Geometria triunghiului

Geometria triunghiului 6
Solutie
✁ ✁✁✁
✁ ✁✁✁✁✁✁
A
❆❆
❆
❆
❆
a
❆ a
❆
B D
b
❆
❆
❆
❆ C
Fie triunghiul isoscel ABC cu AB = AC =
a, BC = b. Fie AD este inaltimea relativa
bazei. Din △ADC dreptunghic gasim AD = a2
2
b
− = a
2
2 − b2
, atunci
4
sau
sau
Din r = A
p deducem
Din abc
4A
b
a 2 − b2
4
= R deducem
A△ABC = 1
b
BC · AD =
2 2
a2 − b2
4 .
b
2
a2 − b2
4
a + b
2
= 3
,
2
adica
= 3 a + b
2
⇔ b 2
a − b
a +
2
b
= 9 a +
2
b
2 2
a + b
2 =
b2
a − b
2
. (∗)
9
2b
a2b
a 2 − b2
4
= 25
8
25 a − b
a +
2
b
= 4a
2
2 . (∗∗)
Rezolvam sistemul, format din ecuatiile (*) si (**). Substituim a + b
din (*) in (**) si
2
obtinem ecuatia omogena 24a2 − 50ab + 25b2 = 0. Impartim ecuatia la b2
= 0 si obtinem
a
2 ecuatia 24 − 50
b
a
+ 25 = 0. De aici
b
⎡
⎢
⎣
a 5
=
b 6 ,
a 5
=
b 4 ,
⇔
⎡
⎢ a =
⎢
⎣
5
6 b,
a = 5
4 b.