matematici aplicate în economie - "Lucian Blaga" din Sibiu

UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU
Dumitru Acu
Petrică Dicu
Mugur Acu
Ana Maria Acu
MATEMATICI APLICATE
ÎN
ECONOMIE
- NOTE DE CURS –
- PENTRU –
- ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ-

Cuprins
1 Introducere 6
1.1 Necesitatea utilizării matematicii în ¸stiint¸ele economice ................... 6
1.2 Modelarea matematico-economică ................................ 7
1.3 Câteva exemple de modele matematico–economice ...................... 8
1.3.1 Optimizarea product¸iei unei întreprinderi ....................... 9
1.3.2 Modele de gospodărire.................................. 9
1.3.3 Problema dietei (nutrit¸iei)................................ 10
2 Spat¸ii vectoriale 12
2.1 Definit¸ia spat¸iuluivectorial ................................... 12
2.2 Subspat¸ii vectoriale ........................................ 14
2.3 Independent¸a ¸si dependent¸a liniară a vectorilor. Bază ¸sidimensiune ............ 16
2.4 Produs scalar. Spat¸ii normate. Spat¸iimetrice......................... 21
2.5 Mult¸imiconvexe ......................................... 24
2.6 Testul Nr. 1 de verificare a cuno¸stint¸elor............................ 25
3 Matrice. Determinant¸i. Sisteme de ecuat¸ii liniare 28
3.1 Matrice .............................................. 28
3.2 Determinant¸i ........................................... 38
3.3 Sisteme de ecuat¸iiliniare..................................... 42
3.4 Testul Nr. 2 de verificare a cuno¸stint¸elor............................ 49
4 Operatori liniari. Forme biliniare ¸si forme pătratice 53
4.1 Operatori liniari ......................................... 53
4.2 Forme biliniare .......................................... 61
4.3 Forme pătratice .......................................... 62
4.4 Testul Nr. 3 de verificare a cuno¸stint¸elor............................ 69
5 Elemente de programare liniară 72
5.1 Obiectul programării matematice ................................ 72
5.2 Not¸iuni generale relative la o problemă de programare liniară ................ 73
5.3 Algoritmul simplex ........................................ 75
5.4 Cazuri speciale într-o problemă deP.L.............................. 80
5.4.1 Solut¸ii multiple . . .................................... 80
5.4.2 Solut¸ie infinită ...................................... 81
5.4.3 Degenerare în problemele de programare liniară .................... 82
5.5 Rezolvarea problemei generale de programare liniară ..................... 83
5.6 Dualitatea în problemele de programare liniară ........................ 85
5.7 Testul Nr. 4 de verificare a cuno¸stint¸elor............................ 92
3

6 Elemente de teoria grafurilor 97
6.1 Not¸iuni fundamentale . . .................................... 97
6.2 Algoritmi pentru rezolvarea unor probleme relative la grafuri . . . ............. 102
6.2.1 Algoritmul lui Yu Chen pentru aflarea matricei drumurilor ............. 103
6.2.2 Algoritmi pentru precizarea existent¸ei circuitelor într-ungraf ............ 103
6.2.3 Algoritmi pentru aflarea componentelor tare conexe ale unui graf .......... 104
6.2.4 Algoritmi pentru aflarea drumurilor hamiltoniene ale unui graf ........... 108
6.2.5 Algoritmi pentru determinarea drumurilor de lungime optimă ............ 110
6.2.6 Metoda drumului critic ................................. 112
6.3 Problema fluxului optim în ret¸eledetransport ........................ 118
6.3.1 Ret¸eledetransport.................................... 118
6.3.2 Algoritmul lui Ford–Fulkerson pentru determinarea fluxului maxim într-un graf de
ret¸ea............................................ 120
6.4 Testul Nr. 5 de verificare a cuno¸stint¸elor............................ 125
7 Probleme de transport 130
7.1 Modelul matematic pentru o problemă detransport ..................... 130
7.2 Determinarea unei solut¸ii init¸iale ................................ 132
7.2.1 Metoda colt¸uluiNord–Vest ............................... 132
7.2.2 Metoda elementului minim ............................... 133
7.2.3 Metoda diferent¸elormaxime............................... 134
7.3 Ameliorarea (îmbunătăt¸irea) unei solut¸ii............................ 135
7.4 Aflarea unei solut¸ii optime .................................... 137
7.5 Degenerarea înproblemeledetransport ............................ 139
7.6 Probleme de transport cu capacităt¸i limitate ......................... 141
7.7 Testul Nr. 6 de verificare a cuno¸stint¸elor............................ 145
8 S¸iruri 149
8.1 S¸iruridenumerereale ...................................... 149
8.2 S¸iruri în spat¸iimetrice...................................... 158
8.3 Test de verificare a cuno¸stint¸elornr.7............................. 165
9 Serii numerice 169
9.1 Not¸iuni preliminare ........................................ 169
9.2 Criterii de convergent¸ă pentruseriinumericecutermenioarecare.............. 173
9.3 Seriiabsolutconvergente.Seriisemiconvergente........................ 176
9.4 Serii cu termeni pozitivi . .................................... 179
9.5 Problemă economică.Fluxuldevenit.............................. 185
9.6 Test de verificare a cuno¸stint¸elornr.8............................. 186
10 Funct¸ii între spat¸ii metrice 190
10.1 Vecinătatea unui punct . . .................................... 190
10.2 Funct¸ii între spat¸iimetrice.................................... 201
10.3 Limita unei funct¸ii într-un punct ................................ 204
10.4 Continuitatea funct¸iilor între spat¸iimetrice .......................... 206
10.5 Test de verificare a cuno¸stint¸elornr.9............................. 216
11 Derivarea funct¸iilor reale 220
11.1 Definit¸ia derivatei ¸si proprietăt¸ile ei de bază .......................... 220
11.2 Proprietăt¸i de bază ale funct¸iilor derivabile pe un interval .................. 224
11.3 Diferent¸iala unei funct¸iireale .................................. 231
11.4 Aplicat¸iile derivatei în economie ................................. 233
11.5 Test de verificare a cuno¸stint¸elornr.10 ............................ 235
4

12 Derivarea funct¸iilor de mai multe variabile 238
12.1 Derivate part¸iale ......................................... 238
12.2 Interpretări geometrice ¸si economice ale derivatelor part¸iale ................. 241
12.3 Derivarea funct¸iilor compuse .................................. 243
12.4 Diferent¸iala funct¸iilor de mai multe variabile ......................... 250
12.5 Extremele funct¸iilor de mai multe variabile .......................... 254
12.6 Extreme condit¸ionate ...................................... 257
12.7 Ajustarea unor date . . . .................................... 262
12.8 Interpolarea funct¸iilor . . .................................... 264
12.9 Test de verificare a cuno¸stint¸elornr.11 ............................ 267
13 Generalizări ale not¸iunii de integrală 270
13.1 Integrale improprii ........................................ 270
13.2 Integrale cu parametri . . .................................... 277
13.3 Integrale euleriene. Funct¸ia Gamma. Funct¸iaBeta ...................... 282
13.4 Integrale duble .......................................... 287
13.5 Test de verificare a cuno¸stint¸elornr.12 ............................ 297
5

Capitolul 1
Introducere
Obiective: În acest capitol introductiv se pune în evident¸ă important¸a cunoa¸sterii matematicii
pentru un viitor economist.
Rezumat: În acest capitol sunt prezentate principiile modelării matematico-economice cu
prezentarea câtorva modele precise, cum ar fi optimizarea product¸iei unei întreprinderi, modele de gospodărie
¸si problema dietei (nutrit¸iei).
Cont¸inutul capitolului:
1. Necesitatea utilizării matematicii în ¸stiint¸ele economice
2. Modelarea matematico-economică
3. Câteva exemple de modele matematico-economice
4. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: metode matematice, model matematic, optim economic, optimizarea
product¸iei, modele de gospodărie, problema dietei.
1.1 Necesitatea utilizării matematicii în ¸stiint¸ele economice
În prezent ¸si în viitor este clar pentru oricine că osimplă observat¸ie a unui fenomen economic,
fără un studiu matematic ¸si statistic aprofundat, nu mai este satisfăcătoare ¸si nu poate fi acceptată fără
urmări dintre cele mai grave. Folosirea metodelor matematicii în practica economică, de orice nivel,
constituie o preocupare cu efecte benefice în rezolvarea problemelor economice actuale.
Cel care este interesat de studiul fenomenelor economice trebuie să aibă opregătire interdisciplinară.
Studierea globală a aspectelor calitative ¸si cantitative a unui fenomen economic necesită unanumit
volum de not¸iuni; concepte ¸si metode matematice care considerate ca un ansamblu dau un a¸sa
numit model matematic ata¸sat fenomenului studiat. Modelarea este un atribut al activităt¸ii umane,
întâlnit în procesul de cunoa¸stere a lumii, prin care omul reu¸se¸ste să surprindă esent¸ialul ¸si să descopere
legile după care se guvernează fenomenele naturale, sociale ¸si psihice.
Utilizarea matematicii în problemele economice, prin utilizarea modelelor matematice, nu este o
chestiune simplă. Istoric, ele cochetează de mult timp, dar rezolvarea problemelor ridicate de studiul
unui fenomen economic, numărul mare de date cu care lucrează ¸si volumul mare de calcule necesare,
pretindea o tehnică de calcul puternică. Aparit¸ia informaticii ¸si calculatoarelor rapide au făcut să
apară capitole noi în matematică, care să se preocupe de modelarea proceselor economice, ca de exemplu
cercetările operat¸ionale. A¸sa cum sublinia profesorul André Brunet ”cercetarea operat¸ională este
pregătirea ¸stiint¸ifică a deciziilor” ([3]).
În condit¸iile actuale este necesar ca la orice nivel de decizie să prelucrăm un număr mare de
informat¸ii ¸si date care să permită unrat¸ionament logic în alegerea variantei celei mai potrivite.
Un alt motiv care pledează pentru utilizarea matematicii în studiul proceselor economice este ¸si
dorint¸a omului de a atinge un anumit optim.
Problema alegerii dintr-o mult¸ime de rezultate posibile pe cel optim, în concordant¸ă cuunanumit
scop, este de o important¸ă majoră pentru orice economist, teoretician sau practician. Not¸iunea de
6

optim, destul de veche în gândirea economică legată direct de practică, apare într-o nouă lumină prin
posibilităt¸ile oferite de matematica contemporană.
Dacăîn trecut cont¸inutul optimului economic funct¸iona, cel mai adesea, după principiul ”cu cât
mai mult, cu atât mai bine”,în prezent optimul economic lucrează după principiul ”profit maxim
în condit¸ii date”.
Utilizarea calculului diferent¸ial ¸si integral în economia politică, începândcusfâr¸situl secolului al
XIX-lea ¸si începutul secolului al XX-lea, era o necesitate. A¸sa s-a născut economia matematică, care,
treptat s-a impus în cercetările economice.
În conformitate cu aceste preocupări, în economia matematică s-a creat conceptul de ”optim paretian”,
introdus de Vilfredo Pareto. S-au creat noi metode precise de optimizare a activităt¸ii economice,
apelându-se la ramurile existente în matematică, dar ¸si cerând imperios găsirea de noi concepte matematice,
care să permită găsirea solut¸iilor optime cât mai rapid ¸si cât mai exact. A¸sa au apărut metodele
de programare matematică în rezolvarea unor probleme de optimizare a activităt¸ii unor întreprinderi,
a unor societăt¸i de comert¸, turism sau cu preocupări agricole. Problemele puse de practica economică
stimulează continuu descoperirea de noi metode matematice. Fără săgre¸sim putem afirma că existăo
conlucrare benefică, atât pentru economi¸sti, cât ¸si pentru matematicieni.
Legătura concretă dintre matematică ¸si economie se stabile¸ste printr-o traducere în limbaj matematic
a not¸iunilor ¸si a relat¸iilor ce intervin în fenomenele economice, fapt ce se realizează prin procesul de
modelare matematică. Folosirea limbajului matematic în ¸stiint¸ele economice oferă posibilitatea formulării
necontradictorii a fenomenelor economice ¸si introducerii rigorii în studiul lor.
1.2 Modelarea matematico-economică
Aplicarea matematicii în economie are două direct¸ii principale. Prima, care folose¸ste metodele
matematicii ca instrument menit să sprijine studiul calitativ al fenomenelor economice ¸si a doua, în
care matematica este utilizată la analiza aspectelor cantitative din practica economică (planificare,
prognoză, etc.). Utilitatea matematicii ca instrument ajutător economistului se evident¸iază în plan:
logic, empiric ¸si euristic. Traducând o situat¸ie economicăîntr-o problemă matematică, îi putem verifica
consistent¸a, planul empiric ¸si, în fine, dezvăluirea de relat¸ii noi. Însă,oastfeldemetodăde lucru impune
precizarea conceptului de model.
Esent¸a metodei modelării constăîn înlocuirea obiectului sau fenomenului real care ne interesează
cu un alt obiect sau fenomen, mai convenabil pentru cercetare. După o astfel de substituire nu se mai
studiază obiectul primar ci modelul, iar apoi rezultatul cercetărilor se extinde asupra obiectului sau
fenomenului init¸ial, cu anumite precaut¸ii.
Termenul de model vine de la diminutivul lui modus (măsurăîn limba latină), care este modulus.
În limba germană a devenit model, iar în secolul al XVI-lea în Frant¸a se folosea deja termenul modèle,
provenit din italienescul modello. Acela¸si cuvânt a dat în limba engleză termenul model. Încă dela
început sensul cuvântului model oscila între concret ¸si abstract. Se pare că primul care a folosit conceptul
de model în sensul actual a fost matematicianul italian Beltrami, în anul 1868, când a construit un model
euclidian pentru o geometrie neeuclidiană.
În ¸stiint¸ă seîntâlnesc diferite modele: modelul atomic, modelul cosmologic, modele de cre¸stere
economică etc.
Astăzi, metoda modelării este o metodă generală de cercetare ¸si studiere a unor procese reale cu
ajutorul cercetării ¸si studierii altor procese, care pot fi mai apropiate sau mai depărtate de cele init¸iale.
Modelul trebuie să reflecte într-o cât mai mare măsură proprietăt¸ile originalului care sunt legate de scopul
cercetării. Atragem însă atent¸ia că modelul nu este la fel cu originalul.
Modelele ne servesc în viat¸a de toate zilele, în ¸stiint¸ă, în învăt¸ământ, industrie, proiectare, artă, etc.
Multe din modele, cum ar fi hărt¸ile mulajele, machetele, desenele etc., constituie o reproducere materială
a unor aspecte ale originalului cercetat. Asemenea modele materiale au posibilităt¸i limitate, multe din
ele servind mai mult înt¸elegerii ¸si mai put¸in cunoa¸sterii originalelor. Pentru cunoa¸sterea ¸stiint¸ifică s-a
trecut la modele simbolice, care sunt modele matematice. Utilizarea limbajului matematic în
descrierea unor modele, permit acestora să aibă unînalt grad de abstractizare ¸si de generalizare, unul
¸si acela¸si model (ecuat¸ie, funct¸ie, sistem, etc.) poate descrie cu mult succes obiecte sau situat¸ii total
diferite. Într-un model matematic se folosesc pentru descriere numai mijloace matematice ¸si logice, ceea
7

ce conduce la înlăturarea tratărilor subiective. În plus reprezentările matematice nu sunt îngrădite de
limite materiale ¸si nici de traducerea dintr-o disciplinăîn alta.
În elaborarea unui model matematic ata¸sat unui proces trebuiesc respectate etapele:
1. Obt¸inerea modelului descriptiv al procesului, care are subetapele:
1.1. formularea problemei propuse;
1.2. analiza structurii informat¸ionale a fenomenului abordat;
1.3. discutarea criteriilor posibile care reflectă obiectivele urmărite;
1.4. stabilirea factorilor esent¸iali ¸si factorilor secundari;
2. Formularea matematică a modelului descriptiv, etapăîn care se elaborează modelul matematic;
3. Studierea (cercetarea) modelului, adică rezolvarea practică a problemei pe model. Astăzi, în această
etapă de mare folos este calculatorul.
Modelul realizat ¸si testat trebuie să reflecteze originalul cu destulă precizie. S-ar putea ca modelul
să fie bine construit dar să nu dea rezultate sa- tisfăcătoare. El trebuie îmbunătăt¸it sau abandonat.
Fidelitatea unui model se poate realiza nu numai având grijă sănu pierdem din vedere anumite
aspecte ale fenomenului studiat, ci ¸si prin aparatul matematic folosit.
Fidelitatea fat¸ă de original cre¸ste odată cu perfect¸ionarea aparatului matematic utilizat. În funct¸ie
de aparatul matematic folosit au apărut modele foarte variate, uneori chiar pentru aceea¸si problemă.
După modelul matematic utilizat se poate da următoarea clasificare a modelelor:
1) modele aritmetice (utilizate pânăîn secolul al XVIII-lea)– folosesc numai concepte aritmetice;
2) modele bazate pe analiza matematică (utilizate începând cu secolul al XVIII-lea)– folosesc
concepte de analiză matematică;
3) modele liniare – utilizează concepte de algebră liniară (de exemplu, programarea liniară);
4) modele de joc – care iau în considerare ¸si variabile necontrolabile;
5) modele de optimizare –urmăresc optimizarea unei funct¸ii (numită funct¸ia obiectiv) supusă
unor restrict¸ii;
6) modele neliniare – utilizează restrict¸ii de optim sau funct¸ii obiectiv neliniare;
7) modele diferent¸iale – care descriu prin ecuat¸ii diferent¸iale fenomenul (de exemplu, modelul care
descrie variat¸ia product¸iei);
8) modele de tip catrastofic – utilizate de studiul fenomenelor cu variat¸ii bru¸ste;
9) modele deterministe –mărimile care intervin sunt perfect determinate;
10) modele stohastice –mărimile care intervin sunt aleatorii;
11) modele de tip statistico-matematice –mărimile care intervin sunt date statistic;
12) modele vagi –mărimile care intervin nu sunt date cu precizie, ci doar vag;
13) modele discrete –mărimile care intervin variază discret;
14) modele continue –mărimile care intervin variază continuu.
Cu toată diversitatea conceptelor ¸si rezultatelor matematice, există numeroase fenomene economice
pentru care nu s-au elaborat modele pe deplin satisfăcătoare.
1.3 Câteva exemple de modele matematico–economice
În acest paragraf prezentăm câteva din cele mai cunoscute modele matematico–economice.
8

1.3.1 Optimizarea product¸iei unei întreprinderi
Să considerăm o întreprindere care î¸si desfă¸soară activitatea de product¸ie în următoarele condit¸ii:
i) în întreprindere se desfă¸soară n activităt¸i Ai, i = 1,n;
ii) există m factori disponibili Fj, j = 1,m;
iii) se cunosc coeficient¸ii tehnici de utilizare a celor m factori în cele n activităt¸i.
Vom încerca să obt¸inem descrierea matematică a activităt¸ii de product¸ie.
Pentru realizarea modelării acestui program de product¸ie să notăm cu xi nivelul activităt¸ii Ai,
i = 1,n,¸si cu bi volumul (cantitatea) disponibil de factorul Fj, j = 1,m¸si aij factorul de proport¸ionalitate
al consumului Fi pentru activitatea Aj.
Acum putem scrie restrict¸iile:
⎧
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn ≤ b1
⎪⎨ a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn ≤ b2
(1.1)
.
⎪⎩
.
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn ≤ bm
Restrict¸iile (1.1) reprezintă condit¸iile în care întreprinderea poate să-¸si desfă¸soare activitatea. Ele
se pot scrie ¸si sub forma matricială. În acest scop facem notat¸iile: A =(aij) – matricea coeficient¸ilor
tehnici; x = t (x1,x2,...,xn) (t – transpus) – vectorul coloană al nivelului product¸iei; C1,C2,...,Cn –
vectorii coloană din matricea A; C0 – vectorul coloană al volumelor disponibile. Acum condit¸iile (1.1) se
pot scrie sub forma
C1x1 + C2x2 + ...+ Cnxn ≤ C0
sau
Ax ≤ C0.
Până aici am urmărit descrierea tehnologiei product¸iei. Dar orice proces de product¸ie mai
urmăre¸ste ¸si o motivat¸ie economică, de exemplu să se realizeze o eficient¸ă maximă. Un astfel de
criteriu de eficient¸ă este dat de maximizarea profitului. Practic, finalul acestui proces este optimizarea
unei anumite funct¸ii, care de fapt realizează optimizarea funct¸ionării unui proces economic.
1.3.2 Modele de gospodărire
Orice firmă dore¸stefiesă-¸si maximizeze veniturile, fie să-¸si minimizeze cheltuielile, iar consumatorii
să-¸si distribuie salariile a¸sa încât să-¸si satisfacă la maximum nevoile viet¸ii. De fapt, orice situat¸ie de
gospodărire impune o repartizare optimă a unor resurse disponibile limitate între diferite activităt¸i care
se desfă¸soară pentru realizarea unui anumit scop.
Acest tip de procese economice poartă numele de probleme de gospodărire.
Un model pentru o problemă de gospodărire se compune din două părt¸i: prima referitoare la
restrict¸ii ¸si o a doua care descrie criteriul sau obiectivul activităt¸ii de derulat. Într-un astfel de model se
cere găsirea valorilor unor variabile x1,x2,...,xn pentru care o funct¸ie f(x1,x2,...,xn) este optimă ¸si
care sunt supuse unor restrict¸ii de forma:
F1(x1,x2,...,xn) ≤ 0,
F2(x1,x2,...,xn) ≤ 0,
......................
Fm(x1,x2,...,xn) ≤ 0,
unde semnul ”≤” poate fi ¸si ”≥”.
Cum orice model de gospodărire are menirea de a stabili un program de act¸iune, el a căpătat
denumirea de model de programare. Domeniile de aplicare a modelelor de programare se referă la
un număr mare de probleme de planificare din industrie, transporturi, agricultură, ¸s.a. Unele din ele au
o foarte mare circulat¸ie ¸si numeroase aplicat¸iifaptcele-aufăcut celebre. Dăm un astfel de exemplu în
subparagraful următor.
9

1.3.3 Problema dietei (nutrit¸iei)
Una dintre problemele celebre de gospodărire este problema alimentării cât mai ieftine ¸si realizarea
unor cerint¸e de alimentat¸ie conform unui scop propus.
O alimentat¸ieseconsideră bună dacăseoferă anumite substant¸e în cantităt¸i minimale precizate.
Evident că aceste substant¸e se găsesc în diferite alimente cu pret¸uri cunoscute. Se cere să se stabilească
o dietă (rat¸ie) care să fie corespunzătoare ¸si totodată cât mai ieftină. Substant¸ele care intrăîntr-o dietă
se numesc substant¸e nutritive sau principii nutritive.
Vom obt¸ine, în continuare, modelul matematico-economic pentru problema dietei. Fie
S1,S2,...,Sm substant¸ele nutritive care trebuie să intre în compunerea dietei în cantităt¸ile minimale
b1,b2,...,bm ¸si A1,A2,...,An alimentele de care dispunem cu pret¸ul corespunzător pe unitate
c1,c2,...,cn. Notăm cu aij numărul de unităt¸i din substant¸a Si, i = 1,m,segăsesc într-o unitate din
alimentul Aj, j = 1,n. Se cere să seaflex1,x2,...,xn numărul de unităt¸i din alimentele A1,A2,...,An
a¸sa încât să seobt¸ină orat¸ie acceptabilă launpret¸cât de mic. De obicei datele problemei se prezintă
într-un tabel de forma:
Substant¸a
Alimente
A1 A2 ... Aj ... An
Minim
necesar
din Si
S1 a11 a12 ... a1j ... a1n b1
... ... ... ... ... ... ... ...
Si ai1 ai2 ... aij ... ain bi
... ... ... ... ... ... ... ...
Sm am1 am2 ... amj ... amn bm
Pret¸ alimente c1 c2 ... cj ... cn
Unităt¸i de consum x1 x2 ... xj ... xn
Cantitatea din substant¸a Si care se realizează esteai1x1 + ai2x2 + ...+ ainxn, care din cerint¸a
problemei trebuie să fie≥ bi, i = 1,m. Ajungem astfel la condit¸iile (restrict¸iile):
(1.2)
(1.3)
(1.4)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn ≥ b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn ≥ b2
...................................
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn ≥ bm
Natura datelor cu care lucrăm impun ¸si condit¸iile de nenegativitate:
x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,...,xn ≥ 0.
Funct¸ia obiectiv care exprimă costul unei rat¸ii este dată de:
f = c1x1 + c2x2 + ...+ cnxn.
Problema dietei cere să determinăm x1,x2,...,xn a¸sa încât f să fie minimă. O astfel de dietă se
nume¸ste optimă. Orice dietă care satisface restrict¸iile (1.2) ¸si (1.3) se nume¸ste admisibilă.
Modelul dietei poate fi folosit ¸si în alte situat¸ii, ca de exemplu: problema furajării rat¸ionale (în
zootehnie), chestiunea amestecului optim (în amestecuri de benzină sau uleiuri auto, în realizarea unor
sortimente de băuturi sau înghet¸ată), ¸s.a.
Pentru alte modele matematico-economice se pot consulta lucrările [2], [3], [4], [5].
10

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul I, Editura ULB,
Sibiu, 2001.
[2] Izvercian, P.N.,Cret¸u, V., Izvercian, M., Resiga, R., Introducere în teoria grafurilor. Metoda
drumului critic, Editura de Vest, Timi¸soara, 1994.
[3] Popescu, O., Raischi, C., Matematici aplicate în economie, vol.I, II, Editura Didactică ¸si Pedagogică,
Bucure¸sti, 1993.
[4] Rat¸iu-Raicu, C., Modelare ¸si simularea proceselor economice, Editura Didactică ¸si Pedagogică,
R.A., Bucure¸sti, 1995.
[5] Stavre, P., Matematici speciale cu aplicat¸ii în economie, Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1982.
11

Capitolul 2
Spat¸ii vectoriale
Obiective: În acest capitol studentul va lua contact cu not¸iunile teoretice fundamentale (cum
ar fi spat¸iile vectoriale, prehilbertiene, normate ¸si metrice) necesare înt¸elegerii metodelor / aplicat¸iilor
prezentate în capitolele următoare.
Rezumat: În acest capitol sunt prezentate not¸iunile de spat¸iu vectorial, subspat¸iu vectorial,
sistem de vectori, combinat¸ie liniară, liniar independent¸ă ¸si liniar dependent¸ă, bază, dimensiune, produs
scalar ¸si spat¸ii prehilbertiene, normă ¸si spat¸ii normate, metrică ¸si spat¸ii metrice, mult¸imi convexe, etc.
Cont¸inutul capitolului:
1. Definit¸ia spat¸iului vectorial
2. Subspat¸iu vectorial
3. Independent¸a ¸si dependent¸a liniară a vectorilor. Bază ¸si dimensiune
4. Produs scalar. Spat¸ii normate. Spat¸ii metrice
5. Mult¸imi convexe
6. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
7. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: spat¸iu vectorial, bază, dimensiune, produs scalar, normă, metrică, mult¸imi
convexe.
2.1 Definit¸ia spat¸iului vectorial
În acest paragraf vom trata not¸iunea de spat¸iu vectorial ¸si principalele ei proprietăt¸i.
Definit¸ia 2.1.1 Se nume¸stelegedecompozit¸ie (operat¸ie) externă pemult¸imea M fat¸ă demult¸imea K,
ofunct¸ie f : K × M → M.
Mult¸imea K se nume¸ste domeniul operatorilor sau scalarilor
Exemplul 2.1.1. Aplicat¸ia f : R × C → C definită prin formula f(a, z) =az, a ∈ R, z ∈ C, esteo
operat¸ie externă peC având pe R ca domeniu de operatori.
Acum, fie V o mult¸ime nevidă de elemente oarecare ¸si K un câmp de elemente α,β,γ,...,cu0
elementul neutru (nul) ¸si 1 elementul unitate. Suma respectiv produsul elementelor α ¸si β din K va fi
notată cuα + β, respectiv α · β sau simplu αβ.
Definit¸ia 2.1.2 Se spune că pemult¸imea V s-a definit o structură despat¸iu vectorial (liniar) peste
câmplul K, dacă peV s-a definit o lege de compozit¸ie internă (x, y) → x + y, x, y ∈ V ,numită adunare,
¸si o lege de compozit¸ie externă fat¸ă decâmpul K, (α, x) → αx, α ∈ K, x ∈ V ,numită înmult¸ire cu
scalari, astfelcă pentru orice x, y, z ∈ V ¸si orice a, b ∈ K să avem
1. x + y = y + x (comutativitatea adunării);
2. (x + y)+z = x +(y + z) (asociativitatea adunării);
3. Există elementul θ ∈ V ,astfelcax + θ = θ + x = x;
12

4. Oricărui x ∈ V îi corespunde −x ∈ V astfel cu x +(−x) =(−x)+x = θ (−x se nume¸ste opusul
lui x);
(Prin urmare (V ,+) este un grup comutativ);
5. 1 · x = x;
6. (a + b)x = ax + bx;
7. (ab)x = a(bx);
8. a(x + y) =ax + ay.
Mult¸imea V împreună cu structura de spat¸iu vectorial peste câmpul K se nume¸ste spat¸iu vectorial
(liniar) peste K, iar elementele sale le vom numi vectori.
Se observă că operat¸ia de adunare a vectorilor din V a fost notată tot cu semnul ”+” ca¸si adunarea
din K, iar operat¸ia de înmult¸ire cu scalari a fost notată cu”·” ca¸si înmult¸irea din K, acestlucrunu
produce confuzie deoarece în context orice ambiguitate este înlăturată.
Dacă K este corpul R al numerelor reale, atunci V se nume¸ste spat¸iu vectorial real, iar dacă
K este corpul C al numerelor complexe, atunci V se nume¸ste spat¸iu vectorial complex.
Elementul θ ∈ V se nume¸ste vectorul nul al spat¸iului vectorial V .
Propozit¸ia 2.1.1 Dacă V este un spat¸iu vectorial peste K, atunci
1. 0 · x = θ, pentru orice x ∈ V ;
2. a · θ = θ, pentru orice a ∈ K;
3. (−1)x = −x, pentru orice x ∈ V .
Demonstrat¸ie. 1. Utilizând condit¸iile 5) ¸si 6) din Definit¸ia 2.1.2, avem
x =1· x =(0+1)x =0· x +1· x =0· x + x,
de unde, folosind condit¸ia 3) din aceea¸si definit¸ie, rezultă 0· x = θ.
2. Din condit¸ia 6) a Definit¸iei 2.1.2 avem ax + aθ = a(x + θ) =ax ¸si t¸inând seama de condit¸ia 3)
din aceea¸si definit¸ie, rezultă a · θ = θ.
3. Din condit¸ia 6) avem x +(−1)x = (1 + (−1))x = 0x = θ, de unde folosind 4), obt¸inem
(−1)x = −x.
Exemple. 2.1.2. Mult¸imea R a numerelor reale cu operat¸ia de adunare ¸si cu operat¸ia de înmult¸ire cu
numere rat¸ionale este un spat¸iu vectorial peste câmpul Q al numerelor rat¸ionale.
2.1.3. Mult¸imea C a numerelor complexe cu operat¸ia de adunare ¸si cu operat¸ia externădeînmult¸ire
cu numere reale este un spat¸iu vectorial peste câmpul Q al numerelor rat¸ionale.
2.1.4. Mult¸imea C a numerelor complexe cu operat¸ia de adunare ¸si cu operat¸ia externădeînmult¸ire
cu numere reale este un spat¸iu vectorial peste câmpul R al numerelor reale.
2.1.5. Fie Hom(R, R) ={f|f : R → R, funct¸ie} în care definim operat¸iile de adunare a două
funct¸ii ¸si de înmult¸ire a unei funct¸iicuunnumăr real astfel:
f + g : R → R, (f + g)(x) =f(x)+g(x), (∀)f,y ∈ Hom(f,g) ¸si (∀)x ∈ R
¸si
αf : R → R, (αf)(x) =αf(x), (∀)f ∈ Hom(f,g) ¸si (∀)r ∈ R.
Aceste operat¸ii determină peHom(R, R) o structură de spat¸iu vectorial.
2.1.6. Fie K un câmp oarecare ¸si n un număr natural nenul. Considerăm produsul cartezian
Kn = K × K × ...× K,
adică mult¸imea sistemelor ordonate x =(x1,x2,...,xn) decâte n elemente din
nori
K. Definim pe Kn operat¸iile:
x + y =(x1 + y1,x2 + y2,...,xn + yn),
ax =(ax1,ax2,...,axn),
pentru orice x =(x1,x2,...,xn) ∈ Kn , y =(y1,y2,...,yn) ∈ Kn ¸si a ∈ K.
Înzestrată cu cele două operat¸iidefinite mai sus, mult¸imea Kn devine un spat¸iu vectorial, numit
13

spat¸iul vectorial aritmetic cu n dimensiuni peste K. Pentru K = R se obt¸in spat¸iile euclidiene,
iar pentru K = C se obt¸in spat¸iile unitare sau hermitice. În cazul unui vector x =(x1,x2,...,xn)
din Kn , x1,x2,...,xn se numesc componentele sau coordonatele vectorului x. De aceea, când vom
nota vectorii cu indici vom folosi scrierea cu exponent¸i în paranteză, pentru a se deosebi de componentele
sale.
Comentariul 2.1.1. Spat¸iile vectoriale Rn ¸si Cn sunt instrumente matematice de bază în studiul
modelelor matematico-economice. Spat¸iile R2 ¸si R3 conduc la vectorii utilizat¸i în fizică.
2.2 Subspat¸ii vectoriale
O submult¸ime W a unui spat¸iu vectorial V peste un câmp K se nume¸ste subspat¸iu vectorial al
lui V ,dacă cele două operat¸ii date pe V induc pe W o structură de spat¸iu vectorial peste K. Vom nota
faptul că W este un subspat¸iu al lui V prin W ⋐ V .
Teorema 2.2.1 Submult¸imea W aunuispat¸iu vectorial V peste câmpul K este subspat¸iu vectorial peste
câmpul K, dacă ¸si numai dacă suntîndeplinite condit¸iile:
1. pentru orice x, y ∈ W avem x + y ∈ W ;
2. pentru orice x ∈ W ¸si orice a ∈ K avem ax ∈ W .
Demonstrat¸ie. Dacă W ⋐ V , atunci condit¸iile 1) ¸si 2) rezultă din faptul că operat¸iile din V trebuie să
fie interne ¸si pe W .
Reciproc, dacă presupunem că 1)¸si 2) au loc ¸si luând x ∈ W , din 2) rezultă că¸si −x =(−1)(x) ∈
W , iar de aici, folosind 1), rezultă că θ = x +(−x) segăse¸ste în W . Celelalte condit¸ii din definit¸ia unui
spat¸iu vectorial având loc pe V au loc ¸si pe W . Teorema precedentă este echivalentă cu:
Teorema 2.2.2 Submult¸imea W aspat¸iului vectorial V peste K este subspat¸iu vectorial pentru V peste
K, dacă ¸si numai dacă, pentru orice a, b ∈ K ¸si orice x, y ∈ W avem ax + by ∈ W .
Observat¸ia 2.2.1 Orice subspat¸iu vectorial W al unui spat¸iu vectorial V cont¸ine vectorul nul.
Exemple. 2.2.1. Dacă V este un spat¸iu vectorial, atunci submult¸imea {θ}, formată numai din vectorul
nul, este un subspat¸iu vectorial numit subspat¸iul nul.
2.2.2. Pentru spat¸iul vectorial R 2 ¸si numărul real a fixat, submult¸imea W = {x ∈ R 2 |x =(x1,y1)
cu y1 = ax1} formează un subspat¸iu vectorial.
Într-adevăr, dacă x, y ∈ W , x =(x1,y1), y1 = ax2, y =(x2,y2), y2 = ax2, atunci: x + y =
(x1 + y1,x2 + y2) cuy1 + y2 = ax1 + ax2 = a(x1 + x2) ¸si deci x + y ∈ W . Pentru a ∈ R avem
αx =(αx1,αy1), cu αy1 = α(ax1) =a(αxn) ¸si deci αx ∈ W .
Cele demonstrate ne aratăcă, în spat¸iul vectorial R 2 (în plan) dreptele ce trec prin origine formează
subspat¸ii vectoriale pentru R 2 .
2.2.3. Dacă K este un câmp, atunci mult¸imea vectorilor
x =(x1,x2,...,xn) dinK n cu xn = 0 formează un subspat¸iu vectorial al spat¸iului vectorial K n .
U¸sor se verifică faptul că intersect¸ia a două subspat¸ii vectoriale ale unui spat¸iu vectorial V este tot
un subspat¸iu vectorial al lui V . Prin urmare, dacă A este o submult¸ime a spat¸iului vectorial V , atunci
există un cel mai mic subspat¸iu al lui V care cont¸ine pe A, anume intersect¸ia tuturor subspat¸iilor lui V
ce cont¸in pe A, numit subspat¸iu generat de A sau acoperirea (înfă¸surătoarea) liniară aluiA.
Două subspat¸ii W1 ¸si W2 ale unui spat¸iu vectorial se zic independente dacă W1 ∩ W2 = {0}.
Fie S = {x (1) ,x (2) ,...,x (n) } un sistem de n vectori, n ∈ N ∗ , din spat¸iul vectorial V peste câmpul
K.
Definit¸ia 2.2.1 Se spune că vectorul x ∈ V este o combinat¸ie liniară de vectorii sistemului S dacă
există n scalari a1,a2,...,an ∈ K astfel ca să avem
x =
n
akx (k) .
k=1
14

Teorema 2.2.3 Mult¸imea vectorilor din spat¸iu vectorial V care se pot scrie ca ¸si combinat¸ii liniare de
vectorii sistemului S formează unsubspat¸iu vectorial al lui V . Acest subspat¸iu se notează prin [S] ¸si se
nume¸ste subspat¸iul lui V generat de sistemul de vectori S.
Demonstrat¸ie. Într-adevăr, dacă x =
αx + βy =
n
akx (k) ¸si y =
k=1
n
αakx (k) +
k=1
n
bkx (k) , atunci, pentru orice α, β ∈ K, avem
k=1
n
βbkx (k) =
k=1
n
(αak + βbk)x (k) ,
k=1
adică αx + βy este o combinat¸ie liniară de vectori a sistemului S.
Teorema 2.2.4 Subspat¸iul [S] generat de sistemul de vectori S coincide cu acoperirea liniară aluiS.
Demonstrat¸ie. Fie S ∗ acoperirea liniară aluiS. AvemS ⊆ [S] ¸si din definit¸ia lui S ∗ rezultă S ∗ ⊆ [S].
Reciproc, dacă x ∈ [S], atunci rezultă că x =
[S] ⊆ S ∗ . Rezultă că S ∗ =[S].
n
akx (k) , a1,a2,...,an ∈ K. Prin urmare, x ∈ S∗ , adică
k=1
Definit¸ia 2.2.2 Un sistem de vectori S ⊂ V se nume¸ste sistem de generatori pentru subspat¸iul W ⋐ V
dacă W =[S].
Exemplul 2.2.4. În spat¸iul Rn un sistem de generatori pentru R n este format din vectorii: e (1) =
(1, 0, 0,...,0), e (2) =(0, 1, 0,...,0), ..., e (n) =(0, 0,...,0, 1). În adevăr, orice x =(x1,x2,...,xn) ∈ R n
se scrie sub forma x = x1e (1) + x2e (2) + ...+ xne (n) .
Definit¸ia 2.2.3 Dacă W1 ¸si W2 sunt subspat¸ii ale spat¸iului vectorial V , atunci subspat¸iul generat de
S = W1 ∪ W2 se nume¸ste suma celor două subspat¸ii. Notăm [S] =W1 + W2.
Teorema 2.2.5 Suma W1 + W2 a două subspat¸ii vectoriale ale lui V coincide cu mult¸imea vectorilor
x ∈ V care se scrie sub forma x = x (1) + x (2) ,cux (1) ∈ W1, x (2) ∈ W2.
Demonstrat¸ie. Fie W = {x ∈ V |x = x (1) + x (2) ,x (1) ∈ W1,x (2) ∈ W2}. Evident că W ⊆ W1 + W2.
Dacă x ∈ W1 + W2, atunci x = a1y (1) + ...+ ary (r) + ar+1y (r+1) + ...+ apy (p) , unde y (1) ,...,y (r) ∈ W1,
iar y (r+1) ,...,y (p) ∈ W2. Punând x (1) = a1y (1) + ...+ ary (r) ¸si x (2) = ar+1y (r+1) + ...+ apy (p) ,găsim
x = x (1) + x (2) , deci W1 + W2 ⊆ W . Rezultă W = W1 + W2.
Exemplul 2.2.5. În R2 considerăm W1 = {(x, 0)|x ∈ R} ¸si
W2 = {(0,y)|y ∈ R}. Atunci avem R 2 = W1 + W2.
Definit¸ia 2.2.4 Suma S a două subspat¸ii vectoriale W1 ¸si W2 ale spat¸iului vectorial V se nume¸ste directă,
dacă W1 ∩ W2 = {θ}. În acest caz scriem S = W1 ⊕ W2, iar despre W1 ¸si W2 se zic că suntsubspat¸ii
vectoriale independente.
Teorema 2.2.6 Suma a două subspat¸ii vectoriale W1 ¸si W2 ale spat¸iului vectorial V este directă, dacă
¸si numai dacă orice vector x din S = W1 + W2 se scrie în mod unic sub forma x = x (1) + x (2) , x (1) ∈ W1,
x (2) ∈ W2.
Demonstrat¸ie. Să admitem că S = W1 ⊕ W2 ¸si să presupunem că există x ∈ S a¸sa încât x = x (1) + x (2) ,
x (1) ∈ W1, x (2) ∈ W2 ¸si x = y (1) + y (2) , y (1) ∈ W1, y (2) ∈ W2. Atunci x (1) + x (2) = y (1) + y (2) , de unde
x (1) − y (1) = x (2) − y (2) ∈ W1 ∩ W2 = {θ} ¸si deci x (1) = y (1) ¸si x (2) = y (2) . Rezultă că scrierea lui x ca
sumă de elemente din W1 ¸si W2 este unică.
Reciproc, să admitem că oricex ∈ S = W1 + W2, are o scriere unică de forma x = x (1) + x (2) ,
x (1) ∈ W1, x (2) ∈ W2. Dacăarexistat ∈ W1 ∩W2, t = θ, atunci x =(x (1) −t)+(x (2) −t), cu x (1) −t ∈ W1
¸si x (2) − t ∈ W2, ceea ce ar fi o contradict¸ie. Prin urmare W1 ∩ W2 = {θ}, adică S = W1 ⊕ W2.
Definit¸ia 2.2.5 Două subspat¸ii W1 ¸si W2 ale spat¸iului vectorial V se numesc suplimentare dacă W1 ∩
W2 = {θ} ¸si V = W1 ⊕ W2.
15

Exemplul 2.2.6. Spat¸iul vectorial Hom(R, R) al funct¸iilor f : R → R este suma directă a subspat¸iilor W1
¸si W2 ale funct¸iilor pare ¸si respectiv impare deoarece W1 ∩ W2 = {θ}. Cum, pentru orice f ∈ Hom(R, R),
avem
f(x) = f(x)+f(−x)
+
2
f(x) − f(−x)
, (∀)x ∈ R,
2
adică suma dintre o funct¸ie pară ¸si una impară, deducem că W1 ¸si W2 sunt subspat¸ii vectoriale suplimentare
pentru Hom(R, R).
2.3 Independent¸a ¸si dependent¸a liniară a vectorilor. Bază ¸si
dimensiune
Definit¸ia 2.3.1 Sistemul de vectori S = {x (1) ,x (2) ,...,x (n) } din spat¸iul vectorial V peste câmpul K
se zice că esteliniar independent dacă o combinat¸ie liniară a lor a1x (1) + a2x (2) + ... + anx (n) ,
a1,a2,...,an ∈ K, dă vectorul nul numai dacă a1 = a2 = ...= an =0.
În caz contrar, adică dacă existăcelput¸in o mult¸ime de scalari a1,a2,...,an ∈ K, nu tot¸i nuli,
n
astfel ca aix (i) = θ, atunci se zice că sistemul S de vectori este liniar dependent.
i=1
Dacă sistemul S de vectori este liniar independent (liniar dependent), se mai zice că vectorii
x (1) ,...,x (n) sunt liniar independent¸i (liniar dependent¸i).
Exemple. 2.3.1. Vectorii e (1) ,e (2) ,...,e (n) (v.exemplul 2.2.4) sunt liniar independent¸i în Rn . În adevăr,
n
dacă a1,a2,...,an ∈ R astfel ca aie (i) = θ, atunci rezultă (a1,a2,...,an) =θ, de unde obt¸inem că
i=1
a1 = a2 = ...= an =0.
2.3.2. Vectorii x (1) =(1, 2, −1), x (2) =(2, 1, 1) ¸si x (3) =(4, −1, 5) sunt liniar dependent¸i în R 3
deoarece avem 2x (1) − 3x (2) + x (3) = θ.
Teorema 2.3.1 Sistemul S = {x (1) ,x (2) ,...,x (n) } de vectori este liniar dependent, dacă ¸si numai dacă
cel put¸in unul din vectorii lui S se poate exprima ca o combinat¸ie liniară de ceilalt¸i vectori ai sistemului.
Demonstrat¸ie. Dacă sistemul S este liniar dependent, atunci există scalarii a1,a2,...,an ∈ K, nu
tot¸i nuli, astfel ca a1x (1) + ... + anx (n) = θ. Presupunem că a1 = 0, atunci x (1) = −a2a −1
1 x(2) −
a3a −1
1 x(3) − ... − ana −1
1 x(n) , ceea ce ne arată că vectorul x (1) se exprimă ca o combinat¸ie liniară de
vectorii x (2) ,...,x (n) .
Reciproc, dacă cel put¸in un vector, de exemplu x (1) , se exprimă ca o combinat¸ie liniară de ceilalt¸i,
atunci putem scrie x (1) = −a2x (2) − ...− anx (n) , de unde x (1) + a2x (2) + ...+ anx (n) = θ, cu coeficientul
lui x (1) nenul, ceea ce ne arată că vectorii x (1) ,...,x (n) sunt liniar dependent¸i.
Propozit¸ia 2.3.1
Într-un spat¸iu vectorial V peste câmpul K sunt valabile afirmat¸iile:
i) vectorul nul θ formează un sistem liniar dependent;
ii) orice vector x = θ formează un sistem liniar independent;
iii) orice sistem de vectori din care se poate extrage un sistem liniar dependent este de asemenea liniar
dependent.
Demonstrat¸ie. i) Valabilitatea acestei afirmat¸ii rezultă din1· θ = θ.
ii) Pentru x = θ din ax = θ, a ∈ K, rezultă a =0.
iii) Dacă pentru sistemul de vectori S = {x (1) ,x (2) ,...,x (n) }, n > 1, există subsistemul
{x (1) ,...,x (m) }, m

i) Orice sistem de vectori care cont¸ine vectorul nul este liniar dependent;
ii) Orice subsistem al unui sistem liniar independent de vectori este, de asemenea, liniar independent.
Definit¸ia 2.3.2 Un sistem infinit de vectori din spat¸iul vectorial V se nume¸ste liniar independent dacă
orice subsistem finit al său este liniar independent. În caz contrar se zice că sistemul este liniar dependent.
Exemplul 2.3.3. În spat¸iul vectorial Hom(R, R) sistemul {1,x,x2 ,...,x n ,... este liniar independent.
Într-adevăr, orice relat¸iedeforma
ai1 xi1 + ai2 xi2 + ...+ aik xik = θ, (∀)x ∈ R,
unde i1

Cum B este bazăîn spat¸iul vectorial V , din egalitatea precedentă rezultă:
b1 + bta1 =0,...,bt−1 + btat−1 =0,btat =0,bt+1 + btat+1 =
=0,...,bn + btan =0.
Deoarece at = 0, deducem bt =0¸si deci b1 = b2 = ...= bn = 0, ceea ce ne arată că B1 este liniar
independent.
Să arătăm acum că B1 este un sistem de generatori pentru V .Fieyun vector din V ,careîn baza
n
B are scrierea y = cke (k) .Cumat= 0, din scrierea lui x avem
k=1
înlocuind pe e (t) în y, obt¸inem
(2.1)
e (t) = a −1
t (x − a1e (1) − ...− at−1e (t−1) − at+1e (t+1) − ...− ane (n) ),
y =(c1 − a −1
t a1ct)e (1) + ...+(ct−1 − a −1
t at−1ct)e (t−1) + a −1
t ctx+
+(ct+1 − a −1
t at+1ct)e (t+1) + ...+(cn − a −1
t anct)e (n) ,
ceea ce ne arată că B1 este un sistem de generatori pentru V .
Observat¸ia 2.3.1 Prin induct¸ie matematică se poate demonstra următorul rezultat (teorema generală
aînlocuirii): dacă B = {e (1) ,e (2) ,...,e (n) } este o bază în spat¸iul vectorial V peste câmpul K ¸si S =
{x (1) ,x (2) ,...,x (p) } este un sistem de vectori liniar independent din V , atunci p ≤ n ¸si putem înlocui p
vectori din B prin vectorii lui S, astfel ca, renumerotând vectorii, B1 = {x (1) ,...,x (p) ,e (p+1) ,...,e (n) }
să fie, de asemenea, bază pentru V .
Comentariul 2.3.1 Demonstrat¸ia Teoremei 10.3.3 ne dă ¸si procedeul practic de înlocuire a unui vector
dintr-o bază cu un alt vector, cât ¸si formulele de calcul al coordonatelor unui vector în noua bază. Intr-
n
adevăr, pentru coordonatele vectorului y = cke (k) în noua bază B1 din formula (2.1) rezultă formulele
(2.2)
¸si
(2.3)
k=1
yk = ck − a −1
t akct = ckat − akct
, pentru k = t
yt = a −1
t ct = ct
, pentru k = t.
at
Formulele (2.2) ¸si (2.3) ne dau regulile de aflare a componentelor lui y în baza B1, în care în
locul vectorului e (t) s-a introdus vectorul x. Formula (2.3) arată cănoua componentă a vectorului y
corespunzătoare vectorului x ce intrăîn locul lui e (t) ,seobt¸ine prin împărt¸irea componentei sale ct (de
pe linia ”t”) la componenta at aluixde pe coloana t, iar formula (2.2) indică regula: componenta nouă
yk aluiy, de pe o linie arbitrară k, seobt¸ine din vechea componentă ak după regula
at
ak
ct
ck
at
echivalentă cu atck − akct
= yk,
numită ¸si regula dreptunghiului. Elementul at = 0senume¸ste ¸si pivot, ceea ce face ca regula dreptunghiului
să se mai numească ¸si regula pivotului. De obicei calculele se fac în tabele succesive de
18
at

forma
Baza e (1) e (2) ... e (t) ... e (n) ... x y
e (1) e
1 0 ... 0 ...
. ... a1 c1
(2) .
0
.
1
.
...
...
0
.
...
...
.
.
...
...
a2
.
c2
.
x
⇄ e (t) .
0
.
0
.
...
...
1
.
...
...
.
.
...
...
at
.
ct
.
e (k)
.
.
.
.
.
...
...
.
.
...
...
.
.
...
...
ak
.
ck
.
e (n) 0 0 ... 0 ... 1 ... an cn
Exemplul 2.3.6. Fie vectorii x = (2, 3, 1) ¸si y = (3, 4, 5) scri¸si în baza canonică dinR3 . Scriem
componentele lui y în baza (e (1) ,x,e (3) ).
Avem
Baza e (1) e (2) e (3) x y
e (1) 1 0 0 2 3
x
⇄ e (2) 0 1 0 3 4
e (3) 0 0 1 1 5
e (1) 1 − 2
x
e
0
3
1
3
0
0
0
1
1
3
4
3
(2) 0 − 1
3 1 0 11
3
unde elementele de pe linia lui e (2) s-au împărt¸it cu elementul pivot 3, iar celelalte s-au calculat cu regula
dreptunghiului. Pe coloana elementului pivot se pune 1 în locul elementului pivot ¸si în rest 0.
De ret¸inut că, utilizând această cale de lucru, se poate înlocui o bază a unui spat¸iu vectorial cu o
alta.
Exemplul 2.3.7. În R2 săseînlocuiască baza canonică cu baza dată de vectorii x (1) =(2, 3) ¸si x (2) =
(4, 2) ¸si în noua bază să se scrie componentele vectorului v =(3, 4).
Avem
Baza e (1) e (2) x (1) x (2) v
x (1)
⇄ e (1) 1 0 2 4 3
e (2) 0 1 3 2 4
(1) x 1
x (2)
3
2 0 1 2 2
⇄ e (2) − 3
2 1 0 −4 − 1
2
x (1) − 1 1
5
4 2 1 0 4
(2) 3 x 8 − 1
1
4 0 1 8
Observat¸ia 2.3.2 Metoda elementului pivot este utilizată în rezolvarea multor probleme de matematică
cu aplicarea în modelele matematico-economice.
Corolarul 2.3.2 Dacă obază a unui spat¸iu vectorial este formată dinn vectori, atunci orice bază asa
are tot n vectori.
Definit¸ia 2.3.5 Dacă obază a unui spat¸iu vectorial V este formată dinn vectori, atunci spunem că
spat¸iul V are dimensiune finită egală cun. Scriem dim V = n. Spunem căunspat¸iu vectorial are o
dimensiune infinită dacă existăîn el o bază infinită.
De exemplu, avem dim R n = n ¸si dim Hom(R, R) =∞.
Definit¸ia 2.3.6 Un spat¸iu vectorial V cu dim V =1se nume¸ste dreaptă vectorială ;unspat¸iu V
cu dim V =2se nume¸ste plan vectorial .
19

Un subspat¸iu W ,cudim W = n − 1. a unui spat¸iu vectorial V ,cudim V = n, senume¸ste
hiperplan vectorial. Altfel spus, un subspat¸iu vectorial W este un hiperplan vectorial dacă eleste
suplimentar unei drepte vectoriale.
Definit¸ia 2.3.7 Se nume¸ste rangul unui sistem S de vectori din spat¸iu vectorial V , dimensiunea
spat¸iului vectorial generat de S. Notăm rangul lui S prin rang S.
Propozit¸ia 2.3.2 Rangul unui sistem de vectori din spat¸iul vectorial V nu se modifică dacă:
i) se schimbă ordinea vectorilor;
ii) se înmult¸e¸ste un vector al sistemului cu un scalar nenul;
iii) se adună la un vector al sistemului un alt vector din sistem, înmult¸it cu un scalar.
Pentru demonstrat¸ie se observă că sistemele de vectori obt¸inute prin transformările i)–iii) din
propozit¸ie generează acela¸si subspat¸iu vectorial ¸si deci are acela¸si rang. Transformările i), ii), iii) se
numesc transformări elementare.
Teorema 2.3.4 Rangul unui sistem finit de vectori este egal cu numărul maxim de vectori liniar
independent¸i ai sistemului.
Demonstrat¸ie. Fie S = {x (1) ,x (2) ,...,x (m) } un sistem de vectori în spat¸iul vectorial V ¸si k ≤ m
numărul maxim de vectori liniar independent¸i ai lui. Pentru comoditatea scrierii considerăm că vectorii
x (1) ,x (2) ,...,x (k) sunt liniar independent¸i, ceea ce implică că ceilalt¸i vectori ai sistemului se vor exprima
ca ¸si combinat¸ii liniare de ace¸stia, adică
x (k+i) = ai1x (1) + ai2x (2) + ...+ aikx (k) ,i=1, 2,...,m− k
Acum, adunăm în sistemul S la fiecare din vectorii x (k+i) , i =1, 2,...,m− k, respectiv vectorul
ai1x (1) + ai2x (2) + ...+ aikx (k) ¸si obt¸inem sistemul S1 = {x (1) ,x (2) ,...,x (k) ,θ,θ,...,θ}. După Propozit¸ia
2.3.2 sistemul S1 are acela¸si rang cu sistemul S.
Dar în sistemul S1 sistemul de vectori {x (1) ,...,x (k) } este o bază, ceea ce ne arată că dimensiunea
lui este k. Prin urmare, rangul lui S1 ¸si deci ¸si al lui S este k.
Definit¸ia 2.3.8 Două spat¸ii vectoriale V ¸si W peste acela¸si câmp K se numesc izomorfe dacă există
o aplicat¸ie f : V → W care să fie izomorfism fat¸ă de operat¸iilecedefinescpeV ¸si W structura de spat¸iu
vectorial.
Teorema 2.3.5 Printr-un izomorfism de două spat¸ii vectoriale se păstrează rangul unui sistem finit de
vectori
Demonstrat¸ie. Fie f : V → W un izomorfism între spat¸iile vectoriale V ¸si W ¸si S =
{x (1) ,x (2) ,...,x (m) } un sistem de vectori de rang k, k ≤ m, din spat¸iul vectorial V . Prin f se obt¸ine
sistemul de vectori S1 = {y (1) ,y (2) ,...,y (m) }, unde y (i) = f(x (i) ), i = 1,m,dinW . Pentru comoditatea
scrierii considerăm că vectorii x (1) ,x (2) ,...,x (k) sunt liniar independent¸i. Atunci din relat¸ia
a1y (1) +a2y (2) +...+aky (k) = θ, a1,a2,...,ak ∈ K, rezultă a1f(x (1) )+a2f(x (2) )+...+akf(x (k) )=θ, iar
de aici f(a1x (1) +a2x (2) +...+akx (k) )=θ. Cumf este injectivă deducem că a1x (1) +a2x (2) +...+akx (k) =
θ ¸si de aici a1 = a2 = ...= ak = 0, ceea ce ne arată că vectorii y (1) ,y (2) ,...,y (k) sunt liniar independent¸i.
Acum considerând relat¸iile
¸si aplicând funct¸ia f, obt¸inem
x (k+i) = ai1x (1) + ai2x (2) + ...+ aikx (k) ,i=1, 2,...,m− r
y (k+i) = ai1y (1) + ai2y (2) + ...+ aiky (k) ,i=1, 2,...,m− r.
Prin urmare, sistemul de vectori y (1) ,...,y (k) este un sistem de generatori pentru S1 ¸si deci
rang S1 = rang S.
20

Teorema 2.3.6 Condit¸ia necesară ¸si suficientă ca două spat¸ii vectoriale V ¸si W peste câmpul K, de
dimensiune finită, să fie izomorfe este ca ele să aibă aceea¸si dimensiune.
Demonstrat¸ie. Necesitatea rezultă imediat aplicând Teorema 2.3.5.
Pentru suficient¸ă să considerăm spat¸iile vectoriale V ¸si W cu dim V = dim W = n. Fie B =
{e (1) ,e (2) ,...,e (n) } ¸si B1 = {f (1) ,f (2) ,...,f (n) } câte o bază în V ¸si respectiv W . Definim, aplicat¸ia
n
h : V → W după regula: pentru orice x ∈ B, x = aix (i) n
, h(x) = aif (i) . Se verifică imediat că h
i=1
este un izomorfism ¸si deci spat¸iile V ¸si W sunt izomorfe.
Corolarul 2.3.3 Printr-un izomorfism între două spat¸ii vectoriale V ¸si W de dimensiune finită obază
din V este dusă într-o bază dinW .
Corolarul 2.3.4 Există un izomorfism ¸si numai unul între două spat¸ii vectoriale V ¸si W de dimeniune
finită caresăducăobază B din V într-o bază dată B1 din W .
Corolarul 2.3.5 Orice spat¸iu vectorial V peste câmpul K de dimensiune n este izomorf cu spat¸iul K n .
Corolarul 2.3.6 Pentru orice subspat¸iu W al unui spat¸iu vectorial V avem dim W ≤ dim V .
2.4 Produs scalar. Spat¸ii normate. Spat¸ii metrice
Fie V un spat¸iu vectorial peste corpul K, unde K = R sau K = C.
Definit¸ia 2.4.1 Se nume¸ste produs scalar pe V , orice aplicat¸ie < · , · >: V × V → K, cu proprietăt¸ile:
P1. ≥ 0, oricare ar fi x, y ∈ V ¸si =0, dacă ¸si numai dacă x = θ;
P2. = ,(z este conjugatul lui z în C), oricare ar fi x, y ∈ V ;
P3. < λx, y >= λ, oricare ar fi λ ∈ K ¸si x, y ∈ V ;
P4. =< x,z>+ , oricare ar fi x, y, z ∈ V .
Dacă K = R, cum un număr real este egal cu conjugatul său rezultă că P 2 devine =<
y, x >, adică produsul scalar este comutativ.
Definit¸ia 2.4.2 Un spat¸iu vectorial peste câmpul K = R ∨ C înzestrat cu un produs scalar se nume¸ste
spat¸iu prehilbertian. Dacă K = R, atunci spat¸iul se nume¸ste euclidian, iar dacă K = C atunci spat¸iul
vectorial înzestrat cu un produs scalar se nume¸ste unitar .
Exemple. 2.4.1. Dacă în Rn considerăm vectorii x =(x1,...,xn) ¸si y =(y1,y2,...,yn) ¸si definim
n
= xiyi, atunci Rn devine un spat¸iu euclidian. Prin simple calcule se verifică proprietăt¸ile
i=1
P1 − P4.
2.4.2. În Cn produsul scalar al vectorilor x =(x1,...,xn), y =(y1,...,yn) se define¸ste prin
devenind astfel un spat¸iu unitar.
=
n
xiyi,
2.4.3. Pe spat¸iul vectorial C[a, b] al funct¸iilor reale continue, expresia =
este un produs scalar.
i=1
i=1
b
a
f(x)g(x)dx
Definit¸ia 2.4.3 Se nume¸ste normă peste spat¸iul vectorial V peste K = R∨C orice aplicat¸ie ·: V → R
cu următoarele proprietăt¸i:
21

N1. x =0, dacă ¸si numai dacă x = θ;
N2. λx = |λ| x, oricare ar fi λ ∈ K ¸si x ∈ V ;
N3. x + y ≤x + y (inegalitatea triunghiurilor), oricare ar fi x, y ∈ V .
Dacă în N3 punem y = −x, atunci rezultă x ≥0, pentru orice x ∈ V .
Definit¸ia 2.4.4 Un spat¸iu vectorial V peste K este normat dacă pe el s-a definit o normă. Scriem
(V, · ).
Teorema 2.4.1 Dacă (V,< · , · >) este un spat¸iu euclidian, atunci pentru orice x, y ∈ V are loc
inegalitatea
| |≤ √ · .
numită inegalitatea lui Cauchy–Schwarz–Buniakowscki.
Demonstrat¸ie. Pentru orice x, y ∈ V ¸si orice λ ∈ R, avem≥ 0. De aici, folosind
P 2 − P 4obt¸inem
λ 2 (2.4)
+2λ+ ≥0 pentru orice λ ∈ R.
Dacă y = θ inegalitatea (10.8) devine
(2.5)
2λ + ≥ 0.
Dar =< x,x− x>=< x,x>+ =< x,x>+ < −x, x >=< x,x>− =
0. Cum ≥ 0, rezultă că (10.8) are loc pentru y = θ ¸si oricare ar fi x ∈ V .
Deci, putem presupune y = θ, adică >0. Atunci trinomul de gradul doi în λ din (10.8) va
fi ≥ 0, oricare ar fi λ ∈ R, dacă¸si numai dacă Δλ =< x,y> 2 − · ≤ 0, de unde rezultă
| |≤ √ · ceea ce trebuia demonstrat.
Egalitate în inegalitatea lui Cauchy–Schwarz–Buniakowski se obt¸ine numai dacă x = −λy, adică
vectorii x ¸si y sunt coliniari.
Observat¸ia 2.4.1 Pentru x =(x1,...,xn), y =(y1,y2,...,yn) vectori din Rn inegalitatea Cauchy–
Schwarz–Buniakowski ia forma
n
2
n
n
≤
,
xiyi
i=1
cu egalitate numai dacă x1/y1 = x2/y2 = ...= xn/yn = λ ∈ R.
i=1
Teorema 2.4.2 Dacă (V,< · , · >) este un spat¸iu euclidian, aplicat¸ia · : V → R, definită prin
x = √ este o normă peV ,numită norma generată de produsul scalar.
Altfel spus, un spat¸iu prehilbertian este un spat¸iu normat.
Demonstrat¸ie. Trebuiesc verificate proprietăt¸ile normei. Din x =0avem= 0, de unde, pe
baza lui P 1, deducem x = θ, ceea ce ne demonstrază N1.
Pentru N2 avemλx = √ < λx, λx > = λ 2 = |λ| x, pentru orice λ ∈ R ¸si orice
x ∈ V .
Pentru a demonstra N3 putem scrie x + y 2 ==
+2 + ≤x 2 +2x·y + y 2 =(x + y) 2 (s-a folosit inegalitatea lui
Cauchy–Schwarz–Buniakowski), de unde rezultă x + y ≤x + y, oricare ar fi x, y ∈ V .
Observat¸ia 2.4.2 Teoremele 10.4.1 ¸si 10.4.2 rămân adevărate ¸si pentru spat¸iile vectoriale unitare.
22
x 2 i
i=1
y 2 i

Definit¸ia 2.4.5 Fie (V,< · , · >) un spat¸iu vectorial euclidian. Oricare ar fi vectorii x, y ∈ V , diferit¸i
de vectorul nul, numărul real ϕ ∈ [0,π] definit prin
cos ϕ =
x · y ,
se nume¸ste unghiul dintre x ¸si y. Unghiulϕ se notează ¸si prin (x, y).
Dacă =0, atunci ϕ = π/2, iar vectorii x ¸si y se numesc ortogonali.
Un vector v se nume¸ste versor dacă v =1.
Definit¸ia 2.4.6 Fie A omult¸ime nevidă. Se nume¸ste metrică (distant¸ă) pe A, orice aplicat¸ie d :
A × A → R cu următoarele proprietăt¸i:
M1. d(x, y) =0, dacă ¸si numai dacă x = y (separare);
M2. d(x, y) =d(y, x), pentru orice x, y ∈ A (simetrie);
M3. d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z), pentru orice x, y, z ∈ A (inegalitatea triunghiului).
Definit¸ia 2.4.7 Se nume¸ste spat¸iu metric orice mult¸ime nevidă A înzestrată cu o metrică. Notăm cu
(A, d) mult¸imea A înzestrată cu metrica d.
Observat¸ia 2.4.3 Pentru orice x, y ∈ (A, d) avem d(x, y) ≥ 0.
Într-adevăr, din M3, punând z = x, rezultă
0 ≤ d(x, y)+d(y, x) =2d(x, y),
de unde d(x, y) ≥ 0.
1,
Exemple. 2.4.4. Aplicat¸ia d : A × A → R prin d(x, y) =
0,
metrica grosieră.
x = y
x = y
este o metrică peA, numită
2.4.5. Aplicat¸ia d : R × R → R, d(x, y) =|x − y| este o metrică peR.
Teorema 2.4.3 Dacă (V, ·) este un spat¸iu vectorial normat, atunci aplicat¸ia d : V × V → R definită
prin d(x, y) =x − y este o metrică peV ,numită metrica generată denormă.
Demonstrat¸ie. Trebuie să arătăm că d verifică proprietăt¸ile M1 −M3. Pentru M1 din d(x, y) =0,avem
x − y = 0, de unde, pe baza lui N1, obt¸inem x = y. Proprietatea de simetrie M2 rezultă astfel:
d(x, y) =x − y = (−1)(y − x) = |(−1)| y − x = d(y, x),
pentru orice x, y ∈ V .
Inegalitatea triunghiului pentru d rezultă astfel:
pentru orice x, y, z ∈ V .
d(x, y) =x − z = x − y +(y − z) ≤x − y + y − z = d(x, y)+d(y, z),
Observat¸ia 2.4.4 Pentru spat¸iile euclidiene Rn metrica generată de norma dată de produsul scalar
conduce la
d(x, y) = n
(xi − yi) 2
oricare ar fi x =(x1,...,xn) ∈ R ¸si y =(y1,...,yn) ∈ R. numită¸si metrica euclidiană.
i=1
23

2.5 Mult¸imi convexe
În acest paragraf vom introduce not¸iunea de mult¸ime convexă ¸si proprietăt¸ile ei. Ea are o
important¸ă deosebităîn rezolvarea modelelor matematico–economice de programare liniară.
Definit¸ia 2.5.1 Fie x =(x1,...,xn) ¸si y =(y1,...,yn) doi vectori din Rn . Vectorul z = ax +(1−a)y, cu a ∈ [0, 1] se nume¸ste combinat¸ia liniară convexăavectorilor x ¸si y.
Definit¸ia 2.5.2 Dacă x, y ∈ R n mult¸imea {z ∈ R n |z = ax +(1− a)y, a ∈ [0, 1]} se nume¸ste segmentul
de dreaptă deextremităt¸i x ¸si y. El se notează cu[x, y]. Dacă a ∈ (0, 1), atunci segmentul deschis
dat de x ¸si y se notează cu(x, y).
Pe R segmentul [x, y] ¸si segmentul deschis (x, y) coincid cu intervalul închis [x, y] respectiv intervalul
deschis (x, y)
Definit¸ia 2.5.3 Omult¸ime A ⊆ R n se nume¸ste mult¸ime convexă, dacă oricare ar fi x, y ∈ A avem
[x, y] ⊆ A. Altfel spus, oricare ar fi două punctedinA, segmentul [x, y] este o mult¸ime din A.
Exemple. 2.5.1. Fie a =(a1,a2,...,an) ∈ R n un vector fixat din R n ¸si b un număr real dat. Mult¸imea
H = {x ∈ R n | = b} este convexă.
Fie λ ∈ [0, 1]. Pentru orice x, y ∈ H avem
= λ+(1 − λ) = λb +(1− λ)b = b
ceea ce ne arată că[x, y] ⊆ H.
Mult¸imea H este un hiperplan în Rn de ecuat¸ie a1x1+a2x2+...+anxn = b, dacăx =(x1,...,xn) ∈
Rn .
2.5.2. În ipotezele de la 2.5.1, mult¸imile S1 = {x ∈ Rn | ≤b} ¸si S2 = {x ∈ Rn | ≥
b}, numite ¸si semispat¸iile determinate de hiperplanul H, sunt mult¸imi convexe.
2.5.3. Mult¸imile
Ma,b = {z ∈ R n |z = ax + by,x,y ∈ R n ,a,b≥ 0}
sunt convexe. Ele sunt numite ¸si conuri convexe.
2.5.4. Mult¸imea S0 = {x ∈ Rn |ax ≤ 0,a∈ Rn ,fixat} este un con convex, în timp ce S1 ¸si S2, cu
b = 0, din exemplul 2.5.2 nu sunt conuri convexe.
Propozit¸ia 2.5.1 Intersect¸ia a două mult¸imi convexe este o mult¸ime convexă.
Demonstrat¸ie. Fie A ¸si B două mult¸imi convexe din Rn . Pentru orice λ ∈ [0, 1] ¸si x, y ∈ A ∩ B avem
λx +(1− λ)y ∈ A ∩ B .
Propozit¸ia 2.5.1 rămâne valabilă pentru orice familie numărabilă de mult¸imi convexe.
Definit¸ia 2.5.4 Mult¸imea A ⊆ Rn se nume¸ste con poliedral convex, dacă oricare ar fi x ∈ A se poate
scriecaocombinat¸ieliniară nenegativă deunnumăr finit de elemente x (i) ∈ A, adică
x =
k
aix (i) ,ai ≥ 0,i= 1,k
i=1
Orice subspat¸iu a lui R n este un con poliedral convex.
Definit¸ia 2.5.5 Fie A ⊆ R n omult¸ime. Mult¸imea tuturor combinat¸iilor liniare convexe de elemente din
A se nume¸ste acoperirea convexă aluiA. Ea se notează prin Co(A).
Propozit¸ia 2.5.2 Co(A) este convexă ¸si A ⊆ Co(A). Dacă A este convexă, atunci Co(A) =A.
Demonstrat¸ia propozit¸iei este imediată.
Definit¸ia 2.5.6 Dacă A ⊆ Rn este o mult¸ime convexă, atunci elementul
x (0) ∈ A se nume¸ste punct extremal pentru A dacă nuexistăx, y ∈ A,
a ∈ (0, 1) a¸sa încât să avem x (0) = ax+(1−a)y, adică x (0) nu poate fi interior segmentului [x, y], oricare
ar fi x, y ∈ A.
Exemplu. 2.5.5. Vârfurile unui triunghi sunt punctele sale extremale.
24

2.6 Testul Nr. 1 de verificare a cuno¸stint¸elor
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Spat¸iu vectorial;
b) Acoperirea liniară;
c) Bază a a unui spat¸iu vectorial;
d) Produs scalar;
e) Normă;
f) Metrică;
g) Combinat¸ie liniară convexă;
h) Mult¸ime convexă.
2. Arătat¸i cădacă(K, +, ·) este corp comutativ ¸si n ∈ N, iar K n = {x =(x1, ..., xn) | xi ∈ K, i = 1,n},
pentru n ≥ 1, atunci mult¸imea K n înzestrată cuoperat¸iile
este un spat¸iu vectorial peste K.
x + y def (x1 + y1, ..., xn + yn)
α · x def (αx1, ..., αxn) , α ∈ K
3. Arătat¸i că B = {v, u, w}, v =(2, 1, −1), u =(1, −1, 1) ¸si w =(1, 2, −1) este o bază în R 3 ¸si să se
afle coordonatele vectorului t =(3, 6, 1) în această bază.
4. Fie în R 4 baza B = {x1,x2,x3,x4} cu x1 =(1, 1, 2, 1), x2 =(1, −1, 0, 1), x3 =(0, 0, −1, 1), ¸si
x4 =(1, 2, 2, 0). Vectorul v are coordonatele (1, 2, 2, 1) în această bază. Găsit¸i coordonatele lui v în
baza B ′ = {y1,y2,y3,y4} cu y1 = x1, y2 = x2, y3 =2x1 +2x2 +2x3 +2x4 ¸si y4 = x4.
5. Fie în R 3 baza B = {x1,x2,x3} cu x1 =(1, 0, 0), x2 =(2, 1, 0), x3 =(−3, 2, 1) ¸si vectorul v =
−8x1 +4x2 − x3. Găsit¸i coordonatele vectorului v în baza B ′ = {y1,y2,y3}, cuy1 = x1 + x2 + x3,
y2 = x1 + x2 − x3 ¸si y3 = x1 − x2 + x3.
6. Arătt¸i că (R n ,d) unde d : R n × R n → R, d(x, y) =
este spat¸iu metric.
n
|xk − yk|, x =(x1, ..., xn) ¸si y =(y1, ..., yn)
7. Arătat¸i că aplicat¸ia < ·, · > : R 2 × R 2 → R definită prin=3x1y1 − x1y2 − x2y1 +2x2y2,
x =(x1,x2) ¸si y =(y1,y2), este un produs scalar.
8. Să se arate căîntr-un spat¸iu prehilbertian real oarecare are loc pentru orice vectori x ¸si y egalitatea:
x + y 2 + x − y 2 =2(x 2 + y 2 ).
9. Demonstrat¸i că oricespat¸iu prehilbertian real X este ¸si spat¸iu normat.
10. Fie a, b ∈ R cu a

Indicat¸ii ¸si răspunsuri
Testul 1
2. Se verifică condit¸iile prezentate în definit¸ia not¸iunii de spat¸iu vectorial.
3. Se verifică condit¸iile de liniar independent¸ă ¸si sistem de generatori ale sistemului de
vectori B. Folosind relat¸iile găsite la verificarea condit¸iei de sistem de generatori ale
sistemului de vectori B se găse¸ste tB =(−4, 4, 7).
4. Se obt¸ine tabelul
v (xi) 1 2 2 1
y3(xi) 2 2 2 2
v (yi) -1 0 1 -1
Deci v (yi) =(−1, 0, 1, −1).
3 9
5. Se folose¸ste matricea de trecere ¸si se obt¸ine v (yi) = , , 2 .
2 2
6. Se verifică condit¸iile impuse asupra aplicat¸iei d în definit¸iea not¸iunii de metrică.
7. Se verifică condit¸iile din definit¸ia not¸iunii de produs scalar.
8. Se folose¸ste definit¸ia normei induse de produsul scalar ¸si proprietăt¸ile produsului scalar
(x = √ ).
9. Se folose¸ste definit¸ia normei induse de produsul scalar (x = √ )¸si se verifică
condit¸iile din definit¸ia not¸iunii de normă. Remarcăm că folosim¸si inegalitatea Cauchy-
Baniakowski-Schwarz: ≤ √ · √ .
10. Se arată că oricare ar fi x, y din [a, b] segmentul cu extremitatea init¸ială în x ¸si cea finală
în y apart¸ine tot lui [a, b].
26

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul I,
Editura ULB, Sibiu, 2001.
27

Capitolul 3
Matrice. Determinant¸i. Sisteme de
ecuat¸ii liniare
Obiective: Scopul acestui capitol este de a oferi student¸ilor metode rapide de
solut¸ionare a problemelor legate de matrici, determinant¸i ¸si sisteme de ecuat¸ii liniare.
Rezumat: În prezentul capitol sunt prezentate atât metodele cunoscute din liceu,
precum ¸si metode avansate, de aflare a inversei unei matrici, de calcul a valorii unui determinant
¸si de rezolvare a unui sistem de ecuat¸ii liniare, metode care se vor aplica în capitolele
ulterioare.
Cont¸inutul capitolului:
1. Matrice
2. Determinant¸i
3. Sisteme de ecuat¸ii liniare
4. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
5. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: matrice, determinant, sistem de ecuat¸ii libiare, Gauss, Gauss-
Jordan, metoda lui Chio.
3.1 Matrice
Definit¸ia 3.1.1 Se nume¸ste matrice de tipul m×n peste un câmp K un tablou dreptunghiular
A format din m × n elemente din K situate pe m linii ¸si n coloane.
Scriem
⎛
⎞
a11 a12 ... a1n
⎜ a21 a22 ⎜
... a2n ⎟
A = ⎜ . . . . ⎟
⎝ . . . . ⎠
sau condensat
am1 am2 am3 amn
A =(aij) i=1,m ,
j=1,n
unde aij reprezintă elementul matricei situat pe linia i ¸si coloana j.
Elementele a11,a22,... formează diagonala principală a matricei, iar elementele
a1n,a2,n−1,... diagonala secundară.
Notăm cu Mm×n(K) mult¸imea matricelor de tipul m × n peste câmpul K, iar cu M(K)
mult¸imea tuturor matricelor peste câmpul K. Dacă m = n, matricele se numesc pătratice
de ordin n.
Dacă m =1, matricea se nume¸ste matrice sau vector linie. Dacă n =1, matricea se
nume¸ste matrice sau matrice coloană.
28

Unei matrice A de tip m × n isepoateataăsistemul ordonat de m vectori linie din
Kn dat de
Li =(ai1,ai2,...,ain),i= 1,m
¸si sistemul ordonat de n vectori coloană
Cj = t (a1j,a2j,...,amj),j = 1,n.
Definit¸ia 3.1.2 Două matrice de acela¸si tip sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt
egale.
Definit¸ia 3.1.3 Se nume¸ste suma matricelor A =(aij) ¸si B =(bij), ambele de tipul m × n
peste K, matricea notată cuA + B dată deregulaA + B =(aij + bij). Operat¸ia care realizează
această regulăsenume¸ste adunarea matricelor.
Matricea O ∈Mm×n(K) cu toate elementele nule se nume¸ste matricea nulă. Fiind
dată matricea A =(aij) ∈Mm×n(K), matricea −A =(−aij) ∈Mm×n(K) se nume¸ste opusa lui
A.
Se verifică imediat că (Mm×n(K), +) este un grup comutativ.
Definit¸ia 3.1.4 Se nume¸ste produsul matricei A =(aij) ∈Mm×n(K) cu scalarul α ∈ K, matricea
notată αA, obt¸inută prin regula αA =(αaij) ∈Mm×n(K). Operat¸ia dată de această
regulă senume¸ste înmult¸irea cu un scalar a matricelor.
Înmult¸irea cu un scalar a matricelor verifică proprietăt¸ile evidente
1 · A = A, α(A + B) =αA + αB, (α + β)A = αA + βA,α(βA) =(αβ)A,
oricare ar fi α, β ∈ K ¸si A, B ∈Mm×n(K).
Rezultă că are loc propozit¸ia:
Propozit¸ia 3.1.1 Mult¸imea matricelor Mm×n(K) în raport cu operat¸iile de adunare ¸si de
înmult¸ire cu un scalar are o structură despat¸iu vectorial peste K.
Dimensiunea spat¸iului vectorial Mm×n(K) este mn. Într-adevăr se observă căorice
A =(aij) ∈Mm×n(K) se scrie în mod unic sub forma
A =
m
i=1
n
j=1
aijE (ij) ,
unde E (ij) sunt matricele de tipul m × n, care au toate elementele egale cu 0, în afară decel
de pe linia i ¸si coloana j care este egal cu 1.
Definit¸ia 3.1.5 Se nume¸ste transpunere în mult¸imea M(K) a matricelor peste K, aplicat¸ia
t : M(K) →M(K), definită prin t(A) = t A, unde A =(aij) ∈Mm×n(K), iar t A =(aji) ∈
Mn×m(K). Matricea t A se nume¸ste transpusa lui A.
Se observă u¸sor că transpusa este o funct¸ie bijectivă, care verifică proprietăt¸ile: 1)
t ( t A)=A; 2) t (A + B) = t A + t B ¸si 3) t (αA) =α t A, oricare ar fi A, B ∈Mm×n(K) ¸si α ∈ K.
De aici rezultă că transpunerea este un izomorfism între spat¸iile vectoriale Mm×n(K) ¸si
Mn×m(K).
Definit¸ia 3.1.6 O matrice pătratică A =(aij) ∈Mn×n(K) se nume¸ste simetrică dacă A = t A,
adică elementele simetrice fat¸ă de diagonala principală sunt egale aij = aji, i, j = 1,n.
Definit¸ia 3.1.7 O matrice pătratică A =(aij) ∈Mm×n(K) enume¸ste antisimetrică dacă A =
− t A, adică elementele simetrice fat¸ă de diagonala principală sunt opuse aij = −aji i, j = 1,n.
Definit¸ia 3.1.8 O matrice pătratică senume¸ste triunghiulară superioară respectiv inferioară
dacă toate elementele situate dedesuptul, respectiv deasupra diagonalei principale sunt nule.
29

Definit¸ia 3.1.9 O matrice pătratică senume¸ste diagonală dacă toate elementele ei sunt nule
cu except¸ia celor de pe diagonala principală.
Teorema 3.1.1 Teorema rangului. Pentru o matrice rangul sistemului de vectori linie este
egal cu rangul sistemului de vectori coloană.
Demonstrat¸ie. Fie A = (aij) ∈ Mm×n(K) ¸si r ¸si p rangurile sistemelor de vectori linie
Li = (ai1,ai2,...,ain), i = 1,m ¸si coloană Cj = (a1j,a2j,...,amj), j = 1,n. Nu restrângem
generalitatea, dacă presupunem că primele r linii sunt liniare independente, deoarece o
schimbare a ordinii liniilor păstrează rangul sistemului vectorilor linie. O astfel de schimbare
modifică vectorii coloană. Fiecare vector coloană sescrie
m
Cj = aije (i) ,
unde B = {e (1) ,e (2) ,...,e (m) } este baza canonică dinK m , este dus în vectorul
C ′ j =
i=1
m
i=1
aijf (i) ,
unde B1 = {f (1) ,f (2) ,...,f (m) } este noua bază dinK m ,obt¸inută dinB prin schimbarea ordinii
vectorilor ei, corespunzătoare schimbării liniilor matricei A. Considerăm, acum, automorfismul
spat¸iului K m , care duce baza B în baza B1, acesta ducând vectorii Cj în vectorii C ′ j ¸si
deci păstrează rangul sistemului format de ei. Celelalte linii ale matricei A se vor exprima
ca ¸si combinat¸ii liniare de primele r, adică putem scrie
Lr+s = αr+s,1L1 + αr+s,2L2 + ...+ αr+s,rLr,s=1, 2,...,m− r,
de unde, folosind egalitatea vectorilor în K n ,rezultă
ar+s,j = αr+s,1a1j + αr+s,2a2j + ...+ αr+n,rarj,j =1,...,n.
Înlocuind în expresiile coloanelor Cj, obt¸inem
=
r
i=1
Cj =
r
i=1
aije (i) m−r
+ ar+s,je (r+s) =
s=1
aije (i) m−r
+ (αr+s,1a1j + αr+s,2a2j + ...+ αr+s,rarj)e (r+s) ,j = 1,n.
s=1
Cum coeficient¸ii αr+s,j, j = 1,n sunt independent¸i de ordinea liniilor, grupând termenii
care cont¸in pe aij, obt¸inem
r
Cj = e (i) m−r
+ αr+s,ie (r+s)
,j = 1,n.
i=1
aij
s=1
Punând g (i) = e (i) + m−r
s=1 αr+s,ie (r+s) , i = 1,r,rezultă
Cj =
r
aijg (i) ,j = 1,n.
i=1
Am dedus că cein vectori coloană se exprimă ca¸si combinat¸ii liniare de r vectori g (i)
din K m , iar rangul p al sistemului format de ei este cel mult egal cu numărul generatorilor
g (i) ,decip ≤ r.
Dacă acum schimbăm rolul coloanelor ¸si liniilor ¸si facem acela¸si rat¸ionament, obt¸inem
r ≤ p. Din p ≤ r ¸si r ≤ p rezultă r = p, ceea ce trebuia demonstrat.
30

Definit¸ia 3.1.10 Rangul comun al sistemelor de vectori linii sau coloane a unei matrice se
nume¸ste rangul ei.
Altfel spus, rangul unei matrice este egal cu numărul maxim de linii sau coloane liniar
independent, între ele.
Propozit¸ia 3.1.2 Rangul unei matrici este egal cu rangul transpusei sale.
Demonstrat¸ie. Deoarece prin transpunere sistemul de vectori linie al unei matrici devine
sistemul de vectori coloană al transpusei matricei, din teorema rangului rezultă că matricea
¸si transpusa ei au acela¸si rang.
Observat¸ia 3.1.1 Prin transformări elementare aplicate sistemului de vectori linie sau
coloane, rangul unei matrice nu se modifică.
Valabilitatea acestei observat¸ii rezultă din teorema rangului ¸si din faptul că prin efectuarea
unor transformări elementare rangul unui sistem de vectori nu se modifică (v.3.3).
Propozit¸ia 3.1.3 Prin transformări elementare asupra liniilor ¸si coloanelor, orice matrice
A poate fi transformatăîntr-o matrice B, având toate elementele nule cu except¸ia primelor
r elemente de pe diagonala principală, care să fie egale cu 1. Matricea A are atunci rangul
r.
Demonstrat¸ie. Considerăm matricea
⎛
⎞
a11 a12 ... a1j ... a1n
⎜
A = ⎜
⎝
.
.
.
.
.
.
ai1 ai2 ... aij ... ain
.
.
.
.
.
.
am1 am2 ... amj ... amn
Dacă A este matricea nulă, atunci afirmat¸ia propozit¸iei este dovedită. Dacă nu, atunci
putem presupune că a11 = 0 (în caz că a11 = 0 se fac schimbări ale ordinii liniilor sau
coloanelor). Pentru a obt¸ine 1 pe pozit¸ia lui a11 înmult¸im prima linie cu a −1
11 . Pentru a avea
0 pe pozit¸ia ai1, i = 2,m, înmult¸im acum linia întâi cu −ai1. Elementul aij se înlocuie¸ste cu
aij − a −1
⎟
⎠
11 a1jai1 = a11aij − a1jai1
,i= 2,m,j = 2,n,
an
în care se recunoa¸ste regula de calcul a dreptunghiului sau elementului pivot.
Aplicând repetat acest procedeu, după un număr finit de pa¸si, ajungem că A este
echivalentă (∼) din punctul de vedere al rangului cu matricea
⎛
1 0 ... 0 0 ...
⎞
0
⎜
0
⎜ .
⎜ .
B = ⎜ 0
⎜ 0
⎜
⎝
.
1
.
0
0
.
...
.
...
...
.
0
.
1
0
.
0
.
0
0
.
...
.
...
...
.
0 ⎟
. ⎟
. ⎟
0 ⎟
0 ⎟
. ⎟
. ⎠
linia r
0 0 ... 0 0 ... 0
¸si deci rangul lui A este r, datdenumărul de cifre 1 din B.
Demonstrat¸ia acestei propozit¸ii ne dă ¸si procedeul practic de aflare a rangului unei
matrice, calculele făcându-se cu cunoscuta regulă a dreptunghiului.
Exemplul 3.1.1. Să se afle rangul matricei
A =
⎛
⎜
⎝
0 2 1 1 3
2 −1 4 −5 −6
1 1 2 −1 0
1 −2 2 −4 −6
31
⎞
⎟
⎠ .

Schimbând coloana 1 cu coloana 2 ¸si înmult¸ind coloana 5 cu 1/3 obt¸inem
⎛
2
⎜
A ∼ ⎜ −1
⎝ 1
0
2
1
1
4
2
1
−5
−1
⎞
1
−2 ⎟
0 ⎠
−2 1 2 −4 −2
.
Înmult¸im prima linie cu 1/2, apoi pe linia întâi ¸si coloana întâi completăm cu 0, iar
restul elementelor le calculăm cu regula dreptunghiului, obt¸inând
⎛
⎞
1 0 0 0 0
⎜
9 9 3
A ∼ ⎜ 0 2 2 − 2 − ⎟
2 ⎟
⎝
3 3 1
0 1 2 − 2 − ⎠
2
0 1 3 −3 −1
.
Aplicând succesiv acela¸si procedeu avem:
⎛
1
⎜
A ∼ ⎜ 0
⎝ 0
0
1
0
0
0
−
0
0
0
0
3 3 1
⎞
⎟
⎠ ∼
⎛
⎜
⎝
1
0
0
0
1
0
0
0
−3
0
0
3
0
0
1
⎞
⎟
⎠
0 0 3 −3 −1
∼
¸si deci rang A =3.
4
3 0 0 4
∼
⎛
⎜
⎝
4
3 − 4
4
1 − 4
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 −3 3 1
0 0 0 0 0
⎞
⎟
⎠ ∼
⎛
⎜
⎝
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
Definit¸ia 3.1.11 O matrice pătratică deordinn se nume¸ste nesingulară sau regulată dacă
rangul ei este egal cu n. În caz contrar, adică dacă rangul ei este mai mic ca n, atunci
matricea se nume¸ste singulară.
Definit¸ia 3.1.12 Se nume¸ste matrice extrasă dintr-o matrice A orice matrice B obt¸inută din
A înlăturând anumite linii ¸si coloane, păstrând ordinea liniilor ¸si coloanelor rămase.
Teorema 3.1.2 Rangul unei matrice este egal cu ordinul maxim al matricelor pătratice
nesingulare extrase din ea.
Demonstrat¸ie. Fie A o matrice, r rangul ei ¸si B o matrice pătratică nesingurală extrasădin
A ¸si de rang maxim p. Celep linii ale matricei A care intervin în B sunt liniar independente,
deoarece dependent¸a liniară a acestor linii în A ar atrage dependent¸a lor liniară ¸si în B, ceea
ce ar face ca B să fie singulară. Prin urmare p ≤ r. Acumsăarătăm că oricare p+1 linii din A
sunt liniar independente. Să admitemcăexistă în A (p +1) linii liniar independente, atunci,
extrăgând din A matricea formată din ele, am obt¸ine o matrice C de rang (p +1). Pe baza
teoremei rangului, matricea C are ¸si p +1 coloane liniar independente. Acum extrăgând din
C (deci ¸si din A) matricea D formată din cele p +1 coloane liniar independente, obt¸inem o
matrice nesingulară de ordin p +1, ceea ce ar contrazice alegerea lui p. Rezultăcă r

Propozit¸ia 3.1.4 Înmult¸irea matricelor, când are sens, este asociativă.
Demonstrat¸ie. Fie A =(aij) ∈Mm×n(K), B =(bij) ∈Mn×p(K), C =(cij) ∈Mp×q(K). Avem
n
A(BC) =
p
n
=
p
=
k=1
=
aik
l=1
p
n
l=1
k=1
bklclj
aikbkl
clj
k=1
l=1
=(AB)C.
aikbklclj
Propozit¸ia 3.1.5 Înmult¸irea matricelor este distributivă fat¸ă de adunarea lor.
Demonstrat¸ie. Fie A =(aij) ∈Mm×n(K), B =(bij) ∈Mn×p(K) ¸si C =(cij) ∈Mn×p(K). Avem
n
n
n
A[B + C] = aik[bkj + ckj] = aikbkj +
=
=
k=1
n
k=1
aikbkj
n
+
k=1
aikckj
k=1
k=1
= AB + AC,
aikckj
adică înmult¸irea este distributivă lastânga fat¸ă de adunare. În mod analog, se demonstrează
¸si distributivitatea la dreapta.
Definit¸ia 3.1.14 Matricea pătratică In =(δij), i, j = 1,n,unde
1,i= j
δij =
0,i= j i,j = 1,n
este simbolul lui Kronecker, senume¸ste matricea unitate de ordinul n.
Altfel spus, matricea In este o matrice diagonală cu toate elementele de pe diagonala
principală egale cu 1. Când nu dorim să precizăm ordinul matricei unitate o vom nota prin
I.
Observat¸ia 3.1.2 Pentru orice matrice A ∈Mm×n(K) avem
ImA = A ¸si AIn = A.
Observat¸ia 3.1.3 Înmult¸irea matricelor, în general. nu este comutativă.
Din proprietăt¸ile adunării ¸si înmult¸irii rezultă:
Propozit¸ia 3.1.6 Mult¸imea M n 2(K) a matricelor pătratice de acela¸si ordin n înzestrată cu
operat¸iile de adunare ¸si înmult¸ire are o structură de inel cu divizori ai lui zero.
Propozit¸ia 3.1.7 Transpusa unui produs de două matrice este egală cu produsul transpuselor
în ordine inversă.
Demonstrat¸ie. Fie A =(aij) ∈Mm×n(K) ¸si B =(bij) ∈Mn×p(K). Avem
n
t t
(AB) =
n
=
n
=
k=1
aikbkj
k=1
ajkbki
k=1
bkiajk
= t B t A.
Rezultatul obt¸inut se poate extinde prin induct¸ie matematică la un produs cu un
număr finit de factori.
Definit¸ia 3.1.15 Se nume¸ste inversa matricei pătratice A, matricea notată cuA −1 , care satisface
condit¸iile A · A −1 = A −1 · A = I.
33

Teorema 3.1.3 Condit¸ia necesară ¸si suficientă ca o matrice pătratică săaibă inversă este
ca ea să fie nesingulară.
Demonstrat¸ie. Necesitatea. Presupunem că matricea A =(aij) ∈M n 2(K) areoinversăpe
A −1 =(bij) ∈M n 2(K). Din A −1 A = I rezultă
n
bikakj = δij,i,j = 1,n.
k=1
de unde, pentru vectorii e (i) , i = 1,n ai bazei canonice obt¸inem exprimarea
e (i) n
(3.1)
= bikLk,
Lk, k = 1,n, fiind vectorii linie ai matricei A. Cum pentru orice x ∈ K n avem x =
k=1
n
xie (i) ,
înlocuind e (i) din relat¸iile (3.1) deducem că orice vector x ∈ Kn se exprimă ca o combinat¸ie
liniară de vectori linie Lk, k = 1,n.Rezultăcă sistemul de vectori linie Lk, k = 1,n, generează
spat¸iul Kn , ceea ce înseamnă căare rangul n ¸si deci matricea A este nesingulară.
Suficient¸a. Din faptul că A este nesingulară, rezultă căvectorii linie Lk, k = 1,n,sunt
liniar independent¸i ¸si deci formează obazăîn Kn . Exprimăm vectorii e (i) , i = 1,n, ai bazei
canonice în baza dată de vectorii linie ¸si avem
e (i) n
= bikLk,i= 1,n,
k=1
de unde, punând B =(bik), obt¸inem BA = I.
Matricea A fiind nesingulară are¸si vectorii coloană liniar independent¸i, formând ¸si ei
obază în K n ,¸si deci putem scrie AC = I. Acum obt¸inem
C = IC =(BA)C = B(AC) =BI = B,
de unde C = B = A−1 ¸si prin urmare matricea A are inversă.
U¸sor se arată că inversa unei matrice este unică ¸si că eaestenesingulară.
Propozit¸ia 3.1.8 Produsul a două matrice nesingulare este o matrice nesingulară ¸si inversa
ei este egală cu produsul inverselor luate în ordine schimbată
Demonstrat¸ie. Avem
¸si
(AB) −1 = B −1 · A −1
(AB)(B −1 A −1 )=A(BB −1 )A −1 = AA −1 = I
(B −1 A −1 )(AB) =B −1 (A −1 A)B = B −1 B = I,
relat¸ii ce demonstrează afirmat¸iile din enunt¸.
Rezultatul se extinde prin induct¸ie matematică la un produs de matrice nesingulare
cu un număr finit de factori.
Pentru aflarea inversei unei matrice se folose¸ste transformarea ei în matrice unitate,
aplicând regula dreptunghiului, după schema
(A|I) =⇒ (A −1 A|A −1 I)=⇒ (I|A −1 ).
Exemplul 3.1.2. Pentru a afla inversa matricei
⎛
2 1
⎞
3
A = ⎝ 3 2 3 ⎠
2 1 2
34
i=1

procedăm astfel
⎛
(A|I3) =⇒ ⎝
⎛
=⇒ ⎝
2 1 3
3 2 3
2 1 2
1 0 3
0 1 −3
0 0 −1
1
0
0
0
1
0
⎞ ⎛
0
0 ⎠ =⇒ ⎝
1
1 0
0
1
2
1
2
0
3
2
3 − 2
−1
1
2
−
0 0
3
2
−1
1
0
0
1
⎞
⎠ =⇒
2
−3
−1
−1
2
0
⎞ ⎛
0 1
0 ⎠ =⇒ ⎝ 0
1 0
0
1
0
0
0
1
−1
0
1
−1
2
0
3
−3
−1
⎞
⎠
Prin urmare, avem
A −1 ⎛
−1
= ⎝ 0
−1
2
3
−3
⎞
⎠ .
1 0 −1
Se poate lucra utilizând regula dreptunghiului fără aîmpărt¸i la pivot ¸si transformând
matricea (A|I) extinsă a¸sa încât să ajungem la situat¸ia (D|C), unde D este matricea diagonală
⎛
a11
⎜
0
D = ⎜
⎝ .
0
a22
.
...
...
.
0
0
.
⎞
⎟
⎠
0 0 ... ann
iar C =(cij),i,j = 1,n.
Pentru a afla inversa A−1 împărt¸im liniile L1,L2,...,Ln ale matricei C respectiv la:
a11a22 ...ann, a22 ...ann,...,ann.
Exemplul 3.1.3. Pentru a afla inversa matricei
procedăm astfel
de unde
⎛
(A|I3) =⇒ ⎝
2 1 3
3 3 2
1 2 1
⎛
2
=⇒ ⎝ 0
0
0
3
0
14
−5
12
A −1 ⎛
= ⎝
⎛
A = ⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
6 −2 0
−3 2 0
6 −6 6
− 12
2·3·12
−6
3·12
6
12
60
2·3·12
−6
3·12
− 6
12
2 1 3
3 3 2
1 2 1
⎞ ⎛
⎠ =⇒ ⎝
⎞ ⎛
⎠ =⇒ ⎝
−84
2·3·12
30
3·12
6
12
⎞
⎠
2 1 3
0 3 −5
0 3 1
2 0 0
0 3 0
0 0 12
⎞ ⎛
⎠ = ⎝
− 1
6
− 1
6
1
2
1 0 0
−3 2 0
−1 0 2
−12 60 −84
−6 −6 30
6 −6 6
5
6
1 − 6
1 − 2
Definit¸ia 3.1.16 O matrice pătratică A se nume¸ste ortogonală dacă
t A · A = I.
7 − 6
5
6
1
2
⎞
⎠ .
⎞
⎠ =⇒
Propozit¸ia 3.1.9 Condit¸ia necesară si suficientă ca o matrice pătratică să fie ortogonală
este ca ea să fie nesingulară, iar transpusa ¸si inversa ei să fie egale.
Demonstrat¸ie. Necesitatea. Din t A·A = I rezultă că A este nesingulară ¸si, înmult¸ind această
egalitate la dreapta cu A −1 ,obt¸inem t A = A −1 .
Suficient¸a. Dacă A este nesingulară ¸si verifică t A = A −1 , atunci, prin înmult¸ire la
dreapta cu A, găsim t A · A = I, ceea ce ne arată că A este ortogonală.
Teorema 3.1.4 Rangul unui produs de matrice nu depă¸se¸ste rangul fiecăruia din factorii
săi.
35
⎞
⎠

Demonstrat¸ie. Fie A =(aij) ∈Mm×n(K), B =(bij) ∈Mn×p ¸si C = A · B =(cij) ∈Mm×p, unde
n
cij = aikbkj,i= 1,m,j = 1,p.
k=1
Ultimele relat¸ii ne arată că liniile matricei C se exprimă ca¸si combinat¸ii liniare de
liniile matricei B ¸si deci subspat¸iul generat de liniile matricei C sunt incluse în subspat¸iul
generat de liniile matricei B. A¸sadar, avem rang C ≤ rang B În mod analog, rat¸ionând cu
vectorii coloană, obt¸inem rang C ≤ rang A.
Dacă unul din factorii produsului este o matrice nesingulară, atunci avem un rezultat
mai precis.
Teorema 3.1.5 Rangul produsului dintre o matrice A ¸si o matrice nesingulară B este egal
cu rangul lui A.
Demonstrat¸ie. Fie C = AB. Din Teorema 3.1.4 avem rang C ≤ rang A. T¸inând seama
că B este nesingulară, există B −1 ¸si înmult¸ind la dreapta cu B −1 în C = AB, obt¸inem
A = CB −1 . Aplicând din nou Teorema 3.1.4, rezultă rang A ≤ rang C. Din rang C ≤ rang A
¸si rang A ≤ rang C obt¸inem rang C = rang A.
Observat¸ia 3.1.4 Pentru simplificarea calculelor cu matrice se lucrează, deseori, cu matrice
împărt¸ită (partit¸ionată) în submatrice sau blocuri, obt¸inute ducând paralele la liniile ¸si
coloanele ei. De exemplu, matricea A ∈Mn2(K) se poate scrie
B C
A =
D E
unde B ∈M p 2(K), E ∈M (n−p) 2(K), C ∈M p,(n−p), iarD ∈Mn−p,p.
Cu matricele formate din blocuri se pot face operat¸ii ca ¸si cu matrice obi¸snuite,
reducând calculele la matrice de ordine mai mici.
O importantă aplicat¸ie a partit¸ionării în blocuri o constituie inversarea unei matrice.
Să presupunem că B este inversa matricei A. Atunci
sau prin partit¸ionare
A11 A12
A21 A22
AB = I
B11 B12
B21 B22
=
I O
O I
Efectuând înmult¸irile ¸si identificând matricele din cei doi membrii, vom obt¸ine
(1) A11B11 + A12B21 = I,
(2) A11B12 + A12B22 =0,
(3) A21B11 + A22B21 =0,
(4) A21B12 + A22B22 = I.
Din (2) avem
B12 = −A −1
11 · A12 · B22,
care înlocuită în (4) ne conduce la
Deoarece BA = I, vom avea
B22 =(A22 − A21A −1 −1
11 A12)
B21A11 + B22A21 =0,
36

de unde
iar din (2)
B21 = −B22A21A −1
11
B11 = A −1
11
− A−1
11 A12B21.
Ordinea de calculare a blocurilor matricei B este: B22, B12, B21 ¸si B11.
Exemplul 3.1.4. Să se afle inversa matricei
⎛
2 3 4
⎞
A = ⎝ 4 2 1 ⎠
3 2 −1
Partit¸ionăm luând
Calculăm B22 = P −1 , unde
A11 =2, A12 =(34), A21 =
P = A22 − A21A −1
11 A12 =
4
2 1
¸si A22 =
3
2 −1
−4 −7
−7
Pentru a afla P −1 procedăm prin acela¸si algoritm, considerând A = P ¸si făcând
partit¸ionarea
A11 = −4, A12 = −7, A21 = − 5
2 , A22 = −7.
¸si
rezultând
Avem calculele
B22 =
−7+ 5
−
2
1
4
− 5
2
−1 (−7) = − 8
B12 = 1
4 (−7)
− 8
=
21
2
3
B21 = 8
−
21
5
−
2
1
=
4
5
21
B11 = − 1 1
+
4 4 (−7)
5
= −
21
2
3
P −1
2 −
= 3
5
21
2
3
8 − 21
Acum revenim la calculul inversei matricei A init¸ială. Avem
B22 = P −1 ,
B12 = −A −1
11 A12B22 = − 1
2 −
(3 4) 3
2
B11 = A −1
11
5
21
B21 = −B22A21A −1
11 =
− A−1
11 A12B21 = 1
2
A −1 =
.
2
3
8 − 21
1
3
2
21
1
− (3 4)
2
B11 B12
B21 B22
37
=
,
21
1
=
3
2
21
11
21
5
− ,
21
− 4
,
21

În încheierea acestui paragraf să prezentăm o aplicat¸ie a matricelor la schimbarea
bazeiunuispat¸iu vectorial.
Fie V un spat¸iu vectorial peste câmpul K cu dim V = n ¸si B = {e (1) ,e ()2 ,...,e (n) } obază
alui. Fat¸ă de această bază un vector x ∈ V se scrie în mod unic sub forma
x =
n
xie (i) ,
i=1
ceea ce înseamnă că vectorului x îi corespunde vectorul linie x =(x1,...,xn) din K n .Deaici
rezultă dacăavemîn V sistemul de vectori
x (i) =(xi1,xi2,...xin), i =1, 2,...,p,
atunci rangul sistemului de vectori {x (1) ,x (2) ,...,x (p) } este egal cu rangul matricei coordonatelor
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
x11
x21
...
x12
x22
...
...
...
...
x1n
x2n
...
⎞
⎟
⎠ .
xp1 xp2 ... xpn
Rezultă cădacăconsiderăm în V sistemul de vectori B1 = {f (1) ,f (2) ,...,f (n) }, dat fat¸ă
de B prin formulele
n
fj = aije (i) , j = 1,n,
i=1
atunci B1 formează o bazăîn V dacă ¸si numai dacă matricea A = (aij) ∈ Mn2(K) este
nesingulară.
În acest caz, A se nume¸ste matricea schimbării de bază sau matricea de trecere de la
baza B la baza B1.
Punând fat¸ă deB1
n
x = yjf (j)
¸si înlocuind pe fj, avem
x =
de unde, identificând cu x =
n
j=1
yj
n
i=1
aije (i)
j=1
n
xie (i) ,rezultă
i=1
xi =
⎛
n n
= ⎝
i=1
n
aijyj, i = 1,n,
j=1
aijyi
j=1
⎞
⎠ e (i)
care constituie formulele de schimbare a sistemului de coordonate, cores- punzătoare
schimbării de bază B în B1. Sub formă matricială formulele de schimbare se scriu astfel
t x = A t y.
3.2 Determinant¸i
Considerăm matricea pătratică A = (aij) ∈ Mn2(K) cu elemente din câmpul K.
Formăm produse de forma a1i1 ,a2i2 ...anin ,obt¸inute luând câte un element ¸si numai unul
38

din fiecare linie ¸si coloană a matricei A. Unui astfel de produs îi asociem permutarea
(substitut¸ia)
1
G =
2 ... n
i1 i2 ... in
numită permutarea indicilor săi. Notăm cu Sn mult¸imea tuturor celor n! permutări ale
mult¸imii {1, 2,...,n}.
În permutarea σ ∈ Sn avem o inversiune dacă iσ(j).
De exemplu, în permutarea
σ =
1 2 3 4
4 2 1 2
elementele 4 ¸si 2 prezintă o inversiune.
Prin Inv(G) notăm numărul inversiunilor permutării G, iar prin ε(σ) =(−1) Inv(σ) signatura
permutărilor σ. Dacă ε(σ) =1, avem o permutare pară, iar dacă ε(σ) =−1 avem o
permutare impară.
Definit¸ia 3.2.1 Numim determinantul matricei pătratice A = (aij) ∈ Mn2(K), elementul
det A ∈ K dat de formula
det A =
ε(σ)a1i1a2i2 ...anin ,
σ∈Sn
unde suma se extinde la toate cele n! permutări din Sn.
Altfel spus, determinantul matricei A este elementul det A din K egal cu suma a n!
produse, unde în fiecare produs intră cafactorcâte un element de pe fiecare linie ¸si coloană
a matricei A, produsul având semnul + sau − după cum permutarea indicilor săi este pară
sau impară. Determinantul det A se zice de ordinul n dacă matricea A are ordinul n. Pentru
det A folosim notat¸ia
det A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
sau det A = |A| = |aij|.
Vom prezenta acum proprietăt¸ile determinant¸ilor.
Propozit¸ia 3.2.1 Determinantul unei matrice este egal cu determinantul transpusei sale.
Demonstrat¸ie. Valabilitatea Propozit¸iei rezultă din faptul că o permutare σ ¸si inversa ei
σ −1 au aceea¸si paritate.
Din această propozit¸ie rezultă că dacă pentru liniile unui determinant avem o
propozit¸ie adevărată, atunci aceasta este adevărată ¸si pentru coloanele determinantului.
De aceea, în continuare, vom formula ¸si justifica proprietăt¸ile numai pentru liniile unui
determinant.
Propozit¸ia 3.2.2 Dacă linia Li a matricei pătratice A =(aij) ∈M n 2(K) este suma a p vectori,
atunci determinantul ei este egal cu suma a p determinant¸i corespunzători matricelor care
au acelea¸si linii cu A, cuexcept¸ia liniei Li unde are câte unul din cei p vectori.
Demonstrat¸ie. Dacă linia Li este suma a p vectori atunci
p
aij =
¸si putem scrie
k=1
b (k)
ij , i = 1,n
det A =
ε(σ)a1j1 ...aiji = ε(σ)a1j1
σ∈Sn
39
σ∈Sn
p
k=1
b (k)
...anjn =
iji

ceea ce trebuia demonstrat.
=
p
k=1 σ∈Sn
ε(σ)a1j1b(k) ...anjn ,
iji
Propozit¸ia 3.2.3 Dacă într-un determinant înmult¸im o linie cu un factor k ∈ K, atunci
valoarea determinantului se înmult¸e¸ste cu k.
Demonstrat¸ie. Fie A =(aij) ∈Mn2(K) ¸si B matricea obt¸inută dinA, în care elementele liniei
i sunt înmult¸ite cu k. Atunci
det (B) =
ε(σ)a1j1 ...(kaiji ) ...anjn =
σ∈Sn
= k
ε(σ)a1i1 ...ajianjn = kdetA.
σ∈Sn
Propozit¸ia 3.2.4 Dacă într-un determinant se schimbă două linii între ele, atunci valoarea
lui î¸si schimbă semnul.
Demonstrat¸ie. Se observă că prin schimbarea celor două linii permutarea indicilor î¸si
schimbă paritatea.
Propozit¸ia 3.2.5 Dacăîntr-un determinant două linii sunt identice, atunci valoarea lui este
zero.
Demonstrat¸ie. Dacă în det A schimbăm între ele cele două linii identice, atunci, folosind
propozit¸ia 3.2.4 putem scrie det A = −det A, de unde det A =0.
Propozit¸ia 3.2.6 Dacă într-un determinant avem două linii proport¸ionale, atunci valoarea
lui este zero.
Demonstrat¸ie. Valabilitatea propozit¸iei rezultă din Propozit¸iile 3.2.3 ¸si 3.2.5.
Propozit¸ia 3.2.7 Dacăîntr-un determinant la o linie adăugăm o combinat¸ie liniară de celelalte
linii, atunci valoarea lui rămâne neschimbată.
Demosntratîe. Se aplică Propozit¸iile 3.2.2 ¸si 3.2.6.
Propozit¸ia 3.2.8 Dacă liniile matricei care define¸ste determinantul sunt liniar dependente
(matricea este singulară), atunci valoarea determinantului este zero.
Demonstrat¸ie. Se aplică Propozit¸iile 3.2.2 ¸si 3.2.6.
În particular, dacă pe o linie a unui determinant avem numai zero, atunci valoarea
determinantului este zero.
Definit¸ia 3.2.2 Numim minorul complementar al elementului aij din matricea pătratică A =
(aij) ∈M n 2(K), determinantul asociat matricei extrase din A prin eliminarea liniei i ¸si
coloanei j.
Notăm Mij minorul complementar al elementului aij.
Definit¸ia 3.2.3 Numim complementul algebric al elementului aij din matricea pătratică A =
(aj) ∈M n 2(K) elementul Aij ∈ K dat de relat¸ia
Aij =(−1) i+j Mij.
Propozit¸ia 3.2.9 Determinantul matricei A =(aij) ∈M n 2(K) este egal cu suma produselor
elementelor liniei Li (i = 1,n) prin complement¸ii lor algebrici, adică
det (A) =ai1Ai1 + ...+ aijAij + ...+ ainAin.
40

Demosntrat¸ie. Se arată căefectuând produsele aijAij, j = 1,n obt¸inem toate produsele din
definit¸ia lui det A luate cu acela¸si semn.
Corolarul 3.2.1 Dacă în dezvoltarea determinantului det (A) după elementele liniei Li
înlocuim aceste elemente prin elementele α1,...,αn din K, atuncisumaobt¸inută reprezintă
determinantul matricei obt¸inută dinA prin înlocuirea liniei Li cu vectorul (α1,α2,...,αn).
Corolarul 3.2.2 Suma produselor elementelor unei linii Li ai matricei A =(aij) ∈M n 2(K)
prin complement¸ii algebrici ai elementelor altei linii Lj este egală cuzero.
De fapt, din Propozit¸ia 3.2.9 ¸si Corolarul 3.2.2 putem scrie
n
aijAkj = δikdet A, i, k = 1,n.
j=1
Observat¸ia 3.2.1 Propozit¸ia 3.2.9 se poate generaliza prin a¸sa numita regulă a lui Laplace.
În acest scop se introduce not¸iunea de minor de ordinul k al matricei A =(aij) ∈Mn2(K), notat prin
M j1,j2,...,jk
i1,i2,...,ik
¸si fiind determinatul asociat matricei de ordin k formată cu elementele ce se găsesc la
intersect¸ia liniilor i1,...,ik cu coloanele j1,...,jk (i1 < ... < ik,j1 < ... < jk). Minorul com-
plementar al minorului M j1,j2,...,jk
i1,i2,...,ik
j1,j2,...,jk
, notat prin M i1,i2,...,ik este determinatul asociat matricei
extrase din A prin înlăturarea liniilor i1,...,in ¸si coloanelor j1,...,jk. Se nume¸ste comple-
∈ K dat de relat¸ia
mentul algebric al minorului M j1,j2,...,jk
i1,i2,...,ik
elementul Aj1,j2,...,jk
i1,i2,...,ik
A j1,...,jk
i1,...,ik =(−1)i1+...+ik+j1+...+jk M j1,...,jk
i1,...,ik .
Regula lui Laplace ne spune că determinantul unei matrice pătratice este egal cu suma
produselor minorilor de pe k linii fixate ale matricei prin complement¸ii lor algebrici.
Observat¸ia 3.2.2 Calculul unui determinant de ordin n se poate face calculând numai
determinant¸i de ordinul doi (de fapt, aplicând regula dreptunghiului fără împărt¸irea la
elemntul pivot). Fie de calculat
det A =
a11 a12 ... a1j ... a1n
... ... ... ... ... ...
ai1 ai2 ... aij ... ain
... ... ... ... ... ...
an1 an2 ... anj ... ann
Presupunem că a11 = 0. Împărt¸im linia întâi cu a11 (în fat¸a determinantului se va
înmult¸i cu a11). Apoi facem 0 pe prima coloană, ceea ce va face ca elementul aij să fie
înlocuit prin
aij − a1j
ai1 =
a11
aija11 − a1jai1
a11
= bij
,
a1j
i,j = 2,n.
Dezvoltând acum determinantul după prima coloană ¸si scot¸ând în noul determinant
factorul 1/a11 de pe fiecare linie, obt¸inem formula lui Chio:
det A = 1
a n−2
11
b22 b23 ... b2n
b32 b33 ... b3n
... ... ... ...
bn2 bn3 ... bnn
41
.

Practic se aplică repetat această formulă, în care elementele bij, i, j = 2,n,seobt¸in
prin ”regula dreptunghiului” fără împărt¸irea la elementul pivot.
Exemplu. Avem
det A =
2
4
3
−2
1
2
2
3
3
1
1
1
2
3
4 =
2
1
22
= 1
· 8 · 2
22
1
1
0
1
−7
5
1
2
1
1
=4· −8
1 5
1
1
Utilizând regula lui Laplace se demonstrează:
0 −10 −2
1 −7 2
8 8 8
=
=4· (−13) = −52.
Propozit¸ia 3.2.10 Determinantul produsului a două matrice A ¸si B de ordin n este egal cu
produsul determinant¸ilor acestor matrice.
Propozit¸ia 3.2.11 Condit¸ia necesară ¸si suficientă ca o matrice să fie nesingulară este ca
determinantul ei să fie diferit de zero.
Demonstrat¸ie. Necesitatea. Dacă A este o matrice pătratică nesingulară, atunci admite
inversă ¸si din relat¸ia A −1 A = I avem det (A −1 ) det (A) =1¸si deci det (A) = 0.
Suficient¸a. Dacă det (A) = 0, matricea A nu poate fi singulară deoarece după consecint¸a
3.2.8 ar rezulta det (A) =0.
Corolarul 3.2.3 Rangul unei matrice este egal cu ordinul maxim al minorilor diferit¸i de
zero.
Acest corolar ne dă un alt procedeu pentru aflarea rangului unei matrice.
Definit¸ia 3.2.4 Se nume¸ste matrice adjunctă a matricei A =(aij) ∈M n 2(K) matricea notată
prin A ∗ ¸si dată prin A ∗ =(Aji), undeAij este complementul algebric al elementului aij din
A.
Altfel spus, A ∗ este transpusa matricei formată cu complement¸ii algebrici ai elementelor
matricei A.
Propozit¸ia 3.2.12 Inversa unei matrice nesingulare A de ordin n este dată de formula
A −1 =
1
det (A) · A∗ .
Demonstrat¸ie. Folosind corolarul 3.2.2, avem
1
A ·
det A · A∗ ⎛
n
= ⎝ aij · Akj
⎞
⎠ =
det (A)
j=1
δij
det (A)
=(δij) =In,
det (A)
ceea ce trebuia demonstrat.
Formula din Propozit¸ia 3.2.12 dă un alt procedeu pentru calcularea inversei unei
matrice.
3.3 Sisteme de ecuat¸ii liniare
În acest paragraf vom aplica matricele ¸si determinant¸ii la rezolvarea sistemelor de
ecuat¸ii liniare, întâlnite în mod curent în aplicat¸iile economice.
42

Definit¸ia 3.3.1 Se nume¸ste sistem de m ecuat¸ii liniare cu n necunoscute peste câmpul K, un
ansamblu de relat¸ii de forma
(3.2)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2,
..............................
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm,
unde aij ∈ K, i = 1,m, j = 1,n sunt coeficient¸ii sistemului, b1,...,bn ∈ K termenii liberi ai
sistemului, iar x1,...,xn ∈ K sunt necunoscutele sistemului.
Dacă cel put¸in un termen liber este diferit de zero atunci vom spune că sistemul
este neomogen, iar dacă tot¸i termenii liberi sunt nuli, atunci vom zice că sistemul este
neomogen.
Definit¸ia 3.3.2 Numim solut¸ie a sistemului (11.8) orice ansamblu format din n elemente
α1,α2,...,αn din K cu proprietatea că înlocuind în membrii stângi ai ecuat¸iilor sistemului
xi = αi, i = 1,n,¸si făcând calculele, se obt¸in elementele corespunzătoare din membrii drept¸i.
Definit¸ia 3.3.3 Un sistem de ecuat¸ii liniare se zice că este compatibil dacă arecelput¸in o
solut¸ie ¸si incompatibil în caz contrar.
Matricea
⎛
⎞
a11 a12 ... a1n
⎜ a21 a22
A = ⎜
... a2n ⎟
⎝ ... ... ... ... ⎠
an1 an2 ... amn
se nume¸ste matricea sistemului, iar matricea
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
a11
a21
...
a12
a22
...
...
...
...
a1n
a2n
...
b1
b2
...
⎞
⎟
⎠
an1 an2 ... amn bm
se nume¸ste matricea extinsă (completă) a sistemului (11.8)
Notând cu X = t (x1,x2,...,xn) vectorul coloană al necunoscutelor ¸si cu B =
t (b1,b2,...,bm) vectorul termenilor liberi, sistemul (11.8) se poate scrie sub forma matriceală
AX = B.
Definit¸ia 3.3.4 Numim sistem Cramer un sistem de n ecuat¸ii liniare cu n necunoscute pentru
care matricea A a sistemului este nesingulară, adică det A = 0.
Pentru astfel de sisteme are loc:
Teorema 3.3.1 (Cramer). Orice sistem Cramer este compatibil determinat (are solut¸ie
unică) ¸si
, i = 1,n,
det A
unde Δi este determinantul matricei obt¸inută din matricea A a sistemului prin înlocuirea
coloanei Ci cu coloana B a termenilor liberi.
xi = Δi
Demonstrat¸ie. T¸inând seama că A este nesingulară, din forma matriceală a sistemului
obt¸inem X = A −1 B, care ne arată că sistemul este compatibil. Cum A −1 =(det A) −1 A ∗ ,
unde A ∗ este matricea adjunctă a matricei A (v. Propozit¸ia 3.2.12), înlocuind în X = A −1 B,
43

obt¸inem
1
X =
det (A) A∗ ⎛
⎜
1 ⎜
B = ⎜
det (A) ⎜
⎝
n
k=1
n
Ak1bk
Ak2bk
k=1
n
k=1
n
k=1
.
Akibk
.
Akmbk
⎞
⎟
⎠
= 1
det A
de unde
xi = Δi
, i = 1,n.
det (A)
Prezentăm acum metoda eliminării totale (Gauss–Jordan) pentru aflarea solut¸iilor
pentru sistemele Cramer.
În acest scop, scriem matricea extinsă a sistemului ¸si avem succesiv
(3.3)
(A|B) =⇒ (A −1 · A|A −1 · B) =⇒ (In|X).
unde I este matricea unitate de ordinul n.
Practic se lucrează cu metoda dreptunghiului, prin care pe pozit¸ia lui A facem să
apară In, iar pe pozit¸ia lui B va apărea solut¸ia sistemului.
Exemplul 3.3.1. Să se rezolve sistemul
2x1 +3x2 + x3 =6
3x1 − x2 − 2x3 =7
x1 − 2x2 +3x3 = −3.
Avem succesiv
⎛
⎝
2
3
1
3
-1
-2
1
-2
3
6
7
-3
⎞ ⎛
⎠ ⇒ ⎝
1
0
3
2
−
1
2 3
11
2
7 − 2 −2
0 − 7
2
5
2 −6
⎞
⎠ ⇒
⎛
⇒ ⎝
1 0 − 5
0
0
1
0
11
7
11
52
11
27
11
4
11
− 52
11
⎞ ⎛
⎠ ⇒ ⎝
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
-1
⎞
⎠ ,
de unde xi =2,x2 =2,x3 = −1.
Observat¸ia 3.3.1 Dacă în transformările (11.9) facem ca în locul lui In să apară omatrice
triunghiulară superioară având elementele de pe diagonala principală egale cu 1, atuncise
zice că se rezolvă sistemul prin metoda eliminării part¸iale.
De exemplu, pentru sistemul din exemplul 3.3.1, lucrând prin metoda eliminării
part¸iale, avem: ⎛
2
⎝ 3
1
3
-1
-2
1 6
-2 7
3 -3
⎞ ⎛
3 1
1 2 2
⎠ ⇒ ⎝ 0 −
3
11 7
2 − 2 −2
0 − 7
⎛
⇒ ⎝
1
0
3 1
2 2
7 1 11
5
2 2
⎞ ⎛
3 1
3
1 2 2
4 ⎠
11 ⇒ ⎝
7 0 1 11
0 0 1
⎞
⎠ ⇒
−6
⎞
3
4 ⎠
11 ,
−1
0 0 52
1
52 − 11
44
⎛
⎜
⎝
Δ1
Δ2
...
Δi
.
Δn
⎞
⎟ ,
⎟
⎠

iar de aici
x3 = −1 :x2 + 7
1 x3 = 4
11 , de unde x2 = 4 7
+
11 11 =1:
x1 + 3
2 x2 + 1
2 x3 =3, de unde x1 =3− 3 1
+
2 2 =2.
Să revenim acum la cazul general al sistemelor de m ecuat¸ii liniare cu n necunoscute.
Mai întâi să prezentăm două criterii de compatibilitate date de teorema lui Kronecker–
Capelli ¸si Rouché–Frobenius.
Teorema 3.3.2 Kronecker–Capelli. Condit¸ia necesară ¸si suficientă caunsistemdeecuat¸ii
liniare să fie compatibil este ca rangul matricei sistemului să fie egal cu rangul matricei
extinse.
Demonstrat¸ie. Fie A = {C1,C2,...,Cn} sistemul de vectori coloane ai matricei A a sistemului
(11.8); sistemul (11.8) poate fi scris sub forma
x1C1 + x2C2 + ...+ xnCn = B,
de unde rezultă că el este compatibil dacă ¸si numai dacă rangul sistemului de vectori
coloane {C1,C2,...,Cn} ai matricei A este egal cu rangul sistemului de vectori coloane
{C1,C2,...,Cn,B} ai matricei extinse A, ceea ce este echivalent cu faptul că matricele A
¸si A au acela¸si rang.
Definit¸ia 3.3.5 Numim determinantul principal pentru sistemul de ecuat¸ii liniare (11.8)
orice minor de ordin maxim diferit de zero al matricei sistemului.
Este evident că ordinul unui determinant principal este egal cu rangul matricei sistemului.
Definit¸ia 3.3.6 Numim determinant caracteristic asociat unui determinant principal fixat,
orice minor principal al matricei extinse obt¸inut prin completarea (bordarea) determinantului
principal cu o linie formată din elementele corespunzătoare de pe una din liniile
rămase ¸si cu coloana termenilor liberi corespunzători.
Dacă rangul matricei sistemului este egal cu numărul m al ecuat¸iilor, atunci nu avem
determinant¸i caracteristici, sistemuul fiind totdeauna compatibil deoarece rangul matricei
extinseestetotm.
Teorema 3.3.3 (Rouché–Frobenius). Condit¸ia necesară si suficientă caunsistemdeecuat¸ii
liniare să fiecompatibilestecatot¸i determinant¸ii caracteristici asociat¸i unui determinant
principal al sistemului să fienuli.
Demonstrat¸ie. Necesitatea. Fie r rangul matricei A a sistemului (11.8). Dacă sistemul este
compatibil, atunci după teorema lui Kronecker–Capelli, rangul matricei extinse A este egal
cu r ¸si deci tot¸i determinant¸ii caracteristici sunt nuli deoarece sunt minori de ordinul r +1
pentru A.
Suficient¸a. Fără arestrânge generalizarea să presupunem că
(3.4)
Δp =
a11 a12 ... a1r
a21 a22 ... a2r
... ... ... ...
ar1 ar2 ... arr
este un determinant principal pentru care tot¸i determinant¸ii caracteristici sunt nuli. Considerând
matricele
⎛
⎞
a11 ... a1n b1
⎜ a21 ⎜ ... a2n b2 ⎟
⎜ ... ... ... ... ⎟ , s =1, 2,...,m− r
⎝
⎠ (3.5)
ar1 ... arn br
ar+s,1 ... ar+s,n br+s
45

extrase din matricea extinsă A, constatăm că ele au toate rangul r. Într-adevăr, primele
C1,C2,...,Cr coloane sunt liniar independente deoarece Δp = 0,coloaneleCr+1,Cr+2,...,Cn
sunt combinat¸ii liniare de C1,C2,...,Cr pentru că matricea A are rangul r, iar coloana
Cn+1 este combinat¸ie liniară deC1,...,Cr deoarece determinant¸ii caracteristici sunt nuli.
Atunci rang A = rang A ¸si, pe baza teoremei lui Kronecker–Capelli, rezultă căsistemul este
compatibil.
Definit¸ia 3.3.7 Subsistemul sitemului (11.8) de ecuat¸ii liniare format din ecuat¸iile corespunzătoare
liniilor unui determinant principal se nume¸ste subsistem principal, ¸si ecuat¸iile
lui se numesc ecuat¸ii principale. Celelalte ecuat¸ii ale sistemului (11.8) se numesc ecuat¸ii secundare.
Necunoscutele corespunzătoare coloanelor unui determinant principal se numesc
necunoscute principale, iar celelalte se numesc necunoscute secundare (libere).
Definit¸ia 3.3.8 Două sistemedeecuat¸ii liniare se numesc echivalente dacă orice solut¸ie a
unuia este solut¸ie ¸si pentru celelalt.
U¸sor se verifică că această relat¸ie este într-adevăr o relat¸ie de echivalent¸ă.
Teorema 3.3.4 Un sistem liniar compatibil este echivalent cu orice subsistem principal al
său.
Demonstrat¸ie. Este evident că oricesolut¸ie a sistemului (11.8) este solut¸ie pentru orice
subsistem al său deoarece ea verifică fiecare ecuat¸ie a sistemului. Reciproc, să considerăm
subsistemul principal cu determinantul principal (11.9). Cum matricele (11.10) au toate
rangul r, ultima linie este o combinat¸ie liniară de celelalte ¸si deci avem:
Lr+s = λ1L1 + λ2L2 + ...+ λrLr, s =1, 2,...,m− r,
de unde
(3.6)
¸si
ar+s,j = λ1aj1 + λ2aj2 + ...+ λrajr, j = 1,n
(3.7)
Dacă punem
br+s = λ1b1 + λ2b2 + ...+ λrbr.
Ei = a11x1 + ...+ a1nxn − bi, i = 1,n,
atunci înmult¸ind egalităt¸ile (11.11) corespunzător cu xj, j = 1,n, egalitatea (3.7) cu −1 ¸si
adunându-le obt¸inem
(3.8)
Er+s = λ1E1 + λ2E2 + ...+ λrEr, s =1, 2,...,m− r
Acum, dacă considerăm o solut¸ie a subsistemului principal atunci E1 =0,...,Er =0,
iar din (3.9) rezultă că¸si Er+s =0, s =1, 2,...,m− r. Deci, sistemul (11.8) este echivalent
cu subsistemul principal considerat.
Practic, rezolvarea unui sistem compatibil de ecuat¸ii liniare se reduce la rezolvarea
unui subsistem principal al său, în care termenii cu necunoscutele secundare au fost trecute
în membrul doi, acestea devenind parametrii.
Subsistemul principal este un sistem Cramer ¸si se poate rezolva cu oricare din
metodele date mai sus.
Observat¸ia 3.3.2 Metodele eliminării totale sau part¸iale se pot aplica ¸si la studierea compatibilităt¸iiunuisistemdeecuat¸ii
liniare. S¸i anume, dacă nusemaipotfacecifrede1
pe diagonala ce pleacă dina11 ¸si pe liniile care nu avem cifre de 1 găsim numai zerouri,
atât în matricea sistemului cât ¸si la termenii liberi, atunci sistemul este compatibil. În caz
contrar, sistemul este incompatibil.
46

Exemplul 3.3.2. Să considerăm sistemul
x1 − x2 +2x3 + x4 + x5 =1
2x1 + x2 + x3 − x4 +3x5 =5
x1 − 4x2 +5x3 +4x4 =2.
Utilizând metoda eliminării totale, avem succesiv:
⎛
1
⎝ 2
-1
1
2
1
1
-1
1
3
1
5
⎞ ⎛
1
⎠ ⇒ ⎝ 0
-1
3
2
-3
1
-3
1
1
1
3
⎞
⎠ ⇒
2 -4 5 4 0 2 0 -3 3 3 -1 -3
⎛
⇒ ⎝ 1 0 1 0 0
0
1
0
−1
0
−1
0
4
3
1
3
0
2
1
0
⎞
⎠ .
Rezultă cărangul matricei sistemului este 2 ¸si cum pe linia a treia avem numai zero,
deducem că avem un sistem compatibil nedeterminat. Solut¸iile sistemului sunt
x1 =2− a − 4
3 c; x2 =1+a + b − c
3 ; x3 = a; x4 = b; x5 = c, a, b, c ∈ R.
Exemplul 3.3.3. Să se rezolve sistemul
x1 − 3x2 + x3 + x4 =1
x1 − 3x2 + x3 − 2x4 = −1
x1 − 3x2 + x3 +5x4 =6
Folosim metoda eliminării totale ¸si avem:
⎛
⎝
1
1
-3
-3
1
1
1
-2
1
-1
⎞ ⎛
⎠ ⇒ ⎝
1 -3 1 5 6
⎛
⇒ ⎝
1 −3 1 0 − 1
3
0 0 0 1 2
3
0 0 0 0 7
1 -3 1 1 1
0 0 0 -3 2
0 0 0 4 5
⎞
⎠
⎞
⎠ ⇒
Cum pe linia a treia avem o situat¸ie imposibilă, rezultă că sistemul este incompatibil.
În încheierea acestui paragraf să facem câteva observat¸ii cu privire la sistemele omogene
de ecuat¸ii liniare.
Cum la orice sistem omogen rang A = rang A, rezultăcă el este compatibil, având
evident solut¸ia x1 = x2 = ...= xn =0,numităsolut¸ie nulă sau banală.
Un sistem omogen va avea solut¸ii diferite de solut¸ia banală numai dacă rangulsău va
fi mai mic decât numărul necunoscutelor.
Teorema 3.3.5 Mult¸imea solut¸iilor unui sistem omogen de ecuat¸ii liniare peste câmpul K,
cu n necunoscute ¸si rang r, r

unde
⎛
⎜
Y1 = ⎜
⎝
α11
α21
.
αr1
1
.
0
⎛
⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ,Y2 = ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝
α12
α22
.
αr2
0
1
.
0
⎞
⎛
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ ,...,Yn−r = ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
α1,n−r
α2,n−r
.
αr,n−r
0
.
1
sunt solut¸ii particulare ale sistemului omogen.
Se observă că Y1,Y2,...,Yn−r sunt vectori liniari independent¸i în K n , deoarece considerând
matricea formată cu componentele lor, submatricea ei compusă din ultimele n − r
linii este matricea unitate de ordinul n − r. Cu aceasta teorema este demonstrată.
Din teorema 3.3.5 ¸si (3.9) rezultă
Corolarul 3.3.1 Suma a două solut¸ii a unui sistem omogen este, de asemenea, o solut¸ie a
lui.
Corolarul 3.3.2 Produsul dintre o solut¸ie a unui sistem omogen peste un câmp K cu un
element din K este tot o solut¸ie a sistemului.
48
⎞
⎟ ,
⎟
⎠

3.4 Testul Nr. 2 de verificare a cuno¸stint¸elor
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Matrice pătratică simetrică;
b) Matrice pătratică singulară;
c) Inversa unei matrice pătratice;
d) Determinant al unei matrice pătratice;
e) Sistem Cramer.
Enunt¸at¸i următoarele teoreme:
a) Teorema rangului;
b) Teorema lui Kronecker - Capelli;
c) Teorema lui Rouché - Frobenius.
2. Aflat¸i cu ajutorul transformărilor elementare rangul matricei:
⎛
2
⎜
A = ⎜ 1
⎝ −1
2
−1
2
3
0
1
⎞
−1
1 ⎟
0 ⎠
2 −2 0 2
3. Calculat¸i determinantul de ordinul n, n>2:
D =
x1 − y1
x2 − y1
...
xn − y1
x1 − y2
x2 − y2
...
xn − y2
...
...
...
x1 − yn
x2 − yn
...
xn − yn
4. Să se discute după parametrul real m sistemul:
mx +4y = 3m − 2
x + my = m 2 − 2
5. Folosind metoda eliminării part¸iale să se rezolve sistemul:
Ax = B,cu
⎛
2
A = ⎝ 1
1
0
⎞
2
1 ⎠ ;
⎛
B = ⎝
1 1 0
6. Folosind metoda eliminării totale să se rezolve sistemul
⎛
0 1
⎞
2
⎛
Ax = B,cu A = ⎝ 1 2 1 ⎠ ; B = ⎝
1 1 0
7. Folosind metoda eliminării totale să se rezolve sistemul:
Ax = B,cu
⎛
2
A = ⎝ 1
1
0
⎞
2
1 ⎠ ;
⎛
B = ⎝
1 1 0
1
2
1
49
1
2
1
1
−1
2
⎞
⎠
⎞
⎠
⎞
⎠

8. Folosind metoda lui Laplace să se calculeze determinantul
1
0
D =
x
x
x
0
1
0
x
x
0
0
1
0
x
0
0
0
1
0
2
3
4
5
6
9. Folosind metoda lui Laplace să se calculeze determinantul
1
D = 0
2
0
2
1
0
2
2
0
1
0
1
2
1
1
10. Folosind formula lui Chio să se calculeze determinantul
1
D = 0
2
0
2
1
0
2
2
0
1
0
1
2
1
1
50

Indicat¸ii ¸si răspunsuri
2. rangA =3
3. Δ=0
Testul 2
4. Dacă m = −2 atunci sistemul este incompatibil.
Dacă m =2atunci sistemul este compatibil nedeterminat cu solut¸ia x =2−2a , y = a ∈ R.
m +4
Dacă m = ±2 atunci sistemul este compatibil determinat cu solut¸ia x = −
m +2 ,
y = m2 +2m− 1
.
m +2
5. Se obt¸ine solut¸ia x1 =4, x2 = −3, x3 = −2.
6. Se obt¸ine solut¸ia x1 =4, x2 =1, x3 = −1.
7. Se obt¸ine solut¸ia x1 =4, x2 = −3, x3 = −2.
8. Δ=2x 2 − 9x +6.
9. Δ=9.
10. Δ=9.
51

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul I,
Editura ULB, Sibiu, 2001.
52

Capitolul 4
Operatori liniari. Forme biliniare ¸si
forme pătratice
Obiective: În modelarea matematică a fenomenelor din realitatea înconjurătoare, în
particular cea economică, unul dintre cele mai des folosite concepte este cel de liniaritate.
Acesta se datorează, atât simplităt¸ii conceptului de liniaritate, cât ¸si faptului că aproximarea
unor situat¸ii neliniare prin situat¸ii liniare, a¸sa numitul ”principiu al liniarităt¸ii”, constituie
una din metodele de bază în studiul realităt¸ii.
Rezumat: În prezentul capitol se vor prezenta not¸iunile de
aplicat¸ie/transformare/operator liniar(ă), formă biliniară, formă pătratică, formă canonică
a unei forme pătratice, precum ¸si metode de determinare a formei canonice a unei forme
pătratice.
Cont¸inutul capitolului:
1. Operatori liniari
2. Forme biliniare
3. Forme pătratice
4. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
5. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: operator liniar, transformare liniară, formă biliniară, formă
pătratică, forma canonică, metoda lui Gauss, Metoda lui Jacobi.
4.1 Operatori liniari
Fie X ¸si Y două spat¸ii vectoriale peste acela¸si câmp K.
Definit¸ia 4.1.1 Numim operator liniar sau transformare liniară sau omomorfism de spat¸ii
vectoriale, o aplicat¸ie T : X → Y care satisface condit¸iile:
1 o . T (x (1) + x (2) )=T (x (1) )+T (x (2) ), (∀)x (1) ∈ X, (∀)x (2) ∈ X (aditivitate),
2 o . T (λx (1) )=λT (x (1) ), (∀)λ ∈ K, (∀)x (1) ∈ X (omogenitate).
Teorema 4.1.1 Operatorul T : X → Y este liniar dacă ¸si numai dacă pentru orice x (1) ,x (2) ∈
X ¸si orice λ1,λ2 ∈ K, avem
(4.1)
T (λ1x (1) + λ2x (2) )=λ1T (x (1) )+λ2T (x (2) ).
Demonstrat¸ie. Să admitemcă T este operator liniar, atunci, folosind condit¸iile 1 o ¸si 2 o din
Definit¸ia 4.1.1, avem:
T (λ1x (1) + λ2x (2) )=T (λ1x (1) )+T (λ2x (2) )=λ1T (x (1) )+λ2T (x (2) ),
53

ceea ce trebuia demonstrat.
Reciproc, dacă în (4.1) punem λ1 = λ2 =1,obt¸inem condit¸ia 1 o din Definit¸ia 4.1.1, iar
dacă punem λ2 =0. obt¸inem condit¸ia 2 o din aceea¸si definit¸ie.
Dacă X = Y un operator liniar se nume¸ste endomorfism. Dacă transformarea liniară
T este bijectivă, atunci ea se nume¸ste izomorfism de spat¸ii vectoriale. Un endomorfism
bijectiv se nume¸ste automorfism al lui X.
Cum orice câmp K este un spat¸iu vectorial peste el însu¸si, atunci putem considera un
operator liniar T : X → K, numit¸si formă liniară sau funct¸ională liniară.
În continuare vom nota cu L(X, Y ) mult¸imea operatorilor liniari definit¸i pe X cu valori
în Y .
Exemple. 4.1.1. Fie Pn spat¸iu vectorial al polinoamelor de grad cel mult n peste câmpul K.
Aplicat¸ia T : Pn →Pn−1, T (f) =f ′ ,adicăderivataluif, oricare ar fi f ∈Pn, este un operator
liniar. Într-adevăr, oricare ar fi f1,f2 ∈Pn ¸si oricare ar fi λ1,λ2 ∈ K avem
T (λ1f1 + λ2f2) =(λ1f1 + λ2f2) ′ = λ1f ′ 1 + λ2f ′ 2 = λ1T (f1)+λ2T (f2).
4.1.2. Fie X un spat¸iu vectorial n–dimensional peste câmpul K ¸si B = {e (1) ,e (2) ,...,e (n) }
n
obazăîn el ¸si a1,a2,...,an ∈ K scalari fixat¸i. Aplicat¸ia f : X → K, f(x) = aixi, unde
x =
n
xie (i) ,esteofunct¸ională liniară.
i=1
4.1.3. Fie X un spat¸iu vectorial peste câmpul K ¸si a un element fixat din K. Aplicat¸ia
Ta : X → X definită prin Ta(x) =ax, pentruoricex ∈ X, este un operator liniar. Aplicat¸ia
Ta se nume¸ste omotetia spat¸iului X de raport a ∈ K.
Propozit¸ia 4.1.1 Dacă T ∈ L(X, Y ), atunciavem
1 o . T (θx) =θy, undeθx ¸si θy sunt vectorii nuli ai spat¸iilor X ¸si Y ;
2 o . T (−x) =−T (x), oricare ar fi x ∈ X.
Demonstrat¸ia propozit¸iei rezultă din faptul că T este un omomorfism între grupurile
comutative (X, +) ¸si (Y,+).
Propozit¸ia 4.1.2 Dacă T ∈ L(X, Y ) ¸si X1 este un subspat¸iu al lui X, atunciT (X1) este un
subspat¸iu în Y .
Demonstrat¸ie. Pentru orice vectori y1,y2 ∈ T (x1) există x (1) ,x (2) ∈ X, astfel ca y1 = T (x (1) ),
y2 = T (x (2) ). Considerând λ1,λ2 ∈ K ¸si folosind Teorema 4.1.1, avem
λ1y1 + λ2y2 = λ1T (x (1) )+λ2T (x (2) )=T (λ1x (1) + λ2x (2) ).
Cum λ1x (1) + λ2x (2) ∈ X1, rezultăcă λ1y1 + λ2y2 ∈ T (X1), ceea ce ne arată că T (x1) este
un subspat¸iu vectorial al lui Y .
În particular, T (X) este un subspat¸iu al lui Y ¸si se notează cuImT. Dimensiunea lui
ImT se nume¸ste rangul transformării T .
Observat¸ia 4.1.1 Orice transformare liniară păstrează liniar dependent¸a unui sistem de
vectori, iar dacă este injectivă, atunci păstrează ¸si liniar independent¸a.
În particular, dacă B = {e (1) ,...,e (n) } este o bază în X ¸si transformarea T ∈ L(X, Y )
este injectivă, atunci B1 = {T (e (1) ,...,T(e (n) ))} este o bază în Y .
Propozit¸ia 4.1.3 Dacă T ∈ L(X, Y ) ¸si Y1 este un subspat¸iu al lui Y , atunci contraimaginea
T −1 (Y1) este un subspat¸iu al lui X.
54
i=1

Demonstrat¸ie. Fie x (1) ,x (2) ∈ T −1 (Y1); atunci T (x (1) ),T(x (2) ) ∈ Y1 ¸si deci pentru orice λ1,λ2 ∈ K
avem λ1T (x (1) )+λ2T (x (2) )=T (λ1x (1) + λ2x (2) ) ∈ Y1. Prin urmare, λ1x (1) + λ2x (2) ∈ T −1 (Y1) ¸si
deciT −1 (Y1) este subspat¸iu al lui X.
În particular, T −1 ({θy}), unde θy este vectorul nul din Y , este un subspat¸iu al lui X,
care se nume¸ste nucleul operatorului liniar T ¸si se notează cuker T .
Se verifică imediat că operatorul T ∈ L(X, Y ) este injectiv dacă ¸si numai dacă
ker T = {θx}, θx fiind vectorul nul din X.
Dimesiunea nucleului ker T se nume¸ste defectul transformării liniare T . Se demonstrează
că
dim(ker T )+dim(Im T) = dim X (v. [2])
Deoarece operatorii liniari sunt funct¸ii, operat¸iile cu funct¸ii vor conduce la operat¸ii
cu transformări liniare. Astfel, dacă T1,T2 ∈ L(X, Y ), atunci T1 + T2 : X → Y , (T1 + T2)(x) =
T1(x)+T2(x), (∀)x ∈ K, define¸ste adunarea lor; kT1 : X → Y , (kT1)(x) =kT1(x), k ∈ K, (∀)x ∈ X
define¸ste mult¸imea operatorului liniar T1 cu un scalar k ∈ K.
De asemenea, dacă T1 ∈ L(X, Y ) ¸si T2 ∈ L(Y,Z), atunci T2 ◦ T1 : X → Z, (T2 ◦ T1)(x) =
T2(T1(x)), (∀)x ∈ X, define¸ste compunerea a două transformări liniare. T2 ◦ T1 se notează,
uneori, ¸si cu T2T1 ¸si se nume¸ste produsul transformărilor T2 ¸si T1.
Se verifică imediat că sumaadouătransformări liniare este tot o transformare liniară
¸si, de asemenea, produsul unei transformări liniare cu un scalar este tot o transformare
liniară, adică L(X, Y ) este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului vectorial Hom(X, Y ) peste K al
tuturor funct¸iilor definite pe X cu valori în Y .
În particular mult¸imea L(X, K) a funct¸ionalelor liniare definite pe spat¸iul vectorial X
cu valori în câmpul K este un spat¸iu vectorial numit dualul algebric al spat¸iului vectorial
X ¸si este notat prin X∗ .
Se arată că produsul a două transformări liniare este tot o transformare liniară, iar
dacă T ∈ L(X, Y ) este bijectivă, atunci T −1 ∈ L(Y,X), adicăeste tot o transformare liniară.
Rezultă că L(X, X) în raport cu operat¸iile de adunare ¸si compunere este un inel cu element
unitate.
În continuare vom arăta că un operator liniar între două spat¸iivectorial finit dimensionale
peste câmpul K este complet determinat de o matrice cu elemente din K.
Fie X ¸si Y două spat¸iivectoriale peste acela¸si câmp K de dimensiuni finite, res-
pectiv n ¸si m; T ∈ L(X, Y ) un operator liniar, B = {e (1) ,e (2) ,...,e (n) } o bază în X ¸si
B1 = {f (1) ,f (2) ,...,f (m) } o bazăîn Y .
n
Deoarece oricare ar fi x ∈ X, x = xje (j) , avem
T (x) =
n
xjT (e (j) ), iar vectorii T (e (j) ) ∈ Y , j = 1,n, se exprimă, unic în funct¸ie de coordo-
j=1
natele lor în baza B1:
(4.2)
avem
(4.3)
(4.4)
T (x) =
T (e (j) )=
n
m
m
aijf (i) , j = 1,n,
i=1
xj aijf
j=1 i=1
(i) =
i=1
⎛
m n
⎝
aijxj
j=1
⎞
⎠ f (i) .
Dacă y = T (x) =t(y1,y2,...,yn) în baza B1, atunci comparând cu (4.3) găsim
yi =
n
aijxj, i = 1,m,
j=1
relat¸ii ce pot fi scrise matriceal sub forma
(4.5)
y = Ax,
55
j=1

unde t x = (x1,...,xn) xi, i = 1,n fiind coordonatele lui x în baza B1, iar matricea
A =(aij) ∈Mm×n(K) are pe coloane coordonatele imaginilor vectorilor din baza B în baza
B1. Matricea A se nume¸ste matricea asociată (asociată) transformării T fat¸ă de cele două
baze B ¸si B1 alese în spat¸iile X ¸si Y . Ea este unic determinată derelat¸iile (4.2). Relat¸iile
(4.4) sau (4.5) se numesc ecuat¸iile operatorului liniar în bazele B ¸si B1.
Se arată că rangul transformării liniare este egal cu rangul matricei asociate ei fat¸ă
de două baze.
În adevăr, rangul transformării T fiind, conform definit¸iei, dimensiunea spat¸iului imagine,
este egal cu rangul sistemului de vectori {T (e (j) )} j=1,n , care îl generează pe aceasta. Cum
vectorii T (e j ) j=1,n , sunt vectori coloană ai matricei A, rezultăcă rang A = rang T.
Exemplul 4.1.4. Dacă T ∈ L(R 3 , R 2 ), (x) = (x1 − 3x2, −4x1 +2x2 + x3), x = (x1,x2,x3) ¸si
B = {e (1) ,e (2) ,e (3) }, e (1) = (1, 0, 0), e (2) = (0, 1, 0), e (3) = (0, 0, 1), respectiv B1 = {f (1) ,f (2) },
f (1) =(1, 0), f (2) =(0, 1) sunt bazele canonice, atunci matricea ata¸sată luiT este
A =
1 −3 0
−4 2 1
deoarece T (e (1) )=(1, −4), T (e (2) )=(−3, 2), T (e (3) )=(0, 1).
Fie acum T1,T2 ∈ L(X, Y ) ¸si T = T1 + T2 suma lor. Avem
,
T (e (j) )=T1(e (j) )+T2(e (j) ), j = 1,n
de unde notând cu A1 matricea ata¸sată luiT1, A2 matricea ata¸sată luiT2 ¸si cu C matricea
ata¸sată luiT , deducem că C = A1 + A2, adică matricea transformării sumei este suma matricelor
transformărilor termeni.
Analog, se arată că matricea produs dintre un scalar ¸si o transformare liniară este
produsul scalarului cu matricea acelei transformări, iar matricea transformării liniare produs
este egală cu produsul matricelor transformărilor liniare factori.
De aici, rezultă
Propozit¸ia 4.1.4 i) Funct¸ia care asociază fiecărui operator liniar T ∈ L(X, Y ), dim X = n,
dim Y = m, matricea corespunzătoare ei fat¸ă de două baze fixate, este un izomorfism
între spat¸iul vectorial L(X, Y ) ¸si spat¸iul vectorial Mm×n(K) al matricelor de tipul m × n
peste K.
ii) Funct¸ia care asociază fiecărui operator T ∈ L(X, X), dim X = n, matricea corespunzătoare
ei într-o bază fixatăîn X, este un izomorfism între inelul L(X, X) ¸si inelul
matricelor pătratice de ordin n peste K.
Acum să cercetăm cum se schimbă matricea ata¸sată unei transformări liniare la schimbarea
bazelor.
Teorema 4.1.2 Fie B ¸si B ′ baze în spat¸iul vectorial n–dimensional X peste K, iarB1 ¸si B ′ 1
baze în spat¸iul vectorial m–dimensional Y peste acela¸si câmp K. Dacă T ∈ L(X, Y ), A este
matricea transformării T fat¸ă debazeleB ¸si B1, iarA1 este matricea transformării T fat¸ă
de bazele B ′ ¸si B ′ 1,atunciA1 = D −1 AC, undeC ¸si D sunt matricele de trecere de la baza B
la B ′ respectivdelaB1 la B ′ 1.
Demonstrat¸ie. Conform celor demnstrate în Capitolul IV, dacă (x1,...,xn) = t x sunt coordonatele
unui vector x ∈ X în baza B ¸si (x ′ 1,...,x ′ n)= t x ′ sunt coordonatele aceluia¸si vector x
în baza B ′ , atunci x = Cx ′ , unde C este matricea trecerii de la baza B la baza B ′ ,având pe
coloane coordonatele vectorilor bazei B ′ în raport cu B. Analog, dacă avem(y1,...,ym) = t y
coordonatele imaginii y = T (x) în B1 ¸si (y ′ 1,...,y ′ m)= t y ′ coordonatele lui y în baza B ′ 1, atunci
y = Dy ′ .
T¸inând seama că T este un operator liniar, cu notat¸iile din enunt¸, avem y = Ax respectiv
y ′ = A1x ′ , de unde înlocuind x ′ = C −1 x, y ′ = D −1 y ¸si y = Ax în y ′ = A1x ′ , găsim
D −1 Ax = A1C −1 x, de unde D −1 A = A1C −1 , care este echivalentă cuD −1 AC = A1.
56

Observat¸ia 4.1.2 Dacă T ∈ L(X, X), dim X = n, A matricea ata¸sată luiT în raport cu baza
B, iarA1 este matricea ata¸sată luiT în raport cu baza B1, atunciA1 = C −1 AC, undeC este
matricea de trecere de la B la B ′ .
Definit¸ia 4.1.2 Matricele A, B ∈M n 2(K) se numesc asemenea, notăm aceasta prin A ∼ B,
dacă există matricea nesingulară C ∈M n 2(K) a¸sa încât B = C −1 AC.
Se verifică imediat că asemănarea matricelor este o relat¸iedeechivalent¸ă peM n 2(K).
Exemplul 4.1.5. Fie T ∈ L(R 3 , R 4 ), x =(x1,x2,x3) ∈ R 3 ,
(0, 1, 1), e (2)
1
T (x) =(2x1 − x2 + x3,x2 − 2x3,x1 + x2 + x3,x1 − x2).
Aflat¸i matricea asociată luiT în raport cu perechea de baze B ′ = {e (1)
1 ,e(2)
(0, 1, 1, 1), e (3)
2
de bazele B ′ ¸si B ′ 1.
Deoarece
=(1, 0, 1), e(3) 1
=(1, 1, 0) în R3 ¸si B ′ 1 = {e (1)
2 ,e(2)
2 ,e(3)
2 ,e(4) 2
}, e(1)
2
1 ,e(3) 1
}, e(1) 1 =
=
=(1, 1, 1, 1), e(2)
=(0, 0, 1, 1), e(4)
2 =(0, 0, 0, 1), în R4 . Se cere matricea A1 a transformării T fat¸ă
T (x) =
⎛
⎜
⎝
2 −1 1
0 1 −2
1 1 1
1 −1 0
⎞
⎛
⎟
⎠
⎝ x1
x2
deducem că matricea transformării liniare T în raport cu bazele canonice B ¸si B1 din R3 respectiv R4 este
⎛
2
⎜
A = ⎜ 0
⎝ 1
−1
1
1
1
−2
1
⎞
⎟
⎠
1 −1 0
Matricea C de trecere de la baza B la B1 este
⎛ ⎞
0 1 1
C = ⎝ 1 0 1 ⎠
1 1 0
iar matricea D de trecere de la baza B ′ la baza B ′ 1 este
Se găse¸ste
¸si deci avem
D =
D −1 =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
A1 = D −1 AC =
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
⎞
⎟
⎠
1 0 0 0
−1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 1
⎛
⎜
⎝
x3
⎞
⎟
⎠
0 3 1
−1 −3 0
3 4 1
−3 −1 −2
Am văzut în Observat¸ia 4.1.2 că matricea unei transformări liniare T ∈ L(X, X),
dim X = n, depinde de alegerea bazei în X. În continuare ne punem problema de a găsi
obazăfat¸ăde care această matrice să aibăoformă diagonală
(4.6)
A1 =
⎛
⎜
⎝
λ1 0 ... 0
0 λ2 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... λn
57
⎞
⎟
⎠
⎞
⎠
⎞
⎟
⎠
2

T¸inând seama de expresiile (4.5) care definesc matricea A1 a transformării liniare T
în baza B1 = {f (1) ,...,f (n) } obt¸inem:
Teorema 4.1.3 Condit¸ia necesară ¸si suficientă ca matricea transformării liniare T ∈
L(X, X), dim X = n, să poată fi adusă la forma diagonală (4.6) este să existe o bază
B1 = {f (1) ,f (2) ,...,f (n) } în X ¸si n elemente λ1,λ2,...,λn ∈ K astfel încât să avem
(4.7)
T (f (i) )=λif (i) , i = 1,n.
Definit¸ia 4.1.3 Se spune că vectorul x = θ, x ∈ X, este un vector caracteristic sau propriu
pentru operatorul liniar T ∈ L(X, X) dacă există un element λ ∈ K astfel încât să avem
(4.8)
T (x) =λx.
Elementul λ corespunzător vectorului propriu x se nume¸ste atunci valoare caracteristică
sau proprie pentru transformarea liniară T .
În conformitate cu această definit¸ie, matricea unei transformări liniare poate fi
adusă la o formă diagonală dacă¸si numai dacă transformarea are n vectori proprii liniar
independent¸i. În acest caz, elementele de pe diagonala principală din matricea diagonală
sunt atunci valorile proprii corespunzătoare.
În cele ce urmează ne vom ocupa cu determinarea valorilor proprii ¸si vectorilor proprii
pentru un operator liniar T din L(X, X), cudim X = n.
Fie B = {e (1) ,e (2) ,...,e (n) } obază în X, A =(aij) ∈M n 2(K) matricea asociată luiT , I
matricea unitate de ordin n ¸si t x =(x1,...,xn) coordonatele unui vector x ∈ V în baza B;
atunci ecuat¸ia (4.8) se poate scrie sub forma matriceală
(4.9)
(4.10)
(A − λI)x =0.
Această ecuat¸ieesteechivalentă cu sistemul
(a11 − λ)x1 + a12x2 + ...+ a1nxn =0
a21x1 +(a22 − λ)x2 + ...+ a2nxn =0
.................................
an1x1 + an2x2 + ...+(ann − λ)xn =0
Sistemul (4.10) fiind liniar ¸si omogen, admite solut¸ii diferite de solut¸ia banală dacă¸si
numai dacă determinantul matricei sistemului este egal cu zero.
Acest determinant se notează cuPA(λ) ¸si are forma
a11 − λ a12 ... a1n
PA(λ) = det(A − λI) =
a21 a22 − λ ... a2n
... ... ... ...
an1 an2 ... ann − λ
numit polinomul caracteristic ata¸sat transformării liniare T sau matricei A.
Prin urmare valorile caracteristice ale matricei A sau transformări liniare T se găsesc
printre rădăcinile ecuat¸iei
(4.11)
PA(λ) =0,
numită ecuat¸ia caracteristică corespunzătoare matricei A sau transformării liniare T . S¸irul
λ1,λ2,...,λn al tuturor rădăcinilor ecuat¸iei caracteristice, unde fiecare este socotită deatâtea
ori cât indică ordinul său de multiplicitate, constituie spectrul matricei A sau a operatorului
liniar T .
Polinomul caracteristic are gradul n ¸si se poate scrie dezvoltat sub forma:
PA(λ) =(−1) n λ n +(−1) n−1 δ1λ n−1 +(−1) n−2 δ2λn−2 + ...+(−1)δn−1λ + δn,
58

unde δi, i = 1,n, este suma minorilor diagonali de ordin i ai matricei asociate operatorului
liniar T într-o anumită bază, adică:
a11 ... a1i
δi =
... ... ...
+
a22 ... a2,i+1
... ... ...
+ ...+
ai1 ... aii
+
ai+1,2 ... ai+1,i+1
an−i+1,n−i+1 ... an−i+1,n
... ... ...
an,n−i+1 ... ann
suma având C i n termeni, i = 1,n. Prin minor diagonal al matricei A înt¸elegem un minor
care are pe diagonala principală numai elemente de pe diagonala principală a matricei A.
Se observă că δ1 = a11 + a22 + ...+ ann = tr(A) este urma matricei A, iarδn = det A.
Propozit¸ia 4.1.5 Două matrice asemenea au acela¸si polinom caracteristic.
Demonstrat¸ie. Într-adevăr, dacă matricea A este asemenea cu B, adică are loc Definit¸ia
4.1.2, atunci
PB(λ) = det(B − λI) = det(C −1 AC − λI) = det(C −1 (A − λI)C) =
= det C −1 · det(A − λI) det C = det(A − λI) =PA(λ).
Corolarul 4.1.1 Polinomul caracteristic al unui operator liniar T ∈ L(X, X) este invariant
la schimbarea bazei.
Valabilitatea acestui corolar rezultă din Observat¸ia 4.1.2 ¸si Propozit¸ia 4.1.5.
Prin urmare, ca să găsim valorile caracteristice (spectrul) ¸si vectorii caracteristici
pentru operatorul liniar T ∈ L(X, X), dim X = n, alegem o bază B = {e (1) ,...,e (n) } în X,
rezolvăm ecuat¸ia caracteristică PA(λ) =0¸si, introducând pe rând fiecare rădăcină λi, i = 1,n,
a acesteia în sistemul (4.10), găsim vectori caracteristici corespunzători.
Propozit¸ia 4.1.6 Vectorii caracteristici corespunzători unei valori caracteristice λi, i = 1,n
formează împreună cu vectorul nul al spat¸iului vectorial X un subspat¸iu Vi al lui X, numit
subspat¸iu caracteristic sau propriu, de dimensiune cel mult egală cu ordinul de multiplicitate
al lui λi, i = 1,n.
Demonstrat¸ie. Se observă că Vi este mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei
(T − λiI)(x) =θ, adică nucleul transformării liniare T − λiI ∈ L(X, X) ¸si după Propozit¸ia 4.1.3
acesta este un subspat¸iu al lui X. Fie acum ki =dimVi ¸si mi ordinul de multiplicitate pentru
λi. Presupunem că amalesbazaB = {e (1) ,...,e (n) } în X a¸sa ca e (1) ,...,e (ki) săsegăsească în
Vi. Atunci avem T (e (s) )=λie (s) , s =1, 2,...,ki ¸si deci matricea A are, fat¸ă de această bază,
forma
⎛
λi 0 ...0
⎜ 0 λi ...0
⎜ .......
A = ⎜ 00...λi ⎜ 00...0
⎝ .......
a1,ki+1 ...a1n
a2,ki+1 ...a2n
.................
aki,ki+1 ...aki,n
aki+1,ki+1 ...aki+1,n
.................
⎞
⎟
⎠
de unde rezultă
00...0 an,ki+1 ...ann
PA(λ) =(λ− λi) ki Q(λ)
¸si cum ordinul de multiplicitate al lui λi este mi, rezultăki≤mi. Corolarul 4.1.2 Unei valori caracteristice simple îi corespunde un subspat¸iu propriu de dimensiune
egală cuunu.
59
,

Teorema 4.1.4 Dacă vectorii caracteristici x (1) ,x (2) ,...,x (m) corespund la valori caracteristice
distincte λ1,λ2,...,λm, atunci ei sunt liniar independent¸i.
Demonstrat¸ie. Procedăm prin induct¸ie matematică. Pentru m =1, teorema este evident
adevărată. Presupunem că esteadevărată pentru k ¸si să o demonstrăm pentru k +1. Presupunem
că x (1) ,x (2) ,...,x (k+1) ar fi liniar dependent¸i, adică arexistăscalari α1,α2,...,αk+1 ∈ K,
nu tot¸i nuli, a¸sa încât
α1x (1) + α2x (2) + ...+ αk+1x (k+1) (4.12)
= θ.
Aplicând în (4.12) operatorul liniar T ¸si folosind ipoteza teoremei, obt¸inem
(4.13)
(4.14)
α1λ1x (1) + α2λ2x (2) + ˙+αk+1λk+1x (k+1) = θ.
Eliminând pe x (k+1) între relat¸iile (4.12) ¸si (4.13) găsim
α1(λ1 − λk+1)x (1) + α2(λ2 − λk+1)x (2) + ...+
+αk(λk − λk+1)x (k) = θ
Fără să restrângem generalitatea, să admitem cu α1 = 0, atunci, t¸inând seama că
x (1) ,...,x (k) sunt liniar independent¸i, deducem λ1 = λk+1 ceea ce constituie o contradict¸ie.
Rezultă că vectorii x (1) ,x (2) ,...x (m) sunt liniar independent¸i.
Corolarul 4.1.3 Dacă operatorul liniar T are n valori caracteristice distincte atunci el poate
fi adus la forma diagonală.
Într-adevăm, în această situat¸ie alegând câte un vector propriu corespunzător fiecărei
valori caracteristice obt¸inem n vectori caracteristici liniar independent¸i ¸si deci o bază în X.
Fat¸ă de această bază, după Teorema 4.1.3, operatorul liniar T are forma diagonală.
Pentru cazul general se demonstrează (v. [2]):
Teorema 4.1.5 Condit¸ia necesară ¸si suficientă ca matricea operatorului liniar T ∈ L(X, X),
dim X = n, săaibă formă diagonală este ca toate valorile caracteristice să fiedincâmpul K ¸si
subspat¸iile proprii corespunzătoare să aibă dimensiunile egale cu ordinele de multiplicitate
corespunzătoare.
Exemplul 4.1.6. Să considerăm transformarea liniară T ∈ L(R 3 , R 3 ) definită prin
T (x) =(x2 + x3,x1 + x3,x1 + x2),x=(x1,x2,x4) ∈ R 3 .
Să arătăm că T poate fi adusă la o formă diagonală¸si să se precizeze o bază fat¸ă de
care matricea ei are forma diagonală.
Matricea transformării în baza canonică aluiR3este iar ecuat¸ia caracteristică are forma
⎛
A = ⎝
0 1 1
1 0 1
1 1 0
−λ 1 1
1 −λ 1
1 1 −λ
⎞
⎠ ,
=0
de unde λ 3 − 3λ − 2=0. De aici găsim valorile caracteristice λ1 =2, λ2 = λ3 = −1.
Vectorii caracteristici sunt solut¸iile sistemului liniar omogen
(4.15)
−λx1 + x2 + x3 =0
x1 − λx2 + x3 =0
x1 + x2 − λx3 =0
60

unde λ se înlocuie¸ste pe rând cu una din valorile caracteristice,
Pentru λ1 =2sistemul (4.15) are solut¸ia x (1) =(1, 1, 1), iar dimensiunea subspat¸iului
propriu V1 este unu ¸si o bază în V1 este dată dex (1) .
Pentru λ1 = λ3 = −1, sistemul (4.15) se reduce la ecuat¸ia
x1 + x2 + x3 =0
¸si subspat¸iul propriu V2 careestemult¸imea solut¸iilor acestei ecuat¸ii, are dimensiunea 2, ca
bază putând fi luat¸i vectorii caracteristici x (2) =(−1, 1, 0),x (3) =(−1, 0, 1). Cum dim V2 =2,
adică egală cu ordinul de multiplicitate al va- lorii caracteristice λ = −1, deducem că matricea
tranformării poate fi adusă la forma diagonală
⎛
A1 = ⎝
2 0 0
0 −1 0
0 0 −1
iar B1 = {x (1) ,x (2) ,x (3) }, unde x (1) , x (2) , x (3) sunt vectorii caracteristici determinat¸i, este o
bază în R 3 fat¸ă de care matricea transformării are forma diagonală A1.
În încheierea acestui paragraf, dă fără demonstrat¸ie următorul rezultat (v. [2]):
Teorema 4.1.6 Cayley-Hamilton. Pentru orice operator liniar T ∈ L(X, X), dim X = n, matricea
transformării A verifică ecuat¸ia caracteristică PA(λ) =0.
4.2 Forme biliniare
Definit¸ia 4.2.1 Fie X un spat¸iu vectorial peste câmpul K. Numim formă biliniară peste
câmpul K o aplicat¸ie f : X × X → K, care este liniară în raport cu fiecare variabilă, adică
satisface condit¸iile:
1 o . f(αx + βy,z) =αf (x, z)+βf(y, z).
2 o . f(x, αy + βz) =αf(x, y)+βf(x, z),
oricare ar fi x, y, z ∈ X ¸si α, β ∈ K.
Definit¸ia 4.2.2 O formă biliniară f se nume¸ste simetrică dacă
¸si antisimetrică dacă
⎞
⎠
f(x, y) =f(y, x), (∀)x, y ∈ X
f(x, y) =−f(y, x), (∀)x, y ∈ X.
Exemple. 4.2.1. Produsul scalar definit într-un spat¸iu vectorial real este o formă biliniară.
Să notă, cu B(X) mult¸imea formelor biliniare definite pe X. Dacă f,g ∈ B(X) ¸si
k ∈ K atunci aplicat¸iile kf, f + g : X × X → K definite natural prin (kf)(x, y) =kf(x, y) ¸si
(f + g)(x, y) =f(x, y)+g(x, y), oricare ar fi x, y ∈ X, sunt forme biliniare, numite înmult¸irea
cu un scalar a unei forme biliniare ¸si respectiv adunarea a două forme biliniare.
Se constată imediat că operat¸iile de adunare a două forme biliniare ¸si de înmult¸ire a
unei forme biliniare cu un scalar din K definesc pe mult¸imea B(X) o structură despat¸iu
vectorial peste K.
Mult¸imea formelor biliniare simetrice formează un subspat¸iu vectorial al lui B(X).
Să considerăm acum spat¸iul vectorial X de dimensiune finită n. Fie B = {e (1) ,...,e (n) }
obază în X; punând x, y ∈ X
x =
n
xie (i) ¸si y =
i=1
61
n
yje (j) ,
j=1

pentru forma biliniară f avem
⎛
n
f(x, y) =f ⎝ xie (i) n
, yje (j)
⎞
⎠ =
=
n
i=1
n
i=1 j=1
j=1
xiyjf(e (i) ,e (j) ).
Rezultă că forma biliniară este determinată de valorile ei pe vectorii bazei. Elementele
aij = f(e (i) ,e (j) ), i,j = 1,n
se numesc coeficient¸ii formei biliniare, iar expresia
f(x, y) =
n
n
i=1 j=1
se nume¸ste expresia analitică a formei biliniare.
Dacă punem
aijxiyi
x = t (x1,x2,...,xn),y = t (y1,...,yn),A=(aij) i,j=1,n ∈M n 2(K),
atunci putem scrie
f(x, y) = t xAy,
care reprezintă forma matriceală a formei biliniare, iar A se nume¸ste matricea ata¸sată formei
biliniare în baza B.
Rangul matricei ata¸sate într-o bază datăunei forme biliniare se nume¸ste rangul formei
biliniare. Dacă rangul formei coincide cu dimensiunea spat¸iului vectorial, atunci forma
biliniară senume¸ste nedependentă. Se nume¸ste discriminantul unei forme biliniare într-o
bază dată, determinantul matricei asociate formei în baza dată.
4.3 Forme pătratice
În studiul unor probleme de analiză economică un rol deosebit îl au formele pătratice.
Definit¸ia 4.3.1 Fie X un spat¸iu vectorial peste câmpul K ¸si f o formă biliniară simetrică
pe X. Numim formă pătratică asociată luif aplicat¸ia g : X → K, g(x) =f(x, x), oricare ar
fi x din X.
Forma biliniară f care generează formapătratică g se nume¸ste forma polară aluig.
Dacă în câmpul K avem a + a = 0,pentruoricea ∈ K, a = 0, atunci avem
g(x + y) =f(x + y, x + y) =f(x, x)+f(x, y)+f(y, x)+f(y, y) =
= g(x)+2f(x, y)+g(y),
de unde
f(x, y) = 1
[g(x + y) − g(x) − g(y)].
2
Acest rezultat ne arată că forma polarăeste determinată în mod unic de forma
sa pătratică. Altfel spus, între mult¸imea formelor biliniare simetrice ¸si mult¸imea celor
pătratice definite pe X există un izomorfism. Dacă presupunem că dim X = n ¸si considerăm
obazăB = {e (1) ,...,e (n) } în el, atunci din expresia analitică a formei biliniare f (§5.2) găsim
următoarea expresie analitică pentru forma pătratică g
(4.16)
g(x) =
n
n
i=1 j=1
62
aijxixj.

Dacă punem A =(aij) ∈M n 2(K), care pentru formele pătratice este o matrice simetrică,
obt¸inem expresia matriceală pentru forma pătratică:
unde x = t (x1,...,xn) ∈ X.
g(x) = t xAx,
Definit¸ia 4.3.2 Dacăîn expresia analitică (4.16) a formei pătratice g, tot¸i coeficient¸ii aij cu
i = j sunt nuli, atunci se spune că reprezentarea formei pătratice este sub formă canonică .
Teorema 4.3.1 (Gauss). Expresia analitică a oricărei forme pătratice pe un spat¸iu vectorial
X peste K, dim X = n, poate fi adusă printr-o schimbare de bază, la forma canonică.
Demonstrat¸ie. Vom demonstra această teoremă prin induct¸ie matematică după numărul k
al variabilelor ce apar în expresia analitică aformeipătratice.
Evident că pentru k = 1 avem g(x) = a11x2 1, care este scrisă sub forma canonică.
Presupunem teorema valabilă pentru k − 1 variabile ¸si o demonstrăm pentru k. Fără a
restrânge generalitatea presupunem că a11 = 0(în caz contrar renumerotăm variabilele, iar
dacă tot¸i a11 =0, i = 1,n, atunci într-un produs xixj facem schimbarea de variabile xi = yi−yj,
xj = yi + yj). Acum, scriem expresia analitică (4.16) a formei pătratice astfel
g(x) = 1
⎡
⎣a 2 11x 2 ⎤
n
n
1 +2
⎦ + aijxixj =
a11
j=2
a11a1jx1xj
= 1
noii coeficient¸i bij
perfect.
n
2 n
a1jxj + bijxixj,
a11
i=1
i,j=2
rezultă din reducerea termenilor asemenea după formarea pătratului
Făcând schimbarea de variabile
n
y1 = a1jxj, yk = xk, k = 2,n
obt¸inem
unde
j=1
g(x) = 1
h(y) =
y
a11
2 1 + h(y),
n
n
i=1 j=2
bijyiyj
nu depinde de x1, deciîn expresia ei analitică avemdoark − 1 variabile. Folosind ipoteza
induct¸iei, există obază (o schimbare de coordonate) a spat¸iului X în care
Atunci
h(y) =λ2y 2 2 + ...+ λmy 2 m.
i,j=2
g(x) =λ1y 2 1 + ...+ λmy 2 m, λ1 =1/a11.
Teorema este demonstrată. Demonstrat¸ia teoremei ne oferă ¸si un procedeu practic
de a scrie o formă pătratică sub forma canonică numitămetodaluiGauss. Astfel,maiîntâi
se formează unpătrat perfect cu termeni care cont¸in pe x1, apoicutermeniicecont¸in pe
x2 ¸s.a.m.d.
Exemplul 4.3.1. Să reducem la forma canonică formapătratică g : R 3 → R, g(x) =2x 2 1 +x1x2 +
63

x 2 2 +4x1x3 +4x 2 3.
Utilizând metoda lui Gauss avem
g(x) = 1
2 (4x2 1 +2x1x2 +8x1x3)+x 2 2 +4x 2 3 = 1
2
2x1 + x2
2 +2x3
2 +
+ 15
16 x22 +3x 2 3 − 1
2 x2x3 = 1
2x1 +
2
x2
2 +2x3
2 +
+ 16
152 x
15 16
2 2 − 8
15 x2x3
+3x 3 = 1
2x1 +
2
x2
2 +2x3
2 + 16
16
15 16 x2 − 1
4 x3
2 + 44
15 x23. Punând
y1 =2x1 + x2
2 +2x3, y2 = 15
16 x2 − x3
4 , y3 (4.17)
= x3
obt¸inem forma canonică pentru g:
g(x) = 1
2 y2 1 + 16
15 y2 2 + 44
15 y2 (4.18)
3.
Din (4.17) avem:
x1 = 1
2 y1 − 4
15 y2 − 16
15 y3
x2 =
16
15 y2 + 4
15 y3
x3 = y3
sau matriceal x = Cy, unde x = t (x1,x2,x3), y = t (y1,y2,y3), x, y ∈ R3 ¸si
⎛
C = ⎝
1
2
0
0
4 − 15
16
15
0
16 − 15
4
15
1
⎞
⎠
Cum C este nesingulară ¸si are rangul 3 deducem că formapătratică este nedegenerată,
iar vectorii coloană dinC, f (1)
1
= , 0, 0 , f
2 (2)
= − 4
10
, , 0 , f
15 15 (3)
= − 16
4
, , 1 constituie
15 15
noua bază fat¸ăde care g are forma canonică (4.18).
Exemplul 4.3.2. Să aducem la forma canonică formapătratică g : R4 → R, g(x) =x1x2 +
x1x3 − 2x2x3 + x3x4.
Deoarece nu avem termeni în x2 1, i =1, 2, 3, 4, facem schimbare de variabile
(4.19)
x1 = y1 − y2, x2 = y1 + y2, x3 = y3, x4 = y4
¸si obt¸inem
g(x) =y 2 1 − y 2 (4.20)
2 − y1y3 − 3y2y3 + y3y4.
Acum aplicând metoda lui Gauss avem succesiv,
=
g(x) =
=
y1 − y3
2 − y
2
2 2 − 1
4 y2 3 − 3y2y3 + y3y4 =
y1 − y3
2 2
y1 − y3
2 −
2
− y2 + 3
2 y3
y2 + 3
2 y3
2
64
2
+ 1
2
+2y 2 3 + y3y4 =
2y3 + 1
2 y4
2 − 1
8 y2 4.
+

(4.21)
obt¸inem
(4.22)
Dacă punem
Din (4.21) găsim
z1 = y1 − y3
2 , z2 = y2 + 3
2 y3, z3 =2y3 + 1
2 y4,z4 = y4,
g(x) =z 2 1 − z 2 2 + 1
2 z2 3 − 1
8 z2 4.
x1 = z1− 1 3 3
z2+ z3−
2 8 32 z4
x2 = z1+ 3 9 9
z2− z3+
2 8 32 z4
x3 =
x4
1 1
z3−
2 8 z4
care constituie schimbarea de variabile prin care g(x) se scrie sub forma canonică (4.22).
Oaltămetodădeaducere la forma canonică a unei forme pătratice a fost dată de
Jacobi.
Teorema 4.3.2 Jacobi. Fie g : X → K o formă pătratică pespat¸iul vectorial n–dimensional
X peste K ¸si A =(aij) ∈Mn2(K) matricea formei în baza B = {e (1) ,...,e (n) } aspat¸iului X.
Dacă determinant¸ii
Δ1 = a11, Δ2 =
,...,
(4.23)
Δi =
a11 ... a1i
... ... ...
ai1 ... aii
a11 a12
a21 a22
z4
,...,Δn = det A
sunt tot¸i nenuli, atunci există obazăB1 = {h (1) ,...,h (n) } aspat¸iului X a¸sa încât g are forma
canonică
n Δi−1
g(x) = y 2 (4.24)
i , Δ0 =1,
i=1
unde (y1,y2,...,yn) sunt coordonatele vectorului x în baza B1.
Demonstrat¸ie. Pentru găsirea bazei B, vom considera vectori h (i) , i = 1,n de forma
(4.25)
¸si vom impune condit¸iile
(4.26)
Δi
h (1) = b11e (1)
h (2) = b21e (1) + b22e (2)
.
h (n) = bn1e (1) + bn2e (2) + ...+ bnne (n)
f(h (i) ,e (j) )=0, pentru 1 ≤ j

care are o solut¸ie unică deoarece determinantul său este Δi = 0.
Se arată u¸sor că vectorii h (1) ,...,h (n) astfel construit¸i sunt liniar independent¸i. Acum
să arătăm că B1 = {h (1) ,...,h (n) } esste baza în care matricea formei pătratice g este C =
(cij) =M n 2(K), cuaij =0, i = j ¸si cij =Δi−1/Δi, i = 1,n.
Avem
cij = f(h (i) ,h (j) )=f(h (i) ,bj1e (1) + bj2e (2) + ...+ bjje (j) )=
de unde folosind condit¸iile (4.25), găsim
= bj1f(h (i) ,e (1) )+bj2(h (i) ,e (2) )+...+ bjjf(h (i) ,e (j) ),
cij =0, dacă i = j ¸si cii = bii =Δi−1/Δi,i= 1,n.
Teorema este astfel demonstrată.
Exemplul 4.3.3. Utilizând metoda lui Jacobi să aflăm formele canonice pentru formele
pătratice din Exemplele 4.3.1 ¸si 4.3.2.
Matricea formei pătratice din Exemplul 4.3.1 este
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
2
1
2
1
2
1
⎞
2
⎟
0 ⎟
⎠
2 0 4
cu
Δ0 =1, Δ1 =2,
Δ2 =
2
1
2
1
2
1
=
7
4
¸si Δ3 = det A =3,
iar din (4.23) obt¸inem
g(x) = 1
2 y2 1 + 8
7 y2 2 + 7
12 y2 3.
Pentru forma pătratică din exemplul 4.3.2 utilizăm forma (4.20) ¸si avem
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
1 0 − 1
0 −2
2
−
0
3
−
2
0
1
2 −3
0
2
0
0
1
2
1
2
0
⎞
⎟
⎠
cu
Δ0 =1, Δ1 =1, Δ2 = −1, Δ3 = − 1
2 ¸si Δ4 = det A = 1
4
de unde, folosind (4.23), găsim
g(x) =z 2 1 − z 2 2 +2z 2 3 − 2z 2 4.
Observat¸ia 4.3.1 Pentru determinarea formei canonice a unei forme pătratice g se pot
utiliza ¸si valorile caracteristice (proprii) ale matricei A ata¸satei ei într-o bază. Dacă
λ1,λ2,...,λn sunt valorile caracteristice corespunzătoare lui A, atunci forma canonică este
g(x) =λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + ...+ λny 2 n
(v. [2]).
În studiul punctelor de extrem avem nevoie de semnul unei forme pătratice.
66

Vom considera acum o formă pătratică pesteunspat¸iuvectorial peste R.
Definit¸ia 4.3.3 Fie g : X → R o formă pătratică realăadusă laoformăcanonicăîntr-o bază.
Dacă în această formă canonică p coeficient¸ii sunt strict pozitivi, q sunt strict negativi iar
r = n − (p + q) sunt nuli, atunci tripletul (p, q, r) se nume¸ste signatura formei pătratice.
Se demonstrează (v. [2]) următorul rezultat:
Teorema 4.3.3 (inert¸iei). Signatura unei forme pătratice este invariantă la schimbarea
bazei.
Definit¸ia 4.3.4 O formă pătratică realăg : X → R se nume¸ste pozitiv definită respectiv
negativ definită dacă g(x) > 0 respectiv g(x) < 0, pentru orice x ∈ X, x = θ.
Forma g se nume¸ste semidefinită pozitiv sau semidefinită negativ după cumg(x) ≥ 0
sau g(x) ≤ 0, pentru orice x ∈ X. Forma g se nume¸ste nedefinită dacă există vectorii x (1) ∈ X
¸si x (2) ∈ X astfel încât g(x (1) ) > 0 ¸si g(x (2) ) < 0.
Teorema 4.3.4 (Sylvester). În condit¸iile Teoremei lui Jacobi, forma pătratică g : X → R
este pozitiv definită dacă ¸si numai dacă Δi ≥ 0, i = 1,n ¸si negativ definită dacă ¸si numai
dacă (−1) iΔi > 0, i = 1,n.
Demonstrat¸ie. Să considerăm că g este pozitiv definită. Arătăm mai întâi că Δi = 0,
i = 1,n. Săpresupunem prin obsurd că existăk∈{1, 2,...,n} pentru care Δk =0. Atunci
în determinantul Δk una din linii este o combinat¸ie liniară a celorlalte, adică existăscalarii α1,α2,...,αk astfel încât
(4.27)
α1a1j + α2a2j + ...+ αkakj =0, j = 1,k.
Dacă f este polara formei pătratice g, t¸inând seama că aij = f(e (i) ,e (j) ), i, j = 1,n,din
(4.27) avem
0=α1f(e (1) ,e (j) )+α2f(e (2) ,e (j) )+...+ αkf(e (k) ,e (j) )=
= f(α1e (1) + α2e (2) + ...+ αke (k) ,e (j) ), j = 1,k
Înmult¸ind corespunzător cu αj, i = 1,k, egalităt¸ile precedente ¸si însumându-le,
obt¸inem
f(α1e (1) + α2e (2) + ...+ αke (k) ,α1e (1) + α2e (2) + ...+ αke (k) )=0,
adică
g(α1e (1) + α2e (2) + ...αke (k) (4.28)
)=0.
Cum g este pozitiv definită deducem că (4.28) este posibilă numai dacă α1e (1) +
α2e (2) + ... + αke (k) = θ, ceea ce contrazice liniar independent¸a vectorială a bazei B =
{e (1) ,e (2) ,...,e (n) }. Prin urmare, presupunerea că ar exista un Δk = 0 este falsă ¸si deci
Δi = 0, i = 1,n.
Acum, folosind Teorema lui Jacobi, există obazăB1 = {h (1) ,h (2) ,...,h (n) } fat¸ă de care
n Δi−1
g(x) =
i=1
Cum g(x) > 0, pentru orice x nenul. în particular pentru (y1,...,yi,...,yn) =
(0,...,1,...,0), obt¸inem Δi−1/Δi > 0, i = 1,n. Deoarece Δ0 =1¸si Δ0/Δ1 > 0, avemΔ1 > 0 ¸si
din aproape în aproape obt¸inem Δi > 0, i = 1,n.
Reciproc, dacă Δi > 0, i = 1,n, atunci Δi−1/Δi > 0, i = 1,n,¸si
n Δi−1
g(x) = y 2 1 ≥ 0
Δi
i=1
cu egalitate numai dacă y1 = y2 = ...= yn =0,adicăx = θ, ceea ce ne arată că g este pozitiv
definită.
Dacă g este negativ definită atunci forma pătratică −g : X → R este pozitiv definită,
matricea ei fiind −A =(−aij) cu minorii diagonali Δ ′ i =(−1)iΔi. Deoarece −g este pozitiv
definită numai dacă Δ ′ i > 0 rezultă că g este negativ definită numai dacă (−1)iΔi > 0, i = 1,n.
67
Δi
y 2 i .

Corolarul 4.3.1 O formă pătratică realăpeunspat¸iu n–dimensional este pozitiv respectiv
negativ definită dacă ¸si numai dacă una din condit¸iile de mai jos este îndeplinită:
1 o . signatura ei este (n, 0, 0) respectiv (0,n,0);
2 o . toate valorile caracteristice ale matricei A ata¸sate formei într-o bază sunt strict pozitive
(strict negative).
Forma pătratică din Exemplul 4.3.1 este pozitiv definită deoarece signatura ei este
(3, 0, 0).
68

4.4 Testul Nr. 3 de verificare a cuno¸stint¸elor
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Transformare liniară;
b) Formă liniară;
c) Nucleul unui operator liniar;
d) Vector caracteristic;
e) Formă biliniară;
f) Formăpătratică;
g) Forma canonică a unei forme pătratice;
h) Signatura formei pătratice.
2. Arătat¸i că următoarea aplicat¸ie este o transformare liniară: f : R 3 → R 2 , f(x1,x2,x3) =
(2x1 + x2, 4x3).
3. Fie aplicat¸iile f : R 2 → R 2 , f(x1,x2) =(2x1 −x2, 3x2) ¸si g : R 2 → R 2 , g(x1,x2) =(x2 −x1, 4x1).
Arătat¸i că f ¸si g sunt operatori liniari, apoi determinat¸i f ◦ g ¸si g ◦ f ¸si verificat¸i că sunt
operatori liniari.
4. Fie transformarea liniară f : R3 → R3care în baza canonică estedatădematricea ⎛
5 −3 2
⎞
A = ⎝ 6 −4 4 ⎠ .
4 −4 5
Găsit¸i valorile ¸si vectorii caracteristici ata¸sat¸i transformării.
5. Fie transformarea liniară T : R3 → R3cu exprimarea în baza B dată de matricea
⎛
7
A = ⎝ 10
−12
−19
6
10
⎞
⎠ .
12 −24 13
Arătat¸i că există o bază B ′ în R 3 fat¸ă de care matricea transformării T are forma
diagonală.
6. Diagonalizat¸i matricea
⎛
A = ⎝
4 −2 2
−5 7 −5
−6 6 −4
7. Să se aducă la forma canonică, cu ajutorul metodei lui Gauss, forma pătratică:
⎞
⎠ .
f(x) =x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − 2x 2 4 − 2x1x2 +2x1x3 − 2x1x4 +2x2x3 − 4x2x4.
8. Să se aducă la forma canonică, cu ajutorul metodei lui Gauss, forma pătratică:
f(x) =x1x2 +3x1x3 +5x2x3.
9. Să se aducă la forma canonică, cu ajutorul metodei lui Jacobi, forma pătratică:
f(x) =x 2 1 +2x 2 2 +3x 2 3 +3x 2 4 − 2x2x3 − 2x1x3 +2x1x4 +6x2x4.
10. Să se aducă la forma canonică, cu ajutorul metodei lui Jacobi, forma pătratică:
f(x) =x 2 1 +4x1x2 +2x1x4 +3x 2 2 − 2x2x3 +2x2x4 +2x 2 3 − 4x3x4 − x 2 4.
69

Indicat¸ii ¸si răspunsuri
Testul 3
2. Se verifică condit¸ia f(αx + βy) =α · f(x)+β · f(y) (∀) α, β ∈ R ¸si (∀) x, y ∈ R 3 .
3. Se solut¸ionează analog cu problema precedentă.
4. Se obt¸in valorile caracteristici λ1 =1, λ2 =2, λ3 =3¸si vectorii caracteristice v ′ 1 =
(a, 2a, a), a ∈ R cu reprezentatul v1 =(1, 2, 1); v ′ 2 =(a, a, 0), a ∈ R cu reprezentantul
v2 =(1, 1, 0); v ′ 3 =(a, 2a, 3a), a ∈ R cu reprezentantul v3 =(1, 2, 2).
5. Se obt¸in valorile caracteristice λ1 = −1, λ2 = λ3 =1¸si vectorii caracteristici v1 =(3, 5, 6),
v2 =(2, 1, 0) ¸si v3 =(−1, 0, 1). Apoisearatăcă v1,v2,v3 sunt liniar independent¸i. Deoarece
din R3 ⎛
⎞
−1 0 0
=3se obt¸ine {v1,v2,v3} baza căutată iar matricea ata¸sată este⎝
0 1 0 ⎠.
0 0 1
6. Se determină valorile caracteristice λ1 =3, λ2 = λ3 =2, vectorii caracteristici v1 =
(2, −5, −6), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 1, 0) care se arată căsunt liniar indepedent¸i. Deci
{v1,v2,v3} bază în R3 ⎛ ⎞
3 0 0
¸si matricea transformării are forma diagonală ⎝ 0 2 0 ⎠.
0 0 2
7. Forma canonică estef(y) =y 2 1 − 3y 2 2 +3y 2 3.
, y2 =
2
x1 − x2
, y3 = x3 ¸si obt¸inem f(y) =y
2
2 1 − y2 2 +
8y1y3 − 2y2y3. Apoi aplicând metoda lui Gauss obt¸inem forma canonică:
8. Folosim transformarea: y1 = x1 + x2
f(z) =z 2 1 − z 2 2 − 15z 2 3.
9. Avem Δ0 =1, Δ1 =1, Δ2 =2, Δ3 =3, Δ4 = −20, deci forma canonică:
f(y) =y 2 1 + 1
2 y2 2 + 2
3 y2 3 − 3
20 y2 4.
10. Analog cu solut¸ia problemei precedente se obt¸ine forma canonică:
f(y) =y 2 1 − y 2 2 + 1
3 y2 3 − 1
4 y2 4.
70

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul I,
Editura ULB, Sibiu, 2001.
[2] Cruceanu, V., Elemente de algebră liniară ¸si geometrie, Editura Didactică ¸si pedagogică,
Bucure¸sti, 1973.
71

Capitolul 5
Elemente de programare liniară
Obiective: Scopul acestui capitol este de a pune la dispozit¸ia student¸ilor (viitorii
economi¸sti) a unuia dintre cele mai utile modelări matematice cu aplicat¸ii economice,
împreună cu algoritmul de rezolvare al acestui model.
Rezumat: În acest capitol se vor prezenta not¸iunile fundamentale legate de programarea
matematică cu accent pe programarea liniară ¸si în special a algoritmului simplex
pentru rezolvarea problemelor de programare liniară.
Cont¸inutul capitolului:
1. Obiectul programării matematice
2. Not¸iuni generale relative la o problemă de programare liniară
3. Algoritmul simplex
4. Cazuri speciale într-o problemă de programare liniară
5. Rezolvarea problemei generale de programare liniară
6. Dualitatea în problemele de programare liniară
7. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
8. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: programare matematică, programare liniară, solut¸ie posibilă,
solut¸iedebază, solut¸ie optimă, algoritmul simplex, problema duală.
5.1 Obiectul programării matematice
Am văzut în Capitolul I că aplicarea conceptelor matematice în studiul proceselor
economice a căpătat o dezvoltare deosebită, prin rezolvarea unui număr tot mai mare de
probleme. Astăzi, problemele de product¸ie, de planificare sau de proiectare se cer rezolvate
nu la întâmplare, ci a¸sa fel încât solut¸iile obt¸inute să fie corespunzătoare unui anumit scop.
De exemplu, realizarea unui proces de product¸ie să sefacă cu cheltuieli cât mai mici ¸si cu
venit cât mai mare.
Organizarea ¸stiint¸ifică a proceselor economice, în scopul luării unei decizii con¸stiente,
în raport cu t¸elurile urmărite ¸si în urma unei analize a corelat¸iilor dintre diferit¸iifactorice
intervin, constituie obiectul a ceea ce se nume¸ste programare matematică.
În general, problema programării desfă¸surării unor fenomene economice este o problemă
complexă ¸si vastă, pentru rezolvarea cărora matematica oferă diverse metode din
multitudinea de ramuri, ca: aritmetica, algebra, geometria, analiza matematică, calculul
probabilităt¸ilor, analiza funct¸ională, ecuat¸ii diferent¸iale, ecuat¸iiintegrale,etc.
Forma generală a unei probleme de programare matematică (v. cap.I, §1.2 ¸si §1.3)
cere să se determine valorile variabilelor xj, j = 1,n, astfel încât ele să satisfacă restrict¸iile
(5.1)
gk(x1,...,xn) ≥ 0, k = 1,m,
iar funct¸ia z = f(x1,x2,...,xn), numită funct¸ia obiectiv (scop, eficient¸ă), să iavaloareaoptimă
(maximă, respectiv minimă).
72

Deseori, pe lângă restrict¸iile (5.1), se mai adaugă ¸si condit¸iile de nenegativitate xj ≥ 0,
j = 1,n. Astfel că modelul matematic al unei probleme de programare arată astfel:
(5.2)
(optim)z = f(x1,...,xn)
gk(x1,x2,...,xn) ≥ 0, k = 1,m
xj ≥ 0, j = 1,n.
Clasificarea problemelor de programare matematică se face după forma funct¸iilor f ¸si
gk, natura necunoscutelor xj, j = 1,n ¸si respectiv, natura coeficient¸ilor necunoscutelor în f
¸si gk, k = 1,m.
Dacă funct¸iile f ¸si gk, k = 1,m, sunt forme liniare, atunci problema de programare are
denumirea consacrată de problemă de programare liniară, prescurtat (P.L).
Când funct¸ia z, sau unele restrict¸ii, sunt funct¸ii neliniare, problema poartă denumirea
de problemă de programare neliniară. De exemplu, dacă f este o formă pătratică, atunci
spunem că avem o problemă de programare pătratică.
Dacă necunoscutele x1,...,xm se caută în numere întregi, spunem că avem programare
întreagă (în numere întregi).
Dacă tot¸i coeficient¸ii necunoscutelor xj, j = 1,n, în f ¸si gk, k = 1,m,suntconstant¸i,
atunci se zice că avem o problemă de programare deterministă. În caz că cel put¸in unul din
ace¸sti coeficient¸i este variabil (depinzând de parametrii), avem programare parametrică.
Dacă cel put¸in unul din ace¸sti coeficient¸iesteovariabilă aleatoare, atunci spunem că avem
programare aleatoare sau stochastică.
În acest capitol ne vom ocupa de problema programării liniare (P.L.). Programarea
liniară esteoramură unitară a matematicilor aplicate în economie, având metode proprii
¸si generale de rezolvare a problemelor respective.
Constituirea obiectului de programare liniară s-a datorat faptului că în viat¸a social–
economică există multe aplicat¸ii care conduc la probleme liniare de programare (v. §1.3).
Rezolvarea problemelor de programare liniară poate fi făcută folosind diferite metode,
unele particulare (metoda repartizării, metoda grafică), altele generale (metoda simplex).
Primele probleme de programare liniară au fost formulate de L.V.Kantorovici (1939)
¸si de F.L.Hitchcock (1941). Programarea liniară se na¸ste însă în anii de după cel de-al
doilea război mondial, o dată cu formularea ei generală în 1947, de către G.B.Dantzig, care
a propus, totodată ¸si un procedeu eficient de rezolvare metoda simplex.
Astăzi, se poate vorbi despre un mod unitar de abordare al tuturor problemelor de
programare liniară. Diversele metode de rezolvare existente au ca t¸el sporirea rapidităt¸ii
în calcule, având în vedere în special utilizarea calculatoarelor.
5.2 Not¸iuni generale relative la o problemă de programare
liniară
Problema de P.L., sub forma cea mai simplă pe care o vom numi forma standard sau
forma algebrică, este dată prin modelul matematic
(5.3)
(5.4)
(optim)f(x) =c1x1 + c2x2 + ...+ cnxn
⎧
⎪⎨
⎪⎩
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
..............................
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
(5.5)
xj ≥ 0, j = 1,n,
unde (5.3) este funct¸ia de scop, (5.4) sunt restrict¸iile, iar (5.5) condit¸iile de nenegativitate.
Sistemul de restrict¸ii (5.4) reprezintă concordant¸a internă a unui proces economic.
Coeficient¸ii aij, i = 1,m, j = 1,n, sunt coeficient¸i tehnici constant¸i, planificat¸i sau determinat¸i
73

în mod statistic. Necunoscutele xj, j = 1,n,suntmărimi care trebuie găsite, iar termenii
liberi bi, i = 1,m,suntmărimi constante date, determinate de condit¸iile locale ale procesului
economic. numit¸i coeficient¸i de restrict¸ie ai programului dat.
Dacă sistemul liniar (5.4) de ecuat¸ii de condit¸ii (restrict¸ii) este compatibil determinat,
atunci din punct de vedere economic avem un proces economic cu concordant¸ă internă
rigidă. În acest caz nu mai are rost să se pună problema determinării valorii optime pentru
funct¸ia scop deoarece ea are o valoare unică bine determinată, corespunzătoare solut¸iei
sistemului (5.4).
Când sistemul liniar (5.4) de ecuat¸ii de restrict¸ii este compatibil nedeterminat, atunci
concordant¸a internă a procesului economic este elastică, deoarece oferă posibilitatea alegerii
dintr-o infinitate de solut¸ii ale sitemului numai pe acelea care fac funct¸ia de scop optimă.
Utilizând puternicul aparat al matematicii, problema de programare liniară (5.3)–
(5.5) poate fi prezentată ¸si în alte moduri.
Fie matricele
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
A =
⎜
⎝
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ,B = ⎜
⎝
c =(c1,...,cn),θ =
⎛
⎜
⎝
b1
b2
.
bm
0
.
0
⎞
⎟
⎠
⎟
⎠ ,x=
⎜
⎝
Cu aceste notat¸ii, problema de programare liniară (5.3)–(5.5) ia forma matriceală:
⎧
⎨
⎩
(optim)f(x) =cx
Ax = b
x ≥ θ
Dacă notăm cu Pj, j = 1,n, vectorii ale căror componente sunt elemente corespunzătoare
coloanelor matricei A, atunci problema de programare liniară (5.3)–(5.5) ia
forma ⎧
⎨ (optim)f(x) =cx
⎩
x1P1 + x2P2 + ...+ xnPn = b
x ≥ θ
numită forma vectorială a problemei de programare liniară.
Definit¸ia 5.2.1 Se nume¸ste solut¸ie posibilă a problemei de programare liniară standard orice
vector coloană x (0) ≥ θ, care verifică sistemul de restrict¸ii, adică Ax (0) = b.
Pe baza celor demonstrate în §3.5, rezultă că mult¸imea tuturor solut¸iilor posibile
pentru o problemă de programare liniară esteconvexă.
Definit¸ia 5.2.2 Se nume¸ste solut¸ie de bază pentru o problemă de programare liniară orice
solut¸ie posibilă, care are cel mult m componente strict pozitive. Ea se obt¸ine dintr-o solut¸ie
posibilă, când necunoscutelor secundare se atribuie valoarea zero.
Definit¸ia 5.2.3 Osolut¸iedebază este numită nedegenerată, dacă areexactm componente
strict pozitive. În caz contrar ea este numită solut¸ia de bază degenerată.
Definit¸ia 5.2.4 Solut¸ia posibilă x (1) este numită mai bună decât solut¸ia posibilă x (2) , dacă
f(x (1) ) ≤ f(x (2) ) când pentru f se cere minimul, respectiv f(x (1) ) ≥ f(x (2) ),când pentru f se
cere maximul.
Definit¸ia 5.2.5 Osolut¸ie de bază x (0) este solut¸ie optimă dacă f(x (0) ) este valoarea optimă
pentru f.
74
x1
x2
.
xn
⎟
⎠ ,

Definit¸ia 5.2.6 Dacă avem k solut¸ii optime x (1) ,...,x (k) , atunci solut¸ia generală este
combinat¸ia liniară convexă a solut¸iilor optime, adică
cu
k
αi =1, αi ∈ [0, ∞), i = 1,k.
i=1
x =
k
αix (i) ,
i=1
Observat¸ia 5.2.1 Într-o problemă de programare liniară putem lucra considerând optimul
drept minim deoarece dacă se cere maximul, atunci din relat¸ia max f = − min(−f) se deduce
că este suficient să se determine min(−f), iar apoi, cu semn schimbat, vom avea maximul
lui f.
Observat¸ia 5.2.2 Într-o problemă economică concretă, de obicei, restrict¸iile problemei de
programare liniară sunt inecuat¸ii, caz în care spunem că avem o problemă generală de
programare liniară. Modelul matematic al acesteia, sub forma matricială, arată astfel:
5.3 Algoritmul simplex
(optim)f(x) =cx
⎧
⎪⎨
⎪⎩
A1x = b (1)
A2x ≥ b (2)
A3x ≤ b (3)
x ≥ θ.
Metoda generală de rezolvare a problemelor de programare liniară este cunoscută în
literatura de specialitate sub numele de metoda simplex sau algoritmul simplex. Ea este
datorată lui G.B.Dantzig, care a publicat primele lucrări în 1947. Ulterior s-au dat diverse
variante îmbunătăt¸ite ale metodei. Ea are la bază metoda eliminării complete de rezolvare
a unui sistem de ecuat¸ii liniare, desigur adaptată scopului urmărit: aflarea solut¸iilor cu
componente nenegative, respectiv a solut¸iei (sau solut¸iilor) pentru care funct¸ia liniară de
scop f are valoarea optimă.
Pe baza Observat¸iei 5.2.1 este suficient să considerăm problema de P.L. standard.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
minf =
n
j=1
cjxj
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = b2
..............................
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm
xj ≥ 0, j = 1,n.
Ideea metodei simplex constă în a găsirea mai întâi a unei solut¸ii de bază, apoi de un
procedeu prin care din aceasta se obt¸in solut¸ii de bază mai bune, până la aflarea solut¸iilor
optime.
Pentru determinarea unei solut¸ii de bază vom utiliza metoda eliminării complete
(Gauss–Jordan).
Utilizând metoda elementului pivot ¸si presupunând că am lucrat pe primele m coloane
75

cu m ≤ n, obt¸inem
⎛
⎜
(A|b) ∼ ⎜
⎝
1 0 ... 0 α1,m+1 ... α1n β1
0 1 ... 0 α2,m+1 ... α2n β2
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 αi,m+1 ... αin βi
... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 1 αm,m+1 ... αmn βm
În ipoteza că βi ≥ 0, i = 1,m (în caz contrar se aleg alte necunoscute principale), vom
putea considera solut¸ia de bază
adică
Pentru această solut¸ie x (1) avem
x1 = β1,...,xm = βm,xm+1 =0,...,xn =0
t x (1) =(β1,β2,...,βm, 0,...,0).
f(x (1) )=
m
cjβj.
Acum vrem să trecemdelasolut¸ia de bază x (1) la o nouă solut¸ie de bază x (2) care să
fie mai bună. Să admitemcăαi,m+1 = 0,adicăpoate fi considerat ca element pivot. Atunci
putem înlocui necunoscuta principală xi
obt¸inem
prin xm+1. Aplicând metoda elementului pivot,
⎛
⎜
(A|b) ∼ ⎜
⎝
1 0 ... − α1,m+1
... 0 0 γ1,m+2 ... γ1,n αi,m+1
β1 − βiα1,m+1
0 1 ... −
αi,m+1
α2,m+1
... 0 0 γ2,m+2 ... γ2,n αi,m+1
β2 - βiα2,m+1
...........................................
0 0 ... −
αi,m+1
...
1 ... 0 1 αi,m+1
αi,m+2 αi,n
...
αi,m+1 αi,m+1
...........................................
βi
αi,m+1
...
0 0 ... − αm,m+1
αi,m+1
... 1 0 γm,m+2 ... γm,n βm − βiαm,m+1
⎞
⎟
⎠
αi,m+1
(5.6)
Noua solut¸ie x (2) are componentele
x 1 1 = β1 − βiα1,m+1
αi,m+1
xi+1 = βi+1 − βiαi+1,m+1
αi,m+1
j=1
,...,xi−1 = βi−1 − βiαi−1,m+1
,xi =0,
αi,m+1
,...,xm = βm − βiαm,m+1
,
αi,m+1
xm+1 = βi
,xm+2 =0,...,xn =0.
αi,m+1
Pentru ca x (2) săfiesolut¸iedebază trebuie ca
¸si respectiv:
(5.7)
(5.8)
Cum βi ≥ 0, din (5.6) găsim
βj − βiαj,m+1
αi,m+1
βi
αi,m+1
≥ 0
≥ 0, j = 1,m,j = i,
αi,m+1 > 0.
76
⎞
⎟
⎠

Inegalităt¸ile (5.7) pentru care αj,m+1 ≤ 0 sunt evidente. Pentru αj,m+1 > 0, din (5.7)
găsim
care ne arată că
(5.9)
este minimul rapoartelor
βj
βj
αj,m+1
≥ βi
,
αi,m+1
λ = βi
αi,m+1
, cu αj,m+1 > 0. A¸sadar, vom obt¸ine prin trecerea de la
αi,m+1
x (1) la x (2) onouăsolut¸ie de bază dacăelementul pivot este pozitiv, iar pivotul va fi acela
care furnizează cel mai mic raport λ, când termenii liberi se împart la elementele pozitive
corespunzătoare de pe coloana pe care lucrăm. În limbaj vectorial, se mai spune că am
găsit condit¸ia prin care precizăm vectorul care iese din bază.
Acum să vedem în ce condit¸ii x (2) este o solut¸ie de bază mai bună cax (1) .
Avem
f(x (2)
)=c1
+ci+1
Dacă notăm
βi+1 − βiαi+1
αi,m+1
= f(x (1) )+ βi
αi,m+1
β1 − βiα1,m+1
αi,m+1
+ ...+ ci−1 βi−1 − βiαi−1,m+1
+
αi,m+1
+ ...+ cm βm − βiαm,m+1
αi,m+1
+ cm+1
βi
αi,m+1
[cm+2 − (c1α1,m+1 + c2α2,m+1 + ...+ ciαi,m+1 + ...+
cmαm,m+1)] .
zm+1 = c1α1,m+1 + c2α2,m+1 + ...+ ciαi,m+1 + ...+ cmαm,m+1
atunci putem scrie
f(x (2) ) − f(x (1) )=λ(cm+1 − zm+1)
Cum λ>0, rezultăcăf(x (2) )

Pasul 5. Se scrie solut¸ia optimă: variabilele principale (ale căror vectori coloană cont¸in numai
o cifră de 1 restul fiind zero) au valorile corespunzătoare din coloana termenilor liberi,
variabilele secundare au toate valoarea zero, iar min f = 〈CB,SB〉, unde SB este solut¸ia de
bază.
De obicei, pentru lucrul manual, pa¸sii algoritmului simplex se efectuează într-un tabel.
Acest tabel reprezintă, de fapt, transformările de la metoda eliminării complete aplicată la
rezolvarea sistemului de restrict¸ii, dar completate cu o primă linie formată din coeficient¸ii
funct¸iei scop f ¸si cu încă două coloane: CB – a coeficient¸ilor bazei, respectiv cu baza B.
În momentul în care s-a ajuns la o solut¸ie de bază tabelul se completează cudouă linii
pentru calcularea valorilor lui zj, respectivΔj. Un astfel de tabel are forma
P j
−→
←−
e i
P j
−→
←−
e i
c c1 c2 c3 ... cn
CB B b P1 P2 P3 ... Pn
e1 b1 a11 a12 a13 ... a1n
e2 b2 a21 a22 a23 ... a2n
.
.
.
.
. aij
em bm am1 am2 am3 ... amn
zj
Δj
f
-
semnifică faptul că vectorul ei pleacă din bază, în locul lui intrând vectorul Pj. Să
ilustrăm acestea printr-un exemplu.
Exemplul 5.3.1. Să se rezolve problema de P.L.
cu restrict¸iile ⎧
⎨
⎩
Avem
P 1
−→
←−
e 1
P 2
−→
←−
e 2
P 4
−→
←−
e 3
(min)f(x) =x1 +2x2 + x3 +3x4
2x1 + x2 − x3 +2x4 =6
x1 + x2 +2x3 =5
−x1 +2x2 + x3 + x4 =8
xj ≥ 0,j = 1, 4.
c 1 2 1 3
CB B b P1 P2 P3 P4
e1 6 2 1 -1 2
P 3
−→
←−
P 1
e2 5 1 1 2 0
e3 8 -1 2 1 1
1 P1 3 1 1
2 − 1
2 1
e2 2 0 1
2
5
2 -1
1
e3
P1
11
1
0
1
5
2
0
1
2
-3
2
2
2 P2 4 0 1 5 -2
e3 1 0 0 -12 7
1 P1
2 P2
3 P4
5
7 1 0 3
7
30
7
1
0 1 11
2 0 Prima
7 0 0 − 12
7 1 solut¸ie
68
7 1 2 − 11
7 3 de bază
0
zj
Δj – 0 0 13
7
78
0
.

Cum Δj ≥ 0, j = 1, 4, rezultăcăsolut¸ia de bază găsită este¸si optimă: t xmin = 5
¸si min f = 68
7 .
7
, 30
7
1 , 0, 7
Observat¸ia 5.3.1 Dacă printre vectorii Pj avem vectori unitari din baza canonică, atunci
ace¸stia pot fi luat¸i direct în baza B.
Exemplul 5.3.2. Să se rezolve problema de P.L.
(max)f(x) =−3x1 +7x2 − 1
2 x3 − 5x4 − 3x5
⎧
⎨ 2x1 + x2 + x3 − x4 + x6 =2
⎩
−x1 +2x2 − 2x3 − 2x4 + x7
3x1 − x2 + x3 + x5
=3
=9
xj ≥ 0, j = 1, 7
Cerint¸a de maxim poate fi înlocuită prin cea de minim (vezi Observat¸ia 5.2.1), considerând
(min)(−f(x)) = 3x1 − 7x2 + 1
2 x3 +5x4 +3x5
Se mai observă căvectorii P5, P6 ¸si P7 sunt din baza canonică, deci, pot fi considerat¸i
direct în baza B.
Avem
P 2
−→
←−
P 7
P 3
−→
←−
P 1
P 1
−→
←−
P 6
c 3 -7 1
2 5 3 0 0
CB B b P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7
0 P6 2 2 1 1 -1 0 1 0
0 P7 3 -1 2 -2 -2 0 0 1
3 P5 9 3 -1 1 0 1 0 0
zj 27 9 -3 3 0 3 0 0
Δj – -6 -4 − 5
2 5 0 0 0
3 P1 1 1 1
2
0 P7 4 0 5
2
1
2
− 3
2
− 1
1
2 0 2
5
1
− 2 0 2
3 P5 6 0 − 5
2 − 1 3
2 2 1 − 3
2 0
zj 21 3 − 13
2 0 3 3 -3 0
Δj – 0 − 1
3 P1
-7 P2
2
0
1
1
2 2 0 3 0
1
4
2
5 1 0 5 0 0 5
8
5 0 1 − 3
1
5 -1 0 5
3 P5 10 0 0 -2 -1 1 -1 1
97
3
zj 5 3 -7 5 4 3 − 16
5
Δj – 0 0 − 1
2
1
2
P3
-7 P2
3 P5
zj
1
4
7
4
21
2
155
8
− 1
5
2 − 5
16
10 1 0 5 5
5
1
4 0 1 0 0 2 − 1
4
3
1 1
4 1 0 -1 0 2 4
5
1
2 0 0 -1 1 0 2
23
1
8 -7 2 4 3 − 13
4
1
13
Δj – 8 0 0 1 0 4
79
2
5
3 − 8
3
8
Prima
solut¸ie
de bază
Adoua
solut¸ie
de bază
Atreia
solut¸ie
de bază
Apatra
solut¸ie
de bază

Cum tot¸i Δj ≥ 0. j = 1, 7, rezultă că am găsit solut¸ia optimă, dată de t x =
7 1 21 0, 4 , 4 , 0, 2 , 0, 0 , iat min(−f(x)) = 155/8. Rezultă căproblema de P.L. dată are aceea¸si
solut¸iedeoptim,iar(max)f(x) =− min(−f(x)) = −155/8.
Observat¸ia 5.3.2 O problemă de P.L. de maxim se poate rezolva ¸si direct, fără a o mai
reduce la una de minim, numai că atunci vom avea solut¸ia optimă când Δj ≤ 0, j = 1,n.
Dacă avem ¸si Δj > 0, atunci vom alege pe cea mai mare Δj > 0, aceasta determinând
vectorul care intră în bază. Vectorul care iese din bază sestabile¸ste ca ¸si la problema de
P.L. de minim.
Observat¸ia 5.3.3 Dacăîn unele ecuat¸ii de restrict¸ii avem termeni liberi negativi, respectivele
ecuat¸ii pot fi înmult¸ite cu −1.
5.4 Cazuri speciale într-o problemă deP.L.
În acest paragraf vom analiza câteva situat¸ii speciale care pot apărea într-o problemă
de P.L.
5.4.1 Solut¸ii multiple
În orice tabel simplex toate diferent¸ele Δj corespunzătoare vectorilor bazei (necunoscutelor
principale) sunt nuli. Dacă în tabelul simplex, care cont¸ine solut¸ia optimă, numărul
zerourilor din linia diferent¸elor Δj este mai mare ca m (numărul vectorilor unitari), atunci
problema de P.L. poate avea mai multe solut¸ii optime. Pentru a găsi celelalte solut¸ii optime
se introduc în bază, dacă este posibil, vectorii Pj pentru care Δj =0. Numărul maxim
de solut¸ii optime este C m k , unde k este numărul de zerouri din linia diferent¸elor Δj. După
obt¸inerea tuturor solut¸iilor optime se scrie solut¸ia optimă generală ca¸si o combinat¸ie liniară
convexă (vezi Definit¸ia 5.2.6).
Exemplul 5.4.1. Să se rezolve problema de P.L.
(min)f(x) =3x1 +2x2 +2x3 + x4
⎧
⎨
⎩
x1 +x2 +x3 +x4 = 100
−x1 −x2 +x3 +x4 =0
x2 +x4 =10
xj ≥ 0, i = 1, 4.
Rezolvarea problemei de P.L. cu algoritmul simplex este dată în tabelul următor
P 2
−→
←−
e 3
P 3
−→
←−
e 2
P 1
−→
←−
e 1
c 3 2 2 1
CB B b P1 P2 P3 P4
e1 100 1 1 1 1
e2 0 -1 -1 1 1
e3 10 0 1 0 1
e1 90 1 0 1 0
e2 10 -1 0 1 2
2 P2 10 0 1 0 1
e1 80 2 0 0 -2
2 P3 10 -1 0 1 2
2 P2 10 0 1 0 1
3 P1 40 1 0 0 -1
2 P3 50 0 0 1 1 Prima solut¸iedebază
2 P2 10 0 1 0 1
zj 240 3 2 2 1
Δj – 0 0 0 0
80

Cum toate diferent¸ele Δj ≥ 0 rezultă căavemsolut¸ia optimă
x (1) = (40, 10, 50, 0), cu (min)f(x) = 240.
Cum avem patru zerouri pe linia lui Δj este posibil să obt¸inem ¸si o altă solut¸ie optimă,
introducând pe P4 în bază. Cum λminim se obt¸ine pentru P2, vectorul P4 va intra în locul
lui P2. Tabelul simplex pentru problema P.L. se continuă astfel:
adică
Se obt¸ine a doua solut¸ie optimă
c 3 2 2 1
CB B b P1 P2 P3 P4
3 P1 50 1 1 0 0
2 P3 40 0 -1 1 0
1 P4 10 0 1 0 1
zj 240 3 2 2 1
Δj – 0 0 0 0
x (2) = (50, 0, 40, 10), cu (min)f(x) = 240.
Se observă căaltesolut¸ii optime nu mai există.
Solut¸ia generală a problemei va fi:
x = αx (1) + βx (2) , unde α, β ≥ 0,α+ β =1,
x = (40α +50β,10α, 50α +40β,10β), (min)f(x) = 240.
Observat¸ia 5.4.1 În general, solut¸ia optimă generală nu este ¸si solut¸ie de bază, numărul
componentelor sale nenule fiind mai mare decât m.
5.4.2 Solut¸ie infinită
Fie o problemă de P.L. de minim. Există situat¸ii în care avem o diferent¸ă Δj < 0,
dar componentele vectorului Pj sunt toate negative sau 0, ceea ce face imposibilă alegerea
elementului pivot. Vom arăta că în această situat¸ie funct¸ia de eficient¸ă are un minim infinit,
adică valoarea ei poate fi făcută oricât de mică.
Considerăm tabelul simplex
c c1 c2 ... cm ... cj ... cn
CB B b P1 P2 ... Pm ... Pj ... Pn
c1 P1 β1 1 0 ... 0 ... α1j ... α1n
c2 P2 β2 0 1 ... 0 ... α2j ... α2n
.
.
.
.
.
.
cm Pm βm 0 0 ... 1 ... αmj ... αmn
zj zb c1 c2 ... cm ... zj ... zn
Δj – 0 0 ... 0 ... Δj ... Δn
cu solut¸ia de bază x (1) =(β1,...,βm, 0,...,0), Δj < 0 ¸si αij < 0, i = 1,m.
Atribuim necunoscutei xj valoare M>0 (oricât de mare ), adică xj = M, iar celorlalte
necunoscute secundare le atribuim valoare 0, adică xm+1 =0,...,xj−1 =0, xj+1 =0,...,xn =0.
Obt¸inem astfel solut¸ia posibilă
x (2) =(β1 − α1jM,βx − α2jM,...,βm − αmjM,0,...,M,0,...,0)
Valoarea funct¸iei de scop f pentru x (2) este:
f(x (2) )=c1(β1 − α1jM)+c2(β2 − α2jM)+...+ cm(βm − αmjM)+cjM =
81
.
.
.
.
.

= f(x (1) )+M[cj − (c1α1j + c2α2j + ...+ cmαmj)] = f(x (1) )+MΔj.
Cum Δj < 0 ¸si M →∞,rezultăcă f(x (2) ) →−∞, ceea ce trebuia demonstrat.
Pentru o astfel de problemă de P.L. sse spune că eaaresolut¸ie (optimă) infinită.
Exemplul 5.4.2. Să se rezolve problema de P.L.:
(min)f(x) =−2x1 + x2 − 2x3 − 3x4
⎧
⎨
⎩
4x1 +x2 −3x4 =10
2x1 −x2 +x3 =6
2x1 −x2 +3x4 =6
xj ≥ 0, j = 1, 4.
Utilizând algoritmul simplex obt¸inem tabelul:
P 4
−→
←−
e 3
P1
−→
←−
e1
c -2 1 -2 -3
CB B b P1 P2 P3 P4
e1 10 4 1 0 -3
-2 P3 6 2 -1 1 0
e3 6 2 -1 0 3
e1 16 6 0 0 0
-2
-3
-2
-2
-3
P3
P4
P1
P3
P4
6
4
8
3
2
3
22
3
2
2
3
1
0
0
-1
1 − 3
0
-1
−
1
0
0
1
0
1
0
0
1
zj −
3 0 1
86
Δj
3
–
-2
0
3
-2
-2
0
-3
0
Deoarece Δ2 = −2 < 0, iarα12 =0, α22 = −1 < 0, α32 = − 1
3
Într-adevăr, luând x2 = M>0, x1 = 8
3 , x3 = 2
3 + M, x4 = 22
3
f(x) =− 86
3
¸si astfel când M →∞,obt¸inem f →−∞.
− 2M
5.4.3 Degenerare în problemele de programare liniară
Considerăm problema de P.L. standard
(min)f(x) =cx
< 0, rezultăcă (min)f = −∞.
+ M, avem
Ax = b
x ≥ θ.
Aceasta, conform Definit¸iei 5.2.3, va avea o solut¸ie degenerată dacănumărul componentelor
sale strict pozitive este mai mic decât m, adicăcel put¸in o necunoscută principală
are valoarea zero (în vectorul coloană b există zerouri). Situat¸ia de degenerare într-o problemă
de P.L., apare, fie la început, fie pe parcurs, când la introducerea în bază a unui vector
există mai multe elemente pozitive care furnizează acela¸si raport minim. În această ultimă
situat¸ie apare a¸sa numitul fenomen de ciclare. Pentru a evita acest fapt, elementul pivot, se
demonstrează, va fi ales acela care furnizează cea mai mică linie în ordonarea lexicografică.
Definit¸ia 5.4.1 Linia (b1; x1,x2,...,xn) este mai mică în ordine lexicografică decât linia
(b2; y1,y2,...,yn) dacă b1

Exemplul 5.4.3. Să se rezolve problema de P.L. standard:
(max)f(x) =x1 +4x2 +5x3 +2x4
⎧
⎨
⎩
Înlocuim cerint¸a de maxim prin
3x1 +x2 +x3 +x4 =6
x1 +2x2 +x3 +x4 =6
2x1 +x2 +3x3 =7
xj ≥ 0, j = 1, 4.
(min)(−f(x)) = −x1 − 4x2 − 5x3 − 2x4.
Acum, utilizând algoritmul simplex, avem:
P 2
−→
←−
e 2
P 1
−→
←−
e 1
P 3
−→
←−
e 2
c -1 -4 -5 -2
CB B b P1 P2 P3 P4
e1 6 3 1 1 1
e2 6 1 2 1 1
e3 7 2 1 3 0
e1 3 5
2 0 1
2
1
2
-4 P2
e3
3
4
1
2
3
2
1
0
1
2
5
2
1
2
− 1
-1
-4
P1
P2
6
5
12
5
1
0
0
1
1
5
2
5
2
1
5
2
5
e3
11
5 0 0 11
5 − 4
5
-1
-4
P1
P2
1
2
1
0
0
1
0
0
3
11
6
11
-5 P3 1 0 0 1 − 4
11
zj -14 -1 -4 -5 − 7
11
Δj – 0 0 0 − 15
11
-2 P4 3
-4 P2 0 -2 1 0 0
7
-5 P3
11
11
3 0 0 1
zj
3
-19
4
3
-4
0
-4
1
-5
0
-2
Δj – 3 0 0 0
Prima solut¸ie de bază
La tabelul care a dat prima solut¸ie de bază avemΔ4 = − 15
< 0,iar raportul minim
11
λ = 11
3 este obt¸inut ¸si pe linia lui P1 ¸si pe linia lui P2. Cum b2 =1

Astfel, pentru o restrict¸ie de forma
ai1x1 + ai2x2 + ...+ ainxn ≤ bi
considerăm necunoscuta de compensare xn+1 ≥ 0 ¸si transformăm inecuat¸ia în ecuat¸ie astfel
Pentru o restrict¸ie de forma
ai1x1 + ai2x2 + ...+ ainxn + xn+1 = bi
ak1x1 + ak2x2 + ...+ aknxn ≥ bk
considerăm necunoscuta de compensare xn+2 ≥ 0 ¸si transformăm inecuat¸ia în ecuat¸ie, astfel
ak1x1 + ak2x2 + ...+ aknxn − xn+2 = bk
Câte restrict¸ii de tip inecuat¸ie avem, atâtea necunoscute de compensare vom introduce.
În funct¸ia de eficient¸ă necunoscutele de compensare se introduc cu coeficient¸ii egali cu zero.
În solut¸ia optimă din tabelul simplex s-ar putea să apară¸si unele necunoscute de compensare,
dar în solut¸ia obt¸inută a problemei de P.L. generală acestea nu se consideră.
Exemplul 5.5.1. Să se rezolve problema generală de P.L.:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(min)f(x) =3x1 − 2x2 +4x3 − x4
2x1 +3x2 −x3 +x4 =7
5x1 +2x2 +x3 −x4 ≥ 5
x1 +x2 +2x3 +2x4 ≤ 10
2x1 +2x2 +x3 +x4 ≤ 9
xj ≥ 0, j = 1, 4.
Transformăm problema generală în una standard, introducând variabile de compensare
x5, x6, x7:
(min)f(x) =3x1 − 2x2 +4x3 − x4
⎧
⎪⎨
⎪⎩
2x1 +3x2 −x3 +x4 =7
5x1 +2x2 +x3 −x4 −x5 =5
x1 +x2 +2x3 +2x4 +x6 =10
2x1 +2x2 +x3 +x4 +x7 =9
xj ≥ 0, j = 1, 7.
Acum, aplicăm algoritmul simplex ¸si avem:
P 2
−→
←−
e 2
P 2
−→
←−
e 2
c 3 -2 4 -1 0 0 0
CB B b P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7
e1 7 2 3 -1 1 0 0 0
e2 5 5 2 1 -1 -1 0 0
0 P6 10 1 1 2 2 0 1 0
0 P7 9 2 2 1 1 0 0 1
e1 5 0 11
5
3
0
0
P1
P6
P7
1
9
7
25
1
0
0
2
5
3
5
6
5
-2 P2
3 P1
0 P6
0 P7
7 − 5
1
5
9
5
3
5
−7
11 0 1 11
1
5
11 1 0 11
84
24
11 0 0 11
47
15
11 0 0 11
zj − 47
29
11 3 -2 11
15
Δj – 0 0 11
84
7
5
− 1
5
11
5
7
5
7
11
5 − 11
20
11
5
11
29 − 11
18
11
2
5 0 0
− 1
5
1
0 0
5 1 0
2
5 0 1
2
11 0 0
11 0 0
1
11 1 0
2
11 0 1
11 0 0
3 −
13 −
13
11 0 0

Cum tot¸i Δj ≥ 0, j = 1, 7. rezultăcăsolut¸ia problemei de P.L. standard este
iar a problemei generale
x (1) =
1
11
x (1) =
, 25
11
84 47
, 0, 0, 0, , , (min)f(x) =−
11 11
47
11 ,
1 25
, , 0, 0 , (min)f(x) =−
11 11 47
11 ,
caz în care nu am mai luat în seamă valorile necunoscutelor de compensare.
5.6 Dualitatea în problemele de programare liniară
Plecând de la o problemă de P.L., totdeauna se poate formula o nouă problemă de
P.L., folosind acelea¸si date numerice ale problemei date, care însă săceară determinarea
valorii optime contrare. Între solut¸iile celor două probleme de P.L. există strânse legături.
Perechea de probleme de P.L. astfel construite respectă un principiu general din
¸stiint¸ă, în particular din matematică, numit principiul dualităt¸ii, iar problemele respective
sunt numite probleme duale (se mai întâlne¸ste ¸si termenul de probleme conjugate) una
alteia. De obicei problema de P.L. init¸ială senume¸ste primală, iar cea obt¸inută prin dualitate
se nume¸ste duală.
Not¸iunea de dualitate în problemele de P.L. are, pe lângă însemnătatea teoretică, ¸si
o mare important¸ă practică, deoarece, fiind date două probleme duale, există posiblitatea
alegerii pentru rezolvare a problemei mai convenabile din punct de vedere calculatoriu.
Mai exact, tabelul simplex, ce cont¸ine solut¸ia optimă a unei probleme, cuprinde solut¸ia
optimă a problemei duale, componentele acestei solut¸ii se află pe linia diferent¸elor Δj ale
acestui tabel, în dreptul vectorilor (necunoscutelor) de compensare corespunzător problemei
duale. În caz că avem mai put¸in de m vectori (necunoscute de compensare) se adaugă vectori
unitari ej în completare (numit¸i vectori ajutători sau artificiali), cu coeficient¸i zero pe linia
lui c.
Definit¸ia 5.6.1 Spunem că într-o problemă de P.L. avem o restrict¸ie concordantă dacă ea
cont¸ine semnul ”≥” într-o problemă de minim ¸si, respectiv, semnul ”≤” într-o problemă
de maxim.
Definit¸ia 5.6.2 Spunem că într-o problemă P.L. avem o restrict¸ie neconcordantă dacă ea
cont¸ine semnul ”≤” într-o problemă de minim ¸si, respectiv, semnul ”≥” într-o problemă
de maxim.
Prin urmare, într-o problemă de P.L. avem următoarele categorii de restrict¸ii: concordante,
neconcordante ¸si egalităt¸i.
Pentru a cuprinde toate situat¸iile posibile vom considera că ¸si pentru necunoscute
(variabile) putem avea următoarele categorii: nenegative, (xj ≥ 0), nepozitive (xj ≤ 0) ¸si
libere (xj ∈ R).
85

Acum, putem da regulile de corespondent¸ă în formarea problemelor de P.L.
P.L. primal P.L. dual
minim maxim
maxim minim
necunoscută nenegativă restrict¸ie concordantă
necunoscută nepozitivă restrict¸ie neconcordantă
variabilă liberă restrict¸ie egalitate
restrict¸ie concordantă variabilă nenegativă
restrict¸ie neconcordantă variabilă nepozitivă
restrict¸ie egalitate variabilă liberă
număr de necunoscute
(variabile)
număr de restrict¸ii
număr de restrict¸ii
număr de necunoscute
(variabile)
termenii liberi ai restrict¸iilor coeficient¸ii funct¸iei obiectiv
coeficient¸ii funct¸iei obiectiv termenii liberi ai restrict¸iilor
coloanele matricei restrict¸iilor liniile matricei restrict¸iilor
necunoscute principale necunoscute de compensare
necunoscute de compensare necunoscute principale
coloana ”b” din tabelul simplex
linia ”Δj” din tabelul simplex
linie ”Δj” din tabelul simplex
Exemplul 5.6.1. Se dă problema primală deP.L.
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(min)f(x) =x1 + x2
4x1 +3x2 ≥ 24
5x1 +9x2 ≥ 45
3x1 −4x2 ≥−44
(eventual cu semn schimbat)
coloana ”b” din tabelul simplex
(eventual cu semn schimbat)
−x1 ≥−8
x1 ≥ 0, x2 > 0.
Să se scrie duala acestei probleme.
Având patru restrict¸ii ¸si, respectiv, două necunoscute din programul primal, vom avea
patru necunoscute ¸si, respectiv, două restrict¸ii. A¸sadar, programul dual va avea forma:
(max)g(y) =24y1 +45y2 − 44y3 − 8y4
(termenii liberi ai restrict¸iilor au devenit coeficient¸ii funct¸iei obiectiv),
4y1 +5y2 +3y3 −y4 ≤ 1
3y1 +9y2 −4y3 ≤ 1
yj ≥ 0, j = 1, 4.
Exemplul 5.6.2. Fie dată problema principală de P.L.:
⎧
⎨
⎩
(max)f(x) =2x1 +2x2 +3x3 +3x4,
x1 +x2 +x3 +x4 ≤ 5
7x1 +5x2 +3x3 +x4 ≤ 1
3x1 +5x2 +10x3 +15x4 ≤ 1
xj ≥ 0, j = 1, 4,
86

duala ei are forma:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(min)g(y) =5y1 + y2 + y3
y1 +7y2 +3y3 ≥ 2
y1 +5y2 +5y3 ≥ 1
y1 +3y2 +10y3 ≥ 3
y1 +y2 +15y3 ≥ 3
yj ≥ 0, j = 1, 3.
Exemplul 5.6.3. Pentru problema primală deP.L.
duala are forma
(min)f(x) =2x1 + x2 − 3x3
⎧
⎨
⎩
x1 +2x2 +x3 ≥ 6
x1 −2x2 +3x3 ≤ 8
2x1 −x3 =5
xj ≥ 0, j = 1, 3,
(max)g(y) =6y1 +8y2 +5y3
⎧
⎨
⎩
y1 +y2 +2y3 ≤ 6
2y1 −2y2 ≤ 8
y1 +3y2 −y3 ≤ 5
y1 ≥ 0, y2≤0, y3liberă (oarecare).
Am văzut până acum o primă legătură între problemele duale de programare, în
sensul că una se obt¸ine din cealaltă prin mijloacele ment¸ionate mai sus.
În continuare vom prezenta o altă legatură, sub aspectul unor relat¸ii dintre solut¸ii ¸si
funct¸iile de eficient¸ă.
Să considerăm problemele duale, scrise matricial:
unde t y =(y1,...,ym).
(1)
⎧P.L.
primală
⎨ (min)f(x) =cx
⎧P.L.
duală
⎨ (max)g(y) =
⎩
Ax = b
x ≥ θ
(2)
⎩
tby t t Ay ≤ c
y arbitrar
Teorema 5.6.1 Dacă x (0) ¸si y (0) sunt solut¸ii posibile oarecare ale problemelor (1) ¸si (2),
atunci
g(y (0) )= t by (0) ≤ cx (0) = f(x (0) ).
Demonstrat¸ie. Din faptul că x (0) ¸si y (0) sunt solut¸ii posibile ale problemelor (1) ¸si (2)
respectiv, avem:
t Ay (0) ≤ t c, cu y (0) arbitrar,
respectiv
Astfel putem scrie
Ax (0) = b, cu x (0) ≥ 0.
g(y (0) )= t by (0) = t (Ax (0) )y (0) =( t x (0)t A)y (0) = t x (0) ( t Ay (0) ) ≤ t x (0)t c =
ceea ce trebuia demonstrat.
= t (cx (0) )= t f(x (0) )=f(x (0) ),
Teorema 5.6.2 Pentru problemele duale (1) ¸si (2) de programare liniară aulocuna¸si numai
una din următoarele situat¸ii:
87

a) ambele probleme au solut¸ii optime finite ¸si atunci (min)f = (max)g;
b) una din probleme are solut¸ie infinită, iar cealaltă este incompatibilă (nu are solut¸ie);
c) una dintre probleme are solut¸ie degenerată, iar cealaltă problemă poate avea solut¸ii
multiple.
Demonstrat¸ie. a) Fie x (1) osolut¸ie optimă a problemei (1) ¸si y (1) osolut¸ie optimă a problemei
(2).
Din Teorema 5.6.1 avem
min f(x) =f(x (1) ) ≥ g(y (1) ) = max g(y).
Acum, din obt¸inerea tabelului simplex rezultă cădacănotăm cu Γ matricea de tipul
m × m din A, dată de vectorii principali Pj care dau solut¸ia optimă x (1) , atunci x (1) =Γ −1 b.
Analog avem t y (1) = cBΓ −1 .
Atunci rezultă
f(x (1) )=cBx (1) = cBΓ −1 b = t y (1) b = g(y (0) ),
adică min f(x) = max g(y).
În mod analog se stabilesc acum, fără mare greutate ¸si punctele b) ¸si c) ale teoremei.
Observat¸ia 5.6.1 Teoremele 5.6.1 ¸si 5.6.2 poartă numeledeteoreme ale dualităt¸ii.
Ele ne justifică cele afirmate la începutul paragrafului: prin rezolvarea uneia dintre
problemele duale avem ¸si solut¸ia celeilalte. De aceea, practic putem alege pe cea în care
calculele sunt mai simple.
Exemplul 5.6.4. Să considerăm problema de P.L. din exemplul 5.6.1. Aici se observă că
este mai convenabil să rezolvăm problema duală deoarece ea cont¸ine numai două restrict¸ii.
O aducem la forma standard, introducând variabilele de compensare y5 ¸si y6
(max)g(y) =24y1 +45y2− 44y3 − 8y4
4y1 +5y2 +3y3 −y4 +y5 =1
3y1 +9y2 −4y3 +y6 =1
yi ≥ 0,
Aplicând algoritmul simplex, obt¸inem:
i = 1, 6
P 2
−→
←−
P 6
P 1
−→
←−
P 5
c 24 45 -44 -8 0 0
CB B b P1 P2 P3 P4 P5 P6
0 P5 1 4 5 3 -1 1 0
0 P6 1 3 9 -4 0 0 1
0 P5
zj 0 0 0 0 0 0 0
Δj – 24 45 -44 -8 0 0
4
9
1
9
7
3 0 47
9 -1 1 − 5
9
1
3 1 − 4
9 0 0 1
9
45 P2
zj 5 15 45 -20 0 0 5
Δj – 9 0 -24 -8 0 -5
24 P1
4
21 1 0 47
21 − 3
7
3
7 − 5
45 P2
1
21 0 1 −
21
25
21
1
7 − 1
7
4
21
zj
47
1
7 24 45 7
Δj – 0 0 − 309
7
Cum toate Δj ≤ 0, rezultăcă y (1) = 4 1
21 , 21 , 0, 0 este solut¸ie optimă pentru problema duală,
cu min g(y) = 47
7 . De pe linia lui Δj, în dreptul vectorilor de compensare P5 ¸si P6, găsim
solut¸ia problemei primale:
x (1) =
27
7
− 25
7
− 29
7
27
7
27 − 7
20
, , 0, 0 , cu max f(x) =
7 47
7 .
88
20
7
20 − 7

Observat¸ia 5.6.2 Există situat¸ii în care rezolvarea unei probleme de P.L. se lunge¸ste prin
calculele care conduc la determinarea unei baze formată din vectorii Pj ai problemei. Este
preferabil ca într-o astfel de situat¸ie să lucrăm cu b în care avem ¸si componente bi < 0,
folosind un algoritm simplex modificat, aplicat asupra problemei duale, numit algoritmul
(metodă) simplex modificat (dual).
Pa¸sii de lucru sunt aceea¸si, deosebindu-se de metoda simplex primală numai prin
următoarele:
1) Criteriul de ie¸sire din bază. Pe coloana lui b se alege
bi0
= min
bi

Cum b ≤ θ este mai convenabil să aplicăm algoritmul simplex dual.
Avem:
c 4 5 3 0 0 0
CB B b P1 P2 P3 P4 P5 P6
0 P4 -7 -3 -2 -1 1 0 0
0 P5 -6 -1 1 -2 0 1 0
P 1
−→
←−
P 6
P 3
−→
←−
P 5
0 P6 -8 -2 -1 1 0 0 1
zj 0 0 0 0 0 0 0
Δj – 4 5 3 0 0 0
0 P4 5 0 − 1
2
5 −
2 1 0 − 3
2
0 P5 -2 0 3
2 − 5
2 0 1 − 1
2
4 P1 4 1 1
2 − 1
2 0 0 − 1
zj 16 4 2 -2 0 0
2
-2
Δj – 0 3 5 0 0 2
0 P4 7 0 -2 0 1 -1 -1
4
3 P3 5 0 − 3
5 1 0 − 2 1
5 5
22
1
4 P1 5 1 5 0 0 − 1 2
5 − 5
zj 20 4 -1 3 0 -2 -1
Δj – 0 6 0 0 2 1
Cum b ≥ θ ¸si Δj ≥ 0, j = 1, 6, rezultăcăavemsolut¸ia optimă:
x (1)
22 4
= , 0, , min f(x) =20
5 5
Observat¸ia 5.6.3 Dualitatea în problemele de P.L. se poate interpreta ¸si economic. Astfel,
problema primală ⎧
⎨ (max)f(x) =cx
Ax ≤ b
⎩
x ≥ θ
reprezintă modelul unui proces economic în care se realizează n produse, folosind m resurse,
aij reprezentând unitatea din resursa i utilizată laprodusulj, i = 1,m, j = 1,n, bi–cantitatea
disponibilă din resursa i, i = 1,m; cj venitul pentru o unitate din produsul j ¸si xj numărul
de unităt¸i realizate din produsul j, j = 1,n (vezi §1.3). Funct¸ia obiectiv reprezintă venitul
total realizat. În problema primală seceresăse determine numărul de unităt¸i din fiecare
produs a¸sa încât venitul să fiemaxim.
Acum, să urmărim procesul economic după criteriul cheltuieli–venit. Fie yi pret¸ul fixat
pentru unitatea din resurse i, i = 1,m. Costul resursei i în cantitate de bi unităt¸i, consumată
pentru fabricarea produselor, este biyi. Cheltuielile necesare pentru toate resursele folosite
sunt
g(y) =b1y1 + b2y2 + ...+ bmym.
Cum consumul din resursa i pentru realizarea unităt¸ii de produs j este aij, costul
acestei cote care realizează unitatea de produs j este aij · yi. Costul total al cotelor din
m
resursele i, i = 1,m, care participă la crearea unităt¸ii de produs j, este aijyi, care trebuie
să satisfacă condit¸iile
m
aijyi ≥ cj, j = 1,n.
i=1
Cum dorim ca să avem cheltuieli minime, obt¸inem problema de P.L.:
(min)g(y) =b1y1 + b2y2 + ...+ bmym
90
i=1

m
aijyi ≥ cj, j = 1,n
yj ≥ 0, j = 1,n,
care constituie duala problemei primale de maxim.
i=1
91

5.7 Testul Nr. 4 de verificare a cuno¸stint¸elor
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Solut¸ie posibilă a problemei de programare liniară standard;
b) Solut¸ie de bază a problemei de programare liniară;
c) Solut¸ie nedegenerată a problemei de programare liniară;
d) Solut¸ie degenerată a problemei de programare liniară;
e) Restrict¸ie concordantă într-o problemă P.L.;
f) Restrict¸ie neconcordantă într-o problemă P.L.
2. Rezolvat¸i problema de programare liniară (min)f(x) =2x1 + x2 +3x3 +5x4 − x5
xi ≥ 0 , i = 1, 5.
⎧
⎨
⎩
2x1 + x2 + x3 =4
x1 +2x3 + x5 =7
3x1 +2x2 + x4 =10
3. Rezolvat¸i problema de programare liniară (max)f(x) =4x1 +3x2 +4x3
xi ≥ 0 , i = 1, 6.
⎧
⎨
⎩
x1 +3x2 − x3 +2x5 =7
−2x1 +4x3 + x4 =12
−4x2 +3x3 +8x5 + x6 =10
4. Rezolvat¸i problema de¸seurilor minime: Se dispune de baze de fier de 14 m lungime
din care trebuie tăiate 500 bucăt¸i de 8 m, 800 bucăt¸i de 5,25 m ¸si 450 bucăt¸i de 2,5 m.
Se cere să se stabilească modul de tăiere care asigură cantitatea minimă dede¸seuri.
5. Rezolvat¸i problema de programare liniară (max)f(x) =4x1 − x2 +2x3 +4x4
xi ≥ 0 , i = 1, 4.
⎧
⎨
⎩
6x1 + x2 − 3x4 =11
4x1 − x2 +2x3 =8
4x1 − x2 +3x4 =8
6. Rezolvat¸i problema de programare liniară (max)f(x) =4x1 +5x2 +8x3 +2x4 +3x5
xi ≥ 0 , i = 1, 5.
⎧
⎨
⎩
2x1 +3x2 +3x3 + x4 +2x5 =10
x1 − x2 +2x3 − 6x4 +3x5 =5
x1 + x2 + x3 − 2x4 +2x5 =4
7. Rezolvat¸i problema generală de programare liniară (min)f(x) =4x1 +8x2 − 2x3 + x4
xi ≥ 0 , i = 1, 4.
⎧
⎨
⎩
x1 + x2 + x4 =2
x1 +2x2 + x3 ≤ 5
x2 + x3 ≥ 3
92

8. Aducet¸i următoarea problemă generală de programare liniară la forma canonică:
(max)f(y) =3y1 − 4y2 y1 + y2 ≤ 8
y1 ∈ R , y2 ≤ 0.
y1 − y2 ≥ 1
9. Găsit¸i valoarea optimului următoarei probleme de programare liniară folosind duala
ei: (max)f(x) =−x1 + x2 ⎧
⎨ x1 + x2 ≤ 4
−2x1 + x2 ≤ 3
⎩
3x1 − x2 ≤ 5
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0.
10. Găsit¸i valoarea optimului următoarei probleme de programare liniară folosind duala
ei: (max)g(y) =6y1 +8y2 ⎧
⎨ 2y1 + y2 ≤ 4
y1,y2 ∈ R.
⎩
y1 +2y2 ≤ 2
y1 − 2y2 ≤ 1
93

Indicat¸ii ¸si răspunsuri
Testul 4
2. Se palică algoritmul Simplex ¸si se obt¸ine optimul finit tx =(0, 4, 0, 2, 7) ¸si min(f) =7.
3. Se aplică algoritmul simplex ¸si se obt¸ine solut¸ia optimă finită t
86 29 82
x = , , , 0, 0, 0 ¸si
12 13 13
min g = − 759
13
(de unde g = −f) ¸si astfel max f = 759
18 .
4. Se observă căexistăcinci solut¸ii de tăiere pentru o bară: 1) se taie o bucată de8m
¸si alta de 5,25 m obt¸inându-se de¸seu 0, 75 = 3
m; 2) se taie o bucată de8m¸si două
4
bucăt¸i de 2,5 m obt¸inându-se de¸seu 1 m; 3) se taie două bucăt¸i de 5,25 m ¸si una de 2,5
mobt¸inându-se de¸seu 1 m; 4) se taie o bucată de5,25¸si trei de 2,5 m obt¸inându-se
de¸seu 1, 25 = 5
m; 5) se taie cinci bucăt¸i de 2,5 m obt¸inându-se de¸seu de 1, 5=6
4 4 m.
Notând cu xi, i = 1, 5 numărul de bare planificate a se tăia în modul ”i” obt¸inem
problema de programare liniară
(min)f = 1
4 (3x1 +4x2 +4x3 +5x4 +6x5)
x1 + x2 = 500
x1 +2x3 + x4 = 800
2x2 + x3 +3x4 +5x5 = 450
xi ≥ 0 , i = 1, 5.
Pentru a u¸sura calculele se va folosi funct¸ia obiectiv f1 =3x1 +4x2 +4x3 +5x4 +6x5.
Se aplică algoritmul Simplex ¸si se obt¸in solut¸iile optime t x1 = (500, 0, 150, 0, 60), t x2 =
(500, 0, 90, 120, 0), t x3 = (380, 120, 210, 0, 0), deci în final min(f1) = 2460(m) ⇒ min(f) =
615(m) cu t (x) =α · t x1 + β · t x2 + γ · t x3 cu α, β, γ ∈ [0, 1], α + β + γ =1.
5. Se aplică algoritmul Simplex pentru funct¸ia obiectiv g = −f ¸si se obt¸ine optim infinit:
x2 = M>0 (foarte mare), x1 = 19
10 , x3 = 1 1
+
5 2 · M, x4 = 2 1
4
+ · M, min(g) =−128 −
15 3 15 3 M,
de unde max(f) = 128
15
+ 4
3 M.
6. Se plică algoritmul Simplex ¸si se obt¸in solut¸ii multiple ¸si anume:
t
x1 = 2, 1
5
t
, , 0, 0 , x2 = 0,
3 3 5
13 1
, , 0, ⇒
6 6 2
t x = α · t x1 + β · t x2
cu α, β ∈ [0, 1], α + β =1¸si min(g) =−23, deci max(f) =23.
7 Se introduc variabilele ecart x5 ¸si x6 obt¸inem forma canonică
(min)f(x) =4x1 +8x2 − 2x3 + x4
x1 + x2 + x4 =2
x1 +2x2 + x3 + x5 =5
x2 + x3 − x6 =3
xi ≥ 0 , i = 1, 6.
Se aplică algoritmul Simplex ¸si se obt¸ine optimul finit t x =(0, 0, 5, 2, 0, 0), adică x1 =0,
x2 =0, x3 =5, x4 =2¸si min(f) =−8.
94

8. Se obt¸ine forma canonică:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(min)g(x) =−3x1 +3x2 − 4x3
x1 − x2 − x3 + x4 =8
x1 − x2 + x3 − x5 =1
xi ≥ 0 , i = 1, 5.
9. Avem duala:
(min)g(y) =4y1 +3y2 +5y3
y1 − 2y2 +3y3 ≥−1
y1 + y2 − y3 ≥ 1
yi ≥ 0 , i = 1, 3.
Forma canonică a acestei probleme de programare liniară este:
⎧
⎪⎨
(min)g(y) =4y1 +3y2 +5y3
y1 − 2y2 +3y3 − y4 = −1
y1 ⎪⎩
+ y2 − y3 − y5 =1
yi ≥ 0 , i = 1, 5.
Se aplică algoritmul Simplex ¸si se obt¸ine solut¸ia optimă finită t
1 2
y = , , 0 ¸si
3 3
min(g) = 10
10
⇒ maxf =
3 3 . Se poate obt¸ine ¸si solut¸ia problemei init¸iale: t
1 11
x = , .
3 3
10. Duala problemei considerate este:
(min)f(x) =4x1 +2x2 + x3
⎧
⎨ 2x1 + x2 + x3 =6
x1 +2x2 − 2x3 =8
⎩
xi ≥ 0 , i = 1, 3.
Se aplică algoritmul simplex ¸si se obt¸ine solut¸ia optimă finită t x =(0, 5, 1) ¸si min(f) =
11 ⇒ max(g) =11.
95

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul I,
Editura ULB, Sibiu, 2001.
96

Capitolul 6
Elemente de teoria grafurilor
Obiective: Scopul acestui capitol este de familiariza student¸ii cu not¸iunea de graf ¸si
aplicat¸iile acesteia în economie. Termenul de ”graf” are cu totul altă semnificat¸ie decât
cel de grafic. Prima lucrare de teoria grafurilor a fost scrisă de renumitul matematician
elvet¸ian Euler, în 1736, în scopul rezolvării unor jocuri ¸si amuzamente matematice. Dezvoltarea
ulterioară a matematicii ¸si în special a aplicat¸iilor ei în diferite domenii ¸stiint¸ifice
a dat un impuls puternic dezvoltării teoriei grafurilor. Utilizarea ei în domenii variate,
teoretice sau practice, de la probleme economice la fundamentarea deciziilor politice, de la
studiul ret¸elelor electrice la critica textelor, etc., îi conferă în zilele noastre o important¸ă
aparte.
Folosirea grafurilor în elaborarea programelor de product¸ie, investit¸ii, transport, desfacere
etc. ale unităt¸ilor economice a devenit o necesitate de prim ordin.
Rezumat: În acest capitol se vor aborda câteva din conceptele fundamentale ale
teoriei grafurilor, precum ¸si cât¸iva algoritmi utili în rezolvarea unor probleme economice.
Cont¸inutul capitolului:
1. Not¸iuni fundamentale
2. Algoritmi pentru rezolvarea unor probleme relative la grafuri
3. Problema fluxului optim în ret¸ele de transport
4. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
5. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: graf, matricea drumurilor, componente tare conexe ale unui graf,
drumuri hamiltoniene, drum de lungime optimă, metoda drumului critic, rele de trasport.
6.1 Not¸iuni fundamentale
Fie X omult¸ime nevidă ¸si cel put¸in numărabilă de elemente numite noduri sau vârfuri.
Definit¸ia 6.1.1 Numim graf perechea (X, Γ), unde Γ ⊆ X × X, adică o mult¸ime de perechi
ordonate sau nu de elemente din X.
Dacă X este o mult¸ime finită, atunci graful (X, Γ) se nume¸ste graf finit, În caz contrar
se zice că avem un graf infinit.
Putem da pentru graf ¸si următoarea definit¸ie echivalentă:
Definit¸ia 6.1.2 Numim graf perechea (X, f), undef este o funct¸ie definită peX cu valori în
mult¸imea P(X) apărt¸ilor (submult¸imilor) lui X.
Definit¸ia 6.1.3 Dacă toate perechile distincte din Γ sunt ordonate, graful se nume¸ste orientat.
În cazul contrar, graful se nume¸ste neorientat.
Pentru un graf orientat (X, Γ) perechea ordonată (x, y) ∈ Γ, x, y ∈ X, senume¸ste arc, x
fiind extremitatea init¸ială, iar y extremitatea finală a arcului. În cazul unui graf neorientat
97

o pereche neordonată (x, y) ∈ Γ, x, y ∈ X se nume¸ste muchie.
În continuare noi o să lucrăm numai cu grafuri orientate ¸si finite, fără a mai specifica
acest lucru, ment¸ionând totu¸si în câteva locuri ¸si denumirea not¸iunilor corepsunzătoare de
la grafurile neorientate.
Un graf orientat ¸si finit va fi notat prin (X, Γ), unde X = {x1,x2,...,xn} va reprezenta
mult¸imea vârfurilor, iar Γ mult¸imea arcelor.
Un graf (X, Γ) se reprezintă geometric în modul următor: a) fiecare vârf este
reprezentat printr-un punct din plan; b) fiecare arc (xi,xj) ∈ Γ se reprezintă printr-o linie
(dreaptă sau curbă) care une¸ste cele două extremităt¸i ¸si pe care se află osăgeată cusensul
de la xi la xj (vezi fig.1). Dacă xi coincide cu xj, zicemcă avem o buclă.
Fig.1
Într-un graf neorientat muchia se reprezintă printr-un arc fără săgeată.
Într-un arc (xi,xj) vârful xi se nume¸ste predecesorul lui xj, iarxj succesorul lui xi.
Exemplul 6.1.1. Graful (X, Γ) dat prin X = {x1,x2,x3,x4,x5}, Γ =
{(x1,x2), (x1,x3), (x1,x4), (x2,x3), (x3,x2), (x2,x4), (x3,x4), (x3,x5), (x4,x5)} este reprezentat în
figura 2. În aceea¸si figură este reprezentat ¸si graful neorientat corespunzător lui.
Fig.2
Definit¸ia 6.1.4 Două arce ale grafului (X, Γ) se numesc adiacente dacă aucelput¸in o extremitate
comună.
Definit¸ia 6.1.5 Într-un graf (X, Γ) mult¸imea arcelor cu extremitatea init¸ială xi se nume¸ste
mult¸imea arcelor incidente spre exterior ¸si se notează cuΓ + xi . Mult¸imea arcelor incidente
spre interior vârfului xi se va nota cu Γ− xi . Atunci Γxi =Γ+ xi ∪ Γ−xi este mult¸imea arcelor
incidente vârfului xi.
Definit¸ia 6.1.6 Un graf (X, Γ) se nume¸ste simetric dacă oricare ar fi arcul (xi,xj) ∈ Γ avem
¸si (xj,xi) ∈ Γ.
Graful (X, Γ) se nume¸ste antisimetric, dacă există unarc(xi,xj) ∈ Γ astfel încât arcul
(xj,xi) ∈ Γ.
Definit¸ia 6.1.7 Un graf (X, Γ) se nume¸ste complet dacă pentru orice xi,xj ∈ X din (xi,xj) ∈ Γ
rezultă (xj,xi) ∈ Γ.
Exemplul 6.1.2. Graful din figura 3 este simetric, cel din figura 4 este antisimetric, iar cel
din figura 5 este complet.
98

Fig.3 Fig.4 Fig.5
Definit¸ia 6.1.8 Fie (X, Γ) un graf. Numim graf part¸ial al grafului dat, un graf (X, Γ1), unde
Γ1 ⊂ Γ, adică elseobt¸ine din graful (X, Γ) prin suprimarea unor arce.
Definit¸ia 6.1.9 Fie (X, Γ) un graf dat. Numim subgraf al grafului dat, un graf (X1, Γ1), unde
X ⊂ X1 ¸si Γ1 ⊂ Γ.
Subgraful (X1, Γ1) se obt¸ine din graful (X, Γ) prin suprimare a unuia sau a mai multor
vârfuri ¸si a arcelor aferente lor.
Exemplul 6.1.3. Graful din figura 7 este un graf part¸ial al celui din figura 6, iar graful din
figura 7 ′ un subgraf.
Fig.6 Fig.7 Fig.7 ′
Definit¸ia 6.1.10 Numim drum într-un graf o succesiune de arce, adiacente două câte două,
la fel orientate, la care extremitatea finală a unui arc coincide cu extremitatea init¸ială a
arcului precedent.
Un drum în care extremitatea finală a ultimului arc coincide cu extremitatea init¸ială
a primului arc se nume¸ste circuit.
Un drum se dă prin scrierea între acolade (sau alte tipuri de paranteze) a succesiunii
vârfurilor prin care trec arcele care constituie drumul sau ment¸ionând arcele din care se
compune.
Exemplul 6.1.4. În graful din figura 6 putem considera drumurile:
d1 = {x1,x2,x4,x3}, d2 = {x1,x2,x4,x2,x4,x5}
d3 = {x2,x4,x2}, care este un circuit.
Definit¸ia 6.1.11 Numărul de arce dintr-un drum se nume¸ste lungimea lui.
99

Definit¸ia 6.1.12 Un drum al unui graf se nume¸ste elementar dacă fiecare vârf al său este
utilizat o singură dată. În caz contrar, drumul este numit neelementar.
Un drum elementar care trece prin toate vârfurile grafului se nume¸ste hamiltonian,
iar unul neelementar care are aceea¸si proprietate se nume¸ste drum nehamiltonian (prehamiltonian).
Definit¸ia 6.1.13 Un drum al unui graf se nume¸ste simplu dacă utilizează fiecare arc al său
o singură dată. În caz contrar, drumul se nume¸ste compus.
Un drum simplu care folose¸ste arcele grafului se nume¸ste eulerian, iar unul compus
care are aceea¸si proprietate se num¸ste drum neeulerian (preeulerian).
Exemplul 6.1.5. În graful din figura 6 drumul d1 = {x1,x2,x4,x3,x5} este hamiltonian, dar
nu este eulerian. Drumul d2 = {x1,x2,x4,x2,x4,x3,x5} este nehamiltonian. Drumul d3 =
{x1,x2,x4,x5} este simplu, iar d4 = {x1,x2,x4,x2,x4,x5} este compus.
Observat¸ia 6.1.1 Într-un graf neorientat not¸iunea de drum este înlocuită cu cea de lant¸,
iar cea de circuit cu cea de ciclu.
Definit¸ia 6.1.14 Un graf (X, Γ) se nume¸ste conex dacă între oricare două vârfuri ale sale
există unlant¸. Dacăîntre oricare două vârfuri ale grafului există un drum, atunci el se
nume¸ste tare conex.
Definit¸ia 6.1.15 Un subgraf conex al unui graf conex se nume¸ste componentă conexă a
grafului, iar un subgraf tare conex al unui graf tare conex se nume¸ste componentă tare
conexă.
Se observă că un graf este conex, respectiv tare conex, dacă ¸si numai dacă elareo
singură componentă conexă, respectiv tare conexă.
Exemplul 6.1.6. În figurile 8 ¸si respectiv 9 avem reprezentate un graf conex ¸si respectiv
unul tare conex. În figurile 10 ¸si 11 avem reprezentate un graf neconex ¸si respectiv unul
care nu este tare conex.
Fig.8 Fig.9
Fig.10 Fig.11
Graful din figura 10 are două componente conexe, iar cel din figura 11 are două
componente tare conexe.
100

Definit¸ia 6.1.16 Numim arbore un graf conex ¸si fără cicluri. Numim pădure un graf
neconex ¸si fără cicluri.
Exemplul 6.1.7. În figura 12 avem un arbore, iar în figura 13 o pădure cu 3 arbori:
Fig.12 Fig.13
Definit¸ia 6.1.17 Numim arborescent¸ă un graf fără circuite, în care: a) un vârf ¸si numai
unul (numit rădăcină) nu este precedat de nici un altul; b) orice alt vârf este precedat de
un singur cârf. Vârfurile care nu au succesori se numesc frunze sau vârfuri suspendate
(terminale).
Cel mai cunoscut exemplu de arborescent¸ă este ”arborele genealogic”.
Exemplul 6.1.8. În figura 14 avem o arborescent¸ă curădăcina x1 ¸si cu 6 frunze.
Fig.14
Dacă numărul de vârfuri ale unui graf este mare, atunci reprezentarea geometrică
devine greoaie. De aceea, s-au căutat alte modalităt¸i de reprezentare. Cea mai convenabilă
s-a dovedit a fi cea cu ajutorul matricelor.
Fie (X, Γ) un graf orientat cu X = {x1,x2,...,xn}.
Definit¸ia 6.1.18 Matricea pătratică B =(bij), i, j = 1,n, definită astfel
1 , dacă (xi,xj) ∈ Γ
bij =
0 , dacă (xi,xj) ∈ Γ
se nume¸ste booleană (asociată) ata¸sată grafului(X, Γ)
Exemplul 6.1.9. Fie (X, Γ) graful din figura 15.
101

Matricea booleană ata¸sată grafului este
B =
Fig.15
x1 x2 x3 x4 x5
x1 0 1 1 0 0
x2 0 0 0 1 0
x3 0 1 0 0 1
x4 0 1 0 0 1
x5 0 0 0 0 0
Definit¸ia 6.1.19 Matricea pătratică D =(dij), i, j = 1,n, definită astfel
1 , există drum de la xi la xj
dij =
0 , nu există drum de la xi la xj,
se nume¸ste matricea drumurilor ata¸sată grafului(X, Γ).
Exemplul 6.1.10. Pentru graful din figura 15 matricea drumurilor este
D =
x1 x2 x3 x4 x5
x1 0 1 1 1 1
x2 0 1 0 1 1
x3 0 1 0 1 1
x4 0 1 0 1 1
x5 0 0 0 0 0
Definit¸ia 6.1.20 Matricea pătratică L =(lij), i, j = 1,n, definită astfel
xixj , dacă (xi,xj) ∈ Γ
lij =
0 , dacă (xi,xj) ∈ Γ
se nume¸ste matricea latină ata¸sată grafului(X, Γ).
Exemplul 6.1.11. Pentru graful din figura 15 matricea latină este
L =
x1 x2 x3 x4 x5
x1 0 x1x2 x1x3 0 0
x2 0 0 0 x2x4 0
x3 0 x3x2 0 0 x3x5
x4 0 x4x2 0 0 x4x5
x5 0 0 0 0 0
În rezolvarea unor probleme teoretice sau practice se introduc ¸si alte tipuri de matrice
ata¸sate unui graf, care se difine¸ste în cadrul respectiv.
6.2 Algoritmi pentru rezolvarea unor probleme relative la grafuri
În acest paragraf vom prezenta cât¸iva algoritmi pentru rezolvarea unor probleme
relative la grafuri.
102

6.2.1 Algoritmul lui Yu Chen pentru aflarea matricei drumurilor
În asigurarea unor algoritmi relativi la probleme de teoria grafurilor avem nevoie de
operat¸iile de adunare booleană (
+) ¸si înmult¸ire booleană (
×), definite după cum urmează
+ 0 1
0 0 1
1 1 1
× 0 1
0 0 0
1 1 1
Algoritmul lui Yu Chen are următorii pa¸si:
Pasul 1. Se scrie matricea booleană B a grafului (X, Γ);
Pasul 2. Se adună boolean la prima linie toate liniile corespunzătoare la vârfurile care au
cifra 1 pe prima linie. Noile cifre de 1 care apar se marchează cuo∗.
Pasul 3. Se adună boolean la linia întâi toate liniile corespunzătoare vârfurilor care au cifra
1 ∗ pe prima linie. Noile cifre de 1 care apar se marchează cu∗∗. Acest pas se continuă până
când nu mai apar cifre noi de 1 pe linia întâi.
Pasul 4. Se aplică pa¸sii 2 ¸si 3 la fiecare din liniile matricei booleene.
În final, obt¸ine matricea D a drumurilor.
Justificarea algoritmilor este imediată.
Exemplul 6.2.1. Pentru graful din figura 15 să aflăm matricea drumurilor, folosind algoritmul
lui Yu Chen.
Scriem matricea booleană ata¸sată grafului
B =
Aplicând pa¸sii algoritmului obt¸inem
D =
x1 x2 x3 x4 x5
x1 0 1 1 0 0
x2 0 0 0 1 0
x3 0 1 0 0 1
x4 0 1 0 0 1
x5 0 0 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5
x1 0 1 1 1 ∗ 1 ∗
x2 0 1 ∗ 0 1 1 ∗
x3 0 1 0 1 ∗ 1
x4 0 1 0 1 ∗ 1
x5 0 0 0 0 0
care este tocmai matricea găsită la Exemplul 6.1.10.
6.2.2 Algoritmi pentru precizarea existent¸ei circuitelor într-un graf
Vom prezenta doi algoritmi.
Algoritmul marcării cu ”∗”. Pa¸sii acestui algoritm sunt:
Pasul 1. Se marchează cu”∗” toatevârfurile fără succesori;
Pasul 2. Marcăm cu ”∗” toatevârfurile ale căror succesori au fost marcat¸i;
Pasul 3. Se continuă procesul de la Pasul 2 până când nu mai putem face marcări.
Dacă toate vârfurile au fost marcate, atunci graful este fără circuite. În caz că a
rămas cel put¸in un vârf nemarcat, graful este un circuit.
Exemplul 6.2.2. Să cercetăm dacă graful din figura 16 are circuite.
103

Fig.16
La pasul întâi putem marca doar vârful x7, fiind singurul fără succesori. La pasul
2 putem marca vârful x6 deoarece succesorul său x7 a fost marcat. Nu mai putem face
marcare de vârfuri deoarece vârfurile rămase au succesori nemarcat¸i. A¸sadar, graful dat
are circuite.
Algoritmul matricei drumurilor. Cum un circuit este un drum ce începe ¸si se termină
în acela¸si vârf, rezultă căungrafvaaveacircuitedacăîn matricea drumurilor apare cifra 1
pe diagonala principală. Rezultă că, pentru a cerceta dacă un graf are sau nu circuite, este
suficient să găsim matricea drumurilor.
Exemplul 6.2.3. Să aplicăm acest algoritm la graful din figura 16. Scriem matricea booleană
B:
B =
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 0 1 0 1 0 0 0
x2 0 0 1 0 1 0 0
x3 0 0 0 1 0 0 0
x4 0 0 0 0 1 0 1
x5 0 0 1 0 0 1 1
x6 0 0 0 0 0 0 1
x7 0 0 0 0 0 0 0
Aplicând algoritmul Yu Chen pentru aflarea matricei drumurilor, obt¸inem:
D =
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 0 1 1 ∗ 1 1 ∗ 1 ∗∗ 1 ∗
x2 0 0 1 1 ∗ 1 1 ∗ 1 ∗
x3 0 0 1 ∗∗ 1 1 ∗ 1 ∗∗ 1 ∗
x4 0 0 0 0 1 1 ∗ 1
x5 0 0 0 0 0 1 1
x6 0 0 0 0 0 0 1
x7 0 0 0 0 0 0 0
Având în D o cifra de 1 pe diagonala principală, conchidem că graful are circuite.
6.2.3 Algoritmi pentru aflarea componentelor tare conexe ale unui graf
Aflarea componentelor tare conexe ale unui graf este importantă pentru practică
deoarece se obt¸ine o partit¸ie a grafului în subgrafele tare conexe.
Algoritmul marcării cu ”±”. Pasul 1. Se marchează cu”±” unvârf în care intră ¸si iese cel
put¸in câte un arc.
Pasul 2. Se marchează cu”±” vârfurile care sunt extremităt¸i finale pentru arce care pleacă
dintr-un vârf marcat cu ”±” ¸si se marchează cu”–”vârfurile init¸ialepentruarcealecăror
vârfuri finale sunt marcate cu ”–”.
Pasul 3. Se aplică repetat pasul 2, până nu se mai pot face marcări. Dacă toatevârfurile
au fost marcate cu ”±”, atunci graful este tare conex, având o sigură componentă tare
conexă.
Dacă existăvârfuri care nu au fost marcate cu ”±”, atunci se consideră mult¸imea C1
formată din toate vârfurile marcate cu ”±”. C1 formează o primă componentătareconexă.
Pasul 4. În graful dat se elimină vârfurile din componenta C1 ¸si toate arcele aferente
acestora. Noului graf (de fapt, subgraf al grafului init¸ial) i se aplică Pa¸sii 2–3 până se
găsesc toate componentele tare conexe ale grafului.
Pentru a evident¸ia geometric (intuitiv) descompunerea grafului dat în componente
tare conexe se aranjează vârfurile pe componente ¸si se trasează arcele din graful init¸ial.
Exemplul 6.2.4. Să considerăm graful din figura 17.
104

Fig.17
Deoarece în vârful x1 iese ¸si intră cel put¸in câte un arc îl marcăm cu ”±”. Apoi
marcăm cu ”+” vârfurile x2 ¸si x5 ¸si cu ”–” vârful x3. Acum marcăm cu ”–” vârful x2 ¸si cu
”+” vârfurile x4 ¸si x6. Procesul de marcare nu mai poate continua, rămânând vârfuri care
nu sunt marcate cu ”±”.
Prima componentă tare conexă a grafului este C1 = {x1,x2,x3}.
Suprimăm vârfurile x1,x2,x3 ¸si arcele adiacente lor ¸si obt¸inem graful din figura 18.
Fig.18
Imediat se marchează cu ”±” numai vârfurile x4 ¸si x5, obt¸inând cea de-a doua
componentă tare conexă C2 = {x4,x5}. Vârful x6 formează cea de-a treia componentă tare
conexă C3.
În figura 19 prezentăm graful cu vârfurile sale împărt¸ite în componente tare conexe.
105

Fig.19
Algoritmul lui Yu Chen. Acest algoritm pentru aflarea componentelor tare conexe folose¸ste
ideea de lucru de la algoritmul lui Chen pentru determinarea matricei drumurilor.
Pasul 1. Se scrie matricea booleană B a grafului (X, Γ).
Pasul 2. Se determină toate drumurile care pleacă dinx1 spre alte vârfuri, procedând ca
la pa¸sii 2 ¸si 3 de la algoritmul Yu Chen pentru determinarea matricei drumurilor, adică
se introduc prin adunare booleană toate cifrele de pe linia întâi. Notăm cu V1 mult¸imea
vârfurilor care au cifra 1 pe linia întâi astfel obt¸inută.
Pasul 3. Ca la pasul 2 procedăm pe coloana întâi, determinând toate vârfurile care sunt
legate prin drumuri cu x1. Notăm cu V2 mult¸imea vârfurilor care au cifra 1 pe coloana
întâi astfel obt¸inută.
Pasul 4. Determinăm prima componentă tare conexă, luând C1 =(V1 ∩ V2) ∪{x1}.
Pasul 5. În matricea B se elimină liniile ¸si coloanele care au vârfurile în C1. La matricea
obt¸inută se aplică, din nou pa¸sii 2–5. Se aplică algoritmul până se epuizează vârfurile
grafului.
Exemplul 6.2.5. Să considerăm graful din figura 20. Să-i aflăm componentele tare conexe.
Fig.20
Scriem matricea booleană ata¸sată grafului:
B =
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 0 1 1 0 0 0 0 0
x2 0 0 0 0 0 0 0 0
x3 0 1 0 1 0 0 0 1
x4 0 1 0 0 1 0 0 0
x5 0 1 0 0 0 1 0 0
x6 0 1 0 0 1 0 0 0
x7 0 0 0 1 0 1 0 1
x8 1 0 0 1 0 0 1 0
Determinăm toate legăturile prin drumuri ce pleacă dinx1 spre alte vˆrfuri:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x1 1 ∗∗ 1 1 1 ∗ 1 ∗∗ 1 ∗∗∗ 1 ∗∗ 1 ∗
de unde V1 = {x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}.
Procedăm la fel pe coloana întâi, scriind tabelul, pentru economie de spat¸iu, tot pe
orizontală
x1 1 ∗∗ 1 ∗ 1 ∗ 1
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
106

De aici V2 = {x1,x3,x7,x8}.
Acum găsim prima componentă tareconexă C1 =(V1 ∩ V2) ∪{x1} = {x1,x3,x7,x8}.
Eliminăm în matricea B liniile ¸si coloanele corespunzătoare vârfurilor din C1 ¸si obt¸inem
matricea
x2 x4 x5 x6
x2 0 0 0 0
B = x4 1 0 1 0
x5 1 0 0 1
x6 1 0 1 0
Cum pe linia lui x2 în B1 avem numai cifra 0, deducem că următoarea componentă
tare conexă esteC2 = {x2}.
Eliminând linia ¸si coloana corespunzătoare vârfului x2 din B1, obt¸inem
B2 =
x4 x5 x6
x4 0 1 0
x5 0 0 1
x6 0 1 0
Imediat rezultă ¸si componenta tare conexă C3 = {x4}, rămânând matricea
pentru care avem:
B3 =
x5 x6
x5 0 1
x6 1 0
x5 x6
x5 1 ∗ 1 ∗ , V1 = {x5,x6}
x5 1∗ 1
x5 x6
, V2 = {x5,x6}
deci mai avem componenta tare conexă C4 = {x5,x6}.
Observat¸ia 6.2.1 Deoarece oricare două vârfuri dintr-o componentă tare conexă suntlegate
între ele prin drumuri, rezultă că un graf poate fi reprezentat prin unul care are ca vârfuri
componentele tare conexe, arcele de legătură, între ele stabilindu-se după arcele din graful
dat. În cazul exemplului nostru obt¸inem graful din figura 21. Graful astfel obt¸inut se
nume¸ste graful condensat ata¸sat grafului dat.
Fig.21
Graful condensat este important în rezolvarea multor probleme practice deoarece
reduce dimensiunea sistemelor complexe.
107

6.2.4 Algoritmi pentru aflarea drumurilor hamiltoniene ale unui graf
În multe aplicat¸ii practice avem de stabilit succesiunea unui număr de operat¸ii, cu
respectarea unei anumite oridini. Din punctul de vedere a teoriei grafurilor aceasta revine
la găsirea unui drum hamiltonian în graful asociat aplicat¸iei respective.
Algoritmul Yu Chen pentru grafe fără circuite.
Pasul 1. Se determină matricea D a drumurilor ata¸sată grafului.
Pasul 2. La matricea D se mai adaugă o coloană ”a”, pe care se trec numărul de cifre 1
de pe fiecare linie din D. Aceste numere se numesc puterile de atingere corespunzătoare
vârfurilor grafului (ele reprezintă numărul de vârfuri, care sunt legate prin drumuri plecând
din vârful respectiv).
Pasul 3. Dacă pe coloana ”a” avem puteri de atingere diferite două câte două, atunci graful
are drum hamiltonian. Succesiuna vârfurilor în drumul hamiltonian se obt¸ine în ordinea
descrescătoare a puterilor de atingere (n − 1,n− 2,...,2, 1, 0).
Dacă cel put¸in două puteri de atingere sunt egale, atunci graful nu are drumuri
hamiltoniene.
Observat¸ia 6.2.2 Dacă ungraffără cricuite are drum hamiltonian, atunci el este unic.
Exem,plul 6.2.6. Fie graful din figura 22. Să cercetăm dacă are drum hamiltonian.
Matricea booleană ata¸sată grafului este
iar matricea drumurilor
B =
D =
Fig.22
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 0 0 0 0 0 0
x2 0 0 0 0 0 1
x3 0 1 0 0 0 1
x4 1 1 1 0 1 0
x5 1 0 1 0 0 0
x6 1 0 0 0 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 a
x1 0 0 0 0 0 0 0
x2 1 ∗ 0 0 0 0 1 2
x3 1 ∗ 1 0 0 0 1 3
x4 1 1 1 0 1 1 ∗ 5
x5 1 1 ∗ 1 0 0 1 ∗ 4
x6 1 0 0 0 0 0 1
Cum pe coloana a avem puteri de atingere diferite două câte două, rezultă că graful
admite un drum hamiltonian. Acesta este dH = {x4,x5,x3,x2,x6,x1}.
108

Algoritmul Yu Chen pentru grafuri cu circuite.
Acest algoritm are următorii pa¸si:
Pasul 1. Se determină componentele tare conexe ale grafului (X, Γ), notatecuC1,C2,....
Pasul 2. Se determină graful condensat asociat grafului (X, Γ), care este un graf fără circuite.
Pasul 3. Se determină drumul hamiltonian în graful condensat, când există.
Pasul 4. Se aranjează componentele tare conexe în ordinea dată de drumul hamiltonian
determinat la Pasul 3.
Pasul 5. Se scriu toate drumurile hamiltoniene din fiecare componentă tareconexă.
Pasul 7. Stabilim legăturile de la o componentă laaltaîn funct¸iedearceledeincident¸ă
(legătură) din graful dat, citind apoi toate drumurile hamiltoniene.
Observat¸ia 6.2.3 Dacăîn graful condensat nu există drum hamiltonian sau între două componente
nu există legătură, atunci graful nu are drumuri hamiltoniene.
Exemplul 6.2.7. Să aflăm drumurile hamiltoniene ale grafului din figura 20.
La exemplul 6.2.5 am găsit componentele tare conexe
C1 = {x1,x3,x7,x8},C2 = {x2},C3 = {x4},C4 = {x5,x6}
¸si graful condensat din figura 21.
Se observă că în graful condensat avem drumul hamiltonian
dCH = {C1,C3,C4,C2}.
Acum, scriem componentele tare conexe în ordinea din drumul dCH ¸si sub ele scriem
toate drumurile hamiltoniene din fiecare componentă:
C1 C3 C4 C2
x1x3x8x7 ↘
x7x8x1x3 ↗ x4 ↗ x5x6 ↘
x6x7
Apoi stabilim legăturile între ultimele elemente din drumurile dintr-o componentă ¸si
primele vârfuri din componenta următoare (le indicăm prin săget¸i).
Obt¸inem drumurile hamiltoniene:
d1H = {x1,x3,x8,x7,x4,x5,x6,x2}
d2H = {x7,x8,x1,x3,x4,x5,x6,x2}
Algoritmul matricilor latine. Vom prezenta un procedeu prin care se pot găsi toate drumurile
elementare, deci ¸si cele hamiltoniene, precum ¸si circuitele hamiltoniene. Fie (X, Γ)
un graf.
Vom utiliza matricea latină (Definit¸ia 6.1.20) L =(lij), unde
xixj , dacă (xi,xj) ∈ Γ
lij =
0 , dacă (xi,xj) ∈ Γ,i,j = 1,n.
Construim matricea L, obt¸inută din L prin înlăturarea lui xi din succesiunea xixj,
când acasta există.
Acum, definim o înmult¸ire specială de matrice, numită înmult¸irea latină ¸si notată
prin ”∗”, după cum urmează: a) înmult¸irea se face linii prin coloane; b) în locul înmult¸irii
obi¸snuite se face o alăturare de elemente, dacă acestea nu se repetă, sau se scrie 0 în caz
contrar; c) în locul adunării obi¸snuite se iau grupele obt¸inute la b, când avem astfel de
grupe. Prescurtat, vom scrie L ∗ L = L 2 . Analog, calculăm L 2 ∗ L = L 3 ,...,L k−1 ∗ L = L k . Se
observă că L k cont¸ine toate drumurile elementare de lungime k.
Prin urmare, în matricea L n−1 figurează toate drumurile hamiltoniene. Dacă dorim
să obt¸inem circuitele hamiltoniene se va calcula L n , dar admitem, ca except¸ie, situat¸ia de
repetare a primului ¸si a ultimului vârf (cel care închide circuitul).
Exemplul 6.2.8. Pentru graful din figura 23 să se determine drumurile hamiltoniene.
109
x2

¸si
Fig.23
Scriem matricea latină L, iar apoi din ea găsim L prin suprimarea primei litere:
L =
Acum calculăm
Apoi avem:
a b c d e
a 0 ab ac 0 0
b 0 0 bc 0 be
c 0 0 0 cd 0
d da db 0 0 0
e 0 0 ec 0 0
L 2 = L ∗ L =
L 3 = L 2 ∗ L =
L 4 = L 3 ∗ L =
, L =
a b c d e
a 0 b c 0 0
b 0 0 c 0 e
c 0 0 0 d 0
d a b 0 0 0
e 0 0 c 0 0
a b c d e
a 0 0 abc acd abe
b 0 0 bec bcd 0
c cda cdb 0 0 0
d 0 dab
e 0 0 0 ecd 0
dac
dbc 0 dbe
a b c d e
a 0 acdb abec abcd 0
b bcda 0 0 becd 0
c 0 cdab 0 0 cdbe
d 0 0
e ecda ecdb 0 0 0
dabc
dbec 0 dabe
a b c d e
a 0 0 0 abecd acdbe
b becda 0 0 0 0
c 0 0 0 0 cdabe
d 0 0 dabec 0 0
e 0 ecdab 0 0 0
În concluzie, graful dat are 6 drumuri hamiltoniene: d1H = {a, b, e, c, d}, d2H =
{a, x, d, b, e}, d3H = {b, e, c, d, a}, d4H = {c, d, a, b, e}, d5H = {d, a, b, e, c} ¸si d6H = {e, c, d, a, b}.
Pentru a obt¸ine circuitele hamiltoniene se va calcula L 5 = L 4 ∗ L, dar acum se admite ca
primul ¸si ultimul vârf să se repete.
6.2.5 Algoritmi pentru determinarea drumurilor de lungime optimă
În multe probleme practice suntem pu¸si în situat¸ia de a ata¸sa fiecărui arc din graful
asociat problemelor respective un număr (timp de deplasare de-a lungul arcului, cost de
110

transport de-a lungul arcului, beneficiu etc.) care, într-o astfel de situat¸ie, se interpretează
ca lungimea sau capacitatea arcului. De obicei, într-o astfel de problemă practică secere
drumul de lungime optimă (maximă sau minimă).
Vom mai considera că graful asociat problemei nu are circuite, dar are un vârf de
intrare x1 ¸si un vârf de ie¸sire xn.
Algoritmul elementar (Bellman). El are la bază principiul de optimalitate al lui Bellman:
orice politică optimală este formată din subpolitici optimale.
Prin acest algoritm fiecui vârf xi i se ata¸sează unnumăr di, reprezentând lungimea
minimă a drumurilor de la x1 la xi.
Considerăm d1 =0. Acum, să presupunem că dorimsăgăsim pe dl, unde vârful xl este
succesorul vârfurilor xi, xj ¸si xk, la care au fost deja calculate numerele di, dj ¸si dk. Atunci
lungimea minimă dl de la x1 la xl se determină prin formula
dl = min(di + cil,dj + cjl,dk + ckl)
unde cil, cjl ¸si ckl sunt capacităt¸ile corespunzătoare arcelor (xi,xl), (xj,xl) ¸si (xk,xl).
În formula lui dl subliniem în paranteze valoarea pentru care minimul este atins.
După determinarea tuturor numerelor d1,d2,...,dn, valoarea lui dn este lungimea minimă a
drumului de la x1 la xn, iar pornind de la xn spre x1 ¸si citind vârfurile subliniate, obt¸inem
drumul de lungime minimă.
Pentru un drum de lungime maximă se lucrează în mod analog, înlocuind minimul
cu maximul.
Exemplul 6.2.9. Pentru graful din figura 24 să se afle drumul de lungime minimă.
Avem succesiv:
Fig.24
d1 =0,
d3 = min{d1 +7} =7,
d2 = min{d1 +2,d3 +4} = min{2, 10} =2,
d4 = min{d2 +3,d3 +9} = min{5, 16} =5,
d5 = min{d2 +4,d4 +8} = min{6, 13} =6,
d6 = min{d5 +3,d4 +2} = min{9, 7} =7,
d7 = min{d5 +9,d6 +7} = min{15, 14} =14.
Prin urmare, lungimea minimă este 14, iar drumul care are această lungime este:
dmin = {x1,x2,x4,x6,x7}. În figura 24 arcele drumului minim sunt dublate cu linie întreruptă.
Algoritmul Bellman–Kalaba. Ideea de lucru este aceea¸si cu cea de la algoritmul elementar:
succesiv,pentru fiecare vârf, se calculează câteocotă(unnumăr). Căutăm tot drumuri de
lungime minimă. Introducem matricea pătratică C =(cij) i,j=1,n , definită astfel
⎧
⎨
cij =
⎩
l(xi,xj) , dacă există arcul (xi,xj)
0 , dacă i = j
∞ , dacă nuexistă arcul (xi,xj)
111

unde l(xi,xj) este lungimea arcului (xi,xj).
Notăm cu lik, i = 1,n, cota ata¸sată vârfului xi la pasul k, unde de obicei, luăm li,1 = cin,
când se caută drumul de lungime minimă între x1 ¸si xn.
Determinăm valorile lik, pas cu pas, prin rezolvarea sistemului
li,k = min (cij + lj,k−1), k =2, 3,...,i= 1,n.
j=1,n
Algoritmul se încheie când li,k = li,k+1 situat¸ie în care l1,k reprezintă lungimea minimă
a drumului de la x1 la xn.
Stabilirea drumului de lungime minimă se face astfel: pornind de la xn, pentru fiecare
arc (xi,xj) se decide apartenent¸a sa la drumul minim dacă
lj,k − li,k = cij = l(xi,xj).
Practic, algoritmul lucrează după următorii pa¸si:
Pasul 1. Se scrie matricea C.
Pasul 2. Se calculează cotele li,1, i = 1,n. Pentru aceasta matricei C i se adaugă ultima
coloană, pe care o notăm cu li,1. Apoi, se înmult¸e¸ste C cu această coloană li,1 după regula:
inmult¸irea se înlocuie¸ste cu adunare, iar adunarea cu operat¸ia de luare a minimului. Rezultă
astfel valorile de pe coloana li,2.
Pasul 3. Procesul de la pasul 2 se repetă cu coloana li,2 ¸s.a.m.d. până seobt¸in două coloane
identice li,k ¸si li,k+1.
Exemplul 6.2.10. Să găsim drumul de lungime minimă din graful dat în figura 24 utilizând
algoritmul Bellman–Kalaba.
Avem sucesiv
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 li,1 li,2 li,3 li,4 li,5
x1 0 2 7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 15 14 14
x2 ∞ 0 ∞ 3 4 ∞ ∞ ∞ 13 12 12 12
x3 ∞ 4 0 9 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 17 16 16
x4 ∞ ∞ ∞ 0 8 2 ∞ ∞ 9 9 9 9
x5 ∞ ∞ ∞ ∞ 0 3 9 9 9 9 9 9
x6 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 7 7 7 7 7 7
x7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 0 0 0 0
Cum li,4 coincide cu li,5, algoritmuls-aîncheiat. Avem
lmin(x1,x7) =l1,4 =14,
iar drumul de lungime minimă seaflă prin selectarea arcelor (xi,xj) pentru care lj,k−li,k = cij.
Aceste arce sunt: (x1,x3), (x2,x4), (x4,x6), (x6,x7), de unde rezultă că drumul de lungime
minimă estedmin = {x1,x2,x4,x6,x7}.
Observat¸ia 6.2.4 Pentru drumul de lungime maximă matricea C este analoagă numaicăîn
loc de +∞ se ia −∞.
Teoria grafurilor, ca instrument matematic utilizat în rezolvarea problemelor din
diferite domenii, este foarte bogată în algoritmi. Pentru cei care doresc să aprofundeze
această minunată colect¸ie, poate apela la lucrările [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8].
6.2.6 Metoda drumului critic
Metoda drumului critic (Critical Path Method – C.P.M.) este un instrument matematic
util speciali¸stilor în rezolvarea programelor complexe de planificare, investit¸ii, product¸ie
etc. Principiul metodei constă în descompunerea unui program complex în părt¸i componente,
numite activităt¸i sau operat¸ii, la un nivel care să permită corelarea funct¸ională a
acestora, adică săfacă posibilă stabilirea intercondit¸ionărilor între părt¸ile componente. La
112

stabilirea listei (ret¸elei) de activităt¸i xi, speciali¸stii care participă la această operat¸ie trebuie
să precizeze activităt¸ile care condit¸ionează sau preced în mod necesar activitatea xi. Astfel,
se formează o listă de ateriorităt¸i obligatorii. Cu ajutorul acestor date se construie¸ste un
graf G – graful asociat sau graful program – în felul următor:
a) fiecărei activităt¸i i se asociază unarc(xi,xj), unde vârful (evenimentul) xi reprezintă
începutul operat¸iei, iar xj sfâr¸situl ei;
b) vârful x1 este numai vârful de început (intrare) în graf, vârful xn este numai vârf de
sfâr¸sit (ie¸sire), iar celelalte vârfuri sunt ¸si de intrare ¸si de ie¸sire în graf;
c) condit¸ionarea (anterioritatea) a două activităt¸i se reprezintă prin succesiunea arcelor
corespunzt¸oare;
d) fiecărui arc (xi,xj) i se asociază unnumăr nenegativ tij, semnificând durata activităt¸ii
respective;
e) nici o activitate nu poate începe înaintea terminării tuturor activităt¸ilor precedente ¸si
nu se poate finaliza după începerea activităt¸ilor următoare.
Graful astfel ata¸sat unei ret¸ele de activităt¸i este un graf conex orientat, fără circuite,
cu un singur vârf x1 de intrare în graf ¸si un singur vârf xn de ie¸sire din graf. Acest graf–
program evident¸iază legăturile funct¸ionale (tehnologie, economie ¸s.a.) dintre activităt¸i.
Ment¸ionăm că un astfel de graf, asociat unui program complex, poartă numelederet¸ea de
planificare.
Este evident că într-o ret¸eadeplanificareexistă cel put¸in o succesiune de activităt¸i
de la intrare la ie¸sire. O astfel de succesiune reprezintă un drum de la intrare la ie¸sire,
având o anumită lungime.
În C.P.M. esent¸ial este de remarcat faptul că cea mai ”lungă” succesiune de activităt¸i
de la intrare la ie¸sire determină durata minimă posibilă deexecut¸ie integrală a programului.
Această succesiune de activităt¸i poartă numele de drum critic (drumul de lungime
maximă). Arcele lui reprezintă operat¸iile critice, adică acele activităt¸i pentru care efectuarea
lor nu poate întârzia, fără casă fie afectat termenul de finalizare a întregii lucrări.
Într-o ret¸ea de activităt¸i pot apare operat¸iicaresedesfă¸soară în serie (una după alta),
care în graf se reprezintă ca o succesiune de arce, ¸si operat¸iicaresedesfă¸soară în paralel
(simultan), care în graf se reprezintă astfel
Această reprezentare poate crea confuzia că un arc (xi,xj) reprezintă două act¸iuni
diferite. Pentru a înlătura acest neajuns, uneori, se introduc a¸sa numitele operat¸ii fictive
de durată zero, a¸sa cum se arată în figura
Activităt¸ile fictive se desenează punctat ¸si au durata zero pentru că nuconsumănici
timp ¸si nici resurse.
Având graful unei ret¸ele de activităt¸i, se trece la determinarea parametrilor programului.
Ace¸stia sunt:
113

a) durata drumului critic între două vârfuri xi ¸si xj, notat prin tc(xi,xj) ¸si obt¸inut prin
valoarea maximă a duratei drumurilor dintre vârfurile xi ¸si xj;
b) durata drumului critic al programului este dată detc(x1,xn). În realizarea unui program
ret¸ea de activităt¸i ne interesează dacă o operat¸ie necritică poatefiamântă cuunanumit
interval de timp astfel încât nici una din operat¸iile care o succed să nufiestânjenită în
privint¸a duratei ce i-a fost programată. Asta înseamnă că durata întregului program
trebuie să rămână tc(x1,xn);
c) ti – timpul cel mai devreme (scurt) de realizare a evenimentului xi. Avemti = tc(x1,xi);
d) t ∗ i – timpul cel mai târziu (lung) de realizare a evenimentului xi. Avem
t ∗ i = tc(1,n) − tc(i, n)
Se observă căti se calculează ca durata drumurilor de lungime maximă parcurgând
ret¸eaua în sens direct, iar t∗ i ca durata drumurilor de lungime maximă obt¸inute
prin parcurgerea ret¸elei în sens invers.
e) R(xi) – rezerva de timp a evenimentului xi dată prin formula
R(xi) =t ∗ i − ti.
Intervalul [ti,t ∗ i ] se nume¸ste intervalul de fluctuat¸ie al evenimentului xi adică intervalul
în care se va putea realiza evenimentul xi fără a produce modificări la timpul total
de realizae a programului. Pentru evenimentul critic avem R(xi) =0, iar pentru cele
necritice avem R(xi) > 0;
f) R(xi,xj) – rezerva (marja) totală de timp pentru operat¸ia (activitatea)(xi,xj) reprezintă
timpul maxim cu care se poate mări durata activităt¸ii fără să se afecteze durata totală
a programului. Avem formula de calcul
R(xi,xj) =t ∗ i − ti − t(xi,xj)
unde t(xi,xj) reprezintă timpul necesar realizării operat¸iei (xi,xj);
g) r(xi,xj) – rezerva de timp liberă (marja liberă) a operat¸iei (xi,xj) reprezintă parteadin
rezerva totală cu care se poate dilata durata de realizare a activităt¸ii (xi,xj) fără săfie
afectat termenul cel mai devreme de realizare a evenimentului xi. Avem
r(xi,xj) =tj − ti − t(xi,xj).
h) rs(xi,xj) – rezerva de timp sigură (marja sigură)a activităt¸ii (xi,xj) se define¸ste prin
formula
rs(xi,xj) =tj − t ∗ i − tij
Dacă rs(xi,xj) < 0, atunci se spune că activitatea (xi,xj) nu are marjă sigură.
Intervalele de fluctuat¸ie ¸si marjele libere măsoară elasticitatea unui program. Cu cât
acestea sunt mai mici, cu atât programul este mai rigid.
Determinarea tuturor acestor parametrii ata¸sat¸i unei ret¸ele de planificare se poate
realiza prin întocmirea unui tabel de forma:
i j tij ti tj t ∗ i t ∗ j R(xi) R(xi,xj) r(xi,xj) rs(xi,xj)
În prealabil se vor calcula duratele tc(x1,xi), respectivtc(xi,xn) ale drumurilor critice,
folosind algoritmii pentru determinarea drumurilor de lungime maximă. Valorile aflate se
pot scrie lângă vârfurile grafului astfel
[tc(xi,xj),tc(xi,xn)]
114

Exemplul 6.2.10. Să analizăm programul unei investit¸ii pentru care dorim să studiem durata
¸si modul de execut¸ie. În urma analizei programului, speciali¸stii au stabilit următorul tabel
de operat¸ii (activităt¸i), lista de anteriorităt¸i obligatorii ¸si durata de execut¸ie în luni:
Nr. Denumire activităt¸ii Anteriorităt¸i Durata
crt. (Notat¸ia prescurtată) obligatorii (luni)
1. Proiectarea (P ) – 8
2. Eliberarea terenului (E) P 3
3. Comenzi utilaje (C, U) P 4
4. Organizare ¸santier – etapa 1 (OS1) P 2
5. Formare cadre calificate (F ) D 11
6. Execut¸ie drumuri interioare – etapa 1 (D1) E; OS1 3
7. Execut¸ii ret¸ele tehnice – etapa 1 (R1) E; OS1 6
8. Livrări, recept¸ie utilaje (L, U) C, U 7
9. Lucrări construct¸ii montaj – etapa 1 (C1) E; OS1 5
10. Organizare ¸santier – etapa 2 (OS2) OS1 3
11. Execut¸ii drumuri interioare – etapa 2 (D2) D1; OS2; R1 4
12. Execut¸ii ret¸ele tehnice – etapa 2 (R2) R1 6
13. Lucrări construct¸ii montaj – etapa 2 (C2) L, U, C1,Rj 11
T¸inând seama de informat¸iile din tabelul precedent, obt¸inem următorul graf pentru
ret¸eaua de planificare.
Acum, folosind algoritmul lui Bellman, determinăm numerele ti ¸si t∗ i ,trecându-le pe
graf între paranteze drepte.
115

116

Cu ajutorul parametrilor ti ¸si t∗ i întocmim tabelul de mai jos pentru a calcula
rezervele (marjele) R(xi), R(xi,xj), r(xi,xj) ¸si rs(xi,xj).
i j tij ti tj t ∗ i t ∗ j R(xi) R(xi,xj) r(xi,xj) rs(xi,xj)
1 2 8 0 8 0 8 0 0 0 0
2 3 4 8 12 8 12 0 0 0 0
2 4 2 8 10 8 23 0 13 0 0
2 5 3 8 11 8 14 0 3 0 0
2 9 11 8 30 8 30 0 11 11 11
3 7 7 12 19 12 19 0 0 0 0
4 8 3 10 14 23 26 13 13 1 -12
5 6 6 11 17 14 24 3 7 0 -3
5 7 5 11 19 14 19 3 2 3 0
5 8 3 11 14 14 26 3 12 0 -3
6 9 5 17 30 25 30 8 8 8 0
7 9 11 19 30 19 30 0 0 0 0
8 9 4 14 30 26 30 12 12 12 0
Drumul critic este dcr = {x1x2,x3,x7,x9}, fiind marcat în ultimul graf prin săget¸ile
duble. Operat¸iile critice se recunosc în tabelul de mai sus după R(xi,xj) =0. Timpul cel
mai devreme de încheiere a întregului program este 30 (de luni), adică durata (lungimea
maximă) drumului critic.
Examinarea rezervelor de timp permite cunoa¸sterea posibilităt¸ilor pe care le are la
dispozit¸ie cel care coordonează programul în vederea unei intervent¸ii optime pentru executarea
în termen a proiectului. De exemplu, pentru activitatea D2([x8,x9]), cu durata
de execut¸ie 4 luni, deducem că nu poate începe mai devreme de trecerea a 14 luni de la
începutul execut¸iei programului (t8 = 14). A¸sadar, activitatea D2 poate începe a fi executată
în intervalul de fluctuat¸ie [14, 26], fără a modifica într-un fel timpul minim necesar execut¸iei
programului de investit¸ie.
Observat¸ia 6.2.5 Atunci când numărul operat¸iilor dintr-un program nu este prea mare, pentru
analiza grafului, cât ¸si pentru urmărirea realizării lui, se paote folosi diagrama Gantt.
Pentru descrierea ei se procedeză astfel:
a) se ordonează activităt¸ile (xi,xj) după j crescător, cele cu acela¸si j succedându-se în
ordinea crescătoare dată dei,
b) se reprezintă prin bare orizontale duratele activităt¸ilor, marcându-le extremităt¸ile lor
cu numerele de ordine ale evenimentelor;
c) se reprezintă punctat drumul critic.
Pentru graful programului studiat în exemplul 6.2.10, diagrama Gantt este dată în
figura de mai jos.
117

Diagrama Gantt ne descrie în mod intuitiv fluctuat¸iile evenimentelor ¸si rezervele
(marjele) activităt¸ilor din programul studiat.
De exemplu, cu evenimentul 6 se termină activitatea (5, 6) ¸si începe activitatea (6, 9);
rezultă căoperat¸ia (5, 6) s-ar putea amâna cu cel mult 7 unităt¸i de timp deoarece, în caz
contrar, operat¸ia (6, 9) s-ar deplasa spre dreapta, peste durata întregului program. Rezultă
că fluctuat¸ia evenimentului 6 este de 7 unităt¸i.
6.3 Problema fluxului optim în ret¸ele de transport
Not¸iunea de flux joacă unrolimportantîn domenii de important¸ă pentru economie,
cum sunt: teoria informat¸iei, cibernetică, transport, planificare etc.
În acest paragraf vom studia problema determinării fluxului optim într-o ret¸ea de
transport.
6.3.1 Ret¸ele de transport
Fie (X, Γ) un graf orientat.
Definit¸ia 6.3.1 Graful orientat (X, Γ) se nume¸ste ret¸ea de transport dacă este fără circuite,
are un singur vârf de intrare x1 (Γ− x1 = ∅), un singur vârf de ie¸sire xn (Γ + xn = ∅) ¸si oricare
arc a ∈ Γ are o capacitate pozitivă c(a).
Definit¸ia 6.3.2 Se nume¸ste flux într-o ret¸eadetransportofunct¸ie ϕ :Γ→ R+, care satisface
condit¸ile:
i) ϕ(a) ≤ c(a), pentru orice arc a ∈ Γ;
ii) în orice vârf xi ∈ X avem satisfăcută egalitatea
ϕ(a) =
ϕ(a),
numită proprietate de conservare.
a∈Γ + x i
Numărul ϕ(a) se mai nume¸ste ¸si fluxul asociat arcului a ¸si reprezintă, din punct de
vedere practic, cantitatea de materie ce trece prin arcul a, ca de exemplu: cantitate de
informat¸ie, număr de produse etc.
Condit¸ia ii) din Definit¸ia 6.3.2 exprimă faptul că suma fluxurilor ce intră într-un vârf
118
a∈Γ − x i

este egală cu suma fluxurilor ce ies din acel vârf (”legea lui Kirchoff”).
Din aceea¸si condit¸ie ii) rezultă că
ϕ(a) =
ϕ(a).
a∈Γ + x 1
a∈Γ − xn
Definit¸ia 6.3.3 Numărul real pozitiv Φ, definit prin egalitatea
Φ=
ϕ(a)
se nume¸ste valoarea fluxului ϕ în ret¸ea.
a∈Γ + x 1
Exemplul 6.3.1. În graful din fig 6.3.1. să se definească un flux ¸si să se calculeze valoarea
fluxului în ret¸ea. În paranteze drepte sunt trecute capacităt¸ile arcelor.
Fig.6.3.1.
Pentru a defini un flux în ret¸eaua dată de graful 6.3.1. folosim Definit¸ia 6.3.2.
Funct¸ia ϕ definită prin tabelul
Γ (x1,x2) (x1,x3) (x1,x4) (x2,x3) (x2,x5) (x3,x5) (x4,x3)
ϕ(a) 5 1 7 1 4 2 0
(x4,x5) (x4,x6) (x5,x7) (x6,x5) (x6,x7)
1 6 10 3 3
este un flux în ret¸ea. Valoarea fluxului în ret¸ea este Φ=5+1+7=10+3=13. S¸i aplicat¸ia
ϕ1 :Γ→ R+ dată prin tabelul
Γ (x1,x2) (x1,x3) (x1,x4) (x2,x3) (x2,x5) (x3,x5) (x4,x3)
ϕ1(a) 5 2 6 1 4 5 2
(x4,x5) (x4,x6) (x5,x7) (x6,x5) (x6,x7)
1 3 10 0 3
este un flux în ret¸eaua din fig.6.3.1, iar valoarea fluxului în ret¸ea este
Φ1 =5+2+6=10+3=13
Definit¸ia 6.3.4 Într-o ret¸ea de transport înzestrată cu fluxul ϕ arcul a se nume¸ste saturat
dacă ϕ(a) =c(a). Un drum în ret¸ea se zice că este saturat dacă cont¸ine cel put¸in un arc
saturat.
Definit¸ia 6.3.5 Un flux ϕ pentru care toate drumurile de la x1 la xn sunt saturate se nume¸ste
flux complet.
119

Exemplul 6.3.2. Pentru fluxul ϕ asociat grafului din fig.6.3.1. drumul d =(x1,x2,x5,x7) este
saturat deoarece arcele (x2,x5) ¸si (x5,x7) sunt saturate. Se verifică imediat că fluxul ϕ este
complet. Într-adevăr, se observă că singurul drum de la x1 la x7 care nu trece prin arcul
(x5,x7) este d1 =(x1,x4,x6,x7), care are însă arcul saturat (x1,x4).
Fluxul ϕ1 nu este complet deoarece drumul d1 =(x1,x4,x6,x7) nu este saturat.
Observat¸ia 6.3.1 Orice flux se paote transforma într-unul complet. În acest scop pe fiecare
drum nesaturat d de la x1 la xn se măresc fluxurile arcelor cu cantitatea k = min
a∈d (c(a)−ϕ(a)).
Exemplul 6.3.3. Să considerăm graful din fig.6.3.1. cu fluxul incomplet ϕ1. Se observă
că singurul drum nesaturat este d1 =(x1,x4,x6,x7). Mărim fluxul pe arcele sale cu k =
min(7 − 6, 6 − 3, 14 − 3) = 1 ¸si obt¸inem arcul saturat (x1,x4). Astfel fluxul ϕ1 s-a transformat
în fluxul complet ϕ2 dat prin tabelul:
Γ (x1,x2) (x1,x3) (x1,x4) (x2,x3) (x2,x5) (x3,x5) (x4,x3)
ϕ2(a) 5 2 7 1 4 5 2
(x4,x5) (x4,x6) (x5,x7) (x6,x5) (x6,x7)
1 4 10 0 4
Fluxul în ret¸ea este Φ2 =14.
6.3.2 Algoritmul lui Ford–Fulkerson pentru determinarea fluxului maxim
într-un graf de ret¸ea
În acest paragraf vom descrie un algoritm de marcare iterativă cu+ ¸si − avârfurilor
grafului ret¸elei de transport. Dacă prin acest proces se va ajunge la marcarea vârfului xn,
atunci fluxul nu este maxim, în caz contrar fluxul complet va fi maxim.
Algoritmul de marcare cu + ¸si − (Ford–Fulkerson) are următorii pa¸si:
1) se marchează x1 cu +;
2) dacă xi este un vârf marcat ¸si există arcul nesaturat (xi,xj) ∈ Γ, atunci xj se marchează
cu +;
3) dacă vârful xi este marcat ¸si există arcul (xj,xi) ∈ Γ cu flux pozitiv, atunci xj se
marchează cu−;
4) se repetă pa¸sii 2) ¸si 3) atât timp cât este posibil;
5) dacă prin procedeul de marcare nu s-a ajuns la vârful xn, atunci fluxul este maxim;
dacă prin procesul de marcare s-a ajuns la xn, atunci fluxul complet nu este maxim ¸si
se trece la pasul următor;
6) se majoreză fluxul cu cantitatea
m = min {c(a) − ϕ(a),ϕ(a1)}.
a,a1∈L
Aici, am notat cu L lant¸ul care trece prin toate vârfurile marcate de la x1 la xn,
a tipul de arc din L precizat la pasul 2), iar a1 tipul de arc din L precizat la pasul 3).
Majorarea fluxului se face astfel: cantitatea m se adună la fluxul de pe arcele a ¸si se
scade la fluxul de pe arcele a1;
7) se reia procesul de marcare a vârfurilor.
Pentru justificarea mai comodă a algoritmuui Ford–Fulkerson introducem not¸iuneaa
de tăietură într-un graf.
120

Definit¸ia 6.3.6 Numim tăietură în graful F =(X, Γ) o partit¸ionare a vârfurilor X în două
submult¸imi Y ¸si C(Y ), astfel încât x1 ∈ Y ¸si xn ∈ C(Y ). Notăm prin Y/X tăietura determinată
deY în graful G. Valoarea tăieturii, notată prin v(Y/X) este, prin definit¸ie, suma
capacităt¸ilor arcelor cu vârful init¸ial în Y ¸si vârful final în C(Y ), adică
v(Y/X)=
a∈Γ +
Y
c(a), unde Γ +
Y
=
Propozit¸ia 6.3.1 Fie în graful ret¸ea G =(X, Γ) otăietură Y/X. Pentru orice flux ϕ are loc
inegalitatea
Φ ≤ v(Y/X).
Demonstrat¸ie. Având în vedere că suma fluxurilor ce intră în Y este egală cusuma
fluxurilor ce ies din Y , putem scrie
Φ+
ϕ(aij) =
ϕ(aij),
de unde
Φ=
aij∈Γ +
Y
i=1
a ij ∈Γ −
Y
ϕ(aij) −
i=1
a ij ∈Γ −
Y
aij∈Γ +
Y
ϕ(aij) ≤
aij∈Γ +
Y
xi∈Y
Γ + xi .
c(aij) =v(Y/X).
Propozit¸ia 6.3.2 Dacă utilizând algoritmul lui Ford–Fulkerson nu se poate marca vârful xn,
atunci valoarea fluxului Φ corespunzător este maximă.
Demonstrat¸ie. Fie Y mult¸imea vârfurilor marcate prin algoritmul lui Ford–Fulkerson.
Avem x1 ∈ Y ¸si xn ∈ Y . Cum nu se mai poate marca nici un vârf, un arc aij =(xi,xj) cu
xi ∈ Y ¸si xj ∈ Y verifică ϕ(aij) =c(aij), iar un arc aji =(xj,xi) cu xi ∈ X ¸si xj ∈ Y verifică
ϕ(aji) =0. Deci:
Φ=
ϕ(aij) −
=
c(aij) =v(Y/X).
aij∈Γ +
Y
i=1
a ij ∈Γ −
Y
aij∈Γ +
Y
Folosind propozit¸ia 6.3.1, rezultă că Φ are valoarea maximă.
Teorema 6.3.1 (Ford–Fulkerson). Într-un graf G =(X, Γ) valoarea maximă a unui flux Φ
este
max Φ = min
ϕ Y/X v(Y/X).
Demonstrat¸ie. Veridicitatea teoremei rezultă din propozit¸iile 6.3.1 ¸si 6.3.2.
Exemplul 6.3.4. Să se determine fluxul maxim în graful ret¸ea de transport dat în fig.6.3.1.
Plecăm de la fluxul complet obt¸inut în Exemplul 6.3.3. ¸si începem procesul de marcare
avârfurilor cum este ilustrat în fig.6.3.2.
121

Fig.6.3.2.
Marcăm mai întâi vârful x1 cu +. Apoi marcăm cu + vârfurile x2 ¸si x3 deoarece arcele
(x1,x2) ¸si (x1,x3) sunt nesaturate.
Vârful x4 se marchează cu− pentru că arcul (x4,x3) are fluxul pozitiv. Se marchează
cu + vârful x5 ¸si x6 deoarece arcele (x4,x5) ¸si (x4,x6) sunt nesaturate. În fine, se marchează
cu + vârful x7 deoarece arcul (x6,x7) este nesaturat.
Întrucât s-a marcat x7 deducem că fluxul nu este maxim. El poate fi majorat cu
cantitatea m = min{3 − 2, 2, 6 − 4, 13 − 4} =1, minimul fiind luat pe lant¸ul L = {x1,x3,x4,x6,x7}.
Rezultă fluxul complet
Γ (x1,x2) (x1,x3) (x1,x4) (x2,x3) (x2,x5) (x3,x5) (x4,x3)
ϕ3(a) 5 3 7 1 4 5 1
(x4,x5) (x4,x6) (x5,x7) (x6,x5) (x6,x7)
1 5 10 0 5
cu valoare Φ3 =15.
Încercăm o nouă marcare (al doilea semn + sau −). Se poate marca din nou vârfurile
lant¸ului L =(x1,x2,x3,x4,x6,x7). Rezultăcăfluxul ϕ3 nu este maxim. El poate fi majorat
cu cantitatea
m = min{6 − 5, 2 − 1, 1, 6 − 5, 13 − 5} =1.
Rezută fluxul complet
Γ (x1,x2) (x1,x3) (x1,x4) (x2,x3) (x2,x5) (x3,x5) (x4,x3)
ϕ4(a) 6 3 7 2 4 5 0
(x4,x5) (x4,x6) (x5,x7) (x6,x5) (x6,x7)
1 6 10 0 6
cu valoarea Φ4 =6+3+7=10+6=16.
Deoarece s-a marcat x7 deducem că trebuie continuat algoritmul Ford–Fulkerson.
Marcăm cu + vârful x1 (al treilea +) ¸si se observă cănu se mai pot marca alte vârfuri
deoarece arcele (x1,x2), (x2,x3) ¸si (x1,x4) sunt saturate. Rezultă că fluxul Φ4 =16este maxim.
Tăietura cu valoare minimă estedatădemult¸imea Y = {x1} cu v(Y/X)=6+3+7=16.
Exemplul 6.3.5. Trei depozite D1, D2, D3 dispun de 11, 10, 13 tone dintr-un produs din care
patru consumatori C1, C2, C3, C4 au nevoie de 9, 8, 9 ¸si 11 tone. Posibilităt¸ile de transport
limitate de capacităt¸ile mijloacelor de transport sunt date în tabelul:
Di \ Cj C1 C2 C3 C4
D1 5 3 0 6
D2 3 0 9 0
D3 0 6 1 5
Existent¸a numărului 0 ne indică că de la depozitele D respective nu se face nici un
transport la consumatorii corespunzători.
Să se determine un plan optim de transport astfel încât să poată fi asigurată integral
cererea consumatorilor C2 ¸si C3, iar cererea consumatorilor C1 ¸si C4 în cea mai mare
măsură.
Transformăm problema într-un graf de ret¸ea de transport, considerând vârful de
intrare x1, vârfurile x2, x3, x4 corespunzătoare depozitelor D1, D2, D3, vârfurile x5, x6, x7,
x8 corespunzătoare celor patru consumatori ¸si x9 vârful de ie¸sire. Problemei noastre îi
corespunde graful din figura 6.3.3.
122

10
5
4 11
Fig.6.3.3.
Rezolvarea problemei revine la determinarea unui flux maxim în ret¸eaua de transport din
fig.6.3.3.
Vom utiliza algoritmul lui Ford–Fulkerson.
Mai întâi trebuie să determinăm un flux ϕ pentru ret¸ea. Prin încercări, respectând
condit¸iile din Definit¸ia 6.3.2, construim fluxul
Γ (x1,x2) (x1,x3) (x1,x4) (x2,x5) (x2,x6) (x2,x8) (x3,x5)
ϕ 7 8 6 4 2 1 0
(x3,x7) (x4,x6) (x4,x7) (x4,x8) (x5,x9) (x6,x9) (x7,x9) (x8,x9)
8
cu valoarea Φ=21.
5 1 0 4 7 9 1
Se observă căfluxul ϕ este incomplet deoarece drumurile d1 = (x1,x2,x5,x9), d2 =
(x1,x2,x6,x9), d3 =(x1,x2,x8,x9), d4 =(x1,x3,x5,x9), d5 =(x1,x4,x6,x9), d6 =(x1,x4,x8,x9) sunt
nesaturate.
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător cu k1 = min(11 −
7, 5 − 4, 9 − 4) = 1, k2 = min(11 − 7, 3 − 2, 8 − 7) = 1, k3 = min(11 − 7, 6 − 1, 11 − 1) = 4, k4 =
min(10 − 8, 3 − 0, 9 − 4) = 2, k5 = min(13 − 6, 6 − 5, 8 − 7) = 1, k6 = min(13 − 6, 5 − 0, 11 − 1) = 5.
Obt¸inem noul flux ϕ1:
Γ (x1,x2) (x1,x3) (x1,x4) (x2,x5) (x2,x6) (x2,x8) (x3,x5)
ϕ1 11 10 12 4 2 5 2
(x3,x7) (x4,x6) (x4,x7) (x4,x8) (x5,x9) (x6,x9) (x7,x9) (x8,x9)
8 6 1 5 6 8 9 10
cu Φ1 =11+10+22=6+8+9+10=33.
Deoarece prin majorare cu k3 arcul (x1,x2) s-a saturat, drumurile d1 ¸si d2 au devenit
saturate prin urmare nu s-au mai putut majora fluxurile pe d1 ¸si d2.
Este evident că fluxul ϕ1 este complet deoarece pe fiecare din drumurile de la x1 la x9
se află cel put¸in un arc saturat.
Acum trecem la îmbunătăt¸irea fluxului prin folosirea algoritmului Ford–Fulkerson.
Marcăm x1 cu +. Cum arcul (x1,x4) este nesaturat, marcăm x4 cu +. Deoarece arcele
(x4,x6), (x4,x7), (x4,x8) sunt saturate, rezultă cămarcarea nu mai poate fi continuată. Prin
urmare, vârful x9 nu poate fi marcat. Deducem că valoarea fluxului maxim este 33. Tăietura
de capacitate minimă esteY = {x1,x4} cu
v(Y/X)=11+10+6+1+5=33.
Programul optimal dat de fluxul ϕ1 se poate reprezenta ¸si prin tabelul
Cj x5 x6 x7 x8 Cantităt¸i din produse Cantităt¸i
Dj C1 C2 C3 C4 disponibile în depozite consumate
x2 D1 4 2 0 5 11 11
x3 D2 2 0 8 0 10 10
x4 D4 0 6 1 5 13 13
Cererile
consumatorilor
Cereri
satisfăcute
9 8 9 11
6 8 9 10
123

Valorile (xi,xj) din tabel au fost citite din fluxul optimal ϕ1 ¸si reprezintă cantitatea
de produs luată din depozitul xi ¸si transportată la consumatorul xj.
Observat¸ia 6.3.2 Algoritmul Ford–Fulkerson se poate utiliza ¸si la rezolvarea problemei determinării
numărului maxim de cuplaje (legături independente) într-un graf bipartit. Un
graf G =(X, Γ) se nume¸ste bipartit dacă există o partit¸ie a mult¸imii X = X1 ∪X2, X1 ∩X2 = ∅
astfel încât fiecare arc a lui G are o extremitate în X1 ¸si cealaltă în X2.
124

6.4 Testul Nr. 5 de verificare a cuno¸stint¸elor
1. Definit¸i not¸iunile următoare:
a) Graf;
b) Graf simetric;
c) Drum într-un graf;
d) Drum hamiltonian;
e) Graf tare conex.
2. Definit¸i not¸iunile următoare
a) Arbore;
b) Matricea booleană ata¸sată unuigraf;
c) Ret¸ea de transport;
d) Flux complet într-o ret¸ea de transport.
3. Să se găsească cu ajutorul algoritmului lui Bellman drumul minim x1 → x5 din
următorul graf:
X1
3
2
4. Găsit¸i drumurile, fără circuite, de lungime 1, 2 ¸si 3 din graful următor
X1
2
X2
X3
5. Determinat¸i cu ajutorul algoritmului lui Bellman drumul de lungime maximă x1 → x14
din graful următor, precizând ¸si lungimea acesteia:
7
X4 X5
2
5
2
X3 10
9
X1 X2
3
8
X6 X7
4
5
9
125
1
X8
1
X2
X3
X4
X10
9
5
8
5
5
0
3
X12
X9
X4
X5
X11
6
10
7
X5
X13
3
X14

6. Găsit¸i cu ajutorul algoritmului Bellman - Kalaba drumul minim x1 → x7 ¸si lungimea
acestuia din următorul graf:
X1
5
7
3
X4
X2
2
1
8
4
X3
6
X5
4
10
5 9
7. Găsit¸i cu ajutorul algoritmului Bellman - Kalaba drumul maxim x1 → x7 ¸si lungimea
acestuia din graful de la problema precedentă.
8. Folosind metoda drumului critic să se determine elementele caracteritice ale
următoarei ret¸ele de activităt¸i:
7
X4 X5
2
5
2
X3 10
9
X1 X2
3
8
X6 X7
4
9. Stabilit¸i folosind algoritmul marcării dacă următorul graf are circuite:
10. Scriet¸i matricea booleană asociată grafului
X1
X1
5
X3
X5
X2
9
126
X8
X10
X2
9
X4
X4
X6
5
8
X9
0
X12
X5
X11
6
10
X6
X3
7
X13
3
X7
X14

Indicat¸ii ¸si răspunsuri
Testul 5
3. Drumul minim este [x1,x2,x4,x5] ¸si are lungimea 6.
4. Se obt¸in matricile:
L x1 x2 x3 x4 x5
x1 0 x1x2 0 x1x4 x1x5
x2 0 0 x2x3 0 x2x5
x3 x3x1 0 0 0 0
x4 0 0 x4x3 0 x4x5
x5 0 0 0 0 0
L ∗ x1 x2 x3 x4 x5
x1 0 x1 0 x1 x1
x2 0 0 x2 0 x2
x3 x3 0 0 0 0
x4 0 0 x4 0 x4
x5 0 0 0 0 0
L 2 = L ∗ · L x1 x2 x3 x4 x5
x1 0 0 x1x2x3 0 x1x2x5
x1x4x3
x1x4x5
x2 x2x3x1 0 0 0 0
x3 0 x3x1x2 0 x3x1x4 x3x1x5
x4 x4x3x1 0 0 0 0
x5 0 0 0 0 0
L 3 = L ∗ · L 2 x1 x2 x3 x4 x5
x1 0 0 0 0 0
x2 0 0 0 x2x3x1x4 x2x3x1x5
x3 0 0 0 0 x3x1x2x5
x3x1x4x5
x4 0 x4x3x1x2 0 0 x4x3x1x5
x5 0 0 0 0 0
5. Drumul de lungime maximă este[x1,x2,x4,x5,x3,x7,x8,x11,x13,x14] ¸si lmax =48.
6. Se obt¸ine l min (x1 → x7) =17¸si drumul minim [x1,x3,x6,x7].
7. Se obt¸ine lmax(x1 → x7) =28¸si dmax(x1 → x7) =[x1,x4,x3,x5,x6,x7].
127

8. Se obt¸ine tabelul final:
i j lij ti tj sj mij Mij
1 2 2 0 2 2 0 0
2 3 9 2 16 16 5 5
2 4 5 2 7 7 0 0
2 6 3 2 5 12 0 7
3 7 4 16 20 20 0 0
4 5 7 7 14 14 0 0
5 3 2 14 16 16 0 0
5 8 5 14 30 30 11 11
6 7 8 5 20 20 7 7
7 8 10 20 30 30 0 0
7 9 9 20 29 35 0 5
7 10 9 20 29 34 0 5
8 11 8 30 38 38 0 0
9 13 10 29 45 45 6 6
10 12 5 29 38 39 4 5
11 13 7 38 45 45 0 0
12 13 6 38 45 45 1 1
13 14 3 45 48 48 0 0
9. Se vor marca în ordine x3,x4,x5,x2,x1 ¸siastfelsededucecăavemungraffără circuite.
10. matricea booleană asociată este:
⎛
⎜
⎝
0 1 1 0 1 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0
128
⎞
⎟
⎠

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul I,
Editura ULB, Sibiu, 2001.
[2] Blaga, P., Mure¸san, A., Matematici aplicate în economie, vol.I, II, Transilvania Press,
Cluj–Napoca, 1996.
[3] Ionescu, T., Grafuri. Aplicat¸ii, vol.I, vol.II, Editura Didactică ¸si Pedagogică, Bucure¸sti,
1973, 1974.
[4] Izvercian, P.N.,Cret¸u, V., Izvercian, M., Resiga, R., Introducere în teoria grafurilor.
Metoda drumului critic, Editura de Vest, Timi¸soara, 1994.
[5] Popescu, O., Raischi, C., Matematici aplicate în economie, vol.I, II, Editura Didactică ¸si
Pedagogică, Bucure¸sti, 1993.
[6] Ro¸su, A., Teoria grafurilor, algoritmi, aplicat¸ii, Editura Militară, Bucure¸sti, 1974.
[7] Tama¸s, V. (coord.), Brănzei, D., Smadici, C., Moicovici, T., Modele matematice în
economie, Editura Graphix, Ia¸si, 1995.
[8] Văduva, I., Dinescu, C., Săvulescu, B., Metode matematice de organizare ¸si conducerea
product¸iei, Editura Didactică ¸si Pedagogică, Bucure¸sti, 1974.
129

Capitolul 7
Probleme de transport
Obiective: În acest capitol se dore¸ste familiarizarea student¸ilor cu problemele de
transport, probleme cu o imporatnt¸a deosebită în optimizarea a numeroase procese economice.
O problemă de transport constă în aflarea unui plan de transport a unui produs, de
la anumite centre producătoare (depozite), în scopul satisfacerii cerint¸elor unor consumatori
¸si minimizării cheltuielilor de transport.
Problemele de tip transport se întâlnesc în multe procese economice, ca de exemplu:
transporturi de bunuri; proiectarea de canale de energie (informat¸ii, electricitate), de
canale în agricultură; proiectarea de depozite în acela¸si spat¸iu productiv; repartit¸ia optimă
a sarcinilor de product¸ie pe ma¸sini, sect¸ii, întreprinderi, optimizarea unor probleme de
product¸ie ¸si stocaj etc.
Rezumat: Modelul matematic al problemelor de transport se încadrează în modelul
problemelor de programare liniară. Având în vedere numărul mare de variabile, rezolvarea
unei probleme de transport prin algoritmul simplex este în general put¸in eficientă.
De aceea, pentru rezolvarea problemelor de tip transport se folosesc tehnici speciale. Acest
capitol este dedicat prezentării, sub o formă simplă, a acestor tehnici.
Cont¸inutul capitolului:
1. Modelul matematic pentru o problemă de transport
2. Determinarea unei solut¸ii init¸iale
3. Ameliorarea (îmbunătăt¸irea) unei solut¸ii
4. Aflarea unei solut¸ii optime
5. Degenerarea în problemele de transport
6. Probleme de transport cu capacităt¸i limitate
7. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
8. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: probleme de transport, solut¸ie init¸ială a unei probleme de trasport,
solut¸ie optimă a unei probleme de transport, probleme de trasport cu capacităt¸i limitate.
7.1 Modelul matematic pentru o problemă de transport
O problemă de transport a fost formulată la Capitolul 1, problema 2. Să o formulăm
din nou. Un produs (marfă) se află în depozitele D1, D2, ..., Dm cu capacităt¸ile a1, a2,
..., am ¸si trebuie transportat(ă) la centrele de consum C1, C2, ..., Cn în cantităt¸ile b1, b2,
..., bn. Cunoscând costul transportului pe unitate de produs de la depozitul Di, i = 1,m la
centrul de consum Cj, j = 1,n, notat cu cij, seceresăseîntocmească un astfel de plan de
repartit¸ie a produsului încât costul total al transportului să fie minim.
Dacă notăm cu xij cantitatea de produs ce se va transporta de la depozitul Di, i = 1,m,
la centrul de consum Cj, j = 1,n, atunci modelul matematic pentru probleme de transport
130

se scrie astfel: ⎧⎪ ⎨
(7.1)
⎪⎩
n
xij = ai, i = 1,m
j=1
m
xij = bi, i = 1,n
i=1
xij ≥ 0, i = 1,m,j = 1,n
m n
(min)f = cijxij.
i=1 j=1
Intuitiv, modelul matematic (7.1) al problemei de transport se poate reprezenta prin
Tabelul 7.1.
Di \ Cj C1 C2 ... Cn Disponibil
D1
D2
.
Dm
c11
c21
cm1
.
x11
x21
xm1
c12
c22
cm2
.
x12
x22
xm2
...
...
.
...
c1n
c2n
cmn
.
x1n
x2n
xmn
Necesar b1 b2 ... bn T
cij
Cuplul
poartă numeledecăsut¸ă.
xij
Algoritmul de rezolvare a unui model de transport cere ca acest model să fie echilibrat,
adică săfieîndeplinită condit¸ia de echilibru
m n
ai = bj,
i=1
adică totalul disponibilului să fie egal cu totalul necesarului. Valoarea comună T a acestui
total se trece în căsut¸a (m +1,n+1).
În caz contrar, modelul se echilibrează prin considerarea, fie a unui depozit fictiv
Dm+1, fie a unui centru de consum fictiv Cn+1, care oferă, sau cere, diferent¸a dintre cele
două sume. Deoarece cantităt¸ile transportate de la un depozit arbitrar, respectiv la acest
centru fictiv, nu există în realitate, costurile de transport corespunzătoare le considerăm
nule.
Se observă căîntr-o problemă de transport cu m depozite ¸si n centre de consum modelul
matematic cont¸ine m·n variabile necunoscute ¸si cel mult m+n−1 restrict¸ii independente
(nu s-au inclus condit¸iile de nenegativitate). Numărul variabilelor necunoscute fiind evident
mai mare ca cel al restrict¸iilor, rezultă căvalorile variabilelor ce verifică sistemul de
restrict¸ii nu sunt unic determinate.
Osolut¸ierealizabilă a problemei, care cont¸ine cel mult (m + n − 1) componente strict
pozitive, se nume¸ste solut¸iedebază. Solut¸ia de bază cu exact (m + n − 1) componente pozitive
se nume¸ste solut¸ie de bază nedegenerată, iar în caz contrar, degenerată.
Se constată cămodelul matematic reprezintă o problemă de programare liniară deo
formă specială. Cu toate că în restrict¸ii coeficient¸ii necunoscutelor sunt 0 sau 1, rezolvarea
prin metoda simplex cere un volum de calcule foarte mare. De aceea, se preferă pentru
rezolvarea unei probleme de transport o cale cu tehnică specifică.
În general, pentru rezolvarea unei probleme de transport se parcurg etapele:
a) Determinarea (aflarea) unei solut¸ii init¸iale (de bază, nedegerată);
b) Ameliorarea (îmbunătăt¸irea) unei solut¸ii;
c) Aflarea (determinarea) solut¸iei optime.
131
j=1
a1
a2
.
am

7.2 Determinarea unei solut¸ii init¸iale
Pentru aflarea unei solut¸ii init¸iale într-o problemă de transport se cunosc mai multe
metode. În cele ce urmează vom prezenta trei metode.
7.2.1 Metoda colt¸ului Nord–Vest
Această metodăconstă în a atribui, pe rând, valori variabilelor necunoscute începând
cu cea din colt¸ul Nord–Vest al tabelului. Astfel, mai întâi luăm x11 = min(a1,b1). Dacă
min(a1,b1) =a1, atunci x12 = ... = x1n =0,iardacă min(a1,b1) =b1, atunci x21 = x31 = ... =
xm1 = 0. Metoda continuă apoi cu x21 = min(a2,b1 − a1) în prima situat¸ie, respectiv cu
x12 = min(a1 − b1,b2) în cealaltă situat¸ie. Procesul se repetă până când este repartizată ¸si
ultima cantitate disponibilă.
Exemplul 7.2.1. Se consideră trei furnizori D1, D2 ¸si D3 care au disponibile corespunzător
cantităt¸ile de un anumit produs a1 =50, a2 =30¸si a3 =40. Acestea sunt solicitate de patru
consumatori C1, C2, C3 ¸si C4 în cantităt¸ile b1 =45, b2 =15, b3 =25¸si b4 =35. Cunoscând
costurile unitare de transport 3, 2, 1, 1; 2, 3, 2, 1 ¸si 4, 2, 3, 2 unităt¸i monetare de la D1, D2 ¸si D3,
să se scrie modelul matematic al problemei de transport, când se urmăre¸ste minimizarea
costului total.
Utilizând metoda colt¸ului Nord–Vest să segăsească osolut¸ie init¸ială.
Dacă notăm cu xij cantitatea de produs ce se va transporta de la furnizorul Di, i =1, 2, 3
la beneficiarul Cj, j =1, 2, 3, 4, atunci obt¸inem următorul model matematic:
x11 +x12 +x13 +x14 =50
x21 +x22 +x23 +x24 =30
x31 +x32 +x33 +x34 =40
x11 +x21 +x31 =45
x12 +x22 +x32 =15
x13 +x23 +x33 =25
x14 +x24 +x34 =35
xij ≥ 0, i =1, 2, 3, j =1, 2, 3, 4.
(min)f =3x11 +2x12 + x13 + x14 +2x21 +3x22+
+2x23 + x24 +4x31 +2x32 +3x33 +2x34
Sub formă tabelară modelul matematic este
Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil
3
2
1
1
50
D1
D2
D3
2
4
x11
x21
x31
3
2
x12
x22
x32
Necesar 45 15 25 35 120
Pentru aflarea solut¸iei init¸iale cu metoda colt¸ului Nord–Vest procedăm astfel: alegem
x11 = min(45, 50) = 45; atunci x21 = x31 =0; apoi x12 = min(15, 5) = 5 ¸si x13 = x14 =0; în
continuare x22 = min(10, 30) = 10 ¸si x32 =0; mai departe x23 = min(20, 25) = 20 ¸si x24 =0¸si în
final x33 =5¸si x34 =35.
De obicei, se determină solut¸ia init¸ială în tabel, mic¸sorându-se de fiecare dată disponi-
2
3
132
x13
x23
x33
1
2
x14
x24
x34
30
40

ilul ¸si necesarul respectiv ¸si scriind alăturat cel rămas. Astfel avem
Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil
D1
3
45
2
5
1
0
1
0
50; 5; 0
D2
2
0
3
10
2
20
1
0
30; 20; 0
D3
4
0
2
0
3
5
2
35
40; 35; 0
Necesar 45 15 25 35 120
0 10 5 0
0 0
Tabelul 7.2.1.
Valoarea funct¸iei cost total pentru solut¸ia init¸ială găsită este
f =3· 45 + 2 · 5+3· 10 + 2 · 20 + 3 · 5+2· 35 = 300
Această metodă este foarte simplă dar put¸in eficientă deoarece nu t¸ine cont de valorile
costurilor cij.
7.2.2 Metoda elementului minim
Metoda constă în a atribui, pe rând, valori variabilelor necunoscute, începând cu aceea
la care costul unitar cij este minim.
Apoi din cele rămase se lucrează tot cu aceea care corespunde costului minim. Dacă
sunt mai multe costuri minime egale, atunci se va considera mai întâi acea variabilă care
poate lua valoarea mai mare. Valoarea variabilei se va afla ca ¸si la metoda Nord–Vest,
considerând minimul dintre disponibil ¸si necesar.
Exemplul 7.2.2. Utilizând metoda elementului minim să aflăm o solut¸ie init¸ială pentru
problema de transport de la Exemplul 7.2.1.
Deoarece c13 = c14 = c24 = 1 este costul minim, mai întâi vor determina valoarea
variabilei x14 întrucât vom obt¸ine valoarea maximă (x13 =25; x14 =35; x24 = 30). A¸sadar,
luăm x14 =35, ceea ce implică c24 =0, x34 =0. Apoi alegem x13 =15deoarece c13 =1este
costul minim din cele rămase. Avem x11 = x12 =0. Considerând costurile egale cu 2 alegem
x21 =30¸si x22 = x23 =0. Acum luăm x32 =15, x33 =10¸si x31 =15.
Ilustrarea intuitivă prin tabel este dată în Tabelul 7.2.2.
Valoarea lui f pentru această solut¸ie este
f =1· 15 + 1 · 35 + 2 · 30 + 4 · 15 + 2 · 15 + 3 · 10 =
= 50 + 60 + 60 + 60 = 230.
Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil
D1
3
0
2
0
1
15
1
35
50; 15; 0
D2
2
30
3
0
2
0
1
0
30; 0
D3
4
15
2
15
3
10
2
0
40; 0
Necesar 45 15 25 35 120
15 0 10 0
0
0
Tabelul 7.2.2.
133

7.2.3 Metoda diferent¸elor maxime
Valorile variabilelor se atribuie ca ¸si în cazul metodelor precedente, dar ordinea de
atribuire se face după oaltă regulă. Pentru stabilirea ordinii de urmat se calculează, pentru
fiecare linie, respectiv pentru fiecare coloană, diferent¸a dintre cele mai mici două elemente
(costuri). Apoi pe linia sau coloana cu diferent¸a maximă se determină variabilele din căsut¸a
cu cost minim. Apoi procedeul se repetă. La diferent¸e maxime egale se consideră mai întâi
costul minim.
La lucrul cu tabel diferent¸ele pe linii se trec în stânga tabelului, iar cele pe coloane
deasupra tabelului.
Exemplul 7.2.3. Să seafleosolut¸ie init¸ială cu metoda diferent¸elor maxime pentru problema
de transport din Exemplul 7.2.1.
Calculăm diferent¸ele pe linii ¸si coloane. Avem următorul tabel cu diferent¸e
3 2 1 1 1
2 3 2 1 1
4 2 3 2 1
1 1 1 1
calculate astfel: 2 − 1=1pentru linia întâi, 2 − 1=1pe linia a doua, 3 − 2=1pentru linia a
treia, 3 − 2=1pentru coloana întâi, 3 − 2=1pentru coloana a doua, 2 − 1=1pentru coloana
atreia¸si 2 − 1=1pentru coloana a patra.
Se observă că avem toate diferent¸ele egale cu 1. Alegem x14 =35deoarece dă cea mai
mare repartizare pentru pret¸urile minime. Atunci x24 = x35 =0.
Recalculăm diferent¸ele pe liniile ¸si coloanele rămase, obt¸inem tabelul
3 2 1 1
2 3 2 1
4 2 3 1
1 1 1
Toate diferent¸ele sunt egale. T¸inând seama de costul minim alegem x13 =15¸si x11 =
x12 =0.
Pentru liniile ¸si coloanele necompletate recalculăm diferent¸ele ¸si obt¸inem tabelul
2 3 2 1
4 2 3 1
2 1 1
Diferent¸a maximă este2 ¸si corespunde coloanei întâi. Alegem x21 =30¸si x22 = x23 =0.
Acum, pe linia a treia luăm x31 =15, x32 =15¸si x33 =10.
Sub formă de tabel calculele arată astfel:
Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil
D1
3
0
2
0
1
15
1
35
50; 15; 0
D2
2
30
3
0
2
0
1
0
30; 0
D3
4
15
2
15
3
10
2
0
40
Necesar 45 15 25 35 120
15
10 0
Valoarea lui f pe această solut¸ie init¸ială este
f =1· 15 + 1 · 35 + 2 · 30 + 4 · 15 + 2 · 15 + 3 · 10 = 230
Se observă căs-aobt¸inut aceea¸si solut¸ie init¸ială ca¸si la utilizarea metodei elementului
minim.
134

Observat¸ia 7.2.1 Toate cele trei solut¸ii init¸iale găsite pentru problema de transport din Exemplul
7.2.1. sunt solut¸ii de bază nedegenerate, având 4+3− 1=6 componente pozitive.
7.3 Ameliorarea (îmbunătăt¸irea) unei solut¸ii
Pentru a elabora un mod de ameliorare a unei solut¸ii corespunzătoare unei probleme
de transport, adică de a trece de la o solut¸ie de bază la una mai bună, vom recurge la
problema duală.
Problema de transport are modelul matematic dat de (7.1), §7.1. Pentru a scrie duala
trebuie să introducem variabilele duale u1,u2,...,um, corespunzătoare primelor m restrict¸ii,
¸si v1,v2,...,vn corespunzătoare următoarelor n restrict¸ii. Obt¸inem
(7.2)
(x (0)
ij
(7.3)
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u1 + v1 ≤ c11, u1 + v2 ≤ c12, ..., u1 + vn ≤ c1n,
u2 + v1 ≤ c21, u2 + v2 ≤ c22 ..., u2 + vn ≤ c2n,
... ... ... ...
um + v1 ≤ cm1, um + v2 ≤ cm2 ..., um + vn ≤ cmn,
ui,i= 1,m, vj,j = 1,n, arbitrare
(max)g = a1u1 + a2u2 + ...+ amum + b1v1 + b2v2 + ...+ bnvn.
Teoremele de dualitate (v. Teoremele 5.6.1 ¸si 5.6.2) ne asigură căosolut¸ie X (0) =
este optimă dacăvariabilele duale verifică restrict¸iile
) i=1,m
j=1,n
ui + vj = cij, dacă x (0)
ij = 0(x (0)
ij este necunoscuta principală)
ui + vj ≤ cij, dacă x (0)
ij =0(x(0) ij este necunoscuta secundară)
(7.4)
numite condit¸ii de optimalitate pentru solut¸ia unei probleme de transport.
Fie X =(xij) i=1,m osolut¸ie init¸ială a problemei de transport.
j=1,n
Căsut¸ele din tabelul solut¸iei cu xij = 0le numim căsut¸e ocupate, iar cele cu xij =0le
numim căsut¸e libere.
Relat¸iile (7.3) formează un sistem liniar de m+n−1 ecuat¸ii (corespunzătoare căsut¸elor
ocupate) cu m + n necunoscute. Se observă căacest sistem este compatibil nedeterminat.
Pentru aflarea unei solut¸ii putem lua o necunoscută secundară egalăcu0, deobiceivom
alege u1 =0.
Valorile găsite pentru u1,u2,...,um ¸si v1,v2,...,vn se trec pe marginea tabelului solut¸ie
în mod corespunzător (de aceea se mai numesc ¸si valori marginale), iar sumele ui + vj se
scriu în colt¸uldindreaptasusalcăsut¸elor ocupate, alături de coeficient¸ii cij, adicăstructura unei astfel de căsut¸e ocupate arată astfel
cij ui + vj
Acum verificăm condit¸iile de optimalitate (7.4) pentru căsut¸ele libere. Dacă toate
condit¸iile (7.4) sunt îndeplinite, atunci solut¸ia init¸ială este optimă. Dacă cel put¸in o
condit¸ie (7.4) nu este verificată, atunci se trece la procesul de ameliorare (îmbunătăt¸ire) a
solut¸iei.
Definit¸ia 7.3.1 Numim ciclu corespunzător unei căsut¸e libere o succesiune de căsut¸e ocupate,
două câte două alăturate pe aceea¸si linie, sau respectiv pe aceea¸si coloană, cu treceri
alternative pe linii ¸si coloane, succesiunea începând imediat după căsut¸a liberă ¸si terminându-se
în vecinătatea aceleia¸si căsut¸e libere.
Într-un ciclu marcăm alternativ cu + ¸si − căsut¸ele, începând cu căsut¸a liberă. Semnele
se trec în colt¸ul din stânga jos al căsut¸ei.
135
xij

Pentru îmbunătăt¸irea solut¸iei se determină valoarea minimă θ avaloriixij din căsut¸ele
marcate cu −. Apoi, valoarea minimă θ se adună la valorile xij din căsut¸ele marcate cu +
¸si se scade din valorile xij din căsut¸ele marcate cu −.
Ciclul se alege pentru căsut¸a liberă corespunzătoare diferent¸ei Δij = cij − (ui + vj) cea
mai mare în valoare absolută dintre diferent¸ele Δij < 0.
Prin acest proces se obt¸ine o nouă solut¸ie a problemei de transport, mai bună decât cea de
la care am plecat.
Exemplul 7.3.1. Să considerăm problema de transport din Exemplul 7.2.1 cu solut¸ia init¸ială
din Tabelul 7.2.1, obt¸inută prin metoda colt¸ului Nord–Vest.
Considerăm variabilele marginale u1,u2,u3 ¸si v1,v2,v3,v4. Sistemul (7.3) corespunzător
căsut¸elor ocupate din Tabelul 7.2.1 este:
(7.5)
u1 + v1 =3, u1 + v2 =2, u2 + v2 =3, u2 + v3 =2
u3 + v3 =3, u3 + v4 =2.
Alegând u1 =0,găsim v1 =3, v2 =2, u2 =1, v3 =1, u3 =2, v4 =0.
Acum verificăm condit¸iile de optimalitate (7.4) pentru căsut¸ele libere. Avem:
u1 + v3 =1=c13 ≥ 1; u1 + v4 =0≤ c14 =1; u2 + v1 =4> 2,
u2 + v4 = c24 ≤ 1; u3 + v1 =5> 4,
u3 + v2 =4> 2,
de unde observăm că pentru căsut¸ele libere (2, 1), (3, 1) ¸si (3, 2) nu sunt verificate condit¸iile
de optimalitate. Prin urmare, solut¸ia init¸ială din Tabelul 7.2.1 nu este optimă.
Calculele de mai sus se pot reprezenta ca în Tabelul 7.3.1.
vj v1 =3 v2 =2 v3 =1 v4 =0
ui Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil
3
-
3
45
2
+
2
5
1 1
0
1 0
0
50
2
+
4
0
3
-
3
10
2 2
20
1 1
0
30
4 5
0
2 4
0
3 3
5
2 2
35
40
Necesar 45 15 25 35
u1 =0 D1
u2 =1 D2
u3 =2 D3
Tabelul 7.3.1.
Sistemul (7.5) se poate rezolva direct pe Tabelul 7.3.1, plecând de la u1 + v1 =3¸si
u1 =0.
Acum stabilim căsut¸a liberă pentru care considerăm ciclul. În acest scop calculăm
diferent¸ele Δij pentru căsut¸ele libere în care nu au fost îndeplinite condit¸iile de optimalitate:
Δ21 = −2, Δ31 = −1 ¸si Δ22 = −2.
Cum max(|−2|, |−1|, |−2|) =2este atins pentru două căsut¸e libere (2, 1) ¸si (2, 2), vom
alege unul din ciclurile determinate de ele. De exemplu, să nefixăm pe cel determinat de
căsut¸a (2, 1).
Acesta este dat de căsut¸ele (2, 1), (1, 1), (1, 2) ¸si (2, 2). Marcăm alternativ căsut¸ele
ciclului cu + ¸si −, începând cu cea liberă. Numărul θ este dat de
θ = min{45, 10} =10.
136

Adunăm θ la xij din căsut¸ele cu + ¸si scădem acela¸si număr la cele marcate cu −.
Obt¸inemnouasolut¸ie dată de Tabelul 7.3.2.
Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil
D1
3
35
2
15
1
0
1
0
50
D2
2
10
3
0
2
20
1
0
30
D3
4
0
2
0
3
5
2
35
40
Necesar 45 15 25 25
Tabelul 7.3.2
Valoarea funct¸iei cost total pentru noua solut¸ie (din Tabelul 7.3.2) este
f =3· 35 + 2 · 15 + 2 · 10 + 2 · 20 + 3 · 5+2· 35 = 280
7.4 Aflarea unei solut¸ii optime
În paragrafele precedente am văzut cum se află o solut¸ie init¸ială ¸si cum poate ea
fi ameliorată (îmbunătăt¸ită). Acum putem prezenta un algoritm pentru aflarea solut¸iei
optime pentru o problemă de transport. Acesta poartă numele de algoritmul distributiv
sau algoritmul potent¸ialelor.
Pa¸sii algoritmului sunt:
Pasul 1. Se determină osolut¸ie init¸ială a problemei de transport;
Pasul 2. Se găsesc valorile marginale ui, i = 1,m ¸si vj, j = 1,n,casolut¸ii ale sistemului de
ecuat¸ii ui + vj = cij, unde i ¸si j sunt indicii căsut¸elor ocupate;
Pasul 3. Se verifică condit¸iile de optimalitate a solut¸iei găsite, adică dacă au loc inegalităt¸ile
ui + vj ≤ cij pentru tot¸i indicii (i, j) de căsut¸e libere;
Pasul 4. Dacă solut¸ia nu este optimă, adică cel put¸in o condit¸ie de optimalitate nu este
îndeplinită, atunci se calculează diferent¸ele Δij = cij − (ui + vj) < 0 corespunzătoare căsut¸elor
libere pentru care condit¸ia de optimalitate nu este verificată. Cea mai mare diferent¸ă Δij în
valoare absolută determină căsut¸a liberă (i, j) pentru care alegem ciclul folosit în ameliorarea
solut¸iei.
Pasul 5. Se marchează alternativ cu + ¸si − căsut¸ele ciclului, începând cu căsut¸a liberă.
Pasul 6. Se determină valoarea minimă θ a valorilor xij din căsut¸ele ciclului marcate cu −.
Pasul 7. Valoarea minimă θ se adună la valorile xij din căsut¸ele marcate cu + ¸si se scade
din valorile xij din căsut¸ele marcate cu −. Se obt¸ine astfel o nouă solut¸ie pentru problema
de transport.
Pasul 8. Se reiau pa¸sii 2–7 cu noua solut¸ie ¸si se continuă repetarea lor până când toate
condit¸iile de optimalitate sunt îndeplinite, adică s-aobt¸inut o solut¸ie optimă.
Pasul 9. Se scrie solut¸ia optimă ¸si se calculează valoareaminimă a funct¸iei obiectiv (scop).
Exemplul 7.4.1. Să rezolvăm problema de transport din Exemplul 7.2.1.
Vom porni de la solut¸ia init¸ială obt¸inută prin metoda elementului minim (vezi Tabelul
7.2.2). Vom parcurge calculele algoritmului direct pe tabel.
137

Avem
vj v1 =2 v2 =0 v3 =1 v4 =1
ui Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil
3 2
0
2 0
0
1
+ 15
1
- 35
50
2
30
3 0
0
2 1
0
1 1
0
30
4
15
2
15
3
- 10
2
+
3
0
40
Necesar 45 15 25 35
u1 =0 D1
u2 =0 D2
u3 =2 D3
Tabelul 7.4.1.
¸si întrucât u3 + v4 =3> 2=c34, deducem că solut¸ia nu este optimă. Avem o singură căsut¸ă
liberă cuΔij < 0 ¸si anume căsut¸a (3, 4). Formăm ciclul determinat de ea prin căsut¸ele (3, 4),
(3, 3), (1, 3) ¸si (1, 4). Marcăm alternativ cu + ¸si − căsut¸ele ciclului. Valoarea minimă θ este
dată deθ = min{10, 35} =10. Se obt¸ine astfel o nouă solut¸iereprezentată în Tabelul 7.4.2
vj v1 =3 v2 =1 v3 =1 v4 =1
ui Di \ Cj C1 C2 C3 C4 Disponibil
u1 =0 D1
3
+
3
0
2 1
0
1
25
1
- 25
50
u2 = −1 D2
2
30
3 0
0
2 0
0
1 0
0
30
u3 =1 D3
4
- 15
2
15
3 2
0
2
+ 10
40
Necesar 45 15 25 35
Tabelul 7.4.2.
Reluăm calculul valorilor marginale ¸si verificarea condit¸iilor de optimalitate pentru
noua solut¸ie. Lucrăm pe Tabelul 7.4.2.
Se observă că solut¸ia obt¸inută în tabelul 7.4.2.
pentru toate căsut¸ele libere.
este optimă deoarece ui + vj ≤ cij
Deci, o solut¸ie optimă a problemei de transport 7.2.1 este
⎛
0 0 25 25
⎞
X1 = ⎝ 30 0 0 0 ⎠
15 15 0 10
iar min f =1· 25 + 1 · 25 + 2 · 30 + 4 · 15 + 2 · 15 + 2 · 10 = 220.
Observat¸ia 7.4.1 Este posibil ca solut¸ia optimă a uni probleme de transport să nu fie unică,
adică să aibă solut¸ii multiple. Vom avea solut¸ii multiple atunci când există mai multe
căsut¸e la care ui + vj = cij, adică condit¸ia de optimalitate este îndeplinită cu egalitate.
Celelalte solut¸ii optime, când există, se obt¸in aplicând procedeul ameliorării solut¸iilor
pentru căsut¸ele la care ui + vj = cij. Solut¸ia generală se va scrie ca o combinat¸ie liniară
convexă a solut¸iilor optime găsite.
În cazul exemplului nostru, se observă că în tabelul 7.4.2 avem căsut¸a (1, 1) pentru
care u1 +v1 =3=c11 =3.Formăm ciclul (1, 1), (1, 4), (3, 4) ¸si (3, 3). Marcăm cu + ¸si − căsut¸ele
ciclului.
Valoarea minimă θ este dată de
θ = min{15, 25} =15
138

Obt¸inem o nouă solut¸ie optimă datăprin ⎛
15
X2 = ⎝ 30
0
0
25
0
⎞
10
0 ⎠
0 15 0 25
Solut¸ia generală este
⎛
X = αX1 + βX2 = ⎝
unde α ≥ 0, β ≥ 0, α + β =1.
15β 0 25α +25β 25α +10β
30α +30β 0 0 0
15α 15α +15β 0 10α +25β
7.5 Degenerarea în problemele de transport
Am văzut (§7.1) că solut¸ia unei probleme de transport este degenerată dacă are mai
put¸in de m + n − 1 valori nenule (căsut¸e ocupate). Degenerarea în problemele de transport
apare în următoarele situat¸ii: a) când solut¸ia init¸ială este degenerată, situat¸ie posibilă dacă
valoarea disponibilului este egală cu valoarea necesarului, pentru o anumită linie ¸si coloană;
b) la îmbunătăt¸irea unei solut¸ii, când valoarea minimă dincăsut¸ele ciclului marcate cu −
este atinsă în cel put¸in două cazuri.
În ambele situat¸ii se obt¸in mai put¸ine căsut¸e ocupate, având mai put¸ine ecuat¸ii decât
m + n − 1. Rezultăcă variabilele duale (marginale) nu pot fi determinate.
Pentru înlăturarea acestui inconvenient se folose¸ste metoda zerourilor esent¸iale.
Acesta constă în tranformarea unor căsut¸e libere în căsut¸e ocupate cu un 0 ∗ , numit zero
esent¸ial. Acest 0 ∗ se pune în căsut¸ele libere cu costuri minime, care nu formează cicluri cu
căsut¸ele deja ocupate. În final, trebuie ca numărul total al căsut¸elor ocupate să fiem+n−1.
În situat¸ia b) zerourile esent¸iale se înscriu în căsut¸e care se eliberează ¸si în care costurile
sunt mai mici.
Exemplul 7.5.1. Trei întreprinderi I1, I2 ¸si I3 produc patru tipuri de produse P1, P2, P3 ¸si
P4 cu cheltuielile unitare de product¸ie diferite. Cheltuielile pentru producerea unei unităt¸i
din fiecare tip de produs, de către fiecare întreprindere, sunt date în tabelul 7.5.1.
Ii \ Pi P1 P2 P3 P4
I1 4 3 2 3
I2 2 4 5 2
I3 2 4 4 5
Tabelul 7.5.1.
Cele trei întreprinderi au capacităt¸i egale de product¸ie, fiecare putând produce cel
mult 40 de unităt¸i din cele patru produse luate la un loc. Cantităt¸ile necesare din cele
patru produse sunt egale cu 40, 30, 50 ¸si 40 unităt¸i.
i) Să se determine un plan de product¸ie comun pentru cele trei întreprinderi astfel încât
să se asigurea într-o măsură cât mai mare cantităt¸ile necesare din cele patru produse,
cu cheltuieli totale de product¸ie minime.
ii) Să se interpreteze din punct de vedere economic solut¸ia optimă obt¸inută.
iii) Este unică solut¸ia optimă?
i) Se observă că avem o problemă de transport deoarece putem considera cele patru
tipuri de produse ca patru centre consumatoare, iar cele trei întreprinderi ca trei centre de
139
⎞
⎠

depozitare. Obt¸inem astfel problema de transport din Tabelul 7.5.2.
Ii \ Pj P1 P2 P3 P4 Disponibil
4 3 2 3
40
I1
I2
I3
2 4 5 2
2 4 4 5
Necesar 40 30 50 40
Tabelul 7.5.2
Deoarece modelul este neechilibrat, totalul de necesar este mai mare decât totalul de
disponibil, vom introduce un centru fictiv de product¸ie I4, care să ”producă” diferent¸a de
40 unităt¸i. Pentru acest centru fictiv costurile unitare sunt nule. Modelul problemei de
rezolvat ia forma din Tabelul 7.5.3.
160
40
40
120
Ii \ Pj P1 P2 P3 P4 Disponibil
4 3 2 3
40
I1
I2
I3
I4
2 4 5 2
2 4 4 5
0 0 0 0
Necesar 40 30 50 40 160
Tabelul 7.5.3.
Aplicăm metoda elementului minim ¸si găsim solut¸ia init¸ială din Tabelul 7.5.4.
vj v1 =0 v2 =2 v3 =2 v4 =0
ui Ii \ Pj P1 P2 P3 P4 Disponibil
4 0
0
3 2
0
2
40
3 0
0
40; 0
2
0∗ 4 2
0
5 4
0
2
40
40
2
+ 0∗ 4
- 30
4
10
5 2
0
40
0
- 40
0
+
2
0
0 2
0
0 0
0
40; 0
Necesar 40 30 50 40 160
u1 =0 I1
u2 =2 I2
u3 =2 I3
u4 =0 I4
Tabelul 7.5.4.
Solut¸ia determinată este degenerată. Introducem 0∗ (esent¸ial) la căsut¸ele (2, 1) ¸si (3, 1).
Determinăm valorile duale (marginale) trecute pe marginea Tabelului 7.5.4. Formăm ciclul
(4, 2), (4, 1), (3, 1) ¸si (3, 2) care se marchează cu+ ¸si − ca în Tabelul 7.5.4.
140
40
40
40

Cu θ = min{30, 40} =30,obt¸inem solut¸ia îmbunătăt¸ită din Tabelul 7.5.5.
vj v1 =0 v2 =2 v3 =2 v4 =0
ui Ii \ Pj P1 P2 P3 P4 Disponibil
4 0
0
3 0
0
2
40
3 0
0
40
2
0∗ 4 2
0
5 4
0
2
40
40
2
+ 30
4 2
0
4
- 10
5 2
0
40
0
- 10
0
30
0
+
2
0
0 0
0
40
Necesar 40 30 50 40
u1 =0 I1
u2 =2 I2
u3 =2 I3
u4 =0 I4
Tabelul 7.5.5.
Pentru solut¸ia din Tabelul 7.5.5 determinăm valorile marginale. Considerăm ciclul
(4, 3), (4, 1), (3, 1) ¸si (3, 3), marcat cu + ¸si − ca în Tabelul 7.5.5. Cu θ = min{10, 10} =10,găsim
solut¸ia din Tabelul 7.5.6.
vj v1 =2 v2 =2 v3 =2 v4 =2
ui Ii \ Pj P1 P2 P3 P4 Disponibil
u1 =0 I1
4 0
0
3 2
0
2
40
3 0
0
40
u2 =0 I2
2
0∗ 4 2
0
5 2
0
2
40
40
u3 =0 I3
2
40
4 2
0
4 2
0
5 2
0
40
u4 = −2 I4
0 0
0
0
30
0
10
0 0
0
40
Necesar 40 30 50 40
Tabelul 7.5.6.
Reluând procesul de ameliorare a unei solut¸ii pentru cea din Tabelul 7.5.6. se constată
că suntîndeplinite toate condit¸iile de optimizare. Prin urmare, solut¸ia găsită
⎛
0 0 40 0
⎞
X = ⎝ 0 0 0 40 ⎠
40 0 0 0
este optimă, iar min f =2· 40 + 2 · 40 + 2 · 40 = 240.
ii) Solut¸ia optimă găsită nearatăcă fiecare întreprindere trebuie să producă numai
un tip de produs: întreprinderea I1 să producă P3, întreprinderea I2 să producă P4, iar
întreprinderea I3 să producă P1. Celetreiîntreprinderi î¸si folosesc la maxim capacităt¸ile de
product¸ie. Cu toate acestea, necesarul de produs P2 nu este satisfăcut complet (mai trebuie
30 de unităt¸i), precum ¸si 10 unităt¸i din produsul P3. Cheltuielile minime de product¸ie totale
sunt egale cu 240 unităt¸i monetare.
iii) În Tabelul 7.5.6 pentru căsut¸ele (4, 1) ¸si (4, 4) avem u1 + v1 =0=c41 ¸si respectiv
u4 + v4 =0=c44. Deoarece nu avem cicluri plecând de la aceste căsut¸e libere, rezultă cănu
mai obt¸inem o nouă solut¸ie optimă. Rezultă că problema are o singură solut¸ie optimă, cea
găsită mai sus.
7.6 Probleme de transport cu capacităt¸i limitate
Sunt situat¸ii în care într-o problemă de transport pe unele rute avem capacităt¸i limitate.
Notăm cu dij capacitatea maximă ce poate fi transportată pe ruta ce leagă depozitul
141

Di de centrul de consum Cj.
Dacă păstrăm notat¸iile din §7.1., atunci modelul matematic al acestei probleme, numită
problemă de transport cu capacităt¸i limitate, este
⎧ n
xij = ai, i = 1,m
sau sub formă detabel
⎪⎨
⎪⎩
j=1
m
xij = bj, j = 1,n
i=1
0 ≤ xij ≤ dij, i = 1,m,j = 1,n
m n
(min)f =
i=1 j=1
cijxij
Di \ Cj C1 C2 ... Cn Disponibil
D1
D2
c11
d11 x11
c21
d21 x21
c12
d12 x12
c22
d22 x22
...
...
c1n
d1n x1n
c2n
d2n x2n
... ... ... ... ... ...
Dn
cm1
dm1 xm1
cm2
dm2 xm2
...
cmn
dmn xmn
Necesar b1 b2 ... bn
Tabelul 7.6.1.
n
bi
i=1
Observat¸ia 7.6.1 Din condit¸iile de limitare a capacităt¸ilor rezultă că este necesar ca pe
fiecare linie, respectiv coloană, să fie verificate inegalităt¸ile:
respectiv
n
dij ≥ ai,i= 1,m
j=1
m
dij ≥ bj,j = 1,n
i=1
Metoda de rezolvare a unei probleme de transport cu capacităt¸i limitate este aproape
identică cu cea a unei probleme de transport fără limite de capacitate.
La determinarea unei solut¸ii init¸iale valoarea variabilei din căsut¸a ce se ocupă se
află acum ca minimul dintre disponibilul necesar ¸si capacitatea corespunzătoare varabilei
respective. Când acest minim este egal cu capacitatea respectivă, valoarea se va sublinia,
ceea ce înseamnă că pe linia, respectiv coloana căsut¸ei restul variabilelor nu se vor lua
automat egale cu zero. Aceasta înseamnă că, în general, vor fi ocupate mai mult decât
m + n − 1 căsut¸e. Se vor considera un număr de m + n − 1 variabile nebarate.
Trecând la problema duală, se găsesc următoarele condit¸ii, de optimalitate pentru
probleme de transport cu capacităt¸i limitate:
1) ui + vj ≤ cij, pentru căsut¸ele libere (i, j);
2) ui + vj ≥ cij, pentru căsut¸ele (i, j) cu valori subliniate;
142
a1
a2
am
m
i=1
ai

unde ui, i = 1,m ¸si vj, j = 1,n sunt variabilele duale ui ¸si vj, datedesistemul
ui + vj = cij
unde (i, j) este indice de căsut¸ă ocupată (corespunzătoare la variabila de bază).
La determinarea unei solut¸ii init¸iale, din cauza capacităt¸ilor limitate, sunt situat¸ii în
care nu se pot repartiza în căsut¸e tot disponibilul ¸si tot necesarul.
Pentru a nu ajunge la o astfel de situat¸ie, se recomandă următorul procedeu de
ocupare a căsut¸elor: a) pe linia (sau coloana) costului minim se ocupă căsut¸ele în ordine
crescătoare a costurilor; b) se procedează analog pe coloana (linia) ultimei căsut¸e ocupate
din linia (coloana) de la a); c) se continuă în mod analog, alternativ, până la epuizarea
disponibilului ¸si necesarului.
Exemplul 7.6.1. Să se rezolve problema de transport cu capacităt¸i limitate:
⎧
x11 + x12 + x13 + x14 = 150
x21 + x22 + x23 + x24 = 250
x31 + x32 + x33 + x34 = 210
x11 + x21 + x31 = 100
⎪⎨ x11 + x21 + x32 = 160
x11 + x23 + x33 = 190
x11 + x24 + x34 = 160
xij ≥ 0,i=1, 2, 3 ¸si j =1, 2, 3, 4
x12 ≤ 80,x23 ≤ 170,x31 ≤ 80,x32 ≤ 120
⎪⎩
(min)f =3x11 +12x12 +5x13 +9x14 +2x21 +13x22+
+5x23 +6x24 + x31 +7x32 +8x33 +18x34.
Vom determina o solut¸ie init¸ială folosind metoda elementului minim. Obt¸inem astfel
Tabelul 7.6.2.
u1 =0
3 2
0
u2 =0
2
20
u3 =3
1 80
80
Necesar 100
20
0
v1 =2 v2 =13 v3 =5 v4 =6 Disponibil
12 13
80 0
13
40
7
120 120
160
40
0
5
150
5
30
8
10
190
180
30
0
9 6
0
6
160
18 9
0
160
0
150; 0
250; 220; 200; 40; 0
210; 120; 10
Tabelul 7.6.2.
Se observă căpentru solut¸ia init¸ială avem 3+4− 1 = 6 variabile de bază (corespunzătoare
la căsut¸e ocupate cu valori nesubliniate).
A¸sadar, putem trece la verificarea optimalităt¸ii. Calculăm valorile duale (marginale)
¸si observăm că solut¸ia nu este optimă deoarece pentru căsut¸a liberă (1, 2) avem u1 + v2 =
13 >c12 =12. Ciclul corespunzător acestei căsut¸e este (1, 2), (1, 3), (2, 3) ¸si (2, 2).
Marcăm cu + ¸si −. Valoarea minimă θ = min{40, 150} =40ne permite să scriemsolut¸ia
îmbunătăt¸ită datăîn Tabelul 7.6.3.
610
v1 =2 v2 =12 v3 =5 v4 =6 Disponibil
u1 =0
3 2
0
12
80 40
5
110
9 6
0
150
u2 =0
2
20
13 12
0
5
170 70
6
160
250
u3 =3
1
80
5
80
7
120
15
120
8
10
18 9
0
210
Necesar 100 160 190 160 610
143

Tabelul 7.6.3.
Se observă că noua solut¸ie găsită este optimală deoarece pentru toate căsut¸ele libere
avem ui + vj ≤ cij, iarpentrucăsut¸ele ocupate cu valori subliniate avem ui + vj ≥ cij. Avem
⎛
0 40 110 0
⎞
X = ⎝ 20 0 70 160 ⎠
80 120 10 0
cu
min f =12· 40 + 5 · 110 + 2 · 20 + 5 · 70 + 6 · 160 + 1 · 180 + 7 · 120 + 8 · 10 = 3380
Observat¸ia 7.6.2 În procesul de îmbunătăt¸ire a unei solut¸ii putem avea situat¸ia în care
ui+vj ≤ cij pentru toate căsut¸ele libere ¸si să existeocăsut¸ăocupată (r, s) cu valoare subliniată
pentru care ur + vs

7.7 Testul Nr. 6 de verificare a cuno¸stint¸elor
1. Precizat¸i not¸iunea de problemă de transport.
2. Precizat¸i etapele generale ale rezolvării unei probleme de transport.
3. a) Precizat¸i metoda colt¸iului Nord-Vest pentru determinarea unei solut¸ii init¸iale a
unei probleme de transport;
b) Precizat¸i metoda elementului maxim pentru determinarea unei solut¸ii init¸iale a
unei probleme de transport;
c) Prezentat¸i metoda diferent¸elor maxime pentru determinarea unei solut¸ii init¸iale
a unei probleme de transport.
4. a) În ce constă îmbunătăt¸irea unei solut¸ii a unei probleme de transport?
b) precizat¸i algoritmul distributiv (algoritmul potent¸ialelor) pentru determinarea
solut¸iei optime a unei probleme de transport.
5. Se consideră doi furnizori F1 ¸si F2, care au cantităt¸ile disponibile a1 =40unităt¸i ¸si respectiv
a2 =25unităt¸i. Acestea sunt solicitate de trei beneficiari B1,B2,B3 în cantităt¸ile
b1 =10unităt¸i, b2 =35unităt¸i ¸si b3 =20unităt¸i. Cunoscând costurile unitare de transport
c11 =4, c12 =2, c13 =1,respectivc21 =2, c22 =1, c23 =3unităt¸i monetare, să se
scrie modelul matematic ¸si să se determine o solut¸ie init¸ială a problemei de transport
considerate.
6. Considerând problema de transport prezentată în enunt¸ul problemei precedente (inclusiv
solut¸ia init¸ială determinată) să segăsească valorile marginale ¸si să severifice
condit¸iile de optimalitate.
7. Considerând probleme de transport prezentate în enunt¸ul problemei 8, să se determine
osolut¸ie init¸ială folosind metoda colt¸ului nord-vest, iar apoi să se utilizeze algoritmul
distributiv pentru îmbunătăt¸irea acesteia ¸si rezolvarea completă a problemei respective.
8. Să se rezolve problema de transport:
⎧
x11 + x12 + x13 =10
x21 + x22 + x23 =20
x31 ⎪⎨
+ x32 + x33 =30
x11 + x21 + x31 =50
x12 + x22 + x32 =5
x13 + x23 + x33 =5
xij ⎪⎩
≥ 0 , i = 1, 3 , j = 1, 3
f =4x11 +3x12 + x13 +2x21 +4x22 +5x23 + x31 +2x32 +6x33 → minim
9. Presupunând că la un moment dat în timpul rezolvării unei probleme de transport s-a
ajuns la tabelul (situat¸ie):
4 4
10
2 3
0
2 2
20
1 1
2
1 4
0
3 3
20
Să se analizeze situat¸ia dată, apoi să seîncerce formarea ciclului căsut¸ei (1, 3). Să se
rezolve situat¸ia de degenerare apărută.
145

10. Să se rezolve problema de transport:
⎧
x11 + x12 + x13 =11
x21 + x22 + x23 + x24 =17
x31 + x32 + x33 + x34 =14
⎪⎨ x11 + x21 + x31 =5
x12 + x22 + x32 =15
x13 + x23 + x33 =7
x14 + x24 + x34 =15
xij ⎪⎩
≥ 0 , i = 1, 3 , j = 1, 4
f =4x11 +2x12 +5x13 + x14 +6x21 +5x22 +4x23 +4x24 +6x31 +8x32 + x33 +5x34 → minim
146

Indicat¸ii ¸si răspunsuri
Testul 6
5. Notând cu xij cantitatea ce se va transporta de la furnizorul Fi (i = 1, 2) la beneficiarul
Bj (j = 1, 3) seobt¸ine modelul matematic:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x12 + x12 + x13 =40
x21 + x22 + x23 =25
x11 + x21 =10
x12 + x22 =35
x13 + x23 =20
xij ≥ 0 , i = 1, 2 , j = 1, 3
f =4x11 +2x12 + x13 +2x21 + x22 +3x23 → min
Apoi folosind metoda diferent¸elor maxime obt¸inem solut¸ia init¸ială: x11 =0, x12 =20,
x13 =20, x21 =10, x22 =15, x23 =0¸si f =95.
6. Se obt¸ine:
u1 =0
u2 = −1
v1 =3 v2 =2 v3 =1
4 3
0
2 2
10
2 2
20
1 1
15
1 1
20
3 0
0
deci toate condit¸iile de optimizare sunt verificate ¸si astfel solut¸ia X =
cu f =95este optimă.
7. Se obt¸ine solut¸ia init¸ială:
4
2
10
0
2
1
30
5
1
3
0
20
0 20 20
10 15 0
Folosind valorile marginale se deduce că solut¸ia nu este optimă. Aplicând mai departe
0 20 20
algoritmul distributiv se obt¸ine solut¸ia optimă X =
cu f
10 15 0 min =95.
⎛
0 5 5
⎞
8. Folosind metoda diferent¸elor maxime se obt¸ine solut¸ia init¸ială X = ⎝ 20 0 0 ⎠. La
30 0 0
aplicarea algoritmului distributiv se ajunge la degenerare ¸si se va introduce un zero
esent¸ial. În final se deduce că solut¸ia init¸ială vafioptimă¸si se calculează lmin =90.
9. Se rezolvă situat¸iade degenerare prin introducerea unui zero esent¸ial în căsut¸a (1, 2).
10. Folosind metoda diferent¸elor maxime se obt¸ine solut¸ia init¸ială X 0 ⎛
0 0 0 11
⎞
= ⎝ 0 15 0 2 ⎠
5 0 7 2
cu f = 141. Aceasta va fi optimă, dar în căsut¸a liberă (1, 2) avem condit¸ia de optimalitate
verificată cu egalitate. Formând ciclul căsut¸ei respective ¸si verificând ¸si condit¸ia
de optimalitate se deduce o nouă solut¸ie optimă: X 1 ⎛
⎞
0 11 0 0
= ⎝ 0
5
4
0
0
7
13 ⎠ cu fmin = 141.
2
Deci avem solut¸ia generală X = α · X0 + β · X1 cu α, β ∈ [0, 1] ¸si α + β =1.
147

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul I,
Editura ULB, Sibiu, 2001.
148

Capitolul 8
S¸iruri
Obiective: Recapitularea ¸si completarea not¸iunilor despre ¸siruri de numere reale,
cunoscute din învăt¸ământul preuniversitar, urmate de introducerea ¸si studiul ¸sirurilor în
spat¸ii metrice.
Rezumat: Prezentul capitol începe cu reluarea cuno¸stint¸elor esent¸iale despre ¸siruri
de numere reale. Se continuă cu studiul ¸sirurilor pe spat¸ii metrice, cu particularizări în
spat¸iile R m , m ≥ 1 ¸si principiul contract¸iei.
Cont¸inutul capitolului:
1. S¸iruri de numere reale
2. S¸iruri în spat¸ii metrice
3. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
4. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: ¸sir de numere reale, ¸sir monoton, ¸sir mărginit, limită, ¸sir fundamental,
dobândă compusă, ¸sir de puncte într-un spat¸iu metric, spat¸iu metric complet,
contract¸ie, principiul contract¸iei.
8.1 S¸iruri de numere reale
Acest paragraf este consacrat recapitulării not¸iunilor principale despre ¸siruri de numere
reale ¸si completării lor cu câteva not¸iuni ¸si rezultate necesare în expunerile ulterioare.
Definit¸ia 8.1.1 Se nume¸ste ¸sir de numere reale sau ¸sirnumericofunct¸ie f : Np → R, unde
Np = {p, p +1,p+2,...}, p fiind un număr natural.
Scriind f(n) =an, ¸sirul se notează prin (an)n≥p sau {an}n≥p. În mod uzual se ia p =1
sau, uneori, p =0. Pentru comoditate, fără arestrânge generalitatea, vom considera ¸sirurile
(an)n≥1, scriind simplu (an); an se va numi termenul general al ¸sirului.
Un ¸sir poate fi dat prin termenul general, enumerând termenii ¸sirului sau printr-o
formulă de recurent¸ă.
Definit¸ia 8.1.2 Un ¸sir de numere reale (an) este mărginit superior (majorat) dacă mult¸imea
termenilor săi este majorată.
Altfel spus, ¸sirul numeric (an) este majorat dacă existănumărul real β a¸sa încât an ≤ β,
n =1, 2, 3,....
Definit¸ia 8.1.3 Un ¸sir de numere reale (an) este mărginit inferior (minorat) dacă mult¸imea
termenilor săi este minorată.
Cu alte cuvinte, ¸sirul numeric (an) este minorat dacă existănumărul real a¸sa încât
α ≤ an, n =1, 2, 3,....
149

Definit¸ia 8.1.4 Spunem că ¸sirul numeric (an) este mărginit dacă simultan este majorat ¸si
minorat, adică dacă există numerele reale α ¸si β a¸sa încât α ≤ an ≤ β, n =1, 2, 3,....
Deoarece orice interval [α, β] este inclus într-un interval simetric fat¸ă de0 de forma
[−M,M], cuM>0, putem afirma că ¸sirul (an) este mărginit dacă ¸si numai dacă existăun
număr real M>0 a¸sa încât să avem
|an| ≤M, n =1, 2, 3,....
Definit¸ia 8.1.5 S¸irul numerelor (an) este nemărginit dacă nu este mărginit, adică dacă în
afara oricărui interval mărginit există celput¸inuntermenal¸sirului.
Exemple:
8.1.1 S¸irul an =2+(−1) n este mărginit deoarece |an| ≤3, (∀)n ∈ N.
8.1.2 S¸irul an =3 n nu este mărginit superior dar este mărginit inferior (an ≥ 1, (∀)n ∈ N).
8.1.3 S¸irul an = −3 n nu este minorat, dar este majorat (an < 0, (∀)n ∈ N).
8.1.4 S¸irul an =(−1) n · 2 n nu este nici minorat ¸si nici majorat.
Definit¸ia 8.1.6 S¸irul (an) este crescător (strict crescător) dacă an ≤ an+1, (respectiv an <
an+1) pentruoricen ∈ N ∗ .
Definit¸ia 8.1.7 S¸irul (an) este descrescător (strict descrescător) dacă an+1 ≤ an (respectiv
an+1 0, există
un număr natural nε astfel încât să avem |an − l| nε.
Dacă ¸sirul (an) are limita l se scrie lim
n→∞ an = l sau an → l pentru n →∞¸si se mai spune
că (an) este convergent la l.
Geometric, faptul că (an) converge la l înseamnă că în afara intervalului
V (l, ε) = (l− ε, l + ε) (numit vecinătate de centru l ¸si rază ε) se află un număr finit
de termeni, a1,a2,...,anε , iar interiorul lui V (l, ε) se află o infinitate de termeni ai ¸sirului
(fig.8.1.1).
Fig.8.1.1.
150

Rezultă căorice¸sir numeric convergent este mărginit.
Definit¸ia 8.1.10 S¸irul numeric (an) are limita +∞ dacă pentru orice număr real pozitiv E,
există nE ∈ N a¸sa încât an >E, pentru orrice n natural, n>nE.
Dacă ¸sirul (an) are limita +∞ înseamnă că în afara intervalului V (∞) =(E,∞) (numit
vecinătate alui+∞) seaflăunnumăr finit de termeni a1,a2,...,anE (fig.8.1.2).
Fig.8.1.2.
Definit¸ia 8.1.11 S¸irul numeric (an) are limita −∞ dacă pentru orice număr real negativ E,
există nE ∈ N a¸sa încât an nE.
Dacă ¸sirul an are limită −∞ se scrie lim
n→∞ an = −∞ sau an →−∞pentru n →∞.
Geometric, faptul că ¸sirul (an) are limita −∞ înseamnă că în afara intervalului
V (−∞) =(−∞,E) (numit vecinătate alui−∞) seaflăunnumăr finit de termeni ai ¸sirului:
a1,a2,...,anE (fig.8.1.3).
Fig.8.1.3.
Dacă un¸sir de numere reale are limita +∞ sau −∞ se mai zice că arelimită infinită.
Un ¸sir de numere reale care are limită infinită sau nu are limită se spune că estedivergent.
Propozit¸ia 8.1.1 Dacă un¸sirdenumererealearelimită, finită sau infinită, atunci ea este
unică.
Veridicitatea acestei propozit¸ii rezultă prin reducere la absurd ¸si folosind definit¸ia
limitei unui ¸sir.
Teorema 8.1.1 Dacă (an) ¸si (bn) sunt ¸siruri de numere reale astfel încât lim
n→∞ an = l1,
lim
n→∞ bn = l2, l1 ¸si l2 finite sau infinite, iar an ≤ bn pentru n natural, n ≥ n0, atuncil1 ≤ l2.
Demonstrat¸ie. Vom demonstra numai în cazul l1 ¸si l2 finite. În celelalte situat¸ii demonstrat¸ia
este analoagă.
Presupunem că l1 > l2. Putem alege ε > 0 a¸sa încât l1 − ε > l2 + ε > l2. Atunci
există n1ε ∈ N a¸sa încât dacă n>n1ε să avem|an−l1|

Observat¸ia 8.1.1 În practică, cea mai întâlnită situat¸ieeste an = xnyn, cu(xn) ¸sir mărginit
¸si (yn) un ¸sir convergent la zero.
Exemplul 8.1.8. S¸irul an = 1 1
sin
n n , n ∈ N∗ 1
are limita 0 deoarece lim
n→∞ n =0¸si
1
sin
n
≤ 1.
Propozit¸ia 8.1.3 (Criteriul minorării pentru limita +∞). Dacăpentru¸siruldenumerereale
(an) există ¸sirul numeric (bn), cu lim
n→∞ bn =+∞, ¸si numărul natural n0 a¸sa încât an ≥ bn,
pentru orice n ≥ n0, atuncilim n→∞ an =+∞.
Exemplul 8.1.9. S¸irul an = n√ 1+22 +33 + ...+ nn , n ∈ N∗ , are limita +∞ deoarece an ≥ n√ nn =
n, pentruoricen∈N∗ ,¸si lim
n→∞ an =+∞.
Propozit¸ia 8.1.4 (Criteriul majorării pentru limita −∞). Dacăpentru¸sirul numeric (an)
există ¸siruldenumerereale(bn), culim n→∞ bn = −∞, ¸si numărul natural n0, a¸sa încât an ≤ bn,
pentru orice n ≥ n0, atuncilim n→∞ an = −∞.
Propozit¸ia 8.1.5 (Criteriul încadrării unui ¸sir între două ¸siruri care au aceea¸si limită sau
criteriul cle¸stelui).
Dacă pentru ¸sirul numeric (an) există ¸sirurile (bn) ¸si (cn) de numere reale a¸sa încât
bn ≤ an ≤ cn pentru n ≥ n0, n0 ∈ N, culim n→∞ bn = lim
n→∞ cn = l, atunci¸sirul (an) are limită ¸si
lim
n→∞ an = l.
Exemplul 8.1.10. Pentru ¸sirul
n ∈ N ∗ ,avem
Cum
deducem că
an =
1
3√ 8n 3 + n +1 +
n
3√ 8n 3 + n 3 + n 0 există numerele naturale
n1ε ¸si n2ε a¸sa încât
|an − l1| < ε
, pentru orice n natural n>n1ε
2
¸si
|bn − l2| < ε
, pentru orice n natural n>n2ε
2
Fie nε = max{n1ε,n2ε}. Atunci, pentru orice n natural n>nε, avem,în conformitate
cu cele două inegalităt¸i:
|(an + bn) − (l1 + l2)| ≤|an− l1| + |bn − l2| < ε ε
+ = ε,
2 2
ceea ce ne arată că
lim
n→∞ (an + bn) =l1 + l2.
În mod analog se demonstrează că: dacă l1 =+∞ ¸si l2 finit, atunci l1 + l2 =+∞; dacă
l1 =+∞ ¸si l2 =+∞, atunci l1 + l2 =+∞, iardacă l1 = −∞ ¸si l2 = −∞, atunci l1 + l2 = −∞.
152

Observat¸ia 8.1.2 Pentru l1 =+∞ ¸si l2 = −∞ operat¸ia l1 + l2 este fără sens(numit¸si caz de
except¸ie sau caz de nedeterminare) deoarece în acest caz nu se poate preciza de la început
valoarea lui l1 + l2, aceasta putând să fie orice număr real, +∞, −∞ sau să nu existe, în
funct¸ie de (an) ¸si (bn).
Observat¸ia 8.1.3 Afirmat¸iile din Propozit¸ia 8.1.6 rămân valabile ¸si pentru un număr finit
de termeni independent de n.
Astfel, putem scrie
1 2 k
lim + + ···+ =0(k independent de n)
n→∞ n n n
dar nu putem scrie
Corect, avem
1 2 n
lim + + ...+
n→∞ n n n
=0+...+0=0
∞·0
1 2 n 1+2+...+ n
lim + + ...+ = lim
=
n→∞ n n n n→∞ n
n(n +1) n +1
= lim = lim = ∞.
n→∞ 2n n→∞ 2
Propozit¸ia 8.1.7 Fie (an) ¸si (bn) două ¸siruri de numere reale cu lim
n→∞ an = l1 ¸si lim
n→∞ bn = l2.
Dacă l1 · l2 are sens, atunci lim
n→∞ (anbn) = lim
n→∞ an · lim
n→∞ bn = l1 · l2.
Demonstrat¸ie. Să considerăm l1 ¸si l2 finite. Dacă l2 =0, atunci t¸inând seama că an este
mărginit, pe baza Observat¸iei 8.1.1, găsim lim
n→∞ anbn =0.
Să presupunem că l2 = 0.Cum(an) este convergent, pe de o parte este mărginit, adică
există M>0 a¸sa încât |an| 0
există n1ε ∈ N a¸sa încât
|an − l1| < ε
, pentru orice n>n1ε
2|l2|
Din lim
n→∞ bn = l2 rezultă căpentruoriceε>0 există n2ε ∈ N a¸sa ca
|bn − l2| < ε
, pentru orice n>n2ε.
2M
Considerând nε = max{n1ε,n2ε}, avem
|anbn − l1l2| = |anbn − anl2 + anl2 − l1l2| = |an(bn − l2)+l2(an − l1)| ≤
≤|an| |bn − l2| + |l2| |an − l1| nε, adică lim
n→∞ (anbn) =l1l2.
Analog se arată că: dacă l1 finit ¸si l2 =+∞, atunci l1 · l2 =+∞, dacă l1 > 0 ¸si l1l2 = −∞,
dacă l1 < 0, dacă l1 finit ¸si l2 = −∞, atunci l1l2 = −∞, dacă l1 > 0 ¸si l1l2 =+∞, dacă l1 < 0;
dacă l1 =+∞ ¸si l2 = −∞, atunci l1l2 = −∞, dacă l1 =+∞ ¸si l2 =+∞, atunci l1l2 =+∞ iar
dacă l1 = −∞ ¸si l2 = −∞, atunci l1l2 =+∞.
Observat¸ia 8.1.4 Pentru l1 =0¸si l2 = ±∞, operat¸ia l1l2 este fără sens.
Observat¸ia 8.1.5 Cele afirmate la Observat¸ia 8.1.3 rămân valabile ¸si la produsul de ¸siruri.
Propozit¸ia 8.1.8 Fie (an) un ¸sirdenumererealecu lim
n→∞ an = l.
153

i) Dacă l ∈ R ∗ ,atunci lim
n→∞
1
an
= 1
l ;
ii) Dacă l =+∞ sau l = −∞, atunci lim
n→∞
1
an
=0;
iii) Dacă l =0¸si an > 0 pentru tot¸i n ≥ n0, atuncilim n→∞
1
tot¸i n ≥ n0, atuncilim = −∞.
n→∞
an
1
an
=+∞, iar dacă an < 0 pentru
Demonstrat¸ie. i) Cum l = 0rezultă că1/an este definit cu except¸ia eventual, a unui număr
finit de termeni.
Cum ||an| −|l| |≤|an−l|, Deducem că lim
n→∞ |an| = |l|. Acum existăn1∈Na¸sa încât
||an|−|l| |< |l|
2 , de unde |an| > |l|
,pentruoricen≥n1. 2
Pentru orice ε>0 există n2/ε ∈ N a¸sa că
|an − l| < |l|2
ε, pentru orice n>n2ε.
2
Fie nε = max{n1,n2ε}; atunci
1
− 1
l = |an − l|
|an| |l| < |l|2ε 2
an
pentru orice n>nε. Prin urmare, lim
n→∞
1
an
= 1
l .
1 2
· · = ε,
|l| |l|
În mod analog se demonstrează punctele ii) ¸si iii) din enunt¸ul Propozit¸iei 8.1.8.
Observat¸ia 8.1.6 Folosind Propozit¸iile 8.1.7 ¸si 8.1.8, acum, putem preciza limita câtului a
două ¸siruri. Dacă lim
n→∞ an = l1, lim
n→∞ bn = l2 ¸si l1/l2 are sens (cazuri de except¸ie sunt 0/0 ¸si
±∞/ ±∞), atunci lim
n→∞ an/bn = l1/l2.
Propozit¸ia 8.1.9 Fie (an) ¸si (bn) două ¸siruri de numere reale, an > 0, pentru orice n ∈ N∗ ,
lim
n→∞ an = a ¸si lim
n→∞ bn = b.
i) Dacă a ∈ (0, ∞) ¸si b ∈ R, atuncilim n→∞ abn n = a b ;
ii) Dacă a =0¸si b ∈ R −{0}, atunci
lim
n→∞ abn
n =
iii) Dacă a ∈ (0, +∞) ¸si b =+∞, atunci
lim
n→∞ abn
n =
iv) Dacă a ∈ (0, +∞) ¸si b = −∞, atunci
lim
n→∞ abn
n =
v) Dacă a =+∞ ¸si b ∈ (0, ∞), atunci
lim
n→∞ abn
n =
0 , pentru b>0
+∞ , pentru b1
0 , pentru a ∈ (0, 1);
0 , pentru a>1
∞ , pentru a ∈ (0, 1);
+∞ , pentru b>0
0 , pentru b

În cazul ridicării la putere avem cazurile de except¸ii, situat¸iile 0 0 , ∞ 0 ¸si 1 ∞ .
Pentru demonstrat¸ie acestei propozit¸ii se poate consulta cartea [4].
Propozit¸ia 8.1.10 Sunt adevărate afirmat¸iile:
i) Orice ¸sirdenumererealemonoton¸si mărginit este convergent;
ii) Orice ¸sir numeric crescător ¸si nemărginit are limita +∞;
iii) Orice ¸sir numeric descrescător ¸si nemărginit are limita −∞.
Demonstrat¸ie.
i) Fie (an) un ¸sir crescător ¸si mărginit. Punem α =sup{an | n ∈ N ∗ }.Aveman ≤ α, pentru
orice n ∈ N ∗ . Deoarece α este majorant, pentru orice ε>0, există nε ∈ N ∗ a¸sa încât
α − εE. Acum, pentru n ∈ N, n>nε, putem scrie
an ≥ anε >E, ceea ce ne arată că lim
n→∞ an =+∞.
iii) Se demonstrează la fel ca ii).
Observat¸ia 8.1.7 Propozit¸ia 8.1.10 se poate enunt¸a scurt: orice ¸sir monoton de numere
reale are o limită în R = R ∪{−∞, +∞}.
Exemplul 8.1.11. Fie ¸sirul en =(1+1/n) n , n ∈ N ∗ . Săarătăm că (en) este convergent.
Să pornim de la identitatea
(8.1)
b k − a k =(b − a)(b k−1 + b k−2 a + ···+ ba k−2 + a k−1 ),
care este valabilă pentruoricea, b ∈ R ¸si orice k natural. Din (8.1), pentru 0

Propozit¸ia 8.1.11 (Lema lui Cesaró). Orice ¸sir mărginit de numere reale cont¸ine cel put¸in
un sub¸sir convergent.
Demonstrat¸ie. Fie (an) un ¸sir mărginit de numere reale. Considerăm submult¸imile
Ak = {ak,ak+1,...}, k ∈ N∗ ¸si notăm cu bk marginile lor superioare (acestea există deoarece
mult¸imea A1 = {a1,a2,...} este mărginită). Din Ak ⊃ Ak+1, rezultăbk≥bk+1 k ∈ N∗ ,¸si deci
¸sirul (bn) este descrescător. Cum Ak ⊂ A1, pentruoricek∈N∗¸si A1 mărginită rezultăcă
¸sirul (bk) este mărginit inferior. Rezultă că¸sirul (bk) este convergent.
Dacă pentruoricek∈N∗avem bk ∈ Ak, atunci putem lua bk = ank cu nk ≥ k. Dinnk≥k obt¸inem lim
n→∞ nk = ∞, ceea ce ne arată că putem extrage un sub¸sir (nk) strict crescător de
numere naturale, iar sub¸sirul (ank ) vafiunsub¸sir al ¸sirului (an), care are limită.
Acum, să presupunem că existăunindice i ∈ N a¸sa încât bi ∈ Ai. Din faptul că bi
este marginea superioară amult¸imii Ai, deducem că pentruoricen∈N∗există kn a¸sa încât
bi − 1
n n0, ceea ce ar însemna că ai+kn = bi ¸si bi ∈ Ai,
0
ceea ce ar constitui o contradict¸ie. Prin urmare, sub¸sirul (ai+kn ) este un sub¸sir convergent
pentru ¸sirul (an).
Definit¸ia 8.1.12 Un ¸sir (an) de numere reale se nume¸ste ¸sir fundamental sau ¸sir Cauchy
dacă pentru orice ε>0, există unnumăr natural nε, astfel încât pentru orice n, m ∈ N ∗ ,
n>nε, m>nε să avem |am − an| n, adică m = n + p, unde
p ∈ N ∗ . Atunci Definit¸ia 8.1.12 se poate scrie sub forma echivalentă.
Definit¸ia 8.1.13 Un ¸sir (an) numeric se nume¸ste ¸sir fundamental sau ¸sir Cauchy dacă,
pentru orice ε>0, există unnumăr natural nε a¸sa încât pentru orice n ∈ N, n>nε ¸si orice
p ∈ N să avem |an+p − an| n1, m>n1, săavem|an − am| < 1. Acum, putem scrie
|an| = |an − an1+1 + an1+1| ≤|an − an1+1| + |an1+1| < 1+|an1+1|
pentru orice n>n1. Dacă punem α = max{|a1|, |a2|,...,|an1 |, |1 +|an1+1|}. atunci |an| ≤α,
pentru orice n ∈ N ∗ ,adică¸sirul (an) este mărginit.
Teorema 8.1.2 (Criteriul lui Cauchy). Un ¸sir de numere reale este convergent dacă ¸si
numai dacă este¸sir fundamental.
Demonstrat¸ie. Necesitatea. Fie (an) un ¸sir de numere convergent la l. Săarătăm că este
fundamental. Din lim
n→∞ an = l, rezultăcăpentruoriceε>0 există nε ∈ N a¸sa încât |an−l| nε. Atunci, pentru orice n, m ∈ N, m>nε, n>nε avem
|an − am| = |an − l + l − am| ≤|an− l| + |am − l| < ε ε
+ = ε
2 2
ceea ce ne dovede¸ste că (an) este un ¸sir fundamental.
Suficient¸a. Să admitemcă (an) este un ¸sir fundamental ¸si să arătăm că existăl∈Ra¸sa încât lim
n→∞ an = l. S¸irul (an) fiind fundamental, rezultă caestemărginit (Propozit¸ia 8.1.12).
Atunci conform Lemei lui Cesaró (Propozit¸ia 8.1.11), ¸sirul (an) va cont¸ine un sub¸sir (ank )
156

convergent; fie l limita sa. Deoarece ank → l, pentru k →∞,rezultăcăpentruoriceε>0
există kε ∈ N a¸sa încât
ε
(8.3)
|ank − l| < , pentru orice k ∈ N, k > kε.
2
Din faptul că (an) este ¸sir fundamental avem că existăn1ε∈Na¸sa încât
|an − am| < ε
2 , pentru orice n, m ∈ N, n > n1ε, m>n1ε.
Fie acum nε = max{kε,n1ε} ¸si luând k>nε în (8.3), obt¸inem:
|an − l| = |an − ank + ank − l| ≤|an
ε ε
− ank | + |ank − l| < + = ε,
2 2
pentru orice n ∈ N, n>nε.
Prin urmare, ¸sirul (an) are limita l ∈ R, adicăeste convergent.
Observat¸ia 8.1.8 Criteriul lui Cauchy permite studierea convergent¸ei unui ¸sir fără să
cunoa¸stem limita lui. Pentru aceasta este suficient să cercetăm dacă ¸sirul este fundamental.
Exemplul 8.1.12. Să arătăm că ¸sirul
cos x
an =
3
este ¸sir Cauchy, deci convergent.
Avem
an+p =
cos x
3
+ cos 2x
3 2
+ cos 2x
3 2
cos nx
+ ...+
3n cos nx
+ ...+ , n ∈ R,
2n cos(n +1)x
+
3n+1 + ...+
cos(n + p)x
3n+p ,
cu p ∈ N∗ .
Atunci
|an+p − an| =
cos(n +1)x
3n+1 cos(n + p)x
+ ...+
3n+p
≤
≤ 1
1
1 1 1 − 3 + ...+ = ·
3n+1 3n+p 3n+1 p
1 − 1 +
3
1
2 · 3n
1 − 1
3p
< 1
.
2 · 3n Cum 1/2 · 3n → 0, rezultăcăpentruoriceε>0 există nε ∈ N a¸sa încât 1/2 · 3n nε. Atunci, pentru orice n>nε ¸si orice p ∈ N∗ ,avem|an+p − an| + ...+ = n ·
n +1 n +2 2n
2n
2n
de n ori
1 1
=
2n 2 ,
ceea ce ne arată că (an) nu poate fi ¸sir Cauchy.
Aplicat¸ie economică. Dobânda compusă. Se investe¸ste o sumă S, dată într-o anumită
unitate monetară, care acumulează odobândă compusă der% anual.
Dacă dobânda se adaugă anual, atunci la sfâr¸sirul primului an vom avea suma
S1 = S + rS = S(1 + r).
157

După doi ani, vom avea suma
S2 = S(1 + r) 2 ,
iar după trecerea a k ani, suma acumulată vafi
Sk = S(1 + r) k .
Dacă dobânda s-ar adăuga de n ori pe an, atunci la trecereea a k ani am avea suma
Sn,k = S
1+ r
n
Se observă că¸sirul (Sn,k) este crescător în raport cu n. Apare întrebarea: dacă n ar
cre¸ste, adică adăugarea dobânzii s-ar face cât mai des, valoarea sumei acumulate în cei k
ani, ar cre¸ste foarte mult?
Pentru a răspunde la întrebare să calculăm limita ¸sirului (Sn,k) când n →∞. Avem
lim
n→∞ Sn,k = lim
n→∞ S
1+ r
n
nk
kn
.
= S lim
n→∞
1+ r
n
n r
n
r
·nk
= Se rk ,
ceea ce ne arată că, practic, valoarea sumei finale depinde de suma init¸ială S, dobânda
anuală r ¸si de numărul de ani k, influent¸a desimii adăugării dobânzii fiind de mai mică
important¸ă.
De exemplu, dacă am depune o sumă S =1$cu dobândă compusă anualăde1% pe o
perioadă de1an,oricât de des am adăuga dobânda, valoarea sumei acumulate la sfâr¸sirul
anului ar oscila în jurul lui e =2, 71828 ...$. (v. [2], [3], [5]).
8.2 S¸iruri în spat¸ii metrice
Definit¸ia 8.2.1 Se nume¸ste ¸sir de puncte în spat¸iul metric (X, d) o aplicat¸ie a mult¸imii N ∗ =
{1, 2,...,n,...} în X.
Pentru un astfel de ¸sir folosim notat¸ia (xn)n≥1 sau simplu (xn) ca ¸si în cazul ¸sirurilor
de numere reale.
Definit¸ia 8.2.2 S¸irul de puncte (xn) din spat¸iul metric (X, d) este convergent la x ∈ X dacă
¸siruldenumererealepozitive(d(xn,x)) are limita zero.
Ca ¸si la ¸sirurile reale folosim notat¸ia lim
n→∞ xn = x sau xn → x (n →∞).
Altfel spus, ¸sirul xn → x (n →∞) în spat¸iul metric (X, d) dacă pentruoriceε>0, există
nε ∈ N, astfel încât d(xn,x) nε.
Propozit¸ia 8.2.1 Dacă ¸sirul de puncte ((xn) din (X, d) este convergent în spat¸iul metric
(X, d), atunci limita lui este unică.
Demonstrat¸ie. Fie lim
n→∞ xn = x ¸si lim
n→∞ xn = y. Din Definit¸ia 8.2.2 avem lim
n→∞ d(xn,x)=
0 ¸si lim
n→∞ d(xn,y) = 0. Atunci din d(x, y) ≤ d(x, xn) +d(xn,y) avem d(x, y) ≤ lim
n→∞ d(xn,x)+
lim
n→∞ d(xn,y)=0, de unde deducem că d(x, y) =0. Deci avem x = y.
Definit¸ia 8.2.3 S¸irul de puncte (xn) din spat¸iul metric (X, d) este mărginit dacă există x0 ∈ X
¸si M>0 a¸sa încât d(xn,x0) ≤ M, pentru orice n ∈ N ∗ .
Propozit¸ia 8.2.2 Orice ¸sir convergent de puncte din spat¸iul metric (X, d) este mărginit.
158

Demonstrat¸ie. Fie lim
n→∞ xn = x; pentru ε =1există n1 ∈ N a¸sa încât d(xn,x) < 1, oricare ar
fi n>n1. Punând M = max{d(x1,x),d(x2,x),...,d(xn1 ,x), 1}, avemd(xn,x) ≤ M, pentruorice
n ∈ N ∗ , ceea ce ne arată că¸sirul de puncte (xn) este mărginit în (X, d).
Definit¸ia 8.2.4 S¸irul de puncte (yn) din spat¸iul (X, d) este sub¸sir al ¸sirului de puncte (xn) din
(X, d) dacă există un¸sir (kn)n≥1 de numere naturale, strict crescător, a¸sa încât yn = xkn .
Propozit¸ia 8.2.3 Dacă ¸sirul de puncte (xn) este convergent la x în (X, d), atunci orice sub¸sir
al său are de asemenea limita x.
Demonstrat¸ie. Valabilitatea propozit¸iei rezultă din Propozit¸ia 8.1.11, de la ¸siruri de
numere reale deoarece dacă (yn) este un sub¸sir al ¸sirului de puncte (xn), atunci ¸sirul real
(d(yn,x)) este sub¸sir al ¸sirului numeric (d(xn,x)).
Propozit¸ia 8.2.4 (Criteriul majorării). Dacă pentru ¸sirul de puncte (xn) din (X, d) există
x ∈ X ¸si ¸sirul (an) de numere reale a¸sa ca d(xn,x) ≤|an| ¸si lim
n→∞ an =0, atunci (xn) este
convergent ¸si lim
n→∞ xn = x.
Demonstrat¸ia se obt¸ine folosind criteriul majorării de la ¸siruri de numere reale ¸si
Definit¸ia 8.2.2.
Definit¸ia 8.2.5 S¸irul de puncte (xn) din (X, d) se nume¸ste ¸sir fundamental sau ¸sir Cauchy
dacă pentru orice ε>0 există nε ∈ N a¸sa încât pentru orice n, m ∈ N, n>nε, m>nε, să
avem d(xm,xn) 0 ¸si orice p ∈ N ∗ există nε ∈ N
astfel încât, pentru orice n ∈ N, n>nε, avemd(xn+p,xn) n1, m>n1, săavemd(xn,xm) < 1. Dacă punem
M = max{1,d(x1,xn1+1),d(x2,xn1+1),...,d(xn1 ,xn1+1)}
atunci d(xn,xn1+1) ≤ M, pentruoricen ∈ N ∗ . Prin urmare, ¸sirul (xn) este mărginit în (X, d).
Teorema 8.2.1 Orice ¸sir convergent de puncte din (X, d) este ¸sir Cauchy în (X, d).
Demonstrat¸ie. Fie (xn) un ¸sir convergent de puncte din (X, d). Dacă lim
n→∞ xn = x, x ∈ X,
atunci pentru orice ε>0 există nε a¸sa încât, oricare ar fi n ∈ N, n>nε, săavemd(xn,x) nε, avem¸si d(xn+p,x)

Definit¸ia 8.2.7 Un spat¸iu vectorial normat ¸si complet se nume¸ste spat¸iu Banach, iar un
spat¸iu prehilbertian ¸si complet se nume¸ste spat¸iu Hilbert.
Fie (X, d1), (Y,d2) două spat¸ii metrice ¸si Z = X × Y produsul cartezian al celor două
spat¸ii metrice. Dacă z1 =(x1,y1), z2 =(x2,y2) sunt două puncte din Z, atunci definim
d(z1,z2) =
Propozit¸ia 8.2.6 (Z, d) este un spat¸iu metric.
d 2 1 (x1,x2)+d 2 2 (y1,y2).
Demonstrat¸ie. Trebuie să verificăm pentru d axiomele metricii.
1. Evident d(z1,z2) ≥ 0, oricare ar fi (z1,z2) ∈ Z. Dacăd(z1,z2) =0, atunci d1(x1,x2) =0¸si
d2(y1,y2) =0, de unde rezultă x1 = x2, y1 = y2, adicăz1 = z2.
2. d(z1,z2) = d2 1 (x1,x2)+d2 2 (y1,y2) = d2 1 (x2,x1)+d2 2 (y2,y1) =d(z2,z1), oricare ar fi z1,z2 ∈ Z.
3. Fie z3 =(x3,y3) încă un punct arbitrar din Z. Avem
d(z1,z2) = d2 1 (x1,x2)+d2 2 (y1,y2) ≤
≤ (d1(x1,x3)+d1(x3,x2)) 2 +(d2(y1,y3)+d2(y3,y2)) 2 ≤
≤
d 2 1 (x1,x3)+d 2 2 (y1,y3)+
= d(z1,z3)+d(z3,z2),
adică d verifică inegalitatea triunghiului.
Prin urmare (Z, d) este spat¸iu metric.
d 2 1 (x3,x2)+d 2 2 (y3,y2) =
Observat¸ia 8.2.1 Valabilitatea Propozit¸iei 8.2.6 se poate extinde la produsul cartezian al
unui număr finit de spat¸ii metrice.
Teorema 8.2.2 S¸irul zn = (xn,yn), n ∈ N, din spat¸iul metric (Z, d) este convergent către
z =(x, y) ∈ Z dacă ¸si numai dacă, lim
n→∞ xn = x ¸si lim
n→∞ yn = y.
Demonstrat¸ie. Fie lim
n→∞ zn = z, atunci, pentru orice ε>0, există nε ∈ N, a¸sa încât, pentru
orice n>nε, săavemd(zn,z) n1ε, săavemd1(xn,x) n2ε,
să avemd2(yn,y) nε, nε = max{n1ε,n2ε} avem
d(zn,z)=
rezultă lim
n→∞ zn = z.
Din Teorema 8.2.2 rezultă că putem scrie
d2 1 (xn,x)+d2 2 (yn,y)
ε2 ε2
< + = ε,
2 2
lim
n→∞ (xn,yn) =
lim
n→∞ xn, lim
n→∞ yn
160
.

Observat¸ia 8.2.2 Rezultatul Teoremei 8.2.2 rămâne valabil ¸si la produsul cartezian al unui
număr finit de spat¸ii metrice.
Corolarul 8.2.1 Un ¸sir din spat¸iul R m este convergent, dacă ¸si numai dacă, ¸sirurile reale
componente sunt convergente.
Valabilitatea corolarului rezultă din Teorema 8.2.1 ¸si faptul că Rm este produsul
cartezian al spat¸iului metric R, repetat de m ori.
Exemplul 8.2.3. Să calculăm limita ¸sirului din R3
zn = n√
n, 1+ 1
n ,
n
3n2 − n +1
4n2
,n≥ 2.
+ n +1
Avem
lim
n→∞ zn
= lim n√
n, lim 1+
n→∞ n→∞
1
n
=
1,e, 3
4
n
, lim
n→∞
.
3n2 − n +1
4n2
=
+ n +1
Teorema 8.2.3 S¸irul de puncte zn =(xn,yn), n ∈ N ∗ ,dinspat¸iul metric (Z, d) este ¸sir fundamental,
dacă ¸si numai dacă, (xn) ¸si respectiv (yn) sunt ¸siruri fundamentale în (X, d1) ¸si
respectiv (Y,d2).
Demonstrat¸ie. Să considerăm, mai întâi, că ¸sirul (zn) este fundamental în (Z, d), adică,
pentru orice ε>0 ¸si orice p ∈ N ∗ , există nε ∈ N a¸sa încât, pentru orice n>nε, săavem
d(zn+p,zn) n1ε să avem
d1(xn+p,xn) < ε
√
2
¸si există n2ε ∈ N a¸sa încât pentru orice n>n2ε să avem
d2(yn+p,yn) < ε
√ .
2
Deoarece, pentru orice n ∈ N, n>nε, nε = max{n1ε,n2ε} avem
d(zn+p,zn) = d2 1 (xn+p,xn)+d2 2 (yn+p,yn)
ε2 ε2
< + = ε,
2 2
deducem că ¸sirul (zn) este fundamental în (Z, d).
Din Teorema 8.2.3 rezultă că¸sirul zn =(xn,yn), n ∈ N∗ ,din(Z, d) este fundamental,
dacă ¸si numai dacă, componentele sale (xn), respectiv(yn) sunt ¸siruri fundamentale în (X, d1)
¸si respectiv (Y,d2). Prin urmare, spat¸iul (Z, d) este complet, dacă ¸si numai dacă, (X, d1) ¸si
(Y,d2) sunt complete.
Observat¸ia 8.2.3 Rezultatul Teoremei 8.2.3 rămâne valabil ¸si la produsul cartezian al unui
număr finit de spat¸ii metrice.
161

Corolarul 8.2.2 Spat¸iile R m sunt complete.
Valabilitatea corolarului rezultă din Observat¸ia 8.2.3 ¸si din faptul că spat¸iul R este
complet (Exemplul 8.2.2).
Definit¸ia 8.2.8 În spat¸iul metric (X, d), o funct¸ie f : X → X se nume¸ste contract¸ie, dacă
există α ∈ [0, 1) a¸sa încât, oricare ar fi x, y ∈ X avem
(8.4)
d(f(x),f(y)) ≤ αd(x, y).
Exemplul 8.2.4. Fie X = Rm cu metrica euclidiană
d(x, y) = m
(xi − yi) 2 ,
i=1
unde x =(x1,x2,...,xm) ∈ X, y =(y1,y2,...,ym) ∈ X. Considerăm aplicat¸ia f : X → X dfinită
prin f(x) =(αx1,αx2,...,αxm), α ∈ [0, 1). Avem
d(f(x),f(y)) = m
(αxi − αyi) 2
= α
m
(xi − yi) 2 = αd(x, y),
i=1
pentru orice x, y ∈ X, adică (8.4) este verificată pentru α ∈ [0, 1), ceea ce ne arată că f este
o contract¸ie.
Exemplul 8.2.5. Funct¸ia f : R → R, definită prin
f(x) = a
x2 + b , a > 0, b > 0, a < b√b este o contract¸ie a spat¸iului metric (R, ||).
În adevăr, pentru orice x, y ∈ R, avem
d(f(x),f(y)) = |f(x) − f(y) =
a
x2
a
−
+ b y2
+ b
=
i=1
a|x + y|
(x2 + b)(y2 d(x, y).
+ b)
Cum |t| ≤(t 2 + b)/2 √ b,pentruoricet ∈ R, putem scrie
|x + y| ≤|x| + |y| ≤ x2 + b
2 √ b + y2 + b
2 √ 1
=
b 2 √ b (x2 + y 2 +2b) ≤
≤ 1
2 √ 2
b b (x2 + b)(y 2 + b) = 1
b √ b (x2 + b)(y 2 + b)
Atunci
d(f(x),f(y)) ≤ a
b √ d(x, y),
b
cu α = a/b √ b ∈ [0, 1), ceea ce ne arată că f este o contract¸ie a spat¸iului metric R.
Numeroase probleme practice conduc la rezolvarea unei relat¸ii de forma f(x) =x,
unde f esteoaplicat¸ieaunui spat¸iu metric X în el însă¸si. Un astfel de punct x ∈ X pentru
care f(x) =x se nume¸ste punct fix al funct¸iei f.
Astfel, dacă f este aplicat¸ia identică aunuispat¸iu metric în el însu¸si, adică f(x) =x,
pentru orice x ∈ X, atunci toate punctele lui X sunt puncte fixe.
În continuare vom prezenta un rezultat fundamental al Analizei Matematice, cu multe
aplicat¸ii în matematică ¸si ¸stiint¸ele practice, numit principiul contract¸iei sau teorema de
punct fix a lui Banach care asigură, în anumite condit¸ii, existent¸a ¸si unicitatea unui punct
fix.
162

Teorema 8.2.4 (Principiul contract¸iei). Orice contract¸ie a unui spat¸iu metric complet în el
însu¸si admite un singur punct fix.
Demonstrat¸ie. Fie (X, d) un spat¸iu metric ¸si f : X → X o contract¸ie a sa.
Unicitatea punctului fix. Să admitemcăarexistadouă puncte fixe x ¸si y din X, cu
x = y, a¸sa încât f(x) =x ¸si f(y) =y. Atunci
d(x, y) =d(f(x),f(y)) ≤ αd((x, y),α∈ [0, 1),
de unde
(1 − α)d(x, y) ≤ 0.
Cum d(x, y) > 0 ¸si (1 − α) > 0, avem o contradict¸ie. Prin urmare, presupunerea noastră
este falsă, deci există un singur punct fix.
Existent¸a punctului fix. Să considerăm x0 ∈ X un punct arbitrar ¸si să definim recurent
¸sirul (xn) prin x1 = f(x0), x2 = f(x1), ..., xn+1 = f(xn), ....
Vom arăta că ¸sirul (xn) este un ¸sir fundamental.
Avem
d(x2,x1) =d(f(x1),f(x0)) ≤ αd(x1,x0),
d(x3,x2) =d(f(x2),f(x1)) ≤ αd(x2,x1) ≤ α 2 d(x1,x0).
Prin induct¸ie matematică deducem că
(8.5)
(8.6)
d(xn+1,xn) ≤ α n d(x1,x0), pentru orice n ∈ N.
Pentru n, p numere naturale, p = 0, conform cu (8.5), putem scrie
d(xn+p,xn) ≤ d(xn+p,xn+p−1)+d(xn+p−1,xn+p−2)+...+
+d(xn+1,xn) ≤ (α n+p−1 + α n+p−2 + ...+ α n )d(x1,x0) =
n 1 − αp
= α
1 − α d(x1,x0) ≤ αn
1 − α d(x1,x0).
Să luăm d(x1,x0) > 0 (în caz contrar, punctul fix este x0 ¸si demonstrat¸ia existent¸ei
este terminată). Deoarece α ∈ [0, 1), rezultălim n→∞ αn =0, de unde pentru orice ε>0, există
nε ∈ N a¸sa încât, pentru orice n>nε, avem
α n ε(1 − α)
<
d(x1,x0) .
(8.7)
Din (8.6) ¸si (8.7) rezultă că, pentru orice ε>0 ¸si pentru orice p ∈ N∗ ,existănε∈N, a¸sa încât d(xn+p,xn) nε, adică¸sirul (xn) este fundamental.
Cum (X, d) este spat¸iul metric complet, există x ∈ X a¸sa încât lim
n→∞ xn = x. Mai trebuie
arătat că x este punct fix.
Într–adevăr, putem scrie
d(f(x),x) ≤ d(f(x),xn+1)+d(xn+1,x)=d(f(x),f(xn))+
+d(xn+1,x) ≤ αd(x, xn)+d(xn+1,x).
De aici, folosind că lim
n→∞ d(x, xn) =0, lim
n→∞ d(xn+1,x)=0¸si t¸inând cont de criteriul majorării
pentru ¸siruri reale, deducem că d(f(x),x)=0,adică f(x) =x.
Demonstrat¸ia teoremei lui Banach de punct fix ne arată nu numai existent¸a ¸si unicitatea
punctului fix, ci ¸si o metodă de aflare a punctului fix x ¸si de asemenea, punerea
în evident¸ă a unei formule pentru evaloarea erorii ce se comite considerând respectiva
aproximat¸ie.
Într–adevăr, deoarece
d(xn,x) ≤ d(xn,xn+p)+d(xn+p,x) ≤ αn
1 − α d(x1,x0)+d(xn+p,x),
163

ezultă, pentru p →∞că
d(xn,x0) ≤ αn
1 − α d(x1,x0),
inegalitatea ce ne arată cu ce eroare aproximează xn punctul fix x.
În acest fel, pornind de la x0 ∈ X arbitrar, punctele xn = f(xn−1), n =1, 2,...,apar
drept aproximat¸ii succesive ale punctului fix x, ceea ce face ca metoda de aproximare să
poarte numele de metoda aproximat¸iilor succesive.
În aplicarea efectivă a metodei aproximat¸iilor succesive partea dificilă constăîn determinarea
convenabilă aspat¸iului metric complet (X, d) ¸si a contract¸iei f. Cutoatăaceastă dificultate, metoda aproximat¸iilor succesive este una dintre cele mai puternice procedee de
aproximare numerică a multor probleme puse de matematică ¸si ¸stiint¸ele practice (inclusiv
cele economice).
Exemplul 8.2.6. Fie ecuat¸ia x3 +4x− 1=0¸si să ne propunem să-i găsim aproximativ singura
rădăcină realăpecareoare(demonstrat¸iacest fapt !).
Scriem ecuat¸ia sub forma
x =
1
x2 +4
¸si considerăm funct¸ia f : R → R, f(x) =1/(x2 +4).
Din Exemplul 8.2.5, pentru a =1¸si b =4, găsim că f este o contract¸ie a spat¸iului
metric (R, ||), cuα =1/8. Pe baza principiilor contract¸iei f are un singur punct fix x ¸si
deci ecuat¸ia dată vaaveaosingurărădăcină reală. Folosind ¸sirul aproximat¸iilor succesive,
considerând x0 =0,găsim:
x1 = f(x0) = 1
=0, 25
4
x2 = f(x1) =0, 2461
x3 = f(x2) =0, 2463,
...................
iar xn va aproxima pe x cu o eroare d(xn,x) ≤ 2
.
7 · 8n 164

8.3 Test de verificare a cuno¸stint¸elor nr. 7
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) S¸ir de numere reale convergent;
b) S¸ir de numere reale fundamental;
c) S¸ir într-un spat¸iu metric;
d) Spat¸iu metric complet.
2. Enunt¸at¸i:
a) Criteriul lui Cauchy pentru ¸siruri de numere reale;
b) Principiul contract¸iei.
3) Utilizând criteriul lui Cauchy să searatăcă următoarele ¸siruri sunt convergente:
2n +1
a) an =
5n +2 ;
b) bn =1+ 1 1 1
+ + ... + ;
2 22 2n c) cn = a0 + a1q + a2q2 + ... + anqn cu |ak| 1 ¸si yn = 1p +2p + ... + np np+1 .
k=1
5. Să se calculeze lim
n→∞ un, un =(u ′ n,u ′′ n,u ′′′
n ), cu
u ′ n = √ n +1− 2 √ n + √ n − 1,
2 1
n − 1 ,
u ′′ n = n
u ′′′
n =
1
9√ 9n 9 +5n 2 +1 +
1
9√ 9n 9 +5n 2 +2 + ... +
6. Să se calculeze lim
n→∞ , un =(u ′ n,u ′′ n,u ′′′
n ), cu
u ′ n = 12 +22 + ... + n2 nn ,
u ′′ √n n
a +
n =
√ n 2
cu a, b ∈ R∗ +,
u ′′′
n =
b
3 3n
3+ 1
3n .
n
7. Să se calculeze lim
n→∞ un, un =(u ′ n,u ′′ n,u ′′′
n ) cu
u ′ k=1
n =
n
k! · k
(n + 1)! ,
165
1
9√ 9n 9 +5n 2 + n .

u ′′
n =sinnπ
3 n3 +3n2
+4n− 5 ,
u ′′′
n = n +1−
n
k=2
1 2 k − 1
+ + ... + .
2! 3! k!
8. Într-o progresie aritmetică, în care al n-lea termen este an ¸si suma primilor n termeni
Sn, avem Sm
=
Sn
m2
am
. Săsearatecă =
n2 an
2m − 1
2n − 1 .
9. Să se determine limita inferioară ¸si limita superioară pentru ¸sirul (an) cu
an = a (−1)n+1
+ 1
, a>0.
n
10. Folosind principiul contract¸iei găsit¸i cu o eroare de 10−2 solut¸ia ecuat¸iei 10x − 1=sinx.
166

Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul nr. 7
3. Se impune |an+p − an|

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul II,
Editura ULB, Sibiu, 2002.
[2] Allen, R.G.D., Analiză matematică pentru economi¸sti, Editura S¸tiint¸ifică (traducere),
Bucure¸sti, 1971.
[3] Lancaster, K., Analiză economică matematică, Editura S¸tiint¸ifică, Bucure¸sti, 1973.
[4] Nicolescu, M., Dinculeanu, N., Marcus, S., Manual de analiză matematică, Vol.I,
1962, Vol.II, 1964, Editura Didactică ¸si Pedagogică, Bucure¸sti.
[5] Vasiliu, D.P., Matematici economice, Editura Eficient, Bucure¸sti, 1996.
168

Capitolul 9
Serii numerice
Obiective: Prezentarea not¸iunilor generale legate de seriile numerice ¸si aplicat¸iile
economice ale acestora (de exemplu fluxul de venit).
Rezumat: În acest capitol sunt introduse ¸si studiate not¸iunile de serie numerică,
convergent¸a seriilor numerice, serii cu termeni pozitivi ¸si criteriile de convergent¸ă pentru
acest tip de serii.
Cont¸inutul capitolului:
1. Not¸iuni preliminare
2. Criterii de convergent¸ă pentru serii numerice cu termeni oarecare
3. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente
4. Serii cu termeni pozitivi
5. Problemă economică. Fluxul de venit
6. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
7. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: serie numerică, serie convergentă, criterii de convergent¸ă, serie
absolut convergentă, serie semiconvergentă, serie cu termeni pozitivi, fluxul de venit.
9.1 Not¸iuni preliminare
Se cunoa¸ste că pentruoricenumăr finit de numere reale a1,a2,...,an, putem efectua
suma lor, utilizând proprietatea de asociativitate a adunării de numere reale. Astfel, mai
întâi calculăm a1 + a2, apoi se efectuează
¸si, în general
a1 + a2 + a3 =(a1 + a2)+a3, a1 + a2 + a3 + a4 =(a1 + a2 + a3)+a4
a1 + a2 + ...+ an−1 + an =(a1 + a2 + ...+ an−1)+an.
Acum, este firesc să ne punem problema efectuării sumei termenilor unui ¸sir (an)n≥1
de numere reale, adică a unei sume cu un număr infinit de termeni.
Definit¸ia 9.1.1 Fiind dat ¸siruldenumerereale(an), senume¸ste seriedenumererealesau
serie numerică problema adunării termenilor ¸sirului (an), adică problema efectuării sumei
(9.1)
În locul sumei (9.1) scriem prescurtat
a1 + a2 + ...+ an + ....
∞
an sau
an sau simplu an, an fiind
numit termenul general al seriei numerice.
Prin urmare, observăm că seriile numerice constituie problema adunării unei infinităt¸ii
numărabile de numere reale.
169
n=1
n≥1

Cum ¸stim efectua adunări de numere reale în care numărul termenilor este finit, dar
∞
oricât de mare, este natural ca pentru efectuarea sumei an să utilizăm sume finite de
tipul Sn = a1 + a2 + ...+ an, în care să facempen să tindă la infinit.
Definit¸ia 9.1.2 Numin sumă part¸ială a seriei numerice an, suma
Sn =
n=1
n
ai = a1 + a2 + ...+ an,
iar ¸siruldenumerereale(Sn) se nume¸ste ¸sirul sumelor part¸iale.
i=1
Observat¸ia 9.1.1 În literatura matematică, deseori, se define¸ste seria numerică an prin
cuplul de ¸siruri (an) ¸si (Sn) ([2], [4]).
Definit¸ia 9.1.3 Spunem că seria an este convergentă dacă ¸sirul sumelor part¸iale (Sn) este
convergent.
În acest caz, dacă lim
n→∞ Sn = S, atunciS se nume¸ste suma seriei an ¸si scriem
S = an = a1 + a2 + ...+ an + ....
Definit¸ia 9.1.4 Spunem că seria an este divergentă, dacă ¸sirul sumelor part¸iale (Sn) este
divergent.
Exemplul 9.1 Seria numerică
∞
aq n , unde a, q ∈ R, senume¸ste serie geometrică . Dacă
n=0
a =0,avemSn =0pentru orice q ∈ R, de unde rezultă că seria este convergentă, având
suma 0. Săconsiderăm a = 0. Atunci, pentru q = 1,avem
Sn = a + aq + ...+ aq n = a
1 − qn+1
,
1 − q
iar pentru q =1
Sn = a(n +1).
Pentru q ∈ (−1, 1), deoarece lim
n→∞ qn+1 =0,avemlim n→∞ Sn = a
. Prin urmare, pentru
1 − q
|q| < 1, seria geometrică este convergentă, având suma S = a/(1 − q).
Dacă q ≥ 1, atunci ¸sirul (Sn) are limita +∞ sau −∞ după cum a > 0 sau, a < 0,
iar pentru q ≤−1 limita ¸sirului (Sn) nu există. Deci, pentru |q| ≥1 seria geometrică este
∞
divergentă. În concluzie, seria geometrică aq n cenverge pentru a =0, oricare q ∈ R ¸si
pentru a = 0¸si q ∈ (−1, 1). Prin urmare, pentru |q| < 1, putem scrie
Exemplul 9.1.2. Seria
∞
n=1
Sn =
∞
n=0
n=0
aq n = a + aq + ...+ aq n + ...= a
1 − q .
1
(2n − 1)(2n +1)
n
h=1
1
(2h − 1)(2h +1) =
este convergentă. Într-adevăr, avem
170
n
h=1
1 1 1
− =
2 2h − 1 2h +1

1/2.
Prin urmare, lim
+
n→∞ Sn = 1
= 1
1 −
2
1 1 1 1 1
+ − + − + ...+
3 3 5 5 7
1
2n − 3 −
1
2n − 1 +
1
2n − 1 −
1
=
2n +1
= 1
1 −
2
1
.
2n +1
, ceea ce arată căseriadatăeste convergentă, având suma
2
Observat¸ia 9.1.2 O serie an în care termenul general se poate pune sub forma an =
bn − bn+1 poartă numele de serie telescopică.
∞
Exemplul 9.1.3. Seria
(−1)
n=1
n−1 este divergentă deoarece S2k−1 =1¸si S2k =0, pentru
orice k ∈ N∗ ,¸sirul sumelor part¸iale (Sn) fiind divergent.
∞ 1
Exemplul 9.1.4. Seria ,numităseria armonică, este divergentă.
n
n=1
În adevăr, ¸sirul sumelor part¸iale Sn =1+ 1 1
+ ...+ este divergent deoarece nu este
2 n
¸sir Cauchy (v. Exemplul 8.1.13).
Observat¸ia 9.1.3 Seria 1
n este numită serie armonică deoarece an =1/n este media armonică
a numerelor an−1, an+1, adică 2/an =1/an−1 +1/an+1.
Propozit¸ia 9.1.1 Dacă seria an converge, atunci lim
n→∞ an =0.
Demonstrat¸ie. Seria an fiind convergentă ,avemlim n→∞ Sn = S. Dar an = Sn − Sn−1, de
unde lim
n→∞ an = lim
n→∞ Sn − lim
n→∞ Sn−1 = S − S =0.
Corolarul 9.1.1 Dacă pentru seria an ¸sirul (an) nu converge la 0, atunci seria este divergentă.
Observat¸ia 9.1.4 Condit¸ia lim
n→∞ an =0este necesară dar nu ¸si suficientă pentru convergent¸a
seriei an.
De exemplu, seria armonică 1
este divergentă, de¸si lim 1/n =0.
n n→∞
Exemplul 9.1.5. Seria
n√
n este divergentă deoarece lim n√
n =1= 0.
n→∞
n≥2
Definit¸ia 9.1.5 Fiind dată seria
Propozit¸ia 9.1.2 Seria
∞
an, numim rest de ordinul k al ei, notat cu rk seria
n=1
∞
n=k+1
∞
an, seriarest
n=1
vergente sau ambele divergente.
an = ak+1 + ak+2 + ...
∞
n=k+1
171
an au aceea¸si natură, adică suntambelecon

Demonstrat¸ie. Fie n>k;notăm cu Sn ¸si respectiv Tn sumele part¸iale corespunzătoare
termenului an din seria ∞
an ¸si respectiv an. Avem
n=k+1
Tn = Sn − (a1 + a2 + ...+ ak).
Dacă an este convergentă, adică lim
n→∞ Sn = S, atunci lim
n→∞ Tn = S − (a1 + a2 + ...+
ak), ceea ce ne arată căseria
an este tot convergentă. Reciproc, dacă
an este
n=k+1
n=k+1
convergentă, adică lim
n→∞ Tn = T , atunci lim
n→∞ Sn = T +(a1 + ...+ ak), ceea ce arată căseria
an este convergentă.
Evident că, dacă unul din ¸sirurile (Sn) ¸si (Tn) este divergent atunci ¸si celălalt este
∞
∞
divergent. Prin urmare, dacă una din seriile an ¸si an este divergentă, atunci ¸si
cealaltă este divergentă.
n=1
n=k+1
Corolarul 9.1.2 Dacă unei serii numerice i se suprimă sau i se adaugă unnumă finit de
termeni, atunci natura ei nu se schimbă.
Propozit¸ia 9.1.3 Dacă seria an converge atunci ¸sirul resturilor (rk)k≥1 este convergent
la zero.
Demonstrat¸ie. Dacă seria an este convergentă, atunci lim
n→∞ Sn = S. Cum, pentru orice
k ∈ N ∗ ,avemrk = S − Sk, de unde lim
k→∞ rk = S − S =0.
Definit¸ia 9.1.6 Dacă considerăm seriile
merică
∞
an ¸si
n=1
∞
bn se nume¸ste seria sumă seria nu-
n=1
∞
(an + bn) =(a1 + b1)+(a2 + b2)+...+(an + bn)+...
n=1
¸si serie produs cu scalarul λ ∈ R seria numerică
∞
(λan) =λa1 + λa2 + ...+ λan + ....
n=1
Teorema 9.1.1 Dacă seria an converge, având suma A, iar seria bn converge, având
suma B atunci seria (an + bn) converge ¸si are suma A + B.
Demonstrat¸ie. Fie An =
An + Bn =
n
ak ¸si B =
k=1
n
k=1
bk. Cum lim
n→∞ An = A, iar lim
n→∞ Bn = B, rezultăcă
n
(ak + bk) converge la A + B, ceea ce ne permite să scriem (an + bn) =A + B.
k=1
Teorema 9.1.2 Dacă λ ∈ R −{0},atunci seriile an ¸si λan au aceea¸si natură.
Demonstrat¸ie. Fie Sn =
n
ak. Dacă an converge, atunci lim
h=1
n→∞
h=1
n
ak = S, ceea ce
implică ¸si lim
n→∞ λSn = λS. Cum λa1 + ...+ λan = Tn = λSn, rezultăcă¸si seria λan este
∞
convergentă ¸si are suma λS. Dacă an este divergentă, atunci ¸sirul (Sn) diverge, ceea ce
n=1
172

atrage după sinecă¸sirul Tn = λSn diverge, adică seria rezultă prin înlocuirea lui λ cu 1/λ.
λan este divergentă. Reciproc
Teorema 9.1.3 Dacă într-o serie convergentă se asociază termenii seriei în grupe cu un
număr finit de elemente, păstrând ordinea, atunci se obt¸ine tot o serie covnergentă cu
aceea¸si sumă.
Demonstrat¸ie. Fie seria an convergentă, Sn = a1 + a2 + ... + an ¸si lim
n→∞ Sn = S. Să
aranjăm termenii seriei an în grupe cu un număr finit de termeni astfel
(9.2)
(a1 + a2 + ...+ an1 )+(an1+1an2+2 + ...+ an2 )+...+
+(ank−1+1 + ank−1+2 + ...+ ank )+...
păstrând ordinea termenilor. Notând bi = ani−1+1 + ann−1+2 + ...+ ani , i =1, 2, 3,... ¸si Tk =
b1 + b2 + ...+ bk, k =1, 2,... scriem Tk = Snk , k =1, 2,... ceea ce ne arată că (Tk) este un sub¸sir
al ¸sirului (Sn). Deoarece lim
n→∞ Sn = S, deducem că lim
k→∞ Tk = lim Snk = S, ceea ce ne arată că
k→∞
seria (9.2) este convergentă, iar suma ei este S.
Observat¸ia 9.1.5 Reciproca teoremei nu are loc, adică dacă într-o serie an convergentă
în care termenii sunt grupe cu un număr finit de termeni, atunci prin desfă¸surarea grupelor
(înlăturarea parantezelor), păstrând ordinea termenilor, se poate obt¸ine o serie divergentă.
De exemplu, seria
(9.3)
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ...
este convergentă, în imp ce seria
∞
1 − 1+1− 1+1− 1+...= (−1) n−1
(9.4)
este divergentă.
Observat¸ia 9.1.6 Într-o serie divergentă se pot aranja termenii în grupe cu un număr finit
de elemente, păstrând ordinea, a¸sa încât seria obt¸inută să fie convergentă. Astfel, seria
(9.4) este divergentă iar seria (9.3) este convergentă.
9.2 Criterii de convergent¸ă pentru serii numerice cu termeni
oarecare
Dacă în seria an nu facem nici o precizare asupra semnului termenilor, atunci se
mai spune că avem o serie numerică cu termeni oarecare. În acest paragraf ne interesează
să găsim criterii prin care să putem preciza convergent¸a unei serii de numere reale. Este
important să cunoa¸stem convergent¸a unei serii deoarece, cunoscând acest fapt, chiar dacă
nu-i cunoa¸stem suma, o putem evalua luând sume part¸ialecuunnumăr cât mai mare de
termeni.
Teorema 9.2.1 (Criteriul lui Cauchy). Seria an este convergentă dacă ¸si numai dacă
pentru orice ε>0 există unnumăr natural nε astfel încât, pentru orice n natural, n>nε ¸si
orice p ∈ N∗ să avem
|an+1 + an+2 + ...+ an+p| 0 ¸si orice p ∈ N∗ ,existănε∈Na¸sa încât, petru orice n ∈ N,
n>nε să avem|Sn+p − Sn|

Teorema 9.2.2 (Criteriul Dirichlet). Seria anbn este convergentă dacă ¸sirul sumelor
part¸iale al seriei an este mărginit, iar ¸sirul (bn) este descrescător ¸si convergent la 0.
Demonstrat¸ie. Fie (Sn) ¸sirul sumelor part¸iale al seriei an, fiindmărginit, există un
M>0 a¸sa încât |Sn| ≤M, pentruoricen natural.
Utilizând faptul că ¸sirul (bn) este descrescător putem scrie succesiv:
(9.5)
|an+1bn+1 + an+2bn+2 + an+3bn+3 + ...+ an+pbn+p| =
= |bn+1(Sn+1 − Sn)+bn+2(Sn+2 − Sn+1)+bn+3(Sn+3 + Sn+2)+...+
+bn+p(Sn+p + Sn+p−1)| =
= |−bn+1Sn +(bn+1 − bn+2)Sn+1 +(bn+2 − bn+3)Sn+2 + ...+
+(bn+p−1 − bn+p)Sn+p−1 + bn+pSn+p| ≤
≤|Sn| |bn+1| + |bn+1 − bn+2| |Sn+1| + |bn+2 − bn+2| |Sn+2| + ...+
+|bn+p−1 − bn+p| Sn+p−1| + |bn+p| Sn+p| ≤
≤ M(bn+1 + bn+1 − bn+2 + bn+2 − bn+3 + ...+ bn+p−1 − bn+p + bn+p) =
=2Mbn+1
Deoarece bn+1 → 0 pentru n →∞,pentruoriceε>0 există nε ∈ N a¸sa încât, pentru
orice n ∈ N, n>nε, săavembn+1 0 a¸sa încât
|Sn(x)| ≤M, pentruoricen∈N∗ .
Pe de altă parte,¸sirul bn =1/ √ n tinde descrescător la 0. Prin urmare, fiind îndeplinite
∞ sin nx
condit¸iile criteriului lui Dirichlet rezultă căseria √ este convergentă pentruorice
n
x ∈ R.
Teorema 9.2.3 (Criteriul lui Abel). Dacă seria an este convergentă ¸si (bn) este un ¸sir
monoton ¸si mărginit, atunci seria anbn este convergentă.
174
n=1
,
2
n=1

Demonstrat¸ie. Cum ¸sirul (bn) este monoton ¸si mărginit rezultă că el este convergent; fie
lim
n→∞ bn = b. Fără arestrânge generalitatea demonstrat¸iei putem considera că ¸sirul (bn) este
crescător. Atunci ¸sirul (b − bn) va fi un ¸sir descrescător ¸si cu limita 0. Din faptul că serie
an este convergentă rezultăcă¸sirul sumelor part¸iale este mărginit. Aplicând criteriul
lui Dirichlet, deducem că serie an(b − bn) este convergentă. Dar an fiind convergentă
rezultă că ¸si ban este convergentă. Acum, utilizând teorema 9.1.1, obt¸inem că seria
anbn este convergentă deoarece anbn = −an(b − bn)+ban, pentruoricen∈N∗ . Cu această
teorema este demonstrată.
∞ 1
Exemplul 9.2.2. Fie seria
2
n=1
n
1+ 1
n . Observăm că seria
n
1
este convergentă, fiind
2n serie geometrică curat¸ia 1
2 ∈ (−1, 1), iar¸sirul bn = 1+ 1
n, ∗
n n ∈ N , este strict crescător ¸si
mărginit (Exemplul 8.1.1). Cum sunt îndeplinite condit¸iile criteriului lui Abel, deducem că
seria dată este convergentă.
∞
Definit¸ia 9.2.1 Oseriean
se nume¸ste serie alternantă (sau alternată) dacă anan+1 < 0,
n=1
pentru orice n ∈ N ∗ , adică dacă termenii săi alternează casemn.
sau
Este evident că orice serie alternantă poate fi scrisăîn una din formele:
∞
(−1) n an, undean≥0, pentru orice n ∈ N∗ .
n=1
Exemplul 9.2.3. Seriile n−1 1
(−1)
sunt serii alternate.
n
=1− 1
2
1 1
+ −
3 4 +...¸si
Teorema 9.2.4 (Criteriul lui Leibniz). Dacă în serie alternantă
∞
(−1) n 1
2n − 1
n=1
∞
n=1
∞
n=1
(−1) n−1 an
1 1
= −1+1 − +
3 5 7 −...
(−1) n−1 an ¸sirul (an) este
descrescător ¸si convergent la zero, atunci seria este convergentă.
∞
Demonstrat¸ie. Cum seria (−1) n−1 are ¸sirul sumelor part¸iale mărginit (|Sn| ≤1, oricare
n=1
ar fi n ∈ N∗ ), iar ¸sirul (an) este descrescător ¸si convergent la 0 rezultă, conform criteriului
lui Dirichlet că seria alternantă este convergentă.
∞
Exemplul 9.2.4. Seria (−1) n−1 1
este convergentă deoarece sunt îndeplinite
2n − 1
n=1
condit¸iile criteriului lui Leibniz, adică ¸sirul
zero.
∞
Corolarul 9.2.1 Dacă seria
n=1
1
2n−1
n≥1
este descrescător ¸si convergent la
(−1) n−1 an îndepline¸ste condit¸iile din Criteriul lui Leibniz
(Teorema 9.2.4) ¸si S este suma ei, atunci
|S − Sn| ≤an+1, pentru orice n ∈ N ∗ ,
n
unde Sn = (−1) k−1 ak sumă part¸ială derangn.
k=1
Demonstrat¸ie. Într-adevăr, cum ak − ak+1 ≥ 0, k ∈ N∗ , atunci
∞
|S − Sn| = (−1)
n−1 n
an − (−1) k−1
ak
=
n=1
175
k=1

|(−1) n an+1 +(−1) n+1 an+2 +(−1) n+2 an+3 + ...| =
= |(−1) n [(an+1 − an+2)+(an+3 − an+4)+...]| =
=(an+1 − an+2)+(an+3 − an+4)+...=
= an+1 − (an+2 − an+3) − (an+4 − an+5) − ...≤ an+1.
∞
n−1 1
Exemplul 9.2.5. Seria (−1) (numită seria armonică alternantă) este convergentă
n
n=1
1
deoarece ¸sirul este descrescător ¸si convergent la 0. Fie (Sn) ¸sirul sumelor part¸iale al
n
seriei. Cum ¸sirul
xn =1+ 1 1
+ ...+
n n − ln n, n ∈ N∗ ,
este convergent la γ–constanta lui Euler, avem
S2n+1 =
k−1 1
(−1)
k = x2n+1 + ln(2n +1)− (γn +lnn) =
2n+1
k=1
2n +1
= x2n+1 − xn +ln ,
n
de unde
lim
n→∞ S2n+1 = γ − γ +ln2=ln2.
Deoarece ¸sirul (Sn) este convergent ¸si sub¸sirul (S2n+1) are limita ln 2, rezultăcă¸si ¸sirul
(Sn) are limita S =ln2. Atunci, pe baza Corolarului 9.2.1, putem scrie
|Sn − ln 2| ≤ 1
n +1 ,n∈ N∗ ,
adică eroarea absolută prin care ¸sirul (Sn) aproximează peln 2 nu depă¸se¸ste pe 1/(n +1).
9.3 Serii absolut convergente. Serii semiconvergente
∞
n−1 1
Am văzut în Exemplul 9.2.5. că seria armonică alternantă (−1) este conver-
n
n=1
∞
gentă în timp ce seria
1
(−1)n−1
n
n=1
=
∞ 1
,adicăseria armonică, este divergentă (Exemplul
n
n=1
9.1.1). Acest exemplu ne permite să considerăm definit¸iile de mai jos, care ne permit o
clasificare a seriilor convergente.
Definit¸ia 9.3.1 Seria an se nume¸ste absolut convergentă, dacă seria |an| este convergentă.
∞ (−1)
Exemplul 9.3.1. Seria
n−1
2n este absolut convergentă.
n=1
Propozit¸ia 9.3.1 Dacă seria an este absolut convergentă, atunci seria an este convergentă.
Demonstrat¸ie. Deoarece an este absolut convergentă rezultăcă |an| este convergentă.
Atunci, conform cu criteriul lui Cauchy, pentru orice ε>0, există nε ∈ N ∗ a¸sa încât,
pentru orice n ∈ N, n>nε ¸si orice n ∈ N ∗ ,săavem
|an+1| + |an+2| + ...+ |an+p|

Cum
|an+1 + an+2 + ...+ an+p| ≤|an+1| + |an+2| + ...+ |an+p|,
obt¸inem că, pentru orice ε>0, există nε ∈ N ∗ , astfel încât, pentru orice n ∈ N, n>nε ¸si orice
p ∈ N ∗ ,areloc
|an+1 + an+2 + ...+ an+p|

Demonstrat¸ie. Fie seria
sumelor part¸iale, iar
presupunem că
∞
an = A ¸si
n=1
∞
bn = B, cu(An) ¸si (Bn) ¸sirurile corespunzătoare ale
n=1
∞
cn seria produs de convolut¸ie, cu (Cn) ¸sirul sumelor part¸iale. Să
n=1
∞
an este absolut convergentă. Avem
n=1
Cn = c1 + c2 + ...+ cn = a1b1 +(a1b2 + a2b1)+...+
+(a1bn + a2bn−1 + ...+ anb1) =
= a1(b1 + b2 + ...+ bn)+a2(b1 + ...+ bn−1)+...+ an−1(b1 + b2)+anb1 =
= a1Bn + a2Bn−1 + ...+ an−1B2 + anB1.
∞
Deoarece seria bn este convergentă ¸si are suma B, ¸sirul dn = Bn − B, n =1, 2,...,
n=1
este convergent. Acum putem scrie
de unde
(9.6)
Cum seria
Cn = a1(dn + B)+a2(dn−1 + B)+...+ an(d1 + B) =
B(a1 + a2 + ...+ an)+a1dn + a2dn−1 = ...+ and1 =
= BAn + a1dn + a2dn−1 + ...+ and1,
Cn − AnB = a1dn + a2dn−1 + ...+ and1.
∞
|an| este convergentă rezultăcă¸sirul sumelor ei part¸iale este mărginit,
n=1
adică existăunM>0 a¸sa încât
n
|ak| 0, există
n1ε ∈ N∗ a¸sa încât, pentru orice n>n1 să avem
|dn| < ε
2M .
(9.8)
Pe de altă parte, deoarece seria an este convergentă avem că an → 0. Atunci,
pentru orice ε>0 există n2 ∈ N∗ a¸sa încât, pentru orice n ∈ N, n>n2, săavem
ε
|an| <
2(|d1| + |d2| + ...+ |dn2 |).
Acum, din (9.6), (9.7) ¸si (9.8), pentru orice n natural, n>n1 + n2 − 1, avem
|Cn − AnB| ≤(|a1| |dn| + |a2| |dn−1 + ...+ |an−n1 ||dn1+1)+
+(|an−n1+1| |dn1 | + ...+ |an| |d1|) <
< ε
2M (|a1| + |a2| + ...||an−n1 |)+
ε
+
2(|d1| + ...+ |dn1 |)(|dn1 | + ...+ |d1|) <
< ε ε
· M + = ε
2M 2
Ceea ce ne arată că lim
n→∞ (Cn − AnB) =0. De aici, obt¸inem lim
ceea ce trebuia demonstrat.
178
n→∞ Cn = lim
n→∞ AnB = A · B,

9.4 Serii cu termeni pozitivi
În paragraful precedent am văzut că oserie an absolut convergentă este¸si convergentă.
Cum în seria |an| avem |an| ≥0, n =1, 2,...,rezultăcă prezintă interes să obt¸inem
criterii de convergent¸ă pentru serii an, cuan > 0, n =1, 2, 3,....
Definit¸ia 9.4.1 Oserie
∞
an cu an > 0, n =1, 2, 3,...,senume¸ste serie cu termeni pozitivi.
n−1
Teorema 9.4.1 (Criteriul mărginirii ¸sirului sumelor part¸iale). Seria cu termeni pozitivi
an este convergentă dacă ¸si numai dacă ¸sirul sumelor part¸iale este mărginit.
Demonstrat¸ie. Dacă seria an este convergentă, atunci ¸sirul sumelor part¸iale (Sn) este
convergent ¸si, prin urmare, mărginit.
Reciproc dacă ¸sirul sumelor part¸iale (Sn) este mărginit, observând că el este strict
crescător (Sn+1 − Sn = an+1 > 0, n =1, 2,...), deducem că el este convergent, ceea ce ne
demonstrează căseria an este convergentă.
Criteriul mărginirii ¸sirului sumelor part¸iale ne va permite să obt¸inem condit¸ii suficiente
pentru convergent¸a seriilor cu termeni pozitivi.
Teorema 9.4.2 (Criteriul de comparat¸ie a termenilor generali). Fie seriile cu termenii poz-
∞ ∞
itivi an ¸si bn astfel ca an ≤ bn, pentru orice n ∈ N∗ ∞
. i) Dacă bn este convergentă,
n=1
atunci ¸si
vergentă.
n=1
∞
an este convergentă; ii) Dacă
n=1
n=1
∞
an este divergentă, atunci ¸si
n=1
∞
bn este di-
Demonstrat¸ie. Fie An = a1 + a2 + ...+ an ¸si Bn = b1 + b2 + ...+ bn pentru n ∈ N∗ .Dinan≤bn rezultă
An ≤ Bn, pentru orice n ∈ N ∗
(9.9)
i) Dacă
∞
bn este convergentă, atunci ¸sirul (Bn) este mărginit ¸si din (9.9) deducem că
n=1
¸sirul (An) este mărginit, deci, conform criteriului mărginirii ¸sirului sumelor part¸iale,
∞
seria an este convergentă.
n=1
ii) Dacă seria
∞
an este divergentă, atunci ¸sirul (An) este divergent ¸si crescător; deci,
n=1
¸sirul (Bn) este divergent ¸si crescător. Prin urmare, seria
n=1
∞
bn este divergentă.
Observat¸ia 9.4.1 Criteriul de comparat¸ie al termenilor generali se păstrează ¸si dacă an ≤ bn
pentru orice n>n0, n0 ∈ N.
∞ 1
Exemplul 9.4.1. Seria , α ∈ R se nume¸ste seria armonică generalizată.
nα n=1
Pentru α =1seria este divergentă (Exemplul 9.1.4.).
Dacă α 1/n, pentruoricen∈N∗ ∞ 1
. Cum seria este divergentă,
n
179
n=1
n=1

conform criteriului de comparat¸ie a termenilor generali obt¸inem că seria
gentă pentru α1. Avem
de unde
1
(2t−1 +
) α
S2 t −1 =
1 ≤ 1
1 1 1
+ ≤ 2 ·
2α 3α 2
1 1 1 1 1
+ + + < 4 · <
4α 5α 6α 7α 4α 1
(2t−1 1
+ ...+
+1) α (2t < 2 ·
1) α
2 t −1
k=1
1
<
kα t
k=1
1
(2 α−1 )
1
= α 2α−1
1
2α−1 2 1 −
= k−1 1
1 − 1
∞
n=1
1
(2n−1
1
=
) α 2α−1 αt−1 ,
(2 α−1 ) t
2 α−1
< 2α − 1
2 α−1 − 1 ,
1
este diver-
nα adică sub¸sirul (S2t−1) al ¸sirului sumelor part¸iale (Sn) este mărginit.
Cum ¸sirul (Sn) este crescător ¸si pentru orice n ∈ N există unt∈ N a¸sa încât n1.
nα n=1
∞ 1
Este bine de ret¸inut că seria armonică generalizată este convergentă pentru
nα n=1
α>1 ¸si divergentă pentru α ≤ 1.
∞ 1
Exemplul 9.4.2. Seria este convergentă deoarece
n(n + 1)(n +2)
n=1
1
<
n(n + 1)(n +2) 1
√
n3 ,
iar seria 1
este convergentă fiind o serie armonică generalizată cuα =3/2 > 1.
n3/2 Teorema 9.4.3 (Criteriul de comparat¸ie al limitei raportului termenilor generali). Fie seriile
an ¸si bn cu termenii pozitivi.
an
i) Dacă există lim = λ ¸si λ ∈ (0, ∞), atunci cele două serii au aceea¸si natură.
n→∞ bn
an
ii) Dacă lim
n→∞ bn
=0, atunci dacă bn este convergentă rezultăcă¸si an este conver-
gentă, iar dacă an este divergentă rezultăcă¸si bn este divergentă.
an
iii) Dacă lim = ∞, atunci dacă
n→∞ bn
an este convergentă rezultăcă¸si bn este convergentă,
iar dacă bn este divergentă rezultăcă¸si an este divergentă.
Demonstrat¸ie. i) Din lim
n→∞
pentru orice n>nε, săavem
an
bn
an
bn
= λ rezultă că, pentru orice ε>0, existănε∈N, a¸sa încât,
− λ

De aici, luând ε = λ/2, găsim
λ
2 bn nλ/2. Din (9.10), aplicând teorema 9.4.2, rezultă afirmat¸iadelai).
ii) Dacă λ =0, atunci pentru orice ε>0, existănε∈N, astfel încât să avem−ε <
an/bn n0, de unde obt¸inem
(9.11)
an n0.
Aplicând criteriul de comparat¸ie a termenilor generali, din (9.11) rezultă afirmat¸ia de
la ii).
iii) Dacă lim
n→∞ an/bn = ∞, atunci rezultă că lim
n→∞ bn/an =0, de unde, conform cu ii) al
teoremei, obt¸inem afirmat¸iile de la iii).
∞
Exemplul 9.4.3. Seria ( n√ 2 − 1) este divergentă deoarece, considerând seria 1
n ,
cum
n=2
lim
n→∞
n√ 2 − 1
1
n
2
= lim
n→∞
1
n − 1
1 =ln2> 0,
n
rezultă conform teoremei 9.4.3i), că seriadatăare aceea¸si natură ca¸si seria armonică 1
n ,
adică divergentă.
Teorema 9.4.4 (Criteriul raportului – D ′ ∞
Alembert). Fie seria numerică an cu termeni
pozitivi. Dacă an+1
an+1
an
an
≤ λ

de unde
an+1
an
1, procedând în mod analog, găsim
an+1
an
>l− ε>1, pentru n>nε
De aici, utilizând a doua parte a Teoremei 9.4.4, deducem că seria an este divergentă.
Observat¸ia 9.4.2 Corolarul 9.4.1 nu este aplicabil în situat¸ia l =1. În acest caz, trebuie
apelat la alte metode pentru a preciza natura seriei de studiat.
Exemplul 9.4.4. Seria de numere reale
∞
an+1
lim = lim
n→∞ an n→∞
n=1
3nn! ,
nn este cu termeni pozitivi. Vom studia natura ei utilizând criteriul raportului cu limită. Avem
succesiv:
= lim
n→∞ 3
n n
=
n +1
3 n+1 ·(n+1)!
(n+1) n+1
3 n ·n!
n n
= 3 lim
n→∞
1
n+1
n
Cum 3/e > 1, rezultăcă seria este divergentă.
n = 3
e
Teorema 9.4.5 (Criteriul rădăcinii – Cauchy). Fie seria an cu termeni pozitivi. Dacă
n√ an ≤ λ

Cum seria geometrică (l + ε) n este convergentă, conform criteriului de comparat¸ie
a termenilor generali, rezultă căseria an este convergentă.
Dacă l>1, procedând în mod analog, găsim
an > (l − ε) n , cu l − ε>1, pentru n>nε,
de unde obt¸inem că seria an este divergentă.
Exemplul 9.4.5. Seria numerică
∞
n 2a · n +1
, cu a>0,
n +1
n=1
este cu termeni pozitivi.
Utilizând criteriul rădăcinii cu limită, avem
2a n n · n +1
2a · n +1
lim
= lim
n→∞ n +1
n→∞ n +1 =2a.
Dacă 2a 1/2, atunci seria dată estedivergentă.
Dacă a =1/2 atunci termenul general al seriei este 1, ceea ce implică că seria este
divergentă.
Teorema 9.4.6 (Criteriul Raabe–Duhamel cu limită). Fie seria an cu termeni pozitivi.
Dacă
lim
n→∞ n
an
− 1 = l,
an+1
atunci seria este convergentă când l>1 ¸si este divergentă când l1, atunci pentru orice ε ∈ (0,l− 1) există nε ∈ N a¸sa încât
an
n
− 1 >l− ε, pentru n>nε,
an+1
de unde
(l − ε)an+1 nε.
Fără arestrânge generalitatea, putem considera că (9.12) are loc pentru orice n ∈ N∗ .
Dând succesiv valorile 1, 2,...,n− 1 în (9.12) obt¸inem
(l − ε)a2

de unde găsim
Sn < a1(l − ε)
l − ε − 1 , pentru orice n ∈ N∗ ,
ceea ce ne arată că¸sirul sumelor part¸iale este mărginit. Prin urmare conform cu criteriul
mărginirii ¸sirului sumelor part¸iale, deducem că seria an este convergentă.
Dacă l

9.5 Problemă economică. Fluxul de venit
În problemele de capitalizare se pune problema: ce sumă trebuie investită ca după x
ani să seobt¸ină osumă egală cua, dacă se cunoa¸ste dobânda r% ¸si frecvent¸a capitalizării
ei.
Să notăm cu S suma investită (ce trebuie aflată). Ea se nume¸ste valoarea prezentă ¸si
scontată asumeia, disponibilă pestex ani.
Dacă dobânda r% se capitalizează odată pe an, atunci din aplicat¸ia economică din
1.1, rezultă că suma disponibilă pestex ani este S(1 + r) x . Atunci, din
S(1 + r) x = a,
rezultă
a
S = .
(1 + r) x
Dacă dobânda s-ar capitaliza de n ori pe an, cu r%, atunci
a
S =
r nx .
1+ n
În fine, dacă, dobânda s-ar adăuga continuu, cu r%, atunci
S = ae −rx .
Parametrii de care depinde S sunt r ¸si n, care reprezintă dobânda ¸si frecvent¸a capitalizării.
Se observă că suma prezentă S este cu atât mai mică cucât dobânda este mai
mare ¸si cu cât se capitalizează mai des.
Problema pusă se poate extinde astfel: dacă dorimsă variem veniturile de la an la an
cu valorile a0,a1,...,am, adăugându-se în fiecare an dobânda r%,a tunci valoarea variat¸iei
venitului, numită flux de venituri, ar fi
(9.15)
a0 + a1
1+r +
a2
+ ...+
(1 + r) 2
am
.
(1 + r) m
Suma (9.15) se nume¸ste valoarea de capital a fluxului de venit. Ea este suma S ce
trebuie investită pentru a obt¸ine veniturile a0,a1,...,am în anii următori.
Se observă că dacă numărul anilor de capitalizare ar cre¸ste indefinit, atunci suma
(9.15) reprezintă o serie de tip geometric.
Să considerăm acum un flux de venit în valoare a care începe în anul următor ¸si
continuă timpden ani cu dobânda anuală r%. Atunci valoarea prezentă a fluxului va fi
S = a
1+r +
a
1+r
· 1 − 1
(1+r) n
1 − 1
1+r
a
+ ...+
(1 + r) 2
a
=
(1 + r) n
= a
n 1
1 −
.
r 1+r
Dacă fluxul de venit continuă indefinit, atunci valoarea prezentă se obt¸ine prin
∞
trecere la limită, făcând n →∞, adicăsuma seriei geometrice convergente a/(1 + r) n .
Prin urmare, valoarea prezentă S a sumei a, care va fi capitalizată la nesfâr¸sit, cu rata
dobânzii r% anual, este a/r.
185
n=1

9.6 Test de verificare a cuno¸stint¸elor nr. 8
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Serie numerică;
b) Serie numerică convergentă;
c) Suma unei serii numerice;
d) Serie numerică semiconvergentă.
2. Enunt¸at¸i:
a) Criteriul lui d ′ Alembert (raportului) pentru serii cu termeni pozitivi;
b) Criteriul lui Cauchy (radicalului) pentru serii cu termeni pozitivi;
c) Criteriul lui Raabe - Duhamel pentru serii cu termeni pozitivi;
d) Criteriul lui Leibniz pentru serii alternante;
e) Primul criteriu de comparat¸ie pentru serii cu termeni pozitivi.
3. Aflat¸i suma seriei
1
un cu un =
n(n +1) .
n≥1
4. Aflat¸i suma seriei
n≥2
un cu un = n2 + n − 3
.
n!
5. cercetat¸i natura seriilor
un cu:
a) un = nn
n! ,
b) un = an · n!
nn c) un = n2
.
2n n≥1
cu a>0, a = e,
6. Să se studieze natura seriilor
un cu:
n 2n +1
a) un =
,
3n +2
b) un = (n + 1)(n + a) − n
n
n≥1
cu a>0,
1
c) un =
1+ 1
2 ,
n
n
3 3 3
1 +2 + ... + n
d) un =
n3 − n
n
.
4
7. Să se studieze natura seriei
un, unde
un =
8. Să se studieze natura seriilor
n≥1
n!
(λ + 1)(λ +2)...(λ + n)
186
cu λ ∈ R.

a)
n≥1
un cu un =
a 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 1)
·
2 · 4 · 6 · ... · (2n)
1
nn cu a ∈ R3 .
b)
1
un, cu un = 3√ , folosind primul criteriu de comparat¸ie pentru serii cu
n4 +1 n≥1
termeni pozitivi.
c)
un cu:
n≥1
i) un = 1
, α ≤ 1,
nα ii) un = 1
, α ≥ 2.
nα folosind criteriul general al lui Cauchy.
9. Să se studieze absolut convergent¸a ¸si semiconvergent¸a seriei numerice
a) un = (−1)n−1
n(n +1) ,
sin na
b) un = , a ∈ R.
2n 10. Să se studieze natura seriei
a) un =(−1) n · 1
,
3n b) un =(−1) n n
·
n2 − 1 .
n≥1
un cu:
187
n≥1
un cu:

Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul nr. 8
3. S =1.
4. S =4.
5. a) Serie divergentă;
b) Serie divergentă pentru a>e, respectiv convergentă pentru a−2 seria converge;
b) Se compară cuseria 1
care converge, deci ¸si seria dată converge.
n≥1
n 4
3
c) La (i) seria diverge iar la (ii) seria converge.
9. a) Serie semiconvergentă;
b) Serie absolut convergentă, deci ¸si convergentă.
10. a) Serie absolut convergentă, deci ¸si convergentă;
b) Serie convergentă.
188

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul II,
Editura ULB, Sibiu, 2002.
[2] Donciu, N., Flondor, D., Algebră ¸si analiză matematică. Culegere de probleme,
Editura Didactică ¸si Pedagogică, Bucure¸sti, 1979.
[3] Nicolescu, M., Dinculeanu, N., Marcus, S., Manual de analiză matematică, Vol.I,
1962, Vol.II, 1964, Editura Didactică ¸si Pedagogică, Bucure¸sti.
[4] Olaru, V., Halanay, A., Turbatu, S., Analiză matematică, Editura Didactică ¸si Pedagogică,
Bucure¸sti, 1983.
189

Capitolul 10
Funct¸ii între spat¸ii metrice
Obiective: Prezentarea not¸iunilor generale legate de funct¸iile între spat¸ii metrice (în
special cazurilor R n ¸si R).
Rezumat: În acest capitol sunt introduse ¸si studiate not¸iunile de vecinatate a unui
punct într-un spat¸iu metric, funct¸ie între spat¸ii metrice, limită a unei funct¸ii într-un punct,
continuitatea funct¸iilor între spat¸ii metrice.
Cont¸inutul capitolului:
1. Vecinătate a unui punct
2. Funct¸ii între spat¸ii metrice
3. Limita unei funct¸ii într-un punct
4. Continuitatea funct¸iilor între spat¸ii metrice
5. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
6. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: funct¸ie între spat¸ii metrice, vecinătate, limită, continuitate.
10.1 Vecinătatea unui punct
Not¸iunea de vecinătate a unui punct într-un spat¸iu metric este fundamentală în setarea
not¸iunilor de limită ¸si de continuitate.
Definit¸ia 10.1.1 Fie (X, d) un spat¸iu metric ¸si a un punct arbitrar din X ¸si r un număr real
pozitiv.
Mult¸imea
S(a, r) ={x ∈ X|d(a, x)

y =(y1,y2 ∈ R 2 ),sunt date, repectiv, în figurile 10.1.1. ¸si 10.1.2.
Fig.10.1.1. Fig.10.1.2.
Exemplul 10.1.3. Pentru X = R 2 ¸si d(x, y) = max{|x1 − y1|, |x2 − y2|}, dacă x =(x1,x2),
y =(y1,y2), sfera deschisă derază r ¸si centru x0 =(a, b) ∈ R 2 este trasată în figura 10.1.4.,
iar sfera închisă de aceea¸si rază ¸si acela¸si centru este trasată în figura 10.1.3.
Fig.10.1.3. Fig.10.1.4.
Exemplul 10.1.4. Dacă X = R 3 ¸si d(x, y) = (x1 − y1) 2 +(x2 − y2) 2 +(x3 − y3) 2 , unde x =
(x1,x2,x3), y =(y1,y2,y3), atunci sfera deschisă S(x0,r) coincide cu interiorul sferei cu centrul
în x0 =(a, b, c) ¸si de rază r, iarsferaînchisă S(x0,r) coincide cu mult¸imea punctelor din R 3
aflate în interiorul sferei sau pe sfera de rază r ¸si centru x0.
Definit¸ia 10.1.2 Fie spat¸iul metric (X, d) ¸si x0 un punct arbitrar din X. Numim vecinătate
a punctului x0 omult¸ime V (x0) aspat¸iului X pentru care există o sferă deschisă centrată
în x0, cont¸inută în V .
Altfel spus, V (x0) este vecinătate a lui x0 dacă există r>0 a¸sa încât S(x0,r) ⊂ V (x0).
Propozit¸ia 10.1.1 Fie (X, d) un spat¸iu metric ¸si x0 un punct arbitrar din X. Sunt valabile
următoarele proprietăt¸i:
1) dacă V (x0) este o vecinătate a punctului x0, atunci orice supramult¸ime a sa, V ,este,
de asemenea vecinătate a punctului x0;
2) dacă V1(x0) ¸si V2(x0) sunt două vecinătăt¸i ale punctului x0, atunciV1(x0) ∩ V2(x0) este
vecinătate a punctului x0;
3) dacă V (x1) este o vecinătate a punctului x0 atunci x0 ∈ V (x0);
4) dacă V (x0) este o vecinătate a punctului x0, atunci există o vecinătate W (x0) apunctului
x0 astfel ca pentru orice y ∈ W (x0) mult¸imea V (x0) să fie vecinătate a punctului
y.
191

Demonstrat¸ie. 1) Cum V (x0) este vecinătate a lui x0 rezultă că există r > 0 a¸sa încât
S(x0,r) ⊂ V (x0). Dar atunci S(x0,r) ⊂ U, adică U este o vecinătate a lui x0.
2) Din faptul că V1(x0) ¸si V2(x0) sunt vecinătăt¸i ale lui x0 rezultă căexistă r1 > 0 ¸si r2 > 0,
a¸sa încât S(x0,r1) ⊂ V1(x0) ¸si S(x0,r2) ⊂ V2(x0). Considerând r = min(r1,r2) se observă că
S(x0,r) ⊂ Vi(x0), i =1, 2; deci S(x0,r) ⊂ V1(x0) ∩ V2(x0). Prin urmare, V1(x0) ∩ V2(x0) este o
vecinătate a lui x0.
3) Această proprietate rezultă din definit¸ia vecinătăt¸ii lui x0.
4) Cum V (x0) este vecinătate a lui x0 rezultă că există r > 0 a¸sa ca S(x0,r) ⊂ V (x0).
Considerăm W (x0) = S(x0,r). Dacă y ∈ W (x0), întrucât d(y, x0) < r, luând r1 a¸sa încât
0

Demonstrat¸ie. 1) Fie (Di)i∈I o familie oarecare de mult¸imi deschise ale lui X ¸si fie D =
Di.
Dacă D =Φ, atunci D este deschisă pe baza Definit¸iei 10.1.3. Dacă D = Φ,săconsiderăm
un x ∈ D arbitrar. Atunci rezultă căexistăDi0a¸sa încât x ∈ Di0 . Cum Di0 este mult¸ime
deschisă rezultăcă Di0 este vecinătate pentru x. Dar Di0 ⊂ D ¸si atunci în conformitate cu
proprietatea 1) din Propozit¸ia 10.1.1, obt¸inem că D este vecinătate a punctului x. Deoarece
x a fost ales arbitrar rezultă că D esteomult¸ime deschisă.
2) Fie D1 ¸si D2 două mult¸imi deschise ¸si D = D1 ∩ D2. DacăD =Φ, atunci proprietatea este
evidentă. Dacă D = Φ, atunci fie x ∈ D arbitrar. Atunci x ∈ D1 ¸si x ∈ D2. Cum D1 ¸si D2
sunt deschise, rezultă că D1 ¸si D2 sunt vecinătăt¸i ale punctului x. Folosim proprietatea 2)
din Propozit¸ia 10.1.1, rezultă că¸si D este vecinătate pentru punctul x. Cum x afostales
arbitrar rezultă căD este o mult¸ime deschisă.
3) Este evidentă.
4) Fie D = Φomult¸ime deschisă; atunci pentru orice x ∈ D există rx > 0 a¸sa încât S(x1,rx) ⊂
D. Dar D =
{x} ⊂
S(x, rx) ⊂ D, de unde rezultă D =
S(x, rx), ceea ce trebuie
demonstrat.
x∈D
x∈D
Corolarul 10.1.2 Intersect¸ia unui număr finit de mult¸imi deschise este o mult¸ime deschisă.
Justificarea acestui corolar rezultă din afirmat¸ia2)delaPropozit¸ia10.1.2. Ointersect¸ieinfinită demult¸imi deschise poate să nu mai fie o mult¸ime deschisă. Se
poate vedea acest fapt din exemplul următor.
Exemplul 10.1.9. În spat¸iu metric X = R cu metrica euclidiană mult¸imea Dk = − 1
1
, este
k k
deschisă, pentru orice k ∈ N∗ ∞
. Se observăcă Dk = {0} carenuesteomult¸ime deschisă
k=1
deoarece pentru orice r>0, intervalul(−r, r) ⊂ {0}.
Definit¸ia 10.1.4 O submult¸ime H aspat¸iului metric (X, d) se nume¸ste închisă dacă complementara
C(X) =X − H este deschisă.
Exemplul 10.1.10. Mult¸imile X ¸si Φ sunt închise deoarece C(x) =Φ¸si C(Φ) = X sunt deschise.
Exemplul 10.1.11. Orice sferă închisă dintr-un spat¸iu metric (X, d) esteomult¸ime închisă.
Într-adevăr, fie S(x0,r)={x ∈ X|d(x, x0) ≤ r} ¸si fie y ∈ C(S(x0,r)) ales arbitrar. Dacă
luăm 0

Exemplul 10.1.13. Dacă X = R 2 este înzestrat cu metrica euclidiană ¸si A = {(x, y) ∈ R 2 |1 ≤
x ≤ 2, 1 ≤ yd(x0,x1) +δ(A); evidentr>0. Pentru
sfera S(x0,r) avem A ⊂ S(x0,r) deoarece, pentru orice y ∈ A, avemd(y, y0)

Reciproc, să presupunem că A = A. Fie x ∈ C(A) =C(A); atunci x ∈ A, deciexistăo
vecinătate V (x) a punctului x, cu proprietatea V (x) ∩ A =Φ. Rezultăcă V (x) ⊂ C(A); de
unde, pe baza proprietăt¸ii 1) din Propozit¸ia 10.1.1, obt¸inem că C(A) este o vecinătate a
punctului x. Cumx a fost ales arbitrar din C(A), deducem că C(A) este o mult¸ime deschisă,
adică A este închisă.
Definit¸ia 10.1.12 Fie A o submult¸ime a spat¸iului metric (X, d). Numim frontiera mult¸imii
A, notată cu∂A sau Fr A,mult¸imea A ∩ C(A). Punctele mult¸imii Fr A se numesc punctele
frontieră ale mult¸imii A.
Este evident că Fr A = A − ˚A.
Exemplul 10.1.17. Dacă A =[a, b], atunci Fr A = {a, b}.
Exemplul 10.1.18. Dacă A = Q, atunci A = Q = R, C(Q) =R ¸si Fr A = R.
Exemplul 10.1.19. Dacă A = R 2 , atunci Fr A =Φ.
Definit¸ia 10.1.13 O submult¸ime A aunuispat¸iu metric X, d) se nume¸ste densă în X dacă
X = A.
Exemplul 10.1.20. Mult¸imea Q este densă în R (înzestrat cu metrica euclidiană) deoarece
Q = R. La fel mult¸imea numerelor irat¸ionale R − Q este densă în R.
Exemplul 10.1.21. Mult¸imea Q n = Q × Q × ...× Q (de n ori) este densă în R.
Definit¸ia 10.1.14 Un spat¸iu metric (X, d) se nume¸ste separabil dacă cont¸ine o submult¸ime
A numărabilă ¸si densă în X.
Exemplul 10.1.22. Spat¸iul metric R înzestrat cu metrica euclidiană este separabil deoarece
Q este mult¸ime numărabilă ¸si densă în R.
Exemplul 10.1.23. Spat¸iu metric R n , n ≥ 1, înzestrat cu metrica euclidiană este separabil
deoarece mult¸imea Q n este numărabilă ¸si densă în R n .
Definit¸ia 10.1.15 Fie A o submult¸ime a spat¸iului metric (X, d). Un punct x ∈ X se nume¸ste
punct de acumulare pentru mult¸imea A dacă pentru orice vecinătate V (x) aluix are loc
(V (x) −{x}) ∩ A = Φ, adică în orice vecinătate V (x) a punctului x se găsesc puncte din A,
diferite de x.
Mult¸iema punctelor de acumulare ale mult¸imii A se nume¸ste mult¸imea derivată ¸si se
notează cuA ′ .
Observat¸ia 10.1.2 Orice punct de acumulare este un punct aderent.
Observat¸ia 10.1.3 În orice vecinătate a unui punct de acumulare x0 se găse¸ste o infinitate
de puncte din A. Într-adevăr, dacă propunem că există o vecinătate V (x0) a punctului x0
care să cont¸ină numai un număr finit de puncte x1,x2,...,xn, diferite de x0 ¸si apart¸inând
lui A, atuncialegând r a¸sa încât 0

1) un punct x ∈ X este aderent mult¸imii A dacă ¸si numai dacă există un ¸sir (xn) de
puncte din A astfel ca lim
n→∞ xn = x (în X).
2) Un punct x ∈ X este punct de acumulare al mult¸imii A dacă ¸si numai dacă există un
¸sir (xn) de puncte din A astfel încât xn = x, pentru orice n ∈ N, ¸si lim
n→∞ xn = x (în X).
Demonstrat¸ie. 1) Să presupunem că x ∈ A, adicăeste punct aderent pentru A. Atunci,
pentru orice n ∈ N∗
, sfera deschisă S x, 1
are puncte comune cu A. Alegem câte un punct
n
xr ∈ A ∩ S x, 1
, pentru orice n ∈ N
n
∗ . Obt¸inem, astfel, ¸sirul de puncte (xn) din A cu
d (xn,x) < 1
n ,pentruoricen∈N∗ . Din d(xn,x) < 1
rezultă lim
n n→∞ d(xn,x)=0, ceea ce ne arată
că lim
n→∞ xn = x (în X).
Reciproc, dacă (xn) este un ¸sir de puncte din A, astfel încât lim
n→∞ xn = x (în X), atunci,
pentru orice ε>0, existăunnε∈ N astfel încât xn ∈ S(x, ε) de îndată cen>nε. Rezultăcă
pentru orice ε>0 avem S(x, ε) ∩ A = Φ, ceea ce ne asigură căx ∈ A.
2) Demonstrat¸ia se face în acela¸si mod ca la punctul 1), utilizând definit¸ia punctului
de acumulare.
Definit¸ia 10.1.17 Spat¸iul metric (X, d) se nume¸ste compact, dacă orice ¸sir din X cont¸ine un
sub¸sir convergent.
Definit¸ia 10.1.18 Mult¸imea A din spat¸iul metric (X, d) este compactă, dacă orice ¸sir (an)
din A cont¸ine un sub¸sir convergent către un punct x0 din A.
Altfel spus, mult¸imea A din (X, d) este compactă dacă ¸si numai dacă spat¸iul metric
(A, d) este compact.
Exemplul 10.1.25. Mult¸imea A =[a, b] ⊂ R, a

Demonstrat¸ie. Vom proceda prin reducere la absurd.
Să presupunem că A este compactă darpentruoriceε>0 există unxε∈ A a¸sa încât
pentru orice i ∈ I, S(xε,ε) ⊂ Di. În particular, pentru ε =1/n există xn ∈ A astfel încât
pentru orice i ∈ I are loc
S xn, 1
(10.1)
⊂ Di.
n
Deoarece A este compactă, ¸sirul (xn) cont¸ine un sub ¸sir (xnk ) convergent la un punct
x ∈ A. Cum D constituie o acoperire pentru A, existăomult¸ime Di0 ∈Da¸sa încât x ∈ Di0 .
Mult¸imea Di0 fiind deschisă existăosferădeschisăS(x, r) a¸sa ca
(10.2)
S(x, r) ⊂ Dio
Din lim
k→∞ xnk = x ∈ A rezultă căexistăunnumăr natural k0 depinzând de r/2 a¸sa ca
pentru orice k ≥ k0 să avemxnk∈S x, r
,adică
2
r
d (xnk ,x) <
2 .
(10.3)
(10.4)
Cum lim
k→∞
1
nk
=0,existăunk1(r) ∈ N a¸sa încât pentru orice k>k1 să rezulte
1
nk
< r
2 .
Fie k2 = max{k0,k1}. Pentru orice k>k0, din relat¸iile (10.2), (10.3) ¸si (10.4) obt¸inem
1
S xnk , ⊂ S(x, r) ⊂ Di0
nk
,
incluziune ce contrazice (10.1). Cu aceasta teorema este demonstrată.
Propozit¸ia 10.1.6 Dacă A este o mult¸ime în spat¸iul metric (X, d), atunci pentru orice ε>0
există o familie finită de sfere deschise cu raza ε care constituie o acoperire deschisă a
mult¸imii A.
Demonstrat¸ie. Vom rat¸iona tot prin reducere la absurd. Presupunem că A este o mult¸ime
compactă in(X, d) a¸sa încât există unε>0 pentru care nu există o acoperire finită cusfere
deschise de rază ε.
Fie x1 ∈ A; atunci sfera S(x1,ε) ⊃ A. Alegem x2 ∈ A a¸sa încât x2 ∈ S(x1,ε).
Acum considerăm sferele S(x1,ε) ¸si S(x2,ε), pentru care A ⊂ S(x1,ε) ∪ S(x2,ε). Prin
urmare, există x3 ∈ A a¸sa ca x3 ∈ A ¸si x3 ∈ S(x1,ε), x3 ∈ S(x2,ε).
Din aproape în aproape, construim ¸sirul (xn) de puncte din A a¸sa încât
xn ∈ A, xn ∈ S(xi,ε), i = 1,n− 1.
De aici rezultă căavemd(xn,xi) ≥ ε, i = 1,n− 1, pentruoricen ∈ N ∗ . Prin urmare,
¸sirul (xn) astfel construit cere proprietatea că xn ∈ A pentru orice n ∈ N ∗ ,dar
(10.5)
d(xn,xm) ≥ ε, pentru orice n, m ∈ N ∗ ,
cu n = m.
Acum, se observă că¸sirul (xn) nu poate cont¸ine nici un sub¸sir convergent, întrucât,
dacă arexistaunasemeneasub¸sir acesta ar trebui să fie¸sir Cauchy, ceea ce ar contrazice
(10.5) .
A¸sadar, ¸sirul (xn) nu poate cont¸ine nici un sub¸sir convergent, ceea ce contrazice faptul
că A este o mult¸ime compactă. În concluzie enunt¸ul teoremei este adevărat.
197

Teorema 10.1.5 O mult¸ime A dintr-un spat¸iu metric (X, d) este compactă dacă ¸si numai
dacă din orice acoperire deschisă a sa se poate extrage o subacoperire finită.
Demonstrat¸ie. Să considerăm că A esteomult¸ime compactă. Fie D = {Di|i ∈ I} o acoperire
deschisă amult¸imii compacte A. Conform Propozit¸iei 10.1.5 există ε>0 a¸sa încât pentru
orice x ∈ A să existei∈Ia¸sa ca
(10.6)
S(x, ε) ⊂ Di.
Din Propozit¸ia 10.1.6, pentru acest ε>0 există unnumăr finit de sfere cu raza ε care
să acopere mult¸imea A, adică
n
A ⊂ S(xk,ε).
Din (10.6) rezultă că S(xk,ε) ⊂ Di,k, pentruoricek =1, 2,...,n. Atunci
A ⊂
k=1
n
k=1
adică din acoperirea D aluiA am extras o subacoperire finită D1 = {Di,k|k = 1,n} a sa, ceea
ce trebuia demonstrat.
Reciproc, să admitemcă din orice acoperire deschisă amult¸imii A se poate extrage o
subacoperire finită. Vom rat¸iona prin reducere la absurd. Să presupunem că A nu este o
mult¸ime compactă. Atunci, există un¸sir (xn) ⊂ A care nu cont¸ine nici un sub¸sir convergent,
ceea ce înseamnă cămult¸imea termenilor săi nu are nici un punct de acumulare. De aici,
rezultă căpentruoricex ∈ A există osferă S(x, εx) care cont¸ine cel mult un număr finit
de termeni ai ¸sirului (xn) deoarece, în caz contrar, ar exista un sub¸sir al lui (xn) care să
conveargă lax.
Familia D = {S(y, εy)|y ∈ A} constituie o acoperire deschisă pentru A. Deci, din D se
poate extrage o subacoperire finită
D1 = {S(yi,εyi )|i = 1,m}.
Cum (xn) ⊂ A ⊂ D1 iar fiecare din sferele S(yi,εyi ) cont¸ine cel mult un număr finit de
termeni ai ¸sirului (xn) rezultă că¸sirul (xn) are un număr finit de termeni, ceea ce constituie
o contradict¸ie. Prin urmare, mult¸imea A este compactă.
Teorema 10.1.6 Orice submult¸ime compactă a unui spat¸iumetricestemărginită ¸si închisă.
Demonstrat¸ie. Să considerăm A o submult¸ime compactă aspat¸iului metric (X, d).
Mai întâi, să arătăm că A este mărginită. Să observăm că familia sferelor deschise
D = {S(x, 1)|x ∈ A} formează o acoperire deschisă pentru A. Conform cu Teorema 10.1.5,
cum A este compactă, se poate extrage o subacoperire finită D1 = {S(xi, 1)|xi ∈ A, i = 1,n}.
Fie B = {xi|i = 1,n}, care este finită ¸si diametrul său δ(B) < ∞.
Să considerăm acum x ¸si y două puncte arbitrare din A. Atunci există osferădeschisă
S(xi, 1) ∈D1, care cont¸ine pe x ¸si, de asemenea, există sfera deschisă S(xj, 1) a¸sa ca y ∈ S(xj, 1).
Utilizând inegalitatea triunghiului, obt¸inem
Di,k,
d(x, y) ≤ d(x, xi)+d(xi,xj)+d(xj,y) < 2+d(xi,xj) < 2+δ(B),
pentru orice x, y din A. A¸sadar, δ(A) ≤ 2+δ(B) < +∞, ceea ce ne arată că A este mărginită.
Acum, să arătăm că A este închisă, ceea ce este echivalent cu C(A) =x−A este deschisă.
Fie x un punct arbitrar din C(A) ¸si fie y ∈ A. Cumx= y, utilizând proprietatea de separat¸ie
Hausdorff (Teorema 10.1.1) a spat¸iului metric (X, d) rezultă căexistăsferele deschise S(y, ry)
¸si S(x, rx,y) a¸sa încât
(10.7)
S(y, ry) ∩ S(x, rx,y) =Φ.
Familia D = {S(y, ry)|y ∈ A} este o acoperire deschisă pentru A ¸si cum A este compactă
există o subacoperire finită asaD1 = {S(yi,ryi )|i = 1,n} (Teorema 10.1.5).
198

n
i=1
Fiecărei sfere S(yi,ryi ) îi corespunde, pe baza lui (10.7), o sferă deschisăS(x, rx,yi ).
n
Fie r = min {rx,yi}; atunci S(x, r) = S(x, rx,yi ) iar S(x, r) ∩ A = Φ deoarece A ⊂
i=1,n
i=1
S(yi,ryi ) ¸si, din (10.7), avem S(x, r) ∩ S(yi,ryi )=Φ. A¸sadar, S(x, r) ⊂ C(A), adicăC(A) este vecinătate pentru x. Cum x a fost ales arbitrar în C(A) rezultă cămult¸imea C(A) este
deschisă deoarece ea este vecinătate pentru orice punct al ei.
Condit¸iile ca mult¸imea A să fiemărgnită ¸si închisă sunt necesare pentru ca A să fie
compactă. Aceste două condit¸ii nu sunt, în general, suficiente pentru compactitatea unei
mult¸imii într-un spat¸iu metric.
Vom arăta că în spat¸iile R n , n ≥ 1, înzestrate cu metrica euclidiană, aceste condit¸ii
sunt ¸si suficiente.
Mai întâi vom demonstra următorul rezultat general.
Teorema 10.1.7 Dacă (X, d1) ¸si (Y,d2) sunt două spat¸ii metrice compacte, atunci ¸si spat¸iul
Z = X × Y ,înzestrat cu metrica din Propozit¸ia 8.2.6, este compact
Demonstrat¸ie. Fie (zn) un ¸sir arbitrar din Z, cuzn =(xn,yn), xn ∈ X, yn ∈ Y , n =1, 2,....Cum
(X, d1) este compact, ¸sirul (xn) cont¸ine un sub¸sir (xnk )k∈N convergent la x ∈ X. Considerând
sub¸sirul (ynk )k∈N al ¸sirului (yn) ¸si t¸inând seama că ¸si (Y,d2) este compact, rezultă căexistă
un sub¸sir (ynk t )t∈N al său, convergent la un punct y ∈ Y .
T¸inând seama de Teorema 8.2.2 rezultă că
ceea ce ne arată căspat¸iul Z este compact.
lim
t→∞ znk t = lim
t→∞ (xnk t ,ynk t )=(x, y),
Propozit¸ia 10.1.7 Intervalul [a, b] din R, a

deci A este compactă.
În finalul acestui paragraf vom introduce not¸iunea de conexitate, care, intuitiv, descrie
faptul că omult¸ime este formată ”dintr-o bucată”, adică nupoatefidescompusă în două
sau mai multe părt¸i separate.
Definit¸ia 10.1.21 Spat¸iul metric (X, d) se nume¸ste conex dacă nu există două mult¸imi D1,
D2 deschise, nevide ¸si disjuncte astfel ca X = D1 ∪ D2. În caz contrar spat¸iul (X, d) se
nume¸ste neconex sau disconex.
Deoarece D1 = C(D2) ¸si D2 = C(D1), rezultăcămult¸imile D1 ¸si D2 sunt, în acela¸si timp,
¸si inchise, rezultând imediat următorul rezultat:
Propozit¸ia 10.1.9 Într-un spat¸iu metric (X, d) următoarele afirmat¸ii sunt echivalente:
1) (X, d) exte conex;
2) Nu există două mult¸imi închise F1 ¸si F2, nevide ¸si disjuncte, a¸sa încât X = F1 ∪ F2;
3) Singura mult¸ime nevidă dinX simultan deschisă ¸si închisă esteîntreg spat¸iul X.
Definit¸ia 10.1.22 O submult¸ime A aspat¸iului metric (X.d) este conexă dacă (A, d) este un
spat¸iu metric conex.
Altfel spus, A este conexă dacă nu există două mult¸imi deschise în X, cu proprietăt¸ile:
1) D1 ∩ A = Φ, D2 ∩ A = Φ
2) A ⊂ D1 ∪ D2
3) D1 ∩ D2 ∩ A =Φ.
Exemplul 10.1.28. Orice interval al lui R este o mult¸ime conexă.
Să demonstrăm acest fapt. Presupunem contrariul; adică existăunintervalA ⊂ R
care este o mult¸ime neconexă. Conform Definit¸iei 10.1.22, există douămult¸imi deschise,
nevide, D1 ¸si D2 în R a¸sa încât
D1 ∪ D2 = A; D1 ∩ D2 =Φ.
Există punctele a ∈ D1 ¸si b ∈ D2, a = b (putem presupune că a0 astfel încât c + ε ∈ D1 ∩ [a, b), ceea ce contrazice faptul că
sup(D1 ∩ [a, b)) = c. Prin urmare, presupunerea făcută estefalsă, rezultând că A este conexă.
Observat¸ia 10.1.4 Are loc ¸si reciproca pentru afirmat¸ia din exemplul 10.1.28: orice
submult¸ime nevidă ¸si conexă aluiR este un interval.
Vom rat¸iona prin reducere la absurd. Să admitemcăexistăomult¸ime A ⊂ R conexă,
care nu este interval. Atunci există trei puncte x1, x2, x3 din R a¸sa încât x1,x3 ∈ A, x1 <
x2

10.2 Funct¸ii între spat¸ii metrice
Definit¸ia 10.2.1 Fie (X, d1) ¸si (Y,d2) două spat¸ii metrice. O apliact¸ie f : A → B, A ⊆ X ¸si
B ⊆ Y ,senume¸ste funct¸ie definită între două spat¸ii metrice.
Definit¸ia 10.2.2 Dacă X = R m , m ∈ N, m ≥ 1 ¸si Y = R, atuncifunct¸ia f : A → R, A ⊆ R m ,se
nume¸ste funct¸ie reală deovariabilă vectorială x =(x1,x2,...,xm) ∈ A sau funct¸ie reală dem
variabile reale ¸si se notează prin y = f(x) sau y = f(x1,x2,...,xm).
Este evident că valorile y ale funct¸iei y = f(x1,x2,...,xm) depind de cele m variabile.
Din punct de vedere sistemic variabilele independente x1,x2,...,xm reprezintă mărimi ce
pot fi controlate sau precizate, numite date de intrare, iar variabila dependentă y precizează
valoarea rezultată prin act¸iunea lui f asupra datelor de intrare ¸si se nume¸stedatadeie¸sire
(v.fig.10.2.1).
Fig.10.2.1
Observat¸ia 10.2.1 Funct¸iile reale de mai multe variabile se mai numesc ¸si funct¸ii scalare
sau câmpuri scalare.
Graficul unei funct¸ii reale de m variabile reale, definită peomult¸ime A ⊆ R m ,este
omult¸ime de puncte din R m+1 , ceea ce face să avem o imagine geometrică numai pentru
m ≤ 2. Astfel, dacă m =1atunci funct¸ia y = f(x), x ∈ A ⊂ R are ca ¸si grafic o curbă plană,
iar dacă m =2funct¸ia reală f : A ⊆ R 2 → R, y = f(x1,x2) are ca ¸si grafic o suprafat¸ă (Σ) în
spat¸iul R 3 (v.fig.10.2.2).
Fig.10.2.2
Definit¸ia 10.2.3 Dacă X = R m ¸si Y = R p ,ofunct¸ie f : A → B, A ⊆ X, B ⊆ Y ,senume¸ste
funct¸ie vectorială devariabilă vectorială.
201

Dacă x =(x1,...,xm) ∈ A iar y =(y1,...,yp) ∈ B, atunci funct¸ia vectorială poate fi scrisă
iar desfă¸surat:
y = f(x),
(y1,...,yp) =(f1(x1,...,xm),f(x1,...,xm),...,fp(x1,...,xm))
unde fi, i = 1,p, sunt funct¸ii de m variabile reale definite pe A cu valori în R.
Funct¸iile yi = fi(x1,x2,...,xm), i = 1,p se numesc componentele funct¸iei vectoriale f.
Rezultă că studiul unei funct¸ii vectoriale se reduce la studiul unor funct¸ii reale de mai
multe variabile reale.
Cazuri particulare. 10.2.1. Dacă p =1, atunci funct¸ia vectorială devariabilăvectorială se reduce la o funct¸ie reală de mai multe variabile reale.
10.2.2. Dacă p =2¸si m =1, atunci funct¸ia vectorială are forma
(y1,y2) =(x, y) = −−→
f(t) =(f1(t),f2(t)), t ∈ A ⊆ R,
de unde
x = f1(t), y = f2(t), t ∈ A,
care constituie reprezentarea parametrică a unei curbe plane Γ (v.fig.10.2.3).
Fig.10.2.3
10.2.3. Dacă p =3¸si m =1, atunci funct¸ia vectorială are forma
(y1,y2,y3) =(x, y, z) = −−→
f(t) =(f1(t),f2(t),f3(t)),t∈ A ⊆ R,
de unde
x = f1(t),y = f2(t),z = f3(t),t∈ A,
care constituie reprezentarea parametrică a unei curbe în spat¸iu.
10.2.4. Dacă p =3¸si m =2, atunci funct¸ia vectorială are forma
(y1,y2,y3) =(x, y, z) = −→ f (u, v) =
=(f1(u, v),f2(u, v),f3(u, v)), (u, v) ∈ A ⊆ R 2 ,
de unde
x = f1(u, v),y = f2(u, v),z = f3(u, v), (u, v) ∈ A,
care constituie reprezentarea parametrică a unei suprafet¸e în spat¸iu (v.fig.10.2.4).
202

Fig.10.2.4
10.2.5. Dacă p =3¸si m =3, atunci o astfel de funct¸ie vectorială senume¸ste câmp vectorial.
De obicei, modelele matematice utilizate în descrierea fenomenelor economice se descriu
prin funct¸ii reale de mai multe variabile reale.
Exemplul 10.2.1. Funct¸ia de product¸ie. O problemă desîntâlnită în practica economică
se referă la condit¸iile de combinare a factorilor pentru producerea unui produs Y de către
o întreprindere: Dacă condit¸iile tehnice ale product¸iei sunt date, cantitatea y din produsul
Y realizată depinde numai de factorii variabili ai product¸iei folosit¸i X1,X2,...,Xm.
Dacă x1,x2,...,xm sunt cantităt¸ile folosite din ace¸sti factori, atunci putem scrie funct¸ia de
product¸ie
y = f(x1,x2,...,xm),
care este o funct¸ie de m variabile reale.
Exemplul 10.2.2. Funct¸ia cererii. Să presupunem că n mărfuri de consum Y1,Y2,...,Yn se
vând la pret¸uri invariabile x1,x2,...,xn pe o piat¸ă cu concurent¸ă, care constă dintr-un număr
de consumatori, cu gusturi ¸si venituri date. În această situat¸iecantitatea yk de marfă Yk,
k = 1,n, cerută pepiat¸ădepinde numai de pret¸urile tuturor mărfurilor de pe piat¸ă. Aceasta
înseamnă căfunct¸ia cererii pentru marfa Yk este
yk = fk(x1,x2,...,xn),
care este o funct¸ie de n variabile. Funct¸ia cerere pentru toate cele n mărfuri va fi o funct¸ie
vectorială
(y1,y2,...,yn) =(f1(x1,...,xn),...,fn(x1,...,xn)).
În practică, între funct¸iile cerere yk = fk(x1,...,xn), k = 1,n, se studiază anumite
corelat¸ii.
Exemplul 10.2.3. Funct¸ia costurilor de product¸ie. Să admitemcăoîntreprindere produce
mărfurile X1,X2,...,Xn în condit¸ii tehnice de product¸ie ¸si condit¸ii de aprovizionare date.
Atunci funct¸ia costurilor de product¸ie este
y = f(x1,...,xn),
unde x1,x2,...,xn sunt cantităt¸ile de mărfuri λ1,λ2,...,λn produse, iar y este costul total.
Pentru comoditate, în cazul a două mărfuri X ¸si Y funct¸ia costurilor se poate lua de forma
particulară
z = ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f.
203

10.3 Limita unei funct¸ii într-un punct
Fie (X, d1) ¸si (X, d2) două spat¸ii metrice, F : A → Y , A ⊆ X, o funct¸ie ¸si x0 un punct de
acumulare al mult¸imii A (x0 ∈ A ′ ).
Definit¸ia 10.3.1 (cu vecinătăt¸i.) Spunem că funct¸ia f are limită în punctul x0, dacă există
un punct l ∈ Y astfel încât, pentru orice vecinătate U(l) aluil, există o vecinătate V (x0)
a¸sa încât, pentru orice x ∈ V (x0) ∩ A −{x0}, să avem f(x) ∈ U(l), adică
Scriem lim f(x) =l.
x→x0
f(V (x0) ∩ A −{x0}) ⊂ U(l).
Intuitiv not¸iunea de limită a funct¸iei f în punctul x0 exprimă faptul că dacă ne
apropiem de x0 prin puncte din mult¸imea A, atunci valorile funct¸iei în aceste puncte se
apropie oricât de mult de punctul l din Y .
Teorema 10.3.1 (de caracterizare a not¸iunii de limită.) Fie f : A → (Y,d2), undeA ⊆ (X, d1)
¸si x0 ∈ A ′ . Atunci următoarele afirmat¸ii sunt echivalente:
1) l este limita funct¸iei f în punctul x0 (definit¸ia cu vecinătăt¸i);
2) pentru orice sferă deschisă SY (l, ε) din spat¸iul metric Y există o sferă deschisă
SX(x0,δε) din spat¸iul metric X astfel încât, pentru orice x ∈ SX(x0,δε) ∩ A −{x0} să
avem f(x) ∈ SY (l, ε) (definit¸ia cu sfere);
3) pentru orice ε>0 există δε > 0 astfel încât pentru orice x ∈ A −{x0} cu d1(x, x0) 0, există δε > 0 a¸sa încât, pentru orice
x ∈ A −{x0} cu d1(x, x0) nε să avemd2(f(xn),l) n1 să avemf(xn) ∈ U(l), ceea ce contrazice
f(xn) ∈ U(l). Prin urmare, presupunerea făcută estefalsă¸si deci din 4) rezultă 1).
204

Observat¸ia 10.3.1 Afirmat¸iile 1) – 4) din teorema 10.3.1 fiind echivalente logic, rezultă că
oricare din ele poate fi luată ca definit¸ie a limitei unei funct¸ii într-un punct. În continuare,
noi vom folosi mai mult definit¸ia cu ¸siruri deoarece ne va permite ca să obt¸inem
proprietăt¸ile limitelor de funct¸ii din proprietăt¸ile limitelor de ¸siruri.
Observat¸ia 10.3.2 Definit¸ia limitei cu ¸siruri a limtiei unei funct¸ii într-un punct se utilizează
la a dovedi că ofunct¸ienuarelimităîntr-un punct. Pentru aceasta este suficient să găsim
un ¸sir (xn), (xn) ⊂ A −{x0}, culim n→∞ xn = x0 a¸sa încât lim
n→∞ f(xn) să nu existe sau să aflăm
două ¸siruri (x (1)
n ) ¸si (x (2)
n ) din A−{x0}, ambele convergente la x0, pentrucare¸sirurile (f(x (1)
n ))
¸si (f(x (2)
n )) să aibă limite diferite în Y .
Teorema 10.3.2 Fie spat¸iile metrice (X, d1) ¸si (Y,d2), A ⊆ X, x0 ∈ A ′ ¸si f : A → Y ofunct¸ie.
Dacă f are limită în x0, atunci această limită este unică.
Demonstrat¸ie. Valabilitatea afirmat¸iei rezultă aplicând definit¸ia cu ¸siruri a limitei unei
funct¸ii într-un punct ¸si t¸inând seama că limita unui ¸sir de puncte dintr-un spat¸iu metric
este unică.
Teorema 10.3.3 Fie −→ f : A → Rp , A ⊆ Rm , m ≥ 1, p ≥ 2, funct¸iavectorială −→ f =(f1,f2,...,fp),
unde fi : A → R, i = 1,p ¸si x0 ∈ A ′ . Atunci −→ f are limita l =(l1,l2,...,lp) în punctul x0 dacă
¸si numai dacă există lim fi(x) =li, i = 1,p.
x→x0
Demonstrat¸ie. Afirmat¸ia rezultă imediat folosind definit¸ia limtiei unei funct¸ii cu ¸siruri
¸si faptul că în Rn convergenta unui ¸sir de elemente este echivalentăcuconvergent¸a pe
coordonate (v.Teorema 8.2.2).
Observat¸ia 10.3.3 Din Teorema 10.3.3 rezultă că studiul limitei funct¸iilor vectoriale se reduce
la studiul funct¸iilor reale de mai multe variabile reale f : A → R, A ⊆ R m .
prin
Dacă x0 =(a1,a2,...,am) ∈ A ′ se obi¸snuie¸ste a nota lim f(x), x =(x1,x2,...,xm) ∈ R
x→x0
m ,
lim
x 1 →a 1
x 2 →a 2
.
xm→am
f(x1,x2,...,xm)
Utilizând cele demonstrate la ¸siruri pentru funct¸iile care iau valori reale rezultă:
Teorema 10.3.4 Fie f,g : A → R, unde A ⊆ (X, d) ¸si x0 ∈ A ′ .
lim f(x) =l2, cul1,l2 ∈ R, atunci există
x→x0
Dacăexistă lim f(x) =l1 ¸si
x→x0
1) lim (f + g)(x) ¸si valoarea ei este l1 + l2;
x→x0
2) lim (f + g)(x) ¸si valoarea ei este l1l2;
x→x0
3) lim
x→x0
f(x) ¸si valoarea ei este l1
, dacă l2 = 0¸si g(x) = 0 pentru x ∈ A.
l2
Observat¸ia 10.3.4 Dacă l1,l2 ∈ R, atunci pot să apară a¸sa numitele ”operat¸ii fără sens”,
care se elimină prin diferite metode.
Observat¸ia 10.3.5 Fie f : A → (Y,d), cuA⊆ R, ofunct¸ie ¸si x0 ∈ A ′ . Dacăexistă lim f(x) =
x→x0
xx 0
f(x) =ld), atunci spunem că f are limită lastânga (respectiv limită la
dreapta) în punctul x0. Limitele la stânga ¸si la dreapta într-un punct poartă numele de
limită laterală.
205

Se arată că f are limită în punctul x0 dacă ¸si numai dacă existăatât limita la stânga
ls cât ¸si limita la dreapta ld în punctul x0 pentru f ¸si lim f(x) =ls = ld.
x→x0
Exemple. 10.3.1. Să calculăm
a) l1 = lim
x→0
b) l2 = lim
x→0
y→0
a) Avem
x 2 + x 3
2x
de unde l1 =(0,e 2 , 1).
b) Pentru l2 avem
¸si
, (1 + x) 2
2x ,x 2 + x +1
x 2 y 2 +1, (1 + xy) 1
xy , x2 +1
x 2 + y 2
lim
x→0
y→0
lim
x→0
y→0
x
lim
x→0
2 + x3 x + x
= lim
2x x→0
2
2
=0;
2
lim (1 + x) 2x = lim [(1 + x)
x→0 x→0 1
x ] 2 = e 2 ;
(x 2 + y 2 + 1) = 1; lim
x2y x2 =0, deoarece
+ y2 (1 + xy)
x→0
y→0
1
xy = e
x 2 y
x 2 + y 2
≤ x2 |y|
= |y|,
x2 de unde l2 =(1,e,0).
10.3.2. Să searatecăf(x, y) = xy
x2 nu are limită în punctul (0, 0) = θ. Considerăm ¸sirul
+ y2
1 α
de puncte zn = , , α ∈ R ¸si convergent la θ =(0, 0). Avem
n n
1 α
f , =
n n
α
n2 = α
,
1+α2 adică limita ¸sirului
(0, 0).
1
n2 + α
n2
1 α
f , depinde de α, de unde rezultă căfunct¸ia f nu are limită în
n n
10.4 Continuitatea funct¸iilor între spat¸ii metrice
În acest paragraf vom adânci studiul ideii intuitive de ”apropiere” a valorilor unei
funct¸ii de valoarea ei într–un punct dat x0 de îndată ce valorile argumentului sunt suficient
de aproape de x0.
Fie (X, d1) ¸si (Y,d2) două spat¸ii metrice ¸si f : A → Y o funct¸ie, unde A ⊆ X este o
submult¸ime a lui X.
Definit¸ia 10.4.1 (cu vecinătăt¸i.) Spunem că funct¸ia f este continuă în punctul x0 ∈ A dacă
pentru orice vecinătate U(f(x0)) aluif(x0) există ovecinătate V (x0) aluix0 a¸sa încât pentru
orice x ∈ V (x) ∩ A să avem f(x) ∈ U(f(x0)).
Dacă funct¸ia f nu este continuă în punctul x0 ∈ A, atunci spunem că funct¸ia f este
discontinuă în punctul x0 sau că x0 este punct de discontinuitate afunct¸iei f.
Teorema 10.4.1 Funct¸ia f : A → Y , A ⊆ X, este continuă în punctul x0 ∈ A dacă ¸si numai
dacă are loc una din situat¸iile:
i) sau x0 este punct izolat;
206

ii) sau x0 estepunctdeacumularepentruA ¸si
lim f(x) =f(x0).
x→x0
Demonstrat¸ie.
i) Într-adevăr, în orice punct izolat al domeniului de definit¸ie o funct¸ie este continuă. Fie
x0 un punct izolat pentru mult¸imea A; atunciexistăovecinătate V (x0) asa,a¸sa încât
V (x0) ∩ A = {x0}. Acum, rezultă că pentru orice vecinătate U(f(x0)) există ovecinătate
V (x0) astfel încât, pentru orice x ∈ V (x0) ∩ A, săavemf(x) ∈ U(f(x0)).
ii) Să admiteacăfeste continuă în punctul x0. Atunci pentru orice vecinătate U(f(x0))
există o vecinătate V (x0) a lui x0 a¸sa încât pentru orice x ∈ V (x0) ∩ A să avem
f(x) ∈ U(f(x0)). Evident căaceastă afirmat¸ie are loc ¸si pentru x = x0, ceea ce implică
lim f(x) =f(x0).
x→x0
Reciproc, dacă presupunem că lim f(x0) =f(x0), atunci pentru orice U(x0), existăo
x→x0
vecinătate V (x0) a¸sa încât, pentru orice x ∈ V (x0) ∩ (A −{x0}) să avemf(x) ∈ U(f(x0)). Cum
pentru x = x0 ∈ A avem evident f(x0) ∈ U(f(x0), rezultăcăpentruoricex∈V (x0) ∩ A avem
f(x) ∈ U(f(x0))), ceea ce ne arată că f este continuă în x0.
Observat¸ia 10.4.1 Dacă x0 este punct de acumulare din A ¸si funct¸ia f este continuă în x0,
atunci putem scrie
lim f(x) =f
x→x0
lim x
x→x0
,
ceea ce ne spune că operat¸ia de trecere la limită este permutabilă cufunct¸ia f.
Teorema 10.4.2 (de caracterizare a continuităt¸ii în punct). Fie f : A → (Y,d2) o funct¸ie,
unde A ⊆ (X, d1) ¸si x0 ∈ A. Atunci următoarele afirmat¸ii sunt echivalente:
1) f este continuă în punctul x0 (definit¸ia cu vecinătăt¸i 10.4.1)
2) pentru orice sferă deschisă SY (f(x0),ε) din spat¸iul metric Y , există o sferă deschisă
Sλ(x0,δε) din spat¸iul metric X astfel încât, pentru orice x ∈ SX(x0,δε) ∩ A să avem
f(x) ∈ SY (f(x0),ε) (definit¸ia cu sfere);
3) pentru orice ε>0 există δε > 0 astfel încât pentru orice x ∈ A cu d1(x, x0)

Exemple. 10.4.1. Fie (X, d) un spat¸iu metric ¸si k un element fixat din X. Funct¸ia f : X → X,
X
f(x) =k, oricare ar fi x ∈ X, este continuă peX deoarece dacă x0 ∈ X ¸si xn −→ x0, atunci
f(xn) X
−→ k = f(x0), adicăestesatisfăcută definit¸ia cu ¸siruri a continuităt¸ii în x0.
10.4.2. Fie 1X :(X, d) → (X, d) aplicat¸ia identică, adică 1X(x) =x, oricare ar fi x ∈ X. Atunci
1X este continuă peX. Într-adevăr, să considerăm un x0 ∈ X arbitrar; atunci pentru orice
¸sir (xn) ⊂ X cu lim
n→∞ xn
X
= x0 avem lim
n→∞ 1x(xn) X = lim
n→∞ xn
X
= x0 =1X(x0), ceea ce ne arată că 1X
este continuă în x0.
10.4.3. (Continuitatea funct¸iilor compuse.) Fie (X, d1), (Y,d2 ¸si (Z, d3) trei spat¸ii metrice ¸si
fie funct¸iile f : X → Y , y : Y → Z. Dacă f este continuă în x0 ∈ X ¸si g este continuă în
f(x0) ∈ Y , atunci g ◦ f este continuă în x0.
Folosim definit¸ia cu ¸siruri a continuităt¸ii. Fie (xn) un ¸sir arbitrar din X cu lim
n→∞ xn
X
= x0.
Din continuitatea lui f în x0 rezultă lim
n→∞ f(xn) Y = f(x0). Acum, t¸inând seama de continuitatea
lui g în f(x0), obt¸inem că lim
n→∞ g(f(xn)) Z = g(f(x0)), adicălim n→∞ (g ◦ f)(xn) Z =(g◦ f)(x0), ceea ce
ne arată că g ◦ f este continuă în x0 ∈ X.
10.4.4. (Prelungirea prin continuitate). Fie (X, d1) ¸si (Y,d2) două spat¸ii metrice, A ⊂ X ¸si
x0 un punct de acumulare din A. Dacăf : A −{x0} →Y este o funct¸ie definită peA−{x0}, atunci am putea prelungi funct¸ia f la mult¸imea A în diferite moduri atribuindu-i lui f o
valoarea arbitrară în x0. Dacăexistălim f(x)
x→x0
Y = l ∈ Y , am putea considera funct¸ia
f : A → Y, f(x) f(x) , dacă x ∈ A −{x0},
=
l ,dacă x = x0,
care este, evident, o prelungire a lui f pe A.
Deoarece lim f(x) =l =
x→x0
f(x0), rezultă căf este continuă în x0. Funct¸ia f ata¸sată
funct¸iei f poartă numele de prelungirea funct¸iei f prin continuitatea în punctul x0.
10.4.5.
Atunci:
(Funct¸ii continue cu valori reale). Fie f,g :(X, d) → R funct¸ii continue ¸si λ ∈ R.
1) f + g, λf ¸si fg sunt continue pe X;
2) f
: X −{x ∈ X|g(x) =0}→R este continuă peX−{x ∈ X|g(x) =0};
g
3) |f| este continuă peX.
Pentru a demonstra aceste afirmat¸ii să observăm mai întâi că dacă x0 este punct izolat,
atunci valabilitatea celor trei afirmat¸ii rezultă din teorema 10.4.1, punctul i). Dacă x0 este
punct de acumulare atunci afirmat¸iile 1) ¸si 2) rezultă din teorema 10.3.4, utilizând definit¸ia
cu ¸siruri a continuităt¸ii.
Pentru a demonstra 3) este suficient să arătăm că dacălim n→∞ xn
X
= x0,atunci lim
n→∞ |f(xn)| =
|f(x0)|. Cum
||f(xn)|−|f(x0)| |≤|f(xn) − f(x0)|,
pentru orice n ∈ N, ¸si din f continuă în x0, obt¸inem că lim
n→∞ |f(xn)| = |f(x0)|, adică |f| este
continuă în x0.
10.4.6. (Continuitate laterală). Fie f : A → R, unde A ⊂ R, ¸si fie x0 ∈ A un punct acumulare
f(x), iarfs(x0) =f(x0),
pentru D. Dacăexistă limita la stânga în x0, f(x0 − 0) = fs(x0) = lim
x→x0
xx0 x0.
T¸inând seama de Observat¸ie 10.3.5, deducem că o funct¸ie f este continuă în x0 dacă
¸si numai dacă f este continuă atât la stânga cât ¸si la dreapta în punctul x0.
208

Punctul de acumulare x0 ∈ A se nume¸ste punct de discontinuitate de spet¸a (specia)
întâia dacă f nu este continuă în x0, fs(x0) ¸si fd(x0) există, sunt finite ¸si diferite. Punctul
x0 ∈ A se nume¸ste de discontinuitate de spet¸aaII-adacă este punct de discontinuitate ¸si
nu este de spet¸a întâia.
Dacă x0 ∈ A este un punct de discontinuitate de spet¸a întâia pentru funct¸ie f, atunci
expresiile
sf (x0) =|fd(x0) − fs(x0)|
¸si
osc (f; x0) = max{|fd(x0) − fs(x0)|, |f(x0) − fs(x0)|,
, |f(x0) − fd(x0)|}
se numesc saltul lui f în x0 ¸si respectiv oscilat¸ia lui f în x0.
10.4.7. (Discontinuităt¸ile funct¸iilor monotone). O funct¸ie monotonă f, definită peintervalul
(a, b),
−∞ ≤ a

de unde
adică
δ1
T (x) ≤1,
2x
T (x0) ≤ 2
x,
pentru orice x ∈ X. Prin urmare, operatorul T este mărginit.
Să arătăm că 3) implică 1). Din faptul că T este mărginit rezultă căexistăM>0 a¸sa
încât (10.8) să aibăloc.
Fie xo ∈ X arbitrar. Pentru orice ε>0 ¸si orice x ∈ X, a¸sa încât x − x0 < ε
M ,avem
T (x) − T (x0) = T (x − x0) ≤Mx − x0

puncte (f(xn)) a¸sa ca lim
n→∞ f(xn) Y = y. Prin urmare, y ∈ f(A), ceea ce ne arată căamdovedit
incluziunea f(A) ⊂ f(A).
Acum, să arătăm că 4) implică 3). Fie B omult¸ime închisă în Y ,adică B = B în Y .
Notăm f −1 (B) cu A. Conform ipotezei 4) avem
de unde
f(A) ⊂ f(A) =f(f −1 (B)) ⊂ B = B,
A ⊂ f −1 (f(A)) ⊂ f −1 (B) =A.
Cum A ⊂ A, rezultăcăA = A, ceea ce ne arată că A = f −1 (B) este închisă în X.
Să arătăm că 3) implică 2). Fie D omult¸ime deschisă în Y . Atunci B = Y − D este
închisă în Y . Conform ipotezei 3) mult¸imea f −1 (B) =f −1 (Y − D) este închisă în X. De aici
rezultă că
X − f −1 (B) =X − [f −1 (Y ) − f −1 (D)] = f −1 (D)
este deschisă în X.
Mai avem de demonstrat că din 2) rezultă 1). Fie x0 un punct arbitrar din X ¸si
D = SY (f(x0),ε) osferădeschisădinY . Conform ipotezei 2), mult¸imea f −1 (D) este mult¸ime
deschisă în X. Rezultăcă f −1 (D) este o vecinătate pentru x0 ∈ X.
Atunci există osferăSX(x0,δε) ⊂ f −1 (D) a¸sa încât pentru orice x ∈ SX(x0,δε) să avem
f(x) ∈ SY (f(x0),ε)=D, ceea ce ne arată căf este continuă în x0 (vezi Teorema 10.4.2).
Observat¸ia 10.4.2 Mult¸imea funct¸iilor continue pe X cu valori în Y se notează prin C(X, Y ).
Definit¸ia 10.4.4 Fie (X, d1) ¸si (Y,d2) două spat¸ii metrice ¸si f : A ⊂ X → Y ofunct¸ie. Spunem
că f este uniform continuă peA, dacă oricare ar fi ε>0 există δε > 0 (acela¸si pentru toate
punctele x ∈ A) astfelîncât, oricare ar fi x1,x2 ∈ A cu proprietatea d1(x1,x2) 0 astfel încât, pentru orice x1,x2 ∈ A
cu d1(x1,x2)

Observat¸ia 10.4.4 Uniform continuitatea este o proprietate globală pentru o funct¸ie,
referindu-se la întreg domeniul de definit¸ie, al funct¸iei, în timp ce, continuitatea unei
funct¸ii într-un punct este o proprietate locală.
Definit¸ia 10.4.5 Fie (X, d1) ¸si (Y,d2) două spat¸ii metrice. Spunem că aplicat¸ia f : A ⊂ X → Y
este lipschitziană pe A, dacă există un număr α ≥ 0 astfel încât oricare ar fi x1,x2 ∈ A,
are loc d2(f(x1),f(x2)) ≤ αd1(x1,x2). Se mai zice că f este lipschitziană în raport cu α, sau
α–lipschitziană.
Propozit¸ia 10.4.2 Orice contract¸ie a unui spat¸iu metric (X, d) este o funct¸ie lipschitziană.
Demonstrat¸ie. Fie f o contract¸ie a lui X. Atunci, conform Definit¸iei 8.2.8, există α ∈ [0, 1)
a¸sa că pentru orice x1,x2 ∈ X, avem d(f(x1),f(x2)) ≤ αd(x1,x2), care ne arată că f este
lipschitziană.
Propozit¸ia 10.4.3 Orice funct¸ie lipschitziană este uniform continuă.
Demonstrat¸ie. Fie f : A ⊂ (X, d1) → (Y,d2) o funct¸ie α–lipschitziană peA, adicăpentruorice
x1,x2 ∈ A, arelocd2(f(x1),f(x2)) ≤ αd1(x1,x2). Fie ε>0. Dacăα =0,a tunci d2(f(x1),f(x2)) ≤
0, pentru orice x1,x2 ∈ A. Rezultă că f(x1) =f(x2) oricare ar fi x1,x2 ∈ A, deci f este
constantă peA ¸si prin urmare este uniform continuă peA.
Dacă α>0, luând δε = ε/α, atunci pentru orice x1,x2 ∈ A cu d1(x1,x2)

mult¸imea X dacă există un punct x1 ∈ X, respectiv un punct x2 ∈ X, a¸sa ca M = f(x1)
, respectiv f(x2) =m.
Spunem că f î¸si atinge marginile pe X dacă f î¸si atinge atât marginea superioară cât
¸si marginea inferioară peX.
Teorema 10.4.7 (Weierstrass). Dacă A este o submult¸ime compactă aspat¸iului metric (X, d)
¸si f : X → R este continuă, atunci f î¸si atinge marginile pe mult¸imea A.
Demonstrat¸ie. Pe baza Corolarului 10.4.2 rezultă că f(A) este mărginită în R. Fie
M = supf(x)
¸si m = inf f(x).
x∈A
x∈A
Deoarece M ¸si m sunt puncte aderente pentru mult¸imea
f(A) rezultă că M ∈ f(A) ¸si m ∈ f(A).
închisă ¸si atunci M ∈ f(A) ¸si m ∈ f(A).
Din f(A) este compactă rezultă că este mult¸ime
Deci, rezultă căexistăx1∈Aa¸sa încât f(x1) =M ¸si există x2 ∈ A a¸sa ca f(x2) =m,
ceea ce ne arată că f î¸si atinge marginile pe A.
În particular, din Teorema 10.4.7 obt¸inem cunoscuta teoremă a lui Weierstrass studiată
în liceu.
Corolarul 10.4.4 Funct¸ia f :[a, b] → R continuă pe[a, b] este mărginită ¸si î¸si atinge marginile
pe [a, b].
Dăm acum o reciprocă pentru Propozit¸ia 10.4.1.
Teorema 10.4.8 (Cantor.) Fie (X, d1) ¸si (Y,d2) două spat¸ii metrice. Dacă f : A ⊆ X → Y
este o funct¸ie continuă peA, iarA este o mult¸ime compactă în X, atuncif este uniform
continuă peA.
Demonstrat¸ie. Presupunem că f nu este uniform continuă. Atunci, există unε0 > 0 a¸sa încât
pentru orice δ>0 există x1,δ,x2,δ ∈ A cu proprietatea că d1(x1,δ,x2,δ)

Demonstrat¸ie. Vom proceda prin reducere la absurd. Să presupunem contrariul. Atunci
există douămult¸imi nevide. D1, D2, deschiseîn Y ,a¸sa ca
(10.9)
D1 ∩ D2 ∩ f(A) =∅, D1 ∩ f(A) = ∅, D2 ∩ f(A) = ∅
f(A) ⊂ D1 ∪ D2.
Din faptul că f este continuă, pe baza Teoremei 10.4.5, rezultă cămult¸imile Δ1 =
f −1 (D1) ¸si Δ2 = f −1 (D2) sunt deschise în X. În plus, Δ1 = ∅, Δ2 = ∅, Δ1 ∩ Δ2 ∩ A = f −1 (D1) ∩
f −1 (D2) ∩ A = f −1 (D1 ∩ D2) ∩ A = ∅, Δ1 ∩ A = ∅, Δ2 ∩ A = ∅ ¸si A ⊂ Δ1 ∪ Δ2. De aici, rezultă că
A este neconexă, ceea ce este o contradict¸ie. Prin urmare, f(A) este conexă în Y .
Corolarul 10.4.5 (Proprietatea valorilor intermediare). Fie (X, d) un spat¸iu metric ¸si A o
submult¸ime conexă asa. Dacăfunct¸ia f : A → R este continuă peA, a, b ∈ A ¸si f(a) f(x0), adică λ este valoare
intermediară. Atunci, din faptul că f are proprietatea lui Darboux rezultă că există
cλ ∈ (x0,x0 + δε) a¸sa ca f(cλ) =λ, ceea ce contrazice f(x) >λ,pentruoricex ∈ (x0,x0 + δε).
Presupunerea făcută estefalsă, rezultând că f nu poate avea decât puncte de discontinuitate
de spet¸aadoua.
Corolarul 10.4.7 Fie f : I → R o funct¸ie, unde I este un interval al lui R. Dacă f este
monotonă ¸si are proprietatea lui Darboux, atunci f este continuă peI.
Demonstrat¸ie. Conform Exemplului 10.4.3 funct¸ia f fiind monotonă ar putea avea numai
discontinuităt¸i de spet¸a întâia, iar, conform Propozit¸iei 10.4.4, posedând proprietatea Darboux,
poate avea numai discontinuităt¸i de spet¸a a doua. Prin urmare, f trebuie să fie
continuă.
214

Teorema 10.4.10 Fie I un interval al lui R, f : I → R ofunct¸ie continuă ¸si J = f(I). Atunci
f este o biject¸ie de la I la J dacă ¸si numai dacă f este strict monotonă. În acest caz inversa
f −1 : J → I este, de asemenea, strict monotonă (de acela¸si sens) ¸si continuă.
Demonstrat¸ie. Să considerăm că f nu este strict monotonă. Atunci există trei puncte
x1,x2,x3 în I a¸sa ca x1

10.5 Test de verificare a cuno¸stint¸elor nr. 9
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Funct¸ie între două spat¸ii metrice;
b) Limita unei funct¸ii între două spat¸iimetrice (definit¸ia cu ¸siruri);
c) Funct¸ie continuă într-un punct (f :(X, d1) → (Y,d2) cu (X, d1) ¸si (Y,d2) spat¸ii metrice);
d) Funct¸ie vectorială;
e) Funct¸ie uniform continuă.
2. Să se demonstreze că o funct¸ie f : R → R periodică ¸si care nu este constantă nuare
limită la+∞ ¸si −∞.
3. Calculat¸i L = lim
x→∞ (2x + x) 1
x .
4. a) Fie funct¸ia f : 0, π
→ R,
2
⎧
⎪⎨ x
f(x) =
⎪⎩
2 sin 1
x ,x= 0
sin x
1 ,x=0.
Să se studieze continuitatea funct¸iei f.
b) Se dă funct¸ia f :[a, b] → [a, b] continuă pe[a, b]. Săsearatecă (∃) c ∈ [a, b] astfel
încât f(c) =c.
5. a) Folosind definit¸ia să searatecă:
lim
(x,y)→(1,3) (x2 + xy) =4
b) Arătat¸i cu ajutorul definit¸iei cu ¸siruri că funct¸ia f(x, y) = 2xy
x2 , (x, y) = (0, 0) nu
+ y2 are limită în origine.
6. Arătat¸i cu ajutorul definit¸iei cu ¸siruri că funct¸ia f(x, y) = y2 +2x
y2 − 2x , y2 − 2x = 0nu are
limită în origine.
7. Cercetat¸i limitele iterate ¸si limita globală (dacăeste cazul) în origine pentru funct¸ia:
a) f(x, y) = x − y + x2 + y2 , x + y = 0,
x + y
b) f(x, y) =x sin 1
, y = 0.
y
8. Calculat¸i:
xy
a) L = lim √ ,
(x,y)→(0,0) xy +1− 1
b) L = lim
(x,y)→(0,0)
sin(xy)
.
x
9. Studiat¸i uniform continuitatea funct¸iei:
f(x) =arctg 1+x
1 − x
216
, x ∈ (1, ∞).

10. Studiat¸i uniform continuitatea funct¸iei:
f :(1, 2) × (1, 2) → R , f(x, y) = x
y .
217

Indicat¸ii ¸si răspunsuri Testul nr. 9
2. Se folose¸ste definit¸ia cu ¸siruri.
3. L =2.
4. a) f continuă pe 0, π
;
2
b) Se folose¸ste consecint¸a lui Darboux: Dacă
f :[a, b] → [a, b]
continuă pe[a, b] ¸si f(a) · f(b) ≤ 0 atunci (∃)c ∈ [a, b] astfel încât f(c) =c.
1 3 1 1
5. b) Se consideră ¸sirurile , ¸si , .
n n n n
1 1 1 2
6. Se consideră ¸sirurile , ¸si , .
n2 n n2 n
7. a) lim lim f(x, y) =1¸si lim lim f(x, y) =−1, decinuexistălimita globală în (0, 0).
x→0 y→0 y→0 x→0
b) Avem lim lim f(x, y) =0dar nu există lim lim f(x, y). Avem limita globală
y→0 x→0 x→0 y→0
8. a) L =2;
b) L =2.
lim f(x, y) =0.
(x,y)→(0,0)
9. f este uniform continuă pe (1, ∞). Se folose¸ste identitatea:
arctg α − arctg β = arctg
α − β
¸si inegalitatea arctg x ≤ x.
1+αβ
10. f este uniform continuă pe(1, 2) × (1, 2).
218

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul II,
Editura ULB, Sibiu, 2002.
219

Capitolul 11
Derivarea funct¸iilor reale
Obiective: Recapitularea not¸iunilor legate de derivarea funct¸iilor reale de o variabilă
reală cunoscute din învăt¸ământul preuniversitar ¸si completarea acestora cu acele
not¸iuni, legate de subiectul prezentului capitol, strict necesare pentru parcurgerea capitolelor
următoare.
Rezumat: În acest capitol sunt recapitulate ¸si completate not¸iunile legate de
derivata unei funct¸ii reale de o variabilă reală¸si proprietăt¸ile acesteia, proprietăt¸ile de bază
ale funct¸iilor reale derivabile pe un interval real (teoremele lui Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange,
Darboux, Taylor), diferent¸iala unei funct¸ii reale de o variabilă reală¸si proprietăt¸ile
acesteia. Capitolul se încheie cu prezentarea unor aplicat¸ii imediate ale not¸iuni de derivată
în economie.
Cont¸inutul capitolului:
1. Definit¸ia derivatei ¸si proprietăt¸ile ei de bază
2. Proprietăt¸i de bază ale funct¸iilor derivabile pe un interval
3. Diferent¸iala unei funct¸ii reale
4. Aplicat¸iile derivatei în economie
5. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
6. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: derivată a unei funct¸ii reale de o variabilă reală, derivabilitate,
teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange, teorema lui Darboux, teorema
lui Taylor, diferent¸iala unei funct¸ii reale de o variabilă reală, product¸ie medie, ritm mediu,
elasticitate medie.
11.1 Definit¸ia derivatei ¸si proprietăt¸ile ei de bază
Fie funct¸ia f : A → R, unde A este o submult¸ime a lui R ¸si fie x0 ∈ A un punct de
acumulare pentru A.
Definit¸ia 11.1.1 Spunem că funct¸ia f are derivată în punctul x0 dacă există în R limita
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
,
x − x0
notată, de obicei, cu f ′ (x0).
Dacă derivataf ′ (x0) există ¸si este finită zicem că funct¸ia f este derivabilă în punctul
x0. Dacă f ′ (x0) =+∞ sau f ′ (x) =−∞, atunci vom spune că f are derivata infinită în
punctul x0.
Propozit¸ia 11.1.1 Dacă funct¸ia f : A → R este derivabilă în x0 ∈ A ∩ A ′ , atunci f este
continuă în x0.
220

Demonstrat¸ie. Din ipoteză avemcăexistă¸si este finită
f(x) − f(x0)
lim
= f
x→x0 x − x0
′ (x0).
Se observă căpentruoricex∈A−{x0}, avem
f(x) − f(x0)
f(x) =(x− x0) + f(x0),
x − x0
de unde prin trecere la limită obt¸inem lim f(x) =f(x0), ceea ce ne arată că f este continuă
x→x0
în x0.
Observat¸ia 11.1.1 Reciproca Propozit¸iei 11.1.1 este falsă deoarece există funct¸ii continue
într-un punct care nu sunt derivabile în acel punct. Pentru aceasta, este suficient să
considerăm funct¸ia f(x) =|x|, x ∈ R, careestecontinuăpeR dar nu este derivabilă în 0.
Definit¸ia 11.1.2 Dacă funct¸ia f : A → R, A ⊆ R, este derivabilă în orice punct al unei
submult¸imi B aluiA, atunci spunem că f este derivabilă pe B.
Dacă B este formată din toate punctele lui A în care funct¸ia f este derivabilă, atunci
B se nume¸ste domeniul de derivabilitate a lui f.
În acest caz, funct¸ia definită peB cu valori reale care asociază fiecărui punct x ∈ B
derivata f ′ (x) în punctul x se nume¸ste derivata lui f pe mult¸imea B ¸si notăm prin f ′ .
Operat¸ia prin care din funct¸ia f obt¸inem funct¸ia f ′ se nume¸ste operat¸ie de derivare.
Definit¸ia 11.1.3 Fie f : A ⊂ R → R ¸si x0 ∈ A un punct de acumulare pentru A ∩ (−∞,x0).
Dacă există limita
f(x) − f(x0)
x − x0
f ′ s(x0) = lim
x→x0
xx 0
f(x) − f(x0)
,
x − x0
atunci numim această limită derivata la dreapta afunct¸iei f în punctul x0.
Dacă f ′ s(x0), respectiv f ′ d (x0), este finită, atunci spunem că f este derivabilă lastânga,
respectiv la dreapta, în punctul x0.
Observat¸ia 11.1.2 Dacă funct¸ia f este definită pe un interval [a, b] ¸si are derivată la dreapta
în punctul a, respectiv la stânga în punctul b, atunci convenim să spunemcă f are derivată
în a, respectiv în b.
Din legătura între limita unei funct¸ii într-un punct ¸si limitele laterale în acel punct,
obt¸inem:
Propozit¸ia 11.1.2 O funct¸ie f : A ⊂ R → R are derivată în punctul x ∈ A ∩
A ′ dacă ¸si numai dacă f are derivată la dreapta ¸si la stânga în punctul x0, iar
f ′ s(x0) =f ′ d (x0) =f ′ (x0).
Teorema 11.1.1 Fie f,g : A → R două funct¸ii derivabile în x0 ∈ A ∩ A ′ ¸si λ ∈ R. Atunci sunt
variabile afirmat¸iile:
1) Suma f + g este derivabilă în x0 ¸si
(f + g) ′ (x0) =f ′ (x0)+g ′ (x0);
221

2) Produsul λf este derivabilă ¸si
3) Produsul fg este derivabilă în x0 ¸si
(λf) ′ (x0) =λf ′ (x0);
(fg) ′ (x0) =f ′ (x0)g ′ (x0)+f(x0)g ′ (x0).
4) Dacă g(x0) = 0,atuncifunct¸ia cât f/g este derivabilă în x0 ¸si
′
f
(x0) =
g
f ′ (x0)g(x0) − f(x0)g ′ (x0)
(g(x0)) 2 .
Demonstrat¸ia teoremei se face utilizând definit¸ia derivatei. De exemplu, să demonstrăm
afirmat¸iadela3). Avem
(fg)(x) − (fg)(x0) f(x)g(x) − f(x0)g(x0)
lim
= lim
=
x→x0 x − x0
x→x0 x − x0
g(x)[f(x) − f(x0)] + f(x0)[g(x) − g(x0)]
= lim
=
x→x0
x − x0
ceea ce trebuia demonstrat.
f(x) − f(x0)
= lim g(x) + lim
x→x0 x − x0 x→x0
= g(x0)f ′ (x0)+f(x0)g ′ (x0),
f(x0)[g(x) − g(x0)]
x − x0
Teorema 11.1.2 (Derivarea funct¸iilor compuse sau regula lant¸ului) Fie f : I ⊂ R → J ⊂ R,
g : J → R, I ¸si J fiind intervale. Dacă f este derivabilă în punctul x0 ∈ I ¸si g este derivabilă
în punctul f(x0), atuncifunct¸ia h : I → R, h(x) =g(f(x0)) (h = g◦f) este derivabilăîn punctul
x0 ¸si h ′ (x0) =g ′ (f(x0))f ′ (x0) adică (g ◦ f) ′ =(g ′ ◦ f)f ′ .
Demonstrat¸ie. Considerăm funct¸ia ajutătoare u : J → R, definită prin
⎧
⎨ g(y) − g(y0)
u(y) = y − y0
⎩
g
, dacă y = y0
′ (11.1)
(y0) , dacă y = y0 = f(x0)
Cum lim u(y) =g
y→y0
′ (y0) rezultă cău este continuă în punctul y0 = f(x0). Din (11.1)
obt¸inem:
g(y) − g(y0) =u(y) · (y − y0), pentru orice y ∈ J
Deci avem
g(f(x)) − g(f(x0)) = u(f(x0))(f(x) − f(x0)),
pentru orice x ∈ I.
Rezultă că, pentru orice x ∈ I −{x0} avem
(11.2)
g(f(x)) − g(f(x0))
x − x0
f(x) − f(x0)
= u(f(x))
x − x0
Cum f este derivabilă în x0 rezultă căf este continuă în x0, de unde, t¸inând seama
de continuitatea lui u în y0 = f(x0), deducem că funct¸ia compusă u ◦ f este continuă în x0.
Acum, utilizând derivabilitatea lui f în punctul x0 obt¸inem din (11.2) că existălimita g(f(x)) − g(f(x0))
lim
= u(f(x))f
x→x0 x − x0
′ (11.3)
(x0)
Dar din (11.1), avem u(y0) = u(f(x0)) = g ′ (y0) =
= g ′ (f(x0)) ¸si atunci din (11.3) obt¸inem
ceea ce trebuia demonstrat.
(g ◦ f) ′ (x0) =g ′ (f(x0))f ′ (x0),
222
=

Teorema 11.1.3 Fie f : I → J, I, J intervale ale lui R, ofunct¸iecontinuă ¸si bijectivă. Dacă
f este dervabilă în punctul x0 ∈ I ¸si f ′ (x0) = 0,atuncifunct¸iainversă f −1 este derivabilă în
punctul f(x0) =y0 ¸si are loc formula
(f −1 ) ′ (y0) = 1
f ′ (x0) ,
adică
(f −1 ) ′ =
1
f ′ ◦ f −1
Demonstrat¸ie. T¸inând seama de Teorema 10.4.10 rezultă că f este strict monotonă. În
această situat¸ie deducem că funct¸ia inversă f −1 este strict monotonă ¸si continuă. Fie
y ∈ I −{y0} ¸si x = f −1 (y). Deoarece y = y0, t¸inând seama de strict monotonia lui f −1 ,
rezultă că¸si x = x0. Acum, putem scrie
f −1 (y) − f −1 (y0)
y − y0
de unde prin trecere la limită rezultă
x − x0
f(x) − f(x0) =
f
lim
y→y0
−1 (y) − f −1 (y0)
=
y − y0
= f −1 (f(x)) − f −1 (f(x0))
f(x) − f(x0)
lim
x→x0
1
f(x)−f(x0)
x−x0
1
f(x) − f(x0)
x − x0
,
=
= 1
f ′ (x0) .
În finalul acestui paragraf să introducem not¸iunea de derivată de ordin superior.
Fie f : D → R o funct¸ie derivabilă pemult¸imea D. În acest caz, există funct¸ia derivată
f ′ : D → R.
Definit¸ia 11.1.4 Spunem că funct¸ia f : D → R 2 este de două ori derivabilă într-un punct
x0 ∈ D, dacă f este derivabilă într-o vecinătate a punctului x0 ¸si f ′ este derivabilă în
punctul x0. În acest caz derivata lui f ′ în punctul x0 se nume¸ste derivata a doua aluif în
x0 ¸si o notăm cu f ′′ (x0).
Dacă f ′ este derivabilă peD, atunci derivata lui f ′ se nume¸ste derivata a doua (sau
de ordinul doi) aluif ¸si se notează cuf ′′ .
În general, spunem că f este derivabilă den (n ≥ 2, n ∈ N) oriîn x0 ∈ D dacă f este
de (n − 1) ori derivabilă pe o vecinătate V aluix0 ¸si dacă derivata de ordin (n − 1), notată
prin f (n−1) , este derivabilă în punctul x0.
Spunem că f este derivabilă den ori pe D dacă f este derivabilă den ori în orice
punct x ∈ D.
Derivatele succesive ale lui f se notează prin f (1) = f ′ , f (2) = f ′′ , f (3) = f ′′′ , ..., f (n)
pentru orice n ∈ N ∗ . Convenim, de asemenea, să notăm prin f (0) = f.
În general, aflarea derivatei de ordinul n a funct¸iei f se face prin induct¸ie matematică.
Exemplul 11.1.1. Se consideră funct¸ia f : E → R, f(x) =(ax + b) α , α ∈ R, iarE domeniul
maxim de definit¸ie al lui f. Să se calculeze f (n) . Avem
f ′ (x) =αa(ax + b) α−1
f ′′ = α(α − 1)a 2 (ax + b) α−2 ...
Presupunem că f (n) (x) =α(α−1) ...(α−n+1)an (ax+b) α−n ¸si să demonstrăm că f (n+1) (x) =
α(α − 1) ...(α − n + 1)(α − n)(ax + b) α−n−1 .
Avem
f (n+1) (x) =(f (n) (x)) ′ =(α(α − 1) ...(α − n +1)a n (ax + b) α−n ) ′ =
223

(11.4)
A¸sadar, avem
= α(α − 1) ...(α − n + 1)(α − n)a n+1 (a + b) α−n−1
((ax + b) α ) (n) = α(α − 1) ...(α − n +1)a n (ax + b) α−n
Cazuri particulare. 1. Dacă α = n, atunci din (11.4) găsim ((ax + b) n ) (n) = n!a n , de unde
pentru a =1¸si b =0obt¸inem (x n ) (n) = n!.
2. Dacă α = −1, atunci din (11.4) obt¸inem
(n)
1
=
ax + b
(−1)n · n!an .
(ax + b) n+1
3. Dacă α = 1
2 , atunci din (11.4) obt¸inem
( √ ax + b) (n) n−1 1 · 3 · 5 · ...· (2n − 3)
=(−1)
2n √
ax + b
,n≥ 2.
(ax + b) n
Exemplul 11.1.2. (Formula lui Leibniz.) Fie f,g : D ⊆ R → R două funct¸ii de n ori derivabile
pe D. Atunci are loc egalitatea
(fg) (n) n
(x) = C k nf (n−k) (x)g (k) (x),
k=0
pentru orice x ∈ D, numităformula lui Leibniz.
Avem (f · g) ′ (x) =f ′ (x)g (0) (x) +f (0) (x)g ′ (x), pentru orice x ∈ D, deci egalitatea este
adevărată pentru n =1.
Presupunem egalitatea adevărată pentru n = k ¸si să demonstrăm că esteadevărată ¸si
pentru n = k +1.
conduce la
Putem scrie
(fg) (k+1) (x) =((fg) (k) ) ′ (x) =
k
k
i=0
C i kf (k−i) (x)g (i) (x)
= C
i=0
i
k f (k−i+1) (x)g (i) (x)+f (k−i) (x)g (i+1)
(x) =
= C 0 kf (k+1) (x)g (0) (x)+[C 0 k + C 1 k]f (k) (x)g (1) (x)+
+[C 1 k + C 2 k]f (k−1) (x)g (2) (x)+...+[C k−1
k + Ck k ]f (1) (x)g (k) (x)+
+C k k f (0) (x)g (k+1) (x).
Deoarece C 0 k = C0 k+1 =1, Ck k
= Ck+1
k+1
(fg) k+1 k+1
(x) =
=1¸si Ci−1
k + Ci k = Ci k+1 , i ≤ k, egalitatea precedentă
i=0
C i k+1f (k+1−i)
(x)
· g (i)
(x) ,
ceea ce trebuia demonstrat. A¸sadar, formula lui Leibniz este adevărată.
11.2 Proprietăt¸i de bază ale funct¸iilor derivabile pe un interval
Definit¸ia 11.2.1 Fie f : A ⊆ R → R ofunct¸ie. Un punct x0 ∈ A se nume¸ste punct de maxim
local (sau relativ) al funct¸iei f dacă există o vecinătate V (x0) aluix0 a¸sa încât f(x) ≤ f(x0),
pentru orice x ∈ V (x0) ∩ A.
Un punct x0 ∈ A se nume¸ste punct de minim local (sau relativ) dacă există ovecinătate
V (x0) aluix0 a¸sa încât f(x) ≥ f(x0), pentru orice x ∈ V (x0) ∩ A.
Punctele de maxim sau minim local ale funct¸iei f se numesc puncte de extrem relativ
(sau local) ale funct¸iei f, iar valorile funct¸iei în punctele sale de extrem se numesc extreme
ale funct¸iei f.
224
′
=

Teorema 11.2.1 (Teorema lui Fermat). Fie I un interval al lui R ¸si fie funct¸ia f : I → R.
Dacă x0 este un punct de extrem local interior al intervalului I ¸si f este derivabilă în x0,
atunci f ′ (x0) =0.
Demonstrat¸ie. Să presupunem că x0 este un punct de maxim local pentru f, adicăexistă
ovecinătate V (x0) a punctului x0 astfel ca f(x) ≤ f(x0), pentruoricex ∈ V (x0) ∩ I. Atunci,
pentru x ∈ V (x0) ∩ I cu xx0 avem
(11.6)
f(x) − f(x0)
x − x0
Cum f este derivabilă în punctul interior x0 ∈ I, deducem că există f ′ s(x0), f ′ d (x0) ¸si
f ′ (x0) =f ′ s(x0) =f ′ d (x0) ∈ R. T¸inând seama de aceasta ¸si trecând la limită în (11.5) ¸si (11.6),
obt¸inem, pe de o parte că f ′ (x0) =f ′ s(x0) ≤ 0, iar,pedealtă parte, că f ′ (x0) =f ′ d (x0) ≥ 0. De
aici, rezultă că f ′ (x0) =0, ceea ce trebuia demonstrat.
Observat¸ia 11.2.1 Teorema lui Fermat dă numai o condit¸ie necesară dar nu ¸si suficientă
pentru existent¸a punctelor de extrem. Se poate întâmpla ca într-un punct derivata să se
anuleze fără ca punctul respectiv să fie punct de extrem local. Rădăcinile derivatei unei
funct¸ii se numesc puncte critice sau puncte stat¸ionare pentru funct¸ia respectivă.
Observat¸ia 11.2.2 Geometric, teorema lui Fermat afirmă că graficul unei funct¸ii derivabile
are tangentă paralelă cuaxaOx în punctele de extrem interioare intervalului de definit¸ie a
funct¸iei.
Teorema 11.2.2 (Teorema lui Rolle). Fie funct¸ia f :[a, b] → R, undea, b ∈ R ¸si a

Observat¸ia 11.2.5 Între două rădăcini reale consecutive ale derivatei unei funct¸ii pe un
interval se află cel mult o rădăcină realăafunct¸iei.
Într-adevăr, fie c1

iii) g ′ (x) = 0, oricare ar fi x ∈ I −{x0};
f
iv) există lim
x→x0
′ (x)
g ′ = l ∈ R,
(x)
atunci are loc
¸si
f(x) f
lim = lim
x→x0 g(x) x→x0
′ (x)
g ′ = l.
(x)
Pentru demonstrat¸ie considerăm funct¸iile
f(x) , dacă x ∈ I −{x0}
F (x) =
0 , dacă x = x0
g(x) , dacă x ∈ I −{x0}
G(x) =
0 , dacă x = x0
Aceste funct¸ii sunt continue pe I derivabile pe I −{x0} ¸si G ′ (x) = 0, oricare ar fi
x ∈ I −{x0}. Aplicăm teorema lui Cauchy funct¸iilor F (x) ¸si G(x) pe intervalul compact [x0,x]
¸si avem
F (x) − F (x0)
G(x) − G(x0) = F ′ (c)
G ′ (c) = f ′ (c)
g ′ (c) , x0 a;
f
iv) există lim
x→∞
′ (x)
g ′ = l ∈ R, atunci are loc egalitatea
(x)
f(x) f
lim = lim
x→∞ g(x) x→∞
′ (x)
g ′ (x) .
Pentru demonstrat¸ie se face schimbarea de variabilă x =1/t ¸si se aplică prima regulă aluil ′ Hospital
pe intervalul 0, 1
a pentru x → 0.
Observat¸ia 11.2.7 Dacă avem lim f(x) = lim y(x) =+∞, atunciscriem
x→x0 x→x0
¸si se aplică prima regulă aluil ′ Hospital.
f(x)
lim = lim
x→x0 g(x) x→x0
Observat¸ia 11.2.8 Cazurile de nedeterminare ∞−∞, 0 0 , 1 ∞ , ∞ 0 se reduc prin transformări
(operat¸ii) algebrice la situat¸iile 0
0
sau ∞
∞ .
Teorema 11.2.4 (Teorema lui Lagrange – teorema cre¸sterilor finite – prima formulă demedie
a calculului diferent¸ial). Fie f :[a, b] → R ofunct¸ie care satisface condit¸iile:
227
1
f(x)
1
g(x)

i) f este continuă pe[a, b];
ii) f este derivabilă pe(a, b),
atunci există unpunctc ∈ (a, b) a¸sa ca
f(b) − f(a)
= f
b − a
′ (c).
Demonstrat¸ie. Luăm în Teorema lui Cauchy funct¸ia g(x) =x, x ∈ [a, b].
Observat¸ia 11.2.9 Dacă funct¸ia f are derivată nulă pe un interval I, atuncif este constantă
pe I.
Demonstrat¸ie. Fie x0 un punct fixat din I ¸si x ∈ I un punct arbitrar. Aplicăm teorema
lui Lagrange pe intervalul [x0,x] (sau [x, x0]) ¸si rezultă căexistăc∈ (x0,x) (sau (x, x0)) a¸sa
încât
f(x) − f(x0) =f ′ (c)(x − x0).
Cum f ′ (x) =0, oricare ar fi x ∈ I, rezultăcăf(x) =f(x0), oricare ar fi x ∈ I, ¸si deci f
este cosntantă peintervalulI.
Observat¸ia 11.2.10 Dacă două funct¸ii sunt derivabile pe un interval I ¸si derivatele sunt
egale pe acest interval, atunci diferent¸a lor este o constantă.
Demonstrat¸ie. Dacă f ′ (x) =g ′ (x) pentru orice x ∈ I, atunci rezultă că (f − g) ′ (x) =0,
oricare ar fi x ∈ I. Atunci, pe baza Observat¸iei 11.2.9, rezultă, (f − g)(x) =k, oricare ar fi
x ∈ I, adică f(x) − g(x) =k, pentruoricex ∈ I.
Observat¸ia 11.2.11 Fie f ofunct¸ie derivabilă pe intervalul I.
i) Dacă f ′ (x) ≥ 0, oricare ar fi x ∈ I, atuncif este crescătoare pe I;
ii) Dacă f ′ (x) ≤ 0, oricare ar fi x ∈ I, atuncif este descrescătoare pe I;
iii) Dacă f ′ (x) > 0, oricare ar fi x ∈ I, atuncif este strict crescătoare pe I;
iv) Dacă f ′ (x) < 0, oricare ar fi x ∈ I, atuncif este scrict descrescătoare pe I.
Demonstrat¸ie. Vom justifica numai punctul i), celelalte cazuri demonstrându-se în
mod analog.
Fie x1,x2 două puncte arbitrare din I a¸sa încât x1

Demonstrat¸ie. Fie x1,x2 două puncte arbitrare diferite din I. Aplicăm teorema lui
Lagrange pe intervalul [x1,x2] (sau [x2,x1]) ¸si există c ∈ (x1,x2) a¸sa încât f(x1) − f(x2) =
f ′ (c)(x1 − x2). Cum |f ′ (x)| ≤M, M>0, oricare ar fi x ∈ I, avem
|f(x1) − f(x2)| = |f ′ (c)(x1 − x2)| = |f ′ (c)| |x1 − x2| ≤M|x1 − x2|,
ceea ce ne arată că f este lipschitziană peI.
Teorema 11.2.5 (Teorema lui Darboux). Dacă f : I → R este o funct¸ie derivabilă pe I,
atunci derivata sa f ′ are proprietatea lui Darboux pe acel interval.
Demonstrat¸ie. Fie x1,x2 ∈ I cu x1 < x2. Să presupunem că f ′ (x1) < f ′ (x2) ¸si
λ ∈ (f ′ (x1),f ′ (x2)). Considerăm funct¸ia auxiliară g : I → R, g(x) =f(x) − λx, care verifică
inegalităt¸ile: g ′ (x1) < 0 ¸si g ′ (x2) > 0.
Deoarece g este derivabilă pe[x1,x2] ∈ I rezultă că g este continuă pe compactul [x1,x2]
deci î¸si atinge marginile. Atunci există c ∈ [x1,x2] a¸sa încât g(c) = min g(x). Săarătăm
x∈[x1,x2]
că c = x1 ¸si c = x2. Din g ′ (x1) < 0 rezultă căexistăε>0 a¸sa încât g(x)−g(x1)
< 0, pentru
x−x1
orice x ∈ (x1,x1 + ε), de unde obt¸inem că g(x)

(∀)t ∈ I, de unde
g ′ (t) = f (n+1) (t)
(x − t)
n!
n − K(n + 1)(x − t) n , (∀)t ∈ I.
De aici obt¸inem g ′ (c) =0,adică
f (n+1) (c)
(x − c)
n!
n = K(n + 1)(x − c) n ,
de unde găsim
K = f (n+1) (c)
(n + 1)! ,
care înlocuită în (11.7) conduce la formula lui Taylor.
Observat¸ia 11.2.14 Formula lui Taylor este o formulă de aproximare a funct¸iei f prin polinomul
(Tnf)(x) =f(x0)+ f ′ (x0)
1!
(x − x0)+ f ′′ (x0)
(x − x0)
2!
2 + ...+
+ f (n) (x0)
(x − x0)
n!
n ,
numit polinomul lui Taylor de grad n asociat funct¸iei f. Expresia
(vnt)(x) = f (n+1) (c)
(n + 1)! (x − x0) n+1 ,
se nume¸ste restul sub forma Lagrange al formulei lui Taylor.
Proprietatea esent¸ială a polinomului lui Taylor este dată derelat¸iile:
(Tnf)(x0) =f(x0); (Tnf) ′ (x0) =f ′ (x0);
(Tnf) (2) (x0) =f (2) (x0); ...;(Tnf) (n) (x0) =f (n) (x0).
Observat¸ia 11.2.15 Dacă în formula lui Taylor considerăm x0 =0,atunci obt¸inem Formula
lui MacLaurin, adică
f(x) =f(0) + f ′ (0)
1! x + f ′′ (0)
2! x2 + ...+ f (n) (0)
n! + f (n+1) (c)
(n + 1)! xn+1 .
Observat¸ia 11.2.16 Dacă în formula lui Taylor considerăm n =0,atunciobt¸inem formula
cre¸sterilor finite a lui Lagrange (v.Teorema 11.2.4).
Observat¸ia 11.2.17 Punctul c din intervalul deschis determinat de punctele x ¸si x0 depinde
de x, x0 ¸si n. Punctul c se poate scrie ¸si sub forma c = x0 + θ(x − x0), undeθ∈ (0, 1).
Exemple. 11.2.1. Funct¸ia f(x) =e x , x ∈ R, estedeclasă C ∞ pe R iar f (k) (x) =e x , oricare
ar fi k ∈ N ¸si oricare ar fi x ∈ R. Cum f (k) (0) = 1, k ∈ N ∗ , formula MacLaurin pentru e x are
forma:
e x =1+ x x2 xn xn+1
+ + ...+ +
1! 2! n! (n + 1)! eθx , (∀)x ∈ R.
11.2.2. Funct¸ia f(x) = ln(1 + x), x ∈ (−1, ∞), este indefinit derivabilă pe(−1, ∞). Cum
f (k) k−1 (k − 1)!
(x) =(−1)
(1 + x) k , k ∈ N∗ , (∀)x ∈ (−1, ∞)
(vezi Exemplul 11.1.1), avem f(0) = 1, f (k) (0) = (−1) k−1 ·
(k − 1)!, k ∈ N∗ ¸si formula de tip MacLaurin
ln(1 + x) = x x2 x3 x4
xn
− + − + ...+(−1)n−1
1 2! 3! 4! n! +
n xn+1
+(−1)
n +1 ·
1
(1 + θx) n+1
(∀)x ∈ (−1, ∞), θ ∈ (0, 1).
230

11.3 Diferent¸iala unei funct¸ii reale
În acest paragraf introducem not¸iunea de diferent¸ială relativă la o funct¸ie reală deo
variabilă reală.
Definit¸ia 11.3.1 Fie f : I → R ofunct¸iedefinită pe intervalul deschis I.
Spunem că f este diferent¸iabilă în punctul x0 ∈ I dacă există numărul real A, care
depinde de f ¸si x0, ¸si o funct¸ie α : I → R cu lim α(x) =α(x0) =0 astfel încât
x→x0
(11.8)
f(x) − f(x0) =A(x − x0)+α(x)(x − x0),
pentru orice x ∈ I.
Teorema 11.3.1 Funct¸ia f : I → R, interval deschis, este diferent¸iabilă în punctul x0 ∈ I
dacă ¸si numai dacă f este derivabilă în x0.
Demonstrat¸ie. Să admitecă f este diferent¸iabilă în punctul x0 ∈ I. Atunci există
A ∈ R ¸si o funct¸ie α : I → R cu lim α(x) =α(x0) =0astfel încât să aibăloc (11.8).
x→x0
Considerând x = x0 ¸si împart¸ind în (11.8) ambii membrii prin x − x0 obt¸inem
f(x) − f(x0)
A + α(x),
x − x0
(∀)x ∈ I −{x0}.
f(x) − f(x0)
Cum lim α(x) =0,rezultăcăexistălim = A, adicăfeste derivabilă în
x→x0
x→x0 x − x0
punctul x0 ¸si A = f ′ (x0).
Reciproc, să presupnem că f este derivabilă în punctul x0. Din definit¸ia derivatei lui
f în punctul x0 avem
f(x) − f(x0)
lim
= f
x→x0 x − x0
′ (x0).
Considerăm funct¸ia α : I → R,
⎧
⎨
α(x) =
⎩
f(x) − f(x0)
− f
x − x0
′ (x0)
0
, pentru x ∈ I −{x0}
, pentru x = x0.
Se observă că lim α(x) =α(x0) =0,adicăαeste continuă în x0. Din definit¸ia lui α
x→x0
pentru x = x0 avem
f(x) − f(x0) =f ′ (x0)(x − x0)+α(x)(x − x0),
egalitate evident verificată ¸si pentru x ≡ x0. Rezultăcă f este diferent¸iabilă în x0 ¸si A =
f ′ (x0).
Observat¸ia 11.3.1 Teorema 11.3.1 exprimă faptul că pentru funct¸iile reale de o variabilă
reală not¸iunile de diferent¸iabilitate ¸si derivabilitate într-un punct sunt echivalente.
Observat¸ia 11.3.2 Dacă f este diferent¸iabilăîn punctul x0, atunci pentru valori mici ale lui
h = x − x0 diferent¸a
f(x) − f(x0) se poate aproxima cu f ′ (x0)h, adică
(11.9)
f(x0 + h) − f(x0) ≈ f ′ (x0)h
Definit¸ia 11.3.2 Fie f : I → R, I interval deschis din R, derivabilăîn punctul x0 ∈ I. Funct¸ia
liniară ¸si omogenă
g : R → R, g(h) =f ′ (x0)h, h ∈ R,
se nume¸ste diferent¸iala funct¸iei f în punctul x0 ¸si se notează prin df (x0), adică
(11.10)
df (x0)(h) =f ′ (x0)h.
231

Acum, relat¸ia (11.9) se mai poate scrie
f(x0 + h) − f(x0) ≈ df (x0)(h).
Diferent¸iala lui f într-un punct oarecare x ∈ I onotăm prin df (x).
Dacă în (11.10) alegem, în particular, ca f aplicat¸ia identică, atunci diferent¸iala lui
f într-un punct x ∈ I este df (x)(h) =h, (∀)h ∈ R, adică h = d(x)(h). Folosind notat¸ia simplă
d(x) =dx, avemdx(h) =h. Revenind cu acest rezultat în (11.10), obt¸inem
de unde găsim
(11.11)
Din (11.11) rezultă ¸si scrierea
df (x)(h) =f ′ (x)dx(h), (∀)h ∈ R,
df (x) =f ′ (x)dx.
f ′ df (x)
(x) =
dx ,
care constituie exprimarea derivatei lui f în limbajul diferent¸ialelor.
T¸inând seama de (11.11), obt¸inem imediat din regulile de derivare următoarele reguli
de diferent¸iere: dacă f,g : I → R sunt funct¸ii derivabile pe intervalul deschis I ⊂ R, atunci
iar dacă, în plus g = 0, atunci
d(f + g) =df + dg; d(λt) =λdf, d(fg)=gdf + fdg,
d
f
=
g
gdf − fdg
g2 .
Teorema 11.3.2 (diferent¸iala unei funct¸ii compuse). Fie I ¸si J două intervale deschise ale
lui R ¸si fie u : I → J ¸si f : J → R două funct¸ii derivabile respectiv pe I ¸si J. Atunci
Demonstrat¸ie. Avem
oricare ar fi x ∈ I.
df (u) =f ′ (u)du.
df (u(x)) = (f(u(x))) ′ dx = f ′ (u(x)) · u ′ (x)dx = f ′ (u(x)) · du(x),
Definit¸ia 11.3.3 Numim diferent¸iala de ordinul doi afunct¸iei f în punctul x, notată prin
d 2 f(x), expresia d(df (x)), adică avem
În general, d n f(x) =d(d n−1 f(x)). Avem:
d 2 f(x) =d(df (x)).
d 2 f(x) =d(f ′ (x)dx) =d(f ′ (x)) · dx + f ′ (x)d(dx) =
= f ′′ (x)dx · dx = f ′′ (x)dx 2 ,
deoarece d(dx) =0(derivata de ordinul doi a funct¸iei identice este egală cu0).
Prin induct¸ie matematică obt¸inem că dnf(x) =f (n) (x)dxn . Se mai zice că diferent¸ialele
de ordin superior sunt invariante fat¸ă deordinuldederivare.
Această proprietate nu se mai păstrează pentru diferent¸iala funct¸iilor compuse.
232

11.4 Aplicat¸iile derivatei în economie
Economia este considerată cea mai ”exactă” dintre ¸stiint¸ele sociale, [?], deoarece, în
general, procesele economicce sunt studiate prin modele matematice. În §3.2 am văzut
că relat¸iile dintre diferite mărimi economice se pot exprima prin funct¸ii. Pentru a studia
variat¸ia unei astfel de funct¸ii ¸si a trasa graficul ei se folosesc derivatele funct¸iei de ordinul
întâi ¸si doi.
În domeniul economic în descrierea variat¸iei mărimii y în raport cu o altă mărime
x, dată prin funct¸ia y = f(x), x ∈ I, I interval din R, se utilizează conceptul de medie ¸si
conceptul de marginal. (vezi partea introductivă la capitolul 4).
Definit¸ia 11.4.1 Numim valoarea medie a lui f pe intervalul [x, x + h] ⊂ I,h > 0, notată cu
f(x), raportul
Δf
Δx
f(x + h) − f(x)
= .
h
Exemple: 11.4.1. Fie P (t) numărul de unităt¸i produse într-un flux tehnologic după t ore de
la începerea proccesului. Valoarea medie a lui P (t) într-un interval de h ore este
P (t + h) − P (t)
= P (t)
h
¸si se nume¸ste product¸ie medie.
11.4.2. Dacă funct¸ia de cost total pentru realizarea a x unităt¸i dintr-un produs este
C(x) = x2
9 + x + 100, x ≥ 1 să stabilim câte unităt¸i trebuie realizate pentru a avea cel mai
scăzut pret¸ mediu pe unitate de produs.
Trebuie să studiem variat¸ia funct¸iei pret¸ mediu
Cum C(x) ′
C(x) = C(x)
x
= x
9
100
+ ,x≥ 1.
x
= 1 100
9 − x2 are rădăcina x =30, din tabelul de variat¸ie
x 1 30 ∞
C ′ (x) − − − 0 + + +
C(x) 910
9 ↘ 23
3 ↗ ∞
rezultă că vom avea cel mai scăzut pret¸ mediudacăseproduc 30 unităt¸i de produs.
Definit¸ia 11.4.2 Numim valoare marginală afunct¸iei f : I → R, în punctul x ∈ I
f(x + h) − f(x)
lim
= f
h→0 h
′ df (x)
(x) =
dx
Exemplul 11.4.3.
productivitatea
În cazul Exemplului 11.4.1, valoarea marginală a product¸iei P (t) este
P ′ P (t + h) − P (t)
(t) = lim
.
h→0 h
Definit¸ia 11.4.3 Numim
f : I → R în punctul x ∈ I raportul
variat¸ia relativă a funct¸iei
Δf(x)
f(x)
f(x + h) − f(x)
= , h > 0.
f(x)
Definit¸ia 11.4.4 Numim ritmul mediu de variat¸ie a funct¸iei f : I → R în punctul x ∈ I
raportul Δf(x)
f(x)
h ¸si se notează cuRf,m.
233

Definit¸ia 11.4.5 Numim ritmul local (marginal) a funct¸iei f : I → R în punctul x limita
lim
h→0 Rf,m, adică
lim
h→0
Δf(x)
Δf(x)
h = lim ·
f(x)
h→0 h
′ 1 f
=
f(x) f = (ln f)′ ,
care este derivata logaritmică aluif. Ritmul local a lui f în x se notează prin Rf,x.
Definit¸ia 11.4.6 Numim elasticitatea medie afunct¸iei f : I → R în punctul x, notată prin
Em, raportul variat¸iilor relative ale lui f(x) ¸si x, adică
Ef,m = Δf(x)
h Δf(x)
= ·
f(x) x h
x
f(x) .
Definit¸ia 11.4.7 Numim elasticitatea locală (marginală) afunct¸iei f : I → R, în punctul x
limita elasticităt¸ii medii când h → 0. Ea se notează prin Ef,m.
Avem
Ef,m = lim
h→0
x Δf(x) x
· =
f(x) h f · f ′ = x(ln f) ′ =
(ln f)′
.
(ln x) ′
Proprietatea importantă a elasticităt¸ii unei funct¸ii este aceea că eaestecamărime
independentă de unităt¸ile de măsură în care au fost măsurate variabilele f(x) ¸si x.
Exemplul 11.4.4. Fie x = ap + b, a>0, b>0 o funct¸ie cerere pentru o marfă de pret¸ p.
Elasticitatea marginală a cererii în p este
Eap+b,p = p(ln(ap + b)) ′ = ap
ap + b .
Cum Eap+b,p < 1, rezultăcă la o cerere de tip liniar la o cre¸stere relativă a pret¸ului
corespunde o cre¸stere relativă mai mică pentru cerere.
Observat¸ia 11.4.1 Not¸iunile introduse în acest paragraf se transpun u¸sorlanot¸iunile din
domeniul economic. Astfel, avem cost mediu, cost marginal, elasticitatea costului, cerere
medie, cerere marginală, elasticitatea cererii etc.
234

11.5 Test de verificare a cuno¸stint¸elor nr. 10
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Derivata unei funct¸ii reale de o variabilă reală;
b) Diferent¸iala unei funct¸ii reale de o variabilă reală.
2. Enunt¸at¸i:
a) Teorema lui Fermat;
b) Teorema lui Rolle;
c) Teorema lui Lagrange;
d) Teorema (formula) lui Taylor;
c) Teorema lui Cauchy.
3. Studiat¸i derivabilitatea funct¸iei:
a) f : R → R, f(x) = 3√ x3 − 3x +2;
x2 b) f : R → R, f(x) =(x− 1) · arcsin
x2 în punctul x =0.
+1
4. Numerele a0,a1, ..., an verifică condit¸ia a0 2a1
+
1 2 + 22a2 3 + ... + 2nan =0. Săsearatecă
n +1
funct¸ia f :[1,e2 ] → R, f(x) =a0 + a1 ln x + a2 ln 2 x + ... + an ln n x are cel put¸inunzeroîn
intervalul (1,e2 ).
5. a) Se consideră finct¸ia f :(−1, ∞) → R, f(t) = ln(1 + t). Aplicând teorema lui Lagrange
funct¸iei f pe intervalul [0,x], x>0, săsearatecă oricare ar fi x>0 are loc relat¸ia:
x − (1 + x) · ln(1 + x) < 0;
b) Să searatecă funct¸ia g :(0, ∞) → R, g(x) =(1+x) 1
x este monoton descrescătoare.
6. Utilizând teorema lui Cauchy să se demonstreze inegalitatea:
ln(1 + x) > arctgx
1+x
, x > 0.
7. a) Precizat¸i punctele de extrem local ale funct¸iei:
f : R → R , f(x) =|x 2 − 1|.
b) Determinat¸i derivata de ordinul n, n ∈ N, pentru funct¸ia f(x) =sinx.
c) calculat¸i derivata de ordinul 20 a funct¸iei
8. Să sedezvoltedupă puterile lui x funct¸ia
h(x) =x 3 · sin x.
f :(−1, ∞) → R , f(x) = ln(1 + x).
9. Să sedezvoltef(x) =e x , x ∈ R, după puterile lui x +1.
10. Să se determine n ∈ N astfel încât polinomul lui Taylor Tn(x) în punctul x0 =0asociat
funct¸iei f(x) = √ 1+x, x ∈ [−1, ∞] să difere de funct¸ie cu mai put¸in de 1
în intervalul
16
[0, 1].
235

Indicat¸ii ¸si răspunsuri
Test nr. 10
3. a) f este derivabilă peR\{−2, 1}, iar(−2, 0) este punct de inflexiune ¸si (1, 0) este punct
de întoarcere.
b) f este derivabilă în x =0,iar(0, 0) este punct unghiular.
4. Se consideră funct¸ia g :[1,e 2 ] → R,
¸si se aplică teorema lui Rolle.
g(x) = a0 ln x
1 + a1 ln 2 x
+ ... +
2
an ln n+1 x
n +1
5. b) Se calculează g ′ (x) ¸si se folose¸ste punctul (a).
6. Se aplică teorema lui Cauchy funct¸iilor f,g :[0,x] → R, cux>0, f(t) =(1+t)ln(1+t),
g(t) =arctg (t).
7. a) (−1, 0) ¸si (1, 0) sunt puncte de minim local, iar (0, 1) este punct de maxim local;
b) f (n)
(x) =sinx
+ n π
, (∀)n ∈ N.
2
c) h (20) (x) = 6 · ∁ 3 20 − 3x 2 · ∁ 1 3 20
20 · cos x + x − 6x · ∁20 · sin x.
8. Se aplică formula lui Mac Laurin ¸si se obt¸ine:
ln(1 + x) =x − x2
2
+ x3
3 + ... +(−1)n · xn+1
n +1 +
+(−1) n+1 · xn+2
n +2 ·
1
cu θ ∈ (0, 1).
(1 + θx) n+2
9. Se aplică formula lui Taylor cu x0 = −1 ¸si se obt¸ine:
e x = 1
e ·
x +1 (x +1)2
1+ + + ... +
1! 2!
+ (x +1)n+1
· e
(n + 1)!
−1+θ(x+1) .
(x +1)n
+
n!
10. Se impune ca restul formulei lui Mac Laurin să aibăvaloarea absolută mai mică sau
egală cu 1
¸si se obt¸ine n ≥ 2.
16
236

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul II,
Editura ULB, Sibiu, 2002.
237

Capitolul 12
Derivarea funct¸iilor de mai multe
variabile
Obiective: Introducerea not¸iunilor de derivată part¸ială, diferent¸iala funct¸iilor de mai
multe variabile, extremele funct¸iilor de mai multe variabile, ajustarea datelor ¸si interpolarea
funct¸iilor.
Rezumat: Capitolul începe cu definirea conceptului de derivată part¸ială ¸si
aplicat¸iile economice imediate ale acestuia. Se continuă cu generalizarea not¸iunii de
diferent¸ială pentru funct¸iile reale de mai multe variabile reale, not¸iuni necesare în studiul
extremelor condit¸ionate ale funct¸iilor de mai multe variabile. Capitolul continuă cu studiul
metodelor de aflare a extremelor (simple ¸si condit¸ionate) ale funct¸iilor de mai multe variabile,
metoda celor mai mici pătrate pentru ajustarea datelor ¸si câteva not¸iuni legate de
interpolarea funct¸iilor.
Cont¸inutul capitolului:
1. Derivate part¸iale
2. Interpretări geometrice ¸si economice ale derivatelor part¸iale
3. Derivarea funct¸iilor compuse
4. Diferent¸iala funct¸iilor de mai multe variabile
5. Extremele funct¸iilor de mai multe variabile
6. Extreme condit¸ionate
7. Ajustarea unor date
8. Interpolarea funct¸iilor
9. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
10. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: derivată part¸ială, diferent¸ială, extremele funct¸iilor reale de mai
multe variabile reale, ajustare, interpolare.
12.1 Derivate part¸iale
Să considerăm o funct¸ie de două variabile f : D ⊆ R 2 → R, z = f(x, y) ¸si M(a1,a2) un
punct din D.
Definit¸ia 12.1.1 Dacă există limitele
f(x, a2) − f(a1,a2)
lim
x→a1 x − a1
f(a1,y) − f(a1,a2)
¸si lim
x→a2 y − a2
¸si sunt finite, atunci spunem că funct¸ia f este derivabilă part¸ial în punctul M, în cazul
primei limite, în raport cu x ¸si în cazul al doilea, în raport cu y.
238

Aceste limite se numesc respectiv derivata part¸ială a funct¸iei f în raport cu x ¸si
derivata part¸ială afunct¸iei f în raport cu y, în punctul M(a1,a2). Ele se notează prin
f ′ x(a1,a2) = ∂f(a1,a2)
∂x
¸si respectiv f ′ y(a1,a2) = ∂f(a1,a2)
.
∂y
Este evident că dacă funct¸ia f este derivabilă în raport cu x ¸si respectiv cu y, atunci
f este continuă în raport cu x ¸si respectiv în raport cu y.
Dacă funct¸ia f este derivabilă part¸ial în orice punct din domeniul D, atunci derivatele
part¸iale resprezintă noifunct¸ii de două variabile, definite pe D ¸si asociate funct¸iei f.
Practic, pentru a calcula derivata part¸ială în raport cu x a funct¸iei z = f(x, y) se
consideră f ca funct¸ie de x, considerându-se y constantă, ¸si se aplică formulele de derivare
cunoscute, pentru această funct¸iedevariabilă x.
Pentru a calcula derivata part¸ială în raport cu y se consideră x constantă.
Exemplul 12.1.1. Să calculăm derivatele part¸iale pentru funct¸ia
Avem
f ′ x(x, y) =
f ′ y(x, y) =
f(x, y) =
∂f(x, y)
∂x
∂f(x, y)
∂y
x + y
x 2 + y 2 +1 , (x, y) ∈ R2 .
= 1(x2 + y 2 +1)− 2x(x + y)
(x 2 + y 2 +1) 2
= y2 − x 2 − 2xy +1
(x 2 + y 2 +1) 2 ,
= 1(x2 + y 2 +1)− 2y(x + y)
(x 2 + y 2 +1) 2
= x2 − y2 − 2xy +1
(x2 + y2 +1) 2 ,
oricare ar fi (x, y) ∈ R2 .
Exemplul 12.1.2. Pentru funct¸ia f(x, y) = x2y definită pe D = {(x, y) ∈ R2 |x > 0,y ∈ R}
derivatele part¸iale sunt
f ′ ∂f(x, y)
x(x, y) = =2y · x
∂x
2y−1
¸si
f ′ ∂f(x, y)
y(x, y) = = x
∂y
2y 2lnx.
Observat¸ia 12.1.1 Derivatele part¸iale ale unei funct¸ii de n variabile, n ≥ 3, se definesc în
mod analog. Fie funct¸ia f : D ⊆ Rn → R, z = f(x1,x2,...,xn) ¸si punctul M(a1,a2,...,an) ∈ D.
Spunem că funct¸ia f este derivabilă part¸ial în punctul M în raport cu variabila xk, dacă
f(a1,...,ak−1,xk,ak+1,...,an) − f(a1,a2,...,an)
lim
xk→ak
x − ak
există ¸si este finită. Această limită o numim derivata part¸ială a funct¸iei f în raport cu
variabila xk în punctul M ¸si o notăm prin
f ′ xk (M) =f ′ xk (a1,a2,...,an) sau
∂f(M)
∂xk
=
=
= ∂f(a1,a2,...,an)
∂xk
O funct¸ie de n variabile derivabilă în fiecare punct al domeniului D este derivabilă
part¸ial în acel domeniu ¸si derivatele part¸iale sunt funct¸ii de n variabile definite în acel
domeniu. Calculul lor se face pe acelea¸si principii ca la funct¸iile de două variabile.
239

Exemplul 12.1.3. Pentru funct¸ia u =ln(x 2 + y 2 + z 2 ) definită pe R −{(0, 0, 0)} = D, avem
derivatele part¸iale:
u ′ x = ∂u
∂x =
2x
x 2 + y 2 + z 2 , u′ y = ∂u
∂y =
u ′ z = ∂u
∂z =
2z
x2 + y2 .
+ z2 2y
x2 + y2 ,
+ z2 Exemplul 12.1.4. Pentru funct¸ia u = xy3z definită peD = {(x, y, z) ∈ R3 |x>0,y > 0,z ∈ R},
derivatele part¸iale sunt:
∂u
∂x = y3z x y3z −1 ,
∂u
∂z
∂u
∂y
= xy3z3z
· y 3z−1 ln x,
= xy3zy
3z ln y ln x.
Acum să introducem derivatele part¸iale de ordin superior.
Derivatele part¸iale pentru funct¸ia f : D ⊆ R 2 → R, z = f(x, y) sunt noi funct¸ii de două
variabile. Dacă derivatele part¸iale f ′ x(x, y), f ′ y(x, y) sunt la rândul lor derivabile part¸ial în
raport cu x ¸si y, atunci derivatele lor part¸iale se numesc derivate part¸iale de ordinul doi ale
funct¸iei f. Ele se notează prin
(f ′ x) ′ x = f ′′ ∂f
x2 sau
∂x
∂f
∂x
= ∂2f ;
∂x2 (f ′ x) ′ y = f ′′
xy sau
∂ ∂f
=
∂y ∂x
∂2f ∂y∂x ;
(f ′ y) ′ x = f ′′
yx sau ∂f
∂f
=
∂y ∂x
∂2f ∂y∂x ;
(f ′ y) ′ y = f ′′
y2 sau
∂ ∂f
=
∂y ∂y
∂2f .
∂x2 Exemplul 12.1.5. Pentru funct¸ia f(x, y) =ln(x2 + y2 +3), (x, y) ∈ R2 ,avem
f ′′
x2 =
f ′′
y2 =
2x
f ′ x =
x 2 + y 2 +3
f ′′
xy =
f ′′
yx =
2x
x2 + y2 +3 , f′ 2y
y =
x2 + y2 +3 ,
′
2y
x 2 + y 2 +3
x
= 2(x2 + y 2 +3)− 2x · 2x
2x
x 2 + y 2 +3
2y
x 2 + y 2 +3
′
y
(x 2 + y 2 +3) 2
′
y
′
x
= −
=
4xy
(x2 + y2 ,
+3) 2
−4xy
(x2 + y2 ,
+3) 2
= 2(x2 + y 2 +3)− 4y 2
(x 2 + y 2 +3) 2
= 2(y2 − x2 +3)
(x2 + y2 ,
+3) 2
= 2(x2 − y2 +3)
(x2 + y2 .
+3) 2
Se observă că derivatele f ′′
xy ¸si ′′
yx, numite¸si derivate part¸iale mixte, sunt egale. În
general ele nu sunt egale. Următoarea teoremă dă condit¸ii suficiente ca derivatele part¸iale
mixte să fie egale.
Teorema 12.1.1 (A.Schwarz). Dacă funct¸ia f : D ⊆ R 2 → R, z = f(x, y) are derivate part¸iale
de ordinul doi într-o vecinătate V alui(x, y) ∈ D ¸si dacă f ′′
xy este continuă în punctul (x, y),
atunci f ′′
xy(x, y) =f ′′
yx(yx).
240

Nu prezentăm demonstrat¸ia acestei teoreme.
Observat¸ia 12.1.2 În mod analog se definesc derivatele part¸iale de ordin n, n ≥ 3.
Rezultatul Teoremei lui Schwarz se păstrează.
Observat¸ia 12.1.3 Derivatele part¸iale de ordin superior se definesc ¸si pentru funct¸iile de n
variabile, n ≥ 3. Pentru derivatele lor mixte se păstrează afirmat¸ia din Teorema 12.1.1.
Exemplul 12.1.6. Să calculăm derivatele part¸iale de ordinul doi pentru funct¸ia
Avem:
f ′′
x2 =
f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 , (x, y, z) ∈ R 3 .
f ′ x =
x
x2 + y2 + z2 , f′ y
y =
x2 + y2 + z2 ,
f ′ z =
x 2 + y 2 + z 2 −
x 2 + y 2 + z 2
f ′′
xy = f ′′
f ′′
xz = f ′′
f ′′
yz = f ′′
f ′′
y2 =
yx = −
zx = −
zy = −
z
x 2 + y 2 + z 2
x 2
√
x2 +y2 +z2 yx
=
(x2 + y2 + z2 ,
) 3/2
xz
(x2 + y2 + z2 ,
) 3/2
yz
(x2 + y2 + z2 ,
) 3/2
x2 + z2 (x2 + y2 + z2 ,
) 3/2
y2 + z2 (x2 + y2 + z2 ,
) 3/2
f ′′ x
z2 =
2 + z2 (x2 + y2 + z2 ) 3/2 , (x, y, z) ∈ R3 −{(0, 0, 0)}.
Exemplul 12.1.7. Să calculăm ∂3u ∂x∂y∂z dacă u = exyz , (x, y, z) ∈ R3 .
Avem
∂u
∂z = xyexyz ,
∂2u ∂y∂z = xexyz + xy · xze xyz =(x + x 2 yz)e xyz ,
∂ 3 u
∂x∂y∂z =(1+2xyz)exyz +(x + x 2 yz)yze xyz =
=(1+3xyz + x 2 y 2 z 2 )e xyz , oricare ar fi (x, y, z) ∈ R 3 .
12.2 Interpretări geometrice ¸si economice ale derivatelor
part¸iale
Semnificat¸ia geometrică a derivatelor part¸iale rezultă limpede dacă le interpretăm
cu ajutorul reprezentărilor geometrice. În figura 12.2.1. fie M(a, b, f(a, b)) un punct de
pe suprafat¸a z = f(x, y), (x, y) ∈ D ⊆ R 2 . Prin M pot fi duse două sect¸iuni verticale, una
perpendiculară peOy (y = b) ¸si cealaltă perpendiculară peOx (x = a).
241

Fig.12.2.1.
Prima este o curbă de pe suprafat¸ă, care trece prin M în direct¸ia lui Ox ¸si arată
variat¸ia lui z când x variază. În această sect¸iune valoarea lui y este b. Panta tangentei MTx
la sect¸iune în M este măsurată dederivataluiz ca funct¸ie de x, adicădederivatapart¸ială
∂z
∂f(a,b)
∂x (a, b) = ∂x .
La fel, valoarea ∂z(a,b) ∂f(a,b)
∂y = ∂y măsoară panta lui MTy, tangentaîn M(a, b) la sect¸iunea
verticală a suprafet¸ei perpendiculară peOx în x = a.
În concluzie, derivatele part¸iale ∂f
∂f
∂x (a, b) ¸si ∂y (a, b) măsoară pantele suprafet¸ei z = f(x, y)
în două direct¸iiperpendiculare duse în punctul M(a, b), una perpendiculară pe Oy, iar
cealaltă peOx.
Utilizând interpretarea geometrică a derivatelor part¸iale ale funct¸iei z = f(x, y) în
punctul M(a, b, f(a, b)) putem scrie ecuat¸ia planului tangent la suprafat¸a z = f(x, y) în punctul
M(a, b, f(a, b)). Acesta are forma
∂f(a, b)
b)
(x − a) +(y − b)∂f(a, = z − f(a, b).
∂x ∂y
Exemplul 12.2.1. Să scriem ecuat¸ia planului tangent la suprafat¸a z = xy +2x − 3y +1 în
punctul M(1, 1, 1).
Avem
z ′ x = y +2, z ′ x(1, 1) = 3,
z ′ y = x − 3, z ′ x(1, 1) = −2,
iar ecuat¸ia planului tangent este:
z(1, 1) = 1,
(x − 1)3 + (y − 1)(−2) = z − 1
242

adică
3x − 2y − z =0.
Din punct de vedere economic derivatele part¸iale au interpretări analoage cu cele de
la derivata funct¸iilor reale de o variabilă reală.
De exemplu, dacă cererea piet¸ei pentru o marfă X este o funct¸ie de toate pret¸urile
piet¸ei
x = f(p1,p2,...,pn), (p1,p2,...,pn) ∈ R n +,
atunci derivatele part¸iale ale acestei funct¸ii arată variat¸iile cereri când unul din pret¸uri
variază, celelalte rămânând constante.
Elasticitatea part¸ială a cererii pentru X în raport cu pret¸ul său px este
∂(ln x) ∂x
nk = − = −pk · ,
∂(ln pk) x ∂pk
care este o expresie independentă de unităt¸ile de măsură ale cererii sau pret¸ului. Ea dă
viteza descre¸sterii relative a cererii pentru o cre¸stere relativă a pret¸ului.
Raportul x/pk poate fi numit cerere medie, iar derivata part¸ială ∂x , cererea marginală
∂pk
dată de pret¸ul pk în combinat¸ia de pret¸uri (p1,p2,...,pn).
12.3 Derivarea funct¸iilor compuse
Fie z = f(u, v) o funct¸iededouăvariabile definită într-un domeniu D ⊂ R2 ,cuderivate
part¸iale continue pe D. Dacău = u(x) ¸si v = v(x), suntdouăfunct¸ii de variabilă x, definite
¸si derivabile în intervalul I ⊆ R,a tunci funct¸ia compusă z(x) =f(u(x),v(x)) este derivabilă
pe I ¸si avem formula
z ′ (x) = ∂f
∂u · u′ (x)+ ∂f
∂v · v′ (12.1)
(x).
Demonstrat¸ia formulei rezultă din egalitatea
z(x) − z(x0)
x − x0
= f(u(x),v(x)) − f(u(x0),v(x))
u(x) − u(x0)
+ f(u(x0),v(x)) − f(u(x0),v(x0))
v(x) − v(x0)
· v(x) − v(x0)
· u(x) − u(x0)
+
x − x0
x − x0
prin trecere la limită când x → x0, x0 fiind un punct arbitrar din I.
Derivatele de ordin superior ale acestor funct¸ii compuse se scriu t¸inând seama de
formula (12.1) ¸si de regulile de derivare.
Exemplul 12.3.1. Să calculăm z (n) (x) dacă
Avem
z = f(u, v), u = ax + b, v = cx + d, x ∈ R.
z ′ (x) = ∂f
∂u · u′ (x)+ ∂f
∂v v′ (x) =a ∂f
+ c∂f
∂u ∂v ,
z ′′ (x) =(z ′ (x)) ′
x = a ∂f
′
+ c∂f =
∂u ∂v x
′ ′
∂f ∂f ∂ ∂f
= a + c = a
u
∂u x ∂v x ∂u ∂u
′ (x)+ ∂
∂f
v
∂v ∂u
′
(x) +
∂ ∂f
+c
u
∂u ∂v
′ (x)+ ∂
∂f
v
∂v ∂v
′
(x) =
+a a ∂2f ∂u2 + ∂2f ∂u∂v c
+ c a ∂2f ∂u∂v + c∂2 f
∂v2
=
243

= a 2 ∂2f ∂u2 +2ac ∂2f ∂y∂v + c2 ∂2f .
∂v2 Simbolic acest rezultat se scrie sub forma
y ′′
(x) = a ∂
(2)
∂
+ c f(u, v),
∂u ∂v
cu semnificat¸ia că se ridică binomul la pătrat ¸si exponent¸ii puterilor pentru ∂
∂u
ca ordine de derivare pentru f(u, v) în raport cu u ¸si v.
Prin induct¸ie matematică searatăcă
z (n)
(x) = a ∂
(n)
∂
(12.2)
+ c f(u, v)
∂u ∂v
Pentru n =3avem
z (3) (x) =a 3 ∂3 f
∂u 3 +3a2 c ∂3 f
∂u 2 ∂v +3ac2 ∂3 f
∂u∂v2 + c3 ∂3f .
∂v3 ¸si ∂
∂v
se iau
Funct¸iile compuse considerate mai sus sunt funct¸ii compuse de o singură variabilă. Se
pot considera funct¸ii din mai multe variabile. Astfel putem forma funct¸ia compusă dedouă
variabile
z(x, y) =f(u(x, y),v(x, y)), (x, y) ∈ D ⊆ R 2 (12.3)
.
Presupunem că funct¸ia f(u, v) admite derivate part¸iale de ordinul întâi continue ¸si
funct¸iile u(x, y),v(x, y) au, de asemenea, derivate part¸iale de ordinul întâi.
Utilizând (12.1) în raport cu x ¸si y, din(12.3)găsim:
∂z
∂x = z′ x = ∂f ∂u ∂f ∂v
· + ·
∂u ∂x ∂v ∂x
∂z
∂y = z′ y = ∂f ∂u ∂f ∂v
· + ·
∂u ∂y ∂v ∂y .
Derivatele part¸iale de ordin superior ale acestor funct¸ii se calculează în mod analog,
t¸inându-se seama că ¸si derivatele part¸iale obt¸inute sunt funct¸ii compuse.
Aplicat¸ia 12.3.1. Funct¸ii omogene. Un polinom P de două sau mai multe variabile este
omogen de gradul k, k ∈ N, dacătot¸itermenii polinomului sunt de gradul k. Aceste polinoame
au proprietatea evidentă
P (tx1,tx2,...,txn) =t k P (x1,x2,...,xn)
pentru orice t real.
Extindem această definit¸ie pentru funct¸ii de mai multe variabile.
Definit¸ia 12.3.1 Funct¸ia f(x1,x2,...,xn) de n variabile, definită într-un domeniu D ⊆ R n ,
este omogenă de gradul k, k ∈ R, dacă esteîndeplinită condit¸ia
(12.4)
oricare ar fi t ∈ R.
De exemplu, funct¸ia
f(tx1,tx2,...,txn) =t k f(x1,x2,...,xn),
x 4 + x 2 y 2 + y 4
f(x, y) =
x4 + y4 , (x, y) ∈ R 2 −{(0, 0)}
este omogenă de gradul −2 deoarece
oricare ar fi t ∈ R −{0}.
f(tx, ty) = t2 x 4 + x 2 y 2 + y 4
t 4 (x 4 + y 4 )
244
= t −2 f(x, y),

Pentru funct¸iile omogene este valabil următorul rezultat:
Teorema 12.3.1 Pentru ca funct¸ia f(x1,x2,...,xn) să fie omogenă de gradul k este necesar
¸si suficient să avem identitatea
x1f ′ x1 (x1,x2,...,xn)+x2f ′ x2 (x1,...,xn)+...+
+xnf ′ xn (x1,...,xn) =kf(x1,x2,...,xn),
numită identitatea lui Euler.
Demonstrat¸ie. Necesitatea. Funct¸ia f fiind omogenă de gradul k satisface (12.4). Membrul
întâi al acestei relat¸ii este o funct¸ie compusă det. Derivând ambii membrii în raport cu t,
avem egalitatea
n
care este adevărată ¸si pentru t =1,adică
xif
i=1
′ txi (tx1,...,txn) =kt k−1 f(x1,...,xn)
n
xif ′ xi (x1,...,xn) =kf(x1,...,xn),
i=1
care este tocmai indetitatea lui Euler.
Suficient¸a. Considerăm funct¸ia auxiliară
F (t) = f(tx1,...,txn)
tk ,
¸si să presupunem că f satisface identitatea lui Euler.
t = 0
Avem
F ′ t
(t) =
k
n
xif
i=1
′ xi (tx1,...,txn) − kt k−1 f(tx1,...,txn)
t2k =
n
t xif
=
i=1
′ xi (tx1,...,txn) − kf(tx1,...,txn))
tk+1 =0
pentru orice t = 0.
Rezultă căF (t) este o funct¸ie constantă.
f(x1,...,xn). Atunci
Valoarea constantei este dată de F (1) =
F (t) = f(tx1,...,txn)
tk = f(x1,...,xn),
de unde
f(tx1,...,txn) =t k f(x1,...,xn),
adică funct¸ia f este omogenă de gradul k.
Aplicat¸ia 12.3.2. Formula lui Taylor. O altă aplicat¸ie a derivării funct¸iilor compuse este
extinderea formulei lui Taylor la funct¸iile de mai multe varaibile reale.
Teorema 12.3.2 (Taylor.) Fie funct¸ia f : D ⊂ R2 → R ¸si punctul interior M(a1,a2) ∈ D.
Dacă funct¸ia f are derivate part¸iale până laordinuln +1, n ∈ N, într-o vecinătate V (M) a
lui M, atunci există punctul P (ξ,η) ∈ V (M) a¸sa încât să aibălocformula n
1
f(x, y) = (x − a1)
k!
∂
(k)
∂
+(y − a2) f(a1,a2)+
∂x ∂y
k=0
1
+ (x − a1)
(n + 1)!
∂
(n+1)
∂
+(y − a2) f(ξ,η),
∂x ∂y
oricare ar fi (x, y) ∈ V (M), numităformula lui Taylor
245

Demonstrat¸ie. Considerăm funct¸ia compusă
F (t) =f(a1 + t(x − a1),a2 + t(y − a2)), (x, y) ∈ V (M)
¸si t ∈ [0, 1]. Pentru t =0avem F (0) = f(a1,a2), iarpentrut =1avem F (1) = f(x, y).
Funct¸ia de o singură variabilă F (t) este definită ¸si posedă derivatepevariabilăpână
la ordinul (n +1) continue în origine ¸si deci se poate dezvolta după formula lui Maclaurin
în jurul originii:
(12.5)
F (t) =F (0) + t
1! F ′ (0) + ...+ tn
n! F (n) (0) + tn+1
(n + 1)! F (n+1) (θt),
θ ∈ (0, 1). Pentru t =1obt¸inem:
F (1) = f(x, y) =F (0) + 1
1! F ′ (0) + ... + 1 (n)
F
n! (0) +
1 (n+1)
F
(n + 1)! (θ)
Utilizând formula (12.2) de la exemplul 12.3.1, obt¸inem
F k (t) =
k= 0, 1, ..., n+ 1; de unde
(x − a1) ∂
(k)
∂
+(y − a2) f(a1 + t(x − a1), a2 + t(y − a2))
∂x ∂y
F k (0) =
(x − a1) ∂
(k)
∂
+(y − a2) f(a1,a2),k = 0,n.
∂x ∂y
Acum din (12.5) rezultă formula lui Taylor, cu ξ = a1 + θ(x − a1),
η = a2 + θ(y − a2), θ ∈ (0, 1).
Pentru n= 0 formula lui Taylor conduce la formula cre¸sterilor finite sau
formula lui Lagrange pentru funct¸iile de două variabile:
f(x, y) =f(a1,a2)+(x − a1)f ′ x(ξ,η)+(y − a2)f ′ y(ξ,η),
cu ξ = a1 + θ(x − a1), η = a2 + θ(y − a2), θ ∈ (0, 1)
Observat¸ia 12.3.1 Formula lui Taylor pentru două variabile se poate generaliza pentru
funct¸iile cu m variabile, în condit¸ii analoage. Pentru funct¸ia z = f(x1,x2, ..., xm), definită
într-o vecinătate a unui punct M(a1,a2, ..., am) ¸si care are derivate part¸iale până la ordinul
(n+ 1), continue, este valabilă formula lui Taylor:
f(x1,x2, ..., xm) =
n
k=0
1
(x1 − a1)
k!
∂
+ ... +(xm − am)
∂x1
∂
k f(M)+
∂xm
1
+ (x1 − a1)
(n + 1)!
∂
+ ... +(xm − am)
∂x1
∂
(n+1)
f(ξ1,ξ2, ..., ξm)
∂xm
ξ1 = a1 + θ(x1 − a1), ξ2 = a2 + θ(x2 − a2), ξm = am + θ(xm − am),
θ ∈ (0, 1).
Aplicat¸ia 12.3.3. Derivata după o direct¸ie. Fie funct¸ia f : D ⊆ Rn → R, M(a1,a2, ..., an)
un punct interior din D ¸si vectorul l =(l1,l2, ..., ln) ∈ Rn , pentru care ||l|| 2 = n
l2 k =1.
k=1
Definit¸ia 12.3.2 Numim derivata funct¸iei f după direct¸ia l în punctul M, notată prin ∂f(M)
∂l ,
numărul real definit prin
∂f(M)
∂l
= lim
x→M
246
f(x) − f(M)
,
d(x, M)

unde X =(x1,x2, ..., xn) ∈ D iar d(X, M) este distant¸a dintre punctele X ¸si M.
Considerând l = ek =(0, ..., 1, 0, ..., 0), obt¸inem
∂f(M)
=
∂ek
∂f(M)
, k = 1,n
∂xk
adică derivatele part¸iale ale lui f în punctul M.
Teorema 12.3.3 Dacă funct¸ia f : D ⊆ R n → R are derivate part¸iale de ordinul întâi în raport
cu fiecare din argumentele xk, k = 1,n,în punctul M(a1,a2, ..., an) ∈ D, atunci derivata după
direct¸ia vectorului l =(l1, ..., ln), cu||l|| =1, este
∂f(M)
∂l
= ∂f(M)
∂x1
· l1 + ∂f(M)
∂x2
· l2 + ... + ∂f(M)
∂xn
Demonstrat¸ie. T¸inând seamă că X =(x1, ..., xn) ∈ D situat pe direct¸ia l se scrie sub forma
M(a1 + tl1, ..., an + tln), t ∈ [0, 1], avem
∂f(M)
∂l
· ln
f(a1 + tl1,an + tln) − f(a1, ..., an)
= lim
=
t→0
t
= ∂f(a1 + tl1, ..., an + tln)
|t=0
∂t
Folosind formula de derivare a funct¸iilor compuse, putem scrie
∂f(M)
∂l
= ∂f(M)
∂x1
= ∂f(M)
∂x1
ceea ce trebuia demonstrat.
· ∂(a1 + tl1)
∂t
+ ∂f(M)
∂xn
· l1 + ∂f(M)
∂x2
Exemplul 12.3.2. Să calculăm derivata ∂f
∂l
+ ∂f(M)
∂x2
· ∂(an + tln)
∂t
· ∂(a2 + tl2)
∂t
=
· l2 + ... + ∂f(M)
∂xn
· ln,
+ ...+
pentru funct¸ia f(x, y, z) =xyz+x+y+z+1, (x, y, z) ∈
R 3 , în punctul M(3, 2, 1), după direct¸ia l dată de dreapta MX, unde X(1, 3, 2).
Avem
MX =(1, 3, 2) − (3, 2, 1) = (−2, 1, 1),
||MX|| = √ 4+1+1= √ 6, l =
−2
√6 , 1 √ ,
6 1
√ ,
6
f ′ x(M) =3, f ′ y(M) =4, f ′ z(M) =7
¸si
∂f
∂l (M) =− 6 √ +
6 4 √ +
6 7 √ =
6 5 √
6
Aplicat¸ia 12.3.3. Fie F : D ⊆ R2 → R o funct¸ie de două variabile. O funct¸ie f : A → B cu
A × B ⊆ D astfel încât F (x, f(x)) = 0 pentru orice x ∈ A se nume¸ste funct¸ie definită implicit
sau pe scurt funct¸ie implicită.
Cu alte cuvinte, funct¸iile y= f(x) definite cu ajutorul ecuat¸iilor F(x, y)= 0 se numesc
funct¸ii implicite. O astfel de ecuat¸ie poate să aibăpeA una, mai multe solut¸ii sau nici
una. Se pune problema studierii proprietăt¸ilor (de continuitate, de derivabilitate, etc.) ale
funct¸iilor implicite direct de pe ecuat¸ia de definit¸ie, fără a face explicitarea lor. Teoremele
care stabilesc astfel de proprietăt¸i se numesc teoreme de existent¸ă
Teorema 12.3.4 Fie F o funct¸ie reală de două variabile definită peA × B, A ⊆ R, B ⊆ R ¸si
(a1,a2) un punct interior lui A × B (a1 punct interior lui A, a2 punct interior lui B). Dacă
247

i) F (a1,a2) =0
ii) F, F ′ x, F ′ y sunt continue pe o vecinătate U × V a lui (a1,a2),
U × V ⊂ A × B;
iii) F ′ y(a1,a2) = 0,atunci
1) există o vecinătate U0 ⊆ U a lui a1, o vecinătate V0 ⊆ V a lui a2 ¸si o funct¸ie unică
f : U0 → V0, y = f(x), astfelîncât f(a1) =a2 ¸si F (x, f(x)) = 0 pentru x ∈ U0;
2) funct¸ia f are derivata continuă peU0 dată de formula
f ′ (x) =− F ′ x(x, y)
F ′ y(x, y) ;
3) dacă F are derivate part¸iale de ordinul k continue pe U × V , atunci f are derivate de
ordinul k continuă peU0.
Nu prezentă demonstrat¸ia riguroasă a acestei teoreme de existent¸ă. Însă dăm modalitatea
practică deobt¸inere a derivatei f ′ . În acest scop , considerăm în ecuat¸ia F (x, y) =0pe
y = f(x) ¸si derivăm în raport cu x utilizând regula de derivare a funct¸iilor compuse. Avem
de unde
F ′ x + F ′ y · y ′ (x) =0,
y ′ (x) =f ′ (x) =− F ′ x
F ′ .
y
Pentru calculul derivatelor de ordin superior ale funct¸iei f se procedează în mod analog.
Exemplul 12.3.3. Ecuat¸ia x3 +3xy+y3 =1define¸ste pe y ca funct¸ie de x, pentru (x, y) ∈ D ⊂ R2 .
Să se calculeze y ′ ,y ′′ ,y ′ (1) ¸si y ′′ (1).
Derivăm în raport cu x în ecuat¸ia care define¸stepeycafunct¸iedex¸si avem
De aici, pentru x + y 2 =0,obt¸inem
(12.6)
Pentru a calcula pe y ′′ procedăm astfel:
x 2 + y + xy ′ + y 2 y ′ =0.
y ′ = − x2 + y
.
x + y2 y ′′ = − (2x + y′ )(x + y 2 ) − (x 2 + y)(1 + 2yy ′ )
(x + y 2 ) 2
= − x2 − y + xy ′ − 2x2yy ′ − y2y ′ +2xy2 (x + y2 ) 2
.
Acum, înlocuim cu y ′ cu expresia din (12.6) ¸si obt¸inem
(12.7)
Pentru x= 1 din ecuat¸ia dată avem
y ′′ = − 6x2y2 − 2xy +2xy4 +2x4y (x + y2 ) 2 .
1+3y(1) + (y(1)) 3 =1,
de unde y(1)= 0. Atunci, din (12.6) ¸si (12.7) obt¸inem y ′ (1) = −1 ¸si y ′′ (1) = 0
248
=

Observat¸ia 12.3.2 Se pot considera funct¸ii implicite z = f(x1,x2, ..., xn) de variabile definite
printr-o ecuat¸ie F (x1,x2, ..., xn,z)=0. Calculul derivatelor part¸iale ale lui z se obt¸in printrun
procedeu analog cu cel de la derivarea funct¸iilor implicite de o variabilă reală.
Exemplul 12.3.4. Să se calculeze derivatele part¸iale de ordinul întâi ale funct¸iei z(x, y)
definită implicit de ecuat¸ia
2x + y + xyz = e z
Derivăm în raport cu x ¸si y t¸inând seama că z este funct¸iedex¸si y. Avem
2+yz + xy ∂z
∂x = ez · ∂z
∂x ,
de unde
dacă e z − xy = 0.
1+xz + xy ∂z
∂y = ez · ∂z
∂y ,
∂z 2+yz
=
∂x ez ∂z 1+xz
, =
− xy ∂y ez − xy ,
Observat¸ia 12.3.3 Există situat¸ii practice sau teoretice în care intervin funct¸ii definite implicit
de sisteme de ecuat¸ii. Să considerăm cazul simplu a două ecuat¸ii cu patru variabile:
F1(x, y, u, v) =0,
F2(x, y, u, v) =0.
În anumite condit¸ii, acest sistem define¸ste implicit două funct¸ii u = f(x, y) ¸si v = g(x, y)
Pentru calculul derivatelor part¸iale de ordinul întâi ale funct¸iilor u ¸si v se derivează
ecuat¸iile sistemului în raport cu x ¸si y, t¸inând cont că u¸si v sunt funct¸ii de x ¸si y. Avem:
∂F1
∂x
∂F2
∂x
∂F1
∂y
∂F2
∂y
+ ∂F1
∂u
+ ∂F2
∂u
+ ∂F1
∂u
+ ∂F2
∂u
∂u ∂F1 ∂v
· + ·
∂x ∂v ∂x =0,
∂u ∂F2 ∂v
· + ·
∂x ∂v ∂x =0,
∂u ∂F1 ∂v
· + ·
∂y ∂v ∂y =0,
∂u ∂F2 ∂v
· + ·
∂y ∂v ∂y =0.
Se observă căprimele două ecuat¸iiformează un sistem liniar în necunoscutele ∂u
∂x
Ambele sisteme au ca determinant pe
D(F1,F2)
D(u, v) =
∂F1
∂u
∂F1
∂v
,
∂F2
∂u
∂F2
∂v
¸si ∂v
∂x .
numit determinantul funct¸ional sau iacobianul funct¸iilor F1,F2 în raport cu u, v. Dacă
D(F1,F2)
D(u, v)
= 0, atunci din sistemele de mai sus se află ∂u
∂x
, ∂v
∂x
∂u ∂v
, ,
∂y ∂y .
Exemplul 12.3.5. Sistemul x +2y + u2 + v2 =6, x2 + xy +2u3 − v3 =7define¸ste pe u ¸si v ca
funct¸ii de x ¸si y, cu u(2, 1)= 1 ¸si v(2, 1)= 1. Să calculăm derivatele part¸iale ∂u ∂v ∂u ∂v
, , ,
∂x ∂x ∂y ∂y
în punctul (2, 1).
Pentru a calcula ∂u ∂v
¸si derivăm ecuat¸iile sistemului în raport cu x, t¸inând seama că
∂x ∂x
u¸si v sunt funct¸ii de x. Avem
1+2u ∂u ∂v
+2v
∂x ∂x =0
249

2 ∂u ∂v
2x +6u − 3v2
∂x ∂x =0,
care este un sistem liniar în necunoscutele ∂u
∂x
2u 2v
6u 2 −3v 2
∂v ¸si ∂x , cu determinantul
= −6uv(v +2u).
Dacă (x, y) ∈ R2 a¸sa încât 6uv(v +2u) = 0, atunci
∂u
∂x =
1 2v
2x −3v2
3v +4x
= −
6uv(v +2u) 6u(v +2u) ,
∂v
∂x =
2u 1
6u2
2x 2x − 3u
=
6uv(v +2u) 3v(v +2u)
În mod analog, derivând ecuat¸iile sistemului în raport cu y, obt¸inem
2+2u ∂u ∂v
+2v
∂y ∂y =0
¸si dacă 6uv(v +2u) = 0,avem
∂u
∂y
2 ∂u ∂v
x +6u − 3v2
∂y ∂y =0
Dacă x=2,y=1,atuncisistemuldatiaforma
3v + x ∂v x − 6u
= , =
3u(v +2u) ∂y 3v(v +2u) .
u 2 (2, 1) + v 2 (2, 1) = 2
2u 3 u(2, 1) − v 3 (2, 1) = 1
care are solut¸ia u(2, 1)= 1 ¸si v(2, 1)= 1.
Acum, utilizând expresiile derivatelor part¸iale ale funct¸iilor u ¸si v, găsim
∂u
∂x
∂u
∂y
(2, 1) = −11
18
(2, 1) = −5
9
∂v 1
, (2, 1) =
∂x 9 ,
∂v
, (2, 1) = −4
∂y 9 .
12.4 Diferent¸iala funct¸iilor de mai multe variabile
Fie f : D ⊆ R 2 → R o funct¸ie de două variabile ¸si M(a1,a2) un punct interior lui D.
Teorema 12.4.1 Dacă funct¸ia f admite derivate part¸ialedeordinulîntâi într-o vecinătate
V(M) a punctului M ¸si dacă aceste derivate part¸iale sunt continue în M, atunci există două
funct¸ii α1,α2 : V (M) → R, continue în M ¸si având proprietatea
astfel încât
(12.8)
lim α1(x, y) = lim α2(x, y) =0
x→a1, y→a2
x→a1, y→a2
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(a1,a2)(x − a1)+f ′ y(a1,a2)(y − a2)+
+α1(x, y)(x − a1)+α2(x, y)(y − a2).
250

Demonstrat¸ie. Avem
f(x, y) − f(a1,a2) =[f(x, y) − f(a1,y)] + [f(a1,y) − f(a1,a2)] .
Aplicăm fiecărei paranteze drepte formula cre¸sterilor finite ¸si avem:
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(ξ,y)(x − a1)+f ′ y(a1,η)(y − a2),
unde ξ este cuprins între a1 ¸si x, iarη este cuprins între a2 ¸si y. Acum putem scrie
În continuare, notăm:
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(a1,a2)(x − a1)+f ′ y(a1,a2)(y − a1)+
+[f ′ x(ξ,y) − f ′ x(a1,a2)] (x − a1)+ f ′ y(a1,a2) − f ′ y(a1,a2) (y − a2)
α1(x, y) =f ′ x(ξ,y) − f ′ x(a1,a2)
α2(x, y) =f ′ y(a1,η) − f ′ y(a1,a2).
Cum din (x, y) → (a1,a2) rezultă (ξ,y) → (a1,a2) ¸si (a1,η) → (a1,a2) ¸si deoarece f ′ x ¸si f ′ y sunt
continue în M(a1,a2) avem
¸si
În final obt¸inem
lim
(x,y)→(a1,a2) α1(x, y) = lim
(x,y)→(a1,a2) [f ′ x(ξ,η) − f ′ x(a1,a2)] = 0
lim
(x,y)→(a1,a2) α2(x, y) = lim
(x,y)→(a1,a2) [f ′ y(a1,η) − f ′ y(a1,a2)] = 0
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(a1,a2)(x − a1)+f ′ y(a1,a2)(y − a2)+
unde funct¸iile α1 ¸si α2 sunt continue în M ¸si
+α1(x, y)(x − a1)+α2(x, y)(y − a2),
lim
(x,y)→(a1,a2) α1(x, y) = lim
(x,y)→(a1,a2) α2(x, y) =0.
Teorema este demonstrată.
Pentru (x, y) suficient de aproape de (a1,a2) din (12.1) avem
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(a1,a2)(x − a1)+f ′ y(a1,a2)(y − a2),
iar dacă notăm x − a1 = h ¸si y − a1 = k, atunci obt¸inem
Definit¸ia 12.4.1 Funct¸ia liniară g : R 2 → R,
f(x, y) − f(a1,a2) =f ′ x(a1,a2)h + f ′ y(a1,a2)k.
g(h, k) =f ′ x(a1,a2)h + f ′ y(a1,a2)k
se nume¸ste diferent¸iala funct¸iei în punctul M(a1,a2).
Notăm g prin df (a1,a2). Dacăconsiderăm f(x, y) =x ¸si f(x, y) =y, (x, y) ∈ R 2 găsim h = dx ¸si
k = dy. Acum diferent¸iala lui f în (a1,b1) ia forma
df (a1,a2) =f ′ x(a1,a2)dx + f ′ y(a1,a2)dy.
Diferent¸iala funct¸iei f într-un punct arbitrar (x, y) ∈ D se scrie
df (x, y) =f ′ x(x, y)dx + f ′ y(x, y)dy =
251

= ∂f ∂f
dx +
∂x ∂y dy.
În unele situat¸ii este avantajos să folosim scrierea
∂ ∂
df = dx +
∂x ∂y dy
f,
unde produsul din dreapta este un produs între operatorul
d = ∂ ∂
dx +
∂x ∂y dy,
numit operator de diferent¸iere ¸si funct¸ia f.
Exemplul 12.4.1.Fie f(x, y) =y 2 xe 3x+y , (x, y) ∈ R 2 . Avem
df = ∂f ∂f
dx +
∂x ∂y dy = y2 (1 + 3x)e 3x+y dx + xy(2 + y)e 3x+y dy
Observat¸ia 12.4.1 Pentru o funct¸ie de n variabile f(x1,x2, ..., xn) diferent¸iala se define¸ste
prin
df = ∂f
dx1 +
∂x1
∂f
dx2 + ... +
∂x2
∂f
dxn
∂xn
iar operatorul de diferent¸iere este
d = ∂
dx1 +
∂x1
∂
dx2 + ... +
∂x2
∂
dxn.
∂xn
Uneori df se nume¸ste diferent¸iala totală a funct¸iei f, iar ∂f
∂xi dxi,i = 1,n, se numesc
diferent¸ialele part¸iale.
Se observă imediat că operatorul de diferent¸iere este liniar
Observat¸ia 12.4.2 Metoda directă deadiferent¸iaofunct¸ieeste de a folosi formula fundamentală
n ∂f
df = · dxk.
∂xk k=1
Uneori este mai convenabil să se folosească regulile de diferent¸iere, care sunt analoage cu
regulile de derivare.
Exemplul 12.4.2. Să calculăm diferent¸iala funct¸iei u = x 2 + y 2 + z 2 , (x, y, z) ∈ R 3
Avem
=
du = d(x2 + y2 + z2 )
2 x2 + y2 + z2 = d(x2 )+d(y2 )+d(z2 )
2 x2 + y2 + z2 =
x
dx +
x2 + y2 + z2 y
dy +
x2 + y2 + z2 z
x 2 + y 2 + z 2 dz,
(x, y, z) ∈ R 3 −{(0, 0, 0)}.
În aplicat¸ii sunt utile proprietăt¸ile diferent¸ialei date în următoarele două teoreme.
Teorema 12.4.2 Condit¸ia necesară ¸si suficientă ca diferent¸iala unei funct¸ii f : D ⊆ R 2 →
R, z = f(x, y), să fie identic nulă peDestecafsă fie constantă peD.
Demonstrat¸ie. Dacă f(x, y) =k, k constantă, pentru orice (x, y) ∈ D, atunci alegând pe rând
=0,decidf =0pe domeniul D. Reciproc, dacă
x constant ¸si y constant, obt¸inem ∂f
∂x
df = ∂f
∂x
dx + ∂f
∂y
obt¸inem ∂f
∂x
=0, ∂f
∂y
dy =0,pentruorice(x, y) ∈ D, atuncialegând pe rând x constant ¸si constant,
=0¸si ∂f
∂y =0.
252

Teorema 12.4.3 Dacă o expresie diferent¸ială E = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, cufunct¸iile P ¸si Q
continue pe domeniul D ⊆ R2 , este diferent¸iala unei funct¸ii f : D → R, pentru orice (x, y) ∈ D,
, pentru orice (x, y) ∈ D
atunci P = ∂f
∂x
¸si Q = ∂f
∂y
Demonstrat¸ie: Pentru orice (x, y) ∈ D avem df = ∂f
∂x
∂f
∂f
− P dx + − Q dy =0,
∂x ∂y
∂f
dx + ∂ydy = Pdx+ Qdy, de unde
pentru orice ((x, y) ∈ D.
De aici, utilizând Teorema 12.4.2., obt¸inem ∂f
∂f
∂x = P ¸si ∂y = Q, oricare ar fi (x, y) ∈ D.
Observat¸ia 12.4.3 Proprietăt¸ile diferent¸ialei din Teoremele 12.4.2. ¸si 12.4.3. se ment¸in ¸si
pentru funct¸iile de n variabile, n ≥ 3.
Ca ¸si la funct¸iile de o variabilă se pot introduce diferent¸ialele de ordin superior.
Definit¸ia 12.4.2 Numim diferent¸ială de ordinul doi auneifunct¸ii de mai multe variabile,
diferent¸iala diferent¸ialei de ordinul întâi.
În general, diferent¸iala de ordinul n, n ∈ N ∗ , este diferent¸iala diferent¸ialei de ordinul (n-
1).
Dacă f : D ⊆ R2 → R este o funct¸ie derivabilă part¸ial de două ori pe D, cu toate derivatele
part¸iale de ordinul doi continue, atunci avem
d 2
∂f ∂f
f = d(df )=d dx +
∂x ∂y dy
=
∂f
= d dx +
∂x
∂f
∂x d(dx)+d
∂f
dy + d(dy)
∂y
Cum d(dx) =0¸si d(dy) =0, putem scrie
d 2
∂ ∂f
f =
dx +
∂x ∂x
∂
∂f
dy dx+
∂y ∂x
∂ ∂f
+
dx +
∂x ∂y
∂
∂f
dy dy =
∂y ∂y
Operatorul
= ∂2 f
∂x 2 dx2 +2 ∂2 f
∂x∂y dxdy + ∂2 f
∂y 2 dy2 .
d 2 = ∂2
∂x 2 dx2 +2 ∂2
=
∂x2 ∂2
dxdy +
y ∂y2 dy2 =
∂ ∂
dx +
∂x ∂y dy
(2)
se nume¸ste operatorul de diferent¸iere de ordinul doi. Cu ajutorul acestui operator avem
d 2 f =
Prin induct¸ie matematică searatăcă
d n f = d(d n−1 f)=
∂ ∂
dx +
∂x ∂y dy
(2)
f.
∂ ∂
dx +
∂x ∂y dy
(n)
f(x, y).
253

Pentru o funct¸ie de n variabile, diferent¸iala de ordinul m are forma
d m
∂
f = dx1 +
∂x1
∂
dx2 + ... +
∂x2
∂
(m)
dxn f(x1,x2, ..., xn)
∂xn
În caz particular, pentru m= 2 avem:
d 2
∂
f = dx1 +
∂x1
∂
dx2 + ... +
∂x2
∂
(2)
dxn f(x1, ..., xn) =
∂xn
= ∂2f ∂x2 dx
1
2 1 + ∂2f ∂x2 dx
2
2 2 + ... + ∂2f ∂x2 dx
n
2 n+
+2 ∂2f dx1dx2 +2
∂x1∂x2
∂2f dx1dx3 + ... +2
∂x1∂x3
∂2f dx1dxn+
∂x1∂xn
+2 ∂2f dx2dxn + ... +2
∂x2∂xn
dxn−1dxn.
∂xn−1∂xn
Se observă căd2f pentru o funct¸ie de n variabile este o formă pătratică în variabilele
dx1,dx2, ..., dxn, care are matricea
H =(hij) i,j=1,n ,
unde hij = ∂2f , i,j = 1,n,numitămatricea hessiană sau matricea lui Hess.
∂xi∂xj
Observat¸ia 12.4.4 În cazul funct¸iilor compuse de mai multe variabile formula diferent¸ialei
de ordinul întâi se păstrează, spunându-se că ”diferent¸iala de ordinul întâi este invariantă
fat¸ă de operat¸ia de compunere a funct¸iilor”. Formula pentru diferent¸ialele de ordin superior
nu se mai păstrează pentru funct¸iile compuse de mai multe variabile, adăugându-se cât¸iva
termeni suplimentari.
12.5 Extremele funct¸iilor de mai multe variabile
Aflarea extremelor funct¸iilor de mai multe variabile este una din cele mai importante probleme
de matematică deoarece multe chestiuni practice (¸stiint¸ifice, tehnice, economice etc.)
conduc la optimizarea unor modele descrise prin funct¸ii de mai multe variabile.
Fie f : D ⊆ R 2 → R, z = f(x, y) o funct¸ie de două variabile.
Definit¸ia 12.5.1 Un punct M(a1,a2), (a1,a2) ∈ D, senume¸ste punct de minim local (relativ)
respectiv maxim local (relativ) al lui f dacă există o vecinătate V(M) a lui M a¸sa încât
pentru orice (x, y) ∈ V (M) ∩ D să avem f(x, y) ≥ f(a1,a2) respectiv f(x, y) ≤ f(a1,a2).
Cel mai mare dintre toate maximele locale se nume¸ste maxim absolut, iar cel mai mic
dintre toate minimele locale, minim absolut. Maximele ¸si minimele unei funct¸ii se numesc
extremele funct¸iei.
Teorema 12.5.1 Fie (a1,a2) ∈ D, D ⊆ R 2 , punct de extrem local pentru funct¸ia f : D → R.
Dacă există derivatele part¸iale f ′ x ¸si f ′ y,atuncif ′ x(a1,a2) =0¸si f ′ y(a1,a2) =0.
Demonstrat¸ie. Pentru y = a2, funct¸ia f(x, a2)are în punctul x = a1, un punct de extrem ¸si
este derivabilă în acest punct deci, conform teoremei lui Fermat avem f ′ x(a1,a2) =0.
În mod analog, pentru x = a1, funct¸ia f(a1,y) are în punctul y = a2 un punct de extrem
¸si deci f ′ y(a1,a2) =0.
Reciproca teoremei nu are loc, adică dacă f ′ x(a1,a2) =0,f ′ y(a1,a2) =0nu rezultă că (a1,a2)
este punct de extrem. Punctele (a1,a2) pentru care f ′ x(a1,a2) =0, f ′ y(a1,a2) =0se numesc
puncte stat¸ionare. A¸sadar, punctele de extrem ale funct¸iei f se găsesc printre solut¸iile
sistemului f ′ x =0, f ′ y =0, însă nu toate solut¸iile acestui sistem sunt puncte de extrem.
254
∂ 2 f

Observat¸ia 12.5.1 Într-un punct de extrem avem f ′ x(a1,a2) =0,f ′ y(a1,a2) =0,decidf (a1,a2) =
0.
Ne interesează o condit¸ie suficientă caunpunctstat¸ionar să fie punct de extrem.
Teorema 12.5.2 Fie punctul (a1,a2) interior domeniului D ⊆ R2 ,punctstat¸ionar al funct¸iei
f : D → R. Presupunem că funct¸iafare derivate part¸iale de ordinul doi continue într-o
vecinătate V (a1,a2) a punctului (a1,a2). Se consideră matricea Hess
H =
2
∂ f
∂x2 ∂ 2 f
∂x∂y
∂ 2 f
∂x∂y
∂ 2 f
∂y2 cu minorii principali
△1 = ∂2f(a1,a2) ∂x2 , △2 = det H(a1,a2)
Cu aceste notat¸ii au loc afirmat¸iile:
i) dacă △1 > 0 ¸si △2 > 0, atunci punctul (a1,a2) este punct de minim local pentru f;
ii) dacă △1 < 0 ¸si △2 > 0, atunci punctul (a1,a2) este punct de maxim local pentru f;
iii) dacă △2 < 0, atuncipunctul(a1,a2) nu este punct de extrem.
Demonstrat¸ie. Natura punctului stat¸ionar (a1,a2) este dată
de semnul diferent¸ei f(x, y) − f(a1,a2). T¸inând seama că
f ′ x(a1,a2) = 0, f ′ y(a1,a2) = 0, din formula lui Taylor pentru n= 2 (Teorema 12.3.2)
avem f(x, y) =f(a1,a2)+
+ 1
(x − a1)
2!
∂
(2)
∂
+(y − a2) f(a1,a2)+R2(f,x,y)
∂x ∂y
pentru (x, y) ∈ D ∩ V ((a1,a2)). Dacă (x, y) este suficient de aproape de punctul (a1,a2), atunci
semnul diferent¸ei f(x, y)−f(a1,a2) nu este influent¸at de restul R2(f,x,y) al formulei. A¸sadar,
avem
f(x, y) − f(a1,a2) = 1
2
+2(x − a1)(y − a2) ∂2 f(a1,a2)
∂x∂y
(x − a1) 2 ∂2f (a1,a2)+
∂x2 +(y − a2) 2 ∂2 f(a1,a2)
∂y 2
care este o formă pătratică în variabilele x − a1 ¸si y − a2, având matricea chiar hessiana.
Conform rezultatelor cunoscute de la formele pătratice, avem că:
i) dacă △1 > 0 ¸si △2 > 0, atunci forma pătratică este pozitiv definită, adică diferent¸a
f(x, y) − f(a1,a2) > 0 pentru (x, y) = (a1,a2), deci f(x, y) > f(a1,a2) ¸si, prin urmare,
punctul (a1,a2) este punct de minim;
ii) dacă △1 < 0 ¸si △2 > 0, atunci forma pătratică este negativ definită, adică diferent¸a
f(x, y) − f(a1,a2) < 0 pentru (x, y) = (a1,a2), deci f(x, y) < f(a1,a2) ¸si, prin urmare,
punctul (a1,a2) este punct de maxim local;
iii) dacă △2 < 0, atunci forma pătratică este nedefinită, deci (a1,a2) nu este punct de
extrem local
Exemplul 12.5.1. Să determinăm punctele de extrem local pentru funct¸ia
f(x, y) =x 5 + y 5 − 5xy, (x, y) ∈ R 2 .
Mai întâi determinăm punctele stat¸ionare. Pentru aceasta calculăm derivatele part¸iale de
ordinul întâi:
∂f
∂x =5x4− 5y, ∂f
∂y =5y4 − 5x.
255
,

Egalându-le cu zero, avem sistemul
x 4 = y, y 4 = x,
care are solut¸ile (0, 0) ¸si (1, 1). Acestea sunt punctele stat¸ionare ale funct¸iei f. Printre
acestea se vor afla punctele de extrem ale funct¸iei f. Calculăm derivatele part¸iale de ordinul
doi ale lui f:
∂2f ∂x2 =20x3 , ∂2f ∂x∂y = −5, ∂2f ∂y2 =20y3 .
Prin urmare, matricea hessiană este
Pentru punctul stat¸ionar (0, 0) se obt¸ine
0 −5
H (0,0) =
−5 0
20x 3 −5
−5 20y 3
deci punctul (0, 0) nu este punct de extrem local.
Pentru punctul stat¸ionar (1, 1) se obt¸ine
20 −5
−5 20
.
, △1 =0, △2 = −25 < 0
, △1 =20> 0, △2 = 375 > 0,
deci (1, 1) este punct de minim local ¸si avem fmin = f(1, 1) = −3.
Observat¸ia 12.5.2 În cazul unei funct¸ii f : D ⊆ R n → R,
z = f(x1,x2, ..., xn), n ≥ 3, se procedează în mod analog.
Punctele ei stat¸ionare se află printre solut¸iile sistemului
f ′ x1 =0, f′ x2 =0, ..., f ′ xn =0
Dacă A(a1,a2, ..., an) este un punct stat¸ionar al funct¸iei f, atunci pentru precizarea naturii
lui se consideră matricea Hess
H =(hij)i,j = 1,n,
unde hij = f ′′
xixj (A), i,j = 1,n. Notăm minorii ei principali cu △k, adică
△k =
h11 h12 ... h1k
h21 h22 ... h2k
... ... ... ...
hk1 hk2 ... hkk
, k = 1,n
Cu aceste notat¸ii, conform cu cele cunoscute de la formele pătratice avem:
i) dacă △k > 0, k = 1,n, atunci punctul A este punct de minim local pentru funct¸ia f,
(condit¸ie echivalentă cud 2 f(A) > 0 );
ii) dacă △1 < 0, △2 > 0, △3 < 0, ..., (−1) n △n > 0, atunci punctul A este punct de maxim local
pentru funct¸ia f (condit¸ie echivalentă cud 2 f(A) < 0);
iii) dacă △2 < 0, atunci punctul A nu este punct de extrem local (condit¸ie echivalentă cu
d 2 f(A) nu este definită).
Exemplul 12.5.2. O firmă produce trei sortimente de produse, în cantităt¸ile x, y, ¸si z.
Dacă funct¸ia profitului este dată de
f(x, y, z) = 170x + 110y + 120z − 3x 2 − 2y 2 − 3
2 z2 − 2xy − xz − yz − 50,
256

x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,
atunci să se determine volumele celor trei produse astfel încât profitul să fie maxim.
Mai întâi aflăm punctele stat¸ionare ale lui f, prin rezolvarea sistemului de ecuat¸ii
⎧
⎨
⎩
f ′ x(x, y, z) = 170 − 6x − 2y − z =0
f ′ y(x, y, z) = 110 − 4y − 2x − z =0
f ′ z(x, y, z) = 120 − 3z − x − y =0
Solut¸ia acestui sistem este x= 20, y= 10 ¸si z= 30. A¸sadar, funct¸ia f are un singur punct
stat¸ionar A(20, 10, 30).
Pentru a stabili natura punctului A calculăm derivatele part¸iale de ordinul doi ale lui f.
f ′′
x
y
2 = −6, f′′ 2 = −4, f′′ 2 = −3
f ′′
xy = f ′′
yz = −2, f ′′
xz = f ′′
zx = −1, f ′′
yz = f ′′
zy = −1
¸si scriem hessiana
⎛
−6
H = ⎝ −2
−2
−4
−1
−1
−1 −1 −3
Minorii principali ai lui H în punctul A au valorile
△1 = −6 < 0, △2 =
z
−6 −2
−2 −4
⎞
⎠ .
=20> 0
△3 = det H = −54 < 0.
Rezultă că punctul A este un punct de maxim. Valoarea maximă a profitului este fmax =
f(20, 10, 30) = 4000.
12.6 Extreme condit¸ionate
Multe probleme practice conduc la aflarea punctelor de extrem supuse unor condit¸ii
(legături).
Fie f : D ⊆ R 2 → R, z = f(x, y) o funct¸iededouă variabile ¸si fie F (x, y) =0o ecuat¸ie, unde
F : D → R. Notăm cu A mult¸imea solut¸ilor ecuat¸iei F (x, y) =0.
Definit¸ia 12.6.1 Un punct (a1,a2) ∈ A este punct de extrem condit¸ionat (cu legături) al
funct¸iei f dacă există ovecinătate V a punctului (a1,a2) astfel încât pentru orice (x, y) ∈ A
se verifică una din inegalităt¸ile:
f(x, y) ≤ f(a1,a2), pentru maxim local condit¸ionat;
f(x, y) ≥ f(a1,a2), pentru minim local condit¸ionat.
Geometric, problema punctelor de extrem condit¸ionate cere să determinăm punctele curbei
dată deecuat¸ia F(x, y)= 0, în care ia valori extreme, în comparat¸ie cu celelalte valori ale
sale în punctele de pe această curbă.
Acum să presupunem că funct¸ia F îndepline¸ste condit¸iile necesare
existent¸ei unei funct¸ii implicite. Fie y = ϕ(x) funct¸ia implicită
definită de F (x, y) = 0. Atunci problema găsiri punctelor de extrem
condit¸ionate ale funct¸iei f revine la aflarea punctelor de extrem ale funct¸iei
z(x) =f(x, ϕ(x)), pe un anumit interval precizat.
Punctele stat¸ionare, printre care se găsesc ¸si posibile puncte de extrem condit¸ionate sunt
solut¸iile reale ale ecuat¸iei
(12.9)
z ′ (x) =f ′ x + f ′ yy ′ =0,
257

unde y ′ este derivata funct¸iei implicite definită de ecuat¸ia F (x, y) =0
(12.10)
F ′ x + F ′ yy ′ =0
Solut¸iile sistemului dat de ecuat¸iile (12.9) ¸si (12.10) găsim
f ′ x
f ′ y
= F ′ x
F ′ y
În concluzie, punctele stat¸ionare ale funct¸iei f sunt punctele ale căror coordonate verifică
ecuaiile
f ′ x
F ′ x
= f ′ y
F ′ ; F (x, y) =0.
y
Pentru rezolvarea acestui sistem notăm cu −λ valoarea celor două rapoarte ¸si obt¸inem
sistemul: ⎧
⎨
(12.11)
⎩
f ′ x + λF ′ x =0
f ′ y + λF ′ y =0
F (x, y) =0
La sistemul (12.11) putem ajunge ¸si pe cale formală. Considerăm funct¸ie auxiliară
L(x, y) =f(x, y)+λF (x, y),
numită funct¸ia lui Lagrange, unde λ este un parametru auxiliar, numit multiplicatorul lui
Lagrange. Căutăm punctele stat¸ionare ale funct¸iei L(x, y) cu legătura F (x, y) =0,obt¸inând
sistemul ⎧
⎨
⎩
L ′ x = f ′ x + λF ′ x =0
L ′ y = f ′ y + λF ′ y =0
F (x, y) =0 ,
adică tocmai sistemul (12.6.3).
Din cele de mai sus deducem că dacă (a1,a2,λ1) este un punct stat¸ionar condit¸ionat al
funct¸iei auxiliare L, atunci (a1,a2) este punct stat¸ionar condit¸ionat al funct¸iei date f.
Pentru precizarea naturii punctelor de extrem condit¸ionat se cercetează semnul
diferent¸ei f(x, y) − f(a1,a2) în vecinătatea punctului (a1,a2), t¸inând seama de legătura dată.
Aceasta revine la studierea semnului diferent¸ialei a doua a funct¸iei lui Lagrange, d 2 L(x, y),
t¸inând cont de dF= 0.
Această metodă de aflare a punctelor de extrem condit¸ionate se nume¸ste metoda multiplicatorilor
lui Lagrange.
Exemplul 12.6.1. Să seînscrie într-un cerc un dreptunghi de arie maximă.
Fie cercul de rază a,a>0, cu centrul în origine (fig. 12.6.1)
258
.

Fig.12.6.1.
x 2 + y 2 = a 2 .
Notând cu x, y coordonatele unui vârf al dreptunghiului, t¸inând seama de simetria figurii,
aria dreptunghiului înscris este z =4xy
Problema propusă seformulează astfel: să se afle extremele funct¸iei z =4xy, x > 0, y>0,
cu condit¸ia x 2 + y 2 = a 2 .
Utilizăm metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Considerăm funct¸ia auxiliară
¸si formăm sistemul ⎧
⎨
⎩
L(x, y) =4xy + λ(x 2 + y 2 − a 2 )
L ′ x =4y +2λx =0
L ′ y =4x +2λy =0
x 2 + y 2 = a 2
Sistemul are solut¸ia
λ = −2, x = y = a√2 2
Pentru a preciza natura punctului stat¸ionar condit¸ionat
diferent¸ialei a doua a funct¸iei auxiliare.
Avem
d 2 L = L ′′
x 2dx2 +2L ′′
xydxdy + L ′′
y 2dy2 =
=2λdx 2 +8dxdy +2λdy 2
¸si
d 2
a
L
√ 2
2 , a√
2
= −4(dx
2
2 − 2dxdy + dy 2 )
Diferent¸iind relat¸ia de legătură avem
2xdx +2ydy =0,
259
√
a 2
2 , a√
2
2
cercetăm semnul

de unde dy = − x
y dx. Pentru x = y = a√2 2 găsim dy= -dx. Atunci, înlocuind în d2L,găsim d 2
a
L
√ 2
2 , a√
2
= −8dx
2
2 < 0,
√
a 2
2 , a√
2
2 este un maxim condit¸ionat.
Am găsit că dreptunghiul de arie maximă înscris în cercul
ceea ce ne arată că punctul
x 2 + y 2 = a 2 este pătratul de latură 2x = a √ 2 ¸si arie zmax =2a 2 .
Să considerăm acum cazul general al aflări extremelor funct¸iei
cu m,m

Forma pătratică d 2 L(A) astfel obt¸inută se aduce la forma canonică. Dacă d 2 L(A) > 0,
atunci punctul A este punct de minim local condit¸ionat pentru funct¸ia f, iar dacă d 2 L(A) < 0,
atunci A este punct de maxim local condit¸ionat pentru funct¸ia f.
Exemplul 12.6.2.Să se afle punctele de extrem legate pentru funct¸ia
cu legăturile
f(x, y, z) =xyz, (x, y, z) ∈ R 3
x + y − z =3, x− y − z =8.
Metoda directă Din sistemul y − z =3− x
y + z = x − 8
găsim y = − 5
2
2x−11
¸si z = 2 .
Înlocuind în f găsim funct¸ia
h(x) =x(− 5 − 11
)2x
2 2
= −10x2 +55x
, x ∈ R
4
Aflăm punctele de extrem local pentru funct¸ia h. Din h ′ (x) =0, obt¸inem x = 11
4
. Cum
h ′′ = − 5
11
2 < 0, deducem că x = 4 este punct de maxim pentru h.
Atunci punctul x = 11
5
11
4 , y = − 2 , z = − 4 este punct de maxim condit¸ionat pentru f, cu
fmin = 605
32
Metoda multiplicatorilor lui Lagrange.
Considerăm funct¸ia Lagrange auxiliară
L(x, y, z) =xyz + λ1(x + y − z − 3) + λ2(x − y − z − 8)
Determinăm punctele stat¸ionare ale lui L din ecuat¸iile
⎧
⎨
⎩
∂L
∂x = yz + λ1 + λ2 =0
∂L
∂y = xz + λ1 − λ2 =0
∂L
∂z = xy − λ1 − λ2 =0
lacareseadaugălegăturile
x + y − z =3
x − y − z =8
Solut¸ia acestui sistem este:
x = 11
, y = −5 , z = −11
4 2 4 , λ1 = 11
32 , λ2 = − 231
32 .
Punctul stat¸ionar condit¸ionat pentru f este A
11 5 11
4 , − 2 , − 4 .
Pentru a decide natura lui A calculăm d2L. Avem
d 2 L = ∂2 L
∂x 2 dx2 + ∂2 L
∂y2 dy2 + ∂2L +
∂z2 +2 ∂2L ∂x∂y dxdy +2 ∂2L ∂x∂z dxdz +2 ∂2L dydz =
∂y∂z
=2zdxdy +2ydxdz +2xdydz;
care în punctul A este:
d 2 L(A) =− 11
11
dxdy − 5dxdz +
2 2 dydz.
Prin diferent¸ierea celor două legături rezultă relat¸iile:
dx + dy − dz =0
261

dx − dy − dz =0,
de unde găsim dz = dx, dy =0, care substituite în d2L = −5dx2 < 0. Rezultăcăpunctul A
este punct de maxim condit¸ionat pentru funct¸ia f. Se observă căamobt¸inutacela¸si rezultat
ca ¸si la metoda directă.
Exemplul 12.6.3.Să considerăm funct¸ia de product¸ie dată prin
f(x, y) =x 0,2 y 0,7 ,
x reprezentând capitalul, iar y fort¸a de muncă. Ne propunem să determinăm product¸ia
maximă cu restrict¸ia 2x +5y = 360
Utilizăm metoda multiplicatorilor lui Lagrange
Funct¸ia auxiliară a lui Lagrange este
L(x, y) =x 0,2 y 0,7 + λ(2x +5y − 360).
Pentru determinarea punctelor stat¸ionare condit¸ionate avem sistemul:
⎧
⎨
⎩
L ′ x =0, 2 · x −0,8 · y 0,7 +2λ =0
L ′ y =0, 7 · x 0,2 · y −0,3 +5λ =0
2x +5y = 360
Dacă se exprimă λ din fiecare din primele două expresii, atunci se obt¸ine că y = 7
5x. Acum
din ecuat¸ia de legătură seobt¸ine x =40, y =56. Pentru λ găsim valoarea − 1
1040−0,8 · 500,7 .
Diferent¸iala de ordinul doi al funct¸ieiLesteD2L =
= −0, 16 · x −1,8 y 0,7 dx 2 +2· 0, 14x −0,8 y −0,3 dxdy − 0, 21x 0,2 y −1,3 dy 2
Prin diferent¸ierea relat¸iei de legătură avem2dx +5dy =0, de unde dy = − 2
5dx. Înlocuind pe
x =40, y =56¸si dy = − 2
5dx în d2L,obt¸inem d 2 L(40, 56) = −(40 −1,8 56 0,7 +0, 28 · 40 −0,8 56 −0,3 +
+0, 21 · 40 0,2 · 56 −1,3 )dx 2 < 0
ceea ce ne arată căpunctul x =40, y=56 este un punct de maxim local condit¸ionat. Valoarea
maximă pentru f este
fmax = f(40, 56) = 40 0,2 · 56 0,7
.
12.7 Ajustarea unor date
Adesea în urma unor experimente obt¸inem pentru două marimi x ¸si y următorul tabel de
valori
x x1 x2 ... xn
y y1 y2 ... yn
Încercăm să exprimăm legătura dintre variabilele x ¸si y printr-o funct¸ie continuă y =
f(x, a1, ..., am), unde a1,a2, ..., am sunt parametrii care urmează să fie determinat¸i a¸sa încât
f(xi,a1, ..., am) să aproximeze cât mai bine valorile yi,i = 1,n. În acest scop se folose¸ste
metoda celor mai mici pătrate. Aceasta constă în a determina parametrii a1,a2, ..., am a¸sa
încât suma pătratelor erorilor comise să fie minimă, adică
n
(yi − f(xi,a1, ..., an)) 2 = min.
i=1
Detreminarea valorilor yi = f(xi,a1, ..., am) a¸sa încât ele să aproximeze cât mai bine valorile
yi, i = 1,n,senume¸ste ajustare. Funct¸ia y − f(x, a1, ..., am) e funct¸ie de ajustare. De
262

obicei, forma funct¸iei de ajustare se alege din reprezentarea grafică a perechilor de puncte
(xi,yi), i = 1,n,obt¸inute experimental.
Problema determinării parametrilor a1,a2, ..., am esteoaplicat¸ieaproblemei aflări extremelor
funct¸iei de m variabile
n
S(a1,a2, ..., am) = (yi − f(xi,a1, ..., am)) 2 .
i=1
Se constată imediat că punctele de stat¸ionare sunt puncte de minim, iar ecuat¸iile care dau
aceste puncte numite ecuat¸ii normale, sunt
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂S
∂a1
.
∂S
∂am
n
= −2 (yi − f(xi,a1, ..., am)) ∂f
∂a1 =0
i=1
n
= −2 (yi − f(xi,a1, ..., am)) ∂f
∂am =0
i=1
Să considerăm cazul cel mai simplu, în care funct¸iadeajustareestedegradulîntâi, adică
y = ax + b.
Trebuie să determinăm a ¸si b a¸sa încât
n
S(a, b) = (yi − axi − b) 2
să fie minimă. Condit¸iile de minim
∂S
∂a
conduc la sistemul liniar ⎧⎪ ⎨
∂S
∂b
⎪⎩
= −2
= −2
i=1
n
(yi − axi − b)xi =0
i=1
n
(yi − axi − b) =0,
i=1
a n
x
i=1
2 n
i + b xi =
i=1
n
xiyi
i=1
a n
xi + bn =
i=1
n
yi
i=1
cu necunoscutele a ¸si b.
Dacă împărt¸im ambele ecuat¸ii cu n ¸si notăm
n
xi
i=1
x =
n
n
x
i=1
2 i
, y =
n
yi
i=1
n ,
n
xiyi
i=1
x2 =
n
, xy =
n
,
atunci sistemul liniar ia forma
Prin eliminarea lui b, găsim
x2a + xb = xy
xa + b = y.
(x2 − x 2 )a = xy − x y.
Dacă notăm σ2 x = x2 − x2 ,numitădispersia lui x, ¸si cxy = xy − x y, mărime numită corelat¸ia
variabilelor x ¸si y, atunci avem
a = cxy
σ 2 x
= σy
·
σx
cxy
σxσy
263
= σy
· rxy
σx
,

Raportul rxy = cxy
σxσy
se nume¸ste coeficient de corelat¸ie a variabilelor x, y ¸si măsoară intensi-
tatea dependent¸ei liniare dintre variabilele x ¸si y.
Obervăm că b = y − ax ¸si avem y = a(n − x)+y, de unde
y = σy
rxy(x − x),
σx
care este dreapta care ajustează cel mai bine datele init¸iale. Dreapta găsită estenumită
dreapta de regresie.
Exemplul 12.7.1. Să se ajusteze cu o dreaptă datele ce reprezintă numărul de piese produse
în cele cinci zile de lucru dintr-o săptămâmă, date trecute în tabelul
zilele 1 2 3 4 5
numărul de piese 4 5 7 6 6
Notăm cu y numărul de piese ¸si cu x zilele săptămânii. Avem n =5, x1 =1, x2 =2, x3 =
3, x4 =4, x5 =5,¸si y1 =4, y2 =5, y3 =7,y4 =6,y5 =6.
x = 1+2+3+4+5
5
=3; y = 4+5+7+6+6
5
xy = 4+10+21+24+30
5
x 2 = 12 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2
5
a = cxy
σ 2 x
σ 2 x = x 2 − x 2 =11− 9=2
cxy = 89
5
− 3 · 28
5
= 89 − 84
5
= 89
5
= 55
5 =11
=1
= 1
28 3 41
; b = y − ax = − =
2 5 2 10
¸si y = x 41
+
2 10 .
Observat¸ia 12.7.1 Ajustarea datelor se poate folosi ¸si în rezolvarea problemelor de prognoză.
Având găsită funct¸ia de ajustare, putem evalua mărimea valorii y ¸si în alte puncte.
Astfel, în exemplul 12.7.1 putem prognoza care să fienumărul de piese în ziua a ¸sasea.
Avem y = 6 41
1
1
2 + 10 =3+4+ 10 =7+ 10 , de unde rezultă căîn ziua a ¸sasea atrebui să se
producă 7 piese.
12.8 Interpolarea funct¸iilor
Ca ¸si în cazul ajustărilor, să presupunem că pentru mărimea y, care variază continuuîn
raport cu mărimea x, cunoa¸stem tabelul de valori
x x0 x1 ... xn
y y0 y1 ... yn
, n ≥ 1,
cu xi ∈ [a, b], i = 0,n, distincte două câte două.
Prin interpolare înt¸elegem procesul de alegere a unei funct¸ii
I :[a, b] → R, dintr-o anumită clasă de funct¸ii, a¸sa încât I(xi) =yi, i = 0,n se nume¸ste funct¸ie
de interpolare.
T¸inând seama că cele mai simple ¸si convenabile funct¸ii sunt polinoamele vom alege
funct¸ie de interpolare un polinom P. O vom numi în continuare polinom de interpolare.
264
= 28
5

Având în vedere că avem n+ 1 condit¸ii P (xi) =yi, i = 0,n, alegem
Cele n+ 1 condit¸ii conduc la sistemul liniar
⎧
⎪⎨
⎪⎩
P (x) =a0x n + a1x n−1 + ... + an−1x + an
a0xn 0 + a1x n−1
0
a0xn 1 + a1x n−1
1
+ ... + an−1x0 + an = y0
+ ... + an−1x1 + an = y1
.... .... .... ....
+ ... + an−1xn + an = yn
a0x n n + a1x n−1
n
în necunoscutele a0,a1, ..., an.
Determinantul sistemului este determinantul Vandermond
x
V (x0,x1, ..., xn) =
n 0 x n−1
0 ... x0 1
xn 1 x n−1
1 ... x1 1
.
.
.
.
.
.
.
. =
.
.
=
x n n
0≤j

(x − 1)(x − 3)(x − 4)
l1(x) =
(2 − 1)(2 − 3)(2 − 4) = (x2 − 4x + 3)(x − 4)
=
2
= 1
2 (x3 − 8x 2 +19x−12), l2(x) =
(x − 1)(x − 2)(x − 4)
(3 − 1)(3 − 2)(3 − 4) = (x2 − 3x + 2)(x − 4)
=
−2
= − 1
2 (x3 − 7x 2 +14x−8), (x − 1)(x − 2)(x − 3)
l3(x) =
(4 − 1)(4 − 2)(4 − 3) = (x2 − 3x + 2)(x − 3)
=
6
= 1
6 (x3 − 6x 2 +11x−6) Atunci polinomul de interpolare are expresia
P (x) =− 1
6 (x3 − 9x 2 +26x − 24) · 3+ 1
2 · (x3 − 8x 2 +19x − 12) · 2−
− 1
2 (x3 − 7x 2 +14x−8) · 4+ 1
6 (x3 − 6x 2 +11x−6) · 5=
= − 2
3 x3 + 11
2 x2 − 27
x +11
2
Acum, avem
3
P =
2
7
= y.
8
Observat¸ia 12.8.1 Dacă pentru valorile y în funct¸ie de valorile lui x, date la începutul acestui
paragraf, există ofunct¸iecontinuă y = f(x), cuf(xi) =yi, i = 0,n, atunci polinomul de
interpolare este o aproximare a funct¸iei f care satisface condit¸iile P (xi) =f(xi), i = 0,n.
266

12.9 Test de verificare a cuno¸stint¸elor nr. 11
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Derivata part¸ială a unei funct¸ii de mai multe variabile;
b) Diferent¸iala unei funct¸ii de mai multe variabile;
c) Punct de extrem local pentru o funct¸ie de mai multe variabile;
d) Integrarea funct¸iilor.
2. a) Găsit¸i extremele locale ale funct¸iei
b) Găsit¸i extremele locale ale funct¸ie:
3. Găsit¸i extremele locale ale funct¸iei
f : R 2 → R , f(x, y) =x 3 + y 3 +3xy.
f : R 2 → R , f(x, y) =x 2 + y 4.
f :Δ× Δ → R , Δ=(−∞, −1] ∪ [1, ∞), cu
f(x, y) =x 4 + y 4 − 4x 2 +8xy − 4y 2 − 5.
4. Găsit¸i extremele locale ale funct¸iei f : R 2 → R, f(x, y) =x 2 + y 3 .
5. O firmă produce două sortimente de bunuri, în cantităt¸ile x ¸si y. Dacă funct¸ia profitului
este dată prin f :[0, ∞) × [0, ∞) → R, f(x, y) = 160x − 3x 2 − 2xy − 2y 2 + 120y − 18, săse
determine volumele celor două bunuri astfel încât profitul să fie maxim.
6. Găsit¸i extremele locale ale funct¸iei f : R 2 → R, f =6− 4x − 3y condit¸ionate de ecuat¸ia
x 2 + y 2 =1.
7. Găsit¸i extremele locale ale funct¸iei f(x, y, z) = xy + xz + yz condit¸ionate de ecuat¸ia
xyz =1, în domeniul x>0, y>0, z>0.
8. Să se determine dreptunghiul de arie maximă înscris într-o elipsă
x 2
a
2 + y2
− 1=0.
b2 9. Găsit¸i punctele de extrem local ale funct¸iei f : R 4 → R, f(x, y, z, t) =xy + xz − 3xt + y 2 +
z 2 + t 2 +10x +6y condit¸ionate de ecuat¸iile
ϕ1(x, y, z, t) =x +2y +3z +2t =0 ¸si
ϕ2(x, y, z, t) =−x + y + z + t =0.
10. Fie funct¸ia de product¸ie f :[0, ∞)×[0, ∞) → R cu f(x, y) =x 0,3 ·y 0,5 , unde x este capitalul
iar y este fort¸a de muncă. Să se determine product¸ia maximă cu restrict¸ia 6x+2y = 384.
267

Indicat¸ii ¸si răspunsuri Test nr. 11
2. a) (−1, −1) este punct de maxim cu f(−1, −1) = 1.
b) (0, 0) este punct de minim.
3. (2, −2) este punct de minim cu f(2, −2) = −37; (−2, 2) este punct de minim cu f(−2, 2) =
−37.
4. Nu are nici un punct de extrem local.
5. x =20, y =20cu profilul f(20, 20) = 2782.
4 3
4 3
6. , punct de minim condit¸ionat cu f , =1, iar −
5 5
5 5
4
, −3 punct de maxim
5 5
condit¸ionat cu − 4
, −3 =11.
5 5
7. (1, 1, 1) este punct de minim condit¸ionat cu f(1, 1, 1) = 3.
8. Pentru x = a √ ¸si y =
2 b
√ se obt¸ine dreptunghiul de arie maximă (Amax = 2ab).
2
9. −1, − 5
, 3, −3 este punct de minim condit¸ionat cu f −1, −
2 2
5
, 3, −3 = −
2 2
25
2 .
10. (24, 120) este punct de maxim condit¸ionat iar product¸ia maximă este240,3 · 1200,5 .
268

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul II,
Editura ULB, Sibiu, 2002.
269

Capitolul 13
Generalizări ale not¸iunii de integrală
Obiective: S¸tim că
b
a
f(x)dx reprezintă o integrală Riemann, dacă suntîndeplinite
condit¸iile: a = −∞ ¸si b = ∞; f funct¸ie mărginită pe[a, b] ¸si f funct¸ie reală de o singură
b
variabilă reală. Dacă una din aceste condit¸ii nu este îndeplinită, atunci expresia f(x)dx
a
constituie o extindere a not¸iunii de integrală. Scopul acestui capitol este de a prezenta
câteva astfel de extinderi ale not¸iunii de integrală.
Rezumat: În acest capitol sunt prezentate extinderi ale not¸iunii de integrală ¸si
anume inegralele improprii, integralele ce depind de unul sau mai mult¸i parametri, integralele
euleriene (Funct¸iile Gamma ¸si Beta ale lui Euler), inegralele duble (inclusiv metode
de calcul ale acestora).
Cont¸inutul capitolului:
1. Integrale improprii
2. Integrale cu parametri
3. Integrale euleriene. Funct¸ia Gamma. Funct¸ia Beta
4. Integrale duble
5. Test de verificare a cuno¸stint¸elor
6. Bibliografia aferentă capitolului
Cuvinte cheie: integrală improprie, integrală ce depinde de parametri, funct¸ia
Gamma, funct¸ia Beta, inegrale duble, coordonate polare.
13.1 Integrale improprii
În multe situat¸ii practice apar integrale care au intervalul de integrare de lungime infinită
¸si integrale pentru care funct¸ia de integrat nu este mărginită.
Astfel de integrale se numesc improprii sau generalizate. Dacă lungimea intervalului
este infinită, adică avem una din situat¸iile
I =
+∞
f(x)dx , I =
a
b
−∞
+∞
f(x)dx , I = f(x)dx = f(x)dx,
atunci spunem că avem integrale improprii de spet¸a înâi. Dacă funct¸ia de integrat este
nemărginită pe[a, b], atunci spunem că avem integrale improprii de spet¸aadoua. Dacăatât
intervalul de integrare este de lungime infinită, cât ¸si f este nemărginită în acest interval,
atunci spunem că avem integrale improprii mixte.
270
−∞
R

Definit¸ia 13.1.1 Fie f :[a, ∞) → R ofunct¸ieintegrabilă pe orice interval [a, b], b ∈ R, b>a.
b
Dacă există lim f(x)dx, atunci prin definit¸ie
b→∞
a
a
∞
f(x)dx = lim
b
b→∞
a
f(x)dx;
când limita este finită spunemcă integrala este convergentă iar în caz contrar, adică dacă
limita nu există sau este infinită, spunem că integrala improprie este divergentă.
¸si
¸si
În mod analog definim
b
−∞
∞
−∞
Imediat se observă căavemrelat¸iile
+∞
−∞
f(x)dx =
f(x)dx = lim
a→−∞ f(x)dx
b
f(x)dx = lim
a→−∞
b→∞
a
b
−∞
C
−∞
−b
f(x)dx.
∞
f(x)dx = f(−t)dt
f(x)dx +
+∞
C
f(x)dx , C ∈ R,
care ne arată că este suficient să studiem cazul intervalului [a, ∞].
Exemplul 13.1.1. Să considerăm integrala
Pentru b>a¸si λ = 1avem
Limita
∞
dx
; a>0 ¸si λ ∈ R.
xλ a
b
a
dx 1
=
xλ 1 − λ (b1−λ − a 1−λ ).
1
lim
b→∞ 1 − λ (b1−λ − a 1−λ )
este finită, fiind egală cu a1−λ
, pentru 1 − λ1. λ − 1
În cazul λ =1avem
integrala fiind divergentă.
∞
a
dx
x
= lim
b
b→∞
a
dx
x
= lim (ln b − ln a) =∞,
b→∞
271

∞
dx a1−λ
În concluzie, avem că = pentru λ>1, adicăeste convergentă, iar pentru λ ≤ 1
xλ λ − 1
a
integrala improprie este divergentă.
Exemplul 13.1.2. Fie de calculat integrala improprie
Avem
1
= lim
a→−∞ 2
b→∞
Observat¸ia 13.1.1 Putem scrie
k ∈ N, k>a.
a
∞
Dacă notăm un =
adică integralei
a
∞
f(x)dx =
k+n
k+n−1
+∞
−∞
dx
x 2 +4
+∞
dx
x2 +4 .
−∞
= lim
a→−∞
b→∞
arctg b
− arctga
2 2
k
a
f(x)dx +
k+1
f(x)dx, n =1, 2, ..., u0 =
k
∞
k
f(x)dx =
b
a
dx
x 2 +4 =
= 1
2
f(x)dx + ... +
k
a
π
2 −
k+n
k+n−1
− π
2
f(x)dx, atunci
∞
un,
n=0
f(x)dx îi corespunde seria numerică
= π
2 .
f(x)dx + ...,
∞
un. Integrala improprie ¸si seria
asociată au aceea¸si natură.
Această observat¸ie ne permite să adaptăm criteriile de convergent¸ă de la seriile numerice
la integralele improprii de spet¸a întâi.
∞
Teorema 13.1.1 (Criteriul lui Cauchy) Integrala improprie f(x)dx, este convergentă dacă
¸si numai dacă pentru orice ε>0 există M(ε) ∈ R+ a¸sa încât pentru orice α, β ∈ R, β>α>
M(ε) să avem
β
f(x)dx

∞
Teorema 13.1.2 Dacă f(x)dx este absolut convergentă, atunci ea este convergentă.
a
Pentru demonstrat¸ie se folose¸ste Teorema 13.1.2 ¸si inegalitatea
b
f(x)dx
≤
b
|f(x)|dx.
a
S¸i criteriile de comparat¸ie de la serii cu termeni pozitivi se extind imediat la integrale
improprii.
Teorema 13.1.3 (primul criteriu de comparat¸ie) Fie f,g funct¸ii definite ¸si integrabile pentru
x ≥ a. Dacă 0 ≤ f(x) ≤ g(x) pentru x ≥ a, atunci:
∞
∞
1) dacă g(x)dx este convergentă, atunci ¸si f(x)dx este convergentă;
a
∞
∞
2) dacă f(x)dx este divergentă, atunci ¸si g(x)dx este divergentă.
a
Teorema 13.1.4 (Al doilea criteriu de comparat¸ie) Fie funct¸iile f,g :[a, ∞) → (0, ∞). dacă
∞
∞
f(x)
lim = k, k ∈ (0, ∞), atunci integralele improprii f(x)dx ¸si g(x)dx su aceea¸si natură,
x→∞ g(x)
a
a
adică ambele sunt convergente sau ambele sunt divergente. Dacă k =0, atunci convergent¸a
∞
∞
integralei g(x)dx implică convergent¸a integralei f(x)dx.
a
Corolarul 13.1.1 Fie f :[a, ∞) → (0, ∞), a>0. Dacăexistă lim
x→∞ xλf(x) =k, k constantă reală
∞
finită, pentru λ>1, atunci integrala f(x)dx este convergentă. Dacă λ ≤ 1 ¸si k>0, atunci
integrala este divergentă.
Valabilitatea Corolarului rezultă din Teorema 13.1.3.
∞
Exemplul 13.1.3. Integralele improprii
real.
Într-adevăr, pentru x>0 putem scrie
a
e x =1+ x xn xn
+ ... + + ... >
1! n! n!
a
a
a
a
a
x α e −x dx, a>0, sunt convergente pentru orice α
, n ∈ N.
De aici, avem 0 1, obt¸inem
xλ afirmat¸ia din enunt¸ul exemplului.
∞
Pm(x)
Exemplul 13.1.4. Integralele improprii
Qn(x)
a
dx, Pm ¸si Qn fiind funct¸ii polinomiale cu
coeficient¸i reali, cu gradele m ¸si respectiv n, Qn = 0pentru x ≥ a, sunt convergente pentru
n − m ≥ 2.
273

Avem
Pm(x)
lim xλ = lim
x→∞ Qn(x) x→∞ xλ amxm + am−1xm−1 + ... + a0
bnxn + bn−1xn−1 =
+ ... + b0
= lim
x→∞ xλ+m−n am +
·
am−1 a0
+ ... +
x xm bn + bn−1 b0
+ ... +
x xn = am
bn
dacă λ = n − m. Conform Corolarului 13.1.1, integrala dată este convergentă dacă n − m ≥ 2.
În mod analog se studiază ¸si integralele improprii de spet¸aadoua.
Definit¸ia 13.1.3 Fie funct¸ia f :[a, b) → R, nemărginită în b, dar mărginită ¸si integrabilă pe
β
f(x)dx, atunci prin definit¸ie
orice subinterval închis [a, β] ⊂ [a, b). dacă există lim
β→b
β

Dacă b − a>1, atunci putem scrie
iar dacă punem u0 =
b
a
b−1
a
f(x)dx =
b−1
a
f(x)dx +
+
f(x)dx ¸si un =
b
a
b− 1
n+1
b− 1
n
b− 1
n+1
b− 1
n
b− 1
2
b−1
f(x)dx =
f(x)dx +
f(x)dx + ...,
b− 1
3
b− 1
2
f(x)dx + ...+
f(x)dx, n =1, 2, ..., atunci obt¸inem
∞
un,
care exprimă integrala improprie de spet¸a a doua printr-o serie numerică.
Ca ¸si la integralele improprii de spet¸a întâi, putem transforma criteriile de convergent¸ă
de la seriile de numere reale în criterii de convergent¸ă pentru integrale improprii de spet¸a
adoua.
n=0
Teorema 13.1.5 (Criteriul lui Cauchy). Integrala improprie
b
a
f(x)dx, culim |f(x)| = ∞, este
x→b
x0
există un
număr M(ε) > 0 a¸sa încât
b
pentru orice α ¸si β cu b − M(ε)

1
Funct¸ia f :[0, 1) → (0, ∞), f(x) = 6√ divine infinită când x → 1, xaavem
a
∞
a
f(x)dx = F (∞) − F (a) , F(∞) = lim F (x).
x→∞
b
a
f(x)dx = F (b) − F (a) ¸si prin trecere la limită se
obt¸in afirmat¸iile din enunt¸.
În mod analog se extind schimbarea de variabilă ¸si integrarea prin părt¸i.
Exemplul 13.1.8. Să calculăm
∞
(x − 1)e −x dx.
Avem
0
∞
(x − 1)e
0
−x dx = −xe −x
∞
0
276
=0.

Observat¸ia 13.1.3 În cazul unor integrale improprii divergente se ata¸sează o valoare printrun
procedeu datorat lui Cauchy.
Acesta este aplicabil integralelor improprii de spet¸a întâi de forma
¸si integralelor improprii de spet¸aadoua
+∞
−∞
b
a
f(x)dx
f(x)dx
în care f devine infinită într-un punct c, a

Teorema 13.2.1 (Teorema trecerii la limită) Fie f :[a, b]×Y → R ofunct¸iededouă variabile,
integrabilă în raport cu x pe [a, b] ¸si λ0
lim f(x, λ), atunci
λ→λ0
un punct de acumulare pentru Y . Dacăexistă b
lim I(λ) = lim
λ→λ0 λ→λ0
a
f(x, λ)dx =
b
a
lim f(x, λ) dx.
λ→λ0
Demonstrat¸ie. Fie ε>0 ¸si notăm lim f(x, λ) =g(λ); atunci există δ(ε) > 0 astfel ca pentru
λ→λ0
|λ − λ0| 0, a¸sa încât să avem
|f(x, λ) − f(x, λ0)| < ε
b − a
dacă |λ − λ0|

variabilelor în acela¸si dreptunghi, atunci funct¸ia I(λ) =
are loc formula
I ′ (λ) =
b
a
f ′ λ(x, λ)dx.
Demonstrat¸ie Fie λ0 un punct fixat din [c, d]. Din egalitatea
I(λ) − I(λ0)
λ − λ0
prin trecere la limită sub integrală, avem
=
b
I(λ) − I(λ0)
lim
=
x→x0 λ − λ0
a
b
f(x, λ) − f(x, λ0)
dx,
λ − λ0
b
a
a
f ′ λ(x, λ0)dx,
f(x, λ)dx este derivabilă pe[c, d] ¸si
care ne arată că funct¸ia I este derivabilă în λ0 ¸si are loc formula din enunt¸ul teoremei.
Exemplul 13.2.1. Să calculăm derivata funct¸iei I definită prin
I(λ) =
0
1
0
sin λx
dx , λ ∈ R.
x
sin λx
Integrala nu este improprie deoarece lim = λ.
x→0 x
Avem
I ′ 1
1
cos λx
(λ) = x · dx = cos λxdx =
x
= sin λx
λ
1
0
= sin λ
0
λ .
Observat¸ia 13.2.2 În unele situat¸ii se consideră integrale cu parametru în care ¸si limitele
de integrare depind de parametru, adică avem
I(λ) =
b(λ)
a(λ)
f(x, λ)dx , λ ∈ [c, d].
Dacă, pe lângă condit¸iile din Teorema 13.2.3, mai adaugăm faptul că funct¸iile a ¸si b sunt
derivabile în raport cu λ pe [c, d], atunci are loc formula
I ′ (λ) =
b(λ)
a(λ)
f ′ λ(x, λ)dx + b ′ (λ)f(b(λ),λ) − a ′ (λ)f(a(λ),λ).
Teorema 13.2.4 (de integrare) Dacă funct¸ia f :[a, b] × [c, d] → R este continuă în raport cu
ansamblul variabilelor în dreptunghiul [a, b]×[c, d], atunci oricare ar fi intervalul [α, β] ⊆ [c, d]
are loc egalitatea
β
α
I(λ)dλ =
β
α
⎛
⎞
b
⎝ f(x, λ)dx⎠
dx =
a
279
b
a
⎛
⎞
β
⎝ f(x, λ)dx⎠
dx.
α

Cu alte cuvinte, în condit¸iile teoremei se poate integra sub semnul integralei, sau se
poate schimba ordinea de integrare.
Demonstrat¸ie Fie z ∈ [c, d]; vom demonstra egalitatea mai generală
¸si
¸si
Facem notat¸iile
Avem
z
α
⎛
⎞
b
⎝ f(x, λ)dx⎠
dλ =
a
ϕ(z) =
ψ(z) =
z
α
b
a
ϕ ′ (z) =
ψ ′ (z) =
a
b
a
⎛
⎞
z
⎝ f(x, λ)dλ⎠
dx.
α
⎛
⎞
b
⎝ f(x, λ)dx⎠
dλ
⎛
⎞
z
⎝ f(x, λ)dλ⎠
dx.
α
b
a
b
a
f(x, λ)dx,
f(x, λ)dx,
oricare ar fi z ∈ [c, d]. De aici, rezultă că ϕ(z) − ψ(z) =C -constantă. Cum ϕ(α) − ψ(α) =0,
obt¸inem C = 0, ceea ce ne arată că ϕ(z) = ψ(z), oricare ar fi z ∈ [c, d]. Teorema este
demonstrată.
Exemplul 13.2.2. Să considerăm integrala cu parametru
a
a
I(λ) =
0
1
0
x λ dx.
Integrăm funct¸ia I pe intervalul [a, b], 0

De fapt, aceasta este una dintre aplicat¸iile importante ale integralelor cu parametrii:
calculul unor integrale greu de evaluat pe altă cale.
Deseori, integrale fără parametru sunt transformate în integrale cu parametru la care,
apoi, se aplică derivarea sau integrarea sub semnul integralei ¸si se obt¸ine o valoare mai
generală pentru integrala dată. Prin particularizarea parametrului se obt¸ine valoarea integralei
date.
Exemplul 13.2.3. Să calculăm integrala
I =
1
0
arctgx
x √ dx.
1 − x2 Se observă că integrala nu este improprie deoarece lim
x→0
grala mai generală
I(λ) =
1
Derivăm în raport cu parametrul λ ¸si avem
I ′(λ) =
1
0
0
x
1+λ2 ·
x2 arctgλx
x √ dx , λ ∈ [0, ∞).
1 − x2 1
x √ dx =
1 − x2 π
2
dt
1+λ
0
2 cos2 t =
1
0
arctgx
x √ =1. Considerăm inte-
1 − x2 dx
(1 + λ2x2 ) √ .
1 − x2 Făcând schimbarea de variabilă x =cost, găsim
I ′ 1
(λ) =
√
1+λ2 arctg
tgt
√
1+λ2
= π
2 ·
1
√
1+λ2 .
De aici, integrând în raport cu λ, găsim
I(λ) = π
2 ln(λ + 1+λ2 )+C.
Cum I(0) = 0, rezultăC =0¸si
I(λ) = π
2 ln(λ + 1+λ2 ).
Pentru λ =1avem
I(1) = I = π
2 ln(1 + √ 2).
Observat¸ia 13.2.3 În cazul când integrala ce depinde de un parametru este improprie, cele
expuse în acest paragraf rămân valabile cu condit¸ia ca integralele improprii cu care se
lucrează săfie convergente.
Exemplul 13.2.4. Să considerăm integrala
Scriem
∞
−αx sin x
I(α) = e dx , α ∈ (0, ∞).
x
I(λ) =
0
1
0
−αx sin x
e dx +
x
281
1
∞
−αx sin x
e
x dx.
π
2
0
=

¸si
−αx sin x
Cum lim e
x→0 x x>0
Deoarece, pentru x ≥ 1 avem e
=1,rezultăcă prima integrală esteconvergentă.
1
∞
−αx sin x
x
e −αx dx = − e−αx
α
≤ e−αx
∞
1
= e−α
α ,
∞
−αx sin x
deducem că e dx este convergentă. Prin urmare, I(α) este bine definită.
x
1
Aplicând teorema de derivare a integralelor cu parametru, avem:
I ′ ∞
(α) = e −αx ∞
sin x
(−x) dx = − e
x −αx sin xdx,
0
care este o integrală improprie convergentă. Integrând prin părt¸i, obt¸inem
de unde
I ′ (α) =−1 − α 2 I ′ (α),
I ′ (α) =− 1
,
1+α2 din care rezultă
I(α) =−arctgα + C.
Pentru determinarea constantei C calculăm
pedeoparte,¸si din
0
lim I(α) =−π + C,
α→∞ 2
∞
|I(α)| ≤
sin x
e−αx
x dx ≤
0
∞
0
e −αx dx = 1
α
lim I(α) =0.
α→∞
Avem deci C − π
π
=0, de unde C = . RezultăcăI(α) =π
2 2 2
prin trecere la limită când α → 0, α>0, găsim
∞
0
sin x π
dx =
x 2 .
− arctgα. din acest rezultat,
13.3 Integrale euleriene. Funct¸ia Gamma. Funct¸ia Beta
În orice activitate există anumite rezultate care trebuiesc studiate mai aprofundat ¸si chiar
ret¸inute. Această situat¸ie se întâlne¸ste ¸si în clasa integralelor cu parametri ¸si improprii.
Există anumite funct¸ii, numite uneori ¸si funct¸ii speciale, definite prin integrale cu parametrii
la care apelăm deseori în calculele matematice.
Două dintre aceste funct¸ii speciale sunt funct¸iile Gamma ¸si Beta, numite sub un generic
comun integrale euleriene.
282

Definit¸ia 13.3.1 Funct¸ia Γ:(0, ∞) → R definită prin
Γ(p) =
0
∞
e −x x p−1 dx
se nume¸ste funct¸ia Gamma sau funct¸ialuiEulerdespet¸aadoua, iar funct¸ia B :(0, ∞) ×
(0, ∞) → R definită prin
1
B(p, q) = x p−1 (1 − x) q−1 dx
se nume¸ste funct¸ia Beta sau funct¸ia lui Euler de spet¸a întâi.
0
Teorema 13.3.1 Funct¸iile Γ ¸si B sunt bine definite, adică integralele improprii care le definesc
sunt convergente.
Demonstrat¸ie Să arătăm că funct¸ia Γ este bine definită. Scriem Γ ca sumă de două
integrale, anume:
1
∞
Γ(p) =
Prima integrală I1 =
1
0
0
e −x x p−1 dx +
1
e −x x p−1 dx.
e −x x p−1 dx pentru p ≥ 1 nu este improprie. pentru p ∈ (0, 1) avem
lim
x→0
x>0
x λ e −x x p−1 = lim x
x→0
x>0
λ+p−1 e −x =1
dacă λ =1− p

1) Γ(1) =
0
∞
e −x dx = −e −x | ∞ 0 =1
2) Aplicăm integrarea prin părt¸i succesiv ¸si avem
Γ(p +1)=
+p
0
0
∞
∞
e −x x p dx = −(e −x x p )| ∞ 0 +
e −x x p−1 dx = pΓ(p).
3) Se aplică în mod repetat formula se recurent¸ă dela2):
Γ(n +1)=nΓ(n) =n(n − 1)Γ(n − 1) = ... =
= n(n − 1)...2 · 1 · Γ(1) = n!.
4) Efectuăm schimbarea de variabilă x = t 2 ¸si avem
ceea ce trebuia demonstrat.
∞
Γ(p) =2 e −t2
0
(t 2 ) p−1 tdt =2
0
∞
e −t2
t 2p−1 dt,
5) Demonstrat¸ia formulei complementelor este mai complicată ¸si de aceea renunt¸ăm la
prezentarea ei.
6) Dacă luăm în formula complementelor p = 1
2 ,atunciavem
1 1
Γ · Γ = π,
2 2
1
de unde Γ =
2
√ π.
Teorema 13.3.3 Pentru funct¸ia B sunt adevărate următoarele relat¸ii:
1) B(p, q) =
2) B(p, q) =
3) B(p, q) =
let);
∞
0
1
0
yp−1 dy;
(1 + y) p+q
tp−1 + tq−1 dt;
(1 + t) p+q
Γ(p) · Γ(q)
Γ(p + q)
(formula de legătură dintre funct¸iile B ¸si Γ sau formula lui Dirich-
4) B(p, q) =B(q, p) (proprietatea de simetrie);
p − 1
5) B(p, q) = B(p − 1,q); p>1, q>0;
p + q − 1
q − 1
B(p, q) = B(p, q − 1), p>0, q>1.
p + q − 1
284

Demonstrat¸ie
1) Facem schimbarea de variabilă x = y
¸si avem
y +1
∞
p−1
y
B(p, q) =
1 −
y +1
y
q−1 dy
=
y +1 (y +1) 2
0
=
∞
2) Utilizând formula de la 1), putem scrie
B(p, q) =
1
0
0
yp−1 dy.
(1 + y) p+q
yp−1 dy +
(1 + y) p+q
∞
1
yp−1 dy.
(1 + y) p+q
În integrala a doua facem schimbarea de variabilă y =1/t ¸si obt¸inem formula de la 2).
∞
3) În Γ(p) =
obt¸inem
(13.2)
0
e −x x p−1 dx facem schimbarea de variabilă x = ty, t parametru real pozitiv ¸si
Γ(p) =t p
0
∞
e −ty y p−1 dy.
În acest rezultat înlocuim pe t prin 1+t ¸si p prin p + q ¸si obt¸inem
Γ(p + q)
=
(1 + t) p+q
0
∞
e −(1+t)y y p+q−1 dy
Multiplicăm ambii membri ai formulei precedente cu t p−1 ¸si egalitatea obt¸inută ointegrăm
în raport cu t de la 0 la ∞ ¸si avem:
0
⎛
Γ(p + q)
∞
t
0
p−1
dt =
(1 + t) p+q
∞
⎝t p−1
∞
e −(1+t)y y p+q−1 dy
=
0
0
⎛
∞
e −y y q−1 ⎝y p
∞
e −yt t p−1 dt
0
⎞
⎠ dt =
⎞
⎠ dy.
Acum, conform cu 1) ¸si cu (13.2), în care schimbăm pe t cu y, obt¸inem:
∞
Γ(p + q) · B(p, q) =
de unde găsim
adică ceea ce trebuia demonstrat.
0
0
e −y y q−1 Γ(p)dy =
∞
=Γ(p) e −y y q−1 dy =Γ(p) · Γ(q),
B(p, q) =
285
Γ(p) · Γ(q)
Γ(p + q) ,

4) Rezultă imediat din 3).
5) Aceste formule rezultă din formula de legătură dela3)¸si utilizând formula de recurent¸ă
pentru Γ.
Observat¸ia 13.3.1 Integralele euleriene sunt utile în studiul multor funct¸ii neelementare.
De aceea, valorile lor au fost tabelate.
Calculul multor integrale se reduce prin diferite transformări, la evaluarea funct¸iilor B
¸si Γ.
Exemplul 13.3.1. Să arătăm că
0
∞
e −x2
dx =
√ π
Facem schimbarea de variabilă x 2 = t ¸si avem
0
∞
2
e −x2
dx = 1
2
(integrala lui Poisson).
0
∞
e −t 1 −
t 2 dt.
În integrala din membrul doi se recunoa¸ste expresia funct¸iei Γ pentru p − 1=− 1
2 ,adică
p = 1
. Atunci, putem scrie
2
Exemplul 13.3.2. Să calculăm
Putem scrie
0
∞
e −x2
dx = 1
2 Γ
√
1 π
=
2 2 .
I =
I =
∞
4√
x
dx.
(1 + x) 2
0
∞
0
x 1
4
dx,
(1 + x) 2
care comparată cu exprimarea lui B dată de 1) din Teorema 13.3.3, conduce la p − 1= 1
4 ¸si
p + q =2, de unde p = 5
4
Rezultă că
¸si q = 3
4 .
5 3
I = B , ,
4 4
de unde, utilizând formula de legătură dintre B ¸si Γ, obt¸inem
5 3 1
Γ Γ
4 4 4
I = =
5 3
Γ +
4 4
Γ
1 3
Γ
4 4
=
Γ(2)
= 1
4 Γ
1 3
Γ .
4 4
Acum, utilizând formula complementelor avem
I = 1
4 ·
π
sin π
4
286
= π√ 2
4 .

În general, integralele de forma
I =
∞
0
xm (1 + xn dx , np > m +1
) p
se calculează prin funct¸iile B ¸si Γ, făcând schimbarea de variabilă x n = t.
Exemplul 13.3.3. Să se reducă la funct¸iile B ¸si Γ calculul integralelor de forma
Im,n =
b
a
(x − a) m (b − x) n dx,
m ¸si n numere reale a¸sa alese încât integrala să fie convergentă.
Facem schimbarea de variabilă
¸si avem
Exemplul 13.3.4. Să calculăm I =
x =(1− t)a + bt , t ∈ [0, 1]
Im,n =(b− a) m+n+1
1
t m (1 − t) n dt =
0
=(b− a) m+n+1B(m +1,n+1)=
m+n+1 Γ(m + 1)Γ(n +1)
=(b− a) .
Γ(m + n +2)
1
0
ln p
Facem schimbarea de variabilă x = e −t ¸si avem
13.4 Integrale duble
I =
0
∞
1
dx, p ∈ R, p>−1
x
t p e −t dt =Γ(p +1).
La integralele cu parametrii funct¸ia de integrat era de mai multe variabile, însă calculul
integralei se aplică numai la una din variabile, celelalte le considerăm parametrii. Ne
propunem să extindem not¸iunea de integrală pentru funct¸iile de mai multe variabile a¸sa
încât în evaluarea lor să utilizăm toate variabilele. Astfel de integrale le vom numi multiple.
Dacă f : D ⊆ Rn → R z = f(x1, ..., xn), atunciointegralăm-multiplă onotăm prin
...
f(x1, ..., xn)dx1dx2...dxn.
D
Dacă n =2, atunci spunem că avem o integrală dublă, iar dacă n =3, atunci spunem că
avem o integrală triplă.
Pentru comoditatea tratării considerăm numai cazul integralelor duble.
Fie f : D ⊂ R 2 → R, z = f(x, y) o funct¸ie de două variabile. Mai presupunem că D este un
domeniu mărginit.
Să considerăm o partit¸ie (descompunere) arbitrară a domeniului D în n subdomenii
D1,D2, ..., Dn cu Di = ∅, i = 1,n ¸si Di ∩ Dj = ∅, i = j, i, j = 1,n. O astfel de partit¸ie a lui D
se nume¸ste diviziune a lui D ¸si o notăm prin (Δn). Notăm cu ai aria sub domeniului Di,
i = 1,n ¸si cu di diametrul lui Di (cea mai mare dintre distant¸ele dintre două puncte din Di),
i = 1,n. Numărul Δn = max di se nume¸ste norma diviziunii (partit¸ia) Δn.
i=1,n
287

În fiecare subdomeniu Di al diviziunii (Δn) alegem un punct arbitrar de coordonate
(ξi,ηi), i = 1,n, numite puncte intermediare.
Cu aceste precizări, introducem suma integrală
n
σ(Δn,ξ,η,f)= f(ξi,ηi)ai.
Evident că sumaσ(Δn,ξ,η,t) depinde de diviziunea Δn, de punctele intermediare (ξi,ηi)
¸si de funct¸ia f.
Definit¸ia 13.4.1 Spunem că funct¸ia f este integrabilă pe domeniul D dacă oricare ar fi
¸sirul de diviziuni (Δn)n≥1 cu ¸sirul normelor (Δn)n≥2 tinde la zero ¸si oricare ar fi punctele
intermediare (ξi,ηi) ∈ Di, i =1, 2, ..., n ¸sirul sumelor integrale (σ(Dn,ξ,η,f))n≥1 are o limită
finită.
Notăm această limită prin
f(x, y)dxdy sau f(x, y)da.
D
D
¸si o numim integrala dubă a funct¸iei f pe domeniul D.
A¸sadar, putem scrie
n
f(x, y)dxdy = lim f(ξk,ηk)ak.
n→∞
D
Δn→0 k=1
Ca ¸si la funct¸iile de o variabilă realăsearatăcă orice funct¸ie continuă pe domeniul D
este integrabilă.
S¸i proprietăt¸ile integralei duble sunt analoage cu cele ale integralei Riemann.
Teorema 13.4.1 (de liniaritate) Dacă f,g : D ⊂ R 2 → R sunt funct¸ii integrabile pe D, atunci
oricare ar fi α, β ∈ R funct¸ia αf + βg este integrabilă peD ¸si avem
D
i=1
(αf(x, y)+βg(x, y))dxdy =
= α f(x, y)dxdy + β g(x, y)dxdy.
D
D
Această proprietate ne spune că integrala dublă pe domeniul D esteofunct¸ională liniară.
Demonstrat¸ia teoremei este imediată.
Teorema 13.4.2 (de aditivitate fat¸ă de domeniu) Dacă funct¸ia f : D ⊂ R2 → R este integrabilă
pe D, iar D = D1 ∪ D2, D1 ∩ D2 = ∅, atunci f este integrabilă pe D1 ¸si pe D2 ¸si
avem
f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy.
D
D1
D2
Afirmat¸ia din această teoremă se demonstrează cu ajutorul definit¸iei.
Teorema 13.4.3 (de interpretare geometrică) Dacă f : D ⊂ R 2 → (0, ∞) este integrabilă,
atunci avem
f(x, y)dxdy = V (f),
D
unde V (f) este volumul barei cilindrice mărginită de domeniul D ¸si suprafat¸ă dată dez =
f(x, y), avândgeneratoarele paralele cu axa Oz.
288

Pentru cazul particular f ≡ 1, avem
D
dy = aria(D).
Teorema 13.4.4 (de semn) Dacă f : D ⊂ R 2 → (0, ∞), atunci
D
f(x, y)dxdy ≥ 0.
Proprietatea din enunt¸ rezultă imediat din nenegativitatea sumelor integrale.
Teorema 13.4.5 (de monotonie) Dacă f,g : D ⊂ R2 → R sunt integrabile pe D ¸si f ≤ g pe D,
atunci
D
f(x, y)dxdy ≤
D
g(x, y)dxdy.
Pentru demonstrat¸ie se aplică funct¸iei g − f ≥ 0 proprietatea de semn.
Teorema 13.4.6 (modulului) Dacă funct¸ia f : D ⊂ R2 → R este integrabilă peD ¸si atunci |f|
este integrabilă peD ¸si avem
f(x, y)dxdy
D
≤
|f(x, y)|dxdy.
D
Formula din teoremă rezultă imediat din inegalitatea −|f| ≤f ≤|f|.
Teorema 13.4.7 (de medie) Dacă f,g : D ⊂ R 2 → R sunt integrabile pe D, m = inf f(x, y),
(x,y)∈D
M = sup
(x,y)∈D
f(x, y) ¸si g are semn constant pe D, atunci există unnumăr real μ ∈ [m, M] a¸sa
încât
f(x, y)d(x, y)dxdy = μ g(x, y)dxdy,
D
D
numită formula de medie generalizată pentru integrala dublă.
Demonstrat¸ie Considerăm g ≥ 0 pe D. Atunci din m ≤ f(x, y) ≤ M rezultă mg(x, y) ≤
f(x, y)g(x, y) ≤ Mg(x, y). Utilizând proprietatea de monotonie a integralei duble, putem
scrie:
(13.3)
m
D
g(x, y)dxdy ≤
≤ M
D
D
f(x, y)g(x, y)dxdy ≤
g(x, y)dxdy =0.
Dacă g(x, y)dxdy =0, atunci f(x, y)g(x, y)dxdy =0¸si putem alege orice μ ∈ [m, M]
D
D
ca să avem formula din Teorema de medie.
289

Dacă
D
g(x, y)dxdy = 0, atunci prin împărt¸ire cu acest număr în (13.3) avem
de unde rezultă că putem lua
m ≤
μ =
D
D
D
f(x, y)g(x, y)dxdy
D
g(x, y)dxdy
f(x, y)g(x, y)dxdy
g(x, y)dxdy
≤ M,
Cazuri particulare
13.4.1 Dacă f este continuă peD, atunciexistă un punct (ξ,η) ∈ D a¸sa încât μ = f(ξ,η).
13.4.2 Dacă g ≡ 1 pe D, atunci formula de medie ia forma
D
f(x, y)dxdy = μ aria(D),
numită formula de medie pentru integrala dublă.
Calculul integralelor duble se reduce la calculul a două integrale definite (Riemann),
succesive. pentru început să considerăm cazul unui domeniu dreptunghiular.
Teorema 13.4.8 Dacă f :[a, b] × [c, d] → R este integrabilă pedreptunghiulD =[a, b] × [c, d] ¸si
dacă pentru orice x constant din intervalul [a, b], funct¸ia f este integrabilă în raport cu y,
adică există
atunci avem
D
F (x) =
d
c
f(x, y)dy , x ∈ [a, b],
f(x, y)dxdy =
b
a
d
dx f(x, y)dy.
Demonstrat¸ie Vom considera diviziunile Dx ¸si Dy, respectiv pentru intervalele [a, b] ¸si
[c, d], definite prin
Dx : a = x0

i = 1,m, j = 1,n ¸si având norma D dată demax di,j, de unde dij este diametrul dreptun-
i=1,m
j=a,n
ghiului Dij.
Se observă imediat că dacăDx →0 ¸si Dy →0, atunci D →0 ¸si reciproc.
Alegem punctele intermediare (ξi,ηj) ∈ Dij, ξi ∈ [xi−1,xi], ηj ∈ [yj−1,yj], i = 1,m, j = 1,n.
Deoarece f este integrabilă peD, iar funct¸ia F există ¸si este integrabilă pe[a, b], avem
succesiv
D
= lim
f(x, y)dxdy = lim
= lim
Dx→0
Dy →0
Dx→0
i=1
m
i=1 j=1
m
D→0
i=1 j=1
n
f(ξi,ηj)ariaDij =
n
f(ξi,ηj)(xi − xi−1)(yj − yj−1) =
⎛
m
(xi − xi−1) ⎝ lim
= lim
= lim
Dx→0
i=1
Dx→0
i=1
Dy→0
j=1
⎞
n
f(ξi,ηj)(yj − yj−1) ⎠ =
m
d
(xi − xi−1) f(ξi,y)dy =
m
F (ξi)(xi − xi−1) =
=
b
a
d
dx f(x, y)dy,
c
c
b
a
F (x)dx =
ceea ce trebuia demonstrat.
Deseori, integrala pe dreptunghiul D =[a, b] × [c, d] se notează prin
b
a
d
c
f(x, y)dxdy.
A¸sadar, formula din enunt¸ul Teoremei ia forma
b
a
d
c
f(x, y)dxdy =
În mod analog, se arată căavem¸si formula
Exemplul 13.4.1. Să calculăm
Avem
I =
1
0
b
a
dx
1
2
d
c
f(x, y) =
I =
1
0
1
2
d
c
dy
=
(x + y +1) 2
b
a
d
dx f(x, y)dy.
a
c
b
dy f(x, y)dx.
dxdy
.
(x + y +1) 2
291
1
0
dx
1
−
x + y +1
2
=
1

=
1
0
− 1
1
+ dx =
x +3 x +2
= − ln(x +3)| 1 0 +ln(x +2)| 1 0 =
= − ln 4 + ln 3 + ln 3 − ln 2 = ln 9
8 .
Să trecem acum la calculul integralelor duble pe un domeniu D regulat în raport cu una
din axele de coordonate .
Definit¸ia 13.4.2 Spunem că un domeniu D este regulat în raport cu una din axele de coordonate
dacă orice paralelă la una din axele de coordonate întâlne¸ste curba care mărgine¸ste
domeniul în cel mult două puncte.
Să considerăm că domeniul D este regulat în raport cu axa Oy (fig 13.4.1). Un astfel de
domeniu se descrie astfel:
Fig. 13.4.1
D = {(x, y)| a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}.
d
y
y= (x)
c
y= (x)
0 a
b x
Teorema 13.4.9 Dacă funct¸ia f este definită ¸si integrabilă pe domeniul D = {(x, y)| a ≤ x ≤
b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} ¸si pentru fiecare x ∈ [a, b] există integrala
atunci are loc formula
D
F (x) =
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, y)dxdy =
f(x, y)dy,
b
a
dx
ψ(x)
ϕ(x)
f(x, y)dy.
Demonstrat¸ie Folosim Teorema 13.4.8. Considerăm dreptele paralele cu Ox, y = c ¸si
y = d, astfel ca c ≤ ϕ(x) ¸si d ≥ ψ(x), x ∈ [a, b] (Fig.
[a, b] × [c, d]. Introducem funct¸ia auxiliară
13.4.1) ¸si notăm cu Δ dreptunghiul
g :Δ→ R ,
f(x, y)
g(x, y) =
0
, dacă (x, y) ∈ D
, dacă (x, y) ∈ Δ − D.
Funct¸ia g este integrabilă pe dreptunghiul Δ fiind integrabilă atât pe D, cât ¸si pe domeniul
Δ − D, unde este nulă.
292

Folosind proprietatea de aditivitate a integralei duble fat¸ă de domeniu (Teorema 13.4.2),
putem scrie
(13.4)
deoarece
Δ − D
D
g(x, y)dxdy =0.
D
g(x, y)dxdy =
g(x, y)dxdy + g(x, y)dxdy =
Δ − D
=
D
f(x, y)dxdy,
Dar, integrala g(x, y)dxdy se poate calcula folosind ¸si formula din Teorema 13.4.8.
D
Avem
b
d
g(x, y)dxdy = g(x, y)dxdy =
D
a c
⎛
b
d
b
ϕ(x)
⎜
= dx g(x, y)dy = dx ⎝ g(x, y)dy+
(13.5)
deoarece
a
ϕ(x)
c
+
c
ψ(x)
ϕ(x)
g(x, y)+
=
b
a
dx
a
d
ψ(x)
ψ(x)
ϕ(x)
g(x, y)dy =0 ¸si
c
⎞
⎟
g(x, y)dy⎠
=
f(x, y)dy
d
ψ(x)
g(x, y)dy =0.
Din (13.4) ¸si (13.5) rezultă formula din enunt¸ul Teoremei 13.4.9.
Dacă domeniul D este regulat în raport cu axa Ox, adică el are forma D =
{(x, y) c ≤ y ≤ d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)} atunci avem formula
D
f(x, y)dxdy =
Exemplul 13.4.2. Să calculăm integrala dublă
I =
D
d
c
dy
ψ(y)
ϕ(y)
(3x − y +2)dxdy
f(x, y)dx.
dacă D este domeniul mărginit de curbele y = x ¸si y = x 2 .
Examinăm domeniul D (Fig. 13.4.2) ¸si observăm că elestesituatîntre dreapta y = x ¸si
parabola y = x 2 ¸si punctele O(◦, ◦) ¸si A(1, 1).
293

y
1 A(1, 1)
0
y=x
y=x 2
1
Fig. 13.4.2
D este regulat în raport cu axa Oy ¸si avem
Atunci putem scrie succesiv:
=
1
0
D = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1, x 2 ≤ y ≤ x}.
=
I =
1
0
1
0
x
x
dx (3x − y +2)dy =
x 2
3xy − y2
2 +2y
x
x 2
dx =
3x 2 − x2
2 +2x− 3x3 + x4
− 2x2 dx =
2
=
1
0
x 4
2 − 3x3 + x2
2 +2x
dx = 31
60 .
Observat¸ia 13.4.1 Dacă avem de calculat o integrală dublă pe un domeniu arbitrar, atunci
încercăm să găsim o partit¸ie a sa în domenii regulate ¸si apoi aplicăm proprietatea de
aditivitate fat¸ă de domeniu.
Ca ¸si în cazul integralelor Riemann, calculul unor integrale duble se poate face cu o
schimbare de variabile.
Se demonstrează ([2], [3]) că are loc următoarea teoremă de schimbare de variabile:
Teorema 13.4.10 Fie f : D ⊂ R2 → R o funct¸ieintegrabilă pe D ¸si fie transformare x =
ϕ(u, v), y = ψ(u, v) a domeniului Δ ⊂ R2 în domeniul D. Dacăfunct¸iile ϕ ¸si ψ au derivate
part¸iale de ordinul întâi continue pe domeniul Δ, iar determinantul funct¸ional (jacobianul
transformării)
D(x, y)
J =
D(u, v) =
∂ϕ(u, v) ∂ϕ(u, v)
∂u ∂v
= 0,
∂ψ(u, v) ∂ψ(u, v)
∂u ∂v
atunci are loc formula de schimbare de variabile în integrala dublă
D
f(x, y)dxdy =
Δ
294
f(ϕ(u, v),ψ(u, v))|J|dudv.

O schimbare de variabile des utilizată esteceapolară:
x = r cos θ, y= r sin θ,
prin care se trece de la coordonatele carteziene (x, y) la cele polare (r, θ).
Geometric (Fig. 13.4.3), dacă avem punctul A(x, y) din planul xOy, atunci coordonatele
polare ale lui A sunt date de distant¸a de la origine la A, adică r = x 2 + y 2 ,¸si de unghiul
pe care îl face axa Ox cu direct¸ia OA, adicătgθ = y
x .
Jacobianul transformării polare este
D(x, y)
J =
D(r, θ) =
∂x
∂r
∂y
∂r
y
0
r
Fig. 13.4.3
∂x
∂θ
∂y
∂θ
Exemplul 13.4.3. Să calculăm integrala dublă
I =
D
A(x, y)
cos θ −r sin θ
=
= r.
sin θ rcos θ
dxdy
1+x 2 + y 2 ,
unde D = {(x, y) ∈ R| x 2 + y 2 ≤ a 2 , a > 0, x ≥ 0, y ≥ 0}.
Se observă că D este mărginit de sfertul de cerc x 2 +y 2 = r 2 din primul cadran ¸si de axele
Ox ¸si Oy (Fig. 13.4.4).
y
0
r
a
Fig. 13.4.4
Utilizăm coordonatele polare, prin care domeniul D este transformat în dreptunghiul
Δ= (r, θ)| 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ π
,
2
295
x
x

¸si avem
I =
Δ
1
√ rdrdθ =
1+r2 a
π
2
rdrdθ
√ 1+r 2 =
0 0
a
rdr
= √
1+r2 0
dr
π
2
dθ =
0
π
a
1+r2 =
2
0
= π
2 (1+a2 − 1).
Observat¸ia 13.4.2 Prin analogie cu integralele improprii din funct¸iile de o variabilă reală,
se pot introduce ¸si integrale duble (în general, multiple ) improprii.
Observat¸ia 13.4.3 În domeniul economic integralele duble apar deseori în studiul modelelor
matematico - economice descrise prin variabile aleatoare bidimensionale.
296

13.5 Test de verificare a cuno¸stint¸elor nr. 12
1. Definit¸i următoarele not¸iuni:
a) Integrală improprie de prima spet¸ă;
b) Funct¸iile Beta ¸si Gamma ale lui Euler;
c) Integrală dublă.
2. a) Studiat¸i convergent¸a integralei
1
2
b) Studiat¸i convergent¸a integralei
0
∞
c) Studiat¸i convergent¸a integralei I =
d) Studiat¸i convergent¸a integralei
3. Să se calculeze integrala I(a) =
4. Calculat¸i integrala
5. a) Calculat¸i integrala:
I(b) =
∞
0
π
2
0
1
I =
1
dx
x · ln 2 x ,
dx
,
1+x4 ∞
1
0
dx
3√ 1 − x 4 ,
| sin x|
dx , w >1.
xw 1 − e−ax dx care depinde de parametrul real a>−1.
x · ex 1
sin x
I(b) =
π
2
0
1+b sin x
ln dx cu b ∈ R.
1 − b sin x
ln(cos 2 x + b 2 sin 2 x)dx
care depinde de parametrul real 0

d) I =
∞
0
7. Calculat¸i:
a) I =
b) I =
c) I =
1
0
1
0
D
x2 (1 + x4 .
) 2
0
1
0
−1
8. a) Calculat¸i I =
¸si y 2 = x.
b) Calculat¸i I =
xy =1.
9. Calculat¸i I =
cadran.
10. Calculat¸i I =
dxdy
, unde D este dreptunghiul [3, 4] × [1, 2];
(x + y) 2
ydxdy
(1 + x 2 + y 2 ) 3
2
xe xy dxdy.
D
D
D
;
(x 2 + y)dxdy unde D este domeniul mărginit de parabolele y = x 2
x2 dxdy unde D este mărginit de dreptele x =2, y = x ¸si hiperbola
y2 xydxdy, unde D este sfertul de cerc x 2 + y 2 ≤ R 2 situat în primul
x
D
2 sin(xy)
dxdy, unde D este domeniul mărginit de parabolele x
y
2 = y,
x2 =2y, y 2 = π
2 x, y2 = πx.
298

Indicat¸ii ¸si răspunsuri Test nr. 12
2. a) integrala este convergentă.
b) Din lim
x→∞ xw ·
c) Din lim
x→1
x 1 se deduce convergent¸a integralei.
1+x4
(1 − x) w ·
1
3√ 1 − x 4
| sin x| 1
≤ ¸si
xw xw gralei.
3. I(a) =ln(a +1).
4. I(b) =π · arcsin (b).
b +1
5. a) I(b) =π ln .
2
b) I(y, k) = 1
2 ln
1+ y2
π2
.
3 3
6. a) I = β , =
2 2
π
8 .
5 3
b) I = β , =
4 4
π√2 4 .
c) I = 1
3 β
2 1
, =
3 3
2π
3 √ 3 .
d) I = 1
4 β
3 5
, =
4 4
π√2 16 .
7. a) I =
2
1
1
1
dx
4
3
1
∞
1
dx
=ln25
(x + y) 2 24 .
w = 1
3 < 1
======= 2
ydx
b) I = dx
(1 + x
0 0
2 + y 2 ) 3
(1 +
=ln
2
√ 2) √ 2
1+ √
.
3
⎛ √
1
x
⎜
8. a) I = ⎝
0 x2 (x 2 ⎞
⎟
+ y)dy⎠
dx = 33
100 .
⎛
2
x
⎜ x
b) I = ⎝
2
⎞
⎟
dy
y2 ⎠ dx = 9
4 .
1
x
9. Folosind coordonatele polare se obt¸ine:
10. I = 1
3
2
1
π
2
π
I =
− 2
3 se deduce convergent¸a integralei.
dx
converge pentru w>1 se deduce convergent¸a inte-
xw π
2
0
0
R
ρ 3 cos θ · sin θ · dρdθ = R4
8 .
u · sin(uv) · dudv = − 2
3π unde x2 = u · y cu 1 ≤ u ≤ 2 ¸si y2 = vx cu π
≤ v ≤ π.
2
299

Bibliografia aferentă capitolului:
[1] Acu, A.M., Acu D., Acu M., Dicu P., Matematici aplicate în economie - Volumul II,
Editura ULB, Sibiu, 2002.
[2] Nicolescu, M., Dinculeanu, N., Marcus, S., Manual de analiză matematică, Vol.I,
1962, Vol.II, 1964, Editura Didactică ¸si Pedagogică, Bucure¸sti.
[3] Stănă¸silă, O., Analiză matematică, Editura Didactică ¸si Pedagogică, Bucre¸sti, 1981.
300