Subiecte licenta 2013 ISAPM

2 2 2
2
∂ u ∂ u ⎛ ∂ u ⎞ ∂ u
Un punct staţionar este punct de minim dacă ⋅ − > 0
2 2 ⎜
⎟ şi > 0 , respectiv
2
∂x
∂y
⎝ ∂x∂y
⎠ ∂x
2 2 2
2
∂ u ∂ u ⎛ ∂ u ⎞ ∂ u
este punct de maxim dacă ⋅ − ⎜ ⎟ > 0
2 2
∂ ∂
⎜ ⎟
şi < 0 . 2
x y ⎝ ∂x∂y
⎠ ∂x
10. Definiţi pentru o variabilă aleatoare discretă următoarele caracteristici numerice:
valoarea medie, dispersia şi abaterea medie pătratică.
Răspuns:
Fie ξ o variabilă aleatoare discretă cu distribuţia
⎛ x ⎞ n
1 , x2
, K,
xn
ξ : ⎜
⎟
⎟,
∑ pi
= 1,
pi
= P(
ξ = xi
)
⎝ p1
, p2
, K,
pn
⎠ i=
1
n
2
Valoarea medie M ( ξ ) = ∑ xi
pi
i=
1
. Valoarea medie reprezintă o valoare în jurul căreia se constată o
grupare a valorilor variabilelor aleatoare.
2
D
2
ξ = σ = M
2
ξ − M ξ
[ ]
Dispersia ( ) ( ( ) )
2
Abaterea medie pătratică D ( ξ ) = σ = D ( ξ ) .
Dispersia şi abaterea medie pătratică sunt indicatori care caracterizează “împrăştierea”
valorilor unei variabile aleatoare dând o indicaţie asupra gradului de concentare a valorilor
variabilei în jurul valorii sale medii.
Aplicaţii
1. Viteza de desfăşurare a unei reacţii chimice este caracterizată de ecuaţia diferenţială
dx
= k(
a − x)
unde k şi a sunt constante. Determinaţi soluţia generală şi rezolvaţi problema
dt
Cauchy ataşată ştiind că la momentul iniţial t = 0 cantitatea transferată era 0.
Soluţie
Soluţia generală: x = x(t) = a + c e -kt (c ∈ R).
Soluţia problemei Cauchy: x = x(t) = a (1 - e -kt ).
2. Presiunea p şi volumul V în cazul expansiunii adiabatice a unui gaz sunt legate prin ecuaţia
dp dV
C P n CV + C P = 0 unde CV şi CP sunt constante. Ştiind că = n arătaţi că pV =
p V
CV
constant.
Soluţie
Soluţia generală: CV ln p = - CP ln V + k (k ∈ R). Rezultă ln pV n = K unde K =
e K = constant.
2
k n
deci pV =
CV
5