Subiecte licenta 2013 ISAPM
Subiecte licenta 2013 ISAPM Subiecte licenta 2013 ISAPM
Dacă funcţia ϕ : J → I este derivabilă cu derivata continuă şi f : I → R este continuă, iar α, β ∈ J atunci β ∫ α ϕ( β ) ( ( t) ) ⋅ϕ'( t) dt = ∫ f ϕ f ( x) dt ϕ( α ) Se fac schimbările, de variabilă şi de simbol ϕ ( t ) = x şi ϕ '( t) dt = dx t ∈ J, x ∈ I . 6. Ce reprezintă logaritmul în baza dată a > 0, a ≠ 1 a numărului N > 0. Răspuns: x log a N = x ⇔ N = a . Deci log a N este puterea la care trebuie ridicată baza pentru a obţine numărul. 7. Ce reprezintă partea întreagă a unui număr real x ? Definiţi funcţia parte întreagă şi funcţia parte zecimală. Răspuns: Partea întreagă a numărului real x, notată [x], este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu x: x ∈ [ k, k + 1 ), k ∈ Z ⇒ [ x] = k . Funcţia f : R → Z, f(x) = [x], se numeşte funcţie parte întreagă. Funcţia g : R → [0, 1), g(x) = x - [x] se numeşte funcţie parte zecimală. 8. Definiţi transformata Laplace şi stabiliţi formula de calcul a derivatei. Răspuns: Dacă f este o funcţie original, transformata Laplace a lui f este: Imaginea derivatei ∞ ∫ −s t ( Lf ) ( s) = f ( t) e dt . ' ( Lf ) ( s) = s ( Lf ) ( s) − f ( 0 9. Menţionaţi modul de determinare al extremelor unei funcţii de 2 variabile, derivabilă parţial. Răspuns: Extremele funcţiei u = u( x, y) se găsesc printre punctele staţionare asociate, care sunt ⎧∂ ⎪ = 0 soluţiile sistemului ∂ ⎨∂u ⎪ = 0 ⎪⎩ ∂y x u . 0 + ) 4
2 2 2 2 ∂ u ∂ u ⎛ ∂ u ⎞ ∂ u Un punct staţionar este punct de minim dacă ⋅ − > 0 2 2 ⎜ ⎟ şi > 0 , respectiv 2 ∂x ∂y ⎝ ∂x∂y ⎠ ∂x 2 2 2 2 ∂ u ∂ u ⎛ ∂ u ⎞ ∂ u este punct de maxim dacă ⋅ − ⎜ ⎟ > 0 2 2 ∂ ∂ ⎜ ⎟ şi < 0 . 2 x y ⎝ ∂x∂y ⎠ ∂x 10. Definiţi pentru o variabilă aleatoare discretă următoarele caracteristici numerice: valoarea medie, dispersia şi abaterea medie pătratică. Răspuns: Fie ξ o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia ⎛ x ⎞ n 1 , x2 , K, xn ξ : ⎜ ⎟ ⎟, ∑ pi = 1, pi = P( ξ = xi ) ⎝ p1 , p2 , K, pn ⎠ i= 1 n 2 Valoarea medie M ( ξ ) = ∑ xi pi i= 1 . Valoarea medie reprezintă o valoare în jurul căreia se constată o grupare a valorilor variabilelor aleatoare. 2 D 2 ξ = σ = M 2 ξ − M ξ [ ] Dispersia ( ) ( ( ) ) 2 Abaterea medie pătratică D ( ξ ) = σ = D ( ξ ) . Dispersia şi abaterea medie pătratică sunt indicatori care caracterizează “împrăştierea” valorilor unei variabile aleatoare dând o indicaţie asupra gradului de concentare a valorilor variabilei în jurul valorii sale medii. Aplicaţii 1. Viteza de desfăşurare a unei reacţii chimice este caracterizată de ecuaţia diferenţială dx = k( a − x) unde k şi a sunt constante. Determinaţi soluţia generală şi rezolvaţi problema dt Cauchy ataşată ştiind că la momentul iniţial t = 0 cantitatea transferată era 0. Soluţie Soluţia generală: x = x(t) = a + c e -kt (c ∈ R). Soluţia problemei Cauchy: x = x(t) = a (1 - e -kt ). 2. Presiunea p şi volumul V în cazul expansiunii adiabatice a unui gaz sunt legate prin ecuaţia dp dV C P n CV + C P = 0 unde CV şi CP sunt constante. Ştiind că = n arătaţi că pV = p V CV constant. Soluţie Soluţia generală: CV ln p = - CP ln V + k (k ∈ R). Rezultă ln pV n = K unde K = e K = constant. 2 k n deci pV = CV 5
- Page 1 and 2: MATEMATICĂ........................
- Page 3: a = = 100 p procent 100 = valoarea
- Page 7 and 8: 4. Enunţaţi legea lui Boyle-Mario
- Page 9 and 10: unde curenţii care ies din nod se
- Page 11 and 12: CHIMIE ANORGANICĂ Teorie 1. Defini
- Page 13 and 14: (b) AT + HO ⎯⎯→ BFS + H2O în
- Page 15 and 16: 5. Reacţii de hidroliză: definiţ
- Page 17 and 18: 8. Relaţia dintre produsul de solu
- Page 19 and 20: (−2) O + Δ ) 2 (− (+ 1) H ¦
- Page 21 and 22: a) MnO4 + 5e + 8H Mn 2 + 4H2O 5¦
- Page 23 and 24: Δ Δ Δ H o r 298 = o r S 298 = r
- Page 25 and 26: 4. Planck postuleazăcă: „toates
- Page 27 and 28: P2. P3. V = 3 = 800L 0, 8m ; T = 25
- Page 29 and 30: P5. ⎛ ∂ ln K X ⎞ ⎜ ⎟ ⎝
- Page 31 and 32: CHIMIE ORGANICA Subiectul 1: Formul
- Page 33 and 34: Subiectul 7: Compuşi cu grupe func
- Page 35 and 36: Aplicaţii Subiectul 1: Prin analiz
- Page 37 and 38: CHIMIE ANALITICA INSTRUMENTALA I. S
- Page 39 and 40: 3. Sursa de emisie în spectrometri
- Page 41 and 42: 2. Mărimile caracteristice unui pi
- Page 43 and 44: eferinţei (TR), iar diferenţa de
- Page 45 and 46: Conform stoechiometriei reactiei: 1
- Page 47 and 48: 4) căldura antrenată din sistem c
- Page 49 and 50: 10. Deduritatea apei. Dedurizarea a
- Page 51 and 52: de 100 mg/L. Considerând amestecar
- Page 53 and 54: y2) precum i volatilitatea relativ
2 2 2<br />
2<br />
∂ u ∂ u ⎛ ∂ u ⎞ ∂ u<br />
Un punct staţionar este punct de minim dacă ⋅ − > 0<br />
2 2 ⎜<br />
⎟ şi > 0 , respectiv<br />
2<br />
∂x<br />
∂y<br />
⎝ ∂x∂y<br />
⎠ ∂x<br />
2 2 2<br />
2<br />
∂ u ∂ u ⎛ ∂ u ⎞ ∂ u<br />
este punct de maxim dacă ⋅ − ⎜ ⎟ > 0<br />
2 2<br />
∂ ∂<br />
⎜ ⎟<br />
şi < 0 . 2<br />
x y ⎝ ∂x∂y<br />
⎠ ∂x<br />
10. Definiţi pentru o variabilă aleatoare discretă următoarele caracteristici numerice:<br />
valoarea medie, dispersia şi abaterea medie pătratică.<br />
Răspuns:<br />
Fie ξ o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia<br />
⎛ x ⎞ n<br />
1 , x2<br />
, K,<br />
xn<br />
ξ : ⎜<br />
⎟<br />
⎟,<br />
∑ pi<br />
= 1,<br />
pi<br />
= P(<br />
ξ = xi<br />
)<br />
⎝ p1<br />
, p2<br />
, K,<br />
pn<br />
⎠ i=<br />
1<br />
n<br />
2<br />
Valoarea medie M ( ξ ) = ∑ xi<br />
pi<br />
i=<br />
1<br />
. Valoarea medie reprezintă o valoare în jurul căreia se constată o<br />
grupare a valorilor variabilelor aleatoare.<br />
2<br />
D<br />
2<br />
ξ = σ = M<br />
2<br />
ξ − M ξ<br />
[ ]<br />
Dispersia ( ) ( ( ) )<br />
2<br />
Abaterea medie pătratică D ( ξ ) = σ = D ( ξ ) .<br />
Dispersia şi abaterea medie pătratică sunt indicatori care caracterizează “împrăştierea”<br />
valorilor unei variabile aleatoare dând o indicaţie asupra gradului de concentare a valorilor<br />
variabilei în jurul valorii sale medii.<br />
Aplicaţii<br />
1. Viteza de desfăşurare a unei reacţii chimice este caracterizată de ecuaţia diferenţială<br />
dx<br />
= k(<br />
a − x)<br />
unde k şi a sunt constante. Determinaţi soluţia generală şi rezolvaţi problema<br />
dt<br />
Cauchy ataşată ştiind că la momentul iniţial t = 0 cantitatea transferată era 0.<br />
Soluţie<br />
Soluţia generală: x = x(t) = a + c e -kt (c ∈ R).<br />
Soluţia problemei Cauchy: x = x(t) = a (1 - e -kt ).<br />
2. Presiunea p şi volumul V în cazul expansiunii adiabatice a unui gaz sunt legate prin ecuaţia<br />
dp dV<br />
C P n CV + C P = 0 unde CV şi CP sunt constante. Ştiind că = n arătaţi că pV =<br />
p V<br />
CV<br />
constant.<br />
Soluţie<br />
Soluţia generală: CV ln p = - CP ln V + k (k ∈ R). Rezultă ln pV n = K unde K =<br />
e K = constant.<br />
2<br />
k n<br />
deci pV =<br />
CV<br />
5
Change language