Integrale de suprafata

140 

CAPITOLUL 6 

INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ 

6.1. SUPRAFEŢE PARAMETRIZATE NETEDE 

2 

Definiţia 6.1.1. Fie D ⊂ un domeniu (mulţime deschisă şi conexă). Se 

numeşte pânză parametrizată de clasă C , orice funcţie vectorială r: D→ de 

1 

clasă C . 

Dacă notăm cu x, y şi z componentele scalare ale lui r, atunci ruv= ( , ) 

= x( uv , ) , y( uv , ) , z( uv , ) , ∀ uv , ∈ D. 

Ecuaţiile x = xuv ( , ) , y= y( uv , ) , 

( ) ( ) 

= ( , ) , ( uv , ) D 

z z u v ∈ se numesc ecuaţiile parametrice ale pânzei r, sau o reprezentare 

parametrică a pânzei, iar u şi v se numesc parametrii pânzei. Imaginea 

directă a domeniului D prin funcţia vectorială r, adică mulţimea 

S= { xuv ( , ) , y( uv , ) , z( uv , ) ; ( uv , ) ∈ D} 

se numeşte suportul (sau urma) pânzei r. 

În continuare vom folosi câteva notaţii specifice geometriei diferenţiale. 

3 

Pentru funcţia r: D→ folosim notaţia vectorială: 

r 

r 

r( u, v) = x( u, v) i + yuv ( , ) j r 

+ zuvk ( , ) , ( uv , ) ∈ D. 

∂x 

∂x 

∂y 

De asemenea, notăm cu xu 

= , xv 

= , yu 

= etc., cu 

∂ u ∂ v ∂ u 

D( y, z) 

yu zu 

D( z, x) 

z x 

A = Auv ( , ) = = , B = Buv ( , ) = = 

Duv ( , ) y z 

Duv ( , ) z x 

C = C( u, v) 

( , ) 

( , ) 

v v 

D y z xu yu 

= = . 

Duv xv yv 

r 

∂r 

r 

r 

r r r r ∂r 

r r r 

ru = = xui + yuj+ z 

∂u 

uk , rv = = xvi 

+ yvj+ zvk ∂v 

r 2 2 2 2 r r 

E = ru = xu + yu 

+ z u, 

F = ru⋅ rv = xuxv+ yy u v+ zz u v 

r 2 2 2 2 

G = r = x + y + zv 

. 

ru r × v 

v v v 

Observăm că: 

r 

= Ai + Bj+ Ck 

r r r 

şi 

u v 

1 

2 2 2 

r × r = A + B + C 

2 

r r 

. 

Dacă notăm cu ϕ unghiul dintre vectorii ru r şi v 

2 r 2 r 2 r r 2 r 2 r 2 2 

− = u v − u v = u v 1−cos r r , atunci 

( ) ( ) 

EG F r r r r r r ϕ = 

şi 

u u 

v v 

, 

3

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ 

Aşadar avem: 

2 2 2 

A + B + C 

( sin ϕ) 

r r r r 

= r r = r × r = A + B + C 

2 2 2 2 2 

u v u v 

2 2 

. 

141 

2 

= EG− F 

(1) 

1 

Definiţia 6.1.2. O pânză parametrizată de clasă C se numeşte netedă dacă 

2 2 2 

A B C 

+ + > 0, ∀ ( , ) 

uv ∈ D. 

Pentru o pânză parametrizată netedă rezultă că ru r × rv r ≠ 0, ∀ ( uv , ) ∈ D, 

deci 

şi rv sunt necoliniari. Fie 

r 

( uv , ) ∈ D şi fie M ⎡⎣xuv ( , ) , yuv ( , ) , zuv ( , ) ⎤∈ ⎦ S, 

punctul corespunzător de pe suportul pânzei r. Planul determinat de vectorii r şi 

r 

ru r 

rv r 

şi care trece prin M se numeşte planul tangent în M la S şi are ecuaţia: 

( ( , ) ) ( ( , ) ) ( ( , ) ) 

A X − x u v + B Y − y u v + C Z −z u v = 0 

(2) 

Normala în punctul M la S (adică perpendiculara pe planul tangent în punctul 

M al suportului S al pânzei) este paralelă cu vectorul ru r × rv r . Rezultă că parametrii 

directori ai normalei în M la S sunt A, B şi C. 

Definiţia 6.1.3. O pânză parametrizată r: D→ se numeşte simplă, dacă 

funcţia r este injectivă, adică dacă ruv , ≠ ru, v , oricare ar fi punctele 

( 1 

( u , v ) ∈ D, 

( u , v ) ∈ D, 

( u , v ) ≠ ( u , v ) . 

1) ( 2 2) 

1 1 

2 2 

1 1 2 2 

1 

Exemplul 6.1.1 Fie pânza parametrizată de clasă C , definită prin: 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

ruv ( , ) = ( Rsin ucos vR , sinusin vR , cosu) 

, ( uv , ) ∈ D= 

⎜0, ⎟× ⎜0, ⎟. 

Ecuaţiile 

⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 

parametrice sunt: 

⎧x= 

Rsinucosv ⎪ 

⎪y 

= Rsin usin v 

⎨ 

⎪ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

⎪ 

z = Rcos u ( u, v) ∈ D=⎜0, 

⎟× ⎜0, ⎟ 

⎩ 

⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 

3 

Observăm că pentru orice ( uv , ) ∈ D, 

punctul 

( ( , ) , ( , ) , ( , ) ) 

x uv y uv z uv verifică ecuaţia 

2 2 2 2 

x + y + z = R , x > 0 , y > 0 , z > 0 . Rezultă 

Fig. 1 

octant. Mai departe avem: 

că suportul acestei pânze este porţiunea sferei cu 

centrul în origine şi de rază R, cuprinsă în primul 

x = Rcosucosv, y = Rcosusin v , z = −Rsin 

u 

u 

u 

u 

u

142 

x =− Rsinusin v, y = Rsinucos v, z = 0 

v v 

2 2 

A = R sin ucosv, 

2 

E = R , F = 0 , 

2 2 

B = R sin usin v 

2 2 

G= R sin u 

v 

, C = R 

2 2 2 

2 4 2 

= − = > , ∀ ( ) 

2 

sin ucosu A + B + C EG F R sin u 0 uv , ∈ D. 

De asemenea, este evident că funcţia r este injectivă pe D. Aşadar, pânza parametrizată 

din acest exemplu este o pânză parametrizată netedă şi simplă. 

Un caz particular de pânză parametrizată, deosebit de important în aplicaţii, 

este cazul pânzei definită explicit. Mai precis, fie D ⊂ un domeniu şi fie 

f : D→ 

1 

∂f 

∂f 

o funcţie de clasă C . Notăm cu p = şi cu q = . Cu ajutorul 

∂ x ∂ y 

1 

funcţiei f putem defini următoarea pânză parametrizată de clasă C : 

( ) 

3 

r: D→ , r( x, y) x, y, f ( x, y) 

= , ∀ ( , ) 

x y ∈ D. 

Ecuaţiile parametrice sunt: 

⎧x= 

x 

⎪ 

⎨y 

= y 

⎪ 

⎩ z= f( xy , ) , ( xy , ) ∈D. 

Observăm că suportul acestei pânze este graficul funcţiei f (Fig. 2). 

Pe de altă parte, avem 

D( y, z) 

A = = 

D x, y 

0 

p 

1 

q 

=− p , 

Fig. 2 

( ) 

( , ) 

( ) 

( , ) 

( ) 

D z x p q 

B = = =− q şi 

D x, y 1 0 

D x y 1 0 

C = = = 1. 

D x, y 0 1 

Planul tangent într-un punct oarecare ( ( ) ) 

( X x)( p) ( Y y)( q) Z f ( x, y) 

M sunt ( −p, − q,1) 

. 

2 2 2 2 2 

Deoarece A + B + C = p + q + 1> 0, 

rezultă că pânza (3) este netedă. De aseme 

nea, este evident că este o pânză simplă. 

M x, y, f x, y are ecuaţia: 

− − + − − + − =0, iar parametrii directori ai normalei în 

r1: D1→ morfism 

Definiţia 6.1.5. Două pânze parametrizate de clasă C , r: D→ şi 

3 

se numesc echivalente cu aceeaşi orientare dacă există un difeo- 

Φ → cu proprietăţile: det JΦ ( u, v) 

> 0 , ∀ ( , ) 

: D D1 

2 

1 

uv ∈ D şi r = r oΦ. 

1 

3


1 

Reamintim că Φ este difeomorfism, dacă Φ este bijectivă, Φ∈C 

( D) 

şi 

−1 

1 

( 1) 

Φ ∈C 

D 

Dacă det JΦ < 0 pe D, spunem că cele două pânze sunt echivalente cu 

orientări opuse. Funcţia Φ se mai numeşte şi schimbare de parametri. Vom nota cu 

r r1faptul că pânzele r şi r1 

sunt echivalente. Din Definiţia 6.1.4 rezultă: 

Observaţia 6.1.1 Orice două pânze echivalente au acelaşi suport. 

Exemplul 6.1.2. Fie pânza parametrizată definită astfel: 

2 2 2 

( , ) ( , , 

) 

r u v = u v R −u − v , 

1 1 1 1 1 1 1 

( ) ( ) 

3 2 2 2 

{ } 

u , v ∈ D = u , v ∈ ; u + v < R , u > 0, v >0 . 

1 1 1 1 1 1 1 1 1 

Observăm că pânzele din exemplele 6.1.1 şi 6.1.2 sunt echivalente cu aceeaşi 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

orientare. Într-adevăr, fie Φ : D = ⎜0, ⎟× ⎜0, ⎟→D1, 

definită prin: 

⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 

1 

uv , Rsinucos v, Rsinusin v uv , ∈ D. 

Rezultă că Φ∈C 

( D) 

şi 

Φ ( ) = ( ) , ( ) 

JΦ ( uv , ) = 

Rcosucosv −Rsinusinv 

Rcosusinv Rsinucosv presupunem că ( u′ , v′ ) ( u′′ v′′ 

) 

2 

= R sin ucosu > 0 , ∀ ( , ) 

143 

uv ∈ D. 

Dacă 

Φ =Φ , , atunci rezultă că tg v = tg v′ 

şi mai departe că 

v= v′ şi u= u′ . Aşadar, Φ este injectivă. Pentru a dovedi că Φ este şi surjectivă, 

2 2 

1 + 1 

2 2 

fie u 1 > 0 , v 1 > 0 cu proprietatea u1 + v1 < R . Deoarece 

2 

u v 

0< < 1, 

rezultă 

R 

⎛ π ⎞ 

că există u ∈⎜0, ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

⎛ u1 

⎞ 

+ 

2 

astfel încât 

2 2 

1 + 1 

u v 

R 

= sinu 

, relaţie echivalentă cu 

⎜Rsinu⎟ ⎝ ⎠ 

⎛ v1 

⎞ ⎛ π ⎞ 

u1 

⎜ = 1 

Rsinu⎟ . Atunci există v∈⎜0, 

⎟ astfel încât = cosv 

şi 

⎝ ⎠ 

⎝ 2 ⎠ Rsin u 

v1 

= sin v . În definitiv, am arătat că există 

Rsin u 

( ) , uv ∈ D astfel încât 

u1= Rsinucosv, v1 de observat că 

Rsin usin, 

deci u1, v1 =Φ u, v . De asemenea, este uşor 

⎛ 

−1 

Φ ( u1, v1) 

= ⎜ ⎜arcsin ⎝ 

Pe de altă parte avem: 

2 2 

u1 + v1 v ⎞ 

1 

, arctg ⎟ 

−1 

1 

r u 

⎟, 

( u1, v1) ∈ D1, 

deci Φ ∈C 

( D1) 

. 

1 ⎠ 

( r1oΦ )( u, v) = r1⎡⎣Φ ( u, v) ⎤⎦= 

( Rsinucos v, Rsinusin v, Rcos u) = r( u, 

v ) , 

= v ( ) ( )

144 

∀ ( uv , ) D 

∈ , deci r r . 

1 

Observaţia 6.1.2 Orice pânză parametrizată echivalentă cu o pânză 

parametrizată simplă sau netedă este la rândul său simplă sau netedă. 

Într-adevăr, fie r r 1 unde r( uv , ) = ( xuv ( , ) , y( uv , ) , z( uv , ) ) , ( uv , ) ∈ D, 

r1( u1, v1) ( x1( u1, v1) , y1( u1, v1) , z1( u1, v1) 

) , ( , ) 

Φ ( uv , ) = ( λ ( uv , ) , µ ( uv , ) ) , ( uv , ) D 

= u1 v1 ∈ D1 

şi fie : D D1 

∈ , schimbarea de parametri. 

Φ → , 

Deoarece r = r oΦ şi Φ este bijectivă, rezultă că dacă r1 

este injectivă (deci 

1 

simplă) atunci şi r este injectivă (simplă). Pe de altă parte: 

x( uv , ) = x1⎡⎣λ ( uv , ) , µ ( uv , ) ⎤⎦ 

, yuv ( , ) = y1⎡⎣λ ( uv , ) , µ ( uv , ) ⎤⎦ 

şi 

z( uv , ) = z1⎡⎣λ ( uv , ) , µ ( uv , ) ⎤⎦ 

. 

Ţinând seama de formulele de derivare a funcţiilor compuse de două 

variabile rezultă: 

D( y, z) D( y1, z1) D( λ , µ ) D( 

λ, 

µ ) 

A= = ⋅ = A1⋅ 

Duv ( , ) Duv ( , ) Duv ( , ) Duv ( , ) 

şi analog 

D( 

λ , µ ) D( 

λ , µ ) 

B= B1⋅ şi C = C1⋅ . 

D( uv , ) 

D( uv , ) 

Aşadar, avem: 

( 1 1 1 ) 

( λµ , ) 

( , ) 

2 2 2 

A + B + C = 

2 2 2 

A + B + C 

⎡ D 

⎢ 

⎣ Duv 

⎤ ⎡Dλµ , ⎤ 

⎥ . Cum ⎢ 

⎦ Duv ( , ) ⎥ 

⎣ ⎦ 

> 0 , rezultă că 

dacă r (respectiv r1) este netedă, atunci şi r1 (respectiv r) este netedă. 

2 

( ) 

Definiţia 6.1.6 Se numeşte suprafaţă parametrizată de clasă C orice clasă 

de echivalenţă de pânze parametrizate de clasă C . 

Aşadar, 

ˆ 

1 

S este o suprafaţă parametrizată de clasă C , dacă există o pânză 

1 

2 3 

parametrizată de clasă C , r : D ⊂ → , astfel încât: 

S 

ˆ 

= r1: D→ 

3 

, pânză netedă parametrizată; r r 1} 

. 

{ 

Cum r r , rezultă că r ∈ S 

ˆ 

. Suprafaţa S 

ˆ 

se numeşte simplă (respectiv netedă) 

1 

dacă pânza r care o determină este simplă (netedă). Suportul suprafeţei S 

ˆ 

, este 

suportul S al pânzei r care o determină, acelaşi cu suportul oricărei alte pânze de 

clasă S 

ˆ 

. De regulă, vom identifica suprafeţa S 

ˆ 

su suportul său S. 

1 

2 

1


6.2. ARIA UNEI SUPRAFEŢE 

Pentru început abordăm problema ariei unei suprafeţe nedete explicită. Fie 

2 

D ⊂ un domeniu mărginit care are arie şi fie f : D→ o funcţie de clasă C 1 

∂f 

∂f 

pe D . Dacă notăm cu p = şi q = , rezultă că p şi q sunt continue pe D . Fie 

∂ x ∂ y 

S (respectiv S ) graficul funcţiei f : D→ (respectiv f : D→ ). Aşadar, 

{ ( , , ( , ) ) ; ( , ) } 

{ ( ) ( ) } 

S= xy f xy xy∈ D şi S = x, y, f ( x, y) ; x, y ∈ D . 

Mulţimea Γ = S \ S se numeşte bordura suprafeţei S. Dacă S este frontiera 

domeniului D, atunci 

{ ( x, y, f( xy , ) ) ; ( xy , ) C} 

Γ= ∈ . 

Fig. 1 

Fie 1 2 

145 

ρ : D , D , K , Dno 

partiţie a 

domeniului D şi fie M ( x, y un 

i i i) 

punct oarecare din D i . Notăm cu Pi 

punctul corespunzător de pe suprafaţa 

S. Evident P are coordonatele 

( i, i, ( i, i) 

) 

x y f x y . 

i 

Fie π i planul tangent la S în 

punctul Pi şi fie ni r versorul normalei 

la S în Pi 

, orientat în sus. Dacă notăm 

cu γ i unghiul format de versorul ni cu 

axa Oz, atunci cos 

r 

γ i = 

1 

2 2 

1+ 

p + q 

, 

∂f 

= 

∂x 

i i 

i 

∂f 

= 

∂y 

i i 

unde p ( x, 

y ) şi q ( x, 

) 

i i 

Fie Ti porţiunea decupată din planul tangent π i de cilindrul cu generatoarele 

paralele cu Oz şi curba directoare – frontiera domeniului 

i 

C i 

unghiul dintre planul π i şi planul xOy rezultă că aria D i = aria ( Ti)cos i 

2 2 

aria ( ) = 1+ 

+ q ⋅aria ( ) 

Ti pi i 

Prin definiţie, aria S = aria S = A = 

i 

y . 

D . Deoarece γ i este 

γ sau 

D (1) 

lim 

ρ →0 

n 

∑ 

i= 

1 

aria 

( T ) 

i 

. Sensul exact fiind 

următorul: Există A ∈ + astfel încât ∀ ε > 0, există δ ε > 0 astfel încât, 

∀ ρ : D1, K , Dn 

, partiţie a lui D, cu ρ < δε 

şi (∀) Mi( xi, yi) ∈ Di, 

avem: 

i

146 

n 

∑ 

i= 

1 

( ) 

A− aria T < ε . 

i 

( ) 

Ţinând seama de (1) rezultă că aria T = 

n 

∑ 

i= 

1 

i 

n 

∑ 

i= 

1 

2 2 

i i 

1+ p + q ⋅ari 

D . 

Observăm că suma din membrul drept este suma Riemann ataşată funcţiei 

2 2 

g = 1+ 

p + q , partiţiei ρ şi punctelor intermediare Mi( xi, yi) ∈ Di. 

Cum g este 

continuă pe D, deci integrabilă, rezultă că: 

2 2 

aria S = lim σ ρ ( gM ; i ) = ∫∫ g ( x, y) dx dy = ∫∫ 1 + p + q ( x, y) dx dy . 

ρ →0 

D D 

Aşadar, o suprafaţă netedă explicită S: z = f ( x, y) 

, ( , ) 

( ) 

a i 

x y ∈ D, 

are arie şi 

∫∫ 

D 

2 2 

xdy (2) 

aria S = 1 + p + q x, y d 

Exemplul 6.2.1 Să se calculeze aria suprafeţei 

2 2 2 

= − − , ( ) ( ) 

S: z R x y 

Rezultă: 

∂z 

p = =− 

∂x R 

x 

−x −y 

2 2 2 

2 

2 2 2 2 

{ } 

x, y ∈ D= x, y ∈ ; x + y < R . 

, 

∂z 

y 

q = =− 

∂y R −x −y 

2 2 2 

2 2 

1+ 

p + q = 

R 

2 2 2 

R −x −y 

. 

Conform (2) avem 

Aria S = ∫∫ 

R 

2π 

R 

dx dy = R 

2 2 2 ∫0 ∫ 0 

R + p + q 

ρ 

dρ= 

2 2 

R − ρ 

D 

2 2 

= 2πR⋅ R − ρ = 2πR 

. 

R 

0 

Din punct de vedere geometric ( ) 

2 

, 

2 2 2 2 2 2 

{ , , ; 

} 

S = x y R −x − y x + y ≤ R 

reprezintă emisfera superioară a sferei cu centrul în origini şi de rază R. Aria 

2 

întregii sfere va fi 4π R . 

Definiţia 6.2.1 Fie S o suprafaţă parametrizată simplă şi netedă şi fie 

( , ) ( ( , ) , ( , ) , ( ) ) 

( ) 2 

r uv = xuv y uv z uv , , ∀ uv , ∈D⊂ , o reprezentare parametrică a 

1( 

) 

sa. Presupunem că D este un domeniu mărginit care are arie şi că x, y, z ∈ C D . 

{ } 

Notăm cu ( ( , ) , ( , ) , ( , ) ) ; ( , ) 

S = x u v y uv z uv uv ∈ D şi cu


{ ( ( , ) , ( , ) , ( , ) ) ; ( , ) } 

S= xuv y uv z uv uv ∈ D . 

Deoarece suprafaţa este simplă, rezultă că funcţia r : D → S este bijectivă. 

Mulţimea Γ = S \ S se numeşte bordura suprafeţei S. Dacă notăm cu C frontiera 

domeniului D, atunci 

Γ= rC ( ) = xuv , , y uv , , z uv , ; uv , ∈ C . 

{ ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) } 

Corespondenţa dintre C şi Γ, în general nu este bijectivă . Suprafaţa S se 

numeşte închisă dacă S = S. O suprafaţă parametrizată închisă nu are bordură. 

Exemplul 6.2.2 Fie suprafaţa parametrizată 

ruv , Rsinucos vR , sinusin vR , cosu 

( ) = ( ) , ( uv , ) D ( 0, π ) ( 0, 2π) 

Fig. 2 

∈ = × . 

Ecuaţiile parametrice sunt: ⎧x= 

Rsin ucosv ⎪ 

⎨y 

= Rsin usin v 

⎪ 

⎩z 

= Rcosu u∈( 

0, π ) 

v∈( 

0,2 π ) . 

r 0, v 0,0, R v∈ 0, 2π 

. Aşadar, imaginea oricărui 

Observăm că ( ) = ( ) , ∀ [ ] 

( ) 

BF este punctul P ( 0,0, R) 

punct de pe segmentul AE , prin funcţia vectorială r, este punctul P 0,0, R . În 

mod analog imaginea oricărui punct de pe segmentul 

147 

′ − . 

Pe de altă parte, imaginea oricărui punct M ∈ AB U EF va fi un punct de 

coordonate x = Rsinu, y = 0, z Rcosu Deoarece 

2 2 2 2 

x y z R 

= , u [ 0, π ] 

∈ . 

+ + = şi x ≥ 0 rezultă că imaginea frontierei dome- 

niului D prin funcţia vectorială r este meridianul PQP′ de pe sfera cu centrul în 

origine şi de rază R. Aşadar, S = r( D) 

este sfera cu centrul în origine şi de rază R 

mai puţin meridianul PQP′ .

148 

S = r( D) 

este sfera cu centrul în origine şi de rază R. Bordura suprafeţei S 

este Γ = S \ S = PQP′ . 

2 

Definiţia 6.2.2 Fie D ⊂ un domeniu mărginit care are arie şi fie 

= ( ) , ( , ) 

Presupun că r 

1 

C ( D) 

: 

3 

S = r( D) 

. Prin definiţie 

3 

r: D→ , r( uv , ) xuv ( , ) , y( uv , ) , z( uv , ) 

uv ∈ D . 

∈ şi r D→ este injectivă. Fie S = r( D) 

şi 

∫∫ 

2 

∫∫ 

2 2 2 

(3) 

D D 

aria S = aria S = EG − F du dv = A + B + C du dv 

Observaţia 6.2.1 Fie S o suprafaţă netedă explicită: z f ( x, y) 

( xy , ) ∈D⊂ 2 

, 

1 

f ∈ C ( D) 

. În acest caz A p, B q, C 1 

6.2.2 rezultă că: aria S 

∫∫ 

2 2 

= 1+ 

p + q dxdy . 

D 

= , 

= − =− = şi din Definiţia 

Aşadar, în acest caz particular, regăsim formula (2) de calcul a ariei unei 

suprafeţe. Rezultă că Definiţia 6.2.2 este generalizarea, pentru suprafeţe parame- 

trizate, a noţiunii de arie a unei suprafeţe explicite. 

Observaţia 6.2.2 Aria unei suprafeţe parametrizate nu depinde de parametrizarea 

aleasă. 

Într-adevăr, fie S o suprafaţă parametrizată simplă şi netedă şi fie 

3 

r: D→ , r( uv , ) = xuv ( , ) , y( uv , ) , z( uv , ) , ( uv , ) ∈D, o reprezentare parametri- 

zată a sa. Dacă , 

( ) 

r : D → 

3 

r ( u , v ) ( x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) ) , ( , ) 

1 1 

1 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 u1 v1 ∈ D1 

este o altă reprezentare parametrică echivalentă a lui S, atunci există un difeomorfism 

Φ: D → D1 

, Φ ( uv , ) = ( λ ( uv , ) , , ( uv , ) ) , ∀ ( uv , ) ∈D şi avem 

( λµ , ) 

( , ) 

2 2 2 2 2 2 ⎛D⎞ A + B + C = ( A1 + B1 + C1 

) ⎜ 

Duv 

⎟ 

⎝ ⎠ . 

obţinem 

Dacă în formula (3) facem schimbarea de variabile u λ ( u, v) 

2 

1 

( ) 

( ) 

= , v = µ ( u, v) 

2 2 2 2 2 2 D λµ , D λµ , 

aria S = A1 + B1 + C1 du1dv1= A1 + B1 + C1 ⋅ du dv 

Duv , Duv , 

D1D ∫ 

D 

−1 

1 

( ) 

( ) 

∫ ∫ = 

2 2 2 

= A + B + C dudv.


Exemplul 6.2.3 Să se calculeze aria suprafeţei parametrizate 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

S: x= Rsin ucosv, y= Rsinusin v, 

z = Rcosu, ( xv , ) ∈ D = ⎜0, ⎟× ⎜0, ⎟ 

⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 

. 

Aşa cum s-a arătat în exemplul 6.1.1, în acest caz 

2 2 2 2 4 2 

A + B + C = EG− F = R sin u, 


Aria S 

∫∫ 

D 

2 sin 

2 

π 2 π 2 π 

= R ududv= 

R dv sin udu= 

0 0 

R 

2 

∫ ∫ . 

Din punct de vedere geometric suprafaţa S este porţiunea din primul octant a 

sferei, cu centrul în origine şi de rază R. Aria întregii sfere va fi egală cu 

2 

π R 2 

8⋅ = 4πR. 

2 

Exemplul 6.2.4 Să se calculeze aria torului. 

Considerăm în planul xOy un cerc de rază a cu centrul în punctul (b,0) unde 

0 < a < b. Torul este suprafaţa T care se obţine când rotim acest cerc, ca un corp 

rigid, în spaţiu în jurul axei Oy. Dacă θ este unghiul din figura 2 şi ϕ este unghiul 

de rotire al cercului în jurul axei Oy, atunci ecuaţiile parametrice ale torului sunt: 

⎧ x= ( b+ acosθ) 

cosϕ 

⎪ 

T : ⎨y 

= asin θ ( θϕ , ) ∈ D= 

( 0,2π) × ( 0,2π) 

. 

⎪ 

⎩z 

= ( b+ acosθ) 

sinϕ 

Rezultă: 

xθ= − asinθ 

cosϕ 

yθ= acosθ 

zθ= − asinθ 

sinϕ 

Fig. 2 

( ) 2 

cos 

2 2 2 

ϕ ϕ ϕ θ 

G = x + y + z = b+ a 

2 2 

( ) 2 

cos 

EG − F = a b + a θ . 

xϕ=− ( b+ acosθ 

) sinϕ 

( ) 

zϕ= b+ acosθ 

cosϕ 

2 2 2 2 

E = xθ + yθ + zθ = a ; 

F xθxϕ yθyϕ zθzϕ = + + = 0 ; 

2 

yϕ = 0 

Aria T = ∫∫ ab ( + acosθ ) dθdϕ = a∫ dϕ∫ ( b+ acosθ) dθ = 4 ab 

D 

2 

2π 2π 2 

0 0 

π . 

Aşadar, aria torului este 4π ab . În cazul particular când a = b reobţinem 

aria sferei. 

149

150 

6.3. INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE PRIMA SPEŢĂ 

Fie S o suprafaţă parametrizată simplă şi netedă şi fie 

x uv , , y uv , , z uv , , uv , ∈ D o reprezentare parametrică a sa. 

( ) ( ) 

r(u, v) = ( ) ( ) ( ) 

1 

Presupunem că D este un domeniu mărginit care are arie şi că x, y, z ∈ C ( D ) . Fie 

de asemenea, F o funcţie reală definită pe ( ) 

S r D 

partiţie a lui D. Notăm cu S r( D) 

ρ : D , D , K , Dno 

= şi fie 1 2 

i = i şi cu i( i, i, i) 

P x y z un punct oarecare din S i . 

Definiţia 6.3.1 Se numeşte integrala de suprafaţă de prima speţă a funcţiei 

F pe suprafaţa S şi se notează cu ∫∫ F( x, y, z) dσurmătoarea 

limită 

n 

∑ 

ρ → 0 

i= 

1 

( ) 

lim F P aria S , dacă această limită există şi e finită. 

i 

i 

S 

(Sensul exact al existenţei acestei limite fiind următorul: există L ∈ Ρ astfel 

încât ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 cu proprietatea că oricare ar fi partiţia ρ a lui D cu ρ < δε 

şi oricare ar fi punctele Pi S 

∈ i avem ∑ ( ) 

n 

L− F P aria S < ε . 

i= 

1 

i i 

Observaţia 6.3.1 Dacă S este o „suprafaţă materială” neomogenă, a cărei 

densitate variabilă este descrisă de funcţia F: S + 

n 

lim F P aria S 

aproximează masa suprafeţei S, iar ∑ ( ) 

( ) 

ρ → 0 

i= 

1 

→ , atunci ∑ ( ) 

i i 

n 

i= 

1 

F P aria S 

i i 

= masa ( S) 

. Aşadar, 

∫∫ F x, y, z dσ 

reprezintă masa suprafeţei materiale S a cărei densitate variabilă 

S 

este dată de funcţia F: S → + . 

Teorema 6.3.1 Fie S o suprafaţă parametrizată simplă şi netedă şi fie 

x = xuv ( , ) , y = y( u, v) 

, z= z( u, v) 

, ( uv , ) ∈ D o reprezentare parametrică a sa. 

1 

Presupunem că D este un domeniu mărginit care are arie şi că x, yz , ∈ C ( D) 

. 

dacă F: S → este continuă, atunci există integrala de suprafaţă de prima speţă 

a funcţiei F pe suprafaţa S şi 

2 

∫∫ F( x, y, z) dσ= 

⎡⎣ ( ) ( ) ( ) ⎤⎦ 

− ( ) 

S 

Demonstraţie. 

∫∫ F x uv , , y uv , , z uv , EG F uv , dudv(1) S


Fie ρ : D1, D2, K , Dno 

partiţie oarecare a domeniului D. O astfel de partiţie 

determină o partiţie a suprafeţei S (mai exact a suprafeţei lui S) şi anume: 

S , S , K , Snunde 

S = r( Di 

) . Fie P( x, y, z ) un punct oarecare din Si = r( Di) 

şi 

1 2 

fie π F ( P) 

n 

= ∑ 

n i 

i= 

1 

i 

i i i i 

151 

aria S . Dacă ţinem seama de modul de calcul al ariei unei 

i 

2 

suprafeţe (Definiţia 6.2.2), rezultă că π n = ∑F ( xi, yi, zi) ∫∫ EG−F ( u, v) dudv. n 

i= 1 

Di 

Pe de altă parte, din teorema de medie a integralei duble, rezultă că există 

α , β ∈ D astfel încât 

( ) 

i i i 

( , ) d d ( α , β ) aria( 

∫∫ 

Di 

2 

EG− F u v u v= 2 

EG−F i i Di 

. 

şi = 

Fie, de asemenea ( ξη i, i) ∈ Di 

cu proprietatea că xi = x( ξi, ηi) 

, yi = y( ξi, ηi) 

( ξ , η ) . Cu aceste precizări rezultă că: 

zi z i i 

n 

2 

∑ F x( , ) , y( , ) , z( , ) EG F ( , ) aria( 

D i) 

. 

π = ⎡⎣ ξ η ξ η ξ η ⎤⎦ − α β 

n i i i i i i i i 

i= 

1 

2 

Dacă notăm cu G( uv , ) = F⎡x( uv , ) , y( uv , ) , z( uv , ) ⎤ EG−F( uv) 

⎣ ⎦ , , 

∀ ( uv , ) ∈ D , atunci suma Riemann corespunzătoare partiţiei ρ, funcţiei G şi 

punctelor intermediare ( , ) 

n 

ξ η ∈ D este 

i i i 

2 

( G, , ) = ∑ F⎡x( , ) , y( , ) , z( , ) ⎤ EG−F ( , ) aria( 

σρξ η ⎣ ξ η ξ η ξ η ⎦ ξ η 

i= 

1 

i i i i i i i i i 

) 

) 

D . 

Deoarece G este continuă pe D , deci integrabilă pe D , rezultă că există 

lim σ G; ξ, η = ∫∫ G u, v dudv (2) 

ρ →0 

ρ 

( ) ( ) 

D 

Cum F este continuă pe S = r( D) 

şi S este o mulţime compactă (fiind 

imaginea mulţimii compacte D prin funcţia continuă r), rezultă că F este mărginită 

pe S . Fie M > 0 astfel încât F( x, y, z) < M , ∀ ( , , ) 

În continuare avem: 

x yz∈ S. 

n− ρ ≤ 

n 

∑ 

i= 

1 

− i i − − i i i 

2 2 

( G; , ) M EG F ( , ) EG F ( , ) aria( 

) 

π σ ξ η α β ξ η 

Pe de altă parte, funcţia 

D . 

2 

EG− F fiind continuă pe mulţimea compactă 

D , este uniform continuă, deci ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 cu proprietatea că oricare ar fi

152 

) 

punctele ( u′ , v′ 

) şi ( u′′ , v′′ 

din D astfel încât u′ − v′ < δε 

, u′′ − v′′ < δε 

, rezultă că 

2 

EG −F( u′ , v′ ) − 

2 

ε 

EG − F ( u′′ , v′′ 

) < 

M ⋅aria 

D 

(3) 

Dacă presupunem acum că ρ δε 

( ) 

βi−ηi ≤ diam Di < δε, 


( ) 

( ) 

< , atunci diam( 

) 

( ) 

αi−ξi ≤ Di < δε, 

ε n 

π − σ G; ξ, η < M ∑ aria D = ε 

(4) 

( ) 

n ρ 

i 

M aria D i= 

1 

Din (2) şi (4) rezultă că există 

n 

ρ →0 ρ →0 

2 

( ) ∫∫ ⎡⎣ ( ) ( ) ( ) ⎤⎦ 

( ) 

lim π = lim σ G; ξ, η = F x uv , , y uv , , z uv , EG−Fuv , dudv. ρ 

D 

Exemplul 6.3.1 Să se calculeze ∫∫ ( x+ y+ z)dσunde S 

2 2 2 

S: x y z a 2 

+ + = , 

z > 0. Suprafaţa S reprezintă emisfera superioară a sferei cu centrul în origine şi de 

rază a. O reprezentare parametrică a acestei suprafeţe este: x = asinucosv, y= asinusinv, z a cosu, 

⎛ π ⎞ 

, ⎜0, 0, 2π) 

2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

= ( uv) ∈ D= 

× ( 

2 4 2 

(Vezi Exemplul 6.1.1). 

Ţinând seama că EG− F = a sin u , din Teorema 6.3.1 rezultă: 

( x+ y+ z)dσ= asinucosv+ asinusinv+ a cosu a sinududv= ∫∫ ( ) 

S 

2 

∫∫ 

D 

3 π 2 2π 

2 2 

= a ∫ du ( sin ucosv+ sin usinv+ sinucosu) dv 

0 ∫ = 

0 

3⎛ π 2 2 

2π 2 

2π 2π 

⎞ 

= a 

⎛ 

sin usinv sin ucosv vsinu cosu ⎞ 

⎜∫ d 

0 ⎜ − + 

⎟ 

0 0 0 ⎟ u= 

⎝ ⎝ ⎠⎠ 

2 

π 2 

3sin u 

3 

= 2π 

a = π a . 

2 

0 

Corolarul 6.3.1 Fie S: z= f ( x, y) 

, ( , ) 

x y ∈ D o suprafaţă netedă explicită, 

1 

unde D este un domeniu mărginit care are arie, iar f C ( D) 

este continuă, atunci: 

2 2 

∫∫ F( x, y, z) dσ 

= ⎡⎣ ( ) ⎤⎦ 

+ + ( ) 

S 

∈ . Dacă F: S → 

∫∫ F xyf , , xy , 1 p q xy , dxdy (5) 

D 

Afirmaţia rezultă din Teorema 6.3.1 şi din observaţia că o reprezentare 

, x, y ∈ D. 

parametrică a suprafeţei S este: x = x, y = y, z = f ( xy ) , ( )


din conul 

∫∫ 

Exemplul 6.3.2 Să se calculeze ( xy + yz + zx)dσ , unde S este porţiunea 

2 

z = x + y 

2 , decupată de cilindrul 

Fig. 1 Fig. 2 

S 

2 2 

x + y = 2y. 

153 

Observăm că proiecţia suprafeţei 

S în planul xOy este domeniul 

2 2 

D: x + y −2y≤ 0. 

Aşadar, 

2 2 

= + , ( , ) 

S: z x y 

= 

x y ∈ D. 

∂z 

În continuare avem p = = 

∂x 

x 

2 2 

x + y 

∂z 

, q = = 

∂ y 

y 

2 2 

x + y 

şi 

2 2 

1+ p + q = 2. 

Din corolarul 6.3.1 

2 2 

rezultă că: I = ∫∫ ( xy + yz + zx)dσ = ⎡xy ( y x) x y ⎤ 

∫∫ + + + 2dxdy . 

⎢⎣ ⎥⎦ 

S 

Trecând la coordonate polare: x = ρ cosθ 

, y ρ sinθ 

D 

= , θ [ 0, π ] 

0≤ρ≤ 2sinθ, 

obţinem: 

I = 2 

π 

dθ 2sinθ 2 2 2 

( ρ sinθcosθ + ρ sinθ + ρ cosθ) ρdρ = 

∫ ∫ 

0 0 

4 

2sinθ 

π ρ 

∫ 

( ) 

= 2 sinθ cosθ + sinθ + cosθ dθ 

= 

0 

4 

∫ 

π 

0 

5 5 4 

( ) 

0 

∈ , 

= 4 2 sin θ cosθ + sin θ + sin θcosθ dθ 

= 4 2 sin θ dθ 

= 

( ) 2 

2 

π 

64 2 

= 4 2∫ 1− cos θ sinθdθ = . 

0 

15 

Observaţia 6.3.2 Dacă suprafaţa S este netedă pe porţiuni, adică este o 

reuniune finită de suprafeţe simple netede, 

simplă şi netedă ∀ 

ρ 

i 

i= 

1 

∫ 

π 

0 

S = US cu proprietăţile: S este 

i = 1, ρ , două câte două nu au puncte interioare comune 

iIj ij SiSj ( S S =∅ dacă i ≠ j) şi pentru orice i şi j Γ = I este o curbă netedă pe 

porţiuni (în cazul când este nevidă), atunci 

ρ 

aria S = ∑ aria Sişi 

F( x, y, z) d σ = ∑ F( x, y, z) 

dσ 

i= 

1 

ρ 

∫∫ ∫∫ . 

S i= 

1 S 

5 

i

154 

6.4. INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE SPEŢA A DOUA 

Pentru a defini integrala de suprafaţă de speţa a doua, trebuie mai întâi să 

definim orientarea unei suprafeţe, problemă asemănătoare cu orientarea unei curbe. 

Fie S o suprafaţă parametrizată netedă şi fie r( uv , ) = ( x( uv , ) , y( uv , ) , z( uv , ) ) , 

( uv , ) ∈ D o reprezentare parametrică a sa. În scriere vectorială, 

r 

r 

r uv x uv i y uv j z uv k 

( , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) 

, ( uv , ) ∈ D. 

Deoarece suprafaţa S este netedă, rezultă că r × r ≠ 0 

r , pentru orice ( uv) , ∈ D. În 

u v 

( , ) , ( , ) , ( , ) 

fiecare punct M ∈ S, de coordonate M ⎡⎣ xuv yuv zuv⎤⎦ 

există doi versori 

normali la suprafaţa S (ortogonali pe planul tangent în punctul M la suprafaţa S) şi 

anume ± nM ( ) unde 

r r 

nM ( ) = 

ru× rv 

r × r 

. 

u v 

Definiţia 6.4.1 Suprafaţa S se numeşte orientabilă (sau cu două feţe) dacă 

r 

3 

aplicaţia M → nM ( ): S→ este continuă. 

r 

3 

Este evident că dacă aplicaţia M →n( M): S → este continuă, atunci şi 

r 

3 

aplicaţia M →−n( M): S → este continuă. Dacă o suprafaţă este orientabilă, 

atunci orientarea sa (sau desemnarea unei feţe a acestei suprafeţe) revine la alegerea 

uneia din cele două aplicaţii continue M →± nM ( ) 

r 

. Aşadar, avem două 

orientări posibile ale suprafeţei S (sau două feţe ale suprafeţei S) şi anume: 

r r 

3 r 

S+ = ( S, n) 

care corespunde aplicaţiei continue M →n( M): S → şi S− = ( S, n) 

r 

3 

care corespunde aplicaţiei continue M →−n( M): S → . Desigur, notaţia S + 

pentru faţa ( Sn , ) 

r este arbitrară. Putem foarte bine să notăm cu S+ = ( S, −n) r . 

Important este faptul că, odată ales un anumit sens al normalei pentru a desemna o 

faţă a suprafeţei, cealaltă faţă va corespunde sensului opus al normalei. O suprafaţă 

neorientabilă se mai numeşte şi suprafaţă cu o singură faţă. 

r 

3 

Observaţia 6.4.1 Proprietatea aplicaţiei M →n( M): S → de a fi 

continuă, în cazul unei suprafeţe orientabile, este o proprietate globală şi se referă 

la întreaga suprafaţă S. Aceasta presupune de pildă următoarea proprietate: fie 

M 0 ∈ S oarecare fixat şi fie C o curbă închisă pe suprafaţa S care trece prin M 0 şi 

care nu întâlneşte bordura suprafeţei S. Să presupunem că am ales un sens pe 

r 

normala în M 0 la S şi anume sensul versorului n( M0) 

. Deplasând versorul nM ( ) 

pe curba C, plecând din 

r 

M 0 , revenim în punctul M 0 cu aceeaşi orientare a 

normalei, adică


Exemple. 

r r 

lim nM ( ) = nM 

M→M0 M∈C ( ) 

1. Orice suprafaţă netedă explicită, z= f ( x, y) 

, ( , ) 

0 

. 

155 

x y ∈ D are două feţe şi 

anume: faţa superioară, care corespunde normalei orientată în sus (care face un 

unghi ascuţit cu direcţia pozitivă a axei Oz) şi faţa inferioară care corespunde 

normalei orientată în jos. 

2 2 2 2 

Fig. 1 

2. Sfera x + y + z = R are două feţe şi anume: faţa exterioară care corespunde 

normalei orientată spre exterior şi faţa interioară care corespunde normalei 

orientată spre interior. 

Într-adevăr, pentru orice punct M ( xyz , , ) de pe sferă, versorul normalei 

r 1 uuuur 

exterioare în punctul M al sferei este: nM ( ) = OM. 

R 

r 

Este uşor de arătat că aplicaţia M →n( M): S → 

3 

este continuă pe 

2 2 2 2 

{ ( , , ) 

} 

S = x y z x + y + z = R . 

r 

r 

3. Fie S o suprafaţă parametrizată netedă şi fie r( u, v) = x( u, v) i + y( u, v) j + 

( , ) 

) 

+ zuvk, 

( uv , ∈ D o reprezentare parametrică a sa. 

Presupunem în plus că r : D → S este homeomorfism, adică r este bijectivă 

1 

şi bicontinuă (r şi r sunt continue). Atunci S = r(D) este o suprafaţă orientabilă. 

Într-adevăr, aplicaţia , unde 

− 

r 

3 r ru× rv 

M →n( M): S → nM ( ) = este continuă pe 

r × r 

u v 

S, pentru că este compunerea funcţiilor continue r 1 − : S → D şi 

( uv)→ , 

ru× rv 

r × r 

: D → 

3 

. 

u v

156 

4. Un exemplu clasic de suprafaţă cu o singură faţă (neorientabilă) este aşanumita 

banda lui Möbius. Un model al acestei suprafeţe se obţine dacă răsucim o 

bucată de hârtie dreptunghiulară ABCD astfel încât punctul A să coincidă cu C, iar 

punctul B cu D. 

Fig. 2 

Este uşor de observat că dacă deplasăm versorul normalei la suprafaţă 

plecând din E, pe curba închisă de pe suprafaţă corespunzătoare liniei mediane EF, 

când revenim în E, orientarea versorului normalei va fi opusă orientării iniţiale a 

acestuia. Aşadar, nu este asigurată continuitatea globală a aplicaţiei 

r 

3 

M →n( M): S → , deci suprafaţa nu este orientabilă. 

Definiţia 6.4.2 Fie S o suprafaţă parametrizată simplă, netedă, orientabilă 

r 

r 

şi fie r( uv , ) = x( uv , ) i+ y( uv , ) j+ z( uv , ) k 

a sa. Presupunem că D este un domeniu mărginit care are arie şi că 

1 

r 3 

x, yz , ∈ C( D) 

. Fie de asemenea v : Ω→ o funcţie vectorială continuă definită 

r 

r r r 

3 

prin v( xyz , , ) = P( xyzi , , ) + Q( xyz , , ) j+ R( xyzk , , ) , ∀ ( xyz∈Ω , , ) , unde Ω∈ 

r 

este un domeniu ce conţine suprafaţa S. Dacă notăm cu S S, n unde 

n r = 

r × r 

r × r 

u v 

u v 

, ( uv , ) ∈ D o reprezentare parametrică 

+ = 

( ) 

, atunci integrala de suprafaţă de speţa a doua a funcţiei v pe faţa S 

r 

a suprafeţei S, se defineşte astfel: 

r r 

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = v ⋅ ndσ 

= 

∫∫ ∫∫ 

S+ S 

∫∫ 

( ) ( ) ( ) 

= ⎡⎣Pxyz , , cos α + Q xyz , , cos β + R xyz , , cosγ⎤⎦dσ S 

unde α, βγ , sunt unghiurile pe care le face versorul n r al normalei la suprafaţă cu 

r 

r 

direcţiile pozitive ale axelor de coordonate. Aşadar: n( x, y, z) = cos α ( x, y, z) i + 

r 

r 

+ cos β( x, yz , ) j+ cos γ ( xyzk , , ) , ∀ ( x, yz , ) ∈ S. Dacă S− = ( S, −n) r este cealaltă 

faţă a suprafeţei S, atunci: 

Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = 

r r 

v ⋅( − n)dσ =− Pdydz + Qdzdx + Rdxdy . 

∫∫ ∫∫ ∫∫ 

S− S S+ 

+ 

(1)


Observaţia 6.4.2 Din punct de vedere fizic, integrala de suprafaţă de speţa a 

doua reprezintă fluxul câmpului de vectori v r prin faţa S + (respectiv S− ) a suprafeţei 

S. Mai precis, să presupunem că v r reprezintă câmpul vitezelor particulelor 

unui fluid în curgere staţionară, adică oricare ar fi M ∈ Ω, v r (M) coincide cu viteza 

particulei de fluid care trece prin M, viteză care depinde de punctul M, dar nu 

r r 

depinde de timp. Atunci v⋅ndσreprezintă volumul fluidului care trece în unita- 

∫∫ 

S+ 

tea de timp prin suprafaţa S în direcţia versorului n r , ce defineşte faţa S + a supra- 

D( yz , ) D( zx , ) D( xy , ) 

feţei S. Dacă notăm cu A = , B = şi C = , atunci A, B, C 

D uv , D uv , D uv , 

( ) 

( ) 

( ) 

sunt parametrii directori ai normalei la suprafaţă şi cosα 

= 

± 

A 

2 2 2 

A + B + C 

, 

cosβ 

= 

± 

B 

2 2 2 

A + B + C 

, cosγ 

= 

± 

C 

2 2 2 

A + B + C 

. Alegerea semnului "+" sau "–" 

în faţa radientului se face în funcţie de orientarea normalei la suprafaţă. 

Ţinând seama de modul de calcul al integralei de suprafaţă de prima speţă 

rezultă: 

∫∫ ∫∫ 

S+ D 

{ 

( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) 

Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = ± P ⎡⎣xuvyuvzuv⎤⎦Auv+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} 

+ Q⎡⎣xuv , , y uv , , z uv , ⎤⎦Buv , + R⎡⎣xuv , , y uv , , z uv , ⎤⎦Cuv 

, dudv Exemplul 6.4.1 Să se calculeze 

faţa exterioară a sferei 

⎧x 

= Rsinucosv ⎪ 

⎨y 

= Rsinusinv ⎪ 

⎩z= 

Rcosu 2 2 

A= R sin ucosv, 2 2 2 4 2 

S+ 

157 

(2) 

∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy , unde S + este 

2 2 2 2 

x + y + z + R . Ecuaţiile parametrice ale sferei sunt: 

[ π ] [ π ] 

u∈ 0, , v∈ 

0,2 . 

2 2 

B = R sin usinv 2 2 

, C = R sin ucosu şi 

A + B + C = R sin u 

cosα =± sinucosv , cosβ = ± sinusinv, cosγ = ± cosu (3) 

Observăm că pentru normala orientată spre exterior trebuie să alegem 

⎛ π ⎞ 

semnul "+" în formulele (3). Într-adevăr, dacă u∈ 

⎜⎝0, 2 ⎟ punctul corespunzător M 

⎠ 

de pe sferă se află pe emisfera superioară şi normala exterioară va face un unghi 

ascuţit cu axa Oz (cosγ = cosu> 0).

158 

⎛π⎞ 

Dacă u∈ 

⎜⎝ , π 

2 ⎟ , punctul corespunzător 

⎠ 

M de pe sferă se află pe emisfera 

inferioară şi normala orientată spre 

exterior va face un unghi optuz cu axa Oz 

(cosγ = cosu< 0). 

Din formula de calcul (2) rezultă: 

xdy dz + ydzdx + zdxdy = 

2π π 3 3 2 3 

S+ 

3 2 3 2 

0 0 

∫∫ 

( ) 

∫ ∫ = 

= dv R sin ucos v+ R sin usin v+ R sinucos u du 

3 π 

3 

2π∫ sin 4π 

0 

= R ⋅ udu= R . 

În cazul unei suprafeţe netede explicită z= f ( x, y) 

, ( , ) 

∂f 

∂f 

B = –q, C = 1, unde p = şi q = . 

∂ x ∂ y 

cosα 

= 

± 

− p 

2 2 

1+ 

p + q 

, cosβ 

= 

± 

−q 

1+ 

p + q 

2 2 

x y ∈ D, avem A = –p, 

, cosγ 

= 

1 

± 1+ p + q 

2 2 

Dacă S + este faţa superioară a suprafeţei, corespunzătoare normalei orien- 

tate în sus, atunci cosγ > 0 şi vom alege semnul "+" în faţa radicalului. Pentru faţa 

inferioară , cosγ < 0 şi alegem semnul "–" în faţa radicalului. 

S − 

q = 

cosα 

= 

y 

2 2 

x + y 

2 

2 2 

Exemplul 6.4.2 Să se calculeze 

y − z dydz + z − x dzdx + x − y dxdy , unde 

∫∫ ( ) ( ) ( ) 

S− 

S − este faţa inferioară a conului 

2 2 2 

x + y = z :0≤ 

z≤ h. 

Aşadar avem: 

2 2 

= + , ( , ) 

S: z x y 

2 2 2 

{ ( , ) 

} 

x y ∈ D, 

unde 

D= x y x + y ≤ h , p = 

x 

2 2 

x + y 

, 1+ p + q =2. 

Deoarece cosγ < 0, rezultă că 

x 

2 2 

x + y 

şi cosβ 

= 

∫∫ ( − ) + ( − ) + ( − ) 

S− 

2 

y 

2 2 

x + y 

y z dydz z x dzdx x y dxdy = 

. 

, 

. 

1 

cosγ 

= , 

− 2


S 

⎡ 

⎢ 

⎢⎣ − 

2⋅ x 

2 2 

x + y 

+ − 

2⋅ 

y 

2 2 

x + y 

+ − 

1 ⎤ 

⎥ dσ 

= 

− 2 ⎥⎦ 

⎡ 

= ∫∫ ⎢( y − 

D ⎢⎣ 2 2 

x + y ) 2⋅ x 

+ 

2 2 ( x + y 

2 2 

x + y − x) 2⋅ 

y x−y⎤ 

+ ⎥ 

2 2 

x + y 2 ⎥⎦ 

2 dxdy = 

= ∫∫ ( y z) ( z x) ( x y) 

∫∫( ) ∫ ( ) . 

= 2 y− x dxdy = 2 sinθ − cosθ 

dθ = 0 

D 

6.5. FORMULE INTEGRALE 

h 

0 

O primă formulă integrală a fost deja prezentată în Capitolul 5, §5.7 şi 

anume formula lui Green, care stabileşte legătura între integrala dublă pe un dome- 

niu şi integrala curbilinie de speţa a doua pe frontiera acestui domeniu. În cele ce 

urmează prezentăm alte două formule: formula Gauss-Ostrogradski, care stabileşte 

legătura între integrala triplă şi integrala de suprafaţă şi formula Stokes care stabi- 

leşte legătura între integrala curbilinie şi integrala de suprafaţă. 

Teorema 6.5.1 (Gauss-Ostrogradski) 

3 

Fie T ⊂ un domeniu simplu în raport cu cele trei axe de coordonate şi 

∂P ∂Q ∂R 

fie P, Q, R trei funcţii reale continue, împreună cu derivatele lor , , 

∂x ∂y ∂ z 

pe 

T . Presupunem de asemenea că S = T \ T (frontiera lui T) este o suprafaţă netedă 

pe porţiuni. Atunci: 

⎛∂P ∂Q ∂R⎞ 

∫∫∫ ⎜ + + dxdydz = P( x, y, z) dydz + Q( x, y, z) dzdx + R( x, y, z) dxdy 

∂x ∂y ∂z 

⎟ ∫∫ , 

⎝ ⎠ 

T Se 

unde cu Se 

am notat faţa exterioară a suprafeţei S. 

Demonstraţie. Deoarece domeniul T ⊂ este simplu în raport cu axa Oz, 

3 

rezultă că există un domeniu mărginit D ⊂ , care are arie şi două funcţii reale, 

ϕ x, y ψ x, 

x, y ∈ D astfel încât 

conţine pe D proprietatea că ( ) < ( y ) , ∀ ( ) 

( , , ) 3 

; ϕ( , ) ψ( 

, ) , ( , ) 

funcţiei 

{ } 

T = x y z ∈ x y < z< x y ∀ x y ∈ D . 

S z= ϕ ( x, y) 

, ( , ) 

= ψ ( , y ) , ( x, y) D S 

Notăm cu graficul funcţiei 

1 

z x 

toarele paralele cu axa Oz. Observăm că suprafaţa 

3 

159 

x y ∈ D, 

cu S graficul 

∈ şi cu suprafaţa cilindrică laterală, cu genera- 

3 

S = S1US2U S3 este frontiera 

1 

domeniului T. Ipoteza că S este netedă pe porţiuni înseamnă că , C ( D) 

2 

ϕψ∈ .

160 

Mai departe avem: 

Fig. 1 

Faţa exterioară a suprafeţei S 

înseamnă faţa corespunzătoare normalei 

orientate spre exterior. Aceasta 

înseamnă pentru suprafaţa S1 

, faţa 

inferioară, iar pentru suprafaţa S2 

, faţa 

superioară. Aşadar 

S = S U S U S . 

( ) ( ) ( ) 

e 1 − 2 + 3 e 

Deoarece pentru faţa inferioară a 

suprafeţei S1 , unghiul γ format de 

normala orientată în jos, cu axa Oz, 

este optuz, rezultă că cosγ < 0 , deci 

1 

cosγ 

=− 

. 

2 2 

⎛∂ϕ⎞ ⎛∂ϕ⎞ 1+ 

⎜ + 

∂x⎟ ⎜ ∂y⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

∫∫ R( x, y, z) dxdy = ∫∫ R( x, y, z) ⋅ 

dσ 

= 

( S ) 

1 − 

S1 

−1 

2 2 

⎛∂ϕ⎞ ⎛∂ϕ⎞ 1+ 

⎜ + 

∂x ⎟ ⎜ ∂y 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

2 2 

= ∫∫ R( xy , , ϕ ( xy , ) ) ⋅ 

D 

−1 ⋅ 

2 2 

⎛∂ϕ⎞ ⎛∂ϕ⎞ 1+ 

⎜ x ⎟ + ⎜ y ⎟ 

⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ 

⎛∂ϕ⎞ 1+ 

⎜ ∂x ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛∂ϕ⎞ + ⎜ ∂y 

⎟ 

⎝ ⎠ 

dxdy= 

=−∫∫ R ⎡⎣x, y, ϕ ( x, y) ⎤⎦dxdy 

(1) 

D 

În mod analog, pentru faţa superioară a suprafeţei S2 , cosγ > 0 , deci 

∫∫ 

2 + 

( , , ) 

R xyzdxdy= 

( S ) 

2 2 

= ∫∫ R ⎡⎣xy , , ψ ( xy , ) ⎤⎦⋅ D 

1 

⋅ 

2 2 

⎛∂ψ ⎞ ⎛∂ψ ⎞ 

1+ 

⎜ x ⎟ + ⎜ y ⎟ 

⎝ ∂ ⎠ ⎝ ∂ ⎠ 

⎛∂ψ ⎞ 

1+ 

⎜ ∂x ⎟ 

⎝ ⎠ 

⎛∂ψ ⎞ 

+ ⎜ ∂y 

⎟ 

⎝ ⎠ 

dxdy= 

= ∫∫ R ⎡⎣x, y, ψ ( x, y) ⎤⎦dxdy 

. (2) 

D 

Pentru faţa exterioară a suprafeţei cilindrice laterale, cosγ = 0 , deoarece 

π 

unghiul γ = . Rezultă că: 

2


∫∫ R( x, y, z) dxdy= ∫∫ R( x, y, z) cosγ dσ = 0 

(3) 

( S ) 

3 e 

S3 

Aşadar avem: 

R( xyzdxdy , , ) = Rxyzdxdy ( , , ) + Rxyzdxdy ( , , ) + Rxyzdxdy 

( , , ) = 

( ) 

( ) 

( ) 

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 

Se S1 S2 S 

− + 

3 e 

∫∫ R ⎣x, y, ψ ( x, y) ⎦dxdy 

, , ϕ ( , ) 

= ⎡ ⎤ 

D 

D 

161 

−∫∫ R ⎡⎣xyxy⎤⎦dxdy (4) 

Pe de altă parte, din modul de calcul al integralei triple rezultă: 

ψ ( xy , ) 

∂R 

⎛ ψ ( xy , ) ∂R 

⎞ 

∫∫∫ dxdydz = 

( , , ) 

∂z 

∫∫ ⎜∫dz dx dy = R x y z dx dy = 

ϕ( 

xy , ) ∂z 

⎟ ∫∫ 

T 

D ⎝ ⎠ D ϕ( 

xy , ) 

∫∫ R ⎡⎣x, y, ψ ( x, y) ⎤⎦dx dy ∫∫ R ⎡⎣x, y, ϕ( 

x, y) ⎤⎦dxdy(5) 

= − 

D D 

Din (4) şi (5) deducem: 

∂R 

∫∫∫ dxdydz = R( xyzdxdy , , ) 

∂z 

∫∫ (6) 

T 

Se 

În mod analog, folosind faptul că domeniul T este simplu şi în raport cu 

axele Oy şi Ox deducem: 

∂Q 

∫∫∫ dxdydz = Q( x, y, z) dzdx 

∂y 

∫∫ (7) 

T 

T 

Se 

∂P 

dxdydz = P x, y, z dxdy 

∂x 

∫∫ (8) 

∫∫∫ ( ) 

Se 

În sfârşit, adunând relaţiile (6), (7) şi (8) obţinem formula Gauss- 

Ostrogradski: 

⎛∂P ∂Q ∂R⎞ 

∫∫∫ ⎜ + + dxdydz = 

∂x ∂y ∂z 

⎟ ∫∫ P( x, y, z) dydz + Q( x, y, z) dzdx + R( x, y, z) dxdy (9) 

⎝ ⎠ 

T 

Se 

Observaţia 6.5.1 Printre exemplele de domenii simple în raport cu cele 3 

axe de coordonate amintim: sfera, elipsoidul, paralelipipedul dreptunghic cu 

muchiile paralele cu axele etc. Fără a intra în detalii, menţionăm că formula Gauss- 

Ostrogradski rămâne valabilă şi pentru domenii care sunt reuniuni finite de 

domenii simple în raport cu cele 3 axe de coordonate, două câte două, dintre 

acestea având în comun cel mult suprafeţe netede pe porţiuni. Scriind formula 

Gauss-Ostrogradski pentru fiecare din domeniile simple Ti 

, care alcătuiesc domeniul 

T, adunând aceste formule şi folosind proprietatea de aditivitate a integralei 

triple şi a integralei de suprafaţă, se obţine formula Gauss-Ostrogradski pentru 

domeniul T. Acest lucru se explică prin faptul că integrala de suprafaţă, pe o 

suprafaţă de intersecţie a două domenii simple vecine, apare în suma din membrul

162 

drept de două ori, o dată pe faţa superioară şi o dată pe faţa inferioară, deci contri- 

buţia ei în membrul drept este nulă. În felul acesta, în membrul drept rămâne numai 

integrala pe faţa exterioară a domeniului T. 

Observaţia 6.5.2 Ţinând seama de legătura dintre integrala de suprafaţă de 

speţa a doua şi de integrala de suprafaţă de speţa întâi, formula Gauss-Ostrogradski 

se mai scrie: 

⎛∂P ∂Q ∂R⎞ 

∫∫∫ ⎜ + + dxdydz = 

∂x ∂y ∂z 

⎟ ∫∫( Pcosα + Qcosβ + Rcosγ) 

dσ 

(10) 

T ⎝ ⎠ 

S 

unde α, βγ , sunt unghiurile pe care le face normala exterioară la suprafaţa S cu 

Ox, Oy şi Oz. 

r 

Dacă notăm cu V câmpul vectorial de componente P, Q, R, atunci 

V = Pi + Qj + Rk 

r 

r r r 

r ∂P ∂Q ∂R 

şi divV 

= + + . Fie de asemenea, 

∂x∂y ∂z 

r r r r 

n = cosα i + cosβ j + cosγ 

k versorul normalei exterioare la suprafaţa S. Cu aceste 

precizări, formula Gauss-Ostrogradski devine: 

r 

∫∫∫divVdxdydz= 

∫∫V⋅ndσ r r 

(11) 

T 

S 

Sub această formă, formula Gauss-Ostrogradski se mai numeşte şi formula 

flux-divergenţă. 

Exemplul 6.5.1 Folosind formula Gauss-Ostrogradski să se calculeze 

2 2 2 

∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy , unde Se 

este faţa exterioară a cubului 

Se 

= { ( , , ) ∈ 

3 

;0 ≤ ≤ ,0 ≤ ≤ ,0≤ 

≤ } . Notând cu P( xyz , , ) 2 

x 

( , , ) = 

2 

şi R( xyz , , ) 2 

z 

2 2 2 

∫∫ x dy dz + y dzdx + z dxdy = ∫∫∫ ( 2x+ 2y+ 2z) 

dxdydz = 

T x y z x a y a z a 

Q x y z y 

Se 

a a a 

= 2∫ ∫ ∫ ( ) 

dx dy x + y + z dz = 2 

0 0 0 

= , 

= , din formula Gauss-Ostrogradski deducem: 

T 

⎛ ⎞ 

dx ⎜xz+ yz + dy = 

⎜ 

⎟ 

2 ⎟ 

⎝ ⎠ 

2 

a a z 

∫ ∫ 

0 0 

⎛ 2 2 ⎞ 

0 

a 

2 

a a⎛ a ⎞ a y a 

= 2∫ 

dx ⎜ax + ay + ⎟dy= 

0 ∫ 

2 

0 ⎜ 2 ⎟ ∫ ⎜axy + a + y dx = 

0 ⎜ 

⎟ 

2 2 ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

3 3 2 

a⎛ 2 a a ⎞ ⎛ 2 x ⎞ 3 

4 

= 2∫⎜ax+ + ⎟dx= 2⎜a+ 

ax⎟ = 3 a . 

0 ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

a 

0 

a 

0


Teorema 6.5.2 (Stokes) 

Fie S o suprafaţă netedă explicită: z= f ( x, y) 

, ( , ) 

163 

x y ∈ D , unde D este un 

domeniu mărginit a cărui frontieră γ este o curbă netedă. Presupunem că 

2 

( ) 

f ∈C D şi P, Q, R sunt trei funcţii de clasă C pe un domeniu Ω⊂ care 

include suprafaţa 

S . Dacă notăm cu \ ( , , ( , ) ) ; ( , ) 

1 

{ } 

Γ= S S = x y f x y x y ∈ γ bordu- 

ra suprafeţei S, atunci avem: 

⎛∂R ∂Q⎞ ⎛∂P ∂R⎞ ⎛∂Q ∂P⎞ 

∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ ⎜ − dydz + − dzdx + − dxdy 

∂y ∂z ⎟ ⎜ ∂z ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂y 

⎟ . 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

Γ 

S+ 

(Între sensul de parcurgere al curbei Γ şi faţa suprafeţei pe care se face integrala din 

membrul drept, există următoarea legătură de compatibilitate *) : dacă curba Γ este 

parcursă în sens trigonometric (respectiv sensul acelor unui ceasornic), atunci 

integrala din membrul drept se face pe faţa superioară (respectiv inferioară) a 

suprafeţei S). 

Demonstraţie. Fie x ϕ(), t y ψ(), 

t t [ a, b] 

Fig. 2 

= = ∈ o reprezentare parametrică a 

curbei γ. Atunci x = ϕ( t), y= ψ ( t) 

, 

= [ ϕ(), ψ() 

] , t [ a, 

] 

z f t t 

∈ b este o 

reprezentare parametrică a curbei Γ-bordura 

suprafeţei S. 

Ţinând seama de modul de calcul al 

integralei duble de speţa a doua avem: 

∫ 

Γ 

P( x, y, z) dx 

0 

= 

a 

= p ⎡⎣ϕ(), t ψ(), t f ( ϕ(), t ψ() t ) ⎤⎦ϕ′ 

()d t t = 

∫ 

∫ P⎡⎣x y f x y ⎤⎦ 

dx . (12) 

= , , ( , ) 

γ 

În continuare, din formula lui Green rezultă: 

⎛∂P ∂P ∂f 

⎞ 

∫ P⎡⎣x, y, f ( x, y) ⎤⎦dx 

=− ∫∫ ⎜ + ⋅ dxdy 

∂y ∂z ∂y⎟ 

(13) 

⎝ ⎠ 

γ 

D 

∂f 

∂f 

Dacă notăm p = şi cu q = , mai departe avem: 

∂ x ∂ y 

*) În ipoteza că sistemul de coordonate este rectangular drept. 

3

164 

şi 

şi 

∂P ∂P 

1 

2 2 

− ∫∫ dxdy =− ⋅ ⋅ 1+ 

p + q dxdy 

∂y ∫∫ 

= 

∂ y 2 2 

1+ 

p + q 

D D 

∂P ∂P 

=− ∫∫ cosγ dσ 

=− dxdy 

∂y ∫∫ ∂y 

S S+ 

∂P ∂f ∂P −q 

2 2 

−∫∫ ⋅ dxdy = ⋅ ⋅ 1+ 

p + q dxdy 

∂z ∂y ∫∫ 

= 

∂ y 2 2 

1+ 

p + q 

D D 

∂P ∂P 

= ∫∫ cosβdσ = dzdx 

∂z ∫∫ ∂z 

S S+ 

Din (12), (13) şi (15) deducem: 

P( x, y, z) dx = 

∂P dzdx − 

∂z ∂P 

dxdy 

∂y 

Γ 

S+ S+ 

(14) 

(15) 

∫ ∫∫ ∫∫ (16) 

În mod analog se arată că: 

∫ Q( x, y, z) dy = 

∂Q dxdy − 

∂x ∂Q 

dydz 

∂z 

Γ 

∫ 

Γ 

R( xyzdz , , ) 

= 

∫∫ ∫∫ (17) 

S+ S+ 

∂R ∂R 

dydz − dzdx 

∂y ∂x 

∫∫ ∫∫ (18) 

S+ S+ 

Adunând relaţiile (16), (17) şi (18) obţinem formula lui Stokes din enunţul 

teoremei. 

Observaţia 6.5.3 Formula lui Stokes rămâne valabilă şi pentru suprafeţe 

care sunt reuniuni finite de suprafeţe explicite de tipul celei din Teorema 6.4.2, 

două dintre acestea având în comun arce de curbă care sunt porţiuni din bordurile 

orientate ale acestor suprafeţe. Într-adevăr, scriind formula lui Stokes pentru fiecare 

din suprafeţele Si 

şi adunând formulele 

obţinute, rezultă formula lui Stokes pentru 

Fig. 3 

suprafaţa S = USi. 

p 

i= 

1 

Explicaţia constă în faptul că integrala 

curbilinie pe o curbă de intersecţie a două 

suprafeţe vecine intervine în suma din 

membrul stâng de două ori, cu orientări 

diferite, deci contribuţia sa în această sumă 

este nulă. În felul acesta în membrul stâng 

apare numai integrala curbilinie pe bordura


suprafeţei S. Pe de altă parte este evident că 

p 

∫∫=∑∫∫ S i= 

1 ( Si) 

Observaţia 6.5.4 Ţinând seama de legătura între integrala de suprafaţă de 

speţa a doua şi integrala de suprafaţă de speţa întâi, formula lui Stokes se mai scrie: 

Pdx+ Qdy+ Rdz= 

∫ 

Γ 

⎡⎛∂R ∂Q⎞ ⎛∂P ∂R⎞ ⎛∂Q ∂P⎞ 

⎤ 

= ∫∫ ⎢⎜ − cosα + − cosβ + − cosγ d 

∂y ∂z ⎟ ⎜ ∂z ∂x ⎟ ⎜ ∂x ∂y 

⎟ ⎥ σ . 

S ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦ 

r 

Dacă notăm cu V câmpul vectorial de componente P, Q, R, atunci 

V = Pi + Qj + Rk 

r 

r r r 

r ⎛∂R ∂Q⎞r⎛∂P ∂R⎞r⎛∂Q ∂P⎞ 

r 

şi rotV = ⎜ − i + − j+ 

− 

∂y ∂z ⎟ ⎜ ∂z ∂x ⎟ ⎜ k 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ∂x ∂y 

⎟ . 

⎠ 

Fie de asemenea n = cosα i + cosβ j+ cosγ 

k 

r 

r r r 

versorul normalei la suprafaţa 

r r r r 

S orientată în sus şi fie dr= dxi+ dyj+ dzk. 

Cu aceste precizări, formula lui Stokes devine: 

r r r r 

Vdr= rotV⋅ndσ. ∫ ∫∫ 

Γ 

S 

Integrala din membrul stâng reprezintă circulaţia câmpului V r de-a lungul 

curgei Γ, iar integrala din membrul drept reprezintă fluxul câmpului rotV prin 

suprafaţa S în sensul normalei orientate în sus. 

r 

Exemplul 6.5.2 Folosind formula lui Stokes să se calculeze 

z − y dx + x − z dy + y −xdz 

, unde 

∫ 

∆ ABC 

. 

( ) ( ) ( ) 

165 

A, B, C 

Aa ,0,0 , 

sunt punctele de 

coordonate ( ) 

( 0, ,0 ) , ( 0,0, ) 

B b C c , a> 0, b> 0, c> 

0 . 

Planul determinat de punctele A, B şi C are 

x y z 

ecuaţia + + = 1. 

a b c 

Observăm că triunghiul ABC este bordura 

⎛ x y ⎞ 

suprafeţei S: z= c⎜1− 

− 

a b⎟, 

( ) 

⎝ ⎠ , 

Fig. 4 

x y ∈ D, 

unde D este triunghiul (plin) OAB. 

Notând cu P = z – y, Q = x – z şi R = y – x, din formula lui Stokes rezultă:

166 

∫ ( z − y) dx + ( x − z) dy + ( y − x) dz = ( α + β + γ) 

∆ ABC 

cosβ 

= 

Fig. 5 

ca 

2 2 2 2 2 2 

ab + bc + ca 

∫∫ 2cos cos cosdσ , unde α, βγ , 

S 

sunt unghiurile pe care le face normala la 

suprafaţa S, orientată în sus, cu axele Ox, Oy 

şi Oz. Cum γ este ascuţit, rezultă cosγ > 0. Pe 

∂z 

c c 

de altă parte avem p = =− , q =− şi 

∂x 

a b 

2 2 2 2 2 2 

2 2 ab 

1+ 

p + q = 

+ bc + ca 

2 2 

ab 

. Rezultă că: 

cosγ 

= 

ab 

2 2 2 2 2 2 

ab + bc + ca 

, 

cosα 

= 

bc 

2 2 2 2 2 2 

ab + bc + ca 

, 

. Cu aceste precizări, rezultă: 

∫ ( z − y) dx + ( x − z) dy + ( y − x) dz = ( ) 

∆ ABC 

2 

bc + ca + ab dxdy = bc + ca ab 

ab ∫∫ + . 

D

Integrale de suprafata

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?