Subiecte licenta 2013 ISAPM
Subiecte licenta 2013 ISAPM Subiecte licenta 2013 ISAPM
MATEMATICĂ 1. Prezentaţi Formula lui Taylor pentru funcţii de o variabilă şi modul cum se utilizează în aproximarea funcţiilor prin polinoame. Răspuns: n+ 1 Fie f : I ⊂ R → R şi x0 ∈ I, f ∈C I . Are loc formula lui Taylor f(x) = Tn(x) + Rn(x) unde Tn este polinomul lui Taylor de ordin n, iar Rn este restul n x − x0 ( x − x0 ) ( n ) Tn( x ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) + ... + f ( x0 ) , 1! n! ( x − x0 ) ( n+ 1) Rn ( x) = f ( x0 + θ ( x − x0 )) , 0 < θ < 1. ( n + 1) ! Rezultă formula de aproximare pentru f(x) într-o vecinătate V a lui x0: f(x) ≅ Tn(x) , cu eroarea ε = sup ( x) . n x∈V R n n+ 1 2. Definiţi următoarele noţiuni: media aritmetică, media aritmetică ponderată şi media geometrică. Răspuns: Fie {x1, x2, …, xn} o mulţime nevidă de date (numere reale) cu ponderile nenegative {p1, p2, …, pn}. p1x1 + p2 x2 + L+ pn xn Media ponderată este M p = , (elementele care au ponderi mai mari p1 + p2 + L pn contribuie mai mult la medie). Formula poate fi simplificată când ponderile sunt normalizate, adică: n ∑ i = 1 p i = 1. În acest caz M p = ∑ pi xi . i = 1 n Media aritmetică Ma este un caz particular al mediei ponderate Mp în care toate ponderile sunt 1 egale pn = . n n 1 Avem M a = ∑ n i = 1 Media geometrică x i x1 + x2 + L+ x = n M n g x1x2... xn n (Ma indică tendinţa centrală a unui set de numere). = dacă xi > 0, i = 1 , n . Media geometrică are următoarea interpretare geometrică. Media geometrică M g = ab , a două numere a, b ∈ R+ este egală cu latura unui pătrat cu aceeaşi suprafaţă ca şi un dreptunghi cu laturile a şi b. 3. Definiţi noţiunea de procent. Răspuns: Procentul este parte raportată la o sută de părţi dintr-un întreg şi este reprezentat prin % (procent). Fie a o mărime cu care se compară numită valoare de bază şi fie b o mărime care se compară numită valoare procentuală. Mărimea p obţinută din proporţia 2
a = = 100 p procent 100 = valoarea procentuală valoarea de bază ⋅b adică p = a 100 se numeşte procent. În scriere se însoţeşte p cu semnul % (procent). Aplicaţii: a). Se caută procentul: Într-o întreprindere cu 1500 de lucrători lucrează 300 femei. Care este procentul femeilor din totalul lucrătorilor ? b). Se caută valoarea procentuală: Câte kilograme de titan sunt în 275 kg de aliaj dacă conţinutul de titan este 4% ? c). Se caută valoarea de bază: Printr-o mai bună planificare, pe un şantier cheltuielile de transport pentru cărămizi pot fi reduse cu 48.999 lei sau 12%. La câţi lei s-au ridicat aceste cheltuieli înainte ? 4. Definiţi derivatele parţiale pentru funcţii de 2 variabile. Scrieţi formula de aproximare a unei funcţii cu ajutorul diferenţialei. Răspuns: Fie f : A ⊂ R 2 → R de variabile x şi y şi (x0, y0) ∈ A, unde A este deschisă. Derivatele parţiale ale lui f în raport cu x, respectiv y, în punctul (x0, y0) se definesc prin: ∂ f ∂ x f ( x, y0 ) − f ( x0, y0 ) ( x0, y0 ) = lim , x→x0 x − x ∂ f f ( x0, y) − f ( x0, y0 ) ( x0, y0 ) = lim , ∂ y y→ y0 y − y0 dacă limitele sunt finite. Formula de aproximare a funcţiei f, pentru orice pereche (x, y) dintr-o vecinătate a lui (x0, y0), este x, y) ≅ f ( x , y ) + ( df ) ( x − x , y − y ) , f ( 0 0 ( x , y ) 0 0 0 0 unde ∂ f ∂ f ( df ) ( x , y ) ( x − x0, y − y0 ) = ( x0, y0 )( x − x0 ) + ( x0, y0 )( y − y0 ) 0 0 ∂ x ∂ y este diferenţiala funcţiei f în punctul (x0, y0). 5. Scrieţi formula de integrare prin părţi şi formula de schimbare de variabilă la integrala definită. Care este interpretarea geometrică a integralei definite ? Răspuns: b I = ∫ f ( x) dx dacă f : [a, b] → R+ , reprezintă aria subgraficului Γf a funcţiei f . a Formula de integrare prin părţi: Dacă funcţiile f, g : I → R sunt derivabile cu derivatele f ′, g′: I → R continue, iar a, b ∈ I, b b atunci ∫ f ( x) g'( x) dx = f ( x) g( x) a −∫ g( x) f '( x) dx . a Formula de schimbare de variabilă: b a 0 3
- Page 1: MATEMATICĂ........................
- Page 5 and 6: 2 2 2 2 ∂ u ∂ u ⎛ ∂ u ⎞
- Page 7 and 8: 4. Enunţaţi legea lui Boyle-Mario
- Page 9 and 10: unde curenţii care ies din nod se
- Page 11 and 12: CHIMIE ANORGANICĂ Teorie 1. Defini
- Page 13 and 14: (b) AT + HO ⎯⎯→ BFS + H2O în
- Page 15 and 16: 5. Reacţii de hidroliză: definiţ
- Page 17 and 18: 8. Relaţia dintre produsul de solu
- Page 19 and 20: (−2) O + Δ ) 2 (− (+ 1) H ¦
- Page 21 and 22: a) MnO4 + 5e + 8H Mn 2 + 4H2O 5¦
- Page 23 and 24: Δ Δ Δ H o r 298 = o r S 298 = r
- Page 25 and 26: 4. Planck postuleazăcă: „toates
- Page 27 and 28: P2. P3. V = 3 = 800L 0, 8m ; T = 25
- Page 29 and 30: P5. ⎛ ∂ ln K X ⎞ ⎜ ⎟ ⎝
- Page 31 and 32: CHIMIE ORGANICA Subiectul 1: Formul
- Page 33 and 34: Subiectul 7: Compuşi cu grupe func
- Page 35 and 36: Aplicaţii Subiectul 1: Prin analiz
- Page 37 and 38: CHIMIE ANALITICA INSTRUMENTALA I. S
- Page 39 and 40: 3. Sursa de emisie în spectrometri
- Page 41 and 42: 2. Mărimile caracteristice unui pi
- Page 43 and 44: eferinţei (TR), iar diferenţa de
- Page 45 and 46: Conform stoechiometriei reactiei: 1
- Page 47 and 48: 4) căldura antrenată din sistem c
- Page 49 and 50: 10. Deduritatea apei. Dedurizarea a
- Page 51 and 52: de 100 mg/L. Considerând amestecar
a<br />
= =<br />
100<br />
p<br />
procent<br />
100<br />
=<br />
valoarea procentuală<br />
valoarea de bază<br />
⋅b<br />
adică p =<br />
a<br />
100<br />
se numeşte procent. În scriere se însoţeşte p cu semnul % (procent).<br />
Aplicaţii:<br />
a). Se caută procentul: Într-o întreprindere cu 1500 de lucrători lucrează 300 femei. Care<br />
este procentul femeilor din totalul lucrătorilor ?<br />
b). Se caută valoarea procentuală: Câte kilograme de titan sunt în 275 kg de aliaj dacă<br />
conţinutul de titan este 4% ?<br />
c). Se caută valoarea de bază: Printr-o mai bună planificare, pe un şantier cheltuielile de<br />
transport pentru cărămizi pot fi reduse cu 48.999 lei sau 12%. La câţi lei s-au ridicat aceste<br />
cheltuieli înainte ?<br />
4. Definiţi derivatele parţiale pentru funcţii de 2 variabile. Scrieţi formula de aproximare a<br />
unei funcţii cu ajutorul diferenţialei.<br />
Răspuns:<br />
Fie f : A ⊂ R 2 → R de variabile x şi y şi (x0, y0) ∈ A, unde A este deschisă. Derivatele<br />
parţiale ale lui f în raport cu x, respectiv y, în punctul (x0, y0) se definesc prin:<br />
∂ f<br />
∂ x<br />
f ( x,<br />
y0<br />
) − f ( x0,<br />
y0<br />
)<br />
( x0,<br />
y0<br />
) = lim<br />
,<br />
x→x0 x − x<br />
∂ f<br />
f ( x0,<br />
y)<br />
− f ( x0,<br />
y0<br />
)<br />
( x0,<br />
y0<br />
) = lim<br />
,<br />
∂ y<br />
y→ y0<br />
y − y0<br />
dacă limitele sunt finite.<br />
Formula de aproximare a funcţiei f, pentru orice pereche (x, y) dintr-o vecinătate a lui (x0,<br />
y0), este<br />
x,<br />
y)<br />
≅ f ( x , y ) + ( df ) ( x − x , y − y ) ,<br />
f ( 0 0 ( x , y ) 0 0<br />
0 0<br />
unde<br />
∂ f<br />
∂ f<br />
( df ) ( x , y ) ( x − x0,<br />
y − y0<br />
) = ( x0,<br />
y0<br />
)( x − x0<br />
) + ( x0,<br />
y0<br />
)( y − y0<br />
)<br />
0 0<br />
∂ x<br />
∂ y<br />
este diferenţiala funcţiei f în punctul (x0, y0).<br />
5. Scrieţi formula de integrare prin părţi şi formula de schimbare de variabilă la integrala<br />
definită. Care este interpretarea geometrică a integralei definite ?<br />
Răspuns:<br />
b<br />
I = ∫ f ( x)<br />
dx dacă f : [a, b] → R+ , reprezintă aria subgraficului Γf a funcţiei f .<br />
a<br />
Formula de integrare prin părţi:<br />
Dacă funcţiile f, g : I → R sunt derivabile cu derivatele f ′, g′: I → R continue, iar a, b ∈ I,<br />
b<br />
b<br />
atunci ∫ f ( x)<br />
g'(<br />
x)<br />
dx = f ( x)<br />
g(<br />
x)<br />
a −∫<br />
g(<br />
x)<br />
f '(<br />
x)<br />
dx .<br />
a<br />
Formula de schimbare de variabilă:<br />
b<br />
a<br />
0<br />
3