UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING´A CENTRO DE ... - PMA

3.2 Polígono de Newton da Polar Genérica 72
t + qs−1 = zqs, ou seja, t = zqs − qs−1. Mas 0 < t ≤ qs − qs−1 o que implica 0 < z ≤ 1 pois
qs, qs−1 são inteiros positivos. Como z ∈ Z segue que z = 1 e portanto t = qs − qs−1. Por
outro lado, suponha que t = qs − qs−1 então da Proposição (A.5) segue que
tps + 1 = (qs − qs−1)ps + (qs−1ps − ps−1qs) = qsps − ps−1qs = (ps − ps−1)qs,
ou seja, tps + 1 = (ps − ps−1)qs. Portanto, tps + 1 ≡ 0 mod(qs). �
Agora estamos aptos para demosntrar o seguinte resultado.
Proposição 3.11. Se 2j + 1 = s o valor máximo de ∆ é ps − ps−1
t = qs − qs−1.
qs − qs−1
e é atingido quando
Demonstração: Como 0 < t ≤ qs − qs−1 e ∆ = 1
� �
tps + 1
temos que se t = qs − qs−1
t qs
então,
∆ = 1
� � � �
tps + 1 1 (qs − qs−1)ps + 1
=
.
t
qs
Com a Proposição (A.5), obtemos
∆ =
1
qs − qs−1
qs − qs−1
� �
qsps − ps−1qs
=
qs
1
qs − qs−1
qs
(ps − ps−1) = ps − ps−1
.
qs − qs−1
Vamos mostrar que se 0 < t < qs − qs−1, então ∆ < ps − ps−1
. Com efeito, se
qs − qs−1
t < qs −qs−1 segue do Lema (3.10) que tps +1 �≡ 0 mod(qs), ou melhor, tps + 1
inteiro, assim
Logo, ∆ = 1
t
� �
tps + 1
≤ 1 tps
t
� �
tps + 1
qs
≤ tps
.
qs
qs
não é um
= ps
. Novamente da Proposição (A.5) segue que, psqs−1 =
qs
qs qs
1+ps−1qs > ps−1qs, ou seja, −psqs−1 < −ps−1qs. Com isto, (psqs−psqs)−psqs−1 < −ps−1qs.
Assim, psqs − psqs−1 < psqs − ps−1qs, isto implica que, ps(qs − qs−1) < (ps − ps−1)qs. Logo,
∆ ≤ ps
qs
< ps − ps−1
,
qs − qs−1
para t < qs−qs−1 o que conclui a demonstração. Portanto, o valor máximo de ∆ é atingido
para t = qs − qs−1. �