Modelarea deciziilor financiar-monetare - Academia de Studii ...

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE
CATEDRA DE MONEDA
MODELAREA DECIZIILOR FINANCIAR-MONETARE
SUPORT PENTRU SEMINARII
BUCURESTI 2009

1. Fie funcţia de utilitate
Capitolul 1. Comportamentul agentului consumator
1.1. Modelul static
∑
şi restricţia bugetară i i
Se cere:
a) verificaţi proprietăţile funcţiei de utilitate
b) găsiţi funcţiile de cerere de tip Marshall
c) verificaţi dacă acestea sunt omogene de grad 0 în preţuri şi venituri
d) calculaţi elasticităţile în funcţie de preţ şi venit
e) verificaţi proprietăţile funcţiilor omogene
2. Aceleaşi cerinţe pentru următoarele funcţii de utilitate:
a) ( ) ( ) 2
, q q q q U + =
1
2
U q , q = α ln q + 1−
α ln q
b) ( 1 2 ) 1 ( ) 2
U q1,
q = q × q
c) ( 2 ) 1 2
α β
d) U( q , q ) = q q
1
1 2 1 2
1
⎛ ⎞ − ρ − ρ −
e) U ⎜q
, q ⎟ = ( δq
+ ( 1−
δ ) q ) ρ
⎝ 1 2⎠
1
2
2
p × q = V .
3. Pentru fiecare din funcţiile de utilitate de mai sus, fie problema duală de optim:
( , ,....., )
U
α 1−α
( , ) = q q q q
1
2
1
2
⎪⎧
U q1 q2 qn = u
⎨
⎪⎩ min∑
pi× qi
Cerinţe:
a) funcţiile de cerere de tip Hicks – verificaţi dacă sunt omogene de grad 0 în preţuri;
b) construiţi funcţia Z – verificaţi dacă este omogenă de grad 0 în raport cu p şi V;
c) construiţi funcţia e – verificaţi dacă este omogenă de grad 1 în raport cu p;
d) verificaţi identitatea lui Roy şi ecuaţia lui Slutsky.
2

4. Se consideră funcţia de utilitate U ( C,
L)
= lnC
+ ln( 1−
L)
cu restricţia de buget
p ⋅ C = L ⋅ w unde L=munca prestată (ore lucrate), w=salariul, p=preţul bunurilor şi
serviciilor, C=cantitatea de bunuri şi servicii consumate. Să se determine:
a) cererea de tip Marshall;
b) funcţia de utilitate indirectă.
5. Un consumator are funcţia de cheltuieli minime egală cu ep ( 1, p2, u) = 2upp
1 2 .
a) cum se modifică venitul minim necesar pentru a atinge o utilitate U dacă preţurile
cresc cu 10%. Explicaţie.
b) să se determine funcţia de utilitate indirectă Z p , p , V ) ;
( 1 2
c) să se determine funcţiile de cerere Marshall f p , p , V ), f ( p , p , V ) ;
1(
1 2 2 1 2
d) să se determine funcţiile de cerere Hicks h1( p1, p2, u), h2( p1, p2, u ) ;
e) să se determine funcţia de utilitate a consumatorului , ) Q U .
( 1 2 Q
α β
6. Funcţia de utilitate a unui consumator este U ( q1
, q2
) = q1
q2
, iar venitul său este egal
cu V. Ştiind că preţurile celor două bunuri sunt 1 p , respectiv p 2 se cere:
i) funcţiile de cerere pentru bunurile 1 şi 2 care asigură maximizarea utilităţii
consumatorului.
ii) să se precizeze cu cât se modifică cantitatea optimă consumată dacă:
1. Venitul creşte cu 20%, 2. preţurile scad simultan cu 20%, 3. atât venitul cât şi preţurile
cresc cu 20%, 4. elasticităţile α şi β cresc cu câte 10%.
iii) să se determine cantităţile optime consumate dacă α = 0,
6 β = 0,
4 V=5000
p 12 15 p
1 =
2 =
7. Un consumator poate achiziţiona două bunuri, în cantitaţile q1 şi respectiv q2. Preţul
unitar al primului bun este egal cu 3, iar preţul celui de al doilea este egal cu 2.
Preferinţele consumatorului sunt reprezentate prin funcţia de utilitate:
⎛ ⎞
U ⎜q
, q ⎟ = ( q + 4)(
q + q )
⎝ 1 2⎠
1 1 2
Se cere:
a. Funcţiile de cerere Marshall pentru cele două bunuri dacă consumatorul obţine un venit
egal cu V.
b. Cu cât se modifică utilitatea maximă obţinută de consumator dacă venitul creşte cu o
unitate monetară?
3

c. Determinaţi funcţia de utilitate indirectă (funcţia de utilitate maximă).
8. Într-o economie există N+M consumatori (fiecare consumator are un venit egal cu V)
şi două bunuri ale căror preţuri sunt în prezent 1 p şi p 2 . N consumatori sunt caracterizaţi
0,
4 0,
6
de o funcţie de utilitate egală cu u 1 ( x1,
x2
) = x1
x2
, iar M consumatori sunt caracterizaţi
de o funcţie de utilitate egală cu u 2 ( x1,
x2
) = 0,
3ln
x1
+ 0,
7 ln x2
, unde x 1 reprezintă
cantitatea consumată din bunul 1, iar x 2 reprezintă cantitatea consumată din bunul 2. Să
se determine:
a) funcţiile de cerere agregată (la nivelul întregii economii) pentru bunurile 1 şi 2;
b) cu cât se modifică cantitatea cerută din cele două bunuri dacă preţul lor creşte cu 10%?
9. Fie următoarea funcţie de utilitate a consumatorului:
⎛ ⎞
U ⎜q
, q ⎟ = ln q + 3ln
q , q > 0,
q > 0 unde q1, q2 reprezintă cantităţile consumate
⎝ 1 2⎠
1 2 1 2
din bunul 1, respectiv bunul 2 iar vectorul de preţuri unitare este p = (1,1) . Se ştie că venitul de
care dispune consumatorul este V=12 u.m.
a) Să se arate dacă funcţia este sau nu concavă;
b) Să se determine cererea Hicks pentru un nivel dat al utilităţii, u=k > 0 ;
c) Dacă funcţia de utilitate indirectă este :
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ V ⎟
+
⎜ 3V
ν ( p , p , V ) = ln
⎟
⎜ ⎟
3ln
, să se deducă funcţia de cerere Marshall pentru bunul
1 2
⎜ ⎟
⎜ 4 p ⎟ ⎜ 4 p ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠
1.
10. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C,H) consum, respectiv timp
liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:
U
φ
1−
φ
( C,
H ) = C H , C > 0,
H > 0
(timp liber, H şi timp de lucru, L ). Singurul venit de care dispune gospodăria este constituit din
salariu cu o rată brută w, şi care este taxat cu o rată de impozitare θ , 0

11. Se consideră o gospodărie ale cărei preferinţe asupra perechilor (C,R) consum, respectiv timp
liber, sunt reprezentate prin funcţia de utilitate următoare:
U
1/
2
( C,
R)
= C + R , C > 0,
R > 0
Timpul total, T, (timp liber, R şi timp de lucru, L ) este presupus egal cu 4. Singurul venit de care
dispune gospodăria este constituit din salariu cu o rată brută w, w > 1/4 şi care este taxat cu o rată
de impozitare θ , 0 0 unde q1 şi q2 sunt cantităţile consumate din cele
1 2
două bunuri. Venitul acestuia este de 12 u.m. iar vectorul de preţuri este
p =(2 1).
Se cere: a) Să se determine cererea Marshall din cele două bunuri;
b) Dacă p2 şi V sunt constante iar p1 scade cu o unitate, să se determine natura bunului 1;
c) Dacă p1 şi p2 rămân constante iar venitul creşte la 16 u.m., să se determine natura
bunurilor.
1.2. Modelul dinamic
1. Se consideră că agenţii economici consumatori determină cantitatea pe care o vor
consuma dintr-un coş de bunuri atât în momentul prezent (notat cu 1) şi într-un moment
viitor (notat cu 2), precum şi economiile pe care le vor face în prezent. Funcţia de utilitate
are următoarea formă :
1
U C C = U C + U C
1+
δ
( , ) ( ) ( )
1 2 1 2
5

unde U(Ci) reprezintă utilitatea adusă de consumul Ci. Ci este consumul agregat din
perioada i. δ reprezintă o rată de actualizare subiectivă a utilităţii viitoare şi are o valoare
pozitivă. Cu cât δ este mai mic, cu atât consumatorul acordă o importanţă mai mare
consumului din a doua perioadă.
Consumatorii ţin cont de veniturile pe care le obţin în fiecare moment de timp şi de
nivelul preţurilor asociat acelui coş de bunuri. Acestea sunt variabile pe care nu le poate
influenţa. Ca urmare, consumatorii au câte o restricţie bugetară pentru fiecare moment:
1 1 1 1
2 2 2 1( )
unde E - economii ; r - rata nominală a dobânzii. Deoarece veniturile sunt
exogene, în momentul curent consumatorii au de făcut următoarea alegere: să consume
mai mult şi, ca urmare, să facă economii mai mici ceea ce îi va reduce consumul viitor
sau să mai mult şi, ca urmare, să facă economii mai mari ceea ce îi va creşte consumul
viitor. Consumatorii pot folosi mai mult decît ceea ce le permite venitul curent dacă
aplează la credite, adică în prezent nu fac economii ci se împrumută E 1 < 0 .
1
⎧ pC + E = V
⎨
⎩
p C = V + E + r
Fie funcţia de utilitate :
( C ) ln( C )
U =
1
Se cere:
a) Stabiliţi în ce condiţii consumul prezent este mai mare decât consumul viitor
C > C )?
( 1 2
1
b) Calculaţi 1 C şi C 2 .
c) Calculaţi economiile realizate şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0.
d) Ce efect are asupra consumului curent o creştere a ratei dobânzii nominale?
2. Considerăm că agenţii economici consumatori au un orizont de previziune de 2
perioade, iar funcţia de utilitate are următoarea formă :
1
U( C1,1 −l1, C2,1 − l2) = U( C1,1 − l1) + U( C2,1−l2) 1+
δ
unde l1 este timpul lucrat în prima perioadă, iar l2 este timpul lucrat în cea de-a doua
perioadă. Timpul lucrat este exprimat ca o fracţiune din timpul total (1 sau 100%). Ca
urmare, 1-li reprezintă timpul liber din perioada i.
Se observă că utilitatea consumatorului depinde atât de cantitatea consumată din coşul de
bunuri cât şi de timpul liber de care dispun consumatorii. Restricţia bugetară va evidenţia
faptul că, în această problemă, consumatorii nu au de ales numai între cât să consume în
prezent şi cât să consume în viitor, dar au de ales pentru fiecare moment de timpul liber
pe care îl doresc. Cu cât au mai mult timp liber, utilitatea lor creşte, dar muncind mai
6

puţin veniturile se diminuează şi au la dispoziţie o sumă mai mică destinată consumului.
Pe scurt, restricţiile bugetare se scriu astfel:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 1( ) 1
⎧ pC + E = wl
⎨
⎩ p C = w l + E + r
Unde w1 şi w2 reprezintă salariile pe care agenţii consumatori le-ar câştiga dacă ar munci
întreg timpul disponibil. Deoarece ei optează să muncească doar o fracţiune din timpul
total (l1 şi, respectiv, l2) veniturile încasate de ei sunt w1l1 şi respectiv w2 l2.
Pentru funcţia de utilitate U( C , l ) = αln( C ) + β ln( 1−
l )
se cere:
a) Determinaţi C1, C2
b) Calculaţi E1 şi stabiliţi condiţiile necesare pentru ca E1>0
i i i i
3. Refaceţi problema 1 pentru cazul în care funcţia de utilitate este ( ) C
α
UC = .
α
4. Pentru modelul dinamic al consumatorului se cunoaşte funcţia de utilitate
α β
intertemporală: U ( C0
, C1)
= C0
C1
, α,
β ∈ ( 0,
1)
, rata nominală a dobânzii este r, rata
inflaţiei este π , iar rata de creştere a veniturilor este egală cu γ . Se cere:
C 1 în funcţie de rata reală de
a) să se exprime indicele de creştere a consumului optim
C0
dobândă şi de elasticitatea funcţiei de utilitate.
b) să se stabilească volumul optim al economiilor.
c) să se discute semnul volumului optim al economiilor în funcţie de parametrii
modelului. Interpretare economică.
5. Se cunoaşte faptul că utilitatea individului consumator este modelat prin funcţia de
1−ν
C
utilitate CRRA : UC ( ) = , venitul disponibil al consumatorului în cele două
1−ν
perioade este V0, respectiv V1. Preţul bunurilor care fac obiectul consumului sunt p1,
respectiv p2. Individul consumă cantiatea C0 în momentul 0 şi C1 în momentul 1, iar în
momentul 1 face economii în valoare de E.
1
Cunoscând faptul că aversiunea relativă la risc a individului consummator este ν = :
2
a) Să se descrie problema de optimizare intertemporală şi să se deducă funcţiile de cerere
pentru bunuri şi servicii în momentele 0 şi 1.
7

) Să se studieze semnul economiilor.
6. Agenţii consumatori din economie îşi fundamentează consumul de bunuri perisabile
(Cp) şi consumul de bunuri duarbile (Cd) pentru momentul prezent (notat cu 1) şi
momentul viitor (notat cu 2). Funcţia de utilitate intertemporală este dată de:
1 1
U( Cp, Cd) = ln( Cp) + ln(
Cd)
2 2
Restricţiile consumatorului în cele două perioade sunt:
⎧ pp1Cp1+ pd1Cd1+ E = V1
⎨
⎩ pp2Cp2 + pd2Cd2 = V2 + E ( 1+
r)
Unde p p este preţul bunurilor perisabile, iar pd este preţul bunurilor durabile. Restul
variabilelor au notaţiile consacrate. Să se determine:
a) consumul de bunuri perisabile şi durabile din fiecare perioada;
b) economiile făcute de consumatori;
c) care este efectul modificării ratei dobânzii asupra economiilor?
7. Considerăm un consumator care trăieşte două perioade, perioada 0 şi perioada 1.
Utilitatea lui este dată de funcţia:
b 2 φ 2 1 ⎛ b 2 φ 2 ⎞
U = C0
− C0
− l0
+ ⎜C1
− C1
− l1
⎟
2 2 1+
δ ⎝ 2 2 ⎠
Unde C este cantitatea consumată dintr-un coş de bunuri, iar l este munca depusă de
consumator. Restricţiile bugetare în cele două perioade sunt:
p C
0
0
+ S
0
= p w l
0
0 0
p1C1
= p1w1l
1 + S0
( 1+
r)
Unde p este indicele preţurilor pentru coşul de bunuri, w este salariul real, iar S
economiile.
a) În ce condiţii consumul şi munca sunt staţionare ( C 1 = C0
, l1
= l0
)?
b) Se ştie că r = δ . Să se determine consumul şi munca în cele două perioade şi
economiile.
8

Capitolul 2. Teoria producătorului
2.1. Piaţa cu concurenţă perfectă
1. Pe o piaţă cu concurenţă perfectă, un producător are următoarea funcţie de costuri
totale:
CT = 150 × Q − 5000×
lnQ
+ 50 . Funcţia cererii este Q p
D
= 800 − 3×
.
Să se determine:
a. cantitatea vândută şi preţul de vânzare;
b. mărimea profitului şi rata profitului;
c. se aplică o acciză unitară de 40 de unităţi monetare. Să se determine variaţia
profitului;
d. se aplică o acciză ad-valorem de 30%. Să se determine noua rată a profitului;
e. se aplică o acciză unitară de tip Laffer. Să se determine valoarea accizei, profitul
şi efectele aplicării taxei asupra producătorului, consumatorului şi societăţii.
2. Pe o piaţă cu concurenţă perfectă, funcţiile de cerere şi de ofertă sunt:
D
2
⎪⎧
Q = −0,
02 × p − 6 × p + 2.
550
⎨ S
2
⎪⎩ Q = 0,
08×
p − 4 × p
Cerinţe:
a. să se determine cantitatea vândută, preţul de vânzare şi profitul obţinut dacă se
3
2 2
cunosc costurile fixe ale firmei: CF = × 625 ;
37,
5
b. valoarea accizei unitare care, după instituire, determină reducerea cantităţii
vândute la 800 de unităţi;
c. pierderea producătorilor şi a consumatorilor în situaţia de mai sus.
3. Funcţiile de cerere, respectiv de ofertă pe o piaţă cu concurenţă perfectă sunt:
2
Cerere : QD
= −0,
1p
−10
p + 30.
000
2
Oferta : QS
= 0,
2 p + 10 p − 375
Să se determine:
* *
a) coordonatele ( p , Q ) ale punctului de echilibru;
b) funcţia de cost variabil al producătorului;
c) se ştie că în urma aplicării unei accize unitare T, volumul vânzărilor s-a redus cu
35%. Să se calculeze taxa, veniturile bugetare obţinute în urma aplicării taxei,
precum şi impactul asupra consumatorilor şi producătorilor.
4. Pe o piaţă cu concurenţă perfectă funcţiile de cerere şi de ofertă sunt:
2
S : Q = 3p
+ 4 D
: Q = − p + 4 p + 5
9

Determinaţi:
a) funcţia de costuri variabile;
b) acciza unitară care reduce cantitatea tranzacţionată pe piaţă cu 10%;
c) acciza ad valorem care creşte preţul de echilibru de pe piaţă cu 5%.
5. Funcţiile de cerere şi de ofertă sunt:
−0,
05 pD
QD
= 1702,
88e
0,
05 pS
QS
= 845,
6257e
* *
a) să se determine punctul de echilibru ( p , Q ) ;
b) să se determine funcţiile de elasticitate a cererii şi funcţia de elasticitate a ofertei în
funcţie de preţ;
c) să se determine acciza Laffer şi noul punct de echilibru după aplicarea accizei;
d) să se precizeze subvenţia care trebuie acordată producătorului pentru ca acesta să nu
lucreze în pierdere.
6. Se consideră următoarele funcţii de cerere şi ofertă:
2
D : Q = −2
p + 180 p + 25.
000
2
S : Q = − p + 350 p −14.
000
Să se determine:
a) intervalul de variaţie pentru preţ astfel încât funcţiile de cerere şi ofertă să fie corect
specificate;
b) ca urmare a aplicării accizei unitare T, preţul de piaţă devine p=150. Să se determine
* * * *
noul punct de echilibru ( p , Q ) , precum şi T.
7. Se consideră următoarele funcţii de cerere şi ofertă:
D : Q = 10.
000 − 2 p
S : Q = −1.
000 + 3p
Să se determine:
a) coordonatele punctului de echilibru;
b) mărimea accizei Laffer şi noul punct de echilibru în cazul impunerii accizei;
c) funcţia de cost variabil a producătorului.
8. Se consideră următoarele funcţii de cerere şi ofertă:
2
D : Q = 0,
15 p −10
p + 1.
000
2
S : Q = 0,
27 p + 10 p − 59
Să se determine:
a) coordonatele punctului de echilibru;
b) funcţia de cost variabil a producătorului.
9. Pe o piaţă, funcţia de cerere, respectiv de ofertă sunt:
−1,
2
D : Q = 1000 p
0,
8
S : Q = 9,
985p
10

Se cere:
a) punctul de echilibru;
b) elasticitateea cererii şi ofertei în raport cu p;
c) mărimea accizei Laffer care maximizează încasările bugetare.
2.2. Piaţa cu concurenţă monopolistă
1. Pentru un producător pe piaţa cu concurenţă monopolistă, funcţia costurilor variabile
2
3
este CV = 800 × Q − 0,
2 × Q + 0,
01×
Q . Costurile fixe sunt zero. Funcţia de cerere este
D
Q = 1.680 − 0, 2×
p.
Să se determine:
a. preţul, cantitatea oferită şi profitul;
b. mărimea optimă a unei accize unitare de tip Laffer, noul preţ al pieţei şi cantitatea
vândută;
c. impactul accizei asupra producătorului, consumatorului şi societăţii.
2. Funcţia costului total al unei firme ce operează pe piaţa cu concurenţă monopolistă este
CT ( Q)
= 100Q
+ 1000 . Funcţia de cerere cu care se confruntă această firmă pe piaţă este
QD = 800 − 3p
. Să se determine:
a) Cantitatea vândută şi preţul pe piaţă;
b) Să se determine profitul şi rata profitului;
c) Se aplică o acciză unitară de 50 u.m. să se determine cantitatea vândută şi noul preţ;
d) Cantitatea vândută creşte cu 5,53% ca urmare a acordării unei subvenţii unitare. Să se
determine mărimea subvenţiei;
e) Se aplică o acciză unitară de tip Laffer. Să se determine mărimea accizei şi valoarea
încasărilor bugetare;
f) Se aplică o acciză ad valorem de 23%. Să se determine cantitatea vândută şi preţul.
3. Funcţia de cost total al unei firme ce operează pe piaţa cu concurenţă monopolistă este
CT ( Q)
= 0,
555Q
+ 1000 . Funcţia de cerere cu care se confruntă această firmă pe piaţă
2
este: D : Q = 250 + 2 p − p .
a) să se determine cantitatea vândută şi preţul pe piaţă;
b) se aplică o acciză unitară de 2 um. Să se determine cantitatea vândută şi preţul.
c) cantitatea vândută creşte cu 5,53% ca urmare a acordării unei subvenţii unitare. Să se
determine mărimea subvenţiei.
d) se aplică o acciză ad valorem de 23% .Să se determine cantitatea vândută şi preţul.
3
2
4. Funcţia de cheltuieli variabile a firmei XYZ este ϕ ( Q ) = −0,
001×
Q + 15×
Q + 10 × Q ,
iar CF = 0.
a. Dacă firma acţionează pe o piaţă cu concurenţă perfectă pe care funcţia de cerere este
Q p
D
= 9 . 600 − 0,
02×
, să se determine domeniul admisibil de variaţie pentru preţ ştiind
că funcţia de ofertă este de forma Q ( p)
S
δ
= .
11

* *
b. Să se determine punctul de echilibru ( , p )
Q pe piaţa cu concurenţă perfectă.
c. În cazul în care piaţa devine monopolistă, să se determine noul punct de echilibru
* * * * ( Q , p ) , profitul şi rata profitului.
d. Pe piaţa cu concurenţă monopolistă se aplică o acciză ad-valorem de 30%. Să se
determine modificarea preţului monopolist şi modificarea procentuală a profitului faţă de
punctul c.
e. Să se determine preţul şi profitul în situaţia unei pieţe monopoliste dacă pe piaţă se
aplică o acciză unitară de 100.000 u.m.
12

Capitolul 3. Modelul IS-LM
1. O economie este descrisă de următoarele ecuaţii:
( Y −T
) ,
Y = C + I + G + E − X , C = C0
+ c I = I 0 − g ⋅ r,
X = X o + mY
M
= l1Y
− l2
r
P
Ştiind că:
p = 1, c = 0,
8,
m = 0,
22,
l1
= 0,
2,
l2
= 183,
X 0 = 30,
E0
= 300,
g = 228,
75,
C0
= 50,
I 0 =
G = T = 450,
M = 280
se cere:
Y .
* *
a) Determinaţi punctul de echilibru ( , r )
b) Determinaţi valoarea de echilibru a economiilor.
c) Banca Centrală a acestei ţări practică o politică monetară expansionistă,
modificând baza monetară cu 2 um. Ştiind că rata rezervelor minime obligatorii este
20%, iar raportul numerar-depozite este 0,4, determinaţi impactul aceste măsuri asupra
output-ului şi ratei dobânzii de echilibru.
d) Stabiliţi ce măsură de politică bugetară ar conduce la aceleaşi efect asupra
outputului. Determinaţi impactul acestei măsuri asupra deficitului bugetar.
e) Stabiliţi ce măsură de politică fiscală ar conduce la aceleaşi efect asupra
outputului. Determinaţi impactul acestei măsuri asupra deficitului bugetar. Cum
apreciaţi eficacitatea celor trei tipuri de politică economică?
f) Determinaţi senzitivitatea investiţiilor în raport cu masa monetară reală,
cheltuielile guvernamentale şi taxele.
2. O economie este descrisă de următoarele ecuaţii:
( Y − T ) ,
Y = C + I + G + E − X , C = C0
+ c T = t ⋅Y
, I = I 0 + γY
− g ⋅ r,
D
L = l Y − l r
1
Ştiind că:
2
200,
13

p = 1, c = 0,
7,
t = 0,
3,
l1
= 0,
4,
l2
= 40.
000,
γ = 0,
02,
g = 30.
000,
C0
= 1000,
I0
= 6000,
M = 4111
ponderea deficitului bugetar în output (d) este 3%, iar ponderea contului curent în output
(z) este -1%, se cere:
a) outputul de echilibru, rata dobânzii de echilibru, consumul şi investiţiile în
punctul de echilibru.
b) Cu cât trebuie să se modifice masa monetară pentru ca rata dobânzii să crească cu
0,5 puncte procentuale?
c) Cu cât se modifică output-ul de echilibru şi rata dobânzii de echilibru atunci când
se modifică ponderea deficitului bugetar în output?
3. Se consideră modelul IS-LM:
Y = C + I + G + E − X , C = C0
+ c(
Y − T ) , T = t ⋅Y
, I = I 0 − g ⋅ r,
M
P
= l1Y
− l2r,
G − T
d = ,
Y
E − X
e = ,
Y
X = X 0 + mY
Se ştie că:
c = 80%, t = 34%,
d = 2%,
e = 3,
5%,
l1
= 0,
2,
p = 1,
C0
= 700,
I 0 = 2500,
M = 3200
M
a) Se ştie că Δ = 1 conduce la ΔY = 3,
3044 . Să se calculeze Y, G, T şi S.
P
M
b) Se ştie că Δ
P
= 1 conduce la ΔE = 0,
6608.
Să se calculeze m.
c) Să se determine Δ I pentru cazul în care C 0 creşte de la 700 la 1000.
4. Se consideră următorul model IS-LM:
= C + I + G + E − X ; C = C0
+ c(
Y − T ); T = tY;
I = I 0 − gr;
E − X M
z = ; = l1Y
− l
Y P
Y 2
* *
a) Să se determine coordonatele punctului de echilibru ( ,r )
Y ;
b) Ştiind că c=85%, t=30%, g=4250, l 1 =0,25, l 2 = 5000, C 0 = 100 , I 0 = 900 , G=1500,
z=-0,03 , M=460, P=1 să se determine Y şi r de echilibru, S (economiile), ponderea
G − T
deficitului bugetar în PIB d = ;
Y
c) stabiliţi cu cât se va modifica Y şi r de echilibru atunci când masa monetară reală scade
cu 10 um;
14
r

d) stabiliţi ce mix de politică monetară şi bugetară trebuie aplicat pentru a se realiza
creşterea PIB-ului cu 2% şi reducerea ratei de dobândă de echilibru cu un punct
procentual.
5. Se consideră următorul model IS-LM:
( Y − T ) ,
Y = C + I + G + E − X , C = C0
+ c T = tY,
I = I 0 − g ⋅ r,
X = X o + mY
M
P
= l1Y
− l2r
p = , c = 0,
7,
l = 0,
2,
l = 185,
t = 0,
16,
g = 230,
32,
C = 210,
I = 320,
G = 300,
M = 310
1 1
2
0
0
E − X
iar ponderea deficitului de cont curent in PIB este z = = −6%
.
Y
a. Să se determine nivelul PIB-ului şi rata dobânzii de echilibru.
b. Cu cât trebuie să modifice statul cheltuielile guvernamentale astfel incât investiţiile sa
crească cu 5%?
c. Să se determine senzitivitatea PIB-ului, a ratei dobânzii şi a investiţiilor in funcţie de
deficitul bugetar (D=G-T) atunci când rata de impozitare (t) ramâne constantă.
6. Economia unei ţări este descrisă de următorul model IS-LM:
Y = C+ I + G+ NX; C = c( Y − T); I = γ ⋅Y −g⋅r; f
NX = E − X ; E = nY ; X = mY;
M M f
= l1Y−l2r; T, G, , Y exogene
P P
Unde Y reprezintă producţia agregată internă (PIB intern), f
Y PIB extern, C consumul
privat, G consumul guvernamental, T taxele, I investiţiile, r rata de dobândă, E exportul,
X importul, M
oferta reală de monedă.
P
a) Să se deducă expresia de echilibru pentru PIB (Y), rata de dobândă (r) şi economii (S)
în funcţie de parametrii modelului şi de variabilele exogene. Să se calculeze numeric
valorile în cazul în care:
M
c= 0,82; γ = 0,3; g = 60; m= 0, 45; l1 = 0,3; l2 = 100; T = 55; G = 68,5; = 108, 4;
P
f
Y = 60.000; n=
0,0024
f
b) se consideră un şoc negativ în PIB extern Δ Y < 0.
Să se calculeze impactul acestui
şoc extern asupra PIB intern, asupra ratei de dobândă şi asupra contului curent. Să se dea
15

exemplu de măsură de politică fiscală sau monetară care să atenueze sau să anuleze
efectele şocului extern asupra PIB. Să se precizeze instrumentul utilizat, mărimea şi
sensul modificării acestuia.
c) pentru a evalua impactul acţiunilor de politică economică asupra economiei, autoritatea
fiscală şi cea monetară definesc următoarea funcţie de pierdere combinată:
( ) α ( )
2 2
L = Δ D + Δ r
Unde ΔD este modificarea deficitului bugetar şi Δ r modificarea ratei de dobândă, în
urma adoptării unei măsuri de politică economică. Guvernul intenţionează să crească PIB
cu o unitate ( Y 1)
Δ = prin creşterea consumului guvernamental, finanţând această creştere
M
parţial prin creşterea taxelor, parţial prin emisiune monetară: Δ G =Δ T +Δ . Se
P
notează cu x creşterea consumului guvernamental finanţată prin emisiunea monetară
M
x =Δ . Să se exprime L în funcţie de x.
P
d) Să se găsească nivelul optim al lui x, care face ca impactul asupra economiei al
măsurilor de politică economică descrise anterior, măsurat prin funcţia L, să fie minim.
Să se determine valorile lui x atunci când α → 0 şi α →∞.
7. Economia unei ţări este descrisă prin următorul model IS-LM:
Y = C+ I + G+ NX; C = c( Y − T); I = γ ⋅Y −g⋅r; NX = E − X ; X = mY;
M M f
= l1Y−l2r; T, G, , Y exogene
P P
unde Y reprezintă producţia agregată (PIB), C consumul privat, T veniturile bugetare,
I investiţiile, r rata de dobândă, E exportul, X importul, M
oferta reală de monedă,
P
G cheltuielile guvernamentale. Statul respectiv are la dispoziţie următoarele tipuri de
politică economică:
- fiscală, prin care modifică cheltuielile guvernamentale ( Δ G) sau veniturile bugetare
( Δ T),
- monetară, prin care modifică oferta reală de monedă M
Δ sau
P
16

- comercială, prin care poate stimula exporturile ( Δ E).
(a) Să se deducă expresia la echilibru pentru PIB (Y ), rata de dobândă (r) şi pentru
economii (S), în funcţie de parametrii modelului şi de variabilele exogene.
(b) Guvernul doreşte să echilibreze contul curent prin măsuri de stimulare a exporturilor.
Să se exprime modificarea procentuală a exporturilor E Δ
necesară pentru echilibrarea
E
contului curent în funcţie de parametrii modelului şi de ponderea actuală a exporturilor în
PIB, E
Y .
(c) Guvernul creşte cheltuielile guvernamentale, acoperind integral această creştere din
creşterea taxelor ( Δ G = Δ T). Să se deducă efectul acestei măsuri asupra PIB ( Δ Y ), a
ratei de dobândă ( Δ r) şi a economiilor ( Δ S) şi să se interpreteze rezultatele.
8. Economia reală este descrisă de următoarele ecuaţii:
( Y − T ) ,
Y = C + I + G + E − X , C = C0
+ c T = tY,
I = I 0 − g ⋅ r,
X = X o + mY
M
= l1Y
− l2r,
P
Se cunoaşte:
D = G − T,
D
d = , CK = I − S,
CC = E − X , T = tY
Y
p = 1,
c = 80%,
t = 31,
41%,
m = 0,
22 l1
= 0,
2 l2
= 183 g = 228,
75 d = 5%
C0
= 70 I 0 = 230
X = 50 E = 350 M = 300
0
a) să se calculeze Y, r, G, T, C, I, X, S, CK, D, CC
b) să se calculeze cu cât trebuie să crească oferta nominală de monedă ΔM astfel încât
volumul investiţiilor să crească cu 25% faţă de cel de la punctul a). Se ştie că noul
indice al preţurilor este p=1,1.
M
c) Să se determine şi d astfel încât rata dobânzii să fie r = 8%
, iar
P
E − X = −0,
02Y
(cheltuielile guvernamentale determinate la punctul a) sunt constante).
9. Se consideră modelul IS-LM:
Y = C + I + G + E − X ,
C = c
( Y − T ) ,
I = i ⋅Y
− g ⋅ r,
G = bY,
X = mY
M
= l1Y
− l2r,
P
Se cunoaşte:
D = G − T,
D S
d = , s = ,
Y Y
p
= 1, b = 32%,
m = 0,
20 l1
E = 2000 M = 1600
= 0,
2 l2
= 2800 g = 2200 d = −3%
i = 0,
17 s = 14,
3%
17

Se cere:
* *
a) coordonatele punctului de echilibru ( Y , r )
b) ca urmare a modificării ofertei de monedă, rata dobânzii a crescut cu 2,013 puncte
procentuale. Să se afle cu cât s-a modificat M, precum şi noul PIB de echilibru.
10. Se consideră modelul IS-LM static.
(a) Să se precizeze:
(b) influenţa creşterii ofertei reale de monedă asupra mărimii investiţiilor;
(c) influenţa creşterii deficitului bugetar asupra mărimii investiţiilor;
i) influenţa creşterii vitezei de rotaţie a banilor ( l 1)
asupra PIB ( Y ) ;
ii) influenţa creşterii senzitivităţii mărimii investiţiilor în raport cu rata dobânzii ( g )
asupra mărimii PIB.
(d) Pentru modelul IS-LM se consideră următoarele date: c = 85% ; t = 31% ; m = 18% ;
d = 4% (ponderea deficitului bugetar în PIB); l 1 = 0,22 ; l 2 = 132.500 ; g = 106.000 ;
C = 8.000 ; I 0 = 75.000 ; X 0 = 15.000;
M = 60.000;
P = 1;
E = 30.000 . Să se calculeze:
0
i) punctul de echilibru;
ii) noua rată a fiscalităţii t 1,
în ipoteza în care se doreşte reducerea lui d de la 4% la
2%; cheltuielile guvernamentale rămân neschimbate.
11. Se consideră modelul IS-LM:
Y = C + I + G+ E − X ; X = mY ;
0
( )
C = C + c Y − T ; T = tY;
I = I0− gr;
D = G− T ; d = D Y ; Z = X − E;
z = Z Y ;
18

M
= lY 1 − l2( r+
π ) .
P
Se cunosc: C 0 = 50 ; I 0 = 400 ; M P = 300 ; c = 80% ; t = 30% ; d = 3,5% ; z = 5% ;
l = 0,2 ; l 2 = 1.000 ; g = 1.250 ; π = 3% şi m = 0,4 .
1
* *
a. Să se calculeze coordonatele punctului de echilibru ( Y , r ) .
b. Să se calculeze
*
G ,
*
E şi
*
S .
c. Oferta reală de monedă creşte cu 10%, iar rata inflaţiei se reduce cu 1 punct
procentual. Să se precizeze cu cât se va modifica rata reală de echilibru.
19

Capitolul 4. Modelul Mundell - Fleming
1. Recapitularea conceptelor cheie prezentate la curs
1.1 Ce înregistrează balanţa de plăţi? Ce se înţelege în acest model prin balanţă de plăţi?
1.2. Cum influenţează cursul de schimb şi nivelul venitului soldul balanţei de plăţi?
1.3 Ce exprimă cursul de schimb real şi cum influenţează acesta competitivitatea unei
ţări?
1.4 Cum influenţează regimul cursului de schimb soldul balanţei de plăţi?
1.5 Cum influenţează mobilitatea capitalurilor rata de dobândă internă?
1.6. Care sunt efectele politicilor monetară şi fiscală în cadrul modelului Mundell-
Fleming?
2. Aplicaţii
[1] Explicaţi pe următorul grafic efectele unei politici monetare expansioniste în cadrul
modelului Mundel-Fleming, în cazul în care cursul de schimb este flotant. Curba BP arată
toate combinaţiile dintre y şi r care asigură echilibrul balanţei de plăţi pentru diferite
niveluri ale cursului de schimb.
Grafic.1. Efectele unei politici monetare expansioniste în cazul cursului de schimb flotant
[2] Identificaţi pe următorul grafic efectele unei politici fiscale expansioniste în cadrul
modelului Mundel-Fleming, în cazul în care cursul de schimb este flotant. Explicaţi ce se
întâmplă atunci când contul de capital este perfect liberalizat.
Grafic.2. Efectele unei politici fiscale expansioniste în cazul cursului de schimb flotant
20

[3] Identificaţi pe următorul grafic efectele unei politici monetare expansioniste în
cadrul modelului Mundel-Fleming, în cazul în care cursul de schimb este fix.
Explicaţi ce se întâmplă atunci când contul de capital este perfect liberalizat.
Grafic.3. Efectele unei politici monetare expansioniste în cazul cursului de schimb fix
[4] Identificaţi pe următorul grafic efectele unei politici fiscale expansioniste în cadrul
modelului Mundel-Fleming, în cazul în care cursul de schimb este fix. Explicaţi ce se
întâmplă atunci când contul de capital este perfect liberalizat.
Grafic.2. Efectele unei politici fiscale expansioniste în cazul cursului de schimb fix
21

CAZUL I : curs flotant, cont de capital restricţionat
[5] Se consideră o economie descrisă de următoarele relaţii:
Y = C + I + G + NX ;
C = C0
+ c Y −T
; T = tY ; I I − gr ;
( )
NX = E − X ; E + ρ
= L + l Y − l r ;
L 0 1 2
f ( r r )
CF = δ − ;
= E0
a
= 0
; X = X 0 + mY − bρ
;
unde Y reprezintă PIB, C consumul, I investiţiile, G cheltuielile guvernamentale
(exogene), NX exportul net, C 0 consumul autonom, c înclinaţia marginală spre consum,
T taxele, t rata fiscalităţii, I 0 investiţiile autonome, r rata de dobândă internă, g
senzitivitatea investiţiilor la rata de dobândă, E exportul, E 0 exportul autonom, a
senzitivitatea exportului la cursul de schimb, ρ cursul de schimb real, X importul, X 0
importul autonom, m înclinaţia marginală spre import, b senzitivitatea importului la
cursul de schimb, L cererea de bani, 1 l inversul vitezei de rotaţie a banilor, 2 l
senzitivitatea cererii de bani la rata de dobândă, CF contul de capital, δ senzitivitatea
f
contului de capital la diferenţialul de dobândă şi r rata de dobândă pe piaţa de capital
internaţională. Regimul valutar este cel al cursului de schimb liber, iar contul de capital
este restricţionat.
(a) Să se precizeze şi să se interpreteze semnul parametrilor a şi b .
(b) Să se scrie ecuaţiile care dau echilibrul pe piaţa bunurilor şi serviciilor, pe piaţa
monetară şi identitatea contabilă reprezentând constrângerea externă.
(c) Să se determine PIB, rata de dobândă şi cursul de schimb de echilibru, cunoscând
C ; c ( 1−
t)
= 0.
544 ; G = 4000 ; I 1400 ;
următoarele valori ale parametrilor: 0 = 700
0 =
22

R
g = 5000 ; a + b = 1200 ; l 0,
25 ; l 8000 ; L 300 ; E − X 300 ; = 15%
N
D
= 40%
1 =
2 =
f
; N = 872.
73;
R = 327.
27 ; P = 1; C 700 ; r = 8%
, δ = 1000 , m = 0,
15.
(d) Să se compare senzitivitatea investiţiilor la rata de dobândă de pe piaţa naţională cu
senzitivitatea investiţiilor la rata de dobândă de pe piaţa externă.
CAZUL II : curs flotant, cont de capital perfect liberalizat
0 =
0 =
[6] Se consideră următorul model de tip Mundell-Fleming:
Y = C + I + G + NX ;
C = C + c(
1−
t)YI
I − ;
0 ; = 0 gr
L 0 1 2
0 = 10500
P
NX ε
f
= NX 0 + n ⋅Y
f − mY + a ;
Pi
= L + l Y − l r .
C ; c = 0,
8 ; t = 0,
28 ; G = 28500 ; I 10000 ; g = 5500 ; a = 1700 ; l 0,
28 ;
f
l , NX 200 ; n = 0.
001;
Y = 10.
000.
000 , m = 0,
25 ; L 2000 , r = 5%
, P = 1,
05 ,
2 = 5000
0 =
f
P f = 1.
02 , M = 30000 .
Contul de capital este perfect de liberalizat, iar cursul este flotant.
a) Să se calculeze PIB, cursul nominal, rata dobânzii, consumul, mărimea
investiţiilor, ponderea deficitului bugetar în PIB, soldul contului curent şi
mărimea investiţiilor;
b) Se estimează că PIB potenţial este Y = 96000 . Cum se poate utiliza politica
fiscală sau politica monetară pentru a aduce economia la nivelul potenţial. Ce se
întâmplă cu moneda naţională;
c) Nivelul PIB global ( Y f ) crește cu 3%. Cu cât se modifică PIB, rata dobânzii,
cursul de schimb. Explicaţi, folosind eventual o diagramă IS-LM, modificările din
economia naţională;
f
d) Nivelul ratei de dobândă de pe piaţa internaţională ( r ) creşte cu 0,5 pp. Cu
cât se modifică PIB, cursul de schimb şi rata dobânzii. Explicaţi, folosind
eventual o diagramă IS-LM, modificările din economia naţională;
e) Presupunem că evoluţia economiei globale se poate aproxima printr-un model
IS-LM. Să se arate că şocurile de politică bugetară la nivel global se transmit în
mod pozitiv la nivel naţional (i.e. o creştere a cheltuielilor guvernamentale la
nivel global generează o creştere a PIB intern), în timp ce şocurile de politică
monetară se transmit în mod negativ (i.e. o creştere a masei monetare la nivel
global generează o scădere a PIB intern).
0 =
CAZUL III : curs fix, cont de capital restricţionat
[7] Se consideră o economie deschisă descrisă prin următoarele relaţii:
Y = C + I + G + NX ;
C = C0
+ c Y −T
; T = tY ; I I − gr ;
( )
= 0
0 =
0 =
D
1 =
;
23

f
f
P
P
NX = E − X ; E = E0
+ aε
; X = X 0 + mY − bε
;
P
P
L l1Y
l2r
− = ; ) (
f
CF = δ r − r
Cursul de schimb este fix, iar fluxurile de capital sunt restricţionate. Intervenţiile băncii
centrale pentru susţinerea cursului fix sunt sterilizate. Se cunosc următoarele date:
0 100 = C ; 875 , 0 = c ; 3 , 0 = t ; 1405 = G ; 0 800 = I ; 600 . 3 = g ; 7 = a ; 5 = b ; 25 , 0 1 = l ;
l 4.
800 , E − X = 250 , m = 0.
22 , δ = 1500 . Se ştie că rata fixă este ε = 3,
5 ,
2 =
0
0
f
r = 5%
, P = 1,
06 , P = 1.
02 , M = 580 .
f
(a) Să se determine venitul naţional ( Y ) , rata de dobândă internă ( )
r , precum şi soldul
monetar al echilibrului extern.
(b) Să se calculeze şi să se explice impactul politicilor monetară şi fiscală asupra
variabilelor endogene.
CAZUL IV : curs fix, cont de capital perfect liberalizat
[8] Se dau următoarele ecuaţii pentru modelul Mundell-Fleming:
Y = C + I + G + NX ;
C = C0
+ c(
1−
t)Y;
I = I 0 − g(
r − π ) ;
Pf
NX = a + bε
;
P
L l1Y
l2r
− =
.
Se cunosc următoarele date: C 400 ; 85 . 0 = c ; 25 . 0 = t ; 500 = G ; I 860 ;
0 =
g = 2000 ; a = 50.
67 ; b = 11 ; 1 1.
1 = l ; 2 7900 = l . Se ştie că rata fixă este 24 = ε ,
f
fluxurile de capital sunt libere şi r = 16%
, P = 1.
08 , P
S
= 1.
02 , M = 5200 .
(a) Să se determine nivelul venitului şi al ratei de dobândă de echilibru ( y *,r*)
;
N R
(b) Ştiind că raportul = 0.
4 şi = 0.
2 (N reprezintă numerarul în circulaţie, R sunt
D D
rezervele băncilor la banca centrală, iar D reprezintă nivelul total al depozitelor), să se
precizeze în ce sens şi cu ce valoare ar trebui să se modifice baza monetară, astfel încât să
se menţină paritatea cursului de schimb;
(c) În cazul în care are loc o creştere a ratei de dobândă pe piaţa internaţională cu 5 la
sută, iar baza monetară este constantă, cu cât se va devaloriza moneda naţională?
(d) Să se compare senzitivitatea investiţiilor la rata de dobândă de pe piaţa naţională cu
senzitivitatea investiţiilor la rata de dobândă de pe piaţa externă.
ALTE APLICAŢII:
[1] În cadrul modelului Mundell-Fleming (cont de capital liberalizat, curs flotant ) se
cunosc: C 0 = 1500 , X 0 = 600 , I 0 = 1500 , G=3400, E 0 = 800 , c=78%, m=22%, P=1,
M=2000, g=2000, r*=7%, l 0.
2 , l 2500 , a=20, b=18.
1 =
2 =
i
i
f
0 =
24

Y = C + I + G + E − X ; C = Co
+ c(
Y − T ) ; I I o gr − = ; ρ a E E o − = ;
X = X o + mY − bρ
Se ştie că dacă masa monetară se reduce cu 100 u.m., cursul de schimb se reduce cu
8,66316. Să se calculeze:
a) (Y*, r*), ponderea contului de capital, contului curent si a deficitului bugetar in
PIB;
b) Pe piata internationala rata dobanzii a urcat la 8%. Guvernul a hotarat sa ia măsuri
pt ca cursul sa nu se modifice. Cu cât ar trebui modificate cheltuielile
guvernamentale a.î. cursul să fie constant?
[2] Economia este descrisă de următoarele ecuaţii: Y = C + I + G + E − X ,
f
C = Co
+ c(
Y − T ) ; E = E0
+ αH
; α este cursul de schimb valutar, α = α + h( r − r ) ;
M
D
f
I = I o − gr ; l 1 Y − l2r
= , D = G − T , CK = I − S , CC = E − X , d = , iar r este
P
Y
rata dobânzii pe piaţa internaţională.
(a) Să se calculeze: Y, r, E şi CC în punctul de echilibru;
(b) Se cunosc: p = 1; c = 80%; t = 30%; m = 0.22; 1 0.
2 = l ; 2 183 = l ; g = 228.75; h = 10;
f
α 0 = 2 ; r = 8%
; C 0 = 50 ; X 0 = 30 ; I 0 = 200 ; E 0 = 300 ; H = 15; G = 450; M =
280.75. Să se calculeze Y, r, S, E, I, d, CC, α .
(c) Să se calculeze Δ K E , Δ Kα
, Δ KCK
, Δ KCC
, unde k = 1 reprezintă variaţia
M
f
indicatorului în raport cu Δ , iar k = 2 în raport cu Δ G , iar k = 3 în raport cu r .
P
(d) Să se menţioneze cu cât e puncte procentuale se modifică r şi cu câte procente se
modifică E, CC şi D în cazul în care rf creşte de la 8% la 12 %.
[3] Se consideră următorul model de tip Mundell-Fleming:
Y = C + I + G + NX ;
C = C + c(
1−
t)YI
I − ;
0 ; = 0 gr
L 0 1 2
0 = 10500
P
NX ε
f
= NX 0 + n ⋅Y
f − mY + a ;
Pi
= L + l Y − l r .
C ; c = 0,
8 ; t = 0,
28 ; G = 28500 ; I 10000 ; g = 5500 ; a = 1700 ; l 0,
28 ;
l 5000 , NX 200 ; 001 . 0 = n ; 000 . 000 . 10 = Y , m = 0,
25 ; L 2000 , % 5 =
f
r , P = 1,
05 ,
2 =
0 =
P = 1.
02 , M = 30000 .
f
f
Contul de capital este perfect de liberalizat, iar cursul de schimb este fix, paritatea fiind
stabilită la nivelul ε = 3,
15 .
a) Să se calculeze PIB, cursul nominal, rata dobânzii, mărimea masei monetare,
consumul, mărimea investiţiilor, ponderea deficitului bugetar în PIB, soldul
contului curent şi mărimea economiilor sectorului privat;
0 =
0 =
0
1 =
25

) Se estimează că PIB potenţial este Y = 96000 . Cum se poate utiliza politica
fiscală sau politica monetară pentru a aduce economia la nivelul potenţial. Cum
trebuie să acţioneze banca centrală pentru a păstra cursul fix?
c) Nivelul PIB global ( Y f ) creşte cu 3%. Cu cât se modifică PIB, cursul real şi
rata dobânzii. Cum trebuie să acţioneze banca centrală pentru a păstra cursul fix?
Explicaţi, folosind eventual o diagramă IS-LM, modificările din economia
naţională;
f
d) Nivelul ratei de dobândă de pe piaţa internaţională ( r ) crește cu 0,5 pp. Cu
cât se modifică PIB, cursul real. Explicaţi, folosind eventual o diagramă IS-LM,
modificările din economia naţională;
e) Presupunem că evoluţia economiei globale se poate aproxima printr-un model
IS-LM. Să se arate că şocurile de politică monetară se transmit în mod pozitiv la
nivel naţional (i.e. o creştere a masei monetare la nivel global generează o creştere
a PIB intern). Dar şocurile de politică bugetară?
26

Capitolul 5. Teoria Portofoliului
5.1. Portofolii eficiente formate din două active cu risc
⎛ E(
R1)
⎞ ⎛ 0,
1 ⎞
1) Considerăm că pe piaţă cotează 2 active cu rentabilităţile μ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ şi cu
⎝ E(
R2)
⎠ ⎝0,
17⎠
riscurile σ 1 = 0, 25,
σ 2 = 0,
35 . Coeficientul de corelaţie dintre cele două active este
a) ρ 12 = −1
b) 12 0 = ρ
c) 12 1 = ρ
Să se determine:
1. covarianţa dintre cele două active şi să se scrie matricea de varianţă covarianţă.
2. considerând un portofoliu oarecare P format din cele două active cu structura
⎛ x1
⎞
x = ⎜
⎟ cu x2 = 1− x1
, să se scrie rentabilitatea şi varianţa acestui potrofoliu.
⎝ x2
⎠
3. Să se determine dintre toate portofoliile P pe cel care are riscul minim. Să se
caluleze structura, riscul şi rentabilitatea sa.
5.2. Portofolii eficiente formate din mai mult de două active cu risc – Frontiera
Markowitz şi Capital Market Line (CML)
1) Presupunem o piaţă de capital pe care sunt tranzacţionate trei active cu risc ( i = 1,
3 ).
Matricea de varianţă-covarianţă a activelor,respectiv inversa acestei matrice se prezintă
astfel :
⎛ 0.
0400 − 0.
0066 0.
0208 ⎞
⎛ 30.
2013 3.
0506 − 9.
0346⎞
⎜
⎟ −1
⎜
⎟
Ω = ⎜−
0.
0066 0.
0484 − 0.
0057⎟
, Ω = ⎜ 3.
0506 21.
1780 0.
8533 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0.
0208 − 0.
0057 0.
0676
⎜
⎟
⎠
⎝−
9.
0346 0.
8533 17.
6450 ⎠
⎛0.
15⎞
⎜ ⎟
Vectorul rentabilitaţilor aşteptate în cazul celor trei active este următorul : μ = ⎜0.
18⎟
.
⎜ ⎟
⎝0.
23⎠
Presupunem un investitor raţional care urmăreşte obţinerea unei rentabilităţi ρ cu risc
minim. Pornind de la această ipoteză să se determine :
a. Structura şi riscul portofoliului eficient (optim Pareto) P, care asigură o
rentabilitate ρ cu risc minim.
b. Să se calculeze riscul portofoliilor pentru care investitorul raţional fixează
rentabilităţile astfel : 0.
10
1 = ρ , 15 . 0
2 = ρ , 20 . 0
3 = ρ , 25 . 0
4 = ρ . Să se
27

eprezinte grafic punctele în planul financiar şi să se comenteze rezultatele
obţinute.
c. Să se calculeze structura portofoliului cu risc minim global V.
d. Să se determine riscul şi rentabilitatea portofoliului pentru care tangenta dusă la
frontiera Markowitz trece prin originea axelor.
e. Presupunem că pe piaţă de capital există un portofoliu Z, numit conjugat al unui
portofoliului P situat pe frontiera Markowitz cu rentabilitatea 20%. Să se
determine rentabilitatea, riscul şi structura acestui portofoliu (Z).
2) Un investitor raţional poate să formeze un portofoliu eficient P, utilizând fondurile
mutuale V şi W caracterizate prin :
V :
⎛ 0.
4121⎞
⎜ ⎟
x = ⎜0.
4268⎟
W :
V ⎜ ⎟
⎝ 0.
1611⎠
⎛0.
2907⎞
⎜ ⎟
x = ⎜0.
4326⎟
W ⎜ ⎟
⎝0.
2767⎠
σ = 13.
05%
σ = 13.
39%
V
W
ρ = 17.
57%
ρ = 18.
51%
V
W
a. Să se determine ponderea investiţiei în V şi W astfel încât investitorul să obţină o
rentabilitate egală cu 20%.
b. Să se calculeze covarianţa între V şi W, respectiv între V şi P, portofoliul de la punctul
a).
3) Pe o piaţă cotează un număr de patru active financiare. Se cunosc următoarele
informaţii:
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
a. = ⎜ ⎟
⎜0.
1500⎟
⎜ ⎟
⎝0.
1300⎠
2200 . 0
0.
1700
μ , σ = 0.
2832,
σ = 0.
3445,
σ = 0.
2455,
σ = 0.
1825
1 2 3 4
b. A = 103.
88791,
B = 15.
02409 , C = 2.
23887 ,
Se cere:
c. V :
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜−
⎟
⎜ 0. 10209 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 0.
54983 ⎠
02693 . 0
0.
37501
x W :
V
a. Riscurile: σ , σ şi rentabilităţile ρ , ρ .
V W
V W
x
W
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜0.
12504⎟
⎜ ⎟
⎝0.
50668⎠
03573 . 0
0.
33255
28

. Riscul şi rentabilitatea portofoliului P situat pe frontiera Markowitz ştiind că
rentabilitatea aşteptată este ρ = 0.
22 .
P
c. Riscul şi rentabilitatea portofoliului Q situat pe frontiera Markowitz ştiind că riscul
asumat de investitor este σ = 0.
3445 .
P
d. Ştiind că R = 0.
08 să se calculeze rentabilitatea, riscul şi structura portofoliului
f
pieţei M.
e. Să se calculeze rentabilitatea, riscul şi structura portofoliului S, situat pe CML ştiind că
σ = 0.
3445
S
f. Să se calculeze coeficienţii de volatilitate β , β , precum şi ρ , ρ .
1 4
1M
4M
g. Să se calculeze indicatorul de senzitivitate :
⎛ ⎞
∂E⎜
R ⎟
⎝ M ⎠
.
∂R
f
4) Pe o piaţă cotează trei active. Se cunosc:
σ1 = 0,37; σ2 = 0, 45; σ3
= 0, 25 , μ1 = 0,17; μ2 = 0, 22; μ3
= 0,14 , R f = 8%
⎛0,1369 0,1166 −0,0278⎞
⎛15,113 −8,
2841 3,7279 ⎞
⎜ ⎟ −1
⎜ ⎟
Ω=
⎜
0, 2025 −0,0225
⎟
Ω =
⎜
9,685 −0,1916
⎟
⎜ 0,0625 ⎟ ⎜
⎝ ⎠
17,5862 ⎟
⎝ ⎠
Să se determine:
a) ecuaţia frontierei Markowitz;
b) rentabilitatea, riscul şi structura portofoliilor V şi W;
c) riscul şi structura unui portofoliu P de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea
ρ P = 20% ;
d) rentabilitatea şi structura unui portofoliu Q care are riscul σ = 40% ;
e) covarianţa dintre V şi W şi dintre V şi P;
f) covarianţa dintre W şi P;
g) să se calculeze indicatorii de volatilitate β1, β2, β 3,
precum şi ponderea din riscul σ k al
fiecărui activ care este recunoscut de piaţă (risc nediversificabil).
29

h) un investitor îşi asumă un risc de σ p = 12% investind în trei fonduri mutuale: V, W,
R f . Portofoliul P este situat pe CML. Să se precizeze ponderile x1, x2, x 3 investite în cele
trei fonduri mutuale.
5) Pe o piaţă cotează 2007 de active financiare cu risc şi un activ fără risc. Se estimează
2 2
că ecuaţia frontierei Markowitz este σ p = 66, 239μp − 15,529μp + 0,928 . Rentabilitatea
activului fără risc este R f = 9% .
a) să se deteremine rentabilitatea aşteptată şi riscul portofoliului V;
b) să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale V şi W pentru un
portofoliu de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea aşteptată μ p = 12% .
c) cum se modifică structura (pe cele 2007 active cu risc) portofoliului de la punctul b)
dacă riscurile tuturor activelor cresc cu 10%.
d) să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale Rf şi M pentru un
portofoliu de pe CML care are renbtabilitatea aşteptată μ p = 12% .
2 θ 2
e) un investitor are funcţia de utilitate U ( μ, σ ) = μ− σ , unde parametrul θ
2
cuantifică aversiunea la risc a investitorului. Să se determine rentabilitatea aşteptată a
portofoliului de pe frontiera Markowitz care va fi ales de către investitor. Ce se întamplă
dacă θ →∞? Explicaţie.
6) Pe o piaţă cotează 3 active. Se ştie:
x = 0, 2664 0, 2281 0,5055 ; x = 0, 287 0, 2949 0, 418
( ) ( )
0,0069 ( 0,17 0,14 0,10) T
T T
V W
2
σV= μ =
a) Să se calculeze A, B, C, D
b) Să se calculeze x P şi σ p a unui portofoliu situat pe frontiera Markowitz ştiind că
ρ P = 0,17 . Ştiind că σ 1 = 27% , să se calculeze σ p : σ 1 şi să se facă un scurt comentariu
financiar.
c) Ştiind că ρ M = 0,1388,
să se calculeze σ M , xM, R f
d) Să se calculeze x P1
şi σ p1
a unui portofoliu situat pe CML ştiind că ρ P1
= 0,17 . Să se
σ , σ , σ . Scurt comentariu.
compare p P1
1
7) Pe o piaţă cotează trei active. Se cunoaşte:
⎛0,1123 ⎜
Ω=
⎜
⎝
−0,084 0,1657
0,0229 ⎞ ⎛15,1367 ⎟ −1
⎜
−0,016 ⎟
; Ω =
⎜
0,0615 ⎟ ⎜
⎠ ⎝
7,3123
9,7218
−3,7322⎞
⎟
−0,1926
⎟
17,5984 ⎟
⎠
μ = 0,17; μ = 0, 22; μ = 0,14; R =
0,08;
1 2 3
f
30

a) Să se calculeze: xV, σV, ρV, xW, σW, ρW, xM,
σM, ρ M
b) Să se calculeze indicatorii de la punctul a) pentru cazul în care 1, 2, 3,
f R μ μ μ cresc cu
20%
c) Să se calculeze indicatorii de la punctul a) pentru cazul în care σ1, σ2, σ 3 cresc cu 20%
d) Pe baza datelor iniţiale, să se calculeze xP, σ P, β P ştiind că E( RP) = ρP
= 25% , iar P
este situat pe d.1. frontiera Markowitz, d.2. CML
8) Pe o piaţă cotează 2007 de active financiare cu risc şi un activ fără risc. Se estimează
2 2
că ecuaţia frontierei Markowitz este σ p = 54,743μp − 14,117μp + 0,928 . Rentabilitatea
activului fără risc este R f = 9% .
a) Să se determine rentabilitatea aşteptată şi riscul portofoliului V;
b) Să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale V şi W pentru un
portofoliu de pe frontiera Markowitz care are rentabilitatea aşteptată μ p = 13,55% .
c) Cum se modifică structura (pe cele 2007 active cu risc) portofoliului de la punctul b)
dacă riscurile tuturor activelor cresc cu 10%.
d) Să se determine riscul şi structura pe cele două fonduri mutuale Rf şi M pentru un
portofoliu de pe CML care are rentabilitatea aşteptată μ p = 13,55% .
2 θ 2
e) Un investitor are funcţia de utilitate U ( μ, σ ) = μ− σ , unde parametrul θ
2
cuantifică aversiunea la risc a investitorului. Investitorul are acces pe piaţa internaţională
*
*
unde portofoliul pieţei are rentabilitatea aşteptată μ M = 14% şi riscul σ M = 15% . Piaţa
internaţională şi cea naţională nu sunt corelate. Să se determine rentabilitatea aşteptată a
portofoliului ales de investitor. Explicaţie.
9) Pe o piaţă cotează un număr de trei active. Se cunoaşte:
⎛0, 2871⎞ ⎛0, 2771⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
xV =
⎜
0,0585
⎟
; xW =
⎜
0,1029
⎟
, ρW = 0,17035, ρW
= 0,1667, Rf
= 10%,
⎜0,6545⎟ ⎜0,6199⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Se cere:
a) Structura xM şi rentabilitatea ρ M a portofoliului pieţei;
b) Ştiind că σ M = 0,1838 să se calculeze structura portofoliului P situat pe CML cu
σ = 0, 2298.
P
10) Se consideră o piaţă pe care cotează 3 active. Matricea de varianţă covarianţă este:
⎛0,0802 ⎜
Ω=
⎜
⎝
0,0683
0,1187
−0,0209⎞ ⎛25,7969 ⎟ −1
⎜
?
⎟
; Ω =
⎜
0,0603 ⎟ ⎜
⎠ ⎝
−14,1377
16,5251
4,9596 ⎞
⎟
?
⎟
18,8368⎟
⎠
31

R f 8%, σV
0,1548 0,17 0,22 0,14 T
μ =
a) Să se calculeze portofoliul de frontiera Markowitz care asigură o rentabilitate de 18,5%
b) Să se determine structura, rentabilitatea şi volatilitatea unui portofoliu de CML cu
riscul σ Q = 8, 2%
c) Ca urmare a creşterii pieţei, toate rentabilităţile activelor cresc cu 10%. Să se
determine modul în care se modifică rentabilitatea, riscul şi structura portofoliilor V şi M.
= = , ( )
11) Pe o piaţă cotează 4 active cu risc. Pentru frontiera Markowitz se cunosc următoarele
elemente:
T
x = 0, 2191 0,3695 0,3028 0,1086
V
( )
( 0, 2328 0,3515 0, 2968 0,1185)
T
xW
=
ρV = 0,1346; ρW
= 0,1359;cov( xV, xW)
= 0,0014
a) Să se determine structura şi riscul portofoliului P cu rentabilitatea 15%
b) Să se determine senzitivitatea riscului portofoliului P în raport cu rentabilitatea sa
∂σ
P
∂ρP
c) Să se determine în ce interval trebuie să se situeze rentabilitatea lui P astfel încât
portofoliul să aibă o componentă, respectiv 2 negative. Există valori pentru care P are 3
componente negative?
d) Să se determine riscul, rentabilitatea şi structura lui M dacă Rf=7%
e) Să se precizeze în ce interval trebuie să se situeze Rf astfel încât M să aibă o
componentă sau 2 negative.
5.3. Modelul de evaluare a activelor CAPM (Capital Asset Pricing Model)
1) Pentru modelul CAPM să se răspundă la următoarele întrebări:
−1
a) Ştiind că Ω >0 şi E ( RM
) > R f să se precizeze în ce situaţie ponderea unui activ în
portofoliul pieţei poate fi negativ ( x i < 0).
b) Să se arate că dacă două active au acelaşi risc σ i = σ j , activul care are coeficientul de
corelaţie cu portofoliul pieţei mai mare va avea şi rentabilitatea aşteptată mai mare.
2) In perioada următoare se anticipează pentru acţiunea AB că preţul va fi P1=240 um, iar
dividendul ce se va plăti este D1=15 um. Se ştie că rentabilitatea activului fără risc este
Rf=9%, rentabilitatea portofoliului pieţei este E(RM)=15%, iar indicatorul BETA al
acţiunii este β = 1,
5 . Cat este cursul de echilibru al acţiunii in prezent (P0)?
32

3) Se cunoaşte că portofoliul pieţei are următoarele caracteristici: E(RM)=20%;
σ M = 12%
. Un portofoliu A format numai din active cu risc are rentabilitatea
E(RA)=15%, iar coeficientul de corelaţie cu portofoliul pieţei este ρ AM = 0,
75 .
Rentabilitatea activului fără risc este Rf=5%.
Să se calculeze rentabilitatea şi structura (active cu risc şi fără risc) a portofoliului B
situat pe dreapta CML şi având acelaşi risc σ A cu portofoliul A.
4) Pentru un activ cu riscul egal cu 15% se cunoaşte coeficientul de volatilitate egal cu
0,4 şi coeficientul de corelaţie cu portofoliul pieţei egal cu 0,8. Determinaţi riscul
nesistematic. Care risc va fi răsplătit de piaţă printr-un plus de rentabilitate şi de ce?
5) Se cunosc următoarele elemente pentru activele 1 şi 2.
Activ P0 E(P1) E(D) β i
1 100 117 6 1,5
2 6000 6510 120 0,7
De asemenea se ştie că Rf=10% şi E(RM)=16%. Presupunând ca modelul CAPM
evaluează corect activele de pe piaţă să se determine modul în care piaţa evaluează
titlurile.
33