Geometria triunghiului

More documents

Recommendations

Info

Geometria triunghiului 8 Fie ABC triunghiul dat, avand m(∠B) = 45 o , m(∠A) = 60 o si AB+BC+AC = 2+ √ 2+ √ 6. Notam prin D proiectia varfului C pe latura AB si prin x – lungimea segmentului AD. Triunghiul dreptunghic ADC are un unghi ascutit de 30 o , prin urmare, ipotenuza lui, AC, este egala cu dublul catetei AD: AC = 2x. Tot de aici, conform teoremei lui Pitagora, CD = √ 4x 2 − x 2 = x √ 3. Pe de alta parte, triunghiul dreptunghic CDB este isoscel, prin urmare, BD = CD = x √ 3, BC = x √ 6. Rezulta AB + BC + AC = (x √ 3 + x) + x √ 6 + 2x = x(3 + √ 3 + √ 6) = x √ 3( √ 3 + 1 + √ 2). Deci, x √ 3( √ 3 + 1 + √ 2) = 2 + √ 2 + √ 6 si avem: x = 2 + √ 2 + √ 6 √ 3( √ 3 + 1 + √ 2) = √ 2( √ 2 + 1 + √ 3) √ 3( √ 3 + 1 + √ 2) = Obtinem ca laturile △ABC sunt: BC = 2 cm, AC = 2√ 6 3 √ 2 √ 3 = cm, AB = √ 6 3 . √ 6 3 + √ 2 cm. 9. Laturile unui triunghi au lungimile 13, 14 si 15 cm. Inaltimea si mediana duse la latura mai mare il impart in trei triunghiuri. Sa se calculeze ariile acestor triunghiuri. Solutie C ❜ ▲▲▲▲▲▲▲ ❜ ❜ ❜ 13 ❜ 14 ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ A D E 15 B Fie in triunghiul ABC AB = 15 cm, AC = 13 cm, BC = 14 cm, CD inaltimea, iar CE – mediana duse din varful C. Calculam aria △ABC, urilizand formula lui Heron: A△ABC = √ 21 · 8 · 7 · 6 = √ 3 · 7 · 8 · 7 · 3 · 2 = 7 · 3 · 4 = 84. Cum CE este mediana, obtinem A△BCE = A△ACE = A△ABC = 42. 2 Calculam inaltimea CD: A△ABC = 1 · AB · CD = 84, 2 de aici 1 · 15 · CD = 84 2 rezulta 56 CD = 5 . Gasim lungimea catetei AD a triunghiului dreptunghic ADC: AD = 132 2 56 − = 13 − 5 56 13 − 5 56 9 121 = · 5 5 5 = 33 5 .
Geometria triunghiului 9 Calculam A△ADC = 1 2 In fine, 1 33 56 · AD · CD = · · 2 5 5 = 924 25 . A△CDE = A△ACE − A△ADC = 42 − 924 25 Raspuns: 42 cm 2 , 924 25 cm2 , 126 25 cm2 . = 1050 − 924 25 = 126 25 . 10. In triunghiul ABC cu AB = c, AC = b si BC = a are loc egalitatea a 2 = b(b + c). Sa se demonstreze ca m(∠A) = 2m(∠B). Solutie ✆ ✆✆✆✆✆✆ B ▲◗◗ ✆✆ ▲ ◗ ◗ ▲ ◗ ▲ ◗ a ◗ ▲ c ◗ ▲ ◗ ◗ ▲ ◗ ▲ ◗ ◗ ▲ . ◗ C b A c D ... . . Fie △ABC poseda proprietatea din enunt. Egalitatea a 2 = b(b+c) poate fi scrisa sub forma a b = b + c a . Pe semidreapta CA depunem segmentul AD = c astfel incat A este intre C si D. Consideram triunghiul isoscel BAD. El are ∠ABD ≡ ∠ADB. Cum ∠CAB este unghi exterior al △BAD rezulta m(∠CAB) = 2m(∠ABD) (∗). Cercetam △BCA si △DCB. Ele au unghiul C comun si BC CA = . Prin urmare, △BCA ∼ △DCB (criteriul 2) si rezulta ∠ABC ≡ ∠BDC ≡ ∠ABD. De aici si din (*) obtinem m(∠A) = 2m(∠ABC) c. t. d. 11. Medianele AL si BM ale triunghiului ABC se intersecteaza in punctul K. Varful C al triunghiului este situat pe cercul ce trece prin punctele K, L, M. Sa se calculeze lungimea medianei CN, daca AB = a. Solutie ❤❤ ❤❤❤❤ ✡ ✡❤ ❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ ✡✡ ✡ ✡✡ ✡ C . . . . . . . . ❆❆ . . . . ❆ . . . . ❆ . . . M . ❆ . ❩ . ❩ ✦❆ . . . L . ❩ . . . . . . ❵❛❜ ❆ ❩ ❆ ✦ ✦✦✦✦✦✦ K ❩ ❩ ❆ A . ❩ ❆ N ❩ ❆ a B ... .... ... . .... DC CB
Page 1 and 2: Geometria triunghiului 1 I. Triungh
Page 3 and 4: Geometria triunghiului 3 5. Dupa re
Page 5 and 6: Geometria triunghiului 5 Fie O cent
Page 7: Geometria triunghiului 7 Cercetam d
Page 11: Geometria triunghiului 11 9. Sa se

Geometria triunghiului

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?