Geometria triunghiului
Geometria triunghiului Geometria triunghiului
Geometria triunghiului 4 Conform teoremei catetei x2 = y · AB. De aici AB = x2 y Conform teoremei lui Pitagora = 152 9 AC = √ AB 2 − BC 2 = √ 25 2 − 15 2 = 20. Raspuns: BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm. = 25. 3. Catetele si ipotenuza unui triunghi dreptunghic au lungimile egale respectiv cu a, b si c. Inaltimea si mediana triunghiului duse din varful unghiului drept, impart acest triunghi in trei triunghiuri. Sa se afle ariile acestor triunghiuri. Solutie ✡ ✡✡✡✡✡✡ C ❜ ❆❆❜ ❜ ✡ ❜ ❜ ❆ ❜ a ❜ b ❆❆❆❆ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ B D E A Fie ABC triunghiul dat, in care AB = c, AC = b, BC = a si fie a < b. Ducem inaltimea CD si mediana CE. Deoarece A△ABC = ab si mediana oricarui triunghi imparte triunghiul in 2 doua triunghiuri de arii egale, rezulta ca A△ACE = A△BCE = ab 4 . Cum △CDB ∼ △ACB si coeficientul de asemanare este k = a , obtinem: c In sfarsit, Raspuns: ab 4 , a3b 2c2 , ab(b2 − a2 ) 4c2 A△CDB = k 2 · A△ACB = a2 ab · c2 A△CDE = A△BCE − A△CDB = ab 4 − a3 b (a < b). 2 = a3b . 2c2 2c2 = ab(b2 − a2 ) 4c2 4. Centrul cercului inscris intr-un triunghi dreptunghic este situat la distantele √ 13 cm si 2 √ 26 cm de varfurile unghiurilor ascutite. Sa se afle laturile triunghiului. Solutie ✡ ✡ ✡✡ ✡ ✡✡ ✡❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ✟ ❜ ✟✟✟✟✟✟ C F ✡ E r r y x ❵❛ ❳ O ❳ ❳ ❳ ❳ r ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ A x D y B ✡ ❜ ✡ ✡ ❜❜ ❜❜ √ √ 13 2 26 . .. . . . . .
Geometria triunghiului 5 Fie O centrul cercului inscris in triunghiul dreptunghic ABC, m(∠C) = 90 o . Cum centrul cercului inscris intr-un triunghi este punctul de intersectie al bisectoarelor unghiurilor triunghiului, rezulta ca m(∠OAB) + m(∠OBA) = 1 2 (m(∠A) + m(∠B)) = 45o . Prin urmare, m(∠AOB) = 180 o − 45 o = 135 o . Conform teoremei cosinusurilor, din △AOB, obtinem: AB2 = AO2 + BO2 − 2AO · BO · cos 135o ⇔ AB2 = 13 + 4 · 26 − 2 · √ 13 · 2 √ √ 2 26 · − ⇔ 2 ⇔ AB2 = 13 + 8 · 13 + 4 · 13 = 13(1 + 8 + 4) = 13 · 13. Deci, AB = c = 13. Fie raza cercului inscris in △ABC este r, AE = x, BF = y. Atunci AD = x, BD = y. Avem: ⎧ ⎪⎨ r ⎪⎩ 2 + x2 = 13 r2 + y2 = 4 · 26 (r + x) 2 + (r + y) 2 = 132 x + y = 13 ⎧ ⎪⎨ r ⇔ ⎪⎩ 2 + x2 = 13 r2 + y2 = 8 · 13 2r(x + y) = 132 Prin urmare, − 9 · 13 x + y = 13 ⇒ 2r·13 = 4·13 ⇒ r = 2. x = √ AO 2 − r 2 = √ 13 − 4 = 3, y = √ 4 · 26 − 4 = √ 4 · 25 = 10. In fine, AC = r + x = 5, BC = r + y = 12, AB = 13. Raspuns: 5 cm, 12 cm, 13 cm. 5. Inaltimea CD, dusa din varful unghiului drept C a triunghiului dreptunghic ABC, imparte acest triunghi in doua triunghiuri dreptunghice ADC si BDC. Razele cercurilor inscrise in aceste cercuri sunt egale cu r1 si r2 respectiv. Sa se afle raza r a cercului inscris in △ABC. Solutie ✡ ✡✡✡✡✡✡ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ ❜ C ❜ ✡ a b A D B Fie triunghiul ABC din enunt cu notatiile traditionale. Cum △ADC ∼ △ACB si coeficientul de asemanare este k1 = b r1 b , rezulta = c r c . Analog △BDC ∼ △BCA, k2 = a r1 a ⇒ = c r c . Ridicam la patrat aceste egalitati, le adunam membru cu membru, utilizam teorema lui Pitagora si obtinem: De aici, r = r 2 1 + r 2 2. cu 3 2 r 2 1 r 2 + r2 2 r 2 = b2 + a 2 c 2 = 1 ⇔ r2 1 + r 2 2 r 2 = 1 ⇔ r = r2 1 + r 2 2. 6. Sa se determine laturile triunghiului isoscel, stiind ca raza cercului inscris in el este egala cm, iar raza cercului circumscris este egala cu 25 8 cm.
- Page 1 and 2: Geometria triunghiului 1 I. Triungh
- Page 3: Geometria triunghiului 3 5. Dupa re
- Page 7 and 8: Geometria triunghiului 7 Cercetam d
- Page 9 and 10: Geometria triunghiului 9 Calculam A
- Page 11: Geometria triunghiului 11 9. Sa se
<strong>Geometria</strong> <strong>triunghiului</strong> 4<br />
Conform teoremei catetei x2 = y · AB. De aici AB = x2<br />
y<br />
Conform teoremei lui Pitagora<br />
= 152<br />
9<br />
AC = √ AB 2 − BC 2 = √ 25 2 − 15 2 = 20.<br />
Raspuns: BC = 15 cm, AC = 20 cm, AB = 25 cm.<br />
= 25.<br />
3. Catetele si ipotenuza unui triunghi dreptunghic au lungimile egale respectiv cu a, b si c.<br />
Inaltimea si mediana <strong>triunghiului</strong> duse din varful unghiului drept, impart acest triunghi in trei<br />
triunghiuri. Sa se afle ariile acestor triunghiuri.<br />
Solutie<br />
✡ ✡✡✡✡✡✡<br />
C<br />
❜ ❆❆❜<br />
❜ ✡ ❜<br />
❜<br />
❆ ❜<br />
a<br />
❜ b<br />
❆❆❆❆ ❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
B D E A<br />
Fie ABC triunghiul dat, in care AB = c, AC = b, BC = a si fie a < b. Ducem inaltimea<br />
CD si mediana CE. Deoarece A△ABC = ab<br />
si mediana oricarui triunghi imparte triunghiul in<br />
2<br />
doua triunghiuri de arii egale, rezulta ca<br />
A△ACE = A△BCE = ab<br />
4 .<br />
Cum △CDB ∼ △ACB si coeficientul de asemanare este k = a<br />
, obtinem:<br />
c<br />
In sfarsit,<br />
Raspuns: ab<br />
4 , a3b 2c2 , ab(b2 − a2 )<br />
4c2 A△CDB = k 2 · A△ACB = a2 ab<br />
·<br />
c2 A△CDE = A△BCE − A△CDB = ab<br />
4 − a3 b<br />
(a < b).<br />
2 = a3b .<br />
2c2 2c2 = ab(b2 − a2 )<br />
4c2 4. Centrul cercului inscris intr-un triunghi dreptunghic este situat la distantele √ 13 cm si<br />
2 √ 26 cm de varfurile unghiurilor ascutite. Sa se afle laturile <strong>triunghiului</strong>.<br />
Solutie<br />
✡<br />
✡<br />
✡✡<br />
✡ ✡✡<br />
✡❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
❜<br />
✟ ❜<br />
✟✟✟✟✟✟<br />
C<br />
F<br />
✡<br />
E<br />
r<br />
r<br />
y<br />
x<br />
❵❛ ❳<br />
O<br />
❳ ❳ ❳ ❳<br />
r<br />
❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳ ❳<br />
A x D y B<br />
✡ ❜<br />
✡ ✡ ❜❜<br />
❜❜<br />
√ √<br />
13 2 26<br />
. .. . .<br />
. . .
Change language