D Grau - 3ª Edição

Resolução do Desafio Matemático
Este é sem dúvida um dos resultados matemáticos mais estranhos e contra-intuitivos que conheço.
A função de zeta de Riemann define-se como:
∞∑ 1
ζ(s) =
n s = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + 1 + ... (1)
4s No caso particular de s = −1, temos:
Considere os seguintes resultados:
n=1
ζ(−1) =
1. S 1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1... = 1 2
Dem:
∞∑
n = 1 + 2 + 3 + 4 + ... (2)
n=1
1 − S 1 = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1...)
= 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1...
= S 1 (3)
Donde vem:
1 − S 1 = S 1 ⇒ S 1 = 1 2 . (4)
2. S 2 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... = 1 4
Dem:
S 1 − S 2 = (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1...) − (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ...)
= (1 − 1) + (−1 + 2) + (1 − 3) + (−1 + 4) + ...
= 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + 5...
Donde vem, utilizando o resultado (4):
Define-se agora: S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ....
Logo, temos:
= S 2 (5)
S 1 − S 2 = S 2 ⇒ S 2 = S 1
2 = 1 4 . (6)
S 2 − S = (1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ...) − (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...)
= (1 − 1) + (−2 − 2) + (3 − 3) + (−4 − 4) + (5 − 5) + (−6 − 6)...
= −4 − 8 − 12...
= −4(1 + 2 + 3...) = −4S. (7)
Donde vem:
Finalmente:
S = − S 2
3
S = ζ(−1) =
⇒ S = − 1 12 . (8)
∞∑
n = − 1 12 . (9)
n=1
Este resultado é altamente controverso na comunidade
científica, embora seja utilizado em vários ramos da Física.
No entanto, é apresentado aqui com fins pedagógicos e
eventualmente para suscitar reflexão e discussão.
Prof. Francisco Lobo
Investigador Dep. Física FCUL