Subiecte licenta 2013 ISAPM

MATEMATICĂ
1. Prezentaţi Formula lui Taylor pentru funcţii de o variabilă şi modul cum se utilizează în
aproximarea funcţiilor prin polinoame.
Răspuns:
n+
1
Fie f : I ⊂ R → R şi x0 ∈ I, f ∈C
I . Are loc formula lui Taylor
f(x) = Tn(x) + Rn(x)
unde Tn este polinomul lui Taylor de ordin n, iar Rn este restul
n
x − x0
( x − x0
) ( n )
Tn(
x ) = f ( x0
) + f ′ ( x0
) + ... + f ( x0
) ,
1!
n!
( x − x0
) ( n+
1)
Rn
( x)
= f ( x0
+ θ ( x − x0
)) , 0 < θ < 1.
( n + 1)
!
Rezultă formula de aproximare pentru f(x) într-o vecinătate V a lui x0:
f(x) ≅ Tn(x) ,
cu eroarea ε = sup ( x)
.
n
x∈V
R n
n+
1
2. Definiţi următoarele noţiuni: media aritmetică, media aritmetică ponderată şi media
geometrică.
Răspuns:
Fie {x1, x2, …, xn} o mulţime nevidă de date (numere reale) cu ponderile nenegative {p1, p2,
…, pn}.
p1x1
+ p2
x2
+ L+
pn
xn
Media ponderată este M p =
, (elementele care au ponderi mai mari
p1
+ p2
+ L pn
contribuie mai mult la medie). Formula poate fi simplificată când ponderile sunt normalizate, adică:
n
∑
i = 1
p i = 1.
În acest caz M p = ∑ pi
xi
.
i = 1
n
Media aritmetică Ma este un caz particular al mediei ponderate Mp în care toate ponderile sunt
1
egale pn = .
n
n 1
Avem M a = ∑
n i = 1
Media geometrică
x
i
x1
+ x2
+ L+
x
=
n
M n
g x1x2...
xn
n
(Ma indică tendinţa centrală a unui set de numere).
= dacă xi > 0, i = 1 , n . Media geometrică are următoarea
interpretare geometrică. Media geometrică M g = ab
, a două numere a, b ∈ R+ este egală cu
latura unui pătrat cu aceeaşi suprafaţă ca şi un dreptunghi cu laturile a şi b.
3. Definiţi noţiunea de procent.
Răspuns:
Procentul este parte raportată la o sută de părţi dintr-un întreg şi este reprezentat prin %
(procent).
Fie a o mărime cu care se compară numită valoare de bază şi fie b o mărime care se
compară numită valoare procentuală. Mărimea p obţinută din proporţia
2