
Condiţiile de extrem ale acestei probleme arată că necunoscutele care caracterizează
repartiţia operaţiilor nu pot fi negative:
.
.
,
.
,
.
43

(2.10) .
Schema prezentată a repartiţiei maşinilor-unelte pentru executarea diferitelor operaţii
poate fi aplicată în mod analog şi în alte probleme de teorie a programării, de pildă la
repartizarea suprafeţelor cu o fertilitate diferită pentru diferite culturi (grîu, sfeclă, cartofi etc.)
sau în problema repartizării lucrătorilor de calificare diferită (şi implicit cu o productivitate a
muncii diferită) la executarea diferitelor lucrări.
În problema de repartiţie a terenurilor între diferite culturi, necunoscutele vor
reprezenta numărul de hectare destinate pentru cultura .
Mărimile vor reprezenta suprafaţa totală de teren , iar – planul de însămînţări cu cultura .
Şi în acest caz, producţia la hectar a culturii pe terenul trebuie exprimată în unităţi băneşti,
pentru ca ele să poată fi comparabile şi pentru ca să se poată construi funcţia obiectiv, care în
cazul de faţă va fi venitul total maxim de pe terenurile respective.
Şi aici se poate elabora un program dual, presupunînd, de pildă, că venitul de pe
terenurile respective este dinainte determinat şi este constant, după ce am cercetat ca suprafeţe
trebuie să afectăm pentru diverse culturi, în aşa fel încît cheltuielile pentru întreţinerea acestor
culturi să fie minime.
În problema de repartiţie a lucrători pentru executarea a lucrări diferite,
necunoscutele vor arăta ce număr de unităţi de timp (de pildă, ore) este ocupat lucrătorul cu
efectuarea lucrării . Productivitatea muncii va reprezenta efectul muncii lucrătorului (în
expresie bănească), care execută lucrarea într-o unitate de timp. Problema constă în aflarea
mărimii , adică a unei asemenea repartizări a lucrătorilor pe
diferite operaţii încît valoarea lucrării executate de ei să fie maximă.
Aici este deosebit de interesant cazul cînd , adică atunci cînd numărul diferitelor
categorii de lucrări este egal cu numărul de lucrători. Această problemă ar putea fi definită cu
ajutorul dictonului „om potrivit la loc potrivit‖.
Problema repartiţiei o vom ilustra încă o dată luînd un exemplu din lucrarea profesorului
W. Sadowski 14 .
Într-o secţie mecanică, există trei maşini-unelte pentru aşchierea metalelor , și ,
la care pot fi executate patru tipuri de piese , , și . Condiţiile tehnice de executare a
acestor piese la diferite maşini-unelte se dau în partea mijlocie a tabelului pe care-l prezentăm
mai jos unde mărimile cunoscute arată timpulnecesar pentru executarea piesei la maşina :
14 Wieslaw Sadowski, Krotki rys rozwoju badan operacyjnych, în cartea Metody matematyczne w organizacji i
ekonomice przedsiebiorstwa, Varşovia, 1960, p. 16 și urm.
44

0,5 0,6 0,2 1,5
1,0 0,7 0,1 1,1
0,8 0,9 0,3 0,9
100 500 2 000 1 000
3 000
2 500
2 800
Tabelul conţine de asemenea o coloană suplimentară în care se indică timpul maxim
posibil de utilizare a diferitelor maşini , în decursul perioadei respective, de pildă
un an, precum şi un rînd suplimentar în care se indică timpul , necesar pentru
confecţionarea pieselor de tipul , , și . Mărimile , și sînt exprimate în ore.
Problema constă în repartiţia optimă a sarcinii de prelucrare a pieselor la diferitele
maşini-unelte, adică în a găsi acele mărimi , care reprezintă timpul de funcţionare a maşinii ,
la confecţionarea piesei , pentru ca variabila (adică timpul total de funcţionare a tuturor
mașinilor unelte) să fie minim, adică:
Dacă admitem că cheltuielile de exploatare a unei maşini-unelte sînt proporţionale cu
timpul ei de funcţionare, atunci înmulţit cu un factor constant – fapt care nu va influenţa asupra
soluţiei problemei – va reprezenta cheltuielile pentru executarea tuturor pieselor. Dacă
cheltuielile de exploatare la diferitele maşini-unelte (într-o unitate de timp, de pildă în decursul
unei ore) ar fi diferite şi ar reprezenta , și , atunci termenii sumei care determină mărimea
ar trebui, respectiv, înmulţiţi cu , și .
formă:
Relaţiile de echilibru (condiţiile suplimentare) de primul tip au în acest caz următoarea
relaţiile de tipul al doilea:
iar condiţia de nenegativitate:
Inegalităţile din condiţiile de echilibru de tipul al doilea înseamnă că timpul de
,
,
,
,
.
.
,
,
,
45

funcţionare a diferitelor maşini-unelte poate fi utilizat incomplet.
§ 2.5. PROBLEME DE AMESTEC
Există o vastă clasă de probleme de programare, cunoscute sub denumirea generală de
probleme de amestec sau de substituţie. Să examinăm acest tip de modele de programare luînd
un exemplu simplu, cunoscut sub denumirea de problema dietei, care istoriceşte face parte dintre
problemele care au fost soluţionate printre cele dintîi cu ajutorul metodelor programării liniare 15 .
Un grup de persoane (de pildă o subunitate militară) trebuie aprovizionată cu alimente,
prin procurarea a produse alimentare (pîine, carne, legume etc.) care conţin, în diferite
proporţii, substanţe nutritive (proteine, hidraţi de carbon, vitamine etc.). să admitem că
reprezintă cantitatea din substanţa nutritivă cuprinsă într-
o unitate de greutate (de pildă, într-un kilogram) din produsul alimentar (de pildă, 2 mg de
vitamine într-un kilogram de roşii).
Să admitem, mai departe, că preţurile unitare ale diferitelor produse alimentare sînt egale
cu ; se ştie de asemenea că fiecare persoană, în decursul unei anumite
perioade (de pildă într-o zi), trebuie să primească cel puţin din fiecare
substanţă nutritivă.
Problema constă în a alcătui cea mai ieftină raţie, adică o asemenea listă de produse
alimentare în expresie cantitativă (cantităţile sînt egale cu ) încît cheltuielile
pentru procurarea lor să fie minime, adică:
Minimizarea funcţiei obiective trebuie să se efectueze cu îndeplinirea următoarelor
condiţii de echilibru:
şi a condiţiei de nenegativitate
Primele condiţii decurg din recomandările dietece: ele înseamnă că cantitatea din fiecare
substanţă nutritivă cuprinsă în toate produsele alimentare
.
.
.
nu poate fi mai mică de
15 Problema dietei şi soluţionarea ei pentru un caz simplu ( ) sînt examinate în carte O. Lange, Wstep
do ekonometrii, Varşovia, 1961, p. 296 şi urm.
46

Trebuie să adăugăm că problema dietei, soluţionată teoretic încă în perioada celui de-al
doilea război mondial, nu şi-a găsit o aplicare mai largă în alimentaţia oamenilor, probabil din
cauză că raţia alcătuită pe baza unei asemenea scheme se dovedea insuficient de variată. În
schimb, metoda descrisă mai sus a fost utilizată la hrana animalelor.
Am menţionat mai sus că problema alcătuirii celei mai ieftine raţii alimentare este un caz
particular al problemei generale a amestecurilor; această problemă apare atunci cînd există
posibilitatea amestecării unor elemente diferite cu proprietăţi similare şi a înlocuirii unor
elemente cu altele. Un exemplu tipic de acest gen îl constituie alcătuirea celor mai economicoase
amestecuri de benzine pentru motoarele cu piston sau pentru cele cu reacţie.
Se ştie că există diverse tipuri de benzine care se deosebesc prin puterea calorică, prin
temperatura de aprindere, prin gradul de rafinare etc. Se ridică problema elaborării celui mai
ieftin amestec al acestor tipuri de benzine, cu condiţia ca anumite caracteristici tehnice ale
acestor amestecuri să fie superioare (sau inferioare) unor anumite mărimi dinainte stabilite. În
mod analog se pune problema alcătuirii celui mai ieftin amestec de diferite sorturi de cărbune
pentru încălzirea cazanelor cu abur ş.a.m.d. Din categoria problemelor de amestec face parte şi
un anumit tip de probleme de substituţie; un exemplu de problemă de acest gen îl poate constitui
studierea eficienţei înlocuirii unor mijloace de producţie cu altele, în scopul realizării unui efect
de producţie optim.
§ 2.6. O PROBLEMĂ DINAMICĂ: DESFĂŞURAREA PRODUCŢIEI ŞI STOCURILE
Problema desfăşurării producţiei şi crearea stocurilor, precum şi cîteva probleme ce vor fi
examinate în continuare fac parte din categoria de probleme de care se ocupă aşa-numita
programare dinamică. Problema pe care o vom descrie în paragraful de faţă constă în repartiţia
optimă a producţiei şi a stocurilor în timp 16 , astfel încît să fie satisfăcute necesităţile care apar în
decursul perioadei respective, de pildă în decursul unui an.
Să presupunem că există o întreprindere care produce un anumit produs (de pildă,
îngrăşăminte minerale, ciment, bere etc.), cererea la aceste produse fiind supusă unor oscilaţii
sezoniere 17 . Să presupunem că repartiţia sezonieră a cererii este cunoscută şi ea reprezintă, pe
16 În opoziţie cu problemele dinamice, problemele care nu implică repartiţia necunoscutelor în timp poartă
denumirea de probleme statice. Exemple de probleme statice au fost examinate mai înainte (§ 1 – § 5).
17 Extinderea producţiei şi mărirea corespunzătoare a stocurilor pot fi determinate nu numai de modificările
sezoniere ale cererii la produsele respective. Să luăm un exemplu: să presupunem că în planul cincinal sînt stabilite
necesităţile de ciment şi pe această bază trebuie să întocmim un plan cincinal al producţiei de ciment. Am putea
întocmi un plan al producţiei, în mod mecanic, admiţînd că dimensiunile producţiei, pe ani, trebuie să corespundă
47

luni:
Să presupunem că se cunoaşte mărimea stocului de produse la începutul primei luni, .
Să notăm volumul producţiei întreprinderii pe luni prin:
Dacă în luna respectivă s-a produs mai mult decît necesarul , atunci în luna
respectivă stocul de produse se măreşte cu . Dacă în luna respectivă s-a produs mai puţin
decît este necesar , atunci depăşirea necesităţii în comparaţie cu producţia ,
trebuie acoperită din stoc.
Mai departe vom nota cheltuielile specifice pentru lărgirea producţiei, în luna respectivă
în comparaţie cu luna precedentă, cu
iar cu
notăm cheltuielile specifice pentru depozitarea produselor. În componenţa cheltuielilor de
depozitare poate intra, de pildă, şi dobînda pentru imobilizarea în stocuri a mijloacelor financiare
ale întreprinderii. Vom releva de asemenea faptul că cheltuielile specifice pentru lărgirea
producţiei pot varia de la o lună la alta, ele pot depinde şi de proporţiile
creşterii producţiei în luna respectivă.
Mărirea stocurilor de produse pe luni reprezintă , iar sporul producţiei este
egal cu . Vom adăuga că sporurile şi pot fi negative sau
egale cu zero. Dacă , aceasta înseamnă că în luna respectivă s-a înregistrat un „spor
negativ‖, adică o micşorare a stocului. Dacă , aceasta înseamnă că volumul producţiei în
luna este mai mic decît în luna .
Întrucît cheltuielile pentru sporirea producţiei în luna reprezintă , cheltuielile pentru
sporirea producţiei pe toate lunile anului sînt egale cu
producţiei şi depozitarea sporului stocului de produse vor reprezenta:
(2.11)
,
.
.
. Cheltuielile totale pentru lărgirea
Problema constă în alcătuirea unui asemenea program de producţie încît cheltuielile totale
ale întreprinderii, determinate prin această formulă, să fie minime .
strict necesităţilor din anii respectivi. Dar un asemenea procedeu ar fi greşit dacă necesităţile s-ar repartiza, în timp,
în mod neuniform şi ar fi deosebit de ridicate, de pildă, în anul al patrulea al perioadei planificate. S-ar putea să fie
mai avantajoasă creșterea treptată a producției încă din primii ani ai perioadei planificate și crearea stocurilor pentru
acoperirea necesităților sporite din anul al patrulea, decît creșterea bruscă a producției de ciment tocmai în acest an.
.
48

Condiţiile de echilibru şi condiţiile de nenegativitate ale problemei pot fi notate sub
forma următoarelor ecuaţii şi inegalităţi:
(2.12) ,
(2.13)
(2.14) .
Sensul expresiei (2.12) a fost explicat mai sus. Din această condiţie rezultă că sporul
stocului în expresia (2.12) poate fi aflat scăzînd din volumul producţiei , obţinute în
perioada respectivă, satisfacerea necesităţilor pentru aceeaşi perioadă. Condiţia (2.13)
înseamnă că în nici o lună volumul stocurilor nu poate fi negativ; este nivelul iniţial al
stocurilor, iar suma
anului pînă la sfîrşitul lunii .
arată cu cît s-au mărit ori s-au micşorat stocurile de la începutul
Condiţia (2.14) este evidentă; ea înseamnă că în nici o lună volumul producţiei nu poate
fi o mărime negativă.
Rezolvarea problemei dinamicii producţiei şi a stocurilor într-o asemenea formulare
matematică se reduce la aflarea volumului producţiei în diferite luni, în
condiţiile unor mărimi date ale necesităţilor în fiecare lună a cheltuielilor specifice pentru
sporirea producţiei ci şi a cheltuielilor specifice pentru depozitare .
Să examinăm mai în amănunt soluţia acestei probleme a cărei interpretare grafică este
dată sub forma histogramei din fig. 2.3.
Din grafic se vede că stocul de produse apare în cazurile în care „coloana producţiei‖
este mai înaltă decît „coloana necesităţilor‖ . În lunile în care se ajunge la o situaţie inversă,
adică atunci cînd mărimea este superioară mărimii corespunzătoare , o parte a necesităţilor
se acoperă din stocul iniţial sau din surplusurile apărute în lunile precedente.
Vom remarca în continuare că dacă depozitarea n-ar necesita cheltuieli, adică dacă
, iar modificarea volumului producţiei ar necesita cheltuieli, adică dacă , atunci ar fi
optim acel program în care volumul producţiei este constant şi, fireşte, stabilit la un asemenea
nivel încît în nici o lună să nu apară un deficit de produse, adică în orice lună producţia curentă
împreună cu stocul creat anterior să acopere necesităţile curente. Şi, dimpotrivă, dacă
modificarea volumului producţiei nu ar necesita cheltuieli, adică dacă , iar cheltuielile de
depozitare , atunci ar fi optim acel program în condiţiile căruia, în fiecare lună, se produce
exact atît cît reprezintă necesităţile din luna respectivă.
În realitate, sînt necesare, de regulă, anumite cheltuileli atît pentru depozitarea stocurilor,
cît şi pentru modificarea volumului producţiei.
,
49

0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 T =12 luni
Fig. 2.3.
Prin urmare, există o anumită soluţie de compromis pentru cazuri extreme descrise mai înainte;
cu alte cuvinte, există un anumit program de producţie optim, determinat de volumul producţiei
, care asigură cheltuieli totale minime pentru depozitarea stocurilor şi pentru
modificarea volumului producţiei. Producţia urmăreşte într-un fel necesităţile şi se adaptează
(însă nu în întregime) la necesităţile probabile. Cu cît sînt mai mici cheltuielile de depozitare, cu
atît sînt mai mici oscilaţiile volumului producţiei pe luni în raport cu un anumit nivel. Şi,
dimpotrivă, dacă cheltuielile pentru modificarea volumului producţiei în comparaţie cu
cheltuielile de depozitare sînt mici, atunci volumul producţiei pe diferite luni se apropie de
mărimea necesităţilor.
Să atragem atenţia asupra unor aspecte legate de problema desfăşurării producţiei şi a
creării stocurilor. Trecînd la analiza ei, am presupus că, la întocmirea programului de producţie,
dimensiunile necesităţilor , în diferite luni, sînt cunoscute. Sînt cunoscute de
asemenea cheltuielile specifice de depozitare şi cheltuielile specifice legate de modificările
volumului producţiei . În situaţia în care parametrii problemei sînt dinainte cunoscuţi, spunem
că programul se întocmeşte în condiţii de certitudine.
t (lunile)
Dar de multe ori se întîmplă, îndeosebi în modelele de programare dinamică care se
bazează pe date referitoare la viitor, ca nu toţi parametrii privitori la perioadele viitoare să fie
cunoscuţi şi cerţi. Astfel, în problema producţiei şi stocurilor examinată în paragraful de faţă,
mărimea a necesităţilor viitoare pe diferite luni poate fi prevăzută pe baza experienţei anilor
precedenţi, însă asemenea prevederi pot uneori să nu se realizeze 18 . Acelaşi lucru se poate spune
şi despre cheltuielile pentru depozitare , cît şi despre cheltuielile pentru modificarea volumului
producţiei . În condiţiile economiei capitaliste, fluctuaţiile acestor parametri pot fi destul de
18
Un exemplu de o asemenea situaţie îl poate constitui determinarea cererii de
bere pe baza datelor pe anii precedenţi. Se poate întîmplă, de pildă, ca în urma unei
veri excesiv de reci, cererea de bere în anul respectiv să fie extrem de redusă, deosebindu-se simţitor de cererea
medie din anii precedenţi.
50

mari.
În programarea dinamică, asemenea situaţii sînt destul de frecvente; de aici apare o
problemă principial nouă: cum se poate elabora un program optim în condiţii de incertitudine?
Problema de programare a dinamicii producţiei şi de formare a stocurilor – ca şi alte modele ale
programării dinamice – poate fi formulată şi sub forma unui model continuu, care reflectă
fenomenele ce se produc în perioada din momentul pînă în momentul . În acest scop,
se admite că volumul producţiei, volumul necesităţilor, cheltuielile de depozitare şi cheltuielile
pentru modificarea volumului producţiei sînt funcţii continue de timp. Notînd aceste funcţii,
respectiv, prin , , și , precum şi admiţînd că , vom putea
formula în modul următor modelul continuu al programării dinamice a producţiei şi a stocurilor.
Să se afle o asemenea funcţie continuă a repartiţiei producţiei în timp în intervalul ,
încît cheltuielile totale pentru modificarea volumului producţiei şi pentru depozitarea stocurilor
în perioada de la pînă la să fie minime, adică 19 :
fiind îndeplinite condiţiile auxiliare
şi condiţia de nenegativitate
pentru fiecare valoare
pentru .
Aparatul matematic pentru soluţionarea modelului continuu al programării dinamice
astfel formulat este mai puţin elementar şi de aceea modelele continue sînt adeseori prezentate
sub forma de modele discrete, a căror rezolvare poate fi mai simplă. Dar trebuie să constatăm că
elaborarea unui model dinamic în formă continuă reflectă mai bine esenţa problemei dinamice şi
totodată, după cum este lesne de observat, în acest caz soluţia ei nu mai depinde de modul de
împărţire a perioadei respective de programare în intervale de timp.
§ 2.7. O ALTĂ PROBLEMĂ DINAMICĂ: DEPOZITAREA MĂRFURILOR
Problema programării optime a depozitării mărfurilor sau, cu alte cuvinte, problema
eşalonării optime în timp a cumpărărilor şi vînzărilor este o variantă a problemei anterioare de
19 Utilizarea integralelor în acest caz se deduce din condiţiile prezentate anterior,
referitoare la problemele discrete de programare a producţiei şi stocurilor. Presupunînd
că perioada de programare se împarte într-un număr tot mai mare de intervale de
timp din ce în ce mai mici şi trecînd la limită, în locul sumelor obţinem integrale cu notaţiile corespunzătoare.
,
51

programare dinamică.
Să analizăm activitatea unei întreprinderi comerciale care cumpără şi vinde o marfă
oarecare. Dacă cantitatea de marfă cumpărată în decursul unei perioade date (de pildă, într-o
lună) este mai mare decît cantitatea de marfă vîndută în cursul aceleiaşi perioade, atunci apare un
stoc oarecare care trebuie să fie depozitat. Şi dimpotrivă, dacă cantitatea de marfă vîndută este
mai mare decît cantitatea de marfă cumpărată în decursul aceleiaşi perioade, atunci
întreprinderea trebuie să acopere această diferenţă din stocuri. Cu această ocazie, pornim de la
premisa că preţul de cumpărare şi preţul de vînzare a mărfii respective se schimbă de la o
perioadă la alta, fapt care poate fi observat în mod extrem de pregnant în cazul mărfurilor
sezoniere. Se pune întrebarea: în ce perioade trebuie achiziţionată marfa respectivă pentru a
acoperi necesităţile prevăzute şi în acelaşi timp beneficiul întreprinderii comerciale să fie cît mai
mare?
Să presupunem că numărul de perioade oarecare (de pildă, de luni) în intervalul de timp
în care cercetăm tranzacţiile întreprinderii repective este egal cu ; să notăm cu stocul iniţial
de mărfuri care există în întreprinderea respectivă, cu – cantitatea de marfă cumpărată, cu –
cantitatea de marfă vîndută; cu – vom nota preţul de cumpărare, iar cu – preţul de vînzare al
acestei mărfi în luna .
Dacă facem abstracţie de cheltuielile de depozitare a stocurilor de mărfuri, beneficiul
total al întreprinderii va fi egal cu:
Atunci problema constă în a determina la ce valori şi mărimea
, fiind totodată îndeplinite şi următoarele condiţii auxiliare
precum şi condiţiile de nenegativitate
şi .
Condiţiile auxiliare înseamnă că suma algebrică a diferenţelor, pe perioade, între
cantitatea de marfă cumpărată şi cantitatea de marfă vîndută (unele dintre aceste diferenţe
pot fi negative) în perioada respectivă şi în perioadele precedente împreună cu stocul
iniţial trebuie să fie, pe de o parte pozitivă sau egală cu zero; pe de altă parte, ea nu poate depăşi
o anumită mărime , dinainte stabilită; această mărime poate fi, de pildă, capacitatea depozitelor
aflate la dispoziţia întreprinderii respective.
Vom menţiona că, în acest caz, relaţiile (inegalităţile) de echilibru nu micşorează numărul
gradelor de libertate, ci doar limitează domeniul soluţiilor admisibile. De aceea, numărul
gradelor de libertate este aici egal cu numărul de necunoscute şi , adică .
.
,
52

Problema depozitării mărfurilor se complică dacă introducem în ea cheltuielile de
depozitare. Notînd cu cheltuielile unitare de depozitare şi avînd în vedere că
stocul de mărfuri în fiecare perioadă reprezintă
, se poate nota funcţia
obiectiv , care exprimă beneficiul întreprinderii rezultat din diferenţa dintre preţurile de vînzare
şi preţurile de cumpărare ale mărfurilor minus cheltuielile de depozitare sub forma următoare:
Problema constă, aşadar, în a face maximă această nouă funcţie obiectiv , cu rezerva să fie
îndeplinite atît condiţiile auxiliare, cît şi cele de nenegativitate.
§ 2.8. PROGRAMAREA INVESTIŢIILOR: ALEGEREA VARIANTELOR
Cele trei probleme de programare pe care le vom examina în continuare fac parte din
problemele de investiţii. Va fi vorba aici de problema alegerii variantelor, problema alegerii
orientării investiţiilor şi problema repartizării investiţiilor în timp. O trăsătură caracteristică a
problemelor de investiţii constă în faptul că ele se referă, de regulă, la economia naţională în
ansamblu şi nu la diferitele ramuri şi cu atît mai puţin la diferitele întreprinderi, ca în cazul
problemelor precedente.
Problema variantelor de investiţii constă în alegerea combinaţiei optime dintre toate
procedeele posibile de soluţionare a problemei de investiţii respective. Prin urmare, această
problemă face parte din categoria problemelor de amestec.
Să examinăm această problemă luînd ca exemplu programul de construcţie a unor
centrale electrice de diferite tipuri; un asemenea program a fost elaborat şi şi-a găsit aplicare
practică în Franţa unde producţia de energie electrică este în întregime naţionalizată şi este
administrată de o singură întreprindere 20 .
În anul 1955, în Franţa s-a adoptat hotărirea de a se spori producţia de energie electrică cu
7200 GWh (gigawaţi-ore, 1 gigawat = 1000 megawaţi). În legătură cu aceasta a apărut
necesitatea elaborării unui plan de construcţii de centrale electrice cu o putere de vîrf totală de
2307 MW. În plan se lua în consideraţie posibilitatea construirii a cinci tipuri de centrale
electrice, şi anume: centrale electrice termice, hidrocentrale cu lac de acumulare, hidrocentrale
cu baraj, hidrocentrale cu ecluze şi hidrocentrale care folosesc energia mareelor.
Caracteristicile tehnice ale diferitelor tipuri de centrale electrice (calculate pe o unitate de
putere garantată) sînt prezentate în tabelul de mai jos.
20 O descriere mai amănunţită a acestei probleme şi soluţia pentru cazul a două tipuri de centrale electrice sînt
prezentate în cartea O. Lange, Wstep do ekonometrii, Varşovia, 1961, p. 307 şi urm.
.
53

Unitatea
de
măsură
Tipul de centrale
electrice
1 2 3 4 5
Puterea garantată MW 1 1 1 1 1
Puterea de vîrf MW 1,15 1,20 1,10 3 2,13
Producţia anuală de energie electrică GWh
7 1,30 1,20 7,35 5,45
Cheltuieli de construcţie milioane franci
97 130 420 310 213
Cheltuieli de exploatare anuale (inclusiv milioane franci
amortizările)
136 101 56 140 79
Admiţînd că puterea garantată totală a fiecăruia dintre aceste tipuri de centrale electrice
este egală cu , cheltuielile totale pentru construcţia şi exploatarea centralelor
electrice reprezintă:
unde este rata unitară de scont (de actualizare) 21 .
Problema constă în aflarea necunoscutelor pentru care funcţia obiectiv
este minimă, în condiţiile în care sînt îndeplinite următoarele relaţii de echilibru:
precum şi condiţia de nenegativitate:
Pe baza acestui exemplu vom da formularea generală a problemei alegerii variantelor de
investiţii. Să admitem că există variante posibile de investiţii şi caracteristici tehnice pe care
le posedă în măsură diferită fiecare variantă (în exemplul pe care l-am prezentat în legătură cu
construcţia centralelor electrice, şi ). Să admitem că se dau coeficienţii care
reprezintă randamentul variantei pentru caracteristica , precum şi mărimea
, care determină nivelul minim al randamentului pe care vrem să-l atingem prin
realizarea acestui program de investiţii; în afară de aceasta sînt date cheltuielile unitare de
construcţie şi cheltuielile anuale de exploatare pentru fiecare variantă de investiţii.
Notăm funcţia obiectiv cu:
21 Valoarea actualizată a cheltuielilor anuale (adică valoarea actuală a tuturor cheltuielilor efectuate în viitor) este
cu:
reprezintă 1 este egală cu
. Dacă, de pildă, , valoarea actualizată a cheltuielilor de exploatare anuale care
.
.
,
,
,
,
54

care determină cheltuielile totale de construcţie şi de exploatare a combinaţiei respective de
variante de investiţii . 22 Problema constă în minimizarea funcţiei obiectiv astfel
formulată, admiţînd că necunoscutele satisfac următoarea condiţie auxiliară
(criteriu de randament):
precum şi condiţia de nenegativitate
§ 2.9. PROGRAMAREA INVESTIŢIILOR: ALEGEREA ORIENTĂRII
O altă problemă tipică de programare a investiţiilor, frecvent întîlnită în practică, care se
referă, de regulă, la economia naţională în ansamblu este problema întocmirii programului optim
al orientării investiţiilor 23 . Ea constă în a stabili în ce ramuri ale economiei naţionale (industrie,
agricultură etc.) şi în ce proporţii trebuie făcute investiţiile pentru ca efectul economic al acestora
să fie maxim. După cum se vede, această problemă face parte din categoria problemelor de
repartiţie.
Să admitem că economia naţională se împarte în ramuri, a căror enumerare detaliată
este cuprinsă în planul de investiţii. Problema constă în a împărţi fondul total de investiţii ,
prevăzut pentru perioada respectivă (de pildă, un an), între ramurile economiei naţional, astfel
încît efectul total al investiţiilor să fie maxim.
De aceea,
Să notăm volumul investiţiilor în ramura a economiei naţionale cu . Evident că
. Să presupunem, că este o parte din suma totală a investiţiilor utilizate în ramura .
, și
. După cum se vede, coeficienţii
definesc structura investiţiilor în economia naţională. Aceştia sînt aşa-numiţi coeficienţi ai
structurii pe ramuri a investiţiilor, care arată ce parte din suma totală a investiţiilor sînt
îndreptate spre o anumită ramură a economiei naţionale. Condiţia de nenegativitate a
coeficienţilor înseamnă că în nici o ramură a economiei naţionale nu are loc o decapitalizare
(adică nu există investiţii negative). Să notăm cu producţia netă a ramurii a economiei
22 Menţionăm că dacă înfăptuirea planului de investiţii ar continua o perioadă mai îndelungată (de pildă, mai mult
de un an) ar fi necesar să se recalculeze şi prima componentă a funcţiei obiectiv pe baza coeficientului .
23 Problema este abordată aici oarecum altfel decît în cartea lui O. Lange, Wstep do ekonometrii, Varşovia, 1961,
pp. 320 – 377.
.
,
55

naţionale.
Pentru a formula în mod adecvat această problemă este necesar să determinăm cu precizie
criteriile de eficienţă a investiţiilor în economia naţională. Ca bază a estimării eficienţei
investiţiilor vom lua în cele ce urmează sporul venitului naţional 24 .
Notînd cu mărimea venitului naţionale, iar cu – sporul venitului naţional în decursul
unei anumite perioade, de pildă în decurs de 5 ani, aflăm că
. Aceasta înseamnă că
sporul de venit naţional este egal cu suma sporurilor producţiei nete în toate ramurile
economiei naţionale.
Utilizînd noţiunea aşa-numitei eficienţe nete pe ramură a investiţiilor 25 , determinată cu
ajutorul formulei
următoare:
putem nota sporul de venit naţional sub forma
Problema pe care urmează s-o rezolvăm constă în maximizarea sporului de venit naţional,
care este egal cu suma medie ponderată a investiţiilor pe ramuri, utilizînd ca ponderi indicatorii
eficienţei nete pe ramură a investiţiilor.
Să examinăm acum condiţiile restrictive din cadrul problemei. Vom observa, în primul
rînd, că pentru investiţii nu se poate cheltui o sumă mai mare decît suma cu care este egală
producţia finală a fiecărei ramuri; dar dacă pentru aceste scopuri s-ar cheltui întreaga producţie
finală, atunci pentru consum şi export nu ar mai rămîne nimic. De aceea presupunem că în
fiecare ramură s-a stabilit o anumită cantitate maximă de producţie finală care poate fi destinată
pentru investiţii. Această cantitate maximă o notăm cu .
După cum se ştie, există coeficienţii de investiţii care determină ce cantitate din
produsul ramurii este necesară pentru creşterea producţiei ramurii cu o unitate 26 . De obicei,
coeficienţii sînt prezentaţi sub formă de matrice:
24 Firește că acesta nu este unicul criteriu posibil de eficiență în economia națională. De pildă, eficiența investițiilor
ar putea fi estimată după sporul total al consumului sau după alți indicatori.
25 Eficienţa netă pe ramură a investiţiilor reprezintă mărimea sporului producţiei nete a ramurii a economiei, care
revine pe o unitate de investiţii în ramura respectivă. Mărimile despre care se vorbeşte aici se măsoară în unităţi
băneşti, căci în caz contrar ar fi imposibilă însumarea şi compararea lor.
26 Aceşti indicatori se deosebesc de coeficienţii de investiţii examinaţi în cartea O. Lange, Wstep do ekonometrii,
Varşovia, 1961, p. 331 şi urm. Acolo ei determinau cheltuielile de investiţii necesare pentru a mări cu o unitate
producţia globală a ramurii respective, în timp ce aici aceşti coeficienţi determină cheltuielile de investiţii necesare
pentru a mări cu o unitate producţia netă a ramurii.
.
56

Utilizînd coeficienţii , cantitatea din produsul ramurii , necesară pentru sporirea
producţiei nete a ramurii cu , se poate calcula cu ajutorul formulei . De aici rezultă că
cantitatea de produs al ramurii , necesară pentru sporirea producţiei nete în toate ramurile
economiei naţionale, respectiv cu , reprezintă:
.
Prin urmare, condiţiile auxiliare ale problemei examinate pot fi notate sub forma
inegalităţii de echilibru:
(a)
sau, utilizînd coeficienţii eficienţei nete pe ramură a investiţiilor:
(a´)
Introducem încă o condiţie suplimentară: suma totală a investiţiilor
mică decît valoarea cantităţii totale de produse destinate investiţiilor
poate fi notată sub forma următoare:
(b)
Dacă am avea
fiind îndeplinite de asemenea condiţiile auxiliare (a′) şi (b). În afară de aceasta nu trebuie să
57
.
.
este mai
. Această condiţie
Această condiţie este necesară pentru a exista posibilitatea alegeri orientării investiţiilor.
, atunci condiţia (a′) ar avea caracterul de ecuaţii. În acest caz, mărimea
investiţiilor pe diferite ramuri ar fi determinată în mod univoc de aceste ecuaţii. Numai dacă
suma totală a investiţiilor este mai mică decît cantitatea totală de producţie finală, existentă la
dispoziţia noastră, sîntem în faţa unei adevărate probleme de programare.
Dacă determinăm sporul de venit naţional cu ajutorul coeficienţilor structurii pe ramuri a
investiţiilor în economia naţională pe baza formulei:
atunci problema determinării direcţiilor optime ale investiţiilor poate fi formulată după cum
urmează:
Să se întocmească un program de investiţii determinat de o mulţime de valori nenegative
ale coeficienţilor astfel încît:
...
...
.....................................
...
,
,

uităm că suma coeficienţilor , care caracterizează structura investiţiilor, este prin definiţie,
egală cu 1, adică
.
Condiţia auxiliară (a′) poate fi prezentată şi sub altă formă. Împărţind cele două părţi ale
inegalităţii (a′) la vom obţine:
Să observăm mai departe că sporul maxim al venitului naţional
obţine pentru aceleaşi valori ca şi maximul expresiei 27 :
Expresiei
.
.
se va
i se poate da o anumită interpretare economică. Este vorba de eficienţa netă
totală a investiţiilor pe întreaga economie naţională, care este egală cu suma ponderată a
indicatorilor pe ramură a eficienţei nete a investiţiilor. În acelaşi timp, este vorba de indicatorii
medii ponderaţi pe ramură ai eficienţei nete a investiţiilor, în condiţiile în care s-au utilizat ca
ponderi coeficienţii structurii pe ramuri a investiţiilor . Într-adevăr, din condiţia
rezultă că:
Ţinînd seama de aceste observaţii, problema de programare a orientării investiţiilor în
economia naţională poate fi formulată în modul următor: să se afle acele valori ale variabilelor
maximă, adică:
, astfel încît eficienţa netă totală a investiţiilor în economia naţională să devină
fiind îndeplinite condiţiile de echilibru
şi condiţia de nenegativitate:
Vom vedea că în acest caz condiţia de nenegativitate decurge din
condiţiile economice ale problemei, şi anume din admiterea premisei că în nici o ramură nu are
loc decapitalizare. În problemele anterioare, condiţiile de nenegativitate se explicau, de regulă,
prin cauze „naturale‖. Unele mărimi (de pildă, cantitatea unei anumite substanţe nutritive din
raţia alimentară) pur şi simplu nu puteau fi negative. În problema pe care o examinăm în
27 Coeficientul constant nu joacă nici un rol în stabilirea valorii extreme a acestei expresii.
,
,
,
.
.
,
58

principiu s-ar putea admite că unele valori sînt negative. Aceasta ar însemna că în ramura
respectivă a economiei are loc o reproducţie restrînsă, adică o micşorare a masei de mijloace de
producţie.
Problema stabilirii direcţiilor în care urmează să fie orientate investiţiile pentru un caz
simplificat, atunci cînd economia naţională este împărţită numai în două ramuri – industrie şi
agricultură – , poate fi formulată după cum urmează:
Să se afle acele valori şi , astfel încît eficienţa netă totală pe întreaga
economie naţională să fie:
trebuind să fie întrunite condiţiile de echilibru
şi condiţiile de nenegativitate
şi .
Mărimea este fondul total de investiţii, şi sînt coeficienţii structurii pe ramuri a
investiţiilor, mărimile şi sînt indicatorii pe ramuri ai eficienţei nete a investiţiilor, respectiv
în industrie şi în agricultură. Mărimile , , şi sînt coeficienţii respectivi ai
investiţiilor 28 .
Mărimile şi care apar în ecuaţiile de echilibru reprezintă cantităţile maxime de
producţie, respectiv industrială şi agricolă, care pot fi destinate pentru investiţii în cursul
perioadei respective. Mărimile şi se prezintă în expresie valorică.
§ 2.10. PROGRAMAREA INVESTIŢIILOR: REPARTIŢIA
INVESTIŢIILOR ÎN TIMP
Problema alegerii orientării investiţiilor, expusă în paragraful precedent, constă în aflarea
eficienţei nete totale maxime a investiţiilor în întreaga economie naţională în decursul unei
perioade anumite, de pildă în decursul unui an. Această problemă poate fi uşor formulată ca o
problemă dinamică, nu pentru un singur an, ci pentru o serie de ani succesivi, de pildă pentru
28 Astfel reprezintă cantitatea de producţie a industriei, necesară pentru sporirea cu o unitate a producţiei nete a
industriei; reprezintă cantitatea de producţie a agriculturii, necesară pentru sporirea cu o unitate a producţiei nete
a industriei ş.a.m.d.
,
,
,
59

perioada planului de perspectivă.
În acest scop, să introducem în notarea variabilelor probleme de alegere a direcţiilor în
care sînt orientate investiţiile indicii suplimentari , care reprezintă perioadele la
care se referă valorile corespunzătoare ale variabilelor. Astfel, va reprezenta eficienţa netă pe
ramură pentru ramura , în anul . În mod analog, reprezintă coeficientul structurii pe ramuri
a investiţiilor în ramura , în anul .
În felul acesta apare problema dinamică a repartiţiei investiţiilor în timp; ea constă în
aflarea variabilelor , astfel încît eficienţa netă totală a
investiţiilor în economia naţională, în decurs de ani succesivi, să fie maximă, adică
În această problemă trebuie să fie îndeplinite condiţiile de echilibru analoge celor din
problema precedentă:
precum şi condiţia de nenegativitate
λ .
Prima condiţie de echilibru trebuie să fie îndeplinită pentru , adică în
fiecare an din perioada respectivă a planului de perspectivă. A doua condiţie de echilibru
înseamnă că fondul de investiţii nu epuizează întreaga masă de producţie netă aflată la dispoziţia
noastră. A treia condiţie înseamnă că fondul de investiţii, prevăzut în planul de perspectivă, este
repartizat integral în diversele ramuri ale economiei naţionale.
Problema dinamică a programării investiţiilor, formulată în acest fel, poate fi prezentată
într-o formă şi mai generală. Am admis anterior că mijloacele destinate investiţiilor în anul
respectiv se realizează imediat şi provoacă o creştere a producţiei nete chiar din anul următor.
Dar este mai realist să admitem că investiţiile din diverse ramuri ale economiei au o „perioadă de
maturizare‖ (ciclu de investiţii) diferită, care în general este mai mare de un an.
Dacă facem această rezervă, simbolurile variabilelor problemei examinate trebuie
completate cu încă un indice , care reprezintă durata ciclului de investiţii în ramura
respectivă a economiei naţionale. Indicele reprezintă aici perioada pentru care se întocmeşte
programul de investiţii, de pildă sau .
Prin urmare, simbolul , de pildă, reprezintă eficienţa pe ramuri a investiţiilor în
ramura , în anul , ciclul de investiţii fiind de ani. O semnificaţie analogă are simbolul .
În cazul de faţă problema va consta în aflarea acelor valori nenegative
,
,
.
,
60

în aşa fel încît expresia
dacă se îndeplinesc condiţiile de echilibru
Condiţia de nenegativitate este . Această
formulare dinamică a problemei alegerii orientării investiţiilor ţine seama de structura pe ramuri
diferită a investiţiilor în economia naţională în decursul timpului, de posibilităţile de alegere a
investiţiilor cu cicluri de investiţie diferite şi cu o eşalonare diferită în timp.
Dar problema dinamică a investiţiilor astfel formulată implică anumite dificultăţi
determinate de durata ciclurilor de investiţie. De pildă, în primul an planului cincinal se pot
prevedea investiţii cu „perioade de maturizare‖ de 1, 2, 3, 4 ani. În anul al doilea, se pot prevedea
numai investiţii al căror ciclu este egal cu 1, 2, 3 ani ş.a.m.d. În alt mod nu se poate proceda
deoarece problema constă, după cum se ştie, în maximizarea venitului naţional în decursul unei
perioade strict determinate – în cazul nostru, al perioadei planului cincinal. Ciclurile de investiţi
care depăşesc limitele acestei perioade, fireşte că nu vor intra în acest calcul, integral sau parţial.
În practică, această dificultate poate fi înlăturată, prelungindu-se perioada planificată în decursul
căreia se prevede să se maximizeze venitul naţional. Dar pentru aceasta există anumite limite,
deoarece planificarea investiţiilor pentru un viitor tot mai îndepărtat capătă un caracter din ce în
ce mai estimativ, iar calculul eficienţei lor devine tot mai puţin precis.
§ 2.11. EXEMPLE DE APLICARE A ANALIZEI ACTIVITĂŢII
Exemplul 1. Să presupunem că pentru producţia de cereale se utilizează factori de
producţie: 1) munca, măsurată de pildă în om-luni, 2) pămîntul, măsurat în hectare şi 3)
tractoare. Ultimul factor se măsoară în tractoare-luni; această unitate reprezintă numărul de luni
de exploatare a unui tractor de o anumită putere. Să admitem în continuare că producţia de
cereale se poate realiza prin procese tehnologice, iar coeficienţii tehnologici ai producţiei
,
.
, care stabilesc cantitatea de factor necesară pentru producţia unei
unităţi (de pildă, 100 de tone) de produs (cereale) sînt prezentaţi în următorul tabel tehnologic:
1
1. Muncă 25 5 4 10
2. Pămînt 50 100 125 110
2
,
3
,
61

3. Tractoare 20 3,5 0 10
Din matricea tehnologiei producţiei reiese că primul proces este foarte mecanizat. În
cadrul celorlalte procese se cheltuieşte puţină muncă şi încă şi mai puţine maşini, însă producţia
se realizează pe suprafeţe cu mult mai mari.
În ultima coloană a tabelului prezentat mai sus sînt înscrise cantităţile din diferiţi factori
care pot fi cheltuite în producţia de cereale (adică mărimile resurselor de mijloace); prin urmare,
cheltuielile de muncă nu pot depăşi 10, de pămînt – 110 şi de tractoare – 10 unităţi
corespunzătoare.
Dacă vom nota cu „proporțiile proceselor‖, adică volumul producţiei de
cereale obţinut cu ajutorul fiecăruia dintre ele, atunci problema poate fi formulată ca mai jos. Să
se determine proporţiile proceselor , şi , în aşa fel încît:
fiind îndeplinite următoarele condiţii auxiliare:
şi condiţiile de nenegativitate
, , .
Aceasta este o problemă simplă de programare liniară pe care dacă o rezolvăm cu ajutorul
metodei simplex aflăm următoarele valori optime ale proporţiilor aplicării proceselor:
, , .
Aceasta înseamnă că pentru a obţine o producţie maximă de cereale trebuie să se producă
o unitate din acest produs, adică în cazul nostru 100 de tone de cereale cu ajutorul celui de-al
doilea proces şi tone de cereale – cu ajutorul primului proces. Al treilea proces
nu trebuie utilizat. În acest caz, volumul maxim al producţiei va reprezenta de
tone. Orice altă „combinaţie de procese‖ va da o producţie mai mică de 120 de tone.
Utilizînd primul proces în proporţia 0,2 şi al doilea proces în proporţia 1,0, utilizăm
integral resursele primilor doi factori de producţie: munca – în cantitatea
om-luni şi pămîntul – în cantitatea hectare. Al treilea factor
(tractoarele) se utilizează în cantitatea ; prin urmare, resursele existente
din acest factor care reprezintă 10 tractoare-luni nu se utilizează complet.
Problema duală pentru acest exemplu poate fi formulată în felul următor:
Să se determine valorile , și , astfel încît
fiind respectate condiţiile auxiliare
,
,
,
,
62

şi condiţiile de nenegativitate
, , .
Aplicînd metoda simplex aflăm următoarea soluţie:
,
, , iar .
Menţionăm că „evaluarea‖ tractoarelor , deoarece resursele acestui factor nu se
epuizează integral.
Exemplul 2. Două produse (porumb şi porci) se produc cu ajutorul a doi factori (muncă şi
pămînt), punînd fi utilizate trei procese tehnologice. În primul proces, porcii sînt produsul final,
în timp ce porumbul se utilizează ca produs intermediar pentru hrana porcilor. Al doilea proces
constă în cultura porumbului, iar în al treilea proces, se obţin porumb şi porci ca produse conexe.
Matricea tehnologică a acestei probleme are următorul aspect:
Unitate de
măsură
1 2 3
1. Muncă om-luni 50 25 75 50
2. Pămînt hectare 5 50 60 52,5
Porumb 100 tone
Porci 100 capete -1 0
,
,
-1 -1
În acest tabel, factorii de producţie sînt notaţi (ca şi în exemplul precedent) cu numere
pozitive; de aceea produsele finale trebuiau notate cu numere negative.
Resursele existente de factori primari de producţie sînt următoarele: muncă – 50 om-luni
şi pămînt – 52,5 hectare. Dacă preţurile porumbului şi porcilor reprezintă: 20 de unităţi băneşti
pentru o tonă de porumb şi 20 de unităţi pentru un porc, atunci venitul net în urma aplicării celor
trei procese tehnologice va reprezenta, respectiv 1000, 2000 şi 3000 de unităţi.
Pentru simplificarea calculelor ulterioare, vom modifica scara matricei tehnologice astfel
încît venitul net în fiecare caz să fie egal cu 2000 de unităţi băneşti. Atunci această matrice va
căpăta următorul aspect:
încît
1. Muncă
2. Pămînt
1 2 3
100
10
25
50
50
40
50
52,5
Problema se reduce la aflarea dimensiunilor nenegative ale proceselor , astfel
63

trebuind să fie îndeplinite condiţiile auxiliare
Porumbul şi porcii sînt produse şi ca atare nu sînt supuse restricţiilor.
Rezolvînd problema prin metoda simplex obţinem următoarele valori optime ale
necunoscutelor:
și
iar
, ,
Problema duală se formulează în acest caz ca mai jos.
Să se afle valorile nenegative ale lui şi , astfel încît
Rezolvînd această problemă duală vom afla:
,
Menţionăm că ultima problemă ar fi putut fi soluţionată grafic, deoarece în problema
duală figurează numai două necunoscute şi .
În acest exemplu şi problema primală ar fi putut fi rezolvată grafic, deoarece analiza
graficelor proceselor tehnologice ar fi arătat dintr-o dată că al treilea proces este neeficient şi că
el nu trebuie utilizat.
BIBLIOGRAFIE:
Oskar Lange, Decizii optime. Bazele programării, Editura Științifică, București, 1970.
,
.
,
,
,
,
.
,
.
.
64

CAPITOLUL III: ELEMENTE DE TEORIA AȘTEPTĂRII
Un element important este disciplina de aşteptare, care precizează modul în care clienţii
urmează să fie selectaţi pentru furnizarea serviciului solicitat. Modul cel mai natural de a proceda
este servirea clienţilor în ordinea sosiriilor în sistemul de aşteptare, conform regulei‖primul sosit
este primul servit‖. Există totuşi multe alte reguli de prioritate care sînt utilizate în practică. De
exemplu, un client poate fi ales la întîmplare în raport cu ordinea sosirilor, sau poate fi selectat
pentru serviciu ultimul client sosit, conform regulii ‖ultimul sosit este primul servit‖. O altă
posibilitate este ca unităţile solicitante să fie clasificate după repartiţiile timpilor lor de serviciu
sau după un alt criteriu, fiind apoi selectat pentru serviciu conform acestei clasificări.
Vom folosi următoarele notaţii:
§ 3.1. DEFINIŢII ŞI NOTAŢII
λ = numărul mediu de venire în unitatea de timp (rata medie a venirilor);
µ = timpul mediu de serviciu pentru staţie (canal) (rata medie a servirilor);
c = numărul staţiilor de serviciu (canale);
cf = numărul mediu al staţiilor de serviciu neocupate;
n = numărul unităţilor în sistem (în aşteptare sau în curs de servire);
ρ = factorul de serviciu (intensitatea de trafic), care arată, în medie, numărul de unităţi
care apar pe durata timpului mediu de serviciu în sistem: avem ρ =λ / c µ;
Pn(t) = probalitatea că la momentul t să existe n unităţi în sistem (în aşteptare sau în curs
de servire); avem evident:
avem :
Pentru orice t € [0, ∞];
(3.1)
Pn– probabilitatea (independentă în timp) ca să existe n unităţi în sistem; cu alte cuvinte,
p(=0) = probabilitatea ca o unitate să nu aştepte serviciu;
p(>0) – probabilitatea ca o unitate să aştepte serviciu;
Pn= (3.2)
p(> τ) – probabilitatea ca o unitate să astepte un timp mai mare decît τ pentru a fi servită;
L– numărul mediu de unităţi în aşteptare sau în curs de servire; avem :
L=
pn; (3.3)
65

L` – numărul mediu de unităţi în aşteptare; avem:
L`=
W– timpul mediu de aşteptare în sistem;
W ` –timpul mediu în aşteptarea în şir;
pn= L-c+cf; (3.4)
A(t) – distribuţia duratelor de timp între sosirii consecutive; a(t) va fi destinată acestei
distribuţii;
B(t) – distribuţia timpilor (momentelor) de serviciu (sau a duratelor timpilor de serviciu);
b(t) va fi densitatea acestei distribuţii.
§ 3.2. UN MODEL MATEMATIC
Să considerăm un sistem de aşteptare constituit dintr-o singură staţie de serviciu.
Presupunem că unităţile solicitante provin dintr-o populaţie infinită.Presupunem de asemenea că
funcţiile de repartiţie A(t) şi B(t) definite mai înainte sînt exponenţial cu parametrii λ şi µ. Prin
urmare, densităţile de probabilitate corespunzătoare a(t) şi b(t) sînt
a(t)= λe – λt , t ≥0, λ > 0, (3.5)
b(t)= λe – µt , t ≥0, µ> 0, (3.6)
Să presupunem că sînt n>0 clienţi în sistemul de aşteptare la momentul t+Δt. Evenimentele
care pot avea loc în intervalul de timp (t, t+Δt ) şi
Tabelul 3.1.
Numărul unităţilor în sistem
la momentul t
n-1
n
n+1
Evenimentul în intervalul
(t, t+Δt )
O sosire şi nici o plecare
Nici o sosire şi nici o plecare
Nici o sosire şi o plecare
Probabilităţile
evenimentelor
A(Δt )[1-B(Δt)]
[1-A(Δt)][1-B(Δt)]
[1-A(Δt)]B(Δt)
probabilităţile lor 29 sînt date în tabelul 3.1. Probabilitatea ca să existe n clienţi în sistemul de
aşteptare la momentul t+Δt este deci :
Pn(t+Δt )= Pn-1(t)A(Δt)(1-( Δt))+Pn(t)(1-A(Δt))(1-B(Δt))+Pn+1(t)(1-A(Δt))B(Δt). (3.7)
Conform ipotezelor (3.5), (3.6) avem :
lim t→0
= λ, (3.8)
29 În intervalul (t, t+Δt ) pot avea loc şi alte evenimente, ale căror probabilităţi sînt însă de ordin superior în Δt şi nu
vor fi luate în considerare
66

Din (3.7 - (3.10) rezulta că :
lim t→0
lim t→0
= µ, (3.9)
= 0, (3.10)
=λPn-1(t)-(λ+µ)Pn(t)+ µPn+1(t). (3.11)
Repartiţia staţionară (pn)n 0 a procesului a fost definită în (3.2). Deoarece:
limt→∞
rezultă că repartiţia staţionară (pn)n 0 satisface următoarea ecuaţie:
pentru toţi n 1.Pentru n= 0 obţinem uşor ecuaţia:
= 0, (3.12)
0= λPn-1- (λ+µ)Pn+ µPn+1 (3.13)
0 = -λpo + µp1. (3.14)
Ecuaţiile (3.13), (3.14), împreună cu condiţia evidentă:
= 1; (3.15)
furnizează repartiţia staţionară (pn)n 0. Întradevăr, din (3.14) obţinem:
Din (3.13) şi (3.16) obţinem:
este uşor de văzut că:
Din (3.15) obţinem:
prin urmare, avem :
şi apoi:
p1 = λ
µ po=ρpo. (3.16)
p2 = ρ 2 po (3.17)
pn= ρ n po (3.18)
p0 +
po=1. (3.19)
p0=1- (3.20)
pn= n (1- ) , n 1. (3.21)
Numărul mediu de unităţi solicitate în sistemul de aşteptare este:
L=
pn=
p n (1- )=
iar numărul mediu al clienţilor în şirul de aşteptare este :
L‘=
pn =
. (3.22)
. (3.23)
Celelalte caracteristici ale sistemului de aşteptare pot fi calculate în mod analog:
p(>0) = ; p(=0)=1- (3.24)
p ( >τ ) =
µ (3.25)
67

W‘ =
µ , (3.26)
W= W‘ +
µ =
µ . (3.27)
§ 3.3.MODELE CU O SINGURĂ STAŢIE DE SERVICIU
§ 3.3.1. UN MODEL CU SOSIRI ALEATOARE ŞI REPARTIŢIA TIMPULUI
DE SERVICIU OARECARE
Să considerăm un sistem de aşteptare cu o singură staţie de serviciu în care sosirile
clienţilor au loc în mod aleator, iar timpii de serviciu pentru diferiţi clienţi sînt
variabile aleatoare independente şi identic repartizate, avînd funcţia de reparţie B(t).
Presupunem că funcţia de repartiţie A(t) este funcţia Poisson cu parametrul λ. Prin
urmare, funcţia de probabilitate este:
a(k)=
e-λ (3.28)
Regula de prioritate este cea uzuală, adică „primul venit este primul servit‖.
Se poate arata că ipostaza (3.28) este îndeplinită ori de cîte ori sînt îndeplinite
următoarele două condiţii:
1) numărul total de sosiri într-un interval de timp de durată fixată este independent
de cele întîmplate înainte de această perioadă de timp;
2) probabilitatea să sosească un client în orice interval de timp (t,t+ Δt) de
lungime Δ este de forma λ Δ t + o (Δt 2 ),unde λ este o constantă, iar o(Δt 2 ) are
proprietatea:
lim t→0
=0 (3.29)
Există multe situaţii practice în care condiţiile 1 şi 2 sînt verificate. Modelul
considerat poate fi privit deci drept o bună aproximaţie pentru foarte multe situaţii care
pot apărea în practică. Numărul mediu de unităţi solicitate în sistemul de aşteptare este
în acest caz :
unde :
L=
µ =
µ + µ
µ (3.30)
dB(t) (3.31)
68

şi dispersia σt² a timpului de serviciu este:
∞
σ = µ
Timpul mediu de aşteptare în sistemul de aşteptare este :
W=
2 dB(t) (3.32)
ρ(1-µ t)
µ (3.33)
Prezentăm în continuare cîteva cazuri particulare ale acestui model general.
(a)Timp de serviciu cu funcţie de repartiţie exponenţială. Densitatea de probabilitate a
timpului de serviciu este data de (3.6). Prin urmare, t 2 = 1/µ 2 . Formulele (3.30) şi
(3.33) devin în acest caz.
L=
; W=
µ µ =
µ . (3.34)
Următoarele cantități pot fi calculate cu uşurinţă :
L‘= ²
; p( > τ ) = ρeµ(ρ-1)τ . (3.35)
(b) Timp de serviciu constant. În acest caz avem evident t = 0. Prin urmare, formulele
(3.30) si (3.33) devin:
L= µ
µ µ
Alte cantităţi care interesează în practică sînt următoarele :
pn=(1- ρ )
ρ
; W= . (3.36)
µ ρ
p0 = 1- ρ ; p1= (1- ρ)(e ρ - 1). (3.37)
n
k=1
e ρk
p ( > τ )= ρ µ
[–ρ(µτ-i)]
unde l este cel mai mare număr întreg cu proprietatea că l µτ.
, n 2 ,(3.38)
, (3.39)
(c) Timp de serviciu cu funcţie de reparţie Erlang. Densitatea de probabilitate a unei
repartiţii Erlang de ordinul, k este de forma :
unde :
În acest caz obţinem :
bk(t) = µ
Г(k)=
L=
W=
µ . (3.43)
e-µkt t k-1 (3.40)
t k dt. (3.41)
. (3.42)
§ 3.3.2. ALTE MODELE CU O SINGURĂ STAŢIE
69

(a) Un model cu şir de aşteptare limitat. Vom presupune că sosirile urmează o lege
exponenţiala cu parametrul λ, timpii de serviciu urmează o lege exponenţiala cu
parametrul µ, iar disciplina este cea obişnuită, adică „primul venit este primul
servit".Impunem în plus condiţia suplimentară ca şirul de aşteptare să nu conţină mai
mult de n0 unităţi; cu alte cuvinte, dacă la un moment dat se află în şirul de aşteptare
exact n0 unităţi solicitante, orice altă unitate care ar putea să apară la acest moment nu
mai poate intra în sistemul de aşteptare şi îl paraseşte fară a fi fost servită. Se poate
calcula uşor că avem:
P0 =
L=
L= 2
n +1 ; pn =p0ρ n , (3.44)
, (3.45)
. (3.46)
(b) Supravegherea maşinilor. Să considerăm un sistem de aşteptare dat în modul
următor. Există n maşini care sînt supravegheate de un singur muncitor. Unele dintre
aceste maşini pot să se defecteze în mod aleator; durata medie de timp între două avarii
succesive ale unei maşini este notată cu λ. Să presupunem că timpul în care o maşină
este reparată de către muncitor poate fi privit ca o variabilă aleatoare cu funcţie de
repartiţie exponenţială de parametru µ. Se poate arata că:
pn=
p =(1+
pentru toţi n, 0 n n . Caracteristicile sînt:
L= n -
L‘=L- (1-p0)=n0-
W=
µ (
W‘=
µ (
p , (3.47)
) -1 , (3.48)
; p (>0)=1-p0, (3.49)
-
-
(1-p0), (3.50)
) , (3.51)
§ 3.4. MODELE CU MAI MULTE STAŢII
) . (3.52)
Aceste modele sînt mai realiste, fiind mai aproape de situaţia concretă în care există
mai multe staţii de serviciu care furnizează serviciile cerute de unităţile solicitante.
70

Vom considera aici două cazuri posibile: clienţi provenind dintr-o populaţie infinită şi
unităţi solicitante provenind dintr-o populaţie finită. Vom discuta în cele ce urmează
ambele posibilităţi.
§ 3.4.1.UNITĂŢI SOLICITANTE PROVENIND DINTR-O POPULAŢIE
INFINITĂ
Să considerăm un sistem de aşteptare dat în modul următor. Intervalele dintre
sosirile succesive sînt variabile aleatoare avînd o funcţie de repartiţie exponenţială cu
parametrul λ.Prin urmare densitatea de probabilitate corespunzătoare este data de (3.5).
Să presupunem de asemenea că timpii de serviciu la cele c staţii de serviciu sînt
deasemenea variabile aleatoare independente şi identic repartizate, avînd aceeaşi funcţie
de repartiţie exponenţiala de parametru µ. Disciplina în sistemul de aşteptare este cea
obişnuită.
Se poate arăta că, în aceste condiţii, repartiţia staţionară (pn)n este dată de
relaţiile:
p = (
pn=
+
ă
ă
) -1 (3.53)
(3.54)
Calcule uzuale ne permit să determinăm celelalte caracteristici ale siste-
mului de aşteptare:
p(>0)=
. (3.55)
p(>τ)= e -cµτ(1- /c) p(>0) , (3.56)
L‘=p
L=p
W= p
.
µ . (3.59)
, (3.57)
+ ρ , (3.58)
§ 3.4.2.UNITĂŢI SOLICITANTE PROVENIND DINTR-O POPULAŢIE
FINITĂ
71

Să considerăm următorul exemplu simplu din această categorie. Să presupunem
că n maşini sînt supravegheate de c muncitori. Presupunem că durata de timp dintre
două avarii succesive (considerate pentru toate maşinile) este o variabilă aleatoare
urmînd legea exponenţială de parametru (n -n)λ, unde n este numărul maşinilor defecte.
Presupunem de asemenea că timpul de reparare a unei maşini este o variabilă aleatoare
care urmează o lege exponenţială de parametru µ . Disciplina în sistemul de aşteptare
este cea uzuală: „primul sosit este primul servit".
Repartiţia staţionară (pn ) n o este în acest caz dată de relaţiile:
Pn=
p = (
n +
(3.60)
) -1 (3.61)
Obţinem de asemenea, ca de obicei, următoarele caracteristici ale sistemului de
aşteptare:
L‘=
W‘=
L=
n
µ(n - (n -n)pn
n=0
n , (3.62)
) , (3.64)
n , (3.63)
p(>0) = pn.
(3.65)
§ 3.5. APLICAŢII ECONOMICE A L E TEORIEI AŞTEPTĂRII
§ 3.5.1. DOMENII ÎN CARE ESTE APLICABILĂ TEORIA AŞTEPTĂRII
a) Dimensionarea centralelor telefonice. Primele lucrări în domeniul
teoriei aşteptării aparţin lui Erlang (1908), care studiază problema încărcării
cît mai raţionale a centralelor telefonice, care să ofere pe de o parte satisfa-
cerea mai promptă abonaţilor, iar pe de altă parte folosirea cît mai completă a
capacităţii centralelor.
Problema constă în următoarele. Abonaţii solicită linii libere în centrală pentru
efectuarea convorbirilor telefonice, frecvenţa solicitărilor urmînd o lege de repartiţie,
care este asimilată în mod obişnuit cu legea Poisson. Timpii de serviciu sînt
deasemenea consideraţi aleatori, cu o distribuţie ce poate fi determinată.
72

Datorită caracterului statistic al timpilor de sosire (apeluri telefonice) şi
timpilor de serviciu pe de o parte şi a numărului finit de staţii de serviciu
(linii libere) se poate forma un şir de aşteptare. S-a presupus că acordarea
serviciilor de către diverse linii telefonice are loc aleator şi ca regulă de prioritate este
cea normală (primul venit este, primul servit). Modelul matematic
astfel construit este aplicabil în unele situaţii concrete.
b) Acordarea asistenţei medicale într-o policlinica. În timpul cît este des-
chisă o policlinică pot avea loc veniri ale bolnavilor (pacienţilor) în mod aleator.
Timpul de serviciu (timpul necesar pentru consultul medical al pacienţilor) variază
de la un pacient la altul în mod aleator, fiind considerat în mod obişnuit ca variabilă
aleatoare, urmînd o lege exponenţială negativă.
Putem avea o singură staţie de serviciu (un singur medic pentru specialitatea
respectivă) sau mai multe staţii de serviciu, iar sosirile pacienţilor pot avea loc şi
determinist, pe baza unor bonuri eliberate anterior, caracterul aleator fiind dat în acest,
caz de timpul de serviciu.
c) Vînzarea mărfurilor într-un magazin cu autoservire. In timpul orarului
de funcţionare al magazinului au loc sosiri întîmplătoare ale clienţilor, care, după ce şi-
au ales mărfurile, aşteaptă să fie serviţi de una din casierele magazinului (calcularea
valorii mărfurilor şi primirea banilor de la cumpărător). Timpul de serviciu diferă de la
client la client, fiind considerat aleator.
Problema care se pune este determinarea numărului de casiere, care să asigure o
lungime acceptabilă a şirurilor de aşteptare şi în acelaşi timp să fie cît mai puţin timp
neocupate.
d) Încărcarea şi descărcarea navelor. Într-un port sosesc în mod aleator nave. Timpul
necesar pentru încărcarea sau descărcarea navelor depinde de mărimea lor, de greutatea
mărfurilor, de echipamentul folosit pentru încărcare-descărcare etc. şi este considerat de
asemenea aleator. În multe studii concrete se presupune că repartiţia timpilor de sosire
este o repartiţie Poisson, iar repartiţia timpilor de serviciu (încărcare sau descărcare)
este exponenţială. Putem avea fie o singură staţie de serviciu (un singur document), fie
mai multe.
e) Fluxul tehnologic. Într-o linie de producţie produsele sînt într-un şir de aşteptare,
sosind la un anumit stadiu al procesului tehnologic, cu o rata constantă. Timpul de
aşteptare este de asemenea constant. Un anumit produs poate avea posibilitatea să
treacă prin mai multe canale (în paralel) sau numai prin unul singur.
73

§ 3.5.2. UN EXEMPLU NUMERIC
Vom considera în cele ce urmează problema şirurilor de aşteptare care se formează
într-o policlinică. Vom face următoarele ipoteze:
— venirile pacienilor au loc aleator, sînt independente şi urmează o repartiţie
exponenţială cu parametrul λ;
— serviciile (timpii pentru consult sau tratament medical) sînt aleatoare,
independente şi urmează de asemenea o lege exponenţială cu parametrul µ ;
— avem o singură staţie de serviciu (un singur medic de specialitate la care se
refera studiul pe care îl întreprindem);
— disciplina este cea obişnuită: ‖ primul venit este primul servit‖.
Să presupunem că în cele 16 ore cît funcţionează zilnic policlinica se prezintă 80
pacienţi şi că, în medie, sînt necesare 10 minute pentru consultul sau tratamentul unui
pacient.
Rezultă că rata sosirilor este:
iar rata serviciilor este:
µ=
λ=
= 5 pacienţi pe oră,
. 60 = 6 pacienţi pe oră,
Factorul de serviciu (intensitatea de trafic) va fi atunci:
ρ=
µ =
Conform rezultatelor stabilite în 3.1.3 rezultă că numărul mediu de pacienţi în şirul
de aşteptare va fi:
L‘=
= 4
.
pacienţi,
iar numărul de unităţi în aşteptare sau în curs de servire va fi:
L=
=
= 5 pacienţi.
Probabilitatea ca un pacient să nu aştepte în şirul de aşteptare este p (=0)= p = l - ρ
= 1-5/6= 1/6.
Conducătorul policlinicii ar putea considera că situaţia actuală în care lungimea
şirului de aşteptare este în medie de 5 pacienţi este, comparativ cu situaţiile la
celelalte specialităţi medicale, mai dificilă şi ca o reducere la numai 1/2 pacienţi în
medie ar fi preferabilă, dacă nu este prea costisitoare.
74

Să presupunem că costul tratamentului unui pacient în timp de 10 minute este 100
lei şi ca o descreştere a timpului de consult cu 1 minut conduce la creşterea costului cu
10 lei pe fiecare pacient tratat. Deoarece dorim ca numărul de pacienţi în şirul de
aşteptare să fie 1/2, trebuie să avem
=1/2,
unde prin p1am notat noua valoare a factorului de serviciu, de unde se deduce
şi deci noua rată µ1 a serviciilor trebuie să fie:
µ1=
=
ρ1=1/2
= 10 pacienţi pe oră,
adică timpul de serviciu pentru un pacient va trebui să fie:
µ =
= 6 min,
ceea ce arată că costul tratamentului pe un pacient va creşte cu (10— 6 ) * 10 = 40 lei şi
deci costul total pentru un pacient va fi: 100 + 40 = 140 lei.
atunci:
Probabilitatea să nu existe pacienţi în clinică pentru noua situaţie va deveni
=1-
=
= 50% .
Aparent situaţia noua este mai neeconomică decît cea precedentă, dacă se priveşte
din punctul de vedere al policlinicii, dar analiza trebuie făcută în acest caz din punctul
de vedere mai general, în care intră în joc şi pierderea datorată lipsei de la lucru a
pacienţilor.
Să observăm că timpul mediu de aşteptare în sistem pentru cele două situaţii este:
=
µ =
W1=
µ =
= 1 ora = 60 min,
=
ore = 12 min.
Dacă considerăm că pentru fiecare minut de aşteptare se pierde, în medie, pentru
fiecare pacient, căte 1 leu, rezultă că în a doua situaţie se recuperează:
(60-12) •1= 48 lei
pentru fiecare pacient, ceea ce arată că zilnic, în medie, avem o economie de:
serviciu.
(48-40) • 80 = 640 lei.
Se poate face o analiză asemănătoare în cazul cînd există mai multe staţii de
75

BIBLIOGRAFIE:
Mircea Malița, Corneliu Zidăroiu, Matematica organizării, ediția a doua, Editura
Tehnică, București, 1975.
CAPITOLUL IV: ELEMENTE DE TEORIA STOCURILOR
Este clar că, dacă apare o ruptură a stocului în intervalul , atunci această perioadă
poate fi împărţită în două perioade: o perioadă cînd nivelul stocului este pozitiv şi o
perioadă cînd nivelul stocului este negativ. Fie nivelul maxim al stocului în perioada
, şi fie nivelul maxim al cererii pe intervalul . Pentru ca la momentul să obţinem
un nivel al stocului, trebuie să comandăm la acest moment cantitatea . Dacă
este lungimea intervalului de timp , se poate vedea uşor că
(4.1) ; .
Costul de stocare pe perioada este
(4.2)
Costul de penurie pe intervalul este
(4.3)
Costul total al comenzilor efectuate în intervalul este
(4.4)
Prin urmare, costul total în intervalul este
(4.5)
dacă neglijăm, ca de obicei, costul constant al comenzilor . Punctul de minim ( ) pentru
:
.
se poate obţine uşor din ecuaţiile obţinute prin anularea derivatelor parţiale ale funcţiei
(4.6) ,
(4.7) .
Timpul optim între două comenzi succesive este deci
.
.
,
76

(4.8) .
Deoarece
(4.9) ,
se observă că admiterea posibilităţii de ruptură a stocului se traduce printr-o mărire a volumului
optim al comenzii ca şi a timpului optim dintre lansarea comenzilor consecutive. Aparenta
contradicţie se datorează faptului că în primul model nu se admite posibilitatea rupturii stocului,
ceea ce implică un cost de penurie infinit.
§ 4.1. MODELE STOCHASTICE DE GESTIUNE A STOCURILOR
§ 4.1.1. MODELE STOCHASTICE CU COST DE PENURIE
A) Să presupunem că cererea pe perioada este o variabilă aleatoare continuă
nenegativă cu densitatea de probabilitate . Presupunem că, dacă cererea este inferioară
nivelului al stocului, cantitatea rămasă este vîndută la un preţ unitar , iar în caz
contrar se generează un cost de penurie; vom nota prin costul unitar de penurie. În sfîrşit, vom
presupune că cheltuielile de stocare sînt neglijabile. În aceste ipoteze, costul total pe perioada
(4.10)
este
Anulînd derivata lui , obţinem
(4.11) ,
unde este funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare , adică
(4.12)
Deoarece ecuaţia (4.11) are soluţia unică , rezultă că este punctul de minim al lui .
B) Să presupunem acum că cheltuielile de stocare nu sînt neglijabile şi că nivelul
stocului este o funcţie liniară de timp pe intervalul . Perioada se împarte atunci în două
intervale şi .
(4.13)
Dacă , costul (aleator) de stocaj este
unde este costul unitar de stocaj. Dacă , costul de stocaj este
(4.14)
,
.
,
–
.
77

luînd în considerare şi faptul că
(4.15)
Costul de penurie este
(4.16)
ținînd seama că
(4.17)
Costul mediu total este deci
(4.18)
Anulînd derivata lui , obţinem
(4.19)
Se poate arăta uşor că soluţia a ecuaţiei ( 4 .19) este punctul de minim pentru funcţia .
Acest model se adaptează situaţiilor cînd deciziile asupra comenzilor sînt luate periodic,
cu o perioadă de durată . Politica de gestiune optimă constă în a comanda la fiecare perioadă o
cantitate (de volum variabil) care să asigure revenirea stocului la nivelul optim . Acesta este
cazul, de exemplu, al inventarelor periodice, în urma cărora au loc completările de stoc; o
politică de acest tip este numită ,,gestiune calendaristică‖ (,,ordering cycle system‖).
C) Să presupunem că cunoaştem în permanenţă nivelul stocului pe perioada de
gestiune că o comandă de volum este lansată în momentul în care nivelul stocului atinge
valoarea şi că intervalul de livrare nu este neglijabil. În acest caz penuria nu se poate produce
decît pe durata intervalului de livrare. În sfîrşit, se presupune că toate cererile neonorate sînt
pierdute. Fie cererea aleatoare pe durata intervalului de livrare şi fie densitatea de
probabilitate a variabilei aleatoare . Vom nota prin media ieşirilor din stoc pe perioada .
Costul mediu total pe perioada este
(4.20)
unde este cererea medie pe intervalul de livrare, adică
(4.21)
Anulînd derivatele parţiale ale lui , obţinem
(4.22)
(4.23)
Punctul de minim ( , ) al lui poate fi obţinut prin metoda aproximaţiilor succesive din
sistemul de ecuaţii (4.22), (4.23).
–
.
.
.
,
,
.
.
–
,
.
78

§ 4.1.2. MODELE CU PROBABILITATE DE PENURIE
În multe cazuri se impune ca penuria între două comenzi succesive să apară cu o
probabilitate care să nu depăşească un anumit nivel , unde este o valoare
aleasă în mod convenabil pentru fiecare situaţie concretă dată. Problema care se pune în acest
caz constă în determinarea nivelului minim al stocului care să asigure îndeplinirea acestei
condiţii.
Fie cererea aleatoare pe intervalul . Restricţia impusă poate fi scrisă sub forma
(4.24) ,
unde este nivelul stocului la momentul . Fie cel mai mic nivel al stocului care satisface
restricţia (4.24). Nivelul de securitate al stocului este definit de relaţia
(4.25) ,
unde este cererea medie pe intervalul .
Cantităţile şi pot fi determinate din ecuaţiile (4.24) şi (4.25), dacă funcţia de
repartiţie a variabilei aleatoare este cunoscută. Dacă numărul ieşirilor din stoc este mic, în
practică se prezintă cel mai adesea situaţia în care urmează o lege Poisson. Dacă numărul
ieşirilor din stoc este mare, este repartizată normal cu media şi dispersia . În acest din
urmă caz, din (4.24) obţinem
(4.26) ,
unde este definit de relaţia
(4.27) .
dispersia .
În cele ce urmează vom presupune că cererea este repartizată normal cu media şi
O politică de gestiune care poate fi folosită în multe cazuri constă în inspectarea periodică
a stocului (inventariere) şi lansarea de comenzi după fiecare inventar. O comandă are scopul de a
creşte nivelul stocului pînă la un nivel care asigură respectarea condiţiei (4.24). Dacă notăm
prin cererea medie pe perioada , atunci mărimea unei comenzi este
(4.28)
,
unde este timpul dintre două comenzi succesive. Dacă s este nivelul de securitate al stocului,
nivelul stocului este dat de relaţia
(4.29) .
Din relaţiile (4.25) şi (4.26) rezultă că nivelul de securitate al stocului este
79

(4.30)
Costul mediu total pe perioada este
(4.31)
Anulînd derivata lui , obţinem ecuaţia
(4.32) .
Punctul de minim al funcţiei este soluţie a acestei ecuaţii. Nivelul optim de securitate
este
(4.33) .
Prin urmare, nivelul optim al stocului este
(4.34) ,
iar timpul optim dintre două comenzi succesive este
(4.35)
Să observăm de asemenea că, dacă intervalul de livrare nu este neglijabil, penuria poate
apărea în perioada . Este uşor de văzut că singura modificare necesară în consideraţiile
de mai sus constă în calcularea nivelului al stocului de securitate cu formula modificată
(4.36) .
§ 4.2. EXEMPLE NUMERICE
§ 4.2.1. EXEMPLE NUMERICE ÎN CAZUL CERCETĂRII DETERMINISTE
1. Să presupunem că cererea anuală pentru un anumit produs este
unităț i. Costul unitar de stocaj este lei pe zi. Costul constant de comandă este
lei.
Volumul optim al unei comenzi după formula lui Wilson arată în felul următor:
Timpul optim între două comenzi succesive este
.
.
.
unități.
zile.
2. Să presupunem acum că preţul de cumpărare este de forma
80

Acum avem , ,u2 = 36, . Să presupunem de asemenea că lei,
punctele:
unităţi pe an, zile, lei pe zi. Formula lui Wilson ne furnizează
unităţi,
unităţi.
Deoarece , rezultă că volumul optim al unei comenzi este
unităţi, iar timpul optim între două comenzi succesive este
zile.
§ 4.2.2. EXEMPLE NUMERICE ÎN CAZUL CERERII ALEATOARE
1. Utilizăm aici ipotezele şi notaţiile introduse în § 4.1.1., A). Să presupunem că
lei şi lei.
Cererea este presupusă repartizată normal cu media şi dispersia .
Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare este deci
Ecuaţia (4.11) devine
(4.37)
unde
este funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare . Ecuaţia (4.36) poate fi scrisă în mod echivalent
sub forma
(4.38)
unde este funcţia Gauss-Laplace. Utilizînd tabelele statistice, obţinem uşor volumul optim al
unei comenzi:
(4.39) = 51 unităţi.
2. Să presupunem că avem un cost de stocaj care nu este neglijabil. Utilizînd
notaţiile date în § 4.1.1., B) avem , lei, lei. Să presupunem de asemenea
–
,
,
,
.
81

că cererea pe perioada este o variabilă aleatoare repartizată uniform pe intervalul .
Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare este deci
(4.40)
Funcţia de repartiţie corespunzătoare este
(4.41)
Ecuaţia (4.19) este în acest caz următoarea:
(4.42)
Este uşor de văzut că această ecuaţie nu are soluţii în afara intervalului . Pentru
(4.43)
sau
(4.44)
, ecuaţia (4.42) poate fi scrisă sub forma
Se poate arăta că ecuaţia (4.44) are o soluţie. Această soluţie poate fi obţinută prin
metodele obişnuite de rezolvare aproximativă.
BIBLIOGRAFIE:
Mircea Malița, Corneliu Zidăroiu, Matematica organizării, ediția a doua, Editura Tehnică,
București, 1975.
.
.
82

CAPITOLUL V: PROGRAMAREA DINAMICĂ A APROVIZIONĂRILOR ȘI
STOCURILOR ÎN CONDIȚIILE DE CERTITUDINE
§ 5.1. MĂRIMEA OPTIMĂ A UNUI LOT ACHIZIȚIONAT
Să trecem la examinarea problemelor dinamice în sensul strict al acestui cuvînt. Pînă în
momentul de față, în literatura de specialitate nu există o expunere generală și sistematică a
teoriei programării dinamice. De aceia, pentru a descrie programarea dinamică, ne vom ocupa de
analiza unor probleme particulare, ca de pildă, problema aprovizionărilor și stocurilor, problema
producției și a necesarului etc.
Vom începe expunerea cu prima dintre aceste probleme. Pentru fixarea atenției vom analiza
această problemă din punctul de vedere a unei întreprinderi, cu toate că ea poate fi lesne extinsă
la întreaga economie națională.
Problema programării aprovizionărilor și stocurilor poate fi analizată atît în condiții de
certitudine, cît și în condiții de incertitudine. În cursul expunerii vom examina ambele aspecte
ale problemei.
Să admitem mai întîi, că necesitățile anuale ale unei întreprinderi date, privind un anumit fel
de materii prime, să zicem bumbac, reprezintă Q , aceste necesități fiind dinainte determinate și
certe. Să admitem, în continuare, că consumul acestor materii prime se repartizează în timp, în
mod uniform. În acest caz, în fiecare moment al acestei perioade, T= 1 (an), cantitatea de materii
prime necesară pînă la sfîrșitul acestei perioade, Q(t) este o funcție liniară descrescătoare, în
care pentru t=0, Q(t) = Q , iar pentru t=T=1 (an), Q(t) = 0 (fig.5.1.1).
Întreprinderea se poate aproviziona cu întreaga cantitate de materii prime de care va avea
nevoie pentru o perioadă T=1 (an), la începutul acestei perioade. Atunci stocul mediu anual de
materii prime va reprezenta 30 Z=
.
30 Acest aspect poate fi demonstrat în modul următor: stocul mediu de materii prime Z=
. Întrucît
consumul de materii prime pe o unitate de timp este uniformă, Q(t)= Q – rt, unde r este consumul de materii
prime într-o unitate de timp, de pildă într-o zi. De aici, Z
= Q -
= Q - - , iar dacă avem în vedere că rT =Q (căci pentru t = T, avem Q(t) = Q – rT = 0 ), obținem în final Z
=
. Acest lucru poate fi deasemenea demonstrat, cu ajutorul fig. 8.1.1. întreaga
suprafața triunghiului OQT, adică:
=
.
este egală cu
83

Q(t)
Q
Z =
Q
O T = 1 (an) t
Fig. 5.1.1
Dar întreprinderea poate proceda și altfel, de pildă, se poate aproviziona în două rînduri: o
dată la începutul anului, în cantitatea Q/2 , și a doua oară, la mijlocul anului, de asemenea în
cantitatea Q/2.
În acest caz, stocul mediu de materii prime în decursul perioadei T=1 ar reprezenta
5.1.2). în mod analog se poate face aprovizionarea cu materii prime trimestrial și în felul acesta
se poate reduce stocul de materii prime pînă la
egale de timp
cu
=
(fig. 5.1.3) ș.a.m.d.
În cazul general, să admitem că întreprinderea se aprovizionează de n ori la intervale
.
și în cantități egale S =
Q(t) Q(t)
Q
O
T T t O
(fig.
. Atunci stocul mediu anual de materii prime va fi egal
Fig.5.1.2 Fig.5.1.3
Q
T
T
T T t
În majoritatea cazurilor există o anumită perioadă de înnoire a stocurilor, stabilită în practică și
egală, de pildă, cu un trimestru. Cu acest prelej trebuie să avem în vedere că pentru executarea
unei comenzi este necesar un anumit timp, de pildă o lună, și de aceia comenzile trimestriale
trebuie să se facă cu o lună înainte de terminarea fiecărui trimestru. În legătură cu aceasta, în
practica întreprinderilor, îndeosebi a celor americane, se utilizează frecvent așa-numitul sistem al
celor două depozite, care constă în aceea că stocul de materii prime (sau de alte mărfuri) se
împarte în două părți, care se păstrează în depozite separate. În primul depozit, cel principal, se
84

depozitează o cantitate de materii prime care va fi consumată, de pildă, în decurs de două luni. În
momentul în care stocurile din acest depozit se epuizează se face o comandă pentru un nou lot de
materii prime S, iar între timp se utilizează materiile prime păstrate în celălalt depozit, adică în
depozitul auxiliar 31 . În momentul în care sosește un nou lot de materii prime, se completează în
primul rînd depozitul principal, iar materiile prime rămase se depozitează în depozitul auxiliar.
Sistemul celor două depozite este recomandabil în cazul în care consumul de materii prime (sau
de mărfuri) nu se repartizează în mod uniform în timp, îndeosebi dacă există un element de
incertitudine în privința comenzii care se intenționează să se facă. În cazul unui consum uniform
de materii prime, aplicarea sistemului celor două depozite este deprisos.
Problema stocurilor de care ne vom ocupa acum constă în a afla care este numărul optim de
aprovizionări cu materii prime în decursul unui an sau – ceea ce înseamnă același lucru – cît de
mari trebuie să fie un lot de materii prime achiziționate S =
. Dacă păstrarea stocurilor și
procurarea loturilor de materii prime n-ar implica nici un fel de cheltuieli, atunci ar fi indiferent
cît de des se face aprovizionarea cu materii prime și în ce cantități. Dar lucrurile nu se prezintă
așa. Atît păstrarea stocurilor, cît șși achiziționarea loturilor de mărfuri comportă anumite
cheltuieli. Cheltuielili de depozitare sunt formate în primul rînd din cheltuielile pentru operațiile
tehnice de manipulare și conservare a stocurilor, aopi din cheltuielile pentru arendarea
depozitului sau amortizarea depozitului propriu, precum și din dobînzile la fondurile imobilizate
în stocuri în decursul unei anumite perioade de timp. În mod analog, fiecare tranzacție pentru
procurarea unui lot de mărfuri implică anumite cheltuieli: de transport, de pază, asigurări etc.
Acestea sunt cheltuieli suplimentare care se adaugă la prețul mărfii achiziționate.
Dacă ar exista numai cheltuieli de depozitare, iar cheltuielile pentru achiziționarea lotului de
mărfuri ar fi egale cu zero, atunci întreprinderea ar avea tendința să se aprovizioneze cît se poate
mai des, în așa fel încît stocurile și cheltuielile de depozitare a lor să fie cît se poate mai mici. și,
dimpotrivă, dacă depozitarea nu ar costa nimic, dar procurarea lotului de mărfuri ar implica
cheltuieli, atunci întreprinderea ar cumpăra dintr-o dată tot stocul anual Q.
Prin urmare, în problemă apar doi factori - cheltuielile de depozitare și cheltuielile pentru
achiziționarea unui lot de mărfuri, care acționează în sensuri diametral opuse. Acești factori
decid numărul optim de aprovizionări n sau, ceea ce înseamnă același lucru, dimensiunea optimă
a unui lot achiziționat S.
31 Depozitul auxiliar joacă același rol ca și rezervorul de combustibil de rezervă într-un automobil. Atunci cînd
se termină combustibilul în rezervorul principal, se aprinde un beculeț care semnalizează că motorul
funcționează cu combustibilul din rezervă și ca atare este necesar să se ia măsuri, cît mai degrabă posibil, pentru
umplerea rezorvorului principal.
85

Să notăm cu c - cheltuielile unitare de depozitare, adică cheltuielile anuale de depozitare a
unei unități de stoc, iar cu K – cheltuielile pentru achiziționarea unui nou lot de materii prime. Să
admitem că c și K sunt constante. Atunci cheltuielile anuale totale pentru achiziționarea și
depozitarea ateriei prime reprezintă
. (5.1)
Problema constă în determinarea mărimii S (sau n=
cu condiția că valorile Q, c și K să fie cunoscute și constante.
), în așa fel încît
Aceasta este o problemă simplă de calcul diferențial, care se rezolvă prin reducerea la zero a
primei derivate a cheltuielilor totale ( în raport cu S ):
De aici obținem:
= 0.
. (5.2)
Egalității (5.2) i se poate da cu ușurință o interpretare economică. Să observăm că
reprezintă cheltuielile de depozitare marginale (ca derivată a cheltuielilor de depozitare anuale
în raport cu S), iar
reprezintă cheltuielile marginale de realizare a aprovizionărilor
(derivata în raport cu S a cheltuielilor totale de realizare a achizițiilor
). Prin urmare, mărimea
unui lot de mărfuri procurate S este optimă dacă cheltuielile de depozitare marginale sunt egale
cu valoarea absolută a cheltuielilor marginale de realizare a aprovizionărilor. Cu alte cuvinte,
mărimea S este optimă dacă reducerea cheltuielilor de depozitare, ca urmare a reducerii
mărimii unui lot cu o unitate, este egală cu mărimea cheltuielilor pentru realizarea
aprovizionărilor, ca urmare a măririi numărului de loturi, pe care o comportă aceasta.
Din ecuația (5.2) rezultă că =
achiziționat reprezintă:
S =
, ceea ce înseamnă că mărimea optimă a unui lot
. (5.3)
Expresia (5.3) poartă denumirea de formula lui Wilson, autorul ei a dedus această formulă
încă în anul 1916. Aceasta este formula fundamentală a programării aprovizionărilor și
stocurilor. Din ea rezultă că, în condițiile stabilite la începutul acestui paragraf, mărimea medie
anuală a stocurilor, corespunzătoare mărimii optime a unui lot achiziționat, este egală cu:
Z =
=
(5.4)
86

și că numărul optim de aprovizionări reprezintă:
n =
=
. (5.5)
Înainte de toate, din formulele (5.3) și (5.5) rezultă că n și S sunt proporționale cu , și
prin urmare, dacă consumul anual de materii prime crește, de pildă, de patru ori, atunci măriimea
optimă a unui lot S și numărul optim de aprovizionări se vor mări numai de două ori.
Dacă admitem că mărimea Q este constantă, atunci mărimea S va fi direct proporțională cu
, adică cu rădăcina pătrată din cheltuielile pentru realizarea aprovizionării cu un lot de
mărfuri, și invers proporțională cu , adică cu rădăcina pătrată din cheltuielile de depozitare pe
o unitate de marfă.
Dimpotrivă, numărul optim de aprovizionări n este invers proporțional cu și .
Să prezentăm rezultatul obținut pe un grafic. Cheltuielile totale D reprezintă suma
cheltuielilor de depozitare D1=
mărfuri D2 =
și a cheltuielilor pentru realizarea aprovizionării cu un lot de
. Cheltuielile D1 sunt reprezentate printr-o dreaptă care trece prin originea
sistemului de coordonate, iar tangenta unghiului de înclinație a acestei drepte în raport cu sensul
pozitiv al axei absciselor este egală cu
. Cheltuielile D2 sunt reprezentate printr-o hiperbolă
echilaterală. Reprezentarea cheltuielilor totale D=D1+D2 o obținem însumînd ordonatele
corespunzătoare ale liniilor cheltuielilor D1 și D2 (fig.5.2).
Se constată că minimumul funcției cheltuielilor totale D se află în punctul al cărei abscisă
este egală cu abscisa punctului de intersecție a liniilor D1 și D2. Acest lucru poate fi demonstrat
după cum urmează.
Din ecuația (5.2) rezultă că
D ating valoarea minimă, ordonata dreptei D1=
=
; aceasta înseamnă că, în punctul în care cheltuielile totale
s și ordonata hiperbolei D2 =
sunt egale.
Această observație poate fi formulată în modul următor: cheltuielile totale D sunt minime pentru
acea valoare S la care cheltuielile de depozitare sunt egale cu cheltuielile pentru realizarea
aprovizionării cu un lot de mărfuri. Aceasta ușurează practic calculele legate de determinarea
mărimii optime a unui lot de materii prime și ca atare și a numărului optim de aprovizionări
efectuate în cursul unui an n= .
87

D
α
tg =
Fig. 5.2
S
D2 =
Aceiași teză poate fi demonstrată și pe altă cale. Observăm că produsul D1 D2 =
= const. Se știe că suma a două mărimi pozitive D1+D2 , al căror produs este constant, atinge
valoarea minimă atunci cînd aceste mărimi sunt egale între ele 32 ; în cazul de față, dacă
§ 5.2. PRIMA VARIANTĂ A FORMEI GENERALE A PROBLEMEI DE
PROGRAMARE A APROVIZIONĂRILOR ȘI A STOCURILOR
Să examinăm problema de programare a aprovizionărilor și stocurilor care a fost analizată în
§ 1, într-o formă mai generală, omițînd restricțiile referitoare la caracterul constant al
cheltuielilor specifice de depozitare c și al cheltuielilor de realizare a aprovizionării K. Să
admitem că:
1) Cheltuielile de depozitare sunt funcție liniară de mărimea stocurilor, adică D1 = c0+cZ,
unde c0 reprezintă anumite cheltuieli de depozitare constante, care nu depind de mărimea
stocurilor (de pildă, cheltuielile pentru arendarea sau întreținerea depozitului), iar c-
cheltuielile suplimentare pentru depozitarea unei unități de marfă 33 ;
2) Cheltuielile pentru realizarea aprovizionării cu un lot de mărfuri sînt formate din
cheltuieli constante K, care nu depind de mărimea unui lot procurat, precum și din
cheltuieli suplimentare, care pot fi determinate cu ajutorul formulei (a0+ aS)S; aceasta
32
Această lemă se demonstrează în felul următor: să admitem că xy = k, unde x 0 și y 0 și să calculăm minimul
lui z = x + y. Întrucît y = , atunci z = x + ; de aici z = 1 - = 0, dacă = k, adică dacă x = . Din condiția xy
= k rezultă că și y = și deci x = y. De esemenea, este lesne să ne convingem că pentru x = , avem z =
aceasta demonstreză că pentru x = y = , suma z = x + y atinge valoarea minimă.
33
De aici rezultă că cheltuielile de depozitare specifice
se reduc pe măsura creșterii stocului Z. Această
condiție corespunde situației existente în realitate.
=
.
0;
88

înseamnă că cheltuielile specifice suplimentare a0 – aS se reduc pe măsura creșterii
dimensiunilor unui lot de mărfuri achiziționate 34 .
Ținînd seama de aceste condiții, precum și de faptul că mărimea medie a stocului Z =
numărul aprovizionărilor n =
aprovizionării se vor exprima cu ajutorul formulei:
sau
, iar
, cheltuielile totale pentru depozitare și pentru efectuarea
D = c0 + c
D = c0 +
+K + (a0 – aS)S
+
+ a0 Q – aSQ.
Spre a determina pentru care valoare S cheltuielile totale sunt minime, calculăm derivata D
în raport cu variabila S și o facem egală cu zero.
Întrucît c0, a0, K și Q sînt constante, obținem:
de unde
și
S =
– aQ = 0,
. (5.6)
Am obținut un rezultat asemănător cu cel din prima variantă a problemei de programare a
aprovizionărilor și stocurilor, examinat în § 1. Expresia (5.6) se deosebește de formulă (5.3) prin
faptul că la numitorul expresiei de sub radical al formulei (5.6) apare un element suplimentar –
2aQ.
Interpretarea geometrică a acestei variante a problemei de programare a aprovizionărilor și
stocurilor este analogă interpretării prezentate în § 1.
§ 5.3 CAZUL ÎN CARE LOTURILE ACHIZIȚIONATE NU SUNT NEAPĂRAT
EGALE ÎNTRE ELE
Să examinăm o altă formă modificată a problemei de programare a aprovizionărilor și
stocurilor descrisă în § 1. Să admitem că loturile de materii prime nu sunt neapărat egale între ele
și ca atare ele nu se achiziționează neapărat la intervale de timp egale.
34 Această condiție corespunde de asemenea realității deoarece în practică, la cumpărarea unor loturi mari de
mărfuri, cumpărătorul obține un anumit rabat și totodată cîștigă de regulă datorită reducerii cheltuielilor de transport
specifice și a altor cheltuieli legate de aprovizionare.
89

Să presupunem că în cursul unei perioade date T (un an) s-au achiziționat n loturi de materii
prime de mărimea Si (i =1, 2,...,n). Atunci cantitatea totală de materii prime achiziționate în
decursul anului va reprezenta Q
i .
Stocul mediu de materii prime între două aprovizionări succesive este egal cu Zi =
2,...,n), iar timpul de depozitare a acestui stoc va reprezenta:
unde: T=1 (an).
T,
Si (i =1,
Notînd (ca în § 1) cu c cheltuieli specifice de depozitare a stocului, iar cu K – cheltuielile
pentru realizarea aprovizionării cu un lot de materii prime și admițînd de asemenea că T = 1,
obținem următoarea formulă a cheltuielilor totale de depozitare și de realizare a aprovizionării cu
materii prime:
sau
D = c
D =
+ Kn
Valoarea minimă a acestei expresii o calculăm ținînd seama de condiția
i = Q. Folosind
metoda multiplicatorilor lui Langrange, această problemă se reduce la aflarea minimului funcției
lui Langrange de forma următoare:
L =
unde - este multiplicatorul lui Lagrange.
Condiția necesară de existență a minimului acestei expresii constă în aceea ca derivatele
parțiale în raport cu toate valorile Si să fie egale cu zero. De aceea:
De aici rezultă că:
=
=
Si - = 0 (i =1, 2,...,n)
(i =1, 2,...,n) .
Toate valorile lui sunt egale cu aceiași mărime care apare în partea dreaptă a acestei
egalități. Prin urmare,
S1 = S2 = ... = Sn = S, (5.7)
unde S – valoarea comună a mărimii S1, S2, ..., Sn.
În consecință, rezultă că condiția de egalitate a loturilor de materii prime, adoptată în § 1, nu
este arbitrară, deoarece ea poate fi dedusă din condiția de minimizare a cheltuielilor totale de
depozitare și de achiziționare, cu condiția că consumul de materii prime în timp să fie uniform.
;
90

§ 5.4. CAZUL ÎN CARE CAPACITATEA DEPOZITULUI ESTE LIMITATĂ
Următoarea modificare a problemei de programe a aprovizionărilor și stocurilor este legată
de introducerea unei condiții subsidiare – capacitatea limitată a depozitelor – care nu poate
depăși o anumită mărime P. Atunci problema pe care o examinăm poate fi formulată după cum
urmează.
Să se determine mărimea S a loturilor achiziționate de materii prime în așa fel încît
cheltuielile totale de depozitare și de realizare a aprovizionării (D) să fie egale cu:
D =
cu condiția ca
min, (5.8)
S ≤ P. (5.9)
Problema o vom rezolva din nou prin metoda multiplicatorilor lui Lagrange. În acest caz,
funcția lui Lagrange are aspectul următor:
sau
L =
L =
, (5.10)
unde: P – S este capacitatea părții neutilizate a depozitului. Dacă depozitul este utilizat în
întregime, adică dacă: S = P, atunci funcția lui Lagrange de forma (5.10) este analogă funcțiilor
cheltuielilor (5.8) și deci atunci cînd funcția (5.10) atinge valoarea minimă, și funcția (5.8) atinge
deasemenea valoarea minimă.
Dacă P – S 0, atunci presupunem că = 0 și ca atare egalăm funcția lui lagrange cu funcția
cheltuielilor (5.8). în continuare admitem că = 0, dacă S P și ≠ 0, dacă S = P, iar în ultimul
caz presupunem că 0.
În continuare transformăm funcția lui Lagrange în felul următor:
L = (
)S +
- P; (5.11)
este lesne să ne convingem că ea atinge valoarea minimă (derivata ei în raport cu S este egală cu
zero), dacă:
S =
. (5.12)
Vom încerca să aflăm sensul economic al rezultatului obținut. Reiese că, dacă depozitul nu
este utilizat integral (S P), atunci: = 0 și formula (5.12) a mărimii optime a unui lot
achiziționat de materii prime se reduce la formula (5.2) dedusă anterior în § 1. Dacă însă
depozitul este utilizat integral (S = P) , atunci: 0. Acest fapt influiențează mărimea optimă a
91

unui lot de materii prime în sensul că cheltuielile specifice de depozitare a stocurilor cresc cu
mărimea 2 . Prin urmare, mărimea 2 este un fel de evaluare legată de restricția de echilibru
(5.9), adică de capacitatea limitată a depozitului.
Din punct de vedere economic, mărimea 2 poate fi interpretată ca o cotă suplimentară (pe o
unitate de stoc), care trebuie plătită pentru arendarea depozitului. Dacă în formula (5.12)
mărimea c + 2 o notăm cu c1 și considerăm această mărime ca un nou preț de depozitare,
atunci formula (5.12) se transformă într-o formulă analogă expresiei (5.2). aceasta se poate
explica și într-un alt mod. Însituația în care este îndeplinită condiția (5.9), adică situația în care
capacitatea depozitului este limitată, dimensiunea optimă a unui lot S nu poate depăși mărimea
P. Dacă mărim cheltuielile specifice de depozitare cu 2 , acest fapt va influiența mărimea S, la
fel ca și condiția restrictivă (5.9). este evident că dacă dimensiunea optimă a unui lot de materii
prime S P, atunci = 0 și expresia (5.12) este identică cu (5.2). Atunci faptul că depozitul are o
capacitate limitată nu prezintă nici o importanță practică.
Varianta problemei de programare a aprovizionărilor și stocurilor pe care o examinăm, se
rezolvă în felul următor: inițial nu se ia în considerație condiția restrictivă (5.9) și dimensiunile
optime ale unui lot se determină pe baza formulei S0 =
. Dacă rezultă că S0 P, atunci toate
complicațiile dispar, căci condiția (5.9) este îndeplinită. Dacă însă S0 P, atunci se ia în
considerație condiția restrictivă (5.9), și ca mărimea optimă a unui lot se adoptă S = P.
Ne putem imagina că întreprinderea respectivă intră în sistemul unei anumite centrale care
are depozite pe care le pune la dispoziția întreprinderilor sale. În acest caz, mărimea 2 ar putea
determina cuantumul plății pe o unitate de stoc, depozitat de întreprindere în depozitul centralei.
Mărimea 2 poate fi dedusă din formula P=
-c.
. Atunci vom avea P2 =
, de unde 2 =
Deasemenea este lesne de explicat de ce în formula (5.12) a apărut mărimea 2 și nu . Se
știe că întreprinderea depozitează în medie Z =
, cu condiția restrictivă S ≤ P, care înseamnă
că întregul lot achiziționat trebuie să fie stocat în depozit. Prin urmare, condiția S ≤ P înseamnă
că dublul stocului mediu trebuie să fie mai mic (sau egal) cu P. Dacă condiția S ≤ P am
înlocui-o cu condiția Z =
(8.12) în locul mărimii 2 ar figura mărimea .
S ≤ P, atunci – după cum este lesne să ne dăm seama – în expresia
92

§ 5.5. CAZUL UTILIZĂRII NEUNIFORME A STOCULUI ÎN TIMP
Trecînd la rezolvarea unei noi forme modificate a problemei de programare a aprovizionărilor
și stocurilor, respingem premisa că întreprinderea consumă materiile prime în mod uniform în
decursul timpului. Să presupunem că consumul de materii prime la un moment dat t este definit
de o funcție pozitivă constantă, cunoscută q(t). Funcția q(t) ne permitem să determinăm
consumul de materii prime în perioada de la un anumit moment t0 pînă la momentul t1. Mărimea
acestui consum este egală cu integrala definită 35
Mărimea consumului de materii prime în perioada de la începutul anului (t0 = 0) pînă la un
moment dat t este definită de integrala Q(t) =
În lumina celor arătate, problema de programare a aprovizionărilor și stocurilor o putem
acum formula în felel următor:
Q(t) Q(t)
Q(t3)
Q(t2)
Q(t1)
Q(t ) Q(t )
Q(t )
O t0 t1 t2 t3 t
Fig. 5.3
Să se determine în ce momente ale perioadei respective T = 1 (an) trebuie să se procure
loturile de materii prime(și care trebuie să fie mărimea acestor loturi) pentru ca cheltuielile totale
de depozitare și de aprovizionare să fie minime. Admitem, ca și înainte, că se cunosc cheltuielile
specifice anuale de depozitare c și cheltuielile de o singură dată K pentru procurarea unui lot de
materii prime.
Pentru a analiza această problemă, vom reprezenta grafic funcția Q(t) =
, care
exprimă consumul de materii prime în perioada din momentul 0 (începutul anului) pînă în
momentul t (fig 5.3). graficul ei este o curbă ascendentă, căci funcția Q(t) este constant
35
Funcția q(t) poate fi denumită funcție de densitate a consumului de materii prime. Cu aproximație, ea
reprezintă consumul de materii prime pe o unitate de timp pe parcursul unei perioade oricît de mici t. Împărțind
intervalul t0, t1 în n subintervale ti, aflăm că consumul de materii prime în decursul perioadei t0, t1 este
aproximativ egal cu suma i(ti) ti. Dacă n și max ti 0, atunci această sumă tinde spre limită, care
este integrala definită
De aceea, integrala definită a funcției de densitate a consumului (necesarului)
de materii prime poate fi interpretată ca mărime a consumului de materii prime în intervalul de timp dat t0, t1.
93

crescătoare (q(t) 0).
Să admitem că în decursul perioadei respective T, s-au procurat n partide de materii prime în
momentele t0 = 0, t1, t2, ... , tn-1. Momentele necunoscute ti (i =1, 2, ... , n - 1) sunt aici numai în
număr n – 1, deoarece primul lot de materii prime trebuie procurat la începutul perioadei
respective (t0 = 0).
Cantitatea de materii prime, procurată la începutul perioadei, adică în momentul t0 = 0,
trebuie să fie suficientă pînă în momentul t1, în care se procură al doilea lot de materii prime,
care trebuie să fie suficient pînă în momentul t2 ș.a.m.d. În sfîrșit, lotul de materii prime
procurate în momentul tn-1 trebuie să ajungă pînă la sfîrșitul perioadei date, adică pînă în
momentul tn = T (1 an).
Materiile prime procurate în momentul t0 în cantitatea Q(t1) sunt consumate treptat și de
aceea în intervalul t0, t1 (fig. 8.3). Suprafața acestui quasitriunghi și deci mărimea stocului în
intervalul t0, t1 sunt egale 36 cu –
În mod analog se formează stocurile de materii prime în perioadele următoare. Prin urmare,
mărimii stocurilor îi corespund suprafețele quasitriunghiurilor hașurate, egale respectiv, cu:
–
Stocul total în perioada t0, tn sau 0, T este egal cu suma suprafețelor tuturor acestor
triunghiuri.
Întrucît în perioada T se efectuiază n aprovizionări, care necesită cheltuieli totale egale cu
nK, iar cheltuielile de depozitare și de aprovizionare se exprimă prin formula următoare:
D = nK + c –
+ –
+ c –
(t2 – t1) + ... + (tn – tn-1) - c
+ ... + –
= nK
= nK + c (t1 – t0) +
(5.13)
Problema se reduce la determinarea necunoscutelor t1, t2, ... , tn-1 (t0 = 0 și tn = T sunt date)
pentru care cheltuielile totale D = min. Menționăm că integrala
(suprafața figurii
situate sub curba Q(t) este o mărime constantă și cunoscută). De aceea, D = min, dacă expresia
din formula (8.13) cuprinsă între paranteze devine minimă, adică dacă
(t1 – t0) + (t2 – t1) + ... + (tn – tn-1) = min. (5.14)
Expresia (5.14) atinge valoarea extremă – în cazul nostru, după cum rezultă chiar din
36 Integrala –
= (t1 – t0) -
exprimă diferența dintre suprafețele figurilor, dintre
care una este situată sub linia orizontală cu ordonata , iar cealaltă – deasupra liniei care reprezintă funcția
, în intervalul t0, t1.
94

problemă, valoarea minimă – atunci cînd derivatele parțiale ale acestei expresii în raport cu t1, t2,
... , tn-1 sunt egale cu zero. În felul acesta obținem următorul sistem de n – 1 ecuații cu n – 1
necunoscute:
–
–
–
Acest sistem poate fi de asemenea notat sub forma următoare:
sau sub forma simplificată:
–
–
–
(5.15.1)
(5.15.2)
– ( i= 1, 2, ... , n - 1). (5.15)
Rezolvînd sistemul de ecuații (5.15) aflăm necunoscutele t1, t2, ... , tn-1, adică momentele în
care urmează să se procure loturile de materii prime, astfel încît cheltuielile totale pentru
procurarea și depozitarea materiilor prime să fie minime. Cunoscînd aceste necunoscute este
lesne să se determine mărimea loturilor. Într-adevăr, după cum se vede din fig.5.3, mărimea
lotului procurat în momentul t = 0 trebuie să reprezinte Q(t1) =
, mărimea lotului
procurat în momentul t1 trebuie să fie egală cu , în momentul t2 trebuie să
reprezinte ș.a.m.d.
Prin urmare, vedem că determinarea programului optim de aprovizionare cu materii prime s-
a redus la determinarea momentelor în care urmează să se achiziționeze diferite loturi de materii
prime, ceea ce ne dă posibilitatea să determinăm dimensiunile diferitelor loturi.
Problema am examinat-o în condițiile în care: 1) numărul n de loturi de materii prime,
procurate în decursul anului, se stabilește în prealabil; 2) se cunoaște funcția q(t) de repartiție a
consumului (sau a necesarului) de materii prime în timp.
În ceea ce privește prima dintre aceste condiții, numărul n este practic determinat de
condițiile tehnice de realizare a comenzilor și, ca atare, comenzile de materii prime nu se pot
efectua mai des decît, de pildă, o dată pe lună, adică de 12 ori pe an. În legătură cu numărul
optim de aprovizionări cu materii prime, ne poate oferi o ideie următorul raționament.
Cheltuielile totale D = Kn + cF(n) , unde Kn sunt cheltuielile de aprovizionare, iar cF(n) –
cheltuielile de depozitare. Funcția F(n) înseamnă mărimea medie a stocurilor, care depind de
numărul aprovizionărilor n.
95

Cheltuielile totale D ating valoarea minimă dacă D = K + cF(n) = 0 sau dacă F(n) = -
De aici se vede că derivata funcției de producție F(n) este negativă și deci cu cît
aprovizionările sunt mai frecvente, cu atît este mai mic stocul mediu și cu atît sunt mai reduse
cheltuielile de depozitare 37 .
Din această observație, precum și din formula D = Kn + cF(n) rezultă că dacă cheltuielile de
aprovizionare K sunt relativ ridicate, trebuie să se efectueze aprovizionări mai rar, însă în loturi
de materii prime mai mari, iar dacă cheltuielile de depozitare sunt relativ ridicate, trebuie să se
procure mai des loturi mai mici de materii prime.
În practică, rezolvarea ecuațiilor (5.15) poate prezenta dificultăți. În acest caz, o soluție
aproximativă poate fi obținută prin metoda grafică 38 .
În acest scop construim graficul funcției Q(t) (fig.5.4). ca punct de pornire alegem pe axa
absciselor momentul celei de a doua cumpărări, adică punctul t1. Cumpărarea următoare de
materii prime se efectuiază în momentul t2, care de data aceasta este definită de condițiile
problemei.
Pentru a determina momentul (punctul) t2, trasăm din punctul A, situat pe axa ordonatelor la
distanța Q(t1) de la originea coordonatelor, dreapta AL, a cărei tangentă a unghiului de înclinare
în raport cu axa absciselor este egală cu Q(t1) . Atunci momentul t2 este determinat de abscisa
punctului curbei Q(t); ordonata acestui punct este egală cu ordonata punctului situat pe dreapta
AL, iar abscisa este t1 . Într-adevăr, după cum se vede din fig. 5.4, în acest caz este satisfăcută
prima dintre ecuațiile sistemului (5.15.2), adică Q(t2) - Q(t1)= Q(t1)(t1 – t0).
Q(t2) – Q(t1)
Q(t) L Q(t)
B
A Q(t1)
O t 1 t 2
Fig. 5.4
Q(t )
În mod analog procedăm și în continuare, în vederea determinării prin metoda grafică a
momentelor t3, t4, ș.a.m.d. firește că se poate întîmpla ca ultimul punnct tn să nu coincidă cu
momentul final al perioadei date ( tn ≠ T ). Dacă diferența este mare, trebuie să se repete
37 Aceasta decurge de asemenea din fig.8.3 în care suma suprafețelor quasitriunghiurilor hașurate (și deci
dimensiunile totale ale stocurilor) se micșorează pe măsura creșterii numărului n.
38 Vezi J. Lesourne, Technique économique et géstion industri elle, Paris, 1958, p.356.
.
96

procedura de rezolvare descrisă aici, deplasînd spre stînga sau spre dreapta punctul t1 ales
arbitrar. În felul acesta vom ajunge la o soluție mai exactă a problemei.
Metoda de rezolvare grafică, descrisă mai sus poate fi utilizată în practică dacă numărul
loturilor de mărfuri procurate este mai mic, de pildă 5 – 6 loturi pe an.
Q(t)
O tg =k t
Fig. 5.5
Este interesant, de asemenea, că metoda de rezolvare grafică poate fi aplicată și în cazul în
care expresia analitică a funcției q(t) sau Q(t) este necunoscută. Este suficient să cunoaștem
graficul funcției Q(t), care poate fi costruită, de pildă, pe baza datelor statistice pentru perioadele
precedente.
În încheiere vom arăta că dacă mărimea q(t) este constantă, adică dacă consumul de materii
prime se eșalonează în mod uniform în timp, atunci soluția problemei generale de programare a
aprovizionărilor și stocurilor, obținută în paragraful de față, se reduce la soluția obținută în
paragraful 3, care constată că atît dimensiunile loturilor, cît și intervalele de timp dintre două
aprovizionări sunt egale între ele.
În cazul în care q(t) = k = const, avem Q(t) =
Prin urmare, funcția Q(t) se reprezintă printr-o dreaptă care trece prin originea coordonatelor
=
Q(t)
= kt.
(fig. 5.5), cu o pantă față de axa absciselor egală cu k. În acest caz, Q(t) = k.
Atunci ecuațiile sistemului (5.15.2) capătă aspectul următor:
de unde:
kt2 – kt1 = k(t1 – t0)
kt3 – kt2 = k(t2 – t1)
...............................
t2 – t1 = t1 – t0
t3 – t2 = t2 – t1
................................
Aceasta înseamnă că intervalele de timp dintre procurarea diferitelor loturi de materii prime
sunt egale între ele. În consecință sunt egale și dimensiunile loturilor procurate. Așadar, în cazul
în care consumul de materii prime este uniform, aprovizionările trebuie să fie planificate la
97

intervale de timp egale.
Am obținut astfel rezultatul particular examinat mai sus, pe baza unei analize mai generale.
BIBLIOGRAFIE:
Oskar Lange, Decizii optime. Bazele programării, Editura Științifică, București, 1970.
98

CAPITOLUL VI: PROGRAMAREA DINAMICĂ A APROVIZIONĂRILOR ȘI
STOCURILOR ÎN CONDIȚII DE INCERTITUDINE
§ 6.1. CAZUL ÎN CARE PROBABILITATEA CA STOCUL DE REZERVĂ SĂ FIE
INSUFICIENT (COEFICIENTUL DE RISC) ESTE EGALĂ CU O MĂRIME DATĂ.
REPARTIŢIA NORMALĂ A PROBABILITĂŢII
În capitolul precedent am pornit de la premisa că mărimea , adică consumul de materii
prime în perioada (de pildă, în decurs de 1 an), este cunoscută şi determinată. Să admitem
acum că mărimea necesarului de materii prime pe întreaga perioadă planificată și în fiecare
moment al acestei perioade este o variabilă întîmplătoare cu o repartiţie a probabilităţii
cunoscută 39 .
Dacă întreprinderea respectivă n-ar ţine seamă de această împrejurare şi ar aplica în
practică teoria aprovizionărilor şi stocurilor expusă în capitolul precedent, s-ar putea întîmpla ca
în anumite momente necesarul de materii prime să fie mai mare decît stocurile existente.
Să admitem că consumul probabil de materii prime în decursul anului respectiv
reprezintă . Dacă materiile prime sînt procurate de ori în decursul anului, în loturi egale,
atunci mărimea fiecărui lot reprezintă
. Dar întrucît consumul de materii prime este o
variabilă întîmplătoare, bunul simţ ne spune că pentru acoperirea unui eventual consum de
materii prime, care ar depăşi necesarul probabil, este nevoie să se creeze un anumit stoc
suplimentar. Un asemenea stoc suplimentar se numeşte rezervă.
În acest caz, întreprinderea procedează în felul următor: în primul rînd ea creează rezerva
de o mărime dinainte stabilită, apoi efectuează aprovizionările obişnuite cu materii prime.
Dacă la un moment dat stocul total se reduce pînă la nivelul rezervei, întreprinderea se
aprovizionează imediat cu un nou lot de materii prime. Dacă în acest calcul trebuie să se ia în
consideraţie timpul necesar pentru executarea comenzii, atunci comanda trebuie făcută ceva mai
devreme, şi anume în
39
Spunem că mărimea (în cazul nostru necesarul de materii prime) este o variabilă întîmplătoare, în cazul în care
valoarea ei este determinată de un eveniment întîmplător. Fiecărei valori a unei variabile întîmplătoare îi corespunde
o anumită probabilitate (sau densitate a probabilității dacă variabila este continuă). Această corespondență se
numește repartiție a probabilității variabilei întîmplătoare date. Funcția care exprimă această corespondență se
numește funcția de probabilitate (sau de densitate a probabilității).
99

momentul în care stocul total se reduce pînă la nivelul 40 . Necesităţile neprevăzute de
materii prime se acoperă din rezervă. Acest mod de a proceda utilizat de întreprindere este
ilustrat în fig. 6.1.
Stocul mediu de materii prime reprezintă în acest caz
Din cele arătate rezultă că problema de programare a aprovizionărilor şi stocurilor în
condiţii de incertitudine în privinţa mărimii necesarului de materii prime se reduce la
determinarea rezervei optime . Dacă întreprinderea creează o rezervă foarte mare fireşte că ea
va acoperi toate abaterile întîmplătoare care depăşesc consumul prevăzut de materii prime. Dar
existenţa unei rezerve mari comportă cheltuieli de depozitare ridicate.
De aceea, în practică, calculul mărimii rezervei se bazează pe o anumită probabilitate,
dinainte stabilită că necesarul de materii prime nu va depăşi rezerva existentă. Această
probabilitate se numeşte coeficient de încredere. Mărimea lui este egală, de pildă, cu 95% sau
99%. În locul coeficientului de încredere se poate utiliza probabilitatea evenimentului contrar,
adică aşa-numitul coeficient al riscului, egal respectiv cu 5% sau 1%. Coeficientul riscului
exprimă probabilitatea faptului că rezerva se va dovedi insuficientă pentru acoperirea necesarului
sporit de materii prime 41 .
urmează.
Q(t)
S
R
s s s s
0 t1 t2 t3 t4 t
Fig. 6.1
După aceste observaţii prealabile, problema examinată poate fi formulată după cum
Notăm cu mărimea necesarului de materii prime în perioada dintre două aprovizionări
40
În asemenea cazuri, în practică se foloseşte uneori sistemul celor trei depozite: depozitul mare , depozitul mic
şi depozitul . În primul depozit, cel principal, se depozitează cantitatea de materii prime , în al doilea depozit
cantitatea , iar în al treilea cantitatea . La început, materiile prime se iau din primul depozit, iar atunci cînd acestea
se epuizează, se comandă un nou lot de materii prime; în timpul acesta se iau materii prime din depozitul mic . Din
depozitul se iau materii prime numai în cazul în care consumul acestora depăşeşte necesarul prevăzut.
41
Aici procedăm la fel ca la verificarea ipotezelor statistice. De pildă, un coeficient de încredere egal cu 0,99
înseamnă că probabilitatea ca ipoteza dată să fie adevărată reprezintă 0,99, iar probabilitatea ca ipoteza să fie falsă
reprezintă 0,01.
.
100

succesive cu materii prime. înseamnă, ca şi pînă acum, mărimea unui lot achiziţionat de materii
prime. Urmează să se determine mărimea rezervei în aşa fel încît probabilitatea (riscul)
faptului ca rezerva să se dovedească insuficientă să fie egală cu o mărime dată (de pildă,
). Cu alte cuvinte, rezerva trebuie să fie atît de mare încît probabilitatea ca valoarea
variabilei întîmplătoare să fie mai mare decît suma , adică decît mărimea 42 lotului
achiziţionat de materii prime plus rezerva, să reprezinte (coeficientul riscului).
sau
În simboluri matematice această condiţie poate fi notată în felul următor:
(6.1) .
Pentru a-l determina pe din condiţia (6.1) trebuie să cunoaştem repartiţia variabilei
întîmplătoare . Cel mai simplu este să presupunem că variabila întîmplătoare are o repartiţie
normală. În cadrul acestei repartiţii, valoarea probabilă (speranţa matematică) a variabilei
întîmplătoare este , căci, după cum ştim,
, iar este consumul probabil total de materii
prime. Notăm dispersia variabilei întîmplătoare cu . Condiţiile admise le notăm sub forma
următoare: , unde ) este funcţia de densitate a probabilităţii variabilei
întîmplătoare , iar este simbolul repartiţiei normale cu speranţa matematică şi
dispersia .
Din calculul probabilităţilor se ştie că repartiția normală a unei variabile întîmplătoare
este definită, atunci cînd se dă speranța ei matematică, în cazul nostru ea este egală cu și
dispersia , funcția de densitate a probabilităţii fiind exprimată prin formula următoare:
(6.2)
Graficul funcţiei (sau al funcţiei de care ne vom ocupa mai jos) este
curba lui Gauss-Laplace sau curba normală, numită de asemenea curba în formă de clopot.
După cum am arătat, mărimea rezervei R se calculează cu condiţia îndeplinirii
inegalității (adică evenimentului: rezervă insuficientă) să-i corespundă
probabilitatea .
Dacă în locul variabilei întîmplătoare de forma introducem variabila întîmplătoare
standardizată 43
42
Se presupune că repartiţia probabilităţii variabilei întîmplătoare , în toate perioadele dintre aprovizionări, este
egală. Dacă această repartiţie ar diferi de la o perioadă la alta, problema s-ar complica, de pildă, ar apărea oscilaţii cu
mult mai mari în perioadele de intensificare a producţiei.
43
Variabila întîmplătoare standardizată este abaterea acestei variabile de la speranța ei matematică, exprimată în
abaterea medie pătratică (rădăcina pătrată din dispersie).
.
101

atunci formula (6.2) capătă forma simplificată
(6.3)
(6.4)
Problema constă în a determina acea valoare a variabilei întîmplătoare standardizate
, dependentă de probabilitatea p, pentru care este valabilă următoarea inegalitate
Rezolvarea grafică a ecuaţiei (6.4) constă în aflarea unei asemenea valori a variabilei
întîmplătoare standardizate , încît spațiul hașurat de „sub curba normală‖, în intervalul de la
pînă la , să fic egală cu (fig. 6.2).
În practică, valorile se determină din tabelele repartiţiei normale. Astfel, pentru
avem , pentru avem .
Ştiind că
.
, se poate imediat determina mărimea rezervei . În spiritul
condiţiilor admise, rezerva trebuie să fie atît de mare încît probabilitatea apariţiei unui deficit
P(u)
de materii prime, adică a situaţiei în care să fie egală cu probabilitatea . Atunci
. De aici rezultă că rezerva corespunzătoare coeficientului de risc p trebuie să fie egală
cu cel puţin . De aici obţinem:
(6.5) .
Dacă, de pildă, , atunci ; dacă , atunci .
0
Fig. 6.2
up=1,6
4
p=0,05
Din cele arătate rezultă că mărimea rezervei de materii prime depinde de coeficientul
riscului dinainte stabilit (cu cît riscul este mai mic, cu atît rezerva este mai mare); în afară de
aceasta, mărimea rezervei este direct proporţională cu abaterea medie pătratică , adică cu
oscilaţiile necesarului de materii prime. Conform condiţiei, mărimea este cunoscută. Ea poate
fi estimată pe baza fluctuaţiei mărimii necesarului în perioadele precedente, ţinînd seama de
u
102

eventualele modificări care au putut interveni în ultima vreme 44 .
Să trecem acum la determinarea mărimii optime a unui lot achiziţionat de materii prime.
Vom utiliza aceleaşi notări ca şi în capitolul precedent, cu deosebirea că de această dată
simbolul va însemna consumul aşteptat de materii prime în perioada . Cheltuielile
totale pentru procurarea a loturi de materii prime
reprezenta
Aceste cheltuieli ating nivelul minim dacă:
De aici ajungem la rezultatul
.
.
şi pentru depozitarea lor va
Menţionăm că mărimea unui lot nu este influenţată de mărimea rezervei. În raport cu
această mărime rezerva este constantă; ea depinde numai de coeficientul de risc luat în calcul,
precum şi de fluctuaţia necesarului de materii prime, adică de mărimea .
(6.6)
Stocul mediu format prin achiziţionarea unor loturi optime, este egal cu
Prin urmare, stocul optim împreună cu rezerva sînt egale cu
Din analiza acestui rezultat reiese că în condiţiile admise de noi (variabila întîmplătoare
are aceeaşi repartiţie normală în toate perioadele dintre două aprovizionări succesive cu materii
prime) loturile optime de materii prime, precum şi intervalele dintre aprovizionări sînt egale între
ele.
44 Această metodă de determinare a rezervelor se aplică de foarte multă vreme în domeniul asigurărilor, îndeosebi la
asigurările de bunuri. În asigurări se face distincţie între rezerva de despăgubiri, care este egală cu mărimea
probabilă (speranţa matematică) a sumei totale a despăgubirilor, şi rezerva de fluctuaţie. Aceasta din urmă serveşte
la acoperirea eventualei depăşiri a plăţilor peste suma lor prevăzută. Vezi W. Saxer, Versicherungsmathematik, vol.
II, Berlin, 1958, pp. 98-100; H. Galbrun, Théorie mathématique des assurances, Paris, 1947, pp. 143-148; A. Banasinski,
Matematyka ubezpieczeniowa, ed. a doua, Varşovia, 1955, pp. 89- 97.
.
103

§ 6.2. VARIANTA ÎN CARE REPARTIŢIA PROBABILITĂŢII NECESARULUI
ESTE O REPARTIŢIE POISSON
Problema pe care o examinăm poate fi dezvoltată în continuare.
Se poate, de pildă, presupune că gradul de risc pe care se bazează calculul mărimii
rezervei diferă de la un sezon la altul al perioadei date. Se poate de asemenea presupune că
repartiţia probabilităţii necesarului de materii prime este alta decît repartiţia normală ş.a.m.d.
Deosebit de interesant este cazul cînd repartiţia probabilităţii necesarului posibil de materii
prime este o repartiţie Poisson 45 . În acest caz, rezultă că mărimea rezervei nu este independentă
de mărimea unui lot achiziţionat de materii prime, aşa cum se întîmplă în cazul repartiţiei
normale.
Dacă variabila întîmplătoare se supune repartiţiei Poisson, atunci probabilitatea
necesarului respectiv se exprimă cu ajutorul formulei:
(6.7)
unde, la fel ca şi înainte, valoarea probabilă a variabilei întîmplătoare este egală cu .
Se ştie că dacă , atunci repartiţia Poisson tinde către un gen deosebit de repartiţie
normală, a cărei valoare aşteptată este egală cu , iar .
Prin urmare, dacă , atunci
întîmplătoare standardizată are forma
.
,
și variabila
Prin urmare, rezerva . Cheltuielile totale de achiziţionare şi depozitare
pot fi exprimate cu ajutorul formulei:
După cum vedem, în acest caz mărimea rezervei şi mărimea unui lot achiziţionat sînt
legate între ele.
Pentru a afla dimensiunile optime ale unui lot trebuie să calculăm derivata
facem egală cu zero:
.
şi s-o
45
Repartiţia Poisson se întîlneşte în cazurile în care evenimentele sînt independente şi cînd probabilitatea realizării
fiecărui eveniment este extrem de mică. În cazul nostru, aceasta înseamnă că diverşii factori care provoacă abaterile
mărimii necesarului de la valoarea aşteptată acţionează extrem de rar, însă numărul acestor factori este mare. Unul
dintre cei dintîi care a utilizat repartiţia Poisson în scopuri practice a fost cunoscutul statistician L. von
Bortkewitsch (L. von Bortkewitsch, Das Gesetz der kleinen Zahlen, Leipzig, 1898). Repartiţia Poisson îşi
găseşte o largă aplicare în fizica nucleară şi în tehnică, precum şi în alte domenii ale ştiinţei.
104

Prin rezolvarea acestei probleme (ceea ce este destul de complicat, căci sîntem în
prezenţa unei ecuaţii de gradul al patrulea în raport cu ) determinăm mărimea optimă a unui lot
achiziţionat.
Exemplul pe care l-am prezentat dovedeşte că sînt posibile cazuri cînd mărimea , şi deci
şi rezerva, depind de mărimea optimă a unui lot.
§ 6.3. VARIANTA ÎN CARE REPARTIŢIA PROBABILITĂŢII NECESARULUI ESTE
„RECTANGULARĂ” (UNIFORMĂ)
Să facem bilanţul rezultatelor obţinute pînă acum.
În cazul în care repartiţia probabilităţii necesarului posibil de materii prime este normală,
mărimea optimă a unui lot achiziţionat de materii prime şi mărimea rezervei sînt
independente între ele. Mărimea rezervei, determinată în unităţi fizice pe baza analizei de mai
sus, la un coeficient dat al riscului , nu depinde nici de cheltuielile de achiziţie a lotului de
materii prime, nici de cheltuielile specifice de depozitare, spre deosebire de mărimea optimă a
unui lot de materii prime, care depinde de aceşti parametri.
Altfel se prezintă situaţia atunci cînd repartiţia probabilităţii necesarului este o repartiţie
Poisson. În acest caz, mărimea rezervei şi mărimea optimă a unui lot depind una de cealaltă.
Să examinăm încă un exemplu de o mare importanţă practică. Este vorba de cazul cînd
repartiţia necesarului este o aşa-numită repartiţie ,,rectangulară‖ sau ,,uniformă‖.
Această repartiţie a variabilei întîmplătoare se caracterizează prin faptul că există o
anumită valoare minimă şi o anumită valoare maximă a variabilei întîmplătoare . Variabila
întîmplătoare nu iese în afara acestor limite, pe care le notăm prin , iar între limite
densitatea probabilităţii este constantă, adică (fig. 6.3). Densitatea acestei
probabilităţi este uşor de determinat, dacă ne reamintim că „spaţiul de sub curba‖ densităţii
probabilităţii, (adică suprafaţa întregului dreptunghi din fig. 6.3) este egală cu 1.
P(V)
P(V)
0
S
.
105

de unde
(6.8)
Prin urmare,
Fig.6.3.
Prin urmare, mărimea P(V) este inversa amplitudinii oscilaţiilor variabilei .
Din figura 6.3 se vede că:
de unde obținem:
(6.9)
Dacă, de pildă, , atunci .
Din formula (6.9) rezultă că, în cazul repartiţiei uniforme a probabilităţii necesarului,
mărimea rezervei este proporţională cu diferenţa dintre necesarul maxim şi necesarul minim
posibil.
Expresia (6.9), care determină mărimea rezervei în cazul repartiţiei uniforme a
probabilităţii necesarului, este analogă rezultatului la care am ajuns în cazul repartiţiei normale,
în sensul că nici aici mărimearezervei nu depinde de mărimea optimă a unui lot achiziţionat de
materii prime.
În cazul repartiţiei uniforme, cheltuielile totale de achiziţie și de depozitare reprezintă:
Aceste cheltuieli ating nivelul minim atunci cînd
şi, deci, mărimea optimă a unui lot, ca şi în cazul repartiţiei normale, este egală cu
Mărimea rezervei nu depinde nici de mărimea cheltuielilor specifice de depozitare.
Este însă incontestabil că cheltuielile de depozitare trebuie să exercite o anumită influenţă
asupra formării rezervelor de către întreprindere. Dacă cheltuielile de depozitare sînt mari,
atunci trebuie să ne aşteptăm ca întreprinderea să micşoreze coeficientul de încredere şi implicit
să mărească coeficientul de risc pe care ea își bazează calculul mărimii rezervelor, iar aceasta va
influenţa, fără îndoială, mărimea rezervei.
Din cele arătate rezultă că ipoteza cu privire la caracterul constant al coeficientului de
risc este nerealistă şi de aceea trebuie să se efectueze o analiză economică suplimentară, prin
,
,
.
,
.
.
.
106

care să se fundamenteze o anumită mărime a coeficientului de risc. Acest lucru va fi posibil
dacă vom reuşi să determinăm cheltuielile suplimentare pe care le comportă insuficienţa
rezervelor de materii prime. Asemenea cheltuieli pot fi formate din pagubele cauzate de
pierderea unui număr oarecare de clienţi, penalizările pe care întreprinderea va trebui să le
plătească pentru neexecutarea livrărilor contractate. Asemenea cheltuieli pot fi şi pierderi la
nivelul economiei naţionale, care decurg din insuficiența rezervelor, de pildă: pagubele cauzate
de faptul că, într-o anumită perioadă, energia electrică produsă este insuficientă pentru îndepli-
nirea planului de producţie, sau de faptul că în urma neîndeplinirii planului de extracţie a
cărbunelui trebuie să se reducă transporturile pe căile ferate.
Dacă stabilirea mărimii cheltuielilor ocazionate de insuficienţa rezervelor este posibilă,
atunci există baza efectuării unei analize economice şi pentru determinarea valorii optime a
coeficientului de risc. Dar o asemenea posibilitate nu există întotdeauna. Dacă, de pildă, din
cauza reducerii producţiei de medicamente se creează un pericol pentru viaţa oamenilor, în acest
caz este greu de vorbit de mărimea cheltuielilor care decurg dintr-o asemenea situaţie şi despre o
bază economică pentru calculul coeficientului de risc. În asemenea cazuri nu ne rămîne nimic
altceva decît să acceptăm un coeficient al riscului cît se poate de mic.
Problema determinării mărimii coeficientului de risc în funcţie de anumite considerente
economice o vom examina în paragraful următor.
§ 6.4. STABILIREA MĂRIMII OPTIME A COEFICIENTULUI DE RISC ŞI A
REZERVEI OPTIME ÎN FUNCŢIE DE CHELTUIELILE PE CARE LE COMPORTĂ
DEFICITUL, PRECUM ŞI DEPOZITAREA STOCURILOR
Să admitem că apar unele cheltuieli suplimentare provocate de insuficienţa rezervei de
materii prime, care pot fi stabilite dinainte. Să numim aceste cheltuieli cheltuieli de deficit.
Atunci cheltuielile totale , legate de achiziţionarea şi depozitarea stocurilor (inclusiv a rezer-
velor) şi de o eventuală insuficienţă a rezervei, vor reprezenta
(6.10.1)
sau
(6.10.2)
, dacă
, dacă .
În această formulă, reprezintă ca şi pînă acum consumul efectiv de materii prime între
două aprovizionări succesive; aceasta este o variabilă întîmplătoare, a cărei repartiţie a
probabilităţii este cunoscută. Primii doi termeni din partea dreaptă a formulei (6.10) sînt
cheltuieli normale de aprovizionare şi de depozitare a materiei prime, achiziţionate în loturi de
107

mărime corespunzătoare. Simbolurile au aceeaşi semnificaţie ca şi mai înainte, cu deosebirea că
simbolul este speranţa matematică a consumului de materii prime în perioada .
Simbolul reprezintă cheltuielile specifice de depozitare pentru aceeaşi perioadă .
Ultimul termen al formulelor (6.10.1) sau (6.10.2) reprezintă cheltuielile suplimentare care
decurg din faptul că rezerva este prea mare sau insuficientă. Aici sînt posibile două cazuri:
1) rezerva este prea mare ; atunci apar cheltuieli de depozitare a
stocului excedentar; aceste cheltuieli sînt egale cu ;
2) rezerva este prea mică ; în acest caz apar cheltuieli de deficit, egale
cu , unde reprezintă cheltuielile specifice de deficit pentru perioada
, care pot fi stabilite în prealabil.
În primul caz, cheltuielile totale se exprimă cu ajutorul formulei (6.10.1), iar în al
doilea caz – cu ajutorul formulei (6.10.2).
Pentru simplificarea calculelor ulterioare vom introduce o nouă variabilă întîmplătoare
(ea determină mărimea excedentului sau deficitului de materii prime în raport cu
lotul achiziţionat de materii prime). Evident că această variabilă are aceeaşi repartiţie a
probabilităţii ca şi variabila întîmplătoare .
Să încercăm să minimizăm valoarea probabilă (speranţa matematică) a cheltuielilor
totale, adică să stabilim pentru ce mărime a rezervei şi pentru ce valoare a coeficientului de risc
, valoarea probabilă a cheltuielilor totale – o notăm prin – este minimă. Această valoare
probabilă este egală cu:
(6.11)
Primii doi termeni nu depind de mărimile şi ; de aceea, este suficient să examinăm
suma ultimilor doi termeni ai acestei expresii. Această sumă, pe care o notăm prin este
mărimea probabilă a cheltuielilor de depozitare a rezervei excedentare, sau a eventualelor
cheltuieli de deficit. De aici rezultă că 46
(6.12)
Speranţa matematică conţine doi termeni: primul corespunde cazului , iar al
doilea – cazului cînd . Problema care constă în aflarea acelei mărimi a rezervei la care
valoarea atinge nivelul minim este o problemă obişnuită de calcul diferenţial: ,
46 Din calculul probabilităţilor se ştie că dacă variabila întîmplătoare continuă are repartiţia probabilităţii ,
valoarea aşteptată a acestei variabile
Limitele infinite de integrare pot fi înlocuite prin valori finite, corespunzătoare valorii minime şi valorii maxime
posibile, pe care le poate atinge variabila întîmplătoare dată, dacă acestea există.
108

atunci cînd
(6.13)
. Avem
De aici aflăm că , dacă
Rezultă că condiţia (6.13), chiar şi fără calculul integralelor care apar în ea, are un sens
economic determinat. Integrala care apare la numărător, în partea stîngă a egalităţii (6.13), este
speranţa matematică a surplusului de materii prime, adică corespunde cazului unei rezerve prea
mari. Derivata acestei mărimi poate fi numită excedentul probabil marginal. Integrala de la
numitor însă este speranţa matematică a insuficienţei materiei prime; ea corespunde cazului în
care rezerva este insuficientă. Derivata acestei integrale o vom numi deficitul probabil marginal.
Aşadar, condiţia (6.13) poate fi interpretată după cum urmează: rezerva este optimă
atunci cînd raportul dintre excedentul probabil marginal şi deficitul probabil marginal este egal
cu raportul
, unde reprezintă cheltuielile specifice de depozitare a stocurilor, iar –
cheltuielile specifice provocate de deficitul de materii prime.
Se pune întrebarea: de unde a apărut semnul minus în partea dreaptă a formulei (6.13), o
dată ce ambele mărimi şi sînt pozitive? Aceasta se explică prin faptul că derivata integralei
de la numărător din partea stîngă a expresiei (6.13) este pozitivă, căci cu cît rezerva este mai
mare, cu atît este mai mare şi speranţa matematică a excedentului, în schimb, derivata integralei
de la numitorul aceleiaşi expresii este negativă, căci cu cît rezerva este mai mare, cu atît este
mai mică speranţa matematică a deficitului.
Noţiunea de mărime probabilă marginală care figurează aici (numită de asemenea
speranţă matematică marginală) a fost introdusă de către Pierre Massé într-o lucrare consacrată
programării în condiţii de incertitudine 47 . În această lucrare se examinează o problemă specială
şi anume programarea consumului de apă de către o centrală hidroelectrică, căci cantitatea de
apă acumulată pentru punerea în mişcare a turbinelor este o variabilă întîmplătoare. Pierre Massé
a ajuns la concluzia că programul este optim atunci cînd speranţele matematice marginale sînt
proporţionale cu cheltuielile sau veniturile corespunzătoare, în funcţie de modul cum este
formulată problema.
Formula (6.13) ne dă prima interpretare economică a condiţiei pe care trebuie să o
îndeplinească rezerva optimă a stocului. Pentru a înţelege mai bine sensul economic al acestei
47
Pierre Massé , Les réserves et la régulation de l‘avenir dans la vie économique , vol. II, Paris, 1946, p. 33
şi urm.; vezi de asemenea Pierre Massé, Le choix des investissements, Paris, 1959, pp. 319-327.
.
109

condiţii, transformăm expresia (6.13), calculînd integralele cuprinse în ea.
În acest scop, ne vom servi de o teoremă din analiza matematică care poartă denumirea
de „teoremă a diferenţierii sub semnul integralei‖. Ea poate fi formulată după cum urmează:
Dacă se dă funcţia 48
derivata acestei funcții este
(6.14)
unde și sînt mărimi constante, atunci
ceea ce înseamnă că derivata integralei se obţine prin diferenţierea funcţiei de sub integrală.
(6.15)
Dacă limitele de integrare şi depind de variabila şi, ca atare, funcția are forma
atunci derivata funcției capătă aspectul următor:
Aceasta teoremă se aplică, de regulă, în cazurile în care mărimile şi sînt finite.
„Trecînd la limită‖ se poate demonstra că ea este valabilă şi pentru limite de integrare infinite.
Folosind formula (6.15) pentru calculul integralelor cuprinse în expresia (6.13) vom obţine 49 :
iar întrucît formula (6.15) este valabilă şi în cazurile în care limitele de integrare sînt infinite,
atunci
(6.16)
În mod analog calculăm derivata integralei de la numitoorul expresiei (6.13) și obținem:
Prin urmare, condiţia (6.13) poate fi scrisă sub forma următoare 50 :
Menţionăm că integrala de la numărătorul din partea stîngă a expresiei (6.16) este
probabilitatea faptului că , adică probabilitatea rezervei excedentare. Integrala de la
48
Menţionăm că este o funcţie de o variabilă , care sub semnul integralei îndeplineşte rolul de parametru.
După calcularea integralei definite, variabila dispare.
49
Să reţinem că, în acest caz, al treilea termen din partea dreaptă a expresiei (6.15) este egal cu zero, căci limita
inferioară de integrare nu depinde de ;ca atare, .
50
Folosind expresia (6.16), derivata poate fi exprimată în felul următor:
De aici, pentru cuantumul optim al rezervelor, avem
.
,
.
, unde este
rezerva optimă; această expresie este mai mare decît zero și la aceea , ceea ce era de demonstrat.
110

numitorul acestei expresii este însă probabilitatea faptului că , adică rezerva se va dovedi
insuficientă; prin urmare, acesta este coeficientul de risc pe care l-am notat cu . De aceea,
integrala
(6.17)
este egală cu (fig. 6.4).
Prin urmare, formulele (6.13) și (6.16) se transformă în condiţia următoare:
.
Din formula (6.17) se poate calcula coeficientul optim al riscului şi coeficientul optim
de încredere . Din ea rezultă că , de unde
(6.17.1)
precum și
(6.17.2)
În felul acesta ajungem la concluzia interesantă că dacă într-o problemă de programare a
aprovizionărilor şi stocurilor există anumite cheltuieli de depozitare a rezervei excedentare,
precum şi anumite cheltuieli provocate de insuficienţa rezervei , atunci rezerva optimă trebuie
să fie de o asemenea mărime încît probabilitatea ca rezerva să fie insuficientă, adică coeficientul
de risc
, iar coeficientul de încredere
Este interesant să comparăm aceste mărimi cu coeficienţii de risc, utilizati de obicei în
statistica matematică şi care sînt egali cu 0,01 sau 0,05. În literatura statistică mai veche, de pînă
la R. A. Fisher se utilizau coeficienţi de risc şi mai mici, de cele mai multe ori se folosea
„principiul celor 3σ‖, ceea ce în condiţiile repartiţiei normale corespunde unui coeficient al
riscului egal cu 0,003.
P(U)
0
P{UR}=p
111

Fisher a fost silit să introducă în cercetările sale coeficienţi de risc mai mari, ceea ce a dat
naştere la observaţii critice pe marginea metodelor de estimare statistică aplicate de el. Unii
dintre critici se pronunţau în favoarea „principiului celor 3σ‖.
În problema de programare a aprovizionărilor şi stocurilor, pe care am examinat-o mai
sus, am fi obţinut un coeficient al riscului egal cu 0,01 dacă cheltuielile de depozitare ar
reprezenta 0,01 din cheltuielile totale și . În practică, raportul
mare şi se poate admite că el este egal cu aproximativ
pînă la
este cu mult mai
. Care este cauza care impune
acceptarea unei probabilităţi atît de ridicate a deficitului în teoria aprovizionărilor şi stocurilor?
În practica statistică tradiţională nu se întîlnesc situaţii în care să existe cheltuieli
provocate de existenţa unei rezerve excedentare corespunzătoare cheltuielilor de depozitare şi
de obicei trebuie să avem în vedere un anumit risc. Întrucît riscul nu poate fi eliminat integral,
acceptăm un coeficient al riscului cît se poate de mic. Dacă teoria estimaţiei statistice se aplică
la probleme economice în care există cheltuieli de depozitare a unor stocuri excedentare, atunci
adoptarea unor coeficienţi ai riscului prea mici ar fi nejustificată.
Se pot da exemple de cazuri în care cheltuielile pentru deficit sînt extrem de ridicate
(din punct de vedere teoretic infinite), de pildă, în producţia unor medicamente. Atunci
se apropie de zero, în ciuda faptului că există anumite cheltuieli de depozitare c1.
Mărimea rezervei optime, corespunzătoare diferitelor valori ale coeficientului de risc
se poate determina cu ajutorul metodei grafice. În acest scop, construim graficul
curbei normale de repartiţie ; după cum se ştie, aceasta este o funcţie monoton
crescătoare, pentru , , iar pentru , (fig. 6.5). Pentru a
afla mărimea rezervei optime corespunzătoare lui
curbei de repartiţie a cărei ordonată este egală cu
optime a rezervei.
determinăm abscisa punctului
. Această abscisă corespunde mărimii
În cazul repartiţiei uniforme a probabilităţii, rezerva optimă se determină cu ajutorul
formulei (6.9):
, atunci
. Dacă de pildă, acceptăm un coeficient al riscului
; aceasta înseamnă că rezerva optimă este egală cu
diferența dintre consumul de materii prime maxim și minim posibil.
Cu aceasta încheiem expunerea teoriei programării aprovizionărilor și stocurilor în
condiții de incertitudine. Ea ar putea fi dezvoltată și îmbogăţită în continuare, modificînd
din
112

condiţiile restrictive admise anterior. De pildă, metodele descrise în capitolul de faţă se pot
aplica în cazul în care funcţia aprovizionărilor este o funcţie de timp definită şi în acest caz
aflăm mărimea rezervei definită pentru fiecare moment din timp. Dar acest lucru este evident de
la sine: dacă repartiţia probabilităţii în fiecare moment este egală, atunci şi rezerva este întotdea-
una aceeaşi. Mărimea rezervei se va modifica numai în cazul în care repartiţia probabilităţii se
modifică în timp.
F(R)
1
Aşadar, în capitolul de faţă am examinat noţiunile şi metodele principale ale teoriei
programării aprovizionărilor şi stocurilor în condiţii de incertitudine; dezvoltarea în continuare a
acestei teorii s-ar reduce, în general, la aplicarea ei la cazuri concrete.
BIBLIOGRAFIE:
Oskar Lange, Decizii optime. Bazele programării, Editura Științifică, București, 1970.
A
0 R (optim)
Fig. 6.5
R
113

CAPITOLUL VII: FUNCŢII DE PRODUCŢIE
§ 7.1. FACTORII DE PRODUCȚIE – FORȚA DE MUNCĂ ȘI FORNDURILE – CA
ELEMENTE DE CALCUL ÎN MODELE DE CREȘTERE
Este dificil să enumeri şi să clasifici, în ordinea importanţei lor, toţi factorii creşterii economice.
Totuşi, din punctul de vedere al necesităţilor şi posibilităţilor modelării, prin însumarea lor pe categorii
putem considera că există trei: forţa de muncă, fondurile de producţie şi progresul tehnic.
Rolul factorilor creşterii economice (cantitativ şi calitativ) suferă modificări în timp. Referindu-ne la
forţa de muncă, trebuie să se ţină seama de structura pe vîrste, pe sexe şi de ramurile unde ea este ocupată
(industrie, agricultură), de durata de lucru, precum şi de o serie de însuşiri calitative. Astfel, nivelul de
calificare a forţei de muncă, obţinut atît prin sistemul de învăţămînt, cît şi prin experienţa în producţie, poate
contribui la sporirea forţei productive mai ales acum, cînd producţia de calitate superioară şi îndeosebi aceea
de provenienţă intelectuală este mult solicitată. Astăzi, ridicarea gradului de cultură generală şi, mai ales, a
celei tehnice a devenit hotărîtoare pentru creşterea economică, iar investiţiile care se fac pentru învăţămînt şi
pentru reciclarea profesională sînt nu numai absolut necesare, dar şi printre cele mai sigure şi mai eficiente 51 .
Referindu-ne la fondurile de producţie, desigur, nu toate categoriile au acelaşi rol în creşterea
economică. Cantitatea şi, în special, calitatea maşinilor, utilajelor şi instalaţiilor care acţionează direct în
producţia materială şi intelectuală contribuie direct la sporirea producţiei. Răminerea în urmă a dezvoltării
mijloacelor necesare altor sectoare, ca, de exemplu, a deservirii populaţiei, reţelei de comunicaţii etc, ţine în
loc sau stînjeneşte ritmul general de creştere.
De progresul tehnic mult timp cercetarea economică a făcut abstracţie chiar şi în construcţia unor
modele, luîndu-se în considerare numai creşterea cantitativă şi influenţele celor doi factori menţionaţi 52 .
Astăzi însă progresul tehnic a căpătat importanţa cuvenită în teoria economică, fiind luat în considerare în tot
mai multe modele de analiză şi de previziune economică, fie prin intermediul celor doi factori: forţa de
muncă şi fondurile de prcducţie, fie în mod separat.
51 Cheltuielile pentru dezvoltarea intelectuală a muncitorului — arată K. Marx — apare ca cea mai puternică forţă
productivă care, din punctul de vedere nemijlocit al procesului de producţie, poate fi considerată drept producătoare
de capital constant [114].
52 Tocmai acest lucru l-a dus pe Malthus la concluziile sale asupra viitorului sumbru al economiei, care nu va putea face faţă creşterii
populaţiei, sau, in zilele noastre, la formularea legii creşterii cu precădere, în orice condiţii, a industriei mijloacelor de producţie,
114

Unii economişti, în studiul creşterii economice cu ajutorul funcţiei Cobb-Douglas, folosesc o
variabilă specială reprezentînd resursele naturale. Acest fapt este motivat prin aceea că în unele ţări creşterea
economică este într-o mai mare măsură dependentă de aceste resurse 53 .
Cu toate că ramurile primare continuă să aibă o pondere ridicată şi în economia noastră naţională,
totuşi, dat fiind faptul că obţinerea unor efecte suplimentare depinde de sporirea fondurilor, a forţei de
muncă şi a îmbunătăţirii tehnicii, socotim că luarea în considerare a resurselor naturale nu în mod explicit, ci
prin intermediul celorlalţi trei factori poate aproxima destul de bine rezultatele, avantajul fiind păstrarea
simplităţii modelelor.
Făcînd abstracţie, deocamdată, de progresul tehnic, producţia (venitul naţional), notată cu Y, este
rezultatul acţiunii a doi factori esenţiali: forţa de muncă (L) şi fondurile de producţie (K), interpretaţi ca
factori tehnici de producţie 54 . Fiecare combinare a acestor factori F(K, L) dă o anumită cantitate de producţie
(Y ) şi care se poate scrie sub formă de funcţie
Y =F ( K , L ) , (7.1)
în care: .
Pentru studiul evoluţiei economice şi al modelării creşterii economice cu ajutorul funcţiilor de producţie
se impun calcularea şi folosirea unor coeficienţi fie ca mărimi medii, fie ca mărimi marginale, calculate ca
atare. Ambele tipuri de mărimi sînt necesare, întrucît servesc diferitelor scopuri şi categorii de probleme.
Dacă vom scrie funcţia (7.1):
şi vom împărţi elementele ei prin L , K , Y :
=F
=F
=F
Y = F(K,L )
vom obţine coeficienţii medii, dintre care cei mai familiari şi necesari analizelor noastre sînt:
coeficientul de fonduri pe unitatea de produs (fonduri specifice);
eficienţa fondurilor de producţie;
consumul de muncă pe unitatea de produs;
(7.2a)
(7.2b)
(7.2c)
53 Vezi [121]; vezi, de asemenea, [103], în care se dau o serie de explicaţii şi comentarii interesante despre luarea în considerare a
resuiselor naturale.
54 Nu trebuie să se confunde cu aspectul contribuţiei lor la crearea valorii, aceasta fiind altă problemă, de care nu ne ocupăm în
lucrarea de faţă.
115

- productivitatea muncii;
– fonduri de producție pe unitatea de muncă sau inversul său.
– necesarul de forță de muncă pe unitate de fonduri de producție.
Pentru determinarea indicatorului fonduri pe unitatea de muncă se mai poate folosi relația:
Cu ajutorul acestor coeficienți se potconstrui și folosi funcții de producție ale căror elemente
componente sînt calculate
- pe unitate de muncă:
- pe unitate de fonduri:
- pe unitate de produs:
sau = f(k), (7.3a)
, (7.3b)
1=f(v,u). (7.3c)
Coeficienții arătați, alături de alte elemente, servesc la determinarea unor variabile necunoscute
și la efectuarea unor analize economice pe care le vom dezvolta în cele ce urmează.
§ 7.1.1. NELUAREA ÎN CONSIDERARE A SUBSTITUȚIEI FACTORILOR
Pentru a realiza un volum de producție Y, trebuie ca desponibilul de fonduri de producție K și
de forță de muncă L să intre in combinație în anumite proporții.Presupunem că această
combinație se face cu o astfel de tetehnologie, încît imputurile sînt luate in proporții fixe, ca de
altfel și coeficienții definiți mai sus.
Mințîndu-ne că eficiența fondurilor productive s-a notat cu
,volumul de productie Y se poate exprima prin:
sau
unde: sint considerate constante.
iar productivitatea muncii cu
(7.4)
Proporţia în care sînt folosite stocul de fonduri productive şi forţa de muncă se poate exprima prin
116

aportul
Ceea ce trebuie reţinut ca fiind dat prin definiţie este că funcţia (1.4) se caracterizează prin
inexistenţa substituţiei factorilor. Cu alte cuvinte, ea este o funcţie cu substituţia zero în care tehnologia
impune un proces de producţie în cadrul căruia factorii de producţie (fondurile şi forţa de muncă) pe unitatea
de produs sînt întotdeauna combinaţi într-un raport fix
În aceste condiţii, apariţia pe parcurs a oricărui surplus de forţă de muncă faţă de fondurile de
producţie sau a unui surplus de fonduri faţă de forţa de muncă par ca fiind de prisos, şe irosesc.
Funcţia de producţie cu coeficienţi ficşi, deci cu substituţia zero, se poate reprezenta într-un grafic în
care se ia pe abscisă inputul L , pe ordonată inputul K,iar ca iz o cântă outputul Y (vezi fig. 1).
Aici s-a inclus izocanta cu un singur punct A în care y = 1, iar L şi K= conform relaţiei
(7.3c). Proporţia fixă v/u în care sînt folosiţi factorii d,e producţie apare ca pantă a dreptei (razei) O A ,
care este tangentă la punctul A , determinată astfel:
§ 7.1.2. RELAXAREA LIPSEI DE SITUAȚIE A FACTORILOR PRIN
PROGRAMAREA LINIARĂ
Dacă se păstrează principiul coeficienţilor ficşi, însă această condiţie o relaxăm într-o anumită
măsură, recurgînd la variante tehnologice, ca în programarea liniară, şi anume dacă se iau patru variante,
fiecare din ele avînd coeficienţi proprii, vom ajunge la relaţia
unde : > 0.
K
v1
0
y=A
v/u
u1 L
Fig. 1
Considerînd că fiecare variantă este separată, iar outpu-tul o izocantă egală cu unitatea, vom lua: pentru
117
.
(7.5)

varianta întîi L = forţă de muncă şi K= fonduri de producţie sau ( A1 = 1, pentru varianta a
doua L = u2 forţă de muncă şi K = v2 fonduri de producţie sau (u2, v2 ) = A2 = 1 ş.a.m.d. (vezi graficul din fig.
2).
K
0
0
La varianta întîi, pentru realizarea unei unităţi de output 0 (A1), 9 se va consuma o cantitate mai mare de forţă
de muncă şi o cantitate mai mică de fonduri de producţie, pe cînd la celelalte variante o unitate de output
(A2, A3 sau A4) va cere treptat o diminuare a consumului 0 de forţă de muncă şi o creștere a consumului de
fonduri de producţie.
Un pas mai departe în relaxarea condiţiilor este făcut odată cu combinarea liniară în orice proporție
a proceselor din variantele 1 cu 2, 2 cu 3 și 3 cu 4. Luînd primele combinații dintre
procesele 1 şi 2, pentru a obţine o unitate de output se ia forţa de muncă în cantităţile din varianta unu
şi (1- ) u2 din varianta doi, adică L = u1+ (1- ) u2 precum şi fonduri de producţie în cantităţile v1 din varianta
unu şi (1- )v2 din varianta doi, adică K = + (1- v2. În felul acesta, pe intervalul dintre A1 şi A2 vor exista o
mulţime de puncte reprezentînd unitatea de output obţinută cu cantităţile de forţă de muncă şi de fonduri de
producţie care variază între u1 şi u2 şi, respectiv, între v1 şi v2. Dacă variază de la 1 la 0 nu în intervale
discrete, ci în intervale infinitezimale, punctul B trece de-a lungul segmentului din figura 4 de la punctul A1
la A2 printr-o linie continuă, transformînd astfel mărimile discrete în mărimi continue şi diferenţiabile.
În felul acesta se trece la studiul funcţiilor de producţie continue şi diferenţiabile şi al factorilor
variabili şi substituibili.
v 1/u 1
A4(u4,v4)
9
A3(u3,v3)
v2/u2
0
9
A2(u2,v2)
9
9
0 Fig. 2
A1(u1,v1)
+ (1 – v2
L
118

§ 7.1.3. MODALITĂȚI DE LUARE ÎN CONSIDERARE A CARACTERULUI CONTINUU
Formulînd funcția de producție :
în care:
VARIABIL ȘI SUBSTITUIBIL AL FACTORILOR
Y=F(K, L),
fiecărei combinaţii a inputurilor (K, L) îi corespunde o anumită valoare a outputului Y.
Să presupunem că inputurile K şi L sînt continuu variabile şi continuu substituibile în producţie.
De asemenea, se presupune că Y este o funcţie continuă şi de două ori derivabilă, adică:
şi în care sînt prezente caracteristicile:
(7.6a)
(7.6b)
(7.6c)
(7.6d)
Derivatele parţiale de ordinnl unu FK şi FL ne amintesc de definiţia vitezei din fizică şi reprezintă
creşterea funcţiei (a producţiei) în raport cu o creştere infinit mică a unei variabile (cealaltă rămînînd fixă).
Aceasta este cunoscută în economie ca fiind, respectiv, eficienţa diferenţială (marginală) a fondurilor şi
productivitatea diferenţială a muncii. Aceste mărimi sînt mai mari decît zero, deci odată cu un spor infinite-
zimal al variabilei creşte şi producţia.
Derivatele parţiale de ordinul doi FKK şi FLL ne amintesc de definiţia acceleraţiei din fizică.
Acceleraţia este scăzîndă în raport cu creşterea variabilelor (vezi relaţiile de mai sus). Aceasta este expresia
aşa-numitei legi a „efectelor descrescînde" în raport cu K şi L.
Să revenim asupra derivatelor parţiale cu explicaţii suplimentare de ordin economic.
Derivînd pe Y în raport cu K şi păstrînd mărimea L constantă, vom determina eficienţa
(productivitatea) diferenţială (marginală) a fondurilor, care arată creşterea producţiei ce revine la o sporire
infinit mică de fonduri, adică:
Acum, păstrînd mărimea K constantă şi derivînd pe Y în raport cu L, vom afla productivitatea
diferenţială a muncii, adică creşterea producţiei care revine la o sporire infinit mică a forţei de muncă :
(7.7)
119

Productivitatea diferenţială a muncii este egală cu aşa-numita rată de remunerare a forţei de
muncă 55 :
F L = w . (7.9)
În formularea funcţiilor de producţie, folosite în modelele macroeconomice de creştere, se
cer a fi precizate mai multe aspecte, asupra cărora ne vom opri, pe scurt, ceva mai tîrziu.
§ 7.2. FUNCȚII ȘI FACTORI DE PRODUCȚIE ÎN EXPRIMAREA ,,PER CAPITA”
Pînă acum funcţia de producţie a fost dată în cifre globale. Adeseori însă, din punct de vedere
al dezvoltării matematice este mai convenabil ca funcţia să se ia în termeni „per capita", şi
anume :
(7.8)
y=f(k,1) (7.10)
sau: y=f(k),
în care:
=
output de capita,
fonduri de producție per capita (7.11)
Funcţia de producţie (7.10) poate fi reprezentată grafic, componentele sale formînd planul
(k,y), care se mai poate nota
variabile pe abscisa OC=
punct fix A și care are ca panta tangenta
sau
(fonduri de capita) și pe ordonată OC=
(vezi graficul din fig.3).Coordonatele avînd ca
(output per capita) dau unicul
55 Asupra eficienţei diferenţiale şi asupra ratei de remunerare a forţei de muncă vom reveni cu explicaţii
suplimentare de conţinut în paragrafele c a r e u r m e a z ă .
.
120

În termeni economici această pantă reprezintă eficienţa (productivitatea) fondurilor de
producţie. Unicul punct A din planul (k, y) este curba reprezentînd pe y în funcţie de k.
Condiţia coeficienţilor ficşi poate fi relaxată trecînd de la procesul de producţie cu o
singură variantă tehnologică la un proces cu mai multe variante tehnologice, în mod asemănător
celor de la programarea liniară, de exemplu, cu i = 1,2,3,4 variante tehnologice cu elementele yi
şi hi.
Ţinînd seama de una din trăsăturile specifice privind corelaţia dintre indicatorii y şi k 56 , şi
anume că sporirea eficienţei fondurilor este din ce în ce mai redusă
se va
lua varianta 1 cu unghiul pantei (definit prin productivitatea fondurilor) 1/v1 mai mare, varianta
2 cu unghiul pantei 1/v2 mai mic, ca in graficul din fig.4. Variantelor reprezentate în punctele
.
le corespund unghiurile pantelor
56 În speţă, ne referim la faptul că acceleraţia lui f(k) este negativă, adica f ''(k)

Condiția de fixare a raportului dintre inputurile per capita sau condiția de substituție zero
poate fi relaxată în continuare dacă vom lua în considerare posibilitatea de combinare in diferite
proporții a proceselor din variantele 1 cu 2, 2 cu 3, 3 cu 4.
Referindu-ne la primele combinaţii dintre procesele 1 cu 2, pentru a obţine outputul per
capita : se ia outputul în cantităţile y1 din varianta unu şi (1 — ) y2 din varianta doi, adică y =
y1 + (1 — ) y1, precum şi inputul de fonduri per capita în cantităţile k1 din varianta unu şi (1
— )k2 din varianta doi, adică k = k1+ (1 — )k2, definind un punct N în planul ( k , y) ce
variază între A1 şi A2 după cum variază de la 1 la 0, punct ce este definit în plan astfel: [ k1+
(1 — )k2, y1+ (1 — )y2].
Luînd variaţiile lui infinit mici, deci variantele proceselor crescînd indefinit şi
asigurîndu-se, prin aceasta, o infinitate de posibilităţi de substituire a factorilor, relaţia
funcţională dintre y şi k devine o curbă continuă și diferentiabilă:
unde:
a) relația
0
y
producție, care este pozitivă:
y=f(k), (7.12)
și
care este o funcţie liniară şi omogenă avînd următoarele caracteristici principale:
,
reprezintă eficiența diferențială (marginală) a fondurilor de
b) derivata a doua, care reprezintă accelerația eficienței fondurilor de producție
, este negativă:
A1
N
1/v1
A2
1/v2
A3
1/v3
Fig. 4
A4
k 1+(1- )k2, y+(1- y 2]
1/v4
k
(7.13)
122

c) eficiența marginală a fondurilor crește tinzînd spre infinit cînd fondurile per capita tind
spre zero:
(7.15)
d) eficiența marginală a fondurilor de producție per capita descrește tinzînd spre zero cînd
fondurile per capita cresc indefinit:
(7.16)
Ţinînd seama de caracteristicile menţionate, reprezentarea grafică a acestei funcţii are
înfăţişarea din fig. 5.
De aici se văd principalele caracteristici menţionate referitoare la relaţia dintre variaţia
volumului fondurilor per capita şi variaţia eficienţei marginale a fondurilor : în timp ce mărimea
creşte, de exemplu, la unghiurile pantelor ce reprezintă
eficiența marginală descresc tinzind spre zero.
§ 7.3. DETRAMINAREA CANTITATIVĂ A CONTRIBUȚIEI FACTORILOR LA
REALIZAREA PRODUCȚIEI
Acum să facem un pas mai departe în analiza conţinutului economic al factorilor, în sensul
determinării cantitative a contribuţiei lor la realizarea producţiei. Ca o premisă necesară este
presupusă starea de planificare perfectă, cu alte cuvinte, toate procesele se desfăşoară în condiţii
optime.
Începem analiza reamintindu-ne de funcţia de producţie continuă şi diferenţiabilă exprimată
în mărimi globale,
y
0
M1
M3 M
2
Fig. 5
M4
y=f(k)
k
123

din care se pot determina, prin derivare parțială,
- eficiența marginal a fondurilor:
- productivitatea diferențială a muncii:
(7.17)
și (7.18)
(7.19)
Făcînd produsul dintre productivităţile diferenţiale şi factorii de producţie respectivi,
însumarea acestora duce la obţinerea volumului producţiei Y, adică
sau
unde:
(7.20)
Ne amintim, de asemenea, de funcţia de producţie-exprimată în mărimi calculate per capita :
avînd caracteristicile :
Derivata parțială
echivalentă cu:
y=f(k,1) sau y=f(k), (7.21)
reprezintă eficienta marginală a fondurilor per capita, care este
(7.22)
Făcînd produsul dintre eficienţa marginală a fondurilor şi cantitatea de fonduri, ambele
calculate per capita, obţinem partea de output adusă de eficienţa marginală a fondurilor per
capita:
. (7.23)
Scăzînd din producţia per capita f(k) partea de output adusă de eficienţa marginală a
fondurilor per capita kf'(k), rezultă partea de output adusă de productivitatea diferenţială a muncii
per capita în condiţiile planificării perfecte (optime) :
sau
Însumînd partea de output adusă de eficienţa marginală a fondurilor per capita:
cu partea de output adusă de productivitatea diferențială a muncii per capita:
(7.24)
(7.25)
124

ezultă producția totală per capita:
Producția per capită se compune deci din:
relație ce derivă din:
sau
(7.27)
(7.28a)
, (7.28b)
. (7.28c)
Acum să reprezentăm grafic aceste relaţii pentru a clarifica mai bine unele noţiuni expuse şi
pentru a crea o bază de pornire pentru analizele ulterioare, care vor lua în considerare şi influenţa
progresului tehnic.
Ne amintim că în graficul anterior (figura 9) s-a analizat relaţia dintre fonduri şi producţie,
luîndu-se pe abscisă variaţia cantitativă a fondurilor per capita, iar pe ordonată cea a producţiei
per capita.
Să presupunem că în planul (k,y), şi anume pe curba descrisă y = f(k), punctul A arată poziţia
optimă a producţiei şi care se măsoară cu ajutorul pantei tangentei f'(k)= la punctul A,
denumită, ca şi mai înainte, eficienţa marginală a fondurilor (vezi fig. 6).
Z 0
Valoarea pantei tangentei la A, adică diferenţiala f‘(k) notată cu , se poate determina
geometric prin relaţia:
y
B
S
k
A
M
Fig. 6
y=f(k)
k
125

sau
de unde:
Întrucît însă BA=OM=k, atunci:
(7.29)
, (7.30a)
, (7.30b)
SB= (7.30c)
care reprezintă, aşa cum s-a văzut mai înainte, partea de output adusă de eficienţa marginală a
fondurilor per capita sau plus produsul per capita.
Diferența:
OB-SB=w (7.31)
reprezintă partea de output adusă de productivitatea diferenţială a muncii per capita sau rata
remunerării per capita în condiţiile planificării perfecte (vezi graficul din figura 7).
Din grafic reese felul cum producția y este divizată în cele două componenţe de bază şi w,
al căror conţinut economic a fost analizat mai sus.
Ne îngăduim ca asupra acestor chestiuni să revenim mai tîrziu, şi anume atunci cînd vom
introduce în discuţie influenţa progresului tehnic. Deşi prezentate într-o formă simplificată, am
dori totuşi ca noţiunile să fie reţinute, cu atît mai mult cu cît o serie de raţionamente ulterioare se
vor însăila pe această osatură de bază.
S
W
Z 0
y
B
Înarmaţi cu aceste noţiuni să mergem mai departe eu analiza, nu înainte însă de a ne opri,
pentru un moment, asupra altor chestiuni frecvent întîlnite în construcţia modelelor de creştere.
Este vorba de determinarea cantitativă a ratei marginale de substituire a factorilor şi a elasticităţii
A
M
Fig. 7
y=f(k)
k
126

de substituţie a lor.
§ 7.4. RATA MARGINALĂ DE SUBSTITUIRE A FACTORILOR ȘI ELASTICITATEA
Să luăm funcţia de producţie:
DE SUBSTITUȚIE A ACESTORA
Y = F(K,L) (7.32)
continuă şi diferenţiabilă şi să considerăm ca restricţie outputul Y =Y0 constant (o izocantă), iar
inputurile K şi L continuu variabile şi substituibile, care contribuie, prin diferitele lor combinări,
la realizarea producţiei Y0 (izocanta Y0 este locul geometric al punctelor (K,L): vezi graficul din
fig. 8).
În ilustrarea grafică am luat trei exemple de combinaţii, în proporţii diferite, ale consumului
de fonduri şi de forţă de muncă. (Referindu-ne la cazurile extreme: A1 rezultă din combinaţia
consum ridicat de fonduri şi consum scăzut de forţă de muncă; A2 rezultă din combinaţia consum
scăzut de fonduri şi consum ridicat de forţă de muncă). Panta tangentelor A0 P0, A1 P1, A2 P2 sau
a oricărei alte tangente la curba Y0, care definește rata marginală de substituire a factorilor, se
determină potrivit raţionamentului următor :
Să presupunem că variabilele K şi L capătă simultan creşterile dK şi dL. Avînd determinate,
cu ajutorul derivatelor parțiale, productivitațile diferențiale ale factorilor:
și
L
L1
L0
L2
0
K
1
A
1
P
1
K
0
A
0
Fig. 8
P
0
A
2
K
2
P
2
Y=Y0
(7.33)
127

(7.34)
înmulțindu-le respectiv cu creșterile factorilor de producție dK şi dL și însumîndu-le, vom obține
creșterea totală a outputului, pe care o notăm cu dY:
(7.35)
(7.36)
Dacă producția Y este considerată la nivelul punctelor extremale, adică Y=Y0=constant,
conform figurii 12 vom avea:
(7.37)
De aici operînd asupra acestor relații transformările necesare, obținem rata marginală de
substituție r (K,L):
(7.38)
(7.39)
Din punct de vedere geometric, această rată arată valoarea numerică a pantei tangentei la
punctul A de pe izocantă. Panta coboară, deci este luată cu semnul minus.
Din punct de vedere economic aceasta arată că, în combinarea factorilor, la o scădere oricît
de mică a forţei de muncă are loc o creştere a volumului fondurilor de producţie egală cu rata
r(K,L). Mai precis, această rată este egală cu raportul dintre productivitatea diferenţială a muncii
şi aceea a fondurilor.
Am definit rata de substituire a factorilor de producţie. Acum să trecem la caracterizarea
gamei de substituţii, deci a diferitelor rate posibile de substituţii dintre factori de-a lungul unei
izocante. Aceasta se poate face cu ajutorul aşa numitei elasticităţi de substituţie.
Prin definiţie, elasticitatea substituirii factorilor, notată cu , arată modificarea procentuală a
fondurilor de producţie per capita dk/k ( ) adusă de schimbarea cu un procent a ratei de
substituţie dintre forţa de muncă şi fonduri dr (K, L)/r(K, L), adică:
în care:
, (7.40)
Potrivit relaţiilor, elasticitatea de substituire va fi cu atît mai mare, cu cît raportul fonduri de
producţie — forţă de muncă va fi mai sensibil la modificările relative, care au loc atunci cînd
este vorba de productivităţile diferenţiale ale forţei de muncă şi ale fondurilor de producţie.
Elasticitatea de substituţie a factorilor poate lua valorile:
128

lor.
Măi tîrziu vom vedea unele condiţii care stau la baza acestor valori, precum şi interpretarea
Menţionăm că elasticitatea de substituţie a factorilor se poate determina şi cu alte formule de
calcul decît aceea dată mai sus. Aici scriem doar două dintre ele:
în care termenii folosiți au fost definiți mai sus 57 .
, (7.41)
§ 7.5. RELAȚII CANTITATIVE DINTRE MODIFICĂRILE FACTORILOR ȘI CELE
ALE PRODUCȚIEI STUDIATE CU AJUTORUL FUNCȚIILOR DE PRODUCȚIE
(7.42)
Acum să trecem la analiza raportului dintre modificările cantitative ale factorilor (fonduri şi
forţă de muncă) şi modificările cantitative care au loc în producţie. Acest raport este cunoscut
sub numele de elasticitatea producţiei în raport cu fondurile sau/şi cu forţa de muncă, iar
valoarea sa depinde de evoluţia randamentului (efectului) acestor factori sau resurse.
În ansamblu, randamentul resurselor poate fi:
a) constant—cunoscut adeseori sub denumirea engleză de "constant returns to scale",
b) variabil—crescător şi descrescător.
În funcţie de randamentul resurselor, o creştere proporţională a lui K şi L poate duce la o
creştere proporţională sau la o creştere neproporţională a lui Y.
Notînd creşterea cantitativă a ambilor factori cu aceeaşi mărime , iar randamentul acestora
cu h şi introducîndu-le în funcţia de producţie de tipul F (K, L), vom obţine:
în care:
h > 1 randamentul creşte la sporirea scării producţiei;
h = 1 randamentul este constant indiferent de scara producţiei;
h < 1 randamentul descreşte la sporirea scării producţiei.
(7.43)
Pentru simplificare, s-a luat pînă acum cazul cînd randamentul este constant, deci cînd Y
creşte în aceeaşi proporţie cu K şi L (cazul particular), adică:
în care: h=1.
57 Pentru aprofundarea diferitelor aspecte ale elasticitații substituției dintre factori vezi [4], [5], [31], [73], [172].
(7.44)
129

Din cele arătate rezultă deci că, în general, este vorba de două feluri de elasticităţi:
a) elasticitatea substituţiei dintre fonduri şi forţă de muncă;
b) elasticitatea producţiei în raport de fonduri şi de forţa de muncă dată de randamentul acestor
factori.
Dacă mai înainte s-a analizat numai primul tip de elasticităţi de substituţie, acum vom lua în
considerare şi cel de-al doilea tip.
În legătură cu aceasta, în cercetările întreprinse în domeniul funcţiilor de producţie s-au emis
ipoteze de lucru, la început simplificate, pentru ca apoi să se treacă la altele mai complicate,
apropiate de realitate. Noi vom analiza patru dintre ele în următoarele paragrafe.
§ 7.5.1. IPOTEZA 1: ELASTICITATEA DE SUBSTITUȚIE A FACTORILOR EGALĂ
CU ZERO; ELASTICITATEA PRODUCȚIEI ÎN RAPORT CU FONDURILE ȘI CU
FORȚA DE MUNCĂ EGALĂ CU 1 (DECI RANDAMENTUL FACTORILOR
CONSTANT)
Mult timp, ipoteza dominantă folosită în cercetarea şi în construcţia unor modele cum sînt:
analiza input-output, de programare, modele clasice de creştere economică etc., a fost aceea a
coeficienţilor de cheltuieli constanţi (ficşi) a lui Walras-Leontief-Harrod-Domar. Evident, în
acest caz nu se admite nici substituţia între factorii de producţie (fonduri şi forţa de muncă) sau,
cu alte cuvinte, elasticitatea de substituţie a factorilor de producţie este egală cu zero. La
tipurile de modele menţionate, omogenitatea şi liniaritatea funcţiilor fac ca elasticitatea
producţiei în raport cu factorii — fondurile şi forţa de muncă — să fie egală cu 1, deci
randamentul este constant 58 .
§ 7.5.2. IPOTEZA 2: ELASTICITATEA DE SUBSTITUȚIE A FACTORILOR EGALĂ
CU 1; ELASTICITATEA PRODUCȚIEI ÎN RAPORT CU FONDURILE ȘI CU FORȚA
DE MUNCĂ EGALĂ CU 1 (DECI RANDAMENTUL FACTORILOR CONSTANT)
Un pas mai departe în clarificarea acestor chestiuni este făcut dacă vom folosi ca instrument
de lucru cunoscuta funcţie de producţie Cobb-Douglas, în care elasticitatea substituţiei dintre
factori (fonduri şi forţă de muncă) este egală cu 1, iar elasticitatea producţiei în raport cu
58 Asupra acestor chestiuni vom reveni cînd vom analiza modelele simple de creştere economică.
130

fondurile şi forţa de muncă este, de asemenea, egală cu 1 şi deci randamentul factorilor este
constant.
§ 7.5.2.1. RANDAMENTUL FACTORILOR
Înainte de a intra într-o serie de detalii, am dori să reluăm definirea randamentului factorilor
de producţie, care, aşa cum s-a mai spus, poate fi: constant, crescînd şi descrescînd.
Astfel, dacă se schimbă cantitatea de resurse utilizate, de exemplu, de la K şi L la K şi L,
se va schimba şi outputul la:
(7.45)
Această funcţie este omogenă de gradul . Să luăm funcţia Cobb-Douglas în formă
simplificată:
Pentru simplificarea lucrurilor să exprimăm această relaţie în logaritmi naturali:
(7.46)
. (7.47)
Prin derivarea acestei ecuaţii în raport de K şi de L obţinem mărimile:
care mai pot fi scrise:
, (7.48)
, (7.49)
Prin însumarea acestor mărimi marginale vom obține relația:
(7.50)
(7.51)
, (7.52)
. (7.53)
De aici reiese deci că rezultatul (producţia) Y poate fi multiplicată cu , care reprezintă
elasticităţile producţiei în raport cu fondurile de producţie şi cu forţa de muncă. Aici este
partea de contribuţie a fondurilor şi este partea de contribuţie a forţei de muncă la realizarea
producţiei.
În ce priveşte mărimea sumei care exprimă gradul funcţiei omogene, există trei
posibilităţi:
a) = 1 : elasticitatea producţiei în raport cu factorii este egală cu 1, deci factorii au un
randament (efect) constant:
131

) >1 : elasticitatea producţiei în raport cu factorii este mai mare decît 1, deci factorii au
un randament (efect) crescător;
c) < 1 : elasticitatea producţiei în raport cu factorii este mai mică decît 1, deci factorii au
un randament (efect) descrescător.
§ 7.5.2.2. ANALIZA PRIVIND CONȚINUTUL PARAMETRILOR FUNCȚIEI COBB-
DOUGLAS
Acum să revenim la prezentarea funcţiei Cobb-Douglas, folosind notaţiile şi scrierea ei
în care: Y — producţia,
K — fondurile de producţie,
L — forţa de muncă,
obişnuită simplificată fără factorul rezidual:
= 1 — elasticitatea producţiei în raport cu factorii de producţie.
(7.54)
Plecînd de la ultima formă a acestei funcții, vom studia evoluţia în timp a producţiei şi a
influenţei factorilor 59 . Creșterea producţiei dY poate fi exprimată prin următoarea formulă, care,
evident, derivă din (7.54) 60 :
(7.55)
Aceasta înseamnă că creşterea producţiei, de la o perioadă la alta, se datoreşte: sporului de
producţie dat de creşterea fondurilor (creşterea fondurilor înmulţită cu productivitatea lor
diferenţială), la care se adaugă sporul producţiei dat de creşterea forţei de muncă (creşterea forţei
de muncă înmulţită cu productivitatea diferenţială a acesteia).Forma aceasta este destul de
incomodă din punctul de vedere al calculelor. În acest sens, exprimarea procentuală a evoluţiei
este mult mai indicată. Pentru aceasta vom împărţi cu Y toţi termenii egalităţii (7.55), iar pentru a
putea defini din punct de vedere economic unii termeni, vom recurge la un artificiu destul de
simplu: vom înmulţi şi împărţi unul dintre termeni cu K, iar altul cu L ştiind că din punct de
vedere matematic valorile nu se modifică:
. (7.56)
59 O asemenea abordare poate fi găsită în [119] şi [172]. Aici însă am exclus factorul rezidual A.
60 Aici dY reprezintă creşterea cantităţii producţiei determinată prin diferenţa a două perioade şi se mai
poate nota cu ∆Y. Atît ∆, cît şi d pot arăta mărimi continue şi mărimi discrete.
132

Rearanjînd termenii într-o ordine mai convenabilă, se poate ajunge la următoarea formă a
egalităţii:
Aici, evident,
de muncă.
,
,
(7.57)
reprezintă creșterea procentuală a producției, a fondurilor și a forței
Acum să definim elementele din cele două paranteze.
În prima paranteză există coeficientul de fonduri pe unitatea de producţie 61 (sau fondurile
specifice)
notat mai înainte cu v şi eficienţa marginală a fondurilor
notată mai înainte cu
FK (iar toate celelalte le considerăm constante sau neschimbate). Produsul dintre aceste mărimi:
(7.58)
dă cota-parte sau contribuţia fondurilor la creşterea procentuală a producţiei, pe care o notăm cu
, deci:
În paranteza a doua există coeficientul consumului de muncă pe unitatea de produs
mai înainte cu u, şi productivitatea diferenţială a muncii
celelalte condiţii le considerăm constant s-au neschimbate).
Produsul dintre mărimile menţionate:
(7.59)
, notat
notată mai înainte cu FL (iar toate
(7.60)
reprezintă contribuţia sau cota-parte a forţei de muncă la creşterea procentuală a prcducţiei. Pe
aceasta să o notăm cu , deci:
În condițiile randamentului constant, deci cînd:
de unde:
(7.61)
= 1 (7.62)
contribuția forței de muncă la sporirea procentuală a producției va fi:
Avînd noțiunile precizate, acum putem transcrie relația (7.57) în noua sa notație:
61 Pe unitatea de producţie fizică sau valorică
(7.63)
(7.64)
133

sau în condițiile randamentului constant:
, (7.65)
. (1.66)
Dar să vedem cum se calculează mărimea . Se poate observa că mărimea contribuției
forței de muncă la realizarea producție
Ştim însă că
se mai poate scri și în felul umător:
(7.67)
sau FL este productivitatea diferenţială a muncii; atunci LFL este partea din
producţia totală, echivalentă cu venitul sau plata sub formă de retribuire la limită, adică la
punctul în care o creştere oricît de mică a producţiei nu ar mai aduce un spor suplimentar de
retribuţie sau venit. Deci, LFL reprezintă venitul total ce revine forţei de muncă, calculat la un
tarif echivalent cu productivitatea diferenţială a muncii realizată în condiţiile unei planificări
optime. Raportînd venitul total W la producţia Y, vom afla ponderea fondului total de retribuire a
muncii în venitul naţional:
(7.68)
În legătură cu calculul mărimii ne permitem unele consideraţii privind posibilitatea
utilizării datelor statistice. În realizarea politicii de retribuire, după cum se ştie, se ţine seama de
principiul remunerării după cantitatea şi calitatea muncii. De asemenea în concordanţă cu acest
principiu, retribuirea ţine seama de faptul că forţa de muncă este liberă de a trece de la o
întreprindere la alta şi de la o ramură la alta prin faptul că se face o ierarhizare a ramurilor,
întreprinderilor şi profesiunilor pentru atragerea forţei de muncă în ramurile şi profesiunile
deficitare; sistemul de retribuire este receptiv deci la apariţia unor surplusuri în unele ramuri şi a
unor deficite în altele. Dacă sistemul de planificare şi de fundamentare economică a planurilor ca
şi viaţa economică curentă nu au ajuns încă la acea perfecţiune care să permită realizarea în
practică a productivităţii optime, iar remunerarea şă corespundă acesteia, totuşi, prin planificare
şi politica economică se tinde spre acest ţel. De aceea, considerăm că aceste mărimi, totuşi, pot fi
folosite, însă cu un anumit grad de aproximaţie.
Faptul că funcţia Cobb-Douglas ia în considerare randamentul constant simplifică mult
problema. În realitate însă, datorită progresului tehnic, precum şi altor factori, randamentul nu
este constant, ci crescător sau descrescător 62 . Deci elasticitatea producţiei în raport cu fondurile
62 E. Dobrescu [46, p. 128] a calculat pentru perioada 1959—1975 următoarele elasticităţi ale producţiei în raport cu
fondurile şi cu forţa de muncă pe ramuri ale economiei naţionale, cu randament crescător ( )> 1:
134

şi cu forţa de muncă este . Însă aceasta nu înseamnă că folosind funcţia Cobb-
Douglas, care are ca ipoteză de lucru randamentul constant şi în speţă egal cu unitatea, s-ar face
abstracţie de progresul tehnic şi de alţi factori. Factorul rezidual A(t) are tocmai menirea de a
reflecta progresul tehnic neutru în variaţia sa probabilă [185]. Deci, în fapt, efectele
randamentului crescător şi descrescător vor fi colectate în factorul rezidual A. În acest scop, într-
unui din articolele sale din 1957 Solow a procedat astfel [165] : a determinat mai întîi
coeficientul pe baza raportului dintre veniturile aduse de capital şi totalul venitului naţional. Pe
1-a dedus din relaţia 1 — = . Atunci, scăzînd din productivitatea capitalului (Y/K= ) 63
produsul dintre şi capitalul pe unitatea de muncă K/L = k, el a găsit mărimea A(t) care reflectă
progresul tehnic neutru 64 :
(7.69)
§ 7.5.2.3. FOLOSIREA FUNCȚIEI COBB-DOUGLAS, EXPRIMATĂ ÎN MĂRIMI PER
CAPITA, LA DETERMINAREA RATEI DE SUBSTITUȚIE ȘI ARATEI DE
ELASTICITATE A FACTORILOR
Acum să spunem cîteva cuvinte despre posibilitatea determinării ratei de substituţie a
factorilor de producţie şi a elasticităţii de substituţie a factorilor folosind funcţia de producţie
Cobb-Douglas exprimată în mărimi per capita de tipul:
în industrie 0,5771 1,2430
în construcții 0,6368 0,3724
circulația mărfurilor și alte ramuri 0,6538 0,3834
transporturi și telecomunicații 0,5291 1,7644
P. Vainer [181] a calculat pentru perioada 1950—1971 următoarele elasticităţi ale producţiei în raport cu
fondurile şi cu forţa de muncă, pe ansamblul economiei naţionale :
— cu randament crescător ( ) > 1 :
1,07 ; = 1,79
— cu randament constant ( ) = 1 :
= 0,37 ; 0,63.
În cazul cînd suma celor două elasticităţi este supraunitară (deci cînd randamentul este crescător), elasticitatea
reflectă influenţa pozitivă atît a dimensiunilor sporite ale activităţii economice (economiile dimensionale sau de
scară), cît şi efectul progresului tehnic.
63 El a luat ca premisă de lucru realizarea optimului, în care valorile medii sînt egale cu cele marginale.
64 Asupra luării în considerare a progresului tehnic vom reveni cu o analiză cuprinzătoare într-un
paragraf special.
135

(7.70a)
(7.70b)
În acest fel, calculele se simplifică, iar conţinutul economic al acestor noţiuni, legate de
condiţiile aplicării funcţiei de producţie Cobb-Douglas, devin şi mai clare.
Ne referim mai întîi la rata de substituţie a factorilor: în această privinţă ne amintim că pentru
aceasta, calculată cu ajutorul mărimilor per capita - vezi (7.39) — s-a dat următoarea relaţie:
Deoarece , derivind pe f(k) în funcție de k rezultă:
. (7.71)
(7.72)
(7.73)
(7.74)
Introducînd în relaţia (7.71) derivata găsită şi operînd transformările respective, vom obţine
rata de substituţie a factorilor de producţie (forţa de muncă — fonduri) în noua exprimare:
(7.75)
Acum ne referim la elasticitatea de substituţie a factorilor : în această privinţă ne amintim de
una din formulele date care avea ca elemente componente mărimi per capita.
Deoarece , iar derivata întîi fiind deja determinată:
să trecem la determinarea derivatei a doua a funcției f(k) :
. (7.76)
, (7.77)
, (7.78)
(7.78)
Introducînd derivatele în relaţia (7.76) şi operînd transformările necesare, vom ajunge la
următoarele rezultate:
. (7.80)
Din dezvoltările relaţiilor care au fost efectuate mai sus, rezultă că rata de substituţie a
factorilor de producţie (forţa de muncă-fonduri) este:
(7.81)
iar elasticitatea de substituţie a factorilor acestei funcţii este egală cu 1 conform ipotezei 2 de
lucru alese pe care am analizat-o pînă acum.
136

§ 7.5.3. IPOTEZA 3: ELASTICITATEA DE SUBSTITUȚIE A FACTORILOR
CUPRINSĂ ÎNTRE 0 ȘI + ∞; RANDAMENTUL FACTORILOR CONSTANT
În urma relaxării condiţiilor precedente s-a ajuns la formularea aşa-numitei funcţii CES
(Constant Elasticity of Substitution), care conţine trei parametri (de substituţie, de distribuţie şi
de eficienţă) [14]:
(7.82)
În afară de elementele cunoscute, definite pînă acum, aici apar cîţiva parametri al căror
conţinut şi comportament trebuie redat pe scurt în cele ce urmează:
este parametrul de eficienţă (neutră). O schimbare a acestui parametru modifică
producţia pentru orice cantităţi de resurse, în aceeaşi proporţie;
este parametrul de „ distribuţie" şi arată „distribuţia veniturilor" la factorii tehnici de
producţie ( );
fi este parametrul de substituţie, care este o funcţie a elasticităţii de substituţie
și anume
Cîteva detalii suplimentare în legătură cu parametrul de substituţie , cu elasticitatea de
substituţie a factorilor a şi cu relaţiile dintre aceste mărimi vor fi de natură să ne ajute la o mai
bună înţelegere a funcţiei CES. Astfel, încă de la început se poate observa că limitele valorilor
sînt derivate din . Ca atare, valorile admisibile ale lui sînt cuprinse între -1 şi +∞ şi care
permit ca să ia valori de la +∞ la 0. În consecinţă, cînd devine infinit, elasticitatea de
substituţie devine nulă, avînd situaţia rigidă arătată în ipoteza 1. Cînd parametrul tinde, ca
valoare, spre limita de jos, adică spre -1, elasticitatea de substituţie a factorilor tinde spre infinit.
Deci pentru valorile cuprinse între -1 şi 0 obţinem elasticităţi mai mari decît unitatea. Cînd ia
valoarea 0, va rezulta o elasticitate egală cu unitatea şi deci se va ajunge la funcţia Cobb-Douglas
ca un caz particular al funcţiei CES.
Funcţia CES este liniară şi omogenă întrucît randamentul este constant ca şi la funcţia Cobb-
Douglas.
§ 7.5.4. IPOTEZA 4: ELASTICITATEA DE SUBSTITUȚIE A FACTORILOR
CUPRINSĂ ÎNTRE 0 şi ∞; RANDAMENTUL FACTORILOR CRESCĂTOR SAU
DESCRESCĂTOR
În fine, un alt pas spre relaxarea condiţiilor este făcut prin luarea în considerare a
137

andamentului crescător şi descrescător, în aceste împrejurări, studiile întreprinse dau diferite
soluţii. Unele iau ca punct de plecare diferite forme modificate ale funcţiei Cobb-Douglas,
dezvoltate de Solow şi de alţi economişti [84], [166], [173] , iar alţii propun forme modificate ale
funcţiei CES [47], [127], [183]. De pildă, V. Mukerji modifică funcţia CES prin includerea unui
parametru suplimentar :
Acest parametru poate lua valorile: .
(7.83)
De pildă, dacă ia valori mai mari decît 1, randamentul factorilor este crescător; dacă ia
valori mai mici decît 1, randamentul factorilor este descrescător; iar dacă ia valoarea 1,
randamentul factorilor este constant, ajungîndu-se astfel la funcţia CES nemodificată, prezentată
mai înainte.
§ 7.6. STAREA DE CREȘTERE ECHILIBRATĂ CU FACTORI NESUBSTITUIBILI;
MODELUL HARROD-DOMAR
Ne amintim că în paragraful introductiv al lucrării de faţă se vorbea despre starea de creştere
echilibrată, în care ratele de creştere a tuturor variabilelor relevante erau considerate egale şi
constante în timp, ceea ce defineşte, după J. Hicks, teoria echilibrului pe termen lung - noţiune
pe care însă pînă acum nu am explicat-o suficient. Dar ceea ce vom face în acest capitol nu
trebuie considerat decît primul pas al dezvoltării studiului nostru, întrucît problema nu se reduce
la realizarea stării de creştere echilibrată, ci la înfăptuirea unei creşteri economice eficiente.
Aceasta constituie cel de-al doilea pas al dezvoltării şi aprofundării studiului. În fine, cel de-al
treilea şi ultimul pas este de a vedea condiţiile şi posibilităţile de a realiza o creştere economică
optimă. Este punctul final al studiului, nu numai din punctul de vedere al metodologiei pe care o
vom folosi, dar şi din cel al interesului pentru practica economică.
§ 7.6.1. CÎTEVA PRECIZĂRI PRELIMINARE PRIVIND UNELE RELAȚII
CANTITATIVE MACROECONOMICE
În analiza economiei dinamice, şi îndeosebi în aceea care se referă la creşterea economică pe
termen lung, atenţia se îndreaptă, în primul rînd, către acumularea de fonduri considerată pe bună
dreptate vehiculul creşterii economice [5, p. 176]. Luînd acest punct de plecare, se poate trece la
138

studiul interacţiunii (prin intermediul investiţiei) dintre schimbarea producţiei şi schimbarea
fondurilor, cu luarea în considerare a schimbării volumului forţei de muncă.
Una dintre caracteristicile creşterii echilibrate este aceea că toate variabilele cresc cu aceeaşi
rată constantă, proporţională, şi traiectoriile descrise de variabile sînt liniare, luate la scară
logaritmică.
:
Să ilustrăm acest lucru începînd cu descrierea procesului acumulării.
Venitul naţional Y este destinat, o parte, pentru consum C, iar o altă parte pentru acumulare S
C+S=Y.
Simplificînd lucrurile, presupunem că întregul fond de acumulare este destinat investiţiilor I
conform identităţii:
S≡I.
Dacă vom exprima consumul şi acumularea în mărimi diferenţiale, aceasta înseamnă că o
parte dintr-un leu venit naţional suplimentar trebuie cheltuită pentru consum
parte pentru acumulare
Notînd pe ( cu s, aceasta relație se mai poate scrie:
, iar o altă
. Evident, suma acestor mărimi diferenţiale este egală cu unu:
(7.84a)
c+s=1. (7.84b)
Să adoptăm ipoteza dinamică şi, în consecinţă, să arătăm că creşterea acumulării
investiţiei
naţional
, deci a
, rezultă din înmulţirea mărimii diferenţiale a acumulării (1-c) cu creşterea venitului
, adică:
, (7.85a)
(7.85b)
de unde se poate deduce că raportul dintre schimbarea venitului naţional şi schimbarea investiţiei
reprezintă însuşi multiplicatorul investiţiei lui Keynes, al cărui sens economic a fost explicat în
[77, p. 147-151]:
(7.86)
Acum nu este vorba pur şi simplu de studierea echilibrului economic, ci de creşterea
econcmică echilibrată pe termen lung, unde apare ca vehicul acumularea. Printre economiştii
pionieri care au făcut legătura dintre teoria keynesiană a utilizării forţei de muncă şi teoria
139

dinamică a creşterii economice pe termen lung au fost E.D. Domar şi R.F. Harrod 65
Aşa cum s-a demonstrat, deşi ca formă modelele de creştere ale acestor doi economişti
diferă, totuşi, în esenţă, ele sînt similare. De aceea, aici noi ne vom referi la modelul prof. B.
Domar.
§ 7.6.2. RELAȚII FUNDAMENTALE PRIVIND ECHILIBRUL DINAMIC ÎN
DOMENIUL PRODUCȚIEI
Principala premisă a modelului lui Domar este aceea că orice schimbare în rata anuală a
fluxului de investiţii I(t) are un efect dublu:
a) pe de o parte, ea are efect asupra cererii agregate, în sensul că asigură, pe termen scurt, deplina
utilizare a forţei de muncă şi a capacităţii productive a economiei naţionale;
b) pe de altă parte însă, investiţia contribuie la extinderea stocului de fonduri de producţie şi deci
la sporirea ofertei de producţie pe termen lung şi, ca atare, a însăşi mărimii investiţiei.
Referindu-ne la cel de-al doilea efect, şi anume la sporirea ofertei de producţie datorită
investiţiei, el se poate formula matematic prin următoarea funcţie:
(7.87)
Aceasta înseamnă că sporul de producţie (venit naţional) se datoreşte sporului de fonduri
prin investiţii
.
înmulţit cu productivitatea fondurilor (medie sau diferenţială)
Relaţia (7.87) mai poate fi scrisă, astfel:
Această relaţie se referă la sporirea ofertei totale (of) de producţie datorită investiţiei.
(7.88)
Acum să ne referim la primul efect exercitat asupra cererii: ne amintim de relaţia dată mai
înainte, conform căreia creşterea cererii totale este dată de creşterea investiţiei înmulţită cu
multiplicatorul:
, (7.89)
unde c este mărimea diferenţială a consumului, iar 1-c mărimea diferenţială a acumulării pe care
am notat-o mai înainte cu s.
Folosind această ultimă notaţie, relaţia de mai sus se mai poate scrie:
65 Vezi [49] şi [71]. În ţara noastră, printre economiştii care au făcut referiri, au analizat şi interpretat într-un fel sau
altul modelul Harrod-Domar se numără : Em. Dobrescu [45], Lemnij Ihor [103] şi Pascu Vainer [181].
140

Această relaţie se referă la formularea cererii totale (cer).
(7.90)
Pentru menţinerea stării de echilibru pe termen scurt şi pe termen lung este necesar ca cererea
să fie egală cu oferta :
adică :
întîi:
(7.91)
(7.92)
Putem înmulţi ambii termeni cu s şi vom obţine o ecuaţie diferenţială omogenă de ordinul
Integrînd ultima ecuaţie, obţinem:
unde G este constanta arbitrară. Antilogaritmul natural al acestei relaţii va fi:
sau
Atunci cînd t=0, ultima ecuaţie devine:
(7.93)
(7.94a)
(7.94b)
(7.95)
(7.96)
unde A= . (7.97)
. (7.98)
Ca atare, putem exprima formula definitivă a traiectoriei în timp a investiţiei după cum
urmează :
unde I0 reprezintă investiţia iniţială.
(7.99)
Acum să trecem la analiza dinamică a celorlalte variabile, concentrîndu-ne atenţia asupra
existenţei soluţiei şi asupra stabilitații și instabilității ecuațiilor.
Prin definiţie s-a considerat, aşa cum s-a mai spus, că, în condiţiile creşterii economice
echilibrate, toate variabilele cresc cu aceeaşi rată.
Ca ipoteze de lucru, de asemenea, se consideră: coeficienţii (parametrii) fixi; efectele
constante faţă de scara producţiei; inexistenţa substituţiei factorilor (este luat un singur proces,
de producţie, fără variante tehnologice).
141

Pentru continuarea analizei noastre să luăm funcţia de producție:
Y= F (K,L), (7.100)
care arată schimbările în timp ale variabilelor Y (output), K (fonduri) şi L (forţă de muncă). Deci
acestea sînt considerate funcţii de timp.
Acestea fiind datele sumare ale problemei, vom trece acum la scurte comentarii asupra
dinamicii acestora şi a felului cum trebuie corelate în timp încît să se asigure consistenţa
modelului sau, cu alte cuvinte, să se asigure creşterea echilibrată. Deocamdată nu vom lua în
considerare influenţa progresului tehnic, întrucît acesta urmează să formeze obiectul de studiu al
unui paragraf separat, cu implicaţiile respective asupra variabilelor şi a modelelor de creştere.
Printre coeficienţii utilizaţi pînă acum şi cu ajutorul cărora relaţiile se pot exprima prin
intermediul outputului Y, al fondurilor K şi al forţei de muncă L se pot menţiona s coeficientul de
acumulare,
eficienţa fondurilor sau v fondurile specifice (pe unitatea de produs), precum şi
productivitatea muncii sau u forţa de muncă specifică (pe unitatea de produs) și iată cum:
a) ştiind că rata de acumulare s ia valorile:
și că:
0 < s < 1 (7.101)
atunci creşterea fondurilor de producţie se poate exprima prin intermediul venitului naţional:
b) avînd dată eficienţa fondurilor l /v putem exprima producţia prin intermediul fondurilor:
(7.102)
(7.103)
; (7.104)
c) cunoscîndu-se fondurile specifice v, se poate exprima volumul fondurilor prin
intermediul producţiei:
K=vY ; (7.105)
d) fiind dată productivitatea muncii 1/u, se poate exprima producţia prin intermediul forţei de
muncă :
(7.106)
e) ştiindu-se consumul de forţă de muncă specifică u, putem exprima forţa de muncă prin
intermediul producţiei:
L=uY . (7.107)
Pe baza acestor relaţii simple se pot găsi condiţiile de echilibru pe termen lung în domeniul
producţiei şi al utilizării forţei de muncă, precum şi traiectoriile evoluţiei în timp ale producţiei,
ale fondurilor şi ale forţei de muncă.
142

La orice timp t, unde condiţiile pentru echilibrul pe termen lung al producţiei se pot exprima
prin sistemul de relaţii:
unde s şi v sînt parametrii daţi cu valorile:
0

Integrînd ambele părţi, obţinem:
Operînd transformările necesare, vom obţine formula finală:
(7.114e)
(7.115)
. (7.116)
Din dezvoltările de pînă acum rezultă că variabilele I, K şi Y cresc cu o rată constantă s/v numită
rata garantată 66 .
§ 7.6.3. LUAREA ÎN CONSIDERARE A UTILIZĂRII FORȚEI DE MUNCĂ ÎN
CADRUL ECHILIBRULUI DINAMIC CU FACTORI NESUBSTITUIBILI
Dacă din relaţiile de mai sus au reieşit caracteristicile principale ale echilibrului dinamic în
domeniul producţiei (utilizarea completă a capacităţilor de producţie şi fluxul investiţie-
aeumulare), acum să completăm analiza echilibrului dinamic luînd în considerare forţa de
muncă, şi anume: creşterea acesteia cu o rată constantă notată cu n şi utilizarea forţei de muncă
în corelaţie cu dezvoltarea producţiei. Deci acum apare problema nu numai a completei utilizări
a fondurilor, ci şi a forţei de muncă. În model apar ca parametri constanţi: cota de acumulare s,
productivitatea fondurilor
şi rata de creştere a forţei de muncă n, iar ca variabile: venitul
naţional Y, forţa de muncă L, stocul de fonduri K şi fluxul de investiţii
Variabilele sînt luate ca funcţii de timp continui, diferenţiabile, iar evoluţia lor este
determinată prin trei condiţii de echilibru, care se pot exprima în două variante :
I
II
.
(7.117)
(7.118)
Luînd mai întîi primele două ecuaţii din ambele variante şi rezolvîndu-le prin procedeele
arătate mai sus, obţinem relaţiile finale:
66 ,,Warranted rate".
, (7.119)
, (7.120)
144

. (7.121)
Totodată, luînd condiţia a treia L = uY în care consumul specific de muncă u este un
coeficient care leagă pe L de Y şi ştiind că în condiţiile de echilibru rata de creştere n a lui L
trebuie să fie egală cu s/v a lui Y, vom considera:
, (7.122a)
adică forţa de muncă L la timpul t, care creşte cu rata constantă n. În cazul acesta, la valoarea
L(t) se va ajunge făcînd următoarele transformări:
și deci:
unde:
dacă:
(7.122b)
(7.122c)
(7.122d)
, (7.122e)
Luînd valoarea lui L la t = 0 egală cu L0= A, formula de mai sus devine:
.
(7.122f)
. (7.123)
Această condiţie, alături de celelalte care au fost date mai înainte, este satisfăcută numai
(7.124)
relaţie întâlnită sub numele de rată naturală n şi considerată condiţie esenţială a modelului de
creştere echilibrată.
În condiţiile satisfacerii relaţiei (7.124), variabilele descriu traiectoriile în timp conform
următoarelor ecuaţii:
şi în care există următoarele corespondenţe ale valorilor iniţiale :
,
, (7.125)
,
,
.
, (7.126)
.
145

Acum există toate elementele necesare pentru a putea face cîteva aprecieri sumare asupra a
două aspecte importante, şi anume:
a) stabilitatea traiectoriilor de creştere echilibrată a variabilelor;
b) asigurarea condiţiei de egalitate a evoluţiei pe termen lung a acumulării şi producţiei şi a
evoluţiei forţei de muncă
.
De asemenea, în legătură cu stabilitatea traiectoriilor de creştere echilibrată a variabilelor, se
ridică două probleme esenţiale :
a) Prima chestiune: dacă mărimea iniţială a volumului variabilelor (fonduri de producţie,
producţie şi forţă de muncă) sînt sau nu în afara traiectoriei, cu alte cuvinte, dacă există sau nu
un surplus sau o subutilizare a capacităţilor de producţie şi a forţei de muncă la începutul
perioadei, sau dacă de la bun început acestea sînt sau nu în afara traiectoriei.
Condiţia iniţială de stabilitate a traiectoriilor care permite echilibrul dinamic al variabilelor
constă în folosirea deplină a capacităţilor productive:
Dacă există însă inegalitatea :
are loc un exces de capacitate.
. (7.127)
. (7.128)
La egalitate se poate ajunge apelînd la mecanismul oferit de raportul s/v.
b) A doua problemă este aceea a devierii pe parcurs a evoluţiei variabilelor de la traiectoria de
dezvoltare echilibrată provocată de unele defecţiuni ulterioare. În acest caz, ca şi în cel
precedent, variabilele tind fie să revină la starea de echilibru, fie să se îndepărteze de aceasta,
după cum vom şti sau nu să acţionăm asupra mecanismului s/v 67 .
Din cauză că în construcţia acestui model de creştere economică s-au adoptat condiţii prea
rigide (coeficienţii s şi v se consideră fixi, deci fără nici o substituţie a factorilor de producţie) se
spune că stabilitatea creşterii echilibrate în aceste condiţii este problema muchiei de cuţit 68 .
Caracterul rigid al stabilităţii sporeşte odată cu luarea în considerare a condiţiilor
suplimentare de asigurare a utilizării depline a forţei de muncă ca o nouă restricţie introdusă în
model şi care se exprimă prin egalitatea impusă s/v = n, aşa cum s-a arătat mai sus, sau s =
vn.
Insuficienţa caracterizată prin lipsa de flexibilitate a modelului nu are la bază această
restricţie, ci faptul că se menţin, în continuare, condiţiile privind fixitatea în timp a coeficienţilor
67 Modelul face abstracţie de efectele progresului tehnic.
68 ,,Knife edge problem".
146

s, v şi u sau absenţa substituţiei factorilor de producţie (fonduri — forţă de muncă).
Relaxarea condiţiilor impuse ar constitui pasul pentru flexibilizarea modelului. Deşi
problema relaxării condiţiilor rigide depăşeşte cadrul modelului Harrod-Domar, să încercăm
totuşi cîteva explicaţii preliminare în acest sens pentru a uşura înţelegerea problemelor ce se vor
pune spre rezolvare în continuare.
O primă încercare de relaxare o vom face în legătură cu rata naturală de creştere n, şi anume
prin transformarea egalităţii s/v = n într-o inegalitate s/v ≥ n, păstrînd toate celelalte condiţii de
mai înainte.
Deoarece forţa de muncă este o mărime autonomă-exogenă modelului, rata naturală de
creştere n trebuie considerată ca fiind dată. În cazul cînd s-ar accepta inegalitatea s/v < n, ar
însemna creşterea mai lentă (cu o rată mai scăzută) a fondurilor, a investiţiilor şi a producţiei
decît a forţei de muncă în condiţiile cînd ceilalţi coeficienţi rămîn neschimbaţi. Ar însemna deci
un volum tot mai mare de forţă de muncă disponibil (L) decît cererea de forţă de muncă uY,
L > uY. (7.129)
Cînd s-ar accepta inegalitatea s/v > n, ar apărea situaţia inversă celei de mai sus.
În concluzie, considerînd că asigurarea deplinei utilizări a forţei de muncă trebuie să fie o
condiţie impusă, rămîne să acţionăm asupra parametrilor s şi v, luîndu-i ca mărimi variabile, aşa
cum se întîmplă dealtfel şi în realitate.
Amintindu-ne de aprecierile prof. Eobert Solow, creşterea echilibrată interpretată în maniera
de mai sus nu constituie un prilej rău de a începe teoria creşterii, însă poate fi un loc periculos
pentru ca ea să sfîrşească aici [168, p. 7].
Aceasta rezultă din trei motive esenţiale: a) modelul implică o rigiditate excesivă a
factorilor; b) modelul nu are o formă generalizată, ci una particulară şi se referă la o economie
dezvoltată, ajunsă în aşa-numita etapă a vîrstei de aur, cînd nu mai sînt necesare investiţii pentru
sporirea cantitativă a gradului de înzestrare tehnică per capita; c) metodele folosite nu sînt
potrivite pentru probleme dinamice pe termen lung.
În cele ce urmează, vom relaxa condiţiile rigide ale modelului Harrod-Domar prin
acceptarea substituţiei factorilor şi vom formula modele de speţă generalizată care să se
potrivească în primul rînd economiilor în curs de dezvoltare, utilizînd metodele de lucru
adecvate.
§ 7.7. MODELE NEOCLASICE DE CREȘTERE ECONOMICĂ FĂRĂ PROGRES
TEHNIC
Modelul Harrod-Domar, descriind economia în condiţiile existenţei unor proporţii fixe, fără
147

posibilităţi de substituţie a forţei de muncă prin fonduri de producţie, nu numai că studiază,
conform observaţiei lui E. Solow, probleme dinamice pe termen lung cu mijloace uzuale pe
termen scurt, dar nici pentru ţările dezvoltate şi nici pentru cele în curs de dezvoltare nu poate da
răspuns la problemele reale ale creşterii economice. De pildă, aşa cum s-a mai văzut, pentru
ţările dezvoltate din punct de vedere economic se cer condiţii prea rigide pentru realizarea
creşterii echilibrate (creştere echilibrată pe muchie de cuţit), orice mică deviere de la corelaţia
parametrilor-cheie - rata de acumulare, fonduri de producţie şi forţă de muncă - ar însemna
apariţia unor perturbări în economie, ceea ce nu este neapărat necesar şi real.
Dacă aşa stau lucrurile pentru ţările dezvoltate, pentru cele în curs de dezvoltare, în care se
pune problema industrializării, a înlocuirii muncii manuale prin maşini (şi deci a schimbărilor
profunde în ce priveşte proporţia forţa de muncă — fonduri prin continua lor substituţie ca
urmare a unor rapide acumulări şi investiţii), modelul Harrod-Domar este nu numai nesa-
tisfăcător, ci cu totul străin. El poate fi luat doar ca punct incipient de raţionament, potrivit mai
curînd pentru o economie dezvoltată, însă imaginară, unde totul decurge proporţional, unde nu
au loc schimbări structurale, ceea ce nu este specific nici unei ţări, mai ales în condiţiile
progresului tehnic actual.
Să relaxăm condiţiile modelului în discuţie. Un prim pas în acest sens îl constituie ipoteza
potrivit căreia proporţia forţă de muncă-fonduri este în schimbare, că este posibilă continuă lor
substituţie. Celelalte condiţii de mai sus, ca, de exemplu, efectele constante ale producţiei de
scară, lipsa progresului tehnic etc, sînt mai departe luate în considerare.
§ 7.7.1. MODELUL DE CREȘTERE AL LUI SOLOW
Spre deosebire de modelul Harrod-Domar, unde producţia în mod explicit este prevăzută ca
fiind o funcţie numai de fonduri
iar combinarea fonduri-forță de muncă se face în
proporţii fixe, în modelul lui Solow outputul net (venitul naţional) apare în mod explicit ca fiind
o funcţie de fonduri şi forţă de muncă, factori ce pot fi combinaţi în diferite proporţii:
Y= F (K,L). (7.130)
Considerînd efectele producţiei de scară constante, rezultă că funcţia de producţie este
omogenă de gradul întîi. O parte din producţia netă c este consumată, iar altă parte s este
acumulată cu o rată sY, egală cu investiţia sau cu rata de creştere a stocului de fonduri:
Acum, incluzînd relaţia (7.130) în (7.131) putem obţine:
(7.131)
K=s F (K,L). (7.132)
148

Aceasta este o ecuaţie cu două necunoscute, L(t) şi K(t).
Ştiind din paragrafele precedente că creşterea populaţiei (şi deci a forţei de muncă) este o
mărime independentă (exogenă), rata de creştere a forţei de muncă n se ia ca o rată naturală de
creştere şi se determină relaţia:
(7.133)
Aceasta reprezintă evoluţia numerică a populaţiei disponibile pentru a fi angajată în
producţie.
Incluzînd relaţia (7.133) în (7.132), se obţine ecuaţia de bază, care arată evoluţia în timp a
acumulării de fonduri împreună cu evoluţia forţei de muncă corespunzătoare, ce urmează a fi
angajată în producţie:
(7.134)
Aceasta este o ecuaţie diferenţială cu o singură variabilă, K (t), a cărei soluţie va indica
evoluţia în timp a stocului de fonduri cu cererea corespunzătoare de forţă de muncă, ce urmează
a fi utilizată în producție.
Ceea ce se cere acum este de a studia consistenţa traiectoriei acumulării fondurilor si
traiectoria dată de rata de creştere a forţei de muncă.
Pentru aceasta se vor folosi două căi de bază :
a) analiza calitativă, pe cale grafică, a soluţiilor, în care nu este necesar să se rezolve explicit
ecuaţia diferenţială de bază ;
b) analiza cantitativă a soluţiilor, în care se iau diferite funcţii de producţie pentru care este cu
putinţă să se rezolve ecuaţia diferenţială de bază în mod explicit.
§ 7.7.1.1. ANALIZA CALITATIVĂ A SOLUȚIILOR
Chiar şi pentru simpla analiză calitativă (prin grafic) a soluţiilor, forma ecuaţiei (7.134) nu
este suficientă. Rămînînd totuşi ca relaţie de bază de principiu, asupra ei mai trebuie operate o
serie de transformări. Astfel, pentru a ajunge la relaţia fundamentală, care descrie traiectoria în
timp a fondurilor urmată de forţa de muncă disponibilă, Solow utilizează două metode relativ
simple, pe care le vom reda în cele ce urmează.
1. Iată în ce constă prima metodă. Se determină o nouă variabilă, şi anume fondurile de
producţie pe unitatea de forţă de muncă:
de unde se poate deduce relaţia:
, (7.135)
149

(t)= (7.136)
Derivînd această relaţie în funcţie de timp, se obţine următoarea ecuaţie diferenţială :
= (7.137)
Introducînd relaţia (7.137) în locul lui k din (7.134), se obţine:
(7.138)
(7.139)
Întrucît funcţia F = (K, L ) , care prin definiţie admite ca orice spor de
producţie să aibă efecte constante, cei doi factori de producţie se pot divide prin , (sau
cu orice altă valoare), iar F se înmulţeşte cu aceeaşi valoare astfel:
sau
(7.140a)
(7.140b)
Împărţind prin ambii membri ai egalităţii (7.140b), ţinînd cont de relaţiile (7.133) şi
(7.135) şi notînd F (k, 1) =f(k) obţinem relaţia fundamentală:
sau
(7.141a)
(7.141b)
2. Cea de-a doua metodă de a se ajunge la relaţia fundamentală, numită metoda directă, este mai
simplă şi iată în ce constă.
Se notează:
(7.142)
Întrucît rata relativă de schimbare (creştere sau descreştere) a lui k este diferenţa dintre ratele
relative de schimbare a lui K şi L :
folosind notaţiile de pînă acum :
, (7.143)
și K = sF (K L) şi înlocuindu-le în (7.143), obţinem:
(7.144a)
(7.144b)
(7.144c)
(7.144d)
Aceasta este ecuaţia diferenţială fundamentală care s-a determinat mai înainte folosind altă
metodă (vezi relaţia(7.141b)).
Conţinutul economic al acesteia este următorul: termenul sf(k) reprezintă proporţia fluxului
150

de producţie per capita alocată pentru investiţii (investiţii totale per capita), iar nk fluxul de
investiţii pentru a obţine o sporire a volumului fondurilor cu aceeaşi rată de creştere a numărului
muncitorilor la nivelul existent al înzestrării tehnice. Mărimea k reprezintă diferenţa dintre cele
două fluxuri menţionate mai sus, sau, cu alte cuvinte, surplusul de investiţii pe muncitor,
disponibile după echiparea sporului natural n de muncitori, la nivelul existent.
Dacă vom prezenta relaţia (7.144d) în următoarea formă :
(7.144e)
lucrurile pot apărea şi mai clare: o parte din investiţie nk este destinată sporului de forţă de
muncă la nivelul de înzestrare existent, iar altă parte k ridicării nivelului general de înzestrare
tehnică a muncii atît a muncitorilor existenţi, cît şi a celor noi.
Ecuaţia diferenţială (7.144d) nu poate fi soluţionată numeric fără să se cunoască concret
funcţia f(k). Sub această formă însă ea poate fi folosită la analiza calitativă (grafică) a soluţiilor,
luînd pe abscisă mărimea (variabila) k, iar pe ordonată sf(k) şi nk. În grafic vor fi redate două
traiectorii:
a) prima, reprezentînd termenul nk, formează o dreapta pornind de la origine;
b) a doua traiectorie, reprezentînd termenul sf(k), este o curbă concavă şi por-
neşte de la origine (curba include punctul (0,0)).
Ca ipoteză s-a luat productivitatea descrescîndă a fondurilor, sau, cu alte cuvinte, cînd k
creşte, outputul per capita f(k) creşte şi el, însă cu o rată descrescîndă 69 :
k > 0 ;
O altă ipoteză: fondurile sînt indispensabile producţiei. Cu alte cuvinte, fără fonduri (k =
0) nu se poate obţine producţie (f(k) = 0). Vezi graficul din fig. 9.
Intersecţia celor două traiectorii se înfăptuieşte în momentul cînd se realizează egalitatea nk
69 Aici, ca şi în alte părţi ale lucrării, k înseamnă derivata întîi în funcţie de timp, iar k derivata a doua, tot
în funcţie de timp.
sf(k)
nk
0 k
Fig. 9
nk
sf(k)
151

= sf(k) şi deci cînd k =0.
Cele două curbe se intersectează cînd fondurile iniţiale per capita k0 sînt egale cu k*, (k0 =
k*) în punctul care marchează rata de echilibru a fondurilor per capita pe care îl mai putem
denumi punctul de saturaţie al înzestrării tehnice 70 .
Ce se întîmplă însă cînd mărimea fondurilor iniţiale per capita diferă de mărimea ce
caracterizează starea de echilibru, deci diferă de situaţia descrisă mai sus, adică atunci cînd există
situaţia:
Cum va evolua rata de fonduri per capita? Evident, existat două cazuri:
a) cînd k0 < k*,
b) cînd k0 > k*.
(7.145)
a) în primul caz, k0 < k*, graficul din figura 14 arată, că sf (k) > nk, iar k > 0, şi, ca atare,
diferenţa elementelor sf (k) şi nk este pozitivă,
k = [sf(k) — nk] > 0.
În acest caz, volumul iniţial de fonduri k0 trebuie să crească, pentru a ajunge la nivelul k*,
deci pînă la starea de echilibru. Evident, acest caz descrie perioada iniţială de înzestrare tehnică
sau perioada de industrializare în care creşterea fondurilor per capita trebuie să întreacă ritmul de
creştere al noilor locuri de muncă, necesitate apărută, pe de o parte, ca urmare a creşterii
numerice a forţei de muncă (sf(k) >nk), iar pe de altă parte, din nevoia de a se asigura creşterea
nivelului de înzestrare tehnică generală per capita k > 0 (vezi graficul din fig. 10).
Dar se pot face oare acumulări şi investiţii fără limite chiar în perioada de industrializare,
adică fără să se ţină seama, de situaţia forţei de muncă? Fără a intra în detalii de ordin tehnic-
metodologic, în graficul din fig. 11 vom trasa dreapta nk reprezentînd înzestrarea tehnică a
70 Această saturaţie este relativă, întrucît nu s-a luat în considerare perfecționarea tehnică a fondurilor de
producție (procesul tehnic) și nici înlocuirea mijloacelor fixe uzate.
k
0 k
Fig. 10
nk
sf(k)
152

noilor locuri de muncă cerute de sporul natural al forţei de muncă şi trei curbe reprezentînd
fluxul total de investiţii (cerut de sporul natural al forţei de muncă şi de ridicarea gradului
general de înzestrare cu fonduri) şi care descriu; traiectoriile a trei cazuri:
situaţie de acumulare, pe care în mod provizoriu o numim normală 71 şi o notăm cu s0f0
(k);
o situaţie care arată un ritm foarte rapid de acumularer ce nu ţine seama de evoluţia forţei
de muncă, este deasupra evoluţiei acesteia, îndepărtîndu-se. Aici productivitatea în
economiei este foarte înaltă. Traiectoria o notăm cu s1f1(k) ;
o situaţie cu productivitate scăzută, unde acumularea se păstrează sub limitele raţionale
(normale), sub rata de creştere a forţei de muncă cu tendinţă de îndepărtare faţă de
dreapta nk. Traiectoria o notăm prin s2f2(k).
În cazurile s1f1(k) şi s2f2(k) nu numai că nu se tinde spre o convergenţă a traiectoriilor, deci
spre echilibru, ci, dimpotrivă, dezechilibrele se adîncesc tot mai mult.
b) în cel de-al doilea caz, eînd k0>k*,sf(k)

Relaţia dintre k şi k, avînd poziţiile particulare k0 (poziţia iniţială) şi k* (starea de echilibru),
poate fi urmărită în graficul din fig. 13, în care pe abscisă se ia k, al cărui punct de echilibru se
realizează pe k*, iar pe ordonată k.
Către punctul de echilibru tind săgeţile din ambele direcţii, în funcţie de faptul dacă volumul
investiţiilor per capita depăşeşte sau nu punctul de echilibru. Acelaşi raţionament poate fi descris
şi sub altă formarea în graficul din fig. 14.
Dacă stocul inţial de fonduri este sub nivelul stării de echilibru (situaţie valabilă pentru ţările
în curs de dezvoltare sau care se află în perioada industrializării), k0 < k* atunci k >0 şi nk < sf(k),
adică fondurile per capita vor spori mai repede decît forţa de muncă, tinzînd spre starea de
echilibru →k*.
0
k0
k0
0 k
Fig. 14
Fig. 12
Fig. 13
nk
sf(k)
k
k0= sf(k) — nk
t
154

Invers, dacă stocul iniţial de fonduri se află deasupra stării de echilibru k0 >k*, atunci k < 0;
nk >sf (k), adică stocul de fonduri per capita va creşte mai lent decît forţa de muncă, tinzînd spre
starea de echilibru.
Mecanismul stării de echilibru impune deci realizarea egalităţii nk = sf(k).
Trebuie încă o dată precizat că toate aceste interpretări sînt făcute în ipoteza inexistenţei
perfecţionărilor tehnologice. Deci se ia în considerare tehnica existentă la un moment dat care
este proiectată şi în viitor. De aceea, în starea de echilibra, descrisă pînă acum, nu mai este
permisă creşterea gradului de înzestrare per capita. Evident, aceasta este o idee pur conven-
ţională, cel puţin în condiţiile actuale de creştere economică cu progres tehnic intens.
§ 7.7.1.2. ANALIZA CANTITATIVĂ A SOLUȚIILOR
Asupra soluţiilor se pot face şi analize cantitative (numerice), însă cu condiţia de a avea
precizată funcţia de producţie şi asupra căreia să se opereze transformările corespunzătoare,
pentru a se putea ajunge într-adevăr la soluţiile căutate.
Simplificînd lucrurile, să luăm o funcţie liniară omogenă de tip Cobb-Douglas :
Împărţind ambii termeni la L, se obţine funcţia în exprimarea per capita:
Deci funcţia f(k) este prezentată de :
(7.147)
(7.148a)
. (7.148b)
, (7.148c)
care, introdusă în ecuaţia diferenţială fundamentală, pe care o transcriem:
se obţine următoarea formă cu care se va lucra în cele ce urmează :
sau
sau
Aceasta este o ecuaţie diferenţială neomogenă şi neliniară de tip Bernoulli:
(7.149a)
(7.149b)
(7.149c)
(7.150a)
155

în care: n ≠0 şi n≠1, iar P(t) şi Q(t) sînt funcţii continue de t sau sînt constante.
(7.150a)
Această ecuaţie diferenţială neliniară, supusă unei serii de transformări, va deveni liniară.
Astfel, vom împărţi toţi termenii ecuaţiei (7.150b) prin y n şi obţinem:
Notînd:
şi derivînd pe z în funcţie de timp în condiţiile în care z este o funcţie de funcţie,
vom obţine:
Introducînd relaţiile (7.155) şi (7.152) în (7.151b), obţinem:
(7.151a)
(7.151b)
(7.152)
(7.153)
(7.154)
. (7.155)
(7.156a)
. (7.156b)
Înmulţind toţi termenii relaţiei (7.156b) cu (l-n), vom obţine forma liniară:
(7.157)
Notaţiile din această relaţie au următoarele corespondenţe cu notaţiile folosite în modelele
de mai înainte:
Să înlocuim pe unele din acestea în relaţia (7.157), obţinînd:
în care: și sînt constante, iar z variabilă de t.
(7.158)
156

Dacă în relaţia (7.158) operăm înlocuirile:
cu a şi
cu b, adică:
, (7.159)
obţinem forma simplificată a ecuaţiei diferenţiale neomogene cu a şi b constante:
(7.160)
Să rezolvăm această ecuaţie prin metoda cunoscută, aflînd mai întîi funcţia complementară
zc, care nu este altceva decît soluţia generală a ecuaţiei reduse :
atunci:
Această relaţie reprezintă aşa-numita deviere de la starea de echilibru în timp.
,
(7.161)
Integrala particulară zp se determină astfel: dacă z se consideră egal cu o constantă oarecare,
unde: a≠0.
şi, în acest caz, relaţia (7.160) devine:
Aceasta relaţie (7.162) reprezintă nivelul de echilibru al variabilei.
,
(7.162)
Soluţia generală a ecuaţiei complete (7.160) este suma rezultatelor obţinute din rezolvarea
funcţiei complementare cu integrala particulară:
Soluţia definită se determină astfel:
z ia valoarea iniţială z(0) cînd t = 0.
Incluzînd t = 0 în (7.163), se obţine:
Din această relaţie se poate deduce valoarea lui A:
. (7.163)
.
(7.164)
(7.165)
157

care se introduce în relaţia (7.163), rezultînd:
. (7.166)
Aceasta este numită soluţia definită a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene (7.160).
Făcînd înlocuirile în relaţia (7.166) cu valorile constante din relaţia (7.159), iar pe z
înlocuindu-1 cu , obţinem:
Făcînd simplificările respective, obţinem:
. (7.167)
. (7.168)
Această relaţie, în care k0 reprezintă valoarea iniţială a fondurilor per capita, descrie
cantitativ traiectoria pe care o vor avea fondurile per capita luînd în considerare parametrul s de
politică economică reprezentînd rata acumulării şi parametrul n exogen reprezentînd rata de
creştere a forţei de muncă.
Analizînd expresia exponenţială din relaţia (7.168), rezultă următoarele: întrucît (1 → ) şi n
sînt pozitive, rezultă că, luînd pe t cît mai mare (t →∞), întreaga expresie exponenţială va
tinde către zero. În felul acesta, evoluţia fondurilor per capita tinde asimptotic către raportul
care, aşa cum s-a arătat, reprezintă starea de echilibru:
sau
,
(7.169)
(7.169)
Cu alte cuvinte, se ajunge treptat la creşterea echilibrată definită, ca stare de saturaţie a
înzestrării tehnice cu fonduri fixe per capita fără progres tehnic.
§ 7.7.2. NOȚIUNI PRELIMINARE PRIVIND REGULA DE AUR A ACUMULĂRII
Pînă acum s-a studiat evoluţia volumului fondurilor de producţie în corelaţie cu forţa de
muncă, în condiţiile creşterii pe termen lung şi a substituţiei continue a factorilor, fără progres
tehnic şi cu efecte constante. Menţinînd aceste condiţii, să analizăm acum în ce măsură diferitele
rate de acumulare sînt mai avantajoase decît altele pentru asigurarea unui consum mai mare. Din
multitudinea de traiectorii posibile care, fireşte, depind de mărimea ratei de acumulare s, trebuie
găsită acea traiectorie care asigură un maxim de consum per capita. În acest scop se porneşte de
la ecuaţia diferenţiala:
(7.171)
158

unde k în starea de echilibru devine egală cu zero, şi atunci:
sau
(7.172)
Din relaţia (7.172) se poate determina rata de acumulare s în condiţiile de echilibru, adică
ale obţinerii valorii maxime:
Însă aceasta nu înseamnă că, implicit, se asigură şi valoarea maximă a consumului.
(7.173)
De exemplu, nimic nu ne arată care dintre variantele politicilor de acumulare s0

şi fiind dată prin definiţie condiţia:
, (7.177)
atunci singura posibilitate ca relaţia (7.176) să fie egală cu zero este ca:
sau
Pentru simplificare, dacă în loc de
prezenta:
(7.178a)
. (7.178b)
vom scrie atunci relaţia (7.178 b) se mai poate
(7.179)
Aceasta este tangenta la curba f(k) al cărei unghi este egal cu n. Tangenta este paralelă la
dreapta funcţiei nk. Este evident că numai în punctul de tangentă se pot realiza valorile extremale
ale acumulării şi consumului.
Pentru un plus de claritate, să revenim la exemplul de mai sus cu cele patru variante de
politică de acumulare s0

maxim de consum per capita care este varianta optimă. Toate celelalte variante asigură o rată
a consumului per capita mai mică.
Dar ce reprezintă, în fond, în aceste condiţii, rata de acumulare optimă? Pentru a răspunde la
această întrebare să pornim de la relaţia ale cărei componente asigură varianta cu efectul cel mai
mare (adică de la varianta 2) 73 :
. (7.180)
Dacă vom înlocui în această relaţie pe n cu valoarea sa corespunzătoare din (7.179), vom
obţine relaţia:
din care separăm pe :
, (7.181)
(7.182)
determinînd astfel rata optimă de acumulare, care asigură efectul maxim (rata maximă de
consum).
Pentru interpretarea mărimii lui din relaţia (7.182) să dăm unele explicaţii suplimentare.
De exemplu, derivate reprezintă eficienţa marginală a fondurilor:
, (7.183)
iar şi reprezintă fondurile şi respectiv outputul per capita, în condiţiile realizării
valorilor extremale ale acumulării şi consumului.
Ca atare, rata extremală a acumulării reprezintă un raport dintre eficienţa marginală a
fondurilor înmulţită cu fondurile per capita şi volumul producţiei per capita ,
toate fiind luate în condiţiile stării de echilibru, cînd s-a ajuns la nivelul de saturaţie al fondurilor
per capita.
Revenind la variantele descrise mai sus precum şi la graficul din figura 20, rezultă că numai
rata de acumulare 2: asigură punctul eficienţei extremale a fondurilor per capita . Dincolo
de această rată, eficienţa fondurilor scade. De asemenea, scade şi rata de consum, iar acumularea
se transformă dintr-un factor de creştere economică într-o povară tot mai grea pentru economia
unei ţări.
Dar asupra acestor probleme vom reveni în următoarele paragrafe, după ce vom analiza
luarea în considerare a progresului tehnic. Problema va fi pusă într-o formă generalizată, cu
explicaţii calitative economice mai ample, pentru a descifra mai bine care este raportul dintre
regula de aur a acumulării şi stadiile de dezvoltare a economiilor naţionale, care sînt carac-
73 Pentru simplificarea scrierii nu mai folosim indicii 2.
161

teristicile sau trăsăturile esenţiale ale acumulării în ţările în curs de dezvoltare, comparativ cu
cele dezvoltate.
§ 7.8. PROGRESUL TEHNIC ȘI MODELE NEOCLASICE
§ 7.8.1. CÎTEVA CONSIDERAȚII PRIVIND SPORIREA CONTRIBUȚIEI
PROGRESULUI TEHNICO-ȘTIINȚIFIC LA CREȘTEREA ECONOMICĂ
S-a arătat că progresul tehnic constituie unul din factorii de seamă ai creşterii economice.
Dacă pînă acum, în modelele prezentate, luarea sa în considerare nu a fost analizată, motivul a
fost doar de ordin metodologic. Astăzi, nici în cercetare şi nici în desfăşurarea politicii
economice nu numai că nu putem face abstracţie, ci, dimpotrivă, îl considerăm ca fiind un factor
esenţial. Iată, de exemplu, ce spunea prof. Robert Solow, nu cu mulţi ani în urmă, referindu-se la
factorii de creştere economică: „Economiştii clasici credeau că ultima limită a creşterii
economice era dată da disponibilitatea limitată a resurselor naturale. A fost întotdeauna o cauză
de mirare pentru mine cum oameni atît de inteligenţi şi de perceptivi, scriind în timpurile cînd
revoluţia industrială avusese loc în Anglia, puteau subestima puterea progresului tehnic,
admiţînd efectele veniturilor dascrescînde". Apoi, în continuare, referindu-se la economiştii
contemporani şi la economia americană de astăzi, R. Solow spunea: „Economiştii mai bătrîni
păreau să considere că creşterile în producţie pe om-oră Sînt, în primul rînd, sau în mod exclusiv,
o chestiune de sporire a capitalului pe muncitor, în ultimii 10 ani, cercetările făcute de
Schmookler, Abramovitz, Kendrick şi alţii, inclusiv cele făcute de mine (R. Solow — n.n.A.I.),
pot să arate că acest lucru nu a fost adevărat. O explicare a faptelor macroeconomice a dus la
concluzia că creşterile observate pe om-oră, într-o perioadă ds peste 50 de ani, a avut numai
puţin de-a face cu creşterea capitalului pe muncitor. Cea mai mare parte (85—90%) trebuia să
vină de la alte surse, cum sînt calitatea muncii, progresul tehnologic şi altele asemănătoare"
[167].
Dar chiar şi punctul de vedere potrivit căruia perioadei de industrializare i-ar fi proprie o
anumită stagnare sau chiar scăderea eficienţei, fenomen ce s-a petrecut la vremea sa şi în alte
economii astăzi dezvoltate (vezi, de exemplu, [150]), devine tot mai greu de argumentat, întrucît,
în zilele noastre, industrializarea are loc nu în condiţii similare celor din trecut, ci sub semnul tot
mai viguros al revoluţiei ştiinţifice şi tehnice, care face posibilă sporirea eficienţei economice.
Fireşte, procesul de acumulare a fondurilor materiale înseamnă, implicit, progres tehnic, prin
ridicarea calităţii obiectelor nou construite şi, mai ales, a forţei de muncă ocupate [102, p. 18—
19]. Într-o ţară în curs de dezvoltare, cu un proces intens de industrializare, cum este, de
162

exemplu, România, introducerea progresului tehnic pe această cale are ponderea cea mai
importantă. într-adevăr, un program intens de investiţii duce la ridicarea echipării tehnice a
economiei — sporirea gradului de înzestrare tehnică a muncii prin mecanizare şi automatizare,
asimilarea de noi tehnologii de înaltă productivitate, ridicarea nivelului de cunoştinţe tehnico-
profesionale ale personalului muncitoresc şi tehnic-ingineresc. însă ridicarea calitativă a acestor
procese necesită alimentarea lor cu cunoştinţe noi. De aceea, acumularea materială trebuie să fie
însoţită de creşterea stocului de cunoștințe al societații [102], care capată o pondere crescîndă pe
măsură ce industrializarea trece spre fazele de maturitate.
§ 7.8.2. INFLUENȚA PROGRESULUI TEHNIC ASUPRA PROPORȚIILOR
RESURSELOR UTILIZATE ȘI ASUPRA OUTPUTULUI
Progresul tehnic — cel de-al treilea factor al creşterii economice, fără a se defini atît de
precis ca forţa de muncă şi fordurile productive, capătă o importanţă tot mai mare, fiind
condiţionat şi, totodată, concretizat în ridicarea calităţii forţei de muncă (ridicarea calificării
tehnico-profesionale în timpul şcolii şi în timpul practicii de producţie), în îmbunătăţirea
calitativă a fondurilor fixe şi a tehnologiilor, ca urmare a ridicării gradului de mecanizare şi
automatizare, a vitezelor şi preciziei de lucru, a reducerii costului acestora şi a cheltuielilor de
exploatare şi, în fine, în schimbarea şi îmbunătăţirea structurilor economice şi organizatorice,
schimbări ale ponderii diferitelor ramuri şi structuri ale forţei de muncă, ameliorarea organizării
economiei la nivel micro şi macroeconomic, precum şi sporirea stocului de cunoştinţe.
Datorită intervenţiei tot mai masive a progresului tehnic în producţie, ca şi în întreaga viaţă
economică şi socială, s-a observat că, la aceeaşi cantitate de fonduri şi de forţă de muncă, se pot
obţine sporuri tot mai mari de producţie şi o serie de alte efecte utile şi că legea generală a
efectelor descrescînde, cu toate consecinţele ei, nu-şi mai poate găsi justificarea. Dealtfel, nu
numai această lege, ci şi o serie de alte noţiuni, ca, de exemplu, creşterea echilibrată sau vîrsta de
aur a creşterii economice, folosite mai sus, potrivit cărora s-ar ajunge, în viitorul mai mult sau
mai puţin îndepărtat, la o saturare a cantităţii de fonduri per capita şi, ca atare, la realizarea unei
cantităţi constante de output per capita, se cer a fi reconsiderate, datorită intervenţiei persistente
şi cu efecte tot mai însemnate a progresului tehnic. S-a văzut pînă acum că în condiţiile vîrstei de
aur a creşterii, către care tinde o economie, deci în condiţiile cînd se ajunge la o saturaţie a
acumulării de fonduri per capita fără progres tehnic, singura posibilitate de a realiza totuşi o
creştere economică echilibrată rămîne aceea dată de acumularea legată de creşterea forţei de
163

muncă, pe care am notat-o cu nk. Fără sporirea forţei de muncă s-ar ajunge la imposibilitatea
efectuării vreunei acumulări de noi fonduri şi deci creşterea economică nu ar mai fi posibilă.
Progresul tehnic este un fenomen real, de importanţă primordială, care trebuie avut în vedere
la analiza creşterii economice. Introducîndu-1 însă în analiză, concluziile se modifică în mod
radical.
În consecinţă, cu ajutorul instrumentarului depînă acum, îmbogăţit cu noi aspecte, vom căuta
în cele ce urmează să discutăm şi să rezolvăm o serie de probleme privind influenţa progresului
tehnic asupra unor corelaţii dintre factorii de producţie, dintre factori şi rezultatele obţinute,
precum şi asupra corelaţiei dintre acumulare şi consum.
Pînă acum s-a folosit funcţia de forma Y =F(K, L). Pentru a reflecta starea sau nivelul
general al progresului tehnic, precum şi schimbarea acestuia, funcţia de mai sus devine
dependentă de timp, sau, cu alte cuvinte, se dinamizează :
Y =F(K, L, t), (7.184)
în care: Y, K şi L sînt variabile continue în timp, F este o funcţie continuă şi diferenţiabilă, iar t
este variabila introdusă, în mod explicit, pentru a permite funcţiei de producţie schimbări în timp.
Această funcţie, ca şi în paragrafele precedente, poate lua diferite forme particulare, şi anume:
funcţie cu I coeficienţi fixi (de tip Harrod-Domar), funcţie Cobb-Douglas, CES, CES -
modificat etc.
Pentru studierea şi identificarea influenţei progresului tehnic se recurge la reevaluarea
factorilor de producţie din unităţi fizice sau naturale în unităţi convenţionale numite unităţi de
eficienţă, care exprimă unităţile fizice plus cîştigul corespunzător de eficienţă datorat progresului
tehnic, îmbunătăţirile tehnologice pot fi raportate la unul din factorii de producţie, la ambii
factori sau la producţie.
În funcţie de aceasta, progresul tehnic va mări sau potenţa :
factorul forţă de muncă, ce se poate exprima astfel:
Y=F(K, A(t)L ) sau Y=F(K, (t)L) sau (7.185)
factorul fonduri de producţie, care se poate exprima astfel:
(7.186)
concomitent cei doi factori (forţă de muncă şi fonduri de producţie) şi care se pot
exprima astfel:
producţia, unde A(t) = B(t), care se exprimă astfel:
);
(7.187)
(7.188)
164

De exemplu, forţa de muncă, exprimată în unităţi de eficienţă, reprezintă numărul de om/ore
înmulţit cu creşterea productivităţii datorită influenţei progresului tehnic. Dacă în perioada t = 0
un muncitor execută un produs, în perioada t=1 acelaşi muncitor înzestrat cu maşini execută
produse, unde factorul de productivitate în perioada t = 0 era de (0) = 1.
S-au exprimat numeric: dacă în perioada t=0 existau 100 om/ore, iar în perioada t=1
productivitatea datorită progresului tehnic creşte faţă de perioada t=0 cu 50%, forţa de muncă,
exprimată în unităţi de eficienţă, este de 150 om/ore. Raţionamentul se aplică şi la fondurile de
producţie, unde rezultă productivitatea fondurilor în unităţi de eficienţă.
Am dori să subliniem că alegerea factorului de producţie, care să se exprime în unităţi de
eficienţă, nu ţine neapărat de forma sub care se manifestă, se materializează sau sub care
influenţează progresul tehnic. Criteriul de alegere a factorului de producţie are la bază, adesea,
raţiuni metodologice de simplificare a calculelor sau raţiuni legate de problema practică pusă
spre rezolvare.
Necesitatea explicării şi determinării efectelor pe care le are progresul tehnic a dus la
adoptarea diferitelor metode de lucru, în funcţie de faptul dacă progresul tehnic este încorporat
sau este neîncorporat 74 .
De pildă, progresul tehnic neîncorporat nu ia în considerare faptul că însăşi schimbarea
factorilor de producţie aduce efect tehnologic (eficienţă). Ca urmare, chiar şi atunci cînd
inputurile rămîn fixe sau constante se produc schimbări în tehnologie, care au efecte asupra
producţiei. Aici nu se evidenţiază faptul că purtătorii noii tehnici, ai schimbărilor tehnologice
sînt înseşi elementele noi care apar, şi anume: noile echipamente tehnice şi calificarea. Progresul
tehnic neîncorporat provine, prin definiţie, din îmbunătăţirile tehnicii vechi şi ale organizării,
precum şi din noua tehnică, luate în bloc, deci considerate omogene. Această categorie de
progres tehnic, aşa cum se ia el prin definiţie, poate fi considerat ca o mînă căzută din cer 75 .
S-a încercat şi o altă explicaţie şi prezentare a efectelor progresului tehnie, şi anume cînd
acesta se consideră încorporat în factori. Dacă în primul caz fondurile de producţie şi forţa de
muncă sînt considerate omogene, în cel de-al doilea caz fondurile de producţie sînt constituite
din mijloace tehnice de diferite vîrste, iar forţa de muncă - stratificată pe diferite vîrste şi grade
de calificare corespunzătoare mijloacelor tehnice utilizate. Mijloacele tehnice mai noi, ca şi forţa
de muncă corespunzătoare acestora, sînt mai productive decît cele vechi. În acest caz, nu mai
este vorba de omogenitatea fondurilor. Noul echipament tehnic şi noile straturi calificate de forţă
de muncă sînt purtătorii îmbunătăţirilor tehnice. Deci noua tehnologie este cuprinsă şi mereu
74 Fireşte, acest lucru este luat doar în mod convenţional, din raţiuni metodologice.
75 "Technical know-how falling like manna from heaven". Vezi în această privință [5, p. 236], [23, p. 66]
165

egenerată pe scară tot mai înaltă prin noile fonduri, noile generaţii reprezentate de noile straturi
calificate ale forţei de muncă.
În cele ce urmează vom da o anumită extindere, atît ca explicaţii, cît şi ca utilizare, formei
progresului tehnic neîncorporat în construcţia diferitelor modele avîndu-se în vedere simplitatea
acestuia.
§ 7.8.2.1. TIPURI DE PROGRES TEHNIC
Noua tehnologie (invenţia şi inovaţia), printre altele, I poate avea ca efect fie economisirea
forţei de muncă ("labor saving"), fie economisirea fondurilor de producţie ("capital saving"), fie,
în sfîrşit, economisirea celor două elemente (forţă de muncă şi fonduri) în proporţii egale. Ultima
categorie de progres tehnic mai este numit şi neutru 76 .
Aceste tipuri vor apărea mai clare dacă vom folosi ca variante tehnologice izocantele în
relaţiile lor cu izocosturile în reprezentarea grafică (vezi graficul din fig. 17).
L
1
4
3
II
2
II
I
În grafic se iau pe abscisă fondurile de producţie (K), iar pe ordonată forţa de muncă (L) şi
un număr de patru variante tehnologice (curbele I, II, III şi IV), precum şi 4 linii drepte de
izocosturi în care linia 1 reprezintă costurile din perioada de bază, iar restul liniilor — costurile
din perioadele curente ilustrînd următoarele situaţii (după locul unde aceste linii taie cele două
axe de coordonate reprezentate de fonduri (K) şi forţa de muncă (L)):
linia 2 — o economie mai mare de forţă de muncă;
I
V
0 4 I
V
I
3 1 2 K
76 Această clasificare a fost facută de J.Hicks în [73] și reluată de Joan Robinson în [151].
II
II
I
Fig. 17
P
I
166

linia 4 — o economie mai mare de fonduri;
linia 3 —o economie egală a fondurilor şi a forţei de muncă ( linia 3 este paralelă cu linia
1).
Varianta III reprezintă progresul tehnic neutru întrucît linia 3 este paralelă cu linia 1, iar
dreapta P este perpendiculară pe liniile 1 şi 3.
Analiza tipurilor de progres tehnic se poate face, de asemenea, utilizînd şi o serie de alte
relaţii algebrice simple. Să luăm, de exemplu, ponderea consumului de muncă vie (V) şi a
consumului de fonduri (muncă trecută) (C) în costurile totale (C + V), adică:
și
(7.189)
(7.190)
Prin îmbunătăţiri tehnice se poate ajunge la o reducere a consumului de muncă sau/şi la o
reducere a consumului de fonduri cerută pe unitatea de produs.
Să presupunem că proporţia de reducere a consumului de muncă este de p, iar a fondurilor
este de q. Această reducere este mai mică decît 1 (deci este vorba de coeficienţi de reducere).
Dacă unul dintre aceste elemente este pozitiv, adică economisire, atunci celălalt element poate fi
sau pozitiv, arătînd tot economisire, sau negativ, indicînd un spor de consum.
O îmbunătăţire tehnică poate aduce economisirea forţei de muncă, poate fi neutră sau poate
aduce economii de fonduri după cum p faţă de q este mai mare, egal sau mai mic.
În politica economică va trebui îndreptată atenţia spre un anumit gen de inovaţii sau progres
tehnic, avîndu-se în vedere ponderile consumurilor adică după cum:
Reducerea proporţională a costurilor r, ţinînd seama de notaţiile şi explicaţiile date mai sus,
poate fi exprimată în felul următor:
Să folosim o ilustrare numerică:
dacă V= 20 şi C= 10, proporţia cheltuielilor este:
(7.191)
Presupunem un coeficient de reducere a cheltuielilor de muncă vie, drept consecinţă a unei
îmbunătăţiri tehnice:
p = 0,5.
Admitem, totodată, un coeficient de creştere a cheltuielilor de fonduri, ca urmare a
167

îmbunătăţirii tehnice de mai sus :
q = -0,25.
Reducerea proporţională totală a cheltuielilor este:
r = 0,66 . 0,5 + 0,33 . (-0,25) = 0,2475.
Să scriem din nou relaţia de mai sus privind reducerea proporţională a cheltuielilor :
şi să dăm creşteri infinit mici variabilelor p, q şi r :
relaţia:
(7.192)
. (7.193)
În condiţiile maximizării lui r (adică r luat constant) deci cu creşterea zero, se ajunge la
(7.194)
(7.195)
Explicaţii suplimentare asupra relaţiilor dintre p şi q se pot obţine, printre altele, analizînd
derivatele 1 şi 2 :
sau reprezentîndu-le grafic (vezi graficul din fig. 18).
Mărimile p şi q, raportate între ele, sînt invers proporţionale 77 .
Dar schimbările tehnologice cu înclinaţii mai accentuate spre economisirea forţei de muncă
sau spre economisirea fondurilor ajung, cu timpul, să dezechilibreze balanţa dintre fonduri şi
forţa de muncă, să creeze disproporţii în producţie. De aceea, este necesar să se aleagă funcţii de
producţie care să lase netulburată această balanţă. În cele ce urmează vom analiza felul cum vom
include progresul tehnic neîncorporat într-o funcţie de producţie continuă, cu o schimbare neutră
a progresului tehnic.
77 În ce privește explicațiile suplimentare asupra tipurilor de progress tehnic vezi [102], [151].
168

§ 7.8.2.2. FORME DE EXPRIMARE A PROGRESULUI TEHNIC NEUTRU
Există trei posibilităţi de formulare a progresului tehnic neutru, şi anume: cel de tip Harrod,
cel de tip Solow şi, în sfîrşit, cel de tip Hicks.
sau
Progresul tehnic neutru de tip Harrod
În acest caz se foloseşte funcţia de producţie de forma :
Y =F(K, A(t)L) (7.196a)
în care progresul tehnic măreşte (potenţează) factorul forţă de muncă cu A(t) şi unde:
(7.196b)
A(t) = 1 pentru t = 0 şi A(t) > 1, A'(t) > 0 pentru t > 0, iar A(t)L = reprezintă forţa de muncă
potenţată de progresul tehnic şi este exprimată în unităţi de eficienţă.
Relaţia (7.196a) arată că o producţie dată poate fi obţinută cu o cantitate dată de fonduri şi
cu o cantitate de forţă de muncă ce descreşte în timp în aceeaşi proporţie în care creşte efectul
progresului tehnic. Acelaşi input de forţă de muncă, exprimat în unităţi de eficienţă, înseamnă un
număr fizic mai redus de forţă de muncă.
Progresul tehnic variază în timp cu o rată m, calculată astfel:
unde: A=1, pentru t = 0 şi
A > 1 şi A > 0 pentru t > 0.
p
0
Fig. 18
Transformările corespunzătoare duc la următoarele rezultate :
Incluzînd în locul lui A pe în relaţiile (7.196a) şi (7.196b) vom putea da
q
(7.197)
(7.198)
169

următoarea exprimare a progresului tehnic neutru de tip Harrod cu ritmul constant m:
unde:
(7.199)
Ce spune în esenţă relaţia (7.199)? Respectînd condiţia efectelor constante ale scării
producţiei, o creştere proporţională egală a lui K şi A(t) L trebuie să conducă la o creştere
proporţională a lui Y.
următor:
sau
Exprimarea pe unitatea de muncă (per capita, pe om/oră etc.) a acestei funcţii se face în felul
(7.200)
(7.201)
(7.202a)
(7.202b)
(7.202c)
(7.203)
unde y şi k reprezintă outputul şi inputul de fonduri pe unitatea de muncă fizică, iar şi
reprezintă outputul şi inputul de fonduri pe unitatea de muncă exprimată în unităţi de eficienţă,
sau pe unitatea de muncă potenţată.
Funcţia de mai sus, exprimată în unităţi de eficienţă, se mai poate scrie:
. (7.204)
iar reprezentarea grafică a acesteia este obişnuită, adică asemănătoare acelora din paragrafele
precedente.
Spre deosebire de aceasta, inputul de fonduri şi outputul per capita, exprimate în unităţi
fizice (nu în unităţi de eficienţă), se prezintă grafic în aşa fel încît curba funcţiei de producţie să
se schimbe în timp, deci în concordanţă cu variabila:
t = t0 < t1 < t2 < t3.
O caracteristică a progresului tehnic neutru de tip Harrod este aceea că rata de eficienţă a
fondurilor este aceeaşi pentru toţi t, (t = t0 , t1 , t2 , t3.), definită prin egalitatea eficienţei marginale
a fondurilor, exprimată prin tangentele la punctele P0,P1, P2 şi P3 ale căror pante sînt egale între
ele: = constant (vezi graficul din fig. 19).
170

Dacă punctele P0, P1, P2 şi P3, de pe cele patru curbe din grafic, reprezintă rate egale de
eficienţă ale fondurilor(y0=k0=y1/k1=y2/k2=y3/k3), atunci aceste puncte sînt situate pe aceeaşi
dreaptă ( definită prin panta y/k care are originea în O. ( În graficul din figura 23 curbele
funcţiilor sînt ierarhizate astfel: f(k0,t0) < f(k1,t1) < f(k2,t2) < f(k3,t3) 78 . Progresul tehnic neutru de
tip Harrod îl putem exprima cu ajutorul diferitelor funcţii de producţie concrete, printre care să
luăm, spre ilustrare, funcţia Cobb-Douglas cu efecte constante ale producţiei de scară (0 < <
1), şi anume :
unde : A = A (t), A(t) = 1 pentru t = 0 şi
A (t) > 1, A (t) > 0 pentru t > 1.
Înlocuind pe A cu , conform relaţiei (1.198) obţinem:
unde sau
Introducînd m , obţinem:
, (7.205)
, (7.206)
, (7.207)
(7.208)
. (7.209)
Progresul tehnic neutru de tip Harrod, exprimat cu ajutorul funcţiei Cobb-Douglas, va fi
utilizat, cu prioritate, în modelele dinamice care vor urma, avînd în vedere simplitatea şi
78 w cu indicii de la 0 la 3 reprezintă ratele salariilor per capita în condiţiile planificării perfecte (vezi paragraful
7.1.1).
P0
P1
f(k1,t1
f’(k0) )
f(k0,t0
)
P3
f’(k2)
P2 f(k2,t2
f’(k1) )
f’(k3)
f(k3,t3)
0 k
Fig. 19
171

claritatea construcţiilor.
Progresul tehnic neutru de tip Solow în cadrul acestui tip de progres tehnic neutru urmează
să se mărească (să se potenţeze) fondurile de producţie cu sporul de progres tehnic astfel:
sau
unde : B(t) = 1 pentru t = 0 şi
B(t)>l, B(t) >0 pentru t>0.
B(t)K= reprezintă fondurile de producţie potenţate, exprimate în unităţi de eficienţă.
(7.210a)
(7.210b)
După cum se poate deduce, aceeaşi cantitate de output se poate realiza cu un input fizic de
fonduri mai mic, şi anume în proporţia în care creşte progresul tehnic. Şi în acest caz se ia
variaţia în timp a progresului tehnic egală cu m, precum şi relaţia:
. (7.211)
Incluzînd în locul lui B(t) pe în relaţia (1. 210a), vom putea avea următoarea exprimare
a funcţiei de producţie cu progres tehnic neutru de tip Solow:
sau în mărimi per capita:
(7.212)
(7.213a)
(7.213b)
(7.213c)
Progresul tehnic neutru de tip Solow se exprimă, cu ajutorul funcţiei Cobb-Douglas, cu
efecte constante ale producţiei de scară în felul următor:
unde:
unde:
atunci:
Progresul tehnic neutru de tip Hicks
.
(7.214)
, (7.215)
(7.216)
. (7.217)
Deşi acest tip de progres tehnic neutru a fost formulat înaintea celorlalte două tipuri
menţionate, totuşi el apare exprimat ca o combinaţie a celor două. Dacă se consideră
172

funcţia de producţie:
(7.218)
liniară şi omogenă cu efecte constante ale producţiei de scară, iar progresii 1 tehnic potenţînd
proporţional forţa de muncă şi fondurile cu A (t) şi B(t), adică: A(t) = B(t), atunci funcţia
respectivă se poate scrie :
întrucît: A(t) = B(t), atunci:
unde : și .
(7.219)
(7.220a)
(7.220b)
, (7.220c)
Progresul tehnic este neutru dacă la un raport dintre fonduri şi forţă de muncă K/L =k
neschimbat are loc un raport dintre productivitatea diferenţială a muncii şi eficienţa marginală a
fondurilor, de asemenea, neschimbat, adică:
În acest caz forma izocantei rămîne neschimbată, conform graficului din fig. 20.
(7.221)
Dreapta (raza) OP reprezintă varianta de tehnică, iar pantele tangentelor T0 la punctul A0 şi
T1 la A1 ratele marginale de substituţie dintre K şi L. Din faptul că panta T1 la punctul A1 este
paralelă cu panta T0 la punctul A0 şi că A1 se găseşte pe aceeaşi dreaptă (rază) cu A0 (adică pe
OP) rezultă că progresul tehnic este neutru.
În toate celelalte situaţii avem de-a face fíe cu progres tehnic care duce la economisirea
muncii, cînd:
L
0
A1
Fig. 20
T1
A0
Y(t1)
T0
P
Y(t0)
K
173

. (7.222)
la un K/L = k dat, fie , invers, cu progress tehnic care duce la economisirea fondurilor, cînd:
la un K/L =k dat.
/
scade (7.223)
Funcţia de producţie cu progress tehnic neutru de tip Hicks de forma:
Y= A(t)F(K,L) (7.224)
poate fi exprimat în mărimi per capita:
Y=A(t)f(k.) (7.225)
Reprezentarea grafică a acesteia din urmă (figura 25),care arată schimbarea în planul k, y, ca
urmare a introducerii progresului tehnic, are drept caracteristici:
a) valoarea funcției de producție f(k,t) se deplasează în sus, spre nord, de la t0 f(k, t0) la t1 sau
f(k, t1), creșterea relativă a lui y fiind independent de k;
y
b) mărimea k rămîne neschimbată k= k0 la schimbările tehnicii;
C
B
f(k,t1)
f(k,t0)
Z 0
k0
k
FL/F
K
Fig. 25
174

c) deplasarea spre nord a funcției f(k,t) de la f(k, t0) la f(k, t1) înseamnă sporul producției per
capita;
d) cele două tangente la B și C vor intersecta axa orizontală în punctul comun Z;
e) distanța OZ reprezintă rata marginală a productivităților FL/FK= ω/φ= constanta.
Progresul tehnic neutru de tip Hicks se poate evidentia si cu ajutorul functiei Cobb- Douglas.
Dacă vom considera efecte constante ale producției de scară, iar rata progresului tehnic neutru m,
vom scrie:
unde:
și
K = e mt K.
L= e mt L.
Înlocuind aceste valori în relația (7.226), obținem:
(7.226)
Y= (e mt K) α (e mt L) 1-α , (7.227a)
(7.227b)
Y= e mt K α L 1-α . (7.227c)
Inconvenientul progresului tehnic de tip Hicks din punctul de vedere al analizei creșterii
economice constă în faptul că mărimea k este dată , pe cînd, în realitate, în cele mai frecvente
cazuri k crește [70, p.826-827], [134, p.102-105].
În modelele pe care le vom prezenta în continuare vom folosi funcțiile de producție cu
progres tehnic neutru de tip Harrod avînd în vedere simplitatea și claritatea acestuia.
§ 7.8.3. MODELE NEOCLASICE CU PROGRES TEHNIC NEÎNCORPORAT
Pentru analiza unor aspecte ale modelelor neoclasice în care este luat în considerare
progresul tehnic neîncorporat, vom folosi, pentru început, ca instrumente de lucru, funcțiile de
producție cu factori continuu substituibili, apoi vom trece la analiza cantitativă a creșterii
echilibrate a stabilității și a deprecierii fondurilor de producție.
§ 7.8.3.1. MODELE CU FUNCȚII DE PRODUCȚIE CU COEFICIENȚI FIXI
În paragraful 7.1 s-a aratat că funcția de producție de forma :
Y= F(K, L) (7.228)
Se poate exprima și prin intermediul unor coeficienți cum sînt:
175

sau
ʋ=
=
=
=
coeficientul de fonduri pe unitate de produs;
consumul de muncă pe unitate de produs;
productivitatea muncii,
Toți fiind luați ca mărimi fixe în timp și pe care îi putem utiliza astfel în relațiile :
Y= K
= L
Y=
=
,
(7.229)
Luînd în considerare progresul tehnic neutru de tip Harrod de potențare a forței de muncă L
cu o rată m, și anume:
L = e mt L,
funcția de producție de forma (7.229) se poate exprima astfel:
sau
Y=
=
Y=
=
,
. (7.230)
Această relație arată schimbarea tehnologiei și poate fi folosită în modelele de creștere cu
coeficienți fixi, de tip Harrod-Damor.
Să analizăm mai întii relațiile dintre output și fondurile de producție în condițiile de
echilibru sau ale vîrstei de aur a crețterii (―golden age growth‖).
În acest scop vom pleca de la relațiile de echilibru:
Y=
, (7.231)
= sY. (7.232)
Asupra acestora operînd o serie de transformări (vezi paragraful 7.2), vom ajunge la relațiile:
, (7.233)
Y(t)= Yo
K(t)= Ko , (7.234)
care exprimă, așa cum s-a văzut mai sus, condițiile pe termen lung ale creșterii echilibrate sau
condițiile vîrstei de aur a creșterii producției și a fondurilor cu rată garantată de s/ . Se vede că
acestea nu sînt afectate direct (explicit) de progresul tehnic neutru de tip Harrod 79 .
79 În cazul folosirii progresului tehnic neutru de tip Solow , creșterea producției este afectată (explicit) de progresul
tehnic așa, cum se poate vedea din dezvoltarea următoarelor relații:
176

Dar pentru că raționamentul privind creșterea economică să fie complet, la relațiile de
echilibru de mai sus se alatură condiția de creștere echilibrată pe termen lung a forței de muncă
pentru producția Y data:
Aici forța de muncă este exprimată în unități de eficiență calculate astfel:
Știind că:
(7.235)
L = e mt L. (7.236)
L= Loe nt (7.237)
și înlocuind în relația (7.236) valoarea lui L din (7.237), se va obține :
sau
L =e mt Loe nt . (7.238a)
L = Loe (n+m)t , (7.238b)
unde: n+m reprezintă așa-numita rată naturală de creștere .
Acum, rezumînd cele arătate pînă acum, să scriem din nou condițiile de creștere ale
modelului avînd date valorile inițiale ale parametrilor Y, K și L, și anume:
Y(t)= Yoe (s/v)t,
K(t) = Koe (s/v)t , (7.239)
L (t) = Loe (n+m)t .
Pentru întregul model însă condiția esențială, care trebuie satisfăcută de parametrii
modelului de creștere echilibrată, numită și vîrtsta de aur a creșterii (―golden age growth‖), este
de a păstra o corespondență între rata de creștere garantată (s/ʋ) și cea naturală (n+m), deci de a
realiza și păstra egalitatea dintre ele, ținînd seama de existența progresului tehnic neutru de tip
Harrod:
sau
s/ʋ = n+m (7.240)
Y=
=
,unde: K = e mt K, Y= e mt
Logaritmînd această relație și apoi derivînd, obținem:
lnY= mt + ln K –ln v
= m+
=m +
Cu alte cuvinte, această ultimă relație arată că rata de creștere a producției este egală cu rata de creștere a
fondurilor plus rata de creștere a progresului tehnic.
.
.
177

De aici se pot deduce și alte relații care, de asemenea, pot fi considerate condiții ce trebuie
îndeplinite de model în starea de creștere echilibrată, și anume:
a) eficiența fondurilor de producție
(inclusiv aceea a progresului tehnic) și rata de acumulare:
=
este egală cu raportul dintre rata de creștere naturală
, (7.241)
b) rata de acumulare s este egală cu produsul dintre rata de creștere naturală (inclusiv
progresul tehnic) și coeficientul de fonduri pe unitate de produs (consumul specific de
fonduri):
s = (n+m)ʋ; (7.242)
c) consumul specific de fonduri este egală cu raportul dintre rata de acumulare și rata de
creștere naturală (inclusive progresul tehnic):
ʋ =
Dat fiind faptul că în construcția acestui model sînt folosiți coeficienți fixi, deci unde nu
există posibilitatea de substituire a factorilor, condițiile, așa cum s-a subliniat în paragrafele
anterioare, sînt prea strînse și nu corespund realității.
§ 7.8.3.2. MODELE CU FUNCȚII DE PRODUCȚIE ÎN CARE FACTORII SÎNT
CONTINUU SUBSTITUIBILI
Acum să reluăm ideile de mai sus facînd o descriere mai amănunțită a modelului în care se
iau în considerare progresul tehnic precum și substituția factorilor, folosind funcțiile de producție
pentru analiza traiectoriilor pe termen lung privind evoluția producției, și a fondurilor per capita.
Vom utiliza în acest scop ca funcție de producție specifică funția Cobb-Douglas.
§ 7.8.3.2.1. PROIECTAREA PE TERMEN LUNG A TRAIECTORIEI PRODUCȚIEI
Analizăm traiectoria după care evoluează producția Y(t) folosind funcția de producție
agregată Cobb- Douglas:
.
Y= e mt K α L 1-α , (7.243)
în care e mt este indicele de schimbare a tehnicii cu rata m . Exponenții α și 1-α sînt pozitivi, iar
suma lor este egală cu 1. Funcția este omogenă de gradul unu, ceea ce înseamnă că, dacă forța de
muncă și fondurile cresc din punct de vedere cantitativ într-o anumită proporție (de exemplu cu
178

λ), în aceeași proporție va crește și producția (adică tot cu λ).
Să presupunem că ratele de creștere ale componentelor modelului sînt următoarele:
q – a producției Y
h – a stocului de fonduri K
n – a forței de muncă L.
În aceste condiții fiind date nivelurile inițiale, acestea vor descrie în timp urmatoarele
traiectorii:
unde :
I =
Y = Y0 e qt , (7.244)
K = K0 e ht , (7.245)
L = L0e nt , (7.246)
= hK0e ht = sY0e qt (7.247)
Una din problemele ce se pun este următoarea: să se gasească rata de creștere a producție în
condițiile stării de echilibru a economiei.
Pentru a da răspuns la această problemă vom porni de la funcția de producție Cobb-Douglas:
Y(t) = e mt K α (t)L 1-α (t) , (7.248)
pe care să o derivăm în funcție de timpul t. În acest caz vom obține relația:
= memt K α L 1-α + αe mt K α-1 L 1-α
+ (1-α) emt K α L 1-α-1
. (7.249)
Această relație o mai putem exprima și altfel, fără a-i schimba valoarea, și anume:
= memt K α L 1-α +
*
+
*
. (7.250)
Se observă că în cei trei termeni din dreapta egalității există valoarea: = Y, pe
care o putem înlocui și atunci obținem:
= mY + αY
+ (1- α) Y
Împărțind ambele părți ale egalității prin Y, se obține relația:
= m + α
+ (1- α)
. (7.251)
. (7.252)
care reprezintă legătura dintre rata de creștere a producției și creșterea progresului tehnic, a
fondurilor și a foței de muncă potrivit definiției:
în care:
q = m+αh + (1-α)n , (7.253)
=
=
=
= q, (7.254a)
= h, (7.254b)
= n. (7.254c)
179

S-a văzut însă mai înainte că, în condițiile vîrstei de aur a acumulării, ratele de creștere ale
producției, ale fondurilor și ale investițiilor sînt egale cu s/v, pe care acum să le notăm cu ɡ,
adică:
și, ca atare:
s/v= ɡ, (7.255)
q = h=ɡ. (7.256)
În aceste condiții, relația (7.253) se scrie astfel:
ɡ = m+αɡ + (1- α) n (7.257)
sau, după efectuarea operațiilor algebrice corespunzătoare, în următoarea formă:
ɡ =
+ n. (7.258)
Mai înainte de a se lua în considerarea progresul tehnic, analiza evoluției pe termen lung a
producției și a fondurilor populației. Aceasta înseamnă că producția și fondurile per capita în
starea vîrstei de aur a acumulării tind spre o creștere zero. În noile condiții însă, sporirea
producției are un ritm de creștere mai mare, tinzînd către limita data de rata progresului tehnic
împărțită la (1- α) (care este subunitar), plus rata de creștere a populației:
ɡ
+ n . (7.259)
Producția per capita, de asemenea, poate crește chiar în perioada vîrstei de aur, tinzînd către
rata de creștere a progresului tehnic.
Aceste aspecte vor fi reluate, mai pe larg, în paragrafele următoare. Acum să ne oprim
asupra unui alt aspect, care a fost menționat în paragraful 7.2, și anume influența pe care ar avea-
o unele anomalii inițiale sau pe parcurs ale traiectoriei diferitelor elemente ale modelului.
§ 7.8.3.2.2. ANALIZA CANTITATIVĂ A STABILITĂȚII TRAIECTORIEI PE TERMEN
LUNG A PRODUCȚIEI
În paragraful 7.2.3 s-au sugerat devierile pe care le pot produce diferiți factori exteriori
asupra traiectorilor diferitelor variabile sau funcții. Acum să trecem la analiza cantitativă a
acestui aspect, folosind funcția de producție Cobb-Douglas.
Tipul concret de problemă pusă acum spre rezolvare este urmatorul: dacă o țară primește
ajutor străin, acesta va influența permanent asupra nivelului producției sau, dimpotrivă, acest
ajutor, cu timpul, își va pierde orice efect. Vorbind mai concret, dacă fondurile inițiale ale unei
economii sînt mai mari, implică oare acest lucru posibiliatea și necesitatea unui nivel mai ridicat
al producției?
Rolul cotei de acumulare în comparație cu cota de consum în asigurarea creșterii economice
180

și a sporirii consumului în perioada de industrilalizare și în perioada epocii de aur a creșterii
rămîne să fie discutat ulterior. Acum să abordăm influența unor factori din afară (exogeni) asupra
creșterii producției, pentru a vedea dacă se mai asigură stabilitatea sistemului, cu alte cuvinte ,
dacă anomalia este trecătoare sau persistă și dacă se asigură starea de echilibru pe termen lung.
Pentru a analiza stabilitatea traiectoriei creșterii echilibrate și alte aspecte legate de aceasta,
va trebui să aflăm soluția generală a traiectoriei în timp a producției, în cadrul modelului
neoclassic. În acest scop vom porni tot de la funcția de producție Cobb-Douglas:
Y = e mt K α L 1-α , (7.260)
pe care să o derivăm în raport cu timpul (t).
= memt K α L 1-α + αe mt K α-1 L 1-α
+ (1-α) emt K α L 1-α-1
. (7.261)
Pentru a simplifica ecuația și a o putea face operabilă să efectuăm cîteva modificări care să
nu schimbe nici valoarea elementelor respective și nici a întregii egalități. Astfel,
se poate înlocui cu sY întrucît există egalitatea:
iar L -α
= sY , (7.262)
se poate înlocui cu L1-α .n întrucît există echivalența:
L -α
L1-α
L1-α .n . (7.263)
În acest caz vom rescrie ecuația de mai sus cu modificările menționate:
= memt K α L 1-α + (1-α)e mt K α L 1-α n + α e mt K α-1 L 1-α sY. (7.264)
Observăm că în a doua din elementele din termenul din dreapta se regăsește funcția:
e mt K α L 1-α = Y.
Pe aceasta o înlocuim în relația (7.264) cu Y și operăm modificările corespunzătoare,
ajungînd la urmatoarele relații:
sau
= mY+ (1-α)nY + α emt K α-1 L 1-α Y. (7.265)
= [m+n (1-α)]Y + α semt K α-1 L 1-α Y. (7.266)
Asupra ultimei relații operăm înca o modificare, și anume să înlocuim valoarea K α-1
rezultată din funcția de producție:
Y= e mt K α L 1-α . (7.267)
K α =
. (7.268)
Pentru a ajunge la valoarea K α-1 de care avem nevoie pentru înlocuire, ambii termini ai
egalității îi putem ridica la puterea
, și anume:
181

=
. (7.269)
Înainte de a o include în relația (7.266), operăm în ultima expresie următoarele transformări:
=
=
=
. (7.270)
Incluzînd această relație finală (7.270) în ecuația (7.266), unde, de asemenea, în loc de L 1-α
scriem 1-α = 1-α e n(1-α)t , obținem:
= [m+n (1- α)]Y + αs
=
e n(1-α)t Y.
(7.271)
Făcînd operațiile cuvenite în expresiile de mai sus, vom ajunge la următoarea exprimare a
ecuației diferențiale:
= [m+n (1- α)]Y + αs
Rearanjăm termenii ecuației în modul următor:
= [m+n (1- α)]Y + αs
(7.272)
(7.273)
Observăm că este vorba de o ecuție diferențială neomogenă și neliniară numită ecuație
diferențială de tip Bernoulli.
unde:
Q = αs
+ Py = Qyη , (7.274)
P= m+n (1- α), (7.275)
y η =
y = Y, (7.276)
(7.277)
. (7.278)
Vom lua mai întîi ecuația de principiu (7.274), procedînd mai întîi la transformarea acesteia
într-o ecuație liniară printr-o serie de operații pe care le vom descrie pe scurt, apoi vom face
aplicațiile respective pe exemplul ecuației ce face obiectul analizei noastre (7.273). Vom împărți
toate elementele la y η obținînd:
y –η
Făcînd substituția cu :
și derivînd, vom obține:
+ P y1-η =Q. (7.279)
z = y 1-η (7.280)
–η
= (1- η ) y
, (7.281)
182

=
. (7.282)
Introducînd relațiile (7.282) și (7.280) în (7.279) și obținem:
y –η
Înmulțind relația (7.283) cu (1- η), vom obține:
+ Pz = Q. (7.283)
+ (1- η )Pz= (1- η )Q. (7.284)
Înlocuind în această relație elementele corespunzătoare din (7.273) și din (7.275) – (7.278)
vom obține:
= [m+n(1- η )] [1-
]
+ (1-
) αs
. (7.285)
Întrucît această relație este greu de manipulat, vom face urmatoarele înlocuiri:
a1 = m+n (1 - α),
z =
a2 = αs
a3 =
1-a3 =
a4=
,
, (7.286)
Înlocuind toate acestea în relația (7.285), vom obține ecuația diferențială:
=
,
,
= (1- ) z + (1- ) . (7.287)
care este liniară și neomogenă și ale cărei soluții le vom analiza în cele ce urmează.
Acest tip de ecuație diferă de cel discutat în paragraful 7.3.1.2 (vezi relația (7.159)) prin
faptul că aici apare creșterea exponențială în funcție de t reprezentată de . Pentru acest motiv
se cer cîteva calcule suplimentare față de regula standard cunoscută.
Se știe că soluția generală a ecuației complete (7.287) este reprezentată de suma
rezultatelor obținute din rezolvarea funcției complementare (zc) – care evidențiază devierea în
timp de la starea de echilibru a variabilei analizate - și de rezolvarea funcției integrale particulare
(zp) – care evidențiaza nivelul sau starea de echilibru a variabilei, adică:
sau
+
z = + (7.288)
=
+
. (7.289)
În acest caz, înlocuind pe z cu noile funcții, ecuația (7.289) se mai poate scrie:
= (1- ) ( )+ (1- ) . (7.290)
183

Determinăm mai întîi funcția complementară , care reprezintă soluția generală a ecuației
reduse în forma omogenă (deoarece evidențiază starea de echilibru a variabilei, derivata
funcției are valoarea zero):
- (1- ) = 0, (7.291)
= (1- ) dt, (7.292)
ln = (1- ) t +G, (7.293)
= A . (7.294)
Această relație arată deviere în timp de la starea de echilibru, iar A reprezintă o constantă
care depinde de condițiile inițiale (de valoarea inițiala a variabilei).
Să reținem acest rezultat și să trecem la determinarea celei de-a doua funcție, numită
integrala particulară, notat cu , care evidențiază starea de echilibru:
Întrucît termenul:
= (1- ) + (1- ) . (7.295)
(1- )
crește exponențial, cea mai apropiată aproximație de conceptul de echilibru în acest model, așa
cum arată Dernburg , este aceea care permite că să crească exponențial cu rata .
Pentru aceasta, Dernburg presupune că:
pe care o derivăm și obținem:
= (7.296)
= . (7.297)
Întroducînd această valoare presupusă în relația (7.295), în locul lui
se obține:
= (1- ) + (1- ) . (7.298)
Aici se observă că este factor comun, și ca atare ecuația se poate simplifica în
următoarea formă:
Întrucît:
= (1- ) + (1- ) , (7.299)
=
= (1- ) , (7.300)
. (7.301)
= , (7.302)
Atunci, incluzînd valoarea relației (7.301) în relația (7.302), obținem:
= [
] . (7.303)
184

Această relație descrie condițiile pentru ajungerea în timp la starea de echilibru. Sau, cu alte
cuvinte, aceasta definește traiectoria spre creșterea echilibrată.
Acum să reunim cele două rezultate parțiale: de la funcția complementară ( ) și de la
integrala particulară ( ) pentru a dteremina soluția generală.
Ne amintim, de exemplu , că:
z = + , (7.304)
în locul cărora putem scrie mărimile găsite în relațiile (7.294) și (7.302):
z = A + . (7.305)
Din relația (7.305) trebuie definite valoarea lui A, și iată cum:
dacă la timpul t=0 notăm valoarea inițială a lui z cu , adică
atunci:
obținem:
z = , (7.306)
= A + (7.307)
A = -
. (7.308)
Incluzînd noua valoare a lui A în relația (7.305), se obține relația:
z = ( - ) + (7.309)
sau, incluzînd valorile corespunzătoare ale lui
z =[( –(
Întrucît:
)] +
Relația (7.310) se mai poate scrie:
Y= [ (
-
, se ajunge la ecuația:
. (7.310)
z = (7.311)
=
, (7.312)
) +
. (7.313)
Pentru rezolvarea concretă a problemei de spațiu ne vom opri aici cu dezvoltarea problemei,
însa nu înainte de a face cîteva comentarii de principiu asupra soluțiilor.
Știind ca (t)= z reprezintă evoluția în timp a outputului
al outputului și
poate nota și astfel:
Y(t) ={[
+(
= nivelul inițial real
nivelul sub starea de echilibru inițială a outputului, relația (7.313) se mai
) ]
. (7.314)
Acum să ne amintim de formularea problemei înca de la început, și anume dacă o ridicare a
cantității fondurilor de tipul transferului de capital sub forma de ajutor străian va avea sau nu o
185

influență favorabilă trainică (pe termen lung) asupra rezultatelor economice. Cu alte cuvinte,
dacă pe termen lung va ramîne prezent efectul favorabil al ajutorului economic asupra unei
diferențe sau a unui spor de producție, de investiții etc. superior față de situația cînd nu ar fi
existat acest ajutor.
Răspunsuri la aceste întrebări putem căpăta dacă vom analiza diferența dintre outputul real și
outputul de echilibru. Dacă diferența dintre aceste outputuri este pozitivă:
[
] 0 (7.315)
și dacă exponentul cu care crește această diferență este, de asemenea, pozitivă:
=[ m+n (1- α )] (
) >0 , (7.316)
Atunci această diferență va fi tot mai mare cînd t va crește tot mai mult (t → ), deci va
avea loc o creștere exponențială a acestei diferențe reprezentată de prezenta formulă a lui:
t →
sau
t →
În concluzie, în condițiile unei administrații economice normale, un asemenea tip de sprijin
economic de dezvoltare a unei țări, fie ea în curs de dezvoltare sau dezvoltată , așa cum s-a putut
desprinde din cele demonstrate mai sus, va avea efecte economice favorabile durabile în timp.
§ 7.8.3.2.3. PROIECTAREA TRAIECTORIEI PE TERMEN LUNG A FONDURILOR
DE PRODUCȚIE PER CAPITA
În paragrafele anterioare am analizat traiectoriile pe termen lung pe care le pot descrie
fondurile de producție per capita fără progres tehnic. Acum vom include în problema progresul
tehnic. Acest lucru îl vom face mai mult cu scopul de a arăta că în perioada de industrializare
acumularea este susținută de necesitatea ridicării gradului general de înzestrare tehnică a muncii,
de sporul natural al populației și de progresul tehnic, în timp ce în perioada ―epocii de aur‖
acumularea este susținută numai de sporul natural al forței de muncă și de progresul tehnic.
Pentru a demonstra acest lucru, vom recurge la analiza și utilizarea funcției de producție,
exprimată în mărimi per capita.
În această ordine de idei, să ne amintim, de exemplu, de relația (7.144e) din paragraful 7.3,
care reprezintă ecuația diferențială a acumulării fără progres tehnic și pe care o scrie din nou:
sf (k) = ḱ + nk , (7.318)
186

al cărui conținut economic este următorul: proporția fluxului de producție alocată pentru
investiții sf(k) se compune din investițiile pentru sporul forței de muncă, la nivelul de înzestrare
existent (nk), plus investițiile pentru ridicarea gradului de înzestrare tehnică a muncii: atît a
numărului de muncitori existenți, cît și a celor noi (ḱ). Aici este vorba numai de înzestrarea
tehnică cantitativă fără progress tehnic.
Acum să reluăm relația de mai sus în care să includem progresul tehnic neutru de tip Harrod
cu rata m. În consecință, ecuația diferențială se va scrie folosind mărimea k, care, firește, diferă
de k de mai sus.
unde:
Pentru aceasta, să plecăm de la modelul:
Să luăm mai întîi funcția de producție:
Y = F (K, )=F(K, L), (7.322)
Pe care o exprimăm în mărimi per capita:
y =
k =
=
=
=
L = e mt L .
= ye -mt , (7.323)
= ke -mt , (7.324)
unde, evident, y și k reprezintă outputul și fondurile de producție raportate la forța de muncă,
exprimată în unități de eficiență.
Dat fiind faptul că Y=F(K, L) este o funcție liniară și omogenă în K și L, dacă o
transformăm în mărimi per capita, o putem scrie sub forma:
Acum să luăm egalitatea din (7.324)
care se mai poate exprima astfel:
în care:
y = f ( k), (7.325)
=
= y e -mt ,
=k e -mt .
=
,
K= ke mt L , (7.326)
L= L0 e nt .
Dacă vom logaritma relația (7.326), vom obține:
187

lnK= ln k + mt + lnL . (7.327)
Aceasta se poate deriva în raport de t, obținînd:
Întrucît:
=
+m+
relația (7.328 ) se mai poate scrie:
=
. (7.328)
= n , (7.329)
+m+ (7.330)
S-a văzut mai sus că una din relații are următoarea forma:
= sY, (7.331)
în care Y se poate înlocui cu funcția F(K, Le mt ) și obținem:
= sF(K, Lemt ) . (7.332)
Această relație se poate exprima și în mărimi per capită dacă vom opera următoarele
transformări:
sau
sau
sF(
,
) =
sf ( k) =
Termenul din dreapta îl înmulțim și îl divizăm cu K , neschimbîndu-și valoarea:
unde în locul lui
sau
sf ( k) =
sf ( k) =(
sf ( k) =[
sf ( k) =
.
(7.333)
(7.334a)
) k , (7.334 b)
vom include valoarea corespunzătoare din relația (7.330), obținînd:
+ m+n] k , (7.335)
+ mk +nk , (7.336)
sf ( k) = ḱ +m k + n k , (7.337)
sf ( k) = ḱ +(n+m ) k. (7.338)
Aceasta este relația (ecuația diferențială) fundamentală care arată că o parte din investiții
n k este destinată sporului de forța de muncă, o altă parte m k progresului tehnic, iar altă parte ḱ
ridicării cantitative generale a înzestrării tehnice care va fi mai mare decît zero ( ḱ ) cînd ne
aflăm în perioada de industrializare și egală cu zero sau mai mică decît zero ( ḱ ) cînd
188

acumularea cantitativă de fonduri ajunge la saturație sau depășeste această stare.
Firește, în ultima situație este vorba de perioada de după încheierea industrializării, cînd
acumularea de fonduri se poate face numai în măsura în care are loc un spor de forța de munca,
precum și în măsura în care se produce o sporire a nivelului calitativ al tehnicii, deci cînd este
vorba de progresul tehnic.
Această relație prezintă o importanță deosebită pentru politica economică a țărilor în curs de
industrializare, care prin politica lor de acumulare de a ajunge din urmă țările dezvoltate trebuie
să aibă în vedere următoarele obiective:
a) a acumula pentru a asigura noi locuri de muncă, la nivelul de înzestrare existent, pentru
cei noi atrași în activitatea industrială rezultași din sporul natural al populației (n k);
b) a acumula pentru a asigura un spor general cantitativ al înzestrării tehnice, inclusive
pentru cei atrași din agricultură și servicii care lucrează manual ( ḱ), sarcina cu atît mai
mare cu cît industrializarea este mai apropiată de punctul său inițial;
c) a acumula spre a acoperi nevoile impuse de progresul tehnic (m k).
Țările în curs de industrializare, și îndeosebi cele mai puțin dezvoltate, trebuie să facă
eforturi de acumulare în primul rînd datorită sporului natural de populație, care, în general, este
mai ridicat decît în țările dezvoltate. Totodată ele trebuie să facă eforturi deosebite pentru a
asigura înzestrarea tehnică initială-elementară a contingentelor de muncitori manuali, inclusiv a
celor eliberați din agricultură și angajați în industrie, construcții etc., precum și ridicarea treptată
a nivelului de înzestrare tehnică de ansamblu, problemă pe care țările dezvoltate, în linii
generale, au rezolvat-o. Eforturi mari trebuie făcute, totodată, și în legătură cu progresul tehnic
care, la început, este importat ca apoi să se treacă in paralel și într-o măsură crescîndă la crearea
unor baze și surse proprii de progres tehnic, astfel încît, în perspectivă, aceste țări să devină
competitoare alături de țările dezvoltate și cu tradiții tehnice.
Pe baza relației matematice de mai sus, se poate trece la analiza consistenței traiectoriei
acumulării fondurilor cu traiectoriea dată de rata de creștere a forței de muncă și a progresului
tehnic. Și în acest caz se poate face o analiză calittivă (grafică), precum și una cantitativă a
soluțiilor, în care se iau diferite funcții de producție, în mod asemănător cu procedeele folosite în
paragraful 7.2.
Firește, metodele de calcul și analiză vor fi identice cu cele din paragraful 7.2, mai ales dacă
relația (7.338) va avea următoarea formulare:
sau
unde: m+n= η .
sf ( k) = ḱ + η k , (7.339)
ḱ = sf( k) - η k , (7.340)
189

Vom lăsa cititorul să continue singur analiza calitativă a soluțiilor ecuației diferențiale de
mai sus, precum și analiza cantitativă în care să utilizeze ca funcție de producție specifică funcția
Cobb-Douglas, exprimată în valori per capită luînd drept model de referință analizele efectuate
mai înainte.
Să trecem acum la discutarea, pe scurt, a altei chestiuni, utilă în construcția modelelor
noastre de creștere, și anume la determinarea și luarea în considerare a uzurii fizice și morale a
fondurilor.
§ 7.8.3.3. Luarea în considerare a deprecierii fizice și morale a fondurilor
Pînă acum analiza a fost făcută pe baza venitului național Y și a investițiilor nete I. În aceste
condiții nu a fost necesară luarea în considerare a deprecierii fizice și morale a fondurilor.
În cazul în care Y reprezintă investiția brută ( investiția netă plus o parte care înlocuiește
fondurilor scoase din funcțiune sau/și uzate moral ) este necesar să se ia în considerare
deprecierea fizică și morală a fondurilor.
Practic, problemele care se pun constau în:
a) a găsi durata de viață a mașinilor;
b) a calcula ordinal de mărime a deprecierii fizice și morale a fondurilor;
c) a include în modele de creștere cota de depreciere, numită în mod current cota de
amortizare.
Luarea în considerare a uzurii fizice și morale a fondurilor mai este cunoscută și sub
denumirea de distrugere radioactive sau distrugere exponențială, noțiuni luate din fizică, iar
valoarea acestora este aproximată de asemenea potrivit formulelor cunoscute din fizică.
Notînd investițiile brute cu I, stocul de fonduri cu K, investițiile nete cu dK și rata
exponențială de depreciere cu , vom putea scrie relațiile elementare necesare care iau în
considerare deprecierea fondurilor:
I =
Știind că există egalitatea:
I =
+ . (7.341)
= sY , (7.342)
în care s reprezintă rata de acumulare, relația (7.342) mai poate fi scrisă:
sau
sY=
+ (7.343)
sY = Ḱ + . (7.344)
190

În acest caz sY reprezintă fondul de dezvoltare a economiei naționale în care se include
investiția neta Ḱ =
plus fondurile pentru înlocuirea celor uzate .
Înarmați cu noțiunile și tehnicele de lucru expuse pînă acum, să reluăm problema regulii de
aur a acumulării, pe care să o privim mai mult ca o chestiune care, pe de o parte, încheie
discutarea modelelor neoclasice iar, pe de altă parte, face legătura acestora cu modelele de
optimizare a creșterii economice, în condițile creșterii exponențiale a forței de muncă și a
progresului tehnic.
În paragraful 7.3.2 am analizat regula de aur a acumulării dezvoltînd în special latura
matematică. Acum vom relua relațiile matematice respective și le vom încărca cu influența pe
care o are progresul tehnic asupra diferitelor variabile și rezultate ale problemelor, însoțite de
comentarii suplimentare privind aspecte economice.
§ 7.9. REGULA DE AUR A ACUMULĂRII
În acest capitol vom studia regula de aur a acumulării în condițiile creșterii exponențiale a
forței de muncă și a progresului tehnic.
Există posibilitatea că într-o economie, în anumite condiții, politica de investiții să fie mult
prea activă, astfel încît ridicarea traiectoriei outputului să aibă loc într-o măsură mai mică decît
cea a traiectoriei acumulării și, în felul acesta, să provoace o urcare prea mare, nejustificată a
fondurilor și o coborîre a traiectoriei consumului. O politică de investiții prea lentă poate duce în
timp, de asemenea, la consecințe negative.
De aceea, este necesar să se studieze cu atenție traiectoriile pe care le pot descrie diferitele
variabile ca urmare a deciziilor de acumulare.
Dar la studiul acestor traiectorii se simte nevoia de a defini anumite criterii de judecată
pentru a evita de la bun început arbitrarul.
§ 7.9.1. DEFINIREA UNOR NOȚIUNI SPECIFICE
În general, în modelele de creștere pot fi întîlnite două categorii de criteria de optimizare:
A. criteriul de eficiență;
B. criteriul de maximizare a consumului sau a utilităților de consum.
A. Primul criteriu (de eficiență) evaluează traiectoriile alternative pe baza stocurilor de
fonduri de la sfîrșitul perioadelor (fonduri terminale), făcînd abstracție de fluxul
consumului ce se poate realiza de-a lungul traiectoriei de creștere. Potrivit acestui
191

criteriu, o traiectorie poate fi considerată eficientă dacă va rezulta un vector al fondurilor
terminale care să nu fie dominat de nici un alt vector al fondurilor pe o traiectorie
realizabilă. Aceste aspecte sînt analizate îndeosebi prin așa-numitele teoreme ―turnpike‖.
B. Cel de-al doilea criteriu are în vedere maximizarea consumului. Acest criteriu se poate
define în două stări sau condiții economice esențialmente deosebite, care vor face ca și
formularea și rezolvarea problemelor să fie complet diferite.
a) Prima stare sau condiție economică este cea ideală, și anume:
în care toate variabilele relevante ( Y, K, I, C ) cresc cu aceeași rată (constantă
, proporțională);
în care fiecare generație economisește (pentru viitoarea generație) acea
fracțiune a venitului național pe care generațiile trecute ar fi economisit-o
pentru ea;
în care stocul inițial de fonduri a atins un anumit nivel necesar astfel încît
cantitatea fizică a acestora per capită este constantă.
Ținînd seama de condițiile ideale în care s-a formulat problema, E.Phelps a numit această
stare de creștere traiectoria epocii de aur, iar politica de menținere a creșterii economiei pe
traiectoria epocii de aur de maximizare a consumului a numit-o regula de aur a acumulării .
Aceste împrejurări l-au determinat pe T.C.Koopmans să arate că conceptul privind
traiectoria regulii de aur este valabil (disponibil) numai după ce stocul inițial de fonduri cerut a
fost atins.
b) A doua stare sau condiție economică este cea apropiată de realitatea țărilor în curs
de industrializare cu un nivel relativ redus al fondurilor de producție per capită. Aici
coordonatele problemelor se schimbă, iar modalităților de rezolvare sînt altele . Analizele
traiectoriei epocii de aur si a regulii de aur nu mai sînt valabile atîta timp cît condițiile sînt
schimbate și, în primul rînd, cînd cantitatea de fonduri per capită se află la un nivel scăzut. În
această situație este mai potrivit criteriul de optimizare, în care să se ia ca obiectiv maximizarea
funcționalei definite pe un flux al utilităților de consum – actualizat sau neactualizat – și cu o
întindere fie pe o anumită perioada de timp, fie la infinit.
Firește, este situația apropiată de condițiile actuale ale economiei noastre.
Totuși, dat fiind faptul că analiza creșterii economice optime privește economia în
desfășurarea sa pe termen lung, datorită politicii sustinute de investiții duse de P.C.R., se poate
ajunge la un nivel al cantității de fonduri per capită suficient de înalt, după care urmează o
evoluție a lor în cantități constante. În noile condiții, va fi posibilă și necesară adoptarea unei
politici de menținere a creșterii economiei pe traiectoria epocii de aur de maximizare a
consumului - deci adoptarea regulii de aur a acumulării. Acest lucru îl vom arăta cînd vom
192

analiza aplicarea metodelor de optimizare a corelației dintre acumulare și consum.
Iată de ce găsim necesară analiza regulii de aur a acumulării chiar dacă ne referim la o
economie în curs de industrializare, cum este aceea a țării noastre.
În cele ce urmeză vom analiza, pe scurt, condițiile de existență a traiectoriei regulii de aur a
lui E.Phelps, vom defini traiectoriile comanda de crestere, precum și posibilitatile de înscriere pe
traiectoria regulii de aur. În toate cazurile vom folosi progresul tehnic neutru de tip Harrod, în
modelele agregate cu funcții de producție neoclasice.
forma:
sau
în care:
§ 7.9.2. DESCRIEREA CAZULUI PARTICULAR AL REGULII DE AUR A
ACUMULĂRII
Pentru scopurile arătate vom porni deci de la funcția de producție liniară și omogenă de
Y = F(K, e mt L ), m> 0 , (7.345 a)
Y= F (K, L ), (7.345 b)
Y outputul (produsul brut ),
K fondurile de producție,
m rata de schimbare a progresului tehnic,
L forța de muncă, și
L forța de muncă potențate de progresul tehnic sau exprimată în unități de eficiență
Forța de muncă L crește în mod exogen, cu o rată exponențială n, adică:
L(t) = Loe nt , n >0, (7.346 a)
iar forța de muncă potențată de progresul tehnic L crește cu rata n+m, adică
sau
L(t) = Loe nt e mt = Loe (n+m)t , n >0, m >0 (7.346 b)
Relația investiției brute este următoarea :
I=
unde: Ḱ - investiția netă și
+ (7.347 a)
I= Ḱ + , > 0 , (7.347 b)
– investiții corespunzătoare ratei de depreciere a fondurilor .
Dacă din producția brută Y scădem investiția brută I, vom determina consumul C, astfel:
C= Y- I (7.348 a)
193

sau
C = F (K, Loe (n+m)t ) – (Ḱ+ ) . (7.348 b)
Pentru a merge mai departe cu analiza și în scopul simplificării lucrărilor, să exprimăm
relațiile de mai sus în maăimi per capita. Să presupunem că randamentul este constant, indiferent
de scara producției, că funcția este de două ori derivabilă și strict concavă, adică:
>0 ,
0 ;
< 0,
L (t) = Loe (n+m)t .
În acest caz funcția de producție (2.1 b) se mai poate scrie:
Y= Loe (n+m)t F (
Y= Loe (n+m)t F (
,
) , (7.349 a)
, 1 ) . (7.349 b)
Dacă vom înlocui unii termeni, calculate ca mărimi pe unitatea de forță de muncă potenșate,
k =
(7.350)
f( k) = F ( k, 1 ) , (7.351)
relația (7.349 b) se mai poate scrie:
Y= f( k) . (7.352)
Din relația (7.350) se mai poate deduce formula stocului de fonduri, și anume:
K= k . (7.353)
Derivînd relația (7.353) în raport de t, mărimea k fiind o mărime constantă, prin definiție
vom obține:
relația:
= (n+m) k . (7.354)
Dacă în (7.354) înlocuim k cu valoarea corespunzătoare K din (7.353), obținem
Amintindu-ne că:
Ḱ = (n+m )K . (7.355)
I = Ḱ + , (7.356)
în care înlocuim pe Ḱ cu valoarea sa corespunzătoare din (7.356), obținem:
sau
I = (n+m )K + (7.357 a)
194

I = (n+m +) . (7.357 b)
Aici, înlocuind pe K cu valoarea sa corespunzătoare din relația (7.353), se ajunge că
investiția brută să se exprime astfel:
I = (n+m + ) k . (7.358)
Știind că consumul C este diferența dintre outputul brut Y și investiția brută I , apelînd la
valorile corespunzătoare ale acestora din (7.352) și (7.358), ajungem la relația:
sau
C= f( k)- [(n+m+ ) k ] (7.359)
C= [ f( k)- [(n+m+ ) k ] . (7.360)
Din dezvoltările de pînă acum se poate trage o concluzie importantă, și anume că toate
variabilele relevante:
outputul Y,
fondurile K,
investițiile I ,
consumul C
din relațiile (7.352), (7.353), (7.358), (7.360) sporesc exponențial cu o rată de creștere (n+m)
egală cu aceea a forței de muncă potențate de progresul tehnic, numită rata naturală de creștere.
Variabilele relevante pot fi exprimate și ca mărimi per capita (pe unitate de forță de muncă
potențată). Acest lucru este posibil dacă vom divide ambii termeni din egalitățile (7.352), (7.358)
și (7.360) prin , obținînd:
y = f( k) ,
i = sf ( k)= (n+m) k + k = (n+m + ) k, (7.361)
c = [ f ( k) – (n+m+ ) k ].
Ne amintim de una din ecuațiile frecvent întîlnite în modelele de creștere, și anume:
= sY ,
care arată egalitatea dintre cresterea fondurilor și partea acumulata din venitul național.
Întruît Y reprezintă produsul național brut, iar
în calcul investiția brută I :
sporul net al fondurilor, va trebui să luăm
I= sY, (7.362 a)
De unde se deduce rata de acumulare brută (sau a investițiilor specific brute ):
s=
, (7.362 b)
în care înlocuim pe I și Y cu valorile lor corespunzătoare :
s =
(7.363 a)
195

s =
, (7.363 b)
Să reținem această relație și să trecem, pentru un moment, la analiza traiectoriei consumului.
S-a văzut că, alaturi de celelalte variabile, consumul crește exponențial cu rata naturală n+m,
astfel ca traiectoria acestuia indică cel mai înalt consum în comparație cu orice altă traiectorie.
zero:
În termeni matematici, aceasta înseamnă că derivata consumului C în raport cu k ia valoarea
= [ f ‗( k ) – = 0 (7.364)
Întrucît nu poate avea valoarea zero, rezultă atunci că expresia din paranteză
este egală cu zero și pe care o putem scrie în trei variante:
f ‗( k ) – = 0 , (7.365 a)
f ‗( k ) = , (7.365 b)
f ‗( k ) – . (7.365 c)
Expresia f ‗( k ) – reprezintă eficiența marginală netă a fondurilor, iar f ‗( k ) reprezintă
eficiența marginală brută a fondurilor.
În relația (7.363 b), pe care o scriem din nou:
înlocuim valoarea lui cu f ‗( k ) din (7.365 b) și vom obține:
s =
s=
;
(7.366)
care arată rata optimă de acumulare și în care f ‗( k ) = / K =Fk reprezintă mărimea medie a
fondurilor, iar
=
reprezintă mărimea medie a fondurilor specifice.
Pentru a ne da mai clar seama că relațiile (7.365) și (7.366) se înscriu pe o traiectorie a
epocii de aur, și anume pe o traiectorie care indică în mod uniform un consum mai mare decît
oricare alte traiectorii ale epocii de aur, să folosim reprezentarea grafică în care pe abcisă se iau
fondurile pe unitatea de forță de muncă potențată k , iar pe ordonata outputul pe unitatea de forță
de muncă potențată y (vezi graficul din fig. 21 ).
Prin definiție, se consideră că f( k) descrie o curbă strict concavă, sau, exprimînd în alți
termeni, f‗( ) > 0 și f‖( )< 0 pentru toate valorile lui : deci eficiența marginală a fondurilor
este descrescătoare și există cel mult o traiectorie care satisfice relația (2.21) și care indică un
maxim.
196

Fig. 21
În grafic se arată independent outputului brut, a investiției brute și a consumului față de
cantitatea fondurilor în așa-numita epocă de aur (toate aceste mărimi sînt calculate pe unitatea de
forță de muncă potențată).
Din grafic reiese, de asemenea, că există un maxim interior acolo unde pantele celor două
curbe, trasate în figură, sînt egale, adică f ‘( ) = n+m+ , și deci acolo unde panta la curba f( )
este paralelă la linia (n+m+ ) .
Acolo se realizează traiectoria regulii de aur de maximizare a consumului în care =
constant și în care diferența dintre f( ) și (n+m+ ) , reprezentată de consumul per capita c, este
cea mai mare, și anume:
= f( ) - (n+m+ ) = max . (7.367)
În oricare altă parte panta f‘( ) = (n+m+ ) la curba f ( ) nu mai este paralelă cu linia
(n+m+ )
0
este mai mică.
Pante
egale
și deci distanța, oricare ar fi ea, în afară de cea precedent:
=[f ( ) - (n+m+ ) (7.368)
Politica de menținere a creșterii economiei pe traiectoria epocii de aur de maximizare a
consumului se poate realiza dacă se respectă și relația privind aumularea de fonduri:
sf‘( ) = n +m + . (7.369)
Cu alte cuvinte, se poate urma traiectoria regulii de aur de maximizare a consumului dacă
fondul de acumulare se consumă în limitele cerute și premise de creștere a populației, de
progresul tehnic și de reînnoirea fondurilor depreciate din punct de vedere fizic și moral. Aceasta
)
197

înseamnă că la formularea regulii de aur – lucru pe care l-am făcut pîna acum – mărimea se
consideră staționară, purtîndu-se astfel spune că s-a ajuns la așa-numita stare de saturație a
fondurilor per capita din punct de vedere cantitativ.
§ 7.10. PREZENTAREA REGULII DE AUR ÎN FORMA GENERALIZATĂ
Dacă se întîmplă că economia să fie în mod inițial pe traiectoria regulii de aur, adică a
fondurilor inițiale per capita 0.
Să fie egale cu fondurile corespunzătoare regulii de aur (0), deci 0 = (0), atunci
economia va urma această regulă mai departe, să presupunem, de exemplu, pîna la T, unde T> 0,
adică (T) = (T). Cu alte cuvinte, se păstrează următoarea egalitate :
(t) = (t). (7.370)
Acest lucru a fost deja arătat în graficul din figura 26.
În practică însă, acest caz poate fi rar întîlnit; este deci un caz particular. De regulă,
fondurile inițiale per capita diferă de cele necesare pentru înscrierea pe traiectoria regulii de aur,
adică:
fie ca sînt mai mici:
0 (0) , (7.371)
< (0), (7.372)
ceea ce constituie o caracteristică a țărilor în curs de industrializare, fie că sînt mai mari,
0 > (0) . (7.373)
În ambele situații problema este de a ne apropia de traiectoria regulii de aur, de a intra cu
timpul pe orbita acesteia și, în fine, de a urma această regulă. Observăm deci că este vorba de
cazul generalizat cînd economia pornește de la un nivel inițial de fonduri arbitrar 0 (0) și cu
un orizont de timp nedefinit sau infinit.
Din cele arătate pînă acum apare necesitatea reluării ecuației fundamentale, care exprimă
relația dintre output, consum, fonduri per capita și ratele de schimbare ale acestora, în formularea
sa generalizată. Aceasta o facem pornind de la relația (7.348 b) de mai sus:
rezultă:
C(t) = F [K(t), ] – [ (t) + K (t)] . (7.374)
Împărțind toți termenii
= F[
,
] – [
+
] , (7.375)
198

Dacă:
(t) = F ( (t), 1) -
și derivînd pe (t) =
cunoscînd regula:
vom obține:
sau
(t)=[
+ (t). (7.376)
F ( (t), 1) =f ( ) (7.377)
(t) =
=
(n+m)
în funcție de t:
, (7.378)
=
=
=
,
-(n+m) (t) (7.379)
= (n+m) (t) + (t) . (7.380)
Înlocuind relațiile (7.377) și (7.380) în ecuația (7.376), vom obține ecuația fundamentală în
formularea sa generală:
sau
= f ( ) - (n+m) - - (7.381)
(t) + = f ( (t)) – (n+m+ ) (t), (t) > 0 (7.382)
Să luăm trei momente separate în timp ale economiei, în care nivelul inițial al fondurilor pe
unitate de forță de muncă potențate este egal, mai mic sau mai mare decît nivelul stării de
saturație cantitativă (starea staționară):
0 = (0) , (7.383 a)
< (0), (7.383 b)
0 > (0). (7.383 c)
Dacă economia se află în starea (7.383 a), caracterizată prin 0 = (0), deci staționară, unde
= 0 , vom avea relația:
= f( ) - (n+m+ ) , (7.384)
Ceea ce înseamnă traiectoria regulii de aur pe care se realizează maximizarea consumului.
Dacă economia se află în starea (7.383 b), caracterizată prin < (0), deci în starea de
ascensiune sau industrializare intensă , unde > 0, va rezulta relația:

Diferența pînă la realizarea egalității dintre cei doi termeni o constituie , și anume: +
= f( ) - (n+m+ ) , care are rolul de a face apropierea și intrarea pe traiectoria regulii de aur.
Dacă în graficul din fig. 22,
corespunzînd lui constituie traiectoria epocii de aur de
maximizare a consumului sau eficiența dinamică maximă, corespunzînd lui are altă
traiectorie, sub aceea unde se poate maximiza consumul, diferența fiind reprezentată de:
[f( )-(n+m+ ) ] > [f( )-(n+m+ )
- ]. (7.385)
În starea (7.383 c), caracterizată prin 0 > (0), deci în starea în care cantitatea de fonduri a
depășit nevoile reale ale economiei, are loc o pierdere de consum de , care ar trebui utilizată
ca atare. De aceea, pentru a ne apropia și a intra pe traiectoria epocii de aur de maximizare a
consumului, va trebui realizată inegalitatea:
> [f( ) - (n+m+ ) ] . (7.386)
Este vorba nu numai de renunțarea la investiții cantitative - extensive, ci chiar de
transformarea unor fonduri productive, neutilizate, în bunuri pentru ridicarea nivelului de trai. Și
aici, ca și în starea (b), este vorba de ineficiența dinamică în comparație cu starea (a):
sau
0
Fig. 22
[f( ) - (n+m+ ) ] > [f( ) - (n+m+ ) ] (7.387)
> .
Dacă, pe o traiectorie de creștere, fondurile pe unitatea de forță de muncă potențate sau
)
(t)
200

fondurile specifice depășesc nivelul cerut de regula de aur sau productivitatea marginală a
fondurilor este sub nivelul cerut de regula de aur, avem de-a face cu așa-numita ineficiență
dinamică.
Considerăm că aceste traiectorii sînt dominate de o altă traiectorie, care asigură cel mai
ridicat consum, atunci cînd pornesc de la același nivel al stocului de fonduri; spunem că ele sînt
comandate de o altă traiectorie, atunci cînd pornesc de la niveluri diferite ale stocurilor de
fonduri. Traiectoriile dinamice ineficiente nu pot fi optime. Traiectoria regulii de aur este o
traiectorie de creștere de comandă. Ea comandă toate celelalte traiectorii ale epocii de aur,
întrucît da cel mai înalt nivel al consumului față de toate celelalte traiectorii.
Pentru a realiza optimizarea consumului în toate cazurile, menționate, cu alte cuvinte, pentru
a ne asigura că ajungînd la traiectoria regulii de aur și apoi urmînd această traiectorie realizăm
consumul optim, se cer a fi îndeplinite și alte condiții, în afara celor de mai sus. Pe acestea însă
le vom aborda mai tîrziu, după ce vom lămuri o serie de noțiuni și tehnici de lucru noi, adecvate,
care să asigure întregii problematici, pe cît posibil, o valoare normativă.
Anticipînd puțin lucrurile, de exemplu, pentru optimizarea consumului de-a lungul
traiectoriei (în timp) – nu staționar, ca pînă acum – trebuie introduse: funcția de optimizare
numită funcțională, reprezentată de însumarea în timp a consumului sau unităților de consum, de
forma:
J(k) =
u( )dt, u‗ ( ) > 0 (7.388)
u''( ) < 0 ,
precum și o serie de condiții și restricții de forma:
(t)= f(
) - (n+m+ ) (t) - (t), (7.389)
(0) = 0 , > 0 , > 0 , (7.390)
(t) = T . (7.391)
Se va putea găsi soluția optimă (de maximizare a consumului în dinamică, nu staționar)
utilizînd însumarea consumului (a utilităților) și folosind restricțiile date sau existente, precum și
alte condiții suplimentare de tipul celor arătate mai sus, cu ajutorul tehnicilor oferite de calculul
variațional atît în varianta sa clasică, cît și cea modernă, lucru pe care îl vom face în următoarele
două capitole.
BIBLIOGRAFIE:
Aurel Iancu, Modele de creștere economică și de optimizare a corelației dintre acumulare și
consum, Editura Academică, București, 1974.
201

CAPITOLUL VIII: DINAMICA PROCESELOR DE REGLARE
§ 8.1. INTERPRETAREA DINAMICĂ A MULTIPLICATORULUI LUI KEYNES ȘI A
SCHEMEI REPRODUCȚIEI
202

Keynes
Vom începe examinarea dinamicii proceselor de reglare reluînd analiza formulei lui
, în care, după cum ştim, Y înseamnă venitul naţional (tratat ca sumă globală a
plăţilor), c este coeficientul de consum, iar A reprezintă volumul investiţiilor autonome.
Formula pe care a folosit-o Keynes pentru explicarea procesului de formare a plăţilor
globale în economia naţională fusese introdusă mai înainte de R. F. Kahn şi J. M. Clark care,
ocupîndu-se de influenţa lucrărilor publice asupra venitului naţional, ajunseseră la ea pe altă cale
decît Keynes 80 . Iată raţionamentul lui Kahn şi Clark. Investiţiile autonome A realizate în
economia naţională se transformă în venit (sumă globală a plăţilor) Y. Deci efectul iniţial şi
direct al investiţiilor efectuate este dat de ecuaţia . Presupunînd că nivelul investiţiilor se
menţine mereu la acelaşi nivel A şi că nivelul consumului depinde de nivelul venitului atins în
perioada precedentă, în perioada următoare venitul va fi:
unde este coeficientul de consum.
În perioada următoare nivelul venitului va fi de
În general, în perioada t venitul va fi
Dacă presupunem că numărul de perioade şi avînd în vedere că ,
obţinem la limită
(8.1)
adică binecunoscuta formulă a lui Keynes. Ţinînd seama de felul în care s-a ajuns la el,
multiplicatorul
este adeseori numit multiplicator dinamic.
Din raţionamentul lui Kahn şi Clark expus mai sus rezultă că acţiunea iniţiată de
investiţiile autonome provoacă un proces nesfîrşit de creştere a venitului naţional. Suma efectelor
acestui proces, cînd , tinde către o valoare limită finită, definită prin formula (8.1).
Soluţia sistemelor de ecuaţii de repartizare a producţiei, exprimată sub formă matricială,
corespunzătoare schemei multisectoriale a reproducţiei este prezentată în formula de mai jos:
(8.2) .
În anumite condiţii matricea inversă poate fi prezentată sub forma unei serii
infinite (aşa-numita serie a lui Neuman
,
)etc.
(8.3) .
80 Vezi R. F. Kahn The Relation of Home Investment to Unemployment, în ,,The Economic Journal‖, 1931; J. M.
Clark, The Economics of Planning Public Works, Washington, 1935.
,
203

În acest caz soluţia schemei multisectoriale a reproducţiei poate fi scrisă astfel:
(8.4) .
Demonstraţia formulei (8.3) este următoarea:
înmulţind din stînga ambele părţi ale ecuaţiei matriciale (8.3) cu matricea obţinem
adică
De aici rezultă, prin reducere, că şi deci formula (8.3) este adevărată.
Dacă seria este finită , atunci
, deoarece, după cum se ştie, în calculul matricial se aplică aceleaşi reguli
(cu excepţia comutativităţii înmulţirii) ca şi în algebra numerelor reale.
Dacă presupunem că matricea coeficienţilor de cheltuieli este ridicată la puterea ,
adică tinde către matricea nulă dacă , atunci matricea este
convergentă spre matricea , cînd şi partea din dreapta a formulei (8.3) au o valoare
finită.
Din presupunerea că rezultă că şi matricea transpusă 81 . Într-
adevăr, din condiţia , cînd , rezultă că toate elementele acestei matrice tind
către zero şi deci toate elementele matricei tind către zero şi această matrice tinde către
matricea nulă.
Formula (8.3) serveşte la calculul practic al valorii inverse a matricei lui Leontief. Ea
poate fi calculată prin metoda aproximărilor succesive pe baza dezvoltării formulei (8.3), de
exemplu:
Formula (8.4) permite să se calculeze soluţia ecuaţiilor repartizării produselor prin
metoda aproximărilor succesive (a iteraţiilor) şi implicit face posibilă şi o anumită interpretare
economică a acestor ecuaţii.
y
I
81 Aici, în toate cazurile, simbolul 0 înseamnă matricea nulă respectivă, adică o matrice formată numai din zerouri.
A
Fig. 8.1
x
x
.
.
204

forma
(8.5)
Într-adevăr, soluția a ecuaţiilor de repartizare a produselor dată sub
poate fi interpretată în felul următor.
Produsul global iniţial este egal cu produsul final, adică constituie prima
aproximare a soluţiei (8.5). Dar pentru a se produce produsul global într-o cantitate este nevoie
de mijloace de producţie. La rîndul său, în acest scop, este necesar să se producă
mijloace de producţie etc.
Aşadar, am obţinut interpretarea economică a procesului de formare a produsului global
care are loc în economia naţională. Această interpretare se întîlneşte şi în literatura referitoare la
analiza cheltuielilor şi rezultatelor producţiei.
Soluţia (8.5) poate fi interpretată şi cu ajutorul schemei cibernetice prezentate în fig. 8.1.
După prima trecere a valorii y prin conexiunea inversă, la valoarea iniţială y se adaugă valoarea
care, la rîndul său, trecînd din nou prin conexiunea inversă se măreşte cu etc.
Conexiunea inversă pune în mişcare un proces obiectiv infinit care duce la o limită finită,
dacă matricea A are proprietatea ca cînd , adică atunci cînd sporurile succesive
ale produsului final , , , … , devin tot mai mici pînă ce, în cele din urmă, se sting.
Trebuie deci să se verifice cînd are loc această proprietate şi cînd seria infinită (8.3) este
convergentă şi soluţia ecuaţiilor de repartizare a produselor poate fi reprezentată prin formula
(8.4).
§ 8.2. CONDIȚIA DE CONVERGENŢĂ A MATRICEI
Pentru a cerceta condiţiile de convergenţă ale matricei de care ne-am ocupat în
paragraful anterior, ne vom sprijini pe următoarea teoremă a algebrei liniare.
Matricea tinde către matricea nulă, cînd dacă toate rădăcinile caracteristice
ale matricei au o valoare absolută mai mică decît 1. Amintim că se numesc rădăcini caracteristice
ale matricei numerele care pentru satisfac ecuaţia vectorială
(8.6) .
Această ecuaţie se mai poate scrie sub forma
205

(8.7) .
Ecuaţia vectorială (8.6) sau (8.7) reprezintă un sistem de ecuaţii liniare omogene şi nu are
toate soluţiile nule, dacă determinantul matricei coeficienţilor din acest sistem este egal cu zero,
adică dacă
(8.8) .
Aceasta este ecuaţia caracteristică a matricei ; numerele care satisfac această ecuaţie
sînt rădăcinile caracteristice ale matricei.
de aici
Înmulţind dinspre stînga ecuaţia (8.6) cu matricea obţinem:
, sau ;
Ecuaţia din urmă este satisfăcută dacă determinantul
(8.9) .
Procedînd în continuare în mod similar găsim că ecuaţia caracteristică a matricei are
forma , aceasta fiind satisfăcută atunci cînd determinantul
(8.10) .
Din ecuaţia (8.10) rezultă că rădăcinile caracteristice ale matricei sînt egale cu
rădăcinile caracteristice ale matricei ridicate la puterea . Din ecuaţia , cînd
vectorul , rezultă că tinde către zero, atunci cînd tinde către zero, şi invers tinde
către zero, cînd tinde către zero. Aşadar, condiţia necesară şi suficientă pentru ca ,
, este ca , cînd , ceea ce se întîmplă atunci şi numai atunci cînd .
De aici rezultă că condiţia necesară şi suficientă a convergenţei seriei
mai mică decît 1.
este ca toate rădăcinile caracteristice ale matricei să aibă valoarea
Întrucît rădăcinile caracteristice ale matricei şi ale matricei transpuse sînt aceleaşi,
condiţia de mai sus defineşte şi convergenţa seriei .
Acum vom explica sensul economic al condiţiei . Pe baza ecuaţiei (8.6)
constatăm că . Avînd în vedere acest lucru, soluţia (8.5) poate fi scrisă sub forma
Dacă atunci valorile absolute ale sporurilor necesare ale produsului global se
micşorează în proporţia . Deci valorile absolute ale rădăcinilor caracteristice sînt coeficienţi de
atenuare a sporurilor necesare ale produsului global, care se produc datorită legăturii inverse.
§ 8.3. INTERPRETAREA DINAMICĂ A FORMULEI FUNDAMENTELE A TEORIEI
.
206

REGLĂRII
Consideraţiile cuprinse în paragrafele precedente pot fi utilizate pentru a se obţine o
interpretare dinamică a formulei fundamentale a teoriei reglării
se admite prin analogie că operatorul conexiunii inverse
regulatorului este suma progresiei geometrice infinite:
(8.11)
. Există posibilitatea de a
, care exprimă funcţionarea
această progresie avînd sens (sau această progresie fiind convergentă) atunci cînd „valoarea
absolută‖ SR este mai mică decît 1, adică .
N-am precizat încă ce înseamnă simbolul în cazul general. Îi cunoaştem însă
semnificaţia în cazuri particulare. Dacă, de exemplu, sistemul reglat şi regulatorul efectuează o
transformare proporţională, şi deci cînd lui şi lui le corespund numere reale cu care se
înmulţeşte starea de intrare, atunci are o semnificaţie bine definită, deoarece înseamnă
înmulţirea unui produs de două numere reale cu o valoare absolută. De asemenea, simbolul
poate fi definit atunci cînd operatorii și reprezintă o înmulţire cu un număr complex,
deoarece în matematică există noţiunea de valoare absolută (modul) al unui număr complex, de
care ne putem servi aici.
Dar în cazul general nu are sens să vorbim de o valoare absolută a operatorilor, deoarece
simbolul operatorului care defineşte transformarea mărimii de intrare în mărimea de ieşire
, adică , este o regulă de procedare căreia nu trebuie să-i corespundă neapărat un număr
definit. Este necesară o interpretare generală a „valorii absolute‖ a operatorului. De aceasta ne
vom ocupa aici.
Transformarea poate fi notată simbolic sub forma
fiecărui operator i se poate ataşa raportul
,
. Această notare arată că
, adică transmitanţa sistemului. Acesta este un raport
între două numere sau între doi vectori. Dat fiind că valoarea absolută (modulul) unui vector este
un număr real, se poate în orice caz vorbi de o valoare absolută a transmitanței sistemului
.
Astfel din notarea simbolică
valoare absolută a transmitanţei lui.
rezultă difiniţia valorii absolute a operatorului ca
Dar, de regulă, valoarea absolută definită în felul acesta este o mărime variabilă, deoarece
mărimea de intrare şi mărimea de ieşire sînt variabile, de exemplu sînt funcţii de
timp sau depind de alte variabile. Pentru a obţine o mărime constantă univoc
207

determinată, ataşată operatorului , luăm limita superioară a valorilor absolute
. O astfel de
limită superioară există întotdeauna pentru operatorii liniari continui 82 . În cele din urmă definim
valoarea absolută a operatorului, numită şi norma lui, ca
(8.12) = limita superioară a lui
lui absolută 83 .
În felul acesta fiecărui operator îi este ataşată o mărime univocă care reprezintă valoarea
Rezultă deci că , cînd dacă , adică dacă limita superioară
respectivă a capacităţii de trecere este subunitară. În acest caz, în conformitate cu rezultatele
obţinute în § 2, suma seriei infinite
.
. După cum se vede funcţionarea regulatorului constă în
generarea de sporuri succesive (pozitive sau negative) ale valorii de ieşire y a sistemului de reglare.
La început această valoare este Sx, apoi ea se măreşte cu , după care creşte cu etc.
Acest lucru se produce datorită acţiunilor succesive ale mărimii de ieşire a sistemului reglat asupra
mărimii sale de intrare, cu ajutorul legăturii inverse a regulatorului. Dacă | atunci aceste
sporuri devin din ce în ce mai mici şi suma sporurilor este convergentă.
Condiţia de convergentă a seriei din partea dreaptă a formulei (8.11) poate fi definită cu
ajutorul rădăcinilor caracteristice ale operatorului . La fel ca şi în cazul matricelor, rădăcinile
caracteristice ale operatorului se definesc ca valori numerice ale parametrului , care dau o
soluţie nenulă a ecuaţiei
(8.13) ,
unde mărimea este un număr, un vector sau o funcţie. Această ecuaţie se mai poate scrie şi sub
forma
(8.13 ) .
Condiţia pentru existenţa unei soluţii nenule a acestei ecuaţii este
(8.14) ,
adică operatorul trebuie să fie un operator nul. Aceasta este ecuaţia caracteristică a
operatorului . Valorile parametrului care satisfac ecuaţia caracteristică sînt rădăcinile
caracteristice ale operatorului .
La fel ca şi în cazul matricelor, găsim prin substituţii succesive în ecuaţia (8.13) că
82 Vezi, de exemplu, B. Z. Vu1ih, Vvedenie v funkţionalnîi analiz, Moskva, 1958, p. 198.
83 Prin limită superioară a unei mulţimi de numere reale înţelegem un număr real g astfel ca: 1) nici un număr din
mulţimea dată să nu fie mai mare decît g; 2) fiecare număr mai mic decît g să fie mai mic decît cel puţin un număr
din mulţimea respectivă.
și
208

. Deci, dacă , tinde către zero cînd creşte, atunci şi numai atunci cînd
. Aceasta are loc atunci cînd pentru toate valorile posibile ale rădăcinilor
caracteristice 84 . În acest caz seria este convergentă şi suma ei este egală cu
, sau .
Dacă ne servim de rădăcinile caracteristice operatorul conexiunii inverse (8.11) poate fi
scris sub forma
iar formula fundamentală a teoriei reglării sub foma
(8.15) .
Dacă , atunci este un coeficient de atenuare a modificărilor succesive ale
mărimii de ieşire a sistemului de reglare, care au loc datorită funcţionării regulatorului.
În felul acesta am ajuns la concluzia că sistemele de reglare pot fi privite dinamic, ca
nişte procese infinite de acţiuni continue care slăbesc tot mai mult și a căror sumă dă efect finit.
Dar, pentru a reprezenta dinamica procesului în deplinătatea ei, trebuie să se arate cum decurge
procesul în timp. Pînă acum formulele respective au servit exclusiv pentru calculul rezultatului
final al desfăşurării diferitelor stadii ale procesului. De aceea nu trebuia să se ţină seama de timp
în mod explicit. Dar acest lucru trebuie făcut atunci cînd dorim să cercetăm desfăşurarea în timp
a procesului de reglare.
§ 8.4. UN EXEMPLU DE DESFĂŞURARE ÎN TIMP A UNUI PROCES DE REGLARE
Vom înfăţişa acum cu ajutorul unui exemplu imaginea completă a dinamicii procesului
de reglare. În acest scop vom relua analiza funcţionării în dinamică a multiplicatorului lui
Keynes. Vom împărţi timpul în care se desfăşoară procesul de creştere a venitului naţional în
intervalele finite 0, 1, 2, ... . Vom nota venitul naţional şi cheltuielile pentru consum în
diferitele perioade cu ... şi respectiv ... . Dacă vom presupune, la fel ca mai
înainte, că nivelul investiţiilor autonome şi coeficientul de consum c nu se schimbă, iar
84 În cazul matricei, numărul de rădăcini caracteristice este finit (sau numărabil, cînd matricea este infinită); în cazul
general al operatorului liniar, mulţimea de rădăcini caracteristice poate fi infinită sau chiar nenumărabilă. De
exemplu, valorile care satisfac ecuaţia caracteristică pot constitui o funcţie continuă a unei variabile oarecare . În
acest caz rădăcinile caracteristice formează un spectru continuu al valorilor funcţiei . Pentru ilustrare, fie
mărimea o funcţie derivabilă a variabilei posedînd o derivată primă continuă ; fie operatorul
operatorul diferenţierii . În acest caz, în locul ecuaţiei (8.13) avem sau şi deci
este o funcţie continuă a variabilei .
,
209

cheltuielile pentru consum sînt funcţie de venitul din anul precedent, obţinem următorul sistem
de ecuaţii recurente care determină nivelul venitului naţional în sensul sumei globale a plăţilor în
diferite perioade:
..........................
În general, avem deci ecuaţia cu diferenţe
(8.16) ,
unde ia valori întregi 0, 1, 2, ... .
Această ultimă ecuaţie mai poate fi scrisă sub forma
(8.17) , unde .
Făcînd în ecuaţiile de mai sus „substituţii succesive‖ obţinem
sau, în general:
Dacă , atunci
(deoarece ), unde
etc.,
.
se numește, după cum se
știe, multiplicatorul dinamic al lui Keynes. În felul acesta am demonstrat încă o dată că dinamica
procesului de formare a venitului naţional tinde către o valoare finită.
Acum vom prezenta încă un procedeu de rezolvare a problemei dinamicii procesului de
formare a venitului naţional. În acest scop vom presupune dinainte că există o anumită stare de
echilibru a acestui proces, adică un asemenea nivel de venit care, o dată atins, nu se mai schimbă.
În starea de echilibru este satisfăcută ecuaţia
a cărei soluție este
obţinem
(8.18)
De aici rezultă
deoarece
Să examinăm abaterea de la starea de echilibru . Notînd această abatere cu ,
este abaterea de la starea de echilibru
.
,
.
.
,
210

În felul acesta obținem așa-numita ecuație cu diferențe redusă
(8.19) ,
care reprezintă o simplificare a ecuaţiei cu diferenţe anterioare (8.16), deoarece în ecuaţia (8.19)
nu mai apare componenta constantă . Ecuaţia cu diferenţe redusă este omogenă, ceea ce
înlesneşte rezolvarea ei.
Ecuaţia (8.19) poate fi rezolvată cu uşurinţă în mod direct, prin metoda calculării
succesive a valorilor variabilelor adică prin metoda de recurenţă.
Obţinem
şi, în general
............................
(8.20) .
Să analizăm soluţia la care am ajuns, în care reprezintă abaterea iniţială de la starea de
echilibru. Dacă la începutul procesului cercetat sistemul s-ar afla în stare de echilibru, adică
, el ar rămîne mereu în starea de echilibru deoarece, în acest caz, pentru oricare .
Să presupunem că în economia naţională s-a produs o perturbaţie care a determinat
abaterea venitului naţional (a plăţilor globale) de la starea de echilibru, adică .
şi
În acest caz, după cum ştim,
(8.21) .
Dacă
|, atunci ,
ceea ce înseamnă că, în starea de echilibru a sistemului, perturbaţia se înlătură cu timpul, de la
sine. Despre asemenea sisteme se spune că sînt stabile. În schimb, dacă , atunci ,
cînd . Aceasta înseamnă că perturbaţia care s-a produs în sistem creşte continuu, că este
deci cumulativă. Se spune despre un asemenea sistem că este instabil.
În cazul examinat de noi avem , fapt pentru care sistemul este stabil.
Procesul dinamic care se desfăşoară în cadrul sistemului definit prin ecuaţia (8.18) poate
fi ilustrat grafic. În fig. 8.2 este reprezentat procesul dinamic de mai sus în cazul cînd .
Într-un sistem de coordonate rectangulare, pe axa absciselor este notată mărimea venitului
naţional , iar pe axa coordonatelor mărimea consumului şi a investiţiilor autonome.
Reprezentarea grafică a funcţiei consumului este o dreaptă care trece prin originea
sistemului de coordonate fiind înclinată faţă de orientarea pozitivă a axei absciselor într-un unghi
211

mai mic de 45° (deoarece . Segmentul reprezintă mărimea investiţiilor autonome.
De aici rezultă că, pentru venitul naţional iniţial , mărimea consumului este
determinată de ordonata , venitul naţional de ordonata (dreapta
este paralelă cu dreapta ). Măsurînd – cu ajutorul dreptei care trece prin originea
sistemului de coordonate şi înclinată faţă de orientarea pozitivă a axei coordonatelor sub unghiul
de 45° – segmentul egal cu (adică mărimea venitului naţional în primul an ) deter-
minăm mărimea venitului în anul al doilea . Ea este egală cu segmentul
. Repetînd în continuare această operaţie vom observa că ne apropiem dinspre stînga, tot
mai mult, de punctul de echilibru , căruia îi corespunde venitul din starea de echilibru
.
Într-un mod asemănător se poate examina cazul în care mărimea iniţială a venitului
este mai mare decît venitul în starea de echilibru . Cînd , mărimea venitului va tinde de
asemenea către mărimea dinspre dreapta.
De aici rezultă că sistemul examinat este stabil, deoarece orice abatere de la starea de
Fig. 8.2
Fig. 8.3
echilibru sau orice perturbaţie se înlătură de la sine şi procesul tinde spre echilibru.
Situaţia va fi diferită cînd coeficientul de consum , adică atunci cînd dreapta avînd
ecuaţia formează cu orientarea pozitivă a axei x un unghi mai mare decît 45°. După
cum rezultă din fig. 8.3, în acest caz sistemul nu este stabil deoarece abaterea (perturbarea) care
se produce în el nu numai că nu se înlătură de la sine, ci, dimpotrivă, se măreşte tot mai mult.
În cazul în care coeficientul de consum , dreapta avînd ecuaţia sau
formează cu direcţia pozitivă a axei x un unghi de 45° adică se confundă cu dreapta
ajutătoare (fig. 8.2 şi fig. 8.3). În acest caz, după cum se poate verifica prin reprezentarea
grafică respectivă sistemul este întotdeauna în echilibru. Orice stare este o stare de echilibru şi nu
suferă alte schimbări, deoarece avem , de unde .
§ 8.5. DINAMICA PROCESULUI REPRODUCȚIEI
212

În mod asemănător vom cerceta, ca un al doilea exemplu de analiză a unui proces
dinamic, dezvoltarea economiei. Vom porni de la cunoscuta ecuaţie, corespunzătoare acestui
proces, care se găseşte în schema marxistă a reproducţiei:
(8.22)
în care este coeficientul de cheltuieli de mijloace de producţie. Putem scrie această ecuaţie în
felul următor:
(8.22 a)
Mărimile sînt exprimate în unităţi valorice sau în preţuri.
Pentru a cerceta dinamica procesului de reproducţie trebuie să introducem în ecuaţia
cercetată (8.22) factorul timp, adică să ,,datăm‖ mărimile respective. În acest scop vom introduce
indicele cu care vom nota perioada respectivă pe care o vom numi, pentru simplificare, an. Vom
presupune că cheltuielile de mijloace de producţie din anul respectiv sînt proporţionale cu
producţia din anul precedent. În acest caz ecuaţia ia forma
(8.23) .
Aceasta înseamnă că producţia din anul determină cantitatea de mijloace de producţie
cheltuită în anul , cu alte cuvinte, cantitatea de mijloace de producţie consumată în anul
respectiv (adică valoarea mijloacelor de producţie transferată asupra produsului) este o porţiune
constantă din producţia anului precedent .
Ca de obicei, vom rezolva ecuaţia cu diferenţe, prin metoda recurentă. Dacă vom
presupune, pentru simplificare, că cheltuiala anuală de muncă vie este constantă şi tot
atît de mare ca şi în primul an, adică şi că în primul an nu au existat mijloace de
producţie, vom obţine următorul sistem de ecuaţii care exprimă valoarea producţiei pe ani:
În general,
..................................................................................
(8.24) .
Din soluţia generală (8.24) rezultă că procesul cercetat tinde către echilibru dacă ,
ca în cazul nostru, deoarece . Atunci
(8.25)
În felul acesta am obţinut imaginea desfăşurării în timp a procesului reproducţiei, potrivit
schemei lui Marx. Operatorul conexiunii inverse
.
,
.
,
,
, care apare în formula (8.25), este raportul
213

dintre valoarea produsului şi cheltuiala de muncă vie. Întrucît , operatorul
acesta fiind deci un amplificator care exprimă mărirea valorii produsului (în raport cu cheltuiala
de muncă vie) ca urmare a uzurii mijloacelor de producţie.
Să observăm că – la fel ca şi în primul exemplu – cercetarea dinamicii acestui proces poate
fi simplificată. În acest caz vom presupune că există o valoare a producţiei
corespunde stării de echilibru a sistemului şi vom examina abaterea de la starea de echilibru:
(8.26)
,
, care
După transformări analoge cu cele de mai înainte, obţinem următoarea ecuaţie cu diferenţe
în formă redusă (omogenă)
(8.27)
(8.28)
Soluţia acestei ecuaţii este
Din soluţia (8.28) rezultă că abaterile de la starea de echilibru se elimină de la sine, adică
procesul este stabil, deoarece . Procesul marxist al reproducţiei poate fi reprezentat
grafic, la fel cum am procedat în cazul formării venitului naţional, pe baza multiplicatorului lui
Keynes.
Presupunerea admisă mai sus, după care cheltuiala de muncă vie este constantă,
nu este obligatorie. Se poate demonstra – fie şi cu metoda grafică – că rezultatul de principiu al
consideraţiilor noastre nu se modifică dacă cheltuiala de muncă vie se schimbă de la un an la
altul.
Fig.8.4
În acest caz, pe graficul respcetiv, linia producţiei nu va fi
paralelă cu dreapta cheltuielilor de mijloace de producţie , cu toate că ;
procesul va tinde către echilibru aşa cum se arată în fig. 8.4. Linia corespunzătoare producţiei din
anul nu trebuie să fie o dreaptă, însă ea trebuie să se intersecteze cu dreapta care trece prin
originea sistemului de coordonate şi are faţă de direcţia pozitivă a axei x o înclinaţie de 45°.
0 .
.
.
214

§ 8.6. SCHEMELE BLOC ALE PROCESELOR DINAMICE
În cele ce urmează vom prezenta schemele bloc corespunzătoare proceselor dinamice
analizate în § 4 şi § 5; procesul de funcţionare a multiplicatorului lui Keynes şi procesul marxist
al reproducţiei.
După cum ştim, dinamica funcţionării multiplicatorului lui Keynes este reprezentată cu
ajutorul ecuaţiei cu diferenţe
sau, mai simplu, cu ajutorul ecuaţiei cu diferenţe redusă (omogenă)
în care
,
reprezintă amplitudinea abaterii de la starea de echilibru (perturbaţiei).
Soluţia acestei ecuaţii cu diferenţe redusă are forma
din care rezultă evident că sistemul este stabil dacă .
În fig. 8.5 multiplicatorul lui Keynes este reprezentat în forma lui statică cu ajutorul unei
scheme bloc. În acest sistem, investiţiile autonome se transformă în venitul care, prin
intermediul consumului, acţionează la rîndul său, pe calea conexiunii inverse, asupra sistemului
reglat.
În formularea dinamică nu venitul anului respectiv , ci cel al anului precedent
acţionează asupra sistemului reglat. Aceasta rezultă din faptul că în schema bloc trebuie inclus
un operator care constă în translaţia valorii venitului cu un an. Vom nota acest operator (numit
operator de întîrziere) cu simbolul .
următor:
De aici
sau
(8.29)
A
1
c
Fig. 8.5
Cu ajutorul acestui operator ecuaţia cu diferenţe poate fi scrisă în felul
,
.
.
Y
,
215

Din forma ecuaţiei (8.29) rezultă că schema bloc, corespunzătoare modelului dinamic al
lui Keynes, poate fi reprezentată ca în fig. 8.6.
Să observăm că putem da ecuaţiei (8.29) o altă formă, echivalentă primei. Ecuaţia
este echivalentă cu ecuaţia ; recurgînd la operatorul (de
avansare) aceasta din urmă poate fi scrisă
de unde
(8.30)
Echivalenţa formulelor (8.29) şi (8.30) poate fi verificată şi pe cale algebrică, înmulţind
numărătorul şi numitorul părţii din dreapta a formulei (8.29) cu . Obţinem 85 :
adică partea dreaptă a formulei (8.30).
Dinamica procesului marxist al reproducţiei este reprezentată prin ecuaţia cu diferenţe
neomogenă (8.23):
sau prin ecuaţia cu diferenţe redusă (omogenă) (8.27)
a cărei soluţie are forma (8.28)
După cum știm .
A
Vt+pt
U
85 , deoarece este o mărime constantă, independentă de .
c
ac
1
Fig. 8.6
1
E -1
0.
.
Fig. 8.7
,
,
,
E -1
xt
216

De aici
(8.31)
Ecuația poate fi scrisă, dacă se apelează la operatorul :
Schema bloc a acestui proces dinamic este prezentată în fig. 8.7.
Ecuaţiile cu diferenţe reduse pot fi de asemenea reprezentate prin schema bloc. Ecuaţia
arată că în sistem are loc o înmulţire a valorii de intrare cu numărul , adică o
transformare proporţională. Schema bloc respectivă este prezentată în fig. 8.8. În această schemă
nu mai există nici o conexiune inversă. Ea a fost înlocuită printr-o legătură în serie
corespunzătoare.
Procesul dinamic exprimat prin ecuaţia , a cărui soluţie are forma ,
poate de asemenea fi reprezentat sub forma unei conexiuni în serie compusă dintr-o mulţime
infinită, dar numărabilă de sisteme, în fiecare dintre aceste sisteme avînd loc o transformare
proporţională care constă în înmulţirea mărimii de intrare cu (fig. 8.9). Deoarece ,
această transformare este o atenuare, ceea ce face ca sistemul să fie stabil.
În mod analog poate fi reprezentată prin scheme bloc dinamica procesului marxist al
reproducţiei, în conformitate cu ecuaţia cu diferenţe redusă
prin fig. 8.10 şi fig. 8.11.
c
Fig .8.8
ac
Fig. 8.10
.
.
. Acest lucru este ilustrat
După cum se vede din schemele bloc, conexiunea inversă poate fi înlocuită printr-o
legătură în serie care îi este echivalentă. Vom numi această operaţie reducere a conexiunii
inverse. De altfel acesta este sensul utilizării ecuaţiei cu diferenţe reduse. După cum arată
formulele (8.18) şi (8.25), operatorul conexiunii inverse care defineşte starea de echilibru este
eliminat, atunci cînd mărimile iniţiale sînt înlocuite cu abaterile lor de la starea de echilibru.
Datorită acestui fapt, operatorul conexiunii inverse nu mai apare în ecuaţia cu diferenţe redusă.
În locul său apare legătura în serie, pe care o defineşte această ecuaţie.
c c c
§ 8.7. DINAMICA FORMĂRII PREŢULUI DE PIAŢĂ
ac
Fig. 8.9
ac
Fig. 8.11
ac
217

În continuare vom prezenta încă un exemplu de proces dinamic şi anume felul în care se
formează preţul pe o piaţă pe care acţionează libera concurenţă.
Să presupunem dată funcţia cererii şi funcţia ofertei ale
unui produs oarecare. În aceste formule , însemnează că mărimea cererii la produsul respectiv,
mărimea ofertei aceluiaşi bun ( sînt măsurate în unităţi naturale, de exemplu
kilograme, metri, litri etc.), în perioada ; şi reprezintă preţul în perioada şi în perioada
precedentă . Admitem că , , şi ; valoarea acestor parametri se
calculează cu ajutorul metodelor econometrice. Să observăm că mărimea ofertei din perioada
dată este funcţie de preţul din perioada precedentă . Aceasta este o supoziţie realistă cînd
este vorba de oferta de produse agricole 86 , unde perioada de producţie este destul de rigidă (de la
însămînţare la recoltare în producţia vegetală, perioada de creştere în producţia animalieră).
Se ştie că piaţa este în echilibru atunci cînd cererea este egală cu oferta . Avem deci
în fiecare perioadă un echilibru pe perioadă, exprimat prin ecuaţia
Deci aici
(8.32) .
Este convenabil să înlocuim ecuaţia cu diferenţe (8.32) printr-o ecuaţie redusă
echivalentă în care variabila este abaterea preţului de la preţul echilibrului final, reprezentat de
intersecţia dintre linia cererii şi linia ofertei, aşa cum se arată în fig. 8.12.
Din ecuaţia (8.32) obţinem preţul echilibrului final , admiţînd că ceea ce
înseamnă că preţul s-a schimbat. Atunci
,
Fig. 8.12
86 Considerații mai amănunțite pe tema funcției cererii și a ofertei se pot găsi, de exemplu, în cap. II al cărții lui O.
Lange, Introducere în econometrie, ed. A II-a PWN, Varșovia, 1961. Tot acolo este explicată detaliat formarea
ciclurilor speciale și așa-numitul fenomen al pînzei de paianjen, de care este legată tema paragrafului de față.
.
218

adică abaterea preţului din perioada de la preţul echilibrului final este
Introducerea noii variabile
.
este, după cum se vede din fig. 8.12, echivalentă cu
deplasarea originii sistemului de coordonate în ,,punctul de echilibru final‖ . Astfel ecuaţia
echilibrului pe perioade se poate scrie 87
sau
(8.33)
Aceasta este ecuaţia cu diferenţe redusă pe care o cunoaştem din exemplele anterioare (§
4 şi § 5). Rezolvarea ei ne dă următorul şir:
Avem deci în general
(8.34)
Aici reprezintă abaterea iniţială de la preţul echilibrului final (perturbaţia). Pe baza soluţiei
generale (8.34) putem afirma că procesul de formare a preţului de piaţă este stabil atunci cînd
.
Rezultatul obţinut este asemănător cu cele la care am ajuns mai înainte. Există totuşi o
anumită deosebire, care constă în aceea că, în cazul de față, operaratorul de proporționalitate
negativ. Dat fiind că funcţia ofertei este descrescătoare, coeficientul ei direcţional este ; prin
urmare avem
Nivelul
prețului
de
echilibru
.
a)
Fig. 8.13
87 Noua ecuație cu diferențe (8.33) se mai poate obține introducînd în ecuația (8.32) expresiile:
b)
și
.
.
c)
.
d)
este
219

De aici rezultă că abaterile , , ..., de la preţul de echilibru sînt alternativ pozitive şi
negative, adică preţurile oscilează de la un an la altul în jurul preţului de echilibru final. Dacă de
exemplu , iar
.
, seria de abateri succesive de la preţul echilibrului final este
Amplitudinea acestor oscilaţii: 1) este crescătoare cînd
este stabil; 2) este descrescătoare atunci cînd
preţurilor tinde către echilibru, adică este stabil.
Dacă
Dacă
, precum şi atunci procesul nu
, precum şi atunci procesul de formare a
amplitudinea oscilaţiilor în jurul punctului de echilibru este constantă.
, ceea ce se întîmplă rar în practică, atunci procesul tinde către starea de
echilibru dintr-o parte (monoton), de sus sau de jos, în funcţie de sensul (semnul) perturbației
inițiale,
ceea ce este ilustrat de următoarele serii de numere:
Toate cazurile descrise mai sus sunt prezentate intuitiv în fig. 8.13. Schema bloc în care
se efectuează potrivit cu (8.33) reducerea conexiunii inverse este reprezentată în fig. 8.14.
§ 8.8. TEORIA STABILITĂŢII SISTEMELOR DE REGLARE
§ 8.8.1. ANALIZA GENERALĂ A DINAMICII PROCESELOR DE REGLARE
Am demonstrat că, în anumite condiţii, operatorul
;
.
care figurează în formula
fundamentală a teoriei reglării poate fi interpretat ca sumă a unei progresii geometrice infinite
sau
Fig. 8.14
În acest caz formula fundamentală a reglării ia forma
...
.
220

Pentru a analiza mai îndeaproape dinamica procesului de reglare trebuie să avem în
vedere faptul că actele de reglare care au loc în sistemul de reglare necesită un anumit timp. De
aceea variabilele şi trebuie datate. Să presupunem că asupra regulatorului acţionează în
momentul mărimea , adică valoarea variabilei din perioada anterioară. În acest caz
formula fundamentală a teoriei reglării ia forma
(8.35) .
Cu alte cuvinte admitem că există o anumită întîrziere a acţionării regulatorului în timp
(aşa-numitul time-lag). Putem considera această întîrziere drept unitate pentru măsurarea
timpului.
Formula (8.35) poate fi transformată felul următor:
sau (introducînd în formulă operatorul )
(8.36)
Determinîndu-1 pe baza acestei din urmă ecuaţii pe , obţinem formula
analogă cu formula fundamentală a reglării în cazul funcţionării instantanee.
În ecuaţia cu diferenţe (8.35) se poate reduce conexiunea inversă introducînd variabila
care reprezintă abaterea variabilei de la starea de echilibru a sistemului definit prin formula
adică
. În acest caz, obţinem:
În cele din urmă ajungem la ecuaţia cu diferenţe redusă
(8.37) ,
deoarece
Soluţia ecuaţiei reduse (8.37) este expresia
(8.38) .
Soluţia (8.38) permite să se cerceteze desfăşurarea în timp a procesului de reglare. După
cum ştim condiţia stabilităţii este ca valoarea absolută a operatorului să fie mai mică decît 1,
,
.
.
.
.
,
221

adică , valoarea absolută a operatorului fiind limita superioară a valorii absolute a
transmitanţei lui 88 .
Condiţia mai poate fi scrisă şi sub forma
. Vom numi valoare absolută
a lui puterea regulatorului, iar valoarea absolută a lui putere a sistemului reglat. Acum
putem spune că condiţia de stabilitate a sistemului de reglare este ca puterea regulatorului să fie
mai mică decît mărimea inversă a puterii sistemului reglat. În acest caz mai putem spune că
conexiunea inversă este compensatoare.
Condiţia de stabilitate a sistemului în formularea de mai sus se poate interpreta cu
uşurinţă. Pentru ca regulatorul să funcţioneze eficient, el trebuie să micşoreze perturbaţiile care
s-au produs în sistem. Cînd
, acţiunea regulatorului este prea puternică şi procesul care
are loc în sistemul respectiv se îndepărtează de la starea de echilibru. În acest caz spunem că are
loc o conexiune inversă cumulativă. Aceasta se întîmplă atunci cînd puterea regulatorului este
mai mare decît mărimea inversă a puterii sistemului reglat. În cazul cînd
, adică atunci
cînd puterea regulatorului este egală cu puterea sistemului reglat, sistemul este, după cum se
spune, la limita stabilităţii. Perturbaţia care s-a produs nici nu se atenuează, nici nu se amplifică ;
orice stare este o stare de echilibru.
Vom da – acolo unde acest lucru are sens – operatorului regulatorului şi operatorului
sistemului reglat, semnul plus sau minus. În cazul cînd transformarea constă în înmulţirea cu un
număr real (transformare proporţională) atribuirea unui anumit semn operatorului nu prezintă
nici un fel de dificultăţi. În acest caz adoptăm ca semn al operatorului semnul numărului real
respectiv. În cazul operatorilor aparţinînd altor transformări, atribuirea unui semn operatorului
înseamnă înmulţirea lui cu operatorul unitar de proporţionalitate sau . Semnul
operatorilor se alege în felul următor: cînd schimbarea stării de ieşire a regulatorului are acelaşi
semn ca şi starea de ieşire a sistemului reglat, dăm operatorilor şi acelaşi semn; în caz
contrar le atribuim semne diferite.
Dacă presupunem că operatorului i s-a atribuit un anumit semn, se observă uşor – pe baza
formulei (8.38) – că dacă semnul operatorului este acelaşi cu semnul operatorului , adică
dacă , atunci desfăşurarea perturbaţiei în sistemul respectiv este unilaterală
(monotonă). Cu alte cuvinte, în perioade care se succed una după alta sistemul este permanent
deasupra sau sub nivelul de echilibru.
În cazul cînd şi au acelaşi semn, spunem că în sistemul de reglare există o conexiune
inversă pozitivă.
88 De obicei valoarea absolută a unui operator liniar se numește normă.
222

Dacă operatorii şi au semne diferite, spunem că în sistemul de reglare există o
conexiune inversă negativă. În acest caz perturbaţia are o alură oscilatorie, căci, după cum se
vede din formula (8.38) abaterea de la starea de echilibru schimbă semnul de la o perioadă la
alta, deoarece exponentul este alternativ par şi impar. Oscilaţiile sînt crescătoare,
descrescătoare sau constante, după cum , , .
Rezultatele de mai sus pot fi sistematizate în tabelul următor în care se arată domeniile
corespunzătoare diferitelor valori ale lui .
Domeniul de oscilare Domeniul de monotonie
Domeniul de instabilitate a
sistemului
Domeniul de stabilitate a
sistemului
limita din stînga a limita din dreapta a
domeniului de stabilitate domeniului de stabilitate
Domeniul de instabilitate a
sistemului
§ 8.8.2. DINAMICA PROCESELOR DE REGLARE CONTINUI
În paragraful precedent am analizat dinamica unui proces discret de reglare, adică am
presupus că regulatorul funcţionează în salturi, cu o anumită întîrziere . Am admis că această
întîrziere este unitatea de timp, considerînd că . În conformitate cu această premisă am
avut o ecuaţie de reglare redusă, sub forma ecuaţiei cu diferenţe (4.3), pe care o putem scrie
(scâzînd din ambele părţi ) şi sub forma:
(8.38 a) .
Acum să presupunem că întîrzierea poate lua orice valoare , pe care o considerăm
variabilă. Introducînd variabila în ecuaţia de reglare redusă şi admiţînd că diferenţa
este proporţională cu obţinem, în locul ecuaţiei (8.38 a), ecuaţia:
(8.39) .
sau
(8.39 a)
În cazul cînd această ecuaţie se reduce la ecuaţia (8.38 a) sau (8.37). Partea din
stînga a ecuaţiei (8.39) exprimă creşterea perturbaţiei în perioada care reprezintă întîrzierea în
funcţionarea regulatorului. Această creştere este cu atît mai mare, cu cît este mai mare întîrzierea
cu care funcţionează regulatorul. Ea este o funcţie crescătoare a acestei întârzieri. Pentru
întîrzieri mici se poate admite că această creştere este proporţională cu întîrzierea . De aceea
factorul se află în partea dreaptă a ecuaţiei.
223

Acum să presupunem că întîrzierea în funcţionarea regulatorului este din ce în ce mai
mică, adică . În acest caz ecuaţia (8.39 a) se transformă în următoarea ecuaţie
diferenţială 89
(8.40)
Această ecuaţie reprezintă un proces de reglare continuu. În cazul proceselor continui, îl
vom scrie pe între paranteze şi nu la indice, adică şi nu . Aceasta ne va îngădui să facem
distincţie între procesele continui și cele discrete.
Soluţia acestei ecuaţii diferenţiale se poate scrie sub forma cunoscută
(8.41) ,
unde constanta este determinată de condiţia iniţială a stării sistemului. Constanta este
perturbația în momentul iniţial . Într-adevăr, ecuaţia diferenţială (8.40) poate fi
transformată
sau
Integrînd amîndouă părţile, obţinem sau
, în care este constanta. Considerînd , găsim că .
După cum rezultă din formula (8.41) condiţia stabilităţii sistemului este ca ,
adică sau
.
Astfel, de exemplu, poate să fie egal cu şi sistemul să fie stabil. Condiţia aceasta
este diferită de cea pe care am obţinut-o în § 1. Aici stabilitatea nu depinde de puterile și ,
ci de transmitanţele și .
Mai departe rezultă că un proces de reglare care are loc într-un sistem în care regulatorul
funcţionează continuu are întotdeauna un caracter monoton şi în cadrul lui nu se produc oscilaţii.
Valoarea , cînd , este permanent pozitivă sau permanent negativă, după cum este
semnul valorii .
Vom da două exemple de funcţionare a unor sisteme cu reglare continuă, primul constînd
în generalizarea multiplicatorului lui Keynes pentru cazul continuităţii, iar al doilea pentru
procesul continuu de formare a preţului pe piaţă.
În cazul modelului lui Keynes ecuaţia de reglare redusă are forma:
Prin analogie cu procedeul expus mai sus, ea poate fi prezentată sub forma:
89 Să observăm că dacă este un vector, atunci formula (4.6) reprezintă un sistem de ecuații diferențiale
corespunzătoare componentelor vectorului .
.
.
.
224

Trecînd la limită (adică presupunînd că ), obţinem ecuaţia diferenţială
, în care soluţia este .
Din această soluţie rezultă că în modelul continuu al lui Keynes alura procesului este
întotdeauna monotonă. Condiţia lui de stabilitate este . Întrucît am presupus că ,
obţinem aceeaşi condiţie ca şi în cazul discret, şi anume .
Situaţia este asemănătoare în cazul procesului continuu de formare a preţului de piaţă.
Ecuaţia cu diferenţe redusă, în mod corespunzător, are forma
transformată în felul următor:
adică:
adică
Trecînd la limită obţinem ecuaţia diferenţială
.
, care are soluţia
Condiţia de stabilitate a procesului continuu de formare a preţului este ca
.
.
,
. Ea poate fi
. Dacă, de exemplu, , atunci condiţia de stabilitate arată că valoarea absolută
a parametrului trebuie să fie mai mică decît valoarea absolută a parametrului , adică .
Aceasta înseamnă că procesul de formare a preţului pe piaţă este stabil, indiferent dacă funcţia
ofertei este crescătoare sau descrescătoare, cu condiţia ca valoarea absolută a coeficientului ei de
direcţie să nu depăşească o anumită valoare. Aceasta este tradiţionala condiţie a echilibrului
pieţei dată de Walras, pe care o obţinem, presupunînd că formarea preţului pe piaţă este un
proces continuu.
Formulele care caracterizează alura unui proces de reglare continuu se pot obţine şi în
mod direct cu ajutorul calculului operaţional. După cum ştim, ecuaţia diferenţială redusă poate fi
scrisă în felul următor:
(8.42) sau ,
unde cu este notat operatorul de deplasare la stînga a mărimii respective în timp cu ,
iar cu , operatorul de deplasare la dreapta a mărimii respective cu .
Ştim că între operatorul şi operatorul diferenţierii există legătura . Folosind
această legătură ecuaţia diferenţială redusă (8.42) poate fi scrisă în felul următor:
,
225

adică
Înlocuind întîrzierea constantă egală cu unitatea de timp , cu întîrzierea variabilă
, obţinem:
adică
(8.43)
Dacă , atunci operatorul
diferenţială
.
,
.
din partea stîngă a ecuaţiei tinde către operatorul diferenţierii
90 . Prin urmare, dacă , ecuaţia de diferenţiere (8.43) se transformă în ecuaţia
identică cu ecuaţia diferenţială (8.40) obţinută mai sus pe altă cale.
§ 8.8.3. PROBLEME PRACTICE DE REGLARE
Un sistem de reglare se compune din două părţi: sistemul reglat şi regulatorul . De
obicei, în aplicaţiile practice ale teoriei reglării se presupune că prima parte, , a sistemului de
reglare este dată şi determinată de condiţii exterioare, pe care nu le putem influenţa, iar a doua,
, este construită în mod corespunzător de om şi legată într-un fel sau altul de .
Un sistem reglat poate fi, de exemplu, un proces economic obiectiv care se desfăşoară
independent de organele de conducere a economiei naţionale (de exemplu, sporul populaţiei,
creşterea consumului, scăderea depunerilor populaţiei la casele de economii etc.), iar regulatorul
sînt instituţiile create şi dirijate de stat sau alte organe ale societăţii, create în scopul de a se
exercita o influenţă asupra desfăşurării procesului .
Un alt exemplu de regulator este ansamblul de dispozitive tehnice şi instrumente
economice create pentru a influenţa şi regla acţiunea, independentă de voinţa omului, a naturii
90 Demonstrația este imediată. Fie o funcție diferențiabilă (și deci continuă) a variabilei . Notăm cu
diferența dintre valorile acestei funcții definite pentru valorile și ale variabilei independente. În acest
caz . Dat fiind că funcția este diferențiabilă
cînd tinde către zero. Din această cauză operatorul
.
,
tinde către operatorul ca limită.
226

asupra dezvoltării economiei naţionale. Un exemplu interesant de reglare este formarea unui
fond de asigurare şi a altor rezerve destinate compensării pagubelor care apar în economie, ca
urmare a unor calamităţi naturale sau a altor evenimente întîmplătoare. Aici sistemul reglat
este economia naţională asupra căreia acţionează evenimente întîmplătoare, independente de
voinţa şi acţiunile omului, iar regulatorul este fondul de asigurare, care preîntâmpină
perturbarea stabilităţii, a direcţiilor şi ritmului de dezvoltare a economiei naţionale.
În tehnică avem de a face cu un număr mare de sisteme reglate. În acest domeniu ambele
părţi, şi , ale sistemului sînt construite de om, dar din punctul de vedere al teoriei reglării,
rolurile lor sînt deosebite.
Scopul principal pe care ni-1 propunem în aplicaţiile practice ale teoriei reglării este ca
procesul care are loc în sistemul să fie stabil şi să tindă spre rezultatul dorit (valoarea de
comandă sau norma). Este deci vorba să se aleagă puterea regulatorului astfel ca procesul să
fie stabil, adică toate abaterile de la valoarea de comandă (normă) să fie eliminate în mod
automat.
Ştim că în cazul unui proces direct, puterea regulatorului trebuie să fie mai mică decît
valoarea inversă a sistemului reglat, adică
, iar în cazul unui proces continuu capacitatea
de trecere a regulatorului trebuie să fie mai mică decît valoarea inversă a capacităţii de trecere a
sistemului reglat, adică
.
Regulatorii al căror rost este să menţină stabilitatea sistemului poartă denumirea de
stabilizatori. În practică se poate întîmpla să fie nevoie de mai mulţi asemenea stabilizatori, ceea
ce însă nu dă naştere unor dificultăţi teoretice, deoarece, după cum ştim, funcţionarea mai multor
stabilizatori este echivalentă cu funcţionarea unui regulator cu capacitatea de trecere egală cu
suma capacităţilor de trecere ale stabilizatorilor parţiali.
Dar problemele de reglare nu se rezumă la problema stabilizării sistemului de reglare. De
obicei, se urmăreşte ca sistemul respectiv să se stabilizeze la un anumit nivel. Cu alte cuvinte,
valoarea de ieşire a sistemului de reglare trebuie să fie egală cu valoarea normată , aceasta
putînd fi un număr, un vector sau o funcţie oarecare. În primul caz avem de a face cu o reglare
simplă sau cu o stabilizare, iar în al doilea, cînd este o funcţie – cu o comandă.
Se poate întîmpla ca un proces de reglare să tindă către o stare de echilibru , diferită de
valoarea normată . Vom numi diferenţa dintre nivelul atins de sistemul stabilizat şi normă
abatere statică a sistemului și o vom nota cu litera .
Aşadar
(8.44) .
227

În practică apare adeseori situaţia cînd într-un sistem există o abatere statică. În acest caz
spunem că funcţionarea sistemului de reglare conţine o eroare sistematică. Se pune întrebarea
cum să se rezolve această problemă. Există două posibilităţi: 1) să se corecteze mărimea iniţială
(alimentarea intrării sistemului reglat) sau 2) să se reconstruiască regulatorul sau, ceea ce este
acelaşi lucru, să se conecteze în sistem un regulator adiţional. Alte posibilităţi nu există, deoarece
sistemul este dat în mod obiectiv şi nu avem nici o influenţă asupra funcţionării lui.
Să calculăm capacitatea de trecere a regulatorului , corespunzătoare valorii normate .
Pornind de la formula fundamentală a reglării
ecuaţia
sau
(8.45)
mărimea
De aici deducem
.
.
, în care admitem că , obţinem
Din formula (8.45) rezultă că transmitanţa regulatorului într-un sistem stabil depinde de
, adică de raportul dintre mărimea de intrare (aşa-numita alimentare a sistemului) şi
norma sistemului . Dacă în procesul de reglare are loc o abatere statică (sistemul de reglare
conţine o eroare sistematică), atunci regulatorul trebuie reconstituit astfel ca transmitanţa lui să
satisfacă condiţia (8.45).
Dar reglarea mai poate fi corectată şi altfel. Se poate schimba mărimea de intrare , adică
se poate modifica într-un mod corespunzător alimentarea sistemului reglat. Din formula
fundamentală a reglării rezultă în mod nemijlocit că pentru a se ajunge la norma dată ,
mărimea alimentării într-un sistem stabil trebuie să fie egală cu
(8.45 a)
În general, în practică, acest al doilea procedeu de corectare a funcţionării procesului de
reglare este mai uşor și mai ieftin, el reducîndu-se la mărirea sau micşorarea corespunzătoare a
alimentării .
Vom da cîteva exemple de reglare a unor sisteme aplicate în practică. Primul este un
exemplu tehnic. El se referă la reglarea temperaturii într-o încăpere. Să presupunem că am
realizat cu ajutorul unui termostat corespunzător un sistem stabil, nivelul de echilibru al
temperaturii fiind de 15°. Vrem însă să atingem o temperatură de 18°. Această problemă poate fi
rezolvată în două feluri. În primul rînd putem să încercăm să reconstruim regulatorul (în cazul de
.
228

faţă termostatul), astfel ca temperatura să atingă în starea de echilibru norma . Dar se
poate schimba şi alimentarea, adăugind o cantitate de combustibil stabilită, prin încercări
succesive.
Al doilea exemplu are un caracter economic. Este un lucru destul de cunoscut că în
Polonia cheltuielile efective pentru investiţii sînt, de regulă, mai mari decît cele planificate.
Această stare de lucruri se datorează mai multor cauze, ca de pildă: 1) costul construirii unui
număr mare de obiecte noi nu se poate prevedea niciodată cu precizie; 2) în timpul realizării
investiţiilor se ivesc dificultăţi neprevăzute, de exemplu, la săparea unei mine se întîlnesc straturi
de roci sterile, straturi de apă etc.; 3) progresul tehnic din perioada de construcţie ne sileşte să
introducem inovaţii sau modificări neprevăzute iniţial; în caz contrar, obiectul ar fi învechit din
punct de vedere tehnic încă din momentul dării în exploatare.
Este posibil, ca în perioada realizării investiţiei să intervină unele perfecţionări tehnice care
duc la reducerea cheltuielilor de construcţie, dar distribuţia probabilităţii de mărire şi de reducere a
costului realizării investiţiilor este foarte asimetrică: probabilitatea de depăşire a costului planificat
este mult mai mare decît cea de realizare a investiţiei cu cheltuieli mai mici.
La prima vedere pare foarte dificil să se construiască un regulator care să preîntîmpine
acest fenomen, adică să stabilizeze costul de realizare a investiţiilor la nivelul planificat. Situaţia nu
este însă atît de grea, căci se poate încerca aplicarea unor stimulente economice care să stăvilească
tendinţa de depăşire a costurilor de investiţii planificate 91 . Împotriva tendinţelor de acest fel se
poate acţiona, de exemplu, aplicînd dobînzi corespunzătoare la fondurile fixe aflate la dispoziţia
uniunilor sau întreprinderilor, încă de la începutul construcţiei obiectului de investiţii adică din
momentul în care fondurile se imobilizează în favoarea unităţii economice respective. S-ar mai
putea aplica amenzi contractuale sau „dobînzi de penalizare‖ pe care să le suporte titularul
investiţiei în cazul în care depăşeşte costul de realizare planificat al acesteia.
Un asemenea dispozitiv (ca să vorbim în limbajul teoriei reglării) reprezintă o reconstruire a
regulatorului procesului economic respectiv. Dar se poate proceda şi altfel, modificîndu-se
alimentarea sistemului reglat. În cazul de faţă aceasta ar însemna să se mărească în mod
corespunzător costurile de investiţii proiectate. Dacă, de exemplu, devizul preliminar al investiţiei se
cifrează la 10 milioane zloţi ar trebui să se treacă în plan o sumă cu 10% mai mare, adică 11 milioane
zloţi.
91 În speță se poate acționa împotriva practicii potrivit căreia unele întreprinderi, uniuni și alte organizații și instituții
diminuează cu ocazia întocmirii planului acele investiții în care sînt în mod special interesate. Procedînd astfel ele
scontează că odată ce investiția respectivă va fi introdusă în plan vor trebui găsite mijloacele de realizare a ei, chiar
dacă costurie efective vor depăși nivelul planificat.
229

Vom da încă un exemplu extrem de simplu care să lămurească metodele de corectare a unui
proces de reglare care conţine o eroare sistematică. Dacă un cîntar are o abatere constantă în
măsurarea greutăţilor, el poate fi reparat sau – ceea ce e mai simplu – i se poate aplica o „alimentare
de compensaţie‖, ceea ce în cazul de faţă ar însemna să se pună pe unul din talere o greutate
corespunzătoare abaterii respective.
În afară de cele două probleme principale de reglare a sistemelor (asigurarea stabilităţii
sistemului şi realizarea de către sistem a mărimii de comandă), mai există şi alte probleme în legătură
cu reglarea. Dintre acestea face parte, în primul rînd, aprecierea corectitudinii sau, cum se spune mai
frecvent, a eficienţei sistemului de reglare. Aprecierea eficienţei sistemului de reglare constă în a
stabili care dintre regulatoarele posibile în cazul respectiv este în stare să elimine, cel mai repede
perturbaţia. Acesta este un lucru important, deoarece în practică ne străduim să folosim regulatorul
cel mai eficient.
Se mai poate ridica şi problema practică dacă vrem să folosim un regulator care să ducă la
stabilizarea sistemului prin oscilaţii sau pe o cale monotonă. De aceasta este legată şi problema dacă
oscilaţiile care în cele din urmă duc la stabilizare trebuie să aibă o amplitudine mare, dar care
descreşte repede, sau una care descreşte mai lent, dar este în schimb mai mică.
Toate caracteristicile de acest gen ale regulatoarelor le vom numi eficienţa regulatorului.
Acum, să preluăm problema stabilităţii sistemului de reglare.
§ 8.8.4. UN EXEMPLU: PROBLEMA REACŢIEI LA STIMULENTE
S-a constatat că unele probleme referitoare la felul în care reacţionează organismele vii
(ale oamenilor şi animalelor) la stimulentele externe pot fi rezolvate cu ajutorul unor metode
matematice asemănătoare cu cele folosite în teoria reglării. Problemele de acest gen au o
importanţă practică nu numai în psihologie, dar şi în calculul economic.
Să examinăm un exemplu 92 .
Fie probabilitatea ca un animal să reacţioneze în modul dorit de experimentator la un
complex dat de stimulente după repetări; această probabilitate o vom numi pe scurt
probabilitate de reacţie. Cercetările statistice asupra comportării animalelor arată că
probabilitatea depinde de reacţiile anterioare ale animalului la complexul de stimulente
respectiv. Probabilitatea este cu atît mai mare, cu cît este mai mare probabilitatea reacţiei
92 Am preluat acest exemplu din cartea lui S. Goldberg, Introduction to Difference Equations, New York, Londra,
1958, p. 103 și urm. El se bazează pe concepția lui R. R. Bush și F. Mosteller, A Mathematical Model for Simple
Learning, în ,,Psychological Review‖, 1951.
230

după repetarea a stimulentelor. Această legătură poate fi considerată aproximativ liniară. De
aici rezultă posibilitatea de a scrie ecuaţia cu diferențe.
(8.46) ,
care ne arată că este o funcţie liniară de . Evident că şi ,
deoarece aceste variabile sînt probabilităţi 93 , iar , deoarece repetarea succesivă a
declanşării stimulentelor măreşte (în nici un caz nu micşorează) probabilitatea de reacţie.
Ecuaţia (8.46) exprimă desfăşurarea procesului prin care animalul dobîndeşte un anumit
complex de stimulente. De aceea ea este adeseori numită ecuaţia procesului de învăţare.
Parametrii şi se determină pe bază de experienţe.
Este convenabil un alt mod de prezentare a ecuaţiei (8.46). Vom scrie , în
care și , deoarece , precum şi .
(8.47)
sau
(8.47 a)
În acest caz
Ecuaţia de forma (8.47 a) arată factorii de care depinde ameliorarea reacţiei animalului la
stimulente, adică progresul în procesul de „învăţare‖. Această ameliorare este exprimată prin
diferenţa din partea stîngă a ecuaţiei.
Să ne oprim puţin asupra semnificaţiei expresiilor și din partea
dreaptă a ecuaţiei (8.46). Prima dintre aceste expresii exprimă gradul de ameliorare maxim
posibil, iar al doilea gradul de înrăutăţire maxim posibil a rezultatelor experienţei, deoarece
rezultatul cel mai bun ce se poate obţine este , iar cel mai rău . De aceea
, adică ameliorarea efectivă a rezultatelor experienţei este egală, aşa cum re-
zultă din ecuaţia (4.13a), cu suma ponderată a gradului de ameliorare maxim posibil şi a gradului
de înrăutăţire maxim posibil ale rezultatelor experienţei. În această sumă ponderile sînt
parametrii şi , parametrul depinzînd de mulţimea de factori care tind către ameliorarea
maximă a rezultatelor experienţei, iar parametrul de factorii care determină înrăutăţirea
maximă a rezultatelor încercării. Astfel, parametrul poate fi considerat ca etalon al intensităţii
acţiunii stimulentelor pozitive, iar parametrul ca etalon al intensităţii acţiunii stimulentelor
negative sau a aşa-numitelor antistimulente. De exemplu, recompensele sînt stimulente pozitive,
iar pedepsele sau alte neplăceri care depind de reacţia animalului sînt stimulente negative.
Vom rezolva ecuaţia (8.47) prin metode la care am mai recurs de cîteva ori. Să vedem
mai întîi dacă există o stare de echilibru şi cărei valori a lui îi corespunde această stare. În acest
93 Ecuația cu diferențe (4.12) este un exemplu de ,,lanț Markov‖ fiind cazul cel mai simplu al unui proces stochastic.
231

scop, vom înlocui ecuaţia cu diferenţe (8.47) cu o ecuaţie obişnuită, presupunînd că variabilele
, adică presupunînd că probabilitatea de reacţie este stabilizată la un nivel
constant. În acest caz obţinem ecuaţia
de unde
(admițînd că .
Cunoscînd valoarea variabilei corespunzătoare stării de echilibru urmează să calculăm
mărimea abaterilor de la această valoare
şi, similar,
De aici
Substituind aceste valori în ecuaţia (8.47) obţinem ecuaţia cu diferenţe redusă:
care, după reducere, capătă forma
(8.48) .
Soluţia acestei ecuaţii se poate obţine imediat prin metoda recurentă:
(8.49) ,
în care este probabilitatea iniţială şi deci este egală cu probabilitatea cu care animalul
reacţionează la complexul respectiv de stimulente, înainte de începerea experienţei.
Ţinînd seama, că , din formula (8.49) rezultă că condiţia de stabilitate a
procesului de învăţare a animalului, cu alte cuvinte, ca acesta să reacţioneze la un anumit
complex de stimulente, este satisfacerea dublei inegalităţi , din care rezultă că
. Dacă această condiţie este satisfăcută, cînd , , atunci
, adică către starea de echilibru.
În principiu şi în cazul cînd (adică ), poate fi aplicată formula
(8.49), dar în acest caz , adică în cursul procesului, probabilitatea de reacţie nu se
schimbă şi rămîne mereu egală cu probabilitatea iniţială . Animalul nu face progrese „la
învăţătură‖.
Să analizăm mai îndeaproape ecuaţia obţinută. Presupunînd că , avem
, cînd . Ce înseamnă acest rezultat? Dacă experienţa este repetată de multe ori,
.
,
.
232

probabilitatea de reacţie a animalului la un anumit complex de stimulente tinde către o limită,
egală cu raportul dintre mărimea stimulentelor pozitive şi suma mărimilor stimulentelor pozitive
şi a stimulentelor negative (a antistimulentelor).
Să examinăm cîteva cazuri particulare.
1) Cînd , iar , atunci ; aceasta înseamnă că dacă se folosesc
numai antistimulente, animalul se dezvaţă să mai reacţioneze, deoarece urmează mereu
„pedeapsa‖.
2) Cînd , iar , atunci , adică dacă se folosesc numai stimulente
pozitive, procesul de învăţare a animalului va ajunge la o stare cînd acesta va reacţiona ,,cu
siguranţă‖ sau „aproape cu siguranţă‖ 94 la un anumit stimulent.
3) Cînd , atunci
; aceasta înseamnă că, atunci cînd stimulentele
şi antistimulentele sînt la fel de intense, probabilitatea de reacţie tinde către
. După un număr
suficient de experienţe animalul este atît de dezorientat încît reacţionează în jumătate din cazuri.
De asemenea merită menţionat faptul că, în cazul general, rezultatul procesului de
învăţare discutat aici nu depinde de mărimea absolută a stimulentelor pozitive şi a celor negative,
ci numai de raportul
antistimulentelor. Într-adevăr,
, adică de raportul dintre mărimea stimulentelor pozitive şi mărimea
. Raportul
este deci unitatea de măsură a
metodei de învăţare folosită, putînd fi numit structură a motivării. Dar numărul de repetări a
experienţei necesare pentru obţinerea rezultatului depinde de mărimea absolută a rezultatelor
pozitive şi a antistimulentelor. Căci, după cum se vede din formula (8.49), viteza de convergenţă
este cu atît mai mare, cu cît este mai mică valoarea sau cu cît este mai mare valoarea
. Aşadar, rezultatul procesului de învăţare depinde de structura motivării, pe cînd
repeziciunea cu care va fi obţinut rezultatul depinde de intensitatea însumată a motivării.
Problema expusă mai sus este un exemplu interesant de aplicare a metodelor matematice
(a ecuaţiilor cu diferenţe) la soluţionarea şi analiza unor probleme de psihologie. De exemplu, se
poate pune următoarea problemă: cu ce intensitate trebuie aplicate stimulentele şi
antistimulentele pentru a se obţine o anumită probabilitate a reacţiei dorite a animalului, adică
reglării.
, unde este mărimea de comandă. Problema astfel formulată este tipică pentru teoria
Rezolvarea acestei probleme este imediată. Într-adevăr, presupunînd că ,
94 Dacă probabilitatea este definitiă pe o anumită mulțime finită, atunci p=1 înseamnă că evenimentul este sigur;
dacă însă probabilitatea este definită pe o mulțime infinită și nenumărabilă, atunci p=1 înseamnă că evenimentul este
―aproape sigur‖, adică cazurile în care evenimentul nu are loc constituie o mulțime cu măsura 0.
233

obţinem ecuaţia
antistimulente este egal cu
, iar de aici
De exemplu, dacă presupunem că
, atunci , cînd .
. Dacă raportul dintre stimulentele pozitive şi
, atunci
, ceea ce înseamnă că
. Stimulentele pozitive trebuie să fie de 19 ori mai puternice decît antistimulentele.
Exemplul de reglare examinat mai sus poate fi aplicat la rezolvarea unor anumite
probleme economice, dacă admitem că reacţiile oamenilor la stimulentele pozitive şi la
antistimulente au loc după aceeaşi schemă sau după una asemănătoare. În activitatea persoanelor
sau a colectivelor, stimulentele pozitive sînt tot felul de recompense, premii, indemnizaţii etc.,
iar antistimulentele sînt amenzile, pierderile ca urmare a nereuşitei unei acţiuni sau din alte
motive.
Ce concluzii practice se impun din rezultatele analizei efectuate în ceea ce priveşte
aplicarea unui sistem eficient de stimulente pozitive şi antistimulente în activitatea economică?
Dacă probabilitatea de realizare a ţelului propus urmează să fie mai mare decît
, atunci
intensitatea stimulentelor pozitive (de exemplu beneficiul scontat) trebuie să fie mai mare decît
intensitatea antistimulentelor (posibilitatea unei pierderi). De aici rezultă o concluzie clară, care
trebuie aplicată la stabilirea sistemelor premiale. Dacă activitatea unui om sau a unei colectivităţi
(de exemplu a unei întreprinderi) implică posibilitatea apariţiei unor pierderi (antistimulente)
trebuie aplicate stimulente pozitive (premii, beneficii suplimentare etc.) cu o intensitate mai mare
decît intensitatea antistimulentelor existente.
În legătură cu aceasta se mai pune întrebarea dacă merită să combatem antistimulentele,
de vreme ce acţiunea lor poate fi slăbită mărind într-o proporţie corespunzătoare stimulentele?
Evident că aplicarea acestei metode este posibilă, în special atunci cînd înlăturarea
antistimulentelor întîmpină mari dificultăţi. Din punct de vedere economic, un asemenea
procedeu nu este indicat, deoarece el necesită acordarea unor premii mari care să depăşească
considerabil intensitatea antistimulentelor. Acelaşi efect poate fi obţinut mai ieftin, reducînd sau
chiar anulînd antistimulentele. Din formula
rezultă că dacă dorim să obținem un grad
foarte înalt de siguranţă a reacţiei, adică , atunci trebuie să fie foarte mare. Întrucît
aceasta ar cere un foarte mare cînd este sensibil mai mare decît zero, sau nişte premii,
beneficii etc., imense, în timp ce acelaşi rezultat se poate realiza cu cheltuieli mai mici pentru
premii şi beneficii, dacă , adică prin înlăturarea antistimulentelor.
Practic, de aici rezultă concluzia că o stimulare economicoasă şi eficientă în vederea unei
activităţi economice susţinute cere în primul rînd să se înlăture antistimulentele care frînează
,
234

această activitate. Este evident că acest lucru nu este întotdeauna cu putinţă. De asemenea trebuie
să remarcăm că pentru a ajunge repede la ţintă trebuie să recurgem la stimulente pozitive de o
mărime adecvată, deoarece, după cum am văzut, viteza de convergenţă a procesului de reacţie la
stimulente către rezultatul prestabilit depinde de mărimea absolută a sumei . Deci, dacă a
este constant, micşorarea lui îmbunătăţeşte într-adevăr structura motivării ; în acelaşi timp
scade suma (intensitatea stimulentelor) care determină viteza de convergenţă. Pentru a se
obţine o viteză mare, este necesară o mărime corespunzătoare a stimulentelor pozitive.
Un exemplu interesant de stimulare a agricultorilor în vederea cultivării unor plante
industriale deosebit de expuse la pierderi accidentale (îngheţ, secetă, grindină etc.), prin
înlăturarea antistimulentelor acestei activităţi, este asigurarea generală a aşa-numitelor „culturi
contractate‖ contra calamităţilor naturale. În practică s-a constatat că nici majorarea
considerabilă a preţurilor de achiziţie la unele culturi (adică mărirea stimulentelor pozitive) nu a
avut o influenţă sensibilă în sensul extinderii suprafeţelor cultivate. În schimb, înlăturarea
antistimulentelor prin asigurare, realizată cu cheltuieli relativ reduse, a dus la o însemnată mărire
a suprafeţelor cultivate cu anumite plante industriale.
Putem considera că aplicarea unei metode similare de eliminare a antistimulentelor este
posibilă şi indicată şi în alte ramuri de activitate economică. Astfel, de exemplu, introducerea
unei asigurări contra pierderilor ce pot surveni temporar, într-o întreprindere care realizează un
program de modernizare şi de raţionalizare, ar putea să stimuleze multe întreprinderi să introducă
progresul tehnic şi organizatoric. Considerăm că această metodă este mult mai economicoasă şi
mai eficientă decît majorarea premiilor pentru realizarea progresului tehnic.
BIBLIOGRAFIE:
Oskar Lange, Introducere în cibernetica economică, Editura Științifică, București, 1967.
235

CAPITOLUL IX: BALANŢA LEGĂTURILOR DINTRE RAMURI
§ 9.1. SISTEMUL DE BALANŢE AL ECONOMIEI NAŢIONALE ȘI CONDUCEREA
PLANIFICATĂ A ECONOMIEI
Economia naţională este un ansamblu complex de ramuri şi unităţi economice legate între
ele prin mecanismul diviziunii sociale a muncii. în vederea conducerii planificate a acesteia este
necesar să se folosească metode adecvate cu ajutorul cărora să se pună în evidenţă şi să se
analizeze aceste legături în directivele C.C. al P.C.R. cu privire la perfecţionarea conducerii şi
planificării economiei naţionale se arată: ,,În economia modernă, caracaterizată printr-un înalt
grad de socializare a producţiei, prin ample şi rapide schimbări structurale, prin diversificarea
fără precedent a legăturilor de cooperare, funcţionarea normală a întregului mecanism economic
nu mai este posibilă fără sincronizarea activităţii diferitelor unităţi şi ramuri".
Conducerea planificată a economiei, ca factor hotărîtor al progresului economic şi social,
presupune cunoaşterea proporţiilor şi ritmurilor de dezvoltare a economiei naţionale în ansamblu
şi pe elementele sale componente.
Proporţiile şi relaţiile dintre ramurile economiei naţionale, precum şi cele din cadrul
ramurilor se stabilesc cu ajutorul balanţelor materiale, valorice şi ale forţei de muncă. Dar, aceste
balanţe nu sînt suficiente pentru caracterizarea principalelor proporţii ale reproducţiei lărgite:
dintre sectoarele I şi II ale producţiei sociale, dintre producţie şi consum, dintre consum şi
acumulare etc. Stabilirea ritmurilor de dezvoltare a economiei naţionale în totalitatea ei, a
condiţionărilor reciproce dintre ramuri şi subramuri se realizează cu ajutorul balanţei economiei
naţionale, care reprezintă o sinteză a întregului sistem de balanţe. Cuprinzînd indicatorii sintetici
care stau la baza elaborării planului economiei naţionale, această-balanţă dă-o earacteri- zare
generală reproducţiei lărgite, proporţiilor şi principalelor corelaţii din economia naţională într-o
anumită perioadă. La întocmirea balanţei de plan a economiei naţionale se foloseşte balanţa
statistică a economiei naţio- anale care caracterizează prin indicatorii ei reproducţia lărgită a
produsului social, sub aspect material şi valoric, reproducţia lărgită a forţelor de producţie,
precum şi reproducţia lărgită a relaţiilor de producţie. Cunoaşterea tuturor aspectelor reproducţiei
lărgite nu este posibilă decît prin elaborarea unui sistem de balanţe, format din:
balanţa producţiei, consumului şi acumulării produsului social;
balanţa producţiei, repartiţiei si folosirii venitului naţional;
balanţa resurselor de muncă.
Balanţa producţiei, consumului și acumulării produsului social are ca obiect procesul
producerii şi folosirii produsului social, proporţiile şi legăturile dintre ramurile producţiei
236

materiale în perioada de timp la care se referă. Cu ajutorul ei se poate determina produsul social
total şi stabili structura materială și valorică pe ramuri şi forme de proprietate. Gruparea
elementelor produsului social în mijloace de producţie şi bunuri de consum, pe ramuri şi forme
de proprietate permite determinarea volumului producţiei sectorului I şi sectorului II.
Producţia sectorului I se obţine însumînd: valoarea producţiei mijloacelor de producţie
destinate înlocuirii celor consumate, valoarea producţiei acumulate sub forma fondurilor fixe
productive, valoarea creşterii producţiei neterminate şi a stocurilor de producţie, valoarea
materiilor prime, materialelor şi utilajului destinate creşterii rezervelor de stat şi exportului.
Producţia sectorului II se obţine însumînd elementele: valoarea producţiei folosită pentru
consum neproductiv, valoarea acumulărilor sub forma fondurilor fixe neproductive, valoarea
măfurilor alimentare şi nealimentare destinate consumului neproductiv, rezervelor de stat şi
exportului.
Pe baza datelor din balanţă se poate stabili valoarea mijloacelor de producţie consumate în
procesul producţiei produsului social şi se poate calcula venitul naţional.
Mărimea acumulării în cursul anului se calculează ca diferenţă între pro¬dusul social şi
totalul consumului, sau ca diferenţă între nitul na.tioiicil şi consumul neproductiv. Aceşti
indicatori calculaţi pe baza balanţei producţiei, consumului şi acumulării produsului social se
folosesc în analiza procesului ceproducţiei lărgite. Astfel, se pot stabili: proporţia cheltuielilor
materiale în produsul social total, raportul dintre cheltuielile materiale şi produsul nou creat,
raportul dintre fondul de consum şi fondul de acumulare, corelaţia dintre venitul naţional şi
produsul social.
Balanţa producţiei, repartiţiei şi folosirii finale a venitului naţional cuprinde date cu privire
la mărimea venitului naţional produs, repartiţia şi folosirea lui finală. Ea are trei părţi: resursele
venitului naţional (producţia netă a ramurilor producţiei materiale); repartiţia venitului naţional
(primară şi ulterioară); utilizarea venitului naţional. Pe baza datelor cuprinse în această balanţă se
determină volumul şi structura venitului naţional, se calculează indicatorii care caracterizează
formarea veniturilor primare ale statului, cooperaţiei şi populaţiei şi procesul redistribuirii lor, se
stabilesc corelaţiile dintre indicatorii repartiţiei şi folosirii venitului naţional.
Balanţa resurselor de muncă cuprinde indicatorii reproducţiei forţei de muncă. Ea este
formată din trei părţi: resursele forţei de muncă; folosirea şi repartizarea forţei de muncă pe
ramuri, pe forme de proprietate şi sectoare; rezervele forţei de muncă.
Tabelul sintetic al balanţei economiei naţionale care se elaborează pe baza datelor din
celelalte balanţe ale economiei naţionale cuprinde în partea de subiect: ramurile producţiei
materiale şi formele de proprietate, ramurile sferei neproductive şi populaţia pe clase şi categorii
sociale. Predicatul tabelului cuprinde: resursele materiale şi de muncă la începutul şi sfîrşitul
237

perioadei, producţia şi circulaţia produsului social, repartiţia primară şi redistribuirea venitului
naţional, folosirea finală a produsului social şi a venitului naţional, populaţia la începutul şi
sfîrşitul anului.
Pe baza datelor din tabelul sintetic al balanţei economiei naţionale se calculează o serie de
indicatori care permit analiza ritmului de dezvoltare a economiei naţionale, a legăturilor ce se
formează în procesul reproducţiei lărgite etc.
Pentru aprofundarea diferitelor aspecte ale reproducţiei, aceste balanţe se completează cu o
serie de balanţe ajutătoare: balanţa fondurilor fixe, balanţa veniturilor şi cheltuielilor băneşti ale
populaţiei, balanţa relaţiilor de decontări dintre stat, cooperaţie, populaţie şi sistemul financiar-
bancar etc. Aceste balanţe ajută la caracterizarea completă şi adîncită a diferitelor aspecte ale
reproducţiei.
În vederea elaborării balanţei economiei naţionale trebuie să existe o clasificare ştiinţifică a
ramurilor economiei naţionale, fundamentată pe învăţătura marxist-leninistă cu privire la
producţie materială şi caracterul productiv şi neproductiv al muncii sociale. De asemenea, este
necesar ca în prealabil să se analizeze structura materială şi valorică a produsului social şi a
venitului naţional, în scopul scoaterii în relief a principalelor corelaţii dintre elementele
producţiei sociale.
§ 9.2. BALANŢA LEGĂTURILOR DINTRE RAMURI - PARTE COMPONENTĂ A
BALANŢEI ECONOMIEI NAŢIONALE
Întregul sistem al corelaţiilor şi proporţiilor dintre ramurile economiei nu poate fi cunoscut
complet numai cu ajutorul balanţelor clasice. Neajunsul principal al sistemului clasic de balanţe
constă în aceea că el are la bază împărţirea economiei naţionale numai pe ramuri mari, ceea ce nu
permite caracterizarea detaliată şi completă a legăturilor şi proporţiilor dintre ramuri şi în cadrul
ramurilor. În condiţiile diversificării continue a producţiei, ale adîncirii specializării şi cooperării
în producţie, ale schimbării rapide a structurii producţiei sociale este necesar să se analizeze
profund şi multilateral in întreaga lor complexitate legăturile şi proporţiile dintre ramurile
economiei naţionale. Necesitatea perfecţionării procedeelor şi metodelor de analiză, conducere şi
planificare, impune completarea sistemului clasic de balanţe al economiei naţionale, astfel încît
aceste metode şi procedee, pe de o parte, să aprofundeze şi să concretizeze unele balanţe ale
sistemului şi, pe de altă parte, să sintetizeze şi să generalizeze balanţele materiale. Instrumentul
principal al acestei analize este balanţa legăturilor dintre ramuri. Această balanţă poate fi
interpretată ca o dezvoltare a unuia dintre tabelele balanţei economiei naţionale şi anume a
balanţei producţiei, consumului şi acumulării produsului social. Balanţa cuprinde mişcarea
238

întregului produs social total, împărţit pe un număr mare de ramuri economice, oferind
posibilităţi de analiză extrem de bogată. Dintre aceste posibilităţi menţionăm: caracterizarea
interdependenţei dintre ramurile şi subramurile economiei, calculul cheltuielilor de muncă
socială pe fiecare ramură, calculul coeficienţilor consumurilor materiale directe şi totale,
determinarea variantelor optime ale planurilor de dezvoltare etc.
Caracterizarea legăturilor dintre ramurile producţiei materiale (intrările şi ieşirile de
produse) se realizează cu ajutorul unui model matematic cunoscut sub denumirea de ecuaţie de
balanţă sau modelul input-output.
Modelul input-output se încadrează în analiza echilibrului economic general, iar elaborarea
lui se datorează profesorului american Wassily Leontief, care a pus bazele economico-
matematice ale acestui model. În esenţă, el constă în descrierea interdependenţei dintre ramurile
economiei naţionale, cu ajutorul unui sistem de ecuaţii liniare. Caracteristicile structurale ale
economiei naţionale sînt reflectate de coeficienţii acestui sistem de ecuaţii, putînd fi determinate,
pe cale empirică, pe baza unui tabel statistic input- output, ca urmare a fluxului relativ stabil de
bunuri şi servicii dintre elementele economiei.
Modelul input-output a fost conceput iniţial cu scopul de a caracteriza legăturile curente
dintre ramuri; nu s-au avut în vedere legăturile dintre ramuri, cu privire la investiţii. Noţiunea
,,input" se referă la consumurile (cheltuielile) unei ramuri în perioada curentă, fără a include
cheltuielile privind fondurile fixe, iar noţiunea de ,,output" se referă la repartizarea producţiei
fiecărei ramuri, deci la producţia care „iese" din cadrul unei ramuri. Din traducerea acestor
noţiuni în diferite limbi au rezultat denumirile: intrări- ieşiri, cheltuieli-rezultate, consumuri-
producţie, etc. În literatura de specialitate se foloseşte din ce în ce mai mult şi termenul ,,legături
dintre ramuri". Deşi această denumire cuprinde termenul în accepţiune statistică ,,ramură", care
din punctul de vedere al clasificării ramurilor economiei naţionale are o delimitare precisă, ea are
avantajul că exprimă atît legăturile de producţie curente, cît şi cele cu privire la investiţii, deci
cuprinde o sferă mai largă decît celelalte denumiri.
Calculele economice efectuate cu ajutorul modelului input-output, pe baza unui bogat
material statistic, au demonstrat că cercetările lui W. Leontief s-au orientat către lichidarea
rămînerii în urmă a teoriei economice faţă de realitate.
Folosirea modelului input-output în analiza economică trebuie să țină seama de teoria
economică care stă la baza elaborării modelului. În funcţie de conţinutul economic al elementelor
cuprinse în model, el poate oglindi atît concepţii economice burgheze, cît şi teoria economică
marxist-leninistă. Modelul lui W. Leontief a fost conceput pe baza teoriei burgheze a echilibrului
general şi de aceea este necesar să se facă deosebire între aspectele soeial- economice şi cele
tehnico-economice care rezultă din model. Principiile metodologice, aparatul matematic, precum
239

şi tehnica de calcul pot fi transpuse şi în condiţiile economiei socialiste, bineînţeles folosind, ca
bază teoretică, economia politică marxist-leninistă. În acest fel, modelul input-output a fost
adaptat şi folosit la planificarea economiei naţionale într-o serie de ţări socialiste, sub denumirea
de balanţa legăturilor dintre ramuri.
Balanţa legăturilor dintre ramuri poate fi considerată ca o nouă tehnică de gîndire a
problemelor de planificare, care are ca principal scop măsurarea şi evaluarea efectelor reciproce
ale activităţii de producţie a ramurilor economiei naţionale. Balanţa legăturilor dintre ramuri este
o metodă de analiză care permite modelarea proceselor economice şi determinarea raporturilor
de interdependenţă, care se formează în mod obiectiv în cadrul economiei.
Folosirea acestei metode permite aplicarea mai largă a matematicii în munca de planificare
şi deci elaborarea planurilor în condiţiile fundamentării mai exacte a nevoilor societătii.
Valorificarea tuturor posibilităţilor pe care le oferă balanţa legăturilor dintre ramuri cere
folosirea, în cursul prelucrării şi analizei prin metode matematice, a calculatoarelor electronice.
§ 9.3. BALANŢA LEGĂTURILOR DINTRE RAMURI ŞI CONTURILE ECONOMIEI
NAŢIONALE
Conturile economiei naţionale au ca obiect descrierea tuturor operaţiilor cu caracter
economic, care se desfăşoară într-o ţară, constituind o metodă cu ajutorul căreia se reprezintă în
formă cantitativă tabloul general al economiei.
Pentru ilustrare, vom prezenta succint conturile naţionale folosite în contabilitatea naţională
franceză [35, 42].
În statistica franceză se disting patru mari „ramuri":
— menajul, care cuprinde toate persoanele fizice sub aspectul vieţii casnice ;
— întreprinderile, care reunesc toate celulele economice, avînd ca funcţie de bază
producerea de mărfuri şi efectuarea serviciilor ;
— instituţiile administrative, care cuprind organizaţiile ce nu au activităţi economice ;
— instituţiile financiare reprezentate prin persoane juridice specializate în efectuarea
operaţiilor de credit şi financiare.
Pentru fiecare ramură se întocmesc cinci conturi :
1. „Contul producţiei", care compară producţia cu consumul produselor intermediare
necesare pentru producţia respectivă. Soldul acestui cont este valoarea adăugată.
2. „Contul de exploatare", care descrie activitatea curentă a întreprinderilor. Operaţiile cu
mărfuri şi serviciile se reflectă numai ca sold, adică ca valoare adăugată.
3. „Contul repartizării veniturilor" reflectă formarea şi folosirea veniturilor (cu excepţia
240

acumulării de capital).
4. „Contul capitalului", care cuprinde toate operaţiile referitoare Ia patrimoniul ramurilor
respective.
5. „Contul financiar", care descrie schimbarea fondurilor financiare ale ramurilor, adică
situaţia lor de debitor sau creditor faţă de alte ramuri.
Pentru balansare se mai utilizează „Contul cu străinătatea" în caresse trec operaţiile
efectuate între ramurile din ţară şi de peste hotare.
Conturile sintetice reprezintă forma agregată a conturilor. Ele se prezintă ca un tabel
economic sintetic. Pe lîngă ele se pot folosi conturi detaliate şi ajutătoare.
Balanţa legăturilor dintre ramuri rezultă din suprapunerea a două tabele, şi anume: a unui
tabel al cheltuielilor de producţie, care corespunde coloanelor balanţei legăturilor dintre ramuri şi
a unui al doilea tabel al repartizării producţiei fabricate, care corespunde liniilor balanţei.
Primul tabel evidenţiază „intrarea" în procesul de producţie a mijloacelor de producţie, forţei
de muncă etc., iar cel de al doilea „ieşirea" din acest proces a producţiei şi repartizarea ei pe
destinaţii. Din această cauză, în literatura străină metoda balanţei legăturilor dintre ramuri se
numeşte metoda input-output, metoda entrée-sortie, metoda prihod-rashod etc.
Ţinînd seama de cele arătate, se poate înţelege uşor că în balanţa legăturilor dintre ramuri se
pot sintetiza conturile contabile cu debitul şi creditul lor şi, invers, balanţa legăturilor dintre
ramuri se poate descompune în „conturile" economiei naţionale, „deschise" pentru fiecare
ramură. Contabilitatea naţională are cea mai strînsă legătură cu balanţa legăturilor dintre ramuri
şi constituie un mijloc de pregătire şi furnizare a datelor pentru întocmirea ei.
ramuri:
De exemplu, următoarea balanţă a legăturilor dintre ramuri care cuprinde numai patru
Tabelul 9.1.
Ramuri A B C D Consumul
A
B
C
D
Salarii
Benificii
40
100
120
80
60
60
50
70
70
50
120
60
100
120
100
50
90
100
150
200
Total 400 300 500 600
populaţiei
150
95
300
200
Cresterea
stocurilor
20
15
40
10
Total
400
300
500
600
241

Se descompune în urmatoarele conturi:
Debit Contul ramuri A Credit
Stoc iniţial ………………………………..10
Cumpărat de la ramura B………………….. 40
Cumpărat de la ramura C ………………….100
Cumpărat de la ramura D ………………….120
Salarii ………………………………….…80
Beneficii ……………………………….…60
Total ………………………………………….410
Vîndut ramurii B ..........................60
Vîndut ramurii C ..........................120
Vîndut ramurii D ..........................50
Vîndut populației ..........................150
Stoc la sfîrşit..................................30
Total.............................................410
Debit Contul ramuri B Credit
Stoc iniţial …………………………15
Cumpărat de la ramura A……… 60
Cumpărat de la ramura C ………50
Cumpărat de la ramura D ………70
Salarii ………………………………70
Beneficii ……………………………50
Total ……………………………….315
Vîndut ramurii A ..........................40
Vîndut ramurii C ..........................60
Vîndut ramurii D ..........................90
Vîndut populației ..........................95
Stoc la sfîrşit..................................30
Total.............................................315
Debit Contul ramuri C Credit
Stoc iniţial…………………..20
Cumpărat de la ramura A .......120
Cumpărat de la ramura B …… 60
Cumpărat de la ramura D ….. 100
Salarii........................................120
Beneficii...................................100
Total .........................................520
Vîndut ramurii A….. 100
Vîndut ramurii B….. 50
Vîndut ramurii D….. 110
Vîndut populaţiei…. 200
Stoc la sfirşit .......................................60
Total ....................................................520
242

Debit Contul ramurii D Credit
Stoc iniţial..................................... -
Cumpărat de la ramura A …..50
Cumpărat de la ramura B …..90
Cumpărat de la ramura C …..110
Salarii ………………………150
Beneficii……………………200
Total ................................... 600
Vîndut ramurii A………………….……120
Vîndut ramurii B……………………..….70
Vîndut ramurii C…………………………100
Vîndut populaţiei…………………………..300
Stoc la sfîrşit .................................................10
Total .......................................................600
Rezultă că cea mai completă prezentare a „contului" tuturor ramurilor se realizează prin
balanţa legăturilor dintre ramuri. De menţionat că în balanţă — pe linii — figurează numai
schimbarea stocurilor, nu şi stocul la începutul şi sfîrşitul perioadei.
§ 9.4. PREZENTAREA MODELULUI. MODEL DESCHIS ȘI MODEL ÎNCHIS
Balanţa legăturilor dintre ramuri reprezintă un model economico-mate mâtic care reflectă
principalele laturi ale procesului de reproducţie. în aces model producţia fiecărei ramuri notată cu
Xi (1=1,2,…,n) este descompusă pe elementele de destinaţie: consumuri pentru producţie proprie
şi pentru producţia altor ramuri ale producţiei materiale cuprinse în balanţă, consum neproductiv
— individual şi social, acumulare, rezerve, export.
Dacă notăm cu Xij (j = 1, 2 , . . . , n) partea din producţia ramurii i care se consumă productiv
într-o anumită perioadă în ramura j şi cu yi partea din producţia ramurii i consumată
neproductiv, destinată acumulării, creşterii rezervelor şi exportului, atunci producţia ramurii i se
poate scrie sub forma unei ecuaţii:
Xi = x11+x12+…+x1n+y1 (9.1.1)
Pentru i — 1,2, ..., n se obţine un sistem de ecuaţii care caracterizează relaţiile de producţie-
consum la nivelul economiei naţionale :
X1=x11+x12+…+x1n+y1
X2=x21+x22+…+x2n+y2
………………………………… (9.1.2)
Xn=xn1 +xn2+…+xnn+yn
Elementele x ij se numesc fluxuri interramuri, iar y i - produs final. Ele pot fi prezentate sub
forma unei scheme input-output propusă de W. Leontief:
243

Tabelul 9.2.
SCHEMA BALANŢEI LEGĂTURILOR DINTRE RAMURI
X1
X2
.
.
.
.
Xn
F Producţia
Fluxuri interramuri Produs final
X11 X21 … X1n
X21 X22 … X2n
. . .
. . .
. . .
. . .
Xn1 Xn2 … Xnn
Partea de mijloc a schemei este matricea fluxurilor dintre ramuri, care se poate întocmi în
două moduri. Dacă în producţia fiecărei ramuri nu se include consumul propriu xii elementele
diagonalei principale vor fi nule (xii = 0), iar producţia fiecărei ramuri Xi se va micşora cu
această mărime, în acest caz, matricea fluxurilor interramuri se numeşte matricea producţiei
nete. Dacă consumurile proprii se includ în producţia ramurilor respective, elementele xii vor fi
mai mari ca zero, iar matricea fluxurilor interramuri se numeşte matricea producţiei brute.
Această matrice descrie mai complet structura producţiei şi de aceea are o valoare practică mai
mare decоt matricea producţiei nete.
În schema balanţei legăturilor dintre ramuri prezentată în tabelul 9.1. sînt cuprinse numai
ramurile producţiei materiale. Produsul final este determinat în afara sistemului, de unde
denumirea de sistem deschis.
Un alt mod de tratare a legăturilor dintre ramurile economiei naţionale constă în includerea
tuturor activitătilor ca ramuri ale balanţei, indifferent de caracterul lor. Aceasta presupune ca toţi
parametrii să se determine în interiorul sistemului, și din acest motiv el poartă denumirea de
sistem închis. În acest sistem, în afară de cele n ramuri ale producţiei materiale, se mai introduc
ca ramuri comerţul exterior, administraţia publică şi populaţia (consumatori individuali). Pentru
fiecare dintre aceste ramuri sînt prevăzute o linie şi o coloană. Pe linia corespunzătoare ramurii
„comerţul exterior" sînt înregistrate importurile de produse, iar pe coloana respectivă sînt
înregistrate exporturile de produse. Linia corespunzătoare ramurii „administraţia publică"
reprezintă serviciile administrative prestate altor ramuri, care se exprimă prin totalul taxelor şi
impozitelor, iar coloana respectivă reprezintă cheltuielile făcute de această ramură. În sfîrşit, pe
linia corespunzătoare ramurii „populaţie" sînt cuprinse serviciile efectuate celorlalte ramuri, iar
244
Y1
Y2
.
.
.
Yn

pe coloană apar costurile acestor servicii. Ecuaţiile de balanţă pentru sistemul închis reprezintă
un sistem de forma :
Considerînd că numărul ramurilor incluse în balanţă este egal cu n, modelul matematic al
sistemului închis este reprezentat de următorul sistem de n ecuaţii omogene cu n necunoscute :
sau sub forma matricială :
următor.
A • X = X.
Modul de calcul al coeficienţilor aij şi conţinutul lor economic se va trata în paragraful
În baza celor de mai sus, este evident că:
sau
1)Suma coificienţilor dintr-o coloană este egală cu 1, adică:
2) suma totalurilor pe coloane este egală cu suma totalurilor pe linii, adică:
Modelul se mai poate scrie ca:
(1- )
…………………………………….
Soluţia sistemului există numai dacă determinantul matricei (I — A) este nul, adică:
(I — A) — 0. Aceasta este o soluţie particulară.
În general, valorile absolute ale necunoscutelor nu se pot determina. Prin rezolvarea
sistemului se obţin proporţiile dintre necunoscutele X1, X 2, . .., X n (producţia globală a
245

amurilor). Dacă în soluţie se introduc anumite valori date, celelalte necunoscute se pot obţine ca
funcţii ale acestei valori.
Pentru echilibrarea sistemului închis, suma livrărilor fiecărei ramuri trebuie să fie egală cu
suma cheltuielilor. Aceasta înseamnă că cheltuielile administraţiei de stat şi cele ale populaţiei,
pentru un anumit produs, sînt proporţionale cu veniturile, iar volumul exportului depinde de
volumul importului. Aceste premise fac ca modelul închis să nu reflecte fidel realitatea.
Volumul producţiei fiecărei ramuri se poate exprima în unităţi naturale sau în unităţi
valorice şi, ca urmare, vom deosebi balanţa legăturilor dintre ramuri în expresie naturală şi
balanţa legăturilor dintre ramuri în expresie valorică. Precizăm că în expunerea care urmează ne
vom referi la sistemul deschis.
§ 9.5. MODELUL BALANŢEI LEGĂTURILOR DINTRE RAMURI ÎN EXPRESIE
NATURALĂ
Într-o balanţă în care producţia este exprimată în unităţi naturale, fiecare rînd al schemei
prezentate în tabelul 9.1 se referă la un produs. Cu toate acestea, şi balanţa în expresie naturală
se numeşte uzual balanţa legăturilor dintre ramuri. Vom nota cu Qi volumul producţiei
produsului i, cu qij (1, j = 1 , 2 , . . . , n) partea din producţia Qi consumată în perioada respectivă
pentru fabricarea produsului j şi cu qi partea destinată consumului neproductiv, acumulărilor,
rezervelor şi exportului. Cantităţile qij se mai numesc fluxuri de produse, iar cantităţile qi -
produse finale. Aceste elemente formează o schemă asemănătoare cu cea prezentată în tabelul
9.2.
Tabelut 9.3.
Producţie Fluxuri de produse Prodis final
…
. . . . . . .
….
246

Ultima linie a acestei scheme se referă la forţa de muncă. Astfel, Qn+1 reprezintă volumul
total al forţei de muncă, qn+l,i — forţa de muncă folosită pentru producerea produsului i, iar qn+1
— forţa de muncă ocupată în sfera neproductivă şi forţa de muncă în rezervă.
Trebuie precizat că nu se poate efectua însumarea elementelor pe coloană, deoarece ele se
referă la produse diferite. De aceea exprimarea matematică a legăturilor dintre produse nu se
poate face decît prin folosirea unor relaţii de tipul (9.1.2).
…………………………………..
(9.1.1)
Aceste relaţii se numesc ecuaţii de repartizare a producţiei. Sistemul de ecuaţii (9.1.1) se
poate scrie şi prescurtat, astfel:
(9.1.2)
De asemenea, pentru elementele din ultima linie, care se referă la forţa de muncă, se poate
scrie o relaţie de balanţă de forma:
(9.1.3)
Pentru ca procesul de producţie în cadrul economiei naţionale să se desfăşoare fără
întreruperi, trebuie respectate anumite proporţii între cantităţile diferitelor produse. Aceste
proporţii se stabilesc în funcţie de condiţiile tehnologice ale producţiei, care se exprimă cu
ajutorul coeficienţilor tehnologici ai producţiei. Aceşti coeficienţi se calculează folosind
formula:
şi arată ce cantităţi din produsul i se consumă pentru a produce o unitate din produsul j.
(9.1.4)
Coeficienţii tehnologici arată ce cantitate din produsul i se consumă pentru fabricarea
unei unităţi din acelaşi produs.
Coeficientul tehnologic:
arată ce cantitate de forţă de muncă se consumă pentru a produce o unitate din produsul j.
(9.1.5)
Pentru o balanţă cu n ramuri se pot calcula n 2 coeficienţi, deoarece ei se stabilesc pentru
fiecare pereche de indici i şi j. În practica planificării şi conducerii producţiei se folosesc şi
coeficienţi tehnologici, stabiliţi pe baza cunoaşterii proceselor tehnologice în funcţie de
condiţiile tehnice de producţie. Aceşti coeficienţi se numesc norme tehnice de consum.
Din relaţia (9.1.4) se pot determina fluxurile de produse în funcţie de coeficienţii
247

tehnologici şi producţia ramurii j:
următor:
(9.1.6)
Ecuaţiile de repartizare a producţiei (9.1.2) se pot scrie, ţinînd seama de (9.1.6) în felul
sau dezvoltat:
……………………………………………
(9.1.7)
(9.1.8)
Sistemul de ecuaţii (9.1.8) constituie modelul matematic al balanţei legăturilor dintre ramuri
şi stă la baza elaborării acestei balanţe.
Coeficienţii tehnologici caracterizează legăturile directe dintre produse, şi de aceea se
numesc coeficienţi ai consumurilor directe. Aceşti coeficienţi se pot aranja într-un tabel cu n linii
şi n coloane, obţinîndu-se în acest fel o matrice a coeficienţilor consumurilor directe, pe care o
notăm cu A q :
Dacă se cunosc numai coeficienţii consumurilor directe, atunci sistemul de ecuaţii (9.1.8) are
n ecuaţii de gradul întîi, cu 2n necunoscute:
Rezolvarea sistemului de ecuaţii (9.1.8) necesită cunoaşterea, în afară de cea a coeficienţilor
consumurilor directe, a încă n valori dintre cele 2n necunoscute. în funcţie de datele pe care le
avem la dispoziţie în legătură cu - producţia şi consumul celor n produse incluse în balanţă, apar
următoarele situaţii:
a) Se cunosc din plan mărimile reprezentînd volumul producţiei determinate de capacităţile
de producţie existente, cerîndu-se să se stabilească produsele finale qi.
Răspunsul la această problemă se obţine rezolvînd sistemul:
care se obţine din (9.1.8) şi conţine în acest caz n ecuaţii cu n necunoscute.
(9.1.9)
b) Prin plan sînt stabilite mărimile reprezentînd volumul producţiei pentru produse şi
produsele finale pentru celelalte produse ( ). Deoarece sistemul de ecuaţii (9.1.8)
va avea tot n necunoscute. În acest caz, se pune problema să se determine produsul final al celor
nx produse şi volumul producţiei pentru celelalte produse ( ).Soluţia acestei probleme se obţine
248

tot din rezolvarea sistemului de ecuaţii (9.1.8).
c) Prin planul economic se stabilesc consumurile finale ale tuturor produselor cuprinse оn
balanţă, urmоnd să se determine cantitatea fabricată din fiecare produs. Pentru rezolvarea acestei
probleme se pleacă tot de la sistemul de ecuaţii (9.1.10) care se poate scrie astfel:
sau sub formă condensată:
(9.1.10)
(9.1.11)
Se observă că în sistemul de ecuaţii (9.1.12) coeficienţii necunoscutelor formează matricea
(I — A q ):
Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii (9.1.10) se determină volumul producţiei fiecărui
produs. Folosind regula lui Cramer, obţinem:
(9.1.12)
unde: D este determinantul matricei (I — A q ), iar Di este acelaşi determinant în care coloana
coeficienţilor necunoscutei Qi (coloana i) se înlocuieşte cu termenii liberi q i . Dezvoltînd
determinantul D i după minorii elementelor de pe coloana i, se obţine:
Deci relaţia (9.1.12) se poate scrie:
Rezultă că volumul producţiei Q i se obţine înmulţind consumul final q k
din fiecare produs cu o constantă
și însumînd aceste elemente.
(9.1.13)
(9.1.14)
Pentru a stabili conţinutul economic al acestor constante se consideră consumul final din
fiecare produs egal cu o unitate, în care caz relaţia devine :
Dacă în ramura k consumul final este de două unităţi, relaţia v a f i :
De aci rezultă că prin coeficientul
(9.1.14)
(9.1.18)
se stabileşte ce cantitate din produsul i este necesară
249

pentru creşterea consumului final q k cu o unitate. Deci, în cazul creşterii consumului final q h al
ramurii k cu o unitate, producţia fiecărui produs i (i = 1 , 2 , . . . , n) trebuie să crească, ca
urmare a legăturilor reciproce dintre ele, cu :
. Aceşti coeficienţi se numesc
coeficienţi ai consumurilor integrale (totale). Pentru toate valorile lui k (k = = 1 , 2 , . . . , n)
coeficienţii de mai sus formează o matrice, care se numeşte matricea coeficienţilor consumurilor
totale şi pe care o vom nota cu B q = .
astfel:
Soluţia sistemului de ecuaţii (9.1.10) se obţine folosind coeficienţii cheltuielilor totale,
…………………………………
(9.1.17)
În acest sistem, b11 arată cu cît trebuie să crească producţia primului produs, pentru a asigura
creşterea consumului final al produsului 1 cu o unitate; b12 arată cu cît trebuie să crească
producţia primului produs pentru a asigura creşterea consumului final al produsului 2 cu o
unitate etc. Deci, volumul de producţie al fiecărui produs depinde de volumul consumului final.
Coordonarea internă a planului economic nu depinde însă de volumul planificat al consumului
final, ci numai de structura lui internă.
Sistemul de ecuaţii (9.1.17) se poate scrie condensat astfel:
(9.1.18)
Concluzia care s-a degajat pe baza relaţiei (9.1.17) se confirmă plecînd de la relaţia (9.1.18)
pe vare o scriem sub altă formă:
Mărind consumul final al produsului k cu o unitate, se va obţine o creştere Qi a volumului
de producţie al produsului i :
De aici rezultă că la o creştere cu o unitate a consumului final al produsului k, volumul de
producţie al produsului i va creşte cu Qi = bik . Dacă consumurile finale ale tuturor produselor
se modifică cu q 1 , Aq2, . . . qn, atunci volumul de producţie al produsului se modifică c u :
250

Prin urmare, dacă ramura i reprezintă extracţia cărbunelui, fiecare coeficient =
(1 , 2 , . . . , n) poate fi numit coeficient de folosire a cărbunelui în diferite ramuri de producţie.
Dacă consumul final qk de oţel creşte cu o tonă, volumul producţiei la cărbune va creşte cu bik .
În sfîrşit, se poate stabili că coeficienţii b ik sînt derivatele parţiale ale volumului de
producţie Q i în raport cu producţia finală q k :
De asemenea, se poate arăta că aceşti coeficienţi ai consumurilor totale sînt elemente
ale matricei , adică:
Deci, sistemul de ecuaţii (9.1.10) se poate scrie sub formă matricială în felul următor:
(9.1.19)
unde (I — A q ) este o matrice pătrată, iar Q şi q sînt vectori coloană ai volumului de producţie
şi respectiv ai consumului final. Sistemul (9.1.19) se rezolvă folosind inversa matricei (I - A q ),
adică matricea consumurilor totale :
care, scris sub formă dezvoltată, reprezintă tocmai sistemul de ecuaţii (9.1.17).
Pînă aici s-au rezolvat probleme legate de repartizarea producţiei fiecărei ramuri,
concretizată prin ecuaţiile de balanţă ale producţiei. Modelul matematic al balanţei legăturilor
dintre ramuri poate fi utilizat şi pentru rezolvarea unor probleme cu privire la forţa de muncă.
Ecuaţia de balanţă a forţei de muncă (9.1.3) poate fi scrisă sub altă formă dacă se ţine seama
de coeficienţii tehnici ai forţei de muncă
Înlocuind în acestă ecucaţie cu valoarea lui dacă de (9.5.18) obţinem :
De unde:
(9.1.20)
Rezultatul obţinut se interpretează în felul următor : creşterea consumului final în ramura k
cu o unitate determină creşterea necesarului de forţă de muncă cu :
(9.1.21)
251

La rîndul său, creşterea producţiei impune sporirea forţei de muncă, ocupate în ramurile
producţiei materiale, cu mărimea rezultată din relaţia (9.1.21). De exemplu, dacă consumul final
de oţel (qk) trebuie să crească cu o unitate, atunci trebuie mărită şi producţia de minereu, cărbune
etc. Dar aceste creşteri ale producţiei cer sporirea necesarului de forţă de muncă. Creşterea totală
a cererii pentru forţa de muncă, ca urmare a creşterii consumului final q k cu o unitate, se exprimă
prin relaţia:
Deci, balanţa legăturilor dintre ramuri permite să se analizeze influenţa creşterii (scăderii)
producţiei mijloacelor de producţie şi a obiectelor de consum asupra gradului de ocupare a forţei
de muncă.
stabili:
De asemenea, pe baza modelului matematic al balanţei legăturilor dintre ramuri se pot
a) proporţiile care asigură coordonarea internă a planului şi continuitatea procesului de
reproducţie;
b) influenţa, modificării consumului final dintr-o ramură asupra volumului producţiei în
toate ramurile;
c) influenţa modificării consumului final dintr-o ramură asupra creşterii gradului de ocupare
a forţei de muncă în cadrul economiei naţionale.
§ 9.6. MODELUL BALANŢEI LEGĂTURILOR DINTRE RAMURI ÎN EXPRESIE
VALORICĂ
§ 9.6.1. SCHEMA ŞI MODELUL MATEMATIC
Producţia fiecărei ramuri este eterogenă şi de aceea pentru caracterizarea întregii activităţi de
producţie este necesară exprimarea valorică a producţiei.
Balanţa legăturilor dintre ramuri în expresie valorică aduce un plus de informaţii în
domeniul obiectului respectiv, deoarece cuprinde un număr mai mare de produse decît balanţa în
expresie naturală. Precizăm că în expunerea ca re urmează vom considera că fiecare ramură este
formată din produse omogene. Această problemă se va trata mai dezvoltat în capitolul 3.
Pentru a înţelege mai uşor modelul matematic al balanţei legăturilor dintre ramuri în
expresie valorică, precum şi posibilităţile de folosire a ei în
252

analiza economică, este necesar să analizăm schema balanţei legăturilor dintre ramuri, în
expresie valorică.
Balanţa valorică se prezintă ca un tabel-şah, în care fiecărei ramuri îi este destinată o linie şi
o coloană (vezi tabelul 9.4).
Liniile reflectă repartiţia produsului global pentru consum productiv curent şi pentru consum
final, iar coloanele cheltuielile materiale ale fiecărei ramuri. De asemenea, în fiecare coloană
apar ca elemente distincte cheltuielile pentru plata muncii, precum şi plusprodusul.
Deci, fiecare coloană caracterizează structura valorică a produsului global al fiecărei ramuri.
După cum se vede din schema prezentată în tabelul 9.4., balanţa valorică are patru cadrane.
Fiecare cadran caracterizează diferite aspecte ale reproducţiei lărgite însă, în ansamblu, ele se
condiţionează reciproc.
Cadranul I reflectă legăturile reciproce ale ramurilor economiei naţionale în procesul
producţiei materiale. Astfel, pe linii se poate urmări repartizarea producţiei fiecărei ramuri către
toate ramurile cuprinse în balanţă, iar pe coloane structura cheltuielilor materiale. în acest cadran
se cuprinde numai consumul de obiecte de muncă, deci totalul pe linii indică volumul din
producţia ramurii respective, destinat să compenseze obiectele muncii consumate în toate
ramurile. De asemenea, trebuie precizat că totalul obţinut pe fiecare linie nu este egal cu cel
obţinut pe coloana corespunzătoare, ele avînd conţinut economic diferit.
Cadranul II reflectă structura produsului final din fiecare ramură, deci utilizarea acestuia
pentru: consum neproductiv (individual şi social), investiţii şi reparaţii capitale, creşterea
rezervelor şi a stocurilor, export, acoperirea pierderilor. La nivelul economiei naţionale, din
cadranul II rezultă folosirea venitului naţional pentru acumulare şi pentru consum; ca atare, el
reflectă procesul reproducţiei lărgite. Tot în cadranul II se reflectă şi procesul reproducţiei
simple a uneltelor de muncă.
Cadranul III caracterizează structura valorică a venitului naţional după repartiţia primară
(veniturile primare ale populaţiei şi veniturile primare ale statului). De asemenea, el oglindeşte,
la nivelul fiecărei ramuri, elementele valorice ale reproducţiei simple a fondurilor fixe —
amortizarea. Funcţionarea unui fond fix este însoţită de procesul de ieftinire sau perfecţionare a
fondurilor fixe în general, ceea ce face ca suma amortizărilor să permită crearea unui volum mai
mare de fonduri fixe sau a unor fonduri fixe mai perfecţionate. Deci, chiar dacă amortizarea
reflectă uzura reală, ea este un element al reproducţiei lărgite şi se include în cadranul III.
Cadranul IV reflectă unele procese de redistribuire a venitului naţional între sfera productivă
şi cea neproductivă a economiei naţionale, făcînd legătura între veniturile primare, care figurează
în cadranul III, şi utilizarea finală a venitului naţional, caracterizată în cadranul II. De asemenea,
253

acest cadran reflectă folosirea amortizării pentru înlocuirea fondurilor fixe şi pentru reparaţii
capitale.
Tabelul 9.4.
Ramura 1
Ramura 2
...........................
Ramura n
Total
Amortizarea
Total cheltuieli
materiale
Venituri primare
ale populaţiei
Salarii
Venituri primare
ale sectorului
cooperatist
Alte venituri
Venituri primare
ale statului
Impozitul pe cir-
culaţia mărfuri-
lor,beneficii etc.
Total produs net
Produs global
Consum productive
curent pe ramuri
R
a
m
u
r
a
1
R
a
m
u
r
a
2
...
R
a
m
u
r
a
n
T
o
t
a
l
social
Cre
şterea
sto
cur
ilor
şi
rez
erv
elo
r
Acu
mul
are
a
şi
înlo
cui
rea
fon
dur
ilor
fixe
I II
III
Utilizarea produsului final
Consum
Neproduc
-tiv
Partea cea mai importantă a balanţei valorice este cadranul I. Legăturile care există între
elementele acestui cadran stau la baza elaborării modelului matematic al balanţei legăturilor
dintre ramuri în expresie valorică. Vom nota cu Pl, P 2 , . . . , P n , plusprodusul obţinut în fiecare
ramură şi cu S 1 , S2 , . . . , S n cheltuielile privind forţa de muncă în fiecare ramură. Introducînd
Per
sonal
IV
Alte
con
su
muri
Pie
rde
ri
din
pro
duc
ţie
Sol
dul
co
merţul
ui
ext
erior
Tot
al
pro
dus
final
Pro
dus
glo
bal
254

o serie de simplificări asupra cadranului II şi III, vom obţine următoarea schemă a balanţei
legăturilor dintre ramuri:
Tabelul 9.5.
Produsul global Fluxuri interramuri Produs final
Amortizarea
Fondul de salarii
Plusprodusul
Produsul global
. . .
. . .
. . .
. . .
După cum s-a arătat prin însumarea elementelor pe fiecare linie se obţin ecuaţiile de
repartizare a producţiei :
(9.2.1)
Exprimarea valorică permite însumarea elementelor fiecărei coloane, obţinîndu-se un sistem
de ecuaţii de forma:
(9.2.2)
Aceste relaţii exprimă legătura dintre produsul global şi cheltuielile de producţie efectuate
pentru obţinerea producţiei; de aceea, ele poartă denumirea de ecuaţii ale cheltuielilor de
producţie.
În cele ce urmează vom considera că toate mijloacele de producţie au fost consumate
productiv într-o singură perioadă; deci, vom face abstracţie de amortizări. Ca urmare, relaţia
(9.2.2) se va scrie astfel:
(9.2.3)
Din această ecuaţie se obţine uşor valoarea plusprodusului ca diferenţă între produsul global
şi cheltuielile de producţie ale ramurii respective, adică :
(9.2.4)
Comparînd ecuaţiile de repartizare a producţiei (9.2.1) cu ecuaţiile cheltuielilor de producţie
(9.2.3), se constată că produsul global Xi se poate obţine prin însumarea elementelor de pe rîndul
255

i, sau ca sumă a elementelor din coloana i a schemei dezvoltate a balanţei legăturilor dintre
ramuri (pentru i = j). De aici se deduce relaţia:
Sumele:
(9.2.5)
nu se reduc, deoarece în prima sumă totalizarea se face pe
linie, iar în a doua, aceasta se face pe coloanele matricei fluxurilor dintre ramuri. Cele două sume
au un singur element comun, xji, care reprezintă partea din producţia ramurii i consumată în
cadrul aceleiaşi ramuri. Dacă excludem aceste elemente din ambele sume cuprinse în relaţia
(9.2.5). obţinem :
(9.2.6)
care se numesc ecuaţii de echilibru ale fluxurilor dintre ramuri. Aceste ecuaţii arată că
producţia, exprimată valoric, din ramura i livrată altor ramuri
în car se adaugă
produsul final al acestei ramuri (yi ), este egală cu valoarea producţiei primită de ramura i de la
alte ramuri
ramură şi plusprodusul ramurii i (Pi).
la care se adaugă cheltuielile privind forţa de muncă ocupată în această
Suma reprezintă valoarea nou creată în ramura i, deci se poate spune că pentru
fiecare ramură fluxul de producţie către alte ramuri la care se adaugă produsul final este egal cu
fluxul producţiei din alte ramuri plus valoarea nou creată.
sau
Din cele expuse pînă aici rezultă că produsul social se poate calcula în două moduri.
1. Ca sumă a elementelor din fiecare linie
2. Ca sumă a elementelor din fiecare coloană
Indiferent de metoda de calcul, se obţine aceeaşi valoare a produsului social, adică:
(9.2.7)
(9.2.8)
(9.2.9)
Se observă că sumele duble din partea stingă şi partea dreaptă a relaţiei (9.2.9) sînt egale,
deoarece fiecare dinţre ele reprezintă suma tuturor elementelor din matricea fluxurilor înttre
ramuri. Deci, excluzînd din relaţia (9.2.9) cele două sume, se obţine:
Suma din stînga relaţiei
(9.2.10)
reprezintă partea din produsul social care iese din sfera
consumului productiv (fluxurilor între ramuri). Ea poartă denumirea de produs social final.
256

În partea dreaptă avem cheltuielile privind forţa de muncă ocupată în sfera producţiei
şi suma:
care reprezintă plus produsul obţinut pe întreaga economie naţională.
Se poate spune că partea dreaptă a relaţiei (9.2.10) este tocmai venitul naţional creat în
perioada la care se referă balanţa. În acest fel s-a stabilit că produsul social final
reprezintă venitul naţional.
Dacă s-ar fi ţinut seama de amortizare, produsul final pe ansamblul economiei naţionale
ar fi egal cu venitul naţional plus amortizarea:
În sistemul ecuaţiilor de repartizate a producţiei (9.2.1), elementele se pot exprima în
funcţie de mărimile constante , care se calculează ca raport între fiecare element al coloanei j
şi produsul global al ramurii j:
(9.2.11)
Coeficienţii se numesc coeficienţi ai cheltuielilor directe şi arată cîţi lei se consumă din
producţia ramurii i, pentru producţia în valoare de 1 leu a ramurii j. Din relaţia (9.2.11) rezultă:
sau
Înlocuind relaţia (9.2.12) în (9.2.1), obţinem următorul sistem de ecuaţii:
Acest sistem se poate scrie sub formă matricială astfel:
(9.2.12)
(9.2.13)
(9.2.14)
(9.2.15)
În relaţiile (9.2.14) şi (9.2.15), X reprezintă un vector coloană ale cărui componente sînt
produsele globale ale fiecărei ramuri, A este matricea coeficienţilor cheltuielilor directe, iar y
vectorul coloană al produsului final.
După cum s-a arătat, sistemul (9.2.15) se rezolvă folosind inversa matricei (I-A):
Dacă notăm cu relaţia (9.2.16) devine:
(9.2.16)
(9.2.17)
257

Matricea B este matricea coeficienţilor cheltuielilor totale. Elementul acestei matrice
arată cu cît trebuie să crească producţia ramurii i pentru a asigura creşterea cu o unitate a
produsului final în ramura j.
În mod similar se determină creşterea cheltuielilor privind forţa de muncă care corespunde
creşterii cu o unitate valorică a produsului final în ramura:
reprezintă fondul de salarii al sferei neproductive.
Ţinînd seama de legătura dintre produsul total şi produsul final, dată prin relaţia (9.2.17)
şi de ecuaţia vectorială a produsului final:
în care
sau
Ya este vectorul producţiei folosite pentru acumulare;
Yc — vectorul producţiei folosite pentru consumul neproductiv;
Yf — vectorul producţiei folosite pentru sporirea rezervelor;
— vectorul producţiei exportate, în baza relaţiei (9.2.17) şi (9.2.18), rezultă:
X = B(Y a + Yc + , + )
X = BYa + BYa + BYC + BYe
în care
(9.2.18)
În această relaţie, fiecare termen din partea dreaptă arată care trebuie să fie producţia fiecărei
ramuri a economiei naţionale, pentru a se obţine volumul planificat de acumulare, de consum
neproductiv, de sporire a rezervelor şi de export.
Planificarea produsului final Y se face pe elementele componente, ţinînd seama de destinaţia
lor. Astfel, fondul de acumulare (Ya ) şi fondul destinat creşterii rezervelor (Yr ) reprezintă acea
parte a venitului naţional care se foloseşte pentru lărgirea producţiei, creşterea rezervelor şi
stocurilor şi creşterea fondurilor neproductive. După structura materială, aceste elemente se
compun din mijloace de producţie şi bunuri de consum acumulate. Partea cea mai însemnată este
destinată sporirii fondurilor de producţie şi, în special, creşterii fondurilor fixe care, după cum se
ştie, determină ritmul reproducţiei lărgite.
Consumul neproductiv cuprinde volumul de bunuri materiale utilizate pentru consumul
individual al populaţiei, pentru întreţinerea instituţiilor şi organizaţiilor neproductive şi ca atare
calculul fondului de consum neproductiv se face pe principalele componente. Consumul
individual, după structura materială, se compune din produse alimentare şi nealimentare, din
produse care se folosesc o singură dată sau din produse de folosinţă îndelungată. Volumul
consumului din produsele care se folosesc o singură dată se consideră egal cu volumul
258

cumpărărilor. Pentru produsele de folosinţă îndelungată ar trebui să se includă în calcul numai
valoarea uzurii anuale, însă cum această problemă nu poate fi rezolvată, în volumul consumului
se cuprinde tot valoarea cumpărărilor. Fac excepţie fondurile de locuinţe şi alte fonduri fixe
neproductive la care se calculează valoarea uzurii anuale.
La întocmirea balanţei legăturilor dintre ramuri trebuie să se arate structura materială a
acumulării, a consumului neproductiv şi a exportului.
Calculul consumului populaţiei pe ramurile balanţei se face pe baza datelor statistice
existente cu privire la volumul comerţului cu amănuntul, balanţa produselor agricole, balanţa
veniturilor şi cheltuielilor populaţiei, bugetele de familie etc.
De asemenea se poate calcula pe baza datelor existente şi consumul neproductiv al
organizaţiilor şi instituţiilor în care se includ cheltuielile legate de funcţionare şi exploatare a
acestor unităţi.
§ 9.6.2. CAZURI PARTICULARE
După cum s-a arătat, la baza modelului matematic al balanţei legăturilor dintre ramuri, stă
matricea coeficienţilor cheltuielilor (consumurilor) directe. Legătura dintre două ramuri oarecare
i şi j ale economiei naţionale se caracterizează cu ajutorul coeficienţilor cheltuielilor directe
Dacă coeficienţii sintetici sînt diferiţi de zero, între ramurile i şi j există
legături în ambele sensuri. În cazul unei balanţe cu un număr mare de ramuri, o parte din
elementele matricei A sînt nule. În vederea reducerii volumului de muncă necesar rezolvării
modelului matematic al balanţei legăturilor dintre ramuri, este util ca liniile şi coloanele matricei
A să se aranjeze în aşa fel încît să se obţină forme cît mai simple ale matricei coeficienţilor chel-
tuielilor directe. Asemenea forme simple sînt de pildă: matricea triunghiulară degenerată,
matricea triunghiulară, matricea cvasitriunghiulară, matricea cvasidiagonală etc. 95 Ele conţin o
serie de submatrice care se pot trata independent, simultan sau succesiv.
Sistemul economic caracterizat printr-o matrice triunghiulară degenerată are următoarea
matrice a coeficienţilor cheltuielilor directe :
În acest sistem nu există consum intern productiv în cadrul ramurilor, coeficicnţii de pe
diagonala principală fiind nuli, Nu există nici legături inverse între
95 Vezi dezvoltarea în anexă.
259

amuri; există numai legături directe . Fiecare ramură primeşte produse pentru consum productiv
numai din ramurile care o preced.
Rezolvarea problemelor de planificare în acest caz nu este dificilă. Un asemenea sistem de
ecuaţii se prezintă astfel:
(9.2.19)
Fiind daţi coeficienţii şi producţiile finale sau producţiile globale Xi , sistemul se
rezolvă cu uşurinţă, începînd cu ultima ecuaţie şi înlocuind succesiv valorile găsite în celelalte
ecuaţii. De asemenea, se micşorează şi volumul de calcule necesar inversării matricei (I — A ).
Pentru o balanţă cu patru ramuri, matricea inversă este :
Elementele diagonalei principale din matricea L -1 , adică coeficienţii bii sînt egali cu 1.
Coeficienţii cheltuielilor totale sînt egali cu coeficienţii cheltuielilor directe
corespunzători . Pe măsură ce se îndepărtează de diagonala principală, cresc diferenţele
dintre coeficienţii cheltuielilor directe şi cei ai cheltuielilor totale.
Legătura dintre coeficienţii cheltuielilor totale şi coeficienţii cheltuielilor directe se
obţine prin relaţia :
Dacă există aceleaşi legături între ramuri ca în cazul precedent, însă există şi consum
productiv intern, matricea coeficienţilor cheltuielilor directe este o matrice triunghiulară.
260

Elementele diagonal ale matricei coeficientilor chiltuielilor totale sint
nediagonale se calculeaza cu ajutorul relației:
În acest caz, sistemul ecuaţiilor de repartizare a producţiei se prezintă astfel:
mai sus.
iar elementele
Rezolvarea sistemului de ecuaţii (9.2.20) este asemănătoare cu cea a sistemului (9.2.19).
(9.2.20)
Matricea coeficienţilor cheltuielilor totale pentru o balanţă cu patru ramuri este prezentată la
Coeficienţii cheltuielilor directe formează o matrice cvasitriunghiu ară, dacă se pot aranja
într-un tabel de forma :
în care A , B , C, . . ., N sînt submatrice pătrate. Toate celelalte elemente ale matricei, care nu
aparţin acestor submatrice şi se găsesc dedesubtul diagonalei principale, sînt nule.
Soluţiile ecuaţiilor, ai căror coeficienţi se găsesc în submatricea A, depind numai de
elementele acestei submatrice. Soluţiile ecuaţiilor, ai căror coeficienţi se găsesc în submatricea B
depind de elementele submatricelor A, B şi C şi aşa mai departe. în final, soluţiile ecuaţiilor, ai
căror coeficienţi se găsesc în submatricea N, depind de elementele tuturor submatricelor.
Deci, ecuaţiile ai căror coeficienţi formează o matrice cvasitriunghiulară se rezolvă treptat,
prin rezolvarea subsistemelor de ecuaţii, începînd cu ultimul, ai cărui coeficienţi formează
matricea A şi aşa mai departe, pînă se găsesc toate cele n necunoscute.
261

Dacă, de pildă, se pot forma trei grupe de ramuri, matricea (I — A) se prezintă astfel:
iar matricea inversă este:
În cazul general, elementele matricei coeficienţilor cheltuielilor totale se pot calcula cu
ajutorul relaţiei:
Cînd coeficienţii sistemului economic formează o matrice cvasidiagonală
în care A 11, A 22, . . . , Akk sînt submatrice pătrate (celelalte elemente fiind nule), sistemul
ecuaţiilor de repartizare se descompune în subsisteme independente între ele. Fiecăruia îi
corespunde o submatrice a coeficienţilor cheltuielilor directe : A 11, A 22, ..., A kk.
Dacă matricea coeficienţilor cheltuielilor directe este o matrice cvasidiagonală, matricea
inversă este :
§ 9.6.3. AJUSTAREA COEFICIENŢILOR TEHNOLOGICI
Schema şi modelul matematic al balanţei legăturilor dintre ramuri prezentate mai înainte se
referă la relaţii de producţie curente. Acesta este un model static, care presupune că se menţine
aceeaşi structură tehnică a producţiei pentru mai mulţi ani. Stabilirea în timp a coeficienţilor
consumurilor directe implică o serie de simplificări. Astfel, dacă se dă producţia unei ramuri ,
fluxurile interramuri se calculează prin relaţia cunoscută . Acest mod de tratare a
,
,
.
,
262

problemei nu ţine seama de faptul că, în unele ramuri, capacităţile de producţie pot fi limitate. De
asemenea, se consideră că structura cheltuielilor de producţie rămîne neschimbată chiar dacă se
schimbă structura internă a producţiei. Aceasta înseamnă că în unele cazuri funcţia reală a
cheltuielilor
o înlocuim cu şi, ca urmare, coeficientul empiric
care se foloseşte în calcule, este diferit de coeficientul real . Pentru a elimina erorile care
apar datorită ipotezei stabilităţii coeficienţilor consumurilor directe, este necesar să se stabilească
limitele perioadei în care coeficienţii ai j se consideră constanţi. Un alt procedeu constă în în-
locuirea valorilor medii a coeficienţilor cu valori care rezultă din funcţia :
în care şi reprezintă modificarea producţiei în ramuria j şi, respectiv, modificarea
fluxurilor dintre ramuri. Dacă aceste modificări sînt mici şi se referă la perioade de timp prea
scurte, atunci funcţia producţiei totale se reduce la o linie frîntă. Partea dificilă a acestei rezolvări
o constituie stabilirea elementelor , care reprezintă creşterea livrărilor din ramura i în
ramura j, determinată de sporul producţiei .
Un alt procedeu prin care se atenuează rigiditatea modelului balanţei legăturilor dintre
ramuri constă în aproximarea succesivă a funcţiei producţiei totale. Considerînd că modificarea
produsului final în fiecare ramură este , se pune problema să se determine
influenţa acestor modificări asupra producţiei globale a fiecărei ramuri: . Prima
aproximaţie se obţine cu ajutorul relaţiei:
care reprezintă influenţa directă a produsului final. În etapele următoare se
determină:
care reprezintă producţia suplimentară a ramurii i, necesară
pentru asigurarea creşterii produsului final în toate ramurile cuprinse în balanţă.
Mărimile
se calculează astfel:
Valorile obţinute în etapa precedentă reprezintă creşteri ale produsului final, cărora le
corespund creşteri ale producţiei fiecărei ramuri, egale cu :
263

După iteraţia k se obţin următoarele creşteri ale producţiei:
După fiecare iteraţie, valorile Ay. se micşorează, iar după un anumit număr de iteraţii
mărimea lor este neglijabilă. De aceea, numărul de iteraţii se stabileşte în funcţie de precizia
dorită de planificator. Modificarea producţiei provocată de creşterea produsului final se obţine
astfel:
Avantajul acestei metode constă în faptul că fiecare etapă de aproximare poate fi controlată.
Astfel se poate ţine seama de caracterul limitat al mijloacelor de producţie, de gradul de
folosire a capacităţii de producţie, de schimbarea preţurilor, prin folosirea în fiecare etapă a unei
matrice a coeficienţilor cheltuielilor directe corespunzătoare.
§ 9.7. COEFICIENŢII REPARTIZĂRII PRODUCŢIEI
Balanţa legăturilor dintre ramuri se poate examina din punctul de vedere al repartizării
producţiei, definindu-se noi coeficienţi, calculaţi prin împărţirea fluxurilor interramuri de pe
fiecare linie a balanţei la produsul global al ramurii i, adică:
Ecuaţiile de repartizare a producţiei formează următorul sistem:
264

(9.3.1)
Coeficienţii caracterizează repartizarea pe ramuri a producţiei şi au aceeaşi valoare atît
pentru balanţa în expresie naturală cît şi pentru cea în expresie valorică, deoarece:
Între coeficienţii cheltuielilor directe şi coeficienţii repartizării producţiei
există relaţia :
care, scrisă sub forma matricială devine :
în care:
H este matricea coeficienţilor repartizării producţiei;
A — matricea coeficienţilor cheltuielilor directe;
X — matricea diagonală a producţiilor globale.
În mod analog se poate scrie:
Rezultă că între coeficienţii de repartizare şi coeficienţii cheltuielilor dirccte există o
dependenţă reciprocă: modul de repartizare a producţiei este dat prin structura costurilor de
producţie, iar o anumită structură a consumurilor condiţionează un anumit mod de repartizare a
producţiei.
Notînd cu valoarea nou creată în ramura în baza sistemului (9.3.1) se
poate întocmi următoarea schemă a balanţei valorice :
Tabelul 9.6.
Produs global Fluxuri interramuri
Valoarea nou creată
Produs global
1 2 … n
Produs finit
265

Din sistemul de ecuaţii (9.3.1) se poate obţine produsul final al fiecărei ramuri:
Dacă notăm cu
care se poate scrie sub forma matricială:
rezultă:
Soluţia sistemului (9.3.2) se obţine din relaţia:
(9.3.2)
(9.3.3)
Pe baza balanţei prezentate în tabelul 9.6, se poate scrie în afară de sistemul de ecuaţii
(9.3.1) şi următorul sistem de ecuaţii:
sau sub formă matricială:
sau
(9.3.4)
unde H* este transpusa matricei coeficienţilor de repartizare iar V este un vector
coloană ale cărui componente reprezintă valoarea nou creată în fiecare ramură a economiei
naţionale.
Din relaţia (9.3.4) se poate deduce :
(9.3.5)
care arată ce produs global se obţine în fiecare ramură, cu tehnologia de fabricaţie dată, prin
folosirea a V unităţi de muncă vie cheltuită.
Este cunoscută din paragrafele precedente relaţia :
266

Pe baza relaţiei (9.3.5) se poate scrie :
De aici se poate stabili uşor dependenţa produsului final de valoarea nou creată :
În mod analog se poate determina şi dependenţa valorii nou create de produsul final:
(9.3.6)
(9.3.7)
Trebuie precizat că la baza calculelor şi analizelor privind balanţa legăturilor dintre ramuri
stă modelul matematic reprezentat prin sistemul (I — A )X — Y . Modelul prezentat în
expunerea de mai sus foloseşte la aprofundarea analizei economice. Relaţiile (9.3.6) şi (9.3.7)
ilustrează legătura dintre elementele cadranelor II şi III ale balanţei legăturilor dintre ramuri.
§ 9.8. ANALIZA ŞI INTERPRETAREA MATRICEI
Matricea L =(I — A ), numită şi matricea lui Minkowski-Leontief, care stă la baza
modelului matematic al balanţei legăturilor dintre ramuri, se bucură de o serie de proprietăţi
remarcabile. În cele ce urmează se vor examina unele dintre aceste proprietăţi.
1. Elementele diagonale ale matricei sînt nenegative, adică:
După cum se ştie, elementele aii reprezintă coeficienţii cheltuielilor interne ale ramurilor
economice
Coeficienţii aii trebuie să fie mai mici decît 1 deoarece altfel
producţia-marfă a ramurii ar fi nulă sau negativă, ceea ce evident este un nonsens economic.
Elementele au semnificaţia economică proprie; ele arată ponderea producţiei destinate a
fi utilizate în afara ramurii i. Ramura care nu produce nimic pentru economia naţională (pentru
care ) nu are justificare economică.
După cum se ştie, elementele aii reprezintă coeficienţii cheltuielilor interne ale ramurilor
economice
Coeficienţii aii trebuie să fie mai mici decît 1 deoarece altfel
producţia-marfă a ramurii ar fi nulă sau negativă, ceea ce evident este un nonsens economic.
Elementele au semnificaţia economică proprie; ele arată ponderea producţiei destinate a
fi utilizate în afara ramurii i. Ramura care nu produce nimic pentru economia naţională (pentru
care ) nu are justificare economică.
Întrucît coeficienţii consumurilor interne satisfac condiţia elementele
diagonale ale matricei L trebuie să satisfacă condiţia :
267

2. Toate elementele nediagonale ale matricei sînt negative sau nule. Evident,
aceste elemente sînt nule atunci cînd nu există livrări între ramurile respective i şi j, adică
dacă xij = 0. Dacă există flux de produse între ramurile i şi j ,
elementele nediagonale ale matricei sînt negative.
3. Suma elementelor matricei (I — A ), aşezate în aceeaşi coloană j a schemei balanţei este
nenegativă adică:
în care este simbolul lui Kroneker şi reprezintă elementele matricei unitare I.
Întrucît pentru se poate scrie :
şi mai departe:
.
(9.4.1)
ceea ce înseamnă că oricare element diagonal al matricei nu poate fi mai mic decît suma
elementelor, luate în valoare absolută, din aceeaşi coloană a schemei balanţei.
Într-adevăr, coeficienţii dintr-o coloană sînt definiţi ca .
Deci expresia:
se poate scrie ca :
ceea ce este mai departe
sau
Această din urmă relaţie exprimă faptul îndeobşte cunoscut, că producţia globală a unei
ramuri nu poate fi mai mică decît suma consumurilor materiale ale ramurii.
4. Determinantul matricei L este pozitiv şi nu depăşeşte 1, adică:
Pentru a demonstra această proprietate, matricea L se reduce prin transformări elementare la
o matrice triunghiulară echivalentă. După cum se ştie, determinantul unei matrice triunghiulare
268

este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală. Elementele diagonale ale matricei
L fiind pozitive şi mai mari decît valoarea absolută a oricărui element nediagonal (vezi pro-
prietatea 3), rezultă că determinantul matricei triunghiulare, echivalente cu matricea L, este
pozitiv.
depăşi 1.
Cum elementele diagonale ale matricei triunghiulare nu depăşesc 1, nici determinantul nu va
În baza unor raţionamente asemănătoare este uşor de văzut că determinanţii minorilor de
orice ordin se bucură de aceeaşi prioritate. Cum arată Balderston şi Whitin [60], minorii matricei
L satisfac următoarele relaţii:
V. Kossov [21 ] a demonstrat această proprietate pentru o balanţă compusă din două ramuri
pentru care se scrie sistemul:
Se reprezintă acest sistem în fig. 1, punînd pe abscisă producţia globală X1 a ramurii I şi pe
ordonată producţia globală X2 a ramurii II.
C
B
0
D
A
Fig. 1
Dreapta L1 reprezintă ecuaţia Distanţa OA este , iar
distanţa OD este . Panta dreptei, caracterizată prin coeficientul unghiular al ecuaţiei
L
269

atunci dreapta este verticală.
Dreapta L2 reprezintă ecuaţia
adică un număr pozitiv căci
Distanţa OC este , iar distanţa OB este . Coeficientul unghiular al
dreptei este tot pozitiv.
Coordonatele punctului L , X1 şi X2 sînt soluţiile sistemului pentru a 11, a12, a 22, y1 şi y2
daţi. Adică, dacă este dată o anumită structură tehnologică- economică a economiei şi se
stabilesc producţiile finale ale ramurilor, produsul global care trebuie fabricat în fiecare ramură
rezultă în mod necesar ca soluţia sistemului (I — A )X — Y.
Evident, soluţii raţionale, admisibile din punct de vedere economic, sînt numai acelea pentru
care producţia globală pentru fiecare ramură este o cantitate pozitivă. Producţia nulă înseamnă
suprimarea ramurii respective, iar producţia negativă este un nonsens economic. în cazul
economiei compuse din două ramuri, soluţie acceptabilă din punct de vedere economic, se obţine
dacă punctul L se situează în cadranul I al sistemului de axe rectangulare. în caz contrar', cele
două trepte se întretaie într-un alt cadran şi cel puţin una dintre valorile X1 şi X2 va fi negativă.
Dacă liniile L1 şi L2 sînt paralele (întrucît liniile nu se întîlnesc decît la infinit), sistemul nu are
soluţie.
Punctul L se găseşte în cadranul I numai dacă unghiul este mai mare decît unghiul sau
ceea ce este echivalent cu tg tg .
și
Cum:
inegalitatea se scrie ca:
sau
de unde:
Expresia de mai sus este tocmai determinantul matricein deci:
(9.4.2)
270

S-a demonstrat deci că determinantul matricei L în condiţii valabile din punct de vedere
economic este mai mare decît zero. Această condiţie înseamnă că, pentru a avea soluţie pozitivă
a sistemului de ecuaţii pentru orice valori pozitive ale producţiei finale, este necesar şi suficient
ca determinantul acestui sistem să fie pozitiv.
Nenegativitatea determinantului matricei L din punct de vedere economic înseamnă că
economia este viabilă, adică în fiecare ramură se obţin producţii globale care asigură volumurile
fixate ale producţiilor finale.
Inegalitatea (9.4.2) şi inegalităţile date mai sus se numesc
condiţii ale lui Hawkins-Simon [10]. Aceste condiţii se extind pentru balanţele cu un număr oricît
de mare de ramuri.
5. Determinantul matricei (I — A) este egal cu determinantul matricei (I - H).
Pentru a demonstra această proprietate vom considera o balanţă cu două ramuri pentru care
putem scrie cele două matrice astfel:
Cei doi determinanţi vor fi:
Se observă că cei doi determinanţi sînt egali.
În mod analog se poate demonstra că această proprietate este adevărată şi pentru o balanţă
cu orice număr de ramuri.
6. Elementele diagonale ale matricelor sînt egale. Ţinînd seama de
proprietatea 5 şi de faptul că , această proprietate este evidentă.
271

7. Toate elementele matricei sînt pozitive. Pentru a demonstra această proprietate vom
scrie identitatea :
în care A este matricea coeficienţilor cheltuielilor directe :
Întrucît elementele matricei A satisfac condiţia:
Deci relaţia (9.4.3) devine:
de aici rezultă :
(9.4.3)
(9.4.4)
În felul acesta s-a demonstrat că matricea se obţine ca sumă n unor matrice care
conţin numai elemente nenegative; deci, şi elementele acestei matrice vor fi nenegative. Această
proprietate prezintă importanţă îndeosebi pentru interpretarea economică a elementelor matricei
care este matricea coeficienţilor cheltuielilor totale.
8. Modificarea oricărui element al matricei (I — A) provoacă schimbarea tuturor coeficienţilor
din matricea . Această proprietate este evidentă dacă ţinem seama că modificarea unui
element al matricei (I — A) provoacă schimbarea determinantului |I — A|. După cum este
cunoscut, inversa acestei matrice se poate calcula după relaţia :
în care (I — A * ) este matricea transpusă şi asociată a matricei (I — A ). Se observă că
modificarea determinantului implică modificarea tuturor elementelor din matricea (I — A * ),
deci şi a elementelor matricei .
Această proprietate se poate demonstra ţinînd seama de definiţia matricei coeficienţilor
cheltuielilor totale date prin relaţia (9.4.4) într-adevăr, modificarea unui element din matricea A
determină modificarea liniei şi coloanei corespunzătoare din matricea iar începînd cu
matricea se modifică toate elementele lor.
9. Nici una din normele matricei L nu depăşeşte 1.
Norma matricei L fiind definită ca :
272

ezultă :
Din relaţia (9.4.1) rezultă că
1, ceea ce înseamnă că norma matricei nu depăşeşte 1.
(9.4.5)
, deci partea dreaptă a relaţiei (9.4.5) nu depăşeşte
Această proprietate este importantă pentru că viteza de convergenţă a seriei (9.4.4) depinde
de norma matricei A difinită ca
în care:
este precizia iteraţiei;
numărul iteraţiilor.
Într-adevăr se poate scrie
Proprietăţile prezentate au o importanţă deosebită pentru aprofundarea analizei matematico-
economice a legăturilor dintre ramuri, precum şi pentru interpretarea economică a rezultatelor
obţinute.
Exemplul 1
Pentru înţelegerea problemelor expuse pînă aici vom folosi o balanţă valorică care cuprinde
trei ramuri.
Elementele balanţei sînt exprimate în unităţi valorice (lei, mii lei etc.) şi se referă la perioada
de bază. Pe baza acestor date se poate întocmi programul de producţie al anului viitor. În tabelul
9.7 se dau producţia şi consumul celor trei ramuri:
Tabelul 9.7.
Consum productiv în ramură
Ramuri de producţie 1 2 3 Consum
1
2
3
20
10
30
30
10
30
final
Produs
global
Se observă eă pentru fiecare rînd se respectă condiţia stabilită de ecuaţia de repartizare a
producţiei, adică produsul global este egal cu suma livrărilor pentru consum productiv (fluxul
interramuri) şi pentru consum final.
În primu rînd, se calculează coeficienţii cheltielilor directe:
50
30
10
100
200
300
200
250
400
273

Deci, matricea coeficienţilor cheltuelilor directe este:
Coeficienţii cheltuielilor directe calculaţi mai suc, ne permit să stabilim ecoaţiile de
repartizare a producţiei:
Acest sistem poate fi scris într-o formă mai comodă pentru calculi, astfel:
Matricea coeficienţilor acestui sistem este de forma (I — A ). După cum s-a arătat la (9.2),
rezolvarea sistemului de mai sus, care are şase necunoscute, impune stabilirea unor valori pentru
trei din cele şase necunoscute. în funcţie de datele stabilite prin plan de deosebesc trei cazuri.
a) Planul de producţie prevede ca produsul global al fiecărei ramuri să fie :
Consumul final al fiecărei ramuri se determină înlocuind valorile de mai sus în sistemul dat :
b) Prin plan s-a stabilit produsul global pentru prima ramură, şi consumul
final pentru celelalte două ramuri, Deci, pentru ramuri se dă
volumul producţiei, iar pentru ramuri se dă consumul final şi se cere să se determine
consumul final pentru prima ramură şi volumul producţiei pentru celelalte două ramuri.
înlocuind în acelaşi sistem obţinem :
274

care după unele calcule devine :
Acest sistem se rezolvă prin metodele cunoscute. De exemplu, ecuaţia a treia se înmulteşte
cu 8 și se adună cu ecuaţia a doua, obţinîndu-se :
Adunînd prima ecuaţie cu cea de a treia, se obţine :
de unde
Valoarea lui se obţine prin înlocuirea lui în prima ecuaţie, de unde se obţine:
c) în planul de producţie se prevede o modificare a consumului final, faţă de anul de bază, după
cum urmează :
Cu ajutorul sistemului ecuaţiilor de repartizare se determină influenţa modificării
consumului final asupra produsului global din fiecare ramură. Soluţia acestui sistem se poate
obţine folosind inversa matricei
iar
Soluţia sistemului se obţine efectuînd produsul:
275

Se observă că în ramura a doua, de exemplu, consumul final a crescut faţă de perioada de
bază cu 100 de unităţi, iar produsul global cu 121 de unităţi. Diferenţa (21 de unităţi) se explică
prin aceea că cea de-a doua ramură trebuie să asigure, în afară de creşterea consumului final (cu
100 de unităţi) şi consumul sporit al celorlalte ramuri, ca urmare a legăturilor dintre ele.
Dacă la exemplul precedent se adaugă datele care se referă la fondul de salarii consumat şi
plusprodusul realizat în fiecare ramură, se obţine schema lărgită a balanţei legăturilor dintre
ramuri:
Tabelul 9.8.
SCHEMA LĂRGITĂ A BALANŢEI
Produsul global Fluxuri interramuri Produsul final
200
250
400
20
10
60
60
50
30
10
30
100
80
50
30
10
200
110
200 250 400
Se constată că elementele balanţei verifică ecuaţiile de repartizare a producţiei (9.2.1),
precum şi ecuaţiile cheltuielilor de producţie (9.2.2). De exemplu, pentru prima ramură
1 obţinem:
Se observă că produsul global al primei ramuri, obţinut prin ecuaţia de repartizare a
producţiei (9.2.1) şi prin ecuaţia cheltuielilor de producţie (9.2.2) are aceeaşi mărime; deci se
verifică şi relaţia (9.2.5).
Aceste relaţii se verifică şi pentru celelalte ramuri. După cum s-a arătat, şi produsul social
total se poate calcula însumînd elementele din fiecare linie, conform relaţiei (9.2.7) sau însumînd
elementele din fiecare coloană, prin folosirea relaţiei (9.2.8). Pe baza exemplului dat, vom
verifica cele spuse mai sus.
100
200
300
276

Prin însumarea elementelor de pe rînduri folosind relaţia (9.2.7) se obţine :
iar prin folosirea relaţiei (9.2.8), rezultatul este acelaşi.
Venitul naţional realizat în cele trei ramuri se determină însumînd elementele balanţei, care
se referă la valoarea nou creată, adică munca pentru sine reprezentată prin fondul de salarii şi
munca pentru societate reprezentată prin plusprodus. Acelaşi rezultat se obţine scăzînd din
produsul social total cheltuielile materiale ale tuturor ramurilor, deci se poate scrie egalitatea.
Făcînd înlocuirile necesare, obţinem un venit naţional egal cu 600 de unităţi valorice:
Aceste calcule privind produsul social total şi venitul naţional se folosesc şi pentru stabilirea
indicatorilor din planul economiei naţionale. Astfel, la punctul c) s-a stabilit planul de producţie
pentru cele trei ramuri: în cazul în care se modifică
consumul final.
Pentru determinarea fluxurilor interramuri, în balanţa de plan şi a fondurilor de salarii
planificate, se folosesc coeficienţii cheltuielilor directe. În cazul schemei lărgite a balanţei, se
obţine următoarea matrice a consumurilor specifice calculată pentru perioada de bază.
în care
reprezintăn plusprodusul specific, iar
reprezintă consumul
specific de salarii. Se observă că suma coeficienţilor din fiecare coloană este egală ca unitate,
deoarece fiecare coeficient se referă la produsul global unitar.
Pe baza modelului matematic al balanţei legăturilor dintre ramuri se pot stabili cheltuielile
privind forţa de muncă în fiecare ramură, precum şi fluxurile interramuri pentru perioada de
plan. De exemplu, pentru prima ramură, cheltuielile planificate privind forţa de muncă se
determină astfel:
iar fluxurile interramuri din relaţia :
277

Aceste calcule se efectuează mai sistematic cu ajutorul calculului matricial. Astfel, fondul de
salarii al fiecărei ramuri se obţine înmulţind linia consumurilor specifice de salarii cu o matrice
diagonală (elementele diagonale sînt volumele de producţie din cele trei ramuri):
Pentru determinarea fluxului interramuri, se înmulteşte fiecare rînd al matricei A cu matricea
diagonală. Efectuînd toate calculele, se obţine schema balanţei legăturilor dintre ramuri pentru
perioada de plan:
Tabelul 9.9.
BALANŢA DE PLAN
Produsul global Fluxuri interramuri Produsul final
190,69
370,64
617,11
19,10
9,53
57,21
44,48
14,83
44,48
77,14
46,28
15,43
57,21 148,26 308,56
47,67 118,60 168,71
190,72 370,65 617,12
Pe baza datelor din aceste balanţe se poate determina produsul social total şi venitul naţional
în acelaşi mod ca pentru perioada de bază.
§ 9.9. DETERMINAREA COEFICIENŢILOR CHELTUIELILOR TOTALE PE BAZA
50
300
500
COEFICIENŢILOR DE CHELTUIELI DIRECTE ŞI INDIRECTE
În paragrafele precedente s-a arătat că rezolvarea problemelor legate de balanţa legăturilor
interramuri impune calcularea coeficienţilor de cheltuieli directe şi pe baza lor a coeficienţilor
cheltuielilor totale. Comparînd fiecare coeficient al cheltuielilor directe cu coeficientul
corespunzător al cheltuielilor totale , se constată că ultimul este mai mare.
Deoarece coeficienţii cheltuielilor directe exprimă numai cheltuielile materiale efectuate
într-un anumit stadiu al producţiei, rezultă că diferenţa dintre aceştia şi coeficienţii cheltuielilor
totale se poate explica numai dacă se ţine seama de cheltuielile făcute în stadiile anterioare ale
producţiei. Deci, coeficienţii cheltuielilor totale cuprind cheltuielile directe pe unitate dintr-un
278

produs, cheltuieli care se fac în cadrul ramurii respective, precum şi cheltuielile unitare din
acelaşi produs efectuate în alte etape ale producţiei sociale si care se numesc coeficienţi de
cheltuieli indirect.În funcţie de numărul stadiilor producţiei sociale se pot stabili coeficienţi de
cheltuieli indirect de diferite ordine, care se notează cu
reprezintă cheltuielile indirecte de ordinul m din produsul i pentru fabricarea unei unităţi din
produsul j.
astfel:
Cheltuielile totale din produsul i pentru fabricarea unei unităţi din produsul j se calculează
(9.5.1)
Se observă că în componenţa coeficienţilor de cheltuieli totale intră coeficienţii de
cheltuieli indirecte de diferite ordine, care se pot determina în două moduri:
a) pe baza cheltuielilor din fiecare produs pentru o unitate dintr-un anumit produs ;
b) pe baza cheltuielilor dintr-un produs pentru fabricarea unei unităţi din toate produsele.
a) Pentru a ilustra modul de formare a coeficienţilor de cheltuieli indirecte, în cazul primei
variante, se va întocmi schema din fig. 2.
În această schemă, prima linie reprezintă cheltuieli directe din fiecare produs efectuate
pentru producţia în valoare de un leu a primei ramuri (prima coloană din matricea A ). Astfel,
dacă prima ramură produce oţel, a doua cocs, iar a treia fontă, atunci coeficienţii
reprezintă valoarea oţelului, cocsului şi respectiv a fontei,
cuprinse în producţia de oţel în valoare de un leu. Dar aceste cheltuieli directe, făcute pentru
producţia de oţel, reprezintă — din punctul de vedere al valorii de întrebuinţare — oţel, cocs şi
fontă, produse într-o etapă anterioară a procesului producţiei sociale. În această etapă procesul de
producţie se desfăşoară prin colaborarea celor trei ramuri, deci pentru fiecare produs se consumă
oţel, cocs şi fontă, însă cheltuielile materiale făcute în această etapă sînt mai mici. De exemplu,
cheltuielile pentru oţelul materializat în cele trei produse se determină astfel:
În acelaşi mod se pot stabili cheltuielile pentru cocs şi fontă, obţinîndu-se coeficienţii
cheltuielilor indirecte de ordinul 1. Coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 1 din fiecare
produs (A , B , C ) pentru produsul A se notează cu
s-a arătat, pe baza coeficienţilor de cheltuieli directe, astfel:
şi se determină, după cum
(9.5.2)
279

280
A
B
0,05
C
0,3
A
(0,1)
C
(0,3)
0,03
A
(0,1)
0,01
B
(0,05)
0,005
A
(0,125)
0,0375
B
(0,04)
0,0002
A
(0,12)
0,006
B
(0,05)
0,005
A
(0,1)
0,001
B
(0,075)
0,00225
C
(0,12)
0,0006
C
(0,3)
0,003
C
(0,025)
0,00075
A
(0,125)
0,0375
C
(0,025)
0,0075
B
(0,075)
0,0225
C
(0,12)
0,006
A
(0,12)
0,006
B
(0,04)
0,002
A
(0,1)
0,0006
B
(0,05)
0,0003
A
(0,12)
0,00024
C
(0,3)
0,0018
C
(0,12)
0,00024
B
(0,04)
0,00008
B (0,075)
0,00045
A
(0,125)
0,00075
C
(0,025)
0,0015
A
(0,1)
0,00375
B
(0,05)
0,001875
C
(0,3)
0,001125
A
(0,12)
0,0027
B
(0,04)
0,0009
C
(0,12)
0,0027
A (0,125)
0,0009375
C
(0,025)
0,0001875
B(0,075)
0,0005625

În „Schema cheltuielilor necesare pentru producerea unei unități din produsul A‖ sunt
prezentate cheltuieli directe, cheltuieli indirecte de ordinul I și cheltuieli indirecte de ordinul II.
Analizînd operaţiile efectuate la (9.5.2), se constată că fiecare coeficient al cheltuielilor
indirecte de ordinul 1 se obţine ca produs scalar între fiecare linie a matricei coeficienţilor
cheltuielilor directe şi coloana 1 din aceeaşi matrice,adică:
(9.5.3)
Coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 1 din fiecare produs pentru produsul B
sau C
se obţine înmulţind fiecare rînd al matricei
coeficienţilor cheltuielilor directe cu coloana 2 sau 3 din aceeaşi matrice.
În general, pentru o balanţă cu n ramuri, cheltuielile indirecte de ordinul 1 din produsul i,
pentru fabricarea unei unităţi din produsul j, se obţin ca produs scalar între rîndul i şi coloana j
din matricea coeficienţilor cheltuielilor directe:
(9.5.4)
Pentru i =1,2,…,n, se obţin coeficienţii de cheltuieli indirecte de ordinul 1 din fiecare
produs pentru produsul j :
(9.5.5)
Sistemul (9.5.5) se obţine înmulţind la dreapta matricea coeficienţilor cheltuielilor directe,
cu coloana j din aceeaşi matrice :
281

(9.5.6)
Prin efectuarea calculelor din (9.5.5) sau (9.5.6) se obţine coloana j din matricea
coeficienţilor cheltuielilor indirecte de ordinul 1. Pentru j=1,2,…,n, se obţin toate elementele
matricei coeficienţilor cheltuielilor indirect de ordinul 1, pe care o notăm cu
Folosind acelaşi exemplu (j = 1, 2, 3), se obţine următoarea matrice a coeficienţilor
cheltuielilor indirecte de ordinul 1.
Pe baza coeficienţilor cheltuielilor indirecte de ordinul 1 şi a coeficienţilor cheltuielilor
directe, se calculează coeficienţii cheltuielilor indirect de ordinul 2. De exemplu, cheltuielile
indirecte de ordinul 2 din produsul , pentru o producţie unitară a primei ramuri, se determină pe
baza schemei astfel:
Calculul coeficienţilor cheltuielilor indirecte pe baza schemei din fig. 2 s-a făcut numai cu
scopul de a explica mecanismul formării cheltuielilor indirecte de diferite ordine.
Coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 2 se calculează mai uşor, efectuînd produsul
dintre fiecare rînd al matricei coeficienţilor cheltuielilor directe şi fiecare coloană a matricei
coeficienţilor cheltuielilor indirecte de ordinul 1. Pentru exemplificare, оn continuare, vor fi
calculaţi coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 2 din fiecare produs, pentru produsul A,
adică elementele primei coloane a matricei coeficienţilor cheltuielilor indirect de ordinul 2 :
( 9.5.7)
Pentru a calcula coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 2, din toate produsele pentru
produsul B sau C, se efectuează produsul scalar între fiecare linie a matricei coeficienţilor
282

cheltuielilor directe şi coloana 2 sau 3 din matricea coeficienţilor cheltuielilor indirecte de
ordinul 1.
În cazul unei balanţe cu n ramuri, coeficientul de cheltuieli indirecte de ordinul 2 din
produsul i pentru produsul j se obţine ca produs scalar între rîndul i al matricei coeficienţilor
cheltuielilor directe şi coloana j din matricea coeficienţilor cheltuielilor indirecte de ordinul 1,
adică:
(9.5.8)
Coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 2 din fiecare produs (i = 1,2, . . . , n),
pentru produsul j se obţin rezolvînd sistemul:
… … … … … … … … … … … … … … … … ( 9.5.9)
… … … … … … … … … … … … … … … … …
Sistemul (9.5.9) este echivalent cu produsul dintre matricea coeficienţilor cheltuielilor
directe şi coloana j din matricea coeficienţilor cheltuielilor indirecte de ordinul 1:
În acelaşi mod, pentru j =1, 2 , . . . , n, se obţin toate elementele matricei coeficienţilor
cheltuielilor indirecte de ordinul 2 pe care o vom nota cu .
Pentru exemplul analizat, j =1 , 2 , 3 , iar matricea coeficienţilor cheltuielilor indirecte de
ordinul 2 este :
283

Prin analogie cu coeficienţii de cheltuieli indirecte de ordinul 1 şi ordinul 2, se pot defini şi
coeficienţii cheltuielilor indirecte de orice ordin. Formula generală cu ajutorul căreia se
calculează coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul m din fiecare produs pentru produsul j
este :
(9.5.10)
După cum s-a arătat, coeficienţii chletuielilor totale se obţin ca sumă a coeficienţilor de
cheltuieli directe şi indirecte de diferite ordine, după relaţia (9.5.1). Ţinînd seama de formulele
de calcul a coeficienţilor cheltuielilor indirecte, relaţia (9.5.1) se poate scrie astfel:
Sau
(9.5.11)
Dacă în această relaţie atunci suma din paranteză va reprezenta un coeficient de
cheltuieli totale din produsul K pentru produsul j, adică :
De aici rezultă că formula de calcul a coeficienţilor cheltuielilor totale devine :
(9.5.12)
b) Cel de al doilea mod de determinare a coeficienţilor de cheltuieli indirecte va fi explicat pe
baza schemei din fig. 3.
În „Schema cheltuielilor din produsul A, necesare producerii fiecărui produs‖ primul rînd
reprezintă cheltuielile directe din produsul A, făcute pentru producţia unitară a fiecărei ramuri
(primul rînd din matricea coeficienţilor cheltuielilor directe).
284

A (0,1)
0,01
A (0,1)
0,001
B (0,12)
0,0012
C (0,125)
0,00125
A
(0,1)
B (0,12)
0,012
A (0,05)
0,0006
B (0,04)
0,00048
C (0,075)
0,0009
C (0,125)
0,0125
A (0,3)
0,00375
B (0,12)
0,0015
C (0,025)
0,0003125
A (0,05)
0,006
A (0,1)
0,0006
B (0,12)
0,00072
C (0,125)
0,00075
A
B
0,12
B (0,04)
0,0048
A (0,05)
0,00024
B (0,04)
0,000192
C (0,075)
0,00036
C (0,075)
0,009
A (0,3)
0,0027
B (0,12)
0,00108
C (0,025)
0,000225
A (0,3)
0,0375
A (0,1)
0,00375
B (0,12)
0,0045
C (0,125)
0,0046875
C
0,125
B (0,12)
0,015
A (0,05)
0,00075
B (0,04)
0,0006
C (0,075)
0,001125
C (0,025)
0,003125
A (0,3)
0,0009375
B(0,075)
0,000375
C (0,025)
0,0000781
285

Coeficienţii reprezintă valoarea oţelului cuprinsă în
producţia de oţel, cocs şi respectiv fontă în valoare de 1 leu.
Coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 1 din produsul A pentru fiecare produs, pe care
îi notăm cu
directe cu fiecare coloană din aceeaşi matrice :
se calculează înmulţind rîndul 1 din matricea coeficienţilor cheltuielilor
(9.5.13)
Pentru a determina coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 1 din produsul B sau C, se
efectuează produsul scalar între linia a doua sau a treia din matricea coeficienţilor cheltuielilor
directe şi fiecare coloană din aceeaşi matrice, obţinîndu-se liniile a doua şi a treia ale matricei
coeficienţilor cheltuielilor indirecte de ordinul 1.
În cazul unei balanţe cu n ramuri, coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 1 din
produsul i pentru fiecare produs (j — 1, 2 . . . , n) se determină din sistemul:
care se poate scrie prescurtat astfel:
.
(9.5.14)
Acest sistem se poate scrie sub formă matricială înmulţind la stînga matricea coeficienţilor
cheltuielilor directe cu vectorul linie
286

Coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 2 din produsul i pentru fiecare produs se
calculeza astfel:
Efectuînd produsul acestor matrice se obţine sistemul:
care se poate scrie prescurtat astfel:
(9.5.15)
În cazul exemplului considerat, coeficienţii cheltuielilor indirecte de ordinul 2 din produsul
A se determină efectuînd produsul:
Dacă se înmulţeşte linia a doua şi a treia din matricea coeficienţilor cheltuielilor indirecte de
ordinul 1, cu matricea coeficienţilor cheltuielilor directe, se obţin toate elementele matricei
coeficienţilor cheltuielilor indirecte de ordinul 2.
Generalizînd, se poate stabili formula de calcul pentru coeficienţii cheltuielilor indirecte de
orice ordin. Formula de calcul a coeficienţilor de cheltuieli indirecte de ordinul m din produsul i
pentru fiecare produs, este :
Pentru j = 1, 2, ..., n se obţine rîndul i din matricea coeficienţilor cheltuielilor indirecte de
287

ordinul m. Acelaşi rînd se obţine efectuînd produsul:
După cum s-a arătat, pe baza coeficienţilor cheltuielilor directe şi indirecte de diferite
ordine, se calculează coeficienţii cheltuielilor totale. Astfel, dacă în relaţia (9.5.1) înlocuim
coeficienţii cheltuielilor indirecte prin formulele lor de calcul, obţinem:
În conformitate cu definiţia economică a cheltuielilor totale, dacă suma din
paranteză reprezintă cheltuieli totale din produsul i pentru o unitate din produsul k, adică :
Deci, formula de calcul a coeficienţilor cheltuielilor totale ai produsului i pentru fabricarea
tuturor produselor este:
(9.5.17)
§ 9.10. CALCULUL COEFICIENŢILOR CHELTUIELILOR TOTALE PRIN ITERAŢII
Relaţia (9.5.12), care se foloseşte pentru calculul elementelor fiecărei coloane din matricea
coeficienţilor cheltuielilor totale, reprezintă pentru i =1 , 2 , . . . , n un sistem de ecuaţii de forma
:
(9.5.18)
Soluţia acestui sistem de ecuaţii constituie elementele coloanei j din matricea coeficienţilor
cheltuielilor totale, iar pentru a calcula toate elementele acestei matrice trebuie să se rezolve n
sisteme de tipul (9.5.18), deci pentru fiecare coloană cîte un sistem.
De asemenea şi relaţia (9.5.17), care se foloseşte pentru calculul elementelor fiecărui rînd
din matricea coeficienţilor cheltuielilor totale, reprezintă pentru j = 1 , 2 , . . . , n un sistem de
288

ecuaţii de forma:
(9.5.19)
Soluţia acestui sistem reprezintă elementele rîndului i din matricea coeficienţilor
cheltuielilor totale.
Metoda raţională de rezolvare a sistemului (9.5.18) şi (9.5.19) este metoda iteraţiilor.
Această metodă are avantajul că permite rezolvarea sistemelor de ecuaţii cu ajutorul maşinilor
electronice.
Procesul de rezolvare constă în îmbunătăţirea succesivă a unei soluţii de bază care se obţine
aproximînd, în prima etapă (iteraţia zero), coeficienţii cheltuielilor totale cu valorile :
Aceste valori se înlocuiesc în partea dreaptă a sistemului (9.5.18) şi respectiv (9.5.19),
calculîndu-se prima iteraţie:
pentru sistemul (9.5.18) şi
pentru sistemul (9.5.19).
(9.5.20)
(9.5.21)
După prima iteraţie se obţin coeficienţi de cheltuieli care includ cheltuieli directe şi indirecte
de ordinul 1.
Valorile obţinute după prima iteraţie se înlocuiesc în partea dreaptă a sistemului (9.5.18) şi
289

espectiv (9.5.19), obţinînduse iteraţia a doua:
pentru sistemul (9.5.18) şi
pentru sistemul (9.5.19).
(9.5.23)
(9.5.22)
După iteraţia a doua se obţin coeficienţi de cheltuieli care includ cheltuieli directe şi
indirecte de ordinul 1 şi ordinul 2. Ca urmare a fiecărei iteraţii se obţin coeficienţi de
cheltuieli totale
a căror valoare creşte cu mărimea cheltuielilor indirecte de ordinul m.
Iteraţia m se efectuează înlocuind valorile coeficienţilor cheltuielilor totale, obţinuţi după
iteraţia (m — 1) în sistemul iniţial, astfel:
pentru sistemul (9.5.18). În mod asemănător se efectuează iteraţia m pentru sistemul (9.5.19).
(9.5.24)
Rezultă că prin efectuarea fiecărei iteraţii valoarea coeficienţilor cheltuielilor totale se
apropie de valoarea lor reală şi cu fiecare iteraţie diferenţa dintre valoarea precedentă şi cea
următoare a coeficienţilor cheltuielilor totale devine din ce în ce mai mică.
Începînd cu o anumită iteraţie, această diferenţă va fi mai mică decît o diferenţă limită
stabilită înainte, în funcţie de precizia cu care trebuie calculaţi coeficienţii cheltuielilor totale.
Pentru exemplificare, se vor calcula coeficienţii cheltuielilor totale din fiecare produs pentru
produsul A, adică elementele primei coloane din matricea coeficienţilor cheltuielilor totale.
Deoarece în acest caz j = 1, sistemul (9.5.18) devine:
290

În acest sistem, se cunosc coeficienţii cheltuielilor directe, iar coeficienţii cheltuielilor totale
se aproximează în prima etapă (iteraţia zero) cu valorile:
Înlocuind aceste valori în sistemul iniţial, se calculează prima iteraţie :
Valorile
includ cheltuielile directe, precum şi cheltuielile indirecte de
ordinul 1 din produsul A, B şi C pentru fabricarea unei unităţi din produsul A.
iniţial.
Iterația a doua se obţine înlocuind valorile rezultate mai sus în sistemul
Coeficienţii
includ cheltuielile directe, precum şi cheltuielile indirecte de
ordinul 1 şi ordinul 2 din produsul A, B şi C pentru fabricarea unei unităţi din produsul A.
Coeficienţii cheltuielilor totale din matricea (I—A) -1 au următoarele valori:
Comparînd aceste valori cu coeficienţii obţinuţi după prima şi a doua iteraţie, se constată că
după iteraţia a doua se obţin coeficienţi foarte apropiaţi de coeficienţii cheltuieilor totale (vezi
tabelul 9.10).
Tabelul 9.10.
A
B
C
În procente faţă de cheltuiellile totale
87,8
88,0
92,2
96,0
95,9
97,7
De aici rezultă că a doua iteraţie aproximează suficient de bine coeficienţii cheltuielilor
totale. În acelaşi mod se determină coeficienţii cheltuielilor totale din fiecare produs pentru
291

produsul B (j = 2) şi produsul C (j = 3), adică coloana a doua şi a treia din matricea
coeficienţilor cheltuielilor totale, obtinîndu-se următoarea matrice :
(9.5.25)
S-a arătat mai înainte că matricea coeficienţilor cheltuielilor totale se poate obţine şi prin
calcularea elementelor de pe fiecare linie, rezolvînd sistemul (9.5.19).
De exemplu, elementele primei linii (i — 1) reprezintă coeficienţii cheltuielilor totale din
produsul A pentru fiecare produs, care se calculează prin rezolvarea sistemului:
Înlocuind coeficienţii cheltuielilor directe cu valorile lor din matricea A, iar coeficienţii
cheltuielilor totale cu valorile aproximative :
Iteraţia a doua se calculează înlocuind aceste valori în sistemul iniţial:
Deoarece s-a stabilit că iteraţia a doua dă o aproximaţie destul de bună a coeficienţilor
cheltuielilor totale, calculele se opresc aici. Pentru a obţine elementele liniei a doua şi a treia din
matricea coeficienţilor cheltuielilor totale, se rezolvă cîte un sistem asemănător celui precedent,
însă în acest caz i = 2 şi respectiv i = 3. Matricea coeficienţilor cheltuielilor totale calculată pe
linii este :
(9.5.26)
292

Comparînd matricea coeficienţilor cheltuielilor totale în care s-au determinat elementele
fiecărei coloane (9.5.25), cu matricea coeficienţilor cheltuielilor totale calculată pe linii (9.5.26),
se trage concluzia că — indiferent de metoda de calcul — rezultatul este acelaşi.
Egalitatea dintre matricea coeficienţilor cheltuielilor totale calculate pe coloane (pe care o
vom nota cu ) şi matricea coeficienţilor cheltuielilor totale calculată pe rînduri (pe care o
notăm cu se poate stabili şi cu ajutorul unei demonstraţii simple.
Conform relaţiilor (9.5.12) şi (9.5.17), matricele şi se pot obţine astfel:
Matricea coeficienţilor cheltuielilor totale (C) se poate scrie ca diferenţă 96 între o matrice B
şi o matrice unitară I, ambele de acelaşi ordin cu C:
Dacă se înlocuieşte relaţia 1 în relaţia a, se obţine:
Ultima relaţie se înmulţeşte cu (I — A) -1 şi se obţine:
În mod asemănător, prin înlocuirea relaţiei 2 în relaţia b), se obţine:
Deci = de unde rezultă că:
După cum s-a arătat, fiecare coeficient de cheltuieli totale se poate calcula ca sumă a
coeficienţilor cheltuielilor directe şi indirecte de diferite ordine, pe baza relaţiei (9.5.1). Pentru i,
j =1, 2 , . . . , n se obţin toate elementele matricei coeficienţilor cheltuielilor totale. Deci,
matricea coeficienţilor cheltuielilor directe și a matricelor de cheltuieli indirect de diferite
ordine,după relaţia:
(9.5.27)
Coeficienţii cheltuielilor totale calculaţi pentru balanţa analizată se obţin cu o aproximaţie
satisfăcătoare astfel:
96 Justificarea acestui artificiu se face mai departe.
293

Comparînd matricea coeficienţilor cheltuielilor indirecte de ordinul 1 şi respectiv de ordinul
2, calculate pe coloane, cu matricele corespunzătoare calculate pe linii, se constată că ele sînt
egale. Deci, indiferent de metoda de calcul al matricei coeficienţilor cheltuielilor indirecte, se
obţine aceeaşi matrice a coeficienţilor cheltuielilor totale:
Se observă că s-a obţinut acelaşi rezultat, ca şi în cazul calculării matricei coeficienţilor
cheltuielilor totale prin metoda iteraţiilor.
De asemenea trebuie arătat că matricele coeficienţilor cheltuielilor indirecte de ordinul 1,
ordinul 2 etc. se pot calcula astfel:
Ţinînd seama de relaţiile (9.5.28), formula de calcul al matricei coeficienţilor cheltuielilor
totale (9.5.27) devine:
Din algebra liniară (vezi Anexa) se cunoaşte că o dezvoltare asemănătoare are şi
matricea
De aici se deduce că:
Această egalitate se poate verifica pe baza rezultatelor obţinute mai înainte. Astfel, în cadrul
exemplului 1, s-a calculat matricea
294

Se observă că elementele diagonalei principale din această matrice diferă cu o unitate faţă de
elementele diagonalei principale a matricei C, deoarece
arată cu cît trebuie să crească producţia fiecărei ramuri atunci cînd consumul final al
acestora creşte cu o unitate.
Deci:
Elementele matricei B = reprezintă coeficienţi de cheltuieli totale care cuprind
cheltuielile directe şi indirecte de toate ordinele, iar elementele matricei C cuprind numai
cheltuielile directe şi indirecte de ordinul 1 şi ordinul 2. Din această cauză, între elementele
matricei C=B şi elementele matricei C calculate mai înainte apar diferenţe, care sînt însă
neglijabile.
Se poate demonstra că între metoda iteraţiilor folosite la calcularea coeficienţilor
cheltuielilor totale şi relaţia (9.5.29) există o analogie. Astfel relaţiile (9.5.12) şi (9.6.17) se pot
scrie sub formă matricială astfel:
S-a demonstrat că indiferent de metoda de calcul, se obţine acelaşi rezultat. Prin iteraţia
zero, coeficienţii cheltuielilor totale se aproximează prin coeficienţii cheltuielilor directe. In
relaţia matricială scrisă mai sus, se aproximează matricea C prin matricea A; deci şi
prin înlocuirea lui în relaţia C prin A în relaţia iniţială se obţine prima iteraţie :
Se observă că după prima iteraţie matricea conţine coeficienţi de cheltuieli directe şi
indirecte de ordinul 1 . În iteraţia a doua matricea C se aproximează prin matricea
obţinîndu-se:
După iteraţia a doua se obţine o matrice a cărei elemente conţin cheltuieli directe si cele
indirecte de ordinul 1 si de ordinul 2. În sfîrșit, după iteraţia m se obţin:
Elementele matricei conţin cheltuieli directe şi indirecte de ordinul 1, de ordinul
2 , . . . , de ordinul (m — 1).
295

§ 9.11. LEGĂTURA DINTRE BALANŢA ÎN EXPRESIE NATURALĂ ȘI CEA ÎN
EXPRESIE VALORICĂ
Între coeficienţii tehnologici calculaţi pe baza balanţei legăturilor dintre ramuri întocmite în
unităţi fizice şi coeficienţii determinaţi pe baza balanţei în unităţi valorice, există o relaţie
bine definită.
Coeficienţii tehnologici fizici au fost definiţi ca:
. (9.7.1)
Elementele balanţei valorice se obţin prin înmulţirea elementelor corespunzătoare ale
balanţei fizice cu preţul produsului i, :
Deci, coeficienţii tehnologici ai balanţei valorice sînt:
Prin substituţia realaţiei (9.7.1) în (9.7.3) se obţine:
(9.7.2)
(9.7.3)
. (9.7.4)
Dacă preţul unitar al fiecărui produs este acelaşi sau este egal cu 1, coeficienţii balanţei
valorice vor fi identici cu coeficienţii balanţei fizice
Această cerinţă în sine nu are sens şi se pare că constatarea făcută este fără obiect. Dacă însă
unitatea de măsură fizică a fiecărui produs se defineşte drept cantitatea ce poate fi vîndută
(cumpărată) cu o unitate monetară, în virtutea constatării făcute, coeficienţii şi devin
egali şi balanţa fizică a legăturilor dintre ramuri se va confunda cu balanţa valorică.
Deci, dacă între balanţa valorică si balanţa în unităti naturale există o corespondenţă
structurală, elementele unei balanţe se pot deduce cu uşurinţă din elementele, celeilalte. Este însă
necesar ca elementele balanţei valorice să rezulte din elementele balanţei în unităţi naturale, prin
înmulţirea acestora cu raportul dintre preţul produsului consumat şi preţul produsului fabricat.
Această condiţie, extrem de restrictivă, se poate lărgi. Dacă produsele evidenţiate în balanţă în
unităţi naturale se pot grupa în aşa fel încît să se asigure corespondenţa cerută, cu ajutorul relaţiei
(9.7.4) din balanţa existentă, se poate deduce cealaltă balanţă.
Valoarea numerică a coeficienţilor este bine determinată cu ajutorul unităţilor de măsură
folosite pentru exprimarea producţiei ramurilor i şi j. Dacă se schimbă unitatea de măsură a
producţiei ramurii k, în mod corespunzător se modifică şi coeficienţii tehnologici din linia
corespunzătoare şi coeficienţii din coloana corespunzătoare. Dacă de pildă, în ramura k,
296

producţia este exprimată în loc de chintale, în tone, producţia ramurii va fi de 1/10 tone în loc
de chintale.
Ca urmare :
1) coeficienţii tehnologici din linia K se micşorează de 10 ori, deoarece
fluxurile ce pornesc din această ramură către celelalte
se exprimă cu numere micşorate de 10 ori;
2) în acelaşi timp, coeficienţii din coloana k cresc de 10 ori, întrucît producţia
acestei ramuri (Xk) la care se împart fluxurile ce sosesc în ramură este micşorată de 10 ori.
Legătura dintre coeficienţii consumurilor totale şi coeficienţii cheltuielilor totale
S-a arătat că între coeficienţii cheltuielilor directe și coeficienţii consumurilor directe
există o legătură bine determinată, dată prin relaţia:
O asemenea concordanţă exisă şi între coeficientii consumurilor totale şi coeficienţii
cheltuirlilor totale Legătura dintre elementele matricei consumurilor directe A
și elementele matricei cheltuielilor directe A
Se poate pune în evidenţă şi sub formă matricială.
Înmulţind din stînga matricea A cu matricea preţurilor P:
și apoi înmulţind din dreapta rezultatul obţinut cu inversa matricei preţurilor, obținem:
.
297

ezultă expresia legăturii dintre matricea consumurilor directe şi matricea cheltuielilor directe.
Cum coeficienţii cheltuielilor totale rezultă din inversarea matricei (I — A ), este
necesar să se calculeze :
(9.7.5)
Întrucît matricea unitară I din partea dreaptă se poate scrie sub forma I = PIP -1 şi ştiind că
înmulţirea matricelor pătrate este distributivă faţă de adunarea lor, rezultă :
Deci, expresia (9.7.5) devine:
Matricele P, (I — A q) şi P _1 sînt matrice pătrate de ordinul n; deci şi produsul lor este o
matrice pătrată de acelaşi ordin. După cum se arată în capitolul 10 (din A n exă ), inversa unei
asemenea matrice se poate calcula inversînd fiecare din cele trei matrice ale produsului şi
înmulţindu-le în ordinea inversă celei din expresia iniţială.
Prin urmare, relaţia (9.7.5) devine:
Între elementele ale matricei inverse şi elementele ale matricei inverse
există deci legătura:
298

Aşadar, dacă este dată matricea coeficienţilor în expresie naturală, se poate deduce uşor
matricea coeficienţilor în expresie valorică şi invers.
Elementele de pe diagonala principală a ambelor matrice sînt identice. Celelalte elemente ale
matricelor reprezintă coeficienţii cheltuielilor, respectiv consumurilor totale, adică şi
Identificînd deci elementele celor două matrice, rezultă:
adică, un rezultat similar cu cel obţinut mai înainte pentru legătura dintre coeficienţii
consumurilor directe și cei ai cheltuielilor directe.
§ 9.12. METODE DE CARACTERIZARE A ANSAMBLULUI
ECONOMIEI NAŢIONALE
Ideea studierii legăturilor economice dintre părţile componente ale economiei naţionale în
ansamblul ei şi prezentarea lor sub forma unui model matematic nu este nouă.
În lucrarea sa ―Analiza tabloului economic‖, apărută în anul 1758, economistul francez Fr.
Quesnay a studiat pentru prima dată problema legăturilor economice reciproce. Modelul propus
de Fr. Quesnay se referă la o economie închisă si stationară, care nu ia în consideraţie comerţul
exterior, si se caracterizează printr-un nivel de producţie constant.
Primul model teoretic al interdependenţelor economice a fost formulat de Karl Marx în
cunoscuta schemă a reproducţiei lărgite, în care sînt prezentate raporturile cantitative dintre
sectoarele economiei naţionale capitaliste.
Printre teoriile economice care au precedat apariţia modelului input-output a lui Wassily
Leontief, se enumeră şi teoria echilibrului general care a fost formulată de Leon Walras în anul
1874.
Problema legăturilor dintre ramuri a constituit şi obiectul de studiu al economiştilor sovietici.
Ei au întocmit o balanţă a economiei naţionale pentru anul 1923 —1924 (Balanţa rashod-
prihod). Această balanţă s-a construit după principiul balanţei „şah", ea cuprinzînd nu numai
rezultatele finale ale producţiei, ci şi consumurile productive dintre ramuri. Din analiza acestei
balanţe a reieşit ideea că economia naţională este prezentată ca o însumare de unităţi de
producţie, iar aprovizionarea fiecărei ramuri se face pe baza producţiei celorlalte ramuri.
299

§ 9.12.1. SCHEMA LUI FR. QUESNAY
Fr. Quesnay 97 a formulat pentru prima dată ideea de a prezenta în mod cantitativ legăturile
dintre elementele mecanismului economic, făcînd o esti- maţie a curenţilor circuitului economic
pentru Franţa. Aceste idei au fost expuse în lucrarea sa Analiza tabloului economic, care a apărut
în anul 1758 Fr. Quesnay împarte economia în trei grupe. In prima grupă el a cuprins pe
producătorii agricoli pe care îi consideră singura clasă productivă (fizio- craţii considerau
pămîntul ca singura sursă a bogăţiei naţionale).
În grupa a doua a inclus pe proprietari (rege, nobilime şi cler), iar în grupa a treia a inclus
populaţia ocupată cu celelalte activităţi economice în afară de agricultură. În ultima grupă, el a
inclus în primul rînd pe industriaşi şi comercianţi. După părerea lui, aceştia nu produc bogăţii
noi, ci prelucrează materii prime care provin din agricultură şi de aceea îi denumeşte clasă
sterilă.
Între cele trei clase există legături de livrare şi de primire, care pot fi ilustrate cu ajutorul
schemei din fig. 4.
Agricultori 2 miliarde
i
2 miliarde
1 miliard
2 miliarde
1 miliard
Alţii
(clasa
sterilă)
Fig. 4
97 Fr. Quesnay, Oeuvers économiques et philosophiques, Paris, 1888, p.305.
Proprietari
1 miliard
300

Din schemă rezultă că agricultura produce anual materii prime şi bunuri de consum în
valoare de 5 miliarde de livre, care se repartizează astfel: 2 miliarde se consumă în agricultură,
pentru acoperirea cheltuielilor materiale (1 miliard) şi pentru consum final (1 miliard); 2 miliarde
se livrează clasei sterile, pentru materii prime (1 miliard) şi pentru consum final (1 miliard); 1
miliard se livrează clasei proprietarilor, pentru consum final.
Clasa sterilă prelucrează materiile prime primite din agricultură, sporind valoarea materiei
prime de la 1 miliard la 2 miliarde. Aceste 2 miliarde, care reprezintă rezultatul muncii clasei
sterile, se livrează agriculturii pentru înlocuirea uzurii mijloacelor fixe (1 miliard) şi
proprietarilor pentru consum (1 miliard).
În sfîrşit, proprietarii primesc ca rentă 2 miliarde de livre de la agricultori şi clasa sterilă, pe
care le folosesc pentru a cumpăra bunuri de consum din agricultură (1 miliard) şi de la alţi
producători (1 miliard). Aceasta corespunde în schemă fluxului de capital fictiv în valoare de 2
miliarde de livre de la proprietari la agricultori.
Circuitul economic astfel format este închis, deoarece fiecare clasă primeşte exact atît cît
livrează şi nu se ia în consideraţie schimbul cu străinătatea.
Datele din schema analizată mai înainte pot fi prezentate sub forma unui tabel şah.
Tabelul 9.11.
Producători
Agricultori
Alţi producători
Amortizare
Salarii
Rentă
Total
Consumarori
Consum
productiv în
Agricul
-tură
1
-
1
1
2
Alte
activ.
Beneficiari finali
Beneficiari finale
Consum neproductiv
Elementele primelor două linii caracterizează 5 2 repartizarea 1 producţiei 1 agricole 2 şi a producţiei 1 12
celorlalte activităţi pentru consum productiv şi consum final. Se observă că producţia clasei
Elementele primelor doua linii caracterizeză repartizarea producției agricole și a producției
celorlalte activități pentru consum productive și consum final.Se observă că producția clasei
sterile (linia a doua) se foloseşte numai pentru consumul neproductiv al proprietarilor şi pentru
investiţii în agricultură, în vederea înlocuirii mijloacelor fixe uzate în procesul de producţie.
1
-
1
Agr.
1
-
Alte
prod.
1
-
Propr
.
1
1
Invest.
-
1
Total
301
5
2
1
2
2

Elementele primei coloane ilustrează cheltuielile materiale şi valoarea adăugată din
agricultură. Cheltuielile materiale sînt constituite numai din produse agricole în valoare de 1
miliard de livre, iar valoarea adăugată — din amortizare, din salarii în natură şi din renta plătită
proprietarilor. în cheltuielile de producţie ale celorlalte activităţi (coloana a doua), intră numai
materii prime agricole în valoare de 1 miliard şi salarii (1 miliard).
Legăturile de producţie descrise pot fi prezentate, folosind notaţiile adoptate în capitolul
precedent, prin următorul sistem de ecuaţii:
Se observă că însumarea elementelor din primele două coloane reprezintă producţia celor
două sectoare, adică:
Aceste două sisteme de ecuaţii se verifică pe baza cifrelor din tabelul 9.11.
Economia analizată de Fr. Quesnay este staţionară deoarece investiţiile sînt suficiente numai
pentru înlocuirea amortizării, deci nivelul producţiei rămîne acelaşi.
Deşi schema lui Fr. Quesnay are o serie de deficienţe, cum ar fi lipsa consumului de produse
neagricole de către clasa productivă şi sterilă şi lipsa uzurii mijloacelor fixe în
producţia neagricolă, trebuie subliniat totuşi faptul că schema sa caracterizează mişcarea
bunurilor în stadiile intermediare ale producţiei (cadranul I), repartiţia produsului social pe
beneficiari (cadranul II) şi formarea veniturilor în cadrul reproducţiei (cadranul III).
§ 9.12.2. PREZENTAREA SCHEMELOR DE REPRODUCȚIE ALE LUI CARL MARX,
CU AJUTORUL BALANȚEI LEGĂTURILOR DINTRE RAMURI
După cum s-a arătat, balanţa legăturilor dintre ramuri descrie proporţiile obiective care
trebuie să existe între ramurile economiei naţionale, în vederea realizării unei dezvoltări
echilibrate. În paragraful (9.2) s-a stabilit relaţia :
Plecînd de la această ecuaţie de echilibru, se poate arăta uşor că între balanţa legăturilor
dintre ramuri şi schema reproducţiei a lui Karl Marx există o totală concordanţă şi că metoda
balanţei legăturilor dintre ramuri este de fapt o dezvoltare a teoriei reproducţiei lui Marx.
302

Examinînd problema reproducţiei, Marx porneşte de la împărţirea produsului social total
după forma sa materială î n : producţia mijloacelor de producţie (sectorul I) şi producţia
obiectelor de consum (sectorul II) şi după valoarea sa î n : valoarea mijloacelor de producţie
consumate (c), valoarea produsului necesar (v) şi valoarea plusprodusului (p). Valoarea
producţiei celor două sectoare este deci:
valoarea producţiei sectorului I:
valoarea producţiei sectorului II: iar valoarea produsului social total :
în care:
Împărţirea economiei în două sectoare corespunde unei scheme a balanţei legăturilor cu
două ramuri. Pe orizontală, în schemă se arată modul de folosire (repartizarea) producţiei fiecărei
diviziuni, iar pe verticală, componentele valorice ale producţiei fiecărei subdiviziuni.
Tabelul 9.12.
Producţia
mijlloacelor
de producţie
Producţia
obiectelor de
consum.
Valoarea
produsului
necesar.
Valoarea plus
produsului
Total
Producţia mijloacelor Produsul final
De producţie De consum Acumularea
mijloacelor
de producţie
Consum
neproductiv
Total
producţie
În tabel, cu s-a notat produsul final al sectorului I, adică acumularea de noi mijloace de
producţie, şi cu produsul final al sectorului II, adică consumul neproductiv.
Elementele şi ale tabelului în termenii balanţei legăturilor dintre ramuri se pot scrie ca:
ceea ce reprezintă producţia de mijloace de producţie pentru producerea
mijloacelor de producţie (mai scurt: fondul de înlocuire a mijloacelor de producţie
consumate în sectorul I ) ;
adică producţia de mijloace de producţie pentru producerea obiectelor de
consum (fondul de înlocuire a mijloacelor de producţie consumate în sectorul II).
Evident, în cazul dat, elementele sînt nule, fiind imposibil consumul productiv al
303

obiectelor de consum neproductiv.
Din tabel se constată cu uşurinţă condiţiile care asigură realizarea produsului social total în
cadrul procesului de reproducţie. Relaţia de echilibru (9.2.9) pentru situaţia considerată, devine
(9.8.1)
În cazul reproducţiei simple nu se acumulează noi mijloace de producţie; deci . În
acest caz, relaţia (9.8.1) devine :
adică:
ceea ce înseamnă că producţia obiectelor de consum este egală cu venitul naţional.
(9.8.2)
Egalitatea cu ajutorul căreia se constată că producţia sectorului I pe orizontală este egală cu
aceeaşi producţie considerată pe verticală :
(9.8.3)
exprimă condiţia că valoarea mijloacelor de producţie consumate este egală cu producţia de
mijloace de producţie.
Din relaţia (9.8.3) rezultă:
(9.8.4)
ceea ce constituie condiţia fundamentală a realizării produsului social total în cadrul reproducţiei
simple, care cere ca valoarea mijloacelor de producţie consumate în sectorul II să fie egală cu
valoarea produsului nou creat în sectorul I.
În cazul reproducţiei lărgite se acumulează noi mijloace de producţie, adică: .
Ţinînd seama de aceasta, egalitatea (9.8.2) se transformă în inegalitatea
Egalitatea (9.8.3) în inegalitatea:
iar egalitatea (9.8.4) în inegalitatea:
(9.8.5)
(9.8.6)
(9.8.7)
Inegalităţile (9.8.5), (9.8.6) şi (9.8.7) se transformă în egalităţile (9.8.2), (9.8.3) şi (9.8.4)
numai dacă, la partea stîngă a lor, se adaugă cantitatea mijloacelor de producţie acumulate.
Inegalităţile (9.8.5), (9.8.6) şi (9.8.7) exprimă condiţiile necesare pentru înfăptuirea
reproducţiei lărgite. Şi în cazul reproducţiei lărgite există o ecuaţie de echilibru între diferitele
părţi ale produsului social. Pentru a o putea scrie, sînt necesare precizări suplimentare. Se
notează cu yn mijloacele de producţie acumulate în sectorul I, iar cu cele acumulate în sec-
304

torul II. Plusprodusul creat în sectorul I se utilizează pentru: acumularea mijloacelor de producţie
devine:
plata forţei de muncă atrase suplimentar şi pentru consum .
În aceste condiţii, ecuaţia de balanţă a sectorului I:
Avînd în vedere că relaţia (9.8.8) se transformă în ecuaţia:
care redă fluxul reciproc de produse între cele două sectoare.
(9.8.8)
(9.8.9)
Înlocuirea mijloacelor de producţie consumate în sectorul I şi consumul obiectelor de
consumaţie în sectorul II nu impun niei un fel de proporţii sau corelaţii între cele două sectoare.
Realizarea produsului social total, în cadrul reproducţiei lărgite, presupune — pe lîngă cele
descrise — încă două corelaţii importante ale economiei naţionale.
Prima corelaţie rezultă din relaţie (9.8.1), după reducerea termenilor comuni în ambele părţi
ale egalităţii:
sau
(9.8.10)
adică valoarea venitului naţional trebuie să fie egală cu valoarea mijloacelor de producţie
acumulate şi valoarea obiectelor de consum neproductiv. Cea de a doua corelaţie, exprimată cu
ajutorul ecuaţiei:
(9.8.11)
rezultă din egalarea producţiei sectorului I, obţinută prin însumarea pe orizontală, cu producţie
obţinută prin însumarea pe verticală. Această relaţie exprimă cerinţa ca producţia sectorului I să
fie egală cu fondul de înlocuire şi de acumulare de mijloace de producţie în întreaga economie.
Corelaţiile care au loc între producţia mijloacelor de producţie şi producţia obiectelor de
consum se evidenţiază mai profund dacă sectorul I se subdivide în două subgrupe şi anume :
producţia mijloacelor de producţie pentru producerea mijloacelor de producţie X11 şi producţia
mijloacelor de producţie pentru producerea obiectelor de consum X12. Schema balanţei
legăturilor dintre ramuri capătă următoarea înfăţişare :
305

Producţia
mijloacelor
de procţie
pentru
producerea
Tabelul 9.13.
Mijloacelor
de producţie
(subgrupa I)
Obiectelor
de consum
(subgrupa II)
Producţia obiectelor de
consum (sectorul II)
Valoarea produsului
necesar
Valoarea pluspro-
dusului
Total producţie
Producţia mijloacelor de
producţie pentru producere
Mijloacelor de
producţie
(subgrupa I)
Obiectel
or de
consum
(subgrup
a II)
Producția
obiectelor de
consum
(sectorul II)
Acumularea de
mijloace de
În
sectorul
I
subgrupa
I)
producţie
În
sectorul
II
(subgrup
a II)
Consum
neprodu
ctiv
Total
producţie
Producţia mijloacelor de producţie pentru producerea mijloacelor de producţie se
foloseşte în scopul înlocuirii mijloacelor de producţie consumate în cele două subgrupe ale
sectorului I, şi , precum şi al acumulării de mijloace de producţie în aceleaşi două
subgrupe, şi
Producţia mijloacelor de producţie pentru producerea obiectelor de consum se
repartizează pentru acoperirea mijloacelor de producţie consumate în sectorul II, , şi pentru
acumularea de noi mijloace de producţie în acest sector,
Producţia obiectelor de consum se utilizează în întregime pentru consumul neproductiv.
Din punct de vedere valoric, producţia obţinută în subgrupele sectorului I şi în sectorul II —
după cum se poate vedea în primele trei coloane ale schemei — se compune din valoarea
mijloacelor de producţie consumate, valoarea produsului necesar şi valoarea plusprodusului.
Din egalitatea evidentă a valorii producţiei şi mijloacelor de producţie pentru producţia
mijloacelor de producţie pe orizontală şi pe vertical
(9.8.12)
rezultă că producţia acestei subgrupe a sectorului I, după acoperirea propriului fond de înlocuire,
, trebuie să fie egală cu fondul de înlocuire a celei de-a doua subgrupe din acelaşi sector, plus
necesarul de mijloace de producţie pentru acumulare în ambele subgrupe ale sectorului I.
Din egalitatea similară, scrisă pentru cea de a doua subgrupă a sectorului I
306

ezultă că valoarea producţiei mijloacelor de producţie pentru producerea obiectelor de consum
trebuie să fie egală cu fondul de înlocuire şi necesarul de noi mijloace de producţie pentru
acumulare în sectorul II.
§ 9.12.3. MODELUL LUI L. WALRAS
În anul 1874, profesorul L. Walras de la Universitatea din Lausanne a expus, în lucrarea
Eléments d'économie politique pure, teoria sa cu privire la echilibrul general în domeniul
schimbului, care poate fi prezentată sub forma unor ecuaţii de producţie [42 bis].
Sistemele ecuaţiilor de producţie construite de L. Walras cuprind următoarele elemente 98 :
O i (i =1 ,2,…,n )- oferta globală de servicii productive, prestate de factorul corespunzător
de producţie (munca, capitalul sau pămîntul).
— preţurile acestor servicii.
serviciilor productive.
preţurile bunurilor de consum.
, cererea de bunuri de consum care se pot produce prin folosirea
Autorul exprimă valoarea produselor, considerînd unul din bunurile produse ca măsură a
valorii, ceea ce înseamnă că preţul acestui produs este egal cu unitatea. în acest fel, numărul
bunurilor de consum se reduce la m - 1, iar numărul tuturor preţurilor care apar în ecuaţiile de
producţie va fi .
Atît oferta totală de servicii de producţie, cît şi cererea de bunuri de consum este o funcţie a
tuturor preţurilor, deci:
iar
(9.9.14)
Ultimul bun de consum s-a folosit ca măsură a valorii celorlalte produse şi de aceea ecuaţia
cererii pentru produsul n+m se exprimă ca diferenţă dintre valoarea serviciilor dintre valoarea
serviciilor productive (
și valoarea bunurilor de consum
Fiecare serviciu productiv se consumă pentru producerea doferotelor bunuri de consum şi
se compune din elementele deci:
98
Precizăm că în această lucrare este expus numai modelul matematic elaborat de L. Walras ; analiza
concepţiilor teoretice care stau la baza modelului nu constituie obiectul lucrării.
.
307

L. Walras a introdus noţiunea de coeficient de fabricaţie pe care 1-a definit prin raportul:
Aceşti coeficienţi arată ce cantitate din serviciul productiv i se consumă pentru a produce o
unitate din bunul j. L. Walras admite ipoteza că aceşti coeficienţi sînt mărimi constante
cunoscute şi că toate serviciile oferite se vor folosi în procesul de fabricare a bunurilor de
consuni. Această ipoteză i-a permis să construiască următorul sistem de ecuaţii:
A.
(9.8.16)
Care are n linii, m coloane şi n+m necunoscute. Coeficienţii de fibricaţie formează matricea
Tot pe baza coeficienţilor de fabricaţie şi în ipoteza că preţul bunului produs este egal cu
costul lui unitar mediu, L. Walras a construit un sistem de ecuaţii ale preţurilor pe care el le
numeşte şi ecuaţii ale cheltuielilor :
(9.8.17)
Acest sistem de ecuaţii are m linii, n coloane şi necunoscute. Coeficienţii sistemului
reprezintă transpusa matricei A.
Modelul prezentat de L. Walras are 2n+2m-1 necunoscute, în cele patru sisteme de ecuaţii:
308

Numărul ecuaţiilor este însă numai sînt independente.Astfel, dacă
sistemul (9.8.16) se înmulţeşte cu preţurile cu preţurile corespunzătoare, iar sistemul (9.8.17) cu
și
se obţine:
Însumînd toate ecuaţiile sistemului (9.8.18) se obţine :
iar prin însumarea ecuaţiilor sistemului (9.8.19) se obţine:
(9.8.18)
(9.8.19)
(9.8.20)
(9.8.21)
Se observă că partea dreaptă a ecuaţiei (9.8.20) este egală cu partea dreaptă a ecuaţiei
(9.8.21); deci există egalitatea :
care este echivalentă cu ultima ecuaţie a sistemului (9.8.15), adică :
L. Walras a ajuns la concluzia că toate ecuaţiile pot fi rezolvate, deoarece numărul ecuaţiilor
este egal cu numărul necunoscutelor.
Este uşor de observat că modelul elaborat de L. Walras se referă la un sistem închis. De
asemenea, trebuie precizat că acest model are un caracter teoretic, întrucît autorul nu a verificat
modelul pe baza unor date statistice. Modelul propus de L. Walras nu şi-a găsit aplicare practică,
în primul rînd, datorită faptului că nu s-a simţit nevoia socială a unei asemenea acţiuni ș , în al
doilea rînd, datorită faptului că rezolvarea modelului necesita un volum mare de calcule, iar
mijloacele tehnice din acea perioadă nu corespundeau acestei cerinţe.
§ 9.12.4. BALANŢA ECONOMIEI NAŢIONALE A U.R.S.S. PENTRU ANUL 1923/1924
O dată cu trecerea la economia socialistă în U.R.S.S. s-a pus problema conducerii planificate
a economiei naţionale. Una dintre sarcinile Direcţiei Centrale de Statistică a U.R.S.S. a fost
întocmirea balanţei economiei naţionale pentru anul 1923/1924 şi a balanţei preliminare pentru
anul 1924/1925. în 1926, Direcţia Centrală de Statistică a publicat ,,Balanţa economiei naţionale
309

a U.R.S.S. pe anul 1923/1924". Schema acestei balanţe este prezentată în tabelul 9.14 (vezi
tabelul se mai jos).
Ideea care a stat la baza întocmirii acestei balanţe constă în realizarea echilibrului dintre
intrările şi ieşirile fiecărui produs i = 1, 2, 3. De asemenea, se constată din schema expusă că
economia naţională este prezentată ca totalitatea unităţilor de producţie (trei furnizori şi cinci
beneficiari), iar fiecare ramură se aprovizionează de la alte ramuri ale economiei cu cantităţile
(i = 1 , 2 , 3 , ; j = 1, 2, 3, 4, 5). Elementele reprezintă partea din producţia ramurii i
repartizată ramurii j, pentru consum productiv curent şi pentru investiţii. Elementele cuprind
o parte din producţia X i, precum şi o parte din stocul la începutul perioadei şi din import
. Din această cauză matricea nu va caracteriza corect legăturile reciproce dintre ramuri. De
asemenea, trebuie precizat că schema balanţei prezentată în tabelul 9.14 nu pune în evidenţă
formarea acumulărilor materiale.
Faţă de această balanţă, metoda imput-output are avantajul că, pe baza elementelor cuprinse
în cadranul I al tabelului input-output, se poate calcula matricea coeficienţilor tehnici care
caracterizează legăturile reciproce în stadiile intermediare de producţie. Fără această matrice nu
se poate elabora sistemul ecuaţiilor de producţie, care oglindeşte condiţiile de concordanţă
internă între ramurile economiei naţionale.
Tabelel 9.14.
SCHEMA BALANȚEI U.R.S.S. PENTRU ANUL 1923/1924
Ra
muri
ale
econom
iei
naţi
onal
e
1
2
3
Total
Stoc
uri
La
înce
putu
l
peri
oade
i
Pr
od
ucţ
ia
Im
po
rt
Tot
al
Ieșiri
Consum productiv
1 2 3 4 5
Co
ns
um
ne
pro
du
ctiv
E
x
p
o
rt
Stoc
uri
la
sfîrşi
tul
perio
adei
To
tal
310

§ 9.12.5. METODA INPUT- OUTPUT
Din paragrafele precedente se desprinde concluzia că apariţia metodei input- output a fost
precedată de abordarea economiei ca un tot ale cărui părţi se intercondiţionează.
Noutatea metodei imput-output constă în faptul că descrie legăturile dintre ramuri în limbaj
matematic, ceea ce a permis măsurarea acestor legături, în afară de aceasta, meritul profesorului
W. Leontief constă în faptul că el a tratat balanţa legăturilor dintre ramuri nu numai ca metodă de
analiză economico-statistică, ci şi ca metodă matematică de programare liniară.
Analiza input-output nu este numai o metodă de interpretare teoretică a echilibrului general
al economiei, ci constituie, în primul rînd, o metodă de interpretare empirică a echilibrului
general, reprezentînd deci o metodă practică de acţionare.
Cercetările lui W. Leontief în această direcţie datează din anul 1931 cînd a conceput
elaborarea unui model cu scopul de a caracteriza structura economică a Statelor Unite. Primele
rezultate ale cercetărilor efecte de W. Leontief [102] apar în anul 1936 în „The Review of
Economici and Statistics".
În anul următor, el a publicat în aceeaşi revistă un articol în legătura cu corelaţia dintre preţ,
economii şi investiţii [103]. Precizăm că iniţial W. Leontief s-a folosit de un model închis şi abia
în lucrarea elaborată în 1939 el foloseşte un model deschis.
Principala lucrare a lui W. Leontief „The Structure of American Economy 1919-1929‖ [27]
în care a prezentat concepţiile teoretice care stau la baza modelului sau şi posibilităţile de
aplicare practică în analiza economică, a fost publicată în anul 1941, atrăgînd atenţia asupra
importanţei deosebite pe care o prezintă metoda input-output.
În urmatoarele lucrări, W. Leontief a perfecţionat modelul input-output şi, în acelaşi timp, a
abordat o serie de probleme cu privire la forţa de muncă, sistemul de preţuri, comerţ exterior etc.
În primele sale lucrări, el s-a ocupat într-o masură mai mică de aspectul dinamic al legăturilor
dintre ramuri. În anul 1953 apare articolul „Dinamical Analysis‖ [104], în care W. Leontief
expune, într-o formă mai completă, principiile metodologice ale modelului dinamic.
Faptul că în anul 1941 guvernul S.U.A. a apelat la analiza input-output pentru a cunoaste
modul cum razboiul va afecta economia natională a demonstrat că această metodă de analiză a
raspuns unor cerinţe stringente în domeniul conducerii economiei naţionale.
Posibilitaţile largi de folosire a modelului input-output în politica economică au determinat
elaborarea unor balanţe ale legăturilor dintre ramuri într-un număr mare de ţări. Practica
elaborării acestor balanţe a condus pe de o parte la perfecţionarea metodologiei, iar pe de altă
parte la rezolvarea unor probleme de teorie economica.
Trebuie subliniată valoarea metodei input-output nu numai în stabilirea planului de
311

activitate, ci şi în domeniul analizei şi explicării cauzelor care determina variaţia unui fenomen.
Cunoasterea acestor cauze este utilă politicii economice, în vederea luării unor decizii legate de
desfăşurarea actuală a fenomenului şi de planurile de perspectivă.
Metoda input-output este folosită în prezent în analiza şi conducerea activităţii de producţie
la nivelul întreprinderilor. Aplicaţiile metodei input-output la nivel microeconomic sînt multiple,
permiţind controlul producţiei şi al stocurilor, calculul costurilor, adoptarea unor decizii privind
investiţiile etc.
De asemenea, metoda input-output poate fi aplicată la studierea legăturilor dintre diferitele
regiuni economice ale unei țări.
Utilitatea metodei input-output reiese din valoarea sa teoretică şi mai ales din valoarea sa
practică. De aceea, este incontestabil faptul că metoda input-output are o utilitate mai mare într-o
economie planificată unde există posibiliţăti de folosire a balanţei legăturilor dintre ramuri
pentru planificarea centralizată a economiei nationale. In prezent, majoritatea ţărilor socialiste au
întocmit balanţe ale legăturilor dintre ramuri. În ţara noastră se efectuează lucrări pregătitoare, în
vederea întocmirii balanţei statistice şi legăturilor dintre ramuri.
Balanţe ale legăturilor dintre ramurile economiei românesti. S-a aratat că balanţa legăturilor
dintre ramuri permite aprofundarea analizei corelaţiilor și proporţiilor dintre ramuri.
Folosirea în analiza balanţei legăturilor dinte ramuri în ţara noastră poate fi ilustrată pe baza
balanţelor sumare ale legăturilor dintre ramuri pe anii 1929 şi 1938 întocmite de M. A. Lupu
pentru economia Romaniei [110]. În tabelele care urmează sînt prezentate aceste balanţe:
Tabelul 9.15.
BALANŢA LEGĂTURILOR DINTRE RAMURI (1929)
Nr.
crt.
1
2 3 4
Ramura Agricultura
Agricultura
Industria
Construcţii
Servicii
2516
2
1
Industrie
15
49
3
10
Construc
ţii
Servicii
2143 2
111
20
Total Export Con
sum
44771034 18,710,3
-
-
în miliarde lei-aur 1929
69,6
39
6
41
Investiţii
2
10,5
1,5
1
Total
producţie
134,3
136,8
17,5
76
5 Total 44 77 10 34 165 29 155,6 15,0 364,6
6
7
Import
Valoarea
adăugată
8 Total producţie
6,384 20,839 1,56 141 29,6170
134,3 136,8 17,5 76 364,6
312

Tabelul 9.16.
BALANŢA LEGĂTURILOR DINTRE RAMURI (1938)
Nr.c
rt.
1
234
Ramura Agricultura
Agricultura
Industria
Construcţii
Servicii
22,418
2
1
Ind
us-
trie
16
49,
4
2
5 Total 43,4 11 78,
4
6
7
Import
Valoarea
adăugată
8 Total
producţie
6,3
71,2
9,6
49,
1
134,3 136,
8
Construcţii
2
14,5
3
Servicii
3
10
2
28
Total Export Consu
m
43,4
78,6
10,543
11,99,6
-
-
în miliarde lei-aur 1938
63,9
28,7
6,1
46,4
Investiţii
1,6
20,4
2
1
Total
producţi
e
120,8
137,1
18,690,6
10,5 43 175,3 21,5 145,3 25 367,1
1
7,1
2
45,6
18,8173,0
18,6 90,6 367,1
Aceste balanţe permit analiza produsului social, a cheltuielilor materiale, a venitului
național, a importului şi exportului etc.
Trebuie precizat că datele celor două balanţe au fost exprimate în moneda anului respectiv şi
ca urmare cifrele nu sînt comparabile. Totuşi, se pot obţine unele concluzii prin compararea
matricelor coeficienţilor cheltuielilor directe calculate pentru cele două balante:
0,186 0,110 0,114 0,026
0,185 0,117 0,108 0,033
A1929 = 0,119 0,358 0,057 0,147 ; A1938 = 0,149 0,360 0,054 0,110
0,015 0,022 0,229 0,013
0,017 0,015 0,242 0,022
0,007 0,073 0,171 0,263
0,008 0,080 0,161 0,309
În primul rînd se constată existenţa unor consumuri interne ridicate care se explică prin
agregarea puternică a ramurilor. De asemenea, se constată că au crescut fluxurile între industrie
şi agricultură, care se explică prin creşterea ponderii materiilor prime agricole prelucrate în
industrie și creşterea livrărilor de produse industriale către agricultură. Analizînd ramura
,,servicii‖ se observă că au crescut cheltuielile pentru servicii.
§ 9.13. INTERPRETAREA CIBERNETICĂ A BALANŢEI LEGĂTURILOR
DINTRE RAMURI
Dezvoltarea economică şi socială impune folosirea unor metode adecvate de conducere şi de
313

organizare a producţiei, care la rîndul ei constituie un factor hotărîtor al dezvoltării poteţialului
economic.
Conducerea şi organizarea producției au devenit astăzi o ştiinţa cuprinzînd un domeniu vast,
în care se interfereaza ramurile moderne ale matematicii şi ale știinţelor economice. Obiectivul
principal al ştiinţei conducerii îl constituie stabilirea principiilor generale ale programării şi
dirijării optime a activităţii de productie.
Un rol deosebit in ştiinta conducerii îl are dezvoltarea ciberneticii. Prin extinderea
domeniului sau de studiu, care iniţial se ocupă de principiile de funcţionare a autoreglării în
organismele vii şi sistemele tehnice, cibernetica a devenit o ştiinţă a comenzii şi comunicării în
cadrul diferitelor sisteme, prin sistem înţelegîndu-se un grup de elemente care au o anumită
structură şi care pot trece prin diferite stări. Ea se ocupă de sistemele formate din elemente care
se află în conexiune (elemente legate între ele prin acţiuni cauză-efect).
În economia socialistă, ansamblul de elemente care compun sistemul economic poate fi
organizat în mod adecvat în vederea conducerii proceselor social-economice, ceea ce înseamnă
că ciberneticii i se rezervă un loc deosebit de important în domeniul planificării şi conducerii
economiei naţionale.
Astfel economia națională se poate interpreta ca un sistem cibernetic. Prezentarea ei ca atare
servește atît scopurilor de cunoaștere, cît şi practicii economice, datorită faptului că cibernetica
permite sesizarea principalelor legături dintre elementele sistemului economic, precum şi
cercetarea modului de funcţionare a sistemelor şi proceselor economice. Abordarea fenomenelor
economice prin mijloace cibernetice permite, pe de o parte, obţinerea unor noi sintetizari şi
abstractizări şi, pe de altă parte, crearea unor instrumente riguroase şi precise de conducere a
economiei.
Balanţa legăturilor dintre ramuri evidenţiază conexiunile dintre fenomenele economice ale
economiei naţionale sub aspect cantitativ sau valoric; deci, cu ajutorul ei se poate caracteriza
interacţiunea generală dintr-o economie naţională, concepută ca un sistem cibernetic. Din punct
de vedere matematic, balanţa legăturilor dintre ramuri constituie un macromodel, în care
interacţiunile dintre ramuri sînt exprimate prin relaţii matematice.
Din cele arătate pînă aici se poate spune că în acest sistem cibernetic apar procese şi
categorii specifice ciberneticii: conexiune inversă (feedback), cutie neagră, sistem închis, sistem
deschis, perturbaţie, stabilitate, comandă, reglare, circuit de reglare etc.
Pentru a lămuri noţiunea de conexiune inversă (feedback) vom cosnsidera un sistem reglat S
asupra căruia acţionează anumiţi factori care produc un efect. Acesta acţionează asupra unui
regulător R care, la rîndul său, acţionează asupra sistemului examinat. Ansamblul format din
sistemul reglat S şi cel regulător R se numeşte sistem de reglare şi poate fi reprezentat printr-o
314

schemă bloc (vezi fig. 5). Factorii externi acţionează asupra sistemelor S şi R prin intrări (mărimi
externe la care sistemul acţionează într-un anumit fel), iar sistemul acţionează asupra mediului
exterior prin ieşiri. Cînd un fenomen trebuie să urmeze un model dat, diferenţa dintre mişcarea
efectivă a fenomenului şi modelul dat este folosită ca o nouă mărime de intrare. În acest fel se
corectează mişcarea efectivă a fenomenului, apropiindu-se de cea trasată.
Prin cutie neagră se înţelege un sistem cu o intrare şi o ieşire, a cărui structură internă nu se
cunoaşte. Descrierea stărilor sale se face după marimile de intrare şi ieșire. Aceasta permite
abordarea studiului unor fenomene foarte complicate, fără reducerea lor la cazuri simple, care
este de fapt imposibilă. Este foarte indicată aplicarea principiului cutiei negre în studierea
fenomenelor economice, ca urmare a marii complexităţi a acestora şi a imposibilităţii reducerii
lor la cazuri simple, fară a se altera sensibil rezultatele studiului.
Prin sistem deschis se înţelege un sistem care primeşte date (informaţii) din exterior şi dă în
exterior rezultatul evoluţiei sistemului, în funcţie de datele primite.
Un sistem care nu comunică cu exteriorul se numeşte sistem închis. Evoluţia sa, precum şi
însăşi conceptul său implică autoreglarea (feedback-ul).
Ambele tipuri de sisteme sînt utile în studiul fenomenelor economice.
Prin perturbaţie se înţelege o schimbare cu caracter neprevăzut, care intervine fie în
mărimea de intrare a sistemului, fie pe canal. Schimbarea poate fi pozitivă sau negativă.
Echilibrul sistemului care, sub aspect cibernetic, se interpretează ca stabilitate a sistemului,
se realizează prin reglare.
În cadrul economiei naţionale, stabilitatea sistemului se asigură prin respectarea proporţiilor
cunoscute. Mărimile care trebuie reglate sînt: producţia acumularea, investiţiile, consumul
individual etc. Nivelul acestor mărimi se stabileşte prin planul economiei naţionale şi de aceea o
reglare corespunzătoare necesită o cunoaştere exactă a mărimii de reglare. Ca urmare a modului
de transmitere a informaţiilor şi a inerţiei cu care reacţionează mărimea de reglare asupra
comenzilor, pot apărea perturbaţii. Organizînd în mod corespunzător circuitele de reglare ale
sistemului economic, astfel încît mărimile reglate să se menţină între limitele prevăzute de plan,
aceste perturbaţii se pot elimina.
Dacă notăm cu S un sistem reglat, cu R regulatorul acestui sistem, cu X mărimea de intrare a
sistemului şi cu Y mărimea de ieşire, atunci faptul că în acest sistem are loc transformarea stării
de intrare X în starea de ieşire Y se poate reprezenta prin schema reprodusă în fig. 5 .
În cazul în care S este un operator liniar, transformarea stării de intrare în stare de ieşire se
stabileşte prin relaţia :
Y= SX.
Regulatorul R are menirea să corecteze orice abatere a stării de ieşire Y de la valoarea
315

planificată. Corecţia mărimii de intrare X depinde de mărimea Y. Dacă regulatorul realizează o
transformare proporţională cu capacitatea de trecere R, atunci corectivul pe care regulatorul îl
aduce mărimii de intrare a sistemului este:
= RY
X Y
+
S
Fig. 5
deci, mărimea de intrare devine X + ΔX. În urma acestei modificări a mărimii de intrare X,
mărimea de ieşire Y va avea valoarea :
sau
deci:
Y = S(X + ΔX) = S(X + RY)= SX + SRY
Y - S R Y = S X .
Y=
X. (9.9.1)
Această relaţie arată modul de acţionare a conexiunii inverse şi reprezintă formula
fundamentală a reglării. Numărul S se numeşte capacitate de trecere sau transmitenţa;
numeşte operatorul conexiunii inverse, iar
de reglare.
se numeşte capacitatea de trecere a sistemului
Fiind date mărimile S şi R, pe baza relaţiei (9.9.1) se poate stabili mărimea de intrare X
pentru a se obţine mărimea dorită a lui Y.
În sfîrșit, cînd este vorba de scheme mai complicate, vom remarca că operatorul unei
transformări în care două sisteme sînt legate în paralel este egal cu suma operaţiilor celor două
sisteme, iar operatorul unei transformări în care sistemele sînt legate în serie este egal cu
produsul celor doi operatori:
X
T1
T
2
Y1
Y2
+
R
Fig. 6.
se
316

X Y1
T1
Y1 = T1X
Y2 = T2X
Y = Y1 + Y2 = ( T1 + T2 ) * X
Y1 = T1X
Y2 = T2Y1
Y = ( T2 T1 ) X
În legătură cu capacitatea de trecere, se pot formula urmatoarele două teoreme :
1. Capacitatea de trecere totală a sistemelor legate în paralel este egală cu suma
capacităţilor de trecere a acestor sisteme.
2. Capacitatea de trecere totală a sistemelor legate în serie este egală cu produsul capacităţilor
de trecere a acestor sisteme.
După cum s-a arătat, Karl Marx a analizat reproducţia simplă şi reproducţia lărgită,
presupunînd economia naţională împărţită în două sisteme: unul care produce mijloace de
productie şi altul care produce bunuri de consum. Foarte abstractă si generală, aceasta balanţa cu
două ramuri exprimă esenţa procesului reproducţiei. Balanţa cu mai multe ramuri nu face decît
să generalizeze acest aspect relevat de schemele reproducţiei ale lui Marx.
Să pornim de la schemele lui Marx pentru reproducţia lărgită:
+ + + + = X1
+ + + + = X2 (9.9.2)
în care şi reprezintă capitalul constant,v1 şi v2 reprezintă capitalul variabil, plc şi p2c partea
din plus valoare folosită pentru mărirea capitalului, şi partea din plus valoarea folosită
pentru mărirea capitalului variabil, iar şi partea din plus valoare pentru consumul
individual.
În cazul economiei socialiste, aceste simboluri își schimbă conţinutul economic, însă tratarea
matematică şi cibernetică a problemei ramîne identică.
Dacă se va face următoarea grupare a ecuaţiilor :
+ + + + = X1
se va putea arăta condiţia de echilibrare a reproducţiei lărgite:
Pot fi introduşi următorii coeficienţi:
T
2
+ + + = X2 (9.9.3)
+ = + +
317

a1c =
α1c =
a2v =
α2v =
α21 =
coeficientul cheltuielilor de mijloace de producţie în sectorul I;
coeficientul de acumulare a mijloacelor de producţie în sectorul I;
coeficientul cheltuielilor de muncă vie în sectorul II;
coeficientul acumulării de capital variabil în sectorul II;
rata consumului neproductiv al valorii produsului în sectorul II.
Folosind aceste notaţii, ecuaţiile (9.9.3) devin:
şi pot fi scrise astfel:
alcX1+ α1cX1+ vl + plv + p11= X1
c2 + p2c + a2 vX2 + α2vX2+ α21 X2 = X2
X2 =
X1 =
(9.9.4)
Formele acestor ecuaţii sînt analoge celor ale formulei reglării, evidenţiind fenomenul de
conexiune inversă, care apare în reproducţia lărgită, respectiv într-o balanţă a legăturilor dintre
ramuri.
+ + X1
Fig. 7
Aceste formule justifică abordarea problemei balanţei legăturilor dintre ramuri din punctul
de vedere al teoriei reglării şi conexiunii inverse .
+
Acestor formule le corespund urmatoarele scheme:
Schema din fig. 7 arată că + + se transformă integrala în X1 , avînd un regulător dat
de sumă dintre coeficientul cheltuielilor mijloace de producție în sectorul I (a1c) şi coeficientul
de acumulare a mijloacelor de producţie în sectorul I ( ).
Schema din fig. 8 arată că c2 + p2c se transformă integral în X2, avind un regulător egal cu
suma dintre coeficientul cheltuielilor de muncă vie în:
+
1
X1
318

C2+p2c X2
(a1v+α2v+α21)X1X2
Yi
X1
X2
.
.
(i ) .
Fig. 8
. Xi
Fig. 9
sectorul II (a2v), coeficientul acumularii de capital variabil în sectorul II (α2v) şi rata consumului
neproductiv al valorii plus produsului în sectorul II (α21).
În cazul în care economia naţională este împărţită în mai multe ramuri, ecuaţiile de
repartizație și ecuaţiile cheltuielilor de producție :
pot fi scrise în felul următor:
1
ai1
ai2
Xn
+
Xi =
Xi =
Xi =
+
+
1
+
+ +
Xj + Yi(i= 1,2, ... , n) (9.9.5)
Xi + Si + Pi(i= 1,2, ... , n) (9.9.6)
Xj + Yi)(i= 1,2, ... , n) (9.9.7)
Xi
319

sau
Xi =
(Si + Pi)(i= 1,2, ... , n) (9.9.8)
Ecuaţiile (9.9.7) şi (9.9.8) pot fi reprezentate sub forma unor scheme bloc (fig.9 și fig.10).
Sistemul de ecuaţii (9.9.5 ) poate fi scris şi sub formă matricială X= AX +Y
X-AX= Y
(I- A)X = Y
Si+Pi Xi
.
.
.
Fig. 10
Rezolvarea acestui sistem se face pe baza relatiei (I-A) -1 Y = X sau X=
schema reprodusă în fig.11 unde Y este mărimea de intrarea şi X mărimea de ieșire.
Pentru cheltuielilor de producţie ecuaţiile sînt :
cu soluţia:
+
X = A‘X + (S+P)
X = (I- A‘) -1 (S+P)
S+P X
A‘X
+
+
1
a 21
Fig. 11
1
A´
Xi
Y , care are
320

sau
Y X
+
I
AX
X =
Fig. 12
Schema bloc a acestui sistem de ecuaţii este prezentată în fig.12.
Intrarea sistemului este (cheltuieli de muncă vie) şi X (ieșirea).
Interpretarea economiei naţionale ca un sistem cibernetic face două servicii muncii de
planificare. În primul rînd, permite ca - pe baza economiei politice marxiste – să se pună în
evidenţă conexiuni cantitative care pot fi folosite în scopul planificării şi, în al doilea rînd,
permite optimizarea activităţii organelor care conduc munca de planificare.
Folosirea matematicii şi ciberneticii în conducerea şi planificarea economiei oferă o privire
de ansamblu mai bună asupra economiei, simplifică sistemul de conducre şi permite abordarea
mai ușoară a întregului complex social.
BIBLIOGRAFIE:
L, Tovissi, E. Țigănescu, Balanța legăturilor dintre ramuri, Editura Științifică, București, 1969.
A
.
321

CAPITOLUL X: ANALIZA DINAMICĂ A LEGĂTURILOR DINTRE RAMURI
Producţia fiecărei ramuri se determină în funcţie de cererea finală care se stabileşte prin
plan. Modul de stabilire a cererii finale nu a fost analizat, deoarece s-a considerat că volumul ei
este determinat în afara sistemului, iar capacitatea de producţie a fiecărei ramuri nu limitează
volumul producţiei. Posibilitatea îndeplinirii sarcinilor de producţie pentru perioada care
urmează depinde de capacitatea de producţie a fiecărei ramuri şi deci de volumul investiţiilor
productive care se fac în scopul lărgirii capacităţilor de producţie. Necesarul de obiecte de
investiţii al fiecărei ramuri depinde de sarcina de producţie ( ) stabilită pentru perioada
următoare. Exprimarea cantitativă a acestor dependenţe se realizează cu ajutorul analizei
dinamice a legăturilor dintre ramuri. Trebuie precizat că cercetările făcute în acest domeniu nu
au rezolvat toate problemele pe care le ridică tratarea teoretică şi mai ales aplicarea practică a
modelelor dinamice.
§ 10.1. MODELUL DINAMIC AL LUI W. LEONTIEF
Pentru a analiza influenţa pe care o exercită investiţiile făcute într-o perioadă de timp
asupra producţiei din perioada următoare, W. Leontief pleacă de la următoarea matrice:
Fiecare element 1, 2, ..., n) al acestei matrice arată volumul de mijloace fixe şi
circulante folosite în fiecare ramură în anul de bază și provenienţa lor.
De exemplu reprezintă volumul mijloacelor de producţie existent în momentul
respectiv în ramura n şi care provin din ramura 1. În afară de aceasta, ramura n este înzestrată cu
mijloace de producţie provenite de la celelalte ramuri ( ... ). Prin raportarea acestor
indicatori la volumul producţiei ( ) se obţine volumul de mijloace de producţie necesar pentru
a produce o unitate din produsul :
(10.1)
Coeficienţii se numesc coeficienţi de investiţii şi se presupun constanţi pentru o
anumită perioadă.
Din relaţiile (10.1) se deduce imediat
(10.2) .
.
.
322

Această funcţie pune în evidenţă legătura dintre producţia fiecărei ramuri şi înzestrarea
cu mijloace de producţie. Dacă se presupune că modificările ce intervin în producţia ramurii şi
în înzestrarea cu mijloace de producţie sînt continue în timp, atunci funcţia
dată prin relaţia (10.2) poate fi diferenţiată în raport cu timpul :
(10.3)
Această relaţie arată că sporul investiţiilor în ramura j, sub forma de mijloace de
producţie din ramura , este de ori mai mare decît sporul producţiei ramurii j.
(10.4)
Producţia fiecărei ramuri poate fi descompusă în următoarele componente:
Prima sumă din partea dreaptă a relaţiei (10.4) reprezintă necesarul de materii prime
pentru producţia curentă a ramurilor , din producţia ramurii ; iar
de mijloace de producţie al ramurilor . Ultimul element
.
.
reprezintă necesarul
exprimă produsul final destinat
consumului neproductiv, investiţiilor neproductive şi exportului. Dacă în sistemul (10.4) se
introduc coeficienţii consumurilor directe , și coeficienţii investiţiilor se obţine următorul
sistem de ecuaţii:
(10.5)
Acesta este un sistem de ecuaţii liniare diferenţiale, deoarece mărimea
.
exprimă
modificări care se produc în timp. Rezolvarea sistemului (10.5) se face pe baza următoarei
formule:
(10.6)
în care mărimile sînt constante.
Coeficienţii depind de coeficienţii consumurilor directe şi de
coeficienţii investiţiilor ; deci ei caracterizează structura economiei naţionale din punct de
vedere tehnic.
formulelor:
(10.7)
în care:
De exemplu, pentru un sistem de două ecuaţii, aceşti coeficienţi se determină pe baza
,
,
323

(10.8)
Coeficienţii se determină pe baza formulelor:
iar coeficienţii şi pe baza formulelor:
(10.9)
În aceste relaţii și reprezintă valoarea producţiei celor două ramuri în
momentul iniţial .
Deoarece coeficienţii şi au fost calculaţi mai înainte, prin rezolvarea sistemului
(10.9) se obţin coeficienţii și .
După calcularea acestor coeficienţi în sistemul (10.6) apar numai variabilele şi ; deci
se poate admite ipoteza modificării în timp a producţiei și se pot studia curbele .
Trebuie precizat că valorile coeficienţilor şi pot suferi modificări în timp şi din
această cauză nu ne putem depărta prea mult de momentul iniţial.
Ultimul termen al relaţiei (10.6) notat cu este o funcţie care arată influenţa
exercitată de cererea finală a celorlalte sectoare asupra producţiei. Această influenţă depinde de
modificările care se produc în timp în cererea consumatorului şi a exportului. Dacă presupunem
că dinamica cererii poate fi caracterizată cu ajutorul unei funcţii liniare de forma:
(10.10) ,
atunci influenţa cererii finale se determină tot pe baza unei funcţii liniare care are forma:
(10.11) ( .
Constantele şi depind de coeficienţii şi , precum și de coeficientul
care se determină pe baza datelor unei cercetări. De exemplu, pentru un sistem de două ecuaţii
trebuie să se calculeze și Sistemul iniţial al ecuaţiilor de balanţă se poate scrie
astfel:
(10.12)
Expresiile şi se cunosc din relaţiile (10.10) deoarece ele s-au obţinut prin
ajustarea seriei cronologice a cererii consumatorului și a exportului. Pentru a calcula coeficienţii
și ai funcţiei , se presupune că:
.
.
.
.
,
324

Aceste mărimi se introduc în sistemul (10.12). Pentru ca ecuaţiile să fie satisfacute pentru
toate valorile variabilei , se egalează cu zero fiecare din grupele de elemente, obţinute după
gruparea termenilor în sistemul (10.12). Ca urmare, se obţine un sistem omogen de patru ecuaţii
cu patru necunoscute . Rezolvînd acest sistem, se determină valorile
acestor necunoscute.
două ramuri):
Sistemul de ecuații dinamice dat prin relația (10.6) se poate scrie acum astfel (pentru
Se observă că singura variabilă independentă este timpul ; celelalte mărimi sunt
constante și depind de structura economică și de nivelul inițial al producției. Pentru diferite
valori a lui se obține producția fiecărei ramuri după un anumit număr de ani.
În stabilirea modelului dinamic, W. Leontief a plecat de la relația (10.3). Această relație
pune în evidență faptul că la baza acestui model dinamic stă principiul accelerării sub formă
continuă, al cărui neajuns constă în faptul că nu ia în considerație elementul ireversibilității
procesului de acumulare, adică în cazul în care producția unei ramuri se restrînge, se pot reduce
numai mijloacele circulante, iar mijloacele fixe rămîn fără modificări. Aceasta înseamnă că
trebuie să se admită ipoteza că modificările în înzestrarea cu mijloace de producție sînt egale cu
zero:
Deoarece
.
, relația de mai sus este satisfăcută atunci cînd . În acest caz, în
calculul coeficienților , și ai sistemului de ecuații dinamice (10.6) trebuie să se țină
seamă că în ramurile care își reduc producția, coeficientul de investiții este egal cu zero.
W.Leontief a adus modelului de bază, prezentat mai sus, unele modificări, care au fost
prezentate și în cadrul unei conferințe ținute în Romînia în anul 1968 cu prilejul vizitei sale în
țară. Astfel, el a stabilit următoarea relație pe baza căreia se calculează produsul final:
în care și este vectorul produsului final și vectorul producției în anul , iar este
matricea coeficienților de capital pentru anul . Soluția acestui sistem de ecuații scris mai
sus este:
De asemenea, W. Leontief a arătat că pentru diferite valori ale lui , se poate calcula o
matrice a consumatorilor directe care reprezintă consumurile din anul respectiv, pentru anul
curent și pentru anii următori.
,
.
.
325

Anul 1 2 3 …
1 A A A … A
2 0 A A … A
3 0 0 A …A
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
t 0 0 0 … A
Această formă de prezentare permite analiza modificării în timp a coeficienţilor
consumurilor directe.
§ 10.2. MODELUL DINAMIC AL LUI O. LANGE
În vederea determinării influenţei pe care o exercită investiţiile făcute într-o perioadă de
timp, de exemplu în anul , asupra producţiei din perioada următoare, de exemplu, în anul
, O . Lange a împărţit produsul final din ramura în anul , în produs final destinat
consumului
(10.13)
și produs final destinat acumulării
; deci:
Planul de producţie pentru anul următor este legat de planul anului t prin
acumularea obţinută în anul .
Produsul final acumulat din ramura i este destinat investiţiilor în ramura j. Dacă se
notează cu partea din produsul final al ramurii, investită în mijloacele de producţie ale
ramurii j, se poate scrie relaţia:
(10.14)
Caracterizarea aspectului dinamic al programului de producţie se realizează stabilind
legătura dintre produsul final din ramura i investit în ramura în anul şi creşterea
producţiei ramurii în anul , adică .
Pentru a stabili legătura dintre şi trebuie să se țină seama de termenul de
amortizare a fondurilor fixe fabricate în ramura i şi investite în ramura j.
de ramura .
O. Lange a notat cu termenul de deservire a maşinilor produse în ramura şi folosite
De exemplu, pentru a mări producţia ramurii cu o unitate, trebuie să investim, în
ramura , de ori mai multe produse din ramura decît consumul lor anual. Deoarece
.
326

creşterea consumului anual este , legătura dintre investiţii şi creşterea producţiei se
obţine din relaţia:
(10.15) .
Putem să o notăm cu , iar sistemul (10.15) devine:
(10.16) .
(10.17)
Din această relaţie deducem imediat că:
Mărimea se numeşte coeficient de investiţii. Pentru valori ale lui se
obţine matricea coeficienţilor de investiţii:
Cunoaşterea coeficienţilor de investiţii permite să se stabilească ce cantitate de produs
final obţinut în anul în diferite ramuri trebuie repartizat ramurii j pentru a mări producţia
acestei ramuri cu o unitate. Din relaţia (10.16) se obţine prin însumare:
(10.18)
Acest sistem de ecuaţii exprimă dependenţa dintre produsul final destinat pentru
investiţii în diferite ramuri ale economiei naţionale şi creşterea producţiei globale în aceste
ramuri în anul următor.
Sistemul de ecuaţii (10.18) are necunoscute:
. De aceea, pentru rezolvarea lui trebuie stabilite în mod arbitrar dintre
aceste necunoscute. Astfel, dacă este stabilit programul de creştere a producţiei în fiecare
ramură se pot determina cantităţile de produse ce trebuie investite, sau dacă sînt stabilite
cantităţile de produse acumulate, destinate investiţiilor
creşterea producţiei fiecărei ramuri .
(10.19)
Folosind scrierea matricială, sistemul (10.2.6) va avea forma:
.
.
, atunci se calculează care este
Creşterea producţiei fiecărei ramuri se obţine înmulţind la stînga vectorul produsului
.
.
;
327

final acumulat cu inversa matricei coeficienţilor de investiţii 99 :
(10.20)
Din punct de vedere economic, coeficienţii arată cu cît trebuie să crească producţia
ramurii pentru a asigura creşterea cu o unitate a investiţiilor în ramura .
După ce s-a calculat producţia pentru anul prin relaţia , se
efectuează împărţirea produsului final în acumulare şi consum. Aceasta permite să se calculeze
producţia pentru anul 2 etc., folosind relaţia (10.20). Se remarcă faptul că investiţiile
începute în primul an deschid procesul de creştere a producţiei pentru anii următori.
În acelaşi mod se poate construi modelul dinamic în cazul cînd elementele balanţei sînt
exprimate valoric. Punctul de plecare îl constituie împărţirea produsului final obţinut în ramura
în anul , în partea consumată
şi partea acumulată
Coeficientul investiţiilor exprimat valoric se obţine astfel:
Dacă preţurile sînt proporţionale cu valoarea produselor, atunci coeficienţii investiţiilor,
, exprimă cantitatea de muncă socială care, sub forma produselor din ramura , urmează să
fie investite în ramura , în vederea creşterii cu o unitate a producţiei în ramura .
Soluţia problemei se obţine în mod similar ca în cazul modelului dinamic al balanţei
legăturilor dintre ramuri, în expresie naturală 100 .
(10.21)
Exemplu.
Considerăm o balanţă compusă din două ramuri. Destinaţia producţiei fiecărei ramuri
pentru investiţii şi consum este dată în tabelul de mai jos:
99
100 Pentru a simplifica scrierea matematică, coeficienţii investiţiilor exprimaţi valoric s-au notat tot cu .
.
.
:
.
.
328

Ramura Consum
productiv în
ramura
Produs final
acumulat și
folosit în
ramura
1 2 1 2
Produs
final
consumat
Producția
globală
Creșterea
producției
față de anul
precedent
1 40 90 80 150 40 400 40
2 120 240 10 20 210 600 50
Pe baza acestor date se poate calcula matricea coeficienţilor cheltuielilor directe :
precum şi matricea coeficienţilor de investiţii
Elementele acestei matrice s-au calculat astfel:
După cum s-a arătat mai înainte, pentru a stabili creşterea producţiei în anul următor
trebuie să se calculeze inversa matricei coeficienţilor de investiţii pe care am notat-o cu :
Produsul final acumulat al fiecărei ramuri pentru perioada de bază se determină pe baza
datelor din tabelul de mai sus:
Deci, creşterea producţiei faţă de anul precedent se calculează pe baza relaţiei:
Producţia globală a fiecărei ramuri pentru se stabileşte uşor, adăugînd această creştere
la producţia anului de bază:
După ce s-a stabilit valoarea producţiei globale pentru perioada , trebuie să se
împartă această producţie în consum productiv curent
,
.
.
.
.
.
.
produs final acumulat
329

şi produs final destinat consumului
Consumul productiv curent (fluxul interramuri) este uşor de stabilit, deoarece sînt
cunoscuţi coeficienţii cheltuielilor directe :
Rămîne să se determine produsul final acumulat şi produsul final destinat consumului.
Dacă partea care se acumulează se stabileşte prin plan, se va obţine o creștere a producţiei bine
determinată, în cazul în care se menţin constanţi coeficienţii investiţiilor. În acest caz, produsul
final destinat consumului
.
se obţine ca diferenţă între producţia globală a fiecărei ramuri
şi partea din producţie repartizată pentru consum productiv curent şi acumulare. Se poate
proceda şi invers, adică se stabileşte prin plan produsul final destinat consumului
partea acumulată rezultă prin diferenţă.
Considerăm că pentru perioada următoare se stabileşte prin plan volumul acumulărilor.
Trebuie precizat că mărimea acestui indicator nu este arbitrară. Limita superioară pe care o
putem admite pentru
consumului este egal cu zero.
.
, iar
se obţine, dacă acceptăm ipoteza că produsul final destinat
Pentru cazul examinat, limita superioară a acumulărilor în anul este:
Folosirea acestor acumulări pentru investiţii este determinată de programul de
perspectivă al economiei naţionale şi de structura tehnologică. Astfel, dacă volumul investiţiilor
va fi egal cu volumul maxim al acumulărilor stabilit mai sus, creşterea producţiei se obţine din
relaţia :
Cauza acestui rezultat – care din punct de vedere economic este lipsit de sens – o
constituie raportul greşit dintre
și
, în comparaţie cu matricea coeficienţilor de
investiţii (sau, ceea ce este acelaşi lucru, în comparaţie cu matricea ). Raportul dintre
și
, care să asigure dezvoltarea armonioasă a economiei naţionale, se stabileşte în primul
rînd pe baza analizei coeficienţilor de investiţii . Astfel, se constată că investiţiile efectuate
în ramura a doua sînt mai puţin productive decît cele din prima ramură .
Creşterea generală a producţiei se realizează fie prin mărirea eficacităţii investiţiilor, mai
ales în ramura 2, fie prin micşorarea ritmului de dezvoltare a ramurii 2 şi creşterea ritmului de
.
330

dezvoltare în ramura 1, pe baza sporirii investiţiilor în aceasta din urmă.
De asemenea, trebuie să se ţină seama de destinaţia economică a producţiei fiecărei
ramuri. Vom presupune că ramura 1 cuprinde industria constructoare de maşini şi întreprinderile
de construcţii-montaj, iar ramura 2 produce materii prime şi bunuri de consum. După cum se
ştie, dezvoltarea rapidă a economiei naţionale presupune un ritm mai mare de creştere a
producţiei în ramurile sectorului I. În cazul examinat, aceasta se realizează prin creşterea
investiţiilor în ramura 1. De aceea, planul de producţie pentru anul se va stabili plecînd de
la premisa că plusprodusul ramurii 1 se foloseşte pentru investiţii în întregime
(10.22)
. Creşterea producţiei şi se stabileşte pe baza ecuaţiilor:
În varianta adoptată s-a considerat că, din produsul final al ramurii 2, s-au folosit pentru
unităţi valorice. Trebuie precizat că mărimea acestui indicator s-a stabilit ținînd
seama de matricea coeficienţilor de eficacitate a investiţiilor, astfel încît şi să fie
pozitive. Pentru a găsi soluţia optimă, se vor compara mai multe variante. În cazul unei balanţe
cu mai multe ramuri, această problemă nu se poate rezolva decît cu ajutorul maşinilor
electronice.
Cunoscînd volumul acumulărilor în cele două ramuri
putem calcula pe şi :
Producţia globală a celor două ramuri în anul , se calculează astfel:
Mărimea producţiei globale în anul următor depinde de modul cum se va împărţi
produsul final al fiecărei ramuri în fond de acumulare şi fond de consum. La fel ca în perioada
precedentă, putem decide asupra folosirii produsului final. În ramura 1 produsul final este:
Dacă stabilim că produsul final acumulat în ramura 1 este
partea destinată consumului va fi:
.
.
.
şi
, atunci
De asemenea, vom considera că prin plan s-a stabilit că producţia ramurii 1 trebuie să
crească cu unităţi valorice. Înlocuind valorile cunoscute în sistemul (10.22)
,
331

obţinem
În acest caz, variabilele dependente sînt şi
rezolvarea sistemului de mai sus, obţinîndu-se:
Exactitatea calculului se poate verifica folosind matricea D -1 :
Deoarece se cunoaşte
destinată consumului în anul ,
.
.
.
care se determină prin
, se poate stabili partea din produsul final ai ramurii 2
Producţia globală a celor două ramuri în anul este:
Se observă că după trei ani, nivelul producţiei în cele două ramuri s-a apropiat foarte
mult. Aceasta se explică prin faptul că s-a imprimat un ritm mai mare de creştere a producţiei
ramurii 1.
Rezultatele obţinute prin aplicarea acestui model pentru trei perioade pot fi sintetizate
în tabelul de mai jos:
Nr.
crt.
Indicatori
Timpul
.
0 1 2 3
1 Producția globală 400 440 548 678
2 Producția globală 600 650 677,5 707,5
3 Produs social total (X) 1000 1090 1225,5 1385,5
4 Cheltuieli materiale
5 Acumulări materiale
6 Acumulări materiale
490 533,5 591,825 660,325
230 298,5 350 ×
30 38 44,5 ×
7 Total acumulare (5 + 6) 260 336,5 394,5 ×
8 Consum neproductiv
9 Consum neproductiv
40 0 41,575 ×
210 220 197,6 ×
.
332

10 Total consum neproductiv (8 + 9) 250 220 239,175 ×
11 Venit național (3– 4) = (7 + 10) 510 556,5 633,675 725,175
Observație:
Elementele coloanei , rîndurile 5 – 10 se determină în funcţie de necesităţile de pro-
ducţie pentru anul următor .
În concluzie, se poate afirma că se pot folosi mai multe variante de tratare a modelului
dinamic al legăturilor dintre ramuri. După cum s-a arătat mai înainte, în una dintre aceste
variante, s-a stabilit prin plan volumul acumulărilor
, ceea ce este echivalent cu creşterea
producţiei globale, iar rezultatul s-a verificat în domeniul creşterii consumului. În altă variantă s-
a acceptat ipoteza creşterii producţiei ramurilor , ceea ce este echivalent cu creşterea
acumulărilor, iar rezultatul s-a verificat în domeniul creşterii consumului. Alegerea procedeului
depinde de condiţiile iniţiale.
Avantajul modelului dinamic propus de O. Lange constă în faptul că se pot lua în
considerare modificările caracteristicilor tehnice ale economiei naţionale.
Aceasta se realizează folosind o altă matrice a coeficienţilor de investiții, care ilustrează
eficienţa investiţiilor, deci implicit modificările produse în caracteristicile tehnice ale economiei.
§ 10.3. INFLUENŢA STRUCTURII MATERIALE A INVESTIŢIILOR ASUPRA
CREŞTERII PRODUCŢIEI SOCIALE
S-a arătat în paragraful precedent că planul de acumulare influenţează creşterea
producţiei globale a fiecărei ramuri şi deci şi asupra produsului social. Creşterea produsului
social total în anul , în comparaţie cu anul , se poate stabili însumînd sporurile de
producţie ale tuturor ramurilor:
(10.23)
anul
(10.24)
Partea dreaptă a relaţiei (10.3.1) se poate exprima în funcţie de produsul final acumulat în
şi de coeficienţii :
Dacă notăm cu norma de acumulare, care arată ce parte a produsului social se
acumulează, atunci volumul total al acumulării în anul se obţine ca produs între norma de
acumulare şi produsul social total . Produsul final acumulat în ramura în anul se
stabileşte cu ajutorul relaţiei:
(10.25)
.
.
333

Cu s-a notat partea din volumul total al acumulărilor pe economia naţională, care
are loc în ramura j şi se numeşte coeficientul structurii materiale a acumulării. Conform
definiţiei, aceşti coeficienţi îndeplinesc condiţia:
(10.26)
(10.27)
Înlocuind pe
dat prin expresia (10.25) în relaţia (10.24), obţinem:
Prin împărţirea ambilor termeni ai relaţiei (10.26) la şi scoţînd în afara sumei pe
, rezultă:
Partea stîngă a ecuaţiei (10.27) reprezintă ritmul de creştere a produsului social pe care îl
notăm cu . Suma dublă din partea dreaptă o vom nota cu . Deoarece
coeficientul se poate interpreta ca eficienţă medie ponderată a structurii materiale a acumulării.
Folosind notaţiile de mai sus, relaţia (10.27) devine:
(10.28) .
Plecînd de la această egalitate, se poate stabili ce influenţă exercită programul
investiţiilor asupra creşterii produsului social pentru anii , ..., .
Programul de acumulare este determinat dacă se cunosc normele de acumulare ,
, ..., şi coeficienţii structurii fizice de acumulare , , ...,
. Pe baza acestor indicatori şi cunoscînd coeficienţii investiţiilor de capital se
calculează indicii medii ai eficienţei structurii materiale , , ..., .
Cunoscînd produsul social total pentru perioada de bază, se poate calcula produsul social
total pentru orice an :
(10.29)
(10.30)
Această relaţie capătă o formă mai simplă dacă norma de acumulare și coeficienţii
sînt constanţi în toate perioadele:
unde şi reprezintă ritmul de creştere a produsului social total.
Pentru analiza economică o importanţă deosebită prezintă studierea legăturii dintre
ritmul de creştere a produsului social şi ritmul de creştere a venitului naţional. Venitul naţional
în anul se obţine prin relaţia:
(10.31)
Suma dublă reprezintă partea din produsul social total destinată recuperării mijloacelor de
producţie consumate în perioada respectivă. Dacă se raportează aceste cheltuieli materiale la
.
.
.
.
,
334

produsul social total , se obţine greutatea specifică a cheltuielilor materiale în produsul
social, pe care o vom nota cu :
Folosind acest indicator, relaţia (10.31) se scrie astfel:
(10.32) .
din expresia:
(10.33)
Ţinînd seama de relaţia (10.32), putem calcula ritmul de creştere a venitului naţional
sau dacă facem substituția
obţinem
(10.34)
,
În relaţia obţinută şi reprezintă coeficientul de creştere a produsului
social şi a venitului naţional, iar şi reprezintă greutatea specifică a
produsului net în produsul global în anul şi .
Deci coeficientul de creştere a venitului naţional este egal cu coeficientul de creştere a
produsului social înmulţit cu indicele care caracterizează schimbarea ratei produsului net.
Cunoscînd venitul naţional în anul şi ritmul de creştere , putem calcula venitul naţional
în anul :
(10.35)
sau
.
.
(cînd ).
Pentru întocmirea planului de producţie este necesar să se cunoască influenţa investiţiilor
asupra gradului de utilizare a forţei de muncă.
este:
S-a arătat că relaţia cu ajutorul căreia stabilim creşterea producţiei globale a ramurii
Creşterea producţiei determină şi creşterea necesarului de forţă de muncă, atît în ramura
, cît și în celelalte ramuri ale economiei naţionale. Satisfacerea necesarului suplimentar de forţă
de muncă se poate realiza prin atragerea în ramurile producţiei materiale a forţei de muncă din
sfera neproductivă şi din rezervă, prin redistribuirea între ramuri a forţei de muncă, în funcţie de
disponibilităţi, prin creşterea productivităţii muncii şi a gradului de utilizare a forţei de muncă.
,
335

Necesarul suplimentar de forţă de muncă în toate ramurile incluse în balanţă se stabileste
folosind relaţia:
(10.36)
Mărimea
de creşterea acumulării cu o unitate în ramura . Înlocuind pe
relaţia (10.25) rezultă:
(10.37)
Mărimea
reprezintă creşterea necesarului de forţă de muncă determinată
.
cu expresia obţinută în
reprezintă volumul mediu de muncă al acumulărilor. Prin
împărţirea relaţiei (10.37) la volumul de muncă exprimat valoric, consumat în anul
se obţine ritmul de creştere a necesarului de forţă de muncă :
Această relaţie se poate exprima în funcţie de coeficientul volumului mediu de muncă
consumat în anul :
obţinîndu-se următoarea relaţie:
Considerînd că nivelul productivităţii muncii sociale rămîne constant, indicatorul
va caracteriza dinamica gradului de ocupare a forţei de muncă în ramurile producţiei materiale.
Pentru a mări ritmul de creştere a gradului de ocupare a forţei de muncă se poate mări cota de
acumulare sau volumul mediu de muncă al acumulărilor .
Dacă nivelul factorilor şi rămîne constant, iar coeficientul volumului mediu de
muncă se micşorează, ceea ce este echivalent cu creşterea productivităţii muncii sociale,
va creşte valoarea indicatorului , deoarece în acest caz a crescut gradul de utilizare a forţei
de muncă.
În funcţie de aceste premise indicatorul se poate numi ritm de creştere a gradului
de ocupare a forţei de muncă sau ritm de creştere a gradului de utilizare a forţei de muncă.
În vederea analizei economice a rezultatelor obţinute, ritmul de creştere a gradului de
ocupare a forţei de muncă se compară cu ritmul de creştere a produsul social. Dacă
rezultă că produsul social crește mai repede decît gradul de ocupare a forței de muncă, iar cînd
, produsul social creşte mai încet decît gradul de ocupare a forţei de muncă.
Rezultatele obţinute au aplicaţie în stabilirea politicii economice pentru o anumită
.
,
.
336

perioadă. Astfel, pentru a mări gradul de ocupare a forţei de muncă se poate proceda în două
moduri. Prima variantă constă în planificarea structurii materiale a acumulărilor, în aşa fel încît
să se obţină o creştere cît mai mare a produsului social, adică eficienţa medie a structurii
acumulărilor să fie maximă.
Dacă planul se referă la o perioadă mai lungă, aplicarea acestei variante va asigura în
ultimă instanţă un grad mare de ocupare a forţei de muncă şi, în acelaşi timp, o creştere a
productivităţii muncii sociale (creşte înzestrarea tehnică a muncii).
A doua variantă constă în planificarea structurii materiale a acumulărilor în aşa fel încît
volumul mediu de muncă să atingă o valoare maximă. Aceasta înseamnă că se va investi
mai mult în acele ramuri unde se obţine o creştere a gradului de ocupare a forţei de muncă.
Alegerea uneia dintre aceste variante este determinată de cerinţele etapei respective de
dezvoltare a economiei. Evident că în cazul întocmirii unui plan de perspectivă, este indicat să se
folosească prima variantă care are avantajul că asigură creşterea maximă a produsului social, iar
în ultimă instanţă va asigura o creştere mare a gradului de ocupare a forţei de muncă.
Stabilirea judicioasă a programului de producţie impune analiza eficienţei economice a
investiţiilor, adică determinarea influenţei repartizării investiţiilor între diferite ramuri asupra
creşterii produsului social şi gradului de folosire a forţei de muncă. Repartizarea investiţiilor pe
ramuri ale economiei naţionale se prezintă astfel:
Însumînd elementele de pe fiecare rînd, obţinem un sistem de ecuaţii care caracterizează
legătura dintre acumulări şi investiţii. Analiza acestui model s-a făcut în paragraful precedent.
Însumînd elementele fiecărei coloane se obţine volumul investiţiilor în fiecare ramură.
Legătura dintre volumul investiţiilor şi volumul acumulărilor la nivelul economiei naţionale, se
pune în evidenţă prin relaţia:
Creşterea cu o unitate a producţiei în ramura j necesită investiții în valoare de
deci sporul producţiei care revine unei investiții în valoare de 1 leu este:
(10.38)
.
.
;
337

capitale
Dacă notăm cu , coeficientul repartizării pe ramuri a investiţiilor
atunci volumul investiţiilor în ramura se obţine din relaţia:
Prin înmulţirea acestei relaţii cu , obţinem:
(10.39) .
(10.40)
Însumînd sporurile producţiei tuturor ramurilor, se obţine sporul produsului social:
Din relaţia (10.40) se determină uşor ritmul de creştere a produsului social :
Această relaţie exprimă dependenţa ritmului de creştere a produsului social faţă de
repartizarea investiţiilor totale pe ramurile economiei naţionale şi faţă de eficienţa investiţiilor în
aceste ramuri.
naţională.
rezultă că:
Expresia
,
.
.
reprezintă eficienţa medie a investiţiilor în economia
Comparînd relaţia cu relaţia , găsită mai înainte,
Această relaţie arată că eficienţa medie a investiţiilor este egală cu eficienţa medie a
structurii materiale a acumulărilor.
În mod analog, se poate determina influenţa investiţiilor în diferite ramuri asupra
gradului de folosire a forţei de muncă în economia naţională.
În aplicaţiile practice, problema repartizării optime a acumulărilor între diferitele ramuri
este complexă şi depinde de o serie de condiţii suplimentare. Astfel, se poate pune problema
repartizării acumulărilor între ramurile economiei naţionale, în vederea creşterii maxime a
produsului social sau a creşterii maxime a gradului de folosire a forţei de muncă, în condiţiile
realizării unui ritm corespunzător de creştere a consumului neproductiv. Astfel de probleme se
pot rezolva cu ajutorul metodelor programării matematice.
BIBLIOGRAFIE:
L. Tovissi, E. Țigănescu, Balanța legăturilor dintre ramuri, Editura Științifică, București, 1969.
.
.
338

ELEMENTE DE CALCUL MATRICIAL
A. 1. VECTORI ȘI OPERAȚII CU VECTORI
Anexă
Într-un plan determinat de două axe perpendiculare între ele ox1x2, poziția unui punct M este
fixată de o pereche ordonată de numere reale (x1, x2) care sunt coordonatele punctului. Poziția
punctului M este determinată, cunoaște segmentul OM care pornește din origine și este orientat
de la O la M. Proiecțiile ortogonale ale segmentului OM sunt coordonatele x1 și x2 ale punctului
M. (fig.14).
În mod analog, poziția unui punct M în spațiul cu trei dimensiuni este determinată de trei
numere ordonate (x1, x2, x3) care reprezintă coordonatele punctului M. Poziția punctului M poate
fi determinată și prin segmentul orientat OM, care are ca proiecții ortogonale pe cele trei axe,
coordonatele x1, x2 și x3 (fig. 15).
Din cele arătate mai sus, rezultă că există o corespondență biunivocă între punctele din spațiu
și segmentele orientate care pornesc din originea sistemului de coordonate. Deci, fiecărui punct
din spațiu i se oate asocia un segment OM care se numește vector. Dacă vectorul se scrie sub
forma:
X = sau X =
se numește vector linie, iar dacă se scrie sub forma
se numește vector coloană.
X =
sau X =
Numerele în cazul planului și numerele în cazul spațiului cu trei
dimensiuni determină complet vectorul X și se numesc componentele vectorului.
O x1
M x2 x1
Fig. 14. Fig. 15.
Noțiunea de vector poate fi generalizată pentru spațiul euclidian cu n dimensiuni notat En. Un
vector este determinat de n numere reale , numite componente. Acest vector se
339
x3
O
M

notează:
X = sau X =
Vectorul ale cărui componente sunt toate nule se numește vector nul și se notează:
0 = 0, 0, ... , 0
Vectorul ei care are componenta i egală cu +1, iar restul componentelor egale cu zero se
numește vector unitate.
X și Y :
Suma a doi vectori n – dimensionali reprezintă tot un vector n – dimensional. Fie doi vectori
X =
Y = .
Prin definiție, suma lor este vectorul linie X + Y:
X + Y = .
Se poate determina cu ușurință suma a trei sau mai mulți vectori grupînd vectorii cîte doi.
Adunarea a doi vectori coloană se face în același mod.
Deoarece componentele xi și yi (i = 1, 2, ..., n) sunt numere reale, operația de adunare a
vectorilor este comutativă și asociativă, adică:
X + Y = Y + X (proprietate de comutativitate)
X + Y + Z = X + Y + Z (proprietate de asociativitate)
Oricare ar fi vectorul X există următoarele relații:
X + 0 = X ( - X se numește opusul vectorului X)
X + (- X) = 0
Diferența vectorilor X și Y este vectorul :
X + (- Y) = X – Y = ( ).
Produsul vectorului X prin scalarul (un număr real) este vectorul 101
X = .
Produsul unui vector cu un scalar are următoarele proprietăți:
- este distributiv: (X+ Y) = X + Y
( +)X = X +X ( și sunt scalari)
101 Interpretarea geometrică: vectorii X și X se găsesc pe aceeși dreaptă care pleacă din origine; cînd P, ei au
același sens, iar cînd 0 au sensuri opuse.
340

- este asociativ: (X) = X.
Mulțimea tuturor vectorilor n – dimensionali cu componente reale, în care s-a definit operația
de adunare a vectorilor și înmulțirea lor prin scalari, constituie un spațiu vectorial n –
dimensional.
Produsul scalar a doi vectori este un număr care are următoarele proprietăți:
1. (x, y) = (y, x), produsul este comutativ;
2. (kx, y) = (x, ky) = k(x, y), produsul este omogen. Aceasta înseamnă că dacă se înmulțește unul
dintre vectori printr-un număr, produsul scalar se înmulțește prin același număr.
3. (x, y + z) = (x, y) + (x, z), produsul este distributiv.
4. (x, x) 0; egalitatea se obține numai dacă x = 0.
Dacă sunt dați doi vectori x = și y = , produsul scalar al
acestor vectori se poate defini astfel:
(x, y) = + + ... + . (A.1.1)
Spațiul vectorial n – dimensional în care s-a definit produsul scalar a doi vectori oarecare
se numește spațiu euclidian n – dimensional.
Produsul scalar definit de relația (10.1.1) se poate scrie și sub forma:
(X, Y) =
Sistemul de vectori P1, P2, ... , Pn este liniar independent dacă o egalitate de forma:
1 P1 + 2 P2 + ... + n Pn = 0 (A.1.2)
este posibilă numai în cazul cînd 1 = 2 = ... n = 0. Dacă egalitatea (A.1.2) are loc și cel puțin
un scalar i este definit de zero, sistemul dat de vectori este liniar dependent. Altfel spus, un
sistem de n vectori este liniar – dependent, dacă cel puțin unul dintre ei este o combinație liniară
a celorlalți.
De exemplu vectorii P1 = (1, 0) și P2 = (1, 1) sunt independenți. Într-adevăr, din relația:
se obține sistemul:
sau
1 P1 + 2 P2 = 0
1
+ 2
=
341

care se verifică numai pentru = = 0.
În mod analog, se poate demonstra că sistemul de vectori P1 = (1,0); P2 = (0,1); P3 = (1,1)
este liniar dependent.
Din egalitatea
1 P1 + 2 P2 + 3 P3 = 0, (A.1.3)
se obține sistemul:
(A.1.4)
care are soluția = = - . Dacă notăm - = , atunci sistemul (A.1.4) este satisfăcut
pentru orice valoare a lui . Deci, vectorii P1, P2, P3 sunt liniar dependenți, deoarece există 1,
2, 3 nu toți nuli, astfel încît 1 P1 + 2 P2, 3 P3 = 0. Aceasta este echivalent cu faptul că cei
trei vectori sunt liniar dependenți, deoarece vectorul P3 poate fi scris ca o combinație liniară a
celorlalți doi:
P3 = P1 +P2.
Acest exemplu ilustrează o proprietate a spațiului cu două dimensiuni și anume: în acest
spațiu există doi vectori liniar independenți, în timp ce fiecare sistem de trei vectori este liniar
dependent.
Baza în spațiul En. În spațiul cu n dimensiuni orice sistem de n vectori liniar independenți
poate forma o bază. Orice vector din En poate fi exprimat în mod univoc printr-o combinație
liniară a vectorilor bazei. Dacă baza este formată din vectorii P1, P2, ... Pn, atunci vectorul P0
poate fi exprimat în funcție de această bază:
P0 = 1 P1 + 2 P2 + ... + n Pn (A.1.5)
Doi vectori unitari e1 = (1,0) și e2 = (0,1) formează o bază în plan, deoarece sunt liniar
independenți. Orice vector din plan X = (x1, x2) poate fi scris ca o combinație liniară a vectorilor
e1 și e2, adică:
x1e1 + x2, e2 = (x1, x2) = X.
Un vector X = (x1, x2) poate fi reprezentat cu ajutorul a doi vectori necoliniari din plan, care
vor constitui în acel fel o bază.
Într-adevăr, dacă Y = (y1, y2) și Z = (z1, z2) sunt doi vectori necoliniari din plan, vectorul X =
(x1, x2) poate fi exprimat printr-o combinație liniară a vectorilor Y și Z astfel:
Y + Z = X.
Pentru demonstrație este suficient să observăm că vectorii Y și Z se pot scrie cu ajutorul a doi
vectori unitari e1 și e2 sub forma:
Y = y1e1 + y2e2
342

Z = z1e1 + z2e2.
Se pot găsi două numere și , astfel încît să existe relația:
cu condiția ca
y1 + z1 = x1
y2 + z2 = x2
, adică cei doi vectori să nu fie coliniari. În concluzie, se poate spune că
doi vectori oarecare necoliniari pot reprezenta o bază în plan.
În spațiu cu n dimensiuni (En) există n vectori unitari:
e1 = (1, 0, 0 ... 0)
e2 = (0, 1, 0 ... 0)
. (A.1.6)
.
.
en = (0, 0, 0, ... 1)
După cum s-a arătat, condiția ca un sistem de n vectori să formeze o bază în spațiul En este ca
ei să fie liniar independenți, deci vectorii (10.1.6) formează o bază în acest spațiu.
Vectorii p1, p2, ... , pn formează o bază ortogonală dacă toți sunt nenuli și dacă sunt ortogonali
doi cîte doi, adică 102
Pi, Pj = 0 (i ≠ j)
Dacă în plus = 1 (i = j), baza se numește ortonormală. Deci, vectorii unitari din
(A.4.6) formează o bază ortonormală. Produsul scalar a doi vectori, într-o bază ortonormală, este
egal cu suma produselor coordonatelor respective.
Dacă baza spațiului este sistemul de vectori liniar independenți
P1 =( x11, x21, ..., xn1)
P2 =( x12, x22, ..., xn2)
. . . . (A.1.7)
. . . .
Pn =( x1n, x2n, ..., xnn)
atunci vectorul P0 = ( x10, x20 ... xn0) poate fi scris ca în relația (A.1.5) și are componentele 1,
2, ... , n , care se obțin rezolvînd sistemul:
X10 = 1 x11+ 2 x12 + ... + n x1n
102 Unghiul θ dintre doi vectori pi și pj se definește prin relația:
cos θ =
în care = se numește norma vectorului, iar este produsul scalar al celor doi vectori. Cînd θ =
, vectorii sunt ortogolani, iar = 0.
,
343

X20 = 1 x21+ 2 x22 + ... + n x2n
....................................................
Xn0 = 1 xn1+ 2 xn2 + ... + n xnn
(A.1.8)
Sistemul de ecuații (10.1.8) a putut fi scris, deoarece egalitatea a doi vectori implică
egalitatea componentelor.
Rezultă că un sistem de ecuații de forma (10.1.8) este echivalent cu o egalitate vectorială. De
exemplu, sistemul:
poate fi scis sub forma vectorială astfel:
unde
P1 =
2x1 + 4x2 + 5x3 = 2
3x1 - 2x2 + x3 = 3
x1 + 2x2 + 3x3 = 7
x1 P1 + x2 P2 + x3 P3 = P0,
; P2 =
; P3 =
; P0 =
Dacă folosim o altă bază decît (A.1.7), atunci vectorii vor avea alte componente. Calcularea
acestora, cînd se cunosc vechile componente și coordonatele vectorilor aleși pentru noua bază, se
realizează prin rezolvarea unui sistem de ecuații. În continuare, se vor rezolva cîteva probleme
folosind operațiile cu vectori.
Problema 1
O întreprindere I, a încheiat contracte de aprovizionare cu patru furnizori A, B, C, D.
Aprovizionarea se face lunar, iar cantitățile ce urmează a fi recepționate în cursul trimestrului I
de la fiecare furnizor se dau în următorul tabel:
Tabelul A.1.
Furnizorul
A
B
C
D
Cantitatea în tone
ianuarie februarie martie
8
15
20
10
10
14
25
14
12
11
15
16
344

Datele tabelului pot fi scrise sub formă de vectori:
q1 =
; q2=
; q3=
Cantitatea cu care trebuie să se aprovizioneze întreprinderea I de la fiecare furnizor, în cursul
trimestrului I reprezintă un vector Q care se obține astfel:
Q = q1 + q2 + q3.
Q =
+
+
Dacă prețul mediu de achiziție unitar este p = 500 lei, atunci valoarea materiilor prime
recepționate de la fiecare furnizor este V = pQ, adică:
Problema 2
V = 500
=
O rafinărie are la dispoziție opt sorturi de benzină cu care trebuie să efectueze un amestec din
care să rezulte 34 500 tone de benzină cu cifra octanică 74 R. Rafinăria are de ales între două
rețete de amestec.
Pentru a se stabili care dintre cele două rețete este mai eficientă din punct de vedere
economic, se compară prețul de cost total și cifra octanică medie a celor două rețete.
În tabelul A.2 sunt trecute sorturile de benzină, care au participat la amestec, prețurile de cost
unitare și cantitățile care au intrat în amestec (datele sunt convenționale).
Tabelul A.2
Nr.
crt.
1
2
3
4
Benzine care au intrat în amestec
Benzină hidrofinită CO56
Benzină rafinată CO90
Benzină component reactiv CO56
Benzină pentanee CO60
=
.
Preț de
cost unitar
(lei/tonă)
190
520
210
205
.
Rețeta I
(mii tone)
9,0
16,0
0,5
2,5
.
Rețeta II
(mii tone)
12,5
10,0
0
3,5
345

5
6
7
8
Benzină izopentane CO92
Benzină baza CO88
Benzină CO70 M
Aragaz lichid CO80
300
200
400
140
Total - 34,5 34,5
Notăm cu C, qI și qII vectorii care au drept componente prețurile de cost și cantitățile care au
intrat în cele două rețete. Prețul de cost total al fiecărei rețete se determină ca produs scalar a doi
vectori:
CI = (c, qII) = (190, 520, 210, 205, 300, 200, 400, 140)
CII =(c, qII) = (190, 520, 210, 205, 300, 200, 400, 140)
0,3
2,0
4,0
0,2
1,5
6,0
0
1,0
= 120765,5 mii de lei.
= 10 082,5 mii de lei.
Prețul de cost total al celei de a doua rețete este mai mic și permite obținerea unor economii
în valoare de
E = 12 765,5 – 10 082,5 = 2 683 mii de lei.
Același rezultat se obține întrebuițînd operațiile cu vectorii. Folosind proprietatea de
distributivitate a produsului scalar a doi vectori, volumul total de economii se obține astfel:
relația:
E = (c, qI - qII) = (c, qI) – (c, qII) = 2 683 mii de lei.
Dacă calculăm vectorul diferențelor dq = qI – qII, atunci volumul economiilor se obține din
E = (c, dq) = (190, 520, 210, 205, 300, 200, 400, 140)
= 2 683 mii de lei
346

unde: dq = q1 – qII =
-
În urma calculelor efectuate pînă aici rezultă că varianta a doua de amestec este preferată
primei, deoarece are un preț de cost total mai mic. Rămîne să se verifice dacă acest amestec
îndeplinește și condiția cu privire la cifra octanică. Se cunoaște numărul de octani ai fiecărei
benzine, precum și cantitatea intrată în amestec, deci numărul mediu de octani al amestecului
este:
ŌII =
=
=
= 74,9.
Notăm cu O vectorul ale cărui componente sunt cifrele octanice ale benzinelor intrate în
amestec și cu K =
, soluția problemei se obține în modul următor:
OII = K(qII, OII) = (K qII, OII)
(qII, OII) = (12,5; 10; 0; 3,5; 1,5; 6; 0; 1)
ŌII = K(qII, OII) =
= 74,9.
Același rezultat se obține dacă calculăm în prealabil vectorul:
g = (K qII) =
Numărul mediu de octani se obține din relația:
=
.
= 2 556 octani.
.
347

ŌII = (OII ,g) = (56, 90, 56, 60, 92, 88, 70, 80)
= 74,0.
Deci efectuînd amestecul după rețeta a doua se obține o benzină cu cifra octanică de 74R și
în același timp prețul de cost este mai mic.
Problema 3
Considerăm un combinat cu trei întreprinderi care produc: energie electrică, cărbune și oțel.
O parte din producția fiecărei întreprinderi se consumă productiv în cadrul combinatului, iar o
altă parte este livrată unor beneficiari: B1, B2 și B3.
Producția fiecărei întreprinderi, exprimată în unități naturale, se repartizează pentru consum
productiv și consumul celor trei beneficiari după cum urmează:
Tabelul A.3.
Produse
Energie electrică
Cărbune
Oțel
Energie
electică
0
210
35
Consum productiv Livrări către
Cărbune
10
0
25
Elementele fiecărui rînd reprezintă partea din producția întreprinderii respective, care se
consumă în celelalte întreprinderi sau de către beneficiari. Elementele coloanelor reprezintă
cantitățile primite de fiecare întreprindere de la celelalte întreprinderi sau cantitățile primite de
fiecare beneficiar de la cele trei întreprinderi.
Vectorii care au componentele egale cu cantitățile primite de la fiecare întreprindere sunt:
qE =
; qc =
Oțel
60
250
0
; q0 =
iar vectorii care au componentele egale cu cantitățile primite de la fiecare beneficiar sunt:
B1
20
35
10
,
B2
160
40
35
B3
70
0
50
348

astfel:
q1 =
; q2 =
; q3 =
Producția fiecărei întreprinderi, consumată productiv, exprimată în unități naturale, se obține
A.2. ALGEBRA MATRICELOR
A.2.1. Definiții
Q1 = qE + qc + q0 =
Se numește matrice de tipul (ordinul) m n un tablou dreptunghiular care conține m n
elemente aij , așezate pe m linii și n coloane. Acest tablou se notează, în general, astfel:
sau condensat A = (aij) i = 1, 2, ... , m
j = 1, 2, ... , n
.
A =
.
(A.2.1)
Matricea care are numărul de linii egal cu numărul de coloane ( m = n ) se numește matrice
pătrată.
Prin suprimarea unor linii sau coloane ale matricei A se obține o submatrice.
O matrice formată dintr-o singură linie se numește vector linie și are forma:
A = .
Dacă matricea are o singură coloană, ea se numește vector coloană și are forma:
A =
Atît matricea linie, cît și matricea coloană poartă numele de vectori, întrucît se comportă în
operații ca și vectorii.
Matricea nu are o valoare; ea reprezintă doar un mod de a aranja elementele date după o
anumită regulă; deci poate fi considerată un instrument de organizare a datelor unei probleme.
Pentru exemplificare vom lua un sistem de ecuații scris sub forma generală:
.
349

x1 + x2 + ... + xn = b1
x1 + x2 + ... + xn = b2
....................................................
x1 + x2 + ... + xn = bm
Coeficienții necunoscutelor din acest sistem pot fi scriși ca în (10.2.1); deci, formează o
matrice A. Termenii liberi formează o matrice coloană pe care vom nota cu B, iar necunoscutele
xi (i = 1, 2, ... , n) formează de asemenea o matrice coloană pe care o notăm cu X. Componentele
celor doi vectori coloană sunt:
B =
; X =
După cum se va vedea mai departe, această organizare are avantajul că, în rezolvarea
anumitor probleme, calculele se vor efectua mai ușor.
Matricea zero (nulă) este o matrice care are toate elementele egale cu zero.
Matricea triunghiulară este o matrice pătrată ale cărei elemente aij sunt egale cu zero pentru
toți i j (sau pentru i j ). De exemplu, o matrice triunghiulară de ordinul 3 se scrie:
sau
T =
T =
;
(cînd i j )
(cînd i j )
Matricea diagonală este o matrice pătrată în care elementele diagonalei principale sunt
diferite de zero iar restul elementelor sunt egale cu zero. De exemplu, o matrice diagonală de
ordinul patru se scrie astfel:
M =
.
350

scalară.
O matrice diagonală în care elementele diagonalei sunt egale între ele se numește matricea
Matricea transpusă – a unei matrice date A = (aij), de dimensiune m n, se obține prin
înlocuirea liniilor cu coloane și se notează cu A = aij.
De exemplu dacă:
atunci transpusa matricei A este:
Proprietățile transpunerii:
A =
A =
a) Transpusa matricei transpuse reproduce matricea inițială:
,
.
(A) = A.
b) Transpusa unei sume de matrice 103 este egală cu suma transpuselor fiecărei matrice:
(A + B + C + ... ) = A + B + C + ...
c) Transpusa unui produs de două sau mai multe matrice este egal cu produsul 3 transpuselor
fiecărei matrice, luate în ordine inversă:
(AB) = B A.
Matricea simetrică este o matrice pătrată în care aij = aji pentru orice i și j. De exemplu, o
matrice simetrică de ordinul trei este:
M =
Transpusa unei matrice simetrice este egală cu matricea inițială (A = A).
Produsul și suma unei matrice A cu transpusa ei A sunt matrice simetrice, adică:
AA este o matrice simetrică
A + A este o matrice simetrică.
Matrice antisimetrică (strîmb - simetrică) este o matrice pătratică în care aij = - aji , iar
elementele diagonalei principale sunt egale cu zero.
Exemplu:
Matricea A - A este antisimetrică.
Sn =
Matricea unitate de ordinul n se notează cu In sau I și este o matrice pătrată care are
103 Vezi paragraful (10.2.2)
.
351

elementele diagonalei principale egale cu 1, iar restul de elemente nule. Se mai poate spune că
matricea unitate este o matrice scalară în care toate elementele de pe diagonală sunt egale cu 1.
Pentru fiecare ordin n există o matrice unitate; de aceea, cînd se dă o matrice unitate trebuie
să se specifice în mod expres dimensiunea ei.
Exemple:
I3 =
In =
A.2.2. Operații cu matrice
Egalitatea a doua matrice. Două matrice de aceleași dimensiuni sunt egale dacă au elemente
corespunzătoare egale:
Dacă
A =
; B =
.
(A.2.2)
pentru ca cele două matrice A și B să fie egale trebuie ca aij = bij pentru orice valoare a lui i și j.
Adunarea matricelor. Prin definiție, suma matricelor (10.2.2) este o nouă matrice C de
aceiași dimensiune m n ale cărei elemente se obțin adunînd elementele corespunzătoare ale
matricelor A și B:
C =
Suma matricelor A = (aij) și B = (bij) se poate scrie prescurtat:
Exemplul 1
A =
; B =
C = (aij) + (bij) = (aij) + (bij)
; C =
.
;
352

Adunarea matricelor are următoarele proprietăți:
a) Este comutativă: A + B = B + A
b) Este asociativă: A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C
c) A + 0 = A
d) A +(- A ) = 0
Diferența matricelor (A.2.2) este o matrice C de aceeași dimensiune m n ale cărei elemente se
obțin scăzînd din elementele matricei A elementele corespunzătoare din matricea B:
C =
Înmulțirea unei matrice cu un scalar. Produsul dintre matricea A și un scalar se face
înmulțind toate elementele matricei cu scalarul respectiv, adică:
Exemlul 2
A =
5.
Înmulțirea matricelor cu scalari este distributivă față de adunare, adică:
=
(A + B) = A + B.
Înmulțirea a două matrice. Dacă o matrice A = (aij) are dimensiunile m n iar o matrice B =
(bij) are dimensiunile m p. Elementul cij al matricei produs, situat pe rîndul i și coloana j, se
obține ca sumă a produselor dintre elementele liniei i din matricea A și elementele coloanei j din
matricea B (produsul scalar al vectorului liniei i cu vectorul coloană j), adică:
Cij =
(i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n)
.
(A.2.3)
Din definiția dată mai sus rezultă că produsul a două matrice nu are sens decît dacă numărul
coloanelor primului factor (matricea din stînga) este egal cu numărul liniilor celui de al doilea
353

factor (matricea din dreapta).
Exempul 3
Fie A =
C = AB =
; B =
Efectuînd produsul dintre vectorul linie (2, 1) cu vectorul coloană
pe linia întîi și coloana întîi ale matricei produs adică = 7:
Elementul al matricei produs se obține astfel:
Celelalte elemente se obțin în același mod.
=
= 2 1 + 5 1 = 7.
= 4 3 + 5 2 =22.
Produsul a două matrice are următoarele proprietăți:
a) Nu este comutativ, adică în general AB ≠ BA.
De exemplu dacă A =
și B =
AB =
BA =
, atunci:
=
.
se obține elementul de
Se observă că cele două matrice produs nu sunt egale. Totuși, se poate trage concluzia că:
două matrice pătrate de același ordin se pot înmulți întotdeauna, sau se poate spune că produsul
lor are întotdeauna sens, indiferent de ordinea așezării lor.
În cazul cînd matricea A și matricea B sunt de dimensiunile date în (A.2.3), produsul BA nu
se poate efectua pentru că nu se respectă condiția care se cere la efectuarea produsului. Deci,
produsul BA nu are sens.
b) Este asociativ:
c) Este distributiv:
=
(AB)C = A(BC) = ABC.
A(B + C) = AB + AC
d) Matricea unitate I este element neutru față de înmulțire:
AI = IA
354

e) AO = OA = 0
Reciproca nu este adevărată deoarece produsul a două matrice poate fi o matrice zero, fără ca
una dintre matrice să fie matricea zero.
Exemplu:
Observație
Considerăm matricea A și matricea B date în (A.2.3)
Dacă notăm vectorul linie ale căror componente corespund elementelor liniei i , cu
atunci matricele A și B pot fi scrise astfel:
A =
=
a i = (ai1 ai2 ...... ain)
b i = (bi1 bi2 ...... bip)
; B =
Notînd vectorii care au coordonatele egale cu elementelor coloanei j cu
putem scrie:
aj = a1j, a2j ...... amn
bj = b1j, b2j, ...... bnj,
A = a1, a2 ...... an
B = b1, b2, ...... bn.
Produsul AB = C poate fi scris sub forma unei matrice cu elementele formate din produse
scalare de vectori, astfel:
AB =
.
(b1, b2, ... , bp) =
De exemplu elementul = c2p s-a obținut efectuînd produsul scalar al vectorului linie
(linia a doua din matricea A) cu vectorul coloana bp (coloana p din matricea B) astfel:
(A.2.4)
355

c2p = (a21, a22, ... , a2)
matricea C poate fi scrisă ca o matrice linie ale cărei componente sunt vectorii coloană cj .
Deci: C = (c1, c2, ..., cp).
Produsul se poate pune și sub forma:
cj = (c1j , c2j , ... , cmj ) (j = 1, 2, ..., p)
C = AB = (Ab1, Ab2, ... , Abp).
Submatrice. Matricele pot fi descompuse în blocuri de elemente care se numesc submatrice.
Această proprietate permite simplificarea scrierii operațiilor cu matrice, iar în unele cazuri
simplificarea calculelor.
Pentru a ilustra tehnica de descompunere a unei matrice în submatrice vom pleca de la
următorul sistem de ecuații:
Introducem următoarele notații:
A =
X1 =
A1 =
A3 =
; X2 =
; A2 =
; A4 =
; X =
; B1 =
; B2 =
.
; B =
.
;
(A.2.6)
356

Sistemul (A.2.6) poate fi scris sub formă matricială astfel:
AX = B.
Matricele A1, A2, A3, A4 sunt submatrice ale matricei A, care se poate scrie sub forma:
A =
Ținînd seama de notațiile introduse mai sus, sistemul (A.2.6) se poate scrie:
A1X1 + A2X2 = B1
A3X1 + A4X2 = B2,
în care Ai (i = 1, 2, 3, 4) și Bj (j = 1, 2) sunt matrice cunoscute, iar X1 și X2 sunt necunoscute,
care se pot determina în funcție de matricele Ai și Bj.
Sistemul (A.2.6) poate fi scris prescurtat în felul următor:
A =
AX = a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b.
=
; B =
Fiecare submatrice Aij are același număr de linii și coloane ca submatricea Bij.
Suma matricelor C = A + B se poate scrie în felul următor:
A + B =
Suma blocurilor nu se poate efectua decît dacă submatricele care se adună sunt de același tip.
Produsul:
C = AB =
se poate efectua numai dacă numărul de coloane al submatricelor Aik este egal cu numărul de
linii al submatricelor Bjk.
Exemplul 4
Fie matricele:
A =
=
; B =
=
=
.
=
.
.
357

în care:
Produsul C = AB al celor două matrice neîmpărțite în blocuri este:
C =
Efectuînd produsul matricelor împărțite în blocuri obținem o matrice produs de forma:
C =
C11 = + =
C12 = + =
C21 = + =
C22 = + =
+
=
=
=
+
+ =
În urma efectuării produsului de blocuri s-a obținut matricea:
C =
Se observă că s-a obținut același rezultat ca și mai înainte.
Exemplu 5
Considerăm matricele:
A =
Produsul celor două matrice este:
C = AB =
; B =
+ =
.
.
.
.
=
=
358

Pentru a putea efectua produsul blocurilor, împărțirea în submatrice trebuie făcută astfel:
A =
=
; B =
În ambele cazuri, produsul blocurilor duce la același rezultat:
C =
=
Împărțirea în submatrice se face cu scopul de a simplifica calculele. În problemele întîlnite în
practică există posibilitatea de a face o astfel de împărțire în blocuri încît să se pună în evidență
anumite submatrice nule sau submatrice unitare.
De exemplu:
Matricea cvasidiagonală este o matrice care se poate descompune în submatrice astfel încît
submatricele de pe diagonala principală să fie diferite de zero, în timp ce restul submatricelor
sunt nule:
M =
Matricea cvasitriunghiulară este o matrice care se poate descompune în submatrice astfel încît
submatricele de pe diagonala principală să fie diferite de zero, în timp ce submatricele de pe o
parte sau alta a diagonalei principale sunt nule, iar restul de matrice sunt oarecare
T =
A.2.3. Determinantul unei matrice pătrate
=
sau T =
.
=
.
.
=
359

Definiție și proprietăți. Oricărei matrice pătrate A îi corespunde un număr D notat cu A care
se numește determinantul matricei. Determinantul unei matrice se determină în felul următor:
a) Se ia cîte un element din fiecare linie și din fiecare coloană și se face produsul lor. Fie
produsul:
aij,
... .
Indicii acestui produs trebuie să respecte condiția:
i1 ≠ i2 ≠ ... ≠ in ; j1 ≠ j2 ≠ ... ≠ jn
b) Fiecărui produs îi dăm semnul (±) sau ( - ), după cum permutarea este pară sau impară 104 .
c) Se face suma algebrică a tuturor produselor definite la punctul a) și b)
D =
= ,
adică din produsul elementelor diagonalei principale se scade produsul elementelor diagonalei
secundare.
Pentru dezvoltarea unui determinat de ordinul al treilea se folosește regula lui Sarrus care
constă în următoarele: se adaugă determinantului primele două linii și se face produsul după
următoarea schemă:
D =
Calculul determinanților de un ordin mai mare decît trei se face pe baza unei reguli generale.
Înainte de a stabili această regulă trebuie amintite proprietățile determinanților:
1) Transpunînd un determinant, valoarea lui nu se schimbă.
2) O transpoziție a coloanelor (sau liniilor) nu se schimbă valoarea determinantului, ci
numai semnul, dacă transpoziția este impară. În particular, transpoziția a două coloane
(sau linii) schimbă semnul determinantului.
104 Se numește permutare a elementelor a unei mulțimi scrierea acestora într-o anumită ordine. O altă permutare
cuprinde aceleași elemente însă așezate în altă ordine. Numărul de permutări care se pot forma cu n elemente este Pn
= n! Două elemente ale unei permutări formează o inversiune, dacă primul indice este mai mare ca al doilea. Pentru
a stabili numărul de inversiuni ale unei permutăritrebuie să numera cîte inversiuni prezintă fiecare element cu cele
care urmează după el și se face suma acestor inversiuni. O permutare pară are un număr par de inversiuni, iar o
permutare impară are un număr impar de inversiuni.
.
360

3) Dacă se înmulțesc elementele unei coloane (sau linii) cu un factor , valoarea
determinantului se înmulțește cu acel factor.
4) Dacă elementele a două coloane (sau linii) sunt proporționale, valoarea determinantului
este zero.
5) Un determinant se poate descompune într-o sumă de k termeni toate elementele unei linii
(sau coloane).
De exemplu, determinantul:
D =
se descompune în doi determninanți, astfel:
D =
+
6) Valoarea unui determinant nu se schimbă dacă la elementele unei linii (sau coloane) se
adaugă elementele altei linii (sau coloane).
7) Dacă elementele unei linii (sau coloane) sunt combinații liniare 105 de elementele
celorlalte linii (sau coloane), valoarea determinantului este zero.
Minorii unui determinant. Dezvoltarea unui determinant după relația (A.2.7) este greu de
aplicat în practică și de aceea se folosesc alte dezvoltări ale determniantului. Una dintre aceste
dezvoltări folosește minorii determinantului.
Fie determinantul:
D =
Se numește minorul elementului aij, pe care îl notăm cu Mij, determinantul obținut prin
eliminarea liniei i și coloanei j.
Complementul algebric al elementului aij, care se notează cu Aij, se obține astfel:
Aij = (-1) i + j Mij .
Produsul dintre un element și complimentul său algebric (aij Aij) este o parte a
determinantului D, putîndu-se formula următoarea teoremă:
105 Elementele liniei i a unui determinant sunt combinații liniare ale elementelor celorlalte (n - 1 ) linii, dacă există
relația:
aij = 1 a1j + 2 a2j + … + i - 1 ai - 1j + i + 1 ai + 1j + … + n anj
pentru orice j = 1, 2, …, n și dacă cel puțin unul dintre coeficienți este diferit de zero.
.
361

Valoarea unui determinant se obține făcînd suma produselor dintre elementele unei linii (sau
coloane) oarecare prin componentele algebrice respective.
D =
D =
Aij (cînd dezvoltarea se face după elementele liniei i)
Aij (cînd dezvoltarea se face după elementele coloanei j)
Deci calculul unui determinant de ordinul n se reduce la calcularea a n determinanți de
ordinul (n - 1). Această regulă de dezvoltare a unui determinant se numește regula minorilor.
Exemplul 6
Valoarea unui determinant de ordinul al patrulea, dezvoltat după minorii liniei a patra, se
obține în felul următor:
D =
D = (- 1) 4+1 7
+ (- 1) 4+2 4
=
+ (- 1) 4+3 10
-7 6 + 4 (-78) – 10 (-72) + 5 (-30) = 216.
+ (- 1) 4+4 5
(A.2.9)
Reducerea unui determinant la forma triunghiulară. Reducerea determinantului la forma
triunghiulară simplificată calculul unui determinant de ordinul n făcînd necesar calculul numai a
unui singur minor de ordinul (n - 1).
Metoda folosită pentru reducerea determinantului la forma triunghiulară este apropiată de
metoda eliminării folosită la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare:
Dacă în determinantul (A.2.8) elementul a11 ≠ 0 se procedează în felul următor:
Se lasă prima linie neschimbată. Această linie o înmulțim întîi cu
doua, apoi se înmulțește cu
ultima linie, obținîndu-se:
și se scade din linia a treia, ... , se înmulțește cu
și o scădem din linia a
și se scade din
362

D =
unde aij = aij -
(A.2.10)
(i, j = 2, 3, ... , n). (A.2.11)
Determinantul (10.2.10) se dezvoltă după minorii primei coloane:
D =
Valoarea determinantului se obține astfel:
Exemplul 7
D = a11 a22 a33 ...
Pentru simplificare vom aplica acest procedeu determinantului (A.2.9).
În prima etapă, linia întîi se înmulțește cu 5 și scade din linia a doua, cu 8 și se scade din linia
a treia, cu 7 și se scade din linia a patra. În urma acestor calcule se obține:
D =
Elementele liniei a doua, a treia și a patra s-au obținut aplicînd relația (A.2.11).
a34 = a34 -
a44 = a44 -
În etapa a doua se înmulțește linia a doua cu
și scade din linia a patra, obținîndu-se:
= 3 –
= 5 –
.
.
.
= - 69
= - 58.
și scade din linia a treia, apoi se înmulțește cu
363

D =
Determinantul are aceeași valoare care s-a obținut la dezvoltarea după minori:
D = a11 a22 a33 - a44 = 1(-7)
.
= 216.
Regula lui Laplace. Este de asemenea o metodă folosită în calculul unui determinant.
Fie o matrice de ordinul n. Toți minorii de ordinul k conținuți de K linii oarecare, se
înmulțesc fiecare cu complementul lor algebric și se face suma tuturor produselor obținîndu-se în
acest fel valoarea determinantului.
Dacă M este un minor care conține liniile i1, i2 ... ik și coloanele j1, j2 ... jk , complementul lui
algebric va fi de forma:
+
(- 1) N
Numărul produselor care se însumează se obține din relația:
t =
Dezvoltarea determinantului se obține din relația:
Exemplul 8
D =
+
.
Mi Ni
Considerăm determinantul de ordinul al patrulea dat la (A.2.9). vom dezvolta acest
determinant după primele două linii (k =2), folosind regula lui Laplace.
Dezvoltarea va conține t = 6 termeni:
t =
=
= 6 termeni.
364

D = (- 1) 1+2+1+2
(-1) 1+2+2+3
161 + 74 – 76 + 649 – 375 = 216
+ (-1)1+2+2+4
+ (-1)1+2+1+3
+ (-1)1+2+1+4
+ (-1)1+2+3+4
+
= 105 –
Înmulțirea determinanților. Dacă A și B sunt două matrice de ordinul n și dacă C = AB,
atunci determinantul matricei produs este egal cu produsul determinanților A și B.
= . (A.2.13)
Pentru a demonstra relația (A.2.13) se poate pleca de la determinantul:
D =
=
Dezolvînd acest determinant după primele n linii folosind regula lui Laplace se obține:
De asemenea, se poate arăta că
Exemplul 9
Observație
A =
C = AB =
D = .
D = = .
= 13;
; B =
; C = = - 26
= = 13 (-2) = -26
= - 2
Determinantul sumei a două matrice este diferit în general de suma determinanților celor
două matrice
.
365

≠ .
Acest lucru se poate verifica pentru exemplul de mai sus.
Determinant adjunct al unui determinant dat. Se numește adjunct sau reciproc al unui
determinant D, un determinant D care se obține din D prin înlocuirea fiecărui element aij prin
complementul său algebric Aij = (-1) i+j Mij.
A.2.4. Rangul unei matrice
D =
Fie o matrice dreptunghiulară de dimensiunile m n. Din această matrice putem extrage
determinanți de diferite ordine. Determinanții de ordinul cel mai mare vor fi cei al căror ordin
este egal cu min (m, n).
Rangul matricei este ordinul cel mai mare al determinanților diferiți de zero pe care-i putem
extrage din matricea dată.
Practic este greu să se calculeze toți determinanții conținuți de o matrice; de aceea s-au
elaborat mai multe metode pentru calculul rangului unei matrice. Una dintre aceste metode se
bazează pe următoarea regulă:
Dacă s-a găsit un determinant de ordinul r, diferit de zero, atunci se calculează numai
determinanții de ordinul r + 1 care îl bordează, iar dacă toți acești determinanți sunt nuli, rangul
matricei notat cu r(A) este egal cu r.
Exemplul 10
Considerăm matricea
A =
Considerăm determinantul de ordinul al doilea format de primele două linii și coloane:
.
.
366

D:
D =
= - 2 ≠ 0.
Rezultă că r 2 și de aceea se formează determinanții de ordinul al treilea care bordează pe
D1 =
= - 6; D2 =
= - 18.
Deoarece cel puțin unul dintre determinanții de ordinul al treilea este diferit de zero, rezultă
că rangul matricei este 3.
Rangul unui produs de matrice nu depășește rangul fiecăruia dintre factori. Înmulțind o
matrice oarecare (A) printr-o matrice nesingulară, rangul produsului este egal cu rangul matricei
A.
Proprietăți:
a) Rangul unei matrice nu se schimbă dacă:
- se înmulțesc liniile (coloanele) cu numere diferite de zero;
- se schimbă între ele liniile (coloanele).
- la elementele unei linii (coloane) se adaugă elementele celorlalte linii (coloane), înmulțite
cu factori arbitrari.
b) Dacă matricea A are rangul r, atunci r linii (coloane) ale ei sunt liniar independente,
celelalte fiind liniar dependente de primele r, deci: numărul maxim de vectori linie
(coloană) independenți ai unei matrice determină rangul acestei matrice.
A.2.5. Matricea inversă a unei matrice pătrate
Înainte de a defini matricea inversă trebuie lămurită noțiunea de matrice asociată. Se numește
matrice asociată a unei matrice pătrate nesingulare A, matricea Ā formată din complemenții
algebrici ai elementelor matricei A.
Ā =
Transpusa matricei Ā se numește matrice adjunctă și se notează cu A* = (Aij)
A + = Ā.
Matricea inversă a unei matrice pătrate nesingulară A de ordinul n, este matricea notată cu A -
.
367

1 și definită astfel:
A -1 =
A* =
; ≠ 0. (A.2.14)
Matricea inversă se poate calcula și cu ajutorul eliminării complete care constă în
următoarele:
a) se adaugă la dreapta matricei A o matrice unitate de același ordin și se obține matricea:
(A In) (A.2.15)
b) printr-un proces iterativ matricea A se va transforma în matrice unitate, iar matricea In în
matricea A -1 , adică
(In A -1 )
Metoda se va explica în detaliu pe baza unui exemplu.
Proprietăți ale matricei inverse:
Observație
a) AA -1 = A -1 A = I
b) A -1 =
, ( A ≠ 0 )
c) ( A B) -1 = B -1 A -1 dacă (AB) -1 există
d) ( A -1 ) -1 = A
e) (A) -1 = (A -1 ).
Numai matricele pătrate nesingulare (A ≠ 0) au matricea inversă. ( Dacă A = 0, matricea se
numește matrice singulară).
Exemplul 11
Vom calcula inversa matricei A:
A =
Pentru a calcula inversa matricei A după prima metodă se parcurg următoarele etape:
1. Se calculează determinantul acestei matrice A .
2. Se calculează adjuncta matricei A.
3. Se folosește relația (A.2.14)
4. Determinantul matricei A este A = 87
.
368

5. Pentru a calcula adjuncta matricei A se face mai întîi transpusa acestei matrice:
A =
Pentru fiecare element al acestei matrice se calculează complementul algebric.
De exemplu:
etc.
A = (-1) 1+1
= -33; A12 = (-1) 1+2
Calculînd toți complemenții algebrici, se obține matricea adjunctă:
A* =
3. Conform relației (10.2.14), matricea inversă este:
A -1 =
A* =
=
suficient să adaugăm linia a doua la linia a treia și acest element devine zero. După efectuarea
369
.
.
= 51
Pentru a calcula matricea inversă după a doua metodă, scriem matricea extinsă ca în relația
(10.2.15).
. (A.2.16)
În prima etapă (iterația întîi) se împarte prima linie a matricei (A.2.16) la elementul a11 = 3.
Fiecare element al liniei care se obține după împărțire se înmulțește cu a21 = 2 și se scade din
fiecare element al liniei a doua, apoi se înmulțește cu a31 = 4 și se scade din linia a treia,
obținîndu-se:
. (A.2.17)
În etapa a doua se împarte linia a doua a matricei (10.2.7) la elementul de pe linia a doua și
coloana a doua, adică la -3. Elementele liniei obținute după împărțire se înmulțesc cu 2 și se scad
din elementele primei linii. Deoarece elementul de pe linia a treia și coloana a doua este -1 este

calculelor indicate în etapa a doua se obține:
. (A.2.18)
În ultima etapă elementele liniei a treia a matricei (10.2.18) se împart la
după împărțire se înmulțește cu
din prima linie.
și se scade din linia a doua, apoi se înmulțește cu
După efectuarea acestor calcule se obține matricea inversă:
. Linia obținută
și se scade
S-a obținut același rezultat și la prima metodă. Pentru a verifica exactitatea calculelor se
folosește una dintre proprietățile matricei inverse și anume:
Adică:
AA -1 = A - !A = I
Inversa unei matrice diagonale este tot o matrice diagonală avînd ca elemente inversele
elementelor matricei inițiale.
atunci:
Dacă: M =
M -1 =
Calculul matricei inverse a unei matrice împărțite în blocuri. S-a arătat că descompunerea
matricelor în submatrice simplifică în unele cazuri calculele cu matrice. În continuare, se va arăta
.
.
=
.
370

cum se poate calcula inversa unei matrice împărțită în blocuri.
Fie M o matrice pătrată de ordinul n, împărțită în submatrice astfel:
M =
unde A este o matrice de ordinul (p p); B este de ordinul (p m); C este de ordinul (m p), iar D
de ordinul (m m).
adică:
Presupunînd că inversa matricei M există, o putem împărți în submatrice în același mod,
Produsul MM -1 = I, adică:
se efectuează în felul următor:
M -1 =
,
.
=
a) A + B =
b) A + B = 0
c) C + D = 0 (A.2.19)
d) C + D =
De asemenea , considerăm că există inversa matricei D pe care o notăm cu D -1 . Din relația
(A.2.19), punctul c, deducem:
= - D -1 C (A.2.20)
Înlocuind în relația a, obținem:
A - BD -1 C = Ip (A.2.21)
de unde:
= (A – BD -1 C) -1 . (A.2.22)
Din relația (A.2.19) punctul d, se obține:
= D -1 – D -1 C. (A.2.23)
Înlocuind pe (A.2.23) în (A.2.19), punctul b, se deduce:
de unde:
A + BD -1 – BD -1 C = 0
(A – BD -1 C) = -BD -1 (A.2.24)
371

iar
Ținînd cont de releția (A.2.22) găsim:
= - (A – BD -1 C) -1 BD -1 .
= -BD - . 1 (A.2.25)
În urma calculelor efectuate mai sus s-au obținut patru formule care pot fi folosite la
calcularea submatricelor , , , . (Formulele lui Frobenius - Schur).
= (A – BD -1 C) -1
= - BD -1
= - D -1 C (A.2.26)
= D -1 – D -1 C
Dacă în caz particular, matricea M este de forma:
M =
și submatricea B are matrice inversă pe care o notăm cu B -1 , atunci , , , se calculează astfel:
Deci inversa matricei M este:
Exemplul 12
= (I – AB -1 0) -1 = I
= - IAB -1 = - AB -1
= - B -1 0I = 0
= B -1 – B -1 0(- AB -1 ) = + B -1
M -1 =
Fie o matrice M împărțită în submatrice în felul următor:
M =
=
.
; M -1 =
.
372

=
Vom începe prin calcularea inversei matricei D:
D =
; D-1 =
Elementele matricei M -1 se calculează după formulele date mai înainte:
=
=
= +
M -1 =
(6 9)
=
=
=
.
- 1 = -
Exactitatea calculelor se poate verifica cu ajutorul relațiilor (A.2.19).
a) 3
+ (6, 9)
=
=
.
=
373

) 3
c)
d)
+ (6, 9)
+
+
=
= (0 0)
Deci produsul MM -1 = I se verifică deoarece s-a obținut:
=
=
Folosind aceeși metodă se poate calcula inversa unei matrice de un ordin mai mare. Dacă
matricea M este de ordinul al cincilea, împărțind-o în blocuri, după cum urmează:
M =
calculul matricei inverse se face în două etape.
În prima etapă, se calculează D -1 , inversa submatricei D, la fel ca în exemplul precedent.
În etapa a doua pe baza relațiilor (A.2.26) se calculează elementele blocurilor , , și ale
matricei inverse M -1 .
Inversa matricei (I - A). Considerăm o matrice pătrată A = (aij) în care fiecare element aij
satisface relația:
0 ≤ aij ≤ 1 (pentru toți i și j). (A.2.7)
După cum s-a arătat, modelul matematic al balanței legăturilor dintre ramuri este un sistem
de ecuații scris sub forma matricială astfel:
X = AX + Y.
Trecînd în membrul din stînga produsului A X, se obține:
=
.
374

(I - A) X = Y.
Rezolvarea sistemului de mai sus se face folosind matricea inversă :
(I - A) -1 Y = X.
Prin analogie cu suma unei progresii geometrice 106 și ținînd seama de (A.2.27) se poate arăta
că există relația:
adică :
în care:
etc.
= I + A + + ... =
, (A.2.28)
(I - A) -1 = I + A + + ... ,
= AA
= = AAA
Se poate arăta cu ușurință că relația (A.2.28) este adevărată. Se poate scrie următoarea
identitate:
(I -A)(I + A + ) = I – A k+1 .
Deoarece elementele matricei A sunt subunitare, matricea A k+1 este o matrice nulă cînd K
∞, adică:
Deci:
Din această relație se obține:
(I - A)
(I - A) -1 =
= 0
Inversa matrice (I - A) se poate calcula și după regulile enunțate în paragraful (A.2.5).
Problema 4
Datele problemei 3 din paragraful (A.1) se pot prezenta sub formă matricială.
Consumurile interne productive ale celor trei întreprinderi formează o matrice pe care o
106 Suma unei progresii geometrice S =
= I.
în care x 1 se poate scrie:
S = 1 + x +x 2 + … =
375

notăm cu A, iar cantitățile livrate celor trei beneficiari formează o matrice B.
vector:
A =
; B =
În problemă, se mai dau prețurile de vînzare cu ridicata ale întreprinderilor, care formează un
p = (0,5 0,25 2,0)
Prin calcule simple, folosind operațiile cu matrice, se pot determina cheltuielile materiale ale
fiecărei întreprinderi, efectuînd produsul (pA) și valoarea producției cu care s-a aprovizionat
fiecare beneficiar, efectuînd produsul (pB).
C = pA = (0,5 0,25 2,0)
v = pB = (0,5 0,25 2,0)
Producția globală a combinatului este:
Problema 5
P = (122,5 55,0 92,5)
+ (38,75 160,00 135,00)
= (122,5 55,0 92,5)
= (38,75 160,00 135,00)
.
= 603,75 lei.
În cadrul unei întreprinderi, piesele de tipul A, B, C și D se prelucrează la trei mașini-unelte:
strong, bormașină și mașină de filetat. Întreprinderea lucrează în două schimburi, iar timpul
disponibil, ținînd cont de reparații, este respectiv de 350, 380 și 300 de mașini-ore. Timpul de
solicitare a mașinii pentru un lot de 100 de piese din fiecare tip, precum și de cantitatea ce
trebuie produsă conform planului se dau în următorul tabel:
376

Tabelul A.4
linie:
Produse
A
B
C
D
Mașina-unelte Producție
Strung Bormașină Mașini
15
10
9
6
4
2
7
5
filetat
7
5
6
8
planificată (bucăți)
1200
1800
1500
3200
Producția planificată, exprimată în sute de bucăți, poate fi prezentată sub forma unui vector
p = (12 18 15 32)
timpul de prelucrare a fiecărui lot de 100 de produse la cele trei mașini- unelte formează o
matrice de tipul (4.3):
T =
Din datele problemei, trebuie să se calculeze numărul de mașini-unelte necesare pentru
producerea cantităților planificate. Efectuînd produsul (qT), se obține timpul de solicitare a
mașinilor-unelte, exprimat în mașină-ore pentru producția planificată:
qT = (12 18 15 32)
.
= (687 349 520).
Numărul de mașini-unelte din fiecare tip se determină din produsul
377

N = (687, 349, 520)
=
= (1,96 0,91 1,73).
Deci întreprinderea are nevoie e două strunguri, o bormașină și două mașini de filiat.
Problema 6
Un trust de construcții are de executat blocuri de locuințe de diferite tipuri, după cum
urmează:
1. blocuri p + 4 panouri mari
2. blocuri p + 4 zidărie portantă
3. blocuri p + 4 beton armat monolit.
În timpul următor se dau consumurile principalelor materiale, consumul de utilaj și de
manoperă pe un apartament convențional:
Tabelul A.5
Nr.
crt.
1
2
3
Tipuri
de Consumuri
blocuri
Bloc locuințe p + 4
panouri mari
Bloc locuințe p + 4
zidărie portantă
Bloc locuințe p + 4
Beton armat monolit
Nr. mediu
om – ore
pe apart.
1200
1800
1650
Oțel –
beton
kg/apart
Beton
mc/apart.
Zidărie
mc/apart.
Ore utilaj
pe
apartament
Datele problemei pot fi prezentate sub forma unui vector linie q, care reprezintă planul
trustului în ceea ce privește numărul de apartamente:
750
500
600
q = (400 300 500)
și printr-o matrice A de ordinul (3.5), care reprezintă consumurile de materiale, utilaj și
manoperă:
2,5
0,15
0,25
-
2,0
1,2
10
7
8
378

A =
Pentru realizarea planului, întreprinderea constructoare trebuie să asigure aprovizionarea
șantierelor cu materiale, să asigure înzestrarea cu utilaj și totodată să asigure necesarul de forță
de muncă. Stabilitatea acestor necesități se face prin următorul calcul:
Q = qA = (400, 300, 500)
100).
.
= (1 845 000; 750 000; 1170; 1200; 10
Rezultatul este un vector linie ale cărui componente s-au obținut ca produs între vectorul q și
fiecare coloană a maricei A. Executarea comenzii necesită 1 845 000 om-ore, 750 000 kg oțel-
beton, 1170 m 3 beton etc.
Folosind costurile de achiziționare a materialelor, costul funcționării utilajului și costul
manoperei se poate calcula costul total al fiecărui tip de construcție, efectuînd produsul:
Ac =
unde c este un vector coloană care reprezintă costurile amintite mai sus.
Ultima problemă pe care trebuie s-o rezolve întreprinderea de construcții este calcularea
costului pentru întreaga comandă. Acest calcul se poate efectua în două moduri:
sau
qAc = (qA) c = (1 845 000; 750 000; 1170; 1200; 10 100)
qAc = (qAc) = (400, 300, 500)
În ambele cazuri, s-a obținut un cost total de 9 373 650 de lei.
=
= 9 373 650.
,
= 9 373 650
În același mod se poate determina și costul transportului de materiale de la furnizor la locul
de producție.
379

A.3 FOLOSIREA CALCULULUI MATRICIAL ÎN DESCRIEREA PROCESULUI DE
FABRICAȚIE
Considerăm o întreprindere care produce n piese:
a1, a2, ... , an.
Aceste piese pot fi produse finite sau semifabricate. Semifabricatele sunt destinate fie pentru
realizarea lor în afara întreprinderii, fie pentru producerea pieselor finite. Dacă notăm cu qij
numărul de unități din produsul ai necesar pentru producerea unei unități din produsul aj , atunci
pentru i, j = 1, 2, ..., n, numerele qij formează o matrice a consumurilor specifice pe care o notăm
cu Q.
Cantitatea care trebuie produsă din fiecare piesă o notăm cu x1, x2, ..., xn. În acest caz, se pune
problema să se calculeze cîte piese din fiecare tip trebuie să se producă pentru a realiza planul.
Pentru a produce xi piese de tipul ai trebuie satisfăcută relația:
xi = qi1 + qi2x2 + ... + qinxn. (A.3.1)
Din produsul qi1x1 se obțin numărul de piese ai necesare pentru producerea a x1 piese a1; din
qi2x2 se obține numărul de piese necesar pentru producerea a x2 piese a2 etc.
Se observă cu ușurință că pentru i = 1, 2, ..., n relația (A.3.1) reprezintă un sistem de ecuații
care poate fi scris sub formă matricială astfel:
Unde:
X = QX (A.3.2)
X =
este un vector coloană.
Sistemul (A.3.2) de ecuații permite să se determine cantitățile din piesele a1, a2, ... , an
necesare consumului intern.
Însă în problemele ridicate de practică trebuie să se țină seama de cererea beneficiarilor
(cerere externă). Dacă notăm cererea beneficiarilor cu:
380

Y =
Atunci producția din fiecare piesă necesară pentru satisfacerea consumului intern, precum și a
cererii externe se obține rezolvînd sistemul de ecuații:
care condensat se scrie astfel:
x1 = q11x1 + q12x2 + ... + q1nxn + y1
x2 = q21x1 + q22x2 + ... + q2nxn + y2
...........................................................
,
xn = qn1x1 + qn2x2 + ... + qnnxn + yn (A.3.3)
X = QX + Y. (A.3.4)
Se observă că sistemul (A.3.3) se poate scrie:
iar sub formă matriceală:
(1– q11)x1 – q12x2 - ... – q1nxn = y1
q21x1 + (1 – q22)x2 - ... – q2nxn = y2
.......................................................
-qn1x1 – qn2x2 - ... + (1– qnn)xn = yn,
(I - Q)X = Y (A.3.5)
Soluția acestui sistem se obține calculînd inversa matricei (I - Q), adică:
Problema 7
(I - Q) -1 Y = X (A.3.6)
O fabrică de mobilă produce printre alte repere și o bibliotecă formată din trei subansambluri.
Fiecare subansamblu este format din cîte trei corpuri de tipuri diferite. Întreaga bibliotecă are 9
corpuri repartizate astfel:
Subansamblul I: 2 corpuri A și 1 corp B
Subansablul II: 2 corpuri A și 1 corp C
Subansamblul III: corp A; 1 corp B și 1 corp D.
După cum s-a arătat, aceste elemente formează matricea Q:
381

Se observă că matricea Q este triunghiulară.
În primul rînd, determinăm matricea (I - Q) pe care o îmărțim în blocuri astfel:
(I - Q) =
În cazul de față este mai ușor să calculăm inversa matricei (I - Q) cu ajutorul formulelor lui
Frobenius-Schur (A.2.26). matricea (I - Q) -1 va fi de forma:
în care:
(I - Q) -1 =
.
= (A – 0IB) -1
= - 0I = 0
= - IB = -BA -1
= I - IB = I – IB0 = I.
Matricea A -1 se determină ușor prin metodele expuse mai înainte:
iar submatricea se obține astfel:
A -1 =
,
.
382

= - BA -1 = -
Deci matricea (I - Q) -1 este:
(I - Q) -1 =
Din producția întreprinderii, în afară de bibliotecă, se poate vinde separat fiecare
subansamblu și corpurile C și D. De aici rezultă că y5 = 0, y6 = 0. Presupunem că cererea externă
într-o anumită perioadă este dată de următorul vector coloană:
Y =
Producția totală a întreprinderii, necesară pentru satisfacerea cererii se obține astfel:
X = (I - A) -1 =
Deci, întrerinderea trebuie să producă 800 de biblioteci, 1000 de subansambluri I, 1150
subansambluri II etc.
Folosind prețurile de cost unitare se poate determina valoarea producției realizate exprimate
.
.
=
.
.
383

în preț de cost, efectuînd produsul:
CY = (1900, 610, 650, 640, 200, 210, 250, 230)
= 1 950 600,
în care C este un vector linie cu componentele egale cu prețul de cost unitar.
Beneficiul realizat de întreprindere la produsul analizat se obține ca diferență între valoarea
producției, exprimată în preț cu ridicata al întreprinderii, și valoarea producției, exprimată în preț
de cost, adică:
B = pY – CY,
în care p este un vector linie și are drept componente prețurile de vînzare cu ridicata unitare.
pY = (3745, 1220, 1275, 1250, 400, 420, 475, 430)
B = 3 843 600 – 1 950 600 = 1 893 000
= 3 843 600
A.4. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAȚII LINIARE CU AJUTORUL
CALCULULUI MATRICIAL
S-a arătat că un sistem de m ecuații cuu n necunoscute:
poate fi scris sub forma matricială astfel:
(A.4.1)
384

AX = B.
În afară de simplificarea scrierii sistemelor cu mai multe necunoscute, scrierea matricială
permite rezolvarea unui sistem de ecuații mai repede decît folosind metodele obișnuite.
Dacă o mulțime X1, X2, ... , Xn verifică simultan toate ecuațiile sistemului, atunci acest sistem
este compatibil , iar X1, X2, ... , Xn constituie soluția sa. În cazul sistemelor de m ecuații cu n
necunoscute, un sistem compatibil poate admite o soluție unică sau o infinitate de soluții (sistem
compatibil dar nedeterminat). Dacă nu există valori ale necunoscutelor care să verifice simultan
toate ecuațiile, sistemul este incompatibil.
Conform teoremei Kronecker-Capelli sistemul (A.4.1) este compatibil numai dacă rangul
matricei extinse 107 (A x ) este egal cu rangul matricei A a sistemului.
Cînd rangul matricei sistemului este egal cu numărul necunoscutelor, sistemul admite o
soluție unică, iar cînd rangul matricei este mai mic decît numărul necunoscutelor, sistemul este
nedeterminat.
În continuare ne vom ocupa de rezolvarea sistemelor de n ecuații cu n necunoscute ,
deoarece acest caz este întîlnit în studiul matematic al balanței legăturilor dintre ramuri. Cînd
matricea A aa sistemului de n ecuații cu n necunoscute are determinantul diferit de zero (A ≠ 0),
sistemul este compatibil și admite o soluție unică. Sub formă matricială sistemul se scrie:
AX = B.
Dacă se înmulțește la stînga această soluție cu A -1 , se obține:
A -1 AX = A -1 B (A.4.2)
Deoarece A -1 A = I și I X = X, relația (A.4.2) devine:
X = A -1 B (A.4.3)
Deci pentru a rezolva un sistem de ecuații liniare cu n necunoscute, se înmulțește la stînga
matricea termenilor liberi cu inversa matricei sistemului.
S-a arătat la paragraful (A.2.5) că numai matricele pătrate nesingulare, adică cele care au
determinantul A ≠ 0 au matrice inversă, deci relația (10.4.3) este adevărată numai dacă A ≠ 0.
107 Matricea extinsă A x se obține din matricea A care se bordează pe vertical prin termenii liberi:
A x =
385

Un sistem de n ecuații cu n necunoscute poate fi rezolvat și cu ajutorul metodei Cramer.
Această metodă se bazează pe calcule cu determninanți.
Orice necunoscută este cîtul a doi determinanți, în care numitorul este determinantul
sistemului, iar numărătorul se obține din determinantul sistemului, înlocuindu-se coloana
coeficienților necunoscutei cu coloana termenilor liberi, după formula:
xi =
(i = 1, 2, ... , n) (A.4.4)
în care =
Relațiile (A.4.4) se numesc formulele lui Cramer.
O altă metodă de rezolvare a sistemului de n ecuații cu n necunoscute este metoda lui Gauss-
Jordan.
Această metodă se mai numește metoda eliminării complete și constă în eliminarea succesivă
a necunoscutei xi (i = 1, 2, ... , n) din toate ecuațiile sistemului, în afară de ecuația sitată pe linia
i. Operațiile care se fac în acest scop reduc matricea sistemului la matricea unitate. Această
metodă permite obținerea matricei inverse o dată cu obținerea soluției. Datele problemei le
putem scrie sub forma matricială în felul următor:
(A I B).
În această matrice extinsă, se înmulțește la stînga fiecare matrice cu A -1 și se obține:
( I A -1 X).
În locul matricei A a apărut matricea I, în locul matricei I a apărut matricea A -1 , iar în locul
matricei coloană B a apărut matricea coloană X, care reprezintă soluția sistemului.
Soluția se obține printr-un proces iterativ. În prima iterație se elimină necunoscuta x1 din
toate ecuațiile afară de prima, în a doua iterație se elimină x2 din toate ecuațiile înafară de a doua
etc. Procesul de eliminare a fost descris la (A.2.5).
Exemplul 13
Să se rezolve sistemul:
3x1 + 6x2 + 9x3 = 21
.
386

2x1 + x2 + 5x3 = 30
4x1 + 7x2 + 2x3 = 35
a) Prin formulele lui Cramer
x1 =
x2 =
x3 =
=
= -
= -
b) Prin metoda Gauss-Jordan (a eliminării complete)
Scriem matricea extinsă:
= 18,07
= -5,27
= -0,172
În prima iterație se elimină x1 din toate ecuațiile înafară de prima. Pentru aceasta se împarte
prima linie la 3. Linia obținută se înmulțește cu 2 și se scade din linia a doua, apoi se înmulțește
cu 4 și se scade din linia a treia, obținîndu-se:
Iterația I
În continuare, calculele se efectuiază în modul arătat în ( A.2.5), exemplul 11.
Iterația a II-a
Deci, soluția sistemului este:
Iterația a III-a
387

X =
Prin ambele metode s-a obținut aceeași soluție.
Deci:
Soluția sistemului se poate obține și folosind relația (A.4.3).
=
=
X = A -1 B
Sisteme de ecuații liniare omogene. Sistemul de ecuații care are termenii liberi nuli se
numește sistem de ecuații liniare omogene.
Deoarece matricele:
A =
și A x =
au același rang, conform teoremei Kronecker – Capelli, sistemul dat este totdeauna compatibil.
Una din soluțiile sistemului, numită și soluția nulă, este:
=
x1 = 0, x2 = 0 … xn = 0.
Dacă rangul matricei sistemului r n , atunci sistemul admite o infinitate de soluții care se
obțin ca și în cazul ecuațiilor neomogene.
Dacă r = n, atunci sistemul admite o soluție unică și anume soluția nulă.
În cazul unui sistem liniar omogen de n ecuații cu n necunoscute, pentru ca sistemul să nu
aibă toate soluțiile egale cu zero, determinantul matricei coeficienților trebuie să fie egal cu zero.
.
388

A.5. ECUAȚII CARACTERISTICE. RĂDĂCINI CARACTERISTICE ȘI VECTORI
CARACTERISTICI
Matricea ( I - A), în care I este o matrice scalară de același ordin cu A, se numește matrice
caracteristică a matricei A. egalînd cu zero determinantul matricei caracteristice, se obține un
polinom de gradul n care se numește ecuație caracteristică a matricei A. Rădăcinile acestei
ecuații se numesc rădăcini caracteristice sau proprii ale matricei A. Deoarece această ecuație
este de gradul n vom obține n rădăcini: 1, 2, … , n (unele dintre ele pot fi egale cu zero). Dacă
matricea A este o matrice diagonală sau triunghiulară, atunci cele n elemente ale diagonalei
principale sunt rădăcinile caracteristice 1, 2, … , n.
Suma elementelor de pe diagonala principală a matricei A se numește urma matricei și se
notează prin tr.A.
Rădăcinile caracteristice au următoarele proprietăți:
1. Urma matricei este egală cu suma rădăcinilor ei caracteristice, adică:
tr.A = 1 + 2 +… + n.
2. Determinantul matricei A este egal cu produsul rădăcinilor ei caracteristice:
A = 1, 2, … , n.
3. Toate matricele echivalente, adică acele matrice care s-au obținut ca rezultat al unei
transformări de forma F = GAG -1 au aceeași ecuație caracteristică și deci aceleași
rădăcini caracteristice.
Dacă notăm cu k una din rădăcinile caracteristice ale matricei A, atunci orice vector nenul
xk , care satisface ecuația:
se numește vector caracteristic al matricei A.
k I – Axk = 0,
BIBLIOGRAFIE:
L. Tovissi, E. Țigănescu, Balanța legăturilor dintre ramuri, Editura Științifică, București, 1969.
389