Subiecte licenta 2013 ISAPM

a
= =
100
p
procent
100
=
valoarea procentuală
valoarea de bază
⋅b
adică p =
a
100
se numeşte procent. În scriere se însoţeşte p cu semnul % (procent).
Aplicaţii:
a). Se caută procentul: Într-o întreprindere cu 1500 de lucrători lucrează 300 femei. Care
este procentul femeilor din totalul lucrătorilor ?
b). Se caută valoarea procentuală: Câte kilograme de titan sunt în 275 kg de aliaj dacă
conţinutul de titan este 4% ?
c). Se caută valoarea de bază: Printr-o mai bună planificare, pe un şantier cheltuielile de
transport pentru cărămizi pot fi reduse cu 48.999 lei sau 12%. La câţi lei s-au ridicat aceste
cheltuieli înainte ?
4. Definiţi derivatele parţiale pentru funcţii de 2 variabile. Scrieţi formula de aproximare a
unei funcţii cu ajutorul diferenţialei.
Răspuns:
Fie f : A ⊂ R 2 → R de variabile x şi y şi (x0, y0) ∈ A, unde A este deschisă. Derivatele
parţiale ale lui f în raport cu x, respectiv y, în punctul (x0, y0) se definesc prin:
∂ f
∂ x
f ( x,
y0
) − f ( x0,
y0
)
( x0,
y0
) = lim
,
x→x0 x − x
∂ f
f ( x0,
y)
− f ( x0,
y0
)
( x0,
y0
) = lim
,
∂ y
y→ y0
y − y0
dacă limitele sunt finite.
Formula de aproximare a funcţiei f, pentru orice pereche (x, y) dintr-o vecinătate a lui (x0,
y0), este
x,
y)
≅ f ( x , y ) + ( df ) ( x − x , y − y ) ,
f ( 0 0 ( x , y ) 0 0
0 0
unde
∂ f
∂ f
( df ) ( x , y ) ( x − x0,
y − y0
) = ( x0,
y0
)( x − x0
) + ( x0,
y0
)( y − y0
)
0 0
∂ x
∂ y
este diferenţiala funcţiei f în punctul (x0, y0).
5. Scrieţi formula de integrare prin părţi şi formula de schimbare de variabilă la integrala
definită. Care este interpretarea geometrică a integralei definite ?
Răspuns:
b
I = ∫ f ( x)
dx dacă f : [a, b] → R+ , reprezintă aria subgraficului Γf a funcţiei f .
a
Formula de integrare prin părţi:
Dacă funcţiile f, g : I → R sunt derivabile cu derivatele f ′, g′: I → R continue, iar a, b ∈ I,
b
b
atunci ∫ f ( x)
g'(
x)
dx = f ( x)
g(
x)
a −∫
g(
x)
f '(
x)
dx .
a
Formula de schimbare de variabilă:
b
a
0
3